Integral definida y los métodos de
integración
El estudiante:
• Aplicará la integraldefinidaysuspropiedadesalasolu-ción de problemas de áreabajounagráfica integrandodiferencialescuyaformanoseasusceptibledeintegrarsedeformainmediata,apartirdelconocimientodealgunastécnicasdeintegración,me-diantelaaplicacióndediver-sosejerciciosdeláreadelasmatemáticas, ciencias natu-rales, sociales o administra-tivas,mostrandounaactitudanalítica, reflexiva y de co-operación.
INTRODUCCIÓN
Laintegraldefinidasurgedeaplicacionesmuyimportantesquerequierendeuncálculo,porejemplo:eláreabajolacurvadeunafunciónenunintervalo,ladis-tanciarecorridaporuncuerpoquesemuevealolargodeunalínearectaenunperiododetiempo,losingresostotaleslogradosporunacompañíaenuntiem-podelimitado,lacantidadbimestraltotaldeelectricidadconsumidaenunhogar,laconcentraciónpromediodeunmedicamentoenelcuerpoduranteciertope-riodo,etcétera.
Enestaunidadseintroduceelconceptodesumatoriaconelfindeabordarlain-tegraldefinidapormediodelassumasdeRiemman.Semuestraelsignificadodelaintegraldefinidagráficamentecomoalárealimitadaporlagráficadeunafun-cióncontinuaf(x)≥0enunintervalo[a,b].
Asimismo, se presenta la forma ab f x dx F x a
b F b F a∫ ( ) = ( ) = ( ) − ( ) paraevaluaruna integraldefinida, endonde se requieredeterminarpreviamente laantiderivadaF(x),paraello,semuestrandistintosmétodosdeintegraciónparadeterminarunaintegralindefinidasegúnsuforma,siendoéstos:cambiodeva-riable,porpartes,depotenciasdefuncionestrigonométricas,fraccionesparcialesydefuncionesracionalesdesenoycoseno.Lasotrasaplicacionesantesmencio-nadassonreferidasmedianteproblemasalolargodelaunidad.
61INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Nombredelalumno:
Grupo: Númerodelista: Aciertos:
I. Efectúaentucuadernolossiguientesejerciciosysubrayalaopciónquemuestraelresul-tadocorrecto:
1. ¿Cuáleselresultadodelasiguienteoperacióndefracciones?
53 289 83
157
1717105
− +
÷
a) 5 b) 125 c) 120 d) 62517
2. ¿Cuáleslasumadelosprimerosdieznúmerosnaturalesalcuadrado?
a) 2025 b) 100 c)3025 d) 385
3. ¿Cuáleselresultadodeladivisiónalgebraica104 3 15 2 2 20
5x y x y xy
xy+ + ?
a) 2x3y2+3xy+4
b) 2x3y2+15x2y2+20xy
c) 2x5y4+3x3y3+4x2y2
d) 5x3y2+10xy+15
4. ¿Quéresultadoseobtienealdividirx
x x
4
264
8 4−
+ − ?
a) x x xx x
228 32 128 320
4 8+ + + −
− + b) x x x
x x2
28 24 32 2564 8
+ + + −− +
c) x2+8x+24
d) x2+40x+232
5. ¿Quéresultadesimplificarasumínimaexpresión15 120 225
3 5
2x xx x
+ ++ +( )( ) ?
a) 15 755
xx
++
b) 15 c) 75 d)15 45
3xx
++
62 UNIDAD II
6. ¿Cuáleslaexpresiónequivalenteax2―6x+5luegodecompletaralcuadrado?
a) (x–3)2+4 b) (x–3)+4 c) (x–3)–4 d) (x–3)2–4
7. ¿Cuáleslaexpresiónqueseobtienealfactorizar10x2+11x–6?
a) (5x–2)(2x+3)
b) (5x+2)(2x–3)
c) (10x–2)(x+3)
d) (5x+1)(2x–6)
8. ¿Cuáleselresultadodelaoperación3 3 4 2 6
3 2x x x
x− − +
+ ?
a) x2–2x+1
b) x2–2x+5
c) x xx
2 2 1 83 2
− + ++
d) x xx
2 2 1 43 2
− + ++
9. ¿Cuáleseláreatotaldelasiguientefigura?
a) 467m2 b) 497m2 c) 507m2 d) 757m2
10.¿Quéresultadoseobtienealevaluar limx x→∞
+ −−
3 3 16 1
4 3
4 2x x
x?
a)12 b) 2 c) 3 d) 4
11.Unaprimitivade6x4–3x3+x2es:
a) 24x3–9x2+2x
63INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
b)65
5 34
4 13
3x x x− +
c) 64
5 4 12
3x x x− +
d) 24x4–9x3 + 2x2
12.¿Quéexpresiónresultadeintegrarx
xdx
4 2+∫ ?
a) 4 2+ x b)
1
4 2+ x c)4+x2 d)1
4 2+ x
2.1 INTEGRAL DEFINIDA
Unaaplicaciónmásdelaintegralesenelcálculodeáreaslimitadasporcurvasobtenidaspormediodelaintegraldefinida;porconsiguiente,laintegralpuedeserdefinidaoindefinida,éstasehaabordadocomolaoperacióninversadeladiferenciación.Ahora,laintegraldefinida,de-bidoasusaplicaciones,vaadefinirsecomoellímitedeunasuma,paralocualprecisointrodu-cirlanocióndesumaosumatoriadeconstantesensuformaabreviada.
Veamos:
La noción de sumatoria
Essabidoqueunasumadensumandosseexpresacomo:
a1+a2+a3+...+an
Dondelaexpresióntienetantossumandoscomonúmerosnaturales,ycadasumandoaksein-dicaconunamismafórmulaentérminosdek,lacualtomavaloressucesivos1,2,3,...,n.
Sumandoconstantes.
I. Organizadosenbinas,completalatablasegúncorresponda.
Primerossumandos Últimosumando(enésimo)
Fórmuladelsumandoak
1.1+2+3+... n k2.22+42+62+... (2n)2 (2k)2
3.1 13
15
17
+ + + + ...1
2 1k−4.12+22+32+... n2
64 UNIDAD II
Primerossumandos Últimosumando(enésimo)
Fórmuladelsumandoak
5. 2k–16. 2n7.6+10+14+...
8.112
13
14
− + − + ...
9.1+8+27+...
II. Utilizaellenguajecomúnparaexpresarestassumasparasusdiezprimerostérminos.Observaelejemplo:
1. 1+2+3+...+10:Lasumadelosdiezprimerosnúmerosnaturales.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
III. Enplenaria,yconelapoyodesuprofesorcomparensusrespuestas.
Estassumassedenotanporlaletrasigmamayúscula(∑),delasiguienteforma:
Seaakunnúmeroreal,k ∈.Laexpresióna1+a2+a3 +...ansellamasumaosumatoriayse
denotaporelsímbolo akk
n
=∑1.
Así,a a a a ak
k
n
n=
∑ = + + + +1
1 2 3 ...
65INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Donde:
∑:notacióndesumatoriaonotacióndesigma.
k:índicesumatorio.
akk
n
=∑1:sumatoriadetodoslosnúmerosak,parak=1,2,3,...,n.
Acontinuaciónsemuestranalgunassumatorias.
I. Dadalasumatoriasebuscasudesarrollo.
a) 3 1 3 1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1
21
4
kk
−( ) = ( ) − + ( ) − + ( ) − + ( ) −
= +=
∑55 8 11+ +
b) 11
12
13
14
15
171
5
kk +( )= + + + +
=∑
c) kk
2
1
1002 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 97 98 99 100
=∑ = + + + + + + + +...
II.Dadoeldesarrollodelasumatoriasebuscasunotaciónsigma.
a) 2+4+6+...+20= 21
10
kk=∑
Estasumapuedeexpresarsecomo:lasumadelosdiezprimerospares.
b) 1+3+5+...+19= 2 11
10
kk
−( )=
∑ Estasumapuedeexpresarsecomo:lasumadelosdiezprimerosimpares.
c) 41+42+43+...+410=∑ 41
10k
k=∑
Estasumapuedeexpresarsecomo:lasumadelasdiezprimeraspotenciasdebase4yexponen-tedelosdiezprimerosnúmerosnaturales.
Parapoderevaluarunasumatoria,dadoqueelcálculodealgunasdeellasnoesinmediato,de-beráatenderseapropiedadesyfórmulasimportantesdesumatoria,mismasquesemuestranenlasiguientetabla.
66 UNIDAD II
Propiedadesdesumatoria FórmulasdesumatoriaParaenterospositivosmyn,
ca c akk
n
kk
n
= =∑ ∑=
1 1
,c :constante
a b a b
a a a
k kk
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
m
kk m
n
m
± = ±
= +
( )
<
= = =
= = = +
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑1 1 1
1 1 1
, nn
Paraenterospositivosmyn,
c cn c
kn n
kn n n
k
k
n
k
n
k
n
=
=+
=+ +
=
=
=
∑
∑
∑
( )
( )( )
, constante:1
1
2
1
12
1 2 16
332 2
1
43 2
1
14
1 6 9 1
30
=+
=+ + + −
( )
( )( )=
=
∑
∑
n n
kn n n n n
k
n
k
n
Acontinuaciónseobtieneelvalordelasumaindicada,utilizandolaspropiedadesyfórmulasdesumatoria.
Evaluar:
1. 5 25 1251
25
= ( ) ==
∑k
2. 6 620 20 1
26 420
21260
1 1
k kk
n
k
n
= =+( )
=
== =
∑ ∑
3. 2 3 5 3 52
1
2
1 1
10
1
10
k k k kk
n
k
n
k k
− +( ) = − += = = =
∑ ∑ ∑ ∑
= ( )( )
− ( )
+ ( )2
10 11 216
310 11
25 10
= ( ) − ( ) + =2 385 3 55 50 665
4. k k k k kk k k k k
2 2
1
64 2
1
64
1
62
1
6
1
6
1 2 1 2 1
6 7 1
−( ) = − +( ) = − +
= ( )= = = = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑2296 324 6 1
302
6 7 136
6
2275 2 91 6 227
+ + −( )
− ( )( )
+
= − ( ) + = 55 182 6 2099− + =
67INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
I. Delejercicioaal5,evalúalassumatoriasmediantedesarrollo;del6al10utilizalasfórmulascorres-pondientes.
1. 31
5
k=∑ = 6. 49 82 2
1
2
k kk
− =( )=
∑
2. 71
4
kk=∑ = 7. k
k
+ =( )=
∑ 1 3
1
8
3. kk
− =( )=
∑ 31
8
8. 4 8 2
1
5
kk
− =( )=
∑
4.−+
=( )
=∑ 1
11
5 k
k k 9. k
k
3
1
6
=∑ =
5. −=
( ) −
=∑ 1
2
1
1
10 k
k k 10. k
k
4
1
4
=∑ =
II. Expresalassiguientessumatoriasennotaciónsigma.
1. 1+2+3+4+...+100 6. 5+5+5+5+5+5+5+5+5+5
2. 12+22+32+42+52+62+72+82 7. − + − + −12
23
34
45
56
3. 13+23+33+43+53 8. 1 2 3 2 5 3+ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ +
4. 14+24+34+44+54+64 9. 3+5+7+9+11+13+15
5. 3+6+9+12+...+150 10.cos+cos2+cos3+cos4
Acontinuaciónabordaremoselcálculodeáreaslimitadasporcurvas,apartirdelasumadeunnúmeroinfinitodepartesmuypequeñas,utilizandoparaelloelconceptodesumatoria.
