FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 1
FISIKA I: KORRONTE ALTERNOA
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 2
GAI ZERRENDA
1. SARRERA
2.ZIRKUITUAK KORRONTE ALTERNOAN
2.1 Zirkuitu Erresistiboak
2.2 Zirkuitu Kapazitiboaka
2.3 Zirkuitu Induktiboak
3. SEINALE PERIODIKOEN BATAZ BESTEKO BALIOA ETA BALIO EFIKAZA
4.FASOREAK ETA DIAGRAMA BEKTORIALA
4.1 Fasoreak
4.2 Fasoreen adierazpena zenbaki konplexuen bidez
4.3 Diagrama Bektoriala
5. IMPEDANTZIA KONPLEXUA
5.1 Inpedantzien arteko Elkarketa
5.2 Potentzia Inpedantzian
6. POTENTZIA FAKTOREA
6.1 Potentzia faktorearen hobetzea
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 3
1. Sarrera
- KORRONTE ZUZENA: Bere balioa ez dago denboraren menpe, beraz, konstante mantentzen
da
- KORRONTE ALTERNOA: Bere balioa ez da konstantea eta denborarekin aldatu egiten da
Korronte Zuzena Korronte Alternoa (Sinusoidala)
( ) ( )wtxtx sin0 ⋅=
x(t)
xo
t
( ) txtx ∀⋅= 0
- Korronte alternoko zirkuitu batetako puntu orotan bai tentsioa eta bai korrontea ere alternoak
dira
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 4
1. Sarrera. Seinale Alterno Motak
-Seinale alterno batek ez du zertan sinusoidala izan behar. Seinale alternoa izateko bete
beharreko baldintza da denboran zehar seinalea behin eta berriro errepikatzea
x(t)
xm
-xmT
t
x(t)
xm
-xmT
t
x(t)
xm
-xmT
t
KarratuaSinusoidala Trapezoidala
- Ikasgai honetan aztertuko diren zirkuitu alternoetan seinale sinusoidalak bakarrik hartuko
dira kontuan
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 5
1. Sarrera. Seinale Sinusoidalen Ezaugarri Nagusiak
- Seinale sinusoidalak ondorengo adierazpen matematikoaren
bidez definitzen dira
x(t)
xm
-xmT
t( ) ( )wtxtx m sin⋅=
-w seinalearen pultsazioa da
[ ]HzT
f1
=
-T seinalearen periodoa da eta seinalearen ziklo batek irauten dituen segunduak adierazten ditu
-f seinalearen maiztasuna da eta segundu batean seinalearen zenbat ziklo errepikatzen diren
adierazten du
==
segrad
Tfw
ππ
22
-Sare Elektrikoko Maiztasuna Europan: f=50Hz Estatu Batuetan:f=60Hz
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 6
1. Sarrera. Seinale Sinusoidalen Ezaugarri Nagusiak
-Seinale sinusoidal batek balio maximo eta minimo bat
dauzka.
x(t)
xm
-xmT
t
( ) ( )wtxxtx m sin0 ⋅+=
Balio maximoa xm
- Ikasgai honetan aztertuko diren seinaleen bataz besteko balioa zero izango da. Modu honetan
balio maximo eta minimoa berdinak dira baina alderantzizko zeinuarekin
Balio minimoa -xm
x(t)xo+xm
T
t
xo-xm
- Seinale alternoaren bataz besteko balioa ez denean zero, seinaleak “offset” bat daukala esaten da
offseta xo
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 7
1. Sarrera. Seinale Sinusoidalen Ezaugarri Nagusiak
-Seinale sinusoidalak jarraiak eta deribagarriak dira.
-Seinale sinusoidal baten deribatuaren emaitza beste seinale sinusoidal bat da
-Demagun ondorengo seinale sinusoidala daukagula
-Seinale hau deribatu ezkero
( ) ( )wtxtx m sin⋅=
( ) ( )
+⋅⋅=⋅⋅=2
sincosπ
wtxwwtxwdt
tdxmm
- Seinalearen magnitudea eta fasea aldatu
egiten dira
- Seinale sinusoidalaren deribatua π/2 radianetan aurreratua dago, eta magnitudea
seinalearen pulsazioarekin biderkatua
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 8
1. Sarrera. Seinale Sinusoidalen Arteko Erlazioa
-Bi seinale sinusoidal beraien magnitudea eta fasearen arabera erlaziona daitezke
-Demagun irudiko x1 eta x2 seinaleak dauzkagula. x2 seinalea x1 seinalearekiko ∆∆∆∆T segundutan
atzeratua dago
( ) ( )wtxtx m sin11 ⋅= ( ) ( )ϕ−⋅= wtxtx m sin22
-Bi magnitudeak G irabazpenaren bidez erlazionatuak
daude
1
2
m
m
x
xG =
-Bi seinaleen arteko desfasea segundotan
01 ttt −=∆
-Bi seinaleen arteko desfasea gradu eta radianetan
[ ]graduT
t360⋅
∆=ϕ [ ]radian
T
tπϕ 2⋅
∆=
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 9
1. Sarrera. Seinale Sinusoidalen Arteko Erlazioa
-Ondoren bi kasu berezi ikus daitezke
-Bi seinaleen arteko desfasea zero denean, bi seinaleak fasean daudela esaten da
-Bi seinaleen arteko desfasea ππππ radianetakoa denean, bi seinaleak kontra fasean daudela esaten da
Seinaleak Fasean Seinaleak Kontra fasean
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 10
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
-Zirkuitu alternoak iturri, erresistentzi, harila eta kondentsadorez osaturik daude
-Iturriak: korronte alternoko tentsio eta korronte iturriak
-Erresistentziak: Energi xurgatzaileak
-Harilak edo Induktantziak: Energia metatzaileak
-Kondentsadoreak: Energi metatzaileak
v(t)L
i(t)
v(t)C
i(t)
Zirkuitu Erresistiboa Zirkuitu Induktiboa Zirkuitu Kapazitiboa R-L-C Zirkuitu
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 11
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.1 Zirkuitu Erresistiboa v(t)R
i(t)
-R ohmiotako erresistentzia bat v(t) tentsio iturri alterno
sinusoidal batetara konektatu ezkero, erresistentziatik i(t)
korronte sinusoidal bat igarotzen da
-Korrontearen magnitudea Ohmen legearen bitartez
kalkulatzen da
( ) ( )wtvtv m sin⋅=
( ) ( ) ( )wtR
vwtiti m
m sinsin ⋅=⋅=
i(t)im
-im t
vm
-vm
v(t)
T
-Korrontea eta tentsioa fasean daude. Hau da, bi seinaleak
une berdinean igarotzen dira zerotik, eta bi seinaleen balio
maximo eta minimoak une berdinean ematen dira
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 12
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.1 Zirkuitu Erresistiboa. Xahututako Potentzia eta Energia
v(t)R
i(t)
-Erresistentziatik korronte bat igarotzen denean, honek potentzia xahutzen du.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]Wwt
ivwtivtitvtP mmmm
−⋅⋅=⋅⋅=⋅=
2
2cos1sin2
i(t)
im
t
vm
v(t)
T
0.5 vm im
P(t)
ENERGIA
vm im-Hau da,
( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]Wwtiv
titvtP mm 2cos12
−⋅
=⋅=
-Xahututako potentzia maximoa korrontea eta tentsioa
maximoak diren unean ematen da
[ ]WivP mm ⋅=max
-Xahututako potentziaren bataz besteko balioa
( ) [ ]Wiv
dttitvT
P
T
mmb ∫
⋅=⋅⋅=
2)(
1
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 13
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.1 Zirkuitu Erresistiboa. Xahututako Potentzia eta Energia-Erresistentziak xahututako energia potentziaren kurbak mugatzen duen azalera da. Azalera
kalkulatzeko potentzia denboran zehar integratu egin behar da
( ) ( ) [ ]∫ ⋅⋅= JdttitvE
i(t)
im
t
vm
v(t)
T
0.5 vm im
P(t)
ENERGIA
vm im-Periodo batetan
-Integrala bi partetan bereiz daiteke
( ) ( ) ( )( ) [ ]∫ ∫ ⋅−⋅
=⋅⋅=
T T
mm Jdtwtiv
dttitvE 2cos12
( )
⋅−
⋅= ∫ ∫
T T
mm dtwtdtiv
E 2cos2
-Garatuz
( )
−
⋅= T
oTo
mm wtw
tiv
E 2sin2
1
2
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 14
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.1 Zirkuitu Erresistiboa. Xahututako Potentzia eta Energia-Balioak ordezkatuz
i(t)
im
t
vm
v(t)
T
0.5 vm im
P(t)
ENERGIA
vm im
( ) ( ) [ ]JTiv
wwT
wT
ivE mmmm ⋅
⋅=
+−−
⋅=
20sin
2
12sin
2
10
2
[ ]JTiv
E mm
2
⋅= Erresistentzia batek xahututako energia periodo batean
-Korronte alternoa denean, erresistentziak xahututako energia
korronte zuzena denean xahututakoaren erdia da
-Korronte Zuzena [ ]JTivE mm ⋅⋅=
-Korronte Alternoa [ ]JTiv
E mm
2
⋅=
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 15
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.1 Zirkuitu Erresistiboa. Xahututako Potentzia eta Energia-Erresistentzia batek periodo bakoitzean xahututako energia, xahututako potentziaren bataz
besteko balioa da. Hau da,
[ ]JTIVTiv
