1 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESS
MTODOS NUMRICOS CON SOFTWARE MATLAB
INTEGRACIN NUMRICA
La Integral Definida .- Para Calcular la integral definida b
adxxf )( por el segundo teorema fundamental del
clculo se tiene T= )()()( )( afbfdxxf xfb
a
b
a. Es decir
Sin embargo, para el clculo de la antiderivada existen integrales definidas tales como :
a) dxex
1
0
2
b) dxx
xsen23
2
)( c) dx
x
xsenh2
0
)(
para los cuales no existe un mtodo conocido para encontrar su antiderivada, pero si la funcin f(x) es continua en
el intervalo [a , b] la integral existe y es un nmero nico. Para estos casos, en que no se pueden encontrar la
antiderivada, veremos el mtodo del trapecio para estimar el valor de una integral definida.
MTODO DEL TRAPECIO
La regla trapezoidal es un mtodo de integracin numrica que se basa en la integracin de la frmula de
interpolacin lineal. Supongamos que se evala dxxfI
b
a
)( .. (1)
Aproximamos f(x) mediante una interpolacin lineal 21)( fab
axf
ab
xbxg ... (2)
donde : )(;)( 21 bffaff entonces la ecuacin (1) se convierte en
b
a
b
a
ffh
dxxgdxxfI )(2
)()( 21 con .(3)
abh .. (4) La ecuacin (3) es la regla trapezoidal, que se puede escribir como
b
a
Effh
dxxfI )(2
)( 11 .. (5)
donde E representa el error por truncamiento.
y
x
x=a x=b
y=f(x)
T T
x1=a
f1
f2
y
x2=b
x
y=f(x) g(x)
Fig. 1
2 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESS
La regla trapezoidal se ilustra grficamente en la figura (1). El rea bajo la interpolacin lineal, g(x), es igual a la
integral calculada por la regla trapezoidal, mientras que el rea bajo y=f(x) es el valor exacto. Por tanto el error de
la ecuacin (3 es igual al rea entre g(x) y f(x), y es aproximadamente ''12
1 3 fhE
GENERALIZACIN DEL MTODO DEL TRAPECIO
La ecuacin (5) puede extenderse a mltiples intervalos. Si la integrada se representa mediante (n+1) puntos de
datos con puntos de abscisas igualmente espaciados, la ecuacin (5) puede aplicarse repetidamente a cada intervalo.
La ecuacin as obtenida es la regla trapezoidal extendida y se escribe as:
Effffffh
dxxfI nn
b
a
14321 22222
)( :
Efffh
dxxfI n
n
i
i
b
a
1
1
1 22
)( , donde :
1,,3,2,1
)(
)1(
ni
xff
hiax
n
abh
ii
i
Equivalente a: Exfxfxfh
dxxfI n
n
i
i
b
a
)()(2)(2
)( 11
1
El trmino error de la regla trapezoidal extendida est dado por
''..12
2 fhab
E o en forma equivalente, por ''.12
)(2
3
fn
abE
Donde ''f es la media de ''f en bxa
Fig(2)-Regla Trapezoidal extendida
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PROGRAMA DE LA REGLA COMPUESTA DEL TRAPECIO
function trapecio
f=input('Ingrese la funcin a integrar f(x)=','s');
a=input('Ingrese el lmite inferior=');
b=input('Ingrese el lmite superior=');
n=input('Ingrese el valor de M=');
xmin=a-1;
xmax=b+1;
h=(b-a)/n;
x=a:h:b;
x
x1
f1 f2 y
x3
y=f(x)
x2 x4
f3
f4
3 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESS
fx=eval(f);
y=abs(fx);
A=y(1)+y(n+1);
B=2*sum(y(2:n));
integral=(h/2)*(A+B);
fprintf('El rea es: %10.9f\n',integral);
%GRFICA DE LA INTEGRAL
