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REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIN UNIVERSITARIA,
CIENCIA Y TECNOLOGA.UNIVERSIDAD POLITCNICA TERRITORIAL JOS FLIX RIBAS
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIN EN CONSTRUCCIN CIVIL
INTEGRALES DE LINEA Y DE SUPERFICIE
P.N.F:
Construccin Civil.
Trayecto, Tramo, Seccin:
III, III, A.
Unidad Curricular:
Matemtica Para Ingenieros.
Tutor:
Rosa Uzcategui.
Autores:
Fernndez Jean C. C.I:24.602.967
Padrn Cristina C.I:20.747.455
Barinas, Abril de 2015.
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Contenido
Campos Escalares Y Vectoriales .............................................................................. 3
Concepto De Campo ............................................................................................. 3
Campo Escalar ...................................................................................................... 4
Campo Vectorial .................................................................................................... 4
Clculo Vectorial Infinitesimal. Operadores ............................................................... 5
Derivada De Un Vector Respecto A Un Escalar .................................................... 5
Integracin Respecto A Una Variable Escalar ....................................................... 7
Gradiente De Un Campo Escalar .......................................................................... 7
Divergencia De Un Campo Vectorial ................................................................... 11
Rotacional De Un Campo Vectorial ..................................................................... 12
Laplaciana De Una Funcin Escalar ................................................................... 13
Integrales de lnea .................................................................................................. 13
Integral de lnea de un campo Vectorial. ............................................................. 14
Propiedades de la integral de lnea de un campo vectorial. ............................. 17
Significado fsico de la integral de lnea de un campo vectorial F. ................... 18
Velocidad tangencial promedio de un fluido. .................................................... 19
Integral de lnea de un campo escalar ................................................................. 19
Existencia de la integral. .................................................................................. 20
Integrales de Superficie .......................................................................................... 21
Superficies Parametrizadas: ................................................................................ 21
Producto vectorial fundamental. .......................................................................... 23
El producto vectorial fundamental, considerado como una normal a la superficie............................................................................................................................. 26
Integrales de superficie ....................................................................................... 27
Teorema de Stokes. ............................................................................................ 31
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Campos Escalares Y Vectoriales
Concepto De Campo
Consideremos el campo gravitatorio. Un hecho fundamental de la gravitacin
es que dos masas ejercen fuerzas entre s, existe una interaccin entre ellas. Se
puede considerar esta circunstancia como una interaccin directa entre las dos
partculas de masa, si as se desea. Este punto de vista se llama accin-a-distancia.
Otro punto de vista es el concepto de campo que considera a una partcula de masa
como modificando en alguna forma el espacio que la rodea y formando un campo
gravitatorio. Este campo acta entonces sobre cualquier otra partcula de masacolocada en l, ejerciendo la fuerza de la atraccin gravitacional sobre ella. Por
consiguiente, el campo juega un papel intermedio en nuestra forma de pensar
acerca de las interacciones entre las partculas de masa. De acuerdo con este punto
de vista tenemos en nuestro problema dos partes separadas: En primer lugar est el
campo producido por una distribucin dada de partculas de masa; y segundo, es
necesario calcular la fuerza que ejerce este campo en otra partcula de masa
colocada en l.
Se dice que en una determinada regin del espacio se tiene un "campo
fsico" cuando en ella se presentan u observan propiedades fsicas. Estas
propiedades pueden tener carcter escalar, vectorial o tensorial.
El campo gravitatorio es un ejemplo de campo vectorial, porque en este
campo cada punto tiene un vector asociado con l. Tambin se puede hablar de un
campo escalar, tal como el campo de temperatura en un slido conductor del calor.
El campo gravitatorio que resulta de una distribucin fija de masa es tambin un
ejemplo de campo estacionario, porque el valor del campo en un punto dado nocambia con el tiempo.
El concepto de campo es particularmente til para comprender las fuerzas
electromagnticas entre cargas elctricas en movimiento. Tiene ventajas especiales,
tanto conceptualmente como en la prctica, sobre el concepto de accin-a-distancia.
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El concepto de campo no se usaba en la poca de Newton. Fue desarrollado ms
tarde por Faraday para el electromagnetismo y slo entonces se aplic a la
gravitacin. Hoy da se utiliza el concepto de campo en la descripcin de todas las
interacciones de la Naturaleza.