E rmsrmsmm ⋅⋅=⋅
⋅=
2Erresistentzia batek xahututako energia periodo batean
[ ]WivT
EP mmb ⋅==
[ ]WIViv
P rmsrmsmm
b ⋅=⋅
=2
Erresistentzia batek xahututako potentziaren bataz
besteko balioa zirkuitu alterno batean
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 16
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.1 Zirkuitu Erresistiboa. Korronte eta Tentsioen Balio Efikazak
-Demagun orain arte aztertutako zirkuitu erresistiboa daukagula. Bertan erresistentziak Ea
energia xahutzen du periodo bateab
[ ]JTR
vT
ivE mmma ⋅
⋅=⋅
⋅=
22
2
-Erresistentzia berdina vrms tentsio balio jarrai batekin elikatu
ezkero, erresistentziatik irms korronte jarrai bat igaroko litzateke
eta kasu honetan erresistentziak Ej energia xahutuko luke
[ ]JTR
vE rms
j ⋅=2
-Bi kasuetan xahututako energia berdina izan dadin, vrms
tentsioaren balioa,
[ ]Vv
VEE mrmsja
2=⇒=
v(t)R
i(t)
Ea
vrmsR
irms
Ej
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 17
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.1 Zirkuitu Erresistiboa. Korronte eta Tentsioen Balio Efikazak
-vrms tentsio balio konstantea, vm balio maximoa duen tentsio alternoaren balio efikaz moduan
ezagutzen da, eta adierazten du energia kopuru berdina xahutzeko beharrezkoa den tentsio balio
konstantea
[ ]Vv
v mrms
2= Tentsioaren balio efikaza
Korrontearen balio efikaza
-Planteamendu berdina jarraituz korrontearen balio efikaza kalkula daiteke
[ ]Aii mrms
2=
-Zirkuitu alterno erresistiboak korronte zuzenekoak balira moduan ebatzi daitezke aldagaien balio
efikazak erabiliz
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 18
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.1 Zirkuitu Erresistiboa.Ariketa
Irudian azaltzen den erresistentzia Europako sare elektrikora konektatzen da. Hau da, 220V
efikaz eta 50Hz dauzkan tentsio alternora. Polimetro batek balio efikaza neurtzen duela
jakinik, kalkulatu:
a) Polimetroarekin neurtutako tentsioaren balio eta irudikatu sareko tentsioaren aldiuneko
balioa grafiko batean
b) Korrontearen balioa
c) Erresistentziak xahututako energia periodo batean
d) Sareko tentsioaren aldapa maximoa
220v
50Hz 1000Ω
EMAITZAK
a)Vrms=220V / Vmax=311V b) Irms=0.220A / Imax=0.311A c) E=0.97J d)97744.4 V/seg
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 19
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.1 Zirkuitu Erresistiboa.Ariketa
-Etxeetako plantxa batek ondorengo ezaugarri dauzka: 220V efikaz eta 1800W. Kalkulatu
plantxak kontsumituko duen korrontea eta plantxaren barne erresistentzia. Aldi berea, kalkulatu
ordu betez plantxatzen egon ostean xahututako energia
EMAITZAK
a) Irms=8.18A b) R=26.89Ω c) 6.48x106 J
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 20
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
Ariketa
-Kalkulatu eta irudikatu ondorengo bi seinale sinusoidalen deribatuak
( ) ( )ttv 2sin220 ⋅= ( )
+⋅=3
2sin100π
ttv
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 21
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboav(t)
C
i(t)
-Kondentsadore bat v(t) tentsio alternoarekin elikatzen denean i(t)
korronte alternoa xurgatzen du
-Definizioz kondentsadore bateko tentsioa eta korrontearen arteko
erlazioa ondorengoa da
( ) ( ) ( ) ( )dt
tdvCtidtti
Ctv =⇒⋅= ∫
1
-Tentsioa sinusoidala denez,
( ) ( )wtvtv m sin⋅=
-Adierazpen hau deribatuan ordezkatuz
( ) ( ) ( )
+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==2
sincosπ
wtwvCwtwvCdt
tdvCti mm
C Kondentsadorearen Kapazitantzia [F]
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 22
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboav(t)
C
i(t)
-Beraz, i(t) korrontearen adierazpen matematikoa
( ) wvCiwtiti mmm ⋅⋅=⇒
+⋅=2
sinπ
-Korrontea sinusoidala da eta tentsioaren maiztasun
berdina dauka. Magnitudea eta fasea ordea aldatu
egiten dira. Korrontea tentsioarekiko aurreraturik
dago ππππ/2 radianetan
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 23
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Potentzia Erreaktiboav(t)
C
i(t)
-Honezkero ezaguna zaigu potentziaren definizioa zein den.
( ) ( ) ( )titvtP ⋅=
-Tentsioa eta korrontea denboran aldakorrak
direnez, potentzia ere denboran aldakorra da
-Tentsioa eta korrontearen adierazpenak ordezkatuz
( ) ( ) ( )wtiwtvtP mm cossin ⋅⋅⋅=
-Propietate trigonometrikoez baliatuz,
( ) ( )wtiv
tP mm 2sin2
⋅⋅
=
-Potentziaren maiztasuna korronte eta tentsioaren
maiztasunaren bikoitza da
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 24
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Potentzia Erreaktiboav(t)
C
i(t)
-Potentzia positiboa denean, iturritik kondentsadorera
igarotzen da
-Potentzia negatiboa denean, kondentsadoreak
potentzia iturriari itzuli egiten dio
-Iturria eta kondentsadorearen artean nolabaiteko
potentzia trukaketa dago
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 25
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Potentzia Erreaktiboav(t)
C
i(t)
-Iturria eta kondentsadorearen artean trukatzen den potentzia
“Potentzia Erreaktiboa” deitzen da.
-Potentzia erreaktiboaren bataz besteko balioa zero da
-Aldiz, potentzia erreaktiboaren balio maximoa
[ ]VARiv
IVQ mmrmsrms
2
⋅=⋅=
VAR Volt Amperio Erreaktiboak
[ ]VARwCvQ m ⋅⋅⋅=2
2
1Kondentsadorea eta iturriaren
artean trukatutako potentzia
erreaktiboa
-Jada dakigunez im=vmwC,
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 26
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Energia Erreaktiboav(t)
C
i(t)
-Energia kalkulatzeko potentzia elektrikoa denboran integratu
beharra dago
( ) [ ]∫ ⋅= JdttPE
-Integrala ebatziz,
-Periodo laurden batetan zehar integratu ezkero,
( ) ( ) [ ]Jdtwtiv
dttPET T mm ⋅⋅
⋅=⋅= ∫ ∫ 2sin
2
25.0
0
25.0
0
( ) Tmm wtw
ivE 25.0
02cos4
⋅⋅
⋅−=
-Denboraren balioak ordezkatuz
( ) ( )( )0cos5.0cos4
−⋅⋅
⋅−= wT
w
ivE mm
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 27
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Potentzia Erreaktiboav(t)
C
i(t)
-Jakina denez, wt=2π. Beraz,
( ) ( )( ) [ ]Jw
iv
w
ivE mmmm
⋅
⋅=−⋅
⋅
⋅−=
20coscos
4π
-Dagoeneko dakigunez, im=vmwC. Beraz
-Garatuz
[ ]Jw
CwvvE mm
⋅
⋅⋅⋅=
2
[ ]JvCE m2
2
1⋅⋅=
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 28
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Energia Erreaktiboav(t)
C
i(t)
-Bai ziklo oso batean eta bai ziklo erdi batean kalkulatutako bataz
besteko energia E=0J da
-Aldiz, ziklo laurden batean kalkulatutako bataz
besteko energia E≠≠≠≠0J da
-ONDORIOZ:
-Zirkuitu kapazitibo batek ez du energiarik xahutzen
-E>0 denean, kondentsadoreak energia iturritik hartu
eta gorde egiten du
-E<0 denean, kondentsadoreak gordetako energia
iturrira itzultzen du
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 29
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Erreaktantzia Kapazitiboav(t)
C
i(t)
-Kondentsadorearen erreaktantziak, kondentsadoreko tentsio eta
korrontearen balio maximoen (edo efikazen) arteko erlazioa
definitzen du
[ ]Ω==rms
rms
m
mC
I
V
i
vX
-Aurretik deduzitu dugu im=wvmC. Adierazpen hau ordezkatuz
[ ]Ω⋅
=⋅
=⇒⋅⋅
=CfCw
XvCw
vX C
m
mC
π2
11
-Kondentsadorearen erreaktantzia balioa korronte eta tentsioaren maiztasuna eta
kondentsadorearen kapazitantzia balioaren menpe dago
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 30
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Erreaktantzia Kapazitiboa
-Maiztasunaren arabera muturreko bi kasu aztertzera goaz.
