Matemáticas Discretas
CONJUNTOS
ConjuntosColección bien definida de objetos
� Posible determinar pertenencia de elementos
� Denotados por letras mayúsculas� Elementos denotados con letras
minúsculas� Definidos por comprensión o por
extensión� Orden de elementos irrelevante
Conjuntos
Conjuntos definidos por extensión
V = {a, e, i, o, u}
O = {1, 3, 5, 7, 9}
Conjuntos definidos por comprensión
V = todas las vocales del alfabetoO = números naturales impares
menores que 11A= {x | x= n2, donde n es entero
positivo menor que 8}
Conjuntos
Conjuntos: Igualdad
Considere los siguientes conjuntos
A={x | x es un número par mayor o igual a 2 y menor o igual a 4}
B={x | x es un múltiplo de 2 que es mayor o igual a 2 y menor que 5}
¿Los conjuntos A y B son iguales?
Conjuntos: Igualdad
Considere los siguientes conjuntos
C ={1,3,5}D ={3,5,1}
¿Los conjuntos C y D son iguales?
Conjuntos
Considere los siguientes conjuntos
C ={1,3,5}D ={3,5,1}
Los conjuntos C y D son iguales: el orden no es importante
Conjuntos
Considere los siguientes conjuntos
C ={1,3,5,5,3}D ={3,5,1}
¿Los conjuntos C y D son iguales?
ConjuntosConjuntos
Considere los siguientes conjuntos
C ={1,3,5,5,3}D ={3,5,1}
C y D también son iguales: tienen los mismos elementos
Diagramas de Venn
� Representación gráfica de conjuntos
� Usados para representar relaciones entreconjuntos
� Notación� Conjunto Universal: rectángulo� Conjuntos: círculos
� Elementos: puntos
Conjuntos
� Conjunto Universal� Vacío� Unitario� Finito vs. infinito� Cardinalidad
Conjuntos
Determine si los siguientes pares de conjuntos son iguales:
{1,3,3,3,3,5,5,5,5} , {5,3,1}
{{1}} , {1,{1}}
∅ , {∅ }
Pertenencia
Sea A={1,2,3,4,5}. Determine el valorde verdad de:
� 1∈ A� 2 ∉ A� {1} ∈ A� {2,3} ∉ A
Subconjunto
A ⊆ B si y solo si ∀x (x∈ A → x∈ B) esverdadera
Para cualquier conjunto S, ∅ ⊆ S
Para cualquier conjunto S, S ⊆ S
Subconjuntos
Sean A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}, C={1,6}, Indique si las siguientes relaciones se danentre los conjuntos
� A ⊆ B ?� A ⊆ C ?� B ⊆ A ?� B ⊆ C ? � C ⊆ A ?� C ⊆ B ?
Subconjunto propio
Sean P={1, 2}, Q={1, 2, 3}, R={1, 2, 3}
P ⊆ RQ ⊆ R
P ⊂ RQ ⊄ R
Subconjunto propioSean A={1,2,3}, B={3,3,1}, C={3,2,1,1,1,2,4}, indique si se presentan las siguientes relaciones entre los conjuntos
A ⊂ BA ⊂ CB ⊂ A B ⊂ CC ⊂ AC ⊂ B
Igualdad entre Conjuntos
Dos conjuntos son iguales si A ⊆ B y B ⊆ A
Cardinalidad
Cuál es la cardinalidad de los siguientes conjuntos
A= {a} A1= {3, ∅}
B= {{a}} B1= {∅∅}}
C= {a, {a}} C1= {{∅∅, , ∅∅, , ∅∅}}
D= {a, {b,c}} D1= {a, {a}, {a, {a}}}
F= {3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2}
ConjuntosDetermine si cada una de las siguientes
expresiones es falsa o verdadera
x ∈ {x}
{x} ⊆ {x}
{x} ⊂ {x}
{x} ∈ {x}
{x} ∈ { {x}, y }
∅∅∅∅ ⊆ {x}
∅∅∅∅ ∈ {x}
Conjunto Potencia
Sea S={0,1}
Cuáles subconjuntos se pueden
obtener de S?
Conjunto Potencia
Subconjunto de S
P(S) = {∅, {0}, {1}, {0,1}}
Conjunto Potencia
Sea S={0,1,2}
Cuáles subconjuntos se pueden obtener de S?
Conjunto Potencia
El conjunto de todos lossubconjuntos de S es su conjunto potencia que se denota por P(S)
Conjunto Potencia
Si S tiene n elementos, la cardinalidad de P(S), denotada
por | P(S) |= 2n
Ejemplos
Determine el conjunto potencia de S y T
S = {1,{2,3}, 4}
T = {{1},1,{2,3}, 4}
ProductoProducto CartesianoCartesiano
Sean A={1,2} y B={a,b,c}
El producto cartesiano entre A y B denotado por A ×××× B
A ×××× B= { (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
Producto Cartesiano
El producto cartesiano entre los conjuntos A1, A2,…,An, denotado por
A1×××× A2 ×××× … ×××× An es el conjunto formadopor n tuplas ordenadas (a1,a2,..,an),
donde ai ∈ Ai, para i=1,2,…,n
EjemploSea A={a,b,c}, B={x,y}, C={0,1}
Calcule
•A ×××× B
•B ×××× C
•A ×××× B ××××C
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