Libro de Memorias
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas
XXII Congreso Nacional de Ciencia Tecnologiacutea y Sociedad
Editor Carlos Alberto Monge Madriz
ISBN 978-9930-541-86-9
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
2
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XII Congreso Nacional de Ciencia Tecnologiacutea y Sociedad
(2020 octubre 13-17 Costa Rica) - Cartago Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2021
171 paacuteginas
ISBN 978-9930-541-86-9
1 Matemaacutetica 2 Educacioacuten 3 Ciencias 4 Tecnologiacutea 5 Sociedad
Lic Carlos Alberto Monge Madriz
Editor
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Iacutendice de contenidos
Presentacioacuten 5
Creacioacuten de animaciones para la visualizacioacuten de la geometriacutea en tercera dimensioacuten usando el
software GeoGebra (XII FIMAT) 9
Joseacute Pablo Calderoacuten Gairaud y Steven Gabriel Saacutenchez Ramiacuterez
Efectividad de la cartografiacutea participativa en la ensentildeanza de la Gestioacuten Integral de Riesgo de
Desastres Un ejemplo de aplicacioacuten en el centro educativo Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
(XXI CONCITES) 22
German Alvarado Luna y Neyfren Salazar Aguilar
El contexto en el aprendizaje de las ciencias iquestde quieacuten y para queacute (XXI CONCITES) 30
Antonio Alejandro Lorca Mariacuten y Diego Armando Retana Alvarado
El uso del Meme como recurso pedagoacutegico y evaluativo (XXII CONCITES) 38
Hairo Zuacutentildeiga-Alvarado
Estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de la quiacutemica (XXI CONCITES) 45
Carla Goacutemez Quiroacutes
Elaboracioacuten de iacutetems en Geometriacutea y GeoGebra como herramienta de apoyo en la construccioacuten
de las figuras (XII FIMAT) 53
Estiacutebaliz Rojas Quesada y Eric Padilla Mora
Etnomodelacioacuten La Modelacioacuten en la Cultura (XXII CONCITES) 63
Daniel Clark Orey y Milton Rosa
Herramientas 20 ldquoAlgunas opciones para sumar a nuestras clasesrdquo (XXI CONCITES) 74
Carlos L Chanto Espinoza y Marlene Duraacuten Loacutepez
Las direcciones a la tica como un recurso para ensentildear matemaacuteticas (XII FIMAT) 81
Marcela Garciacutea Jesennia Chavarriacutea Mariacutea Elena Gavarrete y Margot Martiacutenez
Homotecias con GeoGebra (XII FIMAT) 88
Grethel Ramiacuterez Goacutemez
Non Charismatic Species Implicaciones didaacutecticas y formacioacuten del profesorado (XXII
CONCITES) 94
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo y Juan Felipe Herrera Polaniacutea
Polinomios generadores de nuacutemeros primos (XII FIMAT) 104
Ronald Cordero Meacutendez
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Propuesta metodoloacutegica para el aprendizaje de Sucesiones en la modalidad de Educacioacuten
Abierta (XII FIMAT) 117
Charlene Loacutepez Quesada Luis Fernando Mejiacuteas Molina y Jennifer Tatiana Quesada
Retos de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico y uno privado (XII FIMAT) 128
Jennifer Aragoacuten Monge y Paulina Coto Mata
Simulacioacuten con el paquete CODAP para resolver problemas estocaacutesticos (XXII CONCITES)
137
Greivin Ramiacuterez Arce
Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano (XXII CONCITES) 154
Guillermo Alfonso Brenes Tencio
Tareas y estrategias metodoloacutegicas para plantear problemas de modelizacioacuten matemaacutetica
(XII FIMAT) 164
Karen Porras Lizano y Gilberto Chavarriacutea Arroyo
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Presentacioacuten
En el 2020 organizamos el XII FIMAT Festival Internacional de Matemaacuteticas y el XXII CONCITES
Congreso Nacional de Ciencia Tecnologiacutea y Sociedad con gran participacioacuten nacional e internacional
En consideracioacuten a las restricciones del periacuteodo y la necesidad de actualizacioacuten de los docentes se
unieron los dos grandes programas en un evento virtual que se llevoacute a cabo del 13 al 17 de octubre 2020
El evento se organizoacute en bloques vespertinos de martes a viernes y la mantildeana del saacutebado
El congreso contoacute con una declaracioacuten de intereacutes educativo por el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de
Costa Rica
Para desarrollar el programa se contoacute con un gran comiteacute organizador interinstitucional que unioacute
esfuerzos
El comiteacute organizador reunioacute 15 entidades puacuteblicas y privadas
Se conformoacute un equipo de 14 moderadores voluntarios de estudiantes colegiales (Blue Valley) y
universitarios (TEC)
Instituciones coorganizadoras del XII FIMAT y XXII CONCITES 2020
Fundacioacuten CIENTEC Blue Valley School SINAC Ministerio de Ambiente y Energiacutea UCR-Escuela de
Formacioacuten docente y Educacioacuten matemaacutetica Universidad de Costa Rica UNA- Sede Regional Brunca
Sede Regional Chorotega y Escuela de Matemaacutetica de la Universidad Nacional TEC- Escuela de
Ciencias Naturales y Exactas (San Carlos) la Escuela de Matemaacutetica y Escuela de Fiacutesica del Instituto
Tecnoloacutegico de Costa Rica UNED- Escuela de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Estatal a
Distancia UTN- Universidad Teacutecnica Nacional Academia Nacional de Ciencias Fundacioacuten Omar
Dengo FOD Colegio de Licenciados y Profesores COLYPRO Asociacioacuten Nacional de Educadores
ANDE Ecology Project International EPI ASOMED y un comiteacute internacional
Comiteacute cientiacutefico FIMAT
Lic Manuel Murillo Tsijli ASOMED
Lic Carlos Monge Madriz TEC
Maacutester Anabelle Castro Castro ASOMED
Comiteacute cientiacutefico CONCITES
Carlos L Chanto Espinoza PhD UNA
MSc Luz Mariacutea Moya CIENTEC
Diego Retana Alvarado PhD Facultad de Educacioacuten UCR
M Ed Oscar Barahona Aguilar Caacutetedra Ensentildeanza de la Ciencia UNED
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Patrocinaron
Componentes Intel fue el patrocinador oficial
Copatrocinaron Casio UISIL Learning Interactive y COLYPRO
Alcances
Asistieron 325 participantes
Participaron representantes de 11 paiacuteses Argentina Brasil Chile Colombia Costa Rica Espantildea
Estados Unidos de Ameacuterica Guatemala Meacutexico Peruacute y Panamaacute
108 ponentes respondieron a la convocatoria
Se realizaron 2 actividades de extensioacuten que llegaron a otras 103 personas
Programa
Reunioacute 107 presentaciones en diferentes formatos (conferencias talleres mesas redondas y
conversatorio) impartidas en 5 diacuteas y grabadas El programa estaacute disponible en
httpswwwcientecorcrsitesdefaultfilesarticulosprogramaconcites20hpdf
Ponentes internacionales
Barry D Bruce PhD Sustainable Energy amp EducationResearch Center Microbiology amp
Chemical amp Biomolecular Engineering University of Tennessee at Knoxville EEUU
Daniel Clark Orey PhD Professor Departamento de Educaccedilatildeo Matemaacutetica Universidade
Federal de Ouro Preto Brasil
Eduardo Saacuteenz de Cabezoacuten Ph D Departamento de Matemaacuteticas y Computacioacuten Universidad
de La Rioja Espantildea
Estrella Burgos Directora Revista iquestCoacutemo Ves Universidad Nacional Autoacutenoma de Meacutexico
Lori Lambertson especialista del Teacher Institute Exploratorium San Francisco EEUU
Martiacuten Bonfil Olivera Divulgador de la ciencia y autor Direccioacuten General de Divulgacioacuten de la
Ciencia UNAM Meacutexico
Milton Rosa PhD Centro de Educaccedilatildeo Aberta e a Distacircncia Universidade Federal de Ouro Preto
Brasil
Modesto Tamez especialista del Teacher Institute Exploratorium San Francisco EEUU
Paloma Zubieta Loacutepez Comunicadora Cientiacutefica del Instituto de Matemaacuteticas de la UNAM
coordinadora del Festival Matemaacutetico UNAM Meacutexico
Pablo Flores Martiacutenez Ph Didaacutectica de la Matemaacutetica Universidad de Granada Espantildea
Sergio de Reacutegules Editor de la Revista iquestCoacutemo Ves de la UNAM Meacutexico
Veroacutenica Albanese Dpto Didaacutectica de la Matemaacutetica Universidad de Granada Espantildea
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Mesas Redondas y Conversatorios
Rodrigo Cerqueira do Nascimento Borba Universidade do Estado de Minas Gerais Brasil
Radu Bogdan Toma Universidad de Burgos Espantildea
Nancy Fernaacutendez Marchesi Universidad Nacional de Tierra del Fuego Argentina
Marisol Lopera Peacuterez Universidad de Antioquia Colombia
Ceacutesar Leonel Montenegro Peacuterez Universidad de San Carlos Guatemala
Linda Arelis Silva Arias Universidad de Talca Chile
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo Universidad Surcolombiana Colombia
Francisco Mateo Ramiacuterez Universidad Internacional de La Rioja Espantildea
Jairo Robles Pintildeeros Universidad Federal de Bahiacutea Brasil
Carolina Gonzaacutelez Velaacutezquez Universidad de Antioquia Colombia
Roberto Gonzaacutelez Munizaga Jefe del Departamento de Educacioacuten Ambiental Ministerio del
Medio Ambiente Chile
Aacutelbum de fotos
Una coleccioacuten de fotos documenta el evento virtual
httpswwwflickrcomphotoscientecalbums72157716523575396
Edicioacuten y publicacioacuten de videos
Como resultado de la modalidad a distancia se grabaron todas las sesiones por lo que una subcomisioacuten
del comiteacute organizador ha estado trabajando en la editacioacuten y publicacioacuten de las ponencias El propoacutesito
es conformar una gran biblioteca de recursos de acceso libre de este congreso doble que iraacute siendo
publicado en www youtubecomcientec
Nosotros iremos trabajando en las ponencias y compartieacutendolas en redes sociales de manera paulatina
en unos 9 meses antes de iniciar con el siguiente congreso -)
1 Conferencia Utilizacioacuten de recursos didaacutecticos como apoyo en la ensentildeanza virtual Natalie
Reyes Riotte del Colegio San Antonio de Padua Costa Rica httpsyoutubep-lUTTYK6N8
2 Conferencia Padres y madres costarricenses creencias sobre matemaacutetica por Luis Gerardo Meza
TEC httpsyoutubePy_C9mTzzH8
3 Conferencia Experiencias del proyecto RENACE en el tema de probabilidad por Carlos Monge
Madriz TEC httpsyoutube4dEznOmpQNc
4 Aprendizaje activo algunas estrategias para los cursos de pedagogiacutea por Ivonne Saacutenchez-
Fernaacutendez TEC httpsyoutube5tzChWFiJR8
5 Conferencia Estrategias de mediacioacuten pedagoacutegica en la ensentildeanza virtual por Ivonne Saacutenchez-
Fernaacutendez TEC httpsyoutubeT10h9up1rA4
6 Conversatorio Educacion Ambiental CONCITES2020 con Roberto Gonzaacutelez Munizaga Chile
y Carmen Roldaacuten Chacoacuten (FONAFIFO-MINAE) httpsyoutubeGKiubb0gzuM
7 Vacunas mitos y realidades por Martiacuten Bonfil UNAM Meacutexico httpsyoutubeomZmtkD2rZw
8 Cambios en el Sol por Miguel Rojas Quesada TEC httpsyoutubewXOF1VrpRSw
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9 Evaluacioacuten en tiempos de pandemia Taller por Gisele Cordero Molina Blue Valley
School httpsyoutubeXpfpiqc2jXA
10 Mapas Conceptuales en MatemaacuteticaTaller Luis Goacutemez Rodriacuteguez Blue Valley
School httpsyoutubeEpFyNPv8LGk
11 Science Capital Engaging students with Science and Promoting Social Justice por Gisele
Cordero Molina Blue Valley School httpsyoutubeEix_mH3MSsc
12 La Resta Pensando Conferencia Antonio Ramoacuten Martiacuten Adriaacuten Colegio Aguere Espantildea (Islas
Canarias) httpsyoutubeexgBY05muPc
13 Uso de praacutecticas interactivas y adaptativas (recursos en ingleacutes) en el aula virtual Conferencia
Susanne Artintildeano Hangen Blue Valley School httpsyoutube1vNTYt5hl-I
Agradecemos la unioacuten de esfuerzos la confianza que posibilitoacute la continuidad de estas trayectorias que
iniciaron desde 1998 y la creatividad para seguir innovando en formas de apoyar el aprendizaje
El siguiente libro de memorias reuacutene artiacuteculos de trabajos presentados en el XXI CONCITES 2019 -
Limoacuten asiacute como del XII FIMAT y XXII CONCITES ambos celebrados en el 2020
Alejandra Leoacuten Castellaacute
Directora Ejecutiva Fundacioacuten CIENTEC
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Creacioacuten de animaciones para la visualizacioacuten de la geometriacutea
en tercera dimensioacuten usando el software GeoGebra
Joseacute Pablo Calderoacuten Gairaud
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica
jose03pcggmailcom
Steven Gabriel Saacutenchez Ramiacuterez
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica
stevengabriel26gmailcom
Resumen En este artiacuteculo se describe el proceso para realizar animaciones en tercera dimensioacuten con el software
GeoGebra Dichos modelos consisten en la visualizacioacuten de las figuras proporciones y cortes consecuentes de
la interseccioacuten de un soacutelido con un plano transversal Para realizar las construcciones se utilizaraacuten las
herramientas que brinda GeoGebra como tambieacuten conceptos baacutesicos relacionados con la parametrizacioacuten de
superficies Ademaacutes se hace hincapieacute en la importancia de la creacioacuten de recursos didaacutecticos con el uso de la
tecnologiacutea para la comprensioacuten de la visualizacioacuten espacial para los estudiantes en el aprendizaje de conceptos
geomeacutetricos y coacutemo GeoGebra permite facilitar la transicioacuten de una visualizacioacuten en segunda dimensioacuten a
tercera dimensioacuten
Palabras clave tercera dimensioacuten parametrizar curvas superficies visualizar geometriacutea
1 Introduccioacuten
El uso de la geometriacutea siempre ha sido indispensable para el desarrollo cientiacutefico del ser humano con
solo volver al pasado se puede apreciar las sin fin de piraacutemides y diferentes esculturas creadas gracias a
los diversos conceptos baacutesicos geomeacutetricos que manejaban nuestros antepasados Por esa razoacuten es
fundamental el estudio de la geometriacutea en nuestras a aulas Es deber de cada paiacutes velar en que su malla
curricular esteacute lo maacutes actualizada posible seguacuten el grado acadeacutemico que se imparta relacionaacutendolo con
las capacidades cognitivas de los estudiantes seguacuten su edad
Por otro lado es importante tener los insumos suficientes para que la ensentildeanza de la geometriacutea se deacute en
las mejores condiciones con el fin de obtener un aprendizaje significativo En el caso de la geometriacutea
espacial como lo indica Ballestero y Gamboa (2010) su estudio contribuye significativamente al
desarrollo de las necesidades espaciales de visualizacioacuten por lo que es importante vincular la capacidad
matemaacutetica con la espacial
En este trabajo se expondraacute sobre la importancia de la ensentildeanza de la visualizacioacuten en tres dimensiones
(3D) utilizando modelizacioacuten y animacioacuten geomeacutetrica teniendo como objetivo el dar una interaccioacuten
baacutesica del uso del software GeoGebra
2 Geometriacutea en tercer dimensioacuten y plan de estudios del MEP
En el antildeo 2012 el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP) decidioacute realizar un cambio
draacutestico en el plan de estudios de matemaacuteticas poniendo como eje central la resolucioacuten de problemas
tambieacuten incorporando eliminando y modificando distintos toacutepicos estudiados en primaria y secundaria
Dentro de los cambios se resaltan modificaciones en los temas de geometriacutea espacial La nueva malla
curricular del MEP (2012) propone que
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1 La visualizacioacuten espacial se introduzca con una manipulacioacuten dinaacutemica de los objetos
2 Los temas de geometriacutea se observen de forma espacial usando modelizacioacuten geomeacutetrica
3 Exista maacutes presencia en el ldquosentido espacialrdquo
4 Se debe enfatizar maacutes en la visualizacioacuten de formas en el espacio y no solo en sus foacutermulas
Anterior al cambio se debiacutea ahondar solo en el caacutelculo de aacutereas y voluacutemenes de los soacutelidos dejando por
fuera el anaacutelisis de su manipulacioacuten y visualizacioacuten Con la nueva modificacioacuten los estudiantes deben
realizar dichos caacutelculos excluyendo el volumen como tambieacuten desarrollar habilidades de ubicacioacuten
espacial identificar los distintos cortes transversales que se generan en cada uno de los cuerpos redondos
entre otros
Por lo tanto en la formacioacuten general baacutesica y diversificada costarricense se desarrollan toacutepicos con
relacioacuten a la geometriacutea espacial siendo los grados de deacutecimo y undeacutecimo donde se enfatiza maacutes La
importancia de desarrollar una visualizacioacuten espacial en los estudiantes va maacutes allaacute del concepto
matemaacutetico seguacuten Guzmaacuten (1996 citado en Gonzato et al 2011)
Se trata de evaluar los procesos y capacidades de los sujetos para realizar ciertas tareas que
requieren ldquoverrdquo o ldquoimaginarrdquo mentalmente los objetos geomeacutetricos espaciales asiacute como relacionar
los objetos y realizar determinadas operaciones o transformaciones geomeacutetricas con los mismos
Tambieacuten este tema ha recibido atencioacuten desde un punto de vista del propio trabajo del matemaacutetico
en los momentos de abordar la resolucioacuten de problemas formulacioacuten de conjeturas asiacute como en
otras aacutereas diferentes de la geometriacutea (p2)
Como se indica anteriormente el estudio de la tercera dimensioacuten favorece a la imaginacioacuten y abstraccioacuten
del alumnado y agudiza de cierta forma las habilidades interdisciplinarias para generar pensamientos
oacuteptimos que favorezcan la resolucioacuten de problemas siendo este uacuteltimo el eje central del MEP para la
formacioacuten matemaacutetica
3 Visualizacioacuten de la tercera dimensioacuten
La geometriacutea es un aacuterea de las matemaacuteticas que actualmente es considerada fundamental para la
formacioacuten acadeacutemica y cultural de la persona esto debido a su facilidad para estimular un razonamiento
loacutegico y desarrollar otras habilidades para visualizar intuir conjeturar etc Sin embargo en la praacutectica
algunos docentes deciden dejar los contenidos de geometriacutea para el final del periodo lectivo y no
profundizar en estos (Gamboa y Ballestero 2010)
Seguacuten Gamboa y Ballestero (2010) esta situacioacuten desencadena en el estudiante la sensacioacuten de ser una
rama difiacutecil y de poca utilidad por lo que no hay motivacioacuten para aprenderla Al no profundizar en las
habilidades y contenidos geomeacutetricos no se desarrolla en el estudiante la capacidad de visualizar u
orientar y por consiguiente un deacuteficit en la visualizacioacuten de la tercera dimensioacuten Dicha deficiencia en
la capacidad de visualizar afecta directamente el enfoque del MEP que es la resolucioacuten de problemas
Para desarrollar la capacidad de visualizar en tercera dimensioacuten de los estudiantes es importante
promover su sentido espacial El sentido espacial es un sentido intuitivo de la forma y el espacio en el
cual estaacuten implicados los conceptos geomeacutetricos y las habilidades de reconocer visualizar representar y
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transformar las formas (Rosenstein et al 1996) Para desarrollar este sentido espacial es necesario
abarcar sus tres componentes conocer las propiedades de figuras y formas reconocer y establecer
relaciones geomeacutetricas y la ubicacioacuten y los movimientos (Ramiacuterez 2014)
Ante la deficiencia y dificultad de desarrollar la visualizacioacuten en tercera dimensioacuten de los estudiantes sin
el material concreto adecuado se han creado distintos softwares o aplicaciones que permiten una
manipulacioacuten ideal de los elementos geomeacutetricos El uso de estas Tecnologiacuteas de Informacioacuten y
Comunicacioacuten (TIC s) para la visualizacioacuten en tercera dimensioacuten facilitan al docente la tarea de
desarrollar estas habilidades y ademaacutes permiten al estudiante generar su propio conocimiento
4 Curvas superficies y parametrizacioacuten
Para la construccioacuten de diferentes animaciones interactivas para visualizar y modelar las diferentes
curvas y superficies es importante conocer de forma baacutesica el desarrollo matemaacutetico de estas asimismo
el trabajo que lleva su representacioacuten parameacutetrica sin entrar en gran detalle se definen estos dos
conceptos los cuales seraacuten de suma importancia conocerlos para el uso oacuteptimo del software GeoGebra
a la hora de generar dichas construcciones
41 Curvas
Seguacuten Peacuterez (2014) indica que una idea intuitiva de curva es la de una trayectoria en el espacio de una
partiacutecula en movimiento en cada instante esta estaraacute en un lugar concreto lugar que depende de un
paraacutemetro (que se puede ver como la variable tiempo) esta trayectoria debe ser suave Imagiacutenese
entonces a un motorizado siguiendo una carretera (que no tiene huecos ni picos) el cual anda repartiendo
la correspondencia a una casa
Si se quiere definir una curva de forma maacutes elaborada entonces se podriacutea indicar que una curva
parametrizada es una aplicacioacuten diferenciable tal que
120572 119868 rarr ℝ2 120572(119905) = (119909(119905) 119910(119905) 119911(119905)) 119905 isin ℝ
42 Superficies
Peacuterez (2014) explica que una superficie es un subconjunto en ℝ3 donde cada punto tiene un entorno
similar a un trozo de plano que ha sido suavemente curvado Imagiacutenese entonces un mantel el cual se
coloca en una mesa redonda este mantel es suavemente combado tal que toma la forma de dicha mesa
De forma un poco maacutes formal una superficie se puede definir parametrizadamente como
119883 119880 rarr ℝ3 119883 = 119883(119906 119907) = (119909(119906 119907) 119910(119906 119907) 119911(119906 119907)) 119888119900119899 119880 sub ℝ2
Cabe destacar que ambos conceptos son fundamentales para generar diferentes animaciones con el
software GeoGebra se recomienda no solo quedarse con estas dos nociones sino maacutes bien indagar de
forma exhaustiva estas definiciones ya que ayudaraacute al buen manejo del programa mencionado
anteriormente
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5 El software GeoGebra y la visualizacioacuten 3D
El software GeoGebra es un programa disentildeado especiacuteficamente para la ensentildeanza y el aprendizaje de
las Matemaacuteticas Dentro de las herramientas y funciones que tiene GeoGebra estaacute la manipulacioacuten tanto
de figuras planas (recta circunferencia poliacutegonos etc) como de cuerpos soacutelidos y figuras en tercera
dimensioacuten (esfera cilindro cono etc)
GeoGebra categoriza las diferentes figuras o elementos geomeacutetricos que se pueden construir
dependiendo de si se encuentra el usuario en la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo (tercera dimensioacuten) o ldquoVista Graacuteficardquo
(dos dimensiones)
Dentro de la ldquoVista Graacuteficardquo GeoGebra permite crear
Puntos
Rectas o segmentos
Poliacutegonos
Circunferencias
Elipses
Aacutengulos
Figura 1
Vista Graacutefica ndash GeoGebra
Nota Elaboracioacuten Propia
Dentro de la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo GeoGebra permite crear
Puntos
Rectas o segmentos
Poliacutegonos
Planos
Cuerpos soacutelidos (piraacutemide cono cilindro prisma
y esferas)
Aacutengulos
Deslizadores imaacutegenes botones etc
Ademaacutes permite interactuar entre las distintas construcciones y manipularlas de diversas maneras
(transformaciones en el plano)
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Figura 2
Vista 3D - GeoGebra
Nota Elaboracioacuten Propia
El software permite que haya una relacioacuten directa entre los elementos creados en la ldquoVista Graacuteficardquo
ldquoVista Graacutefica 3Drdquo y su representacioacuten algebraica en la ldquoVista Algebraicardquo
6 El software GeoGebra y parametrizacioacuten
GeoGebra utiliza distintos mecanismos para ingresar las curvas que se quieren graficar recordemos que
nuestro objetivo es el de visualizar la tercera dimensioacuten por lo que la vista que se utilizaraacute en todo
momento seraacute ldquoGraacuteficos 3Drdquo Como se vio en la seccioacuten pasada el programa posee herramientas
predeterminadas y una barra de entrada que seraacute en donde ingresemos los comandos para generar las
curvas y superficies Para un efecto de calidad estas deben ser ingresadas en su forma parameacutetrica en el
caso de las curvas se dispone de los comandos que pueden ser observados en la Figura 3
Figura 3
Comandos de curvas
Nota Elaboracioacuten Propia
De estas la que se apega a nuestras necesidades seraacute la segunda ya que con ella se grafican las curvas
en la tercera dimensioacuten Observemos en la Figura 4 el coacutemo se ingresa la curva parametrizada y su
visualizacioacuten en la tercera dimensioacuten
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Figura 4
Visualizacioacuten de curva
Nota Elaboracioacuten propia
Por otro lado las superficies tienen tambieacuten sus distintas entradas las cuales pueden verse en la Figura
5
Figura 5
Comandos de superficies
Nota Elaboracioacuten propia
En este caso seraacute la tercera opcioacuten la que se debe utilizar para generar superficies en donde sus valores
se ingresan de forma parameacutetrica es importante observar que para las superficies se necesitan dos
paraacutemetros Observemos en la Figura 6 el coacutemo se ingresa una superficie parametrizada y su
visualizacioacuten en la tercera dimensioacuten
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Figura 6
Visualizacioacuten de superficie
Nota Elaboracioacuten propia
Ejemplo Cono truncado
Para fines de este artiacuteculo se crearaacute una animacioacuten de un cono truncado en la cual se utilizaraacuten varias
herramientas del software GeoGebra asiacute como la parametrizacioacuten del cono Al finalizar esta animacioacuten
el estudiante podraacute interactuar con la construccioacuten y visualizar los cortes paralelos a la base las dos
circunferencias que se generan por el corte la razoacuten de los dos triaacutengulos rectaacutengulos (que se forman con
la altura radio y generatriz) ademaacutes seraacute capaz de modificar el tamantildeo del cono la distancia del corte
del cono y generar el cono truncado por siacute mismo
Para la construccioacuten de esta animacioacuten se necesita crear dos conos el primero se crea con la herramienta
ldquoConordquo que ya ofrece GeoGebra y el segundo se crearaacute por medio de parametrizacioacuten este uacuteltimo seraacute
el cono truncado
1 Para generar el primer cono se necesita de un deslizador ldquoAlturardquo que modifique la altura y el
radio de la circunferencia Una vez creado el deslizador se necesita un punto en el eje Z que
represente la altura Posteriormente crea el cono con la herramienta ldquoConordquo
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Figura 7
Cono dependiente del deslizador
Nota Elaboracioacuten propia
2 Ahora genere un deslizador ldquoCorterdquo cuyo valor maacuteximo sea el deslizador anterior Este
deslizador representa la altura del corte Construya un punto en el eje Z que dependa del
deslizador ldquoCorterdquo y con la herramienta ldquoPlano paralelordquo (dando clic al punto en el eje Z y al
plano de la base) construya el plano que simula el corte (Si considera necesario con la misma
herramienta puede sustituir el plano base que trae la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo)
Figura 8
Cortes en el cono
Nota Elaboracioacuten propia
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3 Con la herramienta ldquoInterseccioacuten de dos superficiesrdquo construya la circunferencia de la base y la
generada entre el cono y el corte Ademaacutes con la herramienta ldquoPuntordquo genere un punto que
pertenezca a la circunferencia de la base Ahora con la herramienta ldquoSegmentordquo construya el
triaacutengulo rectaacutengulo formado por el centro de la base el veacutertice y el punto en la circunferencia
de la base Por uacuteltimo con la herramienta ldquointerseccioacutenrdquo marque el punto entre la hipotenusa y el
plano del corte y construya el segmento entre ese punto y el centro de la segunda circunferencia
De esta forma se visualiza la semejanza entre los triaacutengulos
Figura 9
Semejanza de triaacutengulos
Nota Elaboracioacuten propia
4 Genere una casilla de control para ocultar el cono otra para los planos otra para las
circunferencias y otra para los lados del triaacutengulo De esta forma si las cuatro casillas estaacuten
desactivadas solo se visualizan las casillas y los deslizadores
5 Ahora debe crear un cono por medio de parametrizacioacuten Para ello debe ingresar el siguiente
comando en la barra de entrada
(Superficie(rcos(t) rsen(t) r r06 t02pi))
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Figura 10
Cono generado con parametrizacioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
6 Modifique los paraacutemetros para que el cono se oriente correctamente y la altura dependa del
deslizador ldquoAlturardquo Ademaacutes modifique los paraacutemetros para generar el efecto de cono truncado
y que dependa del deslizador ldquoCorterdquo Modifique en ldquoPropiedadesrdquo el grosor del trazo para que
tenga una apariencia maacutes niacutetida El comando quedariacutea de la siguiente manera Superficie (r cos(t)
r sen(t) -r + Altura r Altura - Corte Altura t 0 2π)
Figura 11
Cono parametrizado con deslizadores
Nota Elaboracioacuten propia
7 Por uacuteltimo construya un deslizador ldquoRegionrdquo de tipo aacutengulo (que vaya de 0 a 360) con el que se
pueda ir generando el cono truncado Modifique los paraacutemetros para que el cono dependa del
deslizador ldquoRegionrdquo Elabore una casilla de control con la que pueda ocultar la regioacuten del cono
truncado El comando quedariacutea de la siguiente manera
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Superficie (r cos(t) r sen(t) -r + Altura r Altura - Corte Altura t 0 Region)
Figura 12
Cono parametrizado
Una vez concluida la construccioacuten proceda a personalizarla Debe quedarle de la siguiente la misma
manera que en la Figura 13
Figura 13
Construccioacuten del cono truncado finalizada
Nota Elaboracioacuten propia
7 Importancia de la parametrizacioacuten en construcciones interactivas
El rol de la parametrizacioacuten en las construcciones es lograr un acabado continuo y que permita al
estudiante visualizar de mejor manera la animacioacuten pues sin la parametrizacioacuten se trabaja con un espacio
discreto de puntos y baja considerablemente la calidad de esta
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Figura 14
Diferencias entre construcciones parametrizadas y no parametrizadas
Nota Elaboracioacuten propia
8 Conclusiones
Se puede observar con lo desarrollado en este escrito la importancia que tiene el uso del software
GeoGebra para generar materiales que ayuden y potencialicen la visualizacioacuten y modelacioacuten de la
geometriacutea en la tercera dimensioacuten esto para propiciar espacios que favorezcan que el proceso de
ensentildeanza-aprendizaje sea exitoso
Cabe destacar que el uso de curvas y superficies parameacutetricas en estas construcciones es fundamental
para el buen desarrollo de las animaciones que se desean realizar Como se vio en anteriormente al no
hacerlo con estos comandos es imposible que el applet interactivo ayude a la visualizacioacuten y maacutes bien
puede generar problemas con los objetivos planteados en este trabajo
Se insta al lector a seguir indagando en el tema ya que lo visto acaacute es una introduccioacuten de las aplicaciones
que se pueden realizar tanto para secundaria como para temas con maacutes abstraccioacuten matemaacutetica como
por ejemplo cuaacutedricas y soacutelidos simples
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Efectividad de la cartografiacutea participativa en la ensentildeanza de la
Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastres Un ejemplo de
aplicacioacuten en el centro educativo Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
German Alvarado Luna
Instituto Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
Costa Rica
gdal5hotmailcom
Neyfren Salazar Aguilar
Colegio Teacutecnico Profesional de Mora
Costa Rica
neyfren11gmailcom
Resumen El objetivo de este estudio fue corroborar la efectividad de la cartografiacutea participativa en la
ensentildeanza de la Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastres (GIRD) Para ello se aplicaron talleres de cartografiacutea
participativa en un grupo de octavo grado del centro educativo Itskazuacute Educacioacuten Humanista Posteriormente
dichos talleres fueron evaluados desde el nivel de seguimiento de las orientaciones praacutecticas para conducir al
aprendizaje significativo logrados por los estudiantes mediante observaciones participantes y encuestas Como
conclusioacuten se muestra que la cartografiacutea participativa mostroacute efectividad en la ensentildeanza de la GIRD pues los
objetivos de aprendizaje de cada taller se cumplieron las orientaciones praacutecticas para lograr el aprendizaje
significativo se siguieron y muchos de los conceptos asociados con la temaacutetica fueron interiorizados
Asimismo se denota que la efectividad de esta herramienta depende del disentildeo del conjunto de los talleres
Palabras clave cartografiacutea participativa gestioacuten integral de riesgo de desastres aprendizaje significativo
1 Introduccioacuten
La Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastre (GIRD) ha sido considerada como una de las herramientas
primordiales para afrontar los desastres desencadenados por eventos naturales sobre todo por su enfoque
socio-ambiental para intervenir las situaciones de riesgo (PNUD 2012) Uno de los principales campos
de accioacuten para promover dicha herramienta conceptual ha sido la educacioacuten A traveacutes de ella se busca
que las personas comprendan las amenazas y vulnerabilidades de sus contextos inmediatos para que
puedan enfrentar cualquier hecho violento que se logre consumar (Arauz 2008)
En Costa Rica desde la deacutecada de 1990 se han hecho esfuerzos para incorporar este tema en la educacioacuten
formal (Arauz 2008) El programa de Estudios Sociales derivado de la poliacutetica ldquoEducar para una nueva
ciudadaniacuteardquo hace esto uacuteltimo a traveacutes de la geografiacutea pues entiende que esta disciplina es la que mayor
potencial tiene para establecer puentes entre los aacutembitos ambientales y socio-econoacutemicos (Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica 2016) En general en todo este programa se encuentra toacutepicos con recomendaciones
metodoloacutegicas y conceptuales referentes a la GIRD pero en octavo antildeo es donde se le dan mayor eacutenfasis
fundamentalmente en el abordaje de los fenoacutemenos geoloacutegicos e hidrometereoloacutegicos que inciden
actualmente en el planeta (Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica 2016)
Este programa propone una renovacioacuten en la forma de ensentildear la geografiacutea pues surgiere que esta sirva
para analizar problemas contemporaacuteneos y buscarles solucioacuten en remplazo de los meacutetodos memoriacutesticos
y descriptivos En ese sentido se demanda una innovacioacuten en la praacutectica educativa docente con
metodologiacuteas donde los estudiantes asuman un papel maacutes activo construyan conocimientos de forma
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colaborativa y contextualizada y sean partiacutecipes desde el espacio educativo de la construccioacuten de
alternativas de futuro
No obstante estos avances teoacutericos han tenido dificultades para materializarse a nivel praacutectico pues el
profesorado costarricense tiende al uso de teacutecnicas didaacutecticas tradicionales donde el estudiantado asume
un papel completamente pasivo lo cual se extrapola a los aacutembitos educativos vinculados al Desarrollo
Sostenible tal como la GIRD (Arauz 2008 Estado de la Nacioacuten 2017 Castro et al 2017)
La cartografiacutea participativa es una herramienta con mucho potencial para salir de ese estado e innovar
En primer lugar la GIRD parte de un enfoque territorial por lo que la cartografiacutea es un instrumento
necesario para su abordaje ya que permite representar de forma contrapuesta los recursos riesgos y usos
de un territorio (Font et al 1996) En segundo lugar al antildeadiacutersele el componente participativo a la
cartografiacutea se permite que los mismos estudiantes de forma conjunta y situados en sus realidades sean
quienes la realicen a fin de que comprendan las problemaacuteticas socio-espaciales y formulen propuestas de
transformacioacuten (Patintildeo 2017)
En otras palabras la cartografiacutea participativa es efectiva en la ensentildeanza de la GIRD pues estaacute
fuertemente implicada con esta temaacutetica y corresponde a las propuestas pedagoacutegicas activas Este
documento pretende dar cuenta de ello evaluando la aplicacioacuten de una serie de talleres de cartografiacutea
participativa en GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en un grupo de octavo antildeo conformado por 8
estudiantes de un centro educativo ubicado en espacio en riesgo a este tipo de eventos Itskazuacute Educacioacuten
Humanista en San Rafael de Escazuacute
Para ello es importante considerar que las fuentes de informacioacuten de la evaluacioacuten no solamente son los
aprendizajes que los educandos logren obtener sino tambieacuten las praacutecticas educativas de los docentes (De
la Herraacuten 2014) Asimismo se debe tomar en cuenta que la evaluacioacuten tiene que estar presente en todas
las fases de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje y es mucho maacutes efectiva si se forma una comunidad
de reflexioacuten cooperativa donde participen docentes y estudiantes (Nuacutentildeez 2014 Pereira 2015)
En ese sentido en este trabajo los docentes evaluaron los aprendizajes significativos obtenidos por los
estudiantes en las diferentes fases de la ejecucioacuten de los talleres tanto en teacuterminos de los conocimientos
memorizados como en teacuterminos de las aplicaciones contextuales y las significaciones personales
otorgadas a dichos conocimientos (Castillo 2012) Los estudiantes por su parte evaluaron los talleres de
cartografiacutea participativa desde las orientaciones praacutecticas para conducir al aprendizaje significativo las
cuales son seguacuten Ballester (2002) trabajo abierto motivacioacuten uso del medio creatividad y mapa
conceptual
2 Meacutetodos
Esta investigacioacuten se realizoacute mediante un enfoque mixto en tanto que se utilizoacute de forma integrada
informacioacuten de caraacutecter cuantitativo y cualitativo Para evaluar los aprendizajes obtenidos por los
estudiantes en las diferentes fases de la ejecucioacuten de los talleres se utilizaron dos teacutecnicas la observacioacuten
participante y la encuesta En la observacioacuten se usoacute como instrumento una hoja de cotejo acompantildeada
por un registro anecdoacutetico Lo evaluado fue el logro en cada taller de los objetivos de aprendizaje
planteados Lo que se hizo fue registrar si ello se cumplioacute o no
En la encuesta se usoacute como instrumento un cuestionario abierto el cual fue aplicado a los estudiantes
Con este se evaluoacute al final del proceso el nivel de interiorizacioacuten de los conceptos esenciales
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relacionados con la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Este cuestionario fue conformado por 25
iacutetems por cada iacutetem respondido correctamente los estudiantes obtuvieron un punto
Para tratar la informacioacuten se optoacute por establecer una escala Si los estudiantes obteniacutean entre 25 y 18
iacutetems correctos en su cuestionario (entre el 100 y el 70) se consideroacute que interiorizaron los conceptos
esenciales de la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos si es menor a ese puntaje se consideroacute que faltoacute
trabajo para ello Con el fin de analizar la totalidad de los estudiantes se sacaron los porcentajes de los
estudiantes que obtuvieron entre 25 y 18 iacutetems correctos y de los estudiantes que obtuvieron menos de
18 iacutetems correctos
Luego se establecieron rangos para esos porcentajes los cuales fueron asociados con un criterio de
clasificacioacuten para determinar si el conjunto de los estudiantes interiorizaron los conceptos esenciales de
la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Del maacutes alto al maacutes bajo eso se expresoacute asiacute interiorizacioacuten
completa parcial baja nula Con el propoacutesito de obtener informacioacuten maacutes detallada se hizo todo el
ejercicio anterior en cada uno de los conceptos asociados a la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos
Para evaluar los talleres desde las orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo se utilizoacute como
teacutecnica la encuesta El instrumento utilizado fue un cuestionario abierto aplicado a estudiantes
conformados por 22 preguntas divididas en cinco secciones correspondientes a cada orientacioacuten praacutectica
del aprendizaje significativo Las respuestas preestablecidas fueron lsquorsquoTotalmente de acuerdorsquorsquo lsquorsquoDe
acuerdorsquorsquo lsquorsquoEn desacuerdorsquorsquo y lsquorsquoTotalmente en desacuerdorsquorsquo Lo que debieron hacer los estudiantes fue
leer la afirmacioacuten y marcar la respuesta preestablecida correspondiente Para tratar la informacioacuten se
optoacute por utilizar la escala tipo Likert A fin de obtener informacioacuten maacutes detallada este procedimiento se
aplicoacute a cada seccioacuten correspondiente a una orientacioacuten del aprendizaje significativo
Para analizar la totalidad de cuestionarios a nivel general y a nivel de cada una de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo se optoacute por calcular el porcentaje de los cuestionarios
categorizados como ldquoTotalmente de acuerdordquo o ldquoDe acuerdordquo establecer rangos para esos porcentajes
y asociarlos con criterios de clasificacioacuten para ubicar el nivel de seguimiento de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo Del rango maacutes alto al maacutes bajo eso se expresoacute de la siguiente
forma ldquoseguimiento totalrdquo ldquoparcialrdquo ldquobajordquo y ldquonulordquo Finalmente con el fin de obtener informacioacuten
complementaria se calcularon los porcentajes a nivel general y a nivel de cada una de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo de la cantidad de respuestas a ldquoTotalmente de acuerdordquo ldquoDe
acuerdordquo ldquoEn desacuerdordquo y ldquoTotalmente en desacuerdordquo
3 Evaluacioacuten de los aprendizajes significativos obtenidos en cada taller
En total se realizaron 7 talleres en febrero del 2019 cuya duracioacuten aproximada fue de una hora y media
El primer taller fue el que tuvo como objetivo introducir los conceptos esenciales de la GIRD en eventos
siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes Este taller se conformoacute por tres actividades ademaacutes de la
presentacioacuten del proyecto En la primera actividad se conformaron 2 subgrupos a cada subgrupo se le
dio una serie de iacuteconos y una matriz de clasificacioacuten en blanco referentes a la GIRD para que a partir
de deducciones y conocimientos previos colocaran cada icono en la seccioacuten respectiva
En la segunda actividad los facilitadores expusieron interrogativamente los conceptos esenciales de la
GIRD acompantildeados con imaacutegenes y viacutedeos En la tercera actividad los estudiantes se reunieron en los
subgrupos para corregir sus matrices de clasificacioacuten a fin de afianzar los contenidos vistos y examinar
si los comprendieron para su eventual aplicacioacuten Esta uacuteltima actividad dejoacute claro que los estudiantes
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tuvieron comprensioacuten de los conceptos esenciales de la GIRD ya que las matrices de clasificacioacuten fueron
corregidas correctamente En ese sentido se puede afirmar que el objetivo de este taller se cumplioacute
Figura 1
Elaboracioacuten de la matriz de clasificacioacuten
El segundo taller tuvo como objetivo presentar a los estudiantes los elementos esenciales de la cartografiacutea
participativa para que tuvieran las herramientas baacutesicas para elaborar colectivamente un mapa de
amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de Escazuacute Esta actividad consistioacute en exponer los elementos
esenciales de la cartografiacutea participativa las normas baacutesicas del trabajo en grupo el tipo de mapa a
intervenir (mapa a escala temaacutetico) las simbologiacuteas a ubicar (previamente definidas por los facilitadores)
y la forma de colocarlas en el mapa Los estudiantes generaron preguntas y comentarios que evidenciaron
comprensioacuten de los elementos esenciales de la cartografiacutea participativa y por tanto que el objetivo de
este taller se cumplioacute
El tercer taller tuvo como objetivo acercar a los estudiantes a los principales riesgos de desastres de la
comunidad donde viven es decir el cantoacuten de Escazuacute La idea fue que conectaran sus conocimientos
previos con los recogidos a nivel oficial para que tuvieran la informacioacuten necesaria en el proceso
colectivo de creacioacuten cartograacutefica Dicha actividad consistioacute en una exposicioacuten de las caracteriacutesticas
geofiacutesicas y socioeconoacutemicas del cantoacuten de Escazuacute Nuevamente las preguntas y comentarios que
hicieron los estudiantes al respecto mostraron que pudieron conectar sus conocimientos previos con los
registros oficiales presentados
El cuarto taller tuvo como objetivo construir colectivamente un mapa de amenazas y vulnerabilidades
del cantoacuten de Escazuacute La idea fue que los estudiantes interiorizaran por completo los conceptos esenciales
de la GIRD y pudieran utilizarlos para analizar sus realidades Este taller se conformoacute por tres
actividades La primera actividad consistioacute en que los estudiantes en subgrupos mapearan a partir de la
simbologiacutea dada las principales amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de Escazuacute La segunda
actividad fue la presentacioacuten en subgrupos de los mapas de amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de
Escazuacute y la discusioacuten en plenaria de cada uno de ellos La tercera actividad consistioacute en la
sistematizacioacuten de la informacioacuten de ambos mapas y en la definicioacuten colectivamente de tres tipos de
zonas de riesgo alto medio y bajo
La precisioacuten con la cual los estudiantes realizaron las distintas actividades de este taller demuestra que
interiorizaron los conceptos esenciales de GIRD principalmente los de amenaza y vulnerabilidad y
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aprendieron sus sentidos praacutecticos al aplicarlos como herramientas de anaacutelisis para sus realidades
inmediatas
Figura 2
Presentaciones de mapas
Asiacute para ellos las principales amenazas estaacuten asociadas con el desarrollo urbano descontrolado y la
geografiacutea montantildeosa del cantoacuten Por su parte las vulnerabilidades las asocian con la presencia del barrio
marginal los Anonos y el desarrollo residencial de las zonas altas Con estos datos los estudiantes
definieron las zonas de riesgo Para ellos la zona de riesgo alto es el sureste del distrito San Rafael ya
que ahiacute se concentra el desarrollo urbano descontrolado y el barrio marginal los Anonos y las zonas de
riesgo medio fueron las partes altas del distrito de San Rafael y del distrito de San Antonio
primordialmente por las fuertes pendientes que alliacute se ubican
El quinto taller tuvo como objetivo seleccionar las amenazas y vulnerabilidades ante eventos siacutesmicos y
volcaacutenicos maacutes urgentes de resolver en el cantoacuten de Escazuacute a fin de que los estudiantes tomaran un rol
de tomadores de decisiones para que advirtieran la importancia del tema en estudio Asimismo se
pretendioacute filtrar la informacioacuten obtenida para que el ejercicio del proacuteximo taller ndashdisentildeo de propuestas-
se diera con mayor efectividad La actividad consistioacute en un panel abierto donde todos los miembros del
grupo seleccionaron los temas maacutes urgentes de atender respecto a la GIRD en el cantoacuten de Escazuacute Estos
temas fueron anotados en la pizarra por los facilitadores y fueron elegidos a traveacutes de una votacioacuten
Esta actividad dio paso a una discusioacuten donde los estudiantes tomaran la batuta de la clase y utilizaron
los conceptos abordados con naturalidad y propiedad Ello desde luego permitioacute cumplir con los
objetivos planteados con este taller pues los estudiantes adquirieron conciencia de la importancia del
tema abordado al menos en el momento de la ejecucioacuten del taller y la informacioacuten se filtroacute para efectos
de facilitar el siguiente taller
El sexto taller tuvo como objetivo disentildear propuestas de GIRD ante eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en el
cantoacuten de Escazuacute La idea fue que los estudiantes aplicaran especiacuteficamente los procesos asociados a la
GIRD ante eventos siacutesmicos y volcaacutenicos La actividad que se realizoacute fue un panel abierto donde los
estudiantes definieron colectivamente propuestas de solucioacuten Asimismo las sistematizaron en una
matriz de clasificacioacuten referente a los procesos de la GIRD del espacio en estudio
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Figura 3
Disentildeo de propuestas de solucioacuten
Los productos resultantes de este ejercicio mostraron que los estudiantes tomaron conciencia sobre la
GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Las propuestas fueron en gran medida pertinentes y
correctamente clasificadas Asiacute por ejemplo en prevencioacuten disentildearon medidas relacionadas con
ordenamiento territorial en mitigacioacuten aluden a medidas para mejorar la infraestructura y la
participacioacuten comunitaria en rehabilitacioacuten ponen como prioridad la buacutesqueda de afectados en
condicioacuten de vulnerabilidad y en reconstruccioacuten sentildealan la remocioacuten de escombros y la reconstruccioacuten
planificada Como tal los objetivos de la actividad se cumplieron en tanto que hubo una apropiacioacuten de
los conceptos en estudio No obstante se pudo notar que hizo falta mayor nivel de detalle y precisioacuten
Finalmente el seacuteptimo taller tuvo como objetivo evaluar los talleres de cartografiacutea participativa Para
ello realizaron tres actividades la primera fue presentar a los estudiantes memoria de los talleres la
segunda fue un cuestionario cerrado donde individualmente cada estudiante evaluoacute el proceso de
creacioacuten cartograacutefica implementado por los facilitadores la tercera fue un cuestionario abierto que
evaluoacute individualmente los conocimientos adquiridos por los estudiantes en GIRD Con esto se obtuvo
la informacioacuten necesaria para evaluar los talleres de cartografiacutea
4 Evaluacioacuten de los talleres de cartografiacutea participativa desde las orientaciones praacutecticas del
aprendizaje significativo
A nivel general el puntaje obtenido por los estudiantes en sus cuestionarios mostroacute que todos ellos
estuvieron ldquoTotalmente de acuerdordquo con que los talleres de cartografiacutea participativa siguieran las
orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo Sin embargo se puede apreciar que ldquoDe acuerdordquo
fue la respuesta maacutes frecuente entre los estudiantes abarcando un 528 del total de las respuestas
Luego sigue ldquoTotalmente de acuerdordquo con un 42 ldquoEn desacuerdordquo con un 4 y ldquoTotalmente en
desacuerdordquo con un 12 lo cual si bien no contradice el resultado presentado en el paacuterrafo anterior
presenta algunos detalles que no deben menospreciarse Se muestra que los estudiantes no estuvieron
completamente convencidos de que los talleres siguieran al dedillo las orientaciones praacutecticas del
aprendizaje significativo
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La revisioacuten por aparte de cada una de las orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo permitioacute
dar cuenta de los aspectos donde hay que mejorar Entre lo que se menciona se encuentra acoplarse
mejor a las necesidades y capacidades de cada quien plantear metas maacutes realistas propiciar la
observacioacuten del entorno promover la toma de conciencia sobre la temaacutetica y la realidad circundante
utilizar recursos poco usuales y mejorar la relacioacuten conceptual
5 Evaluacioacuten al final del proceso del nivel de interiorizacioacuten de los conceptos de GIRD en eventos
siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes
El resultado general fue que un 50 de los estudiantes obtuvieron entre 25 y 18 iacutetems correctos y otro
50 menos 18 Seguacuten los criterios de clasificacioacuten establecidos este resultado sentildeala que los estudiantes
interiorizaron parcialmente los conceptos de GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos con los talleres de
cartografiacutea participativa Ello indica que se necesitan maacutes esfuerzos para causar la interiorizacioacuten de los
conceptos de GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes
No obstante eso fue uniforme para los distintos conceptos asociados a la GIRD ya que en unos casos si
se logroacute causar una interiorizacioacuten completa mientras que en otros soacutelo parcialmente y en otros muy
poco Los conceptos que siacute se lograron interiorizar con los talleres de cartografiacutea participativa fueron los
de Riesgo de desastres y Amenazas siacutesmicas y volcaacutenicas Los conceptos que se lograron interiorizar
parcialmente fueron GIRD y Reconstruccioacuten Finalmente los conceptos que se lograron interiorizar poco
fueron Vulnerabilidades siacutesmicas y volcaacutenicas Mitigacioacuten y Rehabilitacioacuten
6 Conclusioacuten
En suma se puede decir que la cartografiacutea participativa como herramienta didaacutectica para la ensentildeanza
de la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos fue bastante efectiva para contribuir en los aprendizajes
significativos de ese tema Se pudo corroborar que los objetivos de aprendizaje de cada taller se
cumplieron y que las orientaciones praacutecticas para lograr el aprendizaje significativo se siguieron en
mucho Asimismo la mitad de los estudiantes lograron interiorizar los distintos conceptos asociados con
la temaacutetica
Ahora es importante indicar que ello requiere mejoras pues por ejemplo la otra mitad de estudiantes
no logroacute alcanzar aprendizajes significativos en todos los conceptos esenciales Los factores que pudieron
haber influido en esa situacioacuten son el poco eacutenfasis que se le dio al abordaje de ciertos conceptos
(principalmente los procesos de la GIRD) la falta de rigurosidad en la evaluacioacuten inmediata de algunos
talleres y el seguimiento parcial de algunas orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo
Estos factores sin embargo no son completamente intriacutensecos a la teacutecnica cartografiacutea participativa pues
resultan del disentildeo conjunto de los talleres En ese sentido las mejoras se alcanzariacutean con una serie de
modificaciones al disentildeo de la propuesta Estas modificaciones sin embargo tambieacuten deben ser probadas
y evaluadas mediante un proceso riguroso Esto uacuteltimo es reconocer un elemento propio de la naturaleza
de la intervencioacuten didaacutectica la necesidad permanente de investigar la praacutectica educativa para alcanzar la
efectividad en la ensentildeanza (Restrepo 2009)
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El contexto en el aprendizaje de las ciencias iquestde quieacuten y para
queacute
Antonio Alejandro Lorca Mariacuten
Universidad de Huelva Espantildea
antoniolorcaddccuhues
Diego Armando Retana Alvarado
Universidad de Costa Rica Costa Rica
diegoarmandoretana ucraccr
Resumen El siglo XXI ha traiacutedo aparejado una serie de cambios sociales tecnoloacutegicos e
incluso laborales que hacen que nos planteemos nuestro paradigma educativo y por ende
sus perspectivas a nivel ontoloacutegico epistemoloacutegico y metodoloacutegico En esta comunicacioacuten
se expone la experiencia llevada a cabo bajo una metodologiacutea por indagacioacuten y en la que un
taller cuestionando la Homeopatiacutea sirve como foco de reflexioacuten para ejemplificar nuevas
perspectivas en el aula El realizar un acercamiento a los contenidos propios de las
asignaturas de fiacutesica y quiacutemica a traveacutes de la experimentacioacuten donde las afirmaciones en
ciencias se hagan a traveacutes de los datos y no como dogmas de fe se plantean como
metodologiacuteas necesarias para una ciudadaniacutea continuamente inmersa en un mar de opiniones
El cuestionar los medios de comunicacioacuten (foco de informacioacuten para muchos) nos acerca al
pensamiento criacutetico y escepticismo que tanto se reclama en nuestras aulas
Palabras Clave Didaacutectica de las ciencias experimentales indagacioacuten basada en modelos
maestros en formacioacuten inicial Pseudociencias
1 Introduccioacuten
El nuevo papel del profesor de cara a los nuevos retos que le va a plantear la era digital y en su papel
dentro del proceso debe pasar no soacutelo por el uso de los materiales si no por un comportamiento una
actitud un modelo de hacer que haraacute de este un planteamiento tal que haya que considerar su definicioacuten
para pasar de un papel formador educador a un papel dinamizador de orientacioacuten y tutela (Lorca-Mariacuten
et al 2018) La sociedad en la actualidad precisa una educacioacuten adaptada a sus necesidades y en este
sentido poco ha evolucionado el sistema educativo El tratamiento que desde las aulas hacemos de las
ciencias poco ha evolucionado desde las primeras Universidades (ver Figura 1) y donde a esta se la
aproxima maacutes a una religioacuten que ha una disciplina acadeacutemica donde el papel omnisciente del docente es
incuestionable y donde los alumnos como siervos disciacutepulos asumen el papel pasivo de memorizar los
contenidos de ciencias como si de evangelios se tratase y bajo el uacutenico criterio de la fe (Ver Figura 2)
No es de extrantildear que luego nuestros alumnos carezcan de la capacidad de generalizar los aprendizajes
de la escuela a otros contextos y dar respuestas a cuestiones donde poner en juego esos aprendizajes
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Figura 1
Aula Fray Luis de Leoacuten de la Universidad de Salamanca (Espantildea) Aula a fecha actual de la Universidad
de Huelva (Espantildea) Representacioacuten de la falta de evolucioacuten en la educacioacuten
Figura 2
Aula actual de la Universidad de Huelva (Espantildea) y su parecido a cualquier iglesia Representacioacuten
entre el tratamiento de la ciencia en las aulas actuales y la religioacuten
De cara a este cambio que se plantea el profesor debe poner eacutenfasis en el aprendizaje donde debe actuar
como tutor fomentando la autonomiacutea del alumno disentildeando y gestionando sus propios recursos y
partiendo de las concepciones erroacuteneas que sabemos que nuestros alumnos tienen y que en la literatura
podemos encontrar (ver Figura 3)
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Figura 3
Modelo de ensentildeanza y aprendizaje en la Ensentildeanza y Aprendizaje de las Ciencias
Nota Tomado de Lorca-Mariacuten 2015
No deja de ser un cambio de paradigma el que se comienza a plantear y donde cualquier profesor debe
preguntarse para queacute ensentildeamos ciencia queacute implicaciones en la sociedad debe tener la ciencia queacute
ensentildeamos y por supuesto coacutemo debemos presentar la ciencia en nuestras aulas
Este enfoque plantea la posicioacuten del estudiante dentro del sistema aula El papel activo del alumnado se
erige como elemento clave del proceso y donde la autoridad enciclopeacutedica del docente pasa a un segundo
plano para pasar a ser guiacutea en la metodologiacutea del proceso Donde el papel de las concepciones erroacuteneas
de nuestros estudiantes son el punto de partida de los procesos de formacioacuten y donde la tecnologiacutea son
elementos claves para dotar de sentido los procesos fenoacutemenos y hechos en nuestras aulas Donde el
contexto banco de preguntas a las que cargar de contenidos son claves para generar situaciones de
aprendizaje y determinantes de las conductas esperadas de nuestros alumnos El pensamiento criacutetico la
reflexioacuten en las acciones la toma de decisiones la creatividad pasan a ser contenidos actitudinales
esenciales para la consecucioacuten de los objetivos
Sin embargo requiere disponer de una organizacioacuten de los espacios agrupamientos y tiempos que no
siempre va de la mano del modelo operante de actual sistema educativo Ni el esfuerzo por parte de
aquellos actores que ejercen los distintos roles (alumnosprofesor) en seguacuten queacute casos estaacuten dispuestos
a llevarlo a cabo
La estructura del modelo de ensentildeanza y aprendizaje que se plantea desde el aacuterea de la didaacutectica de las
ciencias experimentales y que es de general aceptacioacuten es el de Indagacioacuten Y aunque clave en el aula de
ciencias tiene unos elementos que debemos tener presente Para Martiacutenez-Chico et al (2017) el alumno
debe apropiarse de la pregunta expresar justificar y discutir sus ideas utilizando diferentes lenguajes
Disentildear la buacutesqueda de pruebas para contrastar sus ideas llevan a cabo esa buacutesqueda analizan resultados
obtienen y discuten conclusiones y finalmente el profesor da un paso maacutes en el acercamiento a ideas
maacutes cientiacuteficas (ver Figura 4) Asimismo implica plantear problemas identificar diferentes caminos
para resolverlos desarrollar y observar experimentos sencillos recoger datos buscar y contrastar
respuestas entre otras (Linn Davis y Bell 2004)
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Figura 4
Estructura de una secuencia basada en la indagacioacuten
Nota Tomado de Martiacutenez-Chico et al 2017
Asiacute y como ya hemos especificado deben partir de las concepciones erroacuteneas que poseen nuestros
alumnos (o entendemos que poseen) y que solo el sistema educativo tiene los medios y recursos
personales (especialistas en la docencia) para poder trabajarlas Construimos ideas conceptos
proposiciones o esquemas a partir de los objetos eventos y situaciones a los que nos enfrentamos y cada
uno lo hace desde su propia situacioacuten personal por lo que se presentan como claves para el comienzo de
cualquier proceso
En este sentido las concepciones estaacuten mediadas por las percepciones que los sujetos tienen de la
realidad Entendiendo percepcioacuten como el resultado de la interpretacioacuten personal de la informacioacuten
(estiacutemulo externo) y por lo tanto es subjetiva Asiacute los factores de los que depende la percepcioacuten son
conocimiento actitud culturalsocial sentido e incluso el sexo entre otros muchos maacutes factores
Cuando hablamos de concepcioacuten la entendemos como la estructura mental general que posee el
individuo a traveacutes del procesamiento manipulacioacuten y uso del conjunto de percepciones que experimenta
el individuo
Asiacute Driver (1989) las clasifica seguacuten sean causados por
Pensamiento dirigido por la percepcioacuten Por ejemplo el azuacutecar o la sal desaparece al disolverse en el
agua
Conceptos indiferenciados Por ejemplo tratar como elementos sinoacutenimos Calortemperatura o
Masavolumendensidad
Enfoque limitado Por ejemplo pensar que la presioacuten no actuacutea en estados de equilibrio o que la fuerza
soacutelo existe si provoca movimiento
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Razonamiento causal lineal no reversible Por ejemplo el papel que juega la energiacutea en los cambios de
estado
Dependencia del contexto Por ejemplo el elegir recipiente de metal para sopa caliente siendo este mejor
conductor del calor
Las caracteriacutesticas generales que este mismo autor define son que
Son estables en el tiempo y resistentes al cambio
Son comunes a las de otros alumnos de la misma edad y cultura
Son construcciones personales de caraacutecter impliacutecito
Presentan semejanzas con concepciones histoacutericas del pensamiento cientiacutefico y filosoacutefico
Son ideas funcionales que buscan utilidad
Se ponen de manifiesto en actividades o predicciones
Tienen coherencia interna pero no desde el punto de vista cientiacutefico
2 Objetivos
Existe una doble finalidad dentro de la comunicacioacuten que se plantea y que podemos transformarlos en
forma de objetivos principales Por una parte y en un primer objetivo capacitar a los asistentes en
metodologiacuteas activas propias de los nuevos modelos educativos Mostrarles que los conocimientos
propios de una metodologiacutea determinante dentro del aula de ciencia y su extensioacuten a las competencias
STEM trabajo colaborativo planificacioacuten iniciativa creatividad comunicacioacuten y divulgacioacuten entre
otras
En un segundo objetivo la adquisicioacuten de los conocimientos propios determinados por la Legislacioacuten
espantildeola actual en fiacutesica y quiacutemica Contenidos conceptuales relacionados con la Materia las
Disoluciones el concepto de mol la formulacioacuten entre otros Contenidos procedimentales como las
disoluciones seriadas el pipeteo destrezas en el manejo de material de laboratorio y de pruebas
estandarizadas como la prueba del Yodo Obtener informacioacuten sobre temas cientiacuteficos utilizando
distintas fuentes y emplearla valorando su contenido para fundamentar y orientar trabajos sobre temas
cientiacuteficos Desarrollar actitudes criacuteticas fundamentadas en el conocimiento cientiacutefico para analizar
individualmente o en grupo cuestiones relacionadas con las ciencias
3 El taller
La propuesta que se plantea se inicia dando respuestas a una seria de preguntas claves y que todo docente
se debe ir haciendo iquestPara queacute ensentildear ciencias iquestQueacute ciencia ensentildear iquestCoacutemo debe relacionarse el
saber el alumno y el profesor iquestQueacute implicaciones debe tener en la sociedad iquestQueacute valores debe
fomentar iquestQueacute cuaacutendo y coacutemo ensentildear iquestQueacute cuaacutendo y coacutemo evaluar iquestQueacute estrategias de
aprendizaje yo actividades se proponen iquestCoacutemo deberiacutean presentarse las ciencias en las aulas Se trata
de una reflexioacuten sobre el sentido epistemoloacutegico de la ciencia su papel en la alfabetizacioacuten cientiacutefica de
los alumnos y su implicacioacuten en la sociedad Esta visioacuten o cambio en el paradigma de las ciencias desde
el punto de vista educativo parte de elementos claves
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Un conocimiento profundo sobre los contenidos a trabajar y que abordaremos en una secuencia
contextualizaacutendolos Es un planteamiento teoacuterico-cientiacutefico de los contenidos propios de la materia a
trabajar y que desde el curriacuteculo oficial debemos tener presente Explicitar la importancia del
conocimiento didaacutectico del contenido
Conocer queacute obstaacuteculos y dificultades de aprendizaje presentan los alumnos de secundaria sobre los
conceptos a trabajar Para ello se debe realizar una buacutesqueda sistemaacutetica en las distintas revistas
especializadas del aacuterea y que nos deacute una visioacuten de cuaacuteles son las concepciones erroacuteneas que marcaraacuten
nuestro devenir en el proceso de ensentildeanza
Conocimiento epistemoloacutegico de la ciencia Intentando responder a la cuestioacuten de coacutemo se conoce los
distintos contenidos a trabajar
Conocimiento de los distintos elementos que conforman el sistema aula Organizacioacuten planificacioacuten
evaluacioacuten entre otros
Por el contexto en el que se generaba la propuesta fue interesante profundizar en el tratamiento de las
concepciones erroacuteneas que tienen nuestros estudiantes a la hora de plantear cualquier proceso de
ensentildeanza y aprendizaje y en particular de los contenidos que iacutebamos a trabajar Dilucioacuten seriacioacuten
concepto de mol partiacutecula caracteriacutesticas de la materia caracteriacutesticas en particular del agua entre otros
Partiendo de una noticia reciente sobre el estado actual de la Homeopatiacutea y su inclusioacuten en la sociedad
actual nos acercamos a las opiniones que nuestros asistentes tienen de este tipo de praacutecticas
La intervencioacuten en siacute misma se ha publicado recientemente en la revista Alambique Didaacutectica de las
ciencias experimentales bajo el tiacutetulo de ldquoCiencia frente a seudociencia el fomento del pensamiento
criacuteticordquo (Lorca-Mariacuten et al 2019) Sin embargo resumir que se procedioacute a la fabricacioacuten de un producto
homeopaacutetico bajo los criterios que marca laboratorios del sector Mediante una dilucioacuten seriada decimal
(en diluciones 110) a partir de un antiseacuteptico yodado que actuacutea como tincioacuten madre (TM) se realizan las
distintas diluciones hasta obtener la dilucioacuten deseada 1DH (Decimales Hahnemannianas) 2DH
3DHhelliphellip Mediante la prueba del yodo se comprueba la autenticidad de las afirmaciones en las que se
sustenta la homeopatiacutea (ver Figura 5)
Figura 5
Fotografiacuteas durante la presentacioacuten donde un voluntario actuoacute de alumno para la ponencia
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Por uacuteltimo y tras la elaboracioacuten de la secuencia se desarrolloacute una reflexioacuten sobre el proceso despertando
un debate de reflexioacuten sobre las pseudociencias en la sociedad actual su modelo de generalizacioacuten foros
de crecimiento entre otras cuestiones
4 Conclusioacuten
La propuesta que se plantea fue muy valorada entre los docentes para su uso en el aula de ciencias
destacando su contribucioacuten a la contextualizacioacuten de aprendizaje de conocimientos relativos a conceptos
y procesos cientiacuteficos y especialmente de cara a trabajar contenidos actitudinales que en muchos casos
pasan desapercibidos en el aula de ciencias Asimismo se consideroacute que favorece la capacidad para
describir y explicar fenoacutemenos con el que el alumno convive y para interpretar los datos e informaciones
que llegan al estudiante a traveacutes de las redes sociales youtubers influencers entre otros
Se destacoacute el ejercicio de la experimentacioacuten cientiacutefica directa lo que potencia principalmente aspectos
de la competencia cientiacutefica como iniciacioacuten a la investigacioacuten cientiacutefica baacutesica
Es digno de mencioacuten en la intervencioacuten aquellas aportaciones referentes a la importancia del papel activo
del alumno La necesidad de generar contextos y situaciones que propicien la necesidad por investigar e
indagar donde el docente se comporte como guiacutea del proceso y el alumno adquiere un papel principal
en el proceso La necesidad de precisar entornos colaborativos entre el alumnado ya que entre los retos
que se enmarca el siglo XXI estaacute el de trabajos formados por grupos cada vez maacutes interdisciplinares y
donde la reflexioacuten comunicacioacuten y colaboracioacuten son elementos claves
La concepcioacuten sobre la ensentildeanza de las ciencias que posea el profesorado el conocimiento sobre los
contenidos cientiacuteficos a tratar la constante actualizacioacuten sobre las investigaciones que se hacen en
materia de concepciones erroacuteneas del alumnado en ciencia asiacute como sobre las informaciones que se
publican por los distintos medios de comunicacioacuten son variables para tener presentes pues condicionan
este tipo de metodologiacutea que parte del contexto en el que estaacuten sumergidos nuestros alumnos
Tenemos un sistema educativo centrado en respuestas maacutes que en preguntas cuando en una sociedad 40
toda informacioacuten debe ser cuestionada El sistema educativo debe formar alumnos con pensamiento
criacutetico y esceacutepticos
Debemos poner eacutenfasis en aprender haciendo y reflexionar sobre el proceso para ello debemos ensentildear
ciencias centraacutendonos en las preguntas desarrollando y usando modelos que nos acerquen a la realidad
del alumnado planificar y realizar proyectos e investigaciones que ayuden al alumno a interpretar el
medio que le rodea Analizando e interpretando datos concluyendo a partir de la interpretacioacuten de estos
y con argumentos que se puedan generalizar en patrones Comunicando y divulgando con argumentos a
partir de evidencias contrastables En definitiva ensentildeamos Ciencia sin hacer Ciencia El contexto en el
que se lleva a cabo la ensentildeanza y aprendizaje de las ciencias la ha dogmatizado hasta su tratamiento
como una religioacuten
Agradecimientos
Agradecer a la organizacioacuten del XXI CONCITES y en su caso a la fundacioacuten CIENTEC la oportunidad
de llevar a cabo la presente comunicacioacuten A la Universidad de Huelva (Espantildea) y Universidad de Costa
Rica por el apoyo otorgado para la realizacioacuten de este trabajo fruto de una estancia de investigacioacuten
cofinanciada por la Asociacioacuten Universitaria Iberoamericana de Posgrado el centro de investigacioacuten
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COIDESO el grupo de investigacioacuten DESYM y la Universidad de Huelva a traveacutes de su Estrategia de
Poliacutetica de Investigacioacuten y Transferencia
Referencias Bibliograacuteficas
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Education 11(5) 481-490
Linn MC Davis EA y Bell P (2004) Internet Environments for Science Education Erlbaum
Lorca-Mariacuten A A Gonzaacutelez Castanedo Y y Delgado-Algarra E J (2018) El uso de las redes sociales
en el aula de ciencias iquestdebe ser una obligacioacuten o no En Encuentros de Universidad de A
Coruntildea Servicio de Publicaciones
Lorca-Mariacuten A A Gonzaacutelez Castanedo Y y Velo Ramiacuterez MS (2019) Ciencia frente a
seudociencia el fomento del pensamiento criacutetico Alambique Didaacutectica de las ciencias
experimentales (97) 57-61
Martiacutenez-Chico M Loacutepez-Gay R Jimeacutenez-Liso M y Trabaloacuten Oller M (2017) Una propuesta
integrada para la formacioacuten inicial de maestros desde el aprendizaje de ciencias mediante
indagacioacuten y modelizacioacuten a la competencia para ensentildear ciencias Ensentildeanza de las Ciencias
(Extra) 115-122
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El uso del Meme como recurso pedagoacutegico y evaluativo
Hairo Zuacutentildeiga-Alvarado
International Christian School Costa Rica
hgzalvaradogmailcom
Resumen los memes han sido utilizados como recursos para expresar criticas sociales
humor y recreacioacuten estos factores pueden ser utilizados en la educacioacuten y llevar esos tres
elementos y generar un aprendizaje significativo a partir de su uso pedagoacutegico y evaluativo
El uso de la saacutetira y la comedia en la comunicacioacuten representa una ruta compleja de
aprendizaje por lo cual genera construccioacuten de conocimiento soacutelido y significativo El meme
se convierte en un novedoso recurso educativo que tiene las caracteriacutesticas fundamentales
para realizar procesos de evaluacioacuten diagnoacutestica ademaacutes al ser utilizado en las lecciones
facilita el ambiente dinaacutemico y propicio para el aprendizaje
Palabras claves meme aprendizaje procesos de ensentildeanza aprendizaje innovacioacuten
educativa TICs TACs
1 Introduccioacuten
La educacioacuten es un proceso que no concluye invita a los participantes a estar en una constante renovacioacuten
de conocimiento El ser humano es un ente de aprendizaje continuo con la capacidad de transformar lo
que observa en procesos elevados de metacognicioacuten hacia una ruta de integralidad
El avance tan acelerado de la tecnologiacutea conlleva el reto principal del quehacer docente hacia la buacutesqueda
de meacutetodos alternativos de aprendizaje donde logre captar la mayor capacidad de atencioacuten de los
educandos y donde se valore la inclusioacuten educativa como una arista primordial del aprendizaje
Los nuevos desafiacuteos docentes invitan a la constante innovacioacuten educativa llaman a los educadores a que
rompan paradigmas y trasciendan en su labor docente donde contextualicen los contenidos a partir de
recursos educativos peculiares como lo son los memes
2 Los memes iquestqueacute son
Un meme es un recurso visual que utiliza elementos llamativos como lo son colores imaacutegenes y
variedades de tipografiacuteas tienen la particularidad de que utilizan aspectos propios de la teoriacutea del color
utilizando colores opuestos para denotar mensajes La mezcla de colores y tipografiacuteas hacen que los
memes se conviertan en recursos ideales para expresar ideas comentarios y criacuteticas que pueden ir desde
aacutembitos locales internaciones y glocales
Son utilizados con alta frecuencia para expresar criacuteticas utilizando mensajes claros concisos y con tonos
de ironiacutea sarcasmo y jocosidad por otro lado los memes tienen la capacidad de llegar a ser virales en el
internet permitiendo asiacute alcanzar un puacuteblico meta maacutes amplio es por esto queacute pueden ser utilizados
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como recursos pedagoacutegicos es decir trascienden la sociedad de la informacioacuten (Vera 2016 citando a
Barroso y Cabero 2016)
3 El meme como recurso pedagoacutegico
Los memes son quizaacutes el recurso pedagoacutegico con mayor accesibilidad y al mismo tiempo con mayor
grado de subvaloracioacuten este recurso brinda muacuteltiples oportunidades para proyectar informacioacuten
masificarla y divulgarla a partir de la creatividad comunicacioacuten siacutentesis y criticidad (Balda 2019)
Es decir permite generar nuevas rutas en la construccioacuten de conocimiento de los discentes utilizando
procesos interculturales e interdisciplinarios lleva consigo un andamiaje de ideologiacuteas y pensamientos
permitiendo al meme ser un gran portador de conocimiento
Para nadie es un secreto que se vive en una sociedad con altos iacutendices de globalizacioacuten donde la
tecnologiacutea se convirtioacute en un aliado en la formacioacuten de conocimiento en los educandos por parte de los
docentes es por esto por lo que los memes vuelven a ser pioneros en la formacioacuten construccioacuten y
reflexioacuten del conocimiento brindado en el proceso ensentildeanza-aprendizaje En este recurso digital se
pueden hallar todas las caracteriacutesticas establecidas en las TICs donde permite la flexibilidad del
curriculum y simultaacuteneamente se transforman en TACs en otras palabras los memes son herramientas
que participan en procesos complejos de comunicacioacuten y de conocimiento generando asiacute la proyeccioacuten
de habilidades de pensamiento sisteacutemico y analiacutetico
El pensamiento criacutetico es uno de los factores que maacutes se busca en los procesos de ensentildeanza-aprendizaje
son el reto de los educadores actuales y son el deseo de los estudiantes que estaacuten sedientos de nuevos
retos nuevos aprendizajes y nuevas tendencias pedagoacutegicas que conviertan sus entornos de ensentildeanza
en ambientes dinaacutemicos y de aplicabilidad
En la misma liacutenea para garantizar un aprendizaje significativo es necesario cumplir con dos requisitos
1 Brindar los contenidos de manera que los estudiantes logren entender el porqueacute de los temas que
aprende y 2 Contextualizar los contenidos que estudian para asiacute encontrar la aplicabilidad del
conocimiento
Los estudiantes modernos son exigentes en cuanto a estudiar y aprender son emocionales y pueden
realizar varias tareas al mismo tiempo esto da al docente un rompecabezas de teacutecnicas que pueden usar
para despertar en los estudiantes el intereacutes por la asignatura y con esto generar un viacutenculo que fortalezca
la relacioacuten estudiante-docente y viceversa los cerebros de nuestros estudiantes trabajan a partir de grupos
de intereses (Cataldi y Dominighni sf) si se logra posicionar la asignatura en ese ciacuterculo se construiriacutea
una nueva ruta de conocimiento
La creacioacuten de ese viacutenculo emocional garantiza que los procesos de ensentildeanza-aprendizaje se encaminen
hacia la ruta de la significancia ya que es fundamental que los estudiantes logren sentirse coacutemodos
seguros y felices en los entornos de aprendizaje (Lewin 2017)
4 El meme como recurso evaluativo
La evaluacioacuten como tal se ha visto proyectada como el proceso que muestra el avance de un estudiante
en el proceso de aprendizaje se ha tipificado como un proceso sumativo donde a partir de una escala
numeacuterica el estudiante recibe una calificacioacuten que brinda presuntamente su nivel de desempentildeo para
los objetivos planteados
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Este proceso sumativo se ha visto bajo el esquema de educacioacuten tradicional valorando el resultado del
aprendizaje y omitiendo el proceso de aprendizaje lo cual elimina por completo el verdadero proceso
de significancia de la educacioacuten Es durante el proceso de aprendizaje donde el estudiante cuestiona lo
que sabe produce y reflexiona siendo estas tres habilidades fundamentales en la construccioacuten de
conocimiento y vitales para lograr el aprendizaje significativo (Apeacutendice I II y III)
El aprendizaje significativo y la evaluacioacuten son procesos que pueden ocurrir paralelamente si se aplican
las diversas formas de evaluacioacuten que existen los memes pueden ser utilizados en las tres rutas de
evaluacioacuten que existen
El meme como evaluador diagnoacutestico debido a su naturaleza criacutetica los memes funcionan con
herramientas para iniciar discusiones reflexiones y diversas metodologiacuteas donde el estudiante puede
hacer introspeccioacuten sobre la compresioacuten de los contenidos a desarrollar o ya estudiados
El meme como evaluador sumativo al utilizar el meme como esta estrategia el docente requiere de una
ruacutebrica soacutelida y objetiva
El meme como evaluador formativo el docente puede utilizar este recurso como una herramienta
metodoloacutegica para brindar espacios de retroalimentacioacuten grupal e individual con el fin de brindar un
aprendizaje formativo
5 Materiales y meacutetodos
Se realizoacute una encuesta a un grupo de 36 docentes de preescolar primaria y secundaria de sistemas
educativos puacuteblicos y privados de las modalidades diurnas bachillerato internacional y nocturnas y a un
grupo de 58 estudiantes pertenecientes a colegios privados y puacuteblicos y que oscilan las edades de 14 a
20 antildeos y de las modalidades acadeacutemica bachillerato internacional y Colegio Nacional Virtual Marco
Tulio Salazar
La muestra de docentes contempla una distribucioacuten que incluye San Carlos Puntarenas San Marcos de
Tarrazuacute Heredia San Joseacute y Cartago mientras que la muestra de estudiantes se utilizoacute la direccioacuten
regional de Heredia especiacuteficamente los circuitos escolares 05 y 07
Las encuestas aplicadas contienen un total de ocho preguntas de las cuaacuteles seis son preguntas cerradas y
dos son preguntas abiertas Las respuestas obtenidas fueron procesadas a partir de graacuteficos y tablas con
el fin de contrastar los resultados
6 Discusioacuten de resultados
Como parte del proceso de indagacioacuten se le pregunto a los docentes sobre el principal uso que se ha dado
a los memes la figura 1 contempla los resultados de esta interrogante
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Figura 1
Uso que se le dan a los memes
Nota Creacioacuten propia
Tal y como muestra la figura anterior las opciones de recreacioacuten u ocio criacutetica social y comunicacioacuten
de ideas son las respuestas con mayor frecuencia en la muestra encuestada esto evidencia que el meme
es un recurso con una gama amplia de uso permitiendo alcanzar niveles de comunicacioacuten superiores a
partir de diferentes estrategias y herramientas
En la misma liacutenea utilizar memes en las lecciones como recurso pedagoacutegico y evaluativo tiene muacuteltiples
beneficios en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje ya que al utilizar el humor como forma de
comunicacioacuten de ideas permite generar conexiones neuronales fuertes y realizar en forma impliacutecita
procesos de cuestionamiento de conocimiento al entender o no entender el meme es este recurso una de
las formas maacutes atractivas para llegar a la metacognicioacuten tal y como lo afirma Vera (2016) al indicar que
ldquohelliplos memes tienen un poder de descripcioacuten y explicacioacuten en torno a un fenoacutemeno hecho u desarrollo
cultural mucho maacutes efectivo para la cultura juvenil globalizada -y por ende hiperconectada- en el aacutembito
educativo del siglo XXIrdquo (p 5)
Se considera que los memes tendraacuten efectos positivos en el estudiantado (Figura 2) y en clima de clase
si esto se logra por consecuencia se afectaraacute positivamente el aprendizaje transformaacutendolo en
contextualizado divertido y significativo Transportan al estudiante hacia paradigmas cognitivos
inexplorados donde se promueve una mentalidad de crecimiento a partir de la sensacioacuten de seguridad
empoderamiento y felicidad de las lecciones
Figura 2
Efecto del uso de los memes en las lecciones de acuerdo con los docentes
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Por otro lado los estudiantes son una de las aristas principales del proceso educativo ante esto se les
preguntoacute a los educandos sobre si existe un agrado por el posible uso de los memes como recurso
pedagoacutegico y evaluativo en las lecciones el resultado se ubica en la Figura 3
Figura 3
Efecto del uso de los memes en las lecciones de acuerdo con los docentes
Nota Creacioacuten propia
Tal y como muestra la figura anterior existe una alta frecuencia por que los memes sean utilizados en
las lecciones ya que permitiraacuten a los estudiantes abordar contenidos desde distintas perspectivas
generando una innovacioacuten educativa en los salones de clases
Estos procesos trascienden de la labor tradicional del docente y produce la liberacioacuten de serotonina
aumentando la felicidad y por ende la sensacioacuten se seguridad y comodidad ante el aprendizaje logrando
el aprendizaje significativo
La contextualizacioacuten del conocimiento es vital es ahiacute donde el meme entra en juego y produce en la
relacioacuten docente-estudiante la contextualizacioacuten del conocimiento para fortalecer el viacutenculo emocional
necesario para el discente esto genera un efecto dominoacute donde a partir de todo lo mencionado
anteriormente se abren caminos hacia una educacioacuten multicultural integral y reflexiva
Los memes utilizados como un recurso evaluativo les brinda a los estudiantes la capacidad de realizar
una auto reflexioacuten y auto retroalimentacioacuten a partir de la comprensioacuten del recurso en contexto social
cuando el estudiante se replantee en su mente porqueacute comprende ese meme por queacute entiende el trasfondo
del meme y por queacute puede identificar errores o datos falsos en un meme habremos logrado como
docentes llevar a la verdadera criticidad al verdadero pensamiento criacutetico y la metacognicioacuten Los
memes son los recursos linguumliacutesticos maacutes utilizados en muchas aacutereas de la sociedad como la publicidad
el periodismo y la sociologiacutea es momento que se utilicen tambieacuten en la educacioacuten y lograr transformar
el arte de educar
7 Conclusiones
Tras finalizar este proceso investigativo se concluye que
El meme es un recurso pedagoacutegico y evaluativo que permite al docente innovar en sus lecciones
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Utilizar el meme como recurso pedagoacutegico invita a los estudiantes a llevar su construccioacuten de
conocimiento a niveles superiores
Innovar es una labor que el docente debe hacer constantemente llevar al estudiante a disfrutar el
aprendizaje es fundamental para alcanzar el aprendizaje significativo
La contextualizacioacuten de conocimiento es necesaria para formar el viacutenculo entre el docente y el estudiante
El meme es un recurso versaacutetil que permite al docente conocer a sus estudiantes fortalecer su relacioacuten
con ellos y despertar desarrollar en los estudiantes competencias habilidades y destrezas
Referencias Bibliograacuteficas
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experiencia de aula Nuacutemeros Revista de Didaacutectica de las matemaacuteticas 102 29-41
Catald Z y Dominighni C (sf) La generacioacuten millenial y la educacioacuten superior Los retos de un nuevo
paradigma Revista de Informaacutetica Educativa y Medios Audiovisuales 12 (19) 14-21
Lewin L (2017) Que ensentildees no significa que aprendan Bonum
Vera E (2016) El meme como nexo entre el sistema educativo y el nativo tres propuestas para la
ensentildeanza del lenguaje Revista Educacioacuten y Tecnologiacutea 1-15
httpsdialnetuniriojaesdescargaarticulo6148882pdf
Apeacutendices
Apeacutendice I Desglose del estudio de un meme de literatura
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Apeacutendice II Desglose del estudio de un meme de matemaacuteticas
Apeacutendice III Desglose del estudio de un meme de Fiacutesica
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Estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de la quiacutemica
Carla Goacutemez Quiroacutes
Universidad Latinoamericana de Ciencia y Tecnologiacutea Costa Rica
cgomezq296ulacitedcr
Resumen La gamificacioacuten o ludificacioacuten es una herramienta de transformacioacuten educativa que permite integrar
metodologiacuteas activas y participativas frente al modelo claacutesico de ensentildeanza magistral En el presente artiacuteculo
se proponen varias estrategias didaacutecticas para la presentacioacuten de contenidos de quiacutemica general en el aula en
forma de juego con objeto de incentivar la motivacioacuten y el aprendizaje entre estudiantes tanto de secundaria
como de nivel inicial universitario Las estrategias se implementaron en un grupo de 46 estudiantes de quiacutemica
inorgaacutenica baacutesica de primer ingreso de universidad (edad promedio = 19 antildeos) procedentes de colegios puacuteblicos
y privados con diferentes niveles de conocimiento sobre la materia El 100 de los estudiantes consideraron
que las actividades realizadas facilitaron su aprendizaje personal e incrementaron su intereacutes en la materia
Palabras clave gamificacioacuten nomenclatura geometriacutea molecular balanceo de ecuaciones simulacioacuten
1 Introduccioacuten
La quiacutemica como asignatura de ciencias es muy importante en los programas de estudio de educacioacuten
secundaria y en los primeros antildeos de educacioacuten superior a nivel global Es un tema central para las
carreras de ciencias baacutesicas ciencias de la salud e ingenieriacuteas entre otras No obstante se ha observado
que en general los estudiantes poseen una percepcioacuten de que la quiacutemica es difiacutecil de entender lo cual en
muchos casos se torna en ansiedad y conduce a la peacuterdida de motivacioacuten o intereacutes sobre la materia
(Nakamatsu 2012)
Lo anterior se puede atribuir a la naturaleza abstracta de la asignatura al meacutetodo de ensentildeanza magistral
que la mayoriacutea de los profesores de quiacutemica han venido utilizando a lo largo del tiempo (Corchuelo
2018) y a la brecha que auacuten existe en nuestro paiacutes entre colegios de enfoque cientiacutefico y acadeacutemico lo
cual auacuten en antildeos recientes no deja de ser uno de los grandes retos que tiene el Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica (MEP) en Costa Rica (Hernaacutendez-Chaverri et al 2017)
En lo que respecta a los profesores de quiacutemica tanto a nivel de secundaria como a nivel de educacioacuten
superior uno de los principales retos consiste en desarrollar nuevas estrategias que permitan revertir esta
percepcioacuten negativa sobre la materia y transformar el aprendizaje en una experiencia positiva que
fomente que los estudiantes se motiven y aprecien la importancia de adquirir conocimiento en esta
asignatura
Una de las estrategias que ha venido desarrollando una gran popularidad en el aacuterea de la educacioacuten
consiste en la teacutecnica de gamificacioacuten cuyo objetivo de acuerdo con Ortegoacuten (2016) consiste en el
empleo o identificacioacuten de elementos caracteriacutesticos del juego que permitan transformar una actividad
desarrollada en un entorno no luacutedico en una experiencia agradable que potencie la motivacioacuten la
concentracioacuten la transmisioacuten de conocimiento y la creacioacuten de un viacutenculo significativo con los
estudiantes
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Gamificar el estudio de la quiacutemica ya sea en forma de juegos educativos simulaciones o bien
experiencias no tradicionales en clase es una propuesta atractiva que brinda a los estudiantes la
oportunidad de visualizar conceptos abstractos participar en el proceso de aprendizaje activo y construir
conocimiento de manera efectiva
Seguacuten Oliva (2016) dentro de un contexto universitario la gamificacioacuten representa una oportunidad para
propiciar una cultura de conectividad entre el docente y el estudiante que alimente el intereacutes genuino de
este uacuteltimo por aprender lo cual seraacute reflejado en el mejoramiento de las dinaacutemicas de grupo la atencioacuten
en clase el fomento de actitudes de criacutetica reflexiva retroalimentacioacuten eficiente y aprendizaje
significativo Asimismo la posibilidad de incentivar la participacioacuten de la totalidad de los estudiantes
permite detectar y solucionar de manera oportuna y efectiva aquellos problemas o errores de comprensioacuten
y colectivizacioacuten del conocimiento reduciendo de esta manera las probabilidades de fracaso acadeacutemico
No obstante es importante considerar que el eacutexito o fracaso de la implementacioacuten de estas estrategias
depende de las mecaacutenicas de juego establecidas y de la adecuada seleccioacuten de las herramientas de juego
para la adaptacioacuten de los conceptos educativos de intereacutes de modo que se debe de tener especial cuidado
en cuanto al disentildeo e implementacioacuten de la actividad Con base en esto Werbach amp Hunter (2012)
citados por Corchuelo (2018) consideran que el disentildeo de una estrategia de gamificacioacuten exitosa se basa
en el cumplimiento de los siguientes puntos
a Definir con claridad los objetivos educativos que se quieren conseguir en el aula
b Delimitar los comportamientos que se quieren potenciar en los estudiantes
c Establecer las caracteriacutesticas e intereses de los jugadores
d Definir el sistema de gamificacioacuten y establecer los ciclos de las actividades
e Disentildear las actividades bajo la premisa de que se debe fomentar la diversioacuten
f Definir los recursos y herramientas necesarias para el desarrollo de la estrategia y la posterior
evaluacioacuten de competencias
En la siguiente seccioacuten se describen las caracteriacutesticas de las estrategias didaacutecticas implementadas para
la dinamizacioacuten de contenidos temaacuteticos en el aacuterea de quiacutemica
2 Materiales y meacutetodos
Con objeto de incentivar la motivacioacuten y el aprendizaje de la quiacutemica entre los estudiantes se realizoacute
una investigacioacuten de caraacutecter cualitativo y disentildeo descriptivo para conocer la valoracioacuten de las estrategias
de gamificacioacuten implementadas En las siguientes subsecciones se detallan los elementos establecidos
para el presente estudio de acuerdo con lo estipulado por Werbach amp Hunter (2012) citados por
Corchuelo (2018)
21 Definicioacuten de los objetivos educativos
De manera adicional a los objetivos acadeacutemicos establecidos dentro del programa del curso la aplicacioacuten
de las estrategias planteadas procura motivar a los estudiantes a participar en clase asiacute como dinamizar
los contenidos temaacuteticos dentro del aula para reducir los tiempos de exposicioacuten magistral de los
conceptos y orientar el proceso de ensentildeanza hacia un sistema basado en la resolucioacuten de problemas Lo
anterior para fomentar el pensamiento creativo de los estudiantes
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22 Comportamientos que se quieren potenciar entre los estudiantes
Dentro de los comportamientos que se quieren potenciar entre los estudiantes se destaca la participacioacuten
en clase el aprendizaje colaborativo la retroalimentacioacuten efectiva entre pares acadeacutemicos y la asistencia
a la mayoriacutea de las sesiones de clase Ademaacutes del intereacutes de potenciar comportamientos positivos se
procura de igual manera revertir comportamientos o percepciones negativas sobre la materia
23 Caracteriacutesticas e intereses de los jugadores
La estrategia de gamificacioacuten se aplicoacute a un grupo de 46 estudiantes de pregrado de la Escuela de
Medicina y Cirugiacutea Veterinaria San Francisco de Asiacutes de la Universidad Veritas - Espantildea con edades
dentro del rango de 17 hasta los 29 antildeos con diferentes niveles de conocimiento sobre la materia
procedentes de colegios puacuteblicos y privados La distribucioacuten de geacutenero fue de 73 (33) mujeres y 27
(12) hombres
24 Sistema de gamificacioacuten y ciclos de actividades
La seleccioacuten de los temas se realizoacute con base en la distribucioacuten de los contenidos temaacuteticos establecidos
dentro del programa del curso el cual se encuentra dividido en las unidades mostradas en la Tabla 1
Tabla 1
Contenidos temaacuteticos establecidos dentro del programa del curso
Unidad Detalle
I Introduccioacuten a la quiacutemica
II Estructura electroacutenica del aacutetomo Tabla perioacutedica Enlace quiacutemico
III Reacciones quiacutemicas y cantidades
IV Estados de la materia
V Agua Disoluciones y coloides
VI Velocidad de reaccioacuten Equilibrio Quiacutemico Aacutecido-Base
Las estrategias de gamificacioacuten se llevaron a cabo en grupos de maacuteximo 5 estudiantes En general las
actividades fueron planificadas para realizarse al inicio y al final de cada unidad temaacutetica del curso en
horario de clase El esquema de clase se desarrolloacute en tres etapas a) exposicioacuten magistral del tema con
una duracioacuten de maacuteximo 15 minutos b) aplicacioacuten de la estrategia de gamificacioacuten en grupos y c)
revisioacuten grupal de ejercicios para finalizar la clase
25 Descripcioacuten de estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de conceptos de quiacutemica
De acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) existen tres niveles de ensentildeanza y aprendizaje de
conceptos en quiacutemica los cuales consisten en el nivel macroscoacutepico submicroscoacutepico y simboacutelico El
nivel macroscoacutepico hace referencia al aprendizaje de conceptos a traveacutes de la observacioacuten el nivel
submicroscoacutepico representa los conceptos quiacutemicos relativos al movimiento de las moleacuteculas aacutetomos o
partiacuteculas subatoacutemicas y el nivel simboacutelico comprende aquellos conceptos que se estudian mediante el
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uso de siacutembolos foacutermulas estructuras o nuacutemeros De estos conceptos los uacuteltimos dos es decir los
niveles submicroscoacutepico y simboacutelico son considerados de alta dificultad para los estudiantes
Con base en lo anterior se detallan a continuacioacuten las estrategias de gamificacioacuten utilizadas para la
dinamizacioacuten y refuerzo de conceptos considerados de alta complejidad por los estudiantes
251 Dados de iones para nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos
La primera estrategia se enfoca en el tema de nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos perteneciente al
nivel simboacutelico de acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) El objetivo principal de esta estrategia
consiste en reducir el error que cometen los estudiantes al combinar catioacuten-catioacuten o anioacuten-anioacuten
mediante la utilizacioacuten de dos dados que lanzan de manera simultaacutenea Uno de los dados el que posee
los cationes se identifica con un color distinto (azul) al dado que posee los aniones (rojo) como se
observa en la Figura 1 de modo que sea un recordatorio para que los estudiantes se aseguren de combinar
especies diferentes
Figura 1
Dados de cationes y aniones para nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos
Adicionalmente esta estrategia permite reforzar el aprendizaje de los nuacutemeros de oxidacioacuten de iones
monoatoacutemicos y poliatoacutemicos asiacute como la praacutectica de la distribucioacuten correcta de estos en cuanto a la
formulacioacuten de los compuestos y su posterior nomenclatura
252 Construccioacuten de modelos tridimensionales de marshmallows para geometriacutea molecular y
Estructuras de Lewis
Una de las principales dificultades respecto al aprendizaje de la quiacutemica como se mencionoacute previamente
consiste en su naturaleza abstracta Para este efecto la construccioacuten de modelos tridimensionales es de
gran utilidad para que los estudiantes visualicen las estructuras de las moleacuteculas en el espacio Este tema
de igual manera pertenece al nivel simboacutelico de acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015)
La estrategia desarrollada se basa en realizar primeramente los disentildeos de las estructuras de Lewis en
papel y posteriormente trasladarlas a su forma tridimensional empleando gomitas o marshmallows
como se muestra en la Figura 2
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Figura 2
Modelos tridimensionales de marshmallows o gomitas para representaciones de geometriacutea molecular y
estructuras de Lewis
La geometriacutea molecular se puede visualizar adicionalmente de manera opcional con ayuda de kits
para construccioacuten de moleacuteculas
253 Balanceo de ecuaciones quiacutemicas con confites y simulaciones PhET
La estequiometriacutea y balanceo de ecuaciones quiacutemicas es uno de los temas de mayor trascendencia en el
estudio de la quiacutemica De acuerdo con la separacioacuten de conceptos de Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) se
clasifica como nivel submicroscoacutepico
La implementacioacuten de ayudas visuales en este caso es de gran apoyo De modo que la estrategia se
plantea como un juego en el que los estudiantes compiten en velocidad para determinar queacute grupo
finaliza el balanceo de ecuaciones en el menor tiempo Para este efecto se utilizan confites como Skittles
o MampMacutes para simular los aacutetomos respetando la asignacioacuten de colores para cada elemento en especiacutefico
tal y como se observa en la Figura 3
Figura 3
Apoyo visual para el balanceo de ecuaciones quiacutemicas
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50
Otra herramienta disponible para utilizar en clase como apoyo visual para actividades de gamificacioacuten
consiste en el proyecto ldquoPhET Interactive Simulationsrdquo de la Universidad de Colorado Boulder de
donde se pueden obtener distintos recursos educativos para ilustrar conceptos adicionales Las
simulaciones especiacuteficas para quiacutemica se pueden obtener de
httpsphetcoloradoeduensimulationscategorychemistry
26 Recursos y herramientas necesarias
Se aplicoacute un cuestionario en liacutenea para conocer la percepcioacuten de los estudiantes respecto a las estrategias
de gamificacioacuten utilizadas durante el curso Las preguntas definidas para el anaacutelisis cualitativo se
observan en la Tabla 2
Tabla 2
Encuesta aplicada a los estudiantes
Pregunta Tipo de pregunta
iquestCuaacutel fue la actividad que maacutes llamoacute su atencioacuten
Opcioacuten muacuteltiple
iquestLas actividades realizadas incrementaron su intereacutes por la quiacutemica
inorgaacutenica
Dicotoacutemica
iquestCuaacutel fue el tema que maacutes le interesoacute de los contenidos abordados por
las actividades Puede marcar varias opciones
Opcioacuten muacuteltiple
iquestPrefiere el uso de simulaciones en computadora o la construccioacuten de
modelos y juegos en fiacutesico para visualizar conceptos quiacutemicos
Opcioacuten muacuteltiple
iquestConsidera usted que las actividades realizadas fueron innovadoras y
atractivas para los estudiantes
Dicotoacutemica
iquestLas actividades realizadas facilitaron su aprendizaje personal de los
conceptos involucrados
Dicotoacutemica
iquestConsidera uacutetil el uso de estrategias didaacutecticas luacutedicas como
alternativa al enfoque tradicional de ensentildeanza de la quiacutemica
inorgaacutenica a nivel universitario
Dicotoacutemica
iquestTiene alguacuten comentario o sugerencia adicional para mejorar las
actividades realizadas
Abierta
3 Resultados y Discusioacuten
De acuerdo con los resultados obtenidos en la encuesta las actividades que maacutes llamaron la atencioacuten de
los estudiantes con un porcentaje de 444 en ambos casos fueron la construccioacuten de modelos
tridimensionales y la utilizacioacuten de simulaciones PhET El 111 del estudiantado se interesoacute por la
actividad de los dados de iones
En relacioacuten con la valoracioacuten general de las actividades se obtuvo que el 100 de los estudiantes
consideraron que las estrategias aplicadas incrementaron su intereacutes por la quiacutemica y facilitaron su
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aprendizaje personal La distribucioacuten especiacutefica de los contenidos de mayor intereacutes incluyendo la
utilizacioacuten de simulaciones PhET para la visualizacioacuten de otros conceptos se muestra en la Figura 4