-Maiztasuna zero denean, hau da korronte zuzena daukagunean, kondentsadorearen erreaktantzia
balioa infinitu da. Beraz, egoera honetan zirkuituan ez da korronterik egongo.
-Aldiz, maiztasuna infinitu egiten denean erreaktantzia zero izanen da eta egoera honetan
kondentsadoreak zirkuitu labur bat egingo du zirkuituan, korrontea infinitu eginez.
0=∞= IXC
f=0 denean
v(t)
∞== IXC 0
f=∞ denean
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 31
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Laburbilduz
-Zirkuitu kapazitiboak beraien baitan kondentsadore bat (edo gehiago) duten zirkuituak dira.
Kondentsadorea, karga gordetzeko kapazitatea duen elementua da. Kondentsadore hauek energia
elektrikoa gordetzen dute, eta kargatu egiten dira beraietatik korronte elektrikoa igarotzen denean.
-Zirkuitu kapazitibo bati tentsio sinusoidala aplikatzen bazaio, korronte bat ekoiztuko du, eta honek
ere uhin sinusoidalaren forma izango du. Hala ere, korronte kapazitibo hau desfasatuta dago
tentsioarekiko 90º aurreratua.
-Kondentsadore batek ez du energiarik xahutzen, GORDE eta EMAN baizik, beraz, potentzi aktiboa
0 da eta potentzi erreaktiboa besterik ez du maneiatzen.
v(t)C
i(t)
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 32
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Laburbilduz
v(t)C
i(t)
[ ]VARwvCX
vQ m
C
rms ⋅⋅⋅==2
2
2
1 Kondentsadorea eta iturriaren artean trukatutako
potentzia erreaktiboa
[ ]JvCE m2
2
1⋅⋅=
Kondentsadorea eta iturriaren artean trukatutako
Energia erreaktiboa
[ ]Ω⋅
=⋅
=CfCw
XCπ2
11Kondentsadorearen Erreaktantzia
Vm tentsio sinusoidalaren balio maximoa
Vrms tentsio sinusoidalaren balio efikaza
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 33
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Kapazitiboa. Adibidea
v(t)C1=10 F
i(t)
C2=10 F
C3=50 F
C4=20 F
C5=80 F
ia(t)
ib(t)
- Kalkulatu kondentsadore bakoitzaren korrontea eta tentsioa, eta iturria eta
kondentsadore multzoaren artean trukatutako potentzia eta energia erreaktiboa.
Irudikatu grafiko batetan iturriaren aldiuneko tentsioa korrontea eta potentzia.
( ) ( ) [ ]Vttv ⋅⋅= 16.314sin311
Emaitzak
( )
+⋅⋅=2
16.314sin6727.1π
tti
VARQ 1.260= JE 8279.0=
( )
+⋅⋅=2
16.314sin4885.0π
ttia
( )
+⋅⋅=2
16.314sin1843.1π
ttib
( ) ( )ttv ⋅⋅= 16.314sin5.1551 ( ) ( )ttv ⋅⋅= 16.314sin5.1552
( ) ( )ttv ⋅⋅= 16.314sin4.753 ( ) ( )ttv ⋅⋅= 16.314sin5.1884
( ) ( )ttv ⋅⋅= 16.314sin12.475
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 34
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.3 Zirkuitu Induktiboav(t)
L
i(t)
-Harila bat v(t) tentsio alternoarekin elikatzen denean i(t) korronte
alternoa xurgatzen du
-Definizioz harila bateko tentsioa eta korrontearen arteko erlazioa
ondorengoa da
( ) ( ) ( ) ( )∫ ⋅=⇒= dttvL
tidt
tdiLtv
1
-Tentsioa sinusoidala denez,
( ) ( )wtvtv m sin⋅=
-Adierazpen hau integralean ordezkatuz
( ) ( ) ( )
−
⋅=⋅
⋅−=⋅= ∫ 2
sincos1 π
wtLw
vwt
Lw
vdttv
Lti mm
L Harilaren induktantzia [H]
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 35
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.3 Zirkuitu Induktiboa
-Beraz, i(t) korrontearen adierazpen matematikoa
( )Lw
viwtiti mmm
⋅=⇒
−⋅=2
sinπ
-Korrontea sinusoidala da eta tentsioaren maiztasun
berdina dauka. Magnitudea eta fasea ordea aldatu
egiten dira. Korrontea tentsioarekiko atzeraturik
dago ππππ/2 radianetan
v(t)L
i(t)
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 36
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.3 Zirkuitu Induktiboa. Potentzia Erreaktiboa
-Potentziaren definizioa
( ) ( ) ( )titvtP ⋅=
-Tentsioa eta korrontea denboran aldakorrak
direnez, potentzia ere denboran aldakorra da
-Tentsioa eta korrontearen adierazpenak ordezkatuz
( ) ( ) ( )( )wtiwtvtP mm cossin ⋅−⋅⋅=
-Propietate trigonometrikoez baliatuz,
( ) ( )wtiv
tP mm 2sin2
⋅⋅
−=
-Potentziaren maiztasuna korronte eta tentsioaren
maiztasunaren bikoitza da
v(t)L
i(t)
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 37
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.3 Zirkuitu Induktiboa. Potentzia Erreaktiboa
-Potentzia positiboa denean, iturritik harilera igarotzen da
-Potentzia negatiboa denean, harilak potentzia iturriari
itzuli egiten dio
-Iturria eta harilaren artean nolabaiteko potentzia
trukaketa dago
v(t)L
i(t)
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 38
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.3 Zirkuitu Induktiboa. Potentzia Erreaktiboa
-Iturria eta harilaren artean trukatzen den potentzia
“Potentzia Erreaktiboa” deitzen da.
-Potentzia erreaktiboaren bataz besteko balioa zero da
-Potentzia erreaktiboaren balio maximoa ordea ez.