El objeto principal del captulo que sigue es la familiarizacin con un
concepto que resulta ser importante en el desarrollo y comprensin de las teoras
fsicas.
Campo Escalar
Si a cada punto (x,y,z) de una regin del espacio se le puede asociar unescalar V(x,y,z), hemos definido un campo escalar V en esta regin. La funcin V
depende, pues, del punto y por ello se llama funcin escalar de punto.
Si el campo escalar no depende del tiempo se llama estacionario.
Recibe el nombre de superficie equiescalar o isoescalar, el lugar geomtrico
de los puntos del espacio en los que el campo escalar tiene el mismo valor. Las
superficies equiescalares vienen determinadas por la expresin:
V( x, y, z ) = ki (ki es una constante)
Estas superficies no pueden tener puntos comunes por la imposibilidad de
que la funcin escalar en un mismo punto tenga diferentes valores.
Como ejemplos de campos escalares podemos citar el campo de
temperaturas de un slido o el campo de presiones de un gas.
Campo Vectorial
Si a cada punto (x,y,z) de una regin del espacio se le puede asociar un
vector E(x,y,z), queda definido un campo vectorial E en esta regin. La funcin E
depende, pues, del punto y por ello se llama funcin vectorial de punto.
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Si el campo vectorial no depende del tiempo se llama estacionario.
En los campos vectoriales se definen las lneas de fuerza o lneas de campo,como las curvas tangentes en cada punto a los vectores definidos en ellos.
Decimos que un campo vectorial es uniforme cuando tenemos el mismo
valor del vector campo y la misma direccin y sentido en todos los puntos. Un
campo uniforme est representado, evidentemente, por lneas de campo paralelas y
equidistantes.
Como ejemplos de campos vectoriales podemos citar el campo de
velocidades en un fluido, el campo gravitatorio, el campo elctrico y el campomagntico.
Clculo Vectorial Infinitesimal. Operadores
Derivada De Un Vector Respecto A Un Escalar
Si las componentes de un vector son funcin de un escalar u: r = r(u)
e incrementamos u, pasando su valor a u + Du, hallaremos el valor del
incremento en el vector, Dr(u), de la forma:
Dr(u) = r(u + Du) - r(u)
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Si dividimos el vector Dr por Du y pasamos al lmite con Du tendiendo a cero,
obtenemos la derivada de r con respecto al escalar u:
Si las componentes cartesianas del vector r(u) son:
Es inmediato:
En el caso en que r(u) es un vector de mdulo constante, es decir
y derivando respecto a u en ambos lados:
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Es decir:
Que nos dice que r y dr/du son dos vectores perpendiculares, cuando el
mdulo de r(u) no depende de la variable u.
Integracin Respecto A Una Variable Escalar
Gradiente De Un Campo Escalar
En el caso de tener un punto en coordenadas cartesianas calculamos la
derivada parcial respecto a x, mediante la operacin de derivacin considerando
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que slo x es variable y que las otras variables son constantes. As si tenemos una
funcin F (x,y,z):
El grad V es un vector que ndica como vara V en las proximidades de un
punto, el sentido es de mximo crecimiento de la funcin.
Matemticamente, la diferencial de una funcin V(x,y,z) viene dada por:
dV representa la variacin entre dos puntos muy prximos (x,y,z) y (x+dx,
y+dy, z+dz). Teniendo en cuenta la definicin de gradiente:
Donde dr es el vector:
es el vector que une los puntos antes sealados. Asi pues, nos queda que
dV puede expresarse en trminos del vector gradiente como el producto escalar de
los vectores grad V y dr:
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deducimos que, para que exista una mxima variacin del campo, para un
valor fijo |dr| , el coseno del ngulo formado por dr y grad V, debe ser 1 y el ngulo
que forman dichos vectores, nulo:
"El gradiente tiene la direccin de la mxima variacin del campo y va en el
sentido de los valores creciente de V".
Sabemos que en las superficies equiescalares se verifica que:
V(x,y,z) = constante
luego, es evidente que en una superficie equiescalar el campo escalar V no
cambia y por tanto se verificar:
dV = 0
es decir dV = (grad V).dr = 0, luego, el gradiente de la funcin escalar V es
perpendicular a las superficies equiescalares en el punto considerado.
