MATEMÁTICA I
Ecuaciones de Valor Absoluto y Desigualdades
Propiedades de Valor Absoluto• El valor absoluto de un número es su distancia
de cero en la recta numérica.• El valor absoluto de x, denotado , es definida
como sigue:x
0x x x
0x x x
Propiedades de Valor Absoluto
a) Para cualquier número a y b,
b)
ab a b
(El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.)
, 0aa siempre y cuando b
b b
(El valor absoluto de un cociente es el cociente de valores absolutos.)
Propiedades de Valor Absoluto
c) a a
(El valor absoluto del opuesto de un número es lo mismo que el valor absoluto del número.)
Propiedades de Valor Absoluto• Ejemplos:
5 5 5x x x 1.
3 3 3y y y 2.
2 2 2 27 7 7 7x x x x 3.
2
26 2 23xx x x x
4.
Debido a que x2 nunca es negativo para cualquier número x.
Distancia en la Recta Numérica
0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 unidades
(La distancia entre -3 y 2 es 5.)
• Otra manera de encontrar la distancia entre dos números en la recta numérica es tomar el valor absoluto de la diferencia, como sigue:
5 5,3 2 2 3 5 5o
Distancia en la Recta Numérica
• Para cualquier número real a y b, la distancia entre ellos es .
• Debemos notar que la distancia es también , porque a – b y b – a son opuestos y por lo tanto tienen el mismo valor absoluto.
a b
b a
Distancia en la Recta Numérica
5. Encuentre la distancia entre -8 y -92 en una recta numérica.
6. Encuentre la distancia entre x y 0 en una recta numérica.
8 92 84 84 92 8 84 84o
0x x
Ecuaciones con Valor Absoluto
7. Resuelva: . Luego trace la grafica usando la recta numérica.
4x
Vemos que la distancia a 0 es 4; por lo tanto en la recta numérica hay dos números que su distancia a 0 es 4, estos son -4 y 4. Por lo tanto la solución es:
4,4
0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 unidades 4 unidades
4x
Ecuaciones con Valor Absoluto
8. Resuelva: .
9. Resuelva: .
0x
0 El único numero que su valor absoluto es 0 es 0 mismo.
7x
No tiene solución. El valor absoluto de un numero es siempre positivo.
El Principio de Valor Absoluto
• Para cualquier número positivo p y cualquier expresión algebraica X:
a) Las soluciones de son aquellos números que satisfacen .
b) La ecuación es equivalente a la ecuación .
c) La ecuación no tiene solución.
X pX p o X p
0X 0X
X p
Ecuaciones con Valor Absoluto
10.Resuelva: .2 5 9x
2 5 9
2 4
22 2
2,2
x
x
xx o x
Restando 5
Dividiendo por 2
Usando el principio de valor absoluto
Conjunto de Solución
Ecuaciones con Valor Absoluto
11.Resuelva: . 2 3x
2 3 2 31 5
1
3
,5
2
X p
x o xx o x
x
Principio de valor absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
12.Resuelva: 2 5 13.x
2 5 13 2 5 132 18 2 8
2
9 49 4
5 3
,
1
X p
x o xx o
x
xx o x
Principio de valor absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
13.Resuelva: 4 7 8.x
Nunca el valor absoluto es negativo, por lo tanto esta ecuación no tiene solución. El conjunto de solución es:
Ecuaciones con dos Expresiones de Valor Absoluto
• Considere . Esto significa que a y b tienen la misma distancia de 0.
• Si a y b tienen la misma distancia de 0; entonces, o son el mismo número o son opuestos uno del otro.
a b
0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-a a
a a
Ecuaciones con dos Expresiones de Valor Absoluto
14.Resuelva: 2 3 5 .x x
2 3 5
2 3 5 2 3 53 5 2 3 5
8 3 3 58 3 2
283
28,3
x x
x x o x xx o x x
x o xx o x
x o x
Ecuaciones con dos Expresiones de Valor Absoluto
15.Resuelva: 8 5 .x x
8 5
8 5 8 58 5 8 58 5 2 3
38 52
32
x x
x x o x xo x xo x
o x
La primera ecuación no tiene solución. Por lo tanto la solución es la segunda ecuación.
Desigualdades con Valor Absoluto
• Para cualquier número positivo p y cualquier expresión algebraica X:
a) La solución de son aquellos números que satisfacen
b) La solución de son aquellos números que satisfacen
X p.p X p
X p.X p o X p
Desigualdades con Valor Absoluto16.Resuelva y trace la gráfica: 4.x
X Pp x p
44 4
4,4 4 4
xx
x x
Aplicamos la regla y resolvemos.
0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
( )
Desigualdades con Valor Absoluto17.Resuelva y trace la gráfica:
0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4.x
44 4
, 4 4, 4 4
xx o x
x x o x
X pX p o X p
Aplicamos la regla y resolvemos.
] [
Desigualdades con Valor Absoluto18.Resuelva y trace: 3 2 4.x
4 3 2 42 3 62 232 2,2 2
2
3
3 4
3
X p
xx
x
x
x x
Sustituimos
Usamos esta regla
0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
( )
23
Desigualdades con Valor Absoluto19.Resuelva: 8 4 5.x
5 8 4 513 4 3
13 34 4
3 13 13 3 3 13,4 4
8
4
5
4 4
4
4
x
X p
xx
x
x x o x x
Usamos esta regla.
Sustituimos
Dividimos por -4 e invertimos los símbolos de desigualdad
Desigualdades con Valor Absoluto20.Resuelva: 4 2 6.x
4 2 6 4 2 64 8 4 4
2 1
4 2
, 2 1, 2
6
1
X p
x o xx o x
xx
x
o xx o x
Utilizamos esta regla
Sustituimos
Top Related