[ ]VARiv
IVQ mmrmsrms
2
⋅=⋅=
VAR Volt Amperio Erreaktiboak
[ ]VARwLiQ m ⋅⋅⋅=2
2
1 Harila eta iturriaren artean
trukatutako potentzia erreaktiboa
v(t)L
i(t)
- Jada dakigunez im=vmwL,
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 39
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Induktiboa. Energia Erreaktiboa
-Energia kalkulatzeko potentzia elektrikoa denboran integratu
beharra dago
( ) [ ]∫ ⋅= JdttPE
-Integrala ebatziz,
-Periodo laurden batetan zehar integratu ezkero,
( ) ( ) [ ]Jdtwtiv
dttPET T mm ⋅⋅
⋅−=⋅= ∫ ∫ 2sin
2
25.0
0
25.0
0
( ) Tmm wtw
ivE 25.0
02cos4
⋅⋅
⋅=
-Denboraren balioak ordezkatuz
( ) ( )( )0cos5.0cos4
−⋅⋅
⋅= wT
w
ivE mm
v(t)L
i(t)
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 40
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Induktiboa. Potentzia Erreaktiboa
-Jakina denez, wt=2π. Beraz,
( ) ( )( ) [ ]Jw
iv
w
ivE mmmm
⋅
⋅−=−⋅
⋅
⋅=
20coscos
4π
-Aurretik demostratu denez, vm=imXL. Beraz
⋅⋅
⋅⋅⋅=
w
LwiiE mm
2
-Eta garatuz
[ ]JiLE m2
2
1⋅⋅=
v(t)L
i(t)
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 41
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Induktiboa. Energia Erreaktiboa
-Bai ziklo oso batean eta bai ziklo erdi batean kalkulatutako bataz
besteko energia E=0J da
-Aldiz, ziklo laurden batean kalkulatutako bataz
besteko energia E≠≠≠≠0J da
-ONDORIOZ:
-Zirkuitu induktibo batek ez du energiarik xahutzen
-E>0 denean, harilak energia iturritik hartu eta gorde
egiten du
-E<0 denean, harilak gordetako energia iturrira
itzultzen du
v(t)L
i(t)
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 42
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Induktiboa. Erreaktantzia Induktiboa
-Harilaren erreaktantziak, harilako tentsio eta korrontearen balio
maximoen (edo efikazen) arteko erlazioa definitzen du
[ ]Ω==rms
rms
m
mL
I
V
i
vX
-Aurretik deduzitu dugu im=vm/wL. Adierazpen hau ordezkatuz
[ ]Ω⋅=⋅=⇒⋅⋅
= LfLwXv
vLwX L
m
mL π2
-Harilaren erreaktantzia balioa korronte eta tentsioaren maiztasuna eta harilaren induktantzia
balioaren menpe dago
v(t)L
i(t)
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 43
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Induktiboa. Erreaktantzia Induktiboa
-Maiztasunaren arabera muturreko bi kasu aztertzera goaz.
-Maiztasuna zero denean, hau da korronte zuzena daukagunean, harilaren erreaktantzia balioa zero
da. Beraz, egoera honetan harilak zirkuitu labur bat egiten du zirkuituan, korrontea infinitu eginez.
-Aldiz, maiztasuna infinitu egiten denean harilaren erreaktantzia infinitu izanen da eta egoera
honetan zirkuituan ez da korronterik egongo.
0=∞= IX L
f=0 denean
v(t)
∞== IX L 0
f=∞ denean
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 44
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Induktiboa. Laburbilduz
-Zirkuitu induktiboak beraien baitan harila bat (edo gehiago) duten zirkuituak dira. Harila, karga
gordetzeko ahalmena duen elementua da. Harila hauek energia elektrikoa gordetzen dute, eta kargatu
egiten dira beraietatik korronte elektrikoa igarotzen denean.
-Zirkuitu induktibo bati tentsio sinusoidala aplikatzen bazaio, korronte bat ekoiztuko du, eta honek ere
uhin sinusoidalaren forma izango du. Hala ere, korronte induktibo hau desfasatuta dago
tentsioarekiko 90º atzeratua.
-Harila ideal batek ez du energiarik xahutzen, GORDE eta EMAN baizik, beraz, potentzi aktiboa 0
da eta potentzi erreaktiboa besterik ez du maneiatzen.
v(t)L
i(t)
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 45
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Induktiboa. Laburbilduz
[ ]VARwILIXQ rmsL ⋅⋅⋅=⋅= 22
2
1 Kondentsadorea eta iturriaren artean
trukatutako potentzia erreaktiboa
[ ]JILE 2
2
1⋅⋅= Kondentsadorea eta iturriaren artean trukatutako Energia
erreaktiboa
[ ]Ω⋅=⋅= LfLwX L π2 Kondentsadorearen Erreaktantzia
v(t)L
i(t)
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 46
2. Zirkuituak Korronte Alternoan
2.2 Zirkuitu Induktiboa. Adibidea
- Kalkulatu harila bakoitzaren korrontea eta tentsioa, eta iturria eta harila
multzoaren artean trukatutako potentzia eta energia erreaktiboa. Irudikatu
grafiko batetan iturriaren aldiuneko tentsioa, korrontea eta potentzia.
( ) ( ) [ ]Vttv ⋅⋅= 500sin10
Emaitzak
( )
−⋅⋅=2
500sin8571.2π
tti
VARQ 28.14= JE 0286.0=
( )
−⋅⋅=2
500sin4286.1π
ttia
( )
−⋅⋅=2
500sin4286.1π
ttib
( ) ( )ttv ⋅⋅= 500sin1429.71( ) ( )ttv ⋅⋅= 500sin7143.02
( ) ( )ttv ⋅⋅= 500sin1429.23 ( ) ( )ttv ⋅⋅= 500sin8571.24
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 47
3. Seinale Periodikoen Bataz Besteko Balioa eta Balio Efikaza
3.1 Bataz Besteko Balioa- Seinale bat periodikoa dela deritzogu ondorengoa betetzen denean,
( ) ( )kTtxtx +=
X(t)
tx(t) x(t+T)
x(t1)=x(t1+T)
Xb
A1
A2
T
- Seinale periodikoa denboran integratuz gero, seinaleak mugatutako azalera kalkulatzen
da. Hau da bere azalera efektiboa
( )∫ ⋅=−=T
dttxAAA
0
21
- Azalera efektibo berdina lor daiteke Xb balio konstante
batekin
( )∫ ⋅=−=⋅T
b dttxAATX
0
21
- Balio konstante hau seinalearen bataz besteko balio
moduan ezagutzen da
( )∫ ⋅⋅=T
b dttxT
X
0
1
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 48
3. Seinale Periodikoen Bataz Besteko Balioa eta Balio Efikaza
3.2 Balio Efikazaren Zentzua. RMS (Root Mean Square)- Demagun zirkuitu alterno erresistibo bat daukagula. Erresistentziak energia bat xahutzen
du.
- Erresistentziaren tentsio eta korrontea sinusoidalak izan beharrean zuzenak balira, erresistentzian
xahututako energia ondorengoa izango litzateke
[ ]JTR
vT
ivTIVE mmm
rmsrms22
2
=⋅
=⋅⋅=
[ ]JTR
VTIVE rms
rmsrms
2
=⋅⋅=
- Korronte alternoan eta zuzenean xahututako energia berdinak izateko
22
22m
rmsrmsm v
VTR
VT
R
v=⇒⋅=⋅
- Korronte edo tentsioaren sinusoidal baten balio efikaza da periodo batean energia kopuru berdina
ematen duen balio konstantea
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 49
3. Seinale Periodikoen Bataz Besteko Balioa eta Balio Efikaza
3.2 Balio Efikazaren Definizioa. RMS (Root Mean Square)
- Zirkuitu alterno batean seinaleak zeroan zentratuak egon ezkero, hauen bataz besteko balioak
zero dira. Energiaren emaitza ordea ez da zero.
- Edozein dela ere seinale periodikoaren itxura (eta ez du zertan sinusoidala izan behar), naiz eta
bere bataz besteko balioa zero izan, seinale honek zero ez den balio efikaz bat edukiko du
- Definizioz, seinale periodiko baten balio efikazaren
karratua, seinalearen karratuaren bataz besteko balioa
da, periodo bat kontuan izanik
( )∫ ⋅=⋅T
rms dttxTX
0
22
X(t)
t
X(t)
X2(t)
X2b
Xrms
- Ebatziz
( )∫ ⋅⋅=T
rms dttxT
X
0
21
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 50
3. Seinale Periodikoen Bataz Besteko Balioa eta Balio Efikaza
X(t)
t
X(t)
X2(t)
X2b
Xrms
Seinale alterno baten bataz besteko balioa( )∫ ⋅⋅=T
b dttxT
X
0
1
Seinale alterno baten balio efikaza( )∫ ⋅⋅=T
rms dttxT
X
0
21
X(t)
tx(t) x(t+T)
x(t1)=x(t1+T)
Xb
A1
A2
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 51
3. Seinale Periodikoen Bataz Besteko Balioa eta Balio Efikaza
- Kalkulatu ondorengo seinale sinusoidalaren balio efikaza
( )
+⋅⋅=4
15.314sin311π
ttx
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 52
3. Seinale Periodikoen Bataz Besteko Balioa eta Balio Efikaza
3.3 Erabilgarritasuna
- Tentsio eta korronteen balio efikazak erabilgarriak dira potentzia eta energiak kalkulatzeko orduan
- Aurretik ikusi da nola erresistentzia batek xahututako potentzia zirkuitu alternoan
[ ]Wiv
P mm
2
⋅=
- Potentzia balio hau zuzenean kalkula daiteke tentsio eta korronteen balio efikazak ezagutu ezkero
[ ]Wiviv
IVP mmmmrmsrms
222
⋅=⋅=⋅=
- Berdin zirkuitu kapazitibo eta induktiboetan ere
rms
rms
I
VR =
rms
rmsC
I
VX =
rms
rmsL
I
VX =
[ ]VARwvCIVQ mrmsrms ⋅⋅⋅=⋅=2
2
1 [ ]VARwiLIVQ mrmsrms ⋅⋅⋅=⋅=2
2
1
- Erresistentzia eta erreaktantzia balioak kalkulatzeko ere erabili daitezke
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 53
3. Seinale Periodikoen Bataz Besteko Balioa eta Balio Efikaza
Ariketa
- Irudian harila eta kondentsadore batek osaturiko zirkuitu alterno “erresonantea” ikus daiteke.