Área limitada por la gráfica de una función con-tinua y = f(x) en un intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0
Históricamente,elcálculointegralseinventóconlafinalidaddecalcularáreaslimitadasporcurvas,dan-doorigenalaintegraldefinida.
Observalafigura.
68 UNIDAD II
Delafigurasetienelaideaintuitivadeláreadelaregiónsombreada(A)bajolagráficadelafunciónentrelasrectasx=ayx=b,dondeseconsideraalafunciónf(x)≥0paratodoxenelintervalocerrado[a,b]cuyagráficaquedaporencimadelejex.
Eláreadelaregiónsombreada(A)puedeaproximarsesumandolasáreasdenrectángulosmar-cadossobreelintervalo,comosemuestraacontinuación.
Apartirdeestafigura,unmétodoparaevaluar(A), seespecificacomosigue:
1. Sedivideelintervalo[a,b]ennsubintervalos x xk k−[ ]1, dondek=1,2,3,...,nyx0=a,xn=b.Luego
a x x x x x x bn n= < < < < < =⋅⋅⋅0 1 2 3 1 -
2. Lalongituddecadasubintervalo(nonecesariamentedeigualamplitud)sedenotapor∆xk,para∆xk=xk–xk–1.
3. Encadasubintervaloseeligecualquiernúmerorepresentativox*k,quepuedeser:frontera
derecha,fronteraizquierdaopuntomedio.
4. Eláreadelrectángulodelk-ésimosubintervaloserepresentaporlaforma f x xk k*( ) ⋅ ∆ .
5. Eláreatotalbajolacurvaesaproximadamentelasumadelasáreasdelosnrectángulosf x x f x x f x xn n
* * *...1 1 2 2( ) ⋅ + ( ) ⋅ + + ( ) ⋅∆ ∆ ∆ ,mismaquedeberáexpresarsecomolasu-
matoria f x xk kk
n*( ) ⋅
=∑ ∆1
.
Porende,sedefineelárealimitadaporlagráficadeunafuncióncontinuay=f(x)enuninter-valo[a,b]yf(x)≥0,comosigue:
A f x xx
k kk
n
= ⋅→
=
( )∑lim *
∆∆
01
El procedimiento dehallar el área limitadabajounacurvaessimi-laraldehallareláreadelaregiónqueocupaunahilera de libros sobreun estante, cuyoperfilsuperiorseaproximaaldelacurva.
69INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Para fines prácticos, el intervalo [a, b] es dividido en n subintervalos iguales. Así, la lon-
gituddel intervalo [a,b] esb – a y la amplitudde cada subintervalo es∆ −x = b an.Además,
comox0=a y si cadax*k se tomacomo la fronteraderechadecada subintervalo, se tiene
x xk k x a k b an
* = + ∆ = + −
0 .Portanto,A podráevaluarsemediantelafórmula:
A f a k b an
b ann k
n
= + −
⋅ −→∞ =
∑lim1
Lossiguientesejemplosmuestrancómoencontrarelárea(A),utilizandoladefiniciónantescitada.
Hallarelárea(A)limitadaporlagráficay=f(x)enelintervalo[a,b], segúnseindica.Mostrarlagráficaysombreareláreacorrespondiente.
1. Limitadaporf(x)=x+1en[0,4]
SoluciónDadoquea=0yb=4,setienequelalongituddecadasubintervaloes:
∆ −x = = 4 0 4n n
Sustituyendoloanterior,enlafórmulaA f a k b an
b ann k
n
= + −
⋅ −→∞ =
∑lim1
Setiene:
A f kn n n
f knn nk
n
k
n
n
= +
=
=
→∞ →∞= =
→∞
∑ ∑lim lim
lim
0 4 4 4 4
1 1
44 4 1 4 4 1
4 4
1 1 11nkn n n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
n
+
= +
=
= = ==
→∞
∑ ∑ ∑∑
limnn
n nn
n nnk
n+( )
+
=
+( )
+
=
=∑1
2162
142
1
limnn nn n→∞ →∞
+
+
= +
+ = + =8 1 1 4 8 1 1 4 8 4 12lim
Porlotanto,A=12u2
2. Limitadaporf(x)=4–x2en[–1,2]
SoluciónDadoquea=–1yb=2,setienequelalongituddecadasubintervaloes:
∆xn n
= + = 2 1 3
c∞
= 0
70 UNIDAD II
Sustituyendoesto,enlafórmulaA f a k b an
b ann k
n
= + −
⋅ −→∞ =
∑lim1
Setiene:
A f kn n n
f k nnn k
n
n k
n= − +
∑ = −
∑
=
→∞ = →∞ =lim lim
lim
1 3 3 3 31 1
nn k
n
n k
n
n
nk nn n
k kn nn→∞ = →∞ =
− −
∑ = − − +∑
=
3 4 3 3 4 9 61
2 2 2
21
lim
lim→→∞ =
→∞ ==
− + −
∑
= − + + ∑
3 4 9 6 1
3 9 6 3
22
1
22
11
n nk
nk
n nk
nk
k
n
n k
n
klim
nn
k
n
n
n n nn
n nn
∑∑
= −+( ) +( )
+
+( )
=
→∞
1
3 2
276
1 2 1 182
1lim
+
= − + +
+ +
+
→∞
9
92
2 3 3 9 1 1 92limn n n n
== − + +
+ +
+
= − ( ) + ( ) +
→∞ →∞
92
2 3 3 9 1 1 9
92
2 9 1
2lim limn nn n n
99 9=
Portanto,A=9u2
Aplicandosumatorias,encuentraelárea(A)limitadaporlagráficay=f(x)enelintervalo[a,b], segúnseindica.Muestralagráficaysombreaeláreacorrespondiente.
1. f(x)=x+2,en[0,4]
2. f(x)=x+1,en[0,3]
3. f(x)=2x,en[1,4]
4. f(x)=1–x2,en[–1,1]
5. f(x)=4–x2,en[0,2]
6. f(x)=4–x2,en[–1,1]
7. f(x)=x2,en[0,3]
8. f(x)=x3+x, en[0,2]
71INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
9. f(x)=x3–2x, en[–1,0]
10.f(x)=x3–x2–2x+3, en[–1,2]
Concepto de integral definida mediante sumatorias de Riemman
Como ya vimos, el áreaA se aproximamediante los n rectángulos de ancho∆x y alturasf x f x f xn1 2
* * *, , ,( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅ por:
A f x x f x x f x xn≈ + + ⋅⋅⋅ +( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅1 2* * *∆ ∆ ∆
Alasumadelladoderechodeestaexpresiónseledenominasuma de Riemann.Portanto,elárealimitadaporlagráficadeunafuncióncontinuay=f(x)enunintervalo[a,b]yf(x)≥0,sedefinecomoellímitedelasumadeRiemann.
An nf x x f x x f x x= + + ⋅⋅⋅ + →∞ ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅lim * * *
1 2∆ ∆ ∆
Ideaintuitivadeláreadentrodelacurva.
Enequiposdetrabajodecuatrointegrantescomomáximorealicenlosiguiente:
1. Reúnanelsiguientematerial.
1/2pliegodepapelbond.Reglade1maproximadamente.Marcadoresdecolores.
2. Ahora,utilicencoloresdistintosyrealicenlosiguiente:
a) Marquenenelpapelbondlasiluetadeunahoja(odibujenlahoja)pa-recidaaunamafafa,tangrandecomolopermitaeltamañodelpapel.
b) Tracenunplano,demaneraquelahojaquedeenelprimercuadrante.
c) Determinenunalongitudparam (verfigura)yhaganelcálculom4 para
trazarunacuadrículade4×4queabarquelahojatrazada.Estimenel
áreadelahojasumandolasáreasdeloscuadritosdeladom4queque-
daninscritosenella.
A4 4× =
Laexpresión:
sedenominasuma de Rie-mann enhonor delmate-mático alemán BernardRiemann(1826-1866).
f x x f x x f x xn1 1 2 2
* * *...( ) ( ) ( )+ + +∆ ∆ ∆
AActividad
72 UNIDAD II
d) Igualmentehaganelcálculom8paratrazarunacuadrículaadecuadade8×8
queabarquelahoja.Estimeneláreadelahojasumandolasáreasdeloscua-dritosdeladom
8quequedaninscritosenella.
A8 8× =
e) Deigualmodorealicenelcálculom16y
m32paratrazarlascuadrículas16×16
y32×32queabarquelahoja.Estimeneláreadelahojasumandolasáreas
deloscuadritosdeladom16y
m32quequedaninscritosenella.
A16×16= A32×32=3. Comparenlosresultadosobtenidos,saquenconclusionesycoméntenlasenplenaria.
Cadacuadritoobtenidoencadaunadelasdivisionesdelacuadrículadelejercicioantesreali-zada,sellamapartición.
Entremásfinasealapartición,másseaproximaalvalordeláreadentrodelacurva.
Y,¿cómoseaproximaeláreabajolacurva?
Ideaintuitivadeláreabajolagráficadef(x).
Conelmismoequipoquehicieronelejercicioanterioryreuniendoigualmaterial,realicenlosiguiente:
1. Utilizandocoloresdistintos:
a) Tracenenunplano(deltamañoquelopermitael1/2pliegodepapelbond)larectay=x,comoloindicalafigura.
b) Determinenunalongitudparam(verfigura)yhaganelcálculom5paratra-
zarcontalmedidaunacuadrícula5×5.Estimeneláreabajolarecta,en-trex=1yx=5sumandolasáreasdelosrectángulosverticalesdebasem5yalturacorrespondiente,comosemuestraenlafigura.
A1+A2+A3+A4=
c) Deigualmanera,haganelcálculom10paratrazarcontalmedidaunacuadrí-
cula10×10.Estimeneláreabajolarecta,entrex=2yx=10sumandolasáreasdelosrectángulosverticalesdebase
m10,yalturacorrespondiente,
comosemuestraenlafigura.
AActividad
Áreadelrectángulo:A=bh
Donde:b:baseh:altura
73INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
A1+A2+A3+...+A8=
d) Deigualmodohaganelcálculom20y
m40paratrazarlascuadrículas20×20y40×40.Estimen
eláreabajolarecta,sumandonuevamentelasáreasdelosrectángulosasíformados.
A1+A2+A3+...+A16= A1 + A2+A3+...+A32=2. Observenqueelárearequeridacoincideconuntrapecio.Calculensuáreapormediodelafórmula
conocidadegeometría:AhB b
=+( )
2
3. ComparenlosresultadosobtenidosdelaordenIconelvalordeláreatotaldeltrapecioobtenidaporfórmula,saquenconclusionesycoméntenlasenplenaria.