donde los temas estudiados con estas uacuteltimas obtuvieron la mayor aceptacioacuten
Figura 4
Intereacutes sobre los contenidos temaacuteticos abordados durante las actividades
En general las estrategias que involucraron el desarrollo manual de modelos tuvieron una aceptacioacuten
mayor (844) respecto al uso de simulaciones computacionales (156) lo cual permite apreciar la
necesidad de realizar una transformacioacuten educativa hacia modelos de ensentildeanza que permitan la
transicioacuten de los estudiantes desde un rol pasivo a un rol activo que les permita interactuar en mayor
medida con sus procesos de aprendizaje como menciona Ortegoacuten (2016) Los estudiantes consideraron
que la experimentacioacuten y realizacioacuten de actividades praacutecticas que les permitieron interactuar con el
contenido visto en clase les ayudoacute a tener un panorama maacutes amplio de coacutemo funciona la quiacutemica en la
vida real lo cual no hubieran obtenido si las clases fueran en su totalidad de caraacutecter magistral
4 Conclusiones
Las estrategias de gamificacioacuten en quiacutemica brindan a los estudiantes la oportunidad de visualizar
conceptos abstractos participar en el proceso de aprendizaje activo y construir conocimiento de
manera efectiva
Los resultados obtenidos en este estudio permiten apreciar la necesidad de realizar una
transformacioacuten educativa hacia modelos de ensentildeanza de aprendizaje activo
Agradecimientos
El desarrollo de este documento no habriacutea sido posible sin la entusiasta participacioacuten y colaboracioacuten de
mis estudiantes del curso de Quiacutemica Inorgaacutenica Baacutesica de la Escuela de Medicina y Cirugiacutea Veterinaria
San Francisco de Asiacutes de la Universidad Veritas en donde tuve la oportunidad de impartir este curso
durante el periacuteodo acadeacutemico del II Cuatrimestre 2019 Agradezco la amabilidad de los estudiantes y del
personal administrativo asiacute como el aprendizaje adquirido durante este breve periacuteodo en la institucioacuten
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Referencias bibliograacuteficas
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ming_and_writing_structural_formulae_of_hydrocarbons_using_the_ball-and-stick_models
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Elaboracioacuten de iacutetems en Geometriacutea y GeoGebra como
herramienta de apoyo en la construccioacuten de las figuras
Estiacutebaliz Rojas Quesada
Universidad Estatal a Distancia
erojasqunedaccr
Eric Padilla Mora
Universidad Estatal a Distancia
epadillaunedaccr
Resumen Este taller estaacute orientado al anaacutelisis de diversos aspectos teoacutericos propios de construccioacuten y
validacioacuten de iacutetems destacando la validez y confiabilidad Se pretende que el participante analice algunos
ejercicios y determine si cumplen con los requisitos para poder ser aplicados posteriormente disentildearaacute ejercicios
tomando en cuenta la teoriacutea y finalmente se le brindaraacute una breve introduccioacuten al empleo del Software
GeoGebra como recurso que le podriacutea contribuir con el disentildeo de las figuras que empleariacutea en los iacutetems
generados Ademaacutes durante el taller se podraacute implementar algunas actividades que le permitan fortalecer su
formacioacuten Matemaacutetica especiacuteficamente en el aacuterea de geometriacutea
Palabras clave Evaluacioacuten geometriacutea anaacutelisis de iacutetems construccioacuten de iacutetems
Objetivo del taller disentildear iacutetems para pruebas escritas en temas de Geometriacutea del I y II Ciclo de la
Educacioacuten General Baacutesica y emplear el software GeoGebra como apoyo para la construccioacuten de las
figuras geomeacutetricas que se incluyan en estos
Puacuteblico meta docentes del I y II Ciclo de la Educacioacuten General Baacutesica Costarricense asiacute como
estudiantes en formacioacuten para dichos ciclos
Recursos computadora con acceso a internet hojas blancas laacutepiz lapicero y borrador
Cantidad maacutexima de participantes 15 personas
1 Introduccioacuten
La evaluacioacuten como proceso cumple entre otros roles el de orientar al docente sobre el aprendizaje de
los estudiantes ofreciendo la posibilidad de fortalecerlo y consolidarlo Ademaacutes se constituye como un
medio para poder transformar el proceso de ensentildeanza dado que permite evidenciar cuaacuteles son las
necesidades prioritarias que se debe atender Por tanto tiene que ser visualizada como una actividad
continua y un proceso integrador que genera desde la reflexioacuten de las experiencias oportunidades
formativas De acuerdo con Fernaacutendez (2018) ldquola evaluacioacuten implica que el docente registre las
fortalezas los talentos las cualidades los obstaacuteculos los problemas o las debilidades que de manera
individual y grupal se vayan dando para intervenir oportunamenterdquo (paacuterr 3)
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Sin embargo se debe recurrir a la medicioacuten para cuantificar los atributos que se encuentran presentes en
los estudiantes (Martiacutenez 2008) tal y como sucede en la educacioacuten costarricense la cual sin importar el
propoacutesito de la evaluacioacuten diagnoacutestica formativa o sumativa debe cumplir con una serie de estaacutendares
de calidad los cuales tienen que ver principalmente con la validez y confiabilidad de los instrumentos
que se emplean para realizar la evaluacioacuten de los aprendizajes
En cuanto a la validez considerada como ldquoel grado en que un test mide lo que pretende medirrdquo (Martiacutenez
2005 p 330) involucra el anaacutelisis de dos aspectos esenciales el contenido para que las preguntas sean
relevantes y representativas del tema que se pretende medir y el proceso de respuesta ya que por medio
de ello se puede establecer los procedimientos que siguen las personas para responder y los indicadores
de lo que se quiere evaluar (Meneses et al 2013)
Por su parte se puede indicar que la confiabilidad se relaciona con el grado de consistencia con que los
examinados realizan la prueba por lo cual es importante determinarla (American Educational Research
Association et al 2018) Para el caso de los instrumentos de evaluacioacuten que se realizan en el aula es
maacutes sencillo tratar de mantener la validez que la confiabilidad ya que para este uacuteltimo se requieren
realizar una serie de anaacutelisis psicomeacutetricos que se salen del alcance de este taller Por tanto para elaborar
iacutetems es primordial el dominio del contenido y de aspectos baacutesicos en evaluacioacuten de los aprendizajes
Otro aspecto fundamental en el caso de Matemaacutetica en aacutereas como la geometriacutea aunque por lo general
se indica que ldquolas figuras no estaacuten hechas a escalardquo es que al emplear imaacutegenes y figuras estas no
contradigan definiciones postulados lemas resultados o teoremas propios de la disciplina y que en la
medida de las posibilidades sirvan de guiacutea u orientacioacuten es aquiacute donde el empleo de alguacuten software para
elaborarlas seriacutea lo idoacuteneo
El taller estaacute orientado al anaacutelisis de diversos aspectos teoacutericos propios de construccioacuten y validacioacuten de
iacutetems se pretende que el participante analice algunos ejercicios y determine si cumplen con los requisitos
para poder ser aplicados luego tomando en cuenta la teoriacutea disentildearaacute ejercicios y para finalizar se
brindaraacute una breve introduccioacuten al empleo del Software GeoGebra como recurso que le podriacutea contribuir
con el disentildeo de las figuras que empleariacutea en los iacutetems generados Ademaacutes durante el taller se podraacute
implementar algunas actividades que le permitan fortalecer su formacioacuten en Matemaacutetica
especiacuteficamente en el aacuterea de geometriacutea
2 Actividades del taller
I Parte Anaacutelisis y elaboracioacuten de iacutetems
Tiempo aproximado 35 minutos
Actividad 1
Se realiza una breve exposicioacuten sobre aspectos teoacutericos relacionados con la elaboracioacuten y validacioacuten de
iacutetems Tiempo aproximado 15 minutos
Se retomaraacuten algunos de los aspectos que de acuerdo con el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa
Rica (MEP) (2011) se debe considerar para la elaboracioacuten de iacutetems tales como
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Las experiencias de aula y el contexto del estudiante
Los objetivos o habilidades especiacuteficas
Utiliza iacutetems objetivos y de desarrollo
Utilizar un vocabulario teacutecnico acorde con el contenido por evaluar
Cuidar el puntaje de los iacutetems
Evitar la redaccioacuten en forma negativa
Realizar la tabla de especificaciones
Para la validacioacuten de los iacutetems se recomienda que se cuente con la participacioacuten de dos a tres personas
que sean expertos en el aacuterea El objetivo de contar con estas personas es que realice un juzgamiento de
los iacutetems en donde se considere algunos criterios de aceptacioacuten para ello se recomienda como miacutenimo
Verificar la congruencia con respecto a los Programas de Estudio en cuanto al ciclo y antildeo educativo
para el cual se aplicaraacute
Revisar el tecnicismo propio de la asignatura
Revisar la redaccioacuten
Resolver el iacutetem
Analizar la cantidad de procedimientos para asignar el nivel de dificultad
Verificar la pertinencia de acuerdo con sus caracteriacutesticas
Analizar las alternativas de respuesta (Seleccioacuten Uacutenica)
Efectuar un anaacutelisis de sensibilidad
Brindar sugerencias para mejorar el iacutetem
Actividad 2
Los participantes realizaraacuten un anaacutelisis y discusioacuten de cuatro iacutetems (ver anexo 1) relacionados con
geometriacutea considerando aspectos propios de la evaluacioacuten entre ellos habilidad redaccioacuten validez
dificultad alternativas y sensibilidad
Tiempo aproximado 10 minutos
Actividad 3
Los participantes seleccionaran una habilidad especiacutefica de los Programas de Estudio del MEP elaboran
y validaran dos iacutetems relacionados con temas de geometriacutea uno objetivo y otro de desarrollo Para el
anaacutelisis deben considerar al menos los siguientes aspectos
Verificar la congruencia con respecto a los Programas de Estudio en cuanto al ciclo y antildeo educativo
para el cual se aplicaraacute
Revisar el tecnicismo propio de la asignatura
Revisar la redaccioacuten
Resolver el iacutetem
Analizar la cantidad de procedimientos para asignar el nivel de dificultad
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Verificar la pertinencia de acuerdo con sus caracteriacutesticas
Analizar las alternativas de respuesta (Seleccioacuten Uacutenica)
Tiempo aproximado 10 minutos
II Parte
GeoGebra una herramienta de apoyo en la construccioacuten de figuras geomeacutetricas
Tiempo aproximado 55 minutos
Actividad 1
Instalacioacuten por parte de los participantes del software GeoGebra
Tiempo aproximado 10 minutos
Dicho programa puede ser descargado de httpswwwgeogebraorgdownload
Actividad 2
Ingreso al ambiente de trabajo de GeoGebra
De acuerdo con la paacutegina oficial de GeoGebra se indica que
GeoGebra es un software de matemaacuteticas para todo nivel educativo Reuacutene dinaacutemicamente
geometriacutea aacutelgebra estadiacutestica y caacutelculo en registros graacuteficos de anaacutelisis y de organizacioacuten en
hojas de caacutelculo GeoGebra con su libre agilidad de uso congrega a una comunidad vital y en
crecimiento En todo el mundo millones de entusiastas lo adoptan y comparten disentildeos y
aplicaciones de GeoGebra Dinamiza el estudio Armonizando lo experimental y lo conceptual
para experimentar una organizacioacuten didaacutectica y disciplinar que cruza matemaacutetica ciencias
ingenieriacutea y tecnologiacutea (STEM Science Technolog y Engineering amp Mathematics) La
comunidad que congrega lo extiende como recurso mundial iexclpotente e innovador para la cuestioacuten
clave y claacutesica de la ensentildeanza y el aprendizaje (p 1)
Un vistazo a GeoGebra
Al descargar e instalar dicho programa y abrirlo se debe visualizar un ambiente de trabajo similar a lo
mostrado a continuacioacuten
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Figura 1
Ambiente de trabajo de GeoGebra
Nota Elaboracioacuten propia
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 3
Conocer el ambiente de trabajo de la paacutegina principal del GeoGebra
Diversas vistas de trabajo de GeoGebra
Menuacute principal
Menuacute de creacioacuten y manipulacioacuten de objetos
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Figura 2
Menuacute principal y menuacute de creacioacuten
NotaElaboracioacuten propia
Tiempo aproximado 10 minutos
Actividad 4
Conocer las diversas propiedades de algunos de los objetos que se pueden crear en GeoGebra
Figura 3
Punto y segmento en ambiente de trabajo de GeoGebra
Nota Elaboracioacuten propia
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Ademaacutes representar un punto Cambiarle el tamantildeo el color el nombre y determinar las coordenadas
Trazar un segmento Cambiarle el tamantildeo el color el nombre y determinar su longitud
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 5
Construir un segmento de 2 cm de longitud Denotar sus puntos extremos con las letras A y B
respectivamente
Trazar una recta perpendicular al segmento que pase por el punto A Luego sobre la perpendicular
destaque un punto y denoacutetelo con la letra C
Manipule libremente el punto denotado por B Luego trace el segmento BC
Determine la medida de los tres aacutengulos internos del triaacutengulo ABC Ajustar los decimales con los cuales
se desea brindar la medida de dichos aacutengulos internos
De acuerdo con la medida de los aacutengulos internos del triaacutengulo iquestQueacute nombre recibe
Determine la medida de los lados de triaacutengulo ABC
De acuerdo con la medida de los lados iquestQueacute nombre recibe
Tiempo aproximado 15 minutos
Actividad 6
Construir un triaacutengulo escaleno obtusaacutengulo Trazar las bisectrices y denotar el incentro con la letra ldquoRrdquo
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 7
Realizar las construcciones que se requieren en los iacutetems construidos en la actividad 3 de la primera
parte del taller Tiempo aproximado 5 minutos
Actividades optativas
Actividad 8
Construir un triaacutengulo isoacutesceles Trazar las medianas y trazar la circunferencia circunscrita en dicho
triaacutengulo
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Actividad 9
Construir un triaacutengulo equilaacutetero Trazar las alturas y determinar el aacuterea de la regioacuten triangular generada
Verificar que el aacuterea satisface que 2
b aA
donde ldquobrdquo es la medida de uno de los lados y ldquoardquo es la medida
de la altura trazada sobre dicho lado
Actividad 10
Construir un cuadrado y determinar el valor del periacutemetro
Construir un rectaacutengulo (que no sea cuadrado) y determinar el valor del aacuterea
Actividad 11
Construir un pentaacutegono hexaacutegono y un octoacutegono
Actividad 12
Construir un pentaacutegono regular un hexaacutegono regular y un dodecaacutegono regular
Actividad 13
Construir un cubo
Referencias bibliograacuteficas
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Meneses J Barrios M Bonillo A Cosculluela A Lozano L Turnaby J y Valero S (2013)
Psicometriacutea Editorial UOC
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
61
Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2011) La prueba escrita
fileCUsersestibDropboxPersonalEvaluaciC3B3n20y20pedagogC3ADaMEP
la_prueba_escrita_2011pdf
Anexos
Anexo 1 Ejercicios por analizar en la actividad 21
1 Considere la siguiente figura en la cual se muestra el ∆119860119861119862 si 119860119862 cong 119860119861
Nota es importante considerar que la figura no estaacute hecha a escala
De acuerdo con los datos en la figura el periacutemetro de dicho triaacutengulo corresponde a
( ) 59 cm
( ) 43 cm
( ) 43 cm2
( ) 59 cm2
2 Considere la siguiente figura
Realice lo que se le indica a continuacioacuten Valor total 7 puntos Un punto cada acierto
1 Observacioacuten debe considerarse que todos los ejercicios propuestos para esta actividad 2 tienen errores voluntarios o
intencionados con el fin de realizar el anaacutelisis propio de la actividad errores que van desde la redaccioacuten el formalismo y el
contenido entre otros
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iquestCuaacutel es su nombre _________________
Coloree con azul cuatro triaacutengulos
Coloree con verde un cuadrilaacutetero
Coloree con rojo un pentaacutegono
3 Considere el siguiente texto y la figura
Es el segmento que une un veacutertice con el punto medio
del lado opuesto
El texto dado hace referencia a la definicioacuten de
( ) Mediatriz
( ) Mediana
( ) Altura
( ) Ninguna de las anteriores
3 Juan tiene una empresa destinada a la venta de chocolates la cual se ha destacado por
disentildearlos de diversas formas y tamantildeos Para cierta actividad una empresa le solicitoacute
que le vendiera 5 000 chocolates y han seleccionado uno que tiene forma de un pentaacutegono
regular cuyas dimensiones son lado de la base 5 cm apotema de la base 3 cm y altura 4
cm Con base en dicha informacioacuten disentildee una estrategia que permita
a) Determinar la cantidad de materia prima (chocolate) que deberaacute preparar la empresa
Valor 3 puntos
b) Saber cuaacutento deberaacute pagar la empresa a Juan por los chocolates encargados si cada
chocolate tiene un valor de 200 colones Valor 5 puntos
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63
Etnomodelacioacuten La Modelacioacuten en la Cultura
Daniel Clark Orey
Universidad Federal de Ouro Preto Brasil
oreydcufopedubr
Milton Rosa
Universidad Federal de Ouro Preto Brasil
miltonrosaufopedubr
Resumen La realidad vivida por los miembros de grupos culturales distintos puede ser percibido
como siendo un conjunto de experiencias que estaacuten presentes en sus vidas cotidianas cuyas
representaciones son generadas viacutea inferencias con la utilizacioacuten de concepciones mentales a
traveacutes de la etnomodelacioacuten La propuesta de la etnomodelacioacuten puede ser interpretada como una
accioacuten pedagoacutegica que permite reconocer y presentar los conocimientos matemaacuteticos presentes
en la vida diaria de los alumnos en situaciones didaacutecticas motivadoras La etnomodelacioacuten busca
proporcionar la conexioacuten de las praacutecticas matemaacuteticas locales con los procedimientos
matemaacuteticos usados en otros sistemas de conocimientos matemaacuteticos como por ejemplo el
escolar o acadeacutemico en una resignificacioacuten del conocimiento matemaacutetico por medio de la
etnomodelacioacuten
Palabras clave Cultura Etnomodelacioacuten Modelacioacuten
1 Consideraciones Iniciales
Histoacutericamente el desarrollo de las matemaacuteticas estuvo relacionado con la resolucioacuten de
problemas diarios y tambieacuten con la tentativa de modelar los acontecimientos cotidianos por
medio de modelos explicativos e interpretativos de esas situaciones Seguacuten este contexto la
etnomodelacioacuten puede ser considerado como un sitio de investigacioacuten y una tendencia
pedagoacutegica porque a) puede ser utilizada en la ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
en todos los niveles de la educacioacuten y b) que contribuye para el desarrollo de la reflexioacuten
criacutetica de los alumnos ampliando su autonomiacutea para la resolucioacuten de situaciones-problemas
enfrentadas en el cotidiano
Entonces es importante que el trabajo en etnomodelacioacuten sea direccionado para que los
alumnos a) entiendan el significado de las situaciones problemas presentadas b)
comprendan el conocimiento matemaacutetico como una herramienta para la comprensioacuten de la
resolucioacuten de los problemas que surgem en el diacutea a diacutea c) se den cuenta de que las
metodologiacuteas utilizadas en la modelacioacuten han contribuiacutedo para el exceso de formalismo en
el lenguaje matemaacutetico valorizando la formalizacioacuten de sus contenidos matemaacuteticos en
detrimento de sus conexiones con el cotidiano y otras aacutereas del conocimiento
Las dimensiones social y cultural de la etnomodelacioacuten son importante para proporcionar
reflexiones criacuteticas sobre el papel de la elaboracioacuten de modelos para la resolucioacuten de
situaciones problemas que aquejan las comunidades globales y locales Estos modelos son
representaciones de sistemas de conocimientos matemaacuteticos que ayudan a los miembros de
grupos culturales distintos en el entendimiento y en la apropiacioacuten de la realidad mediante el
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uso de pequentildeas unidades de informacioacuten denominadas etnomodelos que vinculan el
patrimonio cultural de estos miembros con la evolucioacuten de procedimientos y praacutecticas
matemaacuteticas que son desarrolladas en su propio contexto cultural (Rosa y Orey 2017a)
Asiacute la investigacioacuten sobre estas dimensiones ha definindo sus objetivos por medio del
establecimiento de la naturaleza y potencialidad de sus meacutetodos de pesquisa e investigacioacuten
En estas dimensiones la combinacioacuten de la teoriacutea y la praacutectica auxilia a los alumnos en el
entendimiento de los sistemas retirados de la realidad para adquirir las herramientas
necesarias para que puedan ejercer la ciudadaniacutea y participar activamente de la sociedad y de
sus comunidades Por consiguiente Rosa y Orey (2017b) argumentan que los principales
objetivos de estas dimensiones son
Proporcionar a los estudiantes las herramientas educativas necesarias para que como
ciudadanos en formacioacuten sean capaces de actuar modificar cambiar y transformar la propia
realidad
Iniciar el aprendizaje en matemaacuteticas a partir del contexto sociocultural de los alumnos
proporcionaacutendoles el desarrollo del raciocinio loacutegico y de la creatividad
Facilitar el aprendizaje de ideas procedimientos conceptos y praacutecticas que ayuden a los
alumnos a desarrollar el conocimiento matemaacutetico para que puedan comprender los
contextos social econoacutemico poliacutetico ambiental histoacuterico y cultural en los cuales estaacuten
inseridos
La aplicacioacuten de las dimensiones social y cultural de la etnomodelacioacuten se basa en la
comprensioacuten y el entendimiento de la realidad en la que los estudiantes se colocan a traveacutes
de la reflexioacuten el anaacutelisis y la accioacuten criacutetica sobre esa realidad Por ejemplo cuando
prestamos de la realidad los sistemas que existen dentro de ella los alumnos comienzan a
estudiarlos simboacutelica sistemaacutetica analiacutetica y criacuteticamente En ese caso partiendo de una
determinada situacioacuten problema los alumnos pueden elaborar hipoacutetesis probarlas
corregirlas hacer inferencias generalizar analizar concluir y tomar decisiones sobre el
objeto de estudio que estaacuten relacionados con las actividades realizadas en sus vidas diarias
(DrsquoAmbrosio 1990)
Todaviacutea para que se produzca el conocimiento matemaacutetico es importante que la
etnomodelacioacuten sea concebida como un entorno de aprendizaje en el que los estudiantes
investiguen situaciones provenientes de la realidad y de sus comunidades locales En ese
entorno se destaca la importancia de incluir las situaciones provenientes del cotidiano y de
otras aacutereas del conocimiento Eso permite a los alumnos intervenir en la propia realidad con
la obtencioacuten de una representacioacuten social y cultural del conocimiento matemaacutetico que estaacute
relacionado con la situacioacuten estudiada por medio de debates criacuteticos y reflexivos en la
elaboracioacuten y comprensioacuten de los etnomodelos
2 Las etnomatematicas y la modelacion
Las etnomatemaacuteticas ofrecen una visioacuten maacutes amplia del conocimiento matemaacutetico pues
abarca las ideas nociones procedimientos procesos meacutetodos y praacutecticas arraigadas en
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entornos culturales distintos Para Rosa y Orey (2017a) es importante el desarrollo de la
reflexioacuten criacutetica sobre las dimensiones sociales culturales ambientales econoacutemicas y
poliacuteticas de las matemaacuteticas en una sociedad dinaacutemica y globalizada
La propuesta del programa etnomatemaacuteticas es hacer de las matemaacuteticas algo vivo que
trabaje con situaciones reales en el tiempo y en el espacio por medio de anaacutelisis
cuestionamientos y criacuteticas sobre los fenoacutemenos presentes en la vida diaria (DrsquoAmbrosio
1990) La aplicacioacuten de las teacutecnicas etnomatemaacuteticas y las de herramientas de la modelacioacuten
nos permiten examinar sistemas tomados de la realidad y nos dan una idea de las variadas
formas de hacer matemaacuteticas de una manera holiacutestica (Bassanezi 2002)
En ese contexto Rosa y Orey (2017a) destacan que las etnomatemaacuteticas se relacionan con el
estudio de las ideas y procedimientos matemaacuteticos que consideran el contexto cultural en el
cual las nociones y praacutecticas matemaacuteticas emergen a traveacutes de la matematizacioacuten de praacutecticas
matemaacuteticas locales La matematizacioacuten estaacute relacionada con los sistemas de conocimiento
que estaacuten relacionados con la cotidianeidad de los miembros de cada grupo cultural y que
pueden ser matematizados y traducidos al lenguaje de las matemaacuteticas escolares y
acadeacutemicas
La utilizacioacuten de la matematizacioacuten que estaacute presente en la cotidianeidad de los miembros de
grupos culturales distintos tiene por objetivo la ampliacioacuten y el perfeccionamiento del
conocimiento matemaacutetico pues conduce al fortalecimiento de su identidad cultural La
modelacioacuten es una de las posibles estrategias que posibilitan la aproximacioacuten y la relacioacuten
entre los saberes y haceres entre sistemas matemaacuteticos distintos
Para Rosa y Orey (2003) la modelacioacuten puede ser percibida como un conjunto de
representaciones de la realidad que son generadas viacutea inferencias con la utilizacioacuten de
representaciones mentales que permiten valorar y respetar el conocimiento etnomatemaacutetico
presentes en situaciones cotidianas Este enfoque contextualiza el conocimiento matemaacutetico
desarrollado localmente ya que estudia los fenoacutemenos matemaacuteticos que se dan en diversos
contextos culturales (globales)
Asiacute el conocimiento matemaacutetico puede ser entendido como resultante de oriacutegenes locales
(eacutemicas) maacutes que globales (eacuteticas) que permiten la proposicioacuten de actos de traduccioacuten entre
esas dos perspectivas (Eglash et al 2006) Este enfoque parece ser razonable ya que las
etnomatemaacuteticas a menudo hace uso de la modelacioacuten a fin de establecer relaciones entre los
marcos conceptuales locales y los conocimientos matemaacuteticos incluido en los disentildeos
globales
De ese modo las ideas procedimientos y praacutecticas matemaacuteticas incluyen los principios
geomeacutetricos en trabajo artesanal conceptos arquitectoacutenicos y praacutecticas son encontradas en
actividades y artefactos de culturas locales y globales que pueden ser traducidas entre
sistemas de conocimientos matemaacuteticos distintos Consecuentemente este conocimiento estaacute
relacionado con una postura glocal desde una visioacuten pluricultural por medio del dinamismo
cultural entre los miembros de grupos culturales distintos
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3 Etnomodelacioacuten
Es importante la buacutesqueda de enfoques metodoloacutegicos y pedagoacutegicos alternativos para
registrar formas histoacutericas de ideas y procedimientos matemaacuteticos locales que se dan en
diferentes contextos culturales porque las praacutecticas matemaacuteticas occidentales son aceptadas
a nivel mundial sin discusiones y coacutemo verdades uacutenicas Asiacute el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico local debe ser documentado como parte del estudio del progreso cientiacutefico de las
id praacutecticas matemaacuteticas efectuadas por los miembros de grupos culturales distintos
Seguacuten Rosa y Orey (2017b) una opcioacuten de enfoque alternativo es la etnomodelacioacuten que
agrega las perspectivas culturales a los conceptos de la modelacioacuten Estos conceptos estaacuten
relacionados con la medicioacuten el caacutelculo los juegos la adivinacioacuten la navegacioacuten la
astronomiacutea la modelacioacuten y en una amplia variedad de otros procedimientos matemaacuteticos
asiacute como como en artefactos culturales Este enfoque representa un proceso de traduccioacuten y
elaboracioacuten de los problemas y preguntas tomados de los fenoacutemenos diarios y tambieacuten de la
vida cotidiana
Por ejemplo Orey y Rosa (2017b) afirman que es esencial mostrar que la Etnomodelacioacuten
incluye ideas nociones procedimientos teacutecnicas estrategias perspectivas y praacutecticas
matemaacuteticas desarrolladas por miembros en culturas distintas y que son manifestadas y
transmitidas de diversos modos La etnomodelacioacuten ofrece a los investigadores y educadores
un marco importante para transformar las matemaacuteticas en un conocimiento activo y
contextualizado a traveacutes de la perspectiva cultural de la modelacioacuten
Este contexto posibilitoacute el desarrollo de una comprensioacuten de la etnomodelacioacuten como la
traduccioacuten de los procedimientos matemaacuteticos locales y de las praacutecticas matemaacuteticas En ese
sentido la traduccioacuten puede ser considerada como la descripcioacuten de los procesos de
modelacioacuten de sistemas locales (culturales) los cuales pueden tener una representacioacuten en
otros sistemas alternativos del conocimiento matemaacutetico Entonces la etnomodelacioacuten se
configura como un elemento esencial en el aacutembito de la antropologiacutea cultural las
etnomatemaacuteticas y la modelacioacuten matemaacutetica La figura 1 muestra la interseccioacuten entre estos
tres campos de estudio
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Figura 1
Etnomodelacioacuten como la interseccioacuten entre tres campos de conocimiento
Nota Recuperado de Rosa y Orey (2012)
De acuerdo con Rosa y Orey (2017b) es importante observar que la traduccioacuten es
considerada como la descripcioacuten de los procesos de modelacioacuten de sistemas locales
(culturales) pueden tener una representacioacuten matemaacutetica en la cultura occidental y viceversa
a traveacutes de la Etnomodelacioacuten por medio de tres tipos de visiones culturales del conocimiento
matemaacutetico local (eacutemico) global (eacutetico) y glocal (dialoacutegico)
a) Conocimiento Matemaacutetico Local (Eacutemico)
El conocimiento matemaacutetico eacutemico estaacute relacionado con los saberes y haceres provenientes
de los miembros del propio grupo cultural pues se origina desde dentro de la cultura em una
visioacuten interior de acuerdo con una postura intracultural (Rosa y Orey (2017b) Por ejemplo
la interculturalidad promueve la recuperacioacuten fortalecimiento desarrollo y cohesioacuten al
interior de las culturas locales para la consolidacioacuten de una sociedad pluricultural basada en
la equidad solidaridad complementariedad reciprocidad y justicia social Asiacute el curriacuteculo
escolar debe incorporar los saberes y conocimientos de las cosmovisiones de los grupos
culturales locales en sus praacutecticas educativas (Saaresranta 2011)
El anaacutelisis del conocimiento interno es eacutemico si las ideias procedimientos y praacutecticas
matemaacuteticas son exclusivas de culturas que tienen sus raiacuteces en las diversas formas en que
las actividades diarias se llevan a cabo en un entorno cultural especiacutefico Este conocimiento
estaacute de acuerdo con las percepciones e interpretaciones consideradas apropiadas por tales
culturas desde dentro Estaacute relacionado con las cuentas descripciones y anaacutelisis expresados
en teacuterminos de las categoriacuteas y esquemas conceptuales que son considerados significativos y
apropiados por los miembros de grupos culturales distintos (Rosa y Orey 2012)
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La validacioacuten de este conocimiento trae consigo una cuestioacuten de consenso de la poblacioacuten
local que debe estar de acuerdo con que sus constructos coincidan con las percepciones
compartidas que retratan las caracteriacutesticas de su cultura (Rosa y Orey 2017b) El
conocimiento matemaacutetico eacutemico se orienta de nosotros hacia nosotros con la perspectiva de
los nativos que es una visioacuten desde dentro interior y local
b) Conocimiento Matemaacutetico Global (Eacutetico)
El conocimiento matemaacutetico eacutetico estaacute relacionado con los saberes y quehaceres
provenientes de los observadores externos a la cultura que se originan desde fuera del grupo
cultural en una visioacuten exterior sobre sus miembros en una postura intercultural (Rosa y Orey
2017b) La interculturalidad promueve el desarrollo de la interrelacioacuten e interaccioacuten de
conocimientos saberes ciencia y tecnologiacutea propios de cada cultura con otras culturas que
fortalece la identidad propia y la interaccioacuten en igualdad de condiciones entre todas las
culturas locales con los grupos culturales globales (Saaresranta 2011)
En el curriacuteculo del sistema educativo se promueven las praacutecticas de interaccioacuten entre
diferentes culturas desarrollando actitudes de valoracioacuten convivencia y diaacutelogo entre
distintas visiones del mundo para proyectar y universalizar la sabiduriacutea propia y local
(Saaresranta 2011) Asiacute las ideas y procedimientos matemaacuteticos son eacuteticos si pueden ser
comparados entre culturas a traveacutes del uso de definiciones y meacutetricas comunes Este
conocimiento se relaciona con las cuentas descripciones y anaacutelisis de los procedimientos y
praacutecticas matemaacuteticas expresadas en teacuterminos de las categoriacuteas consideradas apropiadas por
observadores externos (Rosa y Orey 2012)
El conocimiento matemaacutetico eacutetico es preciso loacutegico replicable e independiente de los
observadores externos y su validacioacuten es una cuestioacuten de anaacutelisis loacutegico y empiacuterico en
particular de que la construccioacuten de ese conocimiento cumple con los estaacutendares de
integralidad y consistencia loacutegica (Rosa y Orey 2017b) El conocimiento eacutetico se orienta de
ellos (investigadores y educadores) hacia nosotros con una perspectiva de los observadores
externos que es una visioacuten desde fuera exterior y global
c) Conocimiento Matemaacutetico Global (Dialoacutegico)
Este conocimiento presenta un dinamismo cultural entre los conocimientos matemaacuteticos
eacutemico y eacutetico que estaacute representado por los encuentros entre dos o maacutes culturas diversas en
las aulas Asiacute el conocimiento matemaacutetico de los miembros de grupos culturales distintos se
combina con el sistema de conocimiento matemaacutetico occidental que resulta en una
perspectiva dialoacutegica en Educacioacuten Matemaacutetica Este conocimiento incluye el
reconocimiento de otras epistemologiacuteas y de la naturaleza holiacutestica e integrada del
conocimiento matemaacutetico de los miembros de diversos grupos que se encuentran en
contextos culturales distintos (Rosa y Orey 2017b)
Este enfoque puede garantizar el desarrollo de la comprensioacuten de las diferentes maneras de
hacer las matemaacuteticas mediante diaacutelogo y respeto mutuos entre los enfoques globales y
locales a traveacutes de la glocalizacioacuten que puede enriquecer las temaacuteticas novedosas para los
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estudiantes y les muestra como las aplicaciones matemaacuteticas pueden encontrarse en muchas
aacutereas de la ciencia de los negocios de la vida cotidiana y en las diversas praacutecticas culturales
(Rosa y Orey 2017a)
En ese sentido la glocalizacioacuten (global+local) es un abordaje dialoacutegico que considera la
interaccioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos locales (desde dentroeacutemicosinsiders) y
globales (desde fueraeacuteticosoutsiders) Este enfoque tambieacuten estaacute relacionado con la
aceleracioacuten e intensificacioacuten de la interaccioacuten e integracioacuten entre los miembros de grupos
culturales distintos que componen la sociedad (Rosa y Orey 2017b)
De acuerdo con ese contexto es necesario ampliar la discusioacuten de las posibilidades para la
inclusioacuten de las perspectivas de la Etnomodelacioacuten que valoran y den voz a la diversidad
social y cultural de los miembros de grupos culturales distintos y de este modo desarrollar
una comprensioacuten de sus diferencias a traveacutes del diaacutelogo y el respeto Consecuentemente las
poliacuteticas educativas reclaman que en el trabajo pedagoacutegico en las instituciones educativas
sean incluidos los artefactos mentefactos y sociofactos que son indicadores descriptivos de
las culturas para enriquecer la diversidad del conocimiento matemaacutetico de los miembros de
grupos culturales distintos
4 Indicadores Descriptivos Culturales
De acuerdo con Huxley (1955) bioacutelogo ingleacutes y primer director de la UNESCO acuntildeoacute el
concepto de mentefactos para expresar los sistemas abstractos de creencias valores e ideas
que se manejan en las culturas De acuerdo con eacutel consideramos que hay tres indicadores
descriptivos que son componentes esenciales de todas las culturas artefactos mentefactos y
sociofactos elementos que forman parte del patrimonio cultural y que se han organizado
histoacutericamente por la humanidad
a) Artefactos
Los artefactos son objetos culturales que proporcionan las herramientas materiales
necesarias para el desarrollo de vestimentas abrigos defensas y transportes
Consecuentemente estos artefactos auxilian a los miembros de grupos culturales distintos en
la resolucioacuten de los problemas diarios con la utilizacioacuten de teacutecnicas y estrategias
matemaacuteticas (Rosa y Orey 2017a) Los artefactos son considerados como herramientas
aparatos e instrumentos de observacioacuten Los artefactos son confeccionados con el empleo
del conocimiento matemaacutetico local a traveacutes del uso de materiales distintos desarrollados en
contextos diversos (DrsquoAmbrosio 2001)
Los artefactos pueden ser considerados como mercanciacuteas culturales que incluyen la
tecnologiacutea material desarrollada por los miembros de un grupo cultural que satisfacen sus
necesidades baacutesicas de alimento cobijo transporte y similares (DrsquoAmbrosio 2001)
Consecuentemente los artefactos tambieacuten estaacuten relacionados con las manifestaciones
teacutecnicas y materiales de una determinada cultura como por ejemplo los sistemas de
tratamiento de la tierra las herramientas utilizadas y la organizacioacuten de la produccioacuten
agriacutecola
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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b) Mentefactos
Los mentefactos son las ideas los valores y creencias compartidos de generacioacuten en
generacioacuten como por ejemplo la religioacuten la lengua las leyes y los puntos de vista Estos
indicadores son los elementos centrales y maacutes duraderos de las culturas pues incluyen lo
miacutetico los mitos las tradiciones artiacutesticas y el folclore (Huxley 1955) El lenguaje
matemaacutetico y cientiacutefico los conocimientos desarrollados y difundidos por los miembros de
grupos culturales distintos tambieacuten son considerados mentefactos
Para Rosa y Orey (2017b) los mentefactos se relacionan con las nociones de geacutenero
valores ideales cultura libertad creencias democracia religioacuten colectivismo
individualismo derechos y deberes sociales y tambieacuten informan a los miembros de grupos
culturales distintos para que se organicen de acuerdo con su propio sistema de explicaciones
cientiacuteficas y matemaacuteticas creencias y tradiciones pues se relacionan con la capacidad
humana de pensar y formular ideas y conforman los ideales y las imaacutegenes por los que se
miden otros aspectos culturales
De acuerdo con DrsquoAmbrosio (2001) los mentefactos son los sistemas de
conocimiento que se expresan en formas diversas de comunicacioacuten que componen la base
del proceso de socializacioacuten de esos miembros Los conceptos y las teoriacuteas que componen
los mentefactos se denominan instrumentos de anaacutelisis
c) Sociofactos
Los sociofactos son las estructuras y organizaciones de una determinada cultura que
influencian el comportamiento social y el desarrollo de saberes y haceres cientiacuteficos y
matemaacuteticos de sus miembros y que incluyen aspectos de las culturas que se relacionan con
viacutenculos entre individuos y grupos (Rosa y Orey 2017b) Asiacute estas estructuras son
consideradas como las interacciones entre las personas la estructura de las instituciones las
normas sociales las instituciones gubernamentales la estructura de la educacioacuten y las
instituciones poliacuteticas
Por consiguiente para Huxley (1955) los sociofactos incluyen la convivencia en las
familias en los gobiernos en los sistemas educativos en las organizaciones deportivas en
los grupos religiosos y en cualquier otra agrupacioacuten destinada a desarrollar actividades
socioculturales especiacuteficas pues son los aspectos relacionados con la organizacioacuten social
con los viacutenculos entre los individuos y los grupos sociales como por ejemplo las estructuras
familiares los parentescos los comportamientos reproductivos y sexuales
Para DrsquoAmbrosio (2001) los sociofactos incluyen sistemas poliacuteticos y educativos
porque son los patrones esperados y aceptados por las relaciones interpersonales que estaacuten
relacionadas con los aspectos econoacutemico poliacutetico militar y religioso En ese contexto Rosa
(2010) sostiene que estos indicadores descriptivos culturales estaacuten presentes en la vida
cotidiana de los miembros de grupos culturales distintos ayudaacutendolos a ampliar y el
perfeccionar sus conocimientos matemaacuteticos porque proponen el fortalecimiento de sus
identidades culturales
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
71
Para Rosa y Orey (2017a) esta perspectiva proporciona el equilibrio necesario al curriacuteculo
escolar pues al insertar estos componentes en el curriacuteculo matemaacutetico concebimos la
etnomodelacioacuten como un programa que estaacute basado en un paradigma que busca la
humanizacioacuten de las matemaacuteticas por medio de un abordaje filosoacutefico y contextualizado del
curriacuteculo matemaacutetico
5 Consideraciones Finales
Es importante buscar enfoques metodoloacutegicos alternativos mientras las praacutecticas
matemaacuteticas occidentales sean aceptadas a nivel mundial para registrar formas histoacutericas de
ideas y procedimientos matemaacuteticos que se dan en diferentes contextos culturales Un
enfoque pedagoacutegico alternativo es el de la Etnomodelacioacuten que agrega la perspectiva cultural
a los conceptos de la modelacioacuten matemaacutetica (Rosa y Orey 2010)
Es esencial mostrar que la etnomodelacioacuten incluye ideas perspectivas y praacutecticas
matemaacuteticas de individuos en diferentes culturas y que estas ideas son manifestadas y
transmitidas de diversos modos Asiacute el desarrollo de la etnomodelacioacuten debe ser
documentado como parte del estudio del progreso cientiacutefico de las ideas y las praacutecticas
matemaacuteticas efectuadas por los miembros de grupos culturales distintos La Etnomodelacioacuten
ofrece a los educadores un marco importante para transformar las matemaacuteticas en un
conocimiento maacutes activo para contribuir en la realizacioacuten de una sociedad maacutes humana y
justa El objetivo principal de la etnomodelacioacuten es desarrollar una herramienta poderosa
para ayudar a los miembros de grupos culturales distintos a crear una sociedad definida por
la dignidad para todos y donde iniquidad arrogancia violencia e intolerancia no tengan lugar
Es necesario ampliar la discusioacuten de las posibilidades pedagoacutegicas para poder incluir una
perspectiva cultural de las matemaacuteticas que respete la diversidad social de los miembros de
distintos grupos culturales distintos Un enfoque que garantice el desarrollo de la
comprensioacuten de las diferentes maneras de hacer las matemaacuteticas mediante diaacutelogo y respeto
mutuos entre los enfoques locales y globales a traveacutes de la glocalizacioacuten En este contexto
es necesario mostrar a los estudiantes que pertenecen a culturas con baja representacioacuten social
la contribucioacuten que dan al desarrollo del pensamiento matemaacutetico Ensentildear a los estudiantes
que pertenecen a culturas mayoritarias diferentes grupos culturales promovieacutendoles el
respeto por la diversidad y contribuyendo a la educacioacuten glocal (Rosa y Orey 2017a)
Por ejemplo la glocalizacioacuten (global+local) enriquece las temaacuteticas novedosas para los
estudiantes y les muestra como las aplicaciones matemaacuteticas pueden encontrarse en muchas
aacutereas de la ciencia de los negocios de la vida cotidiana y en las diversas praacutecticas culturales
En ese sentido Rosa y Orey (2017b) afirman que la glocalizacioacuten es un abordaje dialoacutegico
que considera la interaccioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos locales (desde
dentroeacutemicosinsiders) y globales (desde fueraeacuteticosoutsiders) Este enfoque tambieacuten estaacute
relacionado con la aceleracioacuten e intensificacioacuten de la interaccioacuten e integracioacuten entre los
miembros de grupos culturales distintos que componen la sociedad El trabajo pedagoacutegico
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asiacute orientado permite un anaacutelisis maacutes amplio del contexto escolar pues las praacutecticas
pedagoacutegicas trascienden el espacio fiacutesico y pasan a acoger los saberes y haceres presentes
en todo el contexto sociocultural de los alumnos
Para terminar la aplicacioacuten de la etnomodelacioacuten nos brinda la oportunidad de examinar los
sistemas de conocimientos locales (eacutemicos) y globales (eacuteticos) para tener una idea de las
formas de las matemaacuteticas utilizadas en diversos contextos y grupos culturales De ese modo
la perspectiva global (eacutetica) juega un papel importante en la investigacioacuten en la
etnomodelacioacuten sin embargo la perspectiva local (eacutemica) debe tenerse en cuenta tambieacuten
en el desarrollo de este proceso Asiacute el conocimiento matemaacutetico de los miembros de grupos
culturales distintos que se combina con otros sistemas de conocimientos matemaacuteticos
resulta en una perspectiva dialoacutegica en la Educacioacuten Matemaacutetica a traveacutes del dinamismo
cultural
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originario campesino Tinkazos 14(30) 127-143
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74
Herramientas 20 ldquoAlgunas opciones para sumar a
nuestras clasesrdquo
PhD Carlos L Chanto Espinoza
Universidad Nacional de Costa Rica
carloschantoespinozaunacr
Msc Marlene Duraacuten Loacutepez
Universidad Nacional de Costa Rica
marleneduranlopezunacr
Resumen Cada vez maacutes docentes estaacuten utilizando herramientas como blogs wikis y podcasts
como nueva forma de ensentildear De ahiacute la importancia de la exposicioacuten que busca incitar la
innovacioacuten y la participacioacuten capacitar y motivar a sus copartiacutecipes e instaurar una diferencia
en su proceso de ensentildeanza y aprendizaje La implementacioacuten de las TIC supone un cambio en
las metodologiacuteas que se han implementado hace muchos antildeos donde la relacioacuten entre el profesor
y el educando es vertical el primero estaacute a cargo del conocimiento y por el cual auacuten hay
profesionales que no quieren abandonar esta posicioacuten en cambio las TIC permiten la
participacioacuten del alumno dando como resultado un ambiente maacutes interactivo Los profesores son clave en la implementacioacuten de las TIC son los responsables de desarrollar
diferentes estrategias que sean atractivas y motivantes para sus alumnos estos uacuteltimos por su
parte reconocen el uso de las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten como una herramienta
educativa y no como una forma en la cual puedan distraerse
Tambieacuten con el establecimiento de estas metodologiacuteas supone una gran ventaja porque desarrolla
nuevas habilidades nuevos escenarios por conocer que representan un reto ademaacutes de que el
estudiante esteacute preparado para cuando inicie su etapa laboral donde todos esos aprendizajes se
ponen en praacutectica y se verifica la calidad del proceso educativo
Palabras clave Herramientas Conocimiento TIC Desafiacuteos Educacioacuten Brecha digital
1 Introduccioacuten
Vivimos en una epoca en donde la utilizacioacuten de las Tecnologiacuteas de Informacioacuten y
Comunicacioacuten denomidas TIC estan creciendo de tal forma que van cambiando el mundo
que conocemos Hoy en diacutea es normal ver que algunos procesos que antes requeriacutean de largas
filas y visitas a oficinas se reducen a unos cuantos clics y una coneccioacuten a intenet
Esta revolucioacuten de la era digital no se ha quedado exenta al sector educativo ya que cada vez
es mas comuacuten ver que muchos centros de educacioacuten opten por dar cursos virtuales en casi un
100 por ciento en su modalidad de aprendizage
La educacioacuten a distancia es por su naturaleza una de las pricipales candidatas al cambio de
la digitalizacion de la educacion y esto se evidencia en las universidades que brindan
servicios a distacia por medio de multiples herramientas digitales y plataformas educativas
Este paradigma rompe con el esquema tradicional de educacioacuten y aprendizaje en donde los
alumnos tienen que trasladarse desde lugares remotos a centros universitarios para recibir
clases ya que las plataformas virtuales educativas brindan toda una gama de herramientas
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75
que les permiten tanto a formadores como educandos llevar a cabo el proceso de aprendizaje
de una manera dinaacutemica e interactiva
Una de las primordiales caracteristicas de la educacion virtual o a distancia es su capacidad
para cubrir una demanda mucho mayor de educandos que si se llevara de manera precencial
Ya que con ayuda de las TIC tienen capacidad de llenar aulas virtules con grandes
capacidades de alumnos en comparacioacuten con las aulas fiacutesicas
2 El marco de las TIC en el saloacuten de clases
En la actualidad el mercado laboral estaacute cada diacutea maacutes exigente en la preparacioacuten acadeacutemica
de las personas esto debido a las diferentes exigencias de las empresas las cuales solicitan
muacuteltiples habilidades blandas sumadas los diferentes teacutecnicos grados universitarios sin
mencionar el manejo de alguna segunda lengua
La falta de empleo a raiacutez de la poca preparacioacuten de la poblacioacuten hace que las personas
busquen diferentes meacutetodos de estudios que los certifiquen en sus distintas aacutereas para tener
un respaldo ante un extenso mercado laboral Es aquiacute donde las TIC han ido evolucionando
junto con la docencia ofreciendo herramientas para mejorar la captacioacuten de la informacioacuten
brindando material didaacutectico maacutes dinaacutemico y efectivo e interactivo
Seguacuten Hernaacutendez (2011) ldquohellip las TIC hacen referencia Al conjunto de recursos necesarios
para tratar informacioacuten procesada por los ordenadores y dispositivos electroacutenicos
aplicaciones informaacuteticas y redes necesarias para convertirla almacenarla administrarla y
transmitirlardquo (paacuterr3)
Al analizar el concepto anteriormente citado podemos asumir que las tecnologiacuteas de
informacioacuten abarcan desde simples tareas domeacutesticas hasta los maacutes complejos sistemas
informaacuteticos La importancia que conllevan las TIC para las micro y gigantes empresas es
significativa por la versatilidad y utilidad que este tipo de tecnologiacuteas les brinda en pro de un
mejor rendimiento y eficiencia de estas
Las tecnologiacuteas de informacioacuten les ofrecen a los estudiantes una amplia gama de recursos
que son actualizados de manera constante que pueden ser utilizados y aplicados a su
desarrollo acadeacutemico conlleva muchos beneficios como obtener o acceder a informacioacuten
amplia y variada de cualquier tema en especiacutefico en cualquier lugar en que se encuentre el
estudiante sin limitaciones geograacuteficas o de tiempo asiacute lo menciona Almenara (2007) ldquohellip
uno de los efectos maacutes importantes y significativos de las TIC en al aacutembito educativo es la
posibilidad que nos ofrecen para flexibilizar el tiempo y el espacio en que se desarrolla la
accioacuten educativardquo (p 15)
En los uacuteltimos antildeos la tecnologiacutea ha evolucionado alcanzando niveles muy altos en la
utilizacioacuten de las TIC en las universidades El conversar sobre docencia y la incorporacioacuten
de las TIC al marco de la ejecucioacuten de ensentildeanza aprendizaje No existe incertidumbre de
que las tecnologiacuteas estaacuten transformado de manera fundamental nuestra forma de vivir
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La educacioacuten como tal estaacute compuesta de distintos factores el docente encargado de impartir
la materia y la ensentildeanza los recursos teoacutericos y didaacutecticos y el medio para evaluar el
aprendizaje Seguacuten lo establece el Programa de produccioacuten Multimedia (2016) ldquoSe debe
aprovechar todo el potencial que ofrecen las tecnologiacuteas para asiacute establecer y fortalecer
comunidades o redes virtuales de aprendizaje donde el profesor y el estudiante interactuacuteenrdquo
(paacuterr7)
Seguacuten lo establecen Vlasova et al (2019) ldquoPodemos definir parte del concepto de la
tecnologiacutea en la educacioacuten como desarrollo de nuevos programas de disciplinas educativas
basados en la ciencia enfocados en la capacitacioacuten especiacutefica de los profesores para utilizar
tecnologiacuteas y meacutetodos como lo son las plataformas virtuales en sus actividades profesionales
y justificar la efectividad de los programasrdquo (p 1)
En contraste la incorporacioacuten de las TIC en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje es flexible
y se adaptan a las formas de aprender de los diferentes estudiantes Tal y como lo define Rose
(2016) desde la pantalla de una computadora uacutenicamente de texto de la manera tradicional
hasta sistemas en donde el aprendizaje se haga por colores formas o sonidos Herramientas
como tutores inteligentes soporte visual ayuda para aprendizaje colaborativos entre muchas
otras herramientas que avanzan cada diacutea respondiendo cada vez maacutes a las necesidades y
respuestas humanas
Tambieacuten contribuye a la inclusioacuten de diferentes grupos sociales que antes eran excluidos de
los procesos educativos por falta de material o herramientas que se adaptaran a las
necesidades especiacuteficas de esas personas Asiacute lo menciona Rodriacuteguez (2019) ldquoAhora las
nuevas tecnologiacuteas han hecho su arribo a los ambientes educativos de diferentes maneras ya
sea como contenidos educativos objetos de aprendizaje plataformas infraestructura o
auxiliaresrdquo
De manera que las TIC esbozan transformaciones en la educacioacuten virtual enmarcadas en el
campo de las telecomunicaciones y la informaacutetica provocando permutas en las sociedades
en relacioacuten con la manera de trabajo las formas de interaccioacuten y comunicacioacuten de muacuteltiples
sectores sociales y la manera de consentir a la informacioacuten en un mundo global
De modo que un intento de virtualizacioacuten el uso de la plataforma las conferencias por
dispositivo electroacutenico entre muacuteltiples herramientas donde fueron expliacutecitamente creadas
para proporcionar que se intercambie el conocimiento entre los colaboradores minimizar el
sentimiento de reducir el espacio la inseguridad y soledad cuando se estudia
3 Educacioacuten y su relacioacuten con las TIC
Los beneficios de las TIC como columna para desplegar aacutereas de aprendizajes muestran que
la mayoriacutea de los sistemas que sobrellevan las redes de conocimiento son asentadas en textos
Praacutecticamente toda la educacioacuten estaacute edificada sobre trabajos escritos libros de textos y
precisamente las redes de comunicacioacuten mediante computadoras encajan los textos
interactivos que consienten edificar el conocimiento
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Otro de los puntos positivos que tiene la implementacioacuten TIC en el proceso de ensentildeanza ndash
aprendizaje es la apertura a la accesibilidad de esta Actualmente existen muchos programas
educativos que son impartidos mediante lecciones virtuales esto es un gran beneficio ya que
existen muchas personas que por diferentes motivos no les es posible asistir a lecciones
presenciales
Hace algunos antildeos la utilizacioacuten de las TIC en la docencia no era tan significativo las clases
eran presenciales los trabajos tareas y proyectos se entregaban de forma fiacutesica algunos
incluso escritos a mano pero con el pasar de los antildeos cada vez se fue desarrollando esta
innovacioacuten hasta tal punto que es posible recibir una educacioacuten en forma virtual por medio
de computadores y acceso a una red de internet en donde las personas pueden participar en
videoconferencias en foros hacer video llamadas compartir informacioacuten realizar tareas y
exaacutemenes en liacutenea
Esta modalidad vino a facilitar muacuteltiples procesos a muchas personas que por diversas
razones no pueden asistir de forma presencial a recibir lecciones las TIC les permite lograr
sus objetivos de superacioacuten desde su hogar y a la vez desarrollando otras actividades como
asistir al trabajo o atender a sus familias
La tecnologiacutea le ha dado un gran giro a la educacioacuten puesto que ya no es suficiente las clases
tradicionales para mantener a los estudiantes atentos y deseosos de aprender algo nuevo cada
diacutea como se ha visto las nuevas tecnologiacuteas han abarcado muchos aacutembitos hoy diacutea es casi
imposible que una persona no esteacute involucrada de alguna manera con la tecnologiacutea Asiacute lo
establece Garciacutea (2017) ldquohellipel uso de la tecnologiacutea en el aula es una de esas cuestiones que
hace que sea faacutecil ser un maestrordquo (paacuterr1)
La utilizacioacuten de la tecnologiacutea en el aacuterea de la educacioacuten tiene como objetivo el aumento de
los procesos de ensentildeanza - aprendizaje al ser tecnologiacuteas modernas el docente y los
educandos pueden consentir a la informacioacuten a partir de cualquier lugar del mundo y a
cualquier hora lo uacutenico que se requiere es una conexioacuten a internet
Tal y como lo establece Lozano (2016) ldquohellip el mundo evoluciona y la educacioacuten tambieacuten el
modelo actual educativo- aprendizaje a traveacutes de libros y una pizarra con tizas ha finalizado
Hace varios antildeos que la tecnologiacutea entroacute con fuerza para mejorar la educacioacuten y ahora ya es
una parte vital de ellardquo (paacuterr1)
Al desarrollarse nuevos recursos didaacutecticos y tecnoloacutegicos lo que provoca es que el docente
este maacutes capacitado y preparado para utilizar estas nuevas herramientas y asiacute poder ofrecer
una mejor calidad en la educacioacuten y facilitar el aprendizaje de los estudiantes que ellos le
encuentren la motivacioacuten al aprender de manera participativa
4 La ensentildeanza con apoyo tecnoloacutegico no es moda
La educacioacuten con apoyo tecnoloacutegico es uno de los temas maacutes actuales y tratados durante
los uacuteltimos antildeos la educacioacuten a distancia se ha abierto un gran espacio dentro de la educacioacuten
general que se afirma en algunos medios de comunicacioacuten para formar un tipo de relacioacuten
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entre ambas partes el que ensentildea y el que aprende independientemente del lugar y tiempo de
cada uno
No obstante las universidades utilizan las TIC como apoyo la docencia aunque este proceso
educativo formal y no existiacutea ninguacuten apoyo por parte de ninguna identidad como ahora que
hay un gran apoyo con una buena base en tal educacioacuten que se apoya en la tecnologiacutea
En la mayoriacutea de los lugares donde se han implementado TIC con apoyo a la docencia ha
brindado un espacio para que todos los educandos puedan acomodar sus prioridades y
facilitar informacioacuten desde cualquier lugar y a cualquier hora que sea necesaria
La TIC deben hoy diacutea integrar la docencia y la sociedad de esta manera coopera con la
educacioacuten y trata de ofrecer un gran y valioso aporte materializando la idea de formar un
pueblo con un alta nivel acadeacutemico y amplio conocimiento educativo
Tal y como lo define Arguedas (2016) ldquoEl proceso de ensentildear y aprender ocurre con una
separacioacuten de espacio y de tiempo entre quienes ensentildean y los estudiantesrdquo (p82)
El papel que juega la tecnologiacutea en el aacutembito de la educacioacuten es el maacutes importante al facilitar
el aprendizaje mediante documentos virtuales que suministra informacioacuten importante y
requerida por el educando tambieacuten mediante la plataforma virtual que se encuentra en un
entorno estudiantiles facilitando tener acceso a la informacioacuten de los diferentes programas
Estas tendencias modernas de la educacioacuten con el apoyo de TIC estaacuten en constante
actualizacioacuten transformando el conocimiento de coacutemo emplear la tecnologiacutea para ser
eficientes y entender todo lo que se puede desarrollar con ellas
Con la evolucioacuten de las TIC en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se ha complementado
dando como resultado una mejor y maacutes amplia ensentildeanza a todas las personas El aprendizaje
es maacutes que memorizar paacuterrafos o textos es en siacute una transformacioacuten de lo leiacutedo a las
actividades de la vida cotidiana con la ayuda de la TIC
El uso de materiales didaacutecticos facilita el aprendizaje tales como multimedia videos
documentos y hasta audiolibros tales ayudan a reforzar la materia escrita en los libros y asiacute
complementa la lectura
El internet ya facilita las comunicaciones en muacuteltiples sectores del mundo se ha
transformado se en una herramienta impredecible hace muchos antildeos no se teniacutea clara la idea
de quera una computadora y ahora gracias al avance de las TIC se puede hasta realizar un
examen virtual desde la comodidad de la casa
Asiacute lo define Barrantes (2016) las nuevas tecnologiacuteas no solo cambiaraacuten los meacutetodos de
ensentildeanza sino tambieacuten la propia gestioacuten de las universidades
Estas tecnologiacuteas se deben efectuar con base a los objetivos que se quieren alcanzar y dar un
buen uso de ellas de manera controlada evitando las diferentes problemaacuteticas que se pueden
adquirir al exceder el uso y mal uso de estas
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5 Conclusiones
El desarrollo tecnoloacutegico propone transformaciones de muacuteltiples tipo la educacioacuten sin duda
alguacuten es una de las secciones maacutes capaces a dichos cambios Se demanda que este sumario
sea gobernado por investigacioacuten educativa y no simplemente innovacioacuten La investigacioacuten
educativa asegura que los meacutetodos y la tecnologiacutea posean efectos efectivos y estrictamente
se trate de transformar las herramientas para lograr nuevos resultados La predisposicioacuten
tecnoloacutegica en un futuro mediato fundaraacute que narremos con entornos de aprendizaje
informales y sociales las teacutecnicas de ensentildeanza-aprendizaje habituales que auacuten permanecen
tengan que desaparecer
Consiguientemente el nuevo papel del docente precisa no solo renovar sus conocimientos
sino vislumbrar y estar sumergido en la dinaacutemica comunicacional moderna no solo sabiendo
el funcionamiento de las modernas herramientas TIC sino coexistiendo como acto de parte
de estas Los sistemas inteligentes aferrados al sumario de ensentildeanza-aprendizaje que estaacuten
en progreso ha sido exitosa
Los modernos espacios virtuales fundados para estos cambios de preparacioacuten formacioacuten y
perfeccionamiento en que las personas edifican su propio conocimiento y utilizan diferentes
metodologiacuteas de aprendizaje que fortifican las destrezas de los educandos Se puede decir
que es significativo conocer las bases teoacutericas que sufre la educacioacuten con ayuda de las TIC
para concebir este modelo que desde hace antildeos se despliega a nivel mundial
Los medios de ensentildeanza constituyen un componente esencial del proceso ensentildeanza-
aprendizaje imaacutegenes o representaciones de objetos imitacioacuten los contenidos en todos los
programas las potenciar el conocimiento del educando Entendiendo que la modalidad de
Educacioacuten con apoyo de las TIC Si se quiere atenuar un trabajo colaborativo se debe valorar
cuaacutel herramienta brindariacutea un mayor beneficio en el aprendizaje de los educandos
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Las direcciones a la tica como un recurso para ensentildear
matemaacuteticas
Marcela Garciacutea Borboacuten
Universidad Nacional Costa Rica
marcelagarciaborbonunaaccr
Jesennia Chavarriacutea Vaacutesquez
Universidad Nacional Costa Rica
jchaunaaccr
Mariacutea Elena Gavarrete Villaverde
Universidad Nacional Costa Rica
mgavarreteunaaccr
Margot Martiacutenez Rodriacuteguez
Universidad Nacional Costa Rica
mmartiunaaccr
Resumen El proyecto Formacioacuten de docentes en la visioacuten sociocultural de las matemaacuteticas
formulado desde el 2015 disentildeoacute e impartioacute el curso Enculturacioacuten Matemaacutetica y Etnomatemaacutetica
en diversas zonas costeras limiacutetrofes indiacutegenas y rurales del paiacutes Se trata de un curso dirigido a
docentes de primaria que busca mostrar estrategias y recursos para abordar las clases de
matemaacutetica desde la visioacuten sociocultural al hacer del signo cultural el centro del planeamiento
De este modo el proyecto generoacute el modelo Etnomatemaacuteticas Glocalizadas para maestros
(ETGLOMA 2019) que busca continuar con los propoacutesitos del proyecto original
El taller ldquoLas direcciones a la tica como un recurso para ensentildear matemaacuteticasrdquo aborda el tema de
la ubicacioacuten espacial como parte del aacuterea de la Geometriacutea Ademaacutes vincula las habilidades
matemaacuteticas con algunas relacionadas con la Geografiacutea que se cubre en la materia de Estudios
Sociales como una sugerencia de incorporacioacuten de la contextualizacioacuten activa que demanda el
Ministerio de Educacioacuten en sus programas
Palabras clave Etnomatemaacuteticas formacioacuten de docentes contextualizacioacuten activa signo
cultural
1 Objetivos
Este taller tiene como objetivo general Analizar la orientacioacuten espacial utilizando las
direcciones a la tica para ofrecer estrategias metodoloacutegicas que aborden los contenidos de la
ubicacioacuten espacial en Educacioacuten Primaria
2 Fundamentacioacuten teoacuterica
El proyecto Formacioacuten de Docentes en la Visioacuten Sociocultural de la Matemaacutetica nace en
2015 en la Universidad Nacional como una forma de contribuir a las demandas
metodoloacutegicas que el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2012) establece en la formacioacuten de
docentes Su principal contribucioacuten es la incorporacioacuten de las etnomatemaacuteticas en la
educacioacuten al proponer el uso de los signos culturales en el planeamiento Ofrece una
respuesta a la necesidad de integrar el eje transversal de la contextualizacioacuten activa en la
educacioacuten como un elemento prioritario en el planeamiento Asiacute se favorece la comprensioacuten
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de los saberes globales al vincularlos con los saberes locales al estimular el uso de modelos
basados en la realidad cercana
Por otro lado este taller aborda contenidos curriculares del Programa de Estudios Sociales
de primero segundo y tercer nivel (Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica 2013) al tomar en
cuenta los contenidos conceptuales de ubicacioacuten espacial orientacioacuten geograacutefica
elaboracioacuten e interpretacioacuten de croquis mapa escala y simbologiacutea
Para lograr el efectivo desarrollo de este taller se inicia con la definicioacuten de los conceptos
primarios En este sentido se concibe el signo cultural como un elemento de la cultura
material que representa la identidad de una regioacuten (Oliveras 1996) que se puede incorporar
en las matemaacuteticas escolares Se entiende Enculturacioacuten Matemaacutetica como el ldquoproceso de
interaccioacuten social desarrollado dentro de un marco de conocimientos determinado pero con
el objetivo de volver a crear y definir ese marcordquo (Bishop 1999 p 120) La Enculturacioacuten
Matemaacutetica ademaacutes de usar elementos de la cultura en el planteamiento de problemas
involucra un proceso de investigacioacuten sobre las matemaacuteticas que se han usado en el desarrollo
de ideas nociones procedimientos procesos meacutetodos y praacutecticas culturales arraigadas en
distintos ambientes
Bishop (1999) clasifica las matemaacuteticas desarrolladas por todas las culturas en alguna de las
seis actividades comunes contar medir localizar disentildear jugar y explicar En particular en
este taller nos centramos en las actividades de localizar y explicar
La actividad matemaacutetica de localizar se concibe como la necesidad de codificar y simbolizar
el entorno espacial al responder al reto de la exploracioacuten de la tierra y el mar con el fin de
conocer el propio terreno en la buacutesqueda de alimento (Bishop 1999) En este taller se
trabajaraacute con direcciones mapas y croquis que constituyen una representacioacuten simboacutelica del
espacio La actividad matemaacutetica de explicar se centra en abstracciones y formalizaciones
que buscan establecer relaciones entre los fenoacutemenos y la teoriacutea que los explica Se abordaraacute
a traveacutes del anaacutelisis de las relaciones entre los objetos del espacio con las direcciones mapas
y croquis asiacute como las transformaciones de que son objeto
Por otro lado la geometriacutea es la parte de la matemaacutetica escolar que se encarga de la
descripcioacuten y anaacutelisis de las formas y el espacio Asiacute el pensamiento espacial seguacuten Gallo
et al (2006) viene a ser el conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales se construyen
y manipulan las representaciones mentales del espacio
Sobre la localizacioacuten se entiende como la accioacuten de sentildealar en forma especiacutefica el lugar
doacutende se encuentran ciudades puertos paiacuteses accidentes geograacuteficos o cualquier otro
elemento Localizar de manera absoluta implica situar con precisioacuten un punto especiacutefico de
la superficie terrestre Localizar de forma relativa seriacutea maacutes bien usar los puntos cardinales
y distancias con respecto a otro lugar
Estimular el estudio de signos culturales en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las
Matemaacuteticas favorece la vinculacioacuten entre la matemaacutetica escolar con la matemaacutetica presente
en las praacutecticas cotidianas y asiacute motiva el aprendizaje gracias a que propicia un cambio en
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el dominio afectivo al reconocer que la matemaacutetica es una actividad humana desarrollada
por cada cultura a partir de sus necesidades
3 Metodologiacutea de trabajo
El disentildeo metodoloacutegico del taller contempla el desarrollo de las actividades matemaacuteticas
localizar y explicar Se proponen diferentes actividades que abordan las direcciones a la tica
como un signo cultural de nuestro paiacutes
Este disentildeo sigue el mismo esquema que los otros talleres del curso de Enculturacioacuten
Matemaacutetica y Etnomatemaacutetica En un principio se indaga sobre el conocimiento previo con
el fin de activar los conocimientos matemaacuteticos que se requieren para el efectivo desarrollo
del taller En este caso se explora sobre la percepcioacuten entre los participantes relacionada con
la contextualizacioacuten activa asiacute como conocimientos previos sobre localizacioacuten en el espacio
pensamiento espacial distancia estimacioacuten y direccioacuten Ademaacutes se reflexiona con los
maestros sobre la existencia de elementos matemaacuteticos en la forma de dar direcciones en
Costa Rica a traveacutes del anaacutelisis de sus propias direcciones y las de sus compantildeeros en busca
de esos elementos De esta forma ademaacutes se examina la vinculacioacuten con otras aacutereas como
la Geografiacutea y los Estudios sociales
A continuacioacuten se solicita a los participantes que utilicen medios de localizacioacuten virtuales
como Google maps Waze u otro para verificar la precisioacuten de la estimacioacuten y direccioacuten que
se usoacute en la actividad anterior Esto con el fin de reflexionar sobre las capacidades humanas
referentes a determinar una medida a partir de los sentidos y como esta capacidad puede
influir en la representacioacuten del espacio en dos dimensiones
Luego se invita a los participantes a meditar y socializar por medio de una plataforma
virtual sobre los elementos matemaacuteticos (presentes en el Programa de Matemaacutetica) que
logran distinguir en las direcciones con el fin de que tras la experiencia anterior incorpore
nuevos elementos que tal vez no percibioacute la primera vez que los buscoacute por ejemplo sistemas
de referencia
En una segunda parte se busca que los participantes elaboren un croquis de su comunidad
(Figura 1) que puede ser basado en los mapas que antes usaron Esta actividad tiene el
propoacutesito de evidenciar que los puntos cardinales y puntos de referencia estaacuten vinculados con
la matemaacutetica escolar Tambieacuten explorar habilidades uacutetiles en aspectos como el disentildeo tanto
como una nueva reflexioacuten sobre otros elementos de la matemaacutetica escolar presentes en este
signo cultural
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Figura 1
Croquis de la comunidad
La siguiente actividad estaacute vinculada con una consideracioacuten sobre las posibilidades para
desplazarse de un lugar a otro y coacutemo se puede describir cada una de esas posibilidades
(Figura 2) Se pretende que los participantes piensen esta vez sobre las variaciones que se
presentan en cuanto a la direccioacuten distancia aacutengulos u otro de su desplazamiento
Figura 2
Posibilidades de desplazarse de un lugar a otro
Para finalizar se les pide que cambien el origen de su desplazamiento de modo que analicen
una vez maacutes los sistemas de referencia presentes en las direcciones y en la representacioacuten del
espacio en un plano como un modelo matemaacutetico (Figura 3)
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Figura 3
Sistemas de referencia presentes en las direcciones y en la representacioacuten del espacio en
un plano como un modelo matemaacutetico
La movilizacioacuten e integracioacuten de conceptos relacionados con el pensamiento espacial se daraacute
al finalizar el taller gracias a la socializacioacuten guiada por preguntas como
iquestQueacute elementos matemaacuteticos estaacuten presentes en la elaboracioacuten del mapa
iquestQueacute elementos culturales o matemaacuteticos no han sido considerados
iquestLos conceptos matemaacuteticos (geomeacutetricos) coinciden con los teacuterminos utilizados
popularmente
4 Planificacioacuten del taller
A continuacioacuten se describen las actividades a realizar seguacuten la descripcioacuten anterior asiacute
como los recursos y materiales que seraacuten necesarios (Tabla 1)
Tabla 1
Actividades a realizar
Actividad Conocimientos Materialesrecursos Tiempo estimado
Presentacioacuten y
Conceptos
fundamentales
Contextualizacioacuten
activa localizacioacuten
pensamiento espacial
distancia estimacioacuten
direccioacuten
Acceso a la
plataforma Zoom
10 minutos
Anote la direccioacuten
exacta de su casa
Puntos de referencia
puntos cardinales
estimacioacuten de
distancia
Carpeta en Drive
compartida con los
participantes
10 minutos
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Utilizando otro
punto de referencia
anote de nuevo la
direccioacuten exacta de
su casa
Puntos de referencia
puntos cardinales
estimacioacuten de
distancia
Carpeta en Drive
compartida con los
participantes
6 minutos
Verifique la
estimacioacuten de
medidas y direccioacuten
del desplazamiento
de las direcciones
de las Actividades 1
y 2
Puntos cardinales
medicioacuten
Google maps Waze u
otra aplicacioacuten similar
de localizacioacuten
10 minutos
Reflexioacuten sobre
elementos
matemaacuteticos
presentes en la
ubicacioacuten en el
espacio
Distancia puntos
cardinales rectas
paralelas ubicacioacuten
espacial sistemas de
referencia
Carpeta Drive
compartida con los
participantes
8 minutos
Elaboracioacuten de un
croquis del pueblo
Distancia puntos
cardinales rectas
paralelas ubicacioacuten
espacial
Papel laacutepices
teleacutefono para hacer la
fotografiacutea
15 minutos
Dibujar dos
trayectorias
diferentes para
desplazarse de un
lugar a otro
Paint u otro editor de
imaacutegenes
10 minutos
Cambie el origen hellip Google maps Waze u
otra aplicacioacuten similar
de localizacioacuten Paint
u otro editor de
imaacutegenes
10 minutos
Socializacioacuten Carpeta Drive
compartida con los
participantes
11 minutos
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Homotecias con GeoGebra
Grethel Ramiacuterez Goacutemez
Liceo de Poaacutes Costa Rica
grethelramirezgomezgmailcom
Resumen En este documento presentoacute un taller cuyo fin fue generar un acercamiento con la
tecnologiacutea como apoyo a la construccioacuten de conceptos matemaacuteticos en la geometriacutea y
especiacuteficamente con las homotecias El participante logroacute realizar construcciones y observaciones
sobre los diferentes tipos de homotecias directa e inversa fue el protagonista de su propio
conocimiento y al final podraacute compartir las diferentes conclusiones a las que fue capaz de llegar
con las diferentes actividades propuestas
Palabras clave GeoGebra homotecia geometriacutea construccioacuten
1 Introduccioacuten
Este taller que presento fue desarrollado con la herramienta GeoGebra (versioacuten 50) y se creoacute
pensando en primer momento para trabajar con estudiantes de octavo antildeo pero podriacutea
ampliarse para los diferentes temas de geometriacutea que se desarrollan a lo largo de los antildeos en
el programa de estudios propuestos por el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica
(2012)
El objeto de estudio de este se basa en la construccioacuten de argumentos que resulten
validaciones en el inicio de la geometriacutea entrando en trabajo argumentativo para sostener las
respuestas y las producciones aprovechando las posibilidades de acceso al saber y de anaacutelisis
de la matemaacutetica que su utilizacioacuten puede promover como antesala al tema de semejanza y
congruencia de triaacutengulos
Para participar no es necesario tener un conocimiento previo de la herramienta ya que los
minutos iniciales sirven de orientacioacuten para conocerla y hacer eacutenfasis de los usos en ciertos
comandos Ademaacutes inicialmente se busca motivar al participante en la exploracioacuten tomando
como referencia que el programa permite ver diferentes escenarios con movimientos simples
que a nivel del papel y laacutepiz seria muchas veces limitado y otras abstractos por completo
La importancia de estos talleres praacutecticos radica en la integracioacuten de herramientas
informaacuteticas que logran una mayor eficiencia en el aprendizaje de manera que se puedan
obtener herramientas y conocimientos para formulacioacuten de soluciones a problemas de la
sociedad mediante el anaacutelisis matemaacutetico (Barahona et al 2015)
Una vez que se presenta el programa y se estandarizan los conceptos durante el desarrollo
del taller el moderador entregara una secuencia de actividades (4 en total) con las que busca
obtener por parte de los participantes la construccioacuten de figuras exploracioacuten de la
herramienta y conclusiones de manera muy interactivas y promoviendo en todo momento la
participacioacuten
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2 Desarrollo del taller
En la primera actividad se propuso una construccioacuten simple de un cuadrado y aplicar una
homotecia cuyo factor escala sea mayor que uno (ver Figura 1) lo cual generoacute una serie de
inquietudes entre los participantes en torno a la visioacuten del estudiante una vez que crea la
homotecia Williams Uribe(Argentina) hizo una consulta sobre la relacioacuten del aacuterea de ambas
figuras y algunas pruebas que realizoacute ahiacute en el momento lo cual generoacute discusioacuten alrededor
de la manipulacioacuten de la herramienta para el movimiento de los diferentes veacutertices y a la vez
se produjeron varias inquietudes
iquestQueacute pasa con las aacutereas de las figuras una vez que se crea la homotecia
iquestCuaacutel es la relacioacuten del periacutemetro de cada una de las figuras
iquestCuaacutel es el tiempo adecuado para brindar en cada una de las construcciones para
mantener el intereacutes del tema
Figura 1
Construccioacuten simple de un cuadrado
Nota Fuente elaboracioacuten propia
Luego que se crearon los cuadrados y se realizoacute una mesa de discusioacuten alrededor del tema y
sus implicaciones Se inicioacute con la actividad dos misma que no busca entregar todos los
pasos de construccioacuten sino crear una figura recordando los procesos anteriores (ver Figura 2)
pero la homotecia aplicada seraacute con un factor escala que se encuentra entre cero y uno de
esta manera se comenzoacute a generar diferencias entre una y la otra Como dato importante a
rescatar fue que se analizoacute la forma de la redaccioacuten de la actividad ya que en esta segunda
se basoacute en los conocimientos previos de construccioacuten generando en el participante la
necesidad de recordar y explorar datos de la herramienta
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Figura 2
Figura con homotecia de escala entre cero y uno
Nota Fuente elaboracioacuten propia
Trabajamos la actividad nuacutemero tres esperando tener como resultado un proceso maacutes amplio
de observacioacuten y conclusioacuten Para esta actividad se propuso un factor escala negativo y es
donde el participante pudo concluir que la figura no solo se hace ldquomaacutes grande o maacutes pequentildeardquo
sino que tambieacuten puede girar y sigue coincidiendo en veacutertices y segmentos (ver Figura 3)
Aquiacute se hace una importante acotacioacuten sobre la importancia de mantener un lenguaje
adecuado con el estudiante yo participante porque si vamos a desarrollar el taller a nivel de
secundaria es probable que hablar de ldquoinversordquo no sea un teacutermino tan claro como decir ldquose
dio la vueltardquo o ldquose giroacuterdquo Con este detalle logramos ver que estamos concluyendo y
observando lo mismo y cumpliendo el objetivo
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Figura 3
Homotecia con factor de escala negativo
Nota Fuente elaboracioacuten propia
De esta tercera actividad surgioacute una propuesta por parte de una participante del taller sobre
no trabajar tres construcciones diferentes sino implementar el insertar una imagen y trabajar
con ella para observar las diferentes homotecias que resultan aprovechando cosas que guste
al participante y sirva de motivacioacuten extra (ver Figura 4)
Figura 4
Homotecia con imagen
Nota Fuente elaboracioacuten propia
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Otro aporte por rescatar fue si por ejemplo se construye un deslizador y se puede hacer la
manipulacioacuten del mismo con diferentes figuras de manera que se haga maacutes visual el
incremento disminucioacuten o giro de la figura de acuerdo al intervalo donde esteacute ubicado
Ademaacutes de consultar la cercaniacutea del punto origen (00) con respecto a las figuras creadas e
incluso manipular de manera que unimos ambas figuras y recordamos conceptos como el
caso de los aacutengulos opuestos por el veacutertice
Otro participante nos brinda el aporte de la conexioacuten que podemos realizar como proyecto
interdisciplinario con la clase de ciencias por ejemplo al tener una imagen y recibirla al
reveacutes
Otro aporte con el que contamos fue la participacioacuten de un participante de Ecuador quien
nos brindoacute la idea de hacer con las construcciones o las imaacutegenes insertadas generando
asociacioacuten con la fiacutesica por ejemplo el tema de la oacuteptica geomeacutetrica
Por uacuteltimo y a modo de cierre se realiza la actividad cuatro en la cual soliciteacute imaginar que
somos estudiantes de octavo antildeo ante una serie de ejercicios que deben resolverse despueacutes
de haber realizado el taller no todos van a necesitar apoyo de la herramienta inmediato(por
lo que puede ser un cierre en el aula a falta de tiempo) quedoacute claro que para la mayoriacutea fue
maacutes sencillo visualizar desde las diferentes construcciones pero una vez resueltos los
ejercicios logramos crear al final los diferentes conceptos sobre los tipos de homotecias
lenguaje matemaacutetico adecuado y varios conocimientos a tratar para el tema
3 Conclusiones
El programa GeoGebra entre sus ventajas contempla que ademaacutes de ser un programa
disentildeado bajo la modalidad de software libre y la asequibilidad que conlleva es una
herramienta de gran colaboracioacuten para el desarrollo y demostracioacuten de una clase de
geometriacutea permitiendo su implementacioacuten cuando se cuenta con los recursos materiales a
nivel institucional como un taller de construcciones como en el presente congreso Asiacute
mismo en casos donde los recursos sean maacutes limitados su uso se puede desarrollar como
una mesa de discusioacuten a partir del desarrollo empleado por el profesorado
Con la primera actividad se realizoacute una demostracioacuten del proceso de construccioacuten del
conocimiento y conceptualizacioacuten geomeacutetrica importante Asiacute mismo sirvioacute como antesala
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para hablar de temas como las relaciones entre aacutereas y periacutemetros de las diferentes figuras
una vez aplicadas los factores escala
El desarrollo de un taller y uso de recursos tecnoloacutegicos como el programa GeoGebra nos
facilita como educadores el poder representar de una manera maacutes visual y significativa el
conocimiento que deseamos trasmitir al estudiante ya que cuando este es quien construye y
se cuestiona la comprensioacuten del proceso profundiza en su aprendizaje
Finalmente las actividades en general nos recuerdan que es de suma importancia tener
presentes las diversas condiciones y realidades del estudiantado contemplando aspectos
como el acceso a medios tecnoloacutegicos lo cual es fundamental para poder mantener una
comunicacioacuten asertiva y asiacute lograr ser generadores de conocimiento a traveacutes de la
experiencia
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Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica
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Non Charismatic Species Implicaciones didaacutecticas y
formacioacuten del profesorado
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo
Universidad Surcolombiana Colombia
eliasamorteguiuscoeduco
Juan Felipe Herrera Polaniacutea
Universidad Surcolombiana Colombia
felipepolania19gmailcom
Resumen Colombia ha sido considerado como albergue de uno de los 35 Hotspots del planeta
y uno de los paiacuteses con mayor diversidad bioloacutegica Sin embargo la poblacioacuten en general ha
desarrollado actitudes y emociones negativas como miedo asco y aversioacuten hacia grupos de
organismos denominados Non Charismatic Species pues aunque poseen un rol ecoloacutegico
fundamental en los ecosistemas son poco apreciados por los nintildeos nintildeas y joacutevenes ejemplo de
ellos las serpientes los murcieacutelagos y varios grupos de artroacutepodos Este trabajo aborda diferentes
experiencias investigativas y didaacutecticas llevadas a cabo en el Grupo de Investigacioacuten ENCINA-
Ensentildeanza de las Ciencias Naturales adscrito al Programa de Licenciatura en Ciencias Naturales
y Educacioacuten Ambiental de la Universidad Surcolombiana (Huila- Colombia) Conceptualizamos
el problema de la biodiversidad sus implicaciones educativas y proyectamos asuntos sobre su
ensentildeanza en escuelas rurales de nuestro paiacutes
Palabras clave Animales no carismaacuteticos implicaciones didaacutecticas formacioacuten del profesorado
experiencias educativas
1 Comprendiendo el problema de la biodiversidad
Hoy en diacutea existen diferentes amenazas latentes en contra de la biodiversidad mundial
principalmente por diferentes actividades antropogeacutenicas que contribuyen en gran medida a
acabar con los componentes ecoloacutegicos de los diferentes ecosistemas A raiacutez de esas
amenazas en las uacuteltimas deacutecadas se ha originado acciones de diferentes sectores de vital
importancia para contrarrestar las tasas de peacuterdida de biodiversidad (Pimm et al 1995) Sin
embargo existe una de la problemaacuteticas maacutes comunes y recurrentes en temas de
biodiversidad y es relacionado con el desconocimiento bioloacutegico sobre lo que existe en los
diferentes entornos naturales que resulta siendo un obstaacuteculo para emprender diferentes
estrategias de conservacioacuten de la biodiversidad En Colombia La falta de apoyo en
investigacioacuten y desarrollo poliacuteticas internas deficientes el conflicto armado entre otros
(Franco et al 2006 Fernaacutendez 2011) han sido los principales aspectos que han
imposibilitado agrandar el conocimiento de un paiacutes que es catalogado con megabiodiverso
A pesar de esos grandes obstaacuteculos seguacuten el Sistema de Informacioacuten sobre Biodiversidad de
Colombia (SiB Colombia) a la fecha existen aproximadamente 62829 especies a lo largo de
todo el territorio nacional posicionando el paiacutes como el primero en aves y orquiacutedeas segundo
en plantas anfibios mariposas y peces dulceacuiacutecolas tercero en palmas y reptiles y por
uacuteltimo el cuarto con mayor nuacutemero de especies de mamiacuteferos Toda esa biodiversidad que
posee Colombia que en su gran mayoriacutea viene determinado por aspectos en la formacioacuten de
los diferentes relieves a lo largo y ancho de paiacutes Ademaacutes en la regioacuten del Chocoacute
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biogeograacutefico se encuentra uno de los 35 Hotspots de Biodiversidad del planeta las cuales
son aacutereas con iacutendices altos de diversidad bioloacutegica y endemismos pero que han tenido un
porcentaje alto de reduccioacuten de su vegetacioacuten primaria (Myers 2003 Sloan et al 2014)
Teniendo en cuenta todo este panorama nacional acerca de la Biodiversidad a pesar de todas
las dificultades que resultan a la hora de conocer nuevas especies en los diferentes
ecosistemas colombianos existe un alto iacutendice de nuevas de especies descritas (Arbelaeacutez
2013) que incluso en los uacuteltimos antildeos pudo estar favorecida por la firma de los acuerdos de
paz con la antigua guerrilla de las FARC-EP que posibilitaron nuevas expediciones es
importante que antes de hablar de estrategias que contribuyan a la conservacioacuten de la
Biodiversidad en primera instancia debemos conocer lo conocido en teacuterminos de diversidad
Bioloacutegica Es por ello esto requiere y demanda un arduo trabajo de documentacioacuten en
diferentes aacutereas como zoologiacutea botaacutenica ecologiacutea entre otros para posteriormente
emprender y originar estrategias de ensentildeanza y aprendizaje mediante la planificacioacuten y el
disentildeo de diferentes temaacuteticas se puedan llevar a cabo en las escuelas como factor
fundamental en la formacioacuten de las Ciencias para la conservacioacuten de los entornos naturales
2 Importancia de la formacioacuten docente para la conservacioacuten de la Biodiversidad
Existen diferentes aspectos que hacen que la profesioacuten docente se subestime a nivel
epistemoloacutegico y social ya que es usual considerar que para ensentildear Ciencias Naturales
solo basta con el afianzamiento del conocimiento disciplinar y que se transmita de manera
directa sin tener en cuenta otros elementos importantes Es por ello que como educadores y
profesionales en la educacioacuten disponen de un conocimiento caracteriacutestico en los cuales estaacuten
vinculados otros aspectos como el pedagoacutegico didaacutectico curriculares entre otros
contribuyendo asiacute a la construccioacuten de un Conocimiento Bioloacutegico Escolar (Valbuena 2007
Mellado 2011) Este conocimiento de profesorado tiene origen en diferentes fuentes
heterogeacuteneas que incluyen diferentes saberes a partir experiencias teoriacuteas impliacutecitas
guiones costumbres entre otros (Porlaacuten y Rivero 1998 Tardif y Lessar 2014)
De acuerdo a lo postulado por Valbuena (2007) establece que para el caso de los docentes
de Biologiacutea dos componentes que hacen parte de su conocimiento profesional el
Conocimiento Bioloacutegico (CB) y el Conocimiento Didaacutectico del Contenido Bioloacutegico
(CDCB) Con base a esto se pueden reconocer los siguientes conocimientos como el
Conocimiento Disciplinar el Conocimiento Pedagoacutegico el Conocimiento Didaacutectico del
Contenido Bioloacutegico y el Conocimiento del Contexto De igual forma seguacuten Fonseca (2018)
encontramos postulados muy similares a lo dicho por Valbuena (2007) puesto que aquiacute ya
relacionado directamente con el Conocimiento Profesional del Profesor de Biologiacutea asociado
a la ensentildeanza de la Biodiversidad menciona la integracioacuten de cinco conocimientos de
docentes en su etapa inicial de ejercicio docente entre ellos tenemos El conocimiento
bioloacutegico el Conocimiento Didaacutectico el Conocimiento de su propia historia de vida el
Conocimiento de su experiencia como interprete ambiental y el Conocimiento del contexto
Es asiacute como las experiencias docentes constituyen un referente clave en el desarrollo
profesional del profesor de Biologiacutea ya que esto permite orientar la manera en coacutemo se
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interpreta y se desarrolla el curriacuteculo (Barnett y Hodson 2001) Sin embargo una de las
mayores dificultades que poseen los docentes en su etapa inicial en ejercicio profesional es
la escasa preparacioacuten sobre coacutemo abordar la ensentildeanza de la Biologiacutea en escenarios naturales
(Del Toro y Morcillo 2011) que permitan promover e incentivar en el estudiantado actitudes
que contribuyan a los procesos de conservacioacuten de la Biodiversidad Esto en su gran mayoriacutea
viene determinado por el aporte insuficiente de los diferentes cursos en la formacioacuten del
profesorado para la construccioacuten del Conocimiento de Contenido Bioloacutegico Didaacutectico
Pedagoacutegico y del contexto que permitan la ensentildeanza fuera del aula mediante diferentes
estrategias de ensentildeanza como las Praacutecticas de Campo (Behrendt y Franklin 2014) Por tal
razoacuten el abordaje de las salidas de campo se limita al desarrollo de lecturas socializaciones
debates entre otros y no a su disentildeo aplicacioacuten y evaluacioacuten (Ateskan y Lane 2016)
reduciendo el potencial de esta estrategia tan importante que puede influir en las distintas
finalidades de aprendizaje en el campo de la Biodiversidad
3 Panorama de los animales no carismaacuteticos para su conservacioacuten
En un paiacutes como Colombia catalogado como uno de lo maacutes megadiversos del mundo resulta
de vital importancia que se originen diferentes programas estrategias y poliacuteticas para la
proteccioacuten de los ecosistemas Estos escenarios naturales que se extienden a lo largo y ancho
del todo el territorio nacional gracias a los diferentes pisos teacutermicos cuentan con una amplia
gama de especies de flora y fauna con un importante valor ecoloacutegico en los biomas del paiacutes
Sin embargo hoy en diacutea existe una gran cantidad de especies que estaacuten amenazadas por
factores como la destruccioacuten masiva de sus haacutebitats traacutefico ilegal entre otros A raiacutez de lo
anterior a lo largo de los uacuteltimos antildeos se han formalizado y estructurado diferentes poliacuteticas
ambientales para la proteccioacuten de los diferentes ecosistemas y sus componentes que permitan
garantizar la conservacioacuten de la Biodiversidad existente en Colombia
Desde el gobierno nacional se estaacuten llevando a cabo diferentes planes de accioacuten para la
conservacioacuten de especies y ecosistemas como herramientas indispensables en la
conservacioacuten de la Biodiversidad (Ministerio de Ambiente y Desarrollo Sostenible
MinAmbiente 2020) No obstante resulta interesante evidenciar que la mayoriacutea de
programas de conservacioacuten planes de manejo y estrategias estaacuten focalizadas en su gran
mayoriacutea a especies de aves y mamiacuteferos que en su gran mayoriacutea son los grupos de animales
maacutes llamativos y atrayentes En menor medida se encuentran acciones focalizadas a grupos
de reptiles y anfibios y no existe ninguacuten programa de conservacioacuten o poliacutetica ambiental que
promueva la conservacioacuten de grupos de invertebrados A partir de lo anterior se puede
relacionar en consecuencia una de las principales razones por las cuales no se evidencia
trabajos investigativos relacionados con animales que son catalogados como no carismaacuteticos
Puesto que existe una amplia brecha de desconocimiento acerca sobre la Biologiacutea y Ecologiacutea
de grupos de animales principalmente invertebrados reptiles y anfibios en sus diferentes
haacutebitats (Losey y Vaughan 2006 New 2011 Prokop et al 2016)
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El escaso conocimiento bioloacutegico y a su vez las aversiones repulsioacuten miedo asco y disgusto
que generan animales como serpientes murcieacutelagos arantildeas escorpiones sapos ranas
lagartos entre otros denominados como animales no carismaacuteticos por su apariencia fiacutesica
resultan ser una amenaza directa en contra de su conservacioacuten Ademaacutes se puede inferir con
base a ese tipo de aspectos la inclinacioacuten de llevar a cabo programas o estrategias para la
conservacioacuten de especies esteacuteticamente maacutes llamativos y asiacute mismo la razoacuten de la falta de
acciones esenciales para incentivar a la poblacioacuten en general encaminadas al cuidado
proteccioacuten y manejo de especies poco carismaacuteticos que resultan ser de gran importancia
bioloacutegica en los diferentes ecosistemas donde se encuentran (Snaddon et al 2008)
Existen en diferentes fuentes investigaciones que confirman lo mencionado anteriormente
por ejemplo estudios como los de Prokop y Fančovičovaacute (2013) mencionan que estas
tendencias de pensamientos y actitudes hacia este grupo de organismos vienen determinados
por los aspectos morfoloacutegicos Es decir en cuanto a la coloracioacuten de ciertos animales
predominan la afinidad hacia organismos con colores aposemaacuteticos en contraste los colores
criacutepticos que a su vez resulta de gran importancia referente a la popularizacioacuten para
promover la preservacioacuten de especies con dichas caracteriacutesticas Por otra parte otra de las
razones por las cuales se tiende a tener este tipo de percepciones de especies catalogadas no
carismaacuteticas vienen siendo alimentadas por los medios audiovisuales presentando peliacuteculas
series noticias entre otros que contribuyen a establecer esos conceptos alternos y actitudes
que no promueven a su conservacioacuten y ampliacutean los vaciacuteos relacionados al conocimiento
bioloacutegico e importancia ecoloacutegicos de estos organismos Sin embargo este tipo de actitudes
puede ser variable dependiendo de la cultura edad sexo nivel socioeconoacutemico experiencia
eacutetica escolar incluso la inclinacioacuten religiosa que pueden repercutir en aspectos relacionados
con la importancia de que originen procesos de reconstruccioacuten del conocimiento bioloacutegico a
partir procesos didaacutecticos escolares (Barraza 2015 Baynes-Rock 2017)
Por otra parte tomando como referencia los diferentes procesos educativos a nivel de
preescolar baacutesica primaria y secundaria cuando el estudiantado presenta actitudes negativas
debido al desconocimiento o ideas previas acerca del conocimiento bioloacutegico en este caso
relacionados con animales poco agradables para ellos Se origina un choque de concepciones
referente a aspectos de la naturaleza cientiacutefica a causa de la incorrecta interpretacioacuten de
distintos elementos del propio conocimiento cientiacutefico De modo que se destaca la
importancia de procesos de alfabetizacioacuten cientiacutefica en la progresioacuten de concepciones que
esteacuten encaminadas a la realidad bioloacutegica de los diferentes organismos (Prokop et al 2009
Almeida et al 2017)
Para lograr los objetivos de la alfabetizacioacuten cientiacutefica y generar actitudes en pro de la
conservacioacuten de estos animales tan estigmatizados por la sociedad se deben disentildear y aplicar
diferentes estrategias como las salidas de campo que tiene un gran potencial para lograr
diferentes finalidades de aprendizaje a nivel conceptual procedimental y actitudinal Este
tipo de estrategias es una garantiacutea para incentivar habilidades que puedan lograr la
construccioacuten de un Conocimiento Cientiacutefico Escolar y lograr en los y las estudiantes posturas
criacuteticas con bases argumentativas soacutelidas que puedan permitir un cambio de perspectiva
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relacionado con problemaacuteticas del contexto socio-ambiental siendo un recurso vital en el
quehacer docente (Del Carmen 2011 Garciacutea-Ferrandis et al 2020)
4 Promoviendo la conservacioacuten de los animales no carismaacuteticos
Entre las actividades que realiza el profesorado de Biologiacutea a nivel formativo es importante
destacar el uso de las Salidas de Campo como estrategia didaacutectica en los procesos de
ensentildeanza y aprendizaje con el alumnado Este tipo de recurso educativo posee un irrefutable
valor que pueden repercutir a nivel emocional afectivo cognitivo y ambiental Esto resulta
ser vital en el reconocimiento de la Biodiversidad origen de actitudes pro conservacionistas
obtencioacuten y afianzamiento de habilidades y destrezas en el trabajo cientiacutefico e inmersioacuten en
entornos naturales fuera del aula (Wass 1990 Del Carmen y Pedrinaci 1997 Gavidia y
Cristerna 2000 Rennie 2014) El profesorado en Biologiacutea en su proceso de formacioacuten
generalmente ha participado como novato en las salidas de campo sin tener la experiencia
necesaria para su disentildeo planeacioacuten y ejecucioacuten fuera del aula (Tal y Morag 2009
Amoacutertegui y Correa 2012)
A raiacutez de este tipo de situaciones los docentes con menor experiencia en este tipo de
estrategias didaacutectico-pedagoacutegicas llevan a cabo las actividades de forma inadecuada con un
nivel de conocimiento limitado desempentildeando roles dominantes con sus estudiantes
desperdiciando el gran potencial de las salidas de campo en la formacioacuten del profesorado y
en la ensentildeanza de la Biologiacutea Es asiacute que se evidencia la escasez de trabajos o estudios
especializados en aras de orientar a los docentes en este tipo de estrategias de ensentildeanza
(Ballantyne et al 2010) Sin embargo existe estudios relacionados sobre el conocimiento de
las Praacutecticas de Campo en la formacioacuten docente de Biologiacutea que demuestran hallazgos
relacionados con reflexiones experiencias investigaciones sobre de E-A concepciones
sobre Salidas de Campo entre otros (Amoacutertegui et al 2017) No obstante demuestran que
es importante que se reconozca la diferencia de esta estrategia didaacutectica con otras referente
a su relacioacuten con la epistemologiacutea de la Biologiacutea como disciplina cientiacutefica su disentildeo y
aplicacioacuten y su valor en la construccioacuten del conocimiento del profesorado de Biologiacutea
El trabajo fuera del aula en escenarios naturales promueve en el alumnado el abordaje de
problemaacuteticas ambientales como la potencial destruccioacuten de los ecosistemas la
contaminacioacuten traacutefico ilegal la disminucioacuten de los recursos naturales entre otras Ademaacutes
este tipo de mecanismos permiten acercar al alumnado a la manera en la que se construye el
conocimiento cientiacutefico originando una aproximacioacuten maacutes llamativa accesible interesante
y significativa sobre la naturaleza de la ciencia asiacute mismo se lograr viabilizar la
participacioacuten activa de manera criacutetica y reflexiva sobre las problemaacuteticas del contexto socio-
ambiental (Banet 2010)