Demagun elikadura iturriak ematen duen tensioaren maiztasuna aldakorra dela. Kalkulatu
zirkuituko korrontea maximo egiten duen maiztasun balioa.
Emaitza
HzLC
f 22512
1==
π( ) ( )wttv sin20 ⋅=
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 54
3. Seinale Periodikoen Bataz Besteko Balioa eta Balio Efikaza
Ariketa
- Lehenik eta behin erreaktantzien balioak kalkulatzen dira. Gogoratu, erreaktantziek harila eta
kondentsadoreen korronte eta tentsioen balio maximo eta efikazak erlazionatzen dituzte.
[ ]Ω==fCwC
XCπ2
11[ ]Ω== fLwLX L π2
- Behin erreaktantzien balioak lortutakoan, zirkuituko korrontearen balio efikaza kalkulatzen da
Ohmen legea aplikatuz
( )[ ]A
XX
v
XX
VI
LC
m
LC
rmsrms
+=
+=
2
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 55
3. Seinale Periodikoen Bataz Besteko Balioa eta Balio Efikaza
Ariketa
- Erreaktantzien baloreak ordezkatuz gero,
0 2000 4000 6000 8000 100000
0.05
0.1
0.15
0.2
Maiztasuna [Hz]
Ko
rro
nte
a [A
]
[ ]ALCw
wCV
wCwL
V
XX
VI rmsrms
LC
rmsrms
11 2 +=
+
=+
=
- Korrontearen balioa w pultsazioaren menpe dago, beraz
maiztasunaren menpe ere bai
- Korrontearen balio maximoa zein pultsaziotan ematen den ebazteko, korrontearen adierazpena
pultsazioarekiko deribatu eta zerorekin berdindu behar da. Berdintza horretatik pultsazioaren balioa
ebatziz
( )( )
[ ]AV
LCw
wLCwCLCwC
dw
dIrms 0
1
2122
2
=+
⋅−+=
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 56
3. Seinale Periodikoen Bataz Besteko Balioa eta Balio Efikaza
Ariketa
- Emaitza zero izateko nahikoa da zenbakitzailea zero izatea
0 2000 4000 6000 8000 100000
0.05
0.1
0.15
0.2
Maiztasuna [Hz]
Ko
rro
nte
a [A
]
- w pultsazioa askatuz gero,
( ) 0212 =⋅−+ wLCwCLCwC
segrad
LCw 14142
1==
- Eta maiztasuna
HzLC
wf 2251
2
1
2===
ππ
( )mA
XX
vI
LC
m 4.1412
max =+
=
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 57
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.1 Seinale Sinusoidalen adierazpen Fasoriala
- Demagun x-y koordenadetan definitutako v bektore edo fasore bat daukagula , eta bektore hau
biraka dabilela w abiadura angeluar konstantearekinvw
tt
vx
vy
vx (t)
vy(t)
x
y
- v bektorea x-y koordenadetan irudikatzen da. vx
seinalea x ardatzeko osagaia da eta vy seinalea y
ardatzeko osagaia
- Bektorea mugimenduan dagoenez, x-y osagaiak
denborarekin aldatu egiten dira
- Demagun bektorearen luzera edo modulua r dela.
Orduan
( )wtrrvx coscos ⋅=⋅= α
( )wtrrvy sinsin ⋅=⋅= α
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 58
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.1 Seinale Sinusoidalen adierazpen Fasoriala
- Seinale sinusoidalak w abiadura konstantearekin biraka dabilen bektore baten bidez defini
daitezkevw
tt
vx
vy
vx (t)
vy(t)
x
y
- Bektorearen moduluak seinale sinusoidalen
magnitude efikaza definitzen du
- Bektorearen abiadurak seinale sinusoidalen
pultsazioa definitzen du
- Zirkuitu alternoetako tentsio eta korronteak
bektore bidez adierazi daitezke
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 59
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.1 Seinale Sinusoidalen adierazpen Fasoriala
- Demagun w abiadura angeluar konstantearekin mugitzen diren bi bektore v eta i dauzkagula, eta
beraien artean ϕϕϕϕ angeluko desfasea dagoela
( ) ( )β+⋅= wtvtv sinˆ ( ) ( )α+⋅= wtiti sinˆ
- Seinale sinusoidalak hiru parametroren
bidez defini daitezke: magnitudea,
pultsazioa eta fasea
- Zirkuitu alternoetan seinale guztien
pultsazioak berdinak dira, beraz ez
da beharrezkoa parametro hau
adieraztea
- Zirkuitu alternoetako korronte eta
tentsioak magnitudea eta fasearen
bidez definituko dira
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 60
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.1 Seinale Sinusoidalen adierazpen Fasoriala
- Zirkuitu alternoetako tentsio eta korronteak fasore edo bektore bidez adierazi daitezke. Bektorearen
modulua seinalearen balio efikaza da eta fasea seinalearen hasierako angelua da
- Aldagaien adierazpen bektoriala erabiliz
zirkuitu alternoen ebazpena asko errazten
da
- Era honetan, seinale sinusoidalen
arteko operazioak, batuketa, kenketa,
biderketa edo zatiketa, bektoreen
arteko operazio bektorial moduan
ebatzi daitezke
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 61
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.1 Seinale Sinusoidalen adierazpen Fasoriala. Fasoreen arteko Batuketa
- Kalkulatu v eta i seinale sinusoidalen arteko batuketa.
( ) ( )β+⋅= wtvtv sinˆ ( ) ( )α+⋅= wtiti sinˆ
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 62
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.1 Seinale Sinusoidalen adierazpen Fasoriala. Fasoreen arteko Batuketa
- Bi seinaleak zuzenean batuz,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )αβ +⋅++⋅=+= wtiwtvtitvtr sinˆsinˆ
- Propietate trigonometrikoak aplikatuz
( ) ( ) ( ) ααββ sincosˆcossinˆsincosˆcossinˆ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+= wtiwtiwtvwtvtitvtr
- Garatuz
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) wtivwtivtitvtr cossinˆsinˆsincosˆcosˆ ⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=+= αβαβ
- Defini ditzagun
( )αβθ cosˆcosˆcosˆ ⋅+⋅=⋅= ivrrx
( )αβθ sinˆsinˆsinˆ ⋅+⋅=⋅= ivrry
v
y
i
r
x
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 63
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.1 Seinale Sinusoidalen adierazpen Fasoriala. Fasoreen arteko Batuketa
- r bektore erresultantearen x osagaia v eta i bektoreen x osagaien arteko batuketa da
αβθ cosˆcosˆcosˆ ⋅+⋅=+=⋅= ivivrr xxx
αβθ sinˆsinˆsinˆ ⋅+⋅=+=⋅= ivivrr yyy
v
y
i
r
x
- r bektore erresultantearen y osagaia v eta i bektoreen y osagaien arteko batuketa da
- Bi seinale sinusoidalen arteko batuketa bi bektoreen arteko
batuketa bektoriala eginez ebatzi daiteke
- Bektoreekin operatzea seinale sinusoidalekin operatzea baino
askoz ere errazagoa da
- Zirkuitu alternoetan aldagaiak bektore moduan adieraziko dira eta
zirkuituak operazio bektorialen bidez ebatziko dira
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 64
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.2 Fasoreen Adierazpena Zenbaki Konplexuen Bidez
- Bektoreen arteko operazioak, batuketa, kenketa, biderketa edo zatiketa, asko errazten dira
bektoreak zenbaki konplexuen bidez adierazten direnean
yx ijii ⋅+=
- Zenbaki konplexuen bidez bektoreak matematikoki adierazi daitezke y
i
xix
iyI
ix zenbaki konplexuaren zati edo osagai erreala
iy zenbaki konplexuaren zati edo osagai irudikaria
1−=j
- Zenbaki konplexuak bi eratan adierazi daitezke:
- Adierazpen Binomiala
- Adierazpen Polarra
yx ijii ⋅+=
α∠= Ii
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 65
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.2 Fasoreen Adierazpena Zenbaki Konplexuen Bidez. Adierazpenen arteko transformazioa
- Zenbaki konplexuak adierazpen polarretik binomialera pasatzekoy
i
xix
iy
x
yyx
i
iarctgiiI =+= α22
αα sincos ⋅=⋅= IiIi yx
- Zenbaki konplexuak adierazpen binomialetik polarrera pasatzeko
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 66
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.2 Fasoreen Adierazpena Zenbaki Konplexuen Bidez. Operazioak
- Batuketa era binomialean ( ) ( ) ( ) ( )dbjcajdcjbazz +++=+++=+ 21
- Kenketa era binomialean ( ) ( ) ( ) ( )dbjcajdcjbazz −+−=+−+=− 21
- Biderketa
-Era Binomialean
-Era Polarrean
( ) ( ) ( ) ( )adbcjbdacjdcjbazz ++−=+⋅+=⋅ 21
2121221121 θθθθ +∠⋅=∠⋅∠=⋅ rrrrzz
- Zatiketa
-Era Binomialean
-Era Polarrean
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )2222
2
1
dc
adbcj
dc
bdac
jdcjdc
jdcjba
jdc
jba
z
z
+
−+
+
+=
−⋅+
−⋅+=
+
+=
212
1
22
11
2
1 θθθ
θ−∠=
∠
∠=
r
r
r
r
z
z
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 67
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.2 Fasoreen Adierazpena Zenbaki Konplexuen Bidez. Zertarako?