Enestaactividad,nuevamenteseobservaqueentremáspequeñaeslabasedelosrectángu-los,másseaproximaalvalordeláreabajolagráficadef(x).Efectivamente,eláreaesellími-tedelasumadeRiemann.Noobstante,siyaseteníaunafórmulaparahallareláreasolicitada,quizátepreguntas:¿Dequésirvetantodesarrollo?Emplearelmétodoenunafigurayacono-cidatepermitiócomprobarresultados,peroel límitedelasumadeRiemannfuepropuestoparacalcularáreasderegioneslimitadasporcurvasquenopuedensercalculadasporfórmu-lasgeométricas.
Observalasiguientefigura.
¿Conocesunafórmulageométricaparacalculareláreasombreada?
Comonoexistetalfórmula,recurrimosalcálculointegralyparalograrunvaloraproximadodelárea,seutilizacualquiernúmerodenrectángulos.Lasiguientefiguramuestralaaproximacióndeláreasombreadadelafiguraanteriorcon5,9y18rectángulossuperioresrespectivamente.
74 UNIDAD II
Seaf(x)≥0definidaen[a,b].Si
lim * * *n nf x x f x x f x x→∞
( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅+ + ⋅ ⋅ ⋅ +[ ]1 2∆ ∆ ∆
existeparatodoenx n*,conigualamplitud∆x
b a
n=
− ,entoncesestelímiteeslaintegral defini-
da de f dea ab ysedenotapor:
ab f x dx∫ ( )
Portanto:
ab f x dx
nf x x f x x f x
nx∫ =
→ ∞⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
=
( ) ( ) ( ) ( )
lim * * *
1 2∆ ∆ ∆
∆xxn
f x f x f xn
lim * * *
→ ∞+ + ⋅ ⋅ ⋅ +( ) ( ) ( )
1 2
Donde:
Losnúmerosa yb sellamanlímiteinferiorysuperiorrespectivamente;lafunción f recibeelnombredeintegrando.
Esimportanteseñalarquelaintegralindefinida∫f(x)dx representaunafamiliadefunciones(lasantiderivadasdef),mientrasquelaintegraldefinida a
b f x dx∫ ( ) esunnúmero.Éstasehadefinidoparaf(x)≥0,comoveremosmásadelante,seextiendeparaf(x)≤0dondeelsignodelaintegralseránegativo,puesencontramosfuncionesnonegativas,nopositivasyaquellasquetomanvalorestantopositivoscomonegativosycero.Lassiguientesfigurasmuestranestetipodefuncionesrespectivamente.
Lossiguientesejemplosmuestranelcálculodelvalordeláreabajolacurvaenunintervalo[a,b]medianteellímitedelasumadeRiemann.1. Obtenerunaaproximacióndeláreabajolacurvaf(x)=x2en[0,1]concuatrosubinterva-losdeigualamplitud,eligiendoelvalorrepresentativoxk
*comofronteraderechadecadasu-bintervalo.Elaboralagráfica.
SoluciónParan=4,a=0,b=1.
75INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Seobtiene∆x b an
= = =− − 1 04
14,
dedonde,x x x x1 2 3 414
12
34 1* * * *, , ,= = = = y,
f x f
f x f
1
2
2
2
14
14
116
12
12
*
*
( ) =
=
=
( ) =
=
=
,
114
34
34
916
1 1 1
3
2
42
,
,*
*
f x f
f x f
( ) =
=
=
( ) = ( ) = ( ) =
Luego,seobtiene:
A f x x f x x f x x
x f x f x f x
n≈ + + ⋅⋅⋅ +( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅
( ) ( )= + +⋅⋅⋅+
1 2
1 2
* * *
* *
∆ ∆ ∆
∆ nn*( )
=
== + + +14
14
15116
14
916
1 158 32
Porlotanto,unaaproximacióndeláreabajolacurvaf(x)=x2en[0,1],sumandolasáreasdecuatrorectángulosesde0.46875u 2.
2. Hacerloscálculosnecesariosencalculadoraocomputadoraparahallaraproximacionesaláreaconsideradaenelejemploanteriorconnsubintervalos,paran=8,16,32,64,100,200,500y1000,tomandonuevamenteelvalorrepresentativoxk
*comofronteraderechadecadasubintervalo.Estimarelnúmeroalquetiendentalesaproximacionesyexpresarlaintegraldefinidadef(x).Mostrarlasgráficaspara8y16subintervalos.
SoluciónElprocedimientoparalasaproximacionesseefectuódeformasimilar.Acontinuaciónsólosemuestraelprocedimientoparacalcularlaaproximacióndeláreaparan=1000,utilizandolacalculadora.
A x f x f x f xn≈ ( ) ( ) ( )
+ +⋅⋅⋅+
= + +
∆ 1 2
22
22
211000
1
1000
2
1000
3
* * *
11000
1000
1000
1 2 3 1000
1000222
2 2 2 22
11000+ + = + + +⋅⋅⋅+
...
+( ) ( )+( )
= =11000
11000 1000 1 2 1000 1
610002 11000
0 3338335
1000 1001 20016
10002
( )( )
= .
76 UNIDAD II
Losresultadosobtenidosenlacalculadorasepresentanenlatabla;lasfigurasmuestranlosrec-tángulosaconsiderarpara8y16subintervalosrespectivamente.Comopuedeobservarse,laaproximacióndeláreamejorasegúncreceelnúmeroderectángulos.
Númeroderectángulos
Aproximacióndelárea
8 0.398437516 0.36523432 0.34912164 0.341186100 0.33835200 0.3358375500 0.3343361000 0.3338335
Deestosresultadosseestimaquelasaproximacionestiendena13cuandontiendeainfinito,en-
tonceseláreabajolacurvaf(x)=x2en[0,1],medianteellímitedelasumadeRiemannesde13
2u .Porende,laintegraldefinidadef(x)=x2es:
01 2 1
3∫ = x dx
Resuelveloqueseteindican.
1. Paraeláreabajolagráficadef(x)=3xenelintervalo[0,2]realizalosiguiente: a) Muestralagráfica. b) Determinaeláreaexactaaplicandolatécnicadegeometríaplana. c) AplicaunasumadeRiemannconcuatrosubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresen-
tativoxk*comofronteraizquierdadecadasubintervalo.
d) AplicaunasumadeRiemannconochosubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresen-tativoxk
*comofronteraizquierdadecadasubintervalo. e) Comparalasaproximacionesobtenidasenlosincisoscydconeláreaexactadeterminadaenel
incisob.¿Quépasaconlasaproximacionescuandocreceelnúmerodesubintervalos?
2. Realizaelejercicionúmero2eligiendoelvalorrepresentativoxk*comofronteraderechadecadasu-
bintervalo.
3. Paraeláreabajolagráficadef(x)=4–2x enelintervalo[0,2]realizalosiguiente: a) Muestralagráfica. b) Determinaeláreaexactacongeometría. c) AplicaunasumadeRiemannconcincosubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresen-
tativoxk*comofronteraizquierdadecadasubintervalo.
d) AplicaunasumadeRiemanncondiezsubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresenta-tivoxk
*comofronteraizquierdadecadasubintervalo.
77INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
e) Comparalasaproximacionesobtenidasenlosincisoscydconeláreaexactadeterminadaenelincisob.¿Quépasaconlasaproximacionescuandocreceelnúmerodesubintervalos?
4. AplicaunasumadeRiemannyhallaunaaproximacióndeláreabajolacurvaf(x)=x2en[0,1],concuatrosubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresentativoxk
*comopuntomediodecadasubintervalo.Realizarlagráfica.
5. Hacerloscálculosnecesariosencalculadoraocomputadoraparahallaraproximacionesaláreacon-sideradaenelejercicioanteriorconnsubintervalos,paran=8,16,32,54,100,200,500y1,000,to-mandonuevamenteelvalorrepresentativoxk
*comopuntomediodecadasubintervalo.Estimarelnúmeroalquetiendentalesaproximacionesyexpresarlaintegraldefinidadef(x).Mostrarlasgráfi-caspara8y16subintervalos.
6. AplicaunasumadeRiemannyhallaunaaproximacióndeláreabajolacurvaf(x)=x2en[2,4],concincosubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresentativoxk
*comopuntomediodecadasubintervalo.Realizalagráfica.
7. Hacerloscálculosnecesariosencalculadoraocomputadoraparahallaraproximacionesaláreacon-sideradaenelejercicioanteriorconnsubintervalos,paran=2,6,10,20,100y200,tomandonueva-menteelvalorrepresentativoxk
*comopuntomediodecadasubintervalo.Estimarelnúmeroalquetiendentalesaproximacionesyexpresarlaintegraldefinidadef(x).Mostrarlasgráficaspara2y6su-bintervalos.
8. AplicaunasumadeRiemannyhallaunaaproximacióndeláreabajolacurvaf(x)=x3en[0,1],condossubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresentativoxk
*comopuntomediodecadasu-bintervalo.Realizalagráfica.
9. Hacerloscálculosnecesariosencalculadoraocomputadoraparahallaraproximacionesaláreacon-sideradaenelejercicioanteriorconnsubintervalos,paran=5,10,20y50,tomandonuevamenteelvalorrepresentativoxk
*comopuntomediodecadasubintervalo.Estimarelnúmeroalquetiendentalesaproximacionesyexpresarlaintegraldefinidadef(x).
10.Realizaelejercicio9eligiendoelvalorrepresentativoxk*comofronteraizquierdadecadasubintervalo.
11.Realizaelejercicio9eligiendoelvalorrepresentativoxk*comofronteraderechadecadasubintervalo.
12.AplicaunasumadeRiemannyhallaunaaproximacióndeláreabajolacurvadelafunciónf(x)enelintervalo[a,b],conn subintervalosyeligiendoxk
*segúnseindica.
a) f(x)=x2+1;[0,2];n =5;xk*:puntomedio.
b) f(x)=4–x2;[–1,2];n=6;xk*:fronteraizquierda.
c) f(x)=1x;12
3,
;n=5;xk
*:fronteraderecha.
d) f(x)=ex;[–1,2];n=4;xk*:puntomedio.
78 UNIDAD II
Laprácticadeestosejerciciostepermiteverclaramenteque,alsumarrectángulosdetermina-dosenunintervalo[a,b]debasecadavezmáspequeña,seobtienenaproximacionesdeláreabajolacurvadeunafunción,loqueayudaadeducirelvalorexactodedichasáreas,obien,de-terminarelvalordelaintegraldefinidadetalfunción.
