INTERPOLACIÓNDIFERENCIA-FINITA
(NEWTON)
NEWTON
Nació el 25 de diciembre de 1642 (según el calendario juliano vigente entonces; el 4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano vigente en la actualidad), en Woolsthorpe, Lincolnshire.
matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época.
Cuando los datos están tabulados de forma que la diferencia entre dos valores consecutivos del vector de abscisas es constante, o sea, sus valores son equidistantes. Quiere decir cuando la distancia h entre dos argumentos consecutivos cualesquiera, es la misma a lo largo de la tabla, el polinomio de Newton en diferencias divididas puede expresarse con mas sencillez.
INTERPOLACIÓN-NEWTON
Aproximación polinomio de Newton, el cual se expresa como:
𝑝𝑛 (𝑥 )=∑𝑖=0
𝑛
𝑎𝑖∏𝑖=0
𝑘− 1
(𝑥−𝑥 𝑖)
Para este propósito se introduce un parámetro , “s” definido en:
¿CÓMO SABER QUE ES INTERPOLACIÓN DE NEWTON FINITAS?
Cuando la distancia h entre dos argumentos ()
consecutivos cualesquiera, es la misma a lo largo de la tabla
ANÁLISIS DE ECUACIÓN
¿ 𝑓 [𝑥0 ]+𝑠 𝛥 𝑓 [𝑥0 ]+𝑠 (𝑠−1)2!
𝛥2 𝑓 [𝑥0 ]+…+𝑠 (𝑠−1 ) (𝑠−2 )…(𝑠− (𝑛−1 ))
𝑛 !𝛥𝑛 𝑓 [𝑥0 ]
INTERPOLACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS
DEMOSTRACION DE LA ECUACIONLa ecuación de polinomios de forma general lineal es:
Luego dependiendo del orden cada uno de los coeficientes y las incógnitas se hacen cero 0:
En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas.Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa generalmente como:
La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dos primeras diferencias divididas finitas, se expresa generalmente como:
De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:
Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (12), los cuales se sustituyen en la ecuación (11), para obtener el polinomio de interpolación:
𝑓 [𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑗 ]=∆𝑛− 1𝑏
∆𝑛𝑏=∆𝑛−1𝑏
𝑓 [2]= ∆2𝑏h22!
𝑓 [𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑗 ,.. ]𝑦 𝑛=∆𝑛 𝑦0h𝑛𝑛 !
De forma general con el delta obtenemos
Para dos índices
De forma general para cada indice
LA FORMULA GENERAL ES:
……..
Tabla de calculo de cada uno de los índices
Aplicando la formula General
Estructura y Algoritmo del Programa
PROGRAMA DIFERENCIAS FINITAS (NEWTON)
CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA
x y
60 0.63
40 1.36
80 2.18
… …
X X
Tabla MATLAB
y …
0.63 0.73 0.09 -0.09 0.21.36 0.82 0 0.11 1.142.18 0.82 0.11 1.26 -2.53…. … … … …x X X X X
Tabla Delta
MATLAB
INTERFAZ GRAFICA MATLAB NEWTON (FINITAS)
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