- Irudian R-L (erresistentzia eta harila batez osaturikoa) zirkuitu alterno bat ikus daiteke.
Kalkulatu elementu bakoitzetik igarotzen den korrontea eta elementu bakoitzaren bornetan
dagoen tentsioa
iL(t)
iR(t)
V(t)
i(t) ( ) ( )
Ω=
Ω=
⋅⋅⋅=
30
40
502sin120
LX
R
ttv π
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 68
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.2 Fasoreen Adierazpena Zenbaki Konplexuen Bidez. Zertarako?
- Lehenik eta behin, ohmen legea aplikatuz erresistentziako korrontea ebatziko da
- Ohmen legea aplikatuz beste behin, harilako korrontea kalkulatuko da bigarren urratsean
( ) ( ) [ ]wL
viAwt
wL
v
X
tvti L
LL
ˆˆ
2sin
ˆ=⇒
−⋅==
π
( ) ( ) ( ) [ ]R
viAwt
R
v
R
tvti RL
ˆˆsin
ˆ=⇒⋅==
- Gogratu harila batetan, korrontea tentsioarekiko 90º atzeratua dagoela. Eta kirchoffen
korapiloko legeaz baliatuz, korronte totala ebatziko da
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−⋅+=+=⇒=∑2
sinˆ
sinˆ
0π
wtwL
vwt
R
vtitititi LR
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 69
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.2 Fasoreen Adierazpena Zenbaki Konplexuen Bidez. Zertarako?
- i(t) korronte totala, iR(t) eta iL(t) korronteen
batura da, hau da, une oro i(t)ren aldiuneko
balioa iR(t) eta iL(t) aldiuneko balioen batura
algebraikoa da.
- Baina i(t)ren balio maximoa ez da iR(t) eta
iL(t) korronteen balio maximoen batura. Hain
zuzen ere, desfasearen ondorioz seinale bien
balio maximoak ez dira aldiune berean
ematen.
t
iR
iL
i i(t)
iL(t)
iR(t)
( ) ( ) ( ) ( )titititi LR +=⇒=∑ 0
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 70
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.2 Fasoreen Adierazpena Zenbaki Konplexuen Bidez. Zertarako?
- Batuketa bektoreen bidez ebatziko da. Bi korronteak bektore moduan adieraziko dira
( ) ( ) [ ] º0ˆ
sinˆ
∠=⇒⋅=R
viAwt
R
vti RR
r
- Bi bektoreak batuaz
++
+=+= º90sin
ˆº0sin
ˆº90cos
ˆº0cos
ˆ
wL
v
R
vj
wL
v
R
viii LR
rrr
( ) [ ] º90ˆ
2sin
ˆ∠=⇒
−⋅=
wL
viAwt
wL
vti LL
rπ
- Garatuz
wL
Rartg
wL
v
R
vi
wLj
Rv
wL
vj
R
viii LR ∠
+
=⇒
+=+=+=
22ˆˆ11
ˆˆˆ rrrr
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 71
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.2 Fasoreen Adierazpena Zenbaki Konplexuen Bidez. Zertarako?
- Balioak ordezkatuz, korrontearen magnitudea
AwL
v
R
vI 5
30
120
40
120ˆˆ2222
=
+
=
+
=
- Eta angelua
º13.53==wL
Rartgθ
- Eta bektorea
º13.535∠=ir
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 72
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.3 Diagrama Bektoriala
- Aurreko adibide berdinarekin jarraituz, aldagai guztiak bektorialki adierazi behar ditugu
º0120∠=vr
- Bektore hauek bi dimentsiotako grafiko
batetan irudikatu daitezke. Grafiko hau
diagrama bektoriala deitzen da
º13.535∠=ir
º03∠=Rir
º904 −∠=Lir
viR
iLi
ºº
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 73
4. Fasoreak eta Diagrama Bektoriala
4.3 Diagrama Bektoriala
θ∠= vv ˆr
Zirkuitu Erresistiboa Zirkuitu Induktiboa Zirkuitu Kapazitiboa
θ∠= ii ˆr
θ∠= vv ˆr
º90ˆ −∠= θiir
θ∠= vv ˆr
º90ˆ +∠= θiir
0∠== Ri
vz r
rr
º90∠== LXi
vz r
rr
º90−∠== CXi
vz r
rr
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 74
5. Inpendantzia Konplexua
- Zirkuitu alternoan inpedantziak korrontea eta tentsioa erlazionatzen ditu
- Korrontea eta tentsioa zenbaki konplexuak direnez, inpedantzia ere zenbaki konplexua da
( ) ( )( ) ( ) [ ]Ω+=−+−=−∠=∠
∠== ααθθθθθθ
θ
θsincossincos
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ212121
2
1 jZji
v
i
v
i
v
i
vz r
rr
Z- Inpedantziaren modulua
i
vZ
ˆ
ˆ=
- Inpedantziaren angelua 21 θθα −=
- Inpedantzia era polarrean adierazia [ ]Ω∠= αZzr
[ ]Ω=i
vz r
rr
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 75
5. Inpendantzia Konplexua- Erresistentzia baten korronte eta tentsio balioak erresistentzia berak erlazionatzen ditu
- Kondentsadore baten korronte eta tentsio balioak kondentsadorearen erreaktantziak erlazionatzen ditu
- Harila baten korronte eta tentsio balioak harilaren erreaktantziak erlazionatzen ditu
- Hiru kasu hauetan korronte eta tentsio balioak erlazionatzen dituzten hiru parametro hauei izen
berdin batekin deitu ahal zaie: Inpedantzia
0∠== Ri
vz r
rr
LL jXXi
vz =∠== º90r
rr
CL jXXi
vz −=−∠== º90r
rr
Z: InpedantziaP
Â
Z
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 76
5. Inpendantzia Konplexua
5.1 Inpedantzien arteko elkarketa
- Inpedantzien elkarketa egiteko erresistentzien elkarketan erabiltzen den prozedura berdina
jarraitu behar da
-Jarraian dauden inpendantzien elkarketa
-Paraleloan dauden inpedantzien elkarketa
[ ]Ω=∑i
iT zzrr
[ ]Ω=∑i iT zzrr11
v(t)Z3
i(t)Z1 Z2
[ ]Ω++= 321 zzzzTrrrr
v(t)
i(t)
Z1 Z2 Z3
[ ]Ω++=321
1111
zzzzTrrrr
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 77
5. Inpendantzia Konplexua
5.1 Inpedantzien arteko elkarketa. Adibidea
- Kalkulatu irudian azaltzen den RL zirkuitu alternoaren inpedantzia totala
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 78
5. Inpendantzia Konplexua
5.1 Inpedantzien arteko elkarketa. Adibidea
- Lehenik eta behin elementu ezberdinen inpedantziak kalkulatuko dira
[ ]Ω∠= º01 Rzr
[ ]Ω∠= º902 LXzr
- Inpedantziak jarraian daudenez
Ω+=∠+∠=+= LLT jXRXRzzz º90º021
rrr
- Era polarrean adieraziz
[ ]Ω∠= θTT Zzr
22LT XRZ += R
Xarctg L=θ
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 79
5. Inpendantzia Konplexua
5.1 Inpedantzien arteko elkarketa. Adibidea
- Kalkulatu irudian azaltzen den RL zirkuitu alternoaren inpedantzia totala
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 80
5. Inpendantzia Konplexua
5.1 Inpedantzien arteko elkarketa. Adibidea
- Lehenik eta behin elementu ezberdinen inpedantziak kalkulatuko dira
[ ]Ω∠= º01 Rzr
[ ]Ω∠= º902 LXzr
- Inpedantziak paraleloan daudenez