Diferentes estudios realizados con anfibios cochinillas caracoles entre otros animales que
se denominados como impopulares han demostrado una progresiva reduccioacuten de las
aversiones ante el desconocimiento inicial sobre estos organismos o la interaccioacuten con ellos
(Prokop y Fančovičovaacute 2017 Prokop y Fančovičovaacute 2018) Esto demuestra que las salidas
de campo como recurso para incentivar actitudes pro conservacionistas hacia animales no
carismaacuteticos permiten el mejoramiento de procesos de ensentildeanza y aprendizaje
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favoreciendo la construccioacuten de un Conocimiento Bioloacutegico Escolar y la progresioacuten de
actitudes significativas en entornos naturales donde tiene mayor incidencia (Costillo et al
2014)
Desde el Semillero de Investigacioacuten Ensentildeanza de las Ciencias Naturales (ENCINA) de la
Universidad Surcolombiana ubicada en el departamento del Huila (Colombia) en los
uacuteltimos antildeos se han venido desarrollando diferentes trabajos investigativos y propuestas
didaacutecticas que han tenido una gran repercusioacuten para la conservacioacuten y la proteccioacuten de grupos
de animales que son catalogados como impopulares o poco agradables como Murcieacutelagos
(Rivera 2016) Arantildeas (Guevara et al 2018) Esquizoacutemidos (Perdomoet al 2018) Ofidios
(Goacutemez y Herrera 2019) y Artroacutepodos (Rubiano et al 2019 Berjan et al 2020) Esto
permite inferir que este tipo de propuestas se abordan en gran medida por la importancia
ecoloacutegica de estos organismos en los diferentes Ecosistemas de la regioacuten surcolombiana y la
amplia estigmatizacioacuten de la poblacioacuten acerca de este tipo de organismos que han permitido
realizar grandes avances en el campo de la Ensentildeanza de la Biologiacutea contribuyendo asiacute a la
construccioacuten del Conocimiento Cientiacutefico Escolar en diferentes instituciones educativas
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Polinomios generadores de nuacutemeros primos
Ronald Cordero Meacutendez
Universidad San Isidro Labrador Costa Rica
Ronaldcomegmailcom
Resumen Se presenta el Teorema de la Multiplicacioacuten (Factorizacioacuten) de Cordero en Z si 119899 =
(11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 con 119909 119904 119896 ∊ ℤ y 119901 isin
35111741 entonces 1198992 + 119899 + 119901 119904e puede expresar como la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros de
la forma 119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 y 119875(119904 119909 119896) = minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 +
1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901 Algunos ejemplos de aplicacioacuten del Teorema Utilidad de 119899 =
(11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 119909 119904 119896 ∊ ℤ y 119901 ∊
35111741 en la construcciograven de La Criba de los ldquo119899 Cordero Material de investigacioacuten uacutetil
en la construccioacuten de programas informaacuteticos necesarios en la criptografiacutea
Palabras clave Polinomios nuacutemeros primos criba nuacutemeros afortunados de Euler
1 Polinomios generadores de nuacutemeros primos y compuestos (Generador de nuacutemeros
primos)
Los nuacutemeros primos han sido tema de muchas investigaciones muchas repetitivas que
contribuyen poco al tema lo que verifica la frase del gran matemaacutetico Leonhard Euler que
diceldquoLos matemaacuteticos han intentado en vano hasta la actualidad descubrir alguacuten orden en
la secuencia de nuacutemeros primos y tenemos razones para creer que se trata de un misterio que
la mente humana nunca resolveraacuterdquo (Leonard Euler 1707-1783 mencionado por Camacho y
Camacho 2020 p85) Hasta el momento en el antildeo 2020 este misterio no ha sido resuelto
por lo que creo que Euler puede estar en lo cierto Leonhard Euler nacioacute el 15 de abril de
1707 en Basilea Suiza y murioacute el 18 de septiembre de 1782 en San Petersburgo Rusia
(Aznar 2007) Extraordinario matemaacutetico del siglo XVIII
Otra frase que lo afirma dice
El encanto de los nuacutemeros primos consistiacutea quizaacutes en la imposibilidad de explicar en
queacute orden aparecen Cada uno se dispersa a su antojo cumpliendo la condicioacuten de no
tener maacutes divisores que el uno y eacutel mismo Aunque no cabe duda de que cuanto maacutes
grandes son maacutes difiacutecil resulta encontrarlos y es imposible predecir su aparicioacuten
siguiendo ninguna reglahelliprdquoLa foacutermula preferida del profesor (Ogawa 2003
mencionadado por Frases y Pensamientos sf paacuterr 4)
Nuestra pregunta ahora es coacutemo encontrar nuacutemeros primos si no es posible encontrar una
foacutermula polinomial o de otro tipo que nos genere todos y cada uno de los nuacutemeros primos o
por lo menos una foacutermula que genere solamente nuacutemeros primos aunque no sean
consecutivos
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En alguacuten momento dado aparecen los nuacutemeros compuestos que se mezclan con los nuacutemeros
primos por lo que me lleva a suponer que el cribado es una buena opcioacuten para encontrar
nuacutemeros primos grandes
Con ayuda de los polinomios 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 donde 119901 = 2 3 5 1117 41 que resulta
ser polinomios que generan nuacutemeros primos cuando 119899 toma valores desde 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 119901 minus
2 y luego generan nuacutemeros compuestos y primos mezclados por lo que el problema de
encontrar una foacutermula que genere solamente nuacutemeros primos no lo resuelve este tipo de
polinomios Pero encontrar un foacutermula que genere los nuacutemeros compuestos que son
generados por estos polinomios es el tema de la investigacioacuten ademaacutes de buscar un
procedimiento que ayude a cribar los nuacutemeros primos
2 Polinomios de la forma 119927(119951) = 119951120784 + 119951 + 119953 donde 119953 = 120784 120785 120787 120783120783 120783120789 120786120783
Los polinomios 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 generan nuacutemeros primos por ejemplo se generan los
nuacutemeros primos 41 43 47 53 61 71 83 97 113 181 151 173 197 223
251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 707 853 911 971 1033
1097 1163 1231 1301 1373 1447 15231601
cuando 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 y desde 119899 = 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 41 minus 2 = 39 en total 40 nuacutemeros
primos pero a partir de 119899 = 40 se generan nuacutemeros compuestos y nuacutemeros primos A este
poliomio se le llama polinomio de Euler
Otra forma de escribir el polinomio de Euler es 119875(119899) = 1198992 minus 119899 + 41 pero eacuteste genera los
nuacutemeros primos anteriores cuando 119899 toma valores desde 1 hasta 40
Otro polinomio de esta forma que genera nuacutemeros primos es 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 17 desde 119899 =
0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 17 minus 2 = 15 119890119897 cual fue descubierto por el matemaacutetico Adrien Marie
Legendre
Legendre nacioacute en Pariacutes en el antildeo 1752 en una familia rica Recibioacute educacioacuten en el
Collage Mazarin en Pariacutes y defendioacute su tesis en fiacutesica y matemaacutetica en 1770 Murioacute
en Pariacutes en el antildeo 1833 despueacutes de una larga y penosa enfermedad Su viuda conservoacute
cuidadosamente las pertenencias del matemaacutetico para preservar su memoria El uacuteltimo
lugar donde vivioacute fue en el pueblo de Auteuil en Pariacutes Francia (Fernaacutendez y Tamaro
2004 paacuterr1)
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3 Los nuacutemeros afortunados de Euler
Primero dejemos claro que Goldbach y Legendre demostraron que no es posible encontrar
un polinomo que deacute nuacutemeros primos para todo nuacutemero natural el primero lo demoacutestro para
coeficientes enteros y el segundo para funciones algebraicas racionales
El matemaacutetico Rabinowitz demostroacute que 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 da nuacutemeros primos para 119899 =
0 hellip 119901 minus 2 si y solo si 1 minus 4119901 es el negativo de un nuacutemero de Heegner que son los uacutenicos
nuacutemeros positivos 119896 que cumplen no ser cuadrados perfectos y que en el anillo de enteros
del cuerpo ℚ(radicminus119896) es de factorizacioacuten uacutenica
Los nuacutemeros de Heegner son 1237111943 67163
Ademaacutes los nuacutemeros afortunados de Euler son los enteros positivos 119901 para los que 1 minus 4119901 =
minus119896 siendo 119896 un nuacutemero de Heegner y mediante comprobacioacuten obtenemos que los uacutenicos
posibles son 2 3 5 11 17 41 y el nuacutemero de Heegner asociado al 41 es el 163
4 Aplicaciones del teorema
41 El teorema de la multiplicacioacuten de Cordero en ℤ
Si 119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 119909 119904 119896 ∊
ℤ 119910 119901 ∊ 35111741 entonces 1198992 + 119899 + 119901 se puede expresar como la multiplicacioacuten
de dos nuacutemeros de la forma 119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + y 119875(119904 119909 119896) =
minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
Las foacutermulas anteriores nos permiten encontrar valores de ldquonrdquo que al sustituir en los
polinomios de la forma 119901(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 donde 119901 ∊ 35111741 obtenemos siempre
un nuacutemero compuesto asiacute como encontrar una factorizacioacuten en dos factores de la expresioacuten
1198992 + 119899 + 119901 ( La factorizacioacuten no necesariamente es completa)
Aplicacioacuten 1
Sea 119904 = 12 119909 = 15 119896 = 8 y 119901 = 41
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = (122(15)2 minus 12(12 + 2)(15) + 41 lowast 122 + 12 + 1)(8 minus 1) + 12(15)2 minus
(12 + 1)(15) + 41 lowast 12 = 253576
Ahora
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1215) = (122(15)2 minus 12(12 + 2)(15) + 41 lowast 122 + 12 + 1)
rArr 119875(1215) = 35797
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107
Por otro lado
119875(119904 119909 119896) = minus119901(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
rArr 119875(8 minus53) = minus35797 lowast 49 + (2 lowast 253576 + 1) lowast 7 + (15)2 minus 15 + 41 = 1796269
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(253531) = 2535762 + 253576 + 41 = 35797 lowast 1796269
Donde 35797 y 1796269 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 2
Sea 119904 = 1 119909 = 277232917 minus 1 119896 = 2 119910 119901 = 41 Entonces
rArr 119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = ((277232917 minus 1)2 minus (1 + 2)(277232917 minus 1) + 41 + 1 + 1)(2 minus 1) +
(277232917 minus 1)2 minus (1 + 1)(277232917 minus 1) + 41
rArr 119899 = (2154465834 minus 2 lowast 277232917 minus 3 lowast 277232917 + 47) + 2154465834 minus 2 lowast 277232917 +
1 minus 2 lowast 277232917 + 2 + 41
rArr 119899 = 2 lowast 2154465834 minus 9 lowast 277232917 + 91
Ahora
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1 277232917 minus 1) = 2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47
rArr 119875(119904 119909 119896) = minus119901(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
Por otro lado
119875(1 277232917 minus 1 2) = minus2154465834 + 5 lowast 277232917 minus 47 + 4 lowast 2154465834 minus 18 lowast
277232917 + 183 + 2154465834 minus 2 lowast 277232917 + 1 minus 277232917 + 1 + 41
rArr 119875(1 277232917 minus 1 2) = 4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) = (2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91)2 +
(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) + 41
= (2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47) lowast (4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179)
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108
Se necesitariacutea un ordenador para probar que
2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47 y 4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179 son nuacutemeros
primos o compuestos cuyos factores son nuacutemeros primos muy grandes
Aplicacioacuten 3
Sea 119904 = 1500 119909 = 800 119896 = 300 y 119901 = 5
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = ((1500)2(800)2 minus 1500(1500 + 2)(800) + 5 lowast (1500)2 + 1500 + 1)(300 minus
1) + 1500(800)2 minus (1500 + 1)(800) + 11 lowast 1500 = 430025405405499
Por otro lado
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1500 800) = 1438208851501
Ahora
119875(119904 119909 119896) = minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
119875(1500800300) = minus1438208851501 lowast 2992 + (2 lowast 430025405405499 + 1) lowast
299 + (800)2 minus 800 + 5 = 128577882900087005
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(430025405405499) = (430025405405499)2 + 430025405405499 + 5 =
1438208851501 lowast 128577882900087005
Donde 1438208851501 es primo y 128577882900087005 es compuesto
Aplicacioacuten 4
119904 = minus453877 119909 = minus8491 119910 119901 = 11 tenemos que
119875(minus453877 minus8491) = (minus453877)^2 lowast (minus8491)^2 minus 453877 lowast 453875 lowast 8491 +
11 lowast (minus453877)^2 minus 453877 + 1 = 14850564038738095205 = 5 lowast 89 lowast
33372054019636169 de donde 5 89 y 33372054019636169 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 5
119904 = 34567893426789 119909 = 0 y 119901 = 41 tenemos que
119875(345678934267890) = (34567893426789)^2 lowast (0)^2 minus 34567893426789 lowast
34567893426791 lowast 0 + 41 lowast (34567893426789)^2 + 34567893426789 + 1
= 48992509494599562853310298151
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109
= 44059 lowast 104486463803 lowast 10642288263263 donde 44059104486463803 y
10642288263263 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 6
119904 = 2349 119909 = minus345 119910 119901 = 41 tenemos que
119875(2349 minus345) = 23492 lowast (minus345)2 minus 2349 lowast 2351 lowast (minus345) + 41 lowast 23492 + 2349 + 1
= 658887758371 = 41 lowast 16070433131 donde 41 y 16070433131 son nuacutemeros
primos
Aplicacioacuten 7
119904 = 453891 119909 = 849 119910 119901 = 41 tenemos que
119875(453891 849) = 4538912 ∙ (849)2 minus 453891 ∙ 453893 ∙ 849 + 41 ∙ 4538912 +
453891 + 1 = 148330825824787807 = 1699 lowast 8730478271029 donde
1699 y 8730478271029 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 8
Sea 119904 = 2349 119909 = minus345 y 119901 = 41 tenemos que
119875(2349 minus345) = 41 lowast 16070433131
Sea 119896 = 8 entonces
119899 = (41 lowast 16070433131)(8 minus 1) + 2349(minus345)2 minus (2350) lowast (minus345) + 41 lowast 2349
rArr 119899 = 4612494805381
Luego
119875(119904 119909 119896) = minus41 lowast 16070433131 lowast (8 minus 1)2 + (2 lowast 4612494805381 + 1)(8 minus 1) +
(minus345)2 minus (minus345) + 41 = 32289427234573 = 15901 lowast 2030653873 donde 15901 y
2030653873 son primos
Observemos que
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 41 lowast 16070433131 lowast 15901 lowast 2030653873
con 119899 = 4612494805381
Aplicacioacuten 9
Sea 119904 = 10 119896 = 4 y 119909 = minus5 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11) lowast 3 + 10 lowast 25 + 11 lowast 5 + 410 = 22348
119875(119899) = 223482 + 22348 + 41 = 499455493
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110
119875(119904 119909) = 100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11 = 7211
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119901(119899)
119901(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904119909)=
499455493
7211= 69263 o 119875(119904 119909 119896) = minus7211 lowast 9 + (2 lowast 22348 + 1) lowast 3 + 25 + 5 +
41 = 69263
Ademaacutes
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 223482 + 22348 + 41 = 499455493 = 7211 bull 69263
Aplicacioacuten 10
Sea 119904 = 30 119896 = 7 119910 119909 = 8 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 11 119875(119904 119909) y 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (900 lowast 64 minus 960 lowast 8 + 11 lowast 900 + 31) lowast 6 + 30 lowast 64 minus 31 lowast 8 + 11 lowast 30 = 361108
119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783
119875(119904 119909) = 900 lowast 64 minus 960 lowast 8 + 11 lowast 900 + 31 = 59851
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119901(119899)
119901(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904 119909)=
130399348783
59851= 2178733
119875(119904 119909 119896) = minus59851 lowast 36 + (2 lowast 361108 + 1) lowast 6 + 64 minus 8 + 11 = 2178733
Asiacute
119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783 = 59851 bull 2178733
Aplicacioacuten 11
Sea 119904 = 15 119896 = 100 119910 119909 = minus2 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41
119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (225 lowast 4 + 255 lowast 2 + 41 lowast 225 + 16) lowast 99 + 15 lowast 4 + 16 lowast 2 + 615 = 1055156
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111
119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533
Entonces
119875(119904 119909) = 225 lowast 4 + 255 lowast 2 + 41 lowast 225 + 16 = 10651
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119875(119899)
119875(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904 119909)=
1113355239533
10651= 104530583
O tambieacuten
119875(119904 119909 119896) = 4 + 2 + 41 minus 10651 lowast 992 + (2 lowast 1055156 + 1) lowast 99 = 104530583
Luego
119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533 = 10651 bull 104530583
5 La Criba de los 119951 Cordero
Tenemos que
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
donde 119909 119904 119896 ∊ 120551 con 119901 ∊ 35111741 minus119886 le 119909 le 119886 + 2 119886 ∊ ℕlowast 119909 ∊ ℤ
Si 119904 = 1 119910 119896 = 1 obtenemos 119899 = 1199092 minus 2119909 + 119901 donde 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 es la
paraacutebola que estaacute por ldquofuerardquo de las demaacutes paraacutebolas (Figura 1)
Figura 1
Paraacutebola
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112
Si evaluamos 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 en los extremos del intervalo obtenemos
119891(minus119886) = (minus119886)2 minus 2 bull (minus119886) + 119901 = 1198862 + 2119886 + 119901
119891(119886 + 2) = (119886 + 2)2 minus 2(119886 + 2) + 119901 = 1198862 + 4119886 + 4 minus 2119886 minus 4 + 119901 = 1198862 + 2119886 + 119901
O sea da el mismo valor
El veacutertice de la paraacutebola que estaacute ldquopor fuerardquo 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 es (1 119901 minus 1)
Si estudiamos el codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [ para la funcioacuten paraboacutelica 119891(119909) = 1199092 minus
2119909 + 119901
Definimos el conjunto de funciones
119891(119909) = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 ) lowast (119896 minus 1) + 119904 lowast 1199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901
119901 119904 119896 ∊ ℕ
119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1
y codomino 0 le 119899 lt 1198862 + 2119886 + 119901
Resolver la inecuacioacuten
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 ) lowast (119896 minus 1) + 119904 lowast 1199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 le 1198862 +
2119886 + 119901
Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901
119901 119904 119896 ∊ ℕ
119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1
y codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [
O tambieacuten
[21199051198862+(4119905minus2)119886+2119905119901minus1
2119905 1198862 + 2119886 + 119901 [ 119905 ∊ ℕ
Luego se eliminan todos los valores de 119899 obtenidos en las inecuaciones y que estaacuten en el
intervalo [0 1198862 + 2119886 + 119901 [ Los valores de 119899 que quedan en el intervalo se evaluacutean en
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 obtenieacutendose solamente nuacutemeros primos
51 Aplicaciones
Utilicemos la Criba para un 119886 = 20 119901 = 41 119905119890119899119890119898119900119904 119902119906119890 1198862 + 2119886 + 41 = 481 con 119904 =
1 119896 = 1 119910 119901 = 41
119899 = 1199092 minus 2119909 + 41 le 481
minus20 le 119909 le 22
Obtenemos
119899
= 4041444956657689104121140161184209236265296329364401440 481
Nota Se toma solo una vez los valores de 119899 que se repiten
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113
Ahora damos valores a 119904 = 2 119896 = 1 119899 = 21199092 minus 3119909 + 82 lt 481
minus13 le 119909 le 14
Obtenemos
119899
= 81 82 84 87 9196 102 109 117 126 136 147159 172 186201 217 234 252 271
291312 334357 381 406 432 459
Continuamos con 119904 = 3 119896 = 1 119899 = 31199092 minus 4119909 + 123 lt 481
minus10 le 119909 le 11
Obtenemos 119899 = 122123127130 138143155162178187 207218 242
255 283 298 330 347 383 402 442 463
Continuamos con 119904 = 4 119896 = 1 119899 = 41199092 minus 5119909 + 164 lt 481
minus8 le 119909 le 9
119899
= 163164 170173 185 190 208 215 239 248 278 289 325 338 380 395 443 460
Continuamos con 119904 = 5 119896 = 1 119899 = 51199092 minus 6119909 + 205 lt 481
minus6 le 119909 le 8
119899 = 204 205 213 216 232 237 261 268 300 309 349 360 408 421 477
Continuamos con 119904 = 6 119896 = 1 119899 = 61199092 minus 7119909 + 246 lt 481
minus5 le 119909 le 6
119899 = 245 246256259 279284314 321 361370 420 431
Continuamos con 119904 = 7 119896 = 1 119899 = 71199092 minus 8119909 + 287 lt 481
119899 = 286 287 299 302 326 331 367 374 422 431
minus4 le 119909 le 5
Continuamos con 119904 = 8 119896 = 1 119899 = 81199092 minus 9119909 + 328 lt 481
minus3 le 119909 le 4
119899 = 327 328 342 345 373 378 420 427
Continuamos con 119904 = 9 119896 = 1 119899 = 91199092 minus 10119909 + 369 lt 481
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minus3 le 119909 le 4
119899 = 368 369 385 388 420 425 473 480
Continuamos con 119904 = 10 119896 = 1 119899 = 101199092 minus 11119909 + 410 lt 481
minus2 le 119909 le 3
119899 = 409410 428 431 467 472
Continuamos con 119904 = 11 119896 = 1 119899 = 111199092 minus 12119909 + 451 lt 481
minus1 le 119909 le 2
119899 = 450 451 471474
Continuamos con 119904 = 2 119896 = 2 119899 = 61199092 minus 11119909 + 249 lt 481
minus5 le 119909 le 7
119899 = 244 249 251266270295 301336 344389399454 466
Continuamos con 119904 = 2 119896 = 3 119899 = 101199092 minus 19119909 + 416 lt 481
minus1 le 119909 le 3
119899 = 407 416418 445 449
Para otros casos se obtiene nuacutemeros repetidos y para valores maacutes grandes se pasa de 481
La graacutefica de los 119899 que generan nuacutemeros primos compuestos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 se
puede observar en la Figura 2
Figura 2
Graacutefica de los 119899 que generan nuacutemeros primos compuestos
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En total obtenemos los valores para 119899
4041444956657681828487899196102104109117121122123126127130136
138140143147155159161162163164170172173178184185186187190201204
205207208209 213215216 217 218232 234 236 237 239 242244245246248249
251 252 255 256 259 261 265 266 268 270 271 278 279 283 284 286 287 289
291 295 296 298 299 300 301 302 309 312 314321325326327 328
329330331334336 338342344345 347349357 360 361364 367368 369370 373
374378380381383385388389 395399401402 406407 408 409 410 416 418 420
421 422 425 427428 431 432 440 442 443445 449 450 451454 459 460 463 466
467471 472 473474 477 480 481
En total 167 valores de 119899 que al evaluarlos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 obtenemos nuacutemeros
compuestos
Cribando estos nuacutemeros obtenemos
01234567891011121314151617181920212223242526272829 30 31 32
33 34 35 36 37383942434546474850515253545557585960 61 62 63 64
66 67 68 69 70 71 72737475777879 80 83 85 86 8890 929394 95 97 98 99
100101103105106107108110111112113114115116118119120124125128129
131132133134135137139141142144145146148149150151152153154156157
158160165166167168169171174175176177179180181182183188189191192
193194195196197198199200202203206210211212214219220221222223224
225226227228229230231233235238240241243247250253254257258260262
263264 267 269 272 273 274275276277280281282 285 288 290292293294 297
303 304 305306 307308310311 313 315316317318319320 322323 324332 333
335337 339340 341 343346 348 350351 352 353 354 355 356 358 359 362
363365366371 372375376377379 382384386387390 391392 393 394 396 397
398 400 403 404 405 411 412 413 414415 417 419 423 424 426 429430433 434
435 436 437 438 439 441 444 446 447 448 452 453 455 456 457 458 461 462
464 465 468 469 470 475 476 478 479
En total 315 valores de 119899 que al evaluarlos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 siempre se obtiene un
nuacutemero primo Estos nuacutemeros primos son
4143475361718397113131151173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503
547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447
15231601 1847 1933 2111 2203 2297 2393 2591 2693 2797 2903 3011 3121 3347
3463 3581 3701 3823 3947 4073 4201 4463 4597 4733 4871 5011 5153 5297 5443
5591 5741 6047 6203 6361 6521 7013 7351 7523 7873 8231 8597 8783 8971 9161
9547 9743 9941 10141 10343 10753 11171 11383 11597 11813 12251 12473 12697
12923 13151 13381 13613 14083 14321 14561 15541 15791 16553 16811 17333
17597 17863 18131 18401 18947 19501 20063 20347 20921 21211 21503 22093
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22391 22691 22993 23297 23603 23911 24533 24847 25163 25801 27431 27763
28097 28433 28771 29453 30491 30841 31193 31547 32261 32621 32983 33347
33713 35573 35951 36713 37097 37483 37871 38261 38653 39047 39443 39841
40241 41047 41453 42683 44351 44773 45197 46051 4822148661 49103 49547
49993 50441 50891 51343 51797 52253 52711 53171 53633 54563 55501 56923
57881 58363 59333 61297 6279164303 64811 66347 66863 67901 68947 69473
70001 71597 72671 74297 74843 75391 75941 76493 77047 78721 79283 79847
81551 83273 84431 85597 86183 86771 88547 92153 92761 93371 93983 94597
95213 96451 97073 98323 99581 100213 100847 101483 102121 102761 104047
104693 105341 110597 111263 112601 113947 115301 115981 116663 118033
120103 121493 122891 123593 124297 125003 125711 126421 127133 127847
128563 129281 131447 132173 133631 134363 138053 138797 141041 141793
142547 144061 146347 147881 149423 150197 152531 153313 154097 154883
155671 157253 158047 158843 160441 162853 163661 164471 169373 170197
171023 171851 172681 174347 176021 179393 180241 181943 184511 185371
187963 188831 189701 190573 191447 192323 193201 194963 197621 199403
200297 201193 204797 205703 207521 208433 209347 210263 213023 213947
215801 216731 219533 220471 221411 226141 227093 229003 229961
O sea desde 119899 = 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 481 el 3465 de los valores de 119899 generan nuacutemeros
compuestos al evaluarlos en el polinomio de Euler y el 6535 son nuacutemero primos
En esta criba el nuacutemero primo maacutes pequentildeo es 119901(0) = 02 + 0 + 41 = 41 y el maacutes grande
es 119875(479) = 4792 + 479 + 41 = 229961
Nota Las foacutermulas aquiacute publicadas nos permite encontrar nuacutemeros primos muy grandes o
nuacutemeros compuestos que son el producto de nuacutemeros primos grandes uacutetiles en la
criptografiacutea Las foacutermulas pueden ser la fundamentacioacuten matemaacutetica para desarrollar
programas informaacuteticos o Software que sean utilizados en la proteccioacuten de informacioacuten
necesaria a nivel personal como a nivel mundial
Referencias bibliograacuteficas
Aznar E (2007) Leonhard Euler Matemaacutetico (1707 Basilea Suiza 1783 San Petersburgo
Rusia) httpswwwugres~eaznareulerhtm
Camacho J y Camacho O (2020) Dos Cientiacuteficos Bajo Un Fresno Un Viaje A La Ciencia
En Doce Escritos Google Books
Fernaacutendez T y Tamaro E (2004) Adrien-Marie Legendre
httpswwwbiografiasyvidascombiografiallegendrehtm
Frases y Pensamientos (sf) Frases de nuacutemeros primos
httpswwwfrasesypensamientoscomarfrases-de-numeros-primoshtml
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
117
Propuesta metodoloacutegica para el aprendizaje de
Sucesiones en la modalidad de Educacioacuten Abierta
Licda Charlene Loacutepez Quesada
Universidad de Costa Rica
charlenelopezucraccr
Lic Luis Fernando Mejiacuteas Molina
Universidad de Costa Rica
luismejiasmolinaucraccr
Licda Jennifer Tatiana Quesada
Canales
Universidad de Costa Rica
jenniferquesadacanalesucraccr
Resumen Estaacute investigacioacuten establece una propuesta metodoloacutegica que aborda el tema de
sucesiones en seacutetimo nivel (Teacuterraba) en la modalidad de educacioacuten abierta a la luz de la teoriacutea
de situaciones didaacutecticas La propuesta metodoloacutegica contiene tres moacutedulos dos de ellos dirigidos
al proceso de aprendizaje por parte del estudiante y un moacutedulo creado como apoyo a la labor
docente considerando el juego como herramienta facilitadora de los contenidos y habilidades
presentes en el programa de estudios de matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
Palabras clave Aprendizaje de sucesiones educacioacuten abierta teoriacutea de situaciones didaacutecticas
juegos programa de estudios matemaacutetica
1 Introduccioacuten
El derecho a la educacioacuten comienza con el nacimiento y continuacutea a lo largo de la vida Por
esta razoacuten como complemento de la ensentildeanza formal deberaacuten ofrecerse oportunidades
amplias y flexibles de aprendizaje por medios no formales con recursos y mecanismos
adecuados mediante un aprendizaje informal estimulante aprovechando entre otras las
Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten (UNESCO 2016)
Dentro de los desafiacuteos del sistema educativo costarricense se tiene pendiente la buacutesqueda de
sistemas educativos flexibles con diversas opciones de continuidad en la trayectoria
educativa con ofertas pertinentes y suficientes para atender las necesidades educativas de
quienes habiendo interrumpido el proceso de educacioacuten desean y requieren retomarlo
(Blanco 2009)
Para el antildeo 2016 el Consejo Superior de Educacioacuten toma el acuerdo nuacutemero
03-65-2016 que orienta la confeccioacuten de una nueva poliacutetica educativa con la finalidad de
alinear la educacioacuten costarricense en una novedosa etapa de su desarrollo Dicha poliacutetica
educativa dictada en 2017 se denomina La persona centro del proceso educativo y sujeto
transformador de la sociedad es heredera de los importantes avances mencionados (Consejo
Superior de Educacioacuten 2017)
Estas poliacuteticas educativas pretenden asegurar el acceso de las poblaciones en desventaja
social y en condicioacuten de vulnerabilidad a los servicios sociales baacutesicos por lo que se
evidencia la buacutesqueda de una mayor responsabilidad en instituciones tanto puacuteblicas como
privadas en procura del beneficio de este tipo de poblacioacuten (Cheacutevez 2015)
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
118
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP) aspira a ofrecer y reforzar la
educacioacuten para joacutevenes y adultos que por diversas situaciones dejan el sistema formal de
educacioacuten secundaria por tanto es notorio que las acciones poliacuteticas educativas estaacuten
dirigidas al objetivo de superar el desafiacuteo descrito
Una de estas ofertas educativas establecida es el proyecto de Educacioacuten Abierta que permite
a la poblacioacuten mayor de 12 antildeos incorporarse a completar algunos de los ciclos de la
educacioacuten formal tal es el caso del Tercer Ciclo de la Educacioacuten General Baacutesica
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (2012) indica que ldquoEl dominio de las
habilidades y el desarrollo de la competencia matemaacutetica se propone realizar a partir de la
mediacioacuten pedagoacutegica la organizacioacuten de las lecciones de las tareas matemaacuteticas y la accioacuten
directa docente en el aulardquo (p 14)
Ahora bien el Programa de Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de
Costa Rica (2012) dentro del aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra describe que las funciones se
colocan en otra perspectiva maacutes concreta relaciones de cambio entre dos variables que
dependen entre siacute Las funciones vistas asiacute estaacuten asociadas a relaciones maacutes generales como
pueden ser las relaciones de orden las relaciones de divisibilidad las sucesiones la
proporcionalidad los porcentajes las velocidades o razones de cambio
El proceso evolutivo de ensentildeanza y aprendizaje del proyecto de Educacioacuten Abierta consiste
en la asistencia presencial a tutoriacuteas o bien que cada estudiante se prepare de manera
independiente en la casa por medio de los recursos que brinda el proyecto por esta razoacuten se
decide incursionar en la modalidad de Educacioacuten Abierta debido a su gran importancia para
cumplir con las expectativas que se mencionan anteriormente tanto para el beneficio de los
estudiantes como para el apoyo del docente ya que al tener material de apoyo limitado en
esta liacutenea educativa se comete el error de la mediacioacuten didaacutectica como clases magistrales
Ademaacutes de centrar la atencioacuten en el estudiante la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas (TSD)
propone que el estudiante pueda construir sus conocimientos a traveacutes de una serie de
interacciones con su contexto (situaciones) tal como tambieacuten lo propone el Programa de
Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP 2012)
mediante la forma de organizacioacuten de las lecciones planteada en dicho documento
Por lo tanto se decide trabajar en esta investigacioacuten con la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas
al ser una teoriacutea centrada en el estudiante que se adapta a la modalidad de Educacioacuten Abierta
a las metodologiacuteas que se proponen en los programas del MEP a tener el estudiante la mayor
parte de la responsabilidad por su aprendizaje y a los objetivos de la educacioacuten costarricense
Por otra parte el Programa de Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
de Costa Rica (MEP 2012) pretende desarrollar en los estudiantes una competencia
matemaacutetica definida como ldquohellip una capacidad de usar las matemaacuteticas para entender y actuar
sobre diversos contextos realeshelliprdquo (p 14) Asimismo se destaca la importancia de potenciar
habilidades asociadas a los niveles de abstraccioacuten que alcanzan los estudiantes de manera
que se procuren tareas de razonamiento y argumentacioacuten
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
119
Este tipo de habilidades se le atribuye al aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra del programa de
estudios al ser esta la rama de la matemaacutetica que fortalece el razonamiento loacutegico de los
estudiantes al enfrentarlos a conceptos complicados y cambiantes y de esta manera promover
formas diferentes de pensamiento
Ademaacutes estas destrezas para resolver problemas y pensar de forma criacutetica pueden ayudar a
los estudiantes a tener eacutexito en el trabajo y en la vida auacuten si no continuacutean sus estudios lo
cual es una caracteriacutestica comuacuten en la poblacioacuten meta de estos proyectos educativos sin
importar que continuacuteen con estudios superiores o no se les debe dar las herramientas
necesarias para tener una mejor calidad de vida promoviendo la oportunidad de optar por un
mejor trabajo y asiacute enfrentarse a la realidad social
Por lo anterior y por las dificultades que presentan los estudiantes alrededor del aacutelgebra
evidenciadas en el trabajo de Garrote et al (2004) se inspira esta investigacioacuten a enfocarse
en la rama del aacutelgebra con el fin de fortalecer y ayudar a los estudiantes a la hora de
enfrentarse a la transicioacuten de la aritmeacutetica al aacutelgebra siendo esta un aacuterea de mucha
importancia para la formacioacuten de ciudadanos capaces de enfrentarse y resolver situaciones
complejas de la vida cotidiana
De esta manera se presentaraacute una guiacutea docente que contiene tres moacutedulos el primero
dirigido al autoaprendizaje de los estudiantes el segundo una propuesta metodoloacutegica para
realizar en el aula y el tercero tambieacuten dirigido al autoaprendizaje de los estudiantes como
ejercicios de reforzamiento de los conocimientos
2 Propuesta metodoloacutegica
La presente secuencia constituye una propuesta metodoloacutegica para el docente de Educacioacuten
Abierta que le permita mediar el proceso de ensentildeanza del tema de sucesiones el cual se
ubica en el nivel de seacutetimo antildeo seguacuten los programas del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
La secuencia didaacutectica utilizada estaacute basada en la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas de
Brousseau Es importante aclarar que en esta propuesta se plantean algunas de las situaciones
presentes en la teoriacutea en los moacutedulos de autoaprendizaje para el estudiante y otras en el
moacutedulo de trabajo en clase
La propuesta didaacutectica consta de tres moacutedulos de los cuales dos van dirigidos al estudiante
donde se impulsa y orienta su autoaprendizaje y uno es dirigido al docente para guiarlo
durante la clase presencial del proyecto Dichos moacutedulos se desarrollan en torno a dos videos
de elaboracioacuten propia disentildeados para que el estudiante participe durante la visualizacioacuten de
los mismos y un juego de cartas llamado Eslabones y Cadenas de elaboracioacuten propia
tambieacuten que es una adaptacioacuten del juego Phase 10 y Ron (Naipe)
La idea de secuencia de la aplicacioacuten de los moacutedulos es que el docente en la leccioacuten antes
de abarcar el tema de sucesiones deje como tarea el moacutedulo 1 de autoaprendizaje Luego de
esto que durante la clase presencial el docente desarrolle el moacutedulo 2 y por uacuteltimo el
moacutedulo 3 tambieacuten dirigido al autoaprendizaje del estudiante se deja como tarea al final de
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120
la leccioacuten presencial a modo de refuerzo A continuacioacuten se explica en queacute consiste cada
moacutedulo mencionado
Caracteriacutesticas Generales de la Propuesta
Modalidad de la propuesta
- Proyectos de Educacioacuten Abierta propuestos por el MEP
Conocimientos por desarrollar
- Sucesiones y sus representaciones Ley de formacioacuten y patrones
Habilidades por desarrollar con la propuesta
- Identificar la ley de formacioacuten de una sucesioacuten utilizando lenguaje natural tabular y
algebraico
- Plantear y resolver problemas relacionados con sucesiones y patrones
Materiales por utilizar
- Paacuteginas interactivas
- Juego Eslabones y Cadenas
Moacutedulo 1
Consiste en un poacutester digital interactivo que se encuentra en el siguiente enlace
httpseduglogstercomglogsucesiones38t6f0c5wko La idea es que los estudiantes
ingresen con ayuda de sus teleacutefonos inteligentes o computadora desde sus casas y realicen
las actividades que ahiacute aparecen El acceso a dicho enlace se lo debe proporcionar el docente
ya sea llevando el poacutester impreso a la clase y que cada estudiante escanee el coacutedigo QR que
trae al final para acceder a la paacutegina o entregando en fiacutesico una copia del poacutester para que
tengan la opcioacuten de escanear el coacutedigo en casa o ingresar el enlace en la computadora Otra
opcioacuten es que el docente tenga el video en su celular y lo pase por medio de Bluetooth a los
estudiantes que no tienen acceso a internet
El PDF interactivo dirige al estudiante a lo largo de tres etapas al enfrentamiento a un
problema contextualizado la visualizacioacuten de un primer video sobre patrones y a la
aplicacioacuten y movilizacioacuten de los conocimientos
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten fundamental el moacutedulo inicia con esta situacioacuten en la cual se expone a los
estudiantes a un primer acercamiento al tema de sucesiones presentaacutendoles un problema
contextualizado el cual deben resolver usando uacutenicamente lo que conocen hasta el momento
Cabe recalcar que este problema puede ser modificado por el docente de acuerdo con el
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121
contexto de sus estudiantes sin embargo debe lograr representar un verdadero problema no
ejercicios
- Visualizacioacuten del video 1 en este video se activan conocimientos previos que se consideran
necesarios para avanzar con el tema de sucesiones Baacutesicamente se trabaja encontrar
teacuterminos de sucesiones sencillas tanto numeacutericas como pictograacuteficas
- Etapa de movilizacioacuten al finalizar el video se tiene una etapa de ejercicios variados en los
que el estudiante debe realizarlos a modo de ejercitar la mente para identificar el patroacuten y
encontrar teacuterminos de una sucesioacuten
Moacutedulo 2
Consiste en una clase de 2 horas aproximadamente y se basa en una guiacutea para el docente
donde se describe coacutemo a traveacutes del juego de cartas Eslabones y Cadenas se producen
situaciones didaacutecticas de accioacuten formulacioacuten y validacioacuten en las que los estudiantes pueden
interactuar unos con otros y expresar sus ideas Finalmente se pretende que el docente
institucionalice los conocimientos que se adquieren durante el moacutedulo 1 y la clase para esto
se le dan algunas recomendaciones a seguir y libertar para disentildear dicha situacioacuten
A continuacioacuten se describe el Juego Eslabones y Cadenas y coacutemo se disentildean las cartas
Tambieacuten se presentan las instrucciones de coacutemo jugar para que el docente sea capaz de
explicarlo en clase Se recomienda que el docente juegue antes de aplicar la propuesta con
el fin de que maneje lo mejor posible el juego y su objetivo
Juego Eslabones y Cadenas
Materiales por utilizar
- Disentildeo de las cartas (se adjunta al final de la propuesta)
- Disentildeo de las pizarras
- Papel cartulina tamantildeo carta
- Impresora (o acceso a una)
- Plaacutestico
- Tijeras o guillotina
- Marcadores de pizarra
Pasos por seguir
- Imprima el disentildeo de las cartas y el de las pizarras en papel cartulina
- Emplastique las hojas de cartulina por ambos lados (tambieacuten puede recurrir a un lugar donde
se hagan emplasticados para un mejor acabado)
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122
- Recorte con las tijeras o la guillotina cada una de las cartas y cada una de las pizarras Al
final debe tener ocho pizarras y 66 cartas 15 de cada color (celeste morado naranja verde)
numeradas del 1 al 15 2 cartas Salto y 4 cartas Comodiacuten
- Los marcadores se utilizan para que los jugadores rellenen las pizarras
Instrucciones del juego
Significado de las cartas de accioacuten
- Comodiacuten esta carta puede ser utilizada para reemplazar cualquier carta ya sea un nuacutemero
o color para completar cualquier fase El valor asignado se mantiene por toda la mano Si es
la primera carta lanzada en la pila de descarte esta puede ser tomada por el primer jugador
- Salto esta carta se utiliza para saltar a un jugador
Objetivo del juego
- El objetivo del juego es completar las tres misiones lo antes posible y se deben completar
en orden
Las tres misiones son
- Misioacuten 1 grupo de tres cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de tres
cartas con el mismo color
- Misioacuten 2 grupo de cuatro cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de cuatro
cartas con el mismo color
- Misioacuten 3 grupo de cinco cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de cinco
cartas con el mismo color
Antes de comenzar
Escoger un jugador para que mezcle y reparta las cartas las cuales se reparten boca abajo
Para la primera misioacuten se reparten siete cartas (en la segunda misioacuten nueve y en la tercera
misioacuten 11) a cada jugador (o equipo) El mazo con el resto de las cartas se coloca boca abajo
en el centro de la mesa La primera carta se voltea y se coloca al lado pues esta seraacute la primera
carta de la pila de descarte
Luego todos los jugadores voltean sus cartas y las estudian individualmente para determinar
queacute necesitan para completar la misioacuten
Desarrollo del juego
El jugador a la izquierda del repartidor comienza el juego y asiacute se continuacutea con el orden de
los turnos de cada jugador Durante cada turno al jugador que le corresponde debe tomar una
carta ya sea del mazo de cartas o de la pila de descarte luego puede realizar alguna de las
siguientes acciones
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123
- Apearse colocar sobre la mesa las cartas boca arriba de alguno de los grupos de cartas la
misioacuten que le corresponde Por ejemplo para la misioacuten 1 apear el grupo de cartas [2 4 6]
que va de dos en dos
- Abonar antildeadir una carta de la mano a las apeadas de los demaacutes jugadores Por ejemplo
antildeadir un 8 a la secuencia [2 4 6] de otro jugador
- Completar la misioacuten colocar sobre la mesa boca arriba las cartas que completan la misioacuten
Para finalizar el turno del jugador se tira una de las cartas en la mano a la pila de descarte
Si se completa la misioacuten se toman las cartas del mazo para intentar conseguir la siguiente
misioacuten
Si las cartas del mazo se acaban se baraja la pila de descarte y se ponen estas cartas boca
abajo para poder continuar con el juego Y el juego termina cuando un jugador logra
completar las tres misiones y si esto sucede se deben transcribir los grupos de cartas a las
pizarras donde la fila de la 119899 representa la posicioacuten de la carta en el grupo ordenado y el 119886119899
representa el valor de la carta en la posicioacuten
Variantes en el juego
- Para minimizar el tiempo de juego se puede jugar solamente con dos misiones (primera y
segunda o primera y tercera) Tambieacuten para disminuir la complejidad del juego se puede
jugar omitiendo las apeadas con orden de color en las misiones
- El juego se puede jugar con un naipe comuacuten o con el popular juego ldquoUnordquo variando la
cantidad de cartas requeridas para cada grupo de cartas en las dos uacuteltimas misiones
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten accioacuten y Situacioacuten de formulacioacuten la clase se inicia explicando la mecaacutenica del
juego Eslabones y Cadenas El docente en este caso no juega solo valida las diferentes
sucesiones y realiza algunas preguntas a los estudiantes para que ellos expresen verbalmente
las sucesiones o patrones que estaacuten formando con las cartas Por ejemplo un estudiante puede
decir ldquoestoy realizando una secuencia de nuacutemeros paresrdquo o ldquomi secuencia va de dos en dosrdquo
pero lo importante es que a partir de la situacioacuten de formulacioacuten el docente pueda cerciorarse
de que los estudiantes estaacuten construyendo conscientemente los patrones
- Situacioacuten de validacioacuten en la que los estudiantes consolidan y discuten sobre lo aprendido
defienden y justifican su posicioacuten con las jugadas o secuencias realizadas mientras se
conversa sobre las diferentes representaciones Despueacutes de que el juego acaba (cuando
alguno de los equipos haya completado las fases) y sin retirar las cartas de la mesa de juego
cada equipo debe escoger alguna de las sucesiones en la mesa para que cada equipo realice
la respectiva tabulacioacuten en las pizarras El docente realiza las siguientes preguntas a cada
equipo para que vayan completando las tablas
En la primera carta de su sucesioacuten iquestcuaacutel nuacutemero hay iquestcuaacutel nuacutemero se encuentra en la
segunda carta
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124
Se pretende que mediante esta actividad se introduzca el concepto de variable y la relacioacuten
que existe entre el ldquo119899rdquo y el ldquo119886119899rdquo
Cada grupo debe analizar las diferentes relaciones de la tabla para generar e intentar plantear
una ley de formacioacuten o representacioacuten algebraica de la sucesioacuten
- Institucionalizacioacuten en esta seccioacuten de la clase el docente interviene para revisar y validar
las leyes de formacioacuten que realizaron los estudiantes Se formaliza el concepto de variable y
de sucesioacuten mediante una discusioacuten de los conocimientos adquiridos en las diferentes
situaciones didaacutecticas Se complementa la leccioacuten asignando el moacutedulo 3 como trabajo
extraclase Se presentan algunas recomendaciones y aspectos importantes por considerar para
que el docente planee su situacioacuten de institucionalizacioacuten
A la hora de introducir el concepto de variable se recomienda la utilizacioacuten de un espacio
para rellenar con un nuacutemero (⊡) en lugar de una letra ya que se pudo apreciar que facilitoacute
la comprensioacuten del significado de las mismas en este tema
Se requiere que el docente aclare la forma en que se pasa del lenguaje natural o tabular al
lenguaje algebraico ya que por ellos mismos es una labor que probablemente no logren
realizar debido a la complejidad del mismo Sin embargo la idea es que el docente los guiacutee
a llegar a completar este proceso y no que les presente por completo la forma de hacerlo
Con respecto a la simbologiacutea de la multiplicacioacuten en el lenguaje algebraico (no aparece
ninguacuten signo entre un nuacutemero y una letra) les resulta familiar si el docente lo relaciona con
las operaciones combinadas entre nuacutemeros naturales (cuando hay un pareacutentesis seguido de
un nuacutemero ahiacute existe una multiplicacioacuten que ldquono se verdquo)
Se recomienda que el docente utilice preguntas generadoras como iquestqueacute nuacutemero sigue iquestpor
queacute ese nuacutemero iquestqueacute se hace iquestestaacuten de acuerdo iquestalguien lo hizo diferente iquestqueacute se les
ocurre iquestqueacute pasa con la posicioacuten 1 iquesty si cambiamos a la posicioacuten 2 funciona iquestcoacutemo
consigo el que va en la posicioacuten 97
Moacutedulo 3
Consiste tambieacuten un poacutester interactivo que se encuentra en el siguiente enlace
httpseduglogstercomglognumber-operation2x7p7aw4hqo Fue disentildeado a modo de
reforzar la situacioacuten de institucionalizacioacuten el cual estaacute compuesto por dos etapas la
visualizacioacuten del segundo video donde se formalizan conocimientos y la aplicacioacuten y
movilizacioacuten de los nuevos saberes aprendidos Y funciona de la misma manera que el primer
poacutester interactivo
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten de refuerzo para la institucionalizacioacuten en la cual los estudiantes disponen de un
video donde se refuerza lo dicho por el docente sobre sucesiones
- Etapa de aplicacioacuten y movilizacioacuten de conocimientos la cual se compone de una serie de
ejercicios divididos por secciones donde se utilizan los conceptos y elementos algebraicos
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125
para el tema de sucesiones con el fin de afianzar conocimientos adquiridos en todo el proceso
de aprendizaje de las sucesiones
3 Conclusioacuten
En relacioacuten con el contenido de Sucesiones se considera que las habilidades que plantea el
MEP para este contenido son necesarias sin embargo no se incluye la representacioacuten graacutefica
de una sucesioacuten cuando es necesaria para futuros temas como funciones y proporcionalidad
Al analizar diferentes definiciones establecidas para el concepto de sucesiones se considera
que son rigurosas yo formales que pueden llegar a ser confusas para el estudiante de
educacioacuten abierta por lo que en esta propuesta se plantea una definicioacuten con vocabulario
sencillo que contempla las habilidades y contenidos del plan de estudios de esta modalidad
ldquoUna sucesioacuten es un conjunto o grupo ordenado de nuacutemeros figuras o cosasrdquo
Entre los obstaacuteculos epistemoloacutegicos se encuentran los conflictos con el significado de las
letras conflictos con el significado de los signos y conflictos con las respuestas esperadas
los cuales a lo largo de la clase presencial se advirtieron pero se lograron abarcar
satisfactoriamente con la situacioacuten de institucionalizacioacuten de aquiacute la importancia de un
adecuado disentildeo de la misma
Los obstaacuteculos cognitivos son particulares y amplios en esta modalidad falta de haacutebitos de
estudio imposibilidad de asistir a clase constantemente falta de conocimientos previos poco
tiempo asignado a los contenidos motivacioacuten e intereacutes condiciones familiares desfavorables
entre otros Dichos obstaacuteculos se consideraron en el disentildeo de la propuesta y se trataron de
evitar en la medida de lo posible avanzando en el conocimiento de forma paulatina con un
autoaprendizaje dirigido y actividades luacutedicas en clase La propuesta va dirigida
especiacuteficamente para Educacioacuten Abierta y no a otro tipo de programa ofrecido por el MEP
sin embargo se considera que esta puede ser adaptable a las condiciones y particularidades
de cada modalidad de estudio
Los obstaacuteculos didaacutecticos son considerados los efectos propuestos en la TSD Topaze
Jourdain Desplazamiento metacognitivo Uso abusivo de la analogiacutea y el Envejecimiento
de las situaciones de ensentildeanza los cuales durante la aplicacioacuten de la propuesta se concluye
que los dos primeros efectos pueden ser evitados haciendo de juegos para abordar los temas
de estudio ya que el papel del docente queda de lado al ser los estudiantes quienes interactuacutean
entre ellos Sin embargo al usar actividades luacutedicas se debe tener cuidado de no caer en el
desplazamiento metacognitivo pues el jugo se puede convertir en el fin de la clase
Por uacuteltimo para este caso particular de las sucesiones por su naturaleza y la forma de
evaluacioacuten realizada por el MEP se dificulto evitar el abuso de la analogiacutea en los ejercicios
en la propuesta
Al consultar a docentes con experiencia en la modalidad de educacioacuten abierta se obtienen
insumos para considerar elementos que se evidencian uacutenicamente a nivel praacutectico
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126
Los docentes coinciden y mencionan los obstaacuteculos cognitivos establecidos en la teoriacutea sin
embargo recalcan la importancia de la motivacioacuten y el intereacutes ya que una de las situaciones
maacutes preocupantes en esta modalidad es la desercioacuten de los estudiantes y consideran que la
falta de este impulso es la razoacuten de dicha problemaacutetica
En relacioacuten con el contenido de sucesiones se sostiene que es un tema superficial en el
programa de estudios para el nivel de Teacuterraba y se le debe dedicar poco tiempo de clases a
pesar de que diferentes investigaciones aseguran la importancia que posee en el aacutembito del
aacutelgebra en matemaacutetica y recalcan la dificultad que presenta para los estudiantes Ademaacutes los
docentes consideran que debido a la naturaleza del tema y a los tipos de iacutetems que se
presentan en el examen del MEP es de esperarse que le proceso de Razonar yo Argumentar
sea mayoritariamente trabajado en la propuesta
Con respecto a los obstaacuteculos didaacutecticos no se mencionoacute mucho al respecto sin embargo se
destaca la repeticioacuten en las preguntas de los exaacutemenes del MEP en relacioacuten a este tema por
lo que es de esperarse que en la propuesta no se lograra evitar el efecto del abuso de la
analogiacutea de la TSD
Los procesos matemaacuteticos de Razonar yo Argumentar y de Comunicar propuestos en el
programa de estudios del MEP se alcanzaron satisfactoriamente debido al tipo de actividades
planteadas y el tema elegido El proceso de Representar no se logra de manera adecuada
debido a las instrucciones del juego las cuales fueron confusas al trabajar la representacioacuten
tabular y la complejidad del simbolismo algebraico Ademaacutes se presentaron dificultades con
el proceso de Plantear yo Resolver problemas ya que el problema de la situacioacuten
fundamental no se logroacute resolver debido a algunas particularidades mencionadas por los
estudiantes que les impidieron estudiar para la clase
Los docentes expresaron su agrado ante el disentildeo de las actividades planteadas y las
consideraron acordes con tema trabajado se brindaron recomendaciones las cuales fueron
incorporadas en la propuesta con el fin de mejorarla Tambieacuten se discutioacute la dificultad que
podiacutea representar el juego para el tipo de poblacioacuten que asiste a esta modalidad sin embargo
esto no resultoacute ser un problema en el grupo que se aplicoacute la propuesta
Finalmente en el anaacutelisis de resultados realizado se determina que la propuesta didaacutectica
planteada para el aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra especiacuteficamente para el tema de sucesiones
en el nivel de Teacuterraba es acertada debido a que se ocupa de las habilidades planteadas por el
MEP y cumple con lo sentildealado por los docentes expertos al facilitar el proceso mediante el
cual se establece la relacioacuten entre las representaciones algebraicas y aritmeacuteticas de las
sucesiones Ademaacutes se considera la participacioacuten de los estudiantes como evidencia de la
motivacioacuten para trabajar el contenido de sucesiones
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Retos de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico y uno
privado
Jennifer Aragoacuten Monge
Universidad Estatal a Distancia Costa Rica
jaragonunedaccr
Paulina Coto Mata
Universidad Estatal a Distancia Costa Rica
pcotomunedaccr
Resumen Cuando cerraron los colegios de Costa Rica debido al COVID-19 la mayoriacutea de los
docentes empezaron a reinventar las lecciones y pasar a la virtualidad A partir de ahiacute surgieron
muchos retos que se enfrentaron como docentes de Matemaacuteticas para continuar con el proceso
educativo en este caso a nivel de ensentildeanza media La ponencia tiene como objetivo evidenciar
estos desafiacuteos desde dos escenarios diferentes en el Colegio Mariacutea Inmaculada de iacutendole privado
y la Unidad Pedagoacutegica San Diego puacuteblico Algunos de ellos fueron el uso de tecnologiacuteas de la
informacioacuten dificultades para la ensentildeanza a distancia de las Matemaacuteticas situaciones
socioeconoacutemicas compromisos de todos los actores del aacutembito educativo entre otros Se
muestran las diferencias en la praacutectica educativa desde dos realidades distintas
Palabras claves Educacioacuten Educacioacuten a distancia Educacioacuten secundaria Didaacutecticas de las
Matemaacuteticas
1 Introduccioacuten
Con la venida de la pandemia producto de la enfermedad COVID-19 se comenzaron a cerrar
centros educativos Fue cuando la educacioacuten a distancia comenzoacute a tomar auge Surgieron
las plataformas virtuales Google Classroom Microsoft Teams y otros recursos tecnoloacutegicos
como Zoom Youtube y Whastapp Los docentes comenzaron a transformar su forma de
ensentildear y tuvieron que reinventar estrategias metodoloacutegicas y materiales didaacutecticos
Mientras en el Colegio Mariacutea Inmaculada institucioacuten privada comenzaron ese cambio a
pocos diacuteas de cerrado los centros educativos en la Unidad Pedagoacutegica San Diego quedaron
a la espera de directrices por parte del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica y no fue hasta un mes
despueacutes que decidieron incursionar en la educacioacuten virtual
Al no tener una estrategia clara de coacutemo hacerlo se han venido presentando retos que los
docentes han tenido que solventar en la marcha Algunos hasta el diacutea de hoy no se han logrado
superar pese a los siete meses de haber incursionado en este escenario de la virtualidad
El trabajo tiene como objetivo evidenciar los desafiacuteos que afrontaron los docentes desde dos
aacutembitos diferentes colegio puacuteblico y privado asiacute como las soluciones que se le han dado a
algunos de estos Ademaacutes se mostraraacuten las diferencias de la ensentildeanza de las matemaacuteticas
que han recibido los estudiantes desde estos dos escenarios
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2 Colegio Mariacutea Inmaculada
21 Contexto Institucional
El Colegio Mariacutea Inmaculada estaacute ubicado en el distrito de San Vicente en el cantoacuten de
Moravia San Joseacute Es una institucioacuten privada catoacutelica que comprende todos los niveles de la
educacioacuten formal orientada por la Comunidad de Hermanas Franciscanas de Mariacutea
Inmaculada siguiendo el estilo pedagoacutegico y la espiritualidad de San Francisco de Asiacutes y de
la Beata Madre Caridad Brader (Colegio Mariacutea Inmaculada 2020)
Con respecto al estudiantado la mayoriacutea ingresan a la institucioacuten desde prekiacutender y continuacutean
ahiacute hasta llegar a undeacutecimo antildeo son generaciones muy consolidadas que se conocen bastante
bien
Otros aspectos relevantes de la institucioacuten es contar con un personal docente estable con
muchos antildeos de trabajo en equipo El colegio cuenta con un programa de estudio basado en
el del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica pero a la vez con autonomiacutea para de aumentar
cambiar y modificar contenidos a criterio del departamento de Matemaacuteticas
22 La evolucioacuten de las clases
Desde el 16 de marzo se suspendieron las clases presenciales En ese momento no se teniacutea
claro queacute procediacutea ni por cuaacutento tiempo se suspendiacutean las lecciones En cuestioacuten de dos diacuteas
el personal docente se organizoacute para comenzar la educacioacuten a distancia por medio de la
plataforma Classroom Se escogioacute esta por su facilidad para utilizarla Como menciona en la
paacutegina web El Comercio (2020)
Si bien la educacioacuten presencial supone mayores ventajas sobre todo por la posibilidad
de interactuar de forma directa en el dictado de clases el uso de herramientas digitales
como Google Classroom resulta fundamental en eacutepocas de confinamiento auacuten maacutes
cuando el volver a las aulas parece ser una opcioacuten lejana hasta que no se deacute por superada
la pandemia del coronavirus (paacuterr3)
Por medio de esta plataforma se les enviaban videos de Youtube con explicaciones realizadas
por la docente y se les asignaban trabajos sin embargo esta forma no era muy eficiente Los
estudiantes presentaban muchas dudas la mayoriacutea de los ejercicios que se les asignaban
teniacutean errores No estaban preparados para ser autodidactas Esta forma de ensentildear era
unidireccional no habiacutea interaccioacuten con los estudiantes aunque podiacutean plantear las dudas
por medio de la plataforma la comunicacioacuten seguiacutea siendo muy limitada
A partir de ahiacute se planteoacute la necesidad de usar una plataforma maacutes completa que permitiera
video llamadas pero que fuera gratis a la vez De ahiacute que se tomoacute la decisioacuten de incorporar
la aplicacioacuten Zoom como un apoyo a los videos de Youtube Se haciacutean llamadas con los
estudiantes aclarando dudas pero eran simples llamadas las cuales no lograban mejorar
grandemente el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
130
En ese momento la institucioacuten tuvo que tomar una decisioacuten Se optoacute por clases sincroacutenicas
usando Zoom Para ello se consultoacute a los padres de familia sobre la posibilidad de equipo
tecnoloacutegico (computadora o celular) con conexioacuten a internet Al tener una respuesta positiva
se establecioacute un nuevo horario para impartir lecciones organizados por generacioacuten y no por
grupo Se establecieron lapsos maacutes cortos de clases pero con la ventaja de estar todos
conectados al mismo tiempo para explicar aclarar dudas y tratar de hacer una clase virtual
lo maacutes parecida a una presencial Se acordoacute grabar las clases para brindaacutersela a los estudiantes
que por problemas de conexioacuten no asistieron La institucioacuten proporcionoacute computadoras para
los alumnos que no disponiacutean de una se establecieron reglas para el trabajo virtual entre
ellas no se solicitaba activar la caacutemara para salva guardar la integridad del menor de edad
Desde abril y durante todo el antildeo se continuoacute con clases sincroacutenicas por medio de la
plataforma Zoom con un horario establecido Se daban 3 clases de 1 hora a la semana se
pasaba lista de los estudiantes conectados y se teniacutea que justificar las ausencias ante la
administracioacuten
Por uacuteltimo se incorporoacute la evaluacioacuten sumativa Se comenzaron a realizar pruebas parciales
en liacutenea y se realizaron trabajos extraclase La modalidad de estos se explica maacutes adelante
23 Retos de la educacioacuten virtual en el Colegio Mariacutea Inmaculada
En el contexto del aula es difiacutecil lograr que los todos los estudiantes participen activamente
en la virtualidad ha sido auacuten maacutes complicado La participacioacuten en las clases sincroacutenicas se
ha visto afectada por aspectos como la cantidad de alumnos pues son alrededor de 60 por
grupo conexiones inestables distractores propios del ambiente de casa y el miedo a
equivocarse y que su duda quede grabada en un video
Para mejorar este reto se ha procedido a trabajar el miedo al error con el departamento del
psicologiacutea y orientacioacuten asiacute como la utilizacioacuten del chat directo con el docente durante la
clase La aplicacioacuten Zoom permite escribir en forma privada al profesor daacutendole un ambiente
de confianza al estudiante En el archivo de video de la ponente Aragoacuten (2020a) se evidencia
como se ha perdido el miedo a participar y ha mejorado la interaccioacuten en las clases
Otro gran reto que se tuvo que afrontar fue el implementar estrategias de trabajo en el aula
virtual La formacioacuten docente se basa en metodologiacuteas para la ensentildeanza en forma presencial
y no se estaba preparado para este cambio de escenario La mayoriacutea de las veces se optoacute por
una metodologiacutea tradicional donde el docente habla y los estudiantes escuchan sin embargo
no era adecuado quedarse con ella se necesitaba promover la participacioacuten pues esta ldquomejora
la asimilacioacuten y relevancia de contenidosrdquo (Baena y Ruiz 2019 p276)
En el segundo video de la ponente Aragoacuten (2020a) se muestra un trabajo grupal creado por
los estudiantes para introducir el tema de cuerpos soacutelidos Consistiacutea en explicar uno de ellos
sus partes y caracteriacutesticas debiacutean construir la figura en fiacutesico o por medio del programa
Geogebra Tambieacuten teniacutean que dar ejemplos concretos donde se observara ese cuerpo soacutelido
Cabe destacar que el tema no fue explicado con anterioridad el estudiante investigaba y
recolectaba la informacioacuten que ocupaba para desarrollarlo (Aragoacuten 2020b) De esta manera
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
131
se logra una mayor participacioacuten de los estudiantes y romper con esa metodologiacutea tradicional
que se veniacutea aplicando
Otro reto de la educacioacuten virtual y tal vez el maacutes difiacutecil de solucionar fue la evaluacioacuten El
docente no estaba preparado para valorar los aprendizajes desde una computadora El Colegio
Mariacutea Inmaculada analizando que el regreso a clases presenciales se visualizaba muy lejano
tomoacute la decisioacuten de seguir evaluando sumativamente Se propuso hacer las pruebas parciales
que inicialmente se teniacutean planeadas en la modalidad presencial pero ahora de forma virtual
Estas pruebas se enviaban por medio de la plataforma Classroom en forma de un archivo de
PDF a todos los estudiantes al mismo tiempo se le proporcionaban dos horas para su
realizacioacuten El estudiante descargaba el archivo lo imprimiacutea lo resolviacutea y lo devolviacutea en otro
archivo de PDF que conteniacutea las fotografiacuteas de cada paacutegina del examen
No obstante al hacer las pruebas virtuales se pierde la confiabilidad de esta No se tienen los
medios para verificar que el estudiante realice por eacutel mismo la prueba sin recurrir a
aplicaciones o programas matemaacuteticos o terceras personas para resolverla
En este caso solo se apela a la conciencia de los estudiantes y padres de familia de realizar la
prueba de la forma honesta evaluando las habilidades vistas en clases Es importante recordar
que la evaluacioacuten ldquoes un instrumento educativo que sobre todo informa respecto al proceso
educativo haciendo siacute su valoracioacuten del aprendizaje pero con el objeto de brindar mejores
propuestas y resultadosrdquo (Monzoacuten 2015 p22)
Por uacuteltimo otro reto importante fue el crear ambientes de trabajo aptos para el aprendizaje
La dinaacutemica del hogar ha cambiado la mayoriacutea de los padres de familia estaacuten en teletrabajo
los distractores son muchos no se cuentan con tantos escritorios y sillas adecuadas para estar
de 7 am a 2 pm frente a una computadora Muchos estudiantes tuvieron que recurrir a usar
anteojos para solventar los problemas de vista que generan los dispositivos electroacutenicos
Otros expresaban los dolores de espalda y cabeza por la dinaacutemica de la educacioacuten virtual A
continuacioacuten (Figura 1) opiniones de los estudiantes que reflejan esta problemaacutetica
Figura 1
Opiniones de los estudiantes sobre la problemaacutetica
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
132
Con respecto a este reto no se ha logrado grandes avances Se procedioacute a hablar con los
padres de familia y estudiantes para tratar en la medida de lo posible de crear ese ambiente
adecuado Tambieacuten se han creado espacios entre las clases virtuales para que el estudiante
descanse se levante y se despeje de estar frente a la computadora Ademaacutes desde el
Departamento de Orientacioacuten y Psicologiacutea se ha trabajado la importancia de crear horarios
de estudio y de descanso donde el estudiante pueda desconectarse de esta modalidad y evitar
lo sobrecargos de labores
3 El proceso de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico en Costa Rica
31 Unidad Pedagoacutegica San Diego
Contexto Institucional
La Unidad Pedagoacutegica San Diego (UP) se ubica en el distrito de San Diego en el cantoacuten de
La Unioacuten en la provincia de Cartago la institucioacuten alberga desde preescolar primaria y
secundaria (hasta III Ciclo) esta uacuteltima cuenta con una poblacioacuten cercana a los 450
estudiantes de diferentes niveles socioeconoacutemicos
Con respecto a los encargados legales la mayoriacutea cuenta con un nivel educativo uacutenicamente
de primaria completa muy pocos han terminado la educacioacuten diversificada y el nivel
universitario es praacutecticamente nulo Sus ingresos econoacutemicos son fluctuantes las fuentes
principales de empleo son informales Los lugares donde habitan generalmente son zonas de
alto riesgo social en casas prestadas alquiladas e incluso en cuarteriacuteas Existe un alto
porcentaje de estudiante becados por diferentes instituciones gubernamentales y no
gubernamentales y tienen un acceso limitado a los servicios baacutesicos incluidos el internet
La Unidad Pedagoacutegica tiene una alta concentracioacuten de inmigrantes muchos de ellos no tienen
un ciclo lectivo continuo en la institucioacuten ya que se trasladan con sus familiares a las zonas
donde hay fuentes de empleo provocando una inestabilidad en el proceso educativo de los
joacutevenes
32 Evolucioacuten en la Educacioacuten Virtual
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (MEP) suspendioacute las lecciones presenciales en la UP a
partir del lunes 16 de marzo dado que el colegio se encuentra en una zona con escases de
agua ese mismo lunes se iniciaba la semana de evaluacioacuten correspondiente a las primeras
pruebas escritas del primer trimestre
Inicialmente los docentes deciden enviar material a los estudiantes por medio del Facebook
del colegio con el fin de repasar los temas y no olvidar lo aprendido hasta el momento Se
pensaba que despueacutes de Semana Santa se regresariacutea a la presencialidad y se aplicariacutean las
pruebas escritas con toda normalidad
Cuando la sentildeora Giselle Cruz Maduro Ministra de Educacioacuten anuncia que el retorno a las
aulas no seraacute antes de vacaciones de medio periacuteodo se toma la decisioacuten de realizar grupos
de WhatsApp por cada seccioacuten con los estudiantes de noveno antildeo con el fin de lograr un
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acercamiento y fortalecer el viacutenculo entre docente ndash estudiante Posteriormente se realizoacute lo
mismo con la generacioacuten de seacutetimo antildeo
Luego de las capacitaciones se inicia con las sesiones sincroacutenicas y asincroacutenicas con los
estudiantes por medio de la plataforma virtual Microsoft Teams escogida por el Ministerio
de Educacioacuten Puacuteblica Esta herramienta propicia la interaccioacuten virtual entre el profesor y los
estudiantes tal y como lo menciona Martiacutenez en la Revista Digital Educativa 30 (2020)
Esta plataforma nos permite crear clases virtuales gestionadas por el docente donde
los alumnos y el profesor pueden compartir distintos tipos de materiales de clase
(documentos apuntes viacutedeos imaacutegenes documentales cuestionarioshellip) ademaacutes de
mantener conversaciones mandar tareas y actividades evaluables generar exaacutemenes
online y un sinfiacuten de actividades relacionadas con el diacutea a diacutea del aula (paacuterr3)
Ademaacutes se trabajan con las Guiacuteas de Trabajo Autoacutenomo (GTA) como lo indica su nombre
son guiacuteas elaboradas por el docente donde se explica de una forma detallada una habilidad y
ejercicios relacionados con el tema El estudiante con ayuda de esta trabaja de manera
independiente para lograr el aprendizaje Es en este momento cuando se hacen visibles las
dificultades para la apropiacioacuten del conocimiento a distancia
Retos de la educacioacuten virtual en la Unidad Pedagoacutegica San Diego
Al inicio del mes de mayo se realiza una encuesta por medio de los profesores guiacuteas para
conocer el grado de conectividad que tienen los estudiantes de la Unidad Pedagoacutegica los
resultados no fueron los esperados La mayoriacutea no tienen acceso a internet estable y
constante muchos de ellos utilizan datos limitados Ademaacutes no todos tienen computadora
o teleacutefonos inteligentes para ingresar a los acompantildeamientos virtuales
En relacioacuten con las sesiones sincroacutenicas en Microsoft Teams el Estado llega a un acuerdo
con las compantildeiacuteas telefoacutenicas para que las aplicaciones no generen gasto de datos moacuteviles
es decir sean gratuitas para las familias costarricenses pero aun asiacute no fue funcional esto
debido que existe poca cobertura en los hogares la llamadas documentos y archivos en
general no cargan
Se tiene el tiempo limitado para el acompantildeamiento virtual una de las poliacuteticas del MEP es
no trasladar el centro educativo a los hogares En el caso de matemaacuteticas estas pasan de 5
lecciones de 40 minutos por semana a un maacuteximo una hora de semanalmente Otro factor
determinante es la asistencia al no ser obligatoria muchos de los estudiantes no muestran
intereacutes en asistir a las sesiones Ademaacutes no existe un acompantildeamiento ni un compromiso
real por parte de los encargados legales en todo este proceso
Todo esto desencadena problemas para la comprensioacuten de conceptos propiamente
matemaacuteticos los estudiantes enviacutean mensajes como ldquoHola buenos diacuteas profe vieras que no
estoy recibiendo lecciones por Teams y la verdad no entiendo la guiacuteardquo ldquoHola Profe vieras
que quitaron el wifi en mi casa y no ingreso a Teams y tengo muchas dudas de los ejerciciosrdquo
este tipo de mensajes se dieron con mayor frecuencia con el avance del curso lectivo
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Despueacutes de convivir con todas estas limitaciones el docente tiene que reinventarse y pensar
en diferentes estrategias recursos o aplicaciones que se adapten y motiven a la poblacioacuten
educativa como se menciona en los programas de estudios del Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica (2012) ldquoEn el aprendizaje son decisivas la motivacioacuten y intereacutes y en general todas
las dimensiones afectivas por lo que se adopta una visioacuten integral y humanista sobre la
ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (p37)
Ante las limitaciones que presentaba la poblacioacuten los docentes proceden a buscar diferentes
estrategias para continuar con el proceso educativo con todos los estudiantes de ahiacute nace la
necesidad de utilizar WhatsApp se graban videos se enviacutean fotos se aclaran dudas o se
hacen video llamadas para explicar un determinado tema
Se preguntaraacuten iquestPor queacute WhatsApp y no YouTube o Vimeo La respuesta es muy sencilla
es una aplicacioacuten que la mayoriacutea de las personas tiene en su celular la saben utilizar si la
docente enviacutea un video o un audio con la explicacioacuten de alguacuten tema solo genera un gasto a
la hora de la descarga y queda guardado en el dispositivo y puede utilizarlo cada vez que asiacute
lo requiera Era el medio maacutes factible y el que ofreciacutea mayores ventajas como se menciona
en el artiacuteculo de la revista de investigacioacuten en educacioacuten este recurso
Favorece la cooperacioacuten entre estudiantes Mejora la relacioacuten entre profesor y
alumnoSe establece una relacioacuten maacutes personalizada con el profesor por tanto
personaliza el aprendizaje Motivacioacuten del alumnado para aprender al mantener una
actitud positiva hacia el uso educativo del WA Promueve la participacioacuten incluso del
alumnado maacutes retraiacutedo o tiacutemido Ampliacutea las posibilidades creativas para los
estudiantes Promueve la lectura de textos cientiacuteficos Accesibilidad a materiales
formativos en varios formatos Posibilita dejar mini clases grabadas oralmente Abre
un canal para exponer y expresar ideas Posibilita la evaluacioacuten diagnoacutestica sobre los
conocimientos de los alumnos (Suarez 2018 p128)
A continuacioacuten (Figura 2) un extracto de la comunicacioacuten docente-estudiante utilizando
Whastapp
Figura 2
Extracto de la comunicacioacuten docente-estudiante por medio de Whatsapp
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Por otro lado los problemas de conectividad que tuvo esta poblacioacuten repercuten en la
imposibilidad de usar aplicaciones y programas propiamente matemaacuteticos Incluso algunos
no cuentan con calculadora propia pues las limitaciones econoacutemicas no les permitiacutean
adquirir una Este uacuteltimo punto rompe con uno de los cinco ejes disciplinares propuestos en
los programas de estudio como es el uso de la tecnologiacutea como un recurso para que el
estudiante construya su propio conocimiento
Las tecnologiacuteas pueden ser un poderoso aliado para potenciar el pensamiento
matemaacutetico Y es precisamente en la resolucioacuten de problemas en entornos reales donde
eacutestas pueden aportar sus beneficios de la mejor manera en contextos de aprendizaje
que fortalezcan las habilidades y capacidades matemaacuteticas (Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica 2012 p37)
La aplicacioacuten Mathway vino a ser un aliado para los estudiantes que no podiacutean adquirir una
calculadora y ademaacutes les ayudaba a verificar el resultado de ejercicios matemaacuteticos que se
les proponiacutean en la GTA
4 Conclusiones y recomendaciones
De la experiencia en el Colegio Mariacutea Inmaculada y en la Unidad Pedagoacutegica San Diego se
puede concluir que no se teniacutea un camino claro de coacutemo lograr una educacioacuten virtual pues
no se formaron a los docentes para trabajar en este escenario ni se teniacutea los recursos
necesarios para desarrollar a cabalidad esta modalidad De ahiacute que surgieron muchos retos
que se tuvieron que solventar en la marcha Es gracias a la labor docente y administrativa que
se logra continuar con un proceso educativo dentro de las posibilidades sin embargo Costa
Rica no estaacute preparada para este cambio Auacuten falta mucho camino por recorrer Ni siquiera
podemos asegurar una conectividad del 100 de los alumnos
Pese a las limitaciones que se dieron existieron estudiantes muy comprometidos
responsables aplicados que desde el primer momento realizaron sus trabajos como si
estuvieran en el aula Es digno de resaltar los valores mostrados por estos joacutevenes siendo
esto un aliciente para los docentes que con gran vocacioacuten realizaban su trabajo
Una de las ensentildeanzas maacutes valiosas que se pudo constatar con esta experiencia es la
importancia del profesor en algunos hasta casos desvalorizados Por maacutes tecnologiacutea de punta
y guiacuteas de trabajo autoacutenomo se necesita el calor humano del docente que en forma presencial
desarrolle la leccioacuten La interaccioacuten profesorndashestudiante frente a frente es un elemento que
no podemos dejar en el olvido La educacioacuten virtual siacute permitioacute el aprendizaje de algunas
habilidades del programa de estudios pero de forma maacutes lenta y con maacutes dificultades que si
se estuviera en forma presencial
Ya se ha dado un gran avance en la educacioacuten virtual se recomienda a un futuro pensar en
una modalidad dual que implemente tanto la virtualidad como la presencialidad Ambas
tienen ventajas que pueden enriquecer el proceso educativo
Es importante pensar a un futuro en instrumentos de evaluacioacuten sumativa metodologiacuteas de
trabajo virtual y plataformas que se adapten mejor a las condiciones de toda la poblacioacuten
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Ademaacutes se recomienda capacitar a los docentes en el uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
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Simulacioacuten con el paquete CODAP para resolver
problemas estocaacutesticos
Greivin Ramiacuterez Arce
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica y Universidad de Costa Rica
gramirezitcraccr
Resumen Se pretende en el taller la simulacioacuten de problemas estocaacutesticos a traveacutes de la
herramienta Common Online Data Analysis Platform (CODAP) que es un paquete web
gratuito de libre acceso dinaacutemico con diversidad de elementos graacuteficas para la
representacioacuten de datos y de raacutepida curva de aprendizaje pues su nivel de programacioacuten es
baacutesico Se propone la simulacioacuten de cinco problemas de probabilidad con su respectiva
solucioacuten teoacuterica llegada de autobuses encuentro entre amigos torres de electricidad signos
del zodiaco y el banco abarcando temas como distribucioacuten binomial probabilidad
geomeacutetrica probabilidad de eventos conjuntos y complementos conteo y teoriacutea de colas
Palabras clave CODAP simulacioacuten probabilidad
1 Introduccioacuten
En el proceso repetitivo de seleccioacuten de muestras aleatorias se puede aproximar la
probabilidad de problemas basados en la frecuencia relativa del nuacutemero de eacutexitos obtenidos
en n experimentos La ley de los grandes nuacutemeros respalda estas aproximaciones y se puede
aplicar en temas como caacutelculo de probabilidad de eventos simples y compuestos ensayos
de Bernoulli distribucioacuten binomial probabilidad geomeacutetrica y probabilidad condicional
Se presenta a continuacioacuten una posible simulacioacuten a problemas probabiliacutesticos que facilitan
su comprensioacuten con respecto a la solucioacuten teoacuterica alejaacutendose inicialmente del formalismo
matemaacutetico Distintos investigadores a nivel mundial respaldan el uso de la tecnologiacutea
Fernaacutendez et al (2009) Biehler et al (2013) Tabak et al (2019) y a la vez se promueve
como una herramienta uacutetil de desarrollo de instruccioacuten en muchos curriacuteculos educativos
como el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (MEP) en Costa Rica la Secretariacutea de Educacioacuten
Puacuteblica (SEP) en Meacutexico el Ministerio de Educacioacuten y Formacioacuten Profesional (MEFP) en
Espantildea entre otros
La simulacioacuten en el paquete CODAP a traveacutes del proceso repetitivo de experimentos daraacute
una buena aproximacioacuten a la solucioacuten de problemas y a la vez permite la visualizacioacuten desde
el proceso constructivo de la distribucioacuten la obtencioacuten de datos la representacioacuten de ellos y
el caacutelculo final de la frecuencia relativa para la toma de decisiones
El disentildeo del paquete CODAP por el consorcio Concord fue hecho pensando en una
herramienta STEM (Science Technology Engineering and Mathematics) que permite el
acceso a datos cientiacuteficos reales a traveacutes de sus bases para explorar visualizar calcular y
entonces tomar decisiones
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Se puede acceder al paquete en la direccioacuten httpscodapconcordorg
Requerimientos del taller
Solo se requiere contar con internet pues CODAP se utiliza en liacutenea
2 Actividades
21 Simulacioacuten de autobuses
Imagine que estaacute esperando un autobuacutes en una terminal que estaacute muy saturada Uno de cada
cuatro autobuses que llegan en forma aleatoria le puede llevar a su destino iquestCuaacutel es la
posibilidad que entre los primeros cinco autobuses que arriban se encuentre al menos uno
que te lleve a tu destino
Seleccione la opcioacuten de Sampler en la barra de herramientas Plugins del software
Cree la distribucioacuten de buses seguacuten la hipoacutetesis del enunciado (uno de cada cuatro
autobuses le puede llevar a su destino Se toma 1 el bus me lleva 0 el bus no me lleva)
Asiacute
Figura 1
Creacioacuten de la distribucioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
a Por omisioacuten el programa toma como primer experimento tres muestras de tamantildeo cinco
con reemplazo Seleccione START para iniciar la animacioacuten
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Figura 2
Simulacioacuten del primer experimento
Nota Elaboracioacuten propia
En su caso iquesten los tres experimentos pudo ir a su destino
b Realice tres experimentos (equivale a 9 muestras de tamantildeo 5) iquestDe esas nueve muestras
en cuaacutentas ocasiones pudo ir a su destino
c Agregue un nuevo atributo en la tabla de muestras llamado Me lleva o no
Figura 3
Cuenta eacutexitos
Nota Elaboracioacuten propia
d Repita la cantidad de experimentos que desee y utilice la calculadora para contar el
nuacutemero de ocasiones del total de muestras en las que de cada cuatro buses que llegaron a
la estacioacuten pudo ir a su destino
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Figura 4
Probabilidad de eacutexito
Nota Elaboracioacuten propia
e Consulte la cantidad de eacutexitos que obtuvo el compantildeero (a) del lado y suacutemelo a la
cantidad de eacutexito que usted obtuvo Calcule nuevamente el nuacutemero de ocasiones del total
de muestras entre los dos en las que de cada cuatro buses que llegaron a la estacioacuten
pudieron ir a su destino
Solucioacuten teoacuterica
Sea 119883 el nuacutemero de buses que lo llevan al destino de los cinco que llegan de manera
aleatoria
119883~119861 (119899 = 5 119901 =1
4) donde su funcioacuten de probabilidad estaacute dada por
119891119883(119896) = 119862(119899 119896)119901119896119902119899minus119896 con 119896 = 012 hellip 5
119875(119883 ge 1) = sum 119862(5 119896) (1
4)
1198965
119896=1
(3
4)
5minus119896
=781
1024asymp 0762695
22 Encuentro entre amigos
Dos amigos han decidido encontrarse en un restaurante entre 8 y 9 de la noche Cada uno
de ellos entra al restaurante en forma aleatoria en cualquier minuto de ese periodo y esperan
16 minutos maacuteximo y luego se retiran iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que se encuentren
a Arrastre una tabla con las siguientes columnas
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Figura 5
Definicioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
b Asigne un tiempo aleatorio de llegada del primer amigo y del segundo amigo entre las 8
y las 9
Figura 6
Tiempo de llegada de los amigos
Nota Elaboracioacuten propia
c Obtenga la diferencia absoluta entre los tiempos de llegada de los dos amigos
d Defina si los amigos se encuentran o no seguacuten la diferencia de los tiempos de llegada
Figura 7
Diferencias en tiempos de llegada
Nota Elaboracioacuten propia
e Aumenta a 1000 el nuacutemero de llegadas de los amigos y calcula la probabilidad empiacuterica
de que los dos amigos se encuentren
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iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que no se encuentren
iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que se encuentren a la entrada del restaurante
Solucioacuten teoacuterica
23 Torres de Electricidad
Los pueblos A B C y D estaacuten enlazados por liacuteneas de transmisioacuten eleacutectrica entre A y B A
y C B y C y C y D La planta generadora estaacute en A (ver la Fig ) Durante una tormenta
severa la probabilidad que alguna liacutenea en particular se caiga por defecto del clima es 02 y
es independiente de cualquier liacutenea iquestCuaacutel es la probabilidad que el pueblo D tenga energiacutea
eleacutectrica despueacutes de la tormenta iquestQueacute es maacutes probable que haya energiacutea en el Pueblo D
despueacutes de una tormenta severa o que no haya
a Construya la tabla correspondiente y escribe los siguientes atributos LiacuteneaAB LiacuteneaAC
LiacuteneaBC LiacuteneaCD y PuebloD
b Asigne a cada atributo la foacutermula
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Figura 8
Definicioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
Donde 1 significa que la liacutenea funciona perfectamente mientras que 0 significa que hay un
defecto en la Liacutenea
Arrastre 1000 casos y analice algunos de los resultados
d Luego en el PuebloD tendraacute energiacutea eleacutectrica si se obtiene un 1 en caso contrario un 0 de
la siguiente forma
Figura 9
Electricidad en el pueblo D
Nota Elaboracioacuten propia
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Otras opciones
if(AB+BC+CD=31if(AC+CD=210))
if(lineaCDlineaAB=11if(lineaCDlineaABlineaBC=110))
if(LineaCD=00 if(LineaAC=1 1 if(LineaAB=1 and LineaBC=110 )))
Construya una graacutefica del nuacutemero de veces en las que hay electricidad en el pueblo D
Figura 10
Graacutefico de frecuencias del pueblo D
Nota Elaboracioacuten propia
iquestQueacute es maacutes probable que haya energiacutea en el Pueblo D despueacutes de una tormenta severa o
que no haya
Solucioacuten teoacuterica
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Por lo que despueacutes de una tormenta severa es maacutes probable que haya electricidad (p =
07424) en el pueblo D a que no haya (q = 02576)
24 Los signos del zodiaco
Problema 1
Estimar la probabilidad de que en un grupo de 5 personas al menos dos de ellas tengan el
mismo signo del Zodiaco (Hay 12 signos zodiacales y asumieacuteramos que cada signo es
igualmente probable para cualquier persona) iquestQueacute tan alta crees que es la probabilidad
a Seleccione la opcioacuten de Sampler en la barra de herramientas Plugins del software
b Cree la distribucioacuten de signos zodiacales Asiacute
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Figura 10
Creacioacuten de la distribucioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
c Por omisioacuten el programa toma como primer experimento tres muestras de tamantildeo cinco
con reemplazo Varieacute los paraacutemetros para que tome 100 muestras de tamantildeo 5 Seleccione
START para iniciar la animacioacuten
En su caso en la primera muestra iquestal menos dos de ellos tienen el mismo signo del
zodiaco
d Defina en cada una de las 100 muestras en cuaacuteles de ellas resulto al menos dos personas
con el mismo signo del zodiaco Asiacute
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Figura 11
Tienen mismo signo
Nota Elaboracioacuten propia
Se define la foacutermula en MismoSigno
if(count(value = Caacutencer) gt 1 1 0) + if(count(value = Capricorneo) gt 1 1 0) +
if(count(value = Aries) gt 1 1 0)+if(count(value = Tauro) gt 1 1 0) + if(count(value =
Geacutemenis) gt 1 1 0) + if(count(value = Acuario) gt 1 1 0)+if(count(value = Leo) gt 1
1 0) + if(count(value = Piscis) gt 1 1 0) + if(count(value = Virgo) gt 1 1
0)+if(count(value = Sagitario) gt 1 1 0) + if(count(value = Libra) gt 1 1 0) +
if(count(value = Escorpioacuten) gt 1 1 0)
e Determine la probabilidad de que en cada grupo de 5 personas al menos dos de ellas
tengan el mismo signo del Zodiaco
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Figura 12
Probabilidad de cada grupo tenga al menos dos personas con el mismo signo zodiacal
Nota Elaboracioacuten propia
Solucioacuten teoacuterica
Sean
X el evento de que al menos dos personas tienen el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
el evento de que ninguna persona tiene el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
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Problema 2
Ahora estamos interesados en estimar la probabilidad de que al menos una persona de un
grupo de cinco personas tenga el mismo signo zodiacal que tuacute
El proceso va a cambiar a partir del cuarto paso
a Defina en cada una de las 100 muestras en cuaacuteles de ellas resulto al menos una persona
que tiene el mismo signo zodiacal que tuacute (supongamos que eres Caacutencer) Asiacute
Figura 13
Tienen signo Caacutencer
Nota Elaboracioacuten propia
b Determine la probabilidad de que en cada grupo de 5 personas al menos una de ella
tenga signo Caacutencer
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Figura 12
Probabilidad de cada grupo tenga al menos una persona Caacutencer
Nota Elaboracioacuten propia
Solucioacuten teoacuterica
Sean
X el evento de que al menos dos personas tienen el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
el evento de que ninguna persona tiene el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
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25 El banco
Un banco de la ciudad soacutelo abre dos ventanillas para atender a sus clientes El nuacutemero de
clientes que llega al banco variacutea en forma entre 0 y 5 por minuto Los clientes forman una
liacutenea y la persona de adelante pasa a la primera ventanilla disponible En las ventanillas se
atiende una persona por minuto Disentildea una simulacioacuten y registra el nuacutemero de personas en
la liacutenea de espera al final de cada minuto Usa una tabla como la siguiente
Minuto Nuacutemero de clientes
que llegan
Nuacutemero de clientes
esperando en liacutenea
Tiempo de espera
para la uacuteltima
persona (minutos)
1 3 1 1
2 4 3 2
1 iquestCuaacutel es la longitud de la fila despueacutes de cinco minutos
2 iquestCuaacutel es el tiempo que una persona tiene que esperar si llegoacute en el minuto 10
3 iquestCuaacutentas veces el tiempo de espera se redujo a cero
4 iquestCuaacutel es el promedio de personas esperando sobre el periacuteodo de 20 minutos
5 Si tuacute fueras gerente de un banco iquestincrementariacuteas o disminuiriacuteas el nuacutemero de
ventanillas
a Construya en CODAP una tabla que contenga las siguientes columnas
Figura 13
Creacioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
En el minuto cero auacuten no han llegado clientes al banco
b Asignar la foacutermula caseindex a la columna Minuto
c Asignar un nuacutemero aleatorio entre cero y cinco a la columna NumClientesArriban en
cada minuto que transcurre Este nuacutemero seraacute la cantidad de personas que arriban al banco
por minuto Asiacute
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Figura 14
Personas que arriban al banco por minuto
Nota Elaboracioacuten propia
d Se contabilizan las personas que permanecen haciendo fila con la siguiente foacutermula
asignada a NumClientesenLinea
Figura 15
Personas hacen fila
Nota Elaboracioacuten propia
e Se calcula el tiempo de espera de la uacuteltima persona que estaacute haciendo fila asignando la
foacutermula
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Figura 16
Tiempo en la fila de la uacuteltima persona
Nota Elaboracioacuten propia
f Cree casos hasta el minuto 60 para determinar lo que pasa despueacutes de una hora
g Grafique y obtenga el promedio del Tiempoenespera en los 60 minutos
iquestSi tuacute fueras gerente de un banco iquestincrementariacuteas o disminuiriacuteas el nuacutemero de ventanillas
Referencias bibliograacuteficas
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154
Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano
Guillermo Alfonso Brenes Tencio
Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica Costa Rica
guillermobrenestenciomepgocr
Resumen En el presente trabajo analizamos los signos de poder presentes en una seleccioacuten de
retratos elaborados en Hispanoameacuterica colonial durante los siglos XVII y XVIII
Palabras clave Retratos Iconografiacutea del poder Hispanoameacuterica Colonial
1 iquestQueacute se entiende por retrato
El retrato se puede entender como la expresioacuten visual perceptiva de un sujeto (Borja 2011
Burke 2005) Ante una imagen se estaacute en presencia de una percepcioacuten El geacutenero del retrato
forma parte de la cultura visual de las sociedades americanas durante la dominacioacuten ejercida
por la Monarquiacutea espantildeola durante casi trescientos antildeos (Moya 2001 Peacuterez y Quezada
2009) iquestQuieacutenes se retrataban Los funcionarios reales miembros de la alta jerarquiacutea
eclesiaacutestica e individuos (hombres y mujeres) de las maacutes distinguidas familias de la elite
hispanoamericana
2 iquestCuaacuteles son algunas caracteriacutesticas de los retratos coloniales
Los retratos reproducen los rasgos fiacutesicos y la posicioacuten social de los personajes
Los retratos se caracterizan por la riqueza del colorido y la minuciosidad en los
detalles
Estaacuten impregnados de un profundo simbolismo
Los retratos manifiestan no solo la identidad individual y colectiva sino tambieacuten las
cualidades fiacutesicas morales y sociales
Los retratados eran muy conscientes de la muerte y la pintura era una forma de
trascender
Se colocaban en las salas de las residencias virreinales los palacios arzobispales y los
conventos femeninos
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155
3 Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano
31 Retratos de virreyes
El virrey era el representante del Rey en sus dominios americanos Su lsquorsquoalter egorsquorsquo (Museo
Colonial de Bogotaacute 2020) En los retratos pictoacutericos el virrey como es el caso por ejemplo
del cuadro que representa a don Joseacute Soliacutes Folch de Cardona (1716 ndash 1770) suele aparecer
con la mirada hacia el frente con la espalda erguida y una mano en la cintura sentildeal de la
dignidad de su cargo asiacute como de su poderiacuteo poliacutetico y socioeconoacutemico Uno de los siacutembolos
del poder del virrey era su bastoacuten de mando Otros signos de poder son el tricornio o
sombrero de tres puntas el cortinaje carmesiacute y el escudo familiar que representaba el noble
linaje del retratado de origen madrilentildeo (Figura 1)
Figura 1
Joaquiacuten Gutieacuterrez Retrato de D Joseacute Soliacutes y Folch de Cardona virrey de Nueva Granada
Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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32 Retratos de damas de la elite virreinal
Un caso es el retrato de la noble dama Mariacutea Tadea Gonzaacutelez Manrique del Frago y Bonis
(1736 ndash 1780) quien estaacute vestida con un riquiacutesimo traje de tela estampado realizado con tela
china La marquesa luce una amplia diversidad de alhajas como signo de su elevado nivel
social y econoacutemico (Museo Colonial de Bogotaacute 2020) Dontildea Mariacutea Tadea aparece retrata
realiacutesticamente pero con rasgos faciales simplificados y una piel que luce impecablemente
tersa En el retrato se evidencian signos de estatus escudo de armas un cortinaje carmesiacute y
el uso de la cartela (datos biograacuteficos de la marquesa de San Jorge de Bogotaacute) (Figura 2)
Figura 2
Joaquiacuten Gutieacuterrez Retrato de dontildea Mariacutea Tadea Gonzaacutelez Manrique del Frago y Bonis
marquesa de San Jorge Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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33 Retratos de miembros de la alta jerarquiacutea eclesiaacutestica
El arzobispo de Nueva Espantildea Don Manuel Joseacute Rubio y Salinas (1703 ndash 1765) estaacute
representado de forma realista y de cuerpo entero (Figura 3) Estaacute vestido con su suntuoso
traje eclesiaacutestico y luce una cruz pectoral Aparece sentado sobre un magniacutefico silloacuten de
madera moldurada La mitra que descansa sobre una mesa denota su maacutexima autoridad
religiosa Aparecen signos de poder como el escudo familiar el cortinaje y la cartela La
imagen de Cristo crucificado es un signo de que el arzobispo era un hombre de profunda fe
y de una vida religiosa presuntamente ejemplar
Figura 3
Miguel Cabrera Retrato del arzobispo de Meacutexico Dr Manuel Joseacute Rubio y Salinas Oacuteleo
sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo de Bellas Artes de Boston
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158
34 Retratos de monjas coronadas
Los retratos de las religiosas se realizaban para conmemorar dos momentos fundamentales
de la vida espiritual la profesioacuten de fe (nupcias miacutesticas con Jesucristo) y la muerte (Lavrin
2016 Montero 2002) En el caso del retrato de Sor Matiana Francisca del Sentildeor San Joseacute
(siglo XVIII) la religiosa yace en su lecho ricamente ataviada su cabeza reposa en un
almohadoacuten blanco Cintildee su cabeza una exuberante corona de flores siacutembolo de la vida y la
muerte En sus manos entrelazadas sobre el pecho lleva un ramo de azucenas como siacutembolo
de pureza de la fenecida (Figura 4)
Figura 4
Retrato de Sor Matiana Francisca del Sentildeor San Joseacute (vicaria) Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Anoacutenimo
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4 Algunas historias por detraacutes de los retratoshellip
41 Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz
La joven dama Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz (1715 ndash 1767) dotada de una gran
inteligencia y sensibilidad perteneciacutea a una acaudalada familia de la eacutelite del Virreinato de
la Nueva Espantildea (Lavrin 2016) Estaacute retratada de cuerpo entero y exhibe un lujoso vestido
bordeado en hilos de plata y seda (Figura 5) Porta diversas joyas y un abanico cerrado en
una de sus manos El cortinaje (posiblemente de seda o terciopelo) sentildeala que la escena
ocurre en un espacio interior En un costado hay un lujoso mueble labrado que es un reloj
(idea de la medicioacuten o el paso del tiempo)
Figura 5
Retrato de Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII Museo de
Soumaya
Nota Anoacutenimo
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42 Sor Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz
Mariacutea Ignacia ingresa a una orden religiosa (Congregacioacuten de Mariacutea) e invierte su inmensa
fortuna en el fomento de la educacioacuten de nintildeas y joacutevenes novohispanas (funda un colegio ndash
convento) (Lavrin 2016) Sor Mariacutea Ignacia aparece vestida con el austero haacutebito religioso
y en una de sus manos porta un libro (una de sus aficiones era la lectura) y un escapulario
siacutembolo de la vida asceacutetica Su postura es de tres cuartos (Figura 6)
Figura 6
Andreacutes de Islas Retrato de Sor Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz Oacuteleo sobre tela Siglo
XVIII
Nota Convento de La Ensentildeanza de Meacutexico
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43 Don Antonio Caballero y Goacutengora
Don Antonio Pascual de San Pedro de Alcaacutentara Caballero y Goacutengora (1723 ndash 1796) fue
flamante virrey de la Nueva Granada y ademaacutes se desempentildeoacute como arzobispo de Bogotaacute
(Museo Colonial de Bogotaacute 2020) Aparece retratado con sus ropas eclesiaacutesticas y una
medalla de oro en el pecho En una de sus manos lleva el bastoacuten episcopal con cordoacuten y
bellotas En un costado aparece una mesa sobre la cual hay tres mitras que simbolizan su
poder religioso y las veces en que se desempentildeoacute como obispo En la parte superior izquierda
del retrato aparece un cortinaje carmesiacute y a la derecha el escudo familiar (Figura 7) Signos
inequiacutevocos de poder y prestigio que capitalizaba don Antonio Caballero y Goacutengora
Figura 7
Pablo Antonio Garciacutea del Campo Retrato de D Antonio Pascual de San Pedro de Alcaacutentara
Caballero y Goacutengora Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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44 Antonia de Pastrana y Cabrera Pretel
La nintildea retratada estaacute vestida con el haacutebito dominico (Gutieacuterrez 1995) y lleva sobre su cabeza
una corona de rosas blancas (signo de pureza e inocencia) Antonia luce aretes collares de
perlas y una cruz de oro con esmeraldas En el costado derecho se observa una mesa sobre la
que descansa una imagen del Nintildeo Jesuacutes El gesto de Antonia de Pastrana y Cabrera Pretel
es adusto y aparece retratada de cuerpo entero lo que evidencia que proveniacutea de una hija de
notable familia neogranadina (Figura 8)
Figura 8
Retrato de la nintildea Antonia Pastrana y Cabrera Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII Museo Santa
Clara de Bogotaacute
Nota Anoacutenimo
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5 Conclusiones