xp=xmin:0.2:xmax;
x=xp;
yp=eval(f);
plot(xp,yp,'b');
hold on
x=a:0.05:b;
y=eval(f);
bar(x,y,'r');
xlabel('EJE X')
ylabel('EJE Y')
title('rea bajo la curva')
grid on
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E-1) Sea la funcin real )2(2)( xsenxf , calcular
6
1
)( dxxf usando la regla compuesta del trapecio con
11 nodos
Resolucin
%Ploteo de la curva a integrar
x=0:0.01:7;
y=2+sin(2*sqrt(x));
plot(x,y,'k')
xlabel('EJE X')
ylabel('EJE Y')
title('Curva a Integrar')
grid on
%COMPILARLO CON EL PROGRAMA TRAPECIO ASI: trapecio
>> trapecio
Ingrese la funcin a integrar f(x)=2+sin(2*sqrt(x))
Ingrese el lmite inferior=1
Ingrese el lmite superior=6
Ingrese el valor de M=10
%Resultado del rea bajo la curva es:
El rea es: 8.193854565
%La grfica es:
E-2) Un automvil de masa M=2000 kg. viaja a una velocidad de 30 m/s. La transmisin se pone en neutral en t=0
s. Suponga que la ecuacin de la desaceleracin despus de t=0 es 12001.82000 2udx
duu donde u es la
velocidad y x es la distancia lineal recorrida por el automvil desde el lugar en el que se encontraba en t=0. El
4 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESS
miembro derecho es la resistencia aerodinmica, y el segundo, la resistencia al rodado. Calcule la distancia que
recorre el automvil antes de que la velocidad se reduzca a 15 m/s.
Resolucin
Como 12001.82000 2udx
duu , entonces dx
u
duu
12001.8
20002
Integrando m.a.m. tenemos
15
30 0
2 12001.8
2000x
dxu
udu
30
15 0
2 12001.8
2000xdx
u
udux
Luego utilizando la regla trapezoidal extendida para evaluar la integral del miembro izquierdo tenemos:
Si tomamos 15 intervalos (o 16 nodos), iu recibe inicialmente los valores:
16,,2,1,)1(15 ihiui
Donde 115
)1530(h . Si definimos
12001.8
2000)(
2u
uuf y aplicamos la integracin trapezoidal tenemos :
%Grfica de la curva f(x)
x=0:0.01:40;
y=(2000*x)./(8.1*x.^2+1200);
plot(x,y,'k')
xlabel('EJE X')
ylabel('EJE Y')
title('grfica de f(x)=(2000*x)./(8.1*x.^2+1200)')
grid on
%Compilacin
>> trapecio
Ingrese la funcin a integrar f(x)=(2000*x)./(8.1*x.^2+1200)
Ingrese el lmite inferior=15
Ingrese el lmite superior=30
Ingrese el valor de M=15
%Resultado del rea bajo la curva
El rea es: 127.504041492
LABORATORIO CON MATLAB 7.0
E-1) Evale la siguiente integral por la regla trapezoidal extendida con n= 2, 4, 8 y 16 intervalos :
a)
4
0
).tan( dxx b)
1
0
dxex c)
1
0
.2
1dx
x d)
2
0
22 )(. dxxsene x e)
1
021
2
dxx
e x
E-2) En una cierta fbrica, el coste marginal es de 2)4(3 q dlares por unidad cuando el nivel de produccin es
de q unidades. En cunto aumenta el coste total de fabricacin si el nivel de produccin se eleva de 6 a 10
unidades? Aplicar la regla compuesta del trapecio.
5 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESS
E-3) En una cierta fbrica, el coste marginal es de )4(.1 qsene q dlares por unidad cuando el nivel de
produccin es de q unidades. En cunto aumenta el coste total de fabricacin si el nivel de produccin se eleva de
1 a 5 unidades? Aplicar la regla compuesta del trapecio.