LLT jXRXRzzz
11
º90
1
º0
1111
21
+=∠
+∠
=+= rrr
- Garatuz
L
L
L
L
L
TjXR
jXR
jXR
jXR
jXR
z+
⋅=
⋅
+=
+
=1
11
1r
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 81
5. Inpendantzia Konplexua
5.1 Inpedantzien arteko elkarketa. Adibidea
- Beraz,
- Apur bat gehiago garatuz
22
22
L
LL
L
L
L
LT
XR
XjRRX
jXR
jXR
jXR
jRXz
+
+=
−
−
+=
r
- Beraz
L
L
L
L
L
TjXR
jXR
jXR
jXR
jXR
z+
⋅=
⋅
+=
+
=1
11
1r
22
2
22
2
L
L
L
LT
XR
XRj
XR
RXz
++
+=
r
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 82
5. Inpendantzia Konplexua
5.2 Potentzia Inpedantzian
v(t)
L=7mH
i(t)R=2
- Kalkulatu ondorengo R-L zirkuituan alde batetik xahutu eta bestetik metatu egiten den potentzia
( )
+=4
200sin50π
ttv
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 83
5. Inpendantzia Konplexua
5.2 Potentzia Inpedantzian
- Lehenik eta behin elementu bakoitzaren
inpedantzia kalkulatuko da
- Eta inpedantzia totala
º3544.24.12 ∠=+=+= jjXRz LT
r
Ω=∠= 2º01 Rzr
Ω==∠= 4.1º902 jjwLXz L
r
- Behin inpedantzia totala ebatzia dagoela, iturriak ematen duen korrontea kalkula daiteke Ohmen
legea aplikatuz
Az
vi
T
º105.20º35º4544.2
50
3544.2
º4550∠=−∠=
∠
∠== r
rr
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 84
5. Inpendantzia Konplexua
5.2 Potentzia Inpedantzian
- Korronte eta tentsioak diagrama bektorialean adieraziz Ai º105.20 ∠=r
Vv º4550∠=r
- Balio efikazetan Ai º105.14º102
5.20∠=∠=
r
Vv º4535.35º452
50∠=∠=
r
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 85
5. Inpendantzia Konplexua
5.2 Potentzia Inpedantzian
- Ondoren elementu bakoitzeko potentzia kalkulatuko da. Erresistentziaren kasuan, honek xahututako
potentzia aktiboa
WIRP rmsR 5.4195.142 22=⋅=⋅=
- Eta harilak metatu edo gordetako potentzia erreaktiboa
VARIXQ rmsL 6.2935.144.1 22=⋅=⋅=
- Iturriak alde batetik potentzia aktiboa ematen du eta bestetik potentzia erreaktiboa
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 86
5. Inpendantzia Konplexua
5.2 Potentzia Inpedantzian
- Inpedantzia baliokidearen potentzia Itxurazko Potentzia moduan
ezagutzen da eta bere balioa ondorengo adierazpenaren bidez
kalkulatzen da
[ ]VAivS *rrr
⋅=
- Zirkuituko inpedantzia baliokidearen potentzia kalkulatu nahi da. Korrontea eta tentsioa era
bektorialean adieraziz
α∠=Vvr
β∠= Iir
β−∠= Ii *r
- Tentsioa eta korrontearen balioak ordezkatuz
[ ]VAIVIVIVS rmsrmsrmsrmsrmsrms ϕβαβα ∠⋅=−∠⋅=−∠⋅∠=r
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 87
5. Inpendantzia Konplexua
5.2 Potentzia Inpedantzian
- Inpedantzia baliokidearen potentzia Itxurazko Potentzia deitzen da eta bi osagai dauzka. Bata
erreala eta bestea irudikaria
- Osagai erreala erresistentziak xahututako potentzia aktiboa da
- Osagai irudikaria harilan metatutako potentzia erreaktiboa da
jQPS +=r
[ ]VAIVS rmsrms ϕ∠⋅=r
[ ]WIRIVP rmsrmsrms2
cos ⋅=⋅⋅= ϕ
[ ]VARIXIVQ rmsLrmsrms2
sin ⋅=⋅⋅= ϕ
Potentzi Triangelua
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 88
5. Inpendantzia Konplexua
5.2 Potentzia Inpedantzian
- Adibideko balioak ordezkatuz:
-Potentzia Aktiboa
-Potentzia Erreaktiboa
WIRP rms 5.4205.142 22 =⋅=⋅=
VARIVQ rmsrms 35.294º35sin5.1435.35sin =⋅⋅=⋅⋅= ϕ
Potentzi Triangelua
WIVP rmsrms 5.420º35cos5.1435.35cos =⋅⋅=⋅⋅= ϕ
VARIXQ rmsL 35.2945.144.1 22=⋅=⋅=
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 89
5. Inpendantzia Konplexua
5.2 Potentzia Inpedantzian. Inpedantzia Erresistiboa
- Zirkuitu erresistibo batek potentzia aktiboa baino ez du xahutzen
- Potentzia erreaktiborik ez dago. Beraz itxurazko potentzia eta potentzia aktiboa berdinak dira
[ ]WIRIRIzS rmsrmsrms222
º0 ⋅=⋅∠=⋅=rr [ ]WIVIVP rmsrmsrmsrms ⋅=⋅⋅= 0cos
[ ]VARIVQ rmsrms 00sin =⋅⋅=
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 90
5. Inpendantzia Konplexua
5.2 Potentzia Inpedantzian. Inpedantzia Induktiboa
- Zirkuitu induktibo batek potentzia erreaktiboa baino ez du xahutzen
- Potentzia aktiborik ez dago. Beraz itxurazko potentzia eta potentzia erreaktiboa berdinak dira
v(t)
XL
i(t)
i
Q=S
v
º
[ ]VARIjXIXIzS rmsLrmsLrms222
º90 ⋅=⋅∠=⋅=rr [ ]WIVP rmsrms 090cos =⋅⋅=
[ ]VARIVIVQ rmsrmsrmsrms ⋅=⋅⋅= 90sin
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 91
5. Inpendantzia Konplexua
5.2 Potentzia Inpedantzian
- Zirkuitu kapazitibo batek potentzia erreaktiboa baino ez du xahutzen
- Potentzia aktiborik ez dago. Beraz itxurazko potentzia eta potentzia erreaktiboa berdinak dira
[ ]VARIjXIXIzS rmsCrmsCrms222
90 ⋅−=⋅−∠=⋅=rr ( ) [ ]WIVP rmsrms 090cos =−⋅⋅=
( ) [ ]VARIVIVQ rmsrmsrmsrms ⋅−=−⋅⋅= 90sin
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 92
6. Potentzia Faktorea
- Potentzia faktoreak potentzia aktiboa eta itxurazko potentziaren arteko erlazioa definitzen du
S
PPF == ϕcos
[ ]WIVP rmsrms ϕcos⋅⋅=
[ ]VARIVQ rmsrms ϕsin⋅⋅=
[ ]VAIVS rmsrms ⋅=
( ) 100% ⋅=S
PPF
- P≤Q denez beti, potentzia faltorea PF ≤ 1 izanen da beti
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 93
6. Potentzia Faktorea
6.1 Potentzi Faktorearen Hobetzea
- Sare elektrikora konektatzen diren karga gehienak induktibo-erresistibioak izan ohi dira. Horrek esan
nahi du, sarean potentzia aktiboaz gain potentzia erreaktibo baten transferentzia dagoela
- Potentzia erreaktiboak ez du lanik egiten, baina sarean korronte gehigarri bat suposatzen du
- Korronte gehigarri honen ondorioz sareko eroaleetan ematen diren Joulen galerak handitu egiten
dira
- Sareko potentzia erreaktiboa Q=0 izatea komeni da era honetan sareko efizientzia hobetzeko
[ ]WIVP rmsrms ϕcos⋅⋅=
[ ]VARIVQ rmsrms ϕsin⋅⋅=
Sortu Xahutu
Rief2
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 94
6. Potentzia Faktorea
6.1 Potentzi Faktorearen Hobetzea
- Karga induktibo batek sarean sortzen duen potentzia erreaktiboa kondentsadoreak gehituz ezabatu
daiteke.