1 En los retratos de los virreyes se pueden observar signos de distincioacuten y de poder en el
uso de ricas vestimentas que denotan prestancia el uso de cortinajes que entronizan la
figura pintada sombreros escudos de familia y el bastoacuten de mando (siacutembolo de autoridad
poliacutetica y militar)
2 Los retratos de damas de la alta sociedad virreinal evidencian la influencia del estilo
cortesano franceacutes en sus elaborados peinados delicados vestidos confeccionados en sateacuten y
raso y las opulentas joyas de oro y piedras preciosas
3 Los retratos de personajes eclesiaacutesticos exaltan sus virtudes cristianas y labor
evangeacutelica y estatus social a traveacutes de signos como ropajes libros efigies sacras y otros
4 En los retratos de monjas muertas y coronadas se entremezclan los elementos simboacutelicos
y los significados religiosos (matrimonio miacutestico con Cristo y oacutebito)
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164
Tareas y estrategias metodoloacutegicas para plantear
problemas de modelizacioacuten matemaacutetica
Karen Porras Lizano
Universidad Nacional Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica Costa Rica
Karenporraslizanounaaccr
Gilberto Chavarriacutea Arroyo
Universidad Nacional Costa Rica
gilbertochavarriacuteaarroyounaaccr
Resumen La actividad de inventar o plantear problemas matemaacuteticos forma parte integral
del proceso de modelizacioacuten matemaacutetica y es considerada por algunos investigadores de
gran importancia dentro de la experiencia matemaacutetica de los estudiantes No obstante sigue
siendo una praacutectica poco explorada en las clases de matemaacutetica y que presenta dificultades
para los profesores ya que se requiere crear tareas y utilizar estrategias metodoloacutegicas
adecuadas seguacuten este enfoque Por tanto en este trabajo brindamos una propuesta de tarea
donde se estimula el planteamiento de un problema de modelizacioacuten matemaacutetica puede
servir como ejemplo para ser llevada al aula Al mismo tiempo en concordancia con lo
propuesto en los Programas de Estudio de Matemaacuteticas del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
permite acercar las matemaacuteticas a los estudiantes motivarlos y potenciar capacidades
cognitivas superiores
Palabras clave Planteamiento de problemas modelizacioacuten matemaacutetica educacioacuten
secundaria
1 Introduccioacuten
En una sociedad globalizada y ante un continuo avance de la tecnologiacutea de la informacioacuten y
comunicacioacuten las generaciones de joacutevenes enfrentan impredecibles cambios que deben
aprender a afrontar En consecuencia los sistemas educativos en todo el mundo deben ir de
la mano con este proceso vertiginoso de prioridades cambiantes donde las estrategias de
ensentildeanza y aprendizaje estaacuten influenciadas por este contexto (Singer et al 2015) Como
praacutectica de aprendizaje y pensamiento el planteamiento de problemas puede desempentildear un
papel fundamental en este proceso proporcionando oportunidades para construir significados
de forma activa al mismo tiempo que los profesores y estudiantes pueden crear conocimiento
juntos en una variedad de contextos y generar y abordar preguntas criacuteticas sobre el
conocimiento que se construye
Por otra parte desde la antiguumledad la modelizacioacuten matemaacutetica ha sido de gran importancia
por generar beneficios en la vida del ser humano permitiendo observar la conexioacuten entre la
matemaacutetica y la realidad cotidiana de esta (Castro y Castro 1997 Lombardo y Jacobini
2008) En la matemaacutetica escolar la modelizacioacuten involucra entornos reales fiacutesicos sociales
y culturales generando espacios de reflexioacuten y anaacutelisis En ellos se fomenta la construccioacuten
y comprensioacuten de los conceptos por parte del estudiante incentivando al mismo tiempo
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habilidades de gran potencial como la imaginacioacuten la creatividad o la invencioacuten (English y
Sriraman 2010 Lesh y English 2005 Loacutepez Molina y Castro 2017)
En este trabajo consideramos que el planteamiento de problemas forma parte integral del
proceso de modelizacioacuten matemaacutetica desarrollaacutendose dentro de sus fases (Hansen y Hana
2015) Es decir el problema y su construccioacuten constituye parte fundamental del proceso de
modelizacioacuten dado que la creacioacuten de un modelo matemaacutetico requiere de un mecanismo de
ajuste y reformulacioacuten continua del problema principal Ademaacutes durante el proceso de
modelizacioacuten se pueden formular conjeturas realizar un seguimiento y revisioacuten de las
preguntas del problema al mismo tiempo que se adquiere una posicioacuten criacutetica hacia el
modelo matemaacutetico y sus resultados (Hansen y Hana 2015)
2 Planteamiento de problemas en el proceso de modelizacioacuten matemaacutetica
En Costa Rica la ensentildeanza de la modelizacioacuten matemaacutetica se estaacute promoviendo desde el
antildeo 2012 con la implementacioacuten del plan de estudios de matemaacutetica desde los niveles de
educacioacuten primaria hasta los niveles de educacioacuten secundaria por parte del Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica (2012) En este documento una de las modificaciones fue la inclusioacuten de
la modelizacioacuten matemaacutetica como parte fundamental del curriacuteculo relacionando este proceso
con el planteamiento de problemas Asimismo la creacioacuten de problemas no es un mecanismo
nuevo se viene desarrollando desde hace varias deacutecadas atraacutes con diversas
conceptualizaciones formulacioacuten (Kilpatrick 1987) generacioacuten (Silver y Cai 1994)
planteamiento (Brown y Walter 1990) e invencioacuten (Castro 2008)
Ademaacutes en la investigacioacuten actual de la modelizacioacuten matemaacutetica existen muchas
perspectivas teoacutericas que describen este proceso pero sin consenso alguno Sin embargo
coinciden en que su objetivo principal es permitir la traduccioacuten de la realidad a una estructura
matemaacutetica (Rico 2009) En particular Galbraith y Stillman (2006) plantean cinco
transiciones en las cuales se construye el conocimiento matemaacutetico durante el proceso de
modelizacioacuten matemaacutetica (a) De la situacioacuten desordenada del mundo real a la declaracioacuten
del problema del mundo real (b) De la declaracioacuten de problemas del mundo real al modelo
matemaacutetico (c) Del modelo matemaacutetico a la solucioacuten matemaacutetica (d) De la solucioacuten
matemaacutetica al significado de la solucioacuten en el mundo real y (e) Desde el significado de la
solucioacuten en el mundo real hasta la revisioacuten del modelo o la solucioacuten de aceptacioacuten
En la primera transicioacuten de la situacioacuten desordenada del mundo real a la declaracioacuten del
problema del mundo real es donde se realiza el proceso de planteamiento del problema
creando los primeros borradores de este tomado en cuenta elementos de gran importancia
como lo es el contexto condiciones relevantes y los elementos correctos de las entidades
estrateacutegicas (Hansen y Hana 2015) Es decir es el proceso donde el estudiante construye su
propio problema proporcionando un contexto real y matemaacutetico a la vez con un objetivo o
interrogante que seraacute contestada durante el proceso de resolucioacuten (Aylloacuten 2012)
A su vez la invencioacuten de problemas estaacute iacutentimamente relacionada con la resolucioacuten de
problemas En este proceso el estudiante ademaacutes de inventar el problema estructura y
construye la solucioacuten del problema elabora un plan estrateacutegico de resolucioacuten formula las
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166
estrategias y representaciones del objeto matemaacutetico que utilizaraacute Involucrando los
conocimientos matemaacuteticos que posee intereses y experiencias personales es decir el
problema se reviste de significado para el estudiante por ser parte de eacutel y proporcionado a su
vez motivacioacuten en su aprendizaje Tambieacuten ldquocuando un individuo inventa un problema ha
alcanzado niveles de reflexioacuten complejos por tanto ha llegado a una etapa de razonamiento
que hace posible la construccioacuten del conocimiento matemaacuteticordquo (Aylloacuten 2012 p 34) lo que
reviste de importancia el trabajar en el aula el planteamiento de problemas
Silver y Cai (1996) mencionan una serie de beneficios en el aprendizaje del estudiante al
ensentildear por medio del planteamiento de problemas entre ellos destacamos los siguientes
incentiva la participacioacuten activa del estudiante en su aprendizaje estimula la creatividad
imaginacioacuten y curiosidad los estudiantes comprenden y analizan mejor los conceptos y los
procesos matemaacuteticos propicia una mejor actitud y disposicioacuten hacia la matemaacutetica
motiva que los estudiantes sean mejores resolutores de problemas potencia la autonomiacutea en
el aprendizaje de los estudiantes prepara a los estudiantes para su desempentildeo personal y
profesional futuro fuera de las aulas reduce la ansiedad y el miedo por las matemaacuteticas
entre otros
3 El papel del profesor en la invencioacuten de problemas
La seleccioacuten y aplicacioacuten de tareas adecuadas por parte del profesor determinan el desarrollo
de habilidades necesarias que requiere un buen resolutor En este sentido proponemos el
potenciar la aplicacioacuten del proceso de invencioacuten de problemas a traveacutes de abundantes y
variadas oportunidades relacionado con el proceso de resolucioacuten de problema con
modelizacioacuten matemaacutetica Al mismo tiempo se promueve que el estudiante construya
habilidades como creatividad el anaacutelisis la criticidad perseverancia entre otros
Asimismo autores como Aylloacuten (2012) realizan una clasificacioacuten de tipos de tareas que se
pueden trabajar en el proceso de invencioacuten de problemas (a) situaciones libres (b)
situaciones semiestructuradas y (c) situaciones estructuradas En el primer tipo de tarea los
estudiantes no tienen restriccioacuten para formular sus problemas En el segundo tipo los
estudiantes inventan sus problemas semejantes a otros antes trabajados o que respondan a
cierta informacioacuten o situacioacuten proporcionada El tercer tipo los estudiantes reformulan un
problema o se cambia alguna condicioacuten de este lo cual se puede dar antes durante o despueacutes
de la solucioacuten Tambieacuten se puede dividir el problema inicial en problemas maacutes sencillos
Con respecto a esto Aylloacuten (2012) propone una serie de estrategias que puede utilizar el
profesor para realizar el planteamiento de problemas en el aula de matemaacutetica por ejemplo
elegir una situacioacuten significativa para el estudiante que genere debate entre los estudiantes
y el docente Tambieacuten estimular el proceso de investigacioacuten por parte de los estudiantes antes
de formular el problema ademaacutes propiciar un espacio en confianza para la formulacioacuten de
preguntas o conjeturas Asimismo se puede utilizar analogiacuteas por ejemplo problemas
semejantes Utilizar la estrategia ldquoiquestQueacute pasariacutea siacuterdquo para cambiar la exigencia o ingresar
pequentildeas variantes del problema Al mismo tiempo la idea de estas estrategias es generar
motivacioacuten de los estudiantes y propiciar el desarrollo de las habilidades matemaacuteticas
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167
En resumen para trabajar el planteamiento de problemas en el aula de matemaacutetica el
profesor debe tomar en cuenta los siguientes aspectos para crear sus propias tareas (a) tipo
de tarea (b) plan de estudios y (c) caracteriacutesticas propias del estudiante En el primer aspecto
recomendamos considerar el tipo de tarea que se desea plantear es decir una situacioacuten libre
o semiestructurada o estructurada Tambieacuten las formas de presentar o comunicar la
informacioacuten las condiciones que debe tener el problema inventado y por uacuteltimo si se
requiere de investigacioacuten previa por parte del docente y los estudiantes
El segundo aspecto es el plan de estudios aquiacute debemos considerar el nivel educativo del
estudiante la habilidad matemaacutetica y el conocimiento matemaacutetico por construir Ademaacutes
que el docente debe ser conocedor de los tipos de representaciones matemaacuteticas del objeto
matemaacutetico que se quiere trabajar con la actividad de planteamiento de problemas
Por uacuteltimo recomendamos considerar las caracteriacutesticas propias del estudiante por ejemplo
las adecuaciones Los conocimientos previos contexto y recursos que posee el estudiante
Ademaacutes el docente debe tomar en cuenta los tipos de errores matemaacuteticos que sus estudiantes
pueden realizar durante la tarea
4 Un ejemplo de tarea de planteamiento de problemas
Con la finalidad de ilustrar las recomendaciones propuestas en el apartado anterior hemos
creado un ejemplo de tarea semiestructurada donde se puede trabajar el proceso de
planteamiento de un problema matemaacutetico la cual la exponemos a continuacioacuten
Figura 1
Ejemplo de actividad semiestructurada para el planteamiento de problemas
Se propone una actividad para estudiantes del nivel de sexto antildeo de educacioacuten primaria cuya
habilidad a trabajar seriacutea el ldquoplantear y resolver problemas aplicando proporcionalidad
directardquo y desarrollando conocimientos matemaacuteticos como razoacuten proporcioacuten directa
porcentaje y regla de tres Sin embargo la actividad tambieacuten se puede adaptar al nivel de
seacutetimo antildeo de educacioacuten secundaria cuya habilidad a trabajar es ldquoanalizar relaciones de
proporcionalidad directa e inversa de forma verbal tabular graacutefica y algebraicardquo y cuyos
conocimientos matemaacuteticos a desarrollar seriacutean los tipos de representaciones del tipo verbal
tabular graacutefica y algebraica
Suponga que tienes una empresa con las caracteriacutesticas que quieras
la cual produce una serie de productos que puedes comercializar Con
los precios de estos productos construye un problema de tal manera
que involucre a la vez el IVA
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168
Dicha actividad requiere de una investigacioacuten previa por parte del profesor dado que se
necesita tener conocimientos con respecto al Impuesto de valor agregado (IVA) Ademaacutes
fue revisada y validada por los dos investigadores y por una maestra del nivel de primaria
Posteriormente se realizoacute una prueba piloto con un estudiante del nivel de sexto antildeo de
educacioacuten privada Sin embargo este tipo de actividad se puede llevar a cabo en educacioacuten
puacuteblica En la Figura 2 se muestra el resultado de la invencioacuten del estudiante que participoacute
en la prueba piloto
Figura 2
Creacioacuten de un menuacute de cafeacute como simulacioacuten de una empresa
En la figura anterior se muestra como el estudiante fue capaz de crear un menuacute de cafeacute para
simular su propia empresa Para esto previamente el estudiante realizoacute una indagacioacuten del
tipo de empresa que queriacutea inventar ademaacutes de los productos y precios sin el IVA que queriacutea
comercializar En esta actividad se involucraron toacutepicos de Estudios Sociales tales como
impuesto directos e indirectos los tipos de productos que son grabados y su respectivo
porcentaje de impuesto logrando que la actividad sea interdisciplinaria Asimismo se puede
involucrar otras materias del nivel de primaria como lo son los idiomas espantildeol o ingleacutes
como se observa en la Figura 2 Luego realizoacute la creacioacuten de su propio problema imaginando
una situacioacuten que se podriacutea dar en la vida real con su empresa En la siguiente figura se
expone la invencioacuten del estudiante
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Figura 3
Ejemplo de problema inventado por estudiante con su propia empresa
En cuanto al proceso de modelizacioacuten aplicado el estudiante relacionado con el
planteamiento del problema se pudo observar que aplicoacute las cinco transiciones propuestas
por Galbraith y Stillman (2006) Es decir en primer lugar comienza con una situacioacuten
desordenada el crear la empresa y proponer los productos que desea comercializar ordena y
organiza la informacioacuten concibiendo el problema y al mismo tiempo formula un plan
estrateacutegico para obtener la solucioacuten En el problema se visualiza los personajes es una familia
y plantea una situacioacuten cotidiana que se puede dar en la vida real si la empresa fuera
verdadera
En la segunda transicioacuten el estudiante organiza la informacioacuten de tal manera que logra
generar un modelo matemaacutetico esto lo observamos en la figura 3 en el ordenamiento inicial
de los precios que utilizara posteriormente en una operacioacuten baacutesica aritmeacutetica Como tercera
transicioacuten se obtiene que el estudiante elabora la solucioacuten matemaacutetica para ello suma todos
precios para obtener la cantidad total que se le debe cobrar a la familia sin incluir el IVA
utilizando para esto un tipo de representacioacuten simboacutelico numeacuterico Posteriormente utiliza la
regla de tres por medio de una representacioacuten tabular para calcular el 13 del IVA por ser
un servicio y realiza el caacutelculo utilizando nuevamente el sistema de representacioacuten simboacutelico
numeacuterico El monto que obtiene por 13 es adicionado al resultado de la suma de los precios
del primer paso Luego se observa que brinda una respuesta a la luz de las condiciones del
problema dotando de significado de la solucioacuten en el mundo real Por uacuteltimo realiza una
revisioacuten de todos los procesos matemaacuteticos realizados para obtener y aceptar la solucioacuten final
del problema
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
170
Por otra parte al ser la empresa de la propia autoriacutea del estudiante se evidencia sus intereacutes y
experiencias personales por lo que el problema representa para este una situacioacuten
significativa Ademaacutes en aula puede generar debate entre los mismos estudiantes y el
profesor utilizando la estrategia ldquoiquestQueacute pasariacutea siacuterdquo para cambiar la cantidad de integrantes
de la familia cambiar los productos guiar al estudiante en el pensamiento de que otros
impuestos se involucran la situacioacuten entre otras variantes
5 Conclusiones
El planteamiento de problemas como herramienta pedagoacutegica y como parte integral de la
modelizacioacuten matemaacutetica ha tomado auge desde finales del siglo XX El reto de los docentes
en nuestros diacuteas consiste en conocer la realidad de los estudiantes y aprovechar los recursos
del entorno para proponer tareas que les permitan a sus alumnos inventar problemas
matemaacuteticos Las estrategias y la tarea propuesta que se proponen en este trabajo constituyen
un esbozoacute de algunas diferentes formas de presentar y trabajar situaciones cotidianas que
ofrece oportunidades y desafiacuteos para la aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos relacionado con
el planteamiento de problemas
Esta aacuterea de investigacioacuten requiere maacutes estudios que permitan profundizar sobre las bondades
y retos de implementar la invencioacuten de problemas en el aula Con todo se vislumbran algunas
oportunidades de oro en la combinacioacuten de planteamiento de problemas y modelado
matemaacutetico en contextos escolares
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(2020 octubre 13-17 Costa Rica) - Cartago Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2021
171 paacuteginas
ISBN 978-9930-541-86-9
1 Matemaacutetica 2 Educacioacuten 3 Ciencias 4 Tecnologiacutea 5 Sociedad
Lic Carlos Alberto Monge Madriz
Editor
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
3
Iacutendice de contenidos
Presentacioacuten 5
Creacioacuten de animaciones para la visualizacioacuten de la geometriacutea en tercera dimensioacuten usando el
software GeoGebra (XII FIMAT) 9
Joseacute Pablo Calderoacuten Gairaud y Steven Gabriel Saacutenchez Ramiacuterez
Efectividad de la cartografiacutea participativa en la ensentildeanza de la Gestioacuten Integral de Riesgo de
Desastres Un ejemplo de aplicacioacuten en el centro educativo Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
(XXI CONCITES) 22
German Alvarado Luna y Neyfren Salazar Aguilar
El contexto en el aprendizaje de las ciencias iquestde quieacuten y para queacute (XXI CONCITES) 30
Antonio Alejandro Lorca Mariacuten y Diego Armando Retana Alvarado
El uso del Meme como recurso pedagoacutegico y evaluativo (XXII CONCITES) 38
Hairo Zuacutentildeiga-Alvarado
Estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de la quiacutemica (XXI CONCITES) 45
Carla Goacutemez Quiroacutes
Elaboracioacuten de iacutetems en Geometriacutea y GeoGebra como herramienta de apoyo en la construccioacuten
de las figuras (XII FIMAT) 53
Estiacutebaliz Rojas Quesada y Eric Padilla Mora
Etnomodelacioacuten La Modelacioacuten en la Cultura (XXII CONCITES) 63
Daniel Clark Orey y Milton Rosa
Herramientas 20 ldquoAlgunas opciones para sumar a nuestras clasesrdquo (XXI CONCITES) 74
Carlos L Chanto Espinoza y Marlene Duraacuten Loacutepez
Las direcciones a la tica como un recurso para ensentildear matemaacuteticas (XII FIMAT) 81
Marcela Garciacutea Jesennia Chavarriacutea Mariacutea Elena Gavarrete y Margot Martiacutenez
Homotecias con GeoGebra (XII FIMAT) 88
Grethel Ramiacuterez Goacutemez
Non Charismatic Species Implicaciones didaacutecticas y formacioacuten del profesorado (XXII
CONCITES) 94
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo y Juan Felipe Herrera Polaniacutea
Polinomios generadores de nuacutemeros primos (XII FIMAT) 104
Ronald Cordero Meacutendez
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Propuesta metodoloacutegica para el aprendizaje de Sucesiones en la modalidad de Educacioacuten
Abierta (XII FIMAT) 117
Charlene Loacutepez Quesada Luis Fernando Mejiacuteas Molina y Jennifer Tatiana Quesada
Retos de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico y uno privado (XII FIMAT) 128
Jennifer Aragoacuten Monge y Paulina Coto Mata
Simulacioacuten con el paquete CODAP para resolver problemas estocaacutesticos (XXII CONCITES)
137
Greivin Ramiacuterez Arce
Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano (XXII CONCITES) 154
Guillermo Alfonso Brenes Tencio
Tareas y estrategias metodoloacutegicas para plantear problemas de modelizacioacuten matemaacutetica
(XII FIMAT) 164
Karen Porras Lizano y Gilberto Chavarriacutea Arroyo
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Presentacioacuten
En el 2020 organizamos el XII FIMAT Festival Internacional de Matemaacuteticas y el XXII CONCITES
Congreso Nacional de Ciencia Tecnologiacutea y Sociedad con gran participacioacuten nacional e internacional
En consideracioacuten a las restricciones del periacuteodo y la necesidad de actualizacioacuten de los docentes se
unieron los dos grandes programas en un evento virtual que se llevoacute a cabo del 13 al 17 de octubre 2020
El evento se organizoacute en bloques vespertinos de martes a viernes y la mantildeana del saacutebado
El congreso contoacute con una declaracioacuten de intereacutes educativo por el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de
Costa Rica
Para desarrollar el programa se contoacute con un gran comiteacute organizador interinstitucional que unioacute
esfuerzos
El comiteacute organizador reunioacute 15 entidades puacuteblicas y privadas
Se conformoacute un equipo de 14 moderadores voluntarios de estudiantes colegiales (Blue Valley) y
universitarios (TEC)
Instituciones coorganizadoras del XII FIMAT y XXII CONCITES 2020
Fundacioacuten CIENTEC Blue Valley School SINAC Ministerio de Ambiente y Energiacutea UCR-Escuela de
Formacioacuten docente y Educacioacuten matemaacutetica Universidad de Costa Rica UNA- Sede Regional Brunca
Sede Regional Chorotega y Escuela de Matemaacutetica de la Universidad Nacional TEC- Escuela de
Ciencias Naturales y Exactas (San Carlos) la Escuela de Matemaacutetica y Escuela de Fiacutesica del Instituto
Tecnoloacutegico de Costa Rica UNED- Escuela de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Estatal a
Distancia UTN- Universidad Teacutecnica Nacional Academia Nacional de Ciencias Fundacioacuten Omar
Dengo FOD Colegio de Licenciados y Profesores COLYPRO Asociacioacuten Nacional de Educadores
ANDE Ecology Project International EPI ASOMED y un comiteacute internacional
Comiteacute cientiacutefico FIMAT
Lic Manuel Murillo Tsijli ASOMED
Lic Carlos Monge Madriz TEC
Maacutester Anabelle Castro Castro ASOMED
Comiteacute cientiacutefico CONCITES
Carlos L Chanto Espinoza PhD UNA
MSc Luz Mariacutea Moya CIENTEC
Diego Retana Alvarado PhD Facultad de Educacioacuten UCR
M Ed Oscar Barahona Aguilar Caacutetedra Ensentildeanza de la Ciencia UNED
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Patrocinaron
Componentes Intel fue el patrocinador oficial
Copatrocinaron Casio UISIL Learning Interactive y COLYPRO
Alcances
Asistieron 325 participantes
Participaron representantes de 11 paiacuteses Argentina Brasil Chile Colombia Costa Rica Espantildea
Estados Unidos de Ameacuterica Guatemala Meacutexico Peruacute y Panamaacute
108 ponentes respondieron a la convocatoria
Se realizaron 2 actividades de extensioacuten que llegaron a otras 103 personas
Programa
Reunioacute 107 presentaciones en diferentes formatos (conferencias talleres mesas redondas y
conversatorio) impartidas en 5 diacuteas y grabadas El programa estaacute disponible en
httpswwwcientecorcrsitesdefaultfilesarticulosprogramaconcites20hpdf
Ponentes internacionales
Barry D Bruce PhD Sustainable Energy amp EducationResearch Center Microbiology amp
Chemical amp Biomolecular Engineering University of Tennessee at Knoxville EEUU
Daniel Clark Orey PhD Professor Departamento de Educaccedilatildeo Matemaacutetica Universidade
Federal de Ouro Preto Brasil
Eduardo Saacuteenz de Cabezoacuten Ph D Departamento de Matemaacuteticas y Computacioacuten Universidad
de La Rioja Espantildea
Estrella Burgos Directora Revista iquestCoacutemo Ves Universidad Nacional Autoacutenoma de Meacutexico
Lori Lambertson especialista del Teacher Institute Exploratorium San Francisco EEUU
Martiacuten Bonfil Olivera Divulgador de la ciencia y autor Direccioacuten General de Divulgacioacuten de la
Ciencia UNAM Meacutexico
Milton Rosa PhD Centro de Educaccedilatildeo Aberta e a Distacircncia Universidade Federal de Ouro Preto
Brasil
Modesto Tamez especialista del Teacher Institute Exploratorium San Francisco EEUU
Paloma Zubieta Loacutepez Comunicadora Cientiacutefica del Instituto de Matemaacuteticas de la UNAM
coordinadora del Festival Matemaacutetico UNAM Meacutexico
Pablo Flores Martiacutenez Ph Didaacutectica de la Matemaacutetica Universidad de Granada Espantildea
Sergio de Reacutegules Editor de la Revista iquestCoacutemo Ves de la UNAM Meacutexico
Veroacutenica Albanese Dpto Didaacutectica de la Matemaacutetica Universidad de Granada Espantildea
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Mesas Redondas y Conversatorios
Rodrigo Cerqueira do Nascimento Borba Universidade do Estado de Minas Gerais Brasil
Radu Bogdan Toma Universidad de Burgos Espantildea
Nancy Fernaacutendez Marchesi Universidad Nacional de Tierra del Fuego Argentina
Marisol Lopera Peacuterez Universidad de Antioquia Colombia
Ceacutesar Leonel Montenegro Peacuterez Universidad de San Carlos Guatemala
Linda Arelis Silva Arias Universidad de Talca Chile
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo Universidad Surcolombiana Colombia
Francisco Mateo Ramiacuterez Universidad Internacional de La Rioja Espantildea
Jairo Robles Pintildeeros Universidad Federal de Bahiacutea Brasil
Carolina Gonzaacutelez Velaacutezquez Universidad de Antioquia Colombia
Roberto Gonzaacutelez Munizaga Jefe del Departamento de Educacioacuten Ambiental Ministerio del
Medio Ambiente Chile
Aacutelbum de fotos
Una coleccioacuten de fotos documenta el evento virtual
httpswwwflickrcomphotoscientecalbums72157716523575396
Edicioacuten y publicacioacuten de videos
Como resultado de la modalidad a distancia se grabaron todas las sesiones por lo que una subcomisioacuten
del comiteacute organizador ha estado trabajando en la editacioacuten y publicacioacuten de las ponencias El propoacutesito
es conformar una gran biblioteca de recursos de acceso libre de este congreso doble que iraacute siendo
publicado en www youtubecomcientec
Nosotros iremos trabajando en las ponencias y compartieacutendolas en redes sociales de manera paulatina
en unos 9 meses antes de iniciar con el siguiente congreso -)
1 Conferencia Utilizacioacuten de recursos didaacutecticos como apoyo en la ensentildeanza virtual Natalie
Reyes Riotte del Colegio San Antonio de Padua Costa Rica httpsyoutubep-lUTTYK6N8
2 Conferencia Padres y madres costarricenses creencias sobre matemaacutetica por Luis Gerardo Meza
TEC httpsyoutubePy_C9mTzzH8
3 Conferencia Experiencias del proyecto RENACE en el tema de probabilidad por Carlos Monge
Madriz TEC httpsyoutube4dEznOmpQNc
4 Aprendizaje activo algunas estrategias para los cursos de pedagogiacutea por Ivonne Saacutenchez-
Fernaacutendez TEC httpsyoutube5tzChWFiJR8
5 Conferencia Estrategias de mediacioacuten pedagoacutegica en la ensentildeanza virtual por Ivonne Saacutenchez-
Fernaacutendez TEC httpsyoutubeT10h9up1rA4
6 Conversatorio Educacion Ambiental CONCITES2020 con Roberto Gonzaacutelez Munizaga Chile
y Carmen Roldaacuten Chacoacuten (FONAFIFO-MINAE) httpsyoutubeGKiubb0gzuM
7 Vacunas mitos y realidades por Martiacuten Bonfil UNAM Meacutexico httpsyoutubeomZmtkD2rZw
8 Cambios en el Sol por Miguel Rojas Quesada TEC httpsyoutubewXOF1VrpRSw
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9 Evaluacioacuten en tiempos de pandemia Taller por Gisele Cordero Molina Blue Valley
School httpsyoutubeXpfpiqc2jXA
10 Mapas Conceptuales en MatemaacuteticaTaller Luis Goacutemez Rodriacuteguez Blue Valley
School httpsyoutubeEpFyNPv8LGk
11 Science Capital Engaging students with Science and Promoting Social Justice por Gisele
Cordero Molina Blue Valley School httpsyoutubeEix_mH3MSsc
12 La Resta Pensando Conferencia Antonio Ramoacuten Martiacuten Adriaacuten Colegio Aguere Espantildea (Islas
Canarias) httpsyoutubeexgBY05muPc
13 Uso de praacutecticas interactivas y adaptativas (recursos en ingleacutes) en el aula virtual Conferencia
Susanne Artintildeano Hangen Blue Valley School httpsyoutube1vNTYt5hl-I
Agradecemos la unioacuten de esfuerzos la confianza que posibilitoacute la continuidad de estas trayectorias que
iniciaron desde 1998 y la creatividad para seguir innovando en formas de apoyar el aprendizaje
El siguiente libro de memorias reuacutene artiacuteculos de trabajos presentados en el XXI CONCITES 2019 -
Limoacuten asiacute como del XII FIMAT y XXII CONCITES ambos celebrados en el 2020
Alejandra Leoacuten Castellaacute
Directora Ejecutiva Fundacioacuten CIENTEC
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Creacioacuten de animaciones para la visualizacioacuten de la geometriacutea
en tercera dimensioacuten usando el software GeoGebra
Joseacute Pablo Calderoacuten Gairaud
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica
jose03pcggmailcom
Steven Gabriel Saacutenchez Ramiacuterez
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica
stevengabriel26gmailcom
Resumen En este artiacuteculo se describe el proceso para realizar animaciones en tercera dimensioacuten con el software
GeoGebra Dichos modelos consisten en la visualizacioacuten de las figuras proporciones y cortes consecuentes de
la interseccioacuten de un soacutelido con un plano transversal Para realizar las construcciones se utilizaraacuten las
herramientas que brinda GeoGebra como tambieacuten conceptos baacutesicos relacionados con la parametrizacioacuten de
superficies Ademaacutes se hace hincapieacute en la importancia de la creacioacuten de recursos didaacutecticos con el uso de la
tecnologiacutea para la comprensioacuten de la visualizacioacuten espacial para los estudiantes en el aprendizaje de conceptos
geomeacutetricos y coacutemo GeoGebra permite facilitar la transicioacuten de una visualizacioacuten en segunda dimensioacuten a
tercera dimensioacuten
Palabras clave tercera dimensioacuten parametrizar curvas superficies visualizar geometriacutea
1 Introduccioacuten
El uso de la geometriacutea siempre ha sido indispensable para el desarrollo cientiacutefico del ser humano con
solo volver al pasado se puede apreciar las sin fin de piraacutemides y diferentes esculturas creadas gracias a
los diversos conceptos baacutesicos geomeacutetricos que manejaban nuestros antepasados Por esa razoacuten es
fundamental el estudio de la geometriacutea en nuestras a aulas Es deber de cada paiacutes velar en que su malla
curricular esteacute lo maacutes actualizada posible seguacuten el grado acadeacutemico que se imparta relacionaacutendolo con
las capacidades cognitivas de los estudiantes seguacuten su edad
Por otro lado es importante tener los insumos suficientes para que la ensentildeanza de la geometriacutea se deacute en
las mejores condiciones con el fin de obtener un aprendizaje significativo En el caso de la geometriacutea
espacial como lo indica Ballestero y Gamboa (2010) su estudio contribuye significativamente al
desarrollo de las necesidades espaciales de visualizacioacuten por lo que es importante vincular la capacidad
matemaacutetica con la espacial
En este trabajo se expondraacute sobre la importancia de la ensentildeanza de la visualizacioacuten en tres dimensiones
(3D) utilizando modelizacioacuten y animacioacuten geomeacutetrica teniendo como objetivo el dar una interaccioacuten
baacutesica del uso del software GeoGebra
2 Geometriacutea en tercer dimensioacuten y plan de estudios del MEP
En el antildeo 2012 el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP) decidioacute realizar un cambio
draacutestico en el plan de estudios de matemaacuteticas poniendo como eje central la resolucioacuten de problemas
tambieacuten incorporando eliminando y modificando distintos toacutepicos estudiados en primaria y secundaria
Dentro de los cambios se resaltan modificaciones en los temas de geometriacutea espacial La nueva malla
curricular del MEP (2012) propone que
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1 La visualizacioacuten espacial se introduzca con una manipulacioacuten dinaacutemica de los objetos
2 Los temas de geometriacutea se observen de forma espacial usando modelizacioacuten geomeacutetrica
3 Exista maacutes presencia en el ldquosentido espacialrdquo
4 Se debe enfatizar maacutes en la visualizacioacuten de formas en el espacio y no solo en sus foacutermulas
Anterior al cambio se debiacutea ahondar solo en el caacutelculo de aacutereas y voluacutemenes de los soacutelidos dejando por
fuera el anaacutelisis de su manipulacioacuten y visualizacioacuten Con la nueva modificacioacuten los estudiantes deben
realizar dichos caacutelculos excluyendo el volumen como tambieacuten desarrollar habilidades de ubicacioacuten
espacial identificar los distintos cortes transversales que se generan en cada uno de los cuerpos redondos
entre otros
Por lo tanto en la formacioacuten general baacutesica y diversificada costarricense se desarrollan toacutepicos con
relacioacuten a la geometriacutea espacial siendo los grados de deacutecimo y undeacutecimo donde se enfatiza maacutes La
importancia de desarrollar una visualizacioacuten espacial en los estudiantes va maacutes allaacute del concepto
matemaacutetico seguacuten Guzmaacuten (1996 citado en Gonzato et al 2011)
Se trata de evaluar los procesos y capacidades de los sujetos para realizar ciertas tareas que
requieren ldquoverrdquo o ldquoimaginarrdquo mentalmente los objetos geomeacutetricos espaciales asiacute como relacionar
los objetos y realizar determinadas operaciones o transformaciones geomeacutetricas con los mismos
Tambieacuten este tema ha recibido atencioacuten desde un punto de vista del propio trabajo del matemaacutetico
en los momentos de abordar la resolucioacuten de problemas formulacioacuten de conjeturas asiacute como en
otras aacutereas diferentes de la geometriacutea (p2)
Como se indica anteriormente el estudio de la tercera dimensioacuten favorece a la imaginacioacuten y abstraccioacuten
del alumnado y agudiza de cierta forma las habilidades interdisciplinarias para generar pensamientos
oacuteptimos que favorezcan la resolucioacuten de problemas siendo este uacuteltimo el eje central del MEP para la
formacioacuten matemaacutetica
3 Visualizacioacuten de la tercera dimensioacuten
La geometriacutea es un aacuterea de las matemaacuteticas que actualmente es considerada fundamental para la
formacioacuten acadeacutemica y cultural de la persona esto debido a su facilidad para estimular un razonamiento
loacutegico y desarrollar otras habilidades para visualizar intuir conjeturar etc Sin embargo en la praacutectica
algunos docentes deciden dejar los contenidos de geometriacutea para el final del periodo lectivo y no
profundizar en estos (Gamboa y Ballestero 2010)
Seguacuten Gamboa y Ballestero (2010) esta situacioacuten desencadena en el estudiante la sensacioacuten de ser una
rama difiacutecil y de poca utilidad por lo que no hay motivacioacuten para aprenderla Al no profundizar en las
habilidades y contenidos geomeacutetricos no se desarrolla en el estudiante la capacidad de visualizar u
orientar y por consiguiente un deacuteficit en la visualizacioacuten de la tercera dimensioacuten Dicha deficiencia en
la capacidad de visualizar afecta directamente el enfoque del MEP que es la resolucioacuten de problemas
Para desarrollar la capacidad de visualizar en tercera dimensioacuten de los estudiantes es importante
promover su sentido espacial El sentido espacial es un sentido intuitivo de la forma y el espacio en el
cual estaacuten implicados los conceptos geomeacutetricos y las habilidades de reconocer visualizar representar y
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transformar las formas (Rosenstein et al 1996) Para desarrollar este sentido espacial es necesario
abarcar sus tres componentes conocer las propiedades de figuras y formas reconocer y establecer
relaciones geomeacutetricas y la ubicacioacuten y los movimientos (Ramiacuterez 2014)
Ante la deficiencia y dificultad de desarrollar la visualizacioacuten en tercera dimensioacuten de los estudiantes sin
el material concreto adecuado se han creado distintos softwares o aplicaciones que permiten una
manipulacioacuten ideal de los elementos geomeacutetricos El uso de estas Tecnologiacuteas de Informacioacuten y
Comunicacioacuten (TIC s) para la visualizacioacuten en tercera dimensioacuten facilitan al docente la tarea de
desarrollar estas habilidades y ademaacutes permiten al estudiante generar su propio conocimiento
4 Curvas superficies y parametrizacioacuten
Para la construccioacuten de diferentes animaciones interactivas para visualizar y modelar las diferentes
curvas y superficies es importante conocer de forma baacutesica el desarrollo matemaacutetico de estas asimismo
el trabajo que lleva su representacioacuten parameacutetrica sin entrar en gran detalle se definen estos dos
conceptos los cuales seraacuten de suma importancia conocerlos para el uso oacuteptimo del software GeoGebra
a la hora de generar dichas construcciones
41 Curvas
Seguacuten Peacuterez (2014) indica que una idea intuitiva de curva es la de una trayectoria en el espacio de una
partiacutecula en movimiento en cada instante esta estaraacute en un lugar concreto lugar que depende de un
paraacutemetro (que se puede ver como la variable tiempo) esta trayectoria debe ser suave Imagiacutenese
entonces a un motorizado siguiendo una carretera (que no tiene huecos ni picos) el cual anda repartiendo
la correspondencia a una casa
Si se quiere definir una curva de forma maacutes elaborada entonces se podriacutea indicar que una curva
parametrizada es una aplicacioacuten diferenciable tal que
120572 119868 rarr ℝ2 120572(119905) = (119909(119905) 119910(119905) 119911(119905)) 119905 isin ℝ
42 Superficies
Peacuterez (2014) explica que una superficie es un subconjunto en ℝ3 donde cada punto tiene un entorno
similar a un trozo de plano que ha sido suavemente curvado Imagiacutenese entonces un mantel el cual se
coloca en una mesa redonda este mantel es suavemente combado tal que toma la forma de dicha mesa
De forma un poco maacutes formal una superficie se puede definir parametrizadamente como
119883 119880 rarr ℝ3 119883 = 119883(119906 119907) = (119909(119906 119907) 119910(119906 119907) 119911(119906 119907)) 119888119900119899 119880 sub ℝ2
Cabe destacar que ambos conceptos son fundamentales para generar diferentes animaciones con el
software GeoGebra se recomienda no solo quedarse con estas dos nociones sino maacutes bien indagar de
forma exhaustiva estas definiciones ya que ayudaraacute al buen manejo del programa mencionado
anteriormente
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5 El software GeoGebra y la visualizacioacuten 3D
El software GeoGebra es un programa disentildeado especiacuteficamente para la ensentildeanza y el aprendizaje de
las Matemaacuteticas Dentro de las herramientas y funciones que tiene GeoGebra estaacute la manipulacioacuten tanto
de figuras planas (recta circunferencia poliacutegonos etc) como de cuerpos soacutelidos y figuras en tercera
dimensioacuten (esfera cilindro cono etc)
GeoGebra categoriza las diferentes figuras o elementos geomeacutetricos que se pueden construir
dependiendo de si se encuentra el usuario en la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo (tercera dimensioacuten) o ldquoVista Graacuteficardquo
(dos dimensiones)
Dentro de la ldquoVista Graacuteficardquo GeoGebra permite crear
Puntos
Rectas o segmentos
Poliacutegonos
Circunferencias
Elipses
Aacutengulos
Figura 1
Vista Graacutefica ndash GeoGebra
Nota Elaboracioacuten Propia
Dentro de la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo GeoGebra permite crear
Puntos
Rectas o segmentos
Poliacutegonos
Planos
Cuerpos soacutelidos (piraacutemide cono cilindro prisma
y esferas)
Aacutengulos
Deslizadores imaacutegenes botones etc
Ademaacutes permite interactuar entre las distintas construcciones y manipularlas de diversas maneras
(transformaciones en el plano)
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Figura 2
Vista 3D - GeoGebra
Nota Elaboracioacuten Propia
El software permite que haya una relacioacuten directa entre los elementos creados en la ldquoVista Graacuteficardquo
ldquoVista Graacutefica 3Drdquo y su representacioacuten algebraica en la ldquoVista Algebraicardquo
6 El software GeoGebra y parametrizacioacuten
GeoGebra utiliza distintos mecanismos para ingresar las curvas que se quieren graficar recordemos que
nuestro objetivo es el de visualizar la tercera dimensioacuten por lo que la vista que se utilizaraacute en todo
momento seraacute ldquoGraacuteficos 3Drdquo Como se vio en la seccioacuten pasada el programa posee herramientas
predeterminadas y una barra de entrada que seraacute en donde ingresemos los comandos para generar las
curvas y superficies Para un efecto de calidad estas deben ser ingresadas en su forma parameacutetrica en el
caso de las curvas se dispone de los comandos que pueden ser observados en la Figura 3
Figura 3
Comandos de curvas
Nota Elaboracioacuten Propia
De estas la que se apega a nuestras necesidades seraacute la segunda ya que con ella se grafican las curvas
en la tercera dimensioacuten Observemos en la Figura 4 el coacutemo se ingresa la curva parametrizada y su
visualizacioacuten en la tercera dimensioacuten
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Figura 4
Visualizacioacuten de curva
Nota Elaboracioacuten propia
Por otro lado las superficies tienen tambieacuten sus distintas entradas las cuales pueden verse en la Figura
5
Figura 5
Comandos de superficies
Nota Elaboracioacuten propia
En este caso seraacute la tercera opcioacuten la que se debe utilizar para generar superficies en donde sus valores
se ingresan de forma parameacutetrica es importante observar que para las superficies se necesitan dos
paraacutemetros Observemos en la Figura 6 el coacutemo se ingresa una superficie parametrizada y su
visualizacioacuten en la tercera dimensioacuten
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Figura 6
Visualizacioacuten de superficie
Nota Elaboracioacuten propia
Ejemplo Cono truncado
Para fines de este artiacuteculo se crearaacute una animacioacuten de un cono truncado en la cual se utilizaraacuten varias
herramientas del software GeoGebra asiacute como la parametrizacioacuten del cono Al finalizar esta animacioacuten
el estudiante podraacute interactuar con la construccioacuten y visualizar los cortes paralelos a la base las dos
circunferencias que se generan por el corte la razoacuten de los dos triaacutengulos rectaacutengulos (que se forman con
la altura radio y generatriz) ademaacutes seraacute capaz de modificar el tamantildeo del cono la distancia del corte
del cono y generar el cono truncado por siacute mismo
Para la construccioacuten de esta animacioacuten se necesita crear dos conos el primero se crea con la herramienta
ldquoConordquo que ya ofrece GeoGebra y el segundo se crearaacute por medio de parametrizacioacuten este uacuteltimo seraacute
el cono truncado
1 Para generar el primer cono se necesita de un deslizador ldquoAlturardquo que modifique la altura y el
radio de la circunferencia Una vez creado el deslizador se necesita un punto en el eje Z que
represente la altura Posteriormente crea el cono con la herramienta ldquoConordquo
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Figura 7
Cono dependiente del deslizador
Nota Elaboracioacuten propia
2 Ahora genere un deslizador ldquoCorterdquo cuyo valor maacuteximo sea el deslizador anterior Este
deslizador representa la altura del corte Construya un punto en el eje Z que dependa del
deslizador ldquoCorterdquo y con la herramienta ldquoPlano paralelordquo (dando clic al punto en el eje Z y al
plano de la base) construya el plano que simula el corte (Si considera necesario con la misma
herramienta puede sustituir el plano base que trae la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo)
Figura 8
Cortes en el cono
Nota Elaboracioacuten propia
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3 Con la herramienta ldquoInterseccioacuten de dos superficiesrdquo construya la circunferencia de la base y la
generada entre el cono y el corte Ademaacutes con la herramienta ldquoPuntordquo genere un punto que
pertenezca a la circunferencia de la base Ahora con la herramienta ldquoSegmentordquo construya el
triaacutengulo rectaacutengulo formado por el centro de la base el veacutertice y el punto en la circunferencia
de la base Por uacuteltimo con la herramienta ldquointerseccioacutenrdquo marque el punto entre la hipotenusa y el
plano del corte y construya el segmento entre ese punto y el centro de la segunda circunferencia
De esta forma se visualiza la semejanza entre los triaacutengulos
Figura 9
Semejanza de triaacutengulos
Nota Elaboracioacuten propia
4 Genere una casilla de control para ocultar el cono otra para los planos otra para las
circunferencias y otra para los lados del triaacutengulo De esta forma si las cuatro casillas estaacuten
desactivadas solo se visualizan las casillas y los deslizadores
5 Ahora debe crear un cono por medio de parametrizacioacuten Para ello debe ingresar el siguiente
comando en la barra de entrada
(Superficie(rcos(t) rsen(t) r r06 t02pi))
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Figura 10
Cono generado con parametrizacioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
6 Modifique los paraacutemetros para que el cono se oriente correctamente y la altura dependa del
deslizador ldquoAlturardquo Ademaacutes modifique los paraacutemetros para generar el efecto de cono truncado
y que dependa del deslizador ldquoCorterdquo Modifique en ldquoPropiedadesrdquo el grosor del trazo para que
tenga una apariencia maacutes niacutetida El comando quedariacutea de la siguiente manera Superficie (r cos(t)
r sen(t) -r + Altura r Altura - Corte Altura t 0 2π)
Figura 11
Cono parametrizado con deslizadores
Nota Elaboracioacuten propia
7 Por uacuteltimo construya un deslizador ldquoRegionrdquo de tipo aacutengulo (que vaya de 0 a 360) con el que se
pueda ir generando el cono truncado Modifique los paraacutemetros para que el cono dependa del
deslizador ldquoRegionrdquo Elabore una casilla de control con la que pueda ocultar la regioacuten del cono
truncado El comando quedariacutea de la siguiente manera
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Superficie (r cos(t) r sen(t) -r + Altura r Altura - Corte Altura t 0 Region)
Figura 12
Cono parametrizado
Una vez concluida la construccioacuten proceda a personalizarla Debe quedarle de la siguiente la misma
manera que en la Figura 13
Figura 13
Construccioacuten del cono truncado finalizada
Nota Elaboracioacuten propia
7 Importancia de la parametrizacioacuten en construcciones interactivas
El rol de la parametrizacioacuten en las construcciones es lograr un acabado continuo y que permita al
estudiante visualizar de mejor manera la animacioacuten pues sin la parametrizacioacuten se trabaja con un espacio
discreto de puntos y baja considerablemente la calidad de esta
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Figura 14
Diferencias entre construcciones parametrizadas y no parametrizadas
Nota Elaboracioacuten propia
8 Conclusiones
Se puede observar con lo desarrollado en este escrito la importancia que tiene el uso del software
GeoGebra para generar materiales que ayuden y potencialicen la visualizacioacuten y modelacioacuten de la
geometriacutea en la tercera dimensioacuten esto para propiciar espacios que favorezcan que el proceso de
ensentildeanza-aprendizaje sea exitoso
Cabe destacar que el uso de curvas y superficies parameacutetricas en estas construcciones es fundamental
para el buen desarrollo de las animaciones que se desean realizar Como se vio en anteriormente al no
hacerlo con estos comandos es imposible que el applet interactivo ayude a la visualizacioacuten y maacutes bien
puede generar problemas con los objetivos planteados en este trabajo
Se insta al lector a seguir indagando en el tema ya que lo visto acaacute es una introduccioacuten de las aplicaciones
que se pueden realizar tanto para secundaria como para temas con maacutes abstraccioacuten matemaacutetica como
por ejemplo cuaacutedricas y soacutelidos simples
Referencias Bibliograacuteficas
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XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
22
Efectividad de la cartografiacutea participativa en la ensentildeanza de la
Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastres Un ejemplo de
aplicacioacuten en el centro educativo Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
German Alvarado Luna
Instituto Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
Costa Rica
gdal5hotmailcom
Neyfren Salazar Aguilar
Colegio Teacutecnico Profesional de Mora
Costa Rica
neyfren11gmailcom
Resumen El objetivo de este estudio fue corroborar la efectividad de la cartografiacutea participativa en la
ensentildeanza de la Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastres (GIRD) Para ello se aplicaron talleres de cartografiacutea
participativa en un grupo de octavo grado del centro educativo Itskazuacute Educacioacuten Humanista Posteriormente
dichos talleres fueron evaluados desde el nivel de seguimiento de las orientaciones praacutecticas para conducir al
aprendizaje significativo logrados por los estudiantes mediante observaciones participantes y encuestas Como
conclusioacuten se muestra que la cartografiacutea participativa mostroacute efectividad en la ensentildeanza de la GIRD pues los
objetivos de aprendizaje de cada taller se cumplieron las orientaciones praacutecticas para lograr el aprendizaje
significativo se siguieron y muchos de los conceptos asociados con la temaacutetica fueron interiorizados
Asimismo se denota que la efectividad de esta herramienta depende del disentildeo del conjunto de los talleres
Palabras clave cartografiacutea participativa gestioacuten integral de riesgo de desastres aprendizaje significativo
1 Introduccioacuten
La Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastre (GIRD) ha sido considerada como una de las herramientas
primordiales para afrontar los desastres desencadenados por eventos naturales sobre todo por su enfoque
socio-ambiental para intervenir las situaciones de riesgo (PNUD 2012) Uno de los principales campos
de accioacuten para promover dicha herramienta conceptual ha sido la educacioacuten A traveacutes de ella se busca
que las personas comprendan las amenazas y vulnerabilidades de sus contextos inmediatos para que
puedan enfrentar cualquier hecho violento que se logre consumar (Arauz 2008)
En Costa Rica desde la deacutecada de 1990 se han hecho esfuerzos para incorporar este tema en la educacioacuten
formal (Arauz 2008) El programa de Estudios Sociales derivado de la poliacutetica ldquoEducar para una nueva
ciudadaniacuteardquo hace esto uacuteltimo a traveacutes de la geografiacutea pues entiende que esta disciplina es la que mayor
potencial tiene para establecer puentes entre los aacutembitos ambientales y socio-econoacutemicos (Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica 2016) En general en todo este programa se encuentra toacutepicos con recomendaciones
metodoloacutegicas y conceptuales referentes a la GIRD pero en octavo antildeo es donde se le dan mayor eacutenfasis
fundamentalmente en el abordaje de los fenoacutemenos geoloacutegicos e hidrometereoloacutegicos que inciden
actualmente en el planeta (Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica 2016)
Este programa propone una renovacioacuten en la forma de ensentildear la geografiacutea pues surgiere que esta sirva
para analizar problemas contemporaacuteneos y buscarles solucioacuten en remplazo de los meacutetodos memoriacutesticos
y descriptivos En ese sentido se demanda una innovacioacuten en la praacutectica educativa docente con
metodologiacuteas donde los estudiantes asuman un papel maacutes activo construyan conocimientos de forma
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colaborativa y contextualizada y sean partiacutecipes desde el espacio educativo de la construccioacuten de
alternativas de futuro
No obstante estos avances teoacutericos han tenido dificultades para materializarse a nivel praacutectico pues el
profesorado costarricense tiende al uso de teacutecnicas didaacutecticas tradicionales donde el estudiantado asume
un papel completamente pasivo lo cual se extrapola a los aacutembitos educativos vinculados al Desarrollo
Sostenible tal como la GIRD (Arauz 2008 Estado de la Nacioacuten 2017 Castro et al 2017)
La cartografiacutea participativa es una herramienta con mucho potencial para salir de ese estado e innovar
En primer lugar la GIRD parte de un enfoque territorial por lo que la cartografiacutea es un instrumento
necesario para su abordaje ya que permite representar de forma contrapuesta los recursos riesgos y usos
de un territorio (Font et al 1996) En segundo lugar al antildeadiacutersele el componente participativo a la
cartografiacutea se permite que los mismos estudiantes de forma conjunta y situados en sus realidades sean
quienes la realicen a fin de que comprendan las problemaacuteticas socio-espaciales y formulen propuestas de
transformacioacuten (Patintildeo 2017)
En otras palabras la cartografiacutea participativa es efectiva en la ensentildeanza de la GIRD pues estaacute
fuertemente implicada con esta temaacutetica y corresponde a las propuestas pedagoacutegicas activas Este
documento pretende dar cuenta de ello evaluando la aplicacioacuten de una serie de talleres de cartografiacutea
participativa en GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en un grupo de octavo antildeo conformado por 8
estudiantes de un centro educativo ubicado en espacio en riesgo a este tipo de eventos Itskazuacute Educacioacuten
Humanista en San Rafael de Escazuacute
Para ello es importante considerar que las fuentes de informacioacuten de la evaluacioacuten no solamente son los
aprendizajes que los educandos logren obtener sino tambieacuten las praacutecticas educativas de los docentes (De
la Herraacuten 2014) Asimismo se debe tomar en cuenta que la evaluacioacuten tiene que estar presente en todas
las fases de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje y es mucho maacutes efectiva si se forma una comunidad
de reflexioacuten cooperativa donde participen docentes y estudiantes (Nuacutentildeez 2014 Pereira 2015)
En ese sentido en este trabajo los docentes evaluaron los aprendizajes significativos obtenidos por los
estudiantes en las diferentes fases de la ejecucioacuten de los talleres tanto en teacuterminos de los conocimientos
memorizados como en teacuterminos de las aplicaciones contextuales y las significaciones personales
otorgadas a dichos conocimientos (Castillo 2012) Los estudiantes por su parte evaluaron los talleres de
cartografiacutea participativa desde las orientaciones praacutecticas para conducir al aprendizaje significativo las
cuales son seguacuten Ballester (2002) trabajo abierto motivacioacuten uso del medio creatividad y mapa
conceptual
2 Meacutetodos
Esta investigacioacuten se realizoacute mediante un enfoque mixto en tanto que se utilizoacute de forma integrada
informacioacuten de caraacutecter cuantitativo y cualitativo Para evaluar los aprendizajes obtenidos por los
estudiantes en las diferentes fases de la ejecucioacuten de los talleres se utilizaron dos teacutecnicas la observacioacuten
participante y la encuesta En la observacioacuten se usoacute como instrumento una hoja de cotejo acompantildeada
por un registro anecdoacutetico Lo evaluado fue el logro en cada taller de los objetivos de aprendizaje
planteados Lo que se hizo fue registrar si ello se cumplioacute o no
En la encuesta se usoacute como instrumento un cuestionario abierto el cual fue aplicado a los estudiantes
Con este se evaluoacute al final del proceso el nivel de interiorizacioacuten de los conceptos esenciales
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relacionados con la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Este cuestionario fue conformado por 25
iacutetems por cada iacutetem respondido correctamente los estudiantes obtuvieron un punto
Para tratar la informacioacuten se optoacute por establecer una escala Si los estudiantes obteniacutean entre 25 y 18
iacutetems correctos en su cuestionario (entre el 100 y el 70) se consideroacute que interiorizaron los conceptos
esenciales de la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos si es menor a ese puntaje se consideroacute que faltoacute
trabajo para ello Con el fin de analizar la totalidad de los estudiantes se sacaron los porcentajes de los
estudiantes que obtuvieron entre 25 y 18 iacutetems correctos y de los estudiantes que obtuvieron menos de
18 iacutetems correctos
Luego se establecieron rangos para esos porcentajes los cuales fueron asociados con un criterio de
clasificacioacuten para determinar si el conjunto de los estudiantes interiorizaron los conceptos esenciales de
la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Del maacutes alto al maacutes bajo eso se expresoacute asiacute interiorizacioacuten
completa parcial baja nula Con el propoacutesito de obtener informacioacuten maacutes detallada se hizo todo el
ejercicio anterior en cada uno de los conceptos asociados a la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos
Para evaluar los talleres desde las orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo se utilizoacute como
teacutecnica la encuesta El instrumento utilizado fue un cuestionario abierto aplicado a estudiantes
conformados por 22 preguntas divididas en cinco secciones correspondientes a cada orientacioacuten praacutectica
del aprendizaje significativo Las respuestas preestablecidas fueron lsquorsquoTotalmente de acuerdorsquorsquo lsquorsquoDe
acuerdorsquorsquo lsquorsquoEn desacuerdorsquorsquo y lsquorsquoTotalmente en desacuerdorsquorsquo Lo que debieron hacer los estudiantes fue
leer la afirmacioacuten y marcar la respuesta preestablecida correspondiente Para tratar la informacioacuten se
optoacute por utilizar la escala tipo Likert A fin de obtener informacioacuten maacutes detallada este procedimiento se
aplicoacute a cada seccioacuten correspondiente a una orientacioacuten del aprendizaje significativo
Para analizar la totalidad de cuestionarios a nivel general y a nivel de cada una de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo se optoacute por calcular el porcentaje de los cuestionarios
categorizados como ldquoTotalmente de acuerdordquo o ldquoDe acuerdordquo establecer rangos para esos porcentajes
y asociarlos con criterios de clasificacioacuten para ubicar el nivel de seguimiento de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo Del rango maacutes alto al maacutes bajo eso se expresoacute de la siguiente
forma ldquoseguimiento totalrdquo ldquoparcialrdquo ldquobajordquo y ldquonulordquo Finalmente con el fin de obtener informacioacuten
complementaria se calcularon los porcentajes a nivel general y a nivel de cada una de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo de la cantidad de respuestas a ldquoTotalmente de acuerdordquo ldquoDe
acuerdordquo ldquoEn desacuerdordquo y ldquoTotalmente en desacuerdordquo
3 Evaluacioacuten de los aprendizajes significativos obtenidos en cada taller
En total se realizaron 7 talleres en febrero del 2019 cuya duracioacuten aproximada fue de una hora y media
El primer taller fue el que tuvo como objetivo introducir los conceptos esenciales de la GIRD en eventos
siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes Este taller se conformoacute por tres actividades ademaacutes de la
presentacioacuten del proyecto En la primera actividad se conformaron 2 subgrupos a cada subgrupo se le
dio una serie de iacuteconos y una matriz de clasificacioacuten en blanco referentes a la GIRD para que a partir
de deducciones y conocimientos previos colocaran cada icono en la seccioacuten respectiva
En la segunda actividad los facilitadores expusieron interrogativamente los conceptos esenciales de la
GIRD acompantildeados con imaacutegenes y viacutedeos En la tercera actividad los estudiantes se reunieron en los
subgrupos para corregir sus matrices de clasificacioacuten a fin de afianzar los contenidos vistos y examinar
si los comprendieron para su eventual aplicacioacuten Esta uacuteltima actividad dejoacute claro que los estudiantes
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tuvieron comprensioacuten de los conceptos esenciales de la GIRD ya que las matrices de clasificacioacuten fueron
corregidas correctamente En ese sentido se puede afirmar que el objetivo de este taller se cumplioacute
Figura 1
Elaboracioacuten de la matriz de clasificacioacuten
El segundo taller tuvo como objetivo presentar a los estudiantes los elementos esenciales de la cartografiacutea
participativa para que tuvieran las herramientas baacutesicas para elaborar colectivamente un mapa de
amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de Escazuacute Esta actividad consistioacute en exponer los elementos
esenciales de la cartografiacutea participativa las normas baacutesicas del trabajo en grupo el tipo de mapa a
intervenir (mapa a escala temaacutetico) las simbologiacuteas a ubicar (previamente definidas por los facilitadores)
y la forma de colocarlas en el mapa Los estudiantes generaron preguntas y comentarios que evidenciaron
comprensioacuten de los elementos esenciales de la cartografiacutea participativa y por tanto que el objetivo de
este taller se cumplioacute
El tercer taller tuvo como objetivo acercar a los estudiantes a los principales riesgos de desastres de la
comunidad donde viven es decir el cantoacuten de Escazuacute La idea fue que conectaran sus conocimientos
previos con los recogidos a nivel oficial para que tuvieran la informacioacuten necesaria en el proceso
colectivo de creacioacuten cartograacutefica Dicha actividad consistioacute en una exposicioacuten de las caracteriacutesticas
geofiacutesicas y socioeconoacutemicas del cantoacuten de Escazuacute Nuevamente las preguntas y comentarios que
hicieron los estudiantes al respecto mostraron que pudieron conectar sus conocimientos previos con los
registros oficiales presentados
El cuarto taller tuvo como objetivo construir colectivamente un mapa de amenazas y vulnerabilidades
del cantoacuten de Escazuacute La idea fue que los estudiantes interiorizaran por completo los conceptos esenciales
de la GIRD y pudieran utilizarlos para analizar sus realidades Este taller se conformoacute por tres
actividades La primera actividad consistioacute en que los estudiantes en subgrupos mapearan a partir de la
simbologiacutea dada las principales amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de Escazuacute La segunda
actividad fue la presentacioacuten en subgrupos de los mapas de amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de
Escazuacute y la discusioacuten en plenaria de cada uno de ellos La tercera actividad consistioacute en la
sistematizacioacuten de la informacioacuten de ambos mapas y en la definicioacuten colectivamente de tres tipos de
zonas de riesgo alto medio y bajo
La precisioacuten con la cual los estudiantes realizaron las distintas actividades de este taller demuestra que
interiorizaron los conceptos esenciales de GIRD principalmente los de amenaza y vulnerabilidad y
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aprendieron sus sentidos praacutecticos al aplicarlos como herramientas de anaacutelisis para sus realidades
inmediatas
Figura 2
Presentaciones de mapas
Asiacute para ellos las principales amenazas estaacuten asociadas con el desarrollo urbano descontrolado y la
geografiacutea montantildeosa del cantoacuten Por su parte las vulnerabilidades las asocian con la presencia del barrio
marginal los Anonos y el desarrollo residencial de las zonas altas Con estos datos los estudiantes
definieron las zonas de riesgo Para ellos la zona de riesgo alto es el sureste del distrito San Rafael ya
que ahiacute se concentra el desarrollo urbano descontrolado y el barrio marginal los Anonos y las zonas de
riesgo medio fueron las partes altas del distrito de San Rafael y del distrito de San Antonio
primordialmente por las fuertes pendientes que alliacute se ubican
El quinto taller tuvo como objetivo seleccionar las amenazas y vulnerabilidades ante eventos siacutesmicos y
volcaacutenicos maacutes urgentes de resolver en el cantoacuten de Escazuacute a fin de que los estudiantes tomaran un rol
de tomadores de decisiones para que advirtieran la importancia del tema en estudio Asimismo se
pretendioacute filtrar la informacioacuten obtenida para que el ejercicio del proacuteximo taller ndashdisentildeo de propuestas-
se diera con mayor efectividad La actividad consistioacute en un panel abierto donde todos los miembros del
grupo seleccionaron los temas maacutes urgentes de atender respecto a la GIRD en el cantoacuten de Escazuacute Estos
temas fueron anotados en la pizarra por los facilitadores y fueron elegidos a traveacutes de una votacioacuten
Esta actividad dio paso a una discusioacuten donde los estudiantes tomaran la batuta de la clase y utilizaron
los conceptos abordados con naturalidad y propiedad Ello desde luego permitioacute cumplir con los
objetivos planteados con este taller pues los estudiantes adquirieron conciencia de la importancia del
tema abordado al menos en el momento de la ejecucioacuten del taller y la informacioacuten se filtroacute para efectos
de facilitar el siguiente taller
El sexto taller tuvo como objetivo disentildear propuestas de GIRD ante eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en el
cantoacuten de Escazuacute La idea fue que los estudiantes aplicaran especiacuteficamente los procesos asociados a la
GIRD ante eventos siacutesmicos y volcaacutenicos La actividad que se realizoacute fue un panel abierto donde los
estudiantes definieron colectivamente propuestas de solucioacuten Asimismo las sistematizaron en una
matriz de clasificacioacuten referente a los procesos de la GIRD del espacio en estudio
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Figura 3
Disentildeo de propuestas de solucioacuten
Los productos resultantes de este ejercicio mostraron que los estudiantes tomaron conciencia sobre la
GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Las propuestas fueron en gran medida pertinentes y
correctamente clasificadas Asiacute por ejemplo en prevencioacuten disentildearon medidas relacionadas con
ordenamiento territorial en mitigacioacuten aluden a medidas para mejorar la infraestructura y la
participacioacuten comunitaria en rehabilitacioacuten ponen como prioridad la buacutesqueda de afectados en
condicioacuten de vulnerabilidad y en reconstruccioacuten sentildealan la remocioacuten de escombros y la reconstruccioacuten
planificada Como tal los objetivos de la actividad se cumplieron en tanto que hubo una apropiacioacuten de
los conceptos en estudio No obstante se pudo notar que hizo falta mayor nivel de detalle y precisioacuten
Finalmente el seacuteptimo taller tuvo como objetivo evaluar los talleres de cartografiacutea participativa Para
ello realizaron tres actividades la primera fue presentar a los estudiantes memoria de los talleres la
segunda fue un cuestionario cerrado donde individualmente cada estudiante evaluoacute el proceso de
creacioacuten cartograacutefica implementado por los facilitadores la tercera fue un cuestionario abierto que
evaluoacute individualmente los conocimientos adquiridos por los estudiantes en GIRD Con esto se obtuvo
la informacioacuten necesaria para evaluar los talleres de cartografiacutea
4 Evaluacioacuten de los talleres de cartografiacutea participativa desde las orientaciones praacutecticas del
aprendizaje significativo
A nivel general el puntaje obtenido por los estudiantes en sus cuestionarios mostroacute que todos ellos
estuvieron ldquoTotalmente de acuerdordquo con que los talleres de cartografiacutea participativa siguieran las
orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo Sin embargo se puede apreciar que ldquoDe acuerdordquo
fue la respuesta maacutes frecuente entre los estudiantes abarcando un 528 del total de las respuestas
Luego sigue ldquoTotalmente de acuerdordquo con un 42 ldquoEn desacuerdordquo con un 4 y ldquoTotalmente en
desacuerdordquo con un 12 lo cual si bien no contradice el resultado presentado en el paacuterrafo anterior
presenta algunos detalles que no deben menospreciarse Se muestra que los estudiantes no estuvieron
completamente convencidos de que los talleres siguieran al dedillo las orientaciones praacutecticas del
aprendizaje significativo
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La revisioacuten por aparte de cada una de las orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo permitioacute
dar cuenta de los aspectos donde hay que mejorar Entre lo que se menciona se encuentra acoplarse
mejor a las necesidades y capacidades de cada quien plantear metas maacutes realistas propiciar la
observacioacuten del entorno promover la toma de conciencia sobre la temaacutetica y la realidad circundante
utilizar recursos poco usuales y mejorar la relacioacuten conceptual
5 Evaluacioacuten al final del proceso del nivel de interiorizacioacuten de los conceptos de GIRD en eventos
siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes
El resultado general fue que un 50 de los estudiantes obtuvieron entre 25 y 18 iacutetems correctos y otro
50 menos 18 Seguacuten los criterios de clasificacioacuten establecidos este resultado sentildeala que los estudiantes
interiorizaron parcialmente los conceptos de GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos con los talleres de
cartografiacutea participativa Ello indica que se necesitan maacutes esfuerzos para causar la interiorizacioacuten de los
conceptos de GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes
No obstante eso fue uniforme para los distintos conceptos asociados a la GIRD ya que en unos casos si
se logroacute causar una interiorizacioacuten completa mientras que en otros soacutelo parcialmente y en otros muy
poco Los conceptos que siacute se lograron interiorizar con los talleres de cartografiacutea participativa fueron los
de Riesgo de desastres y Amenazas siacutesmicas y volcaacutenicas Los conceptos que se lograron interiorizar
parcialmente fueron GIRD y Reconstruccioacuten Finalmente los conceptos que se lograron interiorizar poco
fueron Vulnerabilidades siacutesmicas y volcaacutenicas Mitigacioacuten y Rehabilitacioacuten
6 Conclusioacuten
En suma se puede decir que la cartografiacutea participativa como herramienta didaacutectica para la ensentildeanza
de la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos fue bastante efectiva para contribuir en los aprendizajes
significativos de ese tema Se pudo corroborar que los objetivos de aprendizaje de cada taller se
cumplieron y que las orientaciones praacutecticas para lograr el aprendizaje significativo se siguieron en
mucho Asimismo la mitad de los estudiantes lograron interiorizar los distintos conceptos asociados con
la temaacutetica
Ahora es importante indicar que ello requiere mejoras pues por ejemplo la otra mitad de estudiantes
no logroacute alcanzar aprendizajes significativos en todos los conceptos esenciales Los factores que pudieron
haber influido en esa situacioacuten son el poco eacutenfasis que se le dio al abordaje de ciertos conceptos
(principalmente los procesos de la GIRD) la falta de rigurosidad en la evaluacioacuten inmediata de algunos
talleres y el seguimiento parcial de algunas orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo
Estos factores sin embargo no son completamente intriacutensecos a la teacutecnica cartografiacutea participativa pues
resultan del disentildeo conjunto de los talleres En ese sentido las mejoras se alcanzariacutean con una serie de
modificaciones al disentildeo de la propuesta Estas modificaciones sin embargo tambieacuten deben ser probadas
y evaluadas mediante un proceso riguroso Esto uacuteltimo es reconocer un elemento propio de la naturaleza
de la intervencioacuten didaacutectica la necesidad permanente de investigar la praacutectica educativa para alcanzar la
efectividad en la ensentildeanza (Restrepo 2009)
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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El contexto en el aprendizaje de las ciencias iquestde quieacuten y para
queacute
Antonio Alejandro Lorca Mariacuten
Universidad de Huelva Espantildea
antoniolorcaddccuhues
Diego Armando Retana Alvarado
Universidad de Costa Rica Costa Rica
diegoarmandoretana ucraccr
Resumen El siglo XXI ha traiacutedo aparejado una serie de cambios sociales tecnoloacutegicos e
incluso laborales que hacen que nos planteemos nuestro paradigma educativo y por ende
sus perspectivas a nivel ontoloacutegico epistemoloacutegico y metodoloacutegico En esta comunicacioacuten
se expone la experiencia llevada a cabo bajo una metodologiacutea por indagacioacuten y en la que un
taller cuestionando la Homeopatiacutea sirve como foco de reflexioacuten para ejemplificar nuevas
perspectivas en el aula El realizar un acercamiento a los contenidos propios de las
asignaturas de fiacutesica y quiacutemica a traveacutes de la experimentacioacuten donde las afirmaciones en
ciencias se hagan a traveacutes de los datos y no como dogmas de fe se plantean como
metodologiacuteas necesarias para una ciudadaniacutea continuamente inmersa en un mar de opiniones
El cuestionar los medios de comunicacioacuten (foco de informacioacuten para muchos) nos acerca al
pensamiento criacutetico y escepticismo que tanto se reclama en nuestras aulas
Palabras Clave Didaacutectica de las ciencias experimentales indagacioacuten basada en modelos
maestros en formacioacuten inicial Pseudociencias
1 Introduccioacuten
El nuevo papel del profesor de cara a los nuevos retos que le va a plantear la era digital y en su papel
dentro del proceso debe pasar no soacutelo por el uso de los materiales si no por un comportamiento una
actitud un modelo de hacer que haraacute de este un planteamiento tal que haya que considerar su definicioacuten
para pasar de un papel formador educador a un papel dinamizador de orientacioacuten y tutela (Lorca-Mariacuten
et al 2018) La sociedad en la actualidad precisa una educacioacuten adaptada a sus necesidades y en este
sentido poco ha evolucionado el sistema educativo El tratamiento que desde las aulas hacemos de las
ciencias poco ha evolucionado desde las primeras Universidades (ver Figura 1) y donde a esta se la
aproxima maacutes a una religioacuten que ha una disciplina acadeacutemica donde el papel omnisciente del docente es
incuestionable y donde los alumnos como siervos disciacutepulos asumen el papel pasivo de memorizar los
contenidos de ciencias como si de evangelios se tratase y bajo el uacutenico criterio de la fe (Ver Figura 2)
No es de extrantildear que luego nuestros alumnos carezcan de la capacidad de generalizar los aprendizajes
de la escuela a otros contextos y dar respuestas a cuestiones donde poner en juego esos aprendizajes
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Figura 1
Aula Fray Luis de Leoacuten de la Universidad de Salamanca (Espantildea) Aula a fecha actual de la Universidad
de Huelva (Espantildea) Representacioacuten de la falta de evolucioacuten en la educacioacuten
Figura 2
Aula actual de la Universidad de Huelva (Espantildea) y su parecido a cualquier iglesia Representacioacuten
entre el tratamiento de la ciencia en las aulas actuales y la religioacuten
De cara a este cambio que se plantea el profesor debe poner eacutenfasis en el aprendizaje donde debe actuar
como tutor fomentando la autonomiacutea del alumno disentildeando y gestionando sus propios recursos y
partiendo de las concepciones erroacuteneas que sabemos que nuestros alumnos tienen y que en la literatura
podemos encontrar (ver Figura 3)
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Figura 3
Modelo de ensentildeanza y aprendizaje en la Ensentildeanza y Aprendizaje de las Ciencias
Nota Tomado de Lorca-Mariacuten 2015
No deja de ser un cambio de paradigma el que se comienza a plantear y donde cualquier profesor debe
preguntarse para queacute ensentildeamos ciencia queacute implicaciones en la sociedad debe tener la ciencia queacute
ensentildeamos y por supuesto coacutemo debemos presentar la ciencia en nuestras aulas
Este enfoque plantea la posicioacuten del estudiante dentro del sistema aula El papel activo del alumnado se
erige como elemento clave del proceso y donde la autoridad enciclopeacutedica del docente pasa a un segundo
plano para pasar a ser guiacutea en la metodologiacutea del proceso Donde el papel de las concepciones erroacuteneas
de nuestros estudiantes son el punto de partida de los procesos de formacioacuten y donde la tecnologiacutea son
elementos claves para dotar de sentido los procesos fenoacutemenos y hechos en nuestras aulas Donde el
contexto banco de preguntas a las que cargar de contenidos son claves para generar situaciones de
aprendizaje y determinantes de las conductas esperadas de nuestros alumnos El pensamiento criacutetico la
reflexioacuten en las acciones la toma de decisiones la creatividad pasan a ser contenidos actitudinales
esenciales para la consecucioacuten de los objetivos
Sin embargo requiere disponer de una organizacioacuten de los espacios agrupamientos y tiempos que no
siempre va de la mano del modelo operante de actual sistema educativo Ni el esfuerzo por parte de
aquellos actores que ejercen los distintos roles (alumnosprofesor) en seguacuten queacute casos estaacuten dispuestos
a llevarlo a cabo
La estructura del modelo de ensentildeanza y aprendizaje que se plantea desde el aacuterea de la didaacutectica de las
ciencias experimentales y que es de general aceptacioacuten es el de Indagacioacuten Y aunque clave en el aula de
ciencias tiene unos elementos que debemos tener presente Para Martiacutenez-Chico et al (2017) el alumno
debe apropiarse de la pregunta expresar justificar y discutir sus ideas utilizando diferentes lenguajes
Disentildear la buacutesqueda de pruebas para contrastar sus ideas llevan a cabo esa buacutesqueda analizan resultados
obtienen y discuten conclusiones y finalmente el profesor da un paso maacutes en el acercamiento a ideas
maacutes cientiacuteficas (ver Figura 4) Asimismo implica plantear problemas identificar diferentes caminos
para resolverlos desarrollar y observar experimentos sencillos recoger datos buscar y contrastar
respuestas entre otras (Linn Davis y Bell 2004)
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33
Figura 4
Estructura de una secuencia basada en la indagacioacuten
Nota Tomado de Martiacutenez-Chico et al 2017
Asiacute y como ya hemos especificado deben partir de las concepciones erroacuteneas que poseen nuestros
alumnos (o entendemos que poseen) y que solo el sistema educativo tiene los medios y recursos
personales (especialistas en la docencia) para poder trabajarlas Construimos ideas conceptos
proposiciones o esquemas a partir de los objetos eventos y situaciones a los que nos enfrentamos y cada
uno lo hace desde su propia situacioacuten personal por lo que se presentan como claves para el comienzo de
cualquier proceso
En este sentido las concepciones estaacuten mediadas por las percepciones que los sujetos tienen de la
realidad Entendiendo percepcioacuten como el resultado de la interpretacioacuten personal de la informacioacuten
(estiacutemulo externo) y por lo tanto es subjetiva Asiacute los factores de los que depende la percepcioacuten son
conocimiento actitud culturalsocial sentido e incluso el sexo entre otros muchos maacutes factores
Cuando hablamos de concepcioacuten la entendemos como la estructura mental general que posee el
individuo a traveacutes del procesamiento manipulacioacuten y uso del conjunto de percepciones que experimenta
el individuo
Asiacute Driver (1989) las clasifica seguacuten sean causados por
Pensamiento dirigido por la percepcioacuten Por ejemplo el azuacutecar o la sal desaparece al disolverse en el
agua
Conceptos indiferenciados Por ejemplo tratar como elementos sinoacutenimos Calortemperatura o
Masavolumendensidad
Enfoque limitado Por ejemplo pensar que la presioacuten no actuacutea en estados de equilibrio o que la fuerza
soacutelo existe si provoca movimiento
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Razonamiento causal lineal no reversible Por ejemplo el papel que juega la energiacutea en los cambios de
estado
Dependencia del contexto Por ejemplo el elegir recipiente de metal para sopa caliente siendo este mejor
conductor del calor
Las caracteriacutesticas generales que este mismo autor define son que
Son estables en el tiempo y resistentes al cambio
Son comunes a las de otros alumnos de la misma edad y cultura
Son construcciones personales de caraacutecter impliacutecito
Presentan semejanzas con concepciones histoacutericas del pensamiento cientiacutefico y filosoacutefico
Son ideas funcionales que buscan utilidad
Se ponen de manifiesto en actividades o predicciones
Tienen coherencia interna pero no desde el punto de vista cientiacutefico
2 Objetivos
Existe una doble finalidad dentro de la comunicacioacuten que se plantea y que podemos transformarlos en
forma de objetivos principales Por una parte y en un primer objetivo capacitar a los asistentes en
metodologiacuteas activas propias de los nuevos modelos educativos Mostrarles que los conocimientos
propios de una metodologiacutea determinante dentro del aula de ciencia y su extensioacuten a las competencias
STEM trabajo colaborativo planificacioacuten iniciativa creatividad comunicacioacuten y divulgacioacuten entre
otras
En un segundo objetivo la adquisicioacuten de los conocimientos propios determinados por la Legislacioacuten
espantildeola actual en fiacutesica y quiacutemica Contenidos conceptuales relacionados con la Materia las
Disoluciones el concepto de mol la formulacioacuten entre otros Contenidos procedimentales como las
disoluciones seriadas el pipeteo destrezas en el manejo de material de laboratorio y de pruebas
estandarizadas como la prueba del Yodo Obtener informacioacuten sobre temas cientiacuteficos utilizando
distintas fuentes y emplearla valorando su contenido para fundamentar y orientar trabajos sobre temas
cientiacuteficos Desarrollar actitudes criacuteticas fundamentadas en el conocimiento cientiacutefico para analizar
individualmente o en grupo cuestiones relacionadas con las ciencias
3 El taller
La propuesta que se plantea se inicia dando respuestas a una seria de preguntas claves y que todo docente
se debe ir haciendo iquestPara queacute ensentildear ciencias iquestQueacute ciencia ensentildear iquestCoacutemo debe relacionarse el
saber el alumno y el profesor iquestQueacute implicaciones debe tener en la sociedad iquestQueacute valores debe
fomentar iquestQueacute cuaacutendo y coacutemo ensentildear iquestQueacute cuaacutendo y coacutemo evaluar iquestQueacute estrategias de
aprendizaje yo actividades se proponen iquestCoacutemo deberiacutean presentarse las ciencias en las aulas Se trata
de una reflexioacuten sobre el sentido epistemoloacutegico de la ciencia su papel en la alfabetizacioacuten cientiacutefica de
los alumnos y su implicacioacuten en la sociedad Esta visioacuten o cambio en el paradigma de las ciencias desde
el punto de vista educativo parte de elementos claves
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Un conocimiento profundo sobre los contenidos a trabajar y que abordaremos en una secuencia
contextualizaacutendolos Es un planteamiento teoacuterico-cientiacutefico de los contenidos propios de la materia a
trabajar y que desde el curriacuteculo oficial debemos tener presente Explicitar la importancia del
conocimiento didaacutectico del contenido
Conocer queacute obstaacuteculos y dificultades de aprendizaje presentan los alumnos de secundaria sobre los
conceptos a trabajar Para ello se debe realizar una buacutesqueda sistemaacutetica en las distintas revistas
especializadas del aacuterea y que nos deacute una visioacuten de cuaacuteles son las concepciones erroacuteneas que marcaraacuten
nuestro devenir en el proceso de ensentildeanza
Conocimiento epistemoloacutegico de la ciencia Intentando responder a la cuestioacuten de coacutemo se conoce los
distintos contenidos a trabajar
Conocimiento de los distintos elementos que conforman el sistema aula Organizacioacuten planificacioacuten
evaluacioacuten entre otros
Por el contexto en el que se generaba la propuesta fue interesante profundizar en el tratamiento de las
concepciones erroacuteneas que tienen nuestros estudiantes a la hora de plantear cualquier proceso de
ensentildeanza y aprendizaje y en particular de los contenidos que iacutebamos a trabajar Dilucioacuten seriacioacuten
concepto de mol partiacutecula caracteriacutesticas de la materia caracteriacutesticas en particular del agua entre otros
Partiendo de una noticia reciente sobre el estado actual de la Homeopatiacutea y su inclusioacuten en la sociedad
actual nos acercamos a las opiniones que nuestros asistentes tienen de este tipo de praacutecticas
La intervencioacuten en siacute misma se ha publicado recientemente en la revista Alambique Didaacutectica de las
ciencias experimentales bajo el tiacutetulo de ldquoCiencia frente a seudociencia el fomento del pensamiento
criacuteticordquo (Lorca-Mariacuten et al 2019) Sin embargo resumir que se procedioacute a la fabricacioacuten de un producto
homeopaacutetico bajo los criterios que marca laboratorios del sector Mediante una dilucioacuten seriada decimal
(en diluciones 110) a partir de un antiseacuteptico yodado que actuacutea como tincioacuten madre (TM) se realizan las
distintas diluciones hasta obtener la dilucioacuten deseada 1DH (Decimales Hahnemannianas) 2DH
3DHhelliphellip Mediante la prueba del yodo se comprueba la autenticidad de las afirmaciones en las que se
sustenta la homeopatiacutea (ver Figura 5)
Figura 5
Fotografiacuteas durante la presentacioacuten donde un voluntario actuoacute de alumno para la ponencia
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Por uacuteltimo y tras la elaboracioacuten de la secuencia se desarrolloacute una reflexioacuten sobre el proceso despertando
un debate de reflexioacuten sobre las pseudociencias en la sociedad actual su modelo de generalizacioacuten foros
de crecimiento entre otras cuestiones
4 Conclusioacuten
La propuesta que se plantea fue muy valorada entre los docentes para su uso en el aula de ciencias
destacando su contribucioacuten a la contextualizacioacuten de aprendizaje de conocimientos relativos a conceptos
y procesos cientiacuteficos y especialmente de cara a trabajar contenidos actitudinales que en muchos casos
pasan desapercibidos en el aula de ciencias Asimismo se consideroacute que favorece la capacidad para
describir y explicar fenoacutemenos con el que el alumno convive y para interpretar los datos e informaciones
que llegan al estudiante a traveacutes de las redes sociales youtubers influencers entre otros
Se destacoacute el ejercicio de la experimentacioacuten cientiacutefica directa lo que potencia principalmente aspectos
de la competencia cientiacutefica como iniciacioacuten a la investigacioacuten cientiacutefica baacutesica
Es digno de mencioacuten en la intervencioacuten aquellas aportaciones referentes a la importancia del papel activo
del alumno La necesidad de generar contextos y situaciones que propicien la necesidad por investigar e
indagar donde el docente se comporte como guiacutea del proceso y el alumno adquiere un papel principal
en el proceso La necesidad de precisar entornos colaborativos entre el alumnado ya que entre los retos
que se enmarca el siglo XXI estaacute el de trabajos formados por grupos cada vez maacutes interdisciplinares y
donde la reflexioacuten comunicacioacuten y colaboracioacuten son elementos claves
La concepcioacuten sobre la ensentildeanza de las ciencias que posea el profesorado el conocimiento sobre los
contenidos cientiacuteficos a tratar la constante actualizacioacuten sobre las investigaciones que se hacen en
materia de concepciones erroacuteneas del alumnado en ciencia asiacute como sobre las informaciones que se
publican por los distintos medios de comunicacioacuten son variables para tener presentes pues condicionan
este tipo de metodologiacutea que parte del contexto en el que estaacuten sumergidos nuestros alumnos
Tenemos un sistema educativo centrado en respuestas maacutes que en preguntas cuando en una sociedad 40
toda informacioacuten debe ser cuestionada El sistema educativo debe formar alumnos con pensamiento
criacutetico y esceacutepticos
Debemos poner eacutenfasis en aprender haciendo y reflexionar sobre el proceso para ello debemos ensentildear
ciencias centraacutendonos en las preguntas desarrollando y usando modelos que nos acerquen a la realidad
del alumnado planificar y realizar proyectos e investigaciones que ayuden al alumno a interpretar el
medio que le rodea Analizando e interpretando datos concluyendo a partir de la interpretacioacuten de estos
y con argumentos que se puedan generalizar en patrones Comunicando y divulgando con argumentos a
partir de evidencias contrastables En definitiva ensentildeamos Ciencia sin hacer Ciencia El contexto en el
que se lleva a cabo la ensentildeanza y aprendizaje de las ciencias la ha dogmatizado hasta su tratamiento
como una religioacuten
Agradecimientos
Agradecer a la organizacioacuten del XXI CONCITES y en su caso a la fundacioacuten CIENTEC la oportunidad
de llevar a cabo la presente comunicacioacuten A la Universidad de Huelva (Espantildea) y Universidad de Costa
Rica por el apoyo otorgado para la realizacioacuten de este trabajo fruto de una estancia de investigacioacuten
cofinanciada por la Asociacioacuten Universitaria Iberoamericana de Posgrado el centro de investigacioacuten
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COIDESO el grupo de investigacioacuten DESYM y la Universidad de Huelva a traveacutes de su Estrategia de
Poliacutetica de Investigacioacuten y Transferencia
Referencias Bibliograacuteficas
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Education 11(5) 481-490
Linn MC Davis EA y Bell P (2004) Internet Environments for Science Education Erlbaum
Lorca-Mariacuten A A Gonzaacutelez Castanedo Y y Delgado-Algarra E J (2018) El uso de las redes sociales
en el aula de ciencias iquestdebe ser una obligacioacuten o no En Encuentros de Universidad de A
Coruntildea Servicio de Publicaciones
Lorca-Mariacuten A A Gonzaacutelez Castanedo Y y Velo Ramiacuterez MS (2019) Ciencia frente a
seudociencia el fomento del pensamiento criacutetico Alambique Didaacutectica de las ciencias
experimentales (97) 57-61
Martiacutenez-Chico M Loacutepez-Gay R Jimeacutenez-Liso M y Trabaloacuten Oller M (2017) Una propuesta
integrada para la formacioacuten inicial de maestros desde el aprendizaje de ciencias mediante
indagacioacuten y modelizacioacuten a la competencia para ensentildear ciencias Ensentildeanza de las Ciencias
(Extra) 115-122
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El uso del Meme como recurso pedagoacutegico y evaluativo
Hairo Zuacutentildeiga-Alvarado
International Christian School Costa Rica
hgzalvaradogmailcom
Resumen los memes han sido utilizados como recursos para expresar criticas sociales
humor y recreacioacuten estos factores pueden ser utilizados en la educacioacuten y llevar esos tres
elementos y generar un aprendizaje significativo a partir de su uso pedagoacutegico y evaluativo
El uso de la saacutetira y la comedia en la comunicacioacuten representa una ruta compleja de
aprendizaje por lo cual genera construccioacuten de conocimiento soacutelido y significativo El meme
se convierte en un novedoso recurso educativo que tiene las caracteriacutesticas fundamentales
para realizar procesos de evaluacioacuten diagnoacutestica ademaacutes al ser utilizado en las lecciones
facilita el ambiente dinaacutemico y propicio para el aprendizaje
Palabras claves meme aprendizaje procesos de ensentildeanza aprendizaje innovacioacuten
educativa TICs TACs
1 Introduccioacuten
La educacioacuten es un proceso que no concluye invita a los participantes a estar en una constante renovacioacuten
de conocimiento El ser humano es un ente de aprendizaje continuo con la capacidad de transformar lo
que observa en procesos elevados de metacognicioacuten hacia una ruta de integralidad
El avance tan acelerado de la tecnologiacutea conlleva el reto principal del quehacer docente hacia la buacutesqueda
de meacutetodos alternativos de aprendizaje donde logre captar la mayor capacidad de atencioacuten de los
educandos y donde se valore la inclusioacuten educativa como una arista primordial del aprendizaje
Los nuevos desafiacuteos docentes invitan a la constante innovacioacuten educativa llaman a los educadores a que
rompan paradigmas y trasciendan en su labor docente donde contextualicen los contenidos a partir de
recursos educativos peculiares como lo son los memes
2 Los memes iquestqueacute son
Un meme es un recurso visual que utiliza elementos llamativos como lo son colores imaacutegenes y
variedades de tipografiacuteas tienen la particularidad de que utilizan aspectos propios de la teoriacutea del color
utilizando colores opuestos para denotar mensajes La mezcla de colores y tipografiacuteas hacen que los
memes se conviertan en recursos ideales para expresar ideas comentarios y criacuteticas que pueden ir desde
aacutembitos locales internaciones y glocales
Son utilizados con alta frecuencia para expresar criacuteticas utilizando mensajes claros concisos y con tonos
de ironiacutea sarcasmo y jocosidad por otro lado los memes tienen la capacidad de llegar a ser virales en el
internet permitiendo asiacute alcanzar un puacuteblico meta maacutes amplio es por esto queacute pueden ser utilizados
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como recursos pedagoacutegicos es decir trascienden la sociedad de la informacioacuten (Vera 2016 citando a
Barroso y Cabero 2016)
3 El meme como recurso pedagoacutegico
Los memes son quizaacutes el recurso pedagoacutegico con mayor accesibilidad y al mismo tiempo con mayor
grado de subvaloracioacuten este recurso brinda muacuteltiples oportunidades para proyectar informacioacuten
masificarla y divulgarla a partir de la creatividad comunicacioacuten siacutentesis y criticidad (Balda 2019)
Es decir permite generar nuevas rutas en la construccioacuten de conocimiento de los discentes utilizando
procesos interculturales e interdisciplinarios lleva consigo un andamiaje de ideologiacuteas y pensamientos
permitiendo al meme ser un gran portador de conocimiento
Para nadie es un secreto que se vive en una sociedad con altos iacutendices de globalizacioacuten donde la
tecnologiacutea se convirtioacute en un aliado en la formacioacuten de conocimiento en los educandos por parte de los
docentes es por esto por lo que los memes vuelven a ser pioneros en la formacioacuten construccioacuten y
reflexioacuten del conocimiento brindado en el proceso ensentildeanza-aprendizaje En este recurso digital se
pueden hallar todas las caracteriacutesticas establecidas en las TICs donde permite la flexibilidad del
curriculum y simultaacuteneamente se transforman en TACs en otras palabras los memes son herramientas
que participan en procesos complejos de comunicacioacuten y de conocimiento generando asiacute la proyeccioacuten
de habilidades de pensamiento sisteacutemico y analiacutetico
El pensamiento criacutetico es uno de los factores que maacutes se busca en los procesos de ensentildeanza-aprendizaje
son el reto de los educadores actuales y son el deseo de los estudiantes que estaacuten sedientos de nuevos
retos nuevos aprendizajes y nuevas tendencias pedagoacutegicas que conviertan sus entornos de ensentildeanza
en ambientes dinaacutemicos y de aplicabilidad
En la misma liacutenea para garantizar un aprendizaje significativo es necesario cumplir con dos requisitos
1 Brindar los contenidos de manera que los estudiantes logren entender el porqueacute de los temas que
aprende y 2 Contextualizar los contenidos que estudian para asiacute encontrar la aplicabilidad del
conocimiento
Los estudiantes modernos son exigentes en cuanto a estudiar y aprender son emocionales y pueden
realizar varias tareas al mismo tiempo esto da al docente un rompecabezas de teacutecnicas que pueden usar
para despertar en los estudiantes el intereacutes por la asignatura y con esto generar un viacutenculo que fortalezca
la relacioacuten estudiante-docente y viceversa los cerebros de nuestros estudiantes trabajan a partir de grupos
de intereses (Cataldi y Dominighni sf) si se logra posicionar la asignatura en ese ciacuterculo se construiriacutea
una nueva ruta de conocimiento
La creacioacuten de ese viacutenculo emocional garantiza que los procesos de ensentildeanza-aprendizaje se encaminen
hacia la ruta de la significancia ya que es fundamental que los estudiantes logren sentirse coacutemodos
seguros y felices en los entornos de aprendizaje (Lewin 2017)
4 El meme como recurso evaluativo
La evaluacioacuten como tal se ha visto proyectada como el proceso que muestra el avance de un estudiante
en el proceso de aprendizaje se ha tipificado como un proceso sumativo donde a partir de una escala
numeacuterica el estudiante recibe una calificacioacuten que brinda presuntamente su nivel de desempentildeo para
los objetivos planteados
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Este proceso sumativo se ha visto bajo el esquema de educacioacuten tradicional valorando el resultado del
aprendizaje y omitiendo el proceso de aprendizaje lo cual elimina por completo el verdadero proceso
de significancia de la educacioacuten Es durante el proceso de aprendizaje donde el estudiante cuestiona lo
que sabe produce y reflexiona siendo estas tres habilidades fundamentales en la construccioacuten de
conocimiento y vitales para lograr el aprendizaje significativo (Apeacutendice I II y III)
El aprendizaje significativo y la evaluacioacuten son procesos que pueden ocurrir paralelamente si se aplican
las diversas formas de evaluacioacuten que existen los memes pueden ser utilizados en las tres rutas de
evaluacioacuten que existen
El meme como evaluador diagnoacutestico debido a su naturaleza criacutetica los memes funcionan con
herramientas para iniciar discusiones reflexiones y diversas metodologiacuteas donde el estudiante puede
hacer introspeccioacuten sobre la compresioacuten de los contenidos a desarrollar o ya estudiados
El meme como evaluador sumativo al utilizar el meme como esta estrategia el docente requiere de una
ruacutebrica soacutelida y objetiva
El meme como evaluador formativo el docente puede utilizar este recurso como una herramienta
metodoloacutegica para brindar espacios de retroalimentacioacuten grupal e individual con el fin de brindar un
aprendizaje formativo
5 Materiales y meacutetodos
Se realizoacute una encuesta a un grupo de 36 docentes de preescolar primaria y secundaria de sistemas
educativos puacuteblicos y privados de las modalidades diurnas bachillerato internacional y nocturnas y a un
grupo de 58 estudiantes pertenecientes a colegios privados y puacuteblicos y que oscilan las edades de 14 a
20 antildeos y de las modalidades acadeacutemica bachillerato internacional y Colegio Nacional Virtual Marco
Tulio Salazar
La muestra de docentes contempla una distribucioacuten que incluye San Carlos Puntarenas San Marcos de
Tarrazuacute Heredia San Joseacute y Cartago mientras que la muestra de estudiantes se utilizoacute la direccioacuten
regional de Heredia especiacuteficamente los circuitos escolares 05 y 07
Las encuestas aplicadas contienen un total de ocho preguntas de las cuaacuteles seis son preguntas cerradas y
dos son preguntas abiertas Las respuestas obtenidas fueron procesadas a partir de graacuteficos y tablas con
el fin de contrastar los resultados
6 Discusioacuten de resultados
Como parte del proceso de indagacioacuten se le pregunto a los docentes sobre el principal uso que se ha dado
a los memes la figura 1 contempla los resultados de esta interrogante
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Figura 1
Uso que se le dan a los memes
Nota Creacioacuten propia
Tal y como muestra la figura anterior las opciones de recreacioacuten u ocio criacutetica social y comunicacioacuten
de ideas son las respuestas con mayor frecuencia en la muestra encuestada esto evidencia que el meme
es un recurso con una gama amplia de uso permitiendo alcanzar niveles de comunicacioacuten superiores a
partir de diferentes estrategias y herramientas
En la misma liacutenea utilizar memes en las lecciones como recurso pedagoacutegico y evaluativo tiene muacuteltiples
beneficios en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje ya que al utilizar el humor como forma de
comunicacioacuten de ideas permite generar conexiones neuronales fuertes y realizar en forma impliacutecita
procesos de cuestionamiento de conocimiento al entender o no entender el meme es este recurso una de
las formas maacutes atractivas para llegar a la metacognicioacuten tal y como lo afirma Vera (2016) al indicar que
ldquohelliplos memes tienen un poder de descripcioacuten y explicacioacuten en torno a un fenoacutemeno hecho u desarrollo
cultural mucho maacutes efectivo para la cultura juvenil globalizada -y por ende hiperconectada- en el aacutembito
educativo del siglo XXIrdquo (p 5)
Se considera que los memes tendraacuten efectos positivos en el estudiantado (Figura 2) y en clima de clase
si esto se logra por consecuencia se afectaraacute positivamente el aprendizaje transformaacutendolo en
contextualizado divertido y significativo Transportan al estudiante hacia paradigmas cognitivos
inexplorados donde se promueve una mentalidad de crecimiento a partir de la sensacioacuten de seguridad
empoderamiento y felicidad de las lecciones
Figura 2
Efecto del uso de los memes en las lecciones de acuerdo con los docentes
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Por otro lado los estudiantes son una de las aristas principales del proceso educativo ante esto se les
preguntoacute a los educandos sobre si existe un agrado por el posible uso de los memes como recurso
pedagoacutegico y evaluativo en las lecciones el resultado se ubica en la Figura 3
Figura 3
Efecto del uso de los memes en las lecciones de acuerdo con los docentes
Nota Creacioacuten propia
Tal y como muestra la figura anterior existe una alta frecuencia por que los memes sean utilizados en
las lecciones ya que permitiraacuten a los estudiantes abordar contenidos desde distintas perspectivas
generando una innovacioacuten educativa en los salones de clases
Estos procesos trascienden de la labor tradicional del docente y produce la liberacioacuten de serotonina
aumentando la felicidad y por ende la sensacioacuten se seguridad y comodidad ante el aprendizaje logrando
el aprendizaje significativo