E-4) Aproxime cada una de las siguientes integrales usando la regla trapezoidal extendida con 11 nodos
a)
1
1
12 .)1( dxx b)
1
0
).)2(2( dxxsen c)
4
25.0 x
dx d)
4
0
2 dxex x e)
2
0
).cos(.2 dxxx
TAREA DOMICILIARIA
I) Evale la siguiente integral por la regla trapezoidal extendida con n= 2, 4, 8 y 16 intervalos :
a)
0
).( dxxsene x b)
1
0
2
dxe x c)
1
0
.2
dxex d)
1
0
12 )1(4
1dxx e)
3
1
1
3ln
1dx
x
II. Um estdio indica que dentro de x meses la poblacin de um cierto pueblo estar aumentando a um ritmo de
3 235 x personas por mes. Cunto crecer la poblacin del pueblo em los prximos aos?
III. Una viga de 11 ft est sujeta a una carga, y a la fuerza cortante siguiente 215.04)( xxV donde V es la
fuerza cortante y x es la longitud en pies a lo largo de la viga. Se sabe que dx
dMV , y que M es el momento de
doblamiento. La integracin da la relacin x
dxVMM0
0 , si 0M es cero y dx=1, calcule M usando la regla
compuesta del trapecio.
IV. Calcular las siguientes integrales numricamente por la regla del TRAPECIO y de SIMPSON con M=10 y 15
1)
4
0
2 )(cos1
)(.dx
x
xsenx 2)
1
0
21
)1(dx
x
xLn 3)
0
1
2 884 xx
dx 4)
1
0
8 3. dxex x
5)
2
033
5
)1(dx
x
x 6)
2
1
2
1 1
1dx
x
x 7)
3
6
)cot()tan(
)tan(
xx
dxx 8)
2
0
)cos()( dxxxsen
V.- En cada uno de los ejercicios, graficar la regin R y hallar su rea. R est limitada por las grficas de:
1. 1;9 22 xyxy
2. xxyxxy 22 ;3
3. 242;223 223 xxyxxxy
4. 256;23 2323 xxyxxy
5. xyexy x ;.228
6. xyexy x 4;.2283
7. 4;62 xyxxy
8. 44 1
4;
1 x
xy
x
xy
9. ]4;0[03;64 223 xxyxxxy
10. ]3;0[02;642 2235 xxyxxxxy
6 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESS
MTODOS NUMRICOS CON SOFTWARE MATLAB
INTEGRACIN NUMRICA MTODO DE SIMPSON 1/3, SIMPSON 3/8 Y BOOLE 1. REGLA COMPUESTA DE SIMPSON 1/3
Supongamos que de divide el intervalo [a; b] en 2M subintervalos 1; kk xx de la misma anchura M
abh
2
mediante una particin cuyos nodos khaxk , para k=0,1,2,3,, 2M , estn equiespaciados. La regla
compuesta del SIMPSON 1/3 con 2M subintervalos se puede expresar como:
M
k
k
M
k
k
b
a
xfh
xfh
bfafh
hfSdxxf1
12
1
1
2 )(.3
4)(.
3
2)()(
3),()(
2. REGLA COMPUESTA DE SIMPSON 3/8
Supongamos que de divide el intervalo [a; b] en 3M subintervalos 1; kk xx de la misma anchura M
abh
3
mediante una particin cuyos nodos khaxk , para k=0,1,2,3,, 3M , estn equiespaciados. La regla
compuesta del SIMPSON 3/8 con 3M subintervalos se puede expresar como:
M
k
k
M
k
k
M
k
k
b
a
xfh
xfxfh
bfafh
hfSdxxf2
33
1
13
1
23 )(.4
3)()(.