Noobstante,elcálculodelaintegraldefinidadeunafunciónporelmétodoexpuestonoresul-tamuypráctico,yaquesudesarrollosehaceextensoporelnúmerodeoperacionesqueimpli-ca.Ahora,emplearemosunmétodoqueresuelveelmismoproblemareduciéndoloalcálculodeunaantiderivada,comoseenunciaacontinuación:
Laintegraldefinidadelafuncióncontinua f(x)enel intervalo[a,b]esigualalvalorquetomaunaantiderivadaF(x)enpuntob, menoselvalorquetomaenelpuntoa.Estadife-renciaF(b)–F(a)sedesignapor F x
a
b( ) .Así:
ab
abf x dx F x F b F a∫ = =( ) ( ) ( )( ) −
Nótesequelaconstantedeintegraciónseomite,estosesigueentodosloscálculosqueinclu-yanunaintegraldefinida,yaquesiF(x)+cdenotaunaantiderivadadef(x),alefectuarladi-ferencia F b c F a c( )
( ) + − + seobtieneF(b)–F(a).
Acontinuaciónseseñalanlasprincipalespropiedadesdelaintegraldefinida,mismasquesederivandesudefinición.
Propiedad Condición
1. ab
ac
cbf x dx f x dx f x dx∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) Sic esunpuntointeriorde[a,b].
2. aa∫ ( ) f x dx = 0 Sia = b.
3. ab
ba∫ ( ) −∫ ( ) f x dx = f x dx
Sisepermutanloslímitesdeintegración,laintegralcambiadesigno.
4. ab
ab
abg∫ ± ( ) ∫ ( ) ± ∫ ( )( ) f x dx = f x dx g x dx Sifygsondosfuncionesdefinidasen[a,b].
5. ab
ab∫ ( ) ∫ ( ) k f x dx = k f x dx Sifesunafuncióndefinidaen[a,b]yk ∈ℜ.
Conestaspropiedadesyelmétodoantesexpuestoseobtieneelvalordelasintegralesdefinidascomosemuestraenlossiguientesejemplos:
Calculalasintegralesdefinidas.
1. 01 2∫ x dx =
79INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
SoluciónIntegrando:f(x))x2
Unaantiderivadaes:F x x( ) =3
3
Comoa =0yb =1,tenemos:F F1 013
03
13
3 3( ) ( )− = − =( ) ( )
Porlotanto:
01 2 3
0
1
313∫
dx = =x x
2. 02 2
0
2 2 23 32
32 2 3
2 0 6∫ = = =
( )
− ( )
x dx x
3. 02 2
02 2 22 2 0 0∫ − − − −( )
( ) ( )
( ) ( )
− x dx = =4 2 4 4 4x x == 4
4. 02 2
3
0
2 3 31 3
23
032 0∫ + = + = + − +( )
( )
( )( ) x dx x x (( )
= 14
3
5.1 11 1 1 0 1e e
xdx x e∫ = = − = − = ln ln ln
6.0 0 0 1 1 2π π π∫ = − = − − − = + = sen x dx xcos cos cos
7. 11 3 0∫ = x dx
8. 12 2
12 2
3
1
23 1 1 3 3 33
2 3
32∫ − = ∫ − = − =( ) ( )
( ) −( ) x dx x dx x x
− ( ) −( )
− −
=
1 3
31
23
23
3
= =3 443
9.01
13
03
03 3
20
312 2
323∫ + ∫ = ∫ = ∫ = =
x dx x dx x dx x dx x xx30
3
3 323
23
3 0 23
27
= − =
10. 22 2
22 2 3
0
2 34 4 4 3 4 2 2−
−−∫ − = ∫ − = − = −( ) ( )
( ) ( ) x dx x dx x x33 4 2 2
3
163
163
323
3
( ) ( )
− − − −
= + =
Evalúalaintegraldefinida.
1. 12 6∫ = x dx 2.
02 43∫ =x dx
3.−−∫ + −( ) =21 23 2 1 x x dx 4.
12
510
∫ =x
dx
5.12
412
∫ =x
dx 6. 04 5 3∫ =x dx /
80 UNIDAD II
7. 13
6
5∫ =
x dx 8. 0
1 536 2
∫
+ −x x
dx
9.−∫ +( ) =21 22x dx 10.
45 53∫ −( ) =x dx
11. 02 2 4
1∫ −( ) =x dx 12.0
32π
∫ =sen x x dxcos
13. 03π∫ − =cos x sen x dx 14.
02 3
π∫ =sen x dx
15. 02
225 4∫
−=x
xdx 16. 0
1 2∫ =−
xe dxx
17.4
2 1
2
0
4 x
xdx
+∫
2.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Enlaunidadanterioraprendisteacalcularlaintegraldeunafunciónapartirdelasfórmulasinmediatasdeintegración.Deigualmanera,evaluastelasintegralesdefinidasusandosolamen-tedichasfórmulas.Noobstante,enlamayoríadeloscasos,determinarlaintegraldeunafun-cióndada,seaindefinidaodefinida,implicaefectuarunaseriedepasosyprocedimientoshastareducirlaintegralaunadelasformasyaconocidas.Paraesto,comoyasemencionó,espreci-soconocerlosmétodosparaintegrarfunciones,atendiendoasuclasificaciónsegúnsuforma.Entrelosmétodosmásgeneralessetienen:cambiodevariable,Integraciónporpartes,Integra-cióndepotenciasdefuncionestrigonométricasyfraccionesparciales.
Cambio de variable
Tambiénselellamamétododeintegraciónporsustitución.Existenvariostiposdesustitucio-nesquefacilitanelcálculoparaunaciertaintegral;laqueabordaremosacontinuacióneslaal-gebraica,lacualesunaconsecuenciadeladerivacióndefuncionescompuestas.
Dadasdosfuncionesfyg,ysucomposición:
f g x f g x( ) ( ) = ( )
SiF g x( ) esunaantiderivadade f g x( ) ,aplicandolaregladelacadenaparaderivarF,setiene:
ddx
g x g xF F g x( ) ( ) ( )= ' '
81INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Luego:
F g x g x dx g xF c' '( ) ( ) ( ) ∫ = +
Además,siF '=f,sellegaalaformaprecisadelaintegralquepuedeserdeterminadaporelmétododesustitución:
f g x g x dx g xF c( ) ( ) ( ) ∫ = +'
Apartirdeunaintegraldeestaforma,seaplicaelmétodoporsustituciónalgebraica,mediantealgunadelassiguientessustituciones:
a) Sustituirxport,talquex=g(t)
Obteniendolaintegral:
f g t g t dt f x dx( ) ( ) ( )∫ = ∫'
Quedeberáintegrarsedeformainmediata,transformandoelintegrandof(x)dx,desernecesa-rio,enotromássencillo.
Obien:
b) Sustituiru=g(x)
Dedonde,setieneunaintegralenfuncióndeu:
f g x g x dx f u du( ) ( ) ( )∫ = ∫'
Deberáelegirselasustituciónmásadecuadaparaf(u)demaneraquesuintegralserealicedeformainmediata.
Siresultafácilhallarlaintegraltransformada,elmétododecambiodevariable(porsustitución)funcionará,denoserasí,tendráqueresolverselaintegralporalgúnotrométodo.
Antesdeanalizarlosejemplos,vamosaconvenirintegrarmediantelasustituciónalgebraicadelincisob,conbaseenlossiguientespasos.
82 UNIDAD II
Método Procedimiento
Integracióndecambiodevariableointegraciónpor
sustitución
Paso1(P1) Elegiru=g(x),queporlogeneraleslafunción“in-terior de la función compuesta f [g (x)] (expresióndentrodeunparéntesis,enelexponente,etc.).
Paso2(P2) Hallardu=g‘(x)dx.Paso3(P3) Sustituiru=g(x)ydu=g‘(x)dxenlaintegralhasta
dejarlaindicadasóloentérminosdeu.Paso4(P4) Determinarlaintegralresultantedelpaso3.Paso5(P5) Deshacerelcambiodevariablereemplazandouporg
(x)paraobtenerelresultadoenfuncióndex.
Conestospasosesposibleencontrarlaintegralindefinidadelaforma f g x g x dx( ) ( )∫ ' ;sinem-bargo,debesrecordarqueparaevaluarunaintegraldefinidaenestaformamedianteestemé-todo,primerodebesencontrarlaintegralindefinidacorrespondiente,luegodeterminarelvalordelaintegraldefinidadedosformas:apartirdelaintegralindefinidaencontradaenfuncióndex,atendiendoaloslímitesdeintegraciónotorgados,obien,apartirdelaintegralindefinidaen-contradaenfuncióndeu,cambiandoloslímitesdeintegraciónconrespectoau.
I. Calcularlaintegralqueseindica.
1. 2 12 4x x dx+( )∫
SoluciónSiguiendolospasos:
(P1) Elegimosu=x2+1.
(P2) Entoncesdu=2x dx.
(P3) Así:
2 1 1 22 4 2 4 4x x dx x x dx u du+( ) = +( ) ( ) =∫ ∫ ∫(P4) u du u c4 51
5∫ = +
(P5) Reemplazandou porx2+1,setieneelresultadodelaintegral.
2 1 15
12 4 2 5x x dx x c+ = + +( ) ( )∫
2. 5 5 3 5 5 31
2x dx x dx− = −( )∫ ∫(P1) Elegimosu=5x–3
83INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Método Procedimiento
Integracióndecambiodevariableointegraciónpor
sustitución
Paso1(P1) Elegiru=g(x),queporlogeneraleslafunción“in-terior de la función compuesta f [g (x)] (expresióndentrodeunparéntesis,enelexponente,etc.).
Paso2(P2) Hallardu=g‘(x)dx.Paso3(P3) Sustituiru=g(x)ydu=g‘(x)dxenlaintegralhasta
dejarlaindicadasóloentérminosdeu.Paso4(P4) Determinarlaintegralresultantedelpaso3.Paso5(P5) Deshacerelcambiodevariablereemplazandouporg
(x)paraobtenerelresultadoenfuncióndex.
Conestospasosesposibleencontrarlaintegralindefinidadelaforma f g x g x dx( ) ( )∫ ' ;sinem-bargo,debesrecordarqueparaevaluarunaintegraldefinidaenestaformamedianteestemé-todo,primerodebesencontrarlaintegralindefinidacorrespondiente,luegodeterminarelvalordelaintegraldefinidadedosformas:apartirdelaintegralindefinidaencontradaenfuncióndex,atendiendoaloslímitesdeintegraciónotorgados,obien,apartirdelaintegralindefinidaen-contradaenfuncióndeu,cambiandoloslímitesdeintegraciónconrespectoau.
I. Calcularlaintegralqueseindica.
1. 2 12 4x x dx+( )∫
SoluciónSiguiendolospasos:
(P1) Elegimosu=x2+1.
(P2) Entoncesdu=2x dx.
(P3) Así:
2 1 1 22 4 2 4 4x x dx x x dx u du+( ) = +( ) ( ) =∫ ∫ ∫(P4) u du u c4 51
5∫ = +
(P5) Reemplazandou porx2+1,setieneelresultadodelaintegral.
2 1 15
12 4 2 5x x dx x c+ = + +( ) ( )∫
2. 5 5 3 5 5 31
2x dx x dx− = −( )∫ ∫(P1) Elegimosu=5x–3
(P2) Entonces,du=5dx.