La contextualizacioacuten del conocimiento es vital es ahiacute donde el meme entra en juego y produce en la
relacioacuten docente-estudiante la contextualizacioacuten del conocimiento para fortalecer el viacutenculo emocional
necesario para el discente esto genera un efecto dominoacute donde a partir de todo lo mencionado
anteriormente se abren caminos hacia una educacioacuten multicultural integral y reflexiva
Los memes utilizados como un recurso evaluativo les brinda a los estudiantes la capacidad de realizar
una auto reflexioacuten y auto retroalimentacioacuten a partir de la comprensioacuten del recurso en contexto social
cuando el estudiante se replantee en su mente porqueacute comprende ese meme por queacute entiende el trasfondo
del meme y por queacute puede identificar errores o datos falsos en un meme habremos logrado como
docentes llevar a la verdadera criticidad al verdadero pensamiento criacutetico y la metacognicioacuten Los
memes son los recursos linguumliacutesticos maacutes utilizados en muchas aacutereas de la sociedad como la publicidad
el periodismo y la sociologiacutea es momento que se utilicen tambieacuten en la educacioacuten y lograr transformar
el arte de educar
7 Conclusiones
Tras finalizar este proceso investigativo se concluye que
El meme es un recurso pedagoacutegico y evaluativo que permite al docente innovar en sus lecciones
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Utilizar el meme como recurso pedagoacutegico invita a los estudiantes a llevar su construccioacuten de
conocimiento a niveles superiores
Innovar es una labor que el docente debe hacer constantemente llevar al estudiante a disfrutar el
aprendizaje es fundamental para alcanzar el aprendizaje significativo
La contextualizacioacuten de conocimiento es necesaria para formar el viacutenculo entre el docente y el estudiante
El meme es un recurso versaacutetil que permite al docente conocer a sus estudiantes fortalecer su relacioacuten
con ellos y despertar desarrollar en los estudiantes competencias habilidades y destrezas
Referencias Bibliograacuteficas
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experiencia de aula Nuacutemeros Revista de Didaacutectica de las matemaacuteticas 102 29-41
Catald Z y Dominighni C (sf) La generacioacuten millenial y la educacioacuten superior Los retos de un nuevo
paradigma Revista de Informaacutetica Educativa y Medios Audiovisuales 12 (19) 14-21
Lewin L (2017) Que ensentildees no significa que aprendan Bonum
Vera E (2016) El meme como nexo entre el sistema educativo y el nativo tres propuestas para la
ensentildeanza del lenguaje Revista Educacioacuten y Tecnologiacutea 1-15
httpsdialnetuniriojaesdescargaarticulo6148882pdf
Apeacutendices
Apeacutendice I Desglose del estudio de un meme de literatura
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Apeacutendice II Desglose del estudio de un meme de matemaacuteticas
Apeacutendice III Desglose del estudio de un meme de Fiacutesica
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Estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de la quiacutemica
Carla Goacutemez Quiroacutes
Universidad Latinoamericana de Ciencia y Tecnologiacutea Costa Rica
cgomezq296ulacitedcr
Resumen La gamificacioacuten o ludificacioacuten es una herramienta de transformacioacuten educativa que permite integrar
metodologiacuteas activas y participativas frente al modelo claacutesico de ensentildeanza magistral En el presente artiacuteculo
se proponen varias estrategias didaacutecticas para la presentacioacuten de contenidos de quiacutemica general en el aula en
forma de juego con objeto de incentivar la motivacioacuten y el aprendizaje entre estudiantes tanto de secundaria
como de nivel inicial universitario Las estrategias se implementaron en un grupo de 46 estudiantes de quiacutemica
inorgaacutenica baacutesica de primer ingreso de universidad (edad promedio = 19 antildeos) procedentes de colegios puacuteblicos
y privados con diferentes niveles de conocimiento sobre la materia El 100 de los estudiantes consideraron
que las actividades realizadas facilitaron su aprendizaje personal e incrementaron su intereacutes en la materia
Palabras clave gamificacioacuten nomenclatura geometriacutea molecular balanceo de ecuaciones simulacioacuten
1 Introduccioacuten
La quiacutemica como asignatura de ciencias es muy importante en los programas de estudio de educacioacuten
secundaria y en los primeros antildeos de educacioacuten superior a nivel global Es un tema central para las
carreras de ciencias baacutesicas ciencias de la salud e ingenieriacuteas entre otras No obstante se ha observado
que en general los estudiantes poseen una percepcioacuten de que la quiacutemica es difiacutecil de entender lo cual en
muchos casos se torna en ansiedad y conduce a la peacuterdida de motivacioacuten o intereacutes sobre la materia
(Nakamatsu 2012)
Lo anterior se puede atribuir a la naturaleza abstracta de la asignatura al meacutetodo de ensentildeanza magistral
que la mayoriacutea de los profesores de quiacutemica han venido utilizando a lo largo del tiempo (Corchuelo
2018) y a la brecha que auacuten existe en nuestro paiacutes entre colegios de enfoque cientiacutefico y acadeacutemico lo
cual auacuten en antildeos recientes no deja de ser uno de los grandes retos que tiene el Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica (MEP) en Costa Rica (Hernaacutendez-Chaverri et al 2017)
En lo que respecta a los profesores de quiacutemica tanto a nivel de secundaria como a nivel de educacioacuten
superior uno de los principales retos consiste en desarrollar nuevas estrategias que permitan revertir esta
percepcioacuten negativa sobre la materia y transformar el aprendizaje en una experiencia positiva que
fomente que los estudiantes se motiven y aprecien la importancia de adquirir conocimiento en esta
asignatura
Una de las estrategias que ha venido desarrollando una gran popularidad en el aacuterea de la educacioacuten
consiste en la teacutecnica de gamificacioacuten cuyo objetivo de acuerdo con Ortegoacuten (2016) consiste en el
empleo o identificacioacuten de elementos caracteriacutesticos del juego que permitan transformar una actividad
desarrollada en un entorno no luacutedico en una experiencia agradable que potencie la motivacioacuten la
concentracioacuten la transmisioacuten de conocimiento y la creacioacuten de un viacutenculo significativo con los
estudiantes
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Gamificar el estudio de la quiacutemica ya sea en forma de juegos educativos simulaciones o bien
experiencias no tradicionales en clase es una propuesta atractiva que brinda a los estudiantes la
oportunidad de visualizar conceptos abstractos participar en el proceso de aprendizaje activo y construir
conocimiento de manera efectiva
Seguacuten Oliva (2016) dentro de un contexto universitario la gamificacioacuten representa una oportunidad para
propiciar una cultura de conectividad entre el docente y el estudiante que alimente el intereacutes genuino de
este uacuteltimo por aprender lo cual seraacute reflejado en el mejoramiento de las dinaacutemicas de grupo la atencioacuten
en clase el fomento de actitudes de criacutetica reflexiva retroalimentacioacuten eficiente y aprendizaje
significativo Asimismo la posibilidad de incentivar la participacioacuten de la totalidad de los estudiantes
permite detectar y solucionar de manera oportuna y efectiva aquellos problemas o errores de comprensioacuten
y colectivizacioacuten del conocimiento reduciendo de esta manera las probabilidades de fracaso acadeacutemico
No obstante es importante considerar que el eacutexito o fracaso de la implementacioacuten de estas estrategias
depende de las mecaacutenicas de juego establecidas y de la adecuada seleccioacuten de las herramientas de juego
para la adaptacioacuten de los conceptos educativos de intereacutes de modo que se debe de tener especial cuidado
en cuanto al disentildeo e implementacioacuten de la actividad Con base en esto Werbach amp Hunter (2012)
citados por Corchuelo (2018) consideran que el disentildeo de una estrategia de gamificacioacuten exitosa se basa
en el cumplimiento de los siguientes puntos
a Definir con claridad los objetivos educativos que se quieren conseguir en el aula
b Delimitar los comportamientos que se quieren potenciar en los estudiantes
c Establecer las caracteriacutesticas e intereses de los jugadores
d Definir el sistema de gamificacioacuten y establecer los ciclos de las actividades
e Disentildear las actividades bajo la premisa de que se debe fomentar la diversioacuten
f Definir los recursos y herramientas necesarias para el desarrollo de la estrategia y la posterior
evaluacioacuten de competencias
En la siguiente seccioacuten se describen las caracteriacutesticas de las estrategias didaacutecticas implementadas para
la dinamizacioacuten de contenidos temaacuteticos en el aacuterea de quiacutemica
2 Materiales y meacutetodos
Con objeto de incentivar la motivacioacuten y el aprendizaje de la quiacutemica entre los estudiantes se realizoacute
una investigacioacuten de caraacutecter cualitativo y disentildeo descriptivo para conocer la valoracioacuten de las estrategias
de gamificacioacuten implementadas En las siguientes subsecciones se detallan los elementos establecidos
para el presente estudio de acuerdo con lo estipulado por Werbach amp Hunter (2012) citados por
Corchuelo (2018)
21 Definicioacuten de los objetivos educativos
De manera adicional a los objetivos acadeacutemicos establecidos dentro del programa del curso la aplicacioacuten
de las estrategias planteadas procura motivar a los estudiantes a participar en clase asiacute como dinamizar
los contenidos temaacuteticos dentro del aula para reducir los tiempos de exposicioacuten magistral de los
conceptos y orientar el proceso de ensentildeanza hacia un sistema basado en la resolucioacuten de problemas Lo
anterior para fomentar el pensamiento creativo de los estudiantes
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47
22 Comportamientos que se quieren potenciar entre los estudiantes
Dentro de los comportamientos que se quieren potenciar entre los estudiantes se destaca la participacioacuten
en clase el aprendizaje colaborativo la retroalimentacioacuten efectiva entre pares acadeacutemicos y la asistencia
a la mayoriacutea de las sesiones de clase Ademaacutes del intereacutes de potenciar comportamientos positivos se
procura de igual manera revertir comportamientos o percepciones negativas sobre la materia
23 Caracteriacutesticas e intereses de los jugadores
La estrategia de gamificacioacuten se aplicoacute a un grupo de 46 estudiantes de pregrado de la Escuela de
Medicina y Cirugiacutea Veterinaria San Francisco de Asiacutes de la Universidad Veritas - Espantildea con edades
dentro del rango de 17 hasta los 29 antildeos con diferentes niveles de conocimiento sobre la materia
procedentes de colegios puacuteblicos y privados La distribucioacuten de geacutenero fue de 73 (33) mujeres y 27
(12) hombres
24 Sistema de gamificacioacuten y ciclos de actividades
La seleccioacuten de los temas se realizoacute con base en la distribucioacuten de los contenidos temaacuteticos establecidos
dentro del programa del curso el cual se encuentra dividido en las unidades mostradas en la Tabla 1
Tabla 1
Contenidos temaacuteticos establecidos dentro del programa del curso
Unidad Detalle
I Introduccioacuten a la quiacutemica
II Estructura electroacutenica del aacutetomo Tabla perioacutedica Enlace quiacutemico
III Reacciones quiacutemicas y cantidades
IV Estados de la materia
V Agua Disoluciones y coloides
VI Velocidad de reaccioacuten Equilibrio Quiacutemico Aacutecido-Base
Las estrategias de gamificacioacuten se llevaron a cabo en grupos de maacuteximo 5 estudiantes En general las
actividades fueron planificadas para realizarse al inicio y al final de cada unidad temaacutetica del curso en
horario de clase El esquema de clase se desarrolloacute en tres etapas a) exposicioacuten magistral del tema con
una duracioacuten de maacuteximo 15 minutos b) aplicacioacuten de la estrategia de gamificacioacuten en grupos y c)
revisioacuten grupal de ejercicios para finalizar la clase
25 Descripcioacuten de estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de conceptos de quiacutemica
De acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) existen tres niveles de ensentildeanza y aprendizaje de
conceptos en quiacutemica los cuales consisten en el nivel macroscoacutepico submicroscoacutepico y simboacutelico El
nivel macroscoacutepico hace referencia al aprendizaje de conceptos a traveacutes de la observacioacuten el nivel
submicroscoacutepico representa los conceptos quiacutemicos relativos al movimiento de las moleacuteculas aacutetomos o
partiacuteculas subatoacutemicas y el nivel simboacutelico comprende aquellos conceptos que se estudian mediante el
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uso de siacutembolos foacutermulas estructuras o nuacutemeros De estos conceptos los uacuteltimos dos es decir los
niveles submicroscoacutepico y simboacutelico son considerados de alta dificultad para los estudiantes
Con base en lo anterior se detallan a continuacioacuten las estrategias de gamificacioacuten utilizadas para la
dinamizacioacuten y refuerzo de conceptos considerados de alta complejidad por los estudiantes
251 Dados de iones para nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos
La primera estrategia se enfoca en el tema de nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos perteneciente al
nivel simboacutelico de acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) El objetivo principal de esta estrategia
consiste en reducir el error que cometen los estudiantes al combinar catioacuten-catioacuten o anioacuten-anioacuten
mediante la utilizacioacuten de dos dados que lanzan de manera simultaacutenea Uno de los dados el que posee
los cationes se identifica con un color distinto (azul) al dado que posee los aniones (rojo) como se
observa en la Figura 1 de modo que sea un recordatorio para que los estudiantes se aseguren de combinar
especies diferentes
Figura 1
Dados de cationes y aniones para nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos
Adicionalmente esta estrategia permite reforzar el aprendizaje de los nuacutemeros de oxidacioacuten de iones
monoatoacutemicos y poliatoacutemicos asiacute como la praacutectica de la distribucioacuten correcta de estos en cuanto a la
formulacioacuten de los compuestos y su posterior nomenclatura
252 Construccioacuten de modelos tridimensionales de marshmallows para geometriacutea molecular y
Estructuras de Lewis
Una de las principales dificultades respecto al aprendizaje de la quiacutemica como se mencionoacute previamente
consiste en su naturaleza abstracta Para este efecto la construccioacuten de modelos tridimensionales es de
gran utilidad para que los estudiantes visualicen las estructuras de las moleacuteculas en el espacio Este tema
de igual manera pertenece al nivel simboacutelico de acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015)
La estrategia desarrollada se basa en realizar primeramente los disentildeos de las estructuras de Lewis en
papel y posteriormente trasladarlas a su forma tridimensional empleando gomitas o marshmallows
como se muestra en la Figura 2
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Figura 2
Modelos tridimensionales de marshmallows o gomitas para representaciones de geometriacutea molecular y
estructuras de Lewis
La geometriacutea molecular se puede visualizar adicionalmente de manera opcional con ayuda de kits
para construccioacuten de moleacuteculas
253 Balanceo de ecuaciones quiacutemicas con confites y simulaciones PhET
La estequiometriacutea y balanceo de ecuaciones quiacutemicas es uno de los temas de mayor trascendencia en el
estudio de la quiacutemica De acuerdo con la separacioacuten de conceptos de Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) se
clasifica como nivel submicroscoacutepico
La implementacioacuten de ayudas visuales en este caso es de gran apoyo De modo que la estrategia se
plantea como un juego en el que los estudiantes compiten en velocidad para determinar queacute grupo
finaliza el balanceo de ecuaciones en el menor tiempo Para este efecto se utilizan confites como Skittles
o MampMacutes para simular los aacutetomos respetando la asignacioacuten de colores para cada elemento en especiacutefico
tal y como se observa en la Figura 3
Figura 3
Apoyo visual para el balanceo de ecuaciones quiacutemicas
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50
Otra herramienta disponible para utilizar en clase como apoyo visual para actividades de gamificacioacuten
consiste en el proyecto ldquoPhET Interactive Simulationsrdquo de la Universidad de Colorado Boulder de
donde se pueden obtener distintos recursos educativos para ilustrar conceptos adicionales Las
simulaciones especiacuteficas para quiacutemica se pueden obtener de
httpsphetcoloradoeduensimulationscategorychemistry
26 Recursos y herramientas necesarias
Se aplicoacute un cuestionario en liacutenea para conocer la percepcioacuten de los estudiantes respecto a las estrategias
de gamificacioacuten utilizadas durante el curso Las preguntas definidas para el anaacutelisis cualitativo se
observan en la Tabla 2
Tabla 2
Encuesta aplicada a los estudiantes
Pregunta Tipo de pregunta
iquestCuaacutel fue la actividad que maacutes llamoacute su atencioacuten
Opcioacuten muacuteltiple
iquestLas actividades realizadas incrementaron su intereacutes por la quiacutemica
inorgaacutenica
Dicotoacutemica
iquestCuaacutel fue el tema que maacutes le interesoacute de los contenidos abordados por
las actividades Puede marcar varias opciones
Opcioacuten muacuteltiple
iquestPrefiere el uso de simulaciones en computadora o la construccioacuten de
modelos y juegos en fiacutesico para visualizar conceptos quiacutemicos
Opcioacuten muacuteltiple
iquestConsidera usted que las actividades realizadas fueron innovadoras y
atractivas para los estudiantes
Dicotoacutemica
iquestLas actividades realizadas facilitaron su aprendizaje personal de los
conceptos involucrados
Dicotoacutemica
iquestConsidera uacutetil el uso de estrategias didaacutecticas luacutedicas como
alternativa al enfoque tradicional de ensentildeanza de la quiacutemica
inorgaacutenica a nivel universitario
Dicotoacutemica
iquestTiene alguacuten comentario o sugerencia adicional para mejorar las
actividades realizadas
Abierta
3 Resultados y Discusioacuten
De acuerdo con los resultados obtenidos en la encuesta las actividades que maacutes llamaron la atencioacuten de
los estudiantes con un porcentaje de 444 en ambos casos fueron la construccioacuten de modelos
tridimensionales y la utilizacioacuten de simulaciones PhET El 111 del estudiantado se interesoacute por la
actividad de los dados de iones
En relacioacuten con la valoracioacuten general de las actividades se obtuvo que el 100 de los estudiantes
consideraron que las estrategias aplicadas incrementaron su intereacutes por la quiacutemica y facilitaron su
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aprendizaje personal La distribucioacuten especiacutefica de los contenidos de mayor intereacutes incluyendo la
utilizacioacuten de simulaciones PhET para la visualizacioacuten de otros conceptos se muestra en la Figura 4
donde los temas estudiados con estas uacuteltimas obtuvieron la mayor aceptacioacuten
Figura 4
Intereacutes sobre los contenidos temaacuteticos abordados durante las actividades
En general las estrategias que involucraron el desarrollo manual de modelos tuvieron una aceptacioacuten
mayor (844) respecto al uso de simulaciones computacionales (156) lo cual permite apreciar la
necesidad de realizar una transformacioacuten educativa hacia modelos de ensentildeanza que permitan la
transicioacuten de los estudiantes desde un rol pasivo a un rol activo que les permita interactuar en mayor
medida con sus procesos de aprendizaje como menciona Ortegoacuten (2016) Los estudiantes consideraron
que la experimentacioacuten y realizacioacuten de actividades praacutecticas que les permitieron interactuar con el
contenido visto en clase les ayudoacute a tener un panorama maacutes amplio de coacutemo funciona la quiacutemica en la
vida real lo cual no hubieran obtenido si las clases fueran en su totalidad de caraacutecter magistral
4 Conclusiones
Las estrategias de gamificacioacuten en quiacutemica brindan a los estudiantes la oportunidad de visualizar
conceptos abstractos participar en el proceso de aprendizaje activo y construir conocimiento de
manera efectiva
Los resultados obtenidos en este estudio permiten apreciar la necesidad de realizar una
transformacioacuten educativa hacia modelos de ensentildeanza de aprendizaje activo
Agradecimientos
El desarrollo de este documento no habriacutea sido posible sin la entusiasta participacioacuten y colaboracioacuten de
mis estudiantes del curso de Quiacutemica Inorgaacutenica Baacutesica de la Escuela de Medicina y Cirugiacutea Veterinaria
San Francisco de Asiacutes de la Universidad Veritas en donde tuve la oportunidad de impartir este curso
durante el periacuteodo acadeacutemico del II Cuatrimestre 2019 Agradezco la amabilidad de los estudiantes y del
personal administrativo asiacute como el aprendizaje adquirido durante este breve periacuteodo en la institucioacuten
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Referencias bibliograacuteficas
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ming_and_writing_structural_formulae_of_hydrocarbons_using_the_ball-and-stick_models
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Elaboracioacuten de iacutetems en Geometriacutea y GeoGebra como
herramienta de apoyo en la construccioacuten de las figuras
Estiacutebaliz Rojas Quesada
Universidad Estatal a Distancia
erojasqunedaccr
Eric Padilla Mora
Universidad Estatal a Distancia
epadillaunedaccr
Resumen Este taller estaacute orientado al anaacutelisis de diversos aspectos teoacutericos propios de construccioacuten y
validacioacuten de iacutetems destacando la validez y confiabilidad Se pretende que el participante analice algunos
ejercicios y determine si cumplen con los requisitos para poder ser aplicados posteriormente disentildearaacute ejercicios
tomando en cuenta la teoriacutea y finalmente se le brindaraacute una breve introduccioacuten al empleo del Software
GeoGebra como recurso que le podriacutea contribuir con el disentildeo de las figuras que empleariacutea en los iacutetems
generados Ademaacutes durante el taller se podraacute implementar algunas actividades que le permitan fortalecer su
formacioacuten Matemaacutetica especiacuteficamente en el aacuterea de geometriacutea
Palabras clave Evaluacioacuten geometriacutea anaacutelisis de iacutetems construccioacuten de iacutetems
Objetivo del taller disentildear iacutetems para pruebas escritas en temas de Geometriacutea del I y II Ciclo de la
Educacioacuten General Baacutesica y emplear el software GeoGebra como apoyo para la construccioacuten de las
figuras geomeacutetricas que se incluyan en estos
Puacuteblico meta docentes del I y II Ciclo de la Educacioacuten General Baacutesica Costarricense asiacute como
estudiantes en formacioacuten para dichos ciclos
Recursos computadora con acceso a internet hojas blancas laacutepiz lapicero y borrador
Cantidad maacutexima de participantes 15 personas
1 Introduccioacuten
La evaluacioacuten como proceso cumple entre otros roles el de orientar al docente sobre el aprendizaje de
los estudiantes ofreciendo la posibilidad de fortalecerlo y consolidarlo Ademaacutes se constituye como un
medio para poder transformar el proceso de ensentildeanza dado que permite evidenciar cuaacuteles son las
necesidades prioritarias que se debe atender Por tanto tiene que ser visualizada como una actividad
continua y un proceso integrador que genera desde la reflexioacuten de las experiencias oportunidades
formativas De acuerdo con Fernaacutendez (2018) ldquola evaluacioacuten implica que el docente registre las
fortalezas los talentos las cualidades los obstaacuteculos los problemas o las debilidades que de manera
individual y grupal se vayan dando para intervenir oportunamenterdquo (paacuterr 3)
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Sin embargo se debe recurrir a la medicioacuten para cuantificar los atributos que se encuentran presentes en
los estudiantes (Martiacutenez 2008) tal y como sucede en la educacioacuten costarricense la cual sin importar el
propoacutesito de la evaluacioacuten diagnoacutestica formativa o sumativa debe cumplir con una serie de estaacutendares
de calidad los cuales tienen que ver principalmente con la validez y confiabilidad de los instrumentos
que se emplean para realizar la evaluacioacuten de los aprendizajes
En cuanto a la validez considerada como ldquoel grado en que un test mide lo que pretende medirrdquo (Martiacutenez
2005 p 330) involucra el anaacutelisis de dos aspectos esenciales el contenido para que las preguntas sean
relevantes y representativas del tema que se pretende medir y el proceso de respuesta ya que por medio
de ello se puede establecer los procedimientos que siguen las personas para responder y los indicadores
de lo que se quiere evaluar (Meneses et al 2013)
Por su parte se puede indicar que la confiabilidad se relaciona con el grado de consistencia con que los
examinados realizan la prueba por lo cual es importante determinarla (American Educational Research
Association et al 2018) Para el caso de los instrumentos de evaluacioacuten que se realizan en el aula es
maacutes sencillo tratar de mantener la validez que la confiabilidad ya que para este uacuteltimo se requieren
realizar una serie de anaacutelisis psicomeacutetricos que se salen del alcance de este taller Por tanto para elaborar
iacutetems es primordial el dominio del contenido y de aspectos baacutesicos en evaluacioacuten de los aprendizajes
Otro aspecto fundamental en el caso de Matemaacutetica en aacutereas como la geometriacutea aunque por lo general
se indica que ldquolas figuras no estaacuten hechas a escalardquo es que al emplear imaacutegenes y figuras estas no
contradigan definiciones postulados lemas resultados o teoremas propios de la disciplina y que en la
medida de las posibilidades sirvan de guiacutea u orientacioacuten es aquiacute donde el empleo de alguacuten software para
elaborarlas seriacutea lo idoacuteneo
El taller estaacute orientado al anaacutelisis de diversos aspectos teoacutericos propios de construccioacuten y validacioacuten de
iacutetems se pretende que el participante analice algunos ejercicios y determine si cumplen con los requisitos
para poder ser aplicados luego tomando en cuenta la teoriacutea disentildearaacute ejercicios y para finalizar se
brindaraacute una breve introduccioacuten al empleo del Software GeoGebra como recurso que le podriacutea contribuir
con el disentildeo de las figuras que empleariacutea en los iacutetems generados Ademaacutes durante el taller se podraacute
implementar algunas actividades que le permitan fortalecer su formacioacuten en Matemaacutetica
especiacuteficamente en el aacuterea de geometriacutea
2 Actividades del taller
I Parte Anaacutelisis y elaboracioacuten de iacutetems
Tiempo aproximado 35 minutos
Actividad 1
Se realiza una breve exposicioacuten sobre aspectos teoacutericos relacionados con la elaboracioacuten y validacioacuten de
iacutetems Tiempo aproximado 15 minutos
Se retomaraacuten algunos de los aspectos que de acuerdo con el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa
Rica (MEP) (2011) se debe considerar para la elaboracioacuten de iacutetems tales como
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Las experiencias de aula y el contexto del estudiante
Los objetivos o habilidades especiacuteficas
Utiliza iacutetems objetivos y de desarrollo
Utilizar un vocabulario teacutecnico acorde con el contenido por evaluar
Cuidar el puntaje de los iacutetems
Evitar la redaccioacuten en forma negativa
Realizar la tabla de especificaciones
Para la validacioacuten de los iacutetems se recomienda que se cuente con la participacioacuten de dos a tres personas
que sean expertos en el aacuterea El objetivo de contar con estas personas es que realice un juzgamiento de
los iacutetems en donde se considere algunos criterios de aceptacioacuten para ello se recomienda como miacutenimo
Verificar la congruencia con respecto a los Programas de Estudio en cuanto al ciclo y antildeo educativo
para el cual se aplicaraacute
Revisar el tecnicismo propio de la asignatura
Revisar la redaccioacuten
Resolver el iacutetem
Analizar la cantidad de procedimientos para asignar el nivel de dificultad
Verificar la pertinencia de acuerdo con sus caracteriacutesticas
Analizar las alternativas de respuesta (Seleccioacuten Uacutenica)
Efectuar un anaacutelisis de sensibilidad
Brindar sugerencias para mejorar el iacutetem
Actividad 2
Los participantes realizaraacuten un anaacutelisis y discusioacuten de cuatro iacutetems (ver anexo 1) relacionados con
geometriacutea considerando aspectos propios de la evaluacioacuten entre ellos habilidad redaccioacuten validez
dificultad alternativas y sensibilidad
Tiempo aproximado 10 minutos
Actividad 3
Los participantes seleccionaran una habilidad especiacutefica de los Programas de Estudio del MEP elaboran
y validaran dos iacutetems relacionados con temas de geometriacutea uno objetivo y otro de desarrollo Para el
anaacutelisis deben considerar al menos los siguientes aspectos
Verificar la congruencia con respecto a los Programas de Estudio en cuanto al ciclo y antildeo educativo
para el cual se aplicaraacute
Revisar el tecnicismo propio de la asignatura
Revisar la redaccioacuten
Resolver el iacutetem
Analizar la cantidad de procedimientos para asignar el nivel de dificultad
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Verificar la pertinencia de acuerdo con sus caracteriacutesticas
Analizar las alternativas de respuesta (Seleccioacuten Uacutenica)
Tiempo aproximado 10 minutos
II Parte
GeoGebra una herramienta de apoyo en la construccioacuten de figuras geomeacutetricas
Tiempo aproximado 55 minutos
Actividad 1
Instalacioacuten por parte de los participantes del software GeoGebra
Tiempo aproximado 10 minutos
Dicho programa puede ser descargado de httpswwwgeogebraorgdownload
Actividad 2
Ingreso al ambiente de trabajo de GeoGebra
De acuerdo con la paacutegina oficial de GeoGebra se indica que
GeoGebra es un software de matemaacuteticas para todo nivel educativo Reuacutene dinaacutemicamente
geometriacutea aacutelgebra estadiacutestica y caacutelculo en registros graacuteficos de anaacutelisis y de organizacioacuten en
hojas de caacutelculo GeoGebra con su libre agilidad de uso congrega a una comunidad vital y en
crecimiento En todo el mundo millones de entusiastas lo adoptan y comparten disentildeos y
aplicaciones de GeoGebra Dinamiza el estudio Armonizando lo experimental y lo conceptual
para experimentar una organizacioacuten didaacutectica y disciplinar que cruza matemaacutetica ciencias
ingenieriacutea y tecnologiacutea (STEM Science Technolog y Engineering amp Mathematics) La
comunidad que congrega lo extiende como recurso mundial iexclpotente e innovador para la cuestioacuten
clave y claacutesica de la ensentildeanza y el aprendizaje (p 1)
Un vistazo a GeoGebra
Al descargar e instalar dicho programa y abrirlo se debe visualizar un ambiente de trabajo similar a lo
mostrado a continuacioacuten
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Figura 1
Ambiente de trabajo de GeoGebra
Nota Elaboracioacuten propia
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 3
Conocer el ambiente de trabajo de la paacutegina principal del GeoGebra
Diversas vistas de trabajo de GeoGebra
Menuacute principal
Menuacute de creacioacuten y manipulacioacuten de objetos
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Figura 2
Menuacute principal y menuacute de creacioacuten
NotaElaboracioacuten propia
Tiempo aproximado 10 minutos
Actividad 4
Conocer las diversas propiedades de algunos de los objetos que se pueden crear en GeoGebra
Figura 3
Punto y segmento en ambiente de trabajo de GeoGebra
Nota Elaboracioacuten propia
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Ademaacutes representar un punto Cambiarle el tamantildeo el color el nombre y determinar las coordenadas
Trazar un segmento Cambiarle el tamantildeo el color el nombre y determinar su longitud
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 5
Construir un segmento de 2 cm de longitud Denotar sus puntos extremos con las letras A y B
respectivamente
Trazar una recta perpendicular al segmento que pase por el punto A Luego sobre la perpendicular
destaque un punto y denoacutetelo con la letra C
Manipule libremente el punto denotado por B Luego trace el segmento BC
Determine la medida de los tres aacutengulos internos del triaacutengulo ABC Ajustar los decimales con los cuales
se desea brindar la medida de dichos aacutengulos internos
De acuerdo con la medida de los aacutengulos internos del triaacutengulo iquestQueacute nombre recibe
Determine la medida de los lados de triaacutengulo ABC
De acuerdo con la medida de los lados iquestQueacute nombre recibe
Tiempo aproximado 15 minutos
Actividad 6
Construir un triaacutengulo escaleno obtusaacutengulo Trazar las bisectrices y denotar el incentro con la letra ldquoRrdquo
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 7
Realizar las construcciones que se requieren en los iacutetems construidos en la actividad 3 de la primera
parte del taller Tiempo aproximado 5 minutos
Actividades optativas
Actividad 8
Construir un triaacutengulo isoacutesceles Trazar las medianas y trazar la circunferencia circunscrita en dicho
triaacutengulo
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Actividad 9
Construir un triaacutengulo equilaacutetero Trazar las alturas y determinar el aacuterea de la regioacuten triangular generada
Verificar que el aacuterea satisface que 2
b aA
donde ldquobrdquo es la medida de uno de los lados y ldquoardquo es la medida
de la altura trazada sobre dicho lado
Actividad 10
Construir un cuadrado y determinar el valor del periacutemetro
Construir un rectaacutengulo (que no sea cuadrado) y determinar el valor del aacuterea
Actividad 11
Construir un pentaacutegono hexaacutegono y un octoacutegono
Actividad 12
Construir un pentaacutegono regular un hexaacutegono regular y un dodecaacutegono regular
Actividad 13
Construir un cubo
Referencias bibliograacuteficas
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Meneses J Barrios M Bonillo A Cosculluela A Lozano L Turnaby J y Valero S (2013)
Psicometriacutea Editorial UOC
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2011) La prueba escrita
fileCUsersestibDropboxPersonalEvaluaciC3B3n20y20pedagogC3ADaMEP
la_prueba_escrita_2011pdf
Anexos
Anexo 1 Ejercicios por analizar en la actividad 21
1 Considere la siguiente figura en la cual se muestra el ∆119860119861119862 si 119860119862 cong 119860119861
Nota es importante considerar que la figura no estaacute hecha a escala
De acuerdo con los datos en la figura el periacutemetro de dicho triaacutengulo corresponde a
( ) 59 cm
( ) 43 cm
( ) 43 cm2
( ) 59 cm2
2 Considere la siguiente figura
Realice lo que se le indica a continuacioacuten Valor total 7 puntos Un punto cada acierto
1 Observacioacuten debe considerarse que todos los ejercicios propuestos para esta actividad 2 tienen errores voluntarios o
intencionados con el fin de realizar el anaacutelisis propio de la actividad errores que van desde la redaccioacuten el formalismo y el
contenido entre otros
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iquestCuaacutel es su nombre _________________
Coloree con azul cuatro triaacutengulos
Coloree con verde un cuadrilaacutetero
Coloree con rojo un pentaacutegono
3 Considere el siguiente texto y la figura
Es el segmento que une un veacutertice con el punto medio
del lado opuesto
El texto dado hace referencia a la definicioacuten de
( ) Mediatriz
( ) Mediana
( ) Altura
( ) Ninguna de las anteriores
3 Juan tiene una empresa destinada a la venta de chocolates la cual se ha destacado por
disentildearlos de diversas formas y tamantildeos Para cierta actividad una empresa le solicitoacute
que le vendiera 5 000 chocolates y han seleccionado uno que tiene forma de un pentaacutegono
regular cuyas dimensiones son lado de la base 5 cm apotema de la base 3 cm y altura 4
cm Con base en dicha informacioacuten disentildee una estrategia que permita
a) Determinar la cantidad de materia prima (chocolate) que deberaacute preparar la empresa
Valor 3 puntos
b) Saber cuaacutento deberaacute pagar la empresa a Juan por los chocolates encargados si cada
chocolate tiene un valor de 200 colones Valor 5 puntos
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63
Etnomodelacioacuten La Modelacioacuten en la Cultura
Daniel Clark Orey
Universidad Federal de Ouro Preto Brasil
oreydcufopedubr
Milton Rosa
Universidad Federal de Ouro Preto Brasil
miltonrosaufopedubr
Resumen La realidad vivida por los miembros de grupos culturales distintos puede ser percibido
como siendo un conjunto de experiencias que estaacuten presentes en sus vidas cotidianas cuyas
representaciones son generadas viacutea inferencias con la utilizacioacuten de concepciones mentales a
traveacutes de la etnomodelacioacuten La propuesta de la etnomodelacioacuten puede ser interpretada como una
accioacuten pedagoacutegica que permite reconocer y presentar los conocimientos matemaacuteticos presentes
en la vida diaria de los alumnos en situaciones didaacutecticas motivadoras La etnomodelacioacuten busca
proporcionar la conexioacuten de las praacutecticas matemaacuteticas locales con los procedimientos
matemaacuteticos usados en otros sistemas de conocimientos matemaacuteticos como por ejemplo el
escolar o acadeacutemico en una resignificacioacuten del conocimiento matemaacutetico por medio de la
etnomodelacioacuten
Palabras clave Cultura Etnomodelacioacuten Modelacioacuten
1 Consideraciones Iniciales
Histoacutericamente el desarrollo de las matemaacuteticas estuvo relacionado con la resolucioacuten de
problemas diarios y tambieacuten con la tentativa de modelar los acontecimientos cotidianos por
medio de modelos explicativos e interpretativos de esas situaciones Seguacuten este contexto la
etnomodelacioacuten puede ser considerado como un sitio de investigacioacuten y una tendencia
pedagoacutegica porque a) puede ser utilizada en la ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
en todos los niveles de la educacioacuten y b) que contribuye para el desarrollo de la reflexioacuten
criacutetica de los alumnos ampliando su autonomiacutea para la resolucioacuten de situaciones-problemas
enfrentadas en el cotidiano
Entonces es importante que el trabajo en etnomodelacioacuten sea direccionado para que los
alumnos a) entiendan el significado de las situaciones problemas presentadas b)
comprendan el conocimiento matemaacutetico como una herramienta para la comprensioacuten de la
resolucioacuten de los problemas que surgem en el diacutea a diacutea c) se den cuenta de que las
metodologiacuteas utilizadas en la modelacioacuten han contribuiacutedo para el exceso de formalismo en
el lenguaje matemaacutetico valorizando la formalizacioacuten de sus contenidos matemaacuteticos en
detrimento de sus conexiones con el cotidiano y otras aacutereas del conocimiento
Las dimensiones social y cultural de la etnomodelacioacuten son importante para proporcionar
reflexiones criacuteticas sobre el papel de la elaboracioacuten de modelos para la resolucioacuten de
situaciones problemas que aquejan las comunidades globales y locales Estos modelos son
representaciones de sistemas de conocimientos matemaacuteticos que ayudan a los miembros de
grupos culturales distintos en el entendimiento y en la apropiacioacuten de la realidad mediante el
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uso de pequentildeas unidades de informacioacuten denominadas etnomodelos que vinculan el
patrimonio cultural de estos miembros con la evolucioacuten de procedimientos y praacutecticas
matemaacuteticas que son desarrolladas en su propio contexto cultural (Rosa y Orey 2017a)
Asiacute la investigacioacuten sobre estas dimensiones ha definindo sus objetivos por medio del
establecimiento de la naturaleza y potencialidad de sus meacutetodos de pesquisa e investigacioacuten
En estas dimensiones la combinacioacuten de la teoriacutea y la praacutectica auxilia a los alumnos en el
entendimiento de los sistemas retirados de la realidad para adquirir las herramientas
necesarias para que puedan ejercer la ciudadaniacutea y participar activamente de la sociedad y de
sus comunidades Por consiguiente Rosa y Orey (2017b) argumentan que los principales
objetivos de estas dimensiones son
Proporcionar a los estudiantes las herramientas educativas necesarias para que como
ciudadanos en formacioacuten sean capaces de actuar modificar cambiar y transformar la propia
realidad
Iniciar el aprendizaje en matemaacuteticas a partir del contexto sociocultural de los alumnos
proporcionaacutendoles el desarrollo del raciocinio loacutegico y de la creatividad
Facilitar el aprendizaje de ideas procedimientos conceptos y praacutecticas que ayuden a los
alumnos a desarrollar el conocimiento matemaacutetico para que puedan comprender los
contextos social econoacutemico poliacutetico ambiental histoacuterico y cultural en los cuales estaacuten
inseridos
La aplicacioacuten de las dimensiones social y cultural de la etnomodelacioacuten se basa en la
comprensioacuten y el entendimiento de la realidad en la que los estudiantes se colocan a traveacutes
de la reflexioacuten el anaacutelisis y la accioacuten criacutetica sobre esa realidad Por ejemplo cuando
prestamos de la realidad los sistemas que existen dentro de ella los alumnos comienzan a
estudiarlos simboacutelica sistemaacutetica analiacutetica y criacuteticamente En ese caso partiendo de una
determinada situacioacuten problema los alumnos pueden elaborar hipoacutetesis probarlas
corregirlas hacer inferencias generalizar analizar concluir y tomar decisiones sobre el
objeto de estudio que estaacuten relacionados con las actividades realizadas en sus vidas diarias
(DrsquoAmbrosio 1990)
Todaviacutea para que se produzca el conocimiento matemaacutetico es importante que la
etnomodelacioacuten sea concebida como un entorno de aprendizaje en el que los estudiantes
investiguen situaciones provenientes de la realidad y de sus comunidades locales En ese
entorno se destaca la importancia de incluir las situaciones provenientes del cotidiano y de
otras aacutereas del conocimiento Eso permite a los alumnos intervenir en la propia realidad con
la obtencioacuten de una representacioacuten social y cultural del conocimiento matemaacutetico que estaacute
relacionado con la situacioacuten estudiada por medio de debates criacuteticos y reflexivos en la
elaboracioacuten y comprensioacuten de los etnomodelos
2 Las etnomatematicas y la modelacion
Las etnomatemaacuteticas ofrecen una visioacuten maacutes amplia del conocimiento matemaacutetico pues
abarca las ideas nociones procedimientos procesos meacutetodos y praacutecticas arraigadas en
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entornos culturales distintos Para Rosa y Orey (2017a) es importante el desarrollo de la
reflexioacuten criacutetica sobre las dimensiones sociales culturales ambientales econoacutemicas y
poliacuteticas de las matemaacuteticas en una sociedad dinaacutemica y globalizada
La propuesta del programa etnomatemaacuteticas es hacer de las matemaacuteticas algo vivo que
trabaje con situaciones reales en el tiempo y en el espacio por medio de anaacutelisis
cuestionamientos y criacuteticas sobre los fenoacutemenos presentes en la vida diaria (DrsquoAmbrosio
1990) La aplicacioacuten de las teacutecnicas etnomatemaacuteticas y las de herramientas de la modelacioacuten
nos permiten examinar sistemas tomados de la realidad y nos dan una idea de las variadas
formas de hacer matemaacuteticas de una manera holiacutestica (Bassanezi 2002)
En ese contexto Rosa y Orey (2017a) destacan que las etnomatemaacuteticas se relacionan con el
estudio de las ideas y procedimientos matemaacuteticos que consideran el contexto cultural en el
cual las nociones y praacutecticas matemaacuteticas emergen a traveacutes de la matematizacioacuten de praacutecticas
matemaacuteticas locales La matematizacioacuten estaacute relacionada con los sistemas de conocimiento
que estaacuten relacionados con la cotidianeidad de los miembros de cada grupo cultural y que
pueden ser matematizados y traducidos al lenguaje de las matemaacuteticas escolares y
acadeacutemicas
La utilizacioacuten de la matematizacioacuten que estaacute presente en la cotidianeidad de los miembros de
grupos culturales distintos tiene por objetivo la ampliacioacuten y el perfeccionamiento del
conocimiento matemaacutetico pues conduce al fortalecimiento de su identidad cultural La
modelacioacuten es una de las posibles estrategias que posibilitan la aproximacioacuten y la relacioacuten
entre los saberes y haceres entre sistemas matemaacuteticos distintos
Para Rosa y Orey (2003) la modelacioacuten puede ser percibida como un conjunto de
representaciones de la realidad que son generadas viacutea inferencias con la utilizacioacuten de
representaciones mentales que permiten valorar y respetar el conocimiento etnomatemaacutetico
presentes en situaciones cotidianas Este enfoque contextualiza el conocimiento matemaacutetico
desarrollado localmente ya que estudia los fenoacutemenos matemaacuteticos que se dan en diversos
contextos culturales (globales)
Asiacute el conocimiento matemaacutetico puede ser entendido como resultante de oriacutegenes locales
(eacutemicas) maacutes que globales (eacuteticas) que permiten la proposicioacuten de actos de traduccioacuten entre
esas dos perspectivas (Eglash et al 2006) Este enfoque parece ser razonable ya que las
etnomatemaacuteticas a menudo hace uso de la modelacioacuten a fin de establecer relaciones entre los
marcos conceptuales locales y los conocimientos matemaacuteticos incluido en los disentildeos
globales
De ese modo las ideas procedimientos y praacutecticas matemaacuteticas incluyen los principios
geomeacutetricos en trabajo artesanal conceptos arquitectoacutenicos y praacutecticas son encontradas en
actividades y artefactos de culturas locales y globales que pueden ser traducidas entre
sistemas de conocimientos matemaacuteticos distintos Consecuentemente este conocimiento estaacute
relacionado con una postura glocal desde una visioacuten pluricultural por medio del dinamismo
cultural entre los miembros de grupos culturales distintos
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3 Etnomodelacioacuten
Es importante la buacutesqueda de enfoques metodoloacutegicos y pedagoacutegicos alternativos para
registrar formas histoacutericas de ideas y procedimientos matemaacuteticos locales que se dan en
diferentes contextos culturales porque las praacutecticas matemaacuteticas occidentales son aceptadas
a nivel mundial sin discusiones y coacutemo verdades uacutenicas Asiacute el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico local debe ser documentado como parte del estudio del progreso cientiacutefico de las
id praacutecticas matemaacuteticas efectuadas por los miembros de grupos culturales distintos
Seguacuten Rosa y Orey (2017b) una opcioacuten de enfoque alternativo es la etnomodelacioacuten que
agrega las perspectivas culturales a los conceptos de la modelacioacuten Estos conceptos estaacuten
relacionados con la medicioacuten el caacutelculo los juegos la adivinacioacuten la navegacioacuten la
astronomiacutea la modelacioacuten y en una amplia variedad de otros procedimientos matemaacuteticos
asiacute como como en artefactos culturales Este enfoque representa un proceso de traduccioacuten y
elaboracioacuten de los problemas y preguntas tomados de los fenoacutemenos diarios y tambieacuten de la
vida cotidiana
Por ejemplo Orey y Rosa (2017b) afirman que es esencial mostrar que la Etnomodelacioacuten
incluye ideas nociones procedimientos teacutecnicas estrategias perspectivas y praacutecticas
matemaacuteticas desarrolladas por miembros en culturas distintas y que son manifestadas y
transmitidas de diversos modos La etnomodelacioacuten ofrece a los investigadores y educadores
un marco importante para transformar las matemaacuteticas en un conocimiento activo y
contextualizado a traveacutes de la perspectiva cultural de la modelacioacuten
Este contexto posibilitoacute el desarrollo de una comprensioacuten de la etnomodelacioacuten como la
traduccioacuten de los procedimientos matemaacuteticos locales y de las praacutecticas matemaacuteticas En ese
sentido la traduccioacuten puede ser considerada como la descripcioacuten de los procesos de
modelacioacuten de sistemas locales (culturales) los cuales pueden tener una representacioacuten en
otros sistemas alternativos del conocimiento matemaacutetico Entonces la etnomodelacioacuten se
configura como un elemento esencial en el aacutembito de la antropologiacutea cultural las
etnomatemaacuteticas y la modelacioacuten matemaacutetica La figura 1 muestra la interseccioacuten entre estos
tres campos de estudio
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Figura 1
Etnomodelacioacuten como la interseccioacuten entre tres campos de conocimiento
Nota Recuperado de Rosa y Orey (2012)
De acuerdo con Rosa y Orey (2017b) es importante observar que la traduccioacuten es
considerada como la descripcioacuten de los procesos de modelacioacuten de sistemas locales
(culturales) pueden tener una representacioacuten matemaacutetica en la cultura occidental y viceversa
a traveacutes de la Etnomodelacioacuten por medio de tres tipos de visiones culturales del conocimiento
matemaacutetico local (eacutemico) global (eacutetico) y glocal (dialoacutegico)
a) Conocimiento Matemaacutetico Local (Eacutemico)
El conocimiento matemaacutetico eacutemico estaacute relacionado con los saberes y haceres provenientes
de los miembros del propio grupo cultural pues se origina desde dentro de la cultura em una
visioacuten interior de acuerdo con una postura intracultural (Rosa y Orey (2017b) Por ejemplo
la interculturalidad promueve la recuperacioacuten fortalecimiento desarrollo y cohesioacuten al
interior de las culturas locales para la consolidacioacuten de una sociedad pluricultural basada en
la equidad solidaridad complementariedad reciprocidad y justicia social Asiacute el curriacuteculo
escolar debe incorporar los saberes y conocimientos de las cosmovisiones de los grupos
culturales locales en sus praacutecticas educativas (Saaresranta 2011)
El anaacutelisis del conocimiento interno es eacutemico si las ideias procedimientos y praacutecticas
matemaacuteticas son exclusivas de culturas que tienen sus raiacuteces en las diversas formas en que
las actividades diarias se llevan a cabo en un entorno cultural especiacutefico Este conocimiento
estaacute de acuerdo con las percepciones e interpretaciones consideradas apropiadas por tales
culturas desde dentro Estaacute relacionado con las cuentas descripciones y anaacutelisis expresados
en teacuterminos de las categoriacuteas y esquemas conceptuales que son considerados significativos y
apropiados por los miembros de grupos culturales distintos (Rosa y Orey 2012)
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La validacioacuten de este conocimiento trae consigo una cuestioacuten de consenso de la poblacioacuten
local que debe estar de acuerdo con que sus constructos coincidan con las percepciones
compartidas que retratan las caracteriacutesticas de su cultura (Rosa y Orey 2017b) El
conocimiento matemaacutetico eacutemico se orienta de nosotros hacia nosotros con la perspectiva de
los nativos que es una visioacuten desde dentro interior y local
b) Conocimiento Matemaacutetico Global (Eacutetico)
El conocimiento matemaacutetico eacutetico estaacute relacionado con los saberes y quehaceres
provenientes de los observadores externos a la cultura que se originan desde fuera del grupo
cultural en una visioacuten exterior sobre sus miembros en una postura intercultural (Rosa y Orey
2017b) La interculturalidad promueve el desarrollo de la interrelacioacuten e interaccioacuten de
conocimientos saberes ciencia y tecnologiacutea propios de cada cultura con otras culturas que
fortalece la identidad propia y la interaccioacuten en igualdad de condiciones entre todas las
culturas locales con los grupos culturales globales (Saaresranta 2011)
En el curriacuteculo del sistema educativo se promueven las praacutecticas de interaccioacuten entre
diferentes culturas desarrollando actitudes de valoracioacuten convivencia y diaacutelogo entre
distintas visiones del mundo para proyectar y universalizar la sabiduriacutea propia y local
(Saaresranta 2011) Asiacute las ideas y procedimientos matemaacuteticos son eacuteticos si pueden ser
comparados entre culturas a traveacutes del uso de definiciones y meacutetricas comunes Este
conocimiento se relaciona con las cuentas descripciones y anaacutelisis de los procedimientos y
praacutecticas matemaacuteticas expresadas en teacuterminos de las categoriacuteas consideradas apropiadas por
observadores externos (Rosa y Orey 2012)
El conocimiento matemaacutetico eacutetico es preciso loacutegico replicable e independiente de los
observadores externos y su validacioacuten es una cuestioacuten de anaacutelisis loacutegico y empiacuterico en
particular de que la construccioacuten de ese conocimiento cumple con los estaacutendares de
integralidad y consistencia loacutegica (Rosa y Orey 2017b) El conocimiento eacutetico se orienta de
ellos (investigadores y educadores) hacia nosotros con una perspectiva de los observadores
externos que es una visioacuten desde fuera exterior y global
c) Conocimiento Matemaacutetico Global (Dialoacutegico)
Este conocimiento presenta un dinamismo cultural entre los conocimientos matemaacuteticos
eacutemico y eacutetico que estaacute representado por los encuentros entre dos o maacutes culturas diversas en
las aulas Asiacute el conocimiento matemaacutetico de los miembros de grupos culturales distintos se
combina con el sistema de conocimiento matemaacutetico occidental que resulta en una
perspectiva dialoacutegica en Educacioacuten Matemaacutetica Este conocimiento incluye el
reconocimiento de otras epistemologiacuteas y de la naturaleza holiacutestica e integrada del
conocimiento matemaacutetico de los miembros de diversos grupos que se encuentran en
contextos culturales distintos (Rosa y Orey 2017b)
Este enfoque puede garantizar el desarrollo de la comprensioacuten de las diferentes maneras de
hacer las matemaacuteticas mediante diaacutelogo y respeto mutuos entre los enfoques globales y
locales a traveacutes de la glocalizacioacuten que puede enriquecer las temaacuteticas novedosas para los
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estudiantes y les muestra como las aplicaciones matemaacuteticas pueden encontrarse en muchas
aacutereas de la ciencia de los negocios de la vida cotidiana y en las diversas praacutecticas culturales
(Rosa y Orey 2017a)
En ese sentido la glocalizacioacuten (global+local) es un abordaje dialoacutegico que considera la
interaccioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos locales (desde dentroeacutemicosinsiders) y
globales (desde fueraeacuteticosoutsiders) Este enfoque tambieacuten estaacute relacionado con la
aceleracioacuten e intensificacioacuten de la interaccioacuten e integracioacuten entre los miembros de grupos
culturales distintos que componen la sociedad (Rosa y Orey 2017b)
De acuerdo con ese contexto es necesario ampliar la discusioacuten de las posibilidades para la
inclusioacuten de las perspectivas de la Etnomodelacioacuten que valoran y den voz a la diversidad
social y cultural de los miembros de grupos culturales distintos y de este modo desarrollar
una comprensioacuten de sus diferencias a traveacutes del diaacutelogo y el respeto Consecuentemente las
poliacuteticas educativas reclaman que en el trabajo pedagoacutegico en las instituciones educativas
sean incluidos los artefactos mentefactos y sociofactos que son indicadores descriptivos de
las culturas para enriquecer la diversidad del conocimiento matemaacutetico de los miembros de
grupos culturales distintos
4 Indicadores Descriptivos Culturales
De acuerdo con Huxley (1955) bioacutelogo ingleacutes y primer director de la UNESCO acuntildeoacute el
concepto de mentefactos para expresar los sistemas abstractos de creencias valores e ideas
que se manejan en las culturas De acuerdo con eacutel consideramos que hay tres indicadores
descriptivos que son componentes esenciales de todas las culturas artefactos mentefactos y
sociofactos elementos que forman parte del patrimonio cultural y que se han organizado
histoacutericamente por la humanidad
a) Artefactos
Los artefactos son objetos culturales que proporcionan las herramientas materiales
necesarias para el desarrollo de vestimentas abrigos defensas y transportes
Consecuentemente estos artefactos auxilian a los miembros de grupos culturales distintos en
la resolucioacuten de los problemas diarios con la utilizacioacuten de teacutecnicas y estrategias
matemaacuteticas (Rosa y Orey 2017a) Los artefactos son considerados como herramientas
aparatos e instrumentos de observacioacuten Los artefactos son confeccionados con el empleo
del conocimiento matemaacutetico local a traveacutes del uso de materiales distintos desarrollados en
contextos diversos (DrsquoAmbrosio 2001)
Los artefactos pueden ser considerados como mercanciacuteas culturales que incluyen la
tecnologiacutea material desarrollada por los miembros de un grupo cultural que satisfacen sus
necesidades baacutesicas de alimento cobijo transporte y similares (DrsquoAmbrosio 2001)
Consecuentemente los artefactos tambieacuten estaacuten relacionados con las manifestaciones
teacutecnicas y materiales de una determinada cultura como por ejemplo los sistemas de
tratamiento de la tierra las herramientas utilizadas y la organizacioacuten de la produccioacuten
agriacutecola
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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b) Mentefactos
Los mentefactos son las ideas los valores y creencias compartidos de generacioacuten en
generacioacuten como por ejemplo la religioacuten la lengua las leyes y los puntos de vista Estos
indicadores son los elementos centrales y maacutes duraderos de las culturas pues incluyen lo
miacutetico los mitos las tradiciones artiacutesticas y el folclore (Huxley 1955) El lenguaje
matemaacutetico y cientiacutefico los conocimientos desarrollados y difundidos por los miembros de
grupos culturales distintos tambieacuten son considerados mentefactos
Para Rosa y Orey (2017b) los mentefactos se relacionan con las nociones de geacutenero
valores ideales cultura libertad creencias democracia religioacuten colectivismo
individualismo derechos y deberes sociales y tambieacuten informan a los miembros de grupos
culturales distintos para que se organicen de acuerdo con su propio sistema de explicaciones
cientiacuteficas y matemaacuteticas creencias y tradiciones pues se relacionan con la capacidad
humana de pensar y formular ideas y conforman los ideales y las imaacutegenes por los que se
miden otros aspectos culturales
De acuerdo con DrsquoAmbrosio (2001) los mentefactos son los sistemas de
conocimiento que se expresan en formas diversas de comunicacioacuten que componen la base
del proceso de socializacioacuten de esos miembros Los conceptos y las teoriacuteas que componen
los mentefactos se denominan instrumentos de anaacutelisis
c) Sociofactos
Los sociofactos son las estructuras y organizaciones de una determinada cultura que
influencian el comportamiento social y el desarrollo de saberes y haceres cientiacuteficos y
matemaacuteticos de sus miembros y que incluyen aspectos de las culturas que se relacionan con
viacutenculos entre individuos y grupos (Rosa y Orey 2017b) Asiacute estas estructuras son
consideradas como las interacciones entre las personas la estructura de las instituciones las
normas sociales las instituciones gubernamentales la estructura de la educacioacuten y las
instituciones poliacuteticas
Por consiguiente para Huxley (1955) los sociofactos incluyen la convivencia en las
familias en los gobiernos en los sistemas educativos en las organizaciones deportivas en
los grupos religiosos y en cualquier otra agrupacioacuten destinada a desarrollar actividades
socioculturales especiacuteficas pues son los aspectos relacionados con la organizacioacuten social
con los viacutenculos entre los individuos y los grupos sociales como por ejemplo las estructuras
familiares los parentescos los comportamientos reproductivos y sexuales
Para DrsquoAmbrosio (2001) los sociofactos incluyen sistemas poliacuteticos y educativos
porque son los patrones esperados y aceptados por las relaciones interpersonales que estaacuten
relacionadas con los aspectos econoacutemico poliacutetico militar y religioso En ese contexto Rosa
(2010) sostiene que estos indicadores descriptivos culturales estaacuten presentes en la vida
cotidiana de los miembros de grupos culturales distintos ayudaacutendolos a ampliar y el
perfeccionar sus conocimientos matemaacuteticos porque proponen el fortalecimiento de sus
identidades culturales
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Para Rosa y Orey (2017a) esta perspectiva proporciona el equilibrio necesario al curriacuteculo
escolar pues al insertar estos componentes en el curriacuteculo matemaacutetico concebimos la
etnomodelacioacuten como un programa que estaacute basado en un paradigma que busca la
humanizacioacuten de las matemaacuteticas por medio de un abordaje filosoacutefico y contextualizado del
curriacuteculo matemaacutetico
5 Consideraciones Finales
Es importante buscar enfoques metodoloacutegicos alternativos mientras las praacutecticas
matemaacuteticas occidentales sean aceptadas a nivel mundial para registrar formas histoacutericas de
ideas y procedimientos matemaacuteticos que se dan en diferentes contextos culturales Un
enfoque pedagoacutegico alternativo es el de la Etnomodelacioacuten que agrega la perspectiva cultural
a los conceptos de la modelacioacuten matemaacutetica (Rosa y Orey 2010)
Es esencial mostrar que la etnomodelacioacuten incluye ideas perspectivas y praacutecticas
matemaacuteticas de individuos en diferentes culturas y que estas ideas son manifestadas y
transmitidas de diversos modos Asiacute el desarrollo de la etnomodelacioacuten debe ser
documentado como parte del estudio del progreso cientiacutefico de las ideas y las praacutecticas
matemaacuteticas efectuadas por los miembros de grupos culturales distintos La Etnomodelacioacuten
ofrece a los educadores un marco importante para transformar las matemaacuteticas en un
conocimiento maacutes activo para contribuir en la realizacioacuten de una sociedad maacutes humana y
justa El objetivo principal de la etnomodelacioacuten es desarrollar una herramienta poderosa
para ayudar a los miembros de grupos culturales distintos a crear una sociedad definida por
la dignidad para todos y donde iniquidad arrogancia violencia e intolerancia no tengan lugar
Es necesario ampliar la discusioacuten de las posibilidades pedagoacutegicas para poder incluir una
perspectiva cultural de las matemaacuteticas que respete la diversidad social de los miembros de
distintos grupos culturales distintos Un enfoque que garantice el desarrollo de la
comprensioacuten de las diferentes maneras de hacer las matemaacuteticas mediante diaacutelogo y respeto
mutuos entre los enfoques locales y globales a traveacutes de la glocalizacioacuten En este contexto
es necesario mostrar a los estudiantes que pertenecen a culturas con baja representacioacuten social
la contribucioacuten que dan al desarrollo del pensamiento matemaacutetico Ensentildear a los estudiantes
que pertenecen a culturas mayoritarias diferentes grupos culturales promovieacutendoles el
respeto por la diversidad y contribuyendo a la educacioacuten glocal (Rosa y Orey 2017a)
Por ejemplo la glocalizacioacuten (global+local) enriquece las temaacuteticas novedosas para los
estudiantes y les muestra como las aplicaciones matemaacuteticas pueden encontrarse en muchas
aacutereas de la ciencia de los negocios de la vida cotidiana y en las diversas praacutecticas culturales
En ese sentido Rosa y Orey (2017b) afirman que la glocalizacioacuten es un abordaje dialoacutegico
que considera la interaccioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos locales (desde
dentroeacutemicosinsiders) y globales (desde fueraeacuteticosoutsiders) Este enfoque tambieacuten estaacute
relacionado con la aceleracioacuten e intensificacioacuten de la interaccioacuten e integracioacuten entre los
miembros de grupos culturales distintos que componen la sociedad El trabajo pedagoacutegico
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asiacute orientado permite un anaacutelisis maacutes amplio del contexto escolar pues las praacutecticas
pedagoacutegicas trascienden el espacio fiacutesico y pasan a acoger los saberes y haceres presentes
en todo el contexto sociocultural de los alumnos
Para terminar la aplicacioacuten de la etnomodelacioacuten nos brinda la oportunidad de examinar los
sistemas de conocimientos locales (eacutemicos) y globales (eacuteticos) para tener una idea de las
formas de las matemaacuteticas utilizadas en diversos contextos y grupos culturales De ese modo
la perspectiva global (eacutetica) juega un papel importante en la investigacioacuten en la
etnomodelacioacuten sin embargo la perspectiva local (eacutemica) debe tenerse en cuenta tambieacuten
en el desarrollo de este proceso Asiacute el conocimiento matemaacutetico de los miembros de grupos
culturales distintos que se combina con otros sistemas de conocimientos matemaacuteticos
resulta en una perspectiva dialoacutegica en la Educacioacuten Matemaacutetica a traveacutes del dinamismo
cultural
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originario campesino Tinkazos 14(30) 127-143
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Herramientas 20 ldquoAlgunas opciones para sumar a
nuestras clasesrdquo
PhD Carlos L Chanto Espinoza
Universidad Nacional de Costa Rica
carloschantoespinozaunacr
Msc Marlene Duraacuten Loacutepez
Universidad Nacional de Costa Rica
marleneduranlopezunacr
Resumen Cada vez maacutes docentes estaacuten utilizando herramientas como blogs wikis y podcasts
como nueva forma de ensentildear De ahiacute la importancia de la exposicioacuten que busca incitar la
innovacioacuten y la participacioacuten capacitar y motivar a sus copartiacutecipes e instaurar una diferencia
en su proceso de ensentildeanza y aprendizaje La implementacioacuten de las TIC supone un cambio en
las metodologiacuteas que se han implementado hace muchos antildeos donde la relacioacuten entre el profesor
y el educando es vertical el primero estaacute a cargo del conocimiento y por el cual auacuten hay
profesionales que no quieren abandonar esta posicioacuten en cambio las TIC permiten la
participacioacuten del alumno dando como resultado un ambiente maacutes interactivo Los profesores son clave en la implementacioacuten de las TIC son los responsables de desarrollar
diferentes estrategias que sean atractivas y motivantes para sus alumnos estos uacuteltimos por su
parte reconocen el uso de las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten como una herramienta
educativa y no como una forma en la cual puedan distraerse
Tambieacuten con el establecimiento de estas metodologiacuteas supone una gran ventaja porque desarrolla
nuevas habilidades nuevos escenarios por conocer que representan un reto ademaacutes de que el
estudiante esteacute preparado para cuando inicie su etapa laboral donde todos esos aprendizajes se
ponen en praacutectica y se verifica la calidad del proceso educativo
Palabras clave Herramientas Conocimiento TIC Desafiacuteos Educacioacuten Brecha digital
1 Introduccioacuten
Vivimos en una epoca en donde la utilizacioacuten de las Tecnologiacuteas de Informacioacuten y
Comunicacioacuten denomidas TIC estan creciendo de tal forma que van cambiando el mundo
que conocemos Hoy en diacutea es normal ver que algunos procesos que antes requeriacutean de largas
filas y visitas a oficinas se reducen a unos cuantos clics y una coneccioacuten a intenet
Esta revolucioacuten de la era digital no se ha quedado exenta al sector educativo ya que cada vez
es mas comuacuten ver que muchos centros de educacioacuten opten por dar cursos virtuales en casi un
100 por ciento en su modalidad de aprendizage
La educacioacuten a distancia es por su naturaleza una de las pricipales candidatas al cambio de
la digitalizacion de la educacion y esto se evidencia en las universidades que brindan
servicios a distacia por medio de multiples herramientas digitales y plataformas educativas
Este paradigma rompe con el esquema tradicional de educacioacuten y aprendizaje en donde los
alumnos tienen que trasladarse desde lugares remotos a centros universitarios para recibir
clases ya que las plataformas virtuales educativas brindan toda una gama de herramientas
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que les permiten tanto a formadores como educandos llevar a cabo el proceso de aprendizaje
de una manera dinaacutemica e interactiva
Una de las primordiales caracteristicas de la educacion virtual o a distancia es su capacidad
para cubrir una demanda mucho mayor de educandos que si se llevara de manera precencial
Ya que con ayuda de las TIC tienen capacidad de llenar aulas virtules con grandes
capacidades de alumnos en comparacioacuten con las aulas fiacutesicas
2 El marco de las TIC en el saloacuten de clases
En la actualidad el mercado laboral estaacute cada diacutea maacutes exigente en la preparacioacuten acadeacutemica
de las personas esto debido a las diferentes exigencias de las empresas las cuales solicitan
muacuteltiples habilidades blandas sumadas los diferentes teacutecnicos grados universitarios sin
mencionar el manejo de alguna segunda lengua
La falta de empleo a raiacutez de la poca preparacioacuten de la poblacioacuten hace que las personas
busquen diferentes meacutetodos de estudios que los certifiquen en sus distintas aacutereas para tener
un respaldo ante un extenso mercado laboral Es aquiacute donde las TIC han ido evolucionando
junto con la docencia ofreciendo herramientas para mejorar la captacioacuten de la informacioacuten
brindando material didaacutectico maacutes dinaacutemico y efectivo e interactivo
Seguacuten Hernaacutendez (2011) ldquohellip las TIC hacen referencia Al conjunto de recursos necesarios
para tratar informacioacuten procesada por los ordenadores y dispositivos electroacutenicos
aplicaciones informaacuteticas y redes necesarias para convertirla almacenarla administrarla y
transmitirlardquo (paacuterr3)
Al analizar el concepto anteriormente citado podemos asumir que las tecnologiacuteas de
informacioacuten abarcan desde simples tareas domeacutesticas hasta los maacutes complejos sistemas
informaacuteticos La importancia que conllevan las TIC para las micro y gigantes empresas es
significativa por la versatilidad y utilidad que este tipo de tecnologiacuteas les brinda en pro de un
mejor rendimiento y eficiencia de estas
Las tecnologiacuteas de informacioacuten les ofrecen a los estudiantes una amplia gama de recursos
que son actualizados de manera constante que pueden ser utilizados y aplicados a su
desarrollo acadeacutemico conlleva muchos beneficios como obtener o acceder a informacioacuten
amplia y variada de cualquier tema en especiacutefico en cualquier lugar en que se encuentre el
estudiante sin limitaciones geograacuteficas o de tiempo asiacute lo menciona Almenara (2007) ldquohellip
uno de los efectos maacutes importantes y significativos de las TIC en al aacutembito educativo es la
posibilidad que nos ofrecen para flexibilizar el tiempo y el espacio en que se desarrolla la
accioacuten educativardquo (p 15)
En los uacuteltimos antildeos la tecnologiacutea ha evolucionado alcanzando niveles muy altos en la
utilizacioacuten de las TIC en las universidades El conversar sobre docencia y la incorporacioacuten
de las TIC al marco de la ejecucioacuten de ensentildeanza aprendizaje No existe incertidumbre de
que las tecnologiacuteas estaacuten transformado de manera fundamental nuestra forma de vivir
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La educacioacuten como tal estaacute compuesta de distintos factores el docente encargado de impartir
la materia y la ensentildeanza los recursos teoacutericos y didaacutecticos y el medio para evaluar el
aprendizaje Seguacuten lo establece el Programa de produccioacuten Multimedia (2016) ldquoSe debe
aprovechar todo el potencial que ofrecen las tecnologiacuteas para asiacute establecer y fortalecer
comunidades o redes virtuales de aprendizaje donde el profesor y el estudiante interactuacuteenrdquo
(paacuterr7)
Seguacuten lo establecen Vlasova et al (2019) ldquoPodemos definir parte del concepto de la
tecnologiacutea en la educacioacuten como desarrollo de nuevos programas de disciplinas educativas
basados en la ciencia enfocados en la capacitacioacuten especiacutefica de los profesores para utilizar
tecnologiacuteas y meacutetodos como lo son las plataformas virtuales en sus actividades profesionales
y justificar la efectividad de los programasrdquo (p 1)
En contraste la incorporacioacuten de las TIC en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje es flexible
y se adaptan a las formas de aprender de los diferentes estudiantes Tal y como lo define Rose
(2016) desde la pantalla de una computadora uacutenicamente de texto de la manera tradicional
hasta sistemas en donde el aprendizaje se haga por colores formas o sonidos Herramientas
como tutores inteligentes soporte visual ayuda para aprendizaje colaborativos entre muchas
otras herramientas que avanzan cada diacutea respondiendo cada vez maacutes a las necesidades y
respuestas humanas
Tambieacuten contribuye a la inclusioacuten de diferentes grupos sociales que antes eran excluidos de
los procesos educativos por falta de material o herramientas que se adaptaran a las
necesidades especiacuteficas de esas personas Asiacute lo menciona Rodriacuteguez (2019) ldquoAhora las
nuevas tecnologiacuteas han hecho su arribo a los ambientes educativos de diferentes maneras ya
sea como contenidos educativos objetos de aprendizaje plataformas infraestructura o
auxiliaresrdquo
De manera que las TIC esbozan transformaciones en la educacioacuten virtual enmarcadas en el
campo de las telecomunicaciones y la informaacutetica provocando permutas en las sociedades
en relacioacuten con la manera de trabajo las formas de interaccioacuten y comunicacioacuten de muacuteltiples
sectores sociales y la manera de consentir a la informacioacuten en un mundo global
De modo que un intento de virtualizacioacuten el uso de la plataforma las conferencias por
dispositivo electroacutenico entre muacuteltiples herramientas donde fueron expliacutecitamente creadas
para proporcionar que se intercambie el conocimiento entre los colaboradores minimizar el
sentimiento de reducir el espacio la inseguridad y soledad cuando se estudia
3 Educacioacuten y su relacioacuten con las TIC
Los beneficios de las TIC como columna para desplegar aacutereas de aprendizajes muestran que
la mayoriacutea de los sistemas que sobrellevan las redes de conocimiento son asentadas en textos
Praacutecticamente toda la educacioacuten estaacute edificada sobre trabajos escritos libros de textos y
precisamente las redes de comunicacioacuten mediante computadoras encajan los textos
interactivos que consienten edificar el conocimiento
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Otro de los puntos positivos que tiene la implementacioacuten TIC en el proceso de ensentildeanza ndash
aprendizaje es la apertura a la accesibilidad de esta Actualmente existen muchos programas
educativos que son impartidos mediante lecciones virtuales esto es un gran beneficio ya que
existen muchas personas que por diferentes motivos no les es posible asistir a lecciones
presenciales
Hace algunos antildeos la utilizacioacuten de las TIC en la docencia no era tan significativo las clases
eran presenciales los trabajos tareas y proyectos se entregaban de forma fiacutesica algunos
incluso escritos a mano pero con el pasar de los antildeos cada vez se fue desarrollando esta
innovacioacuten hasta tal punto que es posible recibir una educacioacuten en forma virtual por medio
de computadores y acceso a una red de internet en donde las personas pueden participar en
videoconferencias en foros hacer video llamadas compartir informacioacuten realizar tareas y
exaacutemenes en liacutenea
Esta modalidad vino a facilitar muacuteltiples procesos a muchas personas que por diversas
razones no pueden asistir de forma presencial a recibir lecciones las TIC les permite lograr
sus objetivos de superacioacuten desde su hogar y a la vez desarrollando otras actividades como
asistir al trabajo o atender a sus familias
La tecnologiacutea le ha dado un gran giro a la educacioacuten puesto que ya no es suficiente las clases
tradicionales para mantener a los estudiantes atentos y deseosos de aprender algo nuevo cada
diacutea como se ha visto las nuevas tecnologiacuteas han abarcado muchos aacutembitos hoy diacutea es casi
imposible que una persona no esteacute involucrada de alguna manera con la tecnologiacutea Asiacute lo
establece Garciacutea (2017) ldquohellipel uso de la tecnologiacutea en el aula es una de esas cuestiones que
hace que sea faacutecil ser un maestrordquo (paacuterr1)
La utilizacioacuten de la tecnologiacutea en el aacuterea de la educacioacuten tiene como objetivo el aumento de
los procesos de ensentildeanza - aprendizaje al ser tecnologiacuteas modernas el docente y los
educandos pueden consentir a la informacioacuten a partir de cualquier lugar del mundo y a
cualquier hora lo uacutenico que se requiere es una conexioacuten a internet
Tal y como lo establece Lozano (2016) ldquohellip el mundo evoluciona y la educacioacuten tambieacuten el
modelo actual educativo- aprendizaje a traveacutes de libros y una pizarra con tizas ha finalizado
Hace varios antildeos que la tecnologiacutea entroacute con fuerza para mejorar la educacioacuten y ahora ya es
una parte vital de ellardquo (paacuterr1)
Al desarrollarse nuevos recursos didaacutecticos y tecnoloacutegicos lo que provoca es que el docente
este maacutes capacitado y preparado para utilizar estas nuevas herramientas y asiacute poder ofrecer
una mejor calidad en la educacioacuten y facilitar el aprendizaje de los estudiantes que ellos le
encuentren la motivacioacuten al aprender de manera participativa
4 La ensentildeanza con apoyo tecnoloacutegico no es moda
La educacioacuten con apoyo tecnoloacutegico es uno de los temas maacutes actuales y tratados durante
los uacuteltimos antildeos la educacioacuten a distancia se ha abierto un gran espacio dentro de la educacioacuten
general que se afirma en algunos medios de comunicacioacuten para formar un tipo de relacioacuten
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entre ambas partes el que ensentildea y el que aprende independientemente del lugar y tiempo de
cada uno
No obstante las universidades utilizan las TIC como apoyo la docencia aunque este proceso
educativo formal y no existiacutea ninguacuten apoyo por parte de ninguna identidad como ahora que
hay un gran apoyo con una buena base en tal educacioacuten que se apoya en la tecnologiacutea
En la mayoriacutea de los lugares donde se han implementado TIC con apoyo a la docencia ha
brindado un espacio para que todos los educandos puedan acomodar sus prioridades y
facilitar informacioacuten desde cualquier lugar y a cualquier hora que sea necesaria
La TIC deben hoy diacutea integrar la docencia y la sociedad de esta manera coopera con la
educacioacuten y trata de ofrecer un gran y valioso aporte materializando la idea de formar un
pueblo con un alta nivel acadeacutemico y amplio conocimiento educativo
Tal y como lo define Arguedas (2016) ldquoEl proceso de ensentildear y aprender ocurre con una
separacioacuten de espacio y de tiempo entre quienes ensentildean y los estudiantesrdquo (p82)
El papel que juega la tecnologiacutea en el aacutembito de la educacioacuten es el maacutes importante al facilitar
el aprendizaje mediante documentos virtuales que suministra informacioacuten importante y
requerida por el educando tambieacuten mediante la plataforma virtual que se encuentra en un
entorno estudiantiles facilitando tener acceso a la informacioacuten de los diferentes programas
Estas tendencias modernas de la educacioacuten con el apoyo de TIC estaacuten en constante
actualizacioacuten transformando el conocimiento de coacutemo emplear la tecnologiacutea para ser
eficientes y entender todo lo que se puede desarrollar con ellas
Con la evolucioacuten de las TIC en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se ha complementado
dando como resultado una mejor y maacutes amplia ensentildeanza a todas las personas El aprendizaje
es maacutes que memorizar paacuterrafos o textos es en siacute una transformacioacuten de lo leiacutedo a las
actividades de la vida cotidiana con la ayuda de la TIC
El uso de materiales didaacutecticos facilita el aprendizaje tales como multimedia videos
documentos y hasta audiolibros tales ayudan a reforzar la materia escrita en los libros y asiacute
complementa la lectura
El internet ya facilita las comunicaciones en muacuteltiples sectores del mundo se ha
transformado se en una herramienta impredecible hace muchos antildeos no se teniacutea clara la idea
de quera una computadora y ahora gracias al avance de las TIC se puede hasta realizar un
examen virtual desde la comodidad de la casa
Asiacute lo define Barrantes (2016) las nuevas tecnologiacuteas no solo cambiaraacuten los meacutetodos de
ensentildeanza sino tambieacuten la propia gestioacuten de las universidades
Estas tecnologiacuteas se deben efectuar con base a los objetivos que se quieren alcanzar y dar un
buen uso de ellas de manera controlada evitando las diferentes problemaacuteticas que se pueden
adquirir al exceder el uso y mal uso de estas
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5 Conclusiones
El desarrollo tecnoloacutegico propone transformaciones de muacuteltiples tipo la educacioacuten sin duda
alguacuten es una de las secciones maacutes capaces a dichos cambios Se demanda que este sumario
sea gobernado por investigacioacuten educativa y no simplemente innovacioacuten La investigacioacuten
educativa asegura que los meacutetodos y la tecnologiacutea posean efectos efectivos y estrictamente
se trate de transformar las herramientas para lograr nuevos resultados La predisposicioacuten
tecnoloacutegica en un futuro mediato fundaraacute que narremos con entornos de aprendizaje
informales y sociales las teacutecnicas de ensentildeanza-aprendizaje habituales que auacuten permanecen
tengan que desaparecer
Consiguientemente el nuevo papel del docente precisa no solo renovar sus conocimientos
sino vislumbrar y estar sumergido en la dinaacutemica comunicacional moderna no solo sabiendo
el funcionamiento de las modernas herramientas TIC sino coexistiendo como acto de parte
de estas Los sistemas inteligentes aferrados al sumario de ensentildeanza-aprendizaje que estaacuten
en progreso ha sido exitosa
Los modernos espacios virtuales fundados para estos cambios de preparacioacuten formacioacuten y
perfeccionamiento en que las personas edifican su propio conocimiento y utilizan diferentes
metodologiacuteas de aprendizaje que fortifican las destrezas de los educandos Se puede decir
que es significativo conocer las bases teoacutericas que sufre la educacioacuten con ayuda de las TIC
para concebir este modelo que desde hace antildeos se despliega a nivel mundial
Los medios de ensentildeanza constituyen un componente esencial del proceso ensentildeanza-
aprendizaje imaacutegenes o representaciones de objetos imitacioacuten los contenidos en todos los
programas las potenciar el conocimiento del educando Entendiendo que la modalidad de
Educacioacuten con apoyo de las TIC Si se quiere atenuar un trabajo colaborativo se debe valorar
cuaacutel herramienta brindariacutea un mayor beneficio en el aprendizaje de los educandos
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Las direcciones a la tica como un recurso para ensentildear
matemaacuteticas
Marcela Garciacutea Borboacuten
Universidad Nacional Costa Rica
marcelagarciaborbonunaaccr
Jesennia Chavarriacutea Vaacutesquez
Universidad Nacional Costa Rica
jchaunaaccr
Mariacutea Elena Gavarrete Villaverde
Universidad Nacional Costa Rica
mgavarreteunaaccr
Margot Martiacutenez Rodriacuteguez
Universidad Nacional Costa Rica
mmartiunaaccr
Resumen El proyecto Formacioacuten de docentes en la visioacuten sociocultural de las matemaacuteticas
formulado desde el 2015 disentildeoacute e impartioacute el curso Enculturacioacuten Matemaacutetica y Etnomatemaacutetica
en diversas zonas costeras limiacutetrofes indiacutegenas y rurales del paiacutes Se trata de un curso dirigido a
docentes de primaria que busca mostrar estrategias y recursos para abordar las clases de
matemaacutetica desde la visioacuten sociocultural al hacer del signo cultural el centro del planeamiento
De este modo el proyecto generoacute el modelo Etnomatemaacuteticas Glocalizadas para maestros
(ETGLOMA 2019) que busca continuar con los propoacutesitos del proyecto original
El taller ldquoLas direcciones a la tica como un recurso para ensentildear matemaacuteticasrdquo aborda el tema de
la ubicacioacuten espacial como parte del aacuterea de la Geometriacutea Ademaacutes vincula las habilidades
matemaacuteticas con algunas relacionadas con la Geografiacutea que se cubre en la materia de Estudios
Sociales como una sugerencia de incorporacioacuten de la contextualizacioacuten activa que demanda el
Ministerio de Educacioacuten en sus programas
Palabras clave Etnomatemaacuteticas formacioacuten de docentes contextualizacioacuten activa signo
cultural
1 Objetivos
Este taller tiene como objetivo general Analizar la orientacioacuten espacial utilizando las
direcciones a la tica para ofrecer estrategias metodoloacutegicas que aborden los contenidos de la
ubicacioacuten espacial en Educacioacuten Primaria
2 Fundamentacioacuten teoacuterica
El proyecto Formacioacuten de Docentes en la Visioacuten Sociocultural de la Matemaacutetica nace en
2015 en la Universidad Nacional como una forma de contribuir a las demandas
metodoloacutegicas que el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2012) establece en la formacioacuten de
docentes Su principal contribucioacuten es la incorporacioacuten de las etnomatemaacuteticas en la
educacioacuten al proponer el uso de los signos culturales en el planeamiento Ofrece una
respuesta a la necesidad de integrar el eje transversal de la contextualizacioacuten activa en la
educacioacuten como un elemento prioritario en el planeamiento Asiacute se favorece la comprensioacuten
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de los saberes globales al vincularlos con los saberes locales al estimular el uso de modelos
basados en la realidad cercana
Por otro lado este taller aborda contenidos curriculares del Programa de Estudios Sociales
de primero segundo y tercer nivel (Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica 2013) al tomar en
cuenta los contenidos conceptuales de ubicacioacuten espacial orientacioacuten geograacutefica
elaboracioacuten e interpretacioacuten de croquis mapa escala y simbologiacutea
Para lograr el efectivo desarrollo de este taller se inicia con la definicioacuten de los conceptos
primarios En este sentido se concibe el signo cultural como un elemento de la cultura
material que representa la identidad de una regioacuten (Oliveras 1996) que se puede incorporar
en las matemaacuteticas escolares Se entiende Enculturacioacuten Matemaacutetica como el ldquoproceso de
interaccioacuten social desarrollado dentro de un marco de conocimientos determinado pero con
el objetivo de volver a crear y definir ese marcordquo (Bishop 1999 p 120) La Enculturacioacuten
Matemaacutetica ademaacutes de usar elementos de la cultura en el planteamiento de problemas
involucra un proceso de investigacioacuten sobre las matemaacuteticas que se han usado en el desarrollo
de ideas nociones procedimientos procesos meacutetodos y praacutecticas culturales arraigadas en
distintos ambientes
Bishop (1999) clasifica las matemaacuteticas desarrolladas por todas las culturas en alguna de las
seis actividades comunes contar medir localizar disentildear jugar y explicar En particular en
este taller nos centramos en las actividades de localizar y explicar
La actividad matemaacutetica de localizar se concibe como la necesidad de codificar y simbolizar
el entorno espacial al responder al reto de la exploracioacuten de la tierra y el mar con el fin de
conocer el propio terreno en la buacutesqueda de alimento (Bishop 1999) En este taller se
trabajaraacute con direcciones mapas y croquis que constituyen una representacioacuten simboacutelica del
espacio La actividad matemaacutetica de explicar se centra en abstracciones y formalizaciones
que buscan establecer relaciones entre los fenoacutemenos y la teoriacutea que los explica Se abordaraacute
a traveacutes del anaacutelisis de las relaciones entre los objetos del espacio con las direcciones mapas
y croquis asiacute como las transformaciones de que son objeto
Por otro lado la geometriacutea es la parte de la matemaacutetica escolar que se encarga de la
descripcioacuten y anaacutelisis de las formas y el espacio Asiacute el pensamiento espacial seguacuten Gallo
et al (2006) viene a ser el conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales se construyen
y manipulan las representaciones mentales del espacio
Sobre la localizacioacuten se entiende como la accioacuten de sentildealar en forma especiacutefica el lugar
doacutende se encuentran ciudades puertos paiacuteses accidentes geograacuteficos o cualquier otro
elemento Localizar de manera absoluta implica situar con precisioacuten un punto especiacutefico de
la superficie terrestre Localizar de forma relativa seriacutea maacutes bien usar los puntos cardinales
y distancias con respecto a otro lugar
Estimular el estudio de signos culturales en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las
Matemaacuteticas favorece la vinculacioacuten entre la matemaacutetica escolar con la matemaacutetica presente
en las praacutecticas cotidianas y asiacute motiva el aprendizaje gracias a que propicia un cambio en
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el dominio afectivo al reconocer que la matemaacutetica es una actividad humana desarrollada
por cada cultura a partir de sus necesidades
3 Metodologiacutea de trabajo
El disentildeo metodoloacutegico del taller contempla el desarrollo de las actividades matemaacuteticas
localizar y explicar Se proponen diferentes actividades que abordan las direcciones a la tica
como un signo cultural de nuestro paiacutes
Este disentildeo sigue el mismo esquema que los otros talleres del curso de Enculturacioacuten
Matemaacutetica y Etnomatemaacutetica En un principio se indaga sobre el conocimiento previo con
el fin de activar los conocimientos matemaacuteticos que se requieren para el efectivo desarrollo
del taller En este caso se explora sobre la percepcioacuten entre los participantes relacionada con
la contextualizacioacuten activa asiacute como conocimientos previos sobre localizacioacuten en el espacio
pensamiento espacial distancia estimacioacuten y direccioacuten Ademaacutes se reflexiona con los
maestros sobre la existencia de elementos matemaacuteticos en la forma de dar direcciones en
Costa Rica a traveacutes del anaacutelisis de sus propias direcciones y las de sus compantildeeros en busca
de esos elementos De esta forma ademaacutes se examina la vinculacioacuten con otras aacutereas como
la Geografiacutea y los Estudios sociales
A continuacioacuten se solicita a los participantes que utilicen medios de localizacioacuten virtuales
como Google maps Waze u otro para verificar la precisioacuten de la estimacioacuten y direccioacuten que
se usoacute en la actividad anterior Esto con el fin de reflexionar sobre las capacidades humanas
referentes a determinar una medida a partir de los sentidos y como esta capacidad puede
influir en la representacioacuten del espacio en dos dimensiones
Luego se invita a los participantes a meditar y socializar por medio de una plataforma
virtual sobre los elementos matemaacuteticos (presentes en el Programa de Matemaacutetica) que
logran distinguir en las direcciones con el fin de que tras la experiencia anterior incorpore
nuevos elementos que tal vez no percibioacute la primera vez que los buscoacute por ejemplo sistemas
de referencia
En una segunda parte se busca que los participantes elaboren un croquis de su comunidad
(Figura 1) que puede ser basado en los mapas que antes usaron Esta actividad tiene el
propoacutesito de evidenciar que los puntos cardinales y puntos de referencia estaacuten vinculados con
la matemaacutetica escolar Tambieacuten explorar habilidades uacutetiles en aspectos como el disentildeo tanto
como una nueva reflexioacuten sobre otros elementos de la matemaacutetica escolar presentes en este
signo cultural
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Figura 1
Croquis de la comunidad
La siguiente actividad estaacute vinculada con una consideracioacuten sobre las posibilidades para
desplazarse de un lugar a otro y coacutemo se puede describir cada una de esas posibilidades
(Figura 2) Se pretende que los participantes piensen esta vez sobre las variaciones que se
presentan en cuanto a la direccioacuten distancia aacutengulos u otro de su desplazamiento
Figura 2
Posibilidades de desplazarse de un lugar a otro
Para finalizar se les pide que cambien el origen de su desplazamiento de modo que analicen
una vez maacutes los sistemas de referencia presentes en las direcciones y en la representacioacuten del
espacio en un plano como un modelo matemaacutetico (Figura 3)
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Figura 3
Sistemas de referencia presentes en las direcciones y en la representacioacuten del espacio en
un plano como un modelo matemaacutetico
La movilizacioacuten e integracioacuten de conceptos relacionados con el pensamiento espacial se daraacute
al finalizar el taller gracias a la socializacioacuten guiada por preguntas como
iquestQueacute elementos matemaacuteticos estaacuten presentes en la elaboracioacuten del mapa
iquestQueacute elementos culturales o matemaacuteticos no han sido considerados
iquestLos conceptos matemaacuteticos (geomeacutetricos) coinciden con los teacuterminos utilizados
popularmente
4 Planificacioacuten del taller
A continuacioacuten se describen las actividades a realizar seguacuten la descripcioacuten anterior asiacute
como los recursos y materiales que seraacuten necesarios (Tabla 1)
Tabla 1
Actividades a realizar
Actividad Conocimientos Materialesrecursos Tiempo estimado
Presentacioacuten y
Conceptos
fundamentales
Contextualizacioacuten
activa localizacioacuten
pensamiento espacial
distancia estimacioacuten
direccioacuten
Acceso a la
plataforma Zoom
10 minutos
Anote la direccioacuten
exacta de su casa
Puntos de referencia
puntos cardinales
estimacioacuten de
distancia
Carpeta en Drive
compartida con los
participantes
10 minutos
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Utilizando otro
punto de referencia
anote de nuevo la
direccioacuten exacta de
su casa
Puntos de referencia
puntos cardinales
estimacioacuten de
distancia
Carpeta en Drive
compartida con los
participantes
6 minutos
Verifique la
estimacioacuten de
medidas y direccioacuten
del desplazamiento
de las direcciones
de las Actividades 1
y 2
Puntos cardinales
medicioacuten
Google maps Waze u
otra aplicacioacuten similar
de localizacioacuten
10 minutos
Reflexioacuten sobre
elementos
matemaacuteticos
presentes en la
ubicacioacuten en el
espacio
Distancia puntos
cardinales rectas
paralelas ubicacioacuten
espacial sistemas de
referencia
Carpeta Drive
compartida con los
participantes
8 minutos
Elaboracioacuten de un
croquis del pueblo
Distancia puntos
cardinales rectas
paralelas ubicacioacuten
espacial
Papel laacutepices
teleacutefono para hacer la
fotografiacutea
15 minutos
Dibujar dos
trayectorias
diferentes para
desplazarse de un
lugar a otro
Paint u otro editor de
imaacutegenes
10 minutos
Cambie el origen hellip Google maps Waze u
otra aplicacioacuten similar
de localizacioacuten Paint
u otro editor de
imaacutegenes
10 minutos
Socializacioacuten Carpeta Drive
compartida con los
participantes
11 minutos
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Homotecias con GeoGebra
Grethel Ramiacuterez Goacutemez
Liceo de Poaacutes Costa Rica
grethelramirezgomezgmailcom
Resumen En este documento presentoacute un taller cuyo fin fue generar un acercamiento con la
tecnologiacutea como apoyo a la construccioacuten de conceptos matemaacuteticos en la geometriacutea y
especiacuteficamente con las homotecias El participante logroacute realizar construcciones y observaciones
sobre los diferentes tipos de homotecias directa e inversa fue el protagonista de su propio
conocimiento y al final podraacute compartir las diferentes conclusiones a las que fue capaz de llegar
con las diferentes actividades propuestas
Palabras clave GeoGebra homotecia geometriacutea construccioacuten
1 Introduccioacuten
Este taller que presento fue desarrollado con la herramienta GeoGebra (versioacuten 50) y se creoacute
pensando en primer momento para trabajar con estudiantes de octavo antildeo pero podriacutea
ampliarse para los diferentes temas de geometriacutea que se desarrollan a lo largo de los antildeos en
el programa de estudios propuestos por el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica
(2012)
El objeto de estudio de este se basa en la construccioacuten de argumentos que resulten
validaciones en el inicio de la geometriacutea entrando en trabajo argumentativo para sostener las
respuestas y las producciones aprovechando las posibilidades de acceso al saber y de anaacutelisis
de la matemaacutetica que su utilizacioacuten puede promover como antesala al tema de semejanza y
congruencia de triaacutengulos
Para participar no es necesario tener un conocimiento previo de la herramienta ya que los
minutos iniciales sirven de orientacioacuten para conocerla y hacer eacutenfasis de los usos en ciertos
comandos Ademaacutes inicialmente se busca motivar al participante en la exploracioacuten tomando
como referencia que el programa permite ver diferentes escenarios con movimientos simples
que a nivel del papel y laacutepiz seria muchas veces limitado y otras abstractos por completo
La importancia de estos talleres praacutecticos radica en la integracioacuten de herramientas
informaacuteticas que logran una mayor eficiencia en el aprendizaje de manera que se puedan
obtener herramientas y conocimientos para formulacioacuten de soluciones a problemas de la
sociedad mediante el anaacutelisis matemaacutetico (Barahona et al 2015)
Una vez que se presenta el programa y se estandarizan los conceptos durante el desarrollo
del taller el moderador entregara una secuencia de actividades (4 en total) con las que busca
obtener por parte de los participantes la construccioacuten de figuras exploracioacuten de la
herramienta y conclusiones de manera muy interactivas y promoviendo en todo momento la
participacioacuten
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2 Desarrollo del taller
En la primera actividad se propuso una construccioacuten simple de un cuadrado y aplicar una
homotecia cuyo factor escala sea mayor que uno (ver Figura 1) lo cual generoacute una serie de
inquietudes entre los participantes en torno a la visioacuten del estudiante una vez que crea la
homotecia Williams Uribe(Argentina) hizo una consulta sobre la relacioacuten del aacuterea de ambas
figuras y algunas pruebas que realizoacute ahiacute en el momento lo cual generoacute discusioacuten alrededor
de la manipulacioacuten de la herramienta para el movimiento de los diferentes veacutertices y a la vez
se produjeron varias inquietudes
iquestQueacute pasa con las aacutereas de las figuras una vez que se crea la homotecia
iquestCuaacutel es la relacioacuten del periacutemetro de cada una de las figuras
iquestCuaacutel es el tiempo adecuado para brindar en cada una de las construcciones para
mantener el intereacutes del tema
Figura 1
Construccioacuten simple de un cuadrado
Nota Fuente elaboracioacuten propia
Luego que se crearon los cuadrados y se realizoacute una mesa de discusioacuten alrededor del tema y
sus implicaciones Se inicioacute con la actividad dos misma que no busca entregar todos los
pasos de construccioacuten sino crear una figura recordando los procesos anteriores (ver Figura 2)
pero la homotecia aplicada seraacute con un factor escala que se encuentra entre cero y uno de
esta manera se comenzoacute a generar diferencias entre una y la otra Como dato importante a
rescatar fue que se analizoacute la forma de la redaccioacuten de la actividad ya que en esta segunda
se basoacute en los conocimientos previos de construccioacuten generando en el participante la
necesidad de recordar y explorar datos de la herramienta
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Figura 2
Figura con homotecia de escala entre cero y uno
Nota Fuente elaboracioacuten propia
Trabajamos la actividad nuacutemero tres esperando tener como resultado un proceso maacutes amplio
de observacioacuten y conclusioacuten Para esta actividad se propuso un factor escala negativo y es
donde el participante pudo concluir que la figura no solo se hace ldquomaacutes grande o maacutes pequentildeardquo
sino que tambieacuten puede girar y sigue coincidiendo en veacutertices y segmentos (ver Figura 3)
Aquiacute se hace una importante acotacioacuten sobre la importancia de mantener un lenguaje
adecuado con el estudiante yo participante porque si vamos a desarrollar el taller a nivel de
secundaria es probable que hablar de ldquoinversordquo no sea un teacutermino tan claro como decir ldquose
dio la vueltardquo o ldquose giroacuterdquo Con este detalle logramos ver que estamos concluyendo y
observando lo mismo y cumpliendo el objetivo
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Figura 3
Homotecia con factor de escala negativo
Nota Fuente elaboracioacuten propia
De esta tercera actividad surgioacute una propuesta por parte de una participante del taller sobre
no trabajar tres construcciones diferentes sino implementar el insertar una imagen y trabajar
con ella para observar las diferentes homotecias que resultan aprovechando cosas que guste
al participante y sirva de motivacioacuten extra (ver Figura 4)
Figura 4
Homotecia con imagen
Nota Fuente elaboracioacuten propia
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Otro aporte por rescatar fue si por ejemplo se construye un deslizador y se puede hacer la
manipulacioacuten del mismo con diferentes figuras de manera que se haga maacutes visual el
incremento disminucioacuten o giro de la figura de acuerdo al intervalo donde esteacute ubicado
Ademaacutes de consultar la cercaniacutea del punto origen (00) con respecto a las figuras creadas e
incluso manipular de manera que unimos ambas figuras y recordamos conceptos como el
caso de los aacutengulos opuestos por el veacutertice
Otro participante nos brinda el aporte de la conexioacuten que podemos realizar como proyecto
interdisciplinario con la clase de ciencias por ejemplo al tener una imagen y recibirla al
reveacutes
Otro aporte con el que contamos fue la participacioacuten de un participante de Ecuador quien
nos brindoacute la idea de hacer con las construcciones o las imaacutegenes insertadas generando
asociacioacuten con la fiacutesica por ejemplo el tema de la oacuteptica geomeacutetrica
Por uacuteltimo y a modo de cierre se realiza la actividad cuatro en la cual soliciteacute imaginar que
somos estudiantes de octavo antildeo ante una serie de ejercicios que deben resolverse despueacutes
de haber realizado el taller no todos van a necesitar apoyo de la herramienta inmediato(por
lo que puede ser un cierre en el aula a falta de tiempo) quedoacute claro que para la mayoriacutea fue
maacutes sencillo visualizar desde las diferentes construcciones pero una vez resueltos los
ejercicios logramos crear al final los diferentes conceptos sobre los tipos de homotecias
lenguaje matemaacutetico adecuado y varios conocimientos a tratar para el tema
3 Conclusiones
El programa GeoGebra entre sus ventajas contempla que ademaacutes de ser un programa
disentildeado bajo la modalidad de software libre y la asequibilidad que conlleva es una
herramienta de gran colaboracioacuten para el desarrollo y demostracioacuten de una clase de
geometriacutea permitiendo su implementacioacuten cuando se cuenta con los recursos materiales a
nivel institucional como un taller de construcciones como en el presente congreso Asiacute