8
9)()(
8
3),()(
3. REGLA COMPUESTA DE BOOLE
Supongamos que de divide el intervalo [a; b] en 4M subintervalos 1; kk xx de la misma anchura M
abh
4
mediante una particin cuyos nodos khaxk , para k=0,1,2,3,, 4M , estn equiespaciados. La regla
compuesta del BOOLE con 4M subintervalos se puede expresar como:
M
k
kkkkk
b
a
xfxfxfxfxfh
hfSdxxf1
414243444 )(7)(32)(12)(32)(7.45
2),()(
%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%PROGRAMA REGLA COMPUESTA DE SIMPSON1/3
function simpson13
f=input('Ingrese la funcin a integrar f(x)=','s');
a=input('Ingrese el lmite inferior=');
b=input('Ingrese el lmite superior=');
n=input('Ingrese el N de subintervalos=');
n=2*n;
xmin=a-1;
xmax=b+1;
h=(b-a)/n;
x=a:h:b;
fx=eval(f);
y=abs(fx);
suma1=y(1)+y(n+1);
suma2=4*sum(y(2:2:n));
suma3=2*sum(y(3:2:n-1));
suma=suma1+suma2+suma3;
integral=(h/3)*suma;
fprintf('El rea es: %10.9f\n',integral);
%GRFICA DE LA CURVA
7 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESS
xp=xmin:0.2:xmax;
x=xp;
yp=eval(f);
plot(xp,yp,'g');
hold on
x=a:0.05:b;
y=eval(f);
bar(x,y,'r');
xlabel('EJE X')
ylabel('EJE Y')
title('rea bajo la curva')
grid on
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%PROGRAMA REGLA COMPUESTA DE SIMPSON3/8
function simpson38
f=input('Ingrese la funcin a integrar f(x)=','s');
a=input('Ingrese el lmite inferior=');
b=input('Ingrese el lmite superior=');
n=input('Ingrese el N de subintervalos=');
n=3*n;
xmin=a-1;
xmax=b+1;
h=(b-a)/n;
x=a:h:b;
fx=eval(f);
y=abs(fx);
suma1=y(1)+y(n+1);
suma2=3*sum(y(2:3:n-1));
suma3=3*sum(y(3:3:n));
suma4=2*sum(y(4:3:n-2));
suma=suma1+suma2+suma3+suma4;
integral=(3/8)*h*suma;
fprintf('El rea es: %10.9f\n',integral);
%GRFICA DE LA CURVA
xp=xmin:0.2:xmax;
x=xp;
yp=eval(f);
plot(xp,yp,'g');
hold on
x=a:0.05:b;
y=eval(f);
bar(x,y,'r');
xlabel('EJE X')
ylabel('EJE Y')
title('rea bajo la curva')
grid on
%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%PROGRAMA REGLA COMPUESTA DE BOOLE
function Boole
f=input('Ingrese la funcin a integrar f(x)=','s');
a=input('Ingrese el lmite inferior=');
b=input('Ingrese el lmite superior=');
n=input('Ingrese el N de subintervalos=');
n=4*n;
xmin=a-1;
xmax=b+1;
h=(b-a)/n;
8 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESS
x=a:h:b;
fx=eval(f);
y=abs(fx);
A=7*(y(1)+y(n+1));
B=32*sum(y(2:2:n));
C=12*sum(y(3:4:n-1));
D=14*sum(y(5:4:n-3));
suma=(A+B+C+D);
integral=(2*h/45)*suma;
fprintf('El rea es: %10.9f\n',integral);
%GRFICA DE LA CURVA
xp=xmin:0.2:xmax;
x=xp;
yp=eval(f);
plot(xp,yp,'g');
hold on
x=a:0.05:b;
y=eval(f);
bar(x,y,'r');
xlabel('EJE X')
ylabel('EJE Y')
title('rea bajo la curva')
grid on
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E-1) Consideremos la funcin )4cos()( xexf x . Usar la regla compuesta de Simpson1/3 y Simpson3/8 con 13
nodos para calcular una aproximacin a la integral de f(x) en el intervalo [1 ; 3]
Resolucin
a) Ploteo de la curva )4cos()( xexf x en un domino de [1; 3]
x=1:0.05:3;
y=exp(-x).*cos(4*x);
plot(x,y,'b')
grid on
xlabel('EJE X')
ylabel('EJE Y')