(P3) Así:
5 5 3 5 3 51
21
21
2x dx x dx u du−( ) = −( ) =∫ ∫ ∫(P4) u du u c cu
12
322
323
3∫ = + = +
(P5) Reemplazandou por5x–3,setieneelresultadodelaintegral.
5 5 3 23
5 3 3x xdx c− −∫ = ( ) +
3. 11
11
2
xdx dxx
+∫ ∫= +( )−
(P1) Elegimosu=x+1.
(P2) Entonces,du=dx.
(P3) Así:
x dx u du+( ) =− −∫ ∫11
21
2
(P4) u du u c cu−∫ = + = +1
21
22 2
(P5) Reemplazandou porx+1,setieneelresultadodelaintegral.
11
2 1x
x cdx+
+ +∫ =
4. x x dx2 33
21−( )∫(P1) Elegimosu=x3–1.
(P2) Entonces,du=3x2dx,o132du x dx= ,
(P3) Así:
x x dx x x dx u du u du2 3 3 21 13
23
2 32
321
313
− −( ) = ( ) = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫(P4)
13
13
25
215
32
52 5u du u c cu∫ = + = +⋅
(P5) Reemplazandou porx3–1,setieneelresultadodelaintegral.
x dxx cx2 3 3 51 215
32
1− +( ) =∫ −( )
84 UNIDAD II
Enlossiguientesejemplossesigueelmismoprocedimiento,peroseomitenlospasos.
5. e dxx− =∫ 2
Seau=–2x
Entonces,du=–2dx,o− =12 du dx .
Luego:
e dx e du e du e cx u u u− = − = − = − +∫ ∫ ∫
2 12
12
12
Porlotanto:
e dx e cx x− −= − +∫ 2 212
6. ln xx
dx( )∫ =
2
2Seau=lnx
Entonces,du x dx= 1 .
Luego:
lnln
xx
dx xx
dx u du u c u c( ) ( ) ⋅ ⋅∫ ∫ ∫= = = =+ +2
2 2 3 32
12
1 12
1213
16
Porlotanto:
lnln
xx
x cdx( ) ( )∫ = +2
3
216
7. x
x xdx+
+ +=∫
46 182
Paracalcularintegralesquecontienenunaexpresióncuadrática,completaralcuadradopuedeconduciraunaintegralquedespuésdeaplicarlasustitucióntengaunasolucióninmediata.
Completandoalcuadradoestaintegral,tenemos:
x
x
x
x
x
x x
x
xx xdx dx dx+
+ +
+
+ + +
+
+ +( ) +
+
+( )∫ ∫ ∫= = =4
6 18
4
6 9 9
42 6 9 9
4
32 2 2 ++∫ 9dx
Integramosporsustitución
(P1) Elegimosu=x+3
(P2) Entoncesdu=dx
Unpicantematemático:Estaban las derivadas encierta fiesta que organiza-ron. Como la exponencialestaba solita, dijo una deri-vada:―exponencial,intégra-te―.Aloqueellarespondió:―paraqué,dalomismo.
85INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
(P3) Así,
x
x
x
x
u
u
u
u udx dx du du+
+( ) +
+( ) +
+( ) +
+
+ + +∫ ∫ ∫ ∫= = = +4
3 9
3 1
3 9
1
9 9
12 2 2 2 2 99∫ du
(P4) u
u udu du u u c2 29
1
9
1
2
12 9 13 3+ +
−∫ ∫+ = ( ) + ++ln tan
Evaluandoporseparadocadaintegral,setiene:u
u v v
u o
du dv dv v
v dv
u
u du
2
2
9
1 1
2
1
2
1 1
2
1
2
9
2 9
2+
+
∫ ∫ ∫= ⋅ = = = ( )= =
+ln ln
, , 12 dv udu=
1
9
12
13 3u
du u+
−∫ ={ tan
(P5) Reemplazandou porx+3,setieneelresultadodelaintegral.
1x
x xc
x x
dx xx+
+ ++
+ +
∫ = +( )
+
+( ) +
=
−46 18
9 13 3
6
22
2
1
2
1
1
2
33
ln
ln
tan
118 13 3
1 3( ) ++( ) +−tan x c
II.Evaluarlaintegralqueseindica.
1. x dxx4 20
4+∫ =
Primeroprocedemosaencontrarlaintegralindefinidacorrespondiente:
x dx x dxx x4 42 21
2+ +( )∫ ∫=Seau=4+x2
Entonces,du=2x dx,o 12 du x dx=
Luego:
x dx x dx u du u du
u c
x x4 421
2 21
2 12 12
32
12
12
12
23
1
+( ) +( ) ⋅ ⋅
⋅
∫ ∫ ∫ ∫= = =
= + = 3313
13
32 3 2 3
4u c c cu x+ = + = ++( )Ahora,podemosevaluarlaintegraldefinidaapartirdelresultadoqueencontramosenfuncióndex:
Portanto:
Fórmulas que conducen auna función trigonométri-cainversa:
du
u a a
u
a
du
a usen
u
a
2 2
1
2 2
1
1
+=
−=
∫
∫
−
−
tan
86 UNIDAD II
x dxx x4 13
4 2 3
13
4 4 2 3 13
4 0
2
0
4
0
4+ +( )
+( )( )
+( )
∫ =
= − 22 3
13
20 3 13
4 3 40 53
83
( )
( )
( )
= − = −
( )= −83
15 5
Obien,puedeevaluarselaintegraldefinidaapartirdelresultadoqueencontramosenfuncióndeu:
Paraesto,alcambiarloslímitesdeintegraciónenfuncióndeu,siendou=4+x2,setiene:
Cuando x=0, u=4+(0)2=4(límiteinferiordeintegración).
Cuando x=4, u=4+(4)2=20(límitesuperiordeintegración).
Porlotanto:
x dxx u4 13
34
20 13
3 13
4 3 40 53
20
420+
( )
( )
∫ = = − =
( )− = −83
5 583
1
I. Calculalaintegralqueseindica.
1. 4 4 5 3x dx+( )∫ 2. 4 3 2 4x dx+( )∫
3. 6 4 10 52 3 2 4
x x x x x dx+ ++( ) +( )∫ 4.x
xdx
4
51−∫ 5.
x
xdx
32 1+∫ 6. 2 5x dx+∫
7. 2 1 2x x dx+( )∫ 8.x
x
dx2
3 32 1+( )
∫
9. e dxx−∫ 2 10. xe dxx 2
∫ 11. xe dxx2 12 −∫ 12. x e dxx2 3 5+∫ 13. e e dxx x− −∫ 14. e
x
xedx
1−∫ 15.
ex
xdx∫ 16.
ln 5xx
dx∫ 17.
1x x
dxln∫ 18. cos5xdx∫
87INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
19.cos x
xdx∫ 20. x x dxsec2 23 4−( )∫
21.sen x
xdx
cos2∫ 22.sec
secx tg x
xdx
9 4 2+∫
23.2 7
2 52x
x xdx+
+ +∫ 24.6 1
4 4 102x
x xdx−
+ +∫ 25.
2 516 6 2
x dxx x
+− −
∫ 26.4 311 10 2
x dxx x
−+ −
∫
II. Evalúalaintegralqueseindica.
1. x x dx2
0
2 3 1+( )∫ 2. x x dx2 31
0
2−( )∫
3. 5 41
9x dx+∫ 4. x x dx5 42
0
1+∫
5.12 10
1
xdx
+∫ 6. xe dxx2
0
2 2
∫ 7.
142
3
xdx
xln( )∫ 8.dx
x xe
e
ln
4
∫ 9. sen
xdx
20
2π∫ 10. sen2
0
4 2 2x x dxcosπ
∫ 11.
senθθ
θπ
cos
/
20
3d∫ 12. cosx e dxxsen
0
π∫
Hastaahoratransformamosintegralesutilizandoelmétododesustituciónmediantesustitucióntrigonométricadeexpresionesquecontienen a u2 2− ; u a2 2± ysustituciónalgebraicadelaforma f g x g x dx f u du( ) ( ) ( )∫ = ∫' .Acontinuaciónestudiaremosotrotipodesustituciónparare-solverintegralesdeexpresionesracionalesdefuncionestrigonométricas.
Observa.Unadiferencialquecontieneracionalesdefuncionestrigonométricaspuedetransfor-marseenotraexpresióndiferencialracionalenfuncióndet,mediantelasustitución:
tg x t2
=
Obien,porlassustituciones:
sen x tt
=+2
1 2 , cosx tt
= −+11
2
2 , dxt
dt=+2
1 2
Unajustificacióndeestasrelacioneseslasiguiente:
Asaber,lafórmulaparadeterminarlatangentedelángulomitades:
tg x xx2
11
= ± −+coscos
88 UNIDAD II
Elevandoalcuadradosetiene:
tg x xx
22
11
= −+coscos
Sustituyendotg x t2
= ,sehallalasustitucióndecosx:
t t xx
t x x
x t t
x t
2
2
2 2
2
111 1
1 1
11
= −+
+( ) = −
+( ) = −
= −+
coscoscos cos
cos
costt 2
Fijandoestarelacióneneltriángulorectángulodelafigura,seencuentratambiénlasustituciónde senx,siendo:
senx tt
=+2
1 2
Ycomo tg x t2
= ,entoncesx=2tg–1t.
Dedonde,dxt
dt=+2
1 2 .
Realicenlasiguienteactividadaplicandoestassustituciones.
¿Cómooperaelmétododecambiodevariabletgx
t2
= ?
Enequiposdetrabajodecuatroalumnosresuelvanlasintegralesqueseindican.
1.dx
senx x5 4 3− +∫ cos 2.
dxsenx x1+ +∫ cos
3.dx
senx tg x+∫ 4.dx
senx x2 3− +∫ cos
Analicenlaimportanciadelmétodoyquecadaequipoexpongaunejercicio.
Enseguidaseresuelveunaintegralaplicandolasustitucióntg x t2
= .
Hallardxsen x5 4 2+∫ =
Primerohagamoslasustituciónu=2x,dedonde,12 u x= y12
du dx= .
AActividad
89INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Entonces:
dxx
duu5 4 2
12 5 4+ +∫ ∫=
sen sen
Ahoraapliquemoslassustituciones:
sen u tt
=+2
1 2 ydut
dt=+2
1 2
Así:
12 5 4
12
21
5 4
12
215 8
1
2 2
22
1 2
dusen u
tdt
tdt
tt
t
t
++
+++
+∫ ∫= =
+
∫∫ ∫
∫
=
= =
++
+
++ +
+
+( )
+
12
21
5 81
12
21
5 8 51
12
2
2
2
2
2
1 2
1 2
2
tdt
tt
tdt
tt
t
t
t(( )
+ +( ) +( )∫ ∫=+ +5 8 5 2 1 2 5 8 52t t t
dt dtt t
Resolvemoscompletandoalcuadrado:dt
t t
dt
t t
dt
t t
dt
t5 2 8 5
15 2 8
51
15 2 8
51625
925
15+ +
∫ =+ +
∫ =+ +
+∫ =
++
+∫
= ⋅ −+
= ⋅ −
+
=
45
2 925
15135
145
35
15
53
15 4
535
1tgt
tg
t
331 5 4
3tg t c− + +
Porlotanto:
dxx
tg t c5 4 2
13
5 43
1+
+ +∫ = −sen
Paraevaluarunaintegraldefinidaporésteuotrométodo,primeroseencontrarálaintegralin-definidacorrespondiente,luegopodrádeterminarseelvalordelaintegraldefinidaatendiendoaloslímitesdeintegración.