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La componente del gradiente V en la direccin de un vector unitario uN es
igual al producto escalar (V).uN y se llama derivada direccional de V en la
direccin del vector uN:
Para una superficie S, determinada por la ecuacin f(x,y,z) = 0, el vector
unitario normal en un punto (x,y,z) viene dado por:
se puede obtener como el producto de un operador, con carcter vectorial,
por un escalar, es decir:
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En resumen, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial que
tiene las siguientes propiedades:
(1) Sus componentes, en cada punto, son la razn de las variaciones de la
funcin y de la coordenada a lo largo de las direcciones de los ejes en dicho punto.
(2) Su mdulo, en cada punto, es el mximo valor de la variacin de la
funcin con la distancia.
(3) Su direccin es la de mxima variacin.
(4) Su sentido es el de crecimiento de la funcin.
El gradiente es, por tanto, un campo vectorial de punto deducido de un
campo escalar de punto.
Divergencia De Un Campo Vectorial
Sea E(x,y,z) = Exi + Eyj + Ezk, una funcin vectorial definida y derivable en
cada uno de los puntos (x,y,z) de una cierta regin del espacio (E define un campo
vectorial derivable). La divergencia de E, representada por E o div E, viene dada,
en coordenadas cartesianas, por la expresin:
que puede entenderse como el "producto escalar" del operador nabla , ,y
el campo vectorial E, en ese orden, y es un escalar.
La divergencia nos permite caracterizar aquellos puntos del campo vectorial
en que ste, valga la expresin, "se crea o se destruye"; es decir, clasifica los
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manantiales o sumideros del campo. Cuando div E = 0 , no hay fuentes escalares
del campo E , y se dice que el campo vectorial E es solenoidal.
Si no existen "fuentes escalares" del campo ste no podr "nacer" o "morir"
en dichas fuentes, por lo cual las lneas del campo solenoidal son siempre cerradas.
Rotacional De Un Campo Vectorial
Si E(x,y,z) = Exi + Eyj + Ezk, es un campo vectorial derivable, el rotacional de
E, representado por x E o rotE, viene dado, en coordenadas cartesianas, por laexpresin
El rotacional es un vector y puede entenderse como el "producto vectorial"
del operador nabla, , por el campo vectorial E, en ese orden. Cuando x E = 0
(rot E = 0), se dice que el campo vectorial E es irrotacional y esto nos permite decir
que el campo E deriva de una funcin escalar V en la forma:
como veremos ms adelante. El valor del rotacional de un campo vectorial
nos da las "fuentes vectoriales" del campo en cada punto. Si tenemos x E = 0
para todos los puntos, esto nos dice que E no tiene "fuentes vectoriales".
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Laplaciana De Una Funcin Escalar
Sea V(x,y,z) un campo escalar definido y dos veces derivable en cada unode los puntos de coordenadas (x,y,z) de una regin del espacio. La laplaciana de V,
representada por , viene dada, en coordenadas cartesianas, por la
expresin:
La laplaciana de una funcin escalar es un escalar. Anlogamente al
"operador nabla", podemos definir el "operador laplaciano" mediante:
Cuando el campo escalar V tiene derivadas segundas continuas y se cumple
V = 0, entonces se dice que el campo escalar V es un campo armnico.
La ecuacin en derivadas parciales:
recibe el nombre de Ecuacin de Laplace.
Integrales de lnea
La integral de lnea tiene varias aplicaciones en el rea de ingeniera, y una
de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que
posee la integral de lnea de un campo escalar.
En matemtica, una integral de lnea o curvilnea es aquella integral cuya
funcin es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos
dimensiones o del plano complejo, se llama tambin Integral De Contorno.
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Ejemplos prcticos de su utilizacin pueden ser:
El clculo de la longitud de una curva en el espacio; El clculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se
posee una funcin (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la
curva;
tambin para el clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto
a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas
(descritos por campos vectoriales) que acten sobre el mismo.
Integral de lnea de un campo Vectorial.