title('Grfica de la curva')
b)Compilarlo con: simpson13
>> simpson13
Ingrese la funcin a integrar f(x)=exp(-x).*cos(4*x)
Ingrese el lmite inferior=1
Ingrese el lmite superior=3
Ingrese el N de subintervalos=12
El rea es: 0.181364528
rea aproximada = 181364528.0))4cos(.(
3
1
dxxe x
c) Aproximacin por la regla de SIMPSON3/8
>> simpson38
Ingrese la funcin a integrar f(x)=exp(-x).*cos(4*x)
Ingrese el lmite inferior=1
9 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESS
Ingrese el lmite superior=3
Ingrese el N de subintervalos=12
El rea es: 0.181452102
rea aproximada = 181452102.0))4cos(.(
3
1
dxxe x
E-2) Consideremos la funcin xxxf )( . Usar la regla compuesta de Boole con 13
nodos para calcular una aproximacin a la integral de f(x) en el intervalo [1 ;4]
Resolucin
a) Ploteo de la curva xxxf )( en un domino de [1; 4]
x=1:0.05:4;
y=(x).^(-x);
plot(x,y,'b')
grid on
xlabel('EJE X')
ylabel('EJE Y')
title('Grfica de la curva')
b)Compilarlo con: Boole
>> Boole
Ingrese la funcin a integrar f(x)=x.^(-x)
Ingrese el lmite inferior=1
Ingrese el lmite superior=4
Ingrese el N de subintervalos=12
El rea es: 0.702592441
LABORATORIO CON EL SOFTWARE MATLAB
E-1) Aproxime cada un de las siguientes integrales usando la compuesta de SIMPSON1/3 , SIMPSON3/8 y
BOOLE con 13 nodos
a)
1
0
.)(dx
x
xsen b)
1
0
)1(201.0 )1)(2.1.( dxexx x c)
1
1)(
)cos(dx
xsen
ex x
d)
4
0
22 )(. dxxsene x e)
2
0
).cos(.2 dxxx f) 0
).2(. dxxsene x
E-2) Longitud de una curva. La longitud de la curva y=f(x) definida sobre un intervalo bxa es
b
a
dxxfLongitud2
)('1 . Aproxime la longitud de la curva y=f(x) para cada una de las funciones que
se relacionan a continuacin usando la regla compuesta de Simpson1/3 y Simpson3/8 con M=5
a) ]1;0[;)( 3 xxxf b) ];0[;)()(4
xxsenxf c) ]1;0[;)( xexf x
E-3) Evale las siguientes integrales con la regla compuesta de SIMPSON 3/8 empleando M=2, 4, 8, 16 y 32 .
a)
0cos2 x
dx b)
2
1
)1(dx
x
xLog c)
2
0
2 )(1 xsen
dx
d)
1
0
215 dxx e)
1
0
)().cos( dxxLogx f)
2
0
22 )( dxxsene x
10 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESS
E-4) La longitud de una curva definida por )();( tytx , a
11 DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESS
MTODOS NUMRICOS CON SOFTWARE MATLAB
INTEGRACIN NUMRICA DOBLE Para calcular la integral doble en el orden dydx, consideremos una regin cerrada D, llamada tambin Dominio de integracin , en el plano XY.
Sea IRIRDf 2: , una funcin continua sobre D, donde:
)()(/);( 2 xyxbxaIRyxD es una regin cerrada en 2IR y IRba;:, , son
funciones continuas en [a ; b], tal que baxxx ;,)()( . Grficamente significa:
Entonces la integral de f sobre el dominio D es: b
a
x
xD
dxdyyxfdxdyyxf
)(
)(
);();( . (1)
En (1), dyyxfxg
x
x
)(
)(
);()( (2)
Reemplazando (2) en (1) tenemos: dxxg
b
a
)( (3)
Donde la integral (3) se puede calcular aplicando cualquiera de los mtodos de integracin estudiados
como son trapecio, simpson1/3, simpson3/8 y Boole.
E-1) Calcular el valor aproximado de la integral
3
1
3
)(
5
)(
x
e
xLn
dxdyyxsen
Resolucin
x x=a x=b
(x)
0
(x)
y
D