Calculalassiguientesintegrales.
1.dx
senx x1+ −∫ cos 2.
dxx13 5−∫ cos
3.dx
x2 1cos +∫ 4.dxsenx2 +∫
5.dθ
θπ
4 30 −∫ cos 6. 1
dθθ
π
2 30
2
+∫ sen
90 UNIDAD II
7.dθ
θ
π
12 130
2
+∫ cos 8.dx
x3 50
2
+∫ sen
π
Integración por partes
Laintegraciónporpartesesotrométodo,aligualqueelmétododecambiodevariable,sebasaenunaregladederivación.Enestecasoeslaregladelproducto,lacualafirmaquesifygsonfuncionesdiferenciales,entonces:
ddx
f x g x f x g x g x f x( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )' '
Apartirdeésta,seobtienelafórmuladeintegraciónporpartes:
f x g x dx f x g x g x f x dx( ) ( )∫ = ( ) ( ) − ( ) ( )∫' '
lacualpuedesimplificarse,siu=f(x),du=f‘(x)du,dv=g‘(x)dxyv=g(x),quedandoexpre-sadacomo:
u dv uv v du∫ ∫= −
Lafórmuladeintegraciónporpartesnospermiteexpresarunaintegralindefinidaentérminosdeotraquepuedasermásfácildeevaluar.
¿Cómodeducirlafórmuladeintegraciónporpartes?
Investigasobrelafórmuladeintegraciónporpartes.Enequiposdenomásdecuatroalumnos,monito-readosporsuprofesor,realicenlosiguiente:
1. Deduzcanlafórmuladeintegraciónporpartesmediantelaregladederivacióndelproductoencual-quieradelasformas:
ddx
f x g x f x g x g x f x( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )' '
Obien,d(uv)=u dv+v du
2. Despuésdeobtenerlafórmula u dv uv v du∫ ∫= − ,comentenyenlistenloscriteriosparalaeleccióndelosfactoresuydv.
a)
b)
AActividad
91INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
c)
3. Elijanunequipoqueexpongafrentealgrupolosresultadosobtenidos.
Lossiguientesejemplosmuestrancómoseaplicalafórmuladeintegraciónporpartes:
u dv uv v du∫ ∫= −
Calculalaintegralqueseindica.
1. xe dxx∫SoluciónObservacómosevandescartandolosprocedimientosdeintegraciónhastaelegirelmáscon-veniente.Porejemplo,paraestaintegraldebemospreguntarnos:¿tieneelintegrandolaformaparausarlastablasinmediatasdeintegración?No,¿podemosaplicaralgunasustituciónalge-braica?No,¿algunasustitucióntrigonométrica?Tampoco;entoncesintentemoslaintegraciónporpartes:
Hagamosu=xydv=exdx
Dedonde,du=dx(diferenciandoambosmiembrosdeu=x).
y,v e dx ex x= =∫ (integrandoambosmiembrosdedv=ex dx).
Aplicandolafórmula u dv uv v du∫ ∫= − ,tenemos:
xe dx xe e dx
xe e c
x x x
x x
∫ ∫= −
= − +
Porlotanto:
xe dx e cx x x∫ = ( ) +−1
Elintentodeintegrarporpartesfueexitoso.Estelogrodependeevidentementedelaelec-ciónadecuadadeuydv.Paraunaelecciónadecuadadeuydv,debesconsiderarqueduseamássencillaqueu,dvseafácildeintegrar,ylaintegral v du∫ delafórmulapuedaevaluarsefácilmenteyseamenoscomplicadaquelaoriginal.
92 UNIDAD II
2. x x dxcos∫SoluciónHagamosu=xydv=cosx dx
Dedonde,du=dxyv x dx x= ∫ =cos sen
Sustituyendoenlafórmula u dv uv v du∫ ∫= − ,tenemos:
x x dx x x x dxcos∫ ∫= −sen sen
Porlotanto:
x x dx x x x ccos cos∫ = + +sen
3. x x dxln∫Hagamosu=lnxydv=x dx
Dedonde,dux
dx= 1yv x= 12
2
Porlotanto:
1 x x dx x dx
x dx
x x x
x x
x x
ln ln
ln
ln
∫ ∫
∫
=
=
=
⋅ −
−
−
⋅
12
12
1
12
12
12
1
2 2
2
244
12 2 1
2
2
x c
x x c
+
− += ( )ln
3. x e dxx2∫Hagamosu=x2ydv=ex dx
Dedonde,du=2xyv=ex
Sustituyendoenlafórmula u dv uv v du∫ ∫= − ,tenemos:
x e dx x e e x dx
x e xe dx
x x x
x x
2 2
2
2
2∫ ∫
∫= ( )=
−
−Laintegralobtenidadelafórmulanoseresuelveinmediatamente;suformanosllevadenuevoaaplicarlaintegraciónporpartes,cuyoresultadoseobtuvoenelejemplo1.
93INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Aplicarelmétododeintegraciónporpartesnosconducealgunasvecesausaralgúnotromé-todoorepetirelmismoquealhallarlaintegralsurgidadelafórmula.
Así:
x e dx x e xe e c x e xe e c e cx x x x xx x x x x2 2 2 22 2 2 22∫ = −( ) + = + + = +− − − +( )
I. Anexaatuformulariodeintegraciónlafórmuladeintegraciónporpartesycalculalaintegralqueseindica.
1. x x dx+( )−∫ 13
2 2. x x dx+( )−∫ 4 2
3. x x dx−∫ 5 4.xx
dx2 3+∫
5. x e dxx2∫ 6. xe dxx
4∫7. 6 3x e dxx∫ 8. e x dxx −( )∫
2
9. x e dxx+( )∫ 1 10. x x dx+( )−∫ 4 2
11. x dxxln 2∫ 12. x dxx2 2ln∫13. x dxx3 ln∫ 14. x dxxln∫15. x x dxln∫ 16.
lnx dxx
∫17.
lnx dxx
2∫ 18. ln x dx∫19. sec3 x dx∫ 20. e dθ θ θ∫ cos
21. arcsen x dx∫ 22. arc tg x dx∫II. Evalúalaintegralqueseindica.
1. x e dxx0
2ln
∫2. x e dxx-
0
2
∫3. x e dxx2
0
1 -∫4. ln x dx
1
4
∫5. x x dxln
1
2
∫
94 UNIDAD II
Integración de potencias de funciones trigonométricas
Ahoravamosaintegrardiferencialestrigonométricasdelaforma:
senm nx x dxcos∫ y tg x x dxm nsec∫Emplearemoselmétododereducciónsucesivaqueconsisteenhacerdependerlaintegraldadadeotraintegraldelamismaforma.
Paraefectuarestaintegraciónsedistinguiránlossiguientescasos:
Caso Formadelaintegral Condiciones Transformacióneidentidadutilizada
Isenm nx x dxcos∫ monesunentero
positivoimparmesunenteropositivoimpar
sen sen senm mx x x= ⋅−1
sen 2 21x x= − cos
nesunenteropositivoimpar
cos cos cosn nx x x= ⋅−1
cos 2 21x x= − sen
IIsenm nx x dxcos∫ mynsonenterosparesnonegativos
sen senx x xcos =12
2
sen 2 12
2x
x=
− cos
coscos2 12
2x
x=
+
IIItg x x dxm nsec∫ nesunenteropositivopar sec sec secn nx x x= ⋅−2 2
1 2 2+ =tg x xsec
IVtg x x dxm nsec∫ mesunenteropositivoimpar tg x x
tg x x x tgx
m n
m n
sec
sec sec
=
⋅ ⋅ ⋅− −1 1
tg x x2 2 1= −sec
Vtg x x dxm nsec∫ mesunenteropositivopary
nesunenteropositivoimpar tg x x2 2 1= −sec
Los siguientesejemplosmuestran la integracióndepotenciasde funciones trigonométricas,atendiendoaloscasosespecíficosdeestatabla.
95INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Calcularlassiguientesintegralesidentificandoelcasoalquepertenecen.
1. sen3 2x x dxcos∫SoluciónComom =3esunenteropositivoimpar,laformadelaintegralcorrespondealcasoI,enton-cessiusamoslatransformaciónylaidentidadtrigonométricaindicada,tenemos:
sen sen sen
sen
3 2 2 2
2 2
2
1
x x dx x x x dx
x x x dx
cos cos
cos cos
cos
∫ ∫∫
=
= −( )= xx x x dx
x x dx x x dx
−( )= −
∫∫ ∫
cos
cos cos
4
2 4
sen
sen sen
Porsustitución:
Siu=cosx,entoncesdu=senxo–du=senx
Portanto:
sen sen sen3 2 2 4
2 4
x x dx x x dx x x dx
u du u du
cos cos cos∫ ∫ ∫∫ ∫
= −
= −( ) − −( )= −− + = −
= − +
= − +
∫ ∫ ∫ ∫u du u du u du u du
u u c
x x c
2 4 4 2
5 3
5 3
15
13
15
13
cos cos
2. sen4 3x x dxcos∫SoluciónComon =3esunenteropositivoimpar,laformadelaintegralcorrespondealcasoI;entoncesutilizamoslatransformaciónylaidentidadtrigonométricaindicada,ytenemos:
sen sen
sen sen
sen
4 3 4 2
4 2
4
1
x x dx x x x dx
x x x dx
cos cos cos
cos
∫ ∫∫
=
= −( )= xx x x dx
x x dx x x dx
−( )= −
∫∫ ∫
sen
sen sen
6
4 6
cos
cos cos
96 UNIDAD II
Porsustitución:
Siu=senx,entoncesdu=cosx
Porlotanto:
sen sen sen4 3 4 6
4 6
515
1
x x dx x x dx x x dx
u du u du
u
cos cos cos∫ ∫ ∫∫ ∫
= −
= −
= −77
15
17
7
5 7
u c
x x c
+
= − +sen sen
3. sen x x dx2 2cos∫SoluciónComom=2yn=2sonenterosparesnonegativos,laformadelaintegralcorrespondealcasoII;entoncessiusamoslatransformaciónylasidentidadestrigonométricasindicada,tenemos:
sen2 2
2
12
12
1
1 1
2 2
14
2
14
x x dx x x dx
x dx
cos cos cos
cos
c
∫ ∫
∫
= ⋅
= ( )=
− +
−
− + oos
cos
cos
4
14
1 12
4
14
12
4
2
2
2
x dx
x dx
x dx
= −
= −
∫
∫ −
∫∫
∫∫ ∫= − = −14
12
14
4 18
18
42
dx x dx x x dxcos cos
Porsustitución:
Siu=4x,entoncesdu=4dxo14 du dx= .