Si se divide la curva C en n subarcos de longitudes , con
, entonces el trabajo realizado por la fuerza para desplazar unapartcula desde el punto hasta el punto se puede aproximar tomando en
cuenta las siguiente consideraciones, al tomar un punto y sabiendo
que es lo suficientemente pequeo, entonces a medida que la partcula se
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mueve de hacia a lo largo de la curva C, este desplazamiento tiene
aproximadamente la misma direccin que , el cual representa el vector
tangente unitario en el punto . De tal manera que el trabajo que ejerce
este campo de fuerza sobre la partcula para moverla de hacia sera el
producto del desplazamiento , por la fuerza ejercida en el punto en la direccin
del desplazamiento, que vendra dado por el vector tangente unitario, esto es:
por tanto el trabajo total que ejerce el campo de fuerza para desplazar la
partcula desde su punto inicial hasta el punto final vendra dado, en forma
aproximada, por la expresin
Para tener una aproximacin ms cercana al valor verdadero del trabajo total
realizado se puede incrementar el nmero de subarcos n en el que se ha dividido la
curva C. Al estudiar el lmite de estas aproximaciones se obtiene el valor exacto del
trabajo total realizado es:
Ahora bien esta interpretacin ha sido desarrollada para el caso en que el
campo vectorial es un campo de fuerza, sin embargo podemos basarnos en este
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desarrollo para definir al integral de lnea de un campo vectorial de la manera que se
presenta a continuacin:
Una manera simplificada para indicar esta integral es denotarla por .
El campo gravitacional es el ejemplo ms conocido como un campo de fuerza.
Sea el campo vectorial definido por
la integral de lnea de un campo vectorial escrita de manera simplificada como
tambin se puede representar en forma cartesiana de la siguiente manera:
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Propiedades de la integral de lnea de un campo vectorial.
Aunque no es una propiedad es importante sealar que pasa cuando se
realiza un cambio en el sentido del recorrido de la curva C. Sea la curva C definida
paramtricamente por , se denota por a la
misma curva pero recorrida en sentido contrario al de C, entonces
Cuando la curva C es una curva cerrada, y sta se recorre de tal manera que
si una persona camina sobre la trayectoria definida por C, la regin encerrada por
sta queda a la izquierda de la persona, se dice que el sentido de recorrido es
positivo, la integral de lnea del campo vectorial F sobre la curva C se denota por
, donde aqu se observa cual es el sentido de recorrido de la curva. Tambin
se puede utilizar la regla de la mano derecha para identificar el sentido de recorrido
positivo de la curva. Para ello, con la mano derecha, colocamos los dedos en la
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direccin del recorrido de la curva, y si el pulgar apunta hacia arriba, esa es la
orientacin positiva de la curva.
Significado fsico de la integral de lnea de un campo vectorial F.
Otra interpretacin fsica de la integral de lnea es cuando la funcin vectorial
V escampo de velocidades de un fluido, el significado que tiene la integral de lnea
es la cantidad de fluido circula a lo largo de la curva C por unidad de
tiempo, en la direccin del vector tangente unitario T, si la curva C es una curva
cerrada, la integral de F sobre esta curva se escribe y se le denomina
como la integral de circulacin de V alrededor d la curva C. Si la funcin V
representa un campo de velocidades de un fluido, la integral de lnea se
interpreta como el flujo que atraviesa a la regin acotada por la curva C por unidad
de tiempo, en la direccin del vector unitario N, y a se le denomina como integral de
flujo de V a travs de C.
En el caso que un campo vectorial continuo B represente un campo
magntico, la integral de lnea representa la cantidad de corriente que
atraviesa la regin R acotada por la curva C, mientras que si la funcin vectorial E
es un campo elctrico continuo sobre alguna regin R, entonces la integral de lnea
de , se interpreta como el flujo del campo elctrico a travs de la regin R.
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Velocidad tangencial promedio de un fluido.
Si una funcin , representa un campo de velocidades de un fluido
en la integral de lnea , donde C es una curva suave o parcialmente
suave, cerrada y recorrida en forma positiva, se puede interpretar como la cantidad
neta de giro del fluido en el sentido de recorrido de la curva C. Se puede aqu
observar lo siguiente: si entonces las partculas del fluido se desplazan
en el sentido de recorrido de la curva; si por el contrario , entonces laspartculas del fluido se desplazan en el sentido contrario al del recorrido de la curva
C y si el campo vectorial V es perpendicular a la curva C, entonces , en
este caso el fluido se dice que es irrotacional. Ahora bien, tambin es posible
determinar la velocidad tangencial promedio de un fluido sobre la curva cerrada C, o
circulacin promedio del campo V sobre la curva C mediante la siguiente integral
En donde S representa la superficie de la regin que est acotada por la
curva cerrada C.