mismo en casos donde los recursos sean maacutes limitados su uso se puede desarrollar como
una mesa de discusioacuten a partir del desarrollo empleado por el profesorado
Con la primera actividad se realizoacute una demostracioacuten del proceso de construccioacuten del
conocimiento y conceptualizacioacuten geomeacutetrica importante Asiacute mismo sirvioacute como antesala
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para hablar de temas como las relaciones entre aacutereas y periacutemetros de las diferentes figuras
una vez aplicadas los factores escala
El desarrollo de un taller y uso de recursos tecnoloacutegicos como el programa GeoGebra nos
facilita como educadores el poder representar de una manera maacutes visual y significativa el
conocimiento que deseamos trasmitir al estudiante ya que cuando este es quien construye y
se cuestiona la comprensioacuten del proceso profundiza en su aprendizaje
Finalmente las actividades en general nos recuerdan que es de suma importancia tener
presentes las diversas condiciones y realidades del estudiantado contemplando aspectos
como el acceso a medios tecnoloacutegicos lo cual es fundamental para poder mantener una
comunicacioacuten asertiva y asiacute lograr ser generadores de conocimiento a traveacutes de la
experiencia
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Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica
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Non Charismatic Species Implicaciones didaacutecticas y
formacioacuten del profesorado
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo
Universidad Surcolombiana Colombia
eliasamorteguiuscoeduco
Juan Felipe Herrera Polaniacutea
Universidad Surcolombiana Colombia
felipepolania19gmailcom
Resumen Colombia ha sido considerado como albergue de uno de los 35 Hotspots del planeta
y uno de los paiacuteses con mayor diversidad bioloacutegica Sin embargo la poblacioacuten en general ha
desarrollado actitudes y emociones negativas como miedo asco y aversioacuten hacia grupos de
organismos denominados Non Charismatic Species pues aunque poseen un rol ecoloacutegico
fundamental en los ecosistemas son poco apreciados por los nintildeos nintildeas y joacutevenes ejemplo de
ellos las serpientes los murcieacutelagos y varios grupos de artroacutepodos Este trabajo aborda diferentes
experiencias investigativas y didaacutecticas llevadas a cabo en el Grupo de Investigacioacuten ENCINA-
Ensentildeanza de las Ciencias Naturales adscrito al Programa de Licenciatura en Ciencias Naturales
y Educacioacuten Ambiental de la Universidad Surcolombiana (Huila- Colombia) Conceptualizamos
el problema de la biodiversidad sus implicaciones educativas y proyectamos asuntos sobre su
ensentildeanza en escuelas rurales de nuestro paiacutes
Palabras clave Animales no carismaacuteticos implicaciones didaacutecticas formacioacuten del profesorado
experiencias educativas
1 Comprendiendo el problema de la biodiversidad
Hoy en diacutea existen diferentes amenazas latentes en contra de la biodiversidad mundial
principalmente por diferentes actividades antropogeacutenicas que contribuyen en gran medida a
acabar con los componentes ecoloacutegicos de los diferentes ecosistemas A raiacutez de esas
amenazas en las uacuteltimas deacutecadas se ha originado acciones de diferentes sectores de vital
importancia para contrarrestar las tasas de peacuterdida de biodiversidad (Pimm et al 1995) Sin
embargo existe una de la problemaacuteticas maacutes comunes y recurrentes en temas de
biodiversidad y es relacionado con el desconocimiento bioloacutegico sobre lo que existe en los
diferentes entornos naturales que resulta siendo un obstaacuteculo para emprender diferentes
estrategias de conservacioacuten de la biodiversidad En Colombia La falta de apoyo en
investigacioacuten y desarrollo poliacuteticas internas deficientes el conflicto armado entre otros
(Franco et al 2006 Fernaacutendez 2011) han sido los principales aspectos que han
imposibilitado agrandar el conocimiento de un paiacutes que es catalogado con megabiodiverso
A pesar de esos grandes obstaacuteculos seguacuten el Sistema de Informacioacuten sobre Biodiversidad de
Colombia (SiB Colombia) a la fecha existen aproximadamente 62829 especies a lo largo de
todo el territorio nacional posicionando el paiacutes como el primero en aves y orquiacutedeas segundo
en plantas anfibios mariposas y peces dulceacuiacutecolas tercero en palmas y reptiles y por
uacuteltimo el cuarto con mayor nuacutemero de especies de mamiacuteferos Toda esa biodiversidad que
posee Colombia que en su gran mayoriacutea viene determinado por aspectos en la formacioacuten de
los diferentes relieves a lo largo y ancho de paiacutes Ademaacutes en la regioacuten del Chocoacute
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biogeograacutefico se encuentra uno de los 35 Hotspots de Biodiversidad del planeta las cuales
son aacutereas con iacutendices altos de diversidad bioloacutegica y endemismos pero que han tenido un
porcentaje alto de reduccioacuten de su vegetacioacuten primaria (Myers 2003 Sloan et al 2014)
Teniendo en cuenta todo este panorama nacional acerca de la Biodiversidad a pesar de todas
las dificultades que resultan a la hora de conocer nuevas especies en los diferentes
ecosistemas colombianos existe un alto iacutendice de nuevas de especies descritas (Arbelaeacutez
2013) que incluso en los uacuteltimos antildeos pudo estar favorecida por la firma de los acuerdos de
paz con la antigua guerrilla de las FARC-EP que posibilitaron nuevas expediciones es
importante que antes de hablar de estrategias que contribuyan a la conservacioacuten de la
Biodiversidad en primera instancia debemos conocer lo conocido en teacuterminos de diversidad
Bioloacutegica Es por ello esto requiere y demanda un arduo trabajo de documentacioacuten en
diferentes aacutereas como zoologiacutea botaacutenica ecologiacutea entre otros para posteriormente
emprender y originar estrategias de ensentildeanza y aprendizaje mediante la planificacioacuten y el
disentildeo de diferentes temaacuteticas se puedan llevar a cabo en las escuelas como factor
fundamental en la formacioacuten de las Ciencias para la conservacioacuten de los entornos naturales
2 Importancia de la formacioacuten docente para la conservacioacuten de la Biodiversidad
Existen diferentes aspectos que hacen que la profesioacuten docente se subestime a nivel
epistemoloacutegico y social ya que es usual considerar que para ensentildear Ciencias Naturales
solo basta con el afianzamiento del conocimiento disciplinar y que se transmita de manera
directa sin tener en cuenta otros elementos importantes Es por ello que como educadores y
profesionales en la educacioacuten disponen de un conocimiento caracteriacutestico en los cuales estaacuten
vinculados otros aspectos como el pedagoacutegico didaacutectico curriculares entre otros
contribuyendo asiacute a la construccioacuten de un Conocimiento Bioloacutegico Escolar (Valbuena 2007
Mellado 2011) Este conocimiento de profesorado tiene origen en diferentes fuentes
heterogeacuteneas que incluyen diferentes saberes a partir experiencias teoriacuteas impliacutecitas
guiones costumbres entre otros (Porlaacuten y Rivero 1998 Tardif y Lessar 2014)
De acuerdo a lo postulado por Valbuena (2007) establece que para el caso de los docentes
de Biologiacutea dos componentes que hacen parte de su conocimiento profesional el
Conocimiento Bioloacutegico (CB) y el Conocimiento Didaacutectico del Contenido Bioloacutegico
(CDCB) Con base a esto se pueden reconocer los siguientes conocimientos como el
Conocimiento Disciplinar el Conocimiento Pedagoacutegico el Conocimiento Didaacutectico del
Contenido Bioloacutegico y el Conocimiento del Contexto De igual forma seguacuten Fonseca (2018)
encontramos postulados muy similares a lo dicho por Valbuena (2007) puesto que aquiacute ya
relacionado directamente con el Conocimiento Profesional del Profesor de Biologiacutea asociado
a la ensentildeanza de la Biodiversidad menciona la integracioacuten de cinco conocimientos de
docentes en su etapa inicial de ejercicio docente entre ellos tenemos El conocimiento
bioloacutegico el Conocimiento Didaacutectico el Conocimiento de su propia historia de vida el
Conocimiento de su experiencia como interprete ambiental y el Conocimiento del contexto
Es asiacute como las experiencias docentes constituyen un referente clave en el desarrollo
profesional del profesor de Biologiacutea ya que esto permite orientar la manera en coacutemo se
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interpreta y se desarrolla el curriacuteculo (Barnett y Hodson 2001) Sin embargo una de las
mayores dificultades que poseen los docentes en su etapa inicial en ejercicio profesional es
la escasa preparacioacuten sobre coacutemo abordar la ensentildeanza de la Biologiacutea en escenarios naturales
(Del Toro y Morcillo 2011) que permitan promover e incentivar en el estudiantado actitudes
que contribuyan a los procesos de conservacioacuten de la Biodiversidad Esto en su gran mayoriacutea
viene determinado por el aporte insuficiente de los diferentes cursos en la formacioacuten del
profesorado para la construccioacuten del Conocimiento de Contenido Bioloacutegico Didaacutectico
Pedagoacutegico y del contexto que permitan la ensentildeanza fuera del aula mediante diferentes
estrategias de ensentildeanza como las Praacutecticas de Campo (Behrendt y Franklin 2014) Por tal
razoacuten el abordaje de las salidas de campo se limita al desarrollo de lecturas socializaciones
debates entre otros y no a su disentildeo aplicacioacuten y evaluacioacuten (Ateskan y Lane 2016)
reduciendo el potencial de esta estrategia tan importante que puede influir en las distintas
finalidades de aprendizaje en el campo de la Biodiversidad
3 Panorama de los animales no carismaacuteticos para su conservacioacuten
En un paiacutes como Colombia catalogado como uno de lo maacutes megadiversos del mundo resulta
de vital importancia que se originen diferentes programas estrategias y poliacuteticas para la
proteccioacuten de los ecosistemas Estos escenarios naturales que se extienden a lo largo y ancho
del todo el territorio nacional gracias a los diferentes pisos teacutermicos cuentan con una amplia
gama de especies de flora y fauna con un importante valor ecoloacutegico en los biomas del paiacutes
Sin embargo hoy en diacutea existe una gran cantidad de especies que estaacuten amenazadas por
factores como la destruccioacuten masiva de sus haacutebitats traacutefico ilegal entre otros A raiacutez de lo
anterior a lo largo de los uacuteltimos antildeos se han formalizado y estructurado diferentes poliacuteticas
ambientales para la proteccioacuten de los diferentes ecosistemas y sus componentes que permitan
garantizar la conservacioacuten de la Biodiversidad existente en Colombia
Desde el gobierno nacional se estaacuten llevando a cabo diferentes planes de accioacuten para la
conservacioacuten de especies y ecosistemas como herramientas indispensables en la
conservacioacuten de la Biodiversidad (Ministerio de Ambiente y Desarrollo Sostenible
MinAmbiente 2020) No obstante resulta interesante evidenciar que la mayoriacutea de
programas de conservacioacuten planes de manejo y estrategias estaacuten focalizadas en su gran
mayoriacutea a especies de aves y mamiacuteferos que en su gran mayoriacutea son los grupos de animales
maacutes llamativos y atrayentes En menor medida se encuentran acciones focalizadas a grupos
de reptiles y anfibios y no existe ninguacuten programa de conservacioacuten o poliacutetica ambiental que
promueva la conservacioacuten de grupos de invertebrados A partir de lo anterior se puede
relacionar en consecuencia una de las principales razones por las cuales no se evidencia
trabajos investigativos relacionados con animales que son catalogados como no carismaacuteticos
Puesto que existe una amplia brecha de desconocimiento acerca sobre la Biologiacutea y Ecologiacutea
de grupos de animales principalmente invertebrados reptiles y anfibios en sus diferentes
haacutebitats (Losey y Vaughan 2006 New 2011 Prokop et al 2016)
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El escaso conocimiento bioloacutegico y a su vez las aversiones repulsioacuten miedo asco y disgusto
que generan animales como serpientes murcieacutelagos arantildeas escorpiones sapos ranas
lagartos entre otros denominados como animales no carismaacuteticos por su apariencia fiacutesica
resultan ser una amenaza directa en contra de su conservacioacuten Ademaacutes se puede inferir con
base a ese tipo de aspectos la inclinacioacuten de llevar a cabo programas o estrategias para la
conservacioacuten de especies esteacuteticamente maacutes llamativos y asiacute mismo la razoacuten de la falta de
acciones esenciales para incentivar a la poblacioacuten en general encaminadas al cuidado
proteccioacuten y manejo de especies poco carismaacuteticos que resultan ser de gran importancia
bioloacutegica en los diferentes ecosistemas donde se encuentran (Snaddon et al 2008)
Existen en diferentes fuentes investigaciones que confirman lo mencionado anteriormente
por ejemplo estudios como los de Prokop y Fančovičovaacute (2013) mencionan que estas
tendencias de pensamientos y actitudes hacia este grupo de organismos vienen determinados
por los aspectos morfoloacutegicos Es decir en cuanto a la coloracioacuten de ciertos animales
predominan la afinidad hacia organismos con colores aposemaacuteticos en contraste los colores
criacutepticos que a su vez resulta de gran importancia referente a la popularizacioacuten para
promover la preservacioacuten de especies con dichas caracteriacutesticas Por otra parte otra de las
razones por las cuales se tiende a tener este tipo de percepciones de especies catalogadas no
carismaacuteticas vienen siendo alimentadas por los medios audiovisuales presentando peliacuteculas
series noticias entre otros que contribuyen a establecer esos conceptos alternos y actitudes
que no promueven a su conservacioacuten y ampliacutean los vaciacuteos relacionados al conocimiento
bioloacutegico e importancia ecoloacutegicos de estos organismos Sin embargo este tipo de actitudes
puede ser variable dependiendo de la cultura edad sexo nivel socioeconoacutemico experiencia
eacutetica escolar incluso la inclinacioacuten religiosa que pueden repercutir en aspectos relacionados
con la importancia de que originen procesos de reconstruccioacuten del conocimiento bioloacutegico a
partir procesos didaacutecticos escolares (Barraza 2015 Baynes-Rock 2017)
Por otra parte tomando como referencia los diferentes procesos educativos a nivel de
preescolar baacutesica primaria y secundaria cuando el estudiantado presenta actitudes negativas
debido al desconocimiento o ideas previas acerca del conocimiento bioloacutegico en este caso
relacionados con animales poco agradables para ellos Se origina un choque de concepciones
referente a aspectos de la naturaleza cientiacutefica a causa de la incorrecta interpretacioacuten de
distintos elementos del propio conocimiento cientiacutefico De modo que se destaca la
importancia de procesos de alfabetizacioacuten cientiacutefica en la progresioacuten de concepciones que
esteacuten encaminadas a la realidad bioloacutegica de los diferentes organismos (Prokop et al 2009
Almeida et al 2017)
Para lograr los objetivos de la alfabetizacioacuten cientiacutefica y generar actitudes en pro de la
conservacioacuten de estos animales tan estigmatizados por la sociedad se deben disentildear y aplicar
diferentes estrategias como las salidas de campo que tiene un gran potencial para lograr
diferentes finalidades de aprendizaje a nivel conceptual procedimental y actitudinal Este
tipo de estrategias es una garantiacutea para incentivar habilidades que puedan lograr la
construccioacuten de un Conocimiento Cientiacutefico Escolar y lograr en los y las estudiantes posturas
criacuteticas con bases argumentativas soacutelidas que puedan permitir un cambio de perspectiva
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relacionado con problemaacuteticas del contexto socio-ambiental siendo un recurso vital en el
quehacer docente (Del Carmen 2011 Garciacutea-Ferrandis et al 2020)
4 Promoviendo la conservacioacuten de los animales no carismaacuteticos
Entre las actividades que realiza el profesorado de Biologiacutea a nivel formativo es importante
destacar el uso de las Salidas de Campo como estrategia didaacutectica en los procesos de
ensentildeanza y aprendizaje con el alumnado Este tipo de recurso educativo posee un irrefutable
valor que pueden repercutir a nivel emocional afectivo cognitivo y ambiental Esto resulta
ser vital en el reconocimiento de la Biodiversidad origen de actitudes pro conservacionistas
obtencioacuten y afianzamiento de habilidades y destrezas en el trabajo cientiacutefico e inmersioacuten en
entornos naturales fuera del aula (Wass 1990 Del Carmen y Pedrinaci 1997 Gavidia y
Cristerna 2000 Rennie 2014) El profesorado en Biologiacutea en su proceso de formacioacuten
generalmente ha participado como novato en las salidas de campo sin tener la experiencia
necesaria para su disentildeo planeacioacuten y ejecucioacuten fuera del aula (Tal y Morag 2009
Amoacutertegui y Correa 2012)
A raiacutez de este tipo de situaciones los docentes con menor experiencia en este tipo de
estrategias didaacutectico-pedagoacutegicas llevan a cabo las actividades de forma inadecuada con un
nivel de conocimiento limitado desempentildeando roles dominantes con sus estudiantes
desperdiciando el gran potencial de las salidas de campo en la formacioacuten del profesorado y
en la ensentildeanza de la Biologiacutea Es asiacute que se evidencia la escasez de trabajos o estudios
especializados en aras de orientar a los docentes en este tipo de estrategias de ensentildeanza
(Ballantyne et al 2010) Sin embargo existe estudios relacionados sobre el conocimiento de
las Praacutecticas de Campo en la formacioacuten docente de Biologiacutea que demuestran hallazgos
relacionados con reflexiones experiencias investigaciones sobre de E-A concepciones
sobre Salidas de Campo entre otros (Amoacutertegui et al 2017) No obstante demuestran que
es importante que se reconozca la diferencia de esta estrategia didaacutectica con otras referente
a su relacioacuten con la epistemologiacutea de la Biologiacutea como disciplina cientiacutefica su disentildeo y
aplicacioacuten y su valor en la construccioacuten del conocimiento del profesorado de Biologiacutea
El trabajo fuera del aula en escenarios naturales promueve en el alumnado el abordaje de
problemaacuteticas ambientales como la potencial destruccioacuten de los ecosistemas la
contaminacioacuten traacutefico ilegal la disminucioacuten de los recursos naturales entre otras Ademaacutes
este tipo de mecanismos permiten acercar al alumnado a la manera en la que se construye el
conocimiento cientiacutefico originando una aproximacioacuten maacutes llamativa accesible interesante
y significativa sobre la naturaleza de la ciencia asiacute mismo se lograr viabilizar la
participacioacuten activa de manera criacutetica y reflexiva sobre las problemaacuteticas del contexto socio-
ambiental (Banet 2010)
Diferentes estudios realizados con anfibios cochinillas caracoles entre otros animales que
se denominados como impopulares han demostrado una progresiva reduccioacuten de las
aversiones ante el desconocimiento inicial sobre estos organismos o la interaccioacuten con ellos
(Prokop y Fančovičovaacute 2017 Prokop y Fančovičovaacute 2018) Esto demuestra que las salidas
de campo como recurso para incentivar actitudes pro conservacionistas hacia animales no
carismaacuteticos permiten el mejoramiento de procesos de ensentildeanza y aprendizaje
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favoreciendo la construccioacuten de un Conocimiento Bioloacutegico Escolar y la progresioacuten de
actitudes significativas en entornos naturales donde tiene mayor incidencia (Costillo et al
2014)
Desde el Semillero de Investigacioacuten Ensentildeanza de las Ciencias Naturales (ENCINA) de la
Universidad Surcolombiana ubicada en el departamento del Huila (Colombia) en los
uacuteltimos antildeos se han venido desarrollando diferentes trabajos investigativos y propuestas
didaacutecticas que han tenido una gran repercusioacuten para la conservacioacuten y la proteccioacuten de grupos
de animales que son catalogados como impopulares o poco agradables como Murcieacutelagos
(Rivera 2016) Arantildeas (Guevara et al 2018) Esquizoacutemidos (Perdomoet al 2018) Ofidios
(Goacutemez y Herrera 2019) y Artroacutepodos (Rubiano et al 2019 Berjan et al 2020) Esto
permite inferir que este tipo de propuestas se abordan en gran medida por la importancia
ecoloacutegica de estos organismos en los diferentes Ecosistemas de la regioacuten surcolombiana y la
amplia estigmatizacioacuten de la poblacioacuten acerca de este tipo de organismos que han permitido
realizar grandes avances en el campo de la Ensentildeanza de la Biologiacutea contribuyendo asiacute a la
construccioacuten del Conocimiento Cientiacutefico Escolar en diferentes instituciones educativas
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Polinomios generadores de nuacutemeros primos
Ronald Cordero Meacutendez
Universidad San Isidro Labrador Costa Rica
Ronaldcomegmailcom
Resumen Se presenta el Teorema de la Multiplicacioacuten (Factorizacioacuten) de Cordero en Z si 119899 =
(11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 con 119909 119904 119896 ∊ ℤ y 119901 isin
35111741 entonces 1198992 + 119899 + 119901 119904e puede expresar como la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros de
la forma 119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 y 119875(119904 119909 119896) = minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 +
1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901 Algunos ejemplos de aplicacioacuten del Teorema Utilidad de 119899 =
(11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 119909 119904 119896 ∊ ℤ y 119901 ∊
35111741 en la construcciograven de La Criba de los ldquo119899 Cordero Material de investigacioacuten uacutetil
en la construccioacuten de programas informaacuteticos necesarios en la criptografiacutea
Palabras clave Polinomios nuacutemeros primos criba nuacutemeros afortunados de Euler
1 Polinomios generadores de nuacutemeros primos y compuestos (Generador de nuacutemeros
primos)
Los nuacutemeros primos han sido tema de muchas investigaciones muchas repetitivas que
contribuyen poco al tema lo que verifica la frase del gran matemaacutetico Leonhard Euler que
diceldquoLos matemaacuteticos han intentado en vano hasta la actualidad descubrir alguacuten orden en
la secuencia de nuacutemeros primos y tenemos razones para creer que se trata de un misterio que
la mente humana nunca resolveraacuterdquo (Leonard Euler 1707-1783 mencionado por Camacho y
Camacho 2020 p85) Hasta el momento en el antildeo 2020 este misterio no ha sido resuelto
por lo que creo que Euler puede estar en lo cierto Leonhard Euler nacioacute el 15 de abril de
1707 en Basilea Suiza y murioacute el 18 de septiembre de 1782 en San Petersburgo Rusia
(Aznar 2007) Extraordinario matemaacutetico del siglo XVIII
Otra frase que lo afirma dice
El encanto de los nuacutemeros primos consistiacutea quizaacutes en la imposibilidad de explicar en
queacute orden aparecen Cada uno se dispersa a su antojo cumpliendo la condicioacuten de no
tener maacutes divisores que el uno y eacutel mismo Aunque no cabe duda de que cuanto maacutes
grandes son maacutes difiacutecil resulta encontrarlos y es imposible predecir su aparicioacuten
siguiendo ninguna reglahelliprdquoLa foacutermula preferida del profesor (Ogawa 2003
mencionadado por Frases y Pensamientos sf paacuterr 4)
Nuestra pregunta ahora es coacutemo encontrar nuacutemeros primos si no es posible encontrar una
foacutermula polinomial o de otro tipo que nos genere todos y cada uno de los nuacutemeros primos o
por lo menos una foacutermula que genere solamente nuacutemeros primos aunque no sean
consecutivos
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En alguacuten momento dado aparecen los nuacutemeros compuestos que se mezclan con los nuacutemeros
primos por lo que me lleva a suponer que el cribado es una buena opcioacuten para encontrar
nuacutemeros primos grandes
Con ayuda de los polinomios 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 donde 119901 = 2 3 5 1117 41 que resulta
ser polinomios que generan nuacutemeros primos cuando 119899 toma valores desde 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 119901 minus
2 y luego generan nuacutemeros compuestos y primos mezclados por lo que el problema de
encontrar una foacutermula que genere solamente nuacutemeros primos no lo resuelve este tipo de
polinomios Pero encontrar un foacutermula que genere los nuacutemeros compuestos que son
generados por estos polinomios es el tema de la investigacioacuten ademaacutes de buscar un
procedimiento que ayude a cribar los nuacutemeros primos
2 Polinomios de la forma 119927(119951) = 119951120784 + 119951 + 119953 donde 119953 = 120784 120785 120787 120783120783 120783120789 120786120783
Los polinomios 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 generan nuacutemeros primos por ejemplo se generan los
nuacutemeros primos 41 43 47 53 61 71 83 97 113 181 151 173 197 223
251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 707 853 911 971 1033
1097 1163 1231 1301 1373 1447 15231601
cuando 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 y desde 119899 = 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 41 minus 2 = 39 en total 40 nuacutemeros
primos pero a partir de 119899 = 40 se generan nuacutemeros compuestos y nuacutemeros primos A este
poliomio se le llama polinomio de Euler
Otra forma de escribir el polinomio de Euler es 119875(119899) = 1198992 minus 119899 + 41 pero eacuteste genera los
nuacutemeros primos anteriores cuando 119899 toma valores desde 1 hasta 40
Otro polinomio de esta forma que genera nuacutemeros primos es 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 17 desde 119899 =
0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 17 minus 2 = 15 119890119897 cual fue descubierto por el matemaacutetico Adrien Marie
Legendre
Legendre nacioacute en Pariacutes en el antildeo 1752 en una familia rica Recibioacute educacioacuten en el
Collage Mazarin en Pariacutes y defendioacute su tesis en fiacutesica y matemaacutetica en 1770 Murioacute
en Pariacutes en el antildeo 1833 despueacutes de una larga y penosa enfermedad Su viuda conservoacute
cuidadosamente las pertenencias del matemaacutetico para preservar su memoria El uacuteltimo
lugar donde vivioacute fue en el pueblo de Auteuil en Pariacutes Francia (Fernaacutendez y Tamaro
2004 paacuterr1)
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3 Los nuacutemeros afortunados de Euler
Primero dejemos claro que Goldbach y Legendre demostraron que no es posible encontrar
un polinomo que deacute nuacutemeros primos para todo nuacutemero natural el primero lo demoacutestro para
coeficientes enteros y el segundo para funciones algebraicas racionales
El matemaacutetico Rabinowitz demostroacute que 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 da nuacutemeros primos para 119899 =
0 hellip 119901 minus 2 si y solo si 1 minus 4119901 es el negativo de un nuacutemero de Heegner que son los uacutenicos
nuacutemeros positivos 119896 que cumplen no ser cuadrados perfectos y que en el anillo de enteros
del cuerpo ℚ(radicminus119896) es de factorizacioacuten uacutenica
Los nuacutemeros de Heegner son 1237111943 67163
Ademaacutes los nuacutemeros afortunados de Euler son los enteros positivos 119901 para los que 1 minus 4119901 =
minus119896 siendo 119896 un nuacutemero de Heegner y mediante comprobacioacuten obtenemos que los uacutenicos
posibles son 2 3 5 11 17 41 y el nuacutemero de Heegner asociado al 41 es el 163
4 Aplicaciones del teorema
41 El teorema de la multiplicacioacuten de Cordero en ℤ
Si 119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 119909 119904 119896 ∊
ℤ 119910 119901 ∊ 35111741 entonces 1198992 + 119899 + 119901 se puede expresar como la multiplicacioacuten
de dos nuacutemeros de la forma 119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + y 119875(119904 119909 119896) =
minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
Las foacutermulas anteriores nos permiten encontrar valores de ldquonrdquo que al sustituir en los
polinomios de la forma 119901(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 donde 119901 ∊ 35111741 obtenemos siempre
un nuacutemero compuesto asiacute como encontrar una factorizacioacuten en dos factores de la expresioacuten
1198992 + 119899 + 119901 ( La factorizacioacuten no necesariamente es completa)
Aplicacioacuten 1
Sea 119904 = 12 119909 = 15 119896 = 8 y 119901 = 41
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = (122(15)2 minus 12(12 + 2)(15) + 41 lowast 122 + 12 + 1)(8 minus 1) + 12(15)2 minus
(12 + 1)(15) + 41 lowast 12 = 253576
Ahora
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1215) = (122(15)2 minus 12(12 + 2)(15) + 41 lowast 122 + 12 + 1)
rArr 119875(1215) = 35797
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107
Por otro lado
119875(119904 119909 119896) = minus119901(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
rArr 119875(8 minus53) = minus35797 lowast 49 + (2 lowast 253576 + 1) lowast 7 + (15)2 minus 15 + 41 = 1796269
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(253531) = 2535762 + 253576 + 41 = 35797 lowast 1796269
Donde 35797 y 1796269 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 2
Sea 119904 = 1 119909 = 277232917 minus 1 119896 = 2 119910 119901 = 41 Entonces
rArr 119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = ((277232917 minus 1)2 minus (1 + 2)(277232917 minus 1) + 41 + 1 + 1)(2 minus 1) +
(277232917 minus 1)2 minus (1 + 1)(277232917 minus 1) + 41
rArr 119899 = (2154465834 minus 2 lowast 277232917 minus 3 lowast 277232917 + 47) + 2154465834 minus 2 lowast 277232917 +
1 minus 2 lowast 277232917 + 2 + 41
rArr 119899 = 2 lowast 2154465834 minus 9 lowast 277232917 + 91
Ahora
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1 277232917 minus 1) = 2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47
rArr 119875(119904 119909 119896) = minus119901(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
Por otro lado
119875(1 277232917 minus 1 2) = minus2154465834 + 5 lowast 277232917 minus 47 + 4 lowast 2154465834 minus 18 lowast
277232917 + 183 + 2154465834 minus 2 lowast 277232917 + 1 minus 277232917 + 1 + 41
rArr 119875(1 277232917 minus 1 2) = 4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) = (2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91)2 +
(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) + 41
= (2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47) lowast (4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179)
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108
Se necesitariacutea un ordenador para probar que
2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47 y 4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179 son nuacutemeros
primos o compuestos cuyos factores son nuacutemeros primos muy grandes
Aplicacioacuten 3
Sea 119904 = 1500 119909 = 800 119896 = 300 y 119901 = 5
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = ((1500)2(800)2 minus 1500(1500 + 2)(800) + 5 lowast (1500)2 + 1500 + 1)(300 minus
1) + 1500(800)2 minus (1500 + 1)(800) + 11 lowast 1500 = 430025405405499
Por otro lado
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1500 800) = 1438208851501
Ahora
119875(119904 119909 119896) = minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
119875(1500800300) = minus1438208851501 lowast 2992 + (2 lowast 430025405405499 + 1) lowast
299 + (800)2 minus 800 + 5 = 128577882900087005
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(430025405405499) = (430025405405499)2 + 430025405405499 + 5 =
1438208851501 lowast 128577882900087005
Donde 1438208851501 es primo y 128577882900087005 es compuesto
Aplicacioacuten 4
119904 = minus453877 119909 = minus8491 119910 119901 = 11 tenemos que
119875(minus453877 minus8491) = (minus453877)^2 lowast (minus8491)^2 minus 453877 lowast 453875 lowast 8491 +
11 lowast (minus453877)^2 minus 453877 + 1 = 14850564038738095205 = 5 lowast 89 lowast
33372054019636169 de donde 5 89 y 33372054019636169 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 5
119904 = 34567893426789 119909 = 0 y 119901 = 41 tenemos que
119875(345678934267890) = (34567893426789)^2 lowast (0)^2 minus 34567893426789 lowast
34567893426791 lowast 0 + 41 lowast (34567893426789)^2 + 34567893426789 + 1
= 48992509494599562853310298151
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109
= 44059 lowast 104486463803 lowast 10642288263263 donde 44059104486463803 y
10642288263263 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 6
119904 = 2349 119909 = minus345 119910 119901 = 41 tenemos que
119875(2349 minus345) = 23492 lowast (minus345)2 minus 2349 lowast 2351 lowast (minus345) + 41 lowast 23492 + 2349 + 1
= 658887758371 = 41 lowast 16070433131 donde 41 y 16070433131 son nuacutemeros
primos
Aplicacioacuten 7
119904 = 453891 119909 = 849 119910 119901 = 41 tenemos que
119875(453891 849) = 4538912 ∙ (849)2 minus 453891 ∙ 453893 ∙ 849 + 41 ∙ 4538912 +
453891 + 1 = 148330825824787807 = 1699 lowast 8730478271029 donde
1699 y 8730478271029 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 8
Sea 119904 = 2349 119909 = minus345 y 119901 = 41 tenemos que
119875(2349 minus345) = 41 lowast 16070433131
Sea 119896 = 8 entonces
119899 = (41 lowast 16070433131)(8 minus 1) + 2349(minus345)2 minus (2350) lowast (minus345) + 41 lowast 2349
rArr 119899 = 4612494805381
Luego
119875(119904 119909 119896) = minus41 lowast 16070433131 lowast (8 minus 1)2 + (2 lowast 4612494805381 + 1)(8 minus 1) +
(minus345)2 minus (minus345) + 41 = 32289427234573 = 15901 lowast 2030653873 donde 15901 y
2030653873 son primos
Observemos que
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 41 lowast 16070433131 lowast 15901 lowast 2030653873
con 119899 = 4612494805381
Aplicacioacuten 9
Sea 119904 = 10 119896 = 4 y 119909 = minus5 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11) lowast 3 + 10 lowast 25 + 11 lowast 5 + 410 = 22348
119875(119899) = 223482 + 22348 + 41 = 499455493
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119875(119904 119909) = 100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11 = 7211
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119901(119899)
119901(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904119909)=
499455493
7211= 69263 o 119875(119904 119909 119896) = minus7211 lowast 9 + (2 lowast 22348 + 1) lowast 3 + 25 + 5 +
41 = 69263
Ademaacutes
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 223482 + 22348 + 41 = 499455493 = 7211 bull 69263
Aplicacioacuten 10
Sea 119904 = 30 119896 = 7 119910 119909 = 8 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 11 119875(119904 119909) y 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (900 lowast 64 minus 960 lowast 8 + 11 lowast 900 + 31) lowast 6 + 30 lowast 64 minus 31 lowast 8 + 11 lowast 30 = 361108
119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783
119875(119904 119909) = 900 lowast 64 minus 960 lowast 8 + 11 lowast 900 + 31 = 59851
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119901(119899)
119901(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904 119909)=
130399348783
59851= 2178733
119875(119904 119909 119896) = minus59851 lowast 36 + (2 lowast 361108 + 1) lowast 6 + 64 minus 8 + 11 = 2178733
Asiacute
119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783 = 59851 bull 2178733
Aplicacioacuten 11
Sea 119904 = 15 119896 = 100 119910 119909 = minus2 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41
119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (225 lowast 4 + 255 lowast 2 + 41 lowast 225 + 16) lowast 99 + 15 lowast 4 + 16 lowast 2 + 615 = 1055156
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111
119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533
Entonces
119875(119904 119909) = 225 lowast 4 + 255 lowast 2 + 41 lowast 225 + 16 = 10651
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119875(119899)
119875(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904 119909)=
1113355239533
10651= 104530583
O tambieacuten
119875(119904 119909 119896) = 4 + 2 + 41 minus 10651 lowast 992 + (2 lowast 1055156 + 1) lowast 99 = 104530583
Luego
119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533 = 10651 bull 104530583
5 La Criba de los 119951 Cordero
Tenemos que
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
donde 119909 119904 119896 ∊ 120551 con 119901 ∊ 35111741 minus119886 le 119909 le 119886 + 2 119886 ∊ ℕlowast 119909 ∊ ℤ
Si 119904 = 1 119910 119896 = 1 obtenemos 119899 = 1199092 minus 2119909 + 119901 donde 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 es la
paraacutebola que estaacute por ldquofuerardquo de las demaacutes paraacutebolas (Figura 1)
Figura 1
Paraacutebola
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112
Si evaluamos 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 en los extremos del intervalo obtenemos
119891(minus119886) = (minus119886)2 minus 2 bull (minus119886) + 119901 = 1198862 + 2119886 + 119901
119891(119886 + 2) = (119886 + 2)2 minus 2(119886 + 2) + 119901 = 1198862 + 4119886 + 4 minus 2119886 minus 4 + 119901 = 1198862 + 2119886 + 119901
O sea da el mismo valor
El veacutertice de la paraacutebola que estaacute ldquopor fuerardquo 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 es (1 119901 minus 1)
Si estudiamos el codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [ para la funcioacuten paraboacutelica 119891(119909) = 1199092 minus
2119909 + 119901
Definimos el conjunto de funciones
119891(119909) = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 ) lowast (119896 minus 1) + 119904 lowast 1199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901
119901 119904 119896 ∊ ℕ
119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1
y codomino 0 le 119899 lt 1198862 + 2119886 + 119901
Resolver la inecuacioacuten
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 ) lowast (119896 minus 1) + 119904 lowast 1199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 le 1198862 +
2119886 + 119901
Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901
119901 119904 119896 ∊ ℕ
119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1
y codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [
O tambieacuten
[21199051198862+(4119905minus2)119886+2119905119901minus1
2119905 1198862 + 2119886 + 119901 [ 119905 ∊ ℕ
Luego se eliminan todos los valores de 119899 obtenidos en las inecuaciones y que estaacuten en el
intervalo [0 1198862 + 2119886 + 119901 [ Los valores de 119899 que quedan en el intervalo se evaluacutean en
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 obtenieacutendose solamente nuacutemeros primos
51 Aplicaciones
Utilicemos la Criba para un 119886 = 20 119901 = 41 119905119890119899119890119898119900119904 119902119906119890 1198862 + 2119886 + 41 = 481 con 119904 =
1 119896 = 1 119910 119901 = 41
119899 = 1199092 minus 2119909 + 41 le 481
minus20 le 119909 le 22
Obtenemos
119899
= 4041444956657689104121140161184209236265296329364401440 481
Nota Se toma solo una vez los valores de 119899 que se repiten
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113
Ahora damos valores a 119904 = 2 119896 = 1 119899 = 21199092 minus 3119909 + 82 lt 481
minus13 le 119909 le 14
Obtenemos
119899
= 81 82 84 87 9196 102 109 117 126 136 147159 172 186201 217 234 252 271
291312 334357 381 406 432 459
Continuamos con 119904 = 3 119896 = 1 119899 = 31199092 minus 4119909 + 123 lt 481
minus10 le 119909 le 11
Obtenemos 119899 = 122123127130 138143155162178187 207218 242
255 283 298 330 347 383 402 442 463
Continuamos con 119904 = 4 119896 = 1 119899 = 41199092 minus 5119909 + 164 lt 481
minus8 le 119909 le 9
119899
= 163164 170173 185 190 208 215 239 248 278 289 325 338 380 395 443 460
Continuamos con 119904 = 5 119896 = 1 119899 = 51199092 minus 6119909 + 205 lt 481
minus6 le 119909 le 8
119899 = 204 205 213 216 232 237 261 268 300 309 349 360 408 421 477
Continuamos con 119904 = 6 119896 = 1 119899 = 61199092 minus 7119909 + 246 lt 481
minus5 le 119909 le 6
119899 = 245 246256259 279284314 321 361370 420 431
Continuamos con 119904 = 7 119896 = 1 119899 = 71199092 minus 8119909 + 287 lt 481
119899 = 286 287 299 302 326 331 367 374 422 431
minus4 le 119909 le 5
Continuamos con 119904 = 8 119896 = 1 119899 = 81199092 minus 9119909 + 328 lt 481
minus3 le 119909 le 4
119899 = 327 328 342 345 373 378 420 427
Continuamos con 119904 = 9 119896 = 1 119899 = 91199092 minus 10119909 + 369 lt 481
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114
minus3 le 119909 le 4
119899 = 368 369 385 388 420 425 473 480
Continuamos con 119904 = 10 119896 = 1 119899 = 101199092 minus 11119909 + 410 lt 481
minus2 le 119909 le 3
119899 = 409410 428 431 467 472
Continuamos con 119904 = 11 119896 = 1 119899 = 111199092 minus 12119909 + 451 lt 481
minus1 le 119909 le 2
119899 = 450 451 471474
Continuamos con 119904 = 2 119896 = 2 119899 = 61199092 minus 11119909 + 249 lt 481
minus5 le 119909 le 7
119899 = 244 249 251266270295 301336 344389399454 466
Continuamos con 119904 = 2 119896 = 3 119899 = 101199092 minus 19119909 + 416 lt 481
minus1 le 119909 le 3
119899 = 407 416418 445 449
Para otros casos se obtiene nuacutemeros repetidos y para valores maacutes grandes se pasa de 481
La graacutefica de los 119899 que generan nuacutemeros primos compuestos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 se
puede observar en la Figura 2
Figura 2
Graacutefica de los 119899 que generan nuacutemeros primos compuestos
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
115
En total obtenemos los valores para 119899
4041444956657681828487899196102104109117121122123126127130136
138140143147155159161162163164170172173178184185186187190201204
205207208209 213215216 217 218232 234 236 237 239 242244245246248249
251 252 255 256 259 261 265 266 268 270 271 278 279 283 284 286 287 289
291 295 296 298 299 300 301 302 309 312 314321325326327 328
329330331334336 338342344345 347349357 360 361364 367368 369370 373
374378380381383385388389 395399401402 406407 408 409 410 416 418 420
421 422 425 427428 431 432 440 442 443445 449 450 451454 459 460 463 466
467471 472 473474 477 480 481
En total 167 valores de 119899 que al evaluarlos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 obtenemos nuacutemeros
compuestos
Cribando estos nuacutemeros obtenemos
01234567891011121314151617181920212223242526272829 30 31 32
33 34 35 36 37383942434546474850515253545557585960 61 62 63 64
66 67 68 69 70 71 72737475777879 80 83 85 86 8890 929394 95 97 98 99
100101103105106107108110111112113114115116118119120124125128129
131132133134135137139141142144145146148149150151152153154156157
158160165166167168169171174175176177179180181182183188189191192
193194195196197198199200202203206210211212214219220221222223224
225226227228229230231233235238240241243247250253254257258260262
263264 267 269 272 273 274275276277280281282 285 288 290292293294 297
303 304 305306 307308310311 313 315316317318319320 322323 324332 333
335337 339340 341 343346 348 350351 352 353 354 355 356 358 359 362
363365366371 372375376377379 382384386387390 391392 393 394 396 397
398 400 403 404 405 411 412 413 414415 417 419 423 424 426 429430433 434
435 436 437 438 439 441 444 446 447 448 452 453 455 456 457 458 461 462
464 465 468 469 470 475 476 478 479
En total 315 valores de 119899 que al evaluarlos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 siempre se obtiene un
nuacutemero primo Estos nuacutemeros primos son
4143475361718397113131151173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503
547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447
15231601 1847 1933 2111 2203 2297 2393 2591 2693 2797 2903 3011 3121 3347
3463 3581 3701 3823 3947 4073 4201 4463 4597 4733 4871 5011 5153 5297 5443
5591 5741 6047 6203 6361 6521 7013 7351 7523 7873 8231 8597 8783 8971 9161
9547 9743 9941 10141 10343 10753 11171 11383 11597 11813 12251 12473 12697
12923 13151 13381 13613 14083 14321 14561 15541 15791 16553 16811 17333
17597 17863 18131 18401 18947 19501 20063 20347 20921 21211 21503 22093
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116
22391 22691 22993 23297 23603 23911 24533 24847 25163 25801 27431 27763
28097 28433 28771 29453 30491 30841 31193 31547 32261 32621 32983 33347
33713 35573 35951 36713 37097 37483 37871 38261 38653 39047 39443 39841
40241 41047 41453 42683 44351 44773 45197 46051 4822148661 49103 49547
49993 50441 50891 51343 51797 52253 52711 53171 53633 54563 55501 56923
57881 58363 59333 61297 6279164303 64811 66347 66863 67901 68947 69473
70001 71597 72671 74297 74843 75391 75941 76493 77047 78721 79283 79847
81551 83273 84431 85597 86183 86771 88547 92153 92761 93371 93983 94597
95213 96451 97073 98323 99581 100213 100847 101483 102121 102761 104047
104693 105341 110597 111263 112601 113947 115301 115981 116663 118033
120103 121493 122891 123593 124297 125003 125711 126421 127133 127847
128563 129281 131447 132173 133631 134363 138053 138797 141041 141793
142547 144061 146347 147881 149423 150197 152531 153313 154097 154883
155671 157253 158047 158843 160441 162853 163661 164471 169373 170197
171023 171851 172681 174347 176021 179393 180241 181943 184511 185371
187963 188831 189701 190573 191447 192323 193201 194963 197621 199403
200297 201193 204797 205703 207521 208433 209347 210263 213023 213947
215801 216731 219533 220471 221411 226141 227093 229003 229961
O sea desde 119899 = 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 481 el 3465 de los valores de 119899 generan nuacutemeros
compuestos al evaluarlos en el polinomio de Euler y el 6535 son nuacutemero primos
En esta criba el nuacutemero primo maacutes pequentildeo es 119901(0) = 02 + 0 + 41 = 41 y el maacutes grande
es 119875(479) = 4792 + 479 + 41 = 229961
Nota Las foacutermulas aquiacute publicadas nos permite encontrar nuacutemeros primos muy grandes o
nuacutemeros compuestos que son el producto de nuacutemeros primos grandes uacutetiles en la
criptografiacutea Las foacutermulas pueden ser la fundamentacioacuten matemaacutetica para desarrollar
programas informaacuteticos o Software que sean utilizados en la proteccioacuten de informacioacuten
necesaria a nivel personal como a nivel mundial
Referencias bibliograacuteficas
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Rusia) httpswwwugres~eaznareulerhtm
Camacho J y Camacho O (2020) Dos Cientiacuteficos Bajo Un Fresno Un Viaje A La Ciencia
En Doce Escritos Google Books
Fernaacutendez T y Tamaro E (2004) Adrien-Marie Legendre
httpswwwbiografiasyvidascombiografiallegendrehtm
Frases y Pensamientos (sf) Frases de nuacutemeros primos
httpswwwfrasesypensamientoscomarfrases-de-numeros-primoshtml
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
117
Propuesta metodoloacutegica para el aprendizaje de
Sucesiones en la modalidad de Educacioacuten Abierta
Licda Charlene Loacutepez Quesada
Universidad de Costa Rica
charlenelopezucraccr
Lic Luis Fernando Mejiacuteas Molina
Universidad de Costa Rica
luismejiasmolinaucraccr
Licda Jennifer Tatiana Quesada
Canales
Universidad de Costa Rica
jenniferquesadacanalesucraccr
Resumen Estaacute investigacioacuten establece una propuesta metodoloacutegica que aborda el tema de
sucesiones en seacutetimo nivel (Teacuterraba) en la modalidad de educacioacuten abierta a la luz de la teoriacutea
de situaciones didaacutecticas La propuesta metodoloacutegica contiene tres moacutedulos dos de ellos dirigidos
al proceso de aprendizaje por parte del estudiante y un moacutedulo creado como apoyo a la labor
docente considerando el juego como herramienta facilitadora de los contenidos y habilidades
presentes en el programa de estudios de matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
Palabras clave Aprendizaje de sucesiones educacioacuten abierta teoriacutea de situaciones didaacutecticas
juegos programa de estudios matemaacutetica
1 Introduccioacuten
El derecho a la educacioacuten comienza con el nacimiento y continuacutea a lo largo de la vida Por
esta razoacuten como complemento de la ensentildeanza formal deberaacuten ofrecerse oportunidades
amplias y flexibles de aprendizaje por medios no formales con recursos y mecanismos
adecuados mediante un aprendizaje informal estimulante aprovechando entre otras las
Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten (UNESCO 2016)
Dentro de los desafiacuteos del sistema educativo costarricense se tiene pendiente la buacutesqueda de
sistemas educativos flexibles con diversas opciones de continuidad en la trayectoria
educativa con ofertas pertinentes y suficientes para atender las necesidades educativas de
quienes habiendo interrumpido el proceso de educacioacuten desean y requieren retomarlo
(Blanco 2009)
Para el antildeo 2016 el Consejo Superior de Educacioacuten toma el acuerdo nuacutemero
03-65-2016 que orienta la confeccioacuten de una nueva poliacutetica educativa con la finalidad de
alinear la educacioacuten costarricense en una novedosa etapa de su desarrollo Dicha poliacutetica
educativa dictada en 2017 se denomina La persona centro del proceso educativo y sujeto
transformador de la sociedad es heredera de los importantes avances mencionados (Consejo
Superior de Educacioacuten 2017)
Estas poliacuteticas educativas pretenden asegurar el acceso de las poblaciones en desventaja
social y en condicioacuten de vulnerabilidad a los servicios sociales baacutesicos por lo que se
evidencia la buacutesqueda de una mayor responsabilidad en instituciones tanto puacuteblicas como
privadas en procura del beneficio de este tipo de poblacioacuten (Cheacutevez 2015)
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
118
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP) aspira a ofrecer y reforzar la
educacioacuten para joacutevenes y adultos que por diversas situaciones dejan el sistema formal de
educacioacuten secundaria por tanto es notorio que las acciones poliacuteticas educativas estaacuten
dirigidas al objetivo de superar el desafiacuteo descrito
Una de estas ofertas educativas establecida es el proyecto de Educacioacuten Abierta que permite
a la poblacioacuten mayor de 12 antildeos incorporarse a completar algunos de los ciclos de la
educacioacuten formal tal es el caso del Tercer Ciclo de la Educacioacuten General Baacutesica
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (2012) indica que ldquoEl dominio de las
habilidades y el desarrollo de la competencia matemaacutetica se propone realizar a partir de la
mediacioacuten pedagoacutegica la organizacioacuten de las lecciones de las tareas matemaacuteticas y la accioacuten
directa docente en el aulardquo (p 14)
Ahora bien el Programa de Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de
Costa Rica (2012) dentro del aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra describe que las funciones se
colocan en otra perspectiva maacutes concreta relaciones de cambio entre dos variables que
dependen entre siacute Las funciones vistas asiacute estaacuten asociadas a relaciones maacutes generales como
pueden ser las relaciones de orden las relaciones de divisibilidad las sucesiones la
proporcionalidad los porcentajes las velocidades o razones de cambio
El proceso evolutivo de ensentildeanza y aprendizaje del proyecto de Educacioacuten Abierta consiste
en la asistencia presencial a tutoriacuteas o bien que cada estudiante se prepare de manera
independiente en la casa por medio de los recursos que brinda el proyecto por esta razoacuten se
decide incursionar en la modalidad de Educacioacuten Abierta debido a su gran importancia para
cumplir con las expectativas que se mencionan anteriormente tanto para el beneficio de los
estudiantes como para el apoyo del docente ya que al tener material de apoyo limitado en
esta liacutenea educativa se comete el error de la mediacioacuten didaacutectica como clases magistrales
Ademaacutes de centrar la atencioacuten en el estudiante la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas (TSD)
propone que el estudiante pueda construir sus conocimientos a traveacutes de una serie de
interacciones con su contexto (situaciones) tal como tambieacuten lo propone el Programa de
Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP 2012)
mediante la forma de organizacioacuten de las lecciones planteada en dicho documento
Por lo tanto se decide trabajar en esta investigacioacuten con la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas
al ser una teoriacutea centrada en el estudiante que se adapta a la modalidad de Educacioacuten Abierta
a las metodologiacuteas que se proponen en los programas del MEP a tener el estudiante la mayor
parte de la responsabilidad por su aprendizaje y a los objetivos de la educacioacuten costarricense
Por otra parte el Programa de Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
de Costa Rica (MEP 2012) pretende desarrollar en los estudiantes una competencia
matemaacutetica definida como ldquohellip una capacidad de usar las matemaacuteticas para entender y actuar
sobre diversos contextos realeshelliprdquo (p 14) Asimismo se destaca la importancia de potenciar
habilidades asociadas a los niveles de abstraccioacuten que alcanzan los estudiantes de manera
que se procuren tareas de razonamiento y argumentacioacuten
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
119
Este tipo de habilidades se le atribuye al aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra del programa de
estudios al ser esta la rama de la matemaacutetica que fortalece el razonamiento loacutegico de los
estudiantes al enfrentarlos a conceptos complicados y cambiantes y de esta manera promover
formas diferentes de pensamiento
Ademaacutes estas destrezas para resolver problemas y pensar de forma criacutetica pueden ayudar a
los estudiantes a tener eacutexito en el trabajo y en la vida auacuten si no continuacutean sus estudios lo
cual es una caracteriacutestica comuacuten en la poblacioacuten meta de estos proyectos educativos sin
importar que continuacuteen con estudios superiores o no se les debe dar las herramientas
necesarias para tener una mejor calidad de vida promoviendo la oportunidad de optar por un
mejor trabajo y asiacute enfrentarse a la realidad social
Por lo anterior y por las dificultades que presentan los estudiantes alrededor del aacutelgebra
evidenciadas en el trabajo de Garrote et al (2004) se inspira esta investigacioacuten a enfocarse
en la rama del aacutelgebra con el fin de fortalecer y ayudar a los estudiantes a la hora de
enfrentarse a la transicioacuten de la aritmeacutetica al aacutelgebra siendo esta un aacuterea de mucha
importancia para la formacioacuten de ciudadanos capaces de enfrentarse y resolver situaciones
complejas de la vida cotidiana
De esta manera se presentaraacute una guiacutea docente que contiene tres moacutedulos el primero
dirigido al autoaprendizaje de los estudiantes el segundo una propuesta metodoloacutegica para
realizar en el aula y el tercero tambieacuten dirigido al autoaprendizaje de los estudiantes como
ejercicios de reforzamiento de los conocimientos
2 Propuesta metodoloacutegica
La presente secuencia constituye una propuesta metodoloacutegica para el docente de Educacioacuten
Abierta que le permita mediar el proceso de ensentildeanza del tema de sucesiones el cual se
ubica en el nivel de seacutetimo antildeo seguacuten los programas del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
La secuencia didaacutectica utilizada estaacute basada en la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas de
Brousseau Es importante aclarar que en esta propuesta se plantean algunas de las situaciones
presentes en la teoriacutea en los moacutedulos de autoaprendizaje para el estudiante y otras en el
moacutedulo de trabajo en clase
La propuesta didaacutectica consta de tres moacutedulos de los cuales dos van dirigidos al estudiante
donde se impulsa y orienta su autoaprendizaje y uno es dirigido al docente para guiarlo
durante la clase presencial del proyecto Dichos moacutedulos se desarrollan en torno a dos videos
de elaboracioacuten propia disentildeados para que el estudiante participe durante la visualizacioacuten de
los mismos y un juego de cartas llamado Eslabones y Cadenas de elaboracioacuten propia
tambieacuten que es una adaptacioacuten del juego Phase 10 y Ron (Naipe)
La idea de secuencia de la aplicacioacuten de los moacutedulos es que el docente en la leccioacuten antes
de abarcar el tema de sucesiones deje como tarea el moacutedulo 1 de autoaprendizaje Luego de
esto que durante la clase presencial el docente desarrolle el moacutedulo 2 y por uacuteltimo el
moacutedulo 3 tambieacuten dirigido al autoaprendizaje del estudiante se deja como tarea al final de
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
120
la leccioacuten presencial a modo de refuerzo A continuacioacuten se explica en queacute consiste cada
moacutedulo mencionado
Caracteriacutesticas Generales de la Propuesta
Modalidad de la propuesta
- Proyectos de Educacioacuten Abierta propuestos por el MEP
Conocimientos por desarrollar
- Sucesiones y sus representaciones Ley de formacioacuten y patrones
Habilidades por desarrollar con la propuesta
- Identificar la ley de formacioacuten de una sucesioacuten utilizando lenguaje natural tabular y
algebraico
- Plantear y resolver problemas relacionados con sucesiones y patrones
Materiales por utilizar
- Paacuteginas interactivas
- Juego Eslabones y Cadenas
Moacutedulo 1
Consiste en un poacutester digital interactivo que se encuentra en el siguiente enlace
httpseduglogstercomglogsucesiones38t6f0c5wko La idea es que los estudiantes
ingresen con ayuda de sus teleacutefonos inteligentes o computadora desde sus casas y realicen
las actividades que ahiacute aparecen El acceso a dicho enlace se lo debe proporcionar el docente
ya sea llevando el poacutester impreso a la clase y que cada estudiante escanee el coacutedigo QR que
trae al final para acceder a la paacutegina o entregando en fiacutesico una copia del poacutester para que
tengan la opcioacuten de escanear el coacutedigo en casa o ingresar el enlace en la computadora Otra
opcioacuten es que el docente tenga el video en su celular y lo pase por medio de Bluetooth a los
estudiantes que no tienen acceso a internet
El PDF interactivo dirige al estudiante a lo largo de tres etapas al enfrentamiento a un
problema contextualizado la visualizacioacuten de un primer video sobre patrones y a la
aplicacioacuten y movilizacioacuten de los conocimientos
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten fundamental el moacutedulo inicia con esta situacioacuten en la cual se expone a los
estudiantes a un primer acercamiento al tema de sucesiones presentaacutendoles un problema
contextualizado el cual deben resolver usando uacutenicamente lo que conocen hasta el momento
Cabe recalcar que este problema puede ser modificado por el docente de acuerdo con el
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121
contexto de sus estudiantes sin embargo debe lograr representar un verdadero problema no
ejercicios
- Visualizacioacuten del video 1 en este video se activan conocimientos previos que se consideran
necesarios para avanzar con el tema de sucesiones Baacutesicamente se trabaja encontrar
teacuterminos de sucesiones sencillas tanto numeacutericas como pictograacuteficas
- Etapa de movilizacioacuten al finalizar el video se tiene una etapa de ejercicios variados en los
que el estudiante debe realizarlos a modo de ejercitar la mente para identificar el patroacuten y
encontrar teacuterminos de una sucesioacuten
Moacutedulo 2
Consiste en una clase de 2 horas aproximadamente y se basa en una guiacutea para el docente
donde se describe coacutemo a traveacutes del juego de cartas Eslabones y Cadenas se producen
situaciones didaacutecticas de accioacuten formulacioacuten y validacioacuten en las que los estudiantes pueden
interactuar unos con otros y expresar sus ideas Finalmente se pretende que el docente
institucionalice los conocimientos que se adquieren durante el moacutedulo 1 y la clase para esto
se le dan algunas recomendaciones a seguir y libertar para disentildear dicha situacioacuten
A continuacioacuten se describe el Juego Eslabones y Cadenas y coacutemo se disentildean las cartas
Tambieacuten se presentan las instrucciones de coacutemo jugar para que el docente sea capaz de
explicarlo en clase Se recomienda que el docente juegue antes de aplicar la propuesta con
el fin de que maneje lo mejor posible el juego y su objetivo
Juego Eslabones y Cadenas
Materiales por utilizar
- Disentildeo de las cartas (se adjunta al final de la propuesta)
- Disentildeo de las pizarras
- Papel cartulina tamantildeo carta
- Impresora (o acceso a una)
- Plaacutestico
- Tijeras o guillotina
- Marcadores de pizarra
Pasos por seguir
- Imprima el disentildeo de las cartas y el de las pizarras en papel cartulina
- Emplastique las hojas de cartulina por ambos lados (tambieacuten puede recurrir a un lugar donde
se hagan emplasticados para un mejor acabado)
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- Recorte con las tijeras o la guillotina cada una de las cartas y cada una de las pizarras Al
final debe tener ocho pizarras y 66 cartas 15 de cada color (celeste morado naranja verde)
numeradas del 1 al 15 2 cartas Salto y 4 cartas Comodiacuten
- Los marcadores se utilizan para que los jugadores rellenen las pizarras
Instrucciones del juego
Significado de las cartas de accioacuten
- Comodiacuten esta carta puede ser utilizada para reemplazar cualquier carta ya sea un nuacutemero
o color para completar cualquier fase El valor asignado se mantiene por toda la mano Si es
la primera carta lanzada en la pila de descarte esta puede ser tomada por el primer jugador
- Salto esta carta se utiliza para saltar a un jugador
Objetivo del juego
- El objetivo del juego es completar las tres misiones lo antes posible y se deben completar
en orden
Las tres misiones son
- Misioacuten 1 grupo de tres cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de tres
cartas con el mismo color
- Misioacuten 2 grupo de cuatro cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de cuatro
cartas con el mismo color
- Misioacuten 3 grupo de cinco cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de cinco
cartas con el mismo color
Antes de comenzar
Escoger un jugador para que mezcle y reparta las cartas las cuales se reparten boca abajo
Para la primera misioacuten se reparten siete cartas (en la segunda misioacuten nueve y en la tercera
misioacuten 11) a cada jugador (o equipo) El mazo con el resto de las cartas se coloca boca abajo
en el centro de la mesa La primera carta se voltea y se coloca al lado pues esta seraacute la primera
carta de la pila de descarte
Luego todos los jugadores voltean sus cartas y las estudian individualmente para determinar
queacute necesitan para completar la misioacuten
Desarrollo del juego
El jugador a la izquierda del repartidor comienza el juego y asiacute se continuacutea con el orden de
los turnos de cada jugador Durante cada turno al jugador que le corresponde debe tomar una
carta ya sea del mazo de cartas o de la pila de descarte luego puede realizar alguna de las
siguientes acciones
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- Apearse colocar sobre la mesa las cartas boca arriba de alguno de los grupos de cartas la
misioacuten que le corresponde Por ejemplo para la misioacuten 1 apear el grupo de cartas [2 4 6]
que va de dos en dos
- Abonar antildeadir una carta de la mano a las apeadas de los demaacutes jugadores Por ejemplo
antildeadir un 8 a la secuencia [2 4 6] de otro jugador
- Completar la misioacuten colocar sobre la mesa boca arriba las cartas que completan la misioacuten
Para finalizar el turno del jugador se tira una de las cartas en la mano a la pila de descarte
Si se completa la misioacuten se toman las cartas del mazo para intentar conseguir la siguiente
misioacuten
Si las cartas del mazo se acaban se baraja la pila de descarte y se ponen estas cartas boca
abajo para poder continuar con el juego Y el juego termina cuando un jugador logra
completar las tres misiones y si esto sucede se deben transcribir los grupos de cartas a las
pizarras donde la fila de la 119899 representa la posicioacuten de la carta en el grupo ordenado y el 119886119899
representa el valor de la carta en la posicioacuten
Variantes en el juego
- Para minimizar el tiempo de juego se puede jugar solamente con dos misiones (primera y
segunda o primera y tercera) Tambieacuten para disminuir la complejidad del juego se puede
jugar omitiendo las apeadas con orden de color en las misiones
- El juego se puede jugar con un naipe comuacuten o con el popular juego ldquoUnordquo variando la
cantidad de cartas requeridas para cada grupo de cartas en las dos uacuteltimas misiones
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten accioacuten y Situacioacuten de formulacioacuten la clase se inicia explicando la mecaacutenica del
juego Eslabones y Cadenas El docente en este caso no juega solo valida las diferentes
sucesiones y realiza algunas preguntas a los estudiantes para que ellos expresen verbalmente
las sucesiones o patrones que estaacuten formando con las cartas Por ejemplo un estudiante puede
decir ldquoestoy realizando una secuencia de nuacutemeros paresrdquo o ldquomi secuencia va de dos en dosrdquo
pero lo importante es que a partir de la situacioacuten de formulacioacuten el docente pueda cerciorarse
de que los estudiantes estaacuten construyendo conscientemente los patrones
- Situacioacuten de validacioacuten en la que los estudiantes consolidan y discuten sobre lo aprendido
defienden y justifican su posicioacuten con las jugadas o secuencias realizadas mientras se
conversa sobre las diferentes representaciones Despueacutes de que el juego acaba (cuando
alguno de los equipos haya completado las fases) y sin retirar las cartas de la mesa de juego
cada equipo debe escoger alguna de las sucesiones en la mesa para que cada equipo realice
la respectiva tabulacioacuten en las pizarras El docente realiza las siguientes preguntas a cada
equipo para que vayan completando las tablas
En la primera carta de su sucesioacuten iquestcuaacutel nuacutemero hay iquestcuaacutel nuacutemero se encuentra en la
segunda carta
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124
Se pretende que mediante esta actividad se introduzca el concepto de variable y la relacioacuten
que existe entre el ldquo119899rdquo y el ldquo119886119899rdquo
Cada grupo debe analizar las diferentes relaciones de la tabla para generar e intentar plantear
una ley de formacioacuten o representacioacuten algebraica de la sucesioacuten
- Institucionalizacioacuten en esta seccioacuten de la clase el docente interviene para revisar y validar
las leyes de formacioacuten que realizaron los estudiantes Se formaliza el concepto de variable y
de sucesioacuten mediante una discusioacuten de los conocimientos adquiridos en las diferentes
situaciones didaacutecticas Se complementa la leccioacuten asignando el moacutedulo 3 como trabajo
extraclase Se presentan algunas recomendaciones y aspectos importantes por considerar para
que el docente planee su situacioacuten de institucionalizacioacuten
A la hora de introducir el concepto de variable se recomienda la utilizacioacuten de un espacio
para rellenar con un nuacutemero (⊡) en lugar de una letra ya que se pudo apreciar que facilitoacute
la comprensioacuten del significado de las mismas en este tema
Se requiere que el docente aclare la forma en que se pasa del lenguaje natural o tabular al
lenguaje algebraico ya que por ellos mismos es una labor que probablemente no logren
realizar debido a la complejidad del mismo Sin embargo la idea es que el docente los guiacutee
a llegar a completar este proceso y no que les presente por completo la forma de hacerlo
Con respecto a la simbologiacutea de la multiplicacioacuten en el lenguaje algebraico (no aparece
ninguacuten signo entre un nuacutemero y una letra) les resulta familiar si el docente lo relaciona con
las operaciones combinadas entre nuacutemeros naturales (cuando hay un pareacutentesis seguido de
un nuacutemero ahiacute existe una multiplicacioacuten que ldquono se verdquo)
Se recomienda que el docente utilice preguntas generadoras como iquestqueacute nuacutemero sigue iquestpor
queacute ese nuacutemero iquestqueacute se hace iquestestaacuten de acuerdo iquestalguien lo hizo diferente iquestqueacute se les
ocurre iquestqueacute pasa con la posicioacuten 1 iquesty si cambiamos a la posicioacuten 2 funciona iquestcoacutemo
consigo el que va en la posicioacuten 97
Moacutedulo 3
Consiste tambieacuten un poacutester interactivo que se encuentra en el siguiente enlace
httpseduglogstercomglognumber-operation2x7p7aw4hqo Fue disentildeado a modo de
reforzar la situacioacuten de institucionalizacioacuten el cual estaacute compuesto por dos etapas la
visualizacioacuten del segundo video donde se formalizan conocimientos y la aplicacioacuten y
movilizacioacuten de los nuevos saberes aprendidos Y funciona de la misma manera que el primer
poacutester interactivo
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten de refuerzo para la institucionalizacioacuten en la cual los estudiantes disponen de un
video donde se refuerza lo dicho por el docente sobre sucesiones
- Etapa de aplicacioacuten y movilizacioacuten de conocimientos la cual se compone de una serie de
ejercicios divididos por secciones donde se utilizan los conceptos y elementos algebraicos
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125
para el tema de sucesiones con el fin de afianzar conocimientos adquiridos en todo el proceso
de aprendizaje de las sucesiones
3 Conclusioacuten
En relacioacuten con el contenido de Sucesiones se considera que las habilidades que plantea el
MEP para este contenido son necesarias sin embargo no se incluye la representacioacuten graacutefica
de una sucesioacuten cuando es necesaria para futuros temas como funciones y proporcionalidad
Al analizar diferentes definiciones establecidas para el concepto de sucesiones se considera
que son rigurosas yo formales que pueden llegar a ser confusas para el estudiante de
educacioacuten abierta por lo que en esta propuesta se plantea una definicioacuten con vocabulario
sencillo que contempla las habilidades y contenidos del plan de estudios de esta modalidad
ldquoUna sucesioacuten es un conjunto o grupo ordenado de nuacutemeros figuras o cosasrdquo
Entre los obstaacuteculos epistemoloacutegicos se encuentran los conflictos con el significado de las
letras conflictos con el significado de los signos y conflictos con las respuestas esperadas
los cuales a lo largo de la clase presencial se advirtieron pero se lograron abarcar
satisfactoriamente con la situacioacuten de institucionalizacioacuten de aquiacute la importancia de un
adecuado disentildeo de la misma
Los obstaacuteculos cognitivos son particulares y amplios en esta modalidad falta de haacutebitos de
estudio imposibilidad de asistir a clase constantemente falta de conocimientos previos poco
tiempo asignado a los contenidos motivacioacuten e intereacutes condiciones familiares desfavorables
entre otros Dichos obstaacuteculos se consideraron en el disentildeo de la propuesta y se trataron de
evitar en la medida de lo posible avanzando en el conocimiento de forma paulatina con un
autoaprendizaje dirigido y actividades luacutedicas en clase La propuesta va dirigida
especiacuteficamente para Educacioacuten Abierta y no a otro tipo de programa ofrecido por el MEP
sin embargo se considera que esta puede ser adaptable a las condiciones y particularidades
de cada modalidad de estudio
Los obstaacuteculos didaacutecticos son considerados los efectos propuestos en la TSD Topaze
Jourdain Desplazamiento metacognitivo Uso abusivo de la analogiacutea y el Envejecimiento
de las situaciones de ensentildeanza los cuales durante la aplicacioacuten de la propuesta se concluye
que los dos primeros efectos pueden ser evitados haciendo de juegos para abordar los temas
de estudio ya que el papel del docente queda de lado al ser los estudiantes quienes interactuacutean
entre ellos Sin embargo al usar actividades luacutedicas se debe tener cuidado de no caer en el
desplazamiento metacognitivo pues el jugo se puede convertir en el fin de la clase
Por uacuteltimo para este caso particular de las sucesiones por su naturaleza y la forma de
evaluacioacuten realizada por el MEP se dificulto evitar el abuso de la analogiacutea en los ejercicios
en la propuesta
Al consultar a docentes con experiencia en la modalidad de educacioacuten abierta se obtienen
insumos para considerar elementos que se evidencian uacutenicamente a nivel praacutectico
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126
Los docentes coinciden y mencionan los obstaacuteculos cognitivos establecidos en la teoriacutea sin
embargo recalcan la importancia de la motivacioacuten y el intereacutes ya que una de las situaciones
maacutes preocupantes en esta modalidad es la desercioacuten de los estudiantes y consideran que la
falta de este impulso es la razoacuten de dicha problemaacutetica
En relacioacuten con el contenido de sucesiones se sostiene que es un tema superficial en el
programa de estudios para el nivel de Teacuterraba y se le debe dedicar poco tiempo de clases a
pesar de que diferentes investigaciones aseguran la importancia que posee en el aacutembito del
aacutelgebra en matemaacutetica y recalcan la dificultad que presenta para los estudiantes Ademaacutes los
docentes consideran que debido a la naturaleza del tema y a los tipos de iacutetems que se
presentan en el examen del MEP es de esperarse que le proceso de Razonar yo Argumentar
sea mayoritariamente trabajado en la propuesta
Con respecto a los obstaacuteculos didaacutecticos no se mencionoacute mucho al respecto sin embargo se
destaca la repeticioacuten en las preguntas de los exaacutemenes del MEP en relacioacuten a este tema por
lo que es de esperarse que en la propuesta no se lograra evitar el efecto del abuso de la
analogiacutea de la TSD
Los procesos matemaacuteticos de Razonar yo Argumentar y de Comunicar propuestos en el
programa de estudios del MEP se alcanzaron satisfactoriamente debido al tipo de actividades
planteadas y el tema elegido El proceso de Representar no se logra de manera adecuada
debido a las instrucciones del juego las cuales fueron confusas al trabajar la representacioacuten
tabular y la complejidad del simbolismo algebraico Ademaacutes se presentaron dificultades con
el proceso de Plantear yo Resolver problemas ya que el problema de la situacioacuten
fundamental no se logroacute resolver debido a algunas particularidades mencionadas por los
estudiantes que les impidieron estudiar para la clase
Los docentes expresaron su agrado ante el disentildeo de las actividades planteadas y las
consideraron acordes con tema trabajado se brindaron recomendaciones las cuales fueron
incorporadas en la propuesta con el fin de mejorarla Tambieacuten se discutioacute la dificultad que
podiacutea representar el juego para el tipo de poblacioacuten que asiste a esta modalidad sin embargo
esto no resultoacute ser un problema en el grupo que se aplicoacute la propuesta
Finalmente en el anaacutelisis de resultados realizado se determina que la propuesta didaacutectica
planteada para el aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra especiacuteficamente para el tema de sucesiones
en el nivel de Teacuterraba es acertada debido a que se ocupa de las habilidades planteadas por el
MEP y cumple con lo sentildealado por los docentes expertos al facilitar el proceso mediante el
cual se establece la relacioacuten entre las representaciones algebraicas y aritmeacuteticas de las
sucesiones Ademaacutes se considera la participacioacuten de los estudiantes como evidencia de la
motivacioacuten para trabajar el contenido de sucesiones
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Retos de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico y uno
privado
Jennifer Aragoacuten Monge
Universidad Estatal a Distancia Costa Rica
jaragonunedaccr
Paulina Coto Mata
Universidad Estatal a Distancia Costa Rica
pcotomunedaccr
Resumen Cuando cerraron los colegios de Costa Rica debido al COVID-19 la mayoriacutea de los
docentes empezaron a reinventar las lecciones y pasar a la virtualidad A partir de ahiacute surgieron
muchos retos que se enfrentaron como docentes de Matemaacuteticas para continuar con el proceso
educativo en este caso a nivel de ensentildeanza media La ponencia tiene como objetivo evidenciar
estos desafiacuteos desde dos escenarios diferentes en el Colegio Mariacutea Inmaculada de iacutendole privado
y la Unidad Pedagoacutegica San Diego puacuteblico Algunos de ellos fueron el uso de tecnologiacuteas de la
informacioacuten dificultades para la ensentildeanza a distancia de las Matemaacuteticas situaciones
socioeconoacutemicas compromisos de todos los actores del aacutembito educativo entre otros Se
muestran las diferencias en la praacutectica educativa desde dos realidades distintas
Palabras claves Educacioacuten Educacioacuten a distancia Educacioacuten secundaria Didaacutecticas de las
Matemaacuteticas
1 Introduccioacuten
Con la venida de la pandemia producto de la enfermedad COVID-19 se comenzaron a cerrar
centros educativos Fue cuando la educacioacuten a distancia comenzoacute a tomar auge Surgieron
las plataformas virtuales Google Classroom Microsoft Teams y otros recursos tecnoloacutegicos
como Zoom Youtube y Whastapp Los docentes comenzaron a transformar su forma de
ensentildear y tuvieron que reinventar estrategias metodoloacutegicas y materiales didaacutecticos
Mientras en el Colegio Mariacutea Inmaculada institucioacuten privada comenzaron ese cambio a
pocos diacuteas de cerrado los centros educativos en la Unidad Pedagoacutegica San Diego quedaron
a la espera de directrices por parte del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica y no fue hasta un mes
despueacutes que decidieron incursionar en la educacioacuten virtual
Al no tener una estrategia clara de coacutemo hacerlo se han venido presentando retos que los
docentes han tenido que solventar en la marcha Algunos hasta el diacutea de hoy no se han logrado
superar pese a los siete meses de haber incursionado en este escenario de la virtualidad
El trabajo tiene como objetivo evidenciar los desafiacuteos que afrontaron los docentes desde dos
aacutembitos diferentes colegio puacuteblico y privado asiacute como las soluciones que se le han dado a
algunos de estos Ademaacutes se mostraraacuten las diferencias de la ensentildeanza de las matemaacuteticas
que han recibido los estudiantes desde estos dos escenarios
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2 Colegio Mariacutea Inmaculada
21 Contexto Institucional
El Colegio Mariacutea Inmaculada estaacute ubicado en el distrito de San Vicente en el cantoacuten de
Moravia San Joseacute Es una institucioacuten privada catoacutelica que comprende todos los niveles de la
educacioacuten formal orientada por la Comunidad de Hermanas Franciscanas de Mariacutea
Inmaculada siguiendo el estilo pedagoacutegico y la espiritualidad de San Francisco de Asiacutes y de
la Beata Madre Caridad Brader (Colegio Mariacutea Inmaculada 2020)
Con respecto al estudiantado la mayoriacutea ingresan a la institucioacuten desde prekiacutender y continuacutean
ahiacute hasta llegar a undeacutecimo antildeo son generaciones muy consolidadas que se conocen bastante
bien
Otros aspectos relevantes de la institucioacuten es contar con un personal docente estable con
muchos antildeos de trabajo en equipo El colegio cuenta con un programa de estudio basado en
el del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica pero a la vez con autonomiacutea para de aumentar
cambiar y modificar contenidos a criterio del departamento de Matemaacuteticas
22 La evolucioacuten de las clases
Desde el 16 de marzo se suspendieron las clases presenciales En ese momento no se teniacutea
claro queacute procediacutea ni por cuaacutento tiempo se suspendiacutean las lecciones En cuestioacuten de dos diacuteas
el personal docente se organizoacute para comenzar la educacioacuten a distancia por medio de la
plataforma Classroom Se escogioacute esta por su facilidad para utilizarla Como menciona en la
paacutegina web El Comercio (2020)
Si bien la educacioacuten presencial supone mayores ventajas sobre todo por la posibilidad
de interactuar de forma directa en el dictado de clases el uso de herramientas digitales
como Google Classroom resulta fundamental en eacutepocas de confinamiento auacuten maacutes
cuando el volver a las aulas parece ser una opcioacuten lejana hasta que no se deacute por superada
la pandemia del coronavirus (paacuterr3)
Por medio de esta plataforma se les enviaban videos de Youtube con explicaciones realizadas
por la docente y se les asignaban trabajos sin embargo esta forma no era muy eficiente Los
estudiantes presentaban muchas dudas la mayoriacutea de los ejercicios que se les asignaban
teniacutean errores No estaban preparados para ser autodidactas Esta forma de ensentildear era
unidireccional no habiacutea interaccioacuten con los estudiantes aunque podiacutean plantear las dudas
por medio de la plataforma la comunicacioacuten seguiacutea siendo muy limitada
A partir de ahiacute se planteoacute la necesidad de usar una plataforma maacutes completa que permitiera
video llamadas pero que fuera gratis a la vez De ahiacute que se tomoacute la decisioacuten de incorporar
la aplicacioacuten Zoom como un apoyo a los videos de Youtube Se haciacutean llamadas con los
estudiantes aclarando dudas pero eran simples llamadas las cuales no lograban mejorar
grandemente el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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En ese momento la institucioacuten tuvo que tomar una decisioacuten Se optoacute por clases sincroacutenicas
usando Zoom Para ello se consultoacute a los padres de familia sobre la posibilidad de equipo
tecnoloacutegico (computadora o celular) con conexioacuten a internet Al tener una respuesta positiva
se establecioacute un nuevo horario para impartir lecciones organizados por generacioacuten y no por
grupo Se establecieron lapsos maacutes cortos de clases pero con la ventaja de estar todos
conectados al mismo tiempo para explicar aclarar dudas y tratar de hacer una clase virtual
lo maacutes parecida a una presencial Se acordoacute grabar las clases para brindaacutersela a los estudiantes
que por problemas de conexioacuten no asistieron La institucioacuten proporcionoacute computadoras para
los alumnos que no disponiacutean de una se establecieron reglas para el trabajo virtual entre
ellas no se solicitaba activar la caacutemara para salva guardar la integridad del menor de edad
Desde abril y durante todo el antildeo se continuoacute con clases sincroacutenicas por medio de la
plataforma Zoom con un horario establecido Se daban 3 clases de 1 hora a la semana se
pasaba lista de los estudiantes conectados y se teniacutea que justificar las ausencias ante la
administracioacuten
Por uacuteltimo se incorporoacute la evaluacioacuten sumativa Se comenzaron a realizar pruebas parciales
en liacutenea y se realizaron trabajos extraclase La modalidad de estos se explica maacutes adelante
23 Retos de la educacioacuten virtual en el Colegio Mariacutea Inmaculada
En el contexto del aula es difiacutecil lograr que los todos los estudiantes participen activamente
en la virtualidad ha sido auacuten maacutes complicado La participacioacuten en las clases sincroacutenicas se
ha visto afectada por aspectos como la cantidad de alumnos pues son alrededor de 60 por
grupo conexiones inestables distractores propios del ambiente de casa y el miedo a
equivocarse y que su duda quede grabada en un video
Para mejorar este reto se ha procedido a trabajar el miedo al error con el departamento del
psicologiacutea y orientacioacuten asiacute como la utilizacioacuten del chat directo con el docente durante la
clase La aplicacioacuten Zoom permite escribir en forma privada al profesor daacutendole un ambiente
de confianza al estudiante En el archivo de video de la ponente Aragoacuten (2020a) se evidencia
como se ha perdido el miedo a participar y ha mejorado la interaccioacuten en las clases
Otro gran reto que se tuvo que afrontar fue el implementar estrategias de trabajo en el aula
virtual La formacioacuten docente se basa en metodologiacuteas para la ensentildeanza en forma presencial
y no se estaba preparado para este cambio de escenario La mayoriacutea de las veces se optoacute por
una metodologiacutea tradicional donde el docente habla y los estudiantes escuchan sin embargo
no era adecuado quedarse con ella se necesitaba promover la participacioacuten pues esta ldquomejora
la asimilacioacuten y relevancia de contenidosrdquo (Baena y Ruiz 2019 p276)
En el segundo video de la ponente Aragoacuten (2020a) se muestra un trabajo grupal creado por
los estudiantes para introducir el tema de cuerpos soacutelidos Consistiacutea en explicar uno de ellos
sus partes y caracteriacutesticas debiacutean construir la figura en fiacutesico o por medio del programa
Geogebra Tambieacuten teniacutean que dar ejemplos concretos donde se observara ese cuerpo soacutelido
Cabe destacar que el tema no fue explicado con anterioridad el estudiante investigaba y
recolectaba la informacioacuten que ocupaba para desarrollarlo (Aragoacuten 2020b) De esta manera
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
131
se logra una mayor participacioacuten de los estudiantes y romper con esa metodologiacutea tradicional
que se veniacutea aplicando
Otro reto de la educacioacuten virtual y tal vez el maacutes difiacutecil de solucionar fue la evaluacioacuten El
docente no estaba preparado para valorar los aprendizajes desde una computadora El Colegio
Mariacutea Inmaculada analizando que el regreso a clases presenciales se visualizaba muy lejano
tomoacute la decisioacuten de seguir evaluando sumativamente Se propuso hacer las pruebas parciales
que inicialmente se teniacutean planeadas en la modalidad presencial pero ahora de forma virtual
Estas pruebas se enviaban por medio de la plataforma Classroom en forma de un archivo de
PDF a todos los estudiantes al mismo tiempo se le proporcionaban dos horas para su
realizacioacuten El estudiante descargaba el archivo lo imprimiacutea lo resolviacutea y lo devolviacutea en otro
archivo de PDF que conteniacutea las fotografiacuteas de cada paacutegina del examen
No obstante al hacer las pruebas virtuales se pierde la confiabilidad de esta No se tienen los
medios para verificar que el estudiante realice por eacutel mismo la prueba sin recurrir a
aplicaciones o programas matemaacuteticos o terceras personas para resolverla
En este caso solo se apela a la conciencia de los estudiantes y padres de familia de realizar la
prueba de la forma honesta evaluando las habilidades vistas en clases Es importante recordar
que la evaluacioacuten ldquoes un instrumento educativo que sobre todo informa respecto al proceso
educativo haciendo siacute su valoracioacuten del aprendizaje pero con el objeto de brindar mejores
propuestas y resultadosrdquo (Monzoacuten 2015 p22)
Por uacuteltimo otro reto importante fue el crear ambientes de trabajo aptos para el aprendizaje
La dinaacutemica del hogar ha cambiado la mayoriacutea de los padres de familia estaacuten en teletrabajo
los distractores son muchos no se cuentan con tantos escritorios y sillas adecuadas para estar
de 7 am a 2 pm frente a una computadora Muchos estudiantes tuvieron que recurrir a usar
anteojos para solventar los problemas de vista que generan los dispositivos electroacutenicos
Otros expresaban los dolores de espalda y cabeza por la dinaacutemica de la educacioacuten virtual A
continuacioacuten (Figura 1) opiniones de los estudiantes que reflejan esta problemaacutetica
Figura 1
Opiniones de los estudiantes sobre la problemaacutetica
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132
Con respecto a este reto no se ha logrado grandes avances Se procedioacute a hablar con los
padres de familia y estudiantes para tratar en la medida de lo posible de crear ese ambiente
adecuado Tambieacuten se han creado espacios entre las clases virtuales para que el estudiante
descanse se levante y se despeje de estar frente a la computadora Ademaacutes desde el
Departamento de Orientacioacuten y Psicologiacutea se ha trabajado la importancia de crear horarios
de estudio y de descanso donde el estudiante pueda desconectarse de esta modalidad y evitar
lo sobrecargos de labores
3 El proceso de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico en Costa Rica
31 Unidad Pedagoacutegica San Diego
Contexto Institucional
La Unidad Pedagoacutegica San Diego (UP) se ubica en el distrito de San Diego en el cantoacuten de
La Unioacuten en la provincia de Cartago la institucioacuten alberga desde preescolar primaria y
secundaria (hasta III Ciclo) esta uacuteltima cuenta con una poblacioacuten cercana a los 450
estudiantes de diferentes niveles socioeconoacutemicos
Con respecto a los encargados legales la mayoriacutea cuenta con un nivel educativo uacutenicamente
de primaria completa muy pocos han terminado la educacioacuten diversificada y el nivel
universitario es praacutecticamente nulo Sus ingresos econoacutemicos son fluctuantes las fuentes
principales de empleo son informales Los lugares donde habitan generalmente son zonas de
alto riesgo social en casas prestadas alquiladas e incluso en cuarteriacuteas Existe un alto
porcentaje de estudiante becados por diferentes instituciones gubernamentales y no
gubernamentales y tienen un acceso limitado a los servicios baacutesicos incluidos el internet
La Unidad Pedagoacutegica tiene una alta concentracioacuten de inmigrantes muchos de ellos no tienen
un ciclo lectivo continuo en la institucioacuten ya que se trasladan con sus familiares a las zonas
donde hay fuentes de empleo provocando una inestabilidad en el proceso educativo de los
joacutevenes
32 Evolucioacuten en la Educacioacuten Virtual
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (MEP) suspendioacute las lecciones presenciales en la UP a
partir del lunes 16 de marzo dado que el colegio se encuentra en una zona con escases de
agua ese mismo lunes se iniciaba la semana de evaluacioacuten correspondiente a las primeras
pruebas escritas del primer trimestre
Inicialmente los docentes deciden enviar material a los estudiantes por medio del Facebook
del colegio con el fin de repasar los temas y no olvidar lo aprendido hasta el momento Se
pensaba que despueacutes de Semana Santa se regresariacutea a la presencialidad y se aplicariacutean las
pruebas escritas con toda normalidad
Cuando la sentildeora Giselle Cruz Maduro Ministra de Educacioacuten anuncia que el retorno a las
aulas no seraacute antes de vacaciones de medio periacuteodo se toma la decisioacuten de realizar grupos
de WhatsApp por cada seccioacuten con los estudiantes de noveno antildeo con el fin de lograr un
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133
acercamiento y fortalecer el viacutenculo entre docente ndash estudiante Posteriormente se realizoacute lo
mismo con la generacioacuten de seacutetimo antildeo
Luego de las capacitaciones se inicia con las sesiones sincroacutenicas y asincroacutenicas con los
estudiantes por medio de la plataforma virtual Microsoft Teams escogida por el Ministerio
de Educacioacuten Puacuteblica Esta herramienta propicia la interaccioacuten virtual entre el profesor y los
estudiantes tal y como lo menciona Martiacutenez en la Revista Digital Educativa 30 (2020)
Esta plataforma nos permite crear clases virtuales gestionadas por el docente donde
los alumnos y el profesor pueden compartir distintos tipos de materiales de clase
(documentos apuntes viacutedeos imaacutegenes documentales cuestionarioshellip) ademaacutes de
mantener conversaciones mandar tareas y actividades evaluables generar exaacutemenes
online y un sinfiacuten de actividades relacionadas con el diacutea a diacutea del aula (paacuterr3)
Ademaacutes se trabajan con las Guiacuteas de Trabajo Autoacutenomo (GTA) como lo indica su nombre
son guiacuteas elaboradas por el docente donde se explica de una forma detallada una habilidad y
ejercicios relacionados con el tema El estudiante con ayuda de esta trabaja de manera
independiente para lograr el aprendizaje Es en este momento cuando se hacen visibles las
dificultades para la apropiacioacuten del conocimiento a distancia
Retos de la educacioacuten virtual en la Unidad Pedagoacutegica San Diego
Al inicio del mes de mayo se realiza una encuesta por medio de los profesores guiacuteas para
conocer el grado de conectividad que tienen los estudiantes de la Unidad Pedagoacutegica los
resultados no fueron los esperados La mayoriacutea no tienen acceso a internet estable y
constante muchos de ellos utilizan datos limitados Ademaacutes no todos tienen computadora
o teleacutefonos inteligentes para ingresar a los acompantildeamientos virtuales
En relacioacuten con las sesiones sincroacutenicas en Microsoft Teams el Estado llega a un acuerdo
con las compantildeiacuteas telefoacutenicas para que las aplicaciones no generen gasto de datos moacuteviles
es decir sean gratuitas para las familias costarricenses pero aun asiacute no fue funcional esto
debido que existe poca cobertura en los hogares la llamadas documentos y archivos en
general no cargan
Se tiene el tiempo limitado para el acompantildeamiento virtual una de las poliacuteticas del MEP es
no trasladar el centro educativo a los hogares En el caso de matemaacuteticas estas pasan de 5
lecciones de 40 minutos por semana a un maacuteximo una hora de semanalmente Otro factor
determinante es la asistencia al no ser obligatoria muchos de los estudiantes no muestran
intereacutes en asistir a las sesiones Ademaacutes no existe un acompantildeamiento ni un compromiso
real por parte de los encargados legales en todo este proceso
Todo esto desencadena problemas para la comprensioacuten de conceptos propiamente
matemaacuteticos los estudiantes enviacutean mensajes como ldquoHola buenos diacuteas profe vieras que no
estoy recibiendo lecciones por Teams y la verdad no entiendo la guiacuteardquo ldquoHola Profe vieras
que quitaron el wifi en mi casa y no ingreso a Teams y tengo muchas dudas de los ejerciciosrdquo
este tipo de mensajes se dieron con mayor frecuencia con el avance del curso lectivo
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134
Despueacutes de convivir con todas estas limitaciones el docente tiene que reinventarse y pensar
en diferentes estrategias recursos o aplicaciones que se adapten y motiven a la poblacioacuten
educativa como se menciona en los programas de estudios del Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica (2012) ldquoEn el aprendizaje son decisivas la motivacioacuten y intereacutes y en general todas
las dimensiones afectivas por lo que se adopta una visioacuten integral y humanista sobre la
ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (p37)
Ante las limitaciones que presentaba la poblacioacuten los docentes proceden a buscar diferentes
estrategias para continuar con el proceso educativo con todos los estudiantes de ahiacute nace la
necesidad de utilizar WhatsApp se graban videos se enviacutean fotos se aclaran dudas o se
hacen video llamadas para explicar un determinado tema
Se preguntaraacuten iquestPor queacute WhatsApp y no YouTube o Vimeo La respuesta es muy sencilla
es una aplicacioacuten que la mayoriacutea de las personas tiene en su celular la saben utilizar si la
docente enviacutea un video o un audio con la explicacioacuten de alguacuten tema solo genera un gasto a
la hora de la descarga y queda guardado en el dispositivo y puede utilizarlo cada vez que asiacute
lo requiera Era el medio maacutes factible y el que ofreciacutea mayores ventajas como se menciona
en el artiacuteculo de la revista de investigacioacuten en educacioacuten este recurso
Favorece la cooperacioacuten entre estudiantes Mejora la relacioacuten entre profesor y
alumnoSe establece una relacioacuten maacutes personalizada con el profesor por tanto
personaliza el aprendizaje Motivacioacuten del alumnado para aprender al mantener una
actitud positiva hacia el uso educativo del WA Promueve la participacioacuten incluso del
alumnado maacutes retraiacutedo o tiacutemido Ampliacutea las posibilidades creativas para los
estudiantes Promueve la lectura de textos cientiacuteficos Accesibilidad a materiales
formativos en varios formatos Posibilita dejar mini clases grabadas oralmente Abre
un canal para exponer y expresar ideas Posibilita la evaluacioacuten diagnoacutestica sobre los
conocimientos de los alumnos (Suarez 2018 p128)
A continuacioacuten (Figura 2) un extracto de la comunicacioacuten docente-estudiante utilizando
Whastapp
Figura 2
Extracto de la comunicacioacuten docente-estudiante por medio de Whatsapp
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135
Por otro lado los problemas de conectividad que tuvo esta poblacioacuten repercuten en la
imposibilidad de usar aplicaciones y programas propiamente matemaacuteticos Incluso algunos
no cuentan con calculadora propia pues las limitaciones econoacutemicas no les permitiacutean
adquirir una Este uacuteltimo punto rompe con uno de los cinco ejes disciplinares propuestos en
los programas de estudio como es el uso de la tecnologiacutea como un recurso para que el
estudiante construya su propio conocimiento
Las tecnologiacuteas pueden ser un poderoso aliado para potenciar el pensamiento
matemaacutetico Y es precisamente en la resolucioacuten de problemas en entornos reales donde
eacutestas pueden aportar sus beneficios de la mejor manera en contextos de aprendizaje
que fortalezcan las habilidades y capacidades matemaacuteticas (Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica 2012 p37)
La aplicacioacuten Mathway vino a ser un aliado para los estudiantes que no podiacutean adquirir una
calculadora y ademaacutes les ayudaba a verificar el resultado de ejercicios matemaacuteticos que se
les proponiacutean en la GTA
4 Conclusiones y recomendaciones
De la experiencia en el Colegio Mariacutea Inmaculada y en la Unidad Pedagoacutegica San Diego se
puede concluir que no se teniacutea un camino claro de coacutemo lograr una educacioacuten virtual pues
no se formaron a los docentes para trabajar en este escenario ni se teniacutea los recursos
necesarios para desarrollar a cabalidad esta modalidad De ahiacute que surgieron muchos retos
que se tuvieron que solventar en la marcha Es gracias a la labor docente y administrativa que
se logra continuar con un proceso educativo dentro de las posibilidades sin embargo Costa
Rica no estaacute preparada para este cambio Auacuten falta mucho camino por recorrer Ni siquiera
podemos asegurar una conectividad del 100 de los alumnos
Pese a las limitaciones que se dieron existieron estudiantes muy comprometidos
responsables aplicados que desde el primer momento realizaron sus trabajos como si
estuvieran en el aula Es digno de resaltar los valores mostrados por estos joacutevenes siendo
esto un aliciente para los docentes que con gran vocacioacuten realizaban su trabajo
Una de las ensentildeanzas maacutes valiosas que se pudo constatar con esta experiencia es la
importancia del profesor en algunos hasta casos desvalorizados Por maacutes tecnologiacutea de punta
y guiacuteas de trabajo autoacutenomo se necesita el calor humano del docente que en forma presencial
desarrolle la leccioacuten La interaccioacuten profesorndashestudiante frente a frente es un elemento que
no podemos dejar en el olvido La educacioacuten virtual siacute permitioacute el aprendizaje de algunas
habilidades del programa de estudios pero de forma maacutes lenta y con maacutes dificultades que si
se estuviera en forma presencial
Ya se ha dado un gran avance en la educacioacuten virtual se recomienda a un futuro pensar en
una modalidad dual que implemente tanto la virtualidad como la presencialidad Ambas
tienen ventajas que pueden enriquecer el proceso educativo
Es importante pensar a un futuro en instrumentos de evaluacioacuten sumativa metodologiacuteas de
trabajo virtual y plataformas que se adapten mejor a las condiciones de toda la poblacioacuten
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136
Ademaacutes se recomienda capacitar a los docentes en el uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
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137
Simulacioacuten con el paquete CODAP para resolver
problemas estocaacutesticos
Greivin Ramiacuterez Arce
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica y Universidad de Costa Rica
gramirezitcraccr
Resumen Se pretende en el taller la simulacioacuten de problemas estocaacutesticos a traveacutes de la
herramienta Common Online Data Analysis Platform (CODAP) que es un paquete web
gratuito de libre acceso dinaacutemico con diversidad de elementos graacuteficas para la
representacioacuten de datos y de raacutepida curva de aprendizaje pues su nivel de programacioacuten es
baacutesico Se propone la simulacioacuten de cinco problemas de probabilidad con su respectiva
solucioacuten teoacuterica llegada de autobuses encuentro entre amigos torres de electricidad signos
del zodiaco y el banco abarcando temas como distribucioacuten binomial probabilidad
geomeacutetrica probabilidad de eventos conjuntos y complementos conteo y teoriacutea de colas
Palabras clave CODAP simulacioacuten probabilidad
1 Introduccioacuten
En el proceso repetitivo de seleccioacuten de muestras aleatorias se puede aproximar la
probabilidad de problemas basados en la frecuencia relativa del nuacutemero de eacutexitos obtenidos
en n experimentos La ley de los grandes nuacutemeros respalda estas aproximaciones y se puede
aplicar en temas como caacutelculo de probabilidad de eventos simples y compuestos ensayos
de Bernoulli distribucioacuten binomial probabilidad geomeacutetrica y probabilidad condicional
Se presenta a continuacioacuten una posible simulacioacuten a problemas probabiliacutesticos que facilitan
su comprensioacuten con respecto a la solucioacuten teoacuterica alejaacutendose inicialmente del formalismo
matemaacutetico Distintos investigadores a nivel mundial respaldan el uso de la tecnologiacutea
Fernaacutendez et al (2009) Biehler et al (2013) Tabak et al (2019) y a la vez se promueve
como una herramienta uacutetil de desarrollo de instruccioacuten en muchos curriacuteculos educativos
como el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (MEP) en Costa Rica la Secretariacutea de Educacioacuten
Puacuteblica (SEP) en Meacutexico el Ministerio de Educacioacuten y Formacioacuten Profesional (MEFP) en
Espantildea entre otros
La simulacioacuten en el paquete CODAP a traveacutes del proceso repetitivo de experimentos daraacute
una buena aproximacioacuten a la solucioacuten de problemas y a la vez permite la visualizacioacuten desde
el proceso constructivo de la distribucioacuten la obtencioacuten de datos la representacioacuten de ellos y
el caacutelculo final de la frecuencia relativa para la toma de decisiones
El disentildeo del paquete CODAP por el consorcio Concord fue hecho pensando en una
herramienta STEM (Science Technology Engineering and Mathematics) que permite el
acceso a datos cientiacuteficos reales a traveacutes de sus bases para explorar visualizar calcular y
entonces tomar decisiones
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Se puede acceder al paquete en la direccioacuten httpscodapconcordorg
Requerimientos del taller
Solo se requiere contar con internet pues CODAP se utiliza en liacutenea
2 Actividades
21 Simulacioacuten de autobuses
Imagine que estaacute esperando un autobuacutes en una terminal que estaacute muy saturada Uno de cada
cuatro autobuses que llegan en forma aleatoria le puede llevar a su destino iquestCuaacutel es la
posibilidad que entre los primeros cinco autobuses que arriban se encuentre al menos uno
que te lleve a tu destino
Seleccione la opcioacuten de Sampler en la barra de herramientas Plugins del software
Cree la distribucioacuten de buses seguacuten la hipoacutetesis del enunciado (uno de cada cuatro
autobuses le puede llevar a su destino Se toma 1 el bus me lleva 0 el bus no me lleva)
Asiacute
Figura 1
Creacioacuten de la distribucioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
a Por omisioacuten el programa toma como primer experimento tres muestras de tamantildeo cinco
con reemplazo Seleccione START para iniciar la animacioacuten
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Figura 2
Simulacioacuten del primer experimento
Nota Elaboracioacuten propia
En su caso iquesten los tres experimentos pudo ir a su destino
b Realice tres experimentos (equivale a 9 muestras de tamantildeo 5) iquestDe esas nueve muestras
en cuaacutentas ocasiones pudo ir a su destino
c Agregue un nuevo atributo en la tabla de muestras llamado Me lleva o no