Porlotanto:
sen
sen
2 2 18
18
4
18
132
4
x x dx x x dx
x x c
cos cos∫ ∫= −
= − +
97INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
4. tg x x dxsec4∫SoluciónComon =4esunenteropositivopar,laformadelaintegralcorrespondealcasoIII;entoncessiseemplealatransformaciónylaidentidadtrigonométricaindicada,tenemos:
tg x tg x
tg x tg
t
x dx x x dx
x x dx
sec sec sec
sec
4 2 2
2 2
12
12 1
∫ ∫∫
= ( )= ( ) ( )=
+
gg x tgx dx x x dx( ) + ( )∫∫1
25
22 2sec sec
Porsustitución:
Siu=tg x,entoncesdu=sec2x dx.
Porlotanto:
tg x tg x tgx dx x dx x x dx
u du u du
sec sec sec4 2 212
52
12
52
∫ ∫∫∫∫
= ( ) + ( )= +
= 223
27
23
27
32
72
32
72
u u c
tg x tg x c
+ +
= ( ) + ( ) +
5. tg x x dx3 7sec∫SoluciónComomesunenteropositivoimpar,laformadelaintegralcorrespondealcasoIV;entoncessiutilizamoslatransformaciónylaidentidadtrigonométricaindicada,tenemos:
tg x x dx tg x x x tg x dx
x x x tg x dx
3 7 2 6
2 61
sec sec sec
sec sec sec
∫ ∫∫
=
= −( )= ssec sec sec sec8 6x x tg x dx x x tg x dx⋅ − ⋅∫ ∫
Porsustitución:
Siu=secx,entoncesdu=secx tg x dx.
98 UNIDAD II
Porlotanto:
tg x x dx x x tg x dx x x tg x dx
u du u du
3 7 8 6
8 6
sec sec sec sec sec∫ ∫ ∫∫ ∫
= ⋅ − ⋅
= −
== − +
= − +
19
17
19
17
9 7
9 7
u u c
x x csec sec
6. tg x x dx2 sec∫SoluciónComomesunenteropositivoparynesunenteropositivoimpar,laformadelaintegralcorres-pondealcasoV;entonces,usandolaidentidadtrigonométricaindicada,tenemos:
tg x x dx x x dx
x dx x dx
2 2
3
1sec sec sec
sec sec
∫ ∫∫ ∫
= −( )= −
Aplicandointegraciónporpartes:
1 sec sec ln sec3 12
12
x dx x tg x x tg x∫ = + +
y1 sec ln secx dx x tg x∫ = +
Porlotanto:
tg x x dx x dx x dx
x tg x x tg x x
2 3
12
12
sec sec sec
sec ln sec ln sec
∫ ∫ ∫= −
= − + + ++ +
= − + +
tg x c
x tg x x tg x c12
12
sec ln sec
Elaboratuformulariodeintegracióndepotenciasdefuncionestrigonométricasapartirdelatablaex-puestaenestetema,ycalculalaintegralqueseindica.
1. sen x dx3∫ 2. sen x dx5∫3. cos3 x dx∫ 4. sen5 2x x dxcos∫5. sen4 7x x dxcos∫ 6. sen3 3x x dxcos∫
99INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
7. sen4 2x x dxcos∫ 8. sen4 2x x dxcos−∫ π
π
9. sen5 50
2 x x dxcosπ
∫ 10. sen3 20
x dxπ
∫11. tg x x dx2 4sec∫ 12. tg x x dx3 sec∫13. tg x x dx3 42 2sec∫ 14. tg x x dx4 4sec∫15. tg x x dx33 3sec∫ 16. tgx x dxsec∫17. tg x x dx
32 4sec∫ 18. tg x x dx+( )∫ cot 2
19. tgx x
dx2 2
3
sec
∫ 20. tg x x dxsec4
4
4
−∫ π
π
Fracciones parciales
Lastécnicasdeintegraciónabordadashastaelmomentonoshanayudadoacalcularintegralesdedistintasformasquenoesposibleevaluarinmediatamente;sinembargo,aúnnosepuedeevaluarciertasintegralesdelaforma:
PQ
dxx
x
( )( )∫
Portalmotivo,vamosaestudiarlatécnicadeintegraciónporfraccionesparciales,lacualdarásoluciónaestasintegrales.
UnaexpresióndelaformaPQ
x
x
( )( ) dondeelnumeradorydenominadorsonfuncionesenteras,
esdecir,funcionescuyavariablenotieneexponentesnegativosofraccionariossellamafunciónracional.Sielgradodelnumeradoresigualomayoralgradodeldenominador,alefectuarladi-visión,lafunciónpuedereducirseaunaexpresiónmixta.Porejemplo,alefectuarladivisióndex xx x
42
4 54 8
− +− + obtenemoscomocociente:
x x
x x x x x x
2
2 4 3 2
4 8
4 8 0 0 4 5
+ +
− + + + − +
− + −
−
x x x
x x
4 3 2
3
4 8
4 8 22
3 2
4
4 16 32
−
− + −
x
x x x
8 36 52x x− +
− + −8 32 642x x − −4 59x
x2+4x+8conresiduo–4x–59.Porlotanto:
100 UNIDAD II
x xx x
x x xx x
42
22
4 54 8
4 8 4 594 8
− +− +
= + + − +− +
Dondelafunciónracionalresultantequedareducidaasumássimpleexpresión,congradodelnumeradormenoralgradodeldenominador(funciónracionalpropia).
Laintegraldeestafunciónseindicacomo:
∫− +
− += ∫ + + − +
− +
x x
x xdx x x x
x xdx
4 4 52 4 8
2 4 8 4 592 4 8
Comoseobservaenlaexpresióndelladoderecho,losprimerostérminospuedenintegrar-seinmediatamente,asíqueatenderemoslafunciónracionalreducidayelmétodoquepermi-taevaluarla.
ParaintegrarciertasfuncionesracionalesPQ
x
x
( )( ) endondeelgradodeP(x)esmenorqueel
gradodeQ(x),seaplicaráelmétododefraccionesparciales,queconsisteprimeroendes-componerQ(x)enunproductodefactoreslinealesocuadráticosirreduciblesquepermi-tancompletarlaintegración.
ElmétododefraccionesparcialesdependerádelafactorizacióndeQ(x),segúndeterminenloscasosdescritosacontinuación.
2.2.1 Denominadores con factores lineales
ParacalcularlaintegraldeunafunciónracionalpropiaPQ
dxx
x
( )( )∫
,conQ(x)representado
comounproductodefactoreslineales,todosdistintosoalgunosrepetidos,setieneunare-glaaseguirsegúnelcaso.Acontinuaciónseenumeranestoscasosysuregladesoluciónco-rrespondiente.
CasoI:LosfactoresdeldenominadorQ(x)sontodoslinealesdistintos.
Regla:RepresentarelintegrandocomounasumadetérminosdelaformaC
ax b+paracadafac-
torlinealax+bdeldenominador,dondeCesunaconstantedesconocida.
Así:
P xQ x
Aa x b
Ba x b
Ca x b
( )( )
=+
++
++
+1 1 2 2 3 3
...(tantoscomofactoreslinealessean).
Resolveralgebraicamentehastaencontrarlosvaloresdelasconstantes.
101INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Integrarapartirdeestarepresentacióndelintegrando,obteniéndoseunasumadetérminosdelaformaC ax bln + .
CasoII:LosfactoresdeldenominadorQ(x)sontodoslinealesyalgunosserepiten.
Regla: Para cada factor lineal repetido donde del denominador, representar el integrandocomo:
P xQ x
Aax b
Bax b
Cax b
( )( ) ( ) ( ) ( )
=+
++
++
+2 3 ...(lasvecesqueserepiteelfactorlineal).
Resolveralgebraicamentehastaencontrarlosvaloresdelasconstantes.Integrarapartirdeestarepresentacióndelintegrando.
CuandoeldenominadorQ(x)contienetantofactoreslinealesdistintoscomorepetidos,sein-tegracombinandoamboscasos.
Lossiguientesejemplosmuestrancómorealizaresteprocedimiento.
Calcularlaintegralqueseindica.
1. x xx x
dx3
22
3 2−
+ +=∫
SoluciónObservemosqueelgradodelnumeradoresmayorqueelgradodeldenominador,asíquepri-
meroefectuandoladivisión x xx x
3
22
3 2−
+ +,seobtiene:
x
x x x x x
x x
−
+ + + −
− −
3
3 2 0 2
3
2 3 2
3 22
2
2
3 4
3
−
− −
x
x x
xx xx
2 9 65 6
+ ++
x xx x
dx x xx x
dx3
2 22
3 23 5 6
3 2−
+ += − + +
+ +∫ ∫
Prestemosahoraatenciónalafunciónracionalpropia 5 63 22
xx x
++ + .
Factorizamoseldenominadorx2+3x+2=(x+1)(x+2),obteniendofactoreslinealesdis-tintos;entoncessegúnlaregla:
5 63 2 1 22
xx x
Ax
Bx
++ +
= + + +
102 UNIDAD II
ResolviendoparaAyB:
5 63 2
2 11 2
5 63 2
2
2
2
xx x
A x B xx x
xx x
Ax A Bx Bx
++ +
=+ + ++ +
++ +
= + + +
( ) ( )( )( )
++ +
++ +
=+ + +
+ +
( )( )( ) ( )
( )( )
1 2
5 63 2
21 22
x
xx x
A B x A Bx x
Dedonde:5x+6=(A+B)x+(2A+B)5x=(A+B)xy6=2A+B5=A+B6=2(5–B)+BA=5–B6=10–2B+BA=5–4B=4A=1
Asíque:
x xx x
dx x x x dx
x x x x
3
2
2
23 2
3 11
42
2 3 1 2
−+ +
= − + + + +
= − + + + + +
∫ ∫
ln ln cc
2.x x
xdx
2
32 41
+ ++
=( )∫
SoluciónComoelintegrandoesunafunciónracionalpropia,cuyodenominadorcontieneunfactorli-nealrepetido(potencia3),entoncessegúnlaregla:
x xx x x x
A B C2
3 2 32 41 1 1 1
+ ++
=+
++
++( ) ( ) ( ) ( )
ResolviendoparaA,ByC:
x xx
A x B x Cx
2
3
2
32 41
1 11
+ ++
= + + + ++( )
( ) ( )( )
Dedonde:
x x Ax A B A B CA A B A B C
A B
x2 22 4 21 2 2 4
1 2 2 41
+ + = + + + + += = + = + +
= = +
( ) ( )
( ),,
y== + +
= =1 0
0 3C
B C
103INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Asíque:
x xx
dx x x xdx
x
2
3 2 32 41
11
01
31
11
+ ++
= + ++
++
+
( ) ( ) ( ) ( )
(
∫ ∫
= )) ( )
( )
+ +
= + −+
+
−∫ 3 1
1 31
3
22
x dx
xx
cln
2.2.2 Denominadores con factores cuadráticos
Análogamente,paracalcularlaintegraldeunafunciónracionalpropia1PQ
dxx
x
( )( )∫
,ahora
conunoomásfactorescuadráticosirreduciblesdistintosoalgunosrepetidoseneldenomina-dorQ(x),seatiendenlasreglassiguientes.