Integral de lnea de un campo escalar
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Existencia de la integral. Est asegurada, ya que el integrando es una
funcin acotada en [a,b] y continua salvo, a lo sumo, en un nmero finito de puntos
para los que ni siquiera concretamos el valor que toma en ellos dicha funcin. De
hecho, si hacemos una particin del intervalo [a,b] de
forma que, para k = 1,2,...,n, la restriccin de al subintervalo [tk1,tk] seade clase
C1 , podemos escribir
Obteniendo una suma finita de integrales de funciones continuas.Resaltamos que al campo escalar f slo se le exige estar definido y ser continuo
sobre la curva recorrida por el camino de integracin. Habitualmente f tendr
propiedades de regularidad mucho mejores, siendo por ejemplo diferenciable en un
abierto que contenga a la curva .
Casos particulares. En el caso n = 3, tendremos
donde x son las ecuaciones
paramtricas del camino . En el caso n = 2 tendremos solamente:
Ejemplo.
Consideremos el campo escalar f definido en R3 por
y el camino helicoidal dado por:
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En este caso tenemos claramente
y tambin
con lo cual
Interpretacin.
Cuando el campo escalar que se integra es constantemente igual a 1 sobre
la curva recorrida, la integral de lnea coincide obviamente con la longitud del
camino. A partir de aqu podemos intuir, muy informalmente, otras situaciones ms
generales.
En el caso n = 2, si el campo escalar f no toma valores negativos, podemos
interpretar la integral de lnea como el rea de un muro construido tomando como
base la curva recorrida por el camino y con altura variable, de forma que, para
cada t [a,b], la altura del muro en el punto (t) es precisamente f (t) . Esta idea
generaliza obviamente la interpretacin de la integral simple de una funcin positiva
como el rea comprendida bajo la grfica de la funcin.
Para n = 2 o n = 3, tambin podemos interpretar que sobre la curva
recorrida por tenemos una distribucin lineal de masa (pensemos por ejemplo en
un cable con la forma de dicha curva), de manera que f (t) es la densidad lineal en
el punto (t). La integral de lnea nos da entonces la masa total.
Integrales de SuperficieSuperficies Parametrizadas:
Puede imaginarse la integral de superficie como el equivalente en dos
dimensiones a una integral de lnea siendo la regin de integracin una superficie en
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lugar de una curva. Antes de estudiar las integrales de superficie, tenemos que
ponernos de acuerdo en lo que es una superficie.
Hablando sin precisin, una superficie es el lugar de un punto que se mueve
en el espacio con dos grados de libertad. En la parte de Geometra analtica del
Volumen 1 vimos dos mtodos para expresar analticamente un tal lugar. Uno es la
representacin implcita en el que se considera una superficie como un conjunto de
puntos (x, y, z) que satisfacen una ecuacin de la forma F(x, y, z) = O. Algunas
veces podemos despejar en la ecuacin una de las coordenadas en funcin de las
otras dos, por ejemplo z en funcin de x e y. Cuando eso es posible obtenemos una
representacin explcita dada por una o varias ecuaciones de la forma z = f(x, y).Por ejemplo, una esfera de radio 1 y centro en el origen tiene la representacin
implcita . Al despejar z se obtienen dos soluciones,
, La primera es la representacin
explcita de la semiesfera superior y la segunda la de la inferior. Existe un tercer
mtodo de representacin de superficies que es ms til en el estudio de las
mismas; es la representacin paramtrica o vectorial por medio de tres ecuaciones
que expresan x, y, z en funcin de dos parmetros u y v:
Aqu el punto (u, v) puede variar en un conjunto conexo bidimensional T en
el plano uv, y los puntos (x, y, z) correspondientes constituyen una porcin de
superficie en el espacio xyz. Este mtodo es anlogo al de la representacin de una
curva en Ea mediante tres ecuaciones con un parmetro. La presencia de los dos
parmetros en las ecuaciones anteriores, permite transmitir dos grados de libertad al
punto (x, y, z), como sugiere la figura anterior. Otro modo de expresar la misma idea
consiste en decir que una superficie es la imagen de una regin plana T por medio
de la aplicacin definida por dichas ecuaciones. Si introducimos el radio vector r que
une el origen a un punto genrico (x, y, z) de la superficie, podemos combinar las
tres ecuaciones paramtricas
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Representacin paramtrica de una superficie.
en una ecuacin vectorial de la forma
sta es la llamada ecuacin vectorial de la superficie. Existen, naturalmente,
muchas representaciones paramtricas de la misma superficie. Una de ellas puede
obtenerse siempre a partir de la forma explcita z = f(x, y) tomando X(u, v) = u, Y(u,
v) = v, Z(u, v) = f(u, v). Por otra parte, si es posible eliminar u y v en las ecuaciones
paramtricas -por ejemplo, si podemos resolver las dos primeras ecuaciones (de las
tres primeras mostradas) respecto a u y v en. funcin de x e y y sustituimos en la
tercera- obtenemos la representacin explcita z = f(x, y).