Figura 3
Cuenta eacutexitos
Nota Elaboracioacuten propia
d Repita la cantidad de experimentos que desee y utilice la calculadora para contar el
nuacutemero de ocasiones del total de muestras en las que de cada cuatro buses que llegaron a
la estacioacuten pudo ir a su destino
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Figura 4
Probabilidad de eacutexito
Nota Elaboracioacuten propia
e Consulte la cantidad de eacutexitos que obtuvo el compantildeero (a) del lado y suacutemelo a la
cantidad de eacutexito que usted obtuvo Calcule nuevamente el nuacutemero de ocasiones del total
de muestras entre los dos en las que de cada cuatro buses que llegaron a la estacioacuten
pudieron ir a su destino
Solucioacuten teoacuterica
Sea 119883 el nuacutemero de buses que lo llevan al destino de los cinco que llegan de manera
aleatoria
119883~119861 (119899 = 5 119901 =1
4) donde su funcioacuten de probabilidad estaacute dada por
119891119883(119896) = 119862(119899 119896)119901119896119902119899minus119896 con 119896 = 012 hellip 5
119875(119883 ge 1) = sum 119862(5 119896) (1
4)
1198965
119896=1
(3
4)
5minus119896
=781
1024asymp 0762695
22 Encuentro entre amigos
Dos amigos han decidido encontrarse en un restaurante entre 8 y 9 de la noche Cada uno
de ellos entra al restaurante en forma aleatoria en cualquier minuto de ese periodo y esperan
16 minutos maacuteximo y luego se retiran iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que se encuentren
a Arrastre una tabla con las siguientes columnas
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Figura 5
Definicioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
b Asigne un tiempo aleatorio de llegada del primer amigo y del segundo amigo entre las 8
y las 9
Figura 6
Tiempo de llegada de los amigos
Nota Elaboracioacuten propia
c Obtenga la diferencia absoluta entre los tiempos de llegada de los dos amigos
d Defina si los amigos se encuentran o no seguacuten la diferencia de los tiempos de llegada
Figura 7
Diferencias en tiempos de llegada
Nota Elaboracioacuten propia
e Aumenta a 1000 el nuacutemero de llegadas de los amigos y calcula la probabilidad empiacuterica
de que los dos amigos se encuentren
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iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que no se encuentren
iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que se encuentren a la entrada del restaurante
Solucioacuten teoacuterica
23 Torres de Electricidad
Los pueblos A B C y D estaacuten enlazados por liacuteneas de transmisioacuten eleacutectrica entre A y B A
y C B y C y C y D La planta generadora estaacute en A (ver la Fig ) Durante una tormenta
severa la probabilidad que alguna liacutenea en particular se caiga por defecto del clima es 02 y
es independiente de cualquier liacutenea iquestCuaacutel es la probabilidad que el pueblo D tenga energiacutea
eleacutectrica despueacutes de la tormenta iquestQueacute es maacutes probable que haya energiacutea en el Pueblo D
despueacutes de una tormenta severa o que no haya
a Construya la tabla correspondiente y escribe los siguientes atributos LiacuteneaAB LiacuteneaAC
LiacuteneaBC LiacuteneaCD y PuebloD
b Asigne a cada atributo la foacutermula
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Figura 8
Definicioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
Donde 1 significa que la liacutenea funciona perfectamente mientras que 0 significa que hay un
defecto en la Liacutenea
Arrastre 1000 casos y analice algunos de los resultados
d Luego en el PuebloD tendraacute energiacutea eleacutectrica si se obtiene un 1 en caso contrario un 0 de
la siguiente forma
Figura 9
Electricidad en el pueblo D
Nota Elaboracioacuten propia
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Otras opciones
if(AB+BC+CD=31if(AC+CD=210))
if(lineaCDlineaAB=11if(lineaCDlineaABlineaBC=110))
if(LineaCD=00 if(LineaAC=1 1 if(LineaAB=1 and LineaBC=110 )))
Construya una graacutefica del nuacutemero de veces en las que hay electricidad en el pueblo D
Figura 10
Graacutefico de frecuencias del pueblo D
Nota Elaboracioacuten propia
iquestQueacute es maacutes probable que haya energiacutea en el Pueblo D despueacutes de una tormenta severa o
que no haya
Solucioacuten teoacuterica
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145
Por lo que despueacutes de una tormenta severa es maacutes probable que haya electricidad (p =
07424) en el pueblo D a que no haya (q = 02576)
24 Los signos del zodiaco
Problema 1
Estimar la probabilidad de que en un grupo de 5 personas al menos dos de ellas tengan el
mismo signo del Zodiaco (Hay 12 signos zodiacales y asumieacuteramos que cada signo es
igualmente probable para cualquier persona) iquestQueacute tan alta crees que es la probabilidad
a Seleccione la opcioacuten de Sampler en la barra de herramientas Plugins del software
b Cree la distribucioacuten de signos zodiacales Asiacute
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Figura 10
Creacioacuten de la distribucioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
c Por omisioacuten el programa toma como primer experimento tres muestras de tamantildeo cinco
con reemplazo Varieacute los paraacutemetros para que tome 100 muestras de tamantildeo 5 Seleccione
START para iniciar la animacioacuten
En su caso en la primera muestra iquestal menos dos de ellos tienen el mismo signo del
zodiaco
d Defina en cada una de las 100 muestras en cuaacuteles de ellas resulto al menos dos personas
con el mismo signo del zodiaco Asiacute
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Figura 11
Tienen mismo signo
Nota Elaboracioacuten propia
Se define la foacutermula en MismoSigno
if(count(value = Caacutencer) gt 1 1 0) + if(count(value = Capricorneo) gt 1 1 0) +
if(count(value = Aries) gt 1 1 0)+if(count(value = Tauro) gt 1 1 0) + if(count(value =
Geacutemenis) gt 1 1 0) + if(count(value = Acuario) gt 1 1 0)+if(count(value = Leo) gt 1
1 0) + if(count(value = Piscis) gt 1 1 0) + if(count(value = Virgo) gt 1 1
0)+if(count(value = Sagitario) gt 1 1 0) + if(count(value = Libra) gt 1 1 0) +
if(count(value = Escorpioacuten) gt 1 1 0)
e Determine la probabilidad de que en cada grupo de 5 personas al menos dos de ellas
tengan el mismo signo del Zodiaco
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Figura 12
Probabilidad de cada grupo tenga al menos dos personas con el mismo signo zodiacal
Nota Elaboracioacuten propia
Solucioacuten teoacuterica
Sean
X el evento de que al menos dos personas tienen el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
el evento de que ninguna persona tiene el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
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149
Problema 2
Ahora estamos interesados en estimar la probabilidad de que al menos una persona de un
grupo de cinco personas tenga el mismo signo zodiacal que tuacute
El proceso va a cambiar a partir del cuarto paso
a Defina en cada una de las 100 muestras en cuaacuteles de ellas resulto al menos una persona
que tiene el mismo signo zodiacal que tuacute (supongamos que eres Caacutencer) Asiacute
Figura 13
Tienen signo Caacutencer
Nota Elaboracioacuten propia
b Determine la probabilidad de que en cada grupo de 5 personas al menos una de ella
tenga signo Caacutencer
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Figura 12
Probabilidad de cada grupo tenga al menos una persona Caacutencer
Nota Elaboracioacuten propia
Solucioacuten teoacuterica
Sean
X el evento de que al menos dos personas tienen el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
el evento de que ninguna persona tiene el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
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25 El banco
Un banco de la ciudad soacutelo abre dos ventanillas para atender a sus clientes El nuacutemero de
clientes que llega al banco variacutea en forma entre 0 y 5 por minuto Los clientes forman una
liacutenea y la persona de adelante pasa a la primera ventanilla disponible En las ventanillas se
atiende una persona por minuto Disentildea una simulacioacuten y registra el nuacutemero de personas en
la liacutenea de espera al final de cada minuto Usa una tabla como la siguiente
Minuto Nuacutemero de clientes
que llegan
Nuacutemero de clientes
esperando en liacutenea
Tiempo de espera
para la uacuteltima
persona (minutos)
1 3 1 1
2 4 3 2
1 iquestCuaacutel es la longitud de la fila despueacutes de cinco minutos
2 iquestCuaacutel es el tiempo que una persona tiene que esperar si llegoacute en el minuto 10
3 iquestCuaacutentas veces el tiempo de espera se redujo a cero
4 iquestCuaacutel es el promedio de personas esperando sobre el periacuteodo de 20 minutos
5 Si tuacute fueras gerente de un banco iquestincrementariacuteas o disminuiriacuteas el nuacutemero de
ventanillas
a Construya en CODAP una tabla que contenga las siguientes columnas
Figura 13
Creacioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
En el minuto cero auacuten no han llegado clientes al banco
b Asignar la foacutermula caseindex a la columna Minuto
c Asignar un nuacutemero aleatorio entre cero y cinco a la columna NumClientesArriban en
cada minuto que transcurre Este nuacutemero seraacute la cantidad de personas que arriban al banco
por minuto Asiacute
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Figura 14
Personas que arriban al banco por minuto
Nota Elaboracioacuten propia
d Se contabilizan las personas que permanecen haciendo fila con la siguiente foacutermula
asignada a NumClientesenLinea
Figura 15
Personas hacen fila
Nota Elaboracioacuten propia
e Se calcula el tiempo de espera de la uacuteltima persona que estaacute haciendo fila asignando la
foacutermula
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153
Figura 16
Tiempo en la fila de la uacuteltima persona
Nota Elaboracioacuten propia
f Cree casos hasta el minuto 60 para determinar lo que pasa despueacutes de una hora
g Grafique y obtenga el promedio del Tiempoenespera en los 60 minutos
iquestSi tuacute fueras gerente de un banco iquestincrementariacuteas o disminuiriacuteas el nuacutemero de ventanillas
Referencias bibliograacuteficas
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154
Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano
Guillermo Alfonso Brenes Tencio
Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica Costa Rica
guillermobrenestenciomepgocr
Resumen En el presente trabajo analizamos los signos de poder presentes en una seleccioacuten de
retratos elaborados en Hispanoameacuterica colonial durante los siglos XVII y XVIII
Palabras clave Retratos Iconografiacutea del poder Hispanoameacuterica Colonial
1 iquestQueacute se entiende por retrato
El retrato se puede entender como la expresioacuten visual perceptiva de un sujeto (Borja 2011
Burke 2005) Ante una imagen se estaacute en presencia de una percepcioacuten El geacutenero del retrato
forma parte de la cultura visual de las sociedades americanas durante la dominacioacuten ejercida
por la Monarquiacutea espantildeola durante casi trescientos antildeos (Moya 2001 Peacuterez y Quezada
2009) iquestQuieacutenes se retrataban Los funcionarios reales miembros de la alta jerarquiacutea
eclesiaacutestica e individuos (hombres y mujeres) de las maacutes distinguidas familias de la elite
hispanoamericana
2 iquestCuaacuteles son algunas caracteriacutesticas de los retratos coloniales
Los retratos reproducen los rasgos fiacutesicos y la posicioacuten social de los personajes
Los retratos se caracterizan por la riqueza del colorido y la minuciosidad en los
detalles
Estaacuten impregnados de un profundo simbolismo
Los retratos manifiestan no solo la identidad individual y colectiva sino tambieacuten las
cualidades fiacutesicas morales y sociales
Los retratados eran muy conscientes de la muerte y la pintura era una forma de
trascender
Se colocaban en las salas de las residencias virreinales los palacios arzobispales y los
conventos femeninos
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3 Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano
31 Retratos de virreyes
El virrey era el representante del Rey en sus dominios americanos Su lsquorsquoalter egorsquorsquo (Museo
Colonial de Bogotaacute 2020) En los retratos pictoacutericos el virrey como es el caso por ejemplo
del cuadro que representa a don Joseacute Soliacutes Folch de Cardona (1716 ndash 1770) suele aparecer
con la mirada hacia el frente con la espalda erguida y una mano en la cintura sentildeal de la
dignidad de su cargo asiacute como de su poderiacuteo poliacutetico y socioeconoacutemico Uno de los siacutembolos
del poder del virrey era su bastoacuten de mando Otros signos de poder son el tricornio o
sombrero de tres puntas el cortinaje carmesiacute y el escudo familiar que representaba el noble
linaje del retratado de origen madrilentildeo (Figura 1)
Figura 1
Joaquiacuten Gutieacuterrez Retrato de D Joseacute Soliacutes y Folch de Cardona virrey de Nueva Granada
Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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32 Retratos de damas de la elite virreinal
Un caso es el retrato de la noble dama Mariacutea Tadea Gonzaacutelez Manrique del Frago y Bonis
(1736 ndash 1780) quien estaacute vestida con un riquiacutesimo traje de tela estampado realizado con tela
china La marquesa luce una amplia diversidad de alhajas como signo de su elevado nivel
social y econoacutemico (Museo Colonial de Bogotaacute 2020) Dontildea Mariacutea Tadea aparece retrata
realiacutesticamente pero con rasgos faciales simplificados y una piel que luce impecablemente
tersa En el retrato se evidencian signos de estatus escudo de armas un cortinaje carmesiacute y
el uso de la cartela (datos biograacuteficos de la marquesa de San Jorge de Bogotaacute) (Figura 2)
Figura 2
Joaquiacuten Gutieacuterrez Retrato de dontildea Mariacutea Tadea Gonzaacutelez Manrique del Frago y Bonis
marquesa de San Jorge Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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33 Retratos de miembros de la alta jerarquiacutea eclesiaacutestica
El arzobispo de Nueva Espantildea Don Manuel Joseacute Rubio y Salinas (1703 ndash 1765) estaacute
representado de forma realista y de cuerpo entero (Figura 3) Estaacute vestido con su suntuoso
traje eclesiaacutestico y luce una cruz pectoral Aparece sentado sobre un magniacutefico silloacuten de
madera moldurada La mitra que descansa sobre una mesa denota su maacutexima autoridad
religiosa Aparecen signos de poder como el escudo familiar el cortinaje y la cartela La
imagen de Cristo crucificado es un signo de que el arzobispo era un hombre de profunda fe
y de una vida religiosa presuntamente ejemplar
Figura 3
Miguel Cabrera Retrato del arzobispo de Meacutexico Dr Manuel Joseacute Rubio y Salinas Oacuteleo
sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo de Bellas Artes de Boston
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34 Retratos de monjas coronadas
Los retratos de las religiosas se realizaban para conmemorar dos momentos fundamentales
de la vida espiritual la profesioacuten de fe (nupcias miacutesticas con Jesucristo) y la muerte (Lavrin
2016 Montero 2002) En el caso del retrato de Sor Matiana Francisca del Sentildeor San Joseacute
(siglo XVIII) la religiosa yace en su lecho ricamente ataviada su cabeza reposa en un
almohadoacuten blanco Cintildee su cabeza una exuberante corona de flores siacutembolo de la vida y la
muerte En sus manos entrelazadas sobre el pecho lleva un ramo de azucenas como siacutembolo
de pureza de la fenecida (Figura 4)
Figura 4
Retrato de Sor Matiana Francisca del Sentildeor San Joseacute (vicaria) Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Anoacutenimo
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4 Algunas historias por detraacutes de los retratoshellip
41 Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz
La joven dama Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz (1715 ndash 1767) dotada de una gran
inteligencia y sensibilidad perteneciacutea a una acaudalada familia de la eacutelite del Virreinato de
la Nueva Espantildea (Lavrin 2016) Estaacute retratada de cuerpo entero y exhibe un lujoso vestido
bordeado en hilos de plata y seda (Figura 5) Porta diversas joyas y un abanico cerrado en
una de sus manos El cortinaje (posiblemente de seda o terciopelo) sentildeala que la escena
ocurre en un espacio interior En un costado hay un lujoso mueble labrado que es un reloj
(idea de la medicioacuten o el paso del tiempo)
Figura 5
Retrato de Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII Museo de
Soumaya
Nota Anoacutenimo
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42 Sor Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz
Mariacutea Ignacia ingresa a una orden religiosa (Congregacioacuten de Mariacutea) e invierte su inmensa
fortuna en el fomento de la educacioacuten de nintildeas y joacutevenes novohispanas (funda un colegio ndash
convento) (Lavrin 2016) Sor Mariacutea Ignacia aparece vestida con el austero haacutebito religioso
y en una de sus manos porta un libro (una de sus aficiones era la lectura) y un escapulario
siacutembolo de la vida asceacutetica Su postura es de tres cuartos (Figura 6)
Figura 6
Andreacutes de Islas Retrato de Sor Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz Oacuteleo sobre tela Siglo
XVIII
Nota Convento de La Ensentildeanza de Meacutexico
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43 Don Antonio Caballero y Goacutengora
Don Antonio Pascual de San Pedro de Alcaacutentara Caballero y Goacutengora (1723 ndash 1796) fue
flamante virrey de la Nueva Granada y ademaacutes se desempentildeoacute como arzobispo de Bogotaacute
(Museo Colonial de Bogotaacute 2020) Aparece retratado con sus ropas eclesiaacutesticas y una
medalla de oro en el pecho En una de sus manos lleva el bastoacuten episcopal con cordoacuten y
bellotas En un costado aparece una mesa sobre la cual hay tres mitras que simbolizan su
poder religioso y las veces en que se desempentildeoacute como obispo En la parte superior izquierda
del retrato aparece un cortinaje carmesiacute y a la derecha el escudo familiar (Figura 7) Signos
inequiacutevocos de poder y prestigio que capitalizaba don Antonio Caballero y Goacutengora
Figura 7
Pablo Antonio Garciacutea del Campo Retrato de D Antonio Pascual de San Pedro de Alcaacutentara
Caballero y Goacutengora Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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44 Antonia de Pastrana y Cabrera Pretel
La nintildea retratada estaacute vestida con el haacutebito dominico (Gutieacuterrez 1995) y lleva sobre su cabeza
una corona de rosas blancas (signo de pureza e inocencia) Antonia luce aretes collares de
perlas y una cruz de oro con esmeraldas En el costado derecho se observa una mesa sobre la
que descansa una imagen del Nintildeo Jesuacutes El gesto de Antonia de Pastrana y Cabrera Pretel
es adusto y aparece retratada de cuerpo entero lo que evidencia que proveniacutea de una hija de
notable familia neogranadina (Figura 8)
Figura 8
Retrato de la nintildea Antonia Pastrana y Cabrera Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII Museo Santa
Clara de Bogotaacute
Nota Anoacutenimo
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5 Conclusiones
1 En los retratos de los virreyes se pueden observar signos de distincioacuten y de poder en el
uso de ricas vestimentas que denotan prestancia el uso de cortinajes que entronizan la
figura pintada sombreros escudos de familia y el bastoacuten de mando (siacutembolo de autoridad
poliacutetica y militar)
2 Los retratos de damas de la alta sociedad virreinal evidencian la influencia del estilo
cortesano franceacutes en sus elaborados peinados delicados vestidos confeccionados en sateacuten y
raso y las opulentas joyas de oro y piedras preciosas
3 Los retratos de personajes eclesiaacutesticos exaltan sus virtudes cristianas y labor
evangeacutelica y estatus social a traveacutes de signos como ropajes libros efigies sacras y otros
4 En los retratos de monjas muertas y coronadas se entremezclan los elementos simboacutelicos
y los significados religiosos (matrimonio miacutestico con Cristo y oacutebito)
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Tareas y estrategias metodoloacutegicas para plantear
problemas de modelizacioacuten matemaacutetica
Karen Porras Lizano
Universidad Nacional Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica Costa Rica
Karenporraslizanounaaccr
Gilberto Chavarriacutea Arroyo
Universidad Nacional Costa Rica
gilbertochavarriacuteaarroyounaaccr
Resumen La actividad de inventar o plantear problemas matemaacuteticos forma parte integral
del proceso de modelizacioacuten matemaacutetica y es considerada por algunos investigadores de
gran importancia dentro de la experiencia matemaacutetica de los estudiantes No obstante sigue
siendo una praacutectica poco explorada en las clases de matemaacutetica y que presenta dificultades
para los profesores ya que se requiere crear tareas y utilizar estrategias metodoloacutegicas
adecuadas seguacuten este enfoque Por tanto en este trabajo brindamos una propuesta de tarea
donde se estimula el planteamiento de un problema de modelizacioacuten matemaacutetica puede
servir como ejemplo para ser llevada al aula Al mismo tiempo en concordancia con lo
propuesto en los Programas de Estudio de Matemaacuteticas del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
permite acercar las matemaacuteticas a los estudiantes motivarlos y potenciar capacidades
cognitivas superiores
Palabras clave Planteamiento de problemas modelizacioacuten matemaacutetica educacioacuten
secundaria
1 Introduccioacuten
En una sociedad globalizada y ante un continuo avance de la tecnologiacutea de la informacioacuten y
comunicacioacuten las generaciones de joacutevenes enfrentan impredecibles cambios que deben
aprender a afrontar En consecuencia los sistemas educativos en todo el mundo deben ir de
la mano con este proceso vertiginoso de prioridades cambiantes donde las estrategias de
ensentildeanza y aprendizaje estaacuten influenciadas por este contexto (Singer et al 2015) Como
praacutectica de aprendizaje y pensamiento el planteamiento de problemas puede desempentildear un
papel fundamental en este proceso proporcionando oportunidades para construir significados
de forma activa al mismo tiempo que los profesores y estudiantes pueden crear conocimiento
juntos en una variedad de contextos y generar y abordar preguntas criacuteticas sobre el
conocimiento que se construye
Por otra parte desde la antiguumledad la modelizacioacuten matemaacutetica ha sido de gran importancia
por generar beneficios en la vida del ser humano permitiendo observar la conexioacuten entre la
matemaacutetica y la realidad cotidiana de esta (Castro y Castro 1997 Lombardo y Jacobini
2008) En la matemaacutetica escolar la modelizacioacuten involucra entornos reales fiacutesicos sociales
y culturales generando espacios de reflexioacuten y anaacutelisis En ellos se fomenta la construccioacuten
y comprensioacuten de los conceptos por parte del estudiante incentivando al mismo tiempo
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habilidades de gran potencial como la imaginacioacuten la creatividad o la invencioacuten (English y
Sriraman 2010 Lesh y English 2005 Loacutepez Molina y Castro 2017)
En este trabajo consideramos que el planteamiento de problemas forma parte integral del
proceso de modelizacioacuten matemaacutetica desarrollaacutendose dentro de sus fases (Hansen y Hana
2015) Es decir el problema y su construccioacuten constituye parte fundamental del proceso de
modelizacioacuten dado que la creacioacuten de un modelo matemaacutetico requiere de un mecanismo de
ajuste y reformulacioacuten continua del problema principal Ademaacutes durante el proceso de
modelizacioacuten se pueden formular conjeturas realizar un seguimiento y revisioacuten de las
preguntas del problema al mismo tiempo que se adquiere una posicioacuten criacutetica hacia el
modelo matemaacutetico y sus resultados (Hansen y Hana 2015)
2 Planteamiento de problemas en el proceso de modelizacioacuten matemaacutetica
En Costa Rica la ensentildeanza de la modelizacioacuten matemaacutetica se estaacute promoviendo desde el
antildeo 2012 con la implementacioacuten del plan de estudios de matemaacutetica desde los niveles de
educacioacuten primaria hasta los niveles de educacioacuten secundaria por parte del Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica (2012) En este documento una de las modificaciones fue la inclusioacuten de
la modelizacioacuten matemaacutetica como parte fundamental del curriacuteculo relacionando este proceso
con el planteamiento de problemas Asimismo la creacioacuten de problemas no es un mecanismo
nuevo se viene desarrollando desde hace varias deacutecadas atraacutes con diversas
conceptualizaciones formulacioacuten (Kilpatrick 1987) generacioacuten (Silver y Cai 1994)
planteamiento (Brown y Walter 1990) e invencioacuten (Castro 2008)
Ademaacutes en la investigacioacuten actual de la modelizacioacuten matemaacutetica existen muchas
perspectivas teoacutericas que describen este proceso pero sin consenso alguno Sin embargo
coinciden en que su objetivo principal es permitir la traduccioacuten de la realidad a una estructura
matemaacutetica (Rico 2009) En particular Galbraith y Stillman (2006) plantean cinco
transiciones en las cuales se construye el conocimiento matemaacutetico durante el proceso de
modelizacioacuten matemaacutetica (a) De la situacioacuten desordenada del mundo real a la declaracioacuten
del problema del mundo real (b) De la declaracioacuten de problemas del mundo real al modelo
matemaacutetico (c) Del modelo matemaacutetico a la solucioacuten matemaacutetica (d) De la solucioacuten
matemaacutetica al significado de la solucioacuten en el mundo real y (e) Desde el significado de la
solucioacuten en el mundo real hasta la revisioacuten del modelo o la solucioacuten de aceptacioacuten
En la primera transicioacuten de la situacioacuten desordenada del mundo real a la declaracioacuten del
problema del mundo real es donde se realiza el proceso de planteamiento del problema
creando los primeros borradores de este tomado en cuenta elementos de gran importancia
como lo es el contexto condiciones relevantes y los elementos correctos de las entidades
estrateacutegicas (Hansen y Hana 2015) Es decir es el proceso donde el estudiante construye su
propio problema proporcionando un contexto real y matemaacutetico a la vez con un objetivo o
interrogante que seraacute contestada durante el proceso de resolucioacuten (Aylloacuten 2012)
A su vez la invencioacuten de problemas estaacute iacutentimamente relacionada con la resolucioacuten de
problemas En este proceso el estudiante ademaacutes de inventar el problema estructura y
construye la solucioacuten del problema elabora un plan estrateacutegico de resolucioacuten formula las
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estrategias y representaciones del objeto matemaacutetico que utilizaraacute Involucrando los
conocimientos matemaacuteticos que posee intereses y experiencias personales es decir el
problema se reviste de significado para el estudiante por ser parte de eacutel y proporcionado a su
vez motivacioacuten en su aprendizaje Tambieacuten ldquocuando un individuo inventa un problema ha
alcanzado niveles de reflexioacuten complejos por tanto ha llegado a una etapa de razonamiento
que hace posible la construccioacuten del conocimiento matemaacuteticordquo (Aylloacuten 2012 p 34) lo que
reviste de importancia el trabajar en el aula el planteamiento de problemas
Silver y Cai (1996) mencionan una serie de beneficios en el aprendizaje del estudiante al
ensentildear por medio del planteamiento de problemas entre ellos destacamos los siguientes
incentiva la participacioacuten activa del estudiante en su aprendizaje estimula la creatividad
imaginacioacuten y curiosidad los estudiantes comprenden y analizan mejor los conceptos y los
procesos matemaacuteticos propicia una mejor actitud y disposicioacuten hacia la matemaacutetica
motiva que los estudiantes sean mejores resolutores de problemas potencia la autonomiacutea en
el aprendizaje de los estudiantes prepara a los estudiantes para su desempentildeo personal y
profesional futuro fuera de las aulas reduce la ansiedad y el miedo por las matemaacuteticas
entre otros
3 El papel del profesor en la invencioacuten de problemas
La seleccioacuten y aplicacioacuten de tareas adecuadas por parte del profesor determinan el desarrollo
de habilidades necesarias que requiere un buen resolutor En este sentido proponemos el
potenciar la aplicacioacuten del proceso de invencioacuten de problemas a traveacutes de abundantes y
variadas oportunidades relacionado con el proceso de resolucioacuten de problema con
modelizacioacuten matemaacutetica Al mismo tiempo se promueve que el estudiante construya
habilidades como creatividad el anaacutelisis la criticidad perseverancia entre otros
Asimismo autores como Aylloacuten (2012) realizan una clasificacioacuten de tipos de tareas que se
pueden trabajar en el proceso de invencioacuten de problemas (a) situaciones libres (b)
situaciones semiestructuradas y (c) situaciones estructuradas En el primer tipo de tarea los
estudiantes no tienen restriccioacuten para formular sus problemas En el segundo tipo los
estudiantes inventan sus problemas semejantes a otros antes trabajados o que respondan a
cierta informacioacuten o situacioacuten proporcionada El tercer tipo los estudiantes reformulan un
problema o se cambia alguna condicioacuten de este lo cual se puede dar antes durante o despueacutes
de la solucioacuten Tambieacuten se puede dividir el problema inicial en problemas maacutes sencillos
Con respecto a esto Aylloacuten (2012) propone una serie de estrategias que puede utilizar el
profesor para realizar el planteamiento de problemas en el aula de matemaacutetica por ejemplo
elegir una situacioacuten significativa para el estudiante que genere debate entre los estudiantes
y el docente Tambieacuten estimular el proceso de investigacioacuten por parte de los estudiantes antes
de formular el problema ademaacutes propiciar un espacio en confianza para la formulacioacuten de
preguntas o conjeturas Asimismo se puede utilizar analogiacuteas por ejemplo problemas
semejantes Utilizar la estrategia ldquoiquestQueacute pasariacutea siacuterdquo para cambiar la exigencia o ingresar
pequentildeas variantes del problema Al mismo tiempo la idea de estas estrategias es generar
motivacioacuten de los estudiantes y propiciar el desarrollo de las habilidades matemaacuteticas
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En resumen para trabajar el planteamiento de problemas en el aula de matemaacutetica el
profesor debe tomar en cuenta los siguientes aspectos para crear sus propias tareas (a) tipo
de tarea (b) plan de estudios y (c) caracteriacutesticas propias del estudiante En el primer aspecto
recomendamos considerar el tipo de tarea que se desea plantear es decir una situacioacuten libre
o semiestructurada o estructurada Tambieacuten las formas de presentar o comunicar la
informacioacuten las condiciones que debe tener el problema inventado y por uacuteltimo si se
requiere de investigacioacuten previa por parte del docente y los estudiantes
El segundo aspecto es el plan de estudios aquiacute debemos considerar el nivel educativo del
estudiante la habilidad matemaacutetica y el conocimiento matemaacutetico por construir Ademaacutes
que el docente debe ser conocedor de los tipos de representaciones matemaacuteticas del objeto
matemaacutetico que se quiere trabajar con la actividad de planteamiento de problemas
Por uacuteltimo recomendamos considerar las caracteriacutesticas propias del estudiante por ejemplo
las adecuaciones Los conocimientos previos contexto y recursos que posee el estudiante
Ademaacutes el docente debe tomar en cuenta los tipos de errores matemaacuteticos que sus estudiantes
pueden realizar durante la tarea
4 Un ejemplo de tarea de planteamiento de problemas
Con la finalidad de ilustrar las recomendaciones propuestas en el apartado anterior hemos
creado un ejemplo de tarea semiestructurada donde se puede trabajar el proceso de
planteamiento de un problema matemaacutetico la cual la exponemos a continuacioacuten
Figura 1
Ejemplo de actividad semiestructurada para el planteamiento de problemas
Se propone una actividad para estudiantes del nivel de sexto antildeo de educacioacuten primaria cuya
habilidad a trabajar seriacutea el ldquoplantear y resolver problemas aplicando proporcionalidad
directardquo y desarrollando conocimientos matemaacuteticos como razoacuten proporcioacuten directa
porcentaje y regla de tres Sin embargo la actividad tambieacuten se puede adaptar al nivel de
seacutetimo antildeo de educacioacuten secundaria cuya habilidad a trabajar es ldquoanalizar relaciones de
proporcionalidad directa e inversa de forma verbal tabular graacutefica y algebraicardquo y cuyos
conocimientos matemaacuteticos a desarrollar seriacutean los tipos de representaciones del tipo verbal
tabular graacutefica y algebraica
Suponga que tienes una empresa con las caracteriacutesticas que quieras
la cual produce una serie de productos que puedes comercializar Con
los precios de estos productos construye un problema de tal manera
que involucre a la vez el IVA
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Dicha actividad requiere de una investigacioacuten previa por parte del profesor dado que se
necesita tener conocimientos con respecto al Impuesto de valor agregado (IVA) Ademaacutes
fue revisada y validada por los dos investigadores y por una maestra del nivel de primaria
Posteriormente se realizoacute una prueba piloto con un estudiante del nivel de sexto antildeo de
educacioacuten privada Sin embargo este tipo de actividad se puede llevar a cabo en educacioacuten
puacuteblica En la Figura 2 se muestra el resultado de la invencioacuten del estudiante que participoacute
en la prueba piloto
Figura 2
Creacioacuten de un menuacute de cafeacute como simulacioacuten de una empresa
En la figura anterior se muestra como el estudiante fue capaz de crear un menuacute de cafeacute para
simular su propia empresa Para esto previamente el estudiante realizoacute una indagacioacuten del
tipo de empresa que queriacutea inventar ademaacutes de los productos y precios sin el IVA que queriacutea
comercializar En esta actividad se involucraron toacutepicos de Estudios Sociales tales como
impuesto directos e indirectos los tipos de productos que son grabados y su respectivo
porcentaje de impuesto logrando que la actividad sea interdisciplinaria Asimismo se puede
involucrar otras materias del nivel de primaria como lo son los idiomas espantildeol o ingleacutes
como se observa en la Figura 2 Luego realizoacute la creacioacuten de su propio problema imaginando
una situacioacuten que se podriacutea dar en la vida real con su empresa En la siguiente figura se
expone la invencioacuten del estudiante
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Figura 3
Ejemplo de problema inventado por estudiante con su propia empresa
En cuanto al proceso de modelizacioacuten aplicado el estudiante relacionado con el
planteamiento del problema se pudo observar que aplicoacute las cinco transiciones propuestas
por Galbraith y Stillman (2006) Es decir en primer lugar comienza con una situacioacuten
desordenada el crear la empresa y proponer los productos que desea comercializar ordena y
organiza la informacioacuten concibiendo el problema y al mismo tiempo formula un plan
estrateacutegico para obtener la solucioacuten En el problema se visualiza los personajes es una familia
y plantea una situacioacuten cotidiana que se puede dar en la vida real si la empresa fuera
verdadera
En la segunda transicioacuten el estudiante organiza la informacioacuten de tal manera que logra
generar un modelo matemaacutetico esto lo observamos en la figura 3 en el ordenamiento inicial
de los precios que utilizara posteriormente en una operacioacuten baacutesica aritmeacutetica Como tercera
transicioacuten se obtiene que el estudiante elabora la solucioacuten matemaacutetica para ello suma todos
precios para obtener la cantidad total que se le debe cobrar a la familia sin incluir el IVA
utilizando para esto un tipo de representacioacuten simboacutelico numeacuterico Posteriormente utiliza la
regla de tres por medio de una representacioacuten tabular para calcular el 13 del IVA por ser
un servicio y realiza el caacutelculo utilizando nuevamente el sistema de representacioacuten simboacutelico
numeacuterico El monto que obtiene por 13 es adicionado al resultado de la suma de los precios
del primer paso Luego se observa que brinda una respuesta a la luz de las condiciones del
problema dotando de significado de la solucioacuten en el mundo real Por uacuteltimo realiza una
revisioacuten de todos los procesos matemaacuteticos realizados para obtener y aceptar la solucioacuten final
del problema
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Por otra parte al ser la empresa de la propia autoriacutea del estudiante se evidencia sus intereacutes y
experiencias personales por lo que el problema representa para este una situacioacuten
significativa Ademaacutes en aula puede generar debate entre los mismos estudiantes y el
profesor utilizando la estrategia ldquoiquestQueacute pasariacutea siacuterdquo para cambiar la cantidad de integrantes
de la familia cambiar los productos guiar al estudiante en el pensamiento de que otros
impuestos se involucran la situacioacuten entre otras variantes
5 Conclusiones
El planteamiento de problemas como herramienta pedagoacutegica y como parte integral de la
modelizacioacuten matemaacutetica ha tomado auge desde finales del siglo XX El reto de los docentes
en nuestros diacuteas consiste en conocer la realidad de los estudiantes y aprovechar los recursos
del entorno para proponer tareas que les permitan a sus alumnos inventar problemas
matemaacuteticos Las estrategias y la tarea propuesta que se proponen en este trabajo constituyen
un esbozoacute de algunas diferentes formas de presentar y trabajar situaciones cotidianas que
ofrece oportunidades y desafiacuteos para la aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos relacionado con
el planteamiento de problemas
Esta aacuterea de investigacioacuten requiere maacutes estudios que permitan profundizar sobre las bondades
y retos de implementar la invencioacuten de problemas en el aula Con todo se vislumbran algunas
oportunidades de oro en la combinacioacuten de planteamiento de problemas y modelado
matemaacutetico en contextos escolares
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Iacutendice de contenidos
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Creacioacuten de animaciones para la visualizacioacuten de la geometriacutea en tercera dimensioacuten usando el
software GeoGebra (XII FIMAT) 9
Joseacute Pablo Calderoacuten Gairaud y Steven Gabriel Saacutenchez Ramiacuterez
Efectividad de la cartografiacutea participativa en la ensentildeanza de la Gestioacuten Integral de Riesgo de
Desastres Un ejemplo de aplicacioacuten en el centro educativo Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
(XXI CONCITES) 22
German Alvarado Luna y Neyfren Salazar Aguilar
El contexto en el aprendizaje de las ciencias iquestde quieacuten y para queacute (XXI CONCITES) 30
Antonio Alejandro Lorca Mariacuten y Diego Armando Retana Alvarado
El uso del Meme como recurso pedagoacutegico y evaluativo (XXII CONCITES) 38
Hairo Zuacutentildeiga-Alvarado
Estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de la quiacutemica (XXI CONCITES) 45
Carla Goacutemez Quiroacutes
Elaboracioacuten de iacutetems en Geometriacutea y GeoGebra como herramienta de apoyo en la construccioacuten
de las figuras (XII FIMAT) 53
Estiacutebaliz Rojas Quesada y Eric Padilla Mora
Etnomodelacioacuten La Modelacioacuten en la Cultura (XXII CONCITES) 63
Daniel Clark Orey y Milton Rosa
Herramientas 20 ldquoAlgunas opciones para sumar a nuestras clasesrdquo (XXI CONCITES) 74
Carlos L Chanto Espinoza y Marlene Duraacuten Loacutepez
Las direcciones a la tica como un recurso para ensentildear matemaacuteticas (XII FIMAT) 81
Marcela Garciacutea Jesennia Chavarriacutea Mariacutea Elena Gavarrete y Margot Martiacutenez
Homotecias con GeoGebra (XII FIMAT) 88
Grethel Ramiacuterez Goacutemez
Non Charismatic Species Implicaciones didaacutecticas y formacioacuten del profesorado (XXII
CONCITES) 94
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo y Juan Felipe Herrera Polaniacutea
Polinomios generadores de nuacutemeros primos (XII FIMAT) 104
Ronald Cordero Meacutendez
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
4
Propuesta metodoloacutegica para el aprendizaje de Sucesiones en la modalidad de Educacioacuten
Abierta (XII FIMAT) 117
Charlene Loacutepez Quesada Luis Fernando Mejiacuteas Molina y Jennifer Tatiana Quesada
Retos de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico y uno privado (XII FIMAT) 128
Jennifer Aragoacuten Monge y Paulina Coto Mata
Simulacioacuten con el paquete CODAP para resolver problemas estocaacutesticos (XXII CONCITES)
137
Greivin Ramiacuterez Arce
Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano (XXII CONCITES) 154
Guillermo Alfonso Brenes Tencio
Tareas y estrategias metodoloacutegicas para plantear problemas de modelizacioacuten matemaacutetica
(XII FIMAT) 164
Karen Porras Lizano y Gilberto Chavarriacutea Arroyo
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
5
Presentacioacuten
En el 2020 organizamos el XII FIMAT Festival Internacional de Matemaacuteticas y el XXII CONCITES
Congreso Nacional de Ciencia Tecnologiacutea y Sociedad con gran participacioacuten nacional e internacional
En consideracioacuten a las restricciones del periacuteodo y la necesidad de actualizacioacuten de los docentes se
unieron los dos grandes programas en un evento virtual que se llevoacute a cabo del 13 al 17 de octubre 2020
El evento se organizoacute en bloques vespertinos de martes a viernes y la mantildeana del saacutebado
El congreso contoacute con una declaracioacuten de intereacutes educativo por el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de
Costa Rica
Para desarrollar el programa se contoacute con un gran comiteacute organizador interinstitucional que unioacute
esfuerzos
El comiteacute organizador reunioacute 15 entidades puacuteblicas y privadas
Se conformoacute un equipo de 14 moderadores voluntarios de estudiantes colegiales (Blue Valley) y
universitarios (TEC)
Instituciones coorganizadoras del XII FIMAT y XXII CONCITES 2020
Fundacioacuten CIENTEC Blue Valley School SINAC Ministerio de Ambiente y Energiacutea UCR-Escuela de
Formacioacuten docente y Educacioacuten matemaacutetica Universidad de Costa Rica UNA- Sede Regional Brunca
Sede Regional Chorotega y Escuela de Matemaacutetica de la Universidad Nacional TEC- Escuela de
Ciencias Naturales y Exactas (San Carlos) la Escuela de Matemaacutetica y Escuela de Fiacutesica del Instituto
Tecnoloacutegico de Costa Rica UNED- Escuela de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Estatal a
Distancia UTN- Universidad Teacutecnica Nacional Academia Nacional de Ciencias Fundacioacuten Omar
Dengo FOD Colegio de Licenciados y Profesores COLYPRO Asociacioacuten Nacional de Educadores
ANDE Ecology Project International EPI ASOMED y un comiteacute internacional
Comiteacute cientiacutefico FIMAT
Lic Manuel Murillo Tsijli ASOMED
Lic Carlos Monge Madriz TEC
Maacutester Anabelle Castro Castro ASOMED
Comiteacute cientiacutefico CONCITES
Carlos L Chanto Espinoza PhD UNA
MSc Luz Mariacutea Moya CIENTEC
Diego Retana Alvarado PhD Facultad de Educacioacuten UCR
M Ed Oscar Barahona Aguilar Caacutetedra Ensentildeanza de la Ciencia UNED
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6
Patrocinaron
Componentes Intel fue el patrocinador oficial
Copatrocinaron Casio UISIL Learning Interactive y COLYPRO
Alcances
Asistieron 325 participantes
Participaron representantes de 11 paiacuteses Argentina Brasil Chile Colombia Costa Rica Espantildea
Estados Unidos de Ameacuterica Guatemala Meacutexico Peruacute y Panamaacute
108 ponentes respondieron a la convocatoria
Se realizaron 2 actividades de extensioacuten que llegaron a otras 103 personas
Programa
Reunioacute 107 presentaciones en diferentes formatos (conferencias talleres mesas redondas y
conversatorio) impartidas en 5 diacuteas y grabadas El programa estaacute disponible en
httpswwwcientecorcrsitesdefaultfilesarticulosprogramaconcites20hpdf
Ponentes internacionales
Barry D Bruce PhD Sustainable Energy amp EducationResearch Center Microbiology amp
Chemical amp Biomolecular Engineering University of Tennessee at Knoxville EEUU
Daniel Clark Orey PhD Professor Departamento de Educaccedilatildeo Matemaacutetica Universidade
Federal de Ouro Preto Brasil
Eduardo Saacuteenz de Cabezoacuten Ph D Departamento de Matemaacuteticas y Computacioacuten Universidad
de La Rioja Espantildea
Estrella Burgos Directora Revista iquestCoacutemo Ves Universidad Nacional Autoacutenoma de Meacutexico
Lori Lambertson especialista del Teacher Institute Exploratorium San Francisco EEUU
Martiacuten Bonfil Olivera Divulgador de la ciencia y autor Direccioacuten General de Divulgacioacuten de la
Ciencia UNAM Meacutexico
Milton Rosa PhD Centro de Educaccedilatildeo Aberta e a Distacircncia Universidade Federal de Ouro Preto
Brasil
Modesto Tamez especialista del Teacher Institute Exploratorium San Francisco EEUU
Paloma Zubieta Loacutepez Comunicadora Cientiacutefica del Instituto de Matemaacuteticas de la UNAM
coordinadora del Festival Matemaacutetico UNAM Meacutexico
Pablo Flores Martiacutenez Ph Didaacutectica de la Matemaacutetica Universidad de Granada Espantildea
Sergio de Reacutegules Editor de la Revista iquestCoacutemo Ves de la UNAM Meacutexico
Veroacutenica Albanese Dpto Didaacutectica de la Matemaacutetica Universidad de Granada Espantildea
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7
Mesas Redondas y Conversatorios
Rodrigo Cerqueira do Nascimento Borba Universidade do Estado de Minas Gerais Brasil
Radu Bogdan Toma Universidad de Burgos Espantildea
Nancy Fernaacutendez Marchesi Universidad Nacional de Tierra del Fuego Argentina
Marisol Lopera Peacuterez Universidad de Antioquia Colombia
Ceacutesar Leonel Montenegro Peacuterez Universidad de San Carlos Guatemala
Linda Arelis Silva Arias Universidad de Talca Chile
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo Universidad Surcolombiana Colombia
Francisco Mateo Ramiacuterez Universidad Internacional de La Rioja Espantildea
Jairo Robles Pintildeeros Universidad Federal de Bahiacutea Brasil
Carolina Gonzaacutelez Velaacutezquez Universidad de Antioquia Colombia
Roberto Gonzaacutelez Munizaga Jefe del Departamento de Educacioacuten Ambiental Ministerio del
Medio Ambiente Chile
Aacutelbum de fotos
Una coleccioacuten de fotos documenta el evento virtual
httpswwwflickrcomphotoscientecalbums72157716523575396
Edicioacuten y publicacioacuten de videos
Como resultado de la modalidad a distancia se grabaron todas las sesiones por lo que una subcomisioacuten
del comiteacute organizador ha estado trabajando en la editacioacuten y publicacioacuten de las ponencias El propoacutesito
es conformar una gran biblioteca de recursos de acceso libre de este congreso doble que iraacute siendo
publicado en www youtubecomcientec
Nosotros iremos trabajando en las ponencias y compartieacutendolas en redes sociales de manera paulatina
en unos 9 meses antes de iniciar con el siguiente congreso -)
1 Conferencia Utilizacioacuten de recursos didaacutecticos como apoyo en la ensentildeanza virtual Natalie
Reyes Riotte del Colegio San Antonio de Padua Costa Rica httpsyoutubep-lUTTYK6N8
2 Conferencia Padres y madres costarricenses creencias sobre matemaacutetica por Luis Gerardo Meza
TEC httpsyoutubePy_C9mTzzH8
3 Conferencia Experiencias del proyecto RENACE en el tema de probabilidad por Carlos Monge
Madriz TEC httpsyoutube4dEznOmpQNc
4 Aprendizaje activo algunas estrategias para los cursos de pedagogiacutea por Ivonne Saacutenchez-
Fernaacutendez TEC httpsyoutube5tzChWFiJR8
5 Conferencia Estrategias de mediacioacuten pedagoacutegica en la ensentildeanza virtual por Ivonne Saacutenchez-
Fernaacutendez TEC httpsyoutubeT10h9up1rA4
6 Conversatorio Educacion Ambiental CONCITES2020 con Roberto Gonzaacutelez Munizaga Chile
y Carmen Roldaacuten Chacoacuten (FONAFIFO-MINAE) httpsyoutubeGKiubb0gzuM
7 Vacunas mitos y realidades por Martiacuten Bonfil UNAM Meacutexico httpsyoutubeomZmtkD2rZw
8 Cambios en el Sol por Miguel Rojas Quesada TEC httpsyoutubewXOF1VrpRSw
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8
9 Evaluacioacuten en tiempos de pandemia Taller por Gisele Cordero Molina Blue Valley
School httpsyoutubeXpfpiqc2jXA
10 Mapas Conceptuales en MatemaacuteticaTaller Luis Goacutemez Rodriacuteguez Blue Valley
School httpsyoutubeEpFyNPv8LGk
11 Science Capital Engaging students with Science and Promoting Social Justice por Gisele
Cordero Molina Blue Valley School httpsyoutubeEix_mH3MSsc
12 La Resta Pensando Conferencia Antonio Ramoacuten Martiacuten Adriaacuten Colegio Aguere Espantildea (Islas
Canarias) httpsyoutubeexgBY05muPc
13 Uso de praacutecticas interactivas y adaptativas (recursos en ingleacutes) en el aula virtual Conferencia
Susanne Artintildeano Hangen Blue Valley School httpsyoutube1vNTYt5hl-I
Agradecemos la unioacuten de esfuerzos la confianza que posibilitoacute la continuidad de estas trayectorias que
iniciaron desde 1998 y la creatividad para seguir innovando en formas de apoyar el aprendizaje
El siguiente libro de memorias reuacutene artiacuteculos de trabajos presentados en el XXI CONCITES 2019 -
Limoacuten asiacute como del XII FIMAT y XXII CONCITES ambos celebrados en el 2020
Alejandra Leoacuten Castellaacute
Directora Ejecutiva Fundacioacuten CIENTEC
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9
Creacioacuten de animaciones para la visualizacioacuten de la geometriacutea
en tercera dimensioacuten usando el software GeoGebra
Joseacute Pablo Calderoacuten Gairaud
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica
jose03pcggmailcom
Steven Gabriel Saacutenchez Ramiacuterez
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica
stevengabriel26gmailcom
Resumen En este artiacuteculo se describe el proceso para realizar animaciones en tercera dimensioacuten con el software
GeoGebra Dichos modelos consisten en la visualizacioacuten de las figuras proporciones y cortes consecuentes de
la interseccioacuten de un soacutelido con un plano transversal Para realizar las construcciones se utilizaraacuten las
herramientas que brinda GeoGebra como tambieacuten conceptos baacutesicos relacionados con la parametrizacioacuten de
superficies Ademaacutes se hace hincapieacute en la importancia de la creacioacuten de recursos didaacutecticos con el uso de la
tecnologiacutea para la comprensioacuten de la visualizacioacuten espacial para los estudiantes en el aprendizaje de conceptos
geomeacutetricos y coacutemo GeoGebra permite facilitar la transicioacuten de una visualizacioacuten en segunda dimensioacuten a
tercera dimensioacuten
Palabras clave tercera dimensioacuten parametrizar curvas superficies visualizar geometriacutea
1 Introduccioacuten
El uso de la geometriacutea siempre ha sido indispensable para el desarrollo cientiacutefico del ser humano con
solo volver al pasado se puede apreciar las sin fin de piraacutemides y diferentes esculturas creadas gracias a
los diversos conceptos baacutesicos geomeacutetricos que manejaban nuestros antepasados Por esa razoacuten es
fundamental el estudio de la geometriacutea en nuestras a aulas Es deber de cada paiacutes velar en que su malla
curricular esteacute lo maacutes actualizada posible seguacuten el grado acadeacutemico que se imparta relacionaacutendolo con
las capacidades cognitivas de los estudiantes seguacuten su edad
Por otro lado es importante tener los insumos suficientes para que la ensentildeanza de la geometriacutea se deacute en
las mejores condiciones con el fin de obtener un aprendizaje significativo En el caso de la geometriacutea
espacial como lo indica Ballestero y Gamboa (2010) su estudio contribuye significativamente al
desarrollo de las necesidades espaciales de visualizacioacuten por lo que es importante vincular la capacidad
matemaacutetica con la espacial
En este trabajo se expondraacute sobre la importancia de la ensentildeanza de la visualizacioacuten en tres dimensiones
(3D) utilizando modelizacioacuten y animacioacuten geomeacutetrica teniendo como objetivo el dar una interaccioacuten
baacutesica del uso del software GeoGebra
2 Geometriacutea en tercer dimensioacuten y plan de estudios del MEP
En el antildeo 2012 el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP) decidioacute realizar un cambio
draacutestico en el plan de estudios de matemaacuteticas poniendo como eje central la resolucioacuten de problemas
tambieacuten incorporando eliminando y modificando distintos toacutepicos estudiados en primaria y secundaria
Dentro de los cambios se resaltan modificaciones en los temas de geometriacutea espacial La nueva malla
curricular del MEP (2012) propone que
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
10
1 La visualizacioacuten espacial se introduzca con una manipulacioacuten dinaacutemica de los objetos
2 Los temas de geometriacutea se observen de forma espacial usando modelizacioacuten geomeacutetrica
3 Exista maacutes presencia en el ldquosentido espacialrdquo
4 Se debe enfatizar maacutes en la visualizacioacuten de formas en el espacio y no solo en sus foacutermulas
Anterior al cambio se debiacutea ahondar solo en el caacutelculo de aacutereas y voluacutemenes de los soacutelidos dejando por
fuera el anaacutelisis de su manipulacioacuten y visualizacioacuten Con la nueva modificacioacuten los estudiantes deben
realizar dichos caacutelculos excluyendo el volumen como tambieacuten desarrollar habilidades de ubicacioacuten
espacial identificar los distintos cortes transversales que se generan en cada uno de los cuerpos redondos
entre otros
Por lo tanto en la formacioacuten general baacutesica y diversificada costarricense se desarrollan toacutepicos con
relacioacuten a la geometriacutea espacial siendo los grados de deacutecimo y undeacutecimo donde se enfatiza maacutes La
importancia de desarrollar una visualizacioacuten espacial en los estudiantes va maacutes allaacute del concepto
matemaacutetico seguacuten Guzmaacuten (1996 citado en Gonzato et al 2011)
Se trata de evaluar los procesos y capacidades de los sujetos para realizar ciertas tareas que
requieren ldquoverrdquo o ldquoimaginarrdquo mentalmente los objetos geomeacutetricos espaciales asiacute como relacionar
los objetos y realizar determinadas operaciones o transformaciones geomeacutetricas con los mismos
Tambieacuten este tema ha recibido atencioacuten desde un punto de vista del propio trabajo del matemaacutetico
en los momentos de abordar la resolucioacuten de problemas formulacioacuten de conjeturas asiacute como en
otras aacutereas diferentes de la geometriacutea (p2)
Como se indica anteriormente el estudio de la tercera dimensioacuten favorece a la imaginacioacuten y abstraccioacuten
del alumnado y agudiza de cierta forma las habilidades interdisciplinarias para generar pensamientos
oacuteptimos que favorezcan la resolucioacuten de problemas siendo este uacuteltimo el eje central del MEP para la
formacioacuten matemaacutetica
3 Visualizacioacuten de la tercera dimensioacuten
La geometriacutea es un aacuterea de las matemaacuteticas que actualmente es considerada fundamental para la
formacioacuten acadeacutemica y cultural de la persona esto debido a su facilidad para estimular un razonamiento
loacutegico y desarrollar otras habilidades para visualizar intuir conjeturar etc Sin embargo en la praacutectica
algunos docentes deciden dejar los contenidos de geometriacutea para el final del periodo lectivo y no
profundizar en estos (Gamboa y Ballestero 2010)
Seguacuten Gamboa y Ballestero (2010) esta situacioacuten desencadena en el estudiante la sensacioacuten de ser una
rama difiacutecil y de poca utilidad por lo que no hay motivacioacuten para aprenderla Al no profundizar en las
habilidades y contenidos geomeacutetricos no se desarrolla en el estudiante la capacidad de visualizar u
orientar y por consiguiente un deacuteficit en la visualizacioacuten de la tercera dimensioacuten Dicha deficiencia en
la capacidad de visualizar afecta directamente el enfoque del MEP que es la resolucioacuten de problemas
Para desarrollar la capacidad de visualizar en tercera dimensioacuten de los estudiantes es importante
promover su sentido espacial El sentido espacial es un sentido intuitivo de la forma y el espacio en el
cual estaacuten implicados los conceptos geomeacutetricos y las habilidades de reconocer visualizar representar y
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
11
transformar las formas (Rosenstein et al 1996) Para desarrollar este sentido espacial es necesario
abarcar sus tres componentes conocer las propiedades de figuras y formas reconocer y establecer
relaciones geomeacutetricas y la ubicacioacuten y los movimientos (Ramiacuterez 2014)
Ante la deficiencia y dificultad de desarrollar la visualizacioacuten en tercera dimensioacuten de los estudiantes sin
el material concreto adecuado se han creado distintos softwares o aplicaciones que permiten una
manipulacioacuten ideal de los elementos geomeacutetricos El uso de estas Tecnologiacuteas de Informacioacuten y
Comunicacioacuten (TIC s) para la visualizacioacuten en tercera dimensioacuten facilitan al docente la tarea de
desarrollar estas habilidades y ademaacutes permiten al estudiante generar su propio conocimiento
4 Curvas superficies y parametrizacioacuten
Para la construccioacuten de diferentes animaciones interactivas para visualizar y modelar las diferentes
curvas y superficies es importante conocer de forma baacutesica el desarrollo matemaacutetico de estas asimismo
el trabajo que lleva su representacioacuten parameacutetrica sin entrar en gran detalle se definen estos dos
conceptos los cuales seraacuten de suma importancia conocerlos para el uso oacuteptimo del software GeoGebra
a la hora de generar dichas construcciones
41 Curvas
Seguacuten Peacuterez (2014) indica que una idea intuitiva de curva es la de una trayectoria en el espacio de una
partiacutecula en movimiento en cada instante esta estaraacute en un lugar concreto lugar que depende de un
paraacutemetro (que se puede ver como la variable tiempo) esta trayectoria debe ser suave Imagiacutenese
entonces a un motorizado siguiendo una carretera (que no tiene huecos ni picos) el cual anda repartiendo
la correspondencia a una casa
Si se quiere definir una curva de forma maacutes elaborada entonces se podriacutea indicar que una curva
parametrizada es una aplicacioacuten diferenciable tal que
120572 119868 rarr ℝ2 120572(119905) = (119909(119905) 119910(119905) 119911(119905)) 119905 isin ℝ
42 Superficies
Peacuterez (2014) explica que una superficie es un subconjunto en ℝ3 donde cada punto tiene un entorno
similar a un trozo de plano que ha sido suavemente curvado Imagiacutenese entonces un mantel el cual se
coloca en una mesa redonda este mantel es suavemente combado tal que toma la forma de dicha mesa
De forma un poco maacutes formal una superficie se puede definir parametrizadamente como
119883 119880 rarr ℝ3 119883 = 119883(119906 119907) = (119909(119906 119907) 119910(119906 119907) 119911(119906 119907)) 119888119900119899 119880 sub ℝ2
Cabe destacar que ambos conceptos son fundamentales para generar diferentes animaciones con el
software GeoGebra se recomienda no solo quedarse con estas dos nociones sino maacutes bien indagar de
forma exhaustiva estas definiciones ya que ayudaraacute al buen manejo del programa mencionado
anteriormente
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5 El software GeoGebra y la visualizacioacuten 3D
El software GeoGebra es un programa disentildeado especiacuteficamente para la ensentildeanza y el aprendizaje de
las Matemaacuteticas Dentro de las herramientas y funciones que tiene GeoGebra estaacute la manipulacioacuten tanto
de figuras planas (recta circunferencia poliacutegonos etc) como de cuerpos soacutelidos y figuras en tercera
dimensioacuten (esfera cilindro cono etc)
GeoGebra categoriza las diferentes figuras o elementos geomeacutetricos que se pueden construir
dependiendo de si se encuentra el usuario en la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo (tercera dimensioacuten) o ldquoVista Graacuteficardquo
(dos dimensiones)
Dentro de la ldquoVista Graacuteficardquo GeoGebra permite crear
Puntos
Rectas o segmentos
Poliacutegonos
Circunferencias
Elipses
Aacutengulos
Figura 1
Vista Graacutefica ndash GeoGebra
Nota Elaboracioacuten Propia
Dentro de la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo GeoGebra permite crear
Puntos
Rectas o segmentos
Poliacutegonos
Planos
Cuerpos soacutelidos (piraacutemide cono cilindro prisma
y esferas)
Aacutengulos
Deslizadores imaacutegenes botones etc
Ademaacutes permite interactuar entre las distintas construcciones y manipularlas de diversas maneras
(transformaciones en el plano)
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Figura 2
Vista 3D - GeoGebra
Nota Elaboracioacuten Propia
El software permite que haya una relacioacuten directa entre los elementos creados en la ldquoVista Graacuteficardquo
ldquoVista Graacutefica 3Drdquo y su representacioacuten algebraica en la ldquoVista Algebraicardquo
6 El software GeoGebra y parametrizacioacuten
GeoGebra utiliza distintos mecanismos para ingresar las curvas que se quieren graficar recordemos que
nuestro objetivo es el de visualizar la tercera dimensioacuten por lo que la vista que se utilizaraacute en todo
momento seraacute ldquoGraacuteficos 3Drdquo Como se vio en la seccioacuten pasada el programa posee herramientas
predeterminadas y una barra de entrada que seraacute en donde ingresemos los comandos para generar las
curvas y superficies Para un efecto de calidad estas deben ser ingresadas en su forma parameacutetrica en el
caso de las curvas se dispone de los comandos que pueden ser observados en la Figura 3
Figura 3
Comandos de curvas
Nota Elaboracioacuten Propia
De estas la que se apega a nuestras necesidades seraacute la segunda ya que con ella se grafican las curvas
en la tercera dimensioacuten Observemos en la Figura 4 el coacutemo se ingresa la curva parametrizada y su
visualizacioacuten en la tercera dimensioacuten
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Figura 4
Visualizacioacuten de curva
Nota Elaboracioacuten propia
Por otro lado las superficies tienen tambieacuten sus distintas entradas las cuales pueden verse en la Figura
5
Figura 5
Comandos de superficies
Nota Elaboracioacuten propia
En este caso seraacute la tercera opcioacuten la que se debe utilizar para generar superficies en donde sus valores
se ingresan de forma parameacutetrica es importante observar que para las superficies se necesitan dos
paraacutemetros Observemos en la Figura 6 el coacutemo se ingresa una superficie parametrizada y su
visualizacioacuten en la tercera dimensioacuten
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Figura 6
Visualizacioacuten de superficie
Nota Elaboracioacuten propia
Ejemplo Cono truncado
Para fines de este artiacuteculo se crearaacute una animacioacuten de un cono truncado en la cual se utilizaraacuten varias
herramientas del software GeoGebra asiacute como la parametrizacioacuten del cono Al finalizar esta animacioacuten
el estudiante podraacute interactuar con la construccioacuten y visualizar los cortes paralelos a la base las dos
circunferencias que se generan por el corte la razoacuten de los dos triaacutengulos rectaacutengulos (que se forman con
la altura radio y generatriz) ademaacutes seraacute capaz de modificar el tamantildeo del cono la distancia del corte
del cono y generar el cono truncado por siacute mismo
Para la construccioacuten de esta animacioacuten se necesita crear dos conos el primero se crea con la herramienta
ldquoConordquo que ya ofrece GeoGebra y el segundo se crearaacute por medio de parametrizacioacuten este uacuteltimo seraacute
el cono truncado
1 Para generar el primer cono se necesita de un deslizador ldquoAlturardquo que modifique la altura y el
radio de la circunferencia Una vez creado el deslizador se necesita un punto en el eje Z que
represente la altura Posteriormente crea el cono con la herramienta ldquoConordquo
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Figura 7
Cono dependiente del deslizador
Nota Elaboracioacuten propia
2 Ahora genere un deslizador ldquoCorterdquo cuyo valor maacuteximo sea el deslizador anterior Este
deslizador representa la altura del corte Construya un punto en el eje Z que dependa del
deslizador ldquoCorterdquo y con la herramienta ldquoPlano paralelordquo (dando clic al punto en el eje Z y al
plano de la base) construya el plano que simula el corte (Si considera necesario con la misma
herramienta puede sustituir el plano base que trae la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo)
Figura 8
Cortes en el cono
Nota Elaboracioacuten propia
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3 Con la herramienta ldquoInterseccioacuten de dos superficiesrdquo construya la circunferencia de la base y la
generada entre el cono y el corte Ademaacutes con la herramienta ldquoPuntordquo genere un punto que
pertenezca a la circunferencia de la base Ahora con la herramienta ldquoSegmentordquo construya el
triaacutengulo rectaacutengulo formado por el centro de la base el veacutertice y el punto en la circunferencia
de la base Por uacuteltimo con la herramienta ldquointerseccioacutenrdquo marque el punto entre la hipotenusa y el
plano del corte y construya el segmento entre ese punto y el centro de la segunda circunferencia
De esta forma se visualiza la semejanza entre los triaacutengulos
Figura 9
Semejanza de triaacutengulos
Nota Elaboracioacuten propia
4 Genere una casilla de control para ocultar el cono otra para los planos otra para las
circunferencias y otra para los lados del triaacutengulo De esta forma si las cuatro casillas estaacuten
desactivadas solo se visualizan las casillas y los deslizadores
5 Ahora debe crear un cono por medio de parametrizacioacuten Para ello debe ingresar el siguiente
comando en la barra de entrada
(Superficie(rcos(t) rsen(t) r r06 t02pi))
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Figura 10
Cono generado con parametrizacioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
6 Modifique los paraacutemetros para que el cono se oriente correctamente y la altura dependa del
deslizador ldquoAlturardquo Ademaacutes modifique los paraacutemetros para generar el efecto de cono truncado
y que dependa del deslizador ldquoCorterdquo Modifique en ldquoPropiedadesrdquo el grosor del trazo para que
tenga una apariencia maacutes niacutetida El comando quedariacutea de la siguiente manera Superficie (r cos(t)
r sen(t) -r + Altura r Altura - Corte Altura t 0 2π)
Figura 11
Cono parametrizado con deslizadores
Nota Elaboracioacuten propia
7 Por uacuteltimo construya un deslizador ldquoRegionrdquo de tipo aacutengulo (que vaya de 0 a 360) con el que se
pueda ir generando el cono truncado Modifique los paraacutemetros para que el cono dependa del
deslizador ldquoRegionrdquo Elabore una casilla de control con la que pueda ocultar la regioacuten del cono
truncado El comando quedariacutea de la siguiente manera
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Superficie (r cos(t) r sen(t) -r + Altura r Altura - Corte Altura t 0 Region)
Figura 12
Cono parametrizado
Una vez concluida la construccioacuten proceda a personalizarla Debe quedarle de la siguiente la misma
manera que en la Figura 13
Figura 13
Construccioacuten del cono truncado finalizada
Nota Elaboracioacuten propia
7 Importancia de la parametrizacioacuten en construcciones interactivas
El rol de la parametrizacioacuten en las construcciones es lograr un acabado continuo y que permita al
estudiante visualizar de mejor manera la animacioacuten pues sin la parametrizacioacuten se trabaja con un espacio
discreto de puntos y baja considerablemente la calidad de esta
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Figura 14
Diferencias entre construcciones parametrizadas y no parametrizadas
Nota Elaboracioacuten propia
8 Conclusiones
Se puede observar con lo desarrollado en este escrito la importancia que tiene el uso del software
GeoGebra para generar materiales que ayuden y potencialicen la visualizacioacuten y modelacioacuten de la
geometriacutea en la tercera dimensioacuten esto para propiciar espacios que favorezcan que el proceso de
ensentildeanza-aprendizaje sea exitoso
Cabe destacar que el uso de curvas y superficies parameacutetricas en estas construcciones es fundamental
para el buen desarrollo de las animaciones que se desean realizar Como se vio en anteriormente al no
hacerlo con estos comandos es imposible que el applet interactivo ayude a la visualizacioacuten y maacutes bien
puede generar problemas con los objetivos planteados en este trabajo
Se insta al lector a seguir indagando en el tema ya que lo visto acaacute es una introduccioacuten de las aplicaciones
que se pueden realizar tanto para secundaria como para temas con maacutes abstraccioacuten matemaacutetica como
por ejemplo cuaacutedricas y soacutelidos simples
Referencias Bibliograacuteficas
Gamboa R y Ballestero E (2010) La ensentildeanza y aprendizaje en secundaria la perspectiva de los
estudiantes Educare 17(2) 125-142 httpswwwredalycorgpdf1941194115606010pdf
Gonzato J Cajaraville J y Godino J (2011) Una aproximacioacuten ontosemioacutetica a la visualizacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica Ensentildeanza de las Ciencias 30(2) 109-130
httpswwwracocatindexphpEnsenanzaarticleview254506
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Efectividad de la cartografiacutea participativa en la ensentildeanza de la
Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastres Un ejemplo de
aplicacioacuten en el centro educativo Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
German Alvarado Luna
Instituto Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
Costa Rica
gdal5hotmailcom
Neyfren Salazar Aguilar
Colegio Teacutecnico Profesional de Mora
Costa Rica
neyfren11gmailcom
Resumen El objetivo de este estudio fue corroborar la efectividad de la cartografiacutea participativa en la
ensentildeanza de la Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastres (GIRD) Para ello se aplicaron talleres de cartografiacutea
participativa en un grupo de octavo grado del centro educativo Itskazuacute Educacioacuten Humanista Posteriormente
dichos talleres fueron evaluados desde el nivel de seguimiento de las orientaciones praacutecticas para conducir al
aprendizaje significativo logrados por los estudiantes mediante observaciones participantes y encuestas Como
conclusioacuten se muestra que la cartografiacutea participativa mostroacute efectividad en la ensentildeanza de la GIRD pues los
objetivos de aprendizaje de cada taller se cumplieron las orientaciones praacutecticas para lograr el aprendizaje
significativo se siguieron y muchos de los conceptos asociados con la temaacutetica fueron interiorizados
Asimismo se denota que la efectividad de esta herramienta depende del disentildeo del conjunto de los talleres
Palabras clave cartografiacutea participativa gestioacuten integral de riesgo de desastres aprendizaje significativo
1 Introduccioacuten
La Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastre (GIRD) ha sido considerada como una de las herramientas
primordiales para afrontar los desastres desencadenados por eventos naturales sobre todo por su enfoque
socio-ambiental para intervenir las situaciones de riesgo (PNUD 2012) Uno de los principales campos
de accioacuten para promover dicha herramienta conceptual ha sido la educacioacuten A traveacutes de ella se busca
que las personas comprendan las amenazas y vulnerabilidades de sus contextos inmediatos para que
puedan enfrentar cualquier hecho violento que se logre consumar (Arauz 2008)
En Costa Rica desde la deacutecada de 1990 se han hecho esfuerzos para incorporar este tema en la educacioacuten
formal (Arauz 2008) El programa de Estudios Sociales derivado de la poliacutetica ldquoEducar para una nueva
ciudadaniacuteardquo hace esto uacuteltimo a traveacutes de la geografiacutea pues entiende que esta disciplina es la que mayor
potencial tiene para establecer puentes entre los aacutembitos ambientales y socio-econoacutemicos (Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica 2016) En general en todo este programa se encuentra toacutepicos con recomendaciones
metodoloacutegicas y conceptuales referentes a la GIRD pero en octavo antildeo es donde se le dan mayor eacutenfasis
fundamentalmente en el abordaje de los fenoacutemenos geoloacutegicos e hidrometereoloacutegicos que inciden
actualmente en el planeta (Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica 2016)
Este programa propone una renovacioacuten en la forma de ensentildear la geografiacutea pues surgiere que esta sirva
para analizar problemas contemporaacuteneos y buscarles solucioacuten en remplazo de los meacutetodos memoriacutesticos
y descriptivos En ese sentido se demanda una innovacioacuten en la praacutectica educativa docente con
metodologiacuteas donde los estudiantes asuman un papel maacutes activo construyan conocimientos de forma
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colaborativa y contextualizada y sean partiacutecipes desde el espacio educativo de la construccioacuten de
alternativas de futuro
No obstante estos avances teoacutericos han tenido dificultades para materializarse a nivel praacutectico pues el
profesorado costarricense tiende al uso de teacutecnicas didaacutecticas tradicionales donde el estudiantado asume
un papel completamente pasivo lo cual se extrapola a los aacutembitos educativos vinculados al Desarrollo
Sostenible tal como la GIRD (Arauz 2008 Estado de la Nacioacuten 2017 Castro et al 2017)
La cartografiacutea participativa es una herramienta con mucho potencial para salir de ese estado e innovar
En primer lugar la GIRD parte de un enfoque territorial por lo que la cartografiacutea es un instrumento
necesario para su abordaje ya que permite representar de forma contrapuesta los recursos riesgos y usos
de un territorio (Font et al 1996) En segundo lugar al antildeadiacutersele el componente participativo a la
cartografiacutea se permite que los mismos estudiantes de forma conjunta y situados en sus realidades sean
quienes la realicen a fin de que comprendan las problemaacuteticas socio-espaciales y formulen propuestas de
transformacioacuten (Patintildeo 2017)
En otras palabras la cartografiacutea participativa es efectiva en la ensentildeanza de la GIRD pues estaacute
fuertemente implicada con esta temaacutetica y corresponde a las propuestas pedagoacutegicas activas Este
documento pretende dar cuenta de ello evaluando la aplicacioacuten de una serie de talleres de cartografiacutea
participativa en GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en un grupo de octavo antildeo conformado por 8
estudiantes de un centro educativo ubicado en espacio en riesgo a este tipo de eventos Itskazuacute Educacioacuten
Humanista en San Rafael de Escazuacute
Para ello es importante considerar que las fuentes de informacioacuten de la evaluacioacuten no solamente son los
aprendizajes que los educandos logren obtener sino tambieacuten las praacutecticas educativas de los docentes (De
la Herraacuten 2014) Asimismo se debe tomar en cuenta que la evaluacioacuten tiene que estar presente en todas
las fases de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje y es mucho maacutes efectiva si se forma una comunidad
de reflexioacuten cooperativa donde participen docentes y estudiantes (Nuacutentildeez 2014 Pereira 2015)
En ese sentido en este trabajo los docentes evaluaron los aprendizajes significativos obtenidos por los
estudiantes en las diferentes fases de la ejecucioacuten de los talleres tanto en teacuterminos de los conocimientos
memorizados como en teacuterminos de las aplicaciones contextuales y las significaciones personales
otorgadas a dichos conocimientos (Castillo 2012) Los estudiantes por su parte evaluaron los talleres de
cartografiacutea participativa desde las orientaciones praacutecticas para conducir al aprendizaje significativo las
cuales son seguacuten Ballester (2002) trabajo abierto motivacioacuten uso del medio creatividad y mapa
conceptual
2 Meacutetodos
Esta investigacioacuten se realizoacute mediante un enfoque mixto en tanto que se utilizoacute de forma integrada
informacioacuten de caraacutecter cuantitativo y cualitativo Para evaluar los aprendizajes obtenidos por los
estudiantes en las diferentes fases de la ejecucioacuten de los talleres se utilizaron dos teacutecnicas la observacioacuten
participante y la encuesta En la observacioacuten se usoacute como instrumento una hoja de cotejo acompantildeada
por un registro anecdoacutetico Lo evaluado fue el logro en cada taller de los objetivos de aprendizaje
planteados Lo que se hizo fue registrar si ello se cumplioacute o no
En la encuesta se usoacute como instrumento un cuestionario abierto el cual fue aplicado a los estudiantes
Con este se evaluoacute al final del proceso el nivel de interiorizacioacuten de los conceptos esenciales
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relacionados con la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Este cuestionario fue conformado por 25
iacutetems por cada iacutetem respondido correctamente los estudiantes obtuvieron un punto
Para tratar la informacioacuten se optoacute por establecer una escala Si los estudiantes obteniacutean entre 25 y 18
iacutetems correctos en su cuestionario (entre el 100 y el 70) se consideroacute que interiorizaron los conceptos
esenciales de la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos si es menor a ese puntaje se consideroacute que faltoacute
trabajo para ello Con el fin de analizar la totalidad de los estudiantes se sacaron los porcentajes de los
estudiantes que obtuvieron entre 25 y 18 iacutetems correctos y de los estudiantes que obtuvieron menos de
18 iacutetems correctos
Luego se establecieron rangos para esos porcentajes los cuales fueron asociados con un criterio de
clasificacioacuten para determinar si el conjunto de los estudiantes interiorizaron los conceptos esenciales de
la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Del maacutes alto al maacutes bajo eso se expresoacute asiacute interiorizacioacuten
completa parcial baja nula Con el propoacutesito de obtener informacioacuten maacutes detallada se hizo todo el
ejercicio anterior en cada uno de los conceptos asociados a la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos
Para evaluar los talleres desde las orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo se utilizoacute como
teacutecnica la encuesta El instrumento utilizado fue un cuestionario abierto aplicado a estudiantes
conformados por 22 preguntas divididas en cinco secciones correspondientes a cada orientacioacuten praacutectica
del aprendizaje significativo Las respuestas preestablecidas fueron lsquorsquoTotalmente de acuerdorsquorsquo lsquorsquoDe
acuerdorsquorsquo lsquorsquoEn desacuerdorsquorsquo y lsquorsquoTotalmente en desacuerdorsquorsquo Lo que debieron hacer los estudiantes fue
leer la afirmacioacuten y marcar la respuesta preestablecida correspondiente Para tratar la informacioacuten se
optoacute por utilizar la escala tipo Likert A fin de obtener informacioacuten maacutes detallada este procedimiento se
aplicoacute a cada seccioacuten correspondiente a una orientacioacuten del aprendizaje significativo
Para analizar la totalidad de cuestionarios a nivel general y a nivel de cada una de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo se optoacute por calcular el porcentaje de los cuestionarios
categorizados como ldquoTotalmente de acuerdordquo o ldquoDe acuerdordquo establecer rangos para esos porcentajes
y asociarlos con criterios de clasificacioacuten para ubicar el nivel de seguimiento de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo Del rango maacutes alto al maacutes bajo eso se expresoacute de la siguiente
forma ldquoseguimiento totalrdquo ldquoparcialrdquo ldquobajordquo y ldquonulordquo Finalmente con el fin de obtener informacioacuten
complementaria se calcularon los porcentajes a nivel general y a nivel de cada una de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo de la cantidad de respuestas a ldquoTotalmente de acuerdordquo ldquoDe
acuerdordquo ldquoEn desacuerdordquo y ldquoTotalmente en desacuerdordquo
3 Evaluacioacuten de los aprendizajes significativos obtenidos en cada taller
En total se realizaron 7 talleres en febrero del 2019 cuya duracioacuten aproximada fue de una hora y media
El primer taller fue el que tuvo como objetivo introducir los conceptos esenciales de la GIRD en eventos
siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes Este taller se conformoacute por tres actividades ademaacutes de la
presentacioacuten del proyecto En la primera actividad se conformaron 2 subgrupos a cada subgrupo se le
dio una serie de iacuteconos y una matriz de clasificacioacuten en blanco referentes a la GIRD para que a partir
de deducciones y conocimientos previos colocaran cada icono en la seccioacuten respectiva
En la segunda actividad los facilitadores expusieron interrogativamente los conceptos esenciales de la
GIRD acompantildeados con imaacutegenes y viacutedeos En la tercera actividad los estudiantes se reunieron en los
subgrupos para corregir sus matrices de clasificacioacuten a fin de afianzar los contenidos vistos y examinar
si los comprendieron para su eventual aplicacioacuten Esta uacuteltima actividad dejoacute claro que los estudiantes
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tuvieron comprensioacuten de los conceptos esenciales de la GIRD ya que las matrices de clasificacioacuten fueron
corregidas correctamente En ese sentido se puede afirmar que el objetivo de este taller se cumplioacute
Figura 1
Elaboracioacuten de la matriz de clasificacioacuten
El segundo taller tuvo como objetivo presentar a los estudiantes los elementos esenciales de la cartografiacutea
participativa para que tuvieran las herramientas baacutesicas para elaborar colectivamente un mapa de
amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de Escazuacute Esta actividad consistioacute en exponer los elementos
esenciales de la cartografiacutea participativa las normas baacutesicas del trabajo en grupo el tipo de mapa a
intervenir (mapa a escala temaacutetico) las simbologiacuteas a ubicar (previamente definidas por los facilitadores)
y la forma de colocarlas en el mapa Los estudiantes generaron preguntas y comentarios que evidenciaron
comprensioacuten de los elementos esenciales de la cartografiacutea participativa y por tanto que el objetivo de
este taller se cumplioacute
El tercer taller tuvo como objetivo acercar a los estudiantes a los principales riesgos de desastres de la
comunidad donde viven es decir el cantoacuten de Escazuacute La idea fue que conectaran sus conocimientos
previos con los recogidos a nivel oficial para que tuvieran la informacioacuten necesaria en el proceso
colectivo de creacioacuten cartograacutefica Dicha actividad consistioacute en una exposicioacuten de las caracteriacutesticas
geofiacutesicas y socioeconoacutemicas del cantoacuten de Escazuacute Nuevamente las preguntas y comentarios que
hicieron los estudiantes al respecto mostraron que pudieron conectar sus conocimientos previos con los
registros oficiales presentados
El cuarto taller tuvo como objetivo construir colectivamente un mapa de amenazas y vulnerabilidades
del cantoacuten de Escazuacute La idea fue que los estudiantes interiorizaran por completo los conceptos esenciales
de la GIRD y pudieran utilizarlos para analizar sus realidades Este taller se conformoacute por tres
actividades La primera actividad consistioacute en que los estudiantes en subgrupos mapearan a partir de la
simbologiacutea dada las principales amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de Escazuacute La segunda
actividad fue la presentacioacuten en subgrupos de los mapas de amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de
Escazuacute y la discusioacuten en plenaria de cada uno de ellos La tercera actividad consistioacute en la
sistematizacioacuten de la informacioacuten de ambos mapas y en la definicioacuten colectivamente de tres tipos de
zonas de riesgo alto medio y bajo
La precisioacuten con la cual los estudiantes realizaron las distintas actividades de este taller demuestra que
interiorizaron los conceptos esenciales de GIRD principalmente los de amenaza y vulnerabilidad y
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aprendieron sus sentidos praacutecticos al aplicarlos como herramientas de anaacutelisis para sus realidades
inmediatas
Figura 2
Presentaciones de mapas
Asiacute para ellos las principales amenazas estaacuten asociadas con el desarrollo urbano descontrolado y la
geografiacutea montantildeosa del cantoacuten Por su parte las vulnerabilidades las asocian con la presencia del barrio
marginal los Anonos y el desarrollo residencial de las zonas altas Con estos datos los estudiantes
definieron las zonas de riesgo Para ellos la zona de riesgo alto es el sureste del distrito San Rafael ya
que ahiacute se concentra el desarrollo urbano descontrolado y el barrio marginal los Anonos y las zonas de
riesgo medio fueron las partes altas del distrito de San Rafael y del distrito de San Antonio
primordialmente por las fuertes pendientes que alliacute se ubican
El quinto taller tuvo como objetivo seleccionar las amenazas y vulnerabilidades ante eventos siacutesmicos y
volcaacutenicos maacutes urgentes de resolver en el cantoacuten de Escazuacute a fin de que los estudiantes tomaran un rol
de tomadores de decisiones para que advirtieran la importancia del tema en estudio Asimismo se
pretendioacute filtrar la informacioacuten obtenida para que el ejercicio del proacuteximo taller ndashdisentildeo de propuestas-
se diera con mayor efectividad La actividad consistioacute en un panel abierto donde todos los miembros del
grupo seleccionaron los temas maacutes urgentes de atender respecto a la GIRD en el cantoacuten de Escazuacute Estos
temas fueron anotados en la pizarra por los facilitadores y fueron elegidos a traveacutes de una votacioacuten
Esta actividad dio paso a una discusioacuten donde los estudiantes tomaran la batuta de la clase y utilizaron
los conceptos abordados con naturalidad y propiedad Ello desde luego permitioacute cumplir con los
objetivos planteados con este taller pues los estudiantes adquirieron conciencia de la importancia del
tema abordado al menos en el momento de la ejecucioacuten del taller y la informacioacuten se filtroacute para efectos
de facilitar el siguiente taller
El sexto taller tuvo como objetivo disentildear propuestas de GIRD ante eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en el
cantoacuten de Escazuacute La idea fue que los estudiantes aplicaran especiacuteficamente los procesos asociados a la
GIRD ante eventos siacutesmicos y volcaacutenicos La actividad que se realizoacute fue un panel abierto donde los
estudiantes definieron colectivamente propuestas de solucioacuten Asimismo las sistematizaron en una
matriz de clasificacioacuten referente a los procesos de la GIRD del espacio en estudio
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Figura 3
Disentildeo de propuestas de solucioacuten
Los productos resultantes de este ejercicio mostraron que los estudiantes tomaron conciencia sobre la
GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Las propuestas fueron en gran medida pertinentes y
correctamente clasificadas Asiacute por ejemplo en prevencioacuten disentildearon medidas relacionadas con
ordenamiento territorial en mitigacioacuten aluden a medidas para mejorar la infraestructura y la
participacioacuten comunitaria en rehabilitacioacuten ponen como prioridad la buacutesqueda de afectados en
condicioacuten de vulnerabilidad y en reconstruccioacuten sentildealan la remocioacuten de escombros y la reconstruccioacuten
planificada Como tal los objetivos de la actividad se cumplieron en tanto que hubo una apropiacioacuten de
los conceptos en estudio No obstante se pudo notar que hizo falta mayor nivel de detalle y precisioacuten
Finalmente el seacuteptimo taller tuvo como objetivo evaluar los talleres de cartografiacutea participativa Para
ello realizaron tres actividades la primera fue presentar a los estudiantes memoria de los talleres la
segunda fue un cuestionario cerrado donde individualmente cada estudiante evaluoacute el proceso de
creacioacuten cartograacutefica implementado por los facilitadores la tercera fue un cuestionario abierto que
evaluoacute individualmente los conocimientos adquiridos por los estudiantes en GIRD Con esto se obtuvo
la informacioacuten necesaria para evaluar los talleres de cartografiacutea
4 Evaluacioacuten de los talleres de cartografiacutea participativa desde las orientaciones praacutecticas del
aprendizaje significativo
A nivel general el puntaje obtenido por los estudiantes en sus cuestionarios mostroacute que todos ellos
estuvieron ldquoTotalmente de acuerdordquo con que los talleres de cartografiacutea participativa siguieran las
orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo Sin embargo se puede apreciar que ldquoDe acuerdordquo
fue la respuesta maacutes frecuente entre los estudiantes abarcando un 528 del total de las respuestas
Luego sigue ldquoTotalmente de acuerdordquo con un 42 ldquoEn desacuerdordquo con un 4 y ldquoTotalmente en
desacuerdordquo con un 12 lo cual si bien no contradice el resultado presentado en el paacuterrafo anterior
presenta algunos detalles que no deben menospreciarse Se muestra que los estudiantes no estuvieron
completamente convencidos de que los talleres siguieran al dedillo las orientaciones praacutecticas del
aprendizaje significativo
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La revisioacuten por aparte de cada una de las orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo permitioacute
dar cuenta de los aspectos donde hay que mejorar Entre lo que se menciona se encuentra acoplarse
mejor a las necesidades y capacidades de cada quien plantear metas maacutes realistas propiciar la
observacioacuten del entorno promover la toma de conciencia sobre la temaacutetica y la realidad circundante
utilizar recursos poco usuales y mejorar la relacioacuten conceptual
5 Evaluacioacuten al final del proceso del nivel de interiorizacioacuten de los conceptos de GIRD en eventos
siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes
El resultado general fue que un 50 de los estudiantes obtuvieron entre 25 y 18 iacutetems correctos y otro
50 menos 18 Seguacuten los criterios de clasificacioacuten establecidos este resultado sentildeala que los estudiantes
interiorizaron parcialmente los conceptos de GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos con los talleres de
cartografiacutea participativa Ello indica que se necesitan maacutes esfuerzos para causar la interiorizacioacuten de los
conceptos de GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes
No obstante eso fue uniforme para los distintos conceptos asociados a la GIRD ya que en unos casos si
se logroacute causar una interiorizacioacuten completa mientras que en otros soacutelo parcialmente y en otros muy
poco Los conceptos que siacute se lograron interiorizar con los talleres de cartografiacutea participativa fueron los
de Riesgo de desastres y Amenazas siacutesmicas y volcaacutenicas Los conceptos que se lograron interiorizar
parcialmente fueron GIRD y Reconstruccioacuten Finalmente los conceptos que se lograron interiorizar poco
fueron Vulnerabilidades siacutesmicas y volcaacutenicas Mitigacioacuten y Rehabilitacioacuten
6 Conclusioacuten
En suma se puede decir que la cartografiacutea participativa como herramienta didaacutectica para la ensentildeanza
de la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos fue bastante efectiva para contribuir en los aprendizajes
significativos de ese tema Se pudo corroborar que los objetivos de aprendizaje de cada taller se
cumplieron y que las orientaciones praacutecticas para lograr el aprendizaje significativo se siguieron en
mucho Asimismo la mitad de los estudiantes lograron interiorizar los distintos conceptos asociados con
la temaacutetica
Ahora es importante indicar que ello requiere mejoras pues por ejemplo la otra mitad de estudiantes
no logroacute alcanzar aprendizajes significativos en todos los conceptos esenciales Los factores que pudieron
haber influido en esa situacioacuten son el poco eacutenfasis que se le dio al abordaje de ciertos conceptos
(principalmente los procesos de la GIRD) la falta de rigurosidad en la evaluacioacuten inmediata de algunos
talleres y el seguimiento parcial de algunas orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo
Estos factores sin embargo no son completamente intriacutensecos a la teacutecnica cartografiacutea participativa pues
resultan del disentildeo conjunto de los talleres En ese sentido las mejoras se alcanzariacutean con una serie de
modificaciones al disentildeo de la propuesta Estas modificaciones sin embargo tambieacuten deben ser probadas
y evaluadas mediante un proceso riguroso Esto uacuteltimo es reconocer un elemento propio de la naturaleza
de la intervencioacuten didaacutectica la necesidad permanente de investigar la praacutectica educativa para alcanzar la
efectividad en la ensentildeanza (Restrepo 2009)
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El contexto en el aprendizaje de las ciencias iquestde quieacuten y para
queacute
Antonio Alejandro Lorca Mariacuten
Universidad de Huelva Espantildea
antoniolorcaddccuhues
Diego Armando Retana Alvarado
Universidad de Costa Rica Costa Rica
diegoarmandoretana ucraccr
Resumen El siglo XXI ha traiacutedo aparejado una serie de cambios sociales tecnoloacutegicos e
incluso laborales que hacen que nos planteemos nuestro paradigma educativo y por ende
sus perspectivas a nivel ontoloacutegico epistemoloacutegico y metodoloacutegico En esta comunicacioacuten
se expone la experiencia llevada a cabo bajo una metodologiacutea por indagacioacuten y en la que un
taller cuestionando la Homeopatiacutea sirve como foco de reflexioacuten para ejemplificar nuevas
perspectivas en el aula El realizar un acercamiento a los contenidos propios de las
asignaturas de fiacutesica y quiacutemica a traveacutes de la experimentacioacuten donde las afirmaciones en
ciencias se hagan a traveacutes de los datos y no como dogmas de fe se plantean como
metodologiacuteas necesarias para una ciudadaniacutea continuamente inmersa en un mar de opiniones
El cuestionar los medios de comunicacioacuten (foco de informacioacuten para muchos) nos acerca al
pensamiento criacutetico y escepticismo que tanto se reclama en nuestras aulas
Palabras Clave Didaacutectica de las ciencias experimentales indagacioacuten basada en modelos
maestros en formacioacuten inicial Pseudociencias
1 Introduccioacuten
El nuevo papel del profesor de cara a los nuevos retos que le va a plantear la era digital y en su papel
dentro del proceso debe pasar no soacutelo por el uso de los materiales si no por un comportamiento una
actitud un modelo de hacer que haraacute de este un planteamiento tal que haya que considerar su definicioacuten
para pasar de un papel formador educador a un papel dinamizador de orientacioacuten y tutela (Lorca-Mariacuten
et al 2018) La sociedad en la actualidad precisa una educacioacuten adaptada a sus necesidades y en este
sentido poco ha evolucionado el sistema educativo El tratamiento que desde las aulas hacemos de las
ciencias poco ha evolucionado desde las primeras Universidades (ver Figura 1) y donde a esta se la
aproxima maacutes a una religioacuten que ha una disciplina acadeacutemica donde el papel omnisciente del docente es
incuestionable y donde los alumnos como siervos disciacutepulos asumen el papel pasivo de memorizar los
contenidos de ciencias como si de evangelios se tratase y bajo el uacutenico criterio de la fe (Ver Figura 2)
No es de extrantildear que luego nuestros alumnos carezcan de la capacidad de generalizar los aprendizajes
de la escuela a otros contextos y dar respuestas a cuestiones donde poner en juego esos aprendizajes
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Figura 1
Aula Fray Luis de Leoacuten de la Universidad de Salamanca (Espantildea) Aula a fecha actual de la Universidad
de Huelva (Espantildea) Representacioacuten de la falta de evolucioacuten en la educacioacuten
Figura 2
Aula actual de la Universidad de Huelva (Espantildea) y su parecido a cualquier iglesia Representacioacuten
entre el tratamiento de la ciencia en las aulas actuales y la religioacuten
De cara a este cambio que se plantea el profesor debe poner eacutenfasis en el aprendizaje donde debe actuar
como tutor fomentando la autonomiacutea del alumno disentildeando y gestionando sus propios recursos y
partiendo de las concepciones erroacuteneas que sabemos que nuestros alumnos tienen y que en la literatura
podemos encontrar (ver Figura 3)
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Figura 3
Modelo de ensentildeanza y aprendizaje en la Ensentildeanza y Aprendizaje de las Ciencias
Nota Tomado de Lorca-Mariacuten 2015
No deja de ser un cambio de paradigma el que se comienza a plantear y donde cualquier profesor debe
preguntarse para queacute ensentildeamos ciencia queacute implicaciones en la sociedad debe tener la ciencia queacute
ensentildeamos y por supuesto coacutemo debemos presentar la ciencia en nuestras aulas
Este enfoque plantea la posicioacuten del estudiante dentro del sistema aula El papel activo del alumnado se
erige como elemento clave del proceso y donde la autoridad enciclopeacutedica del docente pasa a un segundo
plano para pasar a ser guiacutea en la metodologiacutea del proceso Donde el papel de las concepciones erroacuteneas
de nuestros estudiantes son el punto de partida de los procesos de formacioacuten y donde la tecnologiacutea son
elementos claves para dotar de sentido los procesos fenoacutemenos y hechos en nuestras aulas Donde el
contexto banco de preguntas a las que cargar de contenidos son claves para generar situaciones de
aprendizaje y determinantes de las conductas esperadas de nuestros alumnos El pensamiento criacutetico la
reflexioacuten en las acciones la toma de decisiones la creatividad pasan a ser contenidos actitudinales
esenciales para la consecucioacuten de los objetivos
Sin embargo requiere disponer de una organizacioacuten de los espacios agrupamientos y tiempos que no
siempre va de la mano del modelo operante de actual sistema educativo Ni el esfuerzo por parte de
aquellos actores que ejercen los distintos roles (alumnosprofesor) en seguacuten queacute casos estaacuten dispuestos
a llevarlo a cabo
La estructura del modelo de ensentildeanza y aprendizaje que se plantea desde el aacuterea de la didaacutectica de las
ciencias experimentales y que es de general aceptacioacuten es el de Indagacioacuten Y aunque clave en el aula de
ciencias tiene unos elementos que debemos tener presente Para Martiacutenez-Chico et al (2017) el alumno
debe apropiarse de la pregunta expresar justificar y discutir sus ideas utilizando diferentes lenguajes
Disentildear la buacutesqueda de pruebas para contrastar sus ideas llevan a cabo esa buacutesqueda analizan resultados
obtienen y discuten conclusiones y finalmente el profesor da un paso maacutes en el acercamiento a ideas
maacutes cientiacuteficas (ver Figura 4) Asimismo implica plantear problemas identificar diferentes caminos
para resolverlos desarrollar y observar experimentos sencillos recoger datos buscar y contrastar
respuestas entre otras (Linn Davis y Bell 2004)
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Figura 4
Estructura de una secuencia basada en la indagacioacuten
Nota Tomado de Martiacutenez-Chico et al 2017
Asiacute y como ya hemos especificado deben partir de las concepciones erroacuteneas que poseen nuestros
alumnos (o entendemos que poseen) y que solo el sistema educativo tiene los medios y recursos
personales (especialistas en la docencia) para poder trabajarlas Construimos ideas conceptos
proposiciones o esquemas a partir de los objetos eventos y situaciones a los que nos enfrentamos y cada
uno lo hace desde su propia situacioacuten personal por lo que se presentan como claves para el comienzo de
cualquier proceso
En este sentido las concepciones estaacuten mediadas por las percepciones que los sujetos tienen de la
realidad Entendiendo percepcioacuten como el resultado de la interpretacioacuten personal de la informacioacuten
(estiacutemulo externo) y por lo tanto es subjetiva Asiacute los factores de los que depende la percepcioacuten son
conocimiento actitud culturalsocial sentido e incluso el sexo entre otros muchos maacutes factores
Cuando hablamos de concepcioacuten la entendemos como la estructura mental general que posee el
individuo a traveacutes del procesamiento manipulacioacuten y uso del conjunto de percepciones que experimenta
el individuo
Asiacute Driver (1989) las clasifica seguacuten sean causados por
Pensamiento dirigido por la percepcioacuten Por ejemplo el azuacutecar o la sal desaparece al disolverse en el
agua
Conceptos indiferenciados Por ejemplo tratar como elementos sinoacutenimos Calortemperatura o
Masavolumendensidad
Enfoque limitado Por ejemplo pensar que la presioacuten no actuacutea en estados de equilibrio o que la fuerza
soacutelo existe si provoca movimiento
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Razonamiento causal lineal no reversible Por ejemplo el papel que juega la energiacutea en los cambios de
estado
Dependencia del contexto Por ejemplo el elegir recipiente de metal para sopa caliente siendo este mejor
conductor del calor
Las caracteriacutesticas generales que este mismo autor define son que
Son estables en el tiempo y resistentes al cambio
Son comunes a las de otros alumnos de la misma edad y cultura
Son construcciones personales de caraacutecter impliacutecito
Presentan semejanzas con concepciones histoacutericas del pensamiento cientiacutefico y filosoacutefico
Son ideas funcionales que buscan utilidad
Se ponen de manifiesto en actividades o predicciones
Tienen coherencia interna pero no desde el punto de vista cientiacutefico
2 Objetivos
Existe una doble finalidad dentro de la comunicacioacuten que se plantea y que podemos transformarlos en
forma de objetivos principales Por una parte y en un primer objetivo capacitar a los asistentes en
metodologiacuteas activas propias de los nuevos modelos educativos Mostrarles que los conocimientos
propios de una metodologiacutea determinante dentro del aula de ciencia y su extensioacuten a las competencias
STEM trabajo colaborativo planificacioacuten iniciativa creatividad comunicacioacuten y divulgacioacuten entre
otras
En un segundo objetivo la adquisicioacuten de los conocimientos propios determinados por la Legislacioacuten
espantildeola actual en fiacutesica y quiacutemica Contenidos conceptuales relacionados con la Materia las
Disoluciones el concepto de mol la formulacioacuten entre otros Contenidos procedimentales como las
disoluciones seriadas el pipeteo destrezas en el manejo de material de laboratorio y de pruebas
estandarizadas como la prueba del Yodo Obtener informacioacuten sobre temas cientiacuteficos utilizando
distintas fuentes y emplearla valorando su contenido para fundamentar y orientar trabajos sobre temas
cientiacuteficos Desarrollar actitudes criacuteticas fundamentadas en el conocimiento cientiacutefico para analizar
individualmente o en grupo cuestiones relacionadas con las ciencias
3 El taller
La propuesta que se plantea se inicia dando respuestas a una seria de preguntas claves y que todo docente
se debe ir haciendo iquestPara queacute ensentildear ciencias iquestQueacute ciencia ensentildear iquestCoacutemo debe relacionarse el
saber el alumno y el profesor iquestQueacute implicaciones debe tener en la sociedad iquestQueacute valores debe
fomentar iquestQueacute cuaacutendo y coacutemo ensentildear iquestQueacute cuaacutendo y coacutemo evaluar iquestQueacute estrategias de
aprendizaje yo actividades se proponen iquestCoacutemo deberiacutean presentarse las ciencias en las aulas Se trata
de una reflexioacuten sobre el sentido epistemoloacutegico de la ciencia su papel en la alfabetizacioacuten cientiacutefica de
los alumnos y su implicacioacuten en la sociedad Esta visioacuten o cambio en el paradigma de las ciencias desde
el punto de vista educativo parte de elementos claves
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Un conocimiento profundo sobre los contenidos a trabajar y que abordaremos en una secuencia
contextualizaacutendolos Es un planteamiento teoacuterico-cientiacutefico de los contenidos propios de la materia a