CasoIII:EldenominadorQ(x)contienefactorescuadráticosirreduciblesdistintos.
Regla:RepresentarelintegrandocomounasumadetérminosdelaformaMx N
ax bx c+
+ +2 para
cadafactorcuadráticoirreducibleax2+bx+cdeldenominador,dondeMyNsonconstan-
tesdesconocidas.
Así:
P xQ x
Ax Ba x b x c
Cx Da x b x c
( )( )
= ++ +
+ ++ +
+1
21 2
22
...(tantoscomofactorescuadráticossean).
Resolveralgebraicamentehastaencontrarlosvaloresdelasconstantes.Integrarapartirdeestarepresentacióndelintegrando.
CasoIV:EldenominadorQ(x)contienefactorescuadráticosirreduciblesdistintos.
Regla:Paracadafactorcuadráticoirreduciblerepetido ax bx cn2 + +( ) donden>1deldenomi-
nador,representarelintegrandocomo:P xQ x
Ax B Cx D Ex Fax bx c ax bx c ax bx c
( )( ) + +( ) + +( ) + +( )
= + + + + + +2 2 2 2 3 ....(lasvecesqueserepiteelfactorcuadráti-coirreducible).
Resolveralgebraicamentehastaencontrarlosvaloresdelasconstantes.Integrarapartirdeestarepresentacióndelintegrando.
104 UNIDAD II
CuandoeldenominadorQ(x)contienetantofactoreslinealesdistintoscomorepetidosyfacto-rescuadráticosdistintoscomorepetidos,seintegracombinandoloscasossegúncorresponda.
Lossiguientesejemplosmuestrancómoaplicarcadaregladesolución.
Calcularlaintegralqueseindica.
1.4
1 2 32 2x
x x xdx
+ + +=( ) ( )∫
SoluciónPuestoqueelintegrandoesunafunciónracionalpropia,cuyodenominadorcontienefactorescuadráticosirreduciblesdistintos,entoncessegúnlaregla:
41 2 3 1 2 32 2 2 2
xx x x
Ax Bx
Cx Dx x+ + +
= ++
+ ++ +( ) ( )
ResolviendoparaA,B,CyD:
41 2 3
2 3 11 22 2
2 2
2 2x
x x xAx B x x Cx D x
x x x+ + +=
+ + + + + ++ + +( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) 33( )
Dedonde:
4 2 3 2 30 2 0 3 2
3 2x A C x A B D x A B C x B DA C A B D A
= + + + + + + + + ++ = + + = +
( ) ( ) ( ) ( ), , BB C y B D+ = + =4 3 0
Resolviendoestasecuaciones:A=1,B=1,C=–1yD=–3
Asíque:
2.x
xdx
2
2 24+
=( )∫
SoluciónElintegrandoesyaunafunciónracionalpropia,cuyodenominadorcontienefactorescuadrá-ticosirreduciblesdistintosysegúnlaregla:
41 2 3
11
32 3
11
2 2 2 2
2
xx x x
dx xx
xx x
dx
xx
+ + += +
+− +
+ +
=+
+
( ) ( )
∫ ∫
xxx
x xdx
x x
2 2 2
2 1
11
1 221 2
12 1
+− +
+ +−
+ +
= + +
( ) ( )
( )
∫−ln tan −− + + − + +
= ++ +
+ −
( )
−
−
12 1 2 1
212
32 3
2 1
21
2
2
ln tan
ln tan t
x x c
xx x
x aan− + +1 12
x c
x x
x x
x
2
2
2
2 3
2 1 2
1 2
+ + =
+ + + =
+ +( )
duu a a
ua2 2
11+
=∫ −tan
105INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
xx
Ax Bx
Cx Dx
2
2 2 2 2 24 4 4+
= ++
+ ++( ) ( )
ResolviendoparaA,B,CyD:
x
x
Ax B x Cx D
x
2
2 42
2 4
2 42
+( )=
+( ) +( ) + +
+( )Dedonde:
x Ax Bx A C x B DA B A C y B D
2 3 2 4 40 1 4 0 4 0
= + + +( ) + += = + = + =, ,
Resolviendoestasecuaciones:A=0,B=1,C=0yD=–4
Asíque:
xx
dxx x
dx
xdx
xd
2
2 2 2 2 2
2 2 2
41
44
4
14
44
+=
+−
+
+−
+
( ) ( )
( )
∫ ∫
∫ ∫
= xx
x x xx
c
x xx
= − ++
+
= −+
− −
−
12 2 4 1
16 218 4
14 2 2
1 12
12
tan tan
tan44( ) + c
Aplicandocasosdeintegraciónporfraccionesparciales.
I. Previaelaboracióndelformularioqueincluyaloscasosdeintegraciónporfraccionesparciales,enequiposdenomásdecuatrointegrantes,monitoreadosporsuprofesor,verifiquenlassiguientesin-tegrales:
1.x
x xdx
3
2 21 29 171
20
4
+( ) +( ) = −∫ ln ln
2. dxx x x3 2
1
2 216
83
26
220
1
+ + +=∫ + −ln tan
3. 2 55 6
03
4 21
1 x xx x
dx++ +
=−∫
Por sust. trig.
x x
dx dx
= =
=
= −
2 4
2
2
2 2
2
1
tan , tan
sec
tan
θ θ
θ θ
θ
AActividad
106 UNIDAD II
II. Compruebenlosresultadosdadosalossiguientesproblemas:
1. Lagerenciadeunaciertacompañíadeequipoparaoficinahadeterminadoquelafuncióndecos-tosdiariosmarginalesasociadaalaproduccióndesacapuntasdebateríasestádadapor:
C‘(x)=0.000006x2–0.006x+4
Dondesemideendólaresporunidadyx denotalasunidadesproducidas.Lagerenciatambiénhadeterminadoqueloscostosfijosdiariosrelacionadosconlamismaproducciónsonde$100.Encuentrenlosgastostotalesdiariosdetalcompañíaporlaproducciónde:
a) Lasprimeras500unidades.Respuesta$1600 b) Lasunidades201a400.Respuesta$552
2. Seesperaquelatasadeconsumodeenergíaeléctricadeciertaciudadaumentedemaneraexpo-nencial,conunaconstantedecrecimientodek=0.04.Silatasadeconsumoactualesde40mi-llonesdekilowatts-hora(kwh)poraño,¿cuáldebeserlaproduccióntotaldeelectricidaddurantelospróximostresañosparacubrirlademandaproyectada?
Respuesta:127.5milloneskwh
3. Lacantidaddeciertomedicamentoenelcuerpodeunpacientetdíasdespuésdeseradministra-does:
C(t)=5e–0.2tunidades.
Determinar lacantidadpromediodemedicamentopresenteenelcuerpodelpacienteduran-
telosprimeroscuatrodíasposterioresasuadministración.Elvalor promedio de fen[a,b]es1b a
f x dxa
b
−( )∫ .
Respuesta:Aproximadamente3.44unidades
III.Elijanunequipoparaqueexpongasusresultadosatodoelgrupo.
I. Calculalaintegralqueseindica.
1. dx
x 2 9−∫ 2. dx
x 2 4−∫ 3.
dxx 3 1−∫ 4.
dxx x4 27+∫
5. dx
x x4 25 4+ +∫ 6. x
x xdx
−+( )∫112
107INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
7. 2 1
42 2
x
xdx
+
+( )∫ 8. x xx x
dx2
2
3 42 8
+ −− −∫
9. x xx x x
dx2
3 2
3 12
− −+ −∫ 10.
x x x xx x x
dx4 3 2
2 3
8 2 11
+ − + ++ +( )( )∫
11. x
xdx
4
31−( )∫ 12. x
xdx
−( )∫ 2 2
13. x x xx x
dx3 2
2 2
31 3
+ + ++ +( )( )∫ 14.
2
1
3
2 2
x
xdx
+( )∫
15. 3 11 2 2
2
2
x xx x x
dx− +
+ + +( )( )∫
II. Verificalasoluciónalossiguientesproblemas.
1. Unestudiodeeficienciarealizadoparaunacompañíaelectrónicamostróquelarazónconqueunobreropromedioensamblawalkie-talkiesathorasdeiniciarsutrabajoalas8amestádadapor:
Determinacuántoswalkie-talkiespuedeensamblarunobreropromedioenlaprimerahoradesu
jornadadetrabajo.
R=20unidades
2. Latasaestimadadeproduccióndepetróleoenciertopozoatañosdespuésdeiniciarlaproduc-ciónestádadapor
R(t)=100t e–0.1tmilesdebarrilesporaño.
Determinalaproduccióntotaldepetróleoalfinaldecincoaños.
R=902.04milesdebarriles.
108 UNIDAD II
I. Respondealassiguientespreguntas:
1. ¿Quédiferenciaexisteentreunaintegraldefinidayunaindefinida?
2. ¿CuálesladerivadadeunafuncióncompuestaF g x( ) ?
3. ¿Quémétodosdeintegraciónconoces?
II. Encuentraelvaloralasumatoria k kk
3 2 2 31
5+( )−∑ =
=
III. AplicasumatoriasparaencontrareláreaAlimitadaporlagráficaf(x)=4+x2enelin-tervalo[0,2].Muestralagráficaysombreaeláreacorrespondiente.
IV. AplicalasumadeRiemannyhallaunaaproximacióndeláreabajolacurvadelafun-ciónf(x)=1–x2enelintervalo[0,1],con5 subintervalosyeligiendoxk
*comofronte-raderecha.
V. Calculalassiguientesintegrales:
1. 35
5dx
−∫ 2. 50
7xdx∫
3. ( )3 50
1x dx−∫ 4. sec2
0
2θ θ
πd∫
5. cos.
xdx0 1
4
∫ 6. senθ
θθ
π
cos/
30
4d∫
7. lnxx
dxe
e4
∫ 8. dx
x5 30
2
+∫ cosπ
9. x x dx2 cos−∫ π
π
109INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
10. cos cos20
6 x x dxπ
∫ 11.1
16 20
4
+( )∫ xdx
12. xx x
dx2
4 28 160
1
+ +∫ 13.1
4 55 4 31
2
x x xdx
+ +∫
VI. Resuelvelossiguientesproblemas.
1. Unapartículasemuevedemodoquesuvelocidadenm/ses:
V(t)=2t 2–5t
Encuentrasudesplazamientoyladistanciarecorridaenelintervalodetiempo [1,4].
2. Unaciertapoblaciónanimalat añoscrecearazónde:
P(t)=200+50talaño
Animales/añodurantelospróximos10años.¿Cuántocrecerálapoblaciónentreelcuar-toyelnovenoaños?
3. Lavelocidaddeundragsteratsegundosdespuésdesalirdelalíneadesalidaes:
100e–0.2tpies/segundo.
¿Cuálesladistanciarecorridaporeldragsterdurantelos10primerossegundosdelaca-rrera?
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