Producto vectorial fundamental.Consideremos una superficie representada por la ecuacin vectorial
Si X, Y, Y Z son derivables en T podemos considerar los dos vectores y
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El producto vectorial se denominar producto vectorial fundamental
de la representacin r. Sus componentes pueden expresarse como determinantes
jacobianos. En efecto, tenemos,
Si (u, v) es un punto en T en el cual son continuas y el
producto vectorial fundamental no es nulo, el punto imagen r (u, v) se llama punto
regular de r, Los puntos en los que no son continuas o bien ar/au
se llaman puntos singulares de r. Una superficie r(T) se llama
regular si todos sus puntos son regulares. Toda superficie tiene ms de una
representacin paramtrica. Algunos de los ejemplos que luego se comentan ponen
de manifiesto que un punto de una superficie puede ser regular para una
representacin y singular para otra. Seguidamente explicamos el significado
geomtrico de los conceptos de puntos regulares y singulares.
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Consideremos en T un segmento rectilneo horizontal. Su imagen por r es
una curva (llamada u-curva) situada en la superficie r(T). Para v fija, imaginemos
que el parmetro u represente el tiempo. El vector es el vector velocidad de
esta curva. Cuando u se incrementa en , un punto situado al principio en r(u, v)
se desplaza a lo largo de una u-curva una distancia aproximadamente igual a
puesto que representa la velocidad a lo largo de la u-curva.
Anlogamente, para u fija un punto de una v-curva se desplaza en el tiempo
una distancia aproximadamente igual a . Un rectngulo en T que tenga
un rea se convierte en una porcin de r(T) que aproximaremos por un
paralelogramo determinado por los vectores y .. El rea del
paralelogramo determinado por es el mdulo de su
producto vectorial
Por consiguiente la longitud del producto vectorial fundamental puede
imaginarse como un factor de proporcionalidad de las reas. En los puntos en los
que este producto vectorial es nulo el paralelogramo degenera en una curva o en un
punto. En cada punto regular los vectores y determinan un plano que
tiene el vector x como normal. En la prxima seccin demostraremos
que x es normal a toda curva regular en la superficie; por esta razn
el plano determinado por y se llama plano tangente a la superIicie.
La continuidad de y implica la continuidad de x ; esto.
a su vez, significa que el plano tangente se mueve con continuidad en una superficie
regular. As vemos que la continuidad de y evita la presencia de
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aristas o puntas en la superficie; la no anulacin de x evita los
casos degenerados antes citados.
El producto vectorial fundamental, considerado como una normal
a la superficie.
Consideremos una superficie paramtrica regular r(T), y sea C* una curva
regular en T. La imagen C = r(C*) es entonces una curva regular situada en la
superficie. Demostraremos que en cada punto de C el vector X esnormal a C. Supongamos que C* est descrita por una funcin a definida en un
intervalo [a, b], por ejemplo sea
Entonces la imagen de la curva e est representada por la funcin
compuesta
Queremos demostrar que la derivada p'(t) es perpendicular al vector
X cuando las derivadas parciales y estn calculadas en (U(t),
V(t). Para calcular p'(t) derivamos cada componente de p(t) mediante la regla de la
cadena (teorema 8.8) para obtener
donde los vectores gradientes V' X, V'Y, Y V'Z estn calculados en (U(t), V(n). La
ecuacin anterior puede escribirse en la forma
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estando calculadas las derivadas y en (U(t), V(t)). Ya que y
son perpendiculares en cada punto al producto vectorial X or/ov , lo
mismo ocurre con p'(t). Esto demuestra que X es normal a e, como
queramos probar. Por esta razn, el vector X se denomina normal a
la superficie r(T)o En cada punto regular P de r(T) el vector X es
distinto de cero; el plano que pasa por P y tiene este vector como normal se llama
plano tangente a la superficie en P.
