INDICE• Aplicaciones
• Definición
• Casos de polinomios
• Valor numérico• Cambio de variable
• Grados de un polinomio• Relativo
• Absoluto
• Polinomios especiales• Propiedades
• Ejercicios
-Casos, grados y clases de un polinomio.
-Polinomios especiales
POLINOMIOS
Los polinomios son una parte importante del Álgebra.
Están presentes en todos los contextos científicos y
tecnológicos: desde los ordenadores y la informática
hasta la carrera espacial.
La fórmula que expresa el movimiento
de un cuerpo en caída libre viene dada
por el siguiente polinomio:
2
2
1)( gttP
t: tiempo
g: gravedad
APLICACIONES
DEFINICIÓN
• Un polinomio es una expresión algebraica racional
entera, es decir, los exponentes de sus variables son
números enteros positivos.
• Además, un polinomio es la suma o diferencia de
monomios.
POLINOMIO
• P(x) = 3x4 +2x3 – x2 + 8x +10
• Q(x;y) = 5xy3 +10x
• R(x;y;z) = 2y4z+ 2x3 – xy2 + 8xz + z
Suma o diferencia de monomios
CASOS DE POLINOMIOS
1) 2x + 3y4
2) -4a2b – b2c
3) 6x2 - 3x + 8
4) -x2yz + 3y - 5
BINOMIOSc
c TRINOMIOS
VALOR NUMÉRICO
• El valor numérico de un polinomio es
el número que se obtiene al sustituir
las variables por números.
VALOR NUMÉRICO
Ejemplos:
1. Valor numérico de: P(x)= 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 =-2:
P(-2)= 𝟑(−𝟐)𝟐 − 𝟓 −𝟐 + 𝟔
P(-2)= 12+10+6=28
2. Sea M(x,y)= 2𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝒙𝒚𝟐 − 𝒚𝟑 Calcular M(1;-3)
M(1;-3)= 2 𝟏 𝟐 −𝟑 + 𝟓 𝟏 −𝟑 𝟐 − −𝟑 𝟑
M(1;-3)=-6+45+27=66
CAMBIO DE VARIABLE
• El cambio de variable al igual que el
valor numérico, es el resultante de
reemplazar una variable en el
polinomio.
CAMBIO DE VARIABLE
• Ejemplo
Aplicando valor numérico para hallar una variable
Si P(x)=3x+1 y P(2n)=4, calcular “n”:
Esto quiere decir que cuando x=2n, entonces P(x)=4.
∴ P(2n)=4
Reemplazando en P(x):
3(2n)+1=4
6n=3
GRADO RELATIVO CON RESPECTO A UNA VARIABLE
84653 2081);;( yzxzyxzyxP
GR(x)= GR(y)= GR(z)=4 5 8
(mayor exponente de la variable)
GA = 10 GA = 8 GA = 3
8x7y3 – 3x4y4 + 6xy2
GA = 10
GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO
(mayor grado absoluto de los términos)
EJERCICIO 1
214224 435);( yxyxyxyxQ mm
Si se sabe que el grado relativo a x es 5,calcula:
a)El valor de m
b)El grado absoluto del polinomio
Respuestas:
a) m = 3
b) GA = 9
EJERCICIO 2
2124324 435);( yxyxyxyxQ n
Si se sabe que el grado absoluto del polinomio
es 9 halla: n2 + 1
Respuesta: 10
EJERCICIO 3
25215 53);( aaaaa yxyxyxyxP
Si se sabe que el grado del polinomio es 31
halla: GR(x) + GR(y)
Respuesta: 41
Un polinomio está ordenado cuando los
exponentes de la variable “referida” están
aumentando o disminuyendo.
83459 536);( yxyxyxyxP
Ordenado en forma descendente respecto a “x”
Ordenado en forma ascendente respecto a “y”
Ejemplo:
1.- POLINOMIO ORDENADO
EJEMPLO: POLINOMIO ORDENADO
x4y3 + 2x2y5 – 3xy8
Polinomio ordenado respecto a “x” en forma
descendente
Polinomio ordenado respecto a “y” en forma
ascendente
P(x;y)=x4y3 + 2x2y5 – 3x1y8
2.- POLINOMIO COMPLETO
La variable “referida” presenta todos los
exponentes consecutivos desde 1 hasta un
mayor determinado e incluso el término
independiente.
Ejemplo:
252843 5479);( xyyxyxyxyxP
Completo respecto a “x” con T.I.(x)= -7y
EJEMPLO: POLINOMIO COMPLETO
x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5
Polinomio completo con respecto a “x”
P(x;y)=x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0
3.- POLINOMIO HOMOGÉNEO
Es aquel polinomio en el que todos
sus términos son del mismo grado
absoluto.Ejemplo:
71233422 537);;( yxzyxzyxzyxP
Es un polinomio cuyo grado de homogeneidad es 8.
EJEMPLO: POLINOMIO HOMOGÉNEO
Polinomio homogéneo de grado 8
P(x; y)=6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2
GA = 8 GA = 8 GA = 8
4.- POLINOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios son idénticos si verifican:
- Los dos polinomios tienen el mismo grado.
- Los coeficientes de los términos semejantes son
iguales.
83459);( ycxybxyaxyxP
yxyxyxyxQ 94583 536);(
Se debe cumplir: a = 5; b = 3; c = 6
EJEMPLO: POLINOMIOS IDÉNTICOS
Si P y Q son idénticos,
Entonces: a = 5; b = 2; c = -8
P(x) = ax3 + bx2 + c
Q(x) = 2x2 +5x3 – 8
PQ
5.- POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
Es aquel polinomio cuyos coeficientes de
cada uno de sus términos son ceros.
582243);( DyyCxyBxAxyxP
Se debe cumplir: A= 0; B = 0; C = 0; D = 0
0
1º- SIENDO P(X) UN POLINOMIO COMPLETOSE CUMPLE:
324 4835)( xxxxxP
Se observa:
- Número de términos = 5
- Grado de P(x) = 4
de términos de P(x) = Grado de P(x) + 1
2º- EN TODO POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO P(X) LA DIFERENCIA DE GRADOS RELATIVOS DE DOS
TÉRMINOS CONSECUTIVOS VALE 1.
124835)( 234 xxxxxP
GR =3 GR =2
EJERCICIO 1
caabb xxxxR 272 25)(
Si se sabe que el polinomio es completo y
ordenado en forma creciente, calcula el valor de
2abc. Indica el grado del polinomio.
Respuestas:
a)2abc = 160
b)GA = 2
EJERCICIO 2
ccbabacb xxxxxP 23)(
Si se sabe que el polinomio es completo y
ordenado en forma decreciente, calcula el
valor de a - b - c.
Respuesta: a-b-c= -1
Si se sabe que el polinomio:
EJERCICIO 3
xcbxaxxxxdxP 12392642)( 2323
Respuesta: 84
es idénticamente nulo, calcula el valor de
-7(a+b+c+d)
EJERCICIO 4
yxyxxyxR abb 22712 262);(
Si se sabe que el polinomio es homogéneo,
calcula el valor de a – b.
Respuesta: -1
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