- Era honetan potentzia erreaktiboa kondentsadore eta induktantzien artean mugitzen da eta ez da
saretik hartzen.
V
Ief
Zirkuitua
Z= R+jX
V
Ief
Zirkuitua
Z= R+jX
C
P
Q
S
θθθθ
Aprobetxagarria - > LANA
P
Q
S
θθθθ
QC
Q’
S’
θθθθ’
S=VefIef
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 95
6. Potentzia Faktorea
6.1 Potentzi Faktorearen Hobetzea. Adibidea
- Demagun irudian azaltzen den zirkuitu induktibo-erresistiboa daukagula. Kalkulatu gehitu beharreko
kondentsadorearen balio kapazitiboa iturriak emandako potentzia erreaktiboa zero izan dadin
V L
R
i
iR iL º30220∠=vr
Ω= 20R
mHL 40=
Hzf 50=
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 96
6. Potentzia Faktorea
6.1 Potentzi Faktorearen Hobetzea. Adibidea
- Lehenik eta behin zirkuituko inpedantzia baliokidea kalkulatuko da
22
2
22
2
||
L
L
L
LL
XR
XRj
XR
XRjXRz
+
⋅+
+
⋅==
rº86.5764.10 ∠=∠= θZz
r
- Iturriak ematen duen korrontea
Az
vi º86.2767.20
º86.5764.10
30220−∠=
∠
∠== r
rr
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 97
6. Potentzia Faktorea
6.1 Potentzi Faktorearen Hobetzea. Adibidea
- Itxurazko potentzia
VAivS º86.574547º86.2767.20º30220* ∠=−∠⋅∠=⋅=rrr
- Potentzi aktiboa
S
º
P
Q
WSP 2419º86.57cos4547cos =⋅=⋅= ϕ
- Eta potentzia erreaktiboa
VARSQ 3850º86.57sin4547sin =⋅=⋅= ϕ
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 98
6. Potentzia Faktorea
6.1 Potentzi Faktorearen Hobetzea. Adibidea
- Kondentsadorearen potentzia erreaktiboa QC=3850VAR izan behar da zirkuituko potentzia erreaktibo
osoa zero izan dadin
VARVCwX
VQ C
C
CC 3850
22
=⋅⋅==
V L
R
i
iR iL
C
iC
- Kondentsadorearen kapazitatea askatuz
FfVw
QC
C
C 6
22102.253
2202
3850 −×=⋅⋅
=⋅
=π
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 99
6. Potentzia Faktorea
6.1 Potentzi Faktorearen Hobetzea. Adibidea
- Kondentsadoreko korrontea
AVCwX
V
z
vi
CC º1205.17º120
º90
º30
3
∠=∠⋅⋅=−∠
∠== r
rr
- Iturriak ematen duen korrontea korapiloko korronteen arauarekin kalkula daiteke
º1205.17º89.2767.20 ∠+−∠=+= CRL iiirrr
- Batuketa era binomialean
( ) ( ) 432.536.91.159.8668.926.18 jjji +=+−+−=r
- Era polarrean
º3082.10 ∠=ir
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 100
Irudian azaltzen den transformadore monofasikoa aztertu nahi da. Horretarako ondorengo puntuak
jorratuko dira:
a) Transformagailuaren inpedantzia
b) Sekundarioko boltaiaren kalkulua
ARIKETA. Transformadore monofasikoa
( ) ( ) ( ) [ ]Vttvtvp ⋅⋅⋅== 15.314sin22021
1000=pN
109=sN
mml 400=2100 mmA =
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 101
a) Transformadorearen Inpedantzia
- Sekundarioko tentsioa kalkulatzeko zirkuitu magnetikoa aztertu beharra dago
lA
vp
ip
Np Ns NpIp
pmml 400=
2100 mmA =
A
l
orµµ
1=ℜ
- Sekundarioan ez dago kargarik, beraz, ez dago korronterik. Orduan zirkuitu magnetikoan indar
magneto-eragile bakarra dago. Hain zuzen ere primarioko korronteak sorturikoa
- Zirkuituko fluxu magnetikoa hopkinsonen legea aplikatuz kalkula daiteke
( )( )
( )( )
l
AtiNtiN
tiNt
pporpp
ppp
µµ=Λ=
ℜ=Φ
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 102
- Harilaren induktantzia definizioz,
- Hasiera batean harila ideala suposatuk da. Hau da, harilak ez dauka inolako erresistentziarik eta
bere inpedantzia guztiz induktiboa da.
l
ANN
iNL
porp
p
ppp
22 µµ
=Λ=Φ
= r
a) Transformadorearen Inpedantzia
º90∠== ppp wLjXzr
vp
ip
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 103
b) Transformadorearen sekundarioko tentsioa
- Primarioko korrontea alternoa da. Horrek esan nahi du fluxu magnetikoa ere alternoa dela
- Primarioko korronteak sortutako fluxu magnetiko alternoak sekundarioko harila zeharkatzen du.
Horrela, Faradayren legearen arabera sekundarioko harilean tentsio bat induzituko da
º0ˆº90ˆˆ ∠Λ=+∠Φ⋅⋅=∠=⇒Φ
⋅= ppspsssp
ss INwNwNVvdt
dNv αβ
r
r
r
- Primarioko korrontea
º90ˆ
º90
º0ˆ−∠=
∠
∠==
p
p
p
p
p
pp
X
V
X
V
z
vi r
rr
( ) ( )tiNt ppp Λ=Φ º90ˆ
−∠Λ=Λ=Φp
pp
p
ppp
X
VN
z
vN r
rr
α∠Φ=Φ ppˆ
r
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 104
b) Transformadorearen sekundarioko tentsioa
- Primarioko eta sekundarioko tentsioak
º0ˆº90ˆº90 ∠=−∠⋅∠=⋅= ppppppp IwLIXizvrrr
º0ˆ ∠Λ= ppss INwNvr
- Nola2
pp NL ⋅Λ=
- Sekundarioko tentsioa
º0ˆ ∠= ppp
ss IL
N
Nwv
r
- Bi tentsioen arteko erlazioa
s
p
ppp
s
pp
s
p
N
N
ILN
Nw
IwL
v
v=
∠
∠=
º0ˆ
º0ˆ
r
r
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 105
b) Transformadorearen sekundarioko tentsioa
- Transformadorearen primario eta sekundarioko tentsioak harilen buelta kopuruen araberakoak dira
s
p
s
p
N
N
V
V=
ˆ
ˆ
FISIKA 1. KORRONTE ALTERNOA 106
Propietate Trigonometrikoak
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )babasinbsina
sinbsinababa
sinbabsinabasin
aa
aasin
asinaasinaa
asinaasin
asina
asina
aa
asinsina
+⋅−−⋅=⋅
⋅−⋅=+
⋅+⋅=+
+=
−=
−=−=−=
⋅=
+=
−=
−=
−−=
cos2
1cos
2
1
coscoscos
coscos
2
2cos1cos
2
2cos1
211cos2cos2cos
cos22
º90cos
º90cos
coscos
2
2
2222
( ) ( )
( ) ( )
2cos
2cos2coscos
2cos
22
cos2
1
2
1coscos
2
1
2
1cos
bababa
babasinsinbsina
babasinba
basinbasinbsina
−⋅
+⋅=+
−⋅
+⋅=+
−++⋅=⋅
−⋅++⋅=⋅
Top Related