Integrales de superficie
En muchos aspectos, las integrales de superficie son anlogas a las
integrales de lnea. Definimos las integrales de lnea mediante una representacin
paramtrica de la curva. Anlogamente, definiremos las integrales de superficie en
funcin de una representacin paramtrica de la superficie. Demostraremos luego
que en ciertas condiciones generales el valor de la integral es independiente de la
representacin.
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Los ejemplos que siguen ilustran algunas aplicaciones de las integrales de
superficie.
Ejemplo 1. rea de una superficie. Cuando f = 1, la ecuacin de la integral
de superficie se transforma en:
As pues, el rea de S es igual a la integral de superficie . Por este
motivo, el smbolo dS se llama algunas veces elemento r(T) de rea de la
superficie, y la integral de superficie se lee integral de f r(T) respecto al
elemento de rea, extendida a la superficie r(T).
Ejemplo 2. Centro de gravedad. Momento de inercia. Si el campo escalar f
se interpreta como la densidad (masa por unidad de rea) de una lmina delgada
adaptada a la superficie S, la masa total m de la superficie se define por la frmula
Su centro de gravedad es el punto determinado por las frmulas
El momento de inercia . de S alrededor de un eje L viene dado por
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donde representa la distancia de un punto genrico (x, y, z) de S a
la recta L. Como ejemplo, determinemos el centro de gravedad de la superficie de
una semiesfera uniforme de radio a. Utilicemos la representacin paramtrica:
en la que . En este ejemplo la densidad f es
constante, pongamos f = c, y la masa m es c veces el rea de S. Debido a
la simetra, las coordenadas e del centro de gravedad son 0. La coordenada
viene dada por
Ejemplo 3. Flujo de fluido a travs de una superficie. Imaginemos que un
fluido es una coleccin de puntos llamados partculas. A cada partcula (x, y, z)
asignamos un vector V (x, y, z) que representa su velocidad. Este es el campo de
velocidad de la corriente. El campo de velocidad puede o no cambiar con el tiempo.
Consideraremos tan slo corrientes estacionarias, esto es, corrientes para las que la
velocidad V (x, y, z) depende nicamente de la posicin de la partcula y no del
tiempo.
Designemos con p(x, y, z) la densidad (masa por unidad de volumen) del
fluido en el punto (x, y, z). Si el fluido es incompresible la dentidad p ser constante
en todo el fluido. Para un fluido compresible, tal como un gas, la densidad puede
variar de un punto a otro. En cualquier caso, la densidad es un campo escalar
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asociado a la corriente. El producto de la densidad por la velocidad la
representamos por F; esto es,
Este es un campo vectorial llamado densidad de flujo de la corriente. El
vector F(x, y, z) tiene la misma direccin que la velocidad, y su longitud tiene las
dimensiones
Dicho de otro modo, el vector densidad de flujo F (x, y, z) nos dice cunta
masa de fluido circula por el punto (x, y, z) en la direccin de V (x, y, z), por unidad
de rea y de tiempo. Sea S = r(T) una superficie paramtrica simple. En cada punto
regular de S designemos con n el vector unitario" normal que tenga el mismo
sentido que el producto vectorial fundamental. Esto es,
El producto escalar F' n representa el componente del vector densidad de
flujo en la direccin de n, La masa de fluido que pasa a travs de S en la unidad de
tiempo en la direccin de n se define con la integral de superficie
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Teorema de Stokes.El resto de este captulo est especialmente dedicado a dos
generalizaciones del segundo teorema fundamental del Clculo a las integrales de
superficie. Se conocen, respectivamente, con las denominaciones de Teorema de
Stokes y Teorema de la divergencia. El teorema de Stokes es una extensin directa
del teorema de Green el cual establece que
en donde S es una regin plana limitada por una curva cerrada e recorrida ensentido positivo (contrario al de las agujas del reloj). El teorema de Stokes relaciona
una integral de superficie con una integral de lnea y puede enunciarse as:
Ejemplo de superficie a la que es aplicable el teorema de Stokes.
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Demostracin. Para demostrar el teorema basta establecer las tres frmulas
siguientes,
La suma de esas tres ecuaciones nos da la frmula del teorema de Stokes.
El plan de la demostracin consiste en expresar la integral de superficie
como una integral doble sobre T. Entonces se aplica el teorema de Green para
expresar la integral doble sobre T como una integral de lnea sobre r. Por ltimo,
demostramos que esta integral de lnea es igual a fc P dx. Escribamos
y expresemos la integral de superficie sobre S en la forma
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