trabajar y que desde el curriacuteculo oficial debemos tener presente Explicitar la importancia del
conocimiento didaacutectico del contenido
Conocer queacute obstaacuteculos y dificultades de aprendizaje presentan los alumnos de secundaria sobre los
conceptos a trabajar Para ello se debe realizar una buacutesqueda sistemaacutetica en las distintas revistas
especializadas del aacuterea y que nos deacute una visioacuten de cuaacuteles son las concepciones erroacuteneas que marcaraacuten
nuestro devenir en el proceso de ensentildeanza
Conocimiento epistemoloacutegico de la ciencia Intentando responder a la cuestioacuten de coacutemo se conoce los
distintos contenidos a trabajar
Conocimiento de los distintos elementos que conforman el sistema aula Organizacioacuten planificacioacuten
evaluacioacuten entre otros
Por el contexto en el que se generaba la propuesta fue interesante profundizar en el tratamiento de las
concepciones erroacuteneas que tienen nuestros estudiantes a la hora de plantear cualquier proceso de
ensentildeanza y aprendizaje y en particular de los contenidos que iacutebamos a trabajar Dilucioacuten seriacioacuten
concepto de mol partiacutecula caracteriacutesticas de la materia caracteriacutesticas en particular del agua entre otros
Partiendo de una noticia reciente sobre el estado actual de la Homeopatiacutea y su inclusioacuten en la sociedad
actual nos acercamos a las opiniones que nuestros asistentes tienen de este tipo de praacutecticas
La intervencioacuten en siacute misma se ha publicado recientemente en la revista Alambique Didaacutectica de las
ciencias experimentales bajo el tiacutetulo de ldquoCiencia frente a seudociencia el fomento del pensamiento
criacuteticordquo (Lorca-Mariacuten et al 2019) Sin embargo resumir que se procedioacute a la fabricacioacuten de un producto
homeopaacutetico bajo los criterios que marca laboratorios del sector Mediante una dilucioacuten seriada decimal
(en diluciones 110) a partir de un antiseacuteptico yodado que actuacutea como tincioacuten madre (TM) se realizan las
distintas diluciones hasta obtener la dilucioacuten deseada 1DH (Decimales Hahnemannianas) 2DH
3DHhelliphellip Mediante la prueba del yodo se comprueba la autenticidad de las afirmaciones en las que se
sustenta la homeopatiacutea (ver Figura 5)
Figura 5
Fotografiacuteas durante la presentacioacuten donde un voluntario actuoacute de alumno para la ponencia
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Por uacuteltimo y tras la elaboracioacuten de la secuencia se desarrolloacute una reflexioacuten sobre el proceso despertando
un debate de reflexioacuten sobre las pseudociencias en la sociedad actual su modelo de generalizacioacuten foros
de crecimiento entre otras cuestiones
4 Conclusioacuten
La propuesta que se plantea fue muy valorada entre los docentes para su uso en el aula de ciencias
destacando su contribucioacuten a la contextualizacioacuten de aprendizaje de conocimientos relativos a conceptos
y procesos cientiacuteficos y especialmente de cara a trabajar contenidos actitudinales que en muchos casos
pasan desapercibidos en el aula de ciencias Asimismo se consideroacute que favorece la capacidad para
describir y explicar fenoacutemenos con el que el alumno convive y para interpretar los datos e informaciones
que llegan al estudiante a traveacutes de las redes sociales youtubers influencers entre otros
Se destacoacute el ejercicio de la experimentacioacuten cientiacutefica directa lo que potencia principalmente aspectos
de la competencia cientiacutefica como iniciacioacuten a la investigacioacuten cientiacutefica baacutesica
Es digno de mencioacuten en la intervencioacuten aquellas aportaciones referentes a la importancia del papel activo
del alumno La necesidad de generar contextos y situaciones que propicien la necesidad por investigar e
indagar donde el docente se comporte como guiacutea del proceso y el alumno adquiere un papel principal
en el proceso La necesidad de precisar entornos colaborativos entre el alumnado ya que entre los retos
que se enmarca el siglo XXI estaacute el de trabajos formados por grupos cada vez maacutes interdisciplinares y
donde la reflexioacuten comunicacioacuten y colaboracioacuten son elementos claves
La concepcioacuten sobre la ensentildeanza de las ciencias que posea el profesorado el conocimiento sobre los
contenidos cientiacuteficos a tratar la constante actualizacioacuten sobre las investigaciones que se hacen en
materia de concepciones erroacuteneas del alumnado en ciencia asiacute como sobre las informaciones que se
publican por los distintos medios de comunicacioacuten son variables para tener presentes pues condicionan
este tipo de metodologiacutea que parte del contexto en el que estaacuten sumergidos nuestros alumnos
Tenemos un sistema educativo centrado en respuestas maacutes que en preguntas cuando en una sociedad 40
toda informacioacuten debe ser cuestionada El sistema educativo debe formar alumnos con pensamiento
criacutetico y esceacutepticos
Debemos poner eacutenfasis en aprender haciendo y reflexionar sobre el proceso para ello debemos ensentildear
ciencias centraacutendonos en las preguntas desarrollando y usando modelos que nos acerquen a la realidad
del alumnado planificar y realizar proyectos e investigaciones que ayuden al alumno a interpretar el
medio que le rodea Analizando e interpretando datos concluyendo a partir de la interpretacioacuten de estos
y con argumentos que se puedan generalizar en patrones Comunicando y divulgando con argumentos a
partir de evidencias contrastables En definitiva ensentildeamos Ciencia sin hacer Ciencia El contexto en el
que se lleva a cabo la ensentildeanza y aprendizaje de las ciencias la ha dogmatizado hasta su tratamiento
como una religioacuten
Agradecimientos
Agradecer a la organizacioacuten del XXI CONCITES y en su caso a la fundacioacuten CIENTEC la oportunidad
de llevar a cabo la presente comunicacioacuten A la Universidad de Huelva (Espantildea) y Universidad de Costa
Rica por el apoyo otorgado para la realizacioacuten de este trabajo fruto de una estancia de investigacioacuten
cofinanciada por la Asociacioacuten Universitaria Iberoamericana de Posgrado el centro de investigacioacuten
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COIDESO el grupo de investigacioacuten DESYM y la Universidad de Huelva a traveacutes de su Estrategia de
Poliacutetica de Investigacioacuten y Transferencia
Referencias Bibliograacuteficas
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Education 11(5) 481-490
Linn MC Davis EA y Bell P (2004) Internet Environments for Science Education Erlbaum
Lorca-Mariacuten A A Gonzaacutelez Castanedo Y y Delgado-Algarra E J (2018) El uso de las redes sociales
en el aula de ciencias iquestdebe ser una obligacioacuten o no En Encuentros de Universidad de A
Coruntildea Servicio de Publicaciones
Lorca-Mariacuten A A Gonzaacutelez Castanedo Y y Velo Ramiacuterez MS (2019) Ciencia frente a
seudociencia el fomento del pensamiento criacutetico Alambique Didaacutectica de las ciencias
experimentales (97) 57-61
Martiacutenez-Chico M Loacutepez-Gay R Jimeacutenez-Liso M y Trabaloacuten Oller M (2017) Una propuesta
integrada para la formacioacuten inicial de maestros desde el aprendizaje de ciencias mediante
indagacioacuten y modelizacioacuten a la competencia para ensentildear ciencias Ensentildeanza de las Ciencias
(Extra) 115-122
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El uso del Meme como recurso pedagoacutegico y evaluativo
Hairo Zuacutentildeiga-Alvarado
International Christian School Costa Rica
hgzalvaradogmailcom
Resumen los memes han sido utilizados como recursos para expresar criticas sociales
humor y recreacioacuten estos factores pueden ser utilizados en la educacioacuten y llevar esos tres
elementos y generar un aprendizaje significativo a partir de su uso pedagoacutegico y evaluativo
El uso de la saacutetira y la comedia en la comunicacioacuten representa una ruta compleja de
aprendizaje por lo cual genera construccioacuten de conocimiento soacutelido y significativo El meme
se convierte en un novedoso recurso educativo que tiene las caracteriacutesticas fundamentales
para realizar procesos de evaluacioacuten diagnoacutestica ademaacutes al ser utilizado en las lecciones
facilita el ambiente dinaacutemico y propicio para el aprendizaje
Palabras claves meme aprendizaje procesos de ensentildeanza aprendizaje innovacioacuten
educativa TICs TACs
1 Introduccioacuten
La educacioacuten es un proceso que no concluye invita a los participantes a estar en una constante renovacioacuten
de conocimiento El ser humano es un ente de aprendizaje continuo con la capacidad de transformar lo
que observa en procesos elevados de metacognicioacuten hacia una ruta de integralidad
El avance tan acelerado de la tecnologiacutea conlleva el reto principal del quehacer docente hacia la buacutesqueda
de meacutetodos alternativos de aprendizaje donde logre captar la mayor capacidad de atencioacuten de los
educandos y donde se valore la inclusioacuten educativa como una arista primordial del aprendizaje
Los nuevos desafiacuteos docentes invitan a la constante innovacioacuten educativa llaman a los educadores a que
rompan paradigmas y trasciendan en su labor docente donde contextualicen los contenidos a partir de
recursos educativos peculiares como lo son los memes
2 Los memes iquestqueacute son
Un meme es un recurso visual que utiliza elementos llamativos como lo son colores imaacutegenes y
variedades de tipografiacuteas tienen la particularidad de que utilizan aspectos propios de la teoriacutea del color
utilizando colores opuestos para denotar mensajes La mezcla de colores y tipografiacuteas hacen que los
memes se conviertan en recursos ideales para expresar ideas comentarios y criacuteticas que pueden ir desde
aacutembitos locales internaciones y glocales
Son utilizados con alta frecuencia para expresar criacuteticas utilizando mensajes claros concisos y con tonos
de ironiacutea sarcasmo y jocosidad por otro lado los memes tienen la capacidad de llegar a ser virales en el
internet permitiendo asiacute alcanzar un puacuteblico meta maacutes amplio es por esto queacute pueden ser utilizados
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como recursos pedagoacutegicos es decir trascienden la sociedad de la informacioacuten (Vera 2016 citando a
Barroso y Cabero 2016)
3 El meme como recurso pedagoacutegico
Los memes son quizaacutes el recurso pedagoacutegico con mayor accesibilidad y al mismo tiempo con mayor
grado de subvaloracioacuten este recurso brinda muacuteltiples oportunidades para proyectar informacioacuten
masificarla y divulgarla a partir de la creatividad comunicacioacuten siacutentesis y criticidad (Balda 2019)
Es decir permite generar nuevas rutas en la construccioacuten de conocimiento de los discentes utilizando
procesos interculturales e interdisciplinarios lleva consigo un andamiaje de ideologiacuteas y pensamientos
permitiendo al meme ser un gran portador de conocimiento
Para nadie es un secreto que se vive en una sociedad con altos iacutendices de globalizacioacuten donde la
tecnologiacutea se convirtioacute en un aliado en la formacioacuten de conocimiento en los educandos por parte de los
docentes es por esto por lo que los memes vuelven a ser pioneros en la formacioacuten construccioacuten y
reflexioacuten del conocimiento brindado en el proceso ensentildeanza-aprendizaje En este recurso digital se
pueden hallar todas las caracteriacutesticas establecidas en las TICs donde permite la flexibilidad del
curriculum y simultaacuteneamente se transforman en TACs en otras palabras los memes son herramientas
que participan en procesos complejos de comunicacioacuten y de conocimiento generando asiacute la proyeccioacuten
de habilidades de pensamiento sisteacutemico y analiacutetico
El pensamiento criacutetico es uno de los factores que maacutes se busca en los procesos de ensentildeanza-aprendizaje
son el reto de los educadores actuales y son el deseo de los estudiantes que estaacuten sedientos de nuevos
retos nuevos aprendizajes y nuevas tendencias pedagoacutegicas que conviertan sus entornos de ensentildeanza
en ambientes dinaacutemicos y de aplicabilidad
En la misma liacutenea para garantizar un aprendizaje significativo es necesario cumplir con dos requisitos
1 Brindar los contenidos de manera que los estudiantes logren entender el porqueacute de los temas que
aprende y 2 Contextualizar los contenidos que estudian para asiacute encontrar la aplicabilidad del
conocimiento
Los estudiantes modernos son exigentes en cuanto a estudiar y aprender son emocionales y pueden
realizar varias tareas al mismo tiempo esto da al docente un rompecabezas de teacutecnicas que pueden usar
para despertar en los estudiantes el intereacutes por la asignatura y con esto generar un viacutenculo que fortalezca
la relacioacuten estudiante-docente y viceversa los cerebros de nuestros estudiantes trabajan a partir de grupos
de intereses (Cataldi y Dominighni sf) si se logra posicionar la asignatura en ese ciacuterculo se construiriacutea
una nueva ruta de conocimiento
La creacioacuten de ese viacutenculo emocional garantiza que los procesos de ensentildeanza-aprendizaje se encaminen
hacia la ruta de la significancia ya que es fundamental que los estudiantes logren sentirse coacutemodos
seguros y felices en los entornos de aprendizaje (Lewin 2017)
4 El meme como recurso evaluativo
La evaluacioacuten como tal se ha visto proyectada como el proceso que muestra el avance de un estudiante
en el proceso de aprendizaje se ha tipificado como un proceso sumativo donde a partir de una escala
numeacuterica el estudiante recibe una calificacioacuten que brinda presuntamente su nivel de desempentildeo para
los objetivos planteados
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Este proceso sumativo se ha visto bajo el esquema de educacioacuten tradicional valorando el resultado del
aprendizaje y omitiendo el proceso de aprendizaje lo cual elimina por completo el verdadero proceso
de significancia de la educacioacuten Es durante el proceso de aprendizaje donde el estudiante cuestiona lo
que sabe produce y reflexiona siendo estas tres habilidades fundamentales en la construccioacuten de
conocimiento y vitales para lograr el aprendizaje significativo (Apeacutendice I II y III)
El aprendizaje significativo y la evaluacioacuten son procesos que pueden ocurrir paralelamente si se aplican
las diversas formas de evaluacioacuten que existen los memes pueden ser utilizados en las tres rutas de
evaluacioacuten que existen
El meme como evaluador diagnoacutestico debido a su naturaleza criacutetica los memes funcionan con
herramientas para iniciar discusiones reflexiones y diversas metodologiacuteas donde el estudiante puede
hacer introspeccioacuten sobre la compresioacuten de los contenidos a desarrollar o ya estudiados
El meme como evaluador sumativo al utilizar el meme como esta estrategia el docente requiere de una
ruacutebrica soacutelida y objetiva
El meme como evaluador formativo el docente puede utilizar este recurso como una herramienta
metodoloacutegica para brindar espacios de retroalimentacioacuten grupal e individual con el fin de brindar un
aprendizaje formativo
5 Materiales y meacutetodos
Se realizoacute una encuesta a un grupo de 36 docentes de preescolar primaria y secundaria de sistemas
educativos puacuteblicos y privados de las modalidades diurnas bachillerato internacional y nocturnas y a un
grupo de 58 estudiantes pertenecientes a colegios privados y puacuteblicos y que oscilan las edades de 14 a
20 antildeos y de las modalidades acadeacutemica bachillerato internacional y Colegio Nacional Virtual Marco
Tulio Salazar
La muestra de docentes contempla una distribucioacuten que incluye San Carlos Puntarenas San Marcos de
Tarrazuacute Heredia San Joseacute y Cartago mientras que la muestra de estudiantes se utilizoacute la direccioacuten
regional de Heredia especiacuteficamente los circuitos escolares 05 y 07
Las encuestas aplicadas contienen un total de ocho preguntas de las cuaacuteles seis son preguntas cerradas y
dos son preguntas abiertas Las respuestas obtenidas fueron procesadas a partir de graacuteficos y tablas con
el fin de contrastar los resultados
6 Discusioacuten de resultados
Como parte del proceso de indagacioacuten se le pregunto a los docentes sobre el principal uso que se ha dado
a los memes la figura 1 contempla los resultados de esta interrogante
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Figura 1
Uso que se le dan a los memes
Nota Creacioacuten propia
Tal y como muestra la figura anterior las opciones de recreacioacuten u ocio criacutetica social y comunicacioacuten
de ideas son las respuestas con mayor frecuencia en la muestra encuestada esto evidencia que el meme
es un recurso con una gama amplia de uso permitiendo alcanzar niveles de comunicacioacuten superiores a
partir de diferentes estrategias y herramientas
En la misma liacutenea utilizar memes en las lecciones como recurso pedagoacutegico y evaluativo tiene muacuteltiples
beneficios en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje ya que al utilizar el humor como forma de
comunicacioacuten de ideas permite generar conexiones neuronales fuertes y realizar en forma impliacutecita
procesos de cuestionamiento de conocimiento al entender o no entender el meme es este recurso una de
las formas maacutes atractivas para llegar a la metacognicioacuten tal y como lo afirma Vera (2016) al indicar que
ldquohelliplos memes tienen un poder de descripcioacuten y explicacioacuten en torno a un fenoacutemeno hecho u desarrollo
cultural mucho maacutes efectivo para la cultura juvenil globalizada -y por ende hiperconectada- en el aacutembito
educativo del siglo XXIrdquo (p 5)
Se considera que los memes tendraacuten efectos positivos en el estudiantado (Figura 2) y en clima de clase
si esto se logra por consecuencia se afectaraacute positivamente el aprendizaje transformaacutendolo en
contextualizado divertido y significativo Transportan al estudiante hacia paradigmas cognitivos
inexplorados donde se promueve una mentalidad de crecimiento a partir de la sensacioacuten de seguridad
empoderamiento y felicidad de las lecciones
Figura 2
Efecto del uso de los memes en las lecciones de acuerdo con los docentes
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Por otro lado los estudiantes son una de las aristas principales del proceso educativo ante esto se les
preguntoacute a los educandos sobre si existe un agrado por el posible uso de los memes como recurso
pedagoacutegico y evaluativo en las lecciones el resultado se ubica en la Figura 3
Figura 3
Efecto del uso de los memes en las lecciones de acuerdo con los docentes
Nota Creacioacuten propia
Tal y como muestra la figura anterior existe una alta frecuencia por que los memes sean utilizados en
las lecciones ya que permitiraacuten a los estudiantes abordar contenidos desde distintas perspectivas
generando una innovacioacuten educativa en los salones de clases
Estos procesos trascienden de la labor tradicional del docente y produce la liberacioacuten de serotonina
aumentando la felicidad y por ende la sensacioacuten se seguridad y comodidad ante el aprendizaje logrando
el aprendizaje significativo
La contextualizacioacuten del conocimiento es vital es ahiacute donde el meme entra en juego y produce en la
relacioacuten docente-estudiante la contextualizacioacuten del conocimiento para fortalecer el viacutenculo emocional
necesario para el discente esto genera un efecto dominoacute donde a partir de todo lo mencionado
anteriormente se abren caminos hacia una educacioacuten multicultural integral y reflexiva
Los memes utilizados como un recurso evaluativo les brinda a los estudiantes la capacidad de realizar
una auto reflexioacuten y auto retroalimentacioacuten a partir de la comprensioacuten del recurso en contexto social
cuando el estudiante se replantee en su mente porqueacute comprende ese meme por queacute entiende el trasfondo
del meme y por queacute puede identificar errores o datos falsos en un meme habremos logrado como
docentes llevar a la verdadera criticidad al verdadero pensamiento criacutetico y la metacognicioacuten Los
memes son los recursos linguumliacutesticos maacutes utilizados en muchas aacutereas de la sociedad como la publicidad
el periodismo y la sociologiacutea es momento que se utilicen tambieacuten en la educacioacuten y lograr transformar
el arte de educar
7 Conclusiones
Tras finalizar este proceso investigativo se concluye que
El meme es un recurso pedagoacutegico y evaluativo que permite al docente innovar en sus lecciones
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Utilizar el meme como recurso pedagoacutegico invita a los estudiantes a llevar su construccioacuten de
conocimiento a niveles superiores
Innovar es una labor que el docente debe hacer constantemente llevar al estudiante a disfrutar el
aprendizaje es fundamental para alcanzar el aprendizaje significativo
La contextualizacioacuten de conocimiento es necesaria para formar el viacutenculo entre el docente y el estudiante
El meme es un recurso versaacutetil que permite al docente conocer a sus estudiantes fortalecer su relacioacuten
con ellos y despertar desarrollar en los estudiantes competencias habilidades y destrezas
Referencias Bibliograacuteficas
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experiencia de aula Nuacutemeros Revista de Didaacutectica de las matemaacuteticas 102 29-41
Catald Z y Dominighni C (sf) La generacioacuten millenial y la educacioacuten superior Los retos de un nuevo
paradigma Revista de Informaacutetica Educativa y Medios Audiovisuales 12 (19) 14-21
Lewin L (2017) Que ensentildees no significa que aprendan Bonum
Vera E (2016) El meme como nexo entre el sistema educativo y el nativo tres propuestas para la
ensentildeanza del lenguaje Revista Educacioacuten y Tecnologiacutea 1-15
httpsdialnetuniriojaesdescargaarticulo6148882pdf
Apeacutendices
Apeacutendice I Desglose del estudio de un meme de literatura
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Apeacutendice II Desglose del estudio de un meme de matemaacuteticas
Apeacutendice III Desglose del estudio de un meme de Fiacutesica
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Estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de la quiacutemica
Carla Goacutemez Quiroacutes
Universidad Latinoamericana de Ciencia y Tecnologiacutea Costa Rica
cgomezq296ulacitedcr
Resumen La gamificacioacuten o ludificacioacuten es una herramienta de transformacioacuten educativa que permite integrar
metodologiacuteas activas y participativas frente al modelo claacutesico de ensentildeanza magistral En el presente artiacuteculo
se proponen varias estrategias didaacutecticas para la presentacioacuten de contenidos de quiacutemica general en el aula en
forma de juego con objeto de incentivar la motivacioacuten y el aprendizaje entre estudiantes tanto de secundaria
como de nivel inicial universitario Las estrategias se implementaron en un grupo de 46 estudiantes de quiacutemica
inorgaacutenica baacutesica de primer ingreso de universidad (edad promedio = 19 antildeos) procedentes de colegios puacuteblicos
y privados con diferentes niveles de conocimiento sobre la materia El 100 de los estudiantes consideraron
que las actividades realizadas facilitaron su aprendizaje personal e incrementaron su intereacutes en la materia
Palabras clave gamificacioacuten nomenclatura geometriacutea molecular balanceo de ecuaciones simulacioacuten
1 Introduccioacuten
La quiacutemica como asignatura de ciencias es muy importante en los programas de estudio de educacioacuten
secundaria y en los primeros antildeos de educacioacuten superior a nivel global Es un tema central para las
carreras de ciencias baacutesicas ciencias de la salud e ingenieriacuteas entre otras No obstante se ha observado
que en general los estudiantes poseen una percepcioacuten de que la quiacutemica es difiacutecil de entender lo cual en
muchos casos se torna en ansiedad y conduce a la peacuterdida de motivacioacuten o intereacutes sobre la materia
(Nakamatsu 2012)
Lo anterior se puede atribuir a la naturaleza abstracta de la asignatura al meacutetodo de ensentildeanza magistral
que la mayoriacutea de los profesores de quiacutemica han venido utilizando a lo largo del tiempo (Corchuelo
2018) y a la brecha que auacuten existe en nuestro paiacutes entre colegios de enfoque cientiacutefico y acadeacutemico lo
cual auacuten en antildeos recientes no deja de ser uno de los grandes retos que tiene el Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica (MEP) en Costa Rica (Hernaacutendez-Chaverri et al 2017)
En lo que respecta a los profesores de quiacutemica tanto a nivel de secundaria como a nivel de educacioacuten
superior uno de los principales retos consiste en desarrollar nuevas estrategias que permitan revertir esta
percepcioacuten negativa sobre la materia y transformar el aprendizaje en una experiencia positiva que
fomente que los estudiantes se motiven y aprecien la importancia de adquirir conocimiento en esta
asignatura
Una de las estrategias que ha venido desarrollando una gran popularidad en el aacuterea de la educacioacuten
consiste en la teacutecnica de gamificacioacuten cuyo objetivo de acuerdo con Ortegoacuten (2016) consiste en el
empleo o identificacioacuten de elementos caracteriacutesticos del juego que permitan transformar una actividad
desarrollada en un entorno no luacutedico en una experiencia agradable que potencie la motivacioacuten la
concentracioacuten la transmisioacuten de conocimiento y la creacioacuten de un viacutenculo significativo con los
estudiantes
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Gamificar el estudio de la quiacutemica ya sea en forma de juegos educativos simulaciones o bien
experiencias no tradicionales en clase es una propuesta atractiva que brinda a los estudiantes la
oportunidad de visualizar conceptos abstractos participar en el proceso de aprendizaje activo y construir
conocimiento de manera efectiva
Seguacuten Oliva (2016) dentro de un contexto universitario la gamificacioacuten representa una oportunidad para
propiciar una cultura de conectividad entre el docente y el estudiante que alimente el intereacutes genuino de
este uacuteltimo por aprender lo cual seraacute reflejado en el mejoramiento de las dinaacutemicas de grupo la atencioacuten
en clase el fomento de actitudes de criacutetica reflexiva retroalimentacioacuten eficiente y aprendizaje
significativo Asimismo la posibilidad de incentivar la participacioacuten de la totalidad de los estudiantes
permite detectar y solucionar de manera oportuna y efectiva aquellos problemas o errores de comprensioacuten
y colectivizacioacuten del conocimiento reduciendo de esta manera las probabilidades de fracaso acadeacutemico
No obstante es importante considerar que el eacutexito o fracaso de la implementacioacuten de estas estrategias
depende de las mecaacutenicas de juego establecidas y de la adecuada seleccioacuten de las herramientas de juego
para la adaptacioacuten de los conceptos educativos de intereacutes de modo que se debe de tener especial cuidado
en cuanto al disentildeo e implementacioacuten de la actividad Con base en esto Werbach amp Hunter (2012)
citados por Corchuelo (2018) consideran que el disentildeo de una estrategia de gamificacioacuten exitosa se basa
en el cumplimiento de los siguientes puntos
a Definir con claridad los objetivos educativos que se quieren conseguir en el aula
b Delimitar los comportamientos que se quieren potenciar en los estudiantes
c Establecer las caracteriacutesticas e intereses de los jugadores
d Definir el sistema de gamificacioacuten y establecer los ciclos de las actividades
e Disentildear las actividades bajo la premisa de que se debe fomentar la diversioacuten
f Definir los recursos y herramientas necesarias para el desarrollo de la estrategia y la posterior
evaluacioacuten de competencias
En la siguiente seccioacuten se describen las caracteriacutesticas de las estrategias didaacutecticas implementadas para
la dinamizacioacuten de contenidos temaacuteticos en el aacuterea de quiacutemica
2 Materiales y meacutetodos
Con objeto de incentivar la motivacioacuten y el aprendizaje de la quiacutemica entre los estudiantes se realizoacute
una investigacioacuten de caraacutecter cualitativo y disentildeo descriptivo para conocer la valoracioacuten de las estrategias
de gamificacioacuten implementadas En las siguientes subsecciones se detallan los elementos establecidos
para el presente estudio de acuerdo con lo estipulado por Werbach amp Hunter (2012) citados por
Corchuelo (2018)
21 Definicioacuten de los objetivos educativos
De manera adicional a los objetivos acadeacutemicos establecidos dentro del programa del curso la aplicacioacuten
de las estrategias planteadas procura motivar a los estudiantes a participar en clase asiacute como dinamizar
los contenidos temaacuteticos dentro del aula para reducir los tiempos de exposicioacuten magistral de los
conceptos y orientar el proceso de ensentildeanza hacia un sistema basado en la resolucioacuten de problemas Lo
anterior para fomentar el pensamiento creativo de los estudiantes
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22 Comportamientos que se quieren potenciar entre los estudiantes
Dentro de los comportamientos que se quieren potenciar entre los estudiantes se destaca la participacioacuten
en clase el aprendizaje colaborativo la retroalimentacioacuten efectiva entre pares acadeacutemicos y la asistencia
a la mayoriacutea de las sesiones de clase Ademaacutes del intereacutes de potenciar comportamientos positivos se
procura de igual manera revertir comportamientos o percepciones negativas sobre la materia
23 Caracteriacutesticas e intereses de los jugadores
La estrategia de gamificacioacuten se aplicoacute a un grupo de 46 estudiantes de pregrado de la Escuela de
Medicina y Cirugiacutea Veterinaria San Francisco de Asiacutes de la Universidad Veritas - Espantildea con edades
dentro del rango de 17 hasta los 29 antildeos con diferentes niveles de conocimiento sobre la materia
procedentes de colegios puacuteblicos y privados La distribucioacuten de geacutenero fue de 73 (33) mujeres y 27
(12) hombres
24 Sistema de gamificacioacuten y ciclos de actividades
La seleccioacuten de los temas se realizoacute con base en la distribucioacuten de los contenidos temaacuteticos establecidos
dentro del programa del curso el cual se encuentra dividido en las unidades mostradas en la Tabla 1
Tabla 1
Contenidos temaacuteticos establecidos dentro del programa del curso
Unidad Detalle
I Introduccioacuten a la quiacutemica
II Estructura electroacutenica del aacutetomo Tabla perioacutedica Enlace quiacutemico
III Reacciones quiacutemicas y cantidades
IV Estados de la materia
V Agua Disoluciones y coloides
VI Velocidad de reaccioacuten Equilibrio Quiacutemico Aacutecido-Base
Las estrategias de gamificacioacuten se llevaron a cabo en grupos de maacuteximo 5 estudiantes En general las
actividades fueron planificadas para realizarse al inicio y al final de cada unidad temaacutetica del curso en
horario de clase El esquema de clase se desarrolloacute en tres etapas a) exposicioacuten magistral del tema con
una duracioacuten de maacuteximo 15 minutos b) aplicacioacuten de la estrategia de gamificacioacuten en grupos y c)
revisioacuten grupal de ejercicios para finalizar la clase
25 Descripcioacuten de estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de conceptos de quiacutemica
De acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) existen tres niveles de ensentildeanza y aprendizaje de
conceptos en quiacutemica los cuales consisten en el nivel macroscoacutepico submicroscoacutepico y simboacutelico El
nivel macroscoacutepico hace referencia al aprendizaje de conceptos a traveacutes de la observacioacuten el nivel
submicroscoacutepico representa los conceptos quiacutemicos relativos al movimiento de las moleacuteculas aacutetomos o
partiacuteculas subatoacutemicas y el nivel simboacutelico comprende aquellos conceptos que se estudian mediante el
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uso de siacutembolos foacutermulas estructuras o nuacutemeros De estos conceptos los uacuteltimos dos es decir los
niveles submicroscoacutepico y simboacutelico son considerados de alta dificultad para los estudiantes
Con base en lo anterior se detallan a continuacioacuten las estrategias de gamificacioacuten utilizadas para la
dinamizacioacuten y refuerzo de conceptos considerados de alta complejidad por los estudiantes
251 Dados de iones para nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos
La primera estrategia se enfoca en el tema de nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos perteneciente al
nivel simboacutelico de acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) El objetivo principal de esta estrategia
consiste en reducir el error que cometen los estudiantes al combinar catioacuten-catioacuten o anioacuten-anioacuten
mediante la utilizacioacuten de dos dados que lanzan de manera simultaacutenea Uno de los dados el que posee
los cationes se identifica con un color distinto (azul) al dado que posee los aniones (rojo) como se
observa en la Figura 1 de modo que sea un recordatorio para que los estudiantes se aseguren de combinar
especies diferentes
Figura 1
Dados de cationes y aniones para nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos
Adicionalmente esta estrategia permite reforzar el aprendizaje de los nuacutemeros de oxidacioacuten de iones
monoatoacutemicos y poliatoacutemicos asiacute como la praacutectica de la distribucioacuten correcta de estos en cuanto a la
formulacioacuten de los compuestos y su posterior nomenclatura
252 Construccioacuten de modelos tridimensionales de marshmallows para geometriacutea molecular y
Estructuras de Lewis
Una de las principales dificultades respecto al aprendizaje de la quiacutemica como se mencionoacute previamente
consiste en su naturaleza abstracta Para este efecto la construccioacuten de modelos tridimensionales es de
gran utilidad para que los estudiantes visualicen las estructuras de las moleacuteculas en el espacio Este tema
de igual manera pertenece al nivel simboacutelico de acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015)
La estrategia desarrollada se basa en realizar primeramente los disentildeos de las estructuras de Lewis en
papel y posteriormente trasladarlas a su forma tridimensional empleando gomitas o marshmallows
como se muestra en la Figura 2
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Figura 2
Modelos tridimensionales de marshmallows o gomitas para representaciones de geometriacutea molecular y
estructuras de Lewis
La geometriacutea molecular se puede visualizar adicionalmente de manera opcional con ayuda de kits
para construccioacuten de moleacuteculas
253 Balanceo de ecuaciones quiacutemicas con confites y simulaciones PhET
La estequiometriacutea y balanceo de ecuaciones quiacutemicas es uno de los temas de mayor trascendencia en el
estudio de la quiacutemica De acuerdo con la separacioacuten de conceptos de Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) se
clasifica como nivel submicroscoacutepico
La implementacioacuten de ayudas visuales en este caso es de gran apoyo De modo que la estrategia se
plantea como un juego en el que los estudiantes compiten en velocidad para determinar queacute grupo
finaliza el balanceo de ecuaciones en el menor tiempo Para este efecto se utilizan confites como Skittles
o MampMacutes para simular los aacutetomos respetando la asignacioacuten de colores para cada elemento en especiacutefico
tal y como se observa en la Figura 3
Figura 3
Apoyo visual para el balanceo de ecuaciones quiacutemicas
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Otra herramienta disponible para utilizar en clase como apoyo visual para actividades de gamificacioacuten
consiste en el proyecto ldquoPhET Interactive Simulationsrdquo de la Universidad de Colorado Boulder de
donde se pueden obtener distintos recursos educativos para ilustrar conceptos adicionales Las
simulaciones especiacuteficas para quiacutemica se pueden obtener de
httpsphetcoloradoeduensimulationscategorychemistry
26 Recursos y herramientas necesarias
Se aplicoacute un cuestionario en liacutenea para conocer la percepcioacuten de los estudiantes respecto a las estrategias
de gamificacioacuten utilizadas durante el curso Las preguntas definidas para el anaacutelisis cualitativo se
observan en la Tabla 2
Tabla 2
Encuesta aplicada a los estudiantes
Pregunta Tipo de pregunta
iquestCuaacutel fue la actividad que maacutes llamoacute su atencioacuten
Opcioacuten muacuteltiple
iquestLas actividades realizadas incrementaron su intereacutes por la quiacutemica
inorgaacutenica
Dicotoacutemica
iquestCuaacutel fue el tema que maacutes le interesoacute de los contenidos abordados por
las actividades Puede marcar varias opciones
Opcioacuten muacuteltiple
iquestPrefiere el uso de simulaciones en computadora o la construccioacuten de
modelos y juegos en fiacutesico para visualizar conceptos quiacutemicos
Opcioacuten muacuteltiple
iquestConsidera usted que las actividades realizadas fueron innovadoras y
atractivas para los estudiantes
Dicotoacutemica
iquestLas actividades realizadas facilitaron su aprendizaje personal de los
conceptos involucrados
Dicotoacutemica
iquestConsidera uacutetil el uso de estrategias didaacutecticas luacutedicas como
alternativa al enfoque tradicional de ensentildeanza de la quiacutemica
inorgaacutenica a nivel universitario
Dicotoacutemica
iquestTiene alguacuten comentario o sugerencia adicional para mejorar las
actividades realizadas
Abierta
3 Resultados y Discusioacuten
De acuerdo con los resultados obtenidos en la encuesta las actividades que maacutes llamaron la atencioacuten de
los estudiantes con un porcentaje de 444 en ambos casos fueron la construccioacuten de modelos
tridimensionales y la utilizacioacuten de simulaciones PhET El 111 del estudiantado se interesoacute por la
actividad de los dados de iones
En relacioacuten con la valoracioacuten general de las actividades se obtuvo que el 100 de los estudiantes
consideraron que las estrategias aplicadas incrementaron su intereacutes por la quiacutemica y facilitaron su
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aprendizaje personal La distribucioacuten especiacutefica de los contenidos de mayor intereacutes incluyendo la
utilizacioacuten de simulaciones PhET para la visualizacioacuten de otros conceptos se muestra en la Figura 4
donde los temas estudiados con estas uacuteltimas obtuvieron la mayor aceptacioacuten
Figura 4
Intereacutes sobre los contenidos temaacuteticos abordados durante las actividades
En general las estrategias que involucraron el desarrollo manual de modelos tuvieron una aceptacioacuten
mayor (844) respecto al uso de simulaciones computacionales (156) lo cual permite apreciar la
necesidad de realizar una transformacioacuten educativa hacia modelos de ensentildeanza que permitan la
transicioacuten de los estudiantes desde un rol pasivo a un rol activo que les permita interactuar en mayor
medida con sus procesos de aprendizaje como menciona Ortegoacuten (2016) Los estudiantes consideraron
que la experimentacioacuten y realizacioacuten de actividades praacutecticas que les permitieron interactuar con el
contenido visto en clase les ayudoacute a tener un panorama maacutes amplio de coacutemo funciona la quiacutemica en la
vida real lo cual no hubieran obtenido si las clases fueran en su totalidad de caraacutecter magistral
4 Conclusiones
Las estrategias de gamificacioacuten en quiacutemica brindan a los estudiantes la oportunidad de visualizar
conceptos abstractos participar en el proceso de aprendizaje activo y construir conocimiento de
manera efectiva
Los resultados obtenidos en este estudio permiten apreciar la necesidad de realizar una
transformacioacuten educativa hacia modelos de ensentildeanza de aprendizaje activo
Agradecimientos
El desarrollo de este documento no habriacutea sido posible sin la entusiasta participacioacuten y colaboracioacuten de
mis estudiantes del curso de Quiacutemica Inorgaacutenica Baacutesica de la Escuela de Medicina y Cirugiacutea Veterinaria
San Francisco de Asiacutes de la Universidad Veritas en donde tuve la oportunidad de impartir este curso
durante el periacuteodo acadeacutemico del II Cuatrimestre 2019 Agradezco la amabilidad de los estudiantes y del
personal administrativo asiacute como el aprendizaje adquirido durante este breve periacuteodo en la institucioacuten
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Referencias bibliograacuteficas
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ming_and_writing_structural_formulae_of_hydrocarbons_using_the_ball-and-stick_models
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Elaboracioacuten de iacutetems en Geometriacutea y GeoGebra como
herramienta de apoyo en la construccioacuten de las figuras
Estiacutebaliz Rojas Quesada
Universidad Estatal a Distancia
erojasqunedaccr
Eric Padilla Mora
Universidad Estatal a Distancia
epadillaunedaccr
Resumen Este taller estaacute orientado al anaacutelisis de diversos aspectos teoacutericos propios de construccioacuten y
validacioacuten de iacutetems destacando la validez y confiabilidad Se pretende que el participante analice algunos
ejercicios y determine si cumplen con los requisitos para poder ser aplicados posteriormente disentildearaacute ejercicios
tomando en cuenta la teoriacutea y finalmente se le brindaraacute una breve introduccioacuten al empleo del Software
GeoGebra como recurso que le podriacutea contribuir con el disentildeo de las figuras que empleariacutea en los iacutetems
generados Ademaacutes durante el taller se podraacute implementar algunas actividades que le permitan fortalecer su
formacioacuten Matemaacutetica especiacuteficamente en el aacuterea de geometriacutea
Palabras clave Evaluacioacuten geometriacutea anaacutelisis de iacutetems construccioacuten de iacutetems
Objetivo del taller disentildear iacutetems para pruebas escritas en temas de Geometriacutea del I y II Ciclo de la
Educacioacuten General Baacutesica y emplear el software GeoGebra como apoyo para la construccioacuten de las
figuras geomeacutetricas que se incluyan en estos
Puacuteblico meta docentes del I y II Ciclo de la Educacioacuten General Baacutesica Costarricense asiacute como
estudiantes en formacioacuten para dichos ciclos
Recursos computadora con acceso a internet hojas blancas laacutepiz lapicero y borrador
Cantidad maacutexima de participantes 15 personas
1 Introduccioacuten
La evaluacioacuten como proceso cumple entre otros roles el de orientar al docente sobre el aprendizaje de
los estudiantes ofreciendo la posibilidad de fortalecerlo y consolidarlo Ademaacutes se constituye como un
medio para poder transformar el proceso de ensentildeanza dado que permite evidenciar cuaacuteles son las
necesidades prioritarias que se debe atender Por tanto tiene que ser visualizada como una actividad
continua y un proceso integrador que genera desde la reflexioacuten de las experiencias oportunidades
formativas De acuerdo con Fernaacutendez (2018) ldquola evaluacioacuten implica que el docente registre las
fortalezas los talentos las cualidades los obstaacuteculos los problemas o las debilidades que de manera
individual y grupal se vayan dando para intervenir oportunamenterdquo (paacuterr 3)
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Sin embargo se debe recurrir a la medicioacuten para cuantificar los atributos que se encuentran presentes en
los estudiantes (Martiacutenez 2008) tal y como sucede en la educacioacuten costarricense la cual sin importar el
propoacutesito de la evaluacioacuten diagnoacutestica formativa o sumativa debe cumplir con una serie de estaacutendares
de calidad los cuales tienen que ver principalmente con la validez y confiabilidad de los instrumentos
que se emplean para realizar la evaluacioacuten de los aprendizajes
En cuanto a la validez considerada como ldquoel grado en que un test mide lo que pretende medirrdquo (Martiacutenez
2005 p 330) involucra el anaacutelisis de dos aspectos esenciales el contenido para que las preguntas sean
relevantes y representativas del tema que se pretende medir y el proceso de respuesta ya que por medio
de ello se puede establecer los procedimientos que siguen las personas para responder y los indicadores
de lo que se quiere evaluar (Meneses et al 2013)
Por su parte se puede indicar que la confiabilidad se relaciona con el grado de consistencia con que los
examinados realizan la prueba por lo cual es importante determinarla (American Educational Research
Association et al 2018) Para el caso de los instrumentos de evaluacioacuten que se realizan en el aula es
maacutes sencillo tratar de mantener la validez que la confiabilidad ya que para este uacuteltimo se requieren
realizar una serie de anaacutelisis psicomeacutetricos que se salen del alcance de este taller Por tanto para elaborar
iacutetems es primordial el dominio del contenido y de aspectos baacutesicos en evaluacioacuten de los aprendizajes
Otro aspecto fundamental en el caso de Matemaacutetica en aacutereas como la geometriacutea aunque por lo general
se indica que ldquolas figuras no estaacuten hechas a escalardquo es que al emplear imaacutegenes y figuras estas no
contradigan definiciones postulados lemas resultados o teoremas propios de la disciplina y que en la
medida de las posibilidades sirvan de guiacutea u orientacioacuten es aquiacute donde el empleo de alguacuten software para
elaborarlas seriacutea lo idoacuteneo
El taller estaacute orientado al anaacutelisis de diversos aspectos teoacutericos propios de construccioacuten y validacioacuten de
iacutetems se pretende que el participante analice algunos ejercicios y determine si cumplen con los requisitos
para poder ser aplicados luego tomando en cuenta la teoriacutea disentildearaacute ejercicios y para finalizar se
brindaraacute una breve introduccioacuten al empleo del Software GeoGebra como recurso que le podriacutea contribuir
con el disentildeo de las figuras que empleariacutea en los iacutetems generados Ademaacutes durante el taller se podraacute
implementar algunas actividades que le permitan fortalecer su formacioacuten en Matemaacutetica
especiacuteficamente en el aacuterea de geometriacutea
2 Actividades del taller
I Parte Anaacutelisis y elaboracioacuten de iacutetems
Tiempo aproximado 35 minutos
Actividad 1
Se realiza una breve exposicioacuten sobre aspectos teoacutericos relacionados con la elaboracioacuten y validacioacuten de
iacutetems Tiempo aproximado 15 minutos
Se retomaraacuten algunos de los aspectos que de acuerdo con el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa
Rica (MEP) (2011) se debe considerar para la elaboracioacuten de iacutetems tales como
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Las experiencias de aula y el contexto del estudiante
Los objetivos o habilidades especiacuteficas
Utiliza iacutetems objetivos y de desarrollo
Utilizar un vocabulario teacutecnico acorde con el contenido por evaluar
Cuidar el puntaje de los iacutetems
Evitar la redaccioacuten en forma negativa
Realizar la tabla de especificaciones
Para la validacioacuten de los iacutetems se recomienda que se cuente con la participacioacuten de dos a tres personas
que sean expertos en el aacuterea El objetivo de contar con estas personas es que realice un juzgamiento de
los iacutetems en donde se considere algunos criterios de aceptacioacuten para ello se recomienda como miacutenimo
Verificar la congruencia con respecto a los Programas de Estudio en cuanto al ciclo y antildeo educativo
para el cual se aplicaraacute
Revisar el tecnicismo propio de la asignatura
Revisar la redaccioacuten
Resolver el iacutetem
Analizar la cantidad de procedimientos para asignar el nivel de dificultad
Verificar la pertinencia de acuerdo con sus caracteriacutesticas
Analizar las alternativas de respuesta (Seleccioacuten Uacutenica)
Efectuar un anaacutelisis de sensibilidad
Brindar sugerencias para mejorar el iacutetem
Actividad 2
Los participantes realizaraacuten un anaacutelisis y discusioacuten de cuatro iacutetems (ver anexo 1) relacionados con
geometriacutea considerando aspectos propios de la evaluacioacuten entre ellos habilidad redaccioacuten validez
dificultad alternativas y sensibilidad
Tiempo aproximado 10 minutos
Actividad 3
Los participantes seleccionaran una habilidad especiacutefica de los Programas de Estudio del MEP elaboran
y validaran dos iacutetems relacionados con temas de geometriacutea uno objetivo y otro de desarrollo Para el
anaacutelisis deben considerar al menos los siguientes aspectos
Verificar la congruencia con respecto a los Programas de Estudio en cuanto al ciclo y antildeo educativo
para el cual se aplicaraacute
Revisar el tecnicismo propio de la asignatura
Revisar la redaccioacuten
Resolver el iacutetem
Analizar la cantidad de procedimientos para asignar el nivel de dificultad
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Verificar la pertinencia de acuerdo con sus caracteriacutesticas
Analizar las alternativas de respuesta (Seleccioacuten Uacutenica)
Tiempo aproximado 10 minutos
II Parte
GeoGebra una herramienta de apoyo en la construccioacuten de figuras geomeacutetricas
Tiempo aproximado 55 minutos
Actividad 1
Instalacioacuten por parte de los participantes del software GeoGebra
Tiempo aproximado 10 minutos
Dicho programa puede ser descargado de httpswwwgeogebraorgdownload
Actividad 2
Ingreso al ambiente de trabajo de GeoGebra
De acuerdo con la paacutegina oficial de GeoGebra se indica que
GeoGebra es un software de matemaacuteticas para todo nivel educativo Reuacutene dinaacutemicamente
geometriacutea aacutelgebra estadiacutestica y caacutelculo en registros graacuteficos de anaacutelisis y de organizacioacuten en
hojas de caacutelculo GeoGebra con su libre agilidad de uso congrega a una comunidad vital y en
crecimiento En todo el mundo millones de entusiastas lo adoptan y comparten disentildeos y
aplicaciones de GeoGebra Dinamiza el estudio Armonizando lo experimental y lo conceptual
para experimentar una organizacioacuten didaacutectica y disciplinar que cruza matemaacutetica ciencias
ingenieriacutea y tecnologiacutea (STEM Science Technolog y Engineering amp Mathematics) La
comunidad que congrega lo extiende como recurso mundial iexclpotente e innovador para la cuestioacuten
clave y claacutesica de la ensentildeanza y el aprendizaje (p 1)
Un vistazo a GeoGebra
Al descargar e instalar dicho programa y abrirlo se debe visualizar un ambiente de trabajo similar a lo
mostrado a continuacioacuten
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Figura 1
Ambiente de trabajo de GeoGebra
Nota Elaboracioacuten propia
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 3
Conocer el ambiente de trabajo de la paacutegina principal del GeoGebra
Diversas vistas de trabajo de GeoGebra
Menuacute principal
Menuacute de creacioacuten y manipulacioacuten de objetos
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Figura 2
Menuacute principal y menuacute de creacioacuten
NotaElaboracioacuten propia
Tiempo aproximado 10 minutos
Actividad 4
Conocer las diversas propiedades de algunos de los objetos que se pueden crear en GeoGebra
Figura 3
Punto y segmento en ambiente de trabajo de GeoGebra
Nota Elaboracioacuten propia
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Ademaacutes representar un punto Cambiarle el tamantildeo el color el nombre y determinar las coordenadas
Trazar un segmento Cambiarle el tamantildeo el color el nombre y determinar su longitud
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 5
Construir un segmento de 2 cm de longitud Denotar sus puntos extremos con las letras A y B
respectivamente
Trazar una recta perpendicular al segmento que pase por el punto A Luego sobre la perpendicular
destaque un punto y denoacutetelo con la letra C
Manipule libremente el punto denotado por B Luego trace el segmento BC
Determine la medida de los tres aacutengulos internos del triaacutengulo ABC Ajustar los decimales con los cuales
se desea brindar la medida de dichos aacutengulos internos
De acuerdo con la medida de los aacutengulos internos del triaacutengulo iquestQueacute nombre recibe
Determine la medida de los lados de triaacutengulo ABC
De acuerdo con la medida de los lados iquestQueacute nombre recibe
Tiempo aproximado 15 minutos
Actividad 6
Construir un triaacutengulo escaleno obtusaacutengulo Trazar las bisectrices y denotar el incentro con la letra ldquoRrdquo
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 7
Realizar las construcciones que se requieren en los iacutetems construidos en la actividad 3 de la primera
parte del taller Tiempo aproximado 5 minutos
Actividades optativas
Actividad 8
Construir un triaacutengulo isoacutesceles Trazar las medianas y trazar la circunferencia circunscrita en dicho
triaacutengulo
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Actividad 9
Construir un triaacutengulo equilaacutetero Trazar las alturas y determinar el aacuterea de la regioacuten triangular generada
Verificar que el aacuterea satisface que 2
b aA
donde ldquobrdquo es la medida de uno de los lados y ldquoardquo es la medida
de la altura trazada sobre dicho lado
Actividad 10
Construir un cuadrado y determinar el valor del periacutemetro
Construir un rectaacutengulo (que no sea cuadrado) y determinar el valor del aacuterea
Actividad 11
Construir un pentaacutegono hexaacutegono y un octoacutegono
Actividad 12
Construir un pentaacutegono regular un hexaacutegono regular y un dodecaacutegono regular
Actividad 13
Construir un cubo
Referencias bibliograacuteficas
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Meneses J Barrios M Bonillo A Cosculluela A Lozano L Turnaby J y Valero S (2013)
Psicometriacutea Editorial UOC
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Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2011) La prueba escrita
fileCUsersestibDropboxPersonalEvaluaciC3B3n20y20pedagogC3ADaMEP
la_prueba_escrita_2011pdf
Anexos
Anexo 1 Ejercicios por analizar en la actividad 21
1 Considere la siguiente figura en la cual se muestra el ∆119860119861119862 si 119860119862 cong 119860119861
Nota es importante considerar que la figura no estaacute hecha a escala
De acuerdo con los datos en la figura el periacutemetro de dicho triaacutengulo corresponde a
( ) 59 cm
( ) 43 cm
( ) 43 cm2
( ) 59 cm2
2 Considere la siguiente figura
Realice lo que se le indica a continuacioacuten Valor total 7 puntos Un punto cada acierto
1 Observacioacuten debe considerarse que todos los ejercicios propuestos para esta actividad 2 tienen errores voluntarios o
intencionados con el fin de realizar el anaacutelisis propio de la actividad errores que van desde la redaccioacuten el formalismo y el
contenido entre otros
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iquestCuaacutel es su nombre _________________
Coloree con azul cuatro triaacutengulos
Coloree con verde un cuadrilaacutetero
Coloree con rojo un pentaacutegono
3 Considere el siguiente texto y la figura
Es el segmento que une un veacutertice con el punto medio
del lado opuesto
El texto dado hace referencia a la definicioacuten de
( ) Mediatriz
( ) Mediana
( ) Altura
( ) Ninguna de las anteriores
3 Juan tiene una empresa destinada a la venta de chocolates la cual se ha destacado por
disentildearlos de diversas formas y tamantildeos Para cierta actividad una empresa le solicitoacute
que le vendiera 5 000 chocolates y han seleccionado uno que tiene forma de un pentaacutegono
regular cuyas dimensiones son lado de la base 5 cm apotema de la base 3 cm y altura 4
cm Con base en dicha informacioacuten disentildee una estrategia que permita
a) Determinar la cantidad de materia prima (chocolate) que deberaacute preparar la empresa
Valor 3 puntos
b) Saber cuaacutento deberaacute pagar la empresa a Juan por los chocolates encargados si cada
chocolate tiene un valor de 200 colones Valor 5 puntos
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Etnomodelacioacuten La Modelacioacuten en la Cultura
Daniel Clark Orey
Universidad Federal de Ouro Preto Brasil
oreydcufopedubr
Milton Rosa
Universidad Federal de Ouro Preto Brasil
miltonrosaufopedubr
Resumen La realidad vivida por los miembros de grupos culturales distintos puede ser percibido
como siendo un conjunto de experiencias que estaacuten presentes en sus vidas cotidianas cuyas
representaciones son generadas viacutea inferencias con la utilizacioacuten de concepciones mentales a
traveacutes de la etnomodelacioacuten La propuesta de la etnomodelacioacuten puede ser interpretada como una
accioacuten pedagoacutegica que permite reconocer y presentar los conocimientos matemaacuteticos presentes
en la vida diaria de los alumnos en situaciones didaacutecticas motivadoras La etnomodelacioacuten busca
proporcionar la conexioacuten de las praacutecticas matemaacuteticas locales con los procedimientos
matemaacuteticos usados en otros sistemas de conocimientos matemaacuteticos como por ejemplo el
escolar o acadeacutemico en una resignificacioacuten del conocimiento matemaacutetico por medio de la
etnomodelacioacuten
Palabras clave Cultura Etnomodelacioacuten Modelacioacuten
1 Consideraciones Iniciales
Histoacutericamente el desarrollo de las matemaacuteticas estuvo relacionado con la resolucioacuten de
problemas diarios y tambieacuten con la tentativa de modelar los acontecimientos cotidianos por
medio de modelos explicativos e interpretativos de esas situaciones Seguacuten este contexto la
etnomodelacioacuten puede ser considerado como un sitio de investigacioacuten y una tendencia
pedagoacutegica porque a) puede ser utilizada en la ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
en todos los niveles de la educacioacuten y b) que contribuye para el desarrollo de la reflexioacuten
criacutetica de los alumnos ampliando su autonomiacutea para la resolucioacuten de situaciones-problemas
enfrentadas en el cotidiano
Entonces es importante que el trabajo en etnomodelacioacuten sea direccionado para que los
alumnos a) entiendan el significado de las situaciones problemas presentadas b)
comprendan el conocimiento matemaacutetico como una herramienta para la comprensioacuten de la
resolucioacuten de los problemas que surgem en el diacutea a diacutea c) se den cuenta de que las
metodologiacuteas utilizadas en la modelacioacuten han contribuiacutedo para el exceso de formalismo en
el lenguaje matemaacutetico valorizando la formalizacioacuten de sus contenidos matemaacuteticos en
detrimento de sus conexiones con el cotidiano y otras aacutereas del conocimiento
Las dimensiones social y cultural de la etnomodelacioacuten son importante para proporcionar
reflexiones criacuteticas sobre el papel de la elaboracioacuten de modelos para la resolucioacuten de
situaciones problemas que aquejan las comunidades globales y locales Estos modelos son
representaciones de sistemas de conocimientos matemaacuteticos que ayudan a los miembros de
grupos culturales distintos en el entendimiento y en la apropiacioacuten de la realidad mediante el
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uso de pequentildeas unidades de informacioacuten denominadas etnomodelos que vinculan el
patrimonio cultural de estos miembros con la evolucioacuten de procedimientos y praacutecticas
matemaacuteticas que son desarrolladas en su propio contexto cultural (Rosa y Orey 2017a)
Asiacute la investigacioacuten sobre estas dimensiones ha definindo sus objetivos por medio del
establecimiento de la naturaleza y potencialidad de sus meacutetodos de pesquisa e investigacioacuten
En estas dimensiones la combinacioacuten de la teoriacutea y la praacutectica auxilia a los alumnos en el
entendimiento de los sistemas retirados de la realidad para adquirir las herramientas
necesarias para que puedan ejercer la ciudadaniacutea y participar activamente de la sociedad y de
sus comunidades Por consiguiente Rosa y Orey (2017b) argumentan que los principales
objetivos de estas dimensiones son
Proporcionar a los estudiantes las herramientas educativas necesarias para que como
ciudadanos en formacioacuten sean capaces de actuar modificar cambiar y transformar la propia
realidad
Iniciar el aprendizaje en matemaacuteticas a partir del contexto sociocultural de los alumnos
proporcionaacutendoles el desarrollo del raciocinio loacutegico y de la creatividad
Facilitar el aprendizaje de ideas procedimientos conceptos y praacutecticas que ayuden a los
alumnos a desarrollar el conocimiento matemaacutetico para que puedan comprender los
contextos social econoacutemico poliacutetico ambiental histoacuterico y cultural en los cuales estaacuten
inseridos
La aplicacioacuten de las dimensiones social y cultural de la etnomodelacioacuten se basa en la
comprensioacuten y el entendimiento de la realidad en la que los estudiantes se colocan a traveacutes
de la reflexioacuten el anaacutelisis y la accioacuten criacutetica sobre esa realidad Por ejemplo cuando
prestamos de la realidad los sistemas que existen dentro de ella los alumnos comienzan a
estudiarlos simboacutelica sistemaacutetica analiacutetica y criacuteticamente En ese caso partiendo de una
determinada situacioacuten problema los alumnos pueden elaborar hipoacutetesis probarlas
corregirlas hacer inferencias generalizar analizar concluir y tomar decisiones sobre el
objeto de estudio que estaacuten relacionados con las actividades realizadas en sus vidas diarias
(DrsquoAmbrosio 1990)
Todaviacutea para que se produzca el conocimiento matemaacutetico es importante que la
etnomodelacioacuten sea concebida como un entorno de aprendizaje en el que los estudiantes
investiguen situaciones provenientes de la realidad y de sus comunidades locales En ese
entorno se destaca la importancia de incluir las situaciones provenientes del cotidiano y de
otras aacutereas del conocimiento Eso permite a los alumnos intervenir en la propia realidad con
la obtencioacuten de una representacioacuten social y cultural del conocimiento matemaacutetico que estaacute
relacionado con la situacioacuten estudiada por medio de debates criacuteticos y reflexivos en la
elaboracioacuten y comprensioacuten de los etnomodelos
2 Las etnomatematicas y la modelacion
Las etnomatemaacuteticas ofrecen una visioacuten maacutes amplia del conocimiento matemaacutetico pues
abarca las ideas nociones procedimientos procesos meacutetodos y praacutecticas arraigadas en
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entornos culturales distintos Para Rosa y Orey (2017a) es importante el desarrollo de la
reflexioacuten criacutetica sobre las dimensiones sociales culturales ambientales econoacutemicas y
poliacuteticas de las matemaacuteticas en una sociedad dinaacutemica y globalizada
La propuesta del programa etnomatemaacuteticas es hacer de las matemaacuteticas algo vivo que
trabaje con situaciones reales en el tiempo y en el espacio por medio de anaacutelisis
cuestionamientos y criacuteticas sobre los fenoacutemenos presentes en la vida diaria (DrsquoAmbrosio
1990) La aplicacioacuten de las teacutecnicas etnomatemaacuteticas y las de herramientas de la modelacioacuten
nos permiten examinar sistemas tomados de la realidad y nos dan una idea de las variadas
formas de hacer matemaacuteticas de una manera holiacutestica (Bassanezi 2002)
En ese contexto Rosa y Orey (2017a) destacan que las etnomatemaacuteticas se relacionan con el
estudio de las ideas y procedimientos matemaacuteticos que consideran el contexto cultural en el
cual las nociones y praacutecticas matemaacuteticas emergen a traveacutes de la matematizacioacuten de praacutecticas
matemaacuteticas locales La matematizacioacuten estaacute relacionada con los sistemas de conocimiento
que estaacuten relacionados con la cotidianeidad de los miembros de cada grupo cultural y que
pueden ser matematizados y traducidos al lenguaje de las matemaacuteticas escolares y
acadeacutemicas
La utilizacioacuten de la matematizacioacuten que estaacute presente en la cotidianeidad de los miembros de
grupos culturales distintos tiene por objetivo la ampliacioacuten y el perfeccionamiento del
conocimiento matemaacutetico pues conduce al fortalecimiento de su identidad cultural La
modelacioacuten es una de las posibles estrategias que posibilitan la aproximacioacuten y la relacioacuten
entre los saberes y haceres entre sistemas matemaacuteticos distintos
Para Rosa y Orey (2003) la modelacioacuten puede ser percibida como un conjunto de
representaciones de la realidad que son generadas viacutea inferencias con la utilizacioacuten de
representaciones mentales que permiten valorar y respetar el conocimiento etnomatemaacutetico
presentes en situaciones cotidianas Este enfoque contextualiza el conocimiento matemaacutetico
desarrollado localmente ya que estudia los fenoacutemenos matemaacuteticos que se dan en diversos
contextos culturales (globales)
Asiacute el conocimiento matemaacutetico puede ser entendido como resultante de oriacutegenes locales
(eacutemicas) maacutes que globales (eacuteticas) que permiten la proposicioacuten de actos de traduccioacuten entre
esas dos perspectivas (Eglash et al 2006) Este enfoque parece ser razonable ya que las
etnomatemaacuteticas a menudo hace uso de la modelacioacuten a fin de establecer relaciones entre los
marcos conceptuales locales y los conocimientos matemaacuteticos incluido en los disentildeos
globales
De ese modo las ideas procedimientos y praacutecticas matemaacuteticas incluyen los principios
geomeacutetricos en trabajo artesanal conceptos arquitectoacutenicos y praacutecticas son encontradas en
actividades y artefactos de culturas locales y globales que pueden ser traducidas entre
sistemas de conocimientos matemaacuteticos distintos Consecuentemente este conocimiento estaacute
relacionado con una postura glocal desde una visioacuten pluricultural por medio del dinamismo
cultural entre los miembros de grupos culturales distintos
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3 Etnomodelacioacuten
Es importante la buacutesqueda de enfoques metodoloacutegicos y pedagoacutegicos alternativos para
registrar formas histoacutericas de ideas y procedimientos matemaacuteticos locales que se dan en
diferentes contextos culturales porque las praacutecticas matemaacuteticas occidentales son aceptadas
a nivel mundial sin discusiones y coacutemo verdades uacutenicas Asiacute el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico local debe ser documentado como parte del estudio del progreso cientiacutefico de las
id praacutecticas matemaacuteticas efectuadas por los miembros de grupos culturales distintos
Seguacuten Rosa y Orey (2017b) una opcioacuten de enfoque alternativo es la etnomodelacioacuten que
agrega las perspectivas culturales a los conceptos de la modelacioacuten Estos conceptos estaacuten
relacionados con la medicioacuten el caacutelculo los juegos la adivinacioacuten la navegacioacuten la
astronomiacutea la modelacioacuten y en una amplia variedad de otros procedimientos matemaacuteticos
asiacute como como en artefactos culturales Este enfoque representa un proceso de traduccioacuten y
elaboracioacuten de los problemas y preguntas tomados de los fenoacutemenos diarios y tambieacuten de la
vida cotidiana
Por ejemplo Orey y Rosa (2017b) afirman que es esencial mostrar que la Etnomodelacioacuten
incluye ideas nociones procedimientos teacutecnicas estrategias perspectivas y praacutecticas
matemaacuteticas desarrolladas por miembros en culturas distintas y que son manifestadas y
transmitidas de diversos modos La etnomodelacioacuten ofrece a los investigadores y educadores
un marco importante para transformar las matemaacuteticas en un conocimiento activo y
contextualizado a traveacutes de la perspectiva cultural de la modelacioacuten
Este contexto posibilitoacute el desarrollo de una comprensioacuten de la etnomodelacioacuten como la
traduccioacuten de los procedimientos matemaacuteticos locales y de las praacutecticas matemaacuteticas En ese
sentido la traduccioacuten puede ser considerada como la descripcioacuten de los procesos de
modelacioacuten de sistemas locales (culturales) los cuales pueden tener una representacioacuten en
otros sistemas alternativos del conocimiento matemaacutetico Entonces la etnomodelacioacuten se
configura como un elemento esencial en el aacutembito de la antropologiacutea cultural las
etnomatemaacuteticas y la modelacioacuten matemaacutetica La figura 1 muestra la interseccioacuten entre estos
tres campos de estudio
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Figura 1
Etnomodelacioacuten como la interseccioacuten entre tres campos de conocimiento
Nota Recuperado de Rosa y Orey (2012)
De acuerdo con Rosa y Orey (2017b) es importante observar que la traduccioacuten es
considerada como la descripcioacuten de los procesos de modelacioacuten de sistemas locales
(culturales) pueden tener una representacioacuten matemaacutetica en la cultura occidental y viceversa
a traveacutes de la Etnomodelacioacuten por medio de tres tipos de visiones culturales del conocimiento
matemaacutetico local (eacutemico) global (eacutetico) y glocal (dialoacutegico)
a) Conocimiento Matemaacutetico Local (Eacutemico)
El conocimiento matemaacutetico eacutemico estaacute relacionado con los saberes y haceres provenientes
de los miembros del propio grupo cultural pues se origina desde dentro de la cultura em una
visioacuten interior de acuerdo con una postura intracultural (Rosa y Orey (2017b) Por ejemplo
la interculturalidad promueve la recuperacioacuten fortalecimiento desarrollo y cohesioacuten al
interior de las culturas locales para la consolidacioacuten de una sociedad pluricultural basada en
la equidad solidaridad complementariedad reciprocidad y justicia social Asiacute el curriacuteculo
escolar debe incorporar los saberes y conocimientos de las cosmovisiones de los grupos
culturales locales en sus praacutecticas educativas (Saaresranta 2011)
El anaacutelisis del conocimiento interno es eacutemico si las ideias procedimientos y praacutecticas
matemaacuteticas son exclusivas de culturas que tienen sus raiacuteces en las diversas formas en que
las actividades diarias se llevan a cabo en un entorno cultural especiacutefico Este conocimiento
estaacute de acuerdo con las percepciones e interpretaciones consideradas apropiadas por tales
culturas desde dentro Estaacute relacionado con las cuentas descripciones y anaacutelisis expresados
en teacuterminos de las categoriacuteas y esquemas conceptuales que son considerados significativos y
apropiados por los miembros de grupos culturales distintos (Rosa y Orey 2012)
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La validacioacuten de este conocimiento trae consigo una cuestioacuten de consenso de la poblacioacuten
local que debe estar de acuerdo con que sus constructos coincidan con las percepciones
compartidas que retratan las caracteriacutesticas de su cultura (Rosa y Orey 2017b) El
conocimiento matemaacutetico eacutemico se orienta de nosotros hacia nosotros con la perspectiva de
los nativos que es una visioacuten desde dentro interior y local
b) Conocimiento Matemaacutetico Global (Eacutetico)
El conocimiento matemaacutetico eacutetico estaacute relacionado con los saberes y quehaceres
provenientes de los observadores externos a la cultura que se originan desde fuera del grupo
cultural en una visioacuten exterior sobre sus miembros en una postura intercultural (Rosa y Orey
2017b) La interculturalidad promueve el desarrollo de la interrelacioacuten e interaccioacuten de
conocimientos saberes ciencia y tecnologiacutea propios de cada cultura con otras culturas que
fortalece la identidad propia y la interaccioacuten en igualdad de condiciones entre todas las
culturas locales con los grupos culturales globales (Saaresranta 2011)
En el curriacuteculo del sistema educativo se promueven las praacutecticas de interaccioacuten entre
diferentes culturas desarrollando actitudes de valoracioacuten convivencia y diaacutelogo entre
distintas visiones del mundo para proyectar y universalizar la sabiduriacutea propia y local
(Saaresranta 2011) Asiacute las ideas y procedimientos matemaacuteticos son eacuteticos si pueden ser
comparados entre culturas a traveacutes del uso de definiciones y meacutetricas comunes Este
conocimiento se relaciona con las cuentas descripciones y anaacutelisis de los procedimientos y
praacutecticas matemaacuteticas expresadas en teacuterminos de las categoriacuteas consideradas apropiadas por
observadores externos (Rosa y Orey 2012)
El conocimiento matemaacutetico eacutetico es preciso loacutegico replicable e independiente de los
observadores externos y su validacioacuten es una cuestioacuten de anaacutelisis loacutegico y empiacuterico en
particular de que la construccioacuten de ese conocimiento cumple con los estaacutendares de
integralidad y consistencia loacutegica (Rosa y Orey 2017b) El conocimiento eacutetico se orienta de
ellos (investigadores y educadores) hacia nosotros con una perspectiva de los observadores
externos que es una visioacuten desde fuera exterior y global
c) Conocimiento Matemaacutetico Global (Dialoacutegico)
Este conocimiento presenta un dinamismo cultural entre los conocimientos matemaacuteticos
eacutemico y eacutetico que estaacute representado por los encuentros entre dos o maacutes culturas diversas en
las aulas Asiacute el conocimiento matemaacutetico de los miembros de grupos culturales distintos se
combina con el sistema de conocimiento matemaacutetico occidental que resulta en una
perspectiva dialoacutegica en Educacioacuten Matemaacutetica Este conocimiento incluye el
reconocimiento de otras epistemologiacuteas y de la naturaleza holiacutestica e integrada del
conocimiento matemaacutetico de los miembros de diversos grupos que se encuentran en
contextos culturales distintos (Rosa y Orey 2017b)
Este enfoque puede garantizar el desarrollo de la comprensioacuten de las diferentes maneras de
hacer las matemaacuteticas mediante diaacutelogo y respeto mutuos entre los enfoques globales y
locales a traveacutes de la glocalizacioacuten que puede enriquecer las temaacuteticas novedosas para los
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estudiantes y les muestra como las aplicaciones matemaacuteticas pueden encontrarse en muchas
aacutereas de la ciencia de los negocios de la vida cotidiana y en las diversas praacutecticas culturales
(Rosa y Orey 2017a)
En ese sentido la glocalizacioacuten (global+local) es un abordaje dialoacutegico que considera la
interaccioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos locales (desde dentroeacutemicosinsiders) y
globales (desde fueraeacuteticosoutsiders) Este enfoque tambieacuten estaacute relacionado con la
aceleracioacuten e intensificacioacuten de la interaccioacuten e integracioacuten entre los miembros de grupos
culturales distintos que componen la sociedad (Rosa y Orey 2017b)
De acuerdo con ese contexto es necesario ampliar la discusioacuten de las posibilidades para la
inclusioacuten de las perspectivas de la Etnomodelacioacuten que valoran y den voz a la diversidad
social y cultural de los miembros de grupos culturales distintos y de este modo desarrollar
una comprensioacuten de sus diferencias a traveacutes del diaacutelogo y el respeto Consecuentemente las
poliacuteticas educativas reclaman que en el trabajo pedagoacutegico en las instituciones educativas
sean incluidos los artefactos mentefactos y sociofactos que son indicadores descriptivos de
las culturas para enriquecer la diversidad del conocimiento matemaacutetico de los miembros de
grupos culturales distintos
4 Indicadores Descriptivos Culturales
De acuerdo con Huxley (1955) bioacutelogo ingleacutes y primer director de la UNESCO acuntildeoacute el
concepto de mentefactos para expresar los sistemas abstractos de creencias valores e ideas
que se manejan en las culturas De acuerdo con eacutel consideramos que hay tres indicadores
descriptivos que son componentes esenciales de todas las culturas artefactos mentefactos y
sociofactos elementos que forman parte del patrimonio cultural y que se han organizado
histoacutericamente por la humanidad
a) Artefactos
Los artefactos son objetos culturales que proporcionan las herramientas materiales
necesarias para el desarrollo de vestimentas abrigos defensas y transportes
Consecuentemente estos artefactos auxilian a los miembros de grupos culturales distintos en
la resolucioacuten de los problemas diarios con la utilizacioacuten de teacutecnicas y estrategias
matemaacuteticas (Rosa y Orey 2017a) Los artefactos son considerados como herramientas
aparatos e instrumentos de observacioacuten Los artefactos son confeccionados con el empleo
del conocimiento matemaacutetico local a traveacutes del uso de materiales distintos desarrollados en
contextos diversos (DrsquoAmbrosio 2001)
Los artefactos pueden ser considerados como mercanciacuteas culturales que incluyen la
tecnologiacutea material desarrollada por los miembros de un grupo cultural que satisfacen sus
necesidades baacutesicas de alimento cobijo transporte y similares (DrsquoAmbrosio 2001)
Consecuentemente los artefactos tambieacuten estaacuten relacionados con las manifestaciones
teacutecnicas y materiales de una determinada cultura como por ejemplo los sistemas de
tratamiento de la tierra las herramientas utilizadas y la organizacioacuten de la produccioacuten
agriacutecola
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b) Mentefactos
Los mentefactos son las ideas los valores y creencias compartidos de generacioacuten en
generacioacuten como por ejemplo la religioacuten la lengua las leyes y los puntos de vista Estos
indicadores son los elementos centrales y maacutes duraderos de las culturas pues incluyen lo
miacutetico los mitos las tradiciones artiacutesticas y el folclore (Huxley 1955) El lenguaje
matemaacutetico y cientiacutefico los conocimientos desarrollados y difundidos por los miembros de
grupos culturales distintos tambieacuten son considerados mentefactos
Para Rosa y Orey (2017b) los mentefactos se relacionan con las nociones de geacutenero
valores ideales cultura libertad creencias democracia religioacuten colectivismo
individualismo derechos y deberes sociales y tambieacuten informan a los miembros de grupos
culturales distintos para que se organicen de acuerdo con su propio sistema de explicaciones
cientiacuteficas y matemaacuteticas creencias y tradiciones pues se relacionan con la capacidad
humana de pensar y formular ideas y conforman los ideales y las imaacutegenes por los que se
miden otros aspectos culturales
De acuerdo con DrsquoAmbrosio (2001) los mentefactos son los sistemas de
conocimiento que se expresan en formas diversas de comunicacioacuten que componen la base
del proceso de socializacioacuten de esos miembros Los conceptos y las teoriacuteas que componen
los mentefactos se denominan instrumentos de anaacutelisis
c) Sociofactos
Los sociofactos son las estructuras y organizaciones de una determinada cultura que
influencian el comportamiento social y el desarrollo de saberes y haceres cientiacuteficos y
matemaacuteticos de sus miembros y que incluyen aspectos de las culturas que se relacionan con
viacutenculos entre individuos y grupos (Rosa y Orey 2017b) Asiacute estas estructuras son
consideradas como las interacciones entre las personas la estructura de las instituciones las
normas sociales las instituciones gubernamentales la estructura de la educacioacuten y las
instituciones poliacuteticas
Por consiguiente para Huxley (1955) los sociofactos incluyen la convivencia en las
familias en los gobiernos en los sistemas educativos en las organizaciones deportivas en
los grupos religiosos y en cualquier otra agrupacioacuten destinada a desarrollar actividades
socioculturales especiacuteficas pues son los aspectos relacionados con la organizacioacuten social
con los viacutenculos entre los individuos y los grupos sociales como por ejemplo las estructuras
familiares los parentescos los comportamientos reproductivos y sexuales
Para DrsquoAmbrosio (2001) los sociofactos incluyen sistemas poliacuteticos y educativos
porque son los patrones esperados y aceptados por las relaciones interpersonales que estaacuten
relacionadas con los aspectos econoacutemico poliacutetico militar y religioso En ese contexto Rosa
(2010) sostiene que estos indicadores descriptivos culturales estaacuten presentes en la vida
cotidiana de los miembros de grupos culturales distintos ayudaacutendolos a ampliar y el
perfeccionar sus conocimientos matemaacuteticos porque proponen el fortalecimiento de sus
identidades culturales
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Para Rosa y Orey (2017a) esta perspectiva proporciona el equilibrio necesario al curriacuteculo
escolar pues al insertar estos componentes en el curriacuteculo matemaacutetico concebimos la
etnomodelacioacuten como un programa que estaacute basado en un paradigma que busca la
humanizacioacuten de las matemaacuteticas por medio de un abordaje filosoacutefico y contextualizado del
curriacuteculo matemaacutetico
5 Consideraciones Finales
Es importante buscar enfoques metodoloacutegicos alternativos mientras las praacutecticas
matemaacuteticas occidentales sean aceptadas a nivel mundial para registrar formas histoacutericas de
ideas y procedimientos matemaacuteticos que se dan en diferentes contextos culturales Un
enfoque pedagoacutegico alternativo es el de la Etnomodelacioacuten que agrega la perspectiva cultural
a los conceptos de la modelacioacuten matemaacutetica (Rosa y Orey 2010)
Es esencial mostrar que la etnomodelacioacuten incluye ideas perspectivas y praacutecticas
matemaacuteticas de individuos en diferentes culturas y que estas ideas son manifestadas y
transmitidas de diversos modos Asiacute el desarrollo de la etnomodelacioacuten debe ser
documentado como parte del estudio del progreso cientiacutefico de las ideas y las praacutecticas
matemaacuteticas efectuadas por los miembros de grupos culturales distintos La Etnomodelacioacuten
ofrece a los educadores un marco importante para transformar las matemaacuteticas en un
conocimiento maacutes activo para contribuir en la realizacioacuten de una sociedad maacutes humana y
justa El objetivo principal de la etnomodelacioacuten es desarrollar una herramienta poderosa
para ayudar a los miembros de grupos culturales distintos a crear una sociedad definida por
la dignidad para todos y donde iniquidad arrogancia violencia e intolerancia no tengan lugar
Es necesario ampliar la discusioacuten de las posibilidades pedagoacutegicas para poder incluir una
perspectiva cultural de las matemaacuteticas que respete la diversidad social de los miembros de
distintos grupos culturales distintos Un enfoque que garantice el desarrollo de la
comprensioacuten de las diferentes maneras de hacer las matemaacuteticas mediante diaacutelogo y respeto
mutuos entre los enfoques locales y globales a traveacutes de la glocalizacioacuten En este contexto
es necesario mostrar a los estudiantes que pertenecen a culturas con baja representacioacuten social
la contribucioacuten que dan al desarrollo del pensamiento matemaacutetico Ensentildear a los estudiantes
que pertenecen a culturas mayoritarias diferentes grupos culturales promovieacutendoles el
respeto por la diversidad y contribuyendo a la educacioacuten glocal (Rosa y Orey 2017a)
Por ejemplo la glocalizacioacuten (global+local) enriquece las temaacuteticas novedosas para los
estudiantes y les muestra como las aplicaciones matemaacuteticas pueden encontrarse en muchas
aacutereas de la ciencia de los negocios de la vida cotidiana y en las diversas praacutecticas culturales
En ese sentido Rosa y Orey (2017b) afirman que la glocalizacioacuten es un abordaje dialoacutegico
que considera la interaccioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos locales (desde
dentroeacutemicosinsiders) y globales (desde fueraeacuteticosoutsiders) Este enfoque tambieacuten estaacute
relacionado con la aceleracioacuten e intensificacioacuten de la interaccioacuten e integracioacuten entre los
miembros de grupos culturales distintos que componen la sociedad El trabajo pedagoacutegico
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asiacute orientado permite un anaacutelisis maacutes amplio del contexto escolar pues las praacutecticas
pedagoacutegicas trascienden el espacio fiacutesico y pasan a acoger los saberes y haceres presentes
en todo el contexto sociocultural de los alumnos
Para terminar la aplicacioacuten de la etnomodelacioacuten nos brinda la oportunidad de examinar los
sistemas de conocimientos locales (eacutemicos) y globales (eacuteticos) para tener una idea de las
formas de las matemaacuteticas utilizadas en diversos contextos y grupos culturales De ese modo
la perspectiva global (eacutetica) juega un papel importante en la investigacioacuten en la
etnomodelacioacuten sin embargo la perspectiva local (eacutemica) debe tenerse en cuenta tambieacuten
en el desarrollo de este proceso Asiacute el conocimiento matemaacutetico de los miembros de grupos
culturales distintos que se combina con otros sistemas de conocimientos matemaacuteticos
resulta en una perspectiva dialoacutegica en la Educacioacuten Matemaacutetica a traveacutes del dinamismo
cultural
Referencias bibliograacuteficas
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originario campesino Tinkazos 14(30) 127-143
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Herramientas 20 ldquoAlgunas opciones para sumar a
nuestras clasesrdquo
PhD Carlos L Chanto Espinoza
Universidad Nacional de Costa Rica
carloschantoespinozaunacr
Msc Marlene Duraacuten Loacutepez
Universidad Nacional de Costa Rica
marleneduranlopezunacr
Resumen Cada vez maacutes docentes estaacuten utilizando herramientas como blogs wikis y podcasts
como nueva forma de ensentildear De ahiacute la importancia de la exposicioacuten que busca incitar la
innovacioacuten y la participacioacuten capacitar y motivar a sus copartiacutecipes e instaurar una diferencia
en su proceso de ensentildeanza y aprendizaje La implementacioacuten de las TIC supone un cambio en
las metodologiacuteas que se han implementado hace muchos antildeos donde la relacioacuten entre el profesor
y el educando es vertical el primero estaacute a cargo del conocimiento y por el cual auacuten hay
profesionales que no quieren abandonar esta posicioacuten en cambio las TIC permiten la
participacioacuten del alumno dando como resultado un ambiente maacutes interactivo Los profesores son clave en la implementacioacuten de las TIC son los responsables de desarrollar
diferentes estrategias que sean atractivas y motivantes para sus alumnos estos uacuteltimos por su
parte reconocen el uso de las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten como una herramienta
educativa y no como una forma en la cual puedan distraerse
Tambieacuten con el establecimiento de estas metodologiacuteas supone una gran ventaja porque desarrolla
nuevas habilidades nuevos escenarios por conocer que representan un reto ademaacutes de que el
estudiante esteacute preparado para cuando inicie su etapa laboral donde todos esos aprendizajes se
ponen en praacutectica y se verifica la calidad del proceso educativo
Palabras clave Herramientas Conocimiento TIC Desafiacuteos Educacioacuten Brecha digital
1 Introduccioacuten
Vivimos en una epoca en donde la utilizacioacuten de las Tecnologiacuteas de Informacioacuten y
Comunicacioacuten denomidas TIC estan creciendo de tal forma que van cambiando el mundo
que conocemos Hoy en diacutea es normal ver que algunos procesos que antes requeriacutean de largas
filas y visitas a oficinas se reducen a unos cuantos clics y una coneccioacuten a intenet
Esta revolucioacuten de la era digital no se ha quedado exenta al sector educativo ya que cada vez
es mas comuacuten ver que muchos centros de educacioacuten opten por dar cursos virtuales en casi un
100 por ciento en su modalidad de aprendizage
La educacioacuten a distancia es por su naturaleza una de las pricipales candidatas al cambio de
la digitalizacion de la educacion y esto se evidencia en las universidades que brindan
servicios a distacia por medio de multiples herramientas digitales y plataformas educativas
Este paradigma rompe con el esquema tradicional de educacioacuten y aprendizaje en donde los
alumnos tienen que trasladarse desde lugares remotos a centros universitarios para recibir
clases ya que las plataformas virtuales educativas brindan toda una gama de herramientas
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que les permiten tanto a formadores como educandos llevar a cabo el proceso de aprendizaje
de una manera dinaacutemica e interactiva
Una de las primordiales caracteristicas de la educacion virtual o a distancia es su capacidad
para cubrir una demanda mucho mayor de educandos que si se llevara de manera precencial
Ya que con ayuda de las TIC tienen capacidad de llenar aulas virtules con grandes
capacidades de alumnos en comparacioacuten con las aulas fiacutesicas
2 El marco de las TIC en el saloacuten de clases
En la actualidad el mercado laboral estaacute cada diacutea maacutes exigente en la preparacioacuten acadeacutemica
de las personas esto debido a las diferentes exigencias de las empresas las cuales solicitan
muacuteltiples habilidades blandas sumadas los diferentes teacutecnicos grados universitarios sin
mencionar el manejo de alguna segunda lengua
La falta de empleo a raiacutez de la poca preparacioacuten de la poblacioacuten hace que las personas
busquen diferentes meacutetodos de estudios que los certifiquen en sus distintas aacutereas para tener
un respaldo ante un extenso mercado laboral Es aquiacute donde las TIC han ido evolucionando
junto con la docencia ofreciendo herramientas para mejorar la captacioacuten de la informacioacuten
brindando material didaacutectico maacutes dinaacutemico y efectivo e interactivo
Seguacuten Hernaacutendez (2011) ldquohellip las TIC hacen referencia Al conjunto de recursos necesarios
para tratar informacioacuten procesada por los ordenadores y dispositivos electroacutenicos
aplicaciones informaacuteticas y redes necesarias para convertirla almacenarla administrarla y
transmitirlardquo (paacuterr3)
Al analizar el concepto anteriormente citado podemos asumir que las tecnologiacuteas de
informacioacuten abarcan desde simples tareas domeacutesticas hasta los maacutes complejos sistemas
informaacuteticos La importancia que conllevan las TIC para las micro y gigantes empresas es
significativa por la versatilidad y utilidad que este tipo de tecnologiacuteas les brinda en pro de un
mejor rendimiento y eficiencia de estas
Las tecnologiacuteas de informacioacuten les ofrecen a los estudiantes una amplia gama de recursos
que son actualizados de manera constante que pueden ser utilizados y aplicados a su
desarrollo acadeacutemico conlleva muchos beneficios como obtener o acceder a informacioacuten
amplia y variada de cualquier tema en especiacutefico en cualquier lugar en que se encuentre el
estudiante sin limitaciones geograacuteficas o de tiempo asiacute lo menciona Almenara (2007) ldquohellip
uno de los efectos maacutes importantes y significativos de las TIC en al aacutembito educativo es la
posibilidad que nos ofrecen para flexibilizar el tiempo y el espacio en que se desarrolla la
accioacuten educativardquo (p 15)
En los uacuteltimos antildeos la tecnologiacutea ha evolucionado alcanzando niveles muy altos en la
utilizacioacuten de las TIC en las universidades El conversar sobre docencia y la incorporacioacuten
de las TIC al marco de la ejecucioacuten de ensentildeanza aprendizaje No existe incertidumbre de
que las tecnologiacuteas estaacuten transformado de manera fundamental nuestra forma de vivir
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La educacioacuten como tal estaacute compuesta de distintos factores el docente encargado de impartir
la materia y la ensentildeanza los recursos teoacutericos y didaacutecticos y el medio para evaluar el
aprendizaje Seguacuten lo establece el Programa de produccioacuten Multimedia (2016) ldquoSe debe
aprovechar todo el potencial que ofrecen las tecnologiacuteas para asiacute establecer y fortalecer
comunidades o redes virtuales de aprendizaje donde el profesor y el estudiante interactuacuteenrdquo
(paacuterr7)
Seguacuten lo establecen Vlasova et al (2019) ldquoPodemos definir parte del concepto de la
tecnologiacutea en la educacioacuten como desarrollo de nuevos programas de disciplinas educativas
basados en la ciencia enfocados en la capacitacioacuten especiacutefica de los profesores para utilizar
tecnologiacuteas y meacutetodos como lo son las plataformas virtuales en sus actividades profesionales
y justificar la efectividad de los programasrdquo (p 1)
En contraste la incorporacioacuten de las TIC en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje es flexible
y se adaptan a las formas de aprender de los diferentes estudiantes Tal y como lo define Rose
(2016) desde la pantalla de una computadora uacutenicamente de texto de la manera tradicional
hasta sistemas en donde el aprendizaje se haga por colores formas o sonidos Herramientas
como tutores inteligentes soporte visual ayuda para aprendizaje colaborativos entre muchas
otras herramientas que avanzan cada diacutea respondiendo cada vez maacutes a las necesidades y
respuestas humanas
Tambieacuten contribuye a la inclusioacuten de diferentes grupos sociales que antes eran excluidos de
los procesos educativos por falta de material o herramientas que se adaptaran a las
necesidades especiacuteficas de esas personas Asiacute lo menciona Rodriacuteguez (2019) ldquoAhora las
nuevas tecnologiacuteas han hecho su arribo a los ambientes educativos de diferentes maneras ya
sea como contenidos educativos objetos de aprendizaje plataformas infraestructura o
auxiliaresrdquo
De manera que las TIC esbozan transformaciones en la educacioacuten virtual enmarcadas en el
campo de las telecomunicaciones y la informaacutetica provocando permutas en las sociedades
en relacioacuten con la manera de trabajo las formas de interaccioacuten y comunicacioacuten de muacuteltiples
sectores sociales y la manera de consentir a la informacioacuten en un mundo global
De modo que un intento de virtualizacioacuten el uso de la plataforma las conferencias por
dispositivo electroacutenico entre muacuteltiples herramientas donde fueron expliacutecitamente creadas
para proporcionar que se intercambie el conocimiento entre los colaboradores minimizar el
sentimiento de reducir el espacio la inseguridad y soledad cuando se estudia
3 Educacioacuten y su relacioacuten con las TIC
Los beneficios de las TIC como columna para desplegar aacutereas de aprendizajes muestran que
la mayoriacutea de los sistemas que sobrellevan las redes de conocimiento son asentadas en textos
Praacutecticamente toda la educacioacuten estaacute edificada sobre trabajos escritos libros de textos y
precisamente las redes de comunicacioacuten mediante computadoras encajan los textos
interactivos que consienten edificar el conocimiento
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Otro de los puntos positivos que tiene la implementacioacuten TIC en el proceso de ensentildeanza ndash
aprendizaje es la apertura a la accesibilidad de esta Actualmente existen muchos programas
educativos que son impartidos mediante lecciones virtuales esto es un gran beneficio ya que
existen muchas personas que por diferentes motivos no les es posible asistir a lecciones
presenciales
Hace algunos antildeos la utilizacioacuten de las TIC en la docencia no era tan significativo las clases
eran presenciales los trabajos tareas y proyectos se entregaban de forma fiacutesica algunos
incluso escritos a mano pero con el pasar de los antildeos cada vez se fue desarrollando esta
innovacioacuten hasta tal punto que es posible recibir una educacioacuten en forma virtual por medio
de computadores y acceso a una red de internet en donde las personas pueden participar en
videoconferencias en foros hacer video llamadas compartir informacioacuten realizar tareas y
exaacutemenes en liacutenea
Esta modalidad vino a facilitar muacuteltiples procesos a muchas personas que por diversas
razones no pueden asistir de forma presencial a recibir lecciones las TIC les permite lograr
sus objetivos de superacioacuten desde su hogar y a la vez desarrollando otras actividades como
asistir al trabajo o atender a sus familias
La tecnologiacutea le ha dado un gran giro a la educacioacuten puesto que ya no es suficiente las clases
tradicionales para mantener a los estudiantes atentos y deseosos de aprender algo nuevo cada
diacutea como se ha visto las nuevas tecnologiacuteas han abarcado muchos aacutembitos hoy diacutea es casi
imposible que una persona no esteacute involucrada de alguna manera con la tecnologiacutea Asiacute lo
establece Garciacutea (2017) ldquohellipel uso de la tecnologiacutea en el aula es una de esas cuestiones que
hace que sea faacutecil ser un maestrordquo (paacuterr1)
La utilizacioacuten de la tecnologiacutea en el aacuterea de la educacioacuten tiene como objetivo el aumento de
los procesos de ensentildeanza - aprendizaje al ser tecnologiacuteas modernas el docente y los
educandos pueden consentir a la informacioacuten a partir de cualquier lugar del mundo y a
cualquier hora lo uacutenico que se requiere es una conexioacuten a internet
Tal y como lo establece Lozano (2016) ldquohellip el mundo evoluciona y la educacioacuten tambieacuten el
modelo actual educativo- aprendizaje a traveacutes de libros y una pizarra con tizas ha finalizado
Hace varios antildeos que la tecnologiacutea entroacute con fuerza para mejorar la educacioacuten y ahora ya es
una parte vital de ellardquo (paacuterr1)
Al desarrollarse nuevos recursos didaacutecticos y tecnoloacutegicos lo que provoca es que el docente
este maacutes capacitado y preparado para utilizar estas nuevas herramientas y asiacute poder ofrecer
una mejor calidad en la educacioacuten y facilitar el aprendizaje de los estudiantes que ellos le
encuentren la motivacioacuten al aprender de manera participativa
4 La ensentildeanza con apoyo tecnoloacutegico no es moda
La educacioacuten con apoyo tecnoloacutegico es uno de los temas maacutes actuales y tratados durante
los uacuteltimos antildeos la educacioacuten a distancia se ha abierto un gran espacio dentro de la educacioacuten
general que se afirma en algunos medios de comunicacioacuten para formar un tipo de relacioacuten
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entre ambas partes el que ensentildea y el que aprende independientemente del lugar y tiempo de
cada uno
No obstante las universidades utilizan las TIC como apoyo la docencia aunque este proceso
educativo formal y no existiacutea ninguacuten apoyo por parte de ninguna identidad como ahora que
hay un gran apoyo con una buena base en tal educacioacuten que se apoya en la tecnologiacutea
En la mayoriacutea de los lugares donde se han implementado TIC con apoyo a la docencia ha
brindado un espacio para que todos los educandos puedan acomodar sus prioridades y
facilitar informacioacuten desde cualquier lugar y a cualquier hora que sea necesaria
La TIC deben hoy diacutea integrar la docencia y la sociedad de esta manera coopera con la
educacioacuten y trata de ofrecer un gran y valioso aporte materializando la idea de formar un
pueblo con un alta nivel acadeacutemico y amplio conocimiento educativo
Tal y como lo define Arguedas (2016) ldquoEl proceso de ensentildear y aprender ocurre con una
separacioacuten de espacio y de tiempo entre quienes ensentildean y los estudiantesrdquo (p82)
El papel que juega la tecnologiacutea en el aacutembito de la educacioacuten es el maacutes importante al facilitar
el aprendizaje mediante documentos virtuales que suministra informacioacuten importante y
requerida por el educando tambieacuten mediante la plataforma virtual que se encuentra en un
entorno estudiantiles facilitando tener acceso a la informacioacuten de los diferentes programas
Estas tendencias modernas de la educacioacuten con el apoyo de TIC estaacuten en constante
actualizacioacuten transformando el conocimiento de coacutemo emplear la tecnologiacutea para ser
eficientes y entender todo lo que se puede desarrollar con ellas
Con la evolucioacuten de las TIC en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se ha complementado
dando como resultado una mejor y maacutes amplia ensentildeanza a todas las personas El aprendizaje
es maacutes que memorizar paacuterrafos o textos es en siacute una transformacioacuten de lo leiacutedo a las
actividades de la vida cotidiana con la ayuda de la TIC
El uso de materiales didaacutecticos facilita el aprendizaje tales como multimedia videos
documentos y hasta audiolibros tales ayudan a reforzar la materia escrita en los libros y asiacute
complementa la lectura
El internet ya facilita las comunicaciones en muacuteltiples sectores del mundo se ha
transformado se en una herramienta impredecible hace muchos antildeos no se teniacutea clara la idea
de quera una computadora y ahora gracias al avance de las TIC se puede hasta realizar un
examen virtual desde la comodidad de la casa
Asiacute lo define Barrantes (2016) las nuevas tecnologiacuteas no solo cambiaraacuten los meacutetodos de
ensentildeanza sino tambieacuten la propia gestioacuten de las universidades
Estas tecnologiacuteas se deben efectuar con base a los objetivos que se quieren alcanzar y dar un
buen uso de ellas de manera controlada evitando las diferentes problemaacuteticas que se pueden
adquirir al exceder el uso y mal uso de estas
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5 Conclusiones
El desarrollo tecnoloacutegico propone transformaciones de muacuteltiples tipo la educacioacuten sin duda
alguacuten es una de las secciones maacutes capaces a dichos cambios Se demanda que este sumario
sea gobernado por investigacioacuten educativa y no simplemente innovacioacuten La investigacioacuten
educativa asegura que los meacutetodos y la tecnologiacutea posean efectos efectivos y estrictamente
se trate de transformar las herramientas para lograr nuevos resultados La predisposicioacuten
tecnoloacutegica en un futuro mediato fundaraacute que narremos con entornos de aprendizaje
informales y sociales las teacutecnicas de ensentildeanza-aprendizaje habituales que auacuten permanecen
tengan que desaparecer
Consiguientemente el nuevo papel del docente precisa no solo renovar sus conocimientos
sino vislumbrar y estar sumergido en la dinaacutemica comunicacional moderna no solo sabiendo
el funcionamiento de las modernas herramientas TIC sino coexistiendo como acto de parte
de estas Los sistemas inteligentes aferrados al sumario de ensentildeanza-aprendizaje que estaacuten
en progreso ha sido exitosa
Los modernos espacios virtuales fundados para estos cambios de preparacioacuten formacioacuten y
perfeccionamiento en que las personas edifican su propio conocimiento y utilizan diferentes
metodologiacuteas de aprendizaje que fortifican las destrezas de los educandos Se puede decir
que es significativo conocer las bases teoacutericas que sufre la educacioacuten con ayuda de las TIC
para concebir este modelo que desde hace antildeos se despliega a nivel mundial
Los medios de ensentildeanza constituyen un componente esencial del proceso ensentildeanza-
aprendizaje imaacutegenes o representaciones de objetos imitacioacuten los contenidos en todos los
programas las potenciar el conocimiento del educando Entendiendo que la modalidad de
Educacioacuten con apoyo de las TIC Si se quiere atenuar un trabajo colaborativo se debe valorar
cuaacutel herramienta brindariacutea un mayor beneficio en el aprendizaje de los educandos
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Las direcciones a la tica como un recurso para ensentildear
matemaacuteticas
Marcela Garciacutea Borboacuten
Universidad Nacional Costa Rica
marcelagarciaborbonunaaccr
Jesennia Chavarriacutea Vaacutesquez
Universidad Nacional Costa Rica
jchaunaaccr
Mariacutea Elena Gavarrete Villaverde
Universidad Nacional Costa Rica
mgavarreteunaaccr
Margot Martiacutenez Rodriacuteguez
Universidad Nacional Costa Rica
mmartiunaaccr
Resumen El proyecto Formacioacuten de docentes en la visioacuten sociocultural de las matemaacuteticas
formulado desde el 2015 disentildeoacute e impartioacute el curso Enculturacioacuten Matemaacutetica y Etnomatemaacutetica
en diversas zonas costeras limiacutetrofes indiacutegenas y rurales del paiacutes Se trata de un curso dirigido a
docentes de primaria que busca mostrar estrategias y recursos para abordar las clases de
matemaacutetica desde la visioacuten sociocultural al hacer del signo cultural el centro del planeamiento
De este modo el proyecto generoacute el modelo Etnomatemaacuteticas Glocalizadas para maestros
(ETGLOMA 2019) que busca continuar con los propoacutesitos del proyecto original
El taller ldquoLas direcciones a la tica como un recurso para ensentildear matemaacuteticasrdquo aborda el tema de
la ubicacioacuten espacial como parte del aacuterea de la Geometriacutea Ademaacutes vincula las habilidades
matemaacuteticas con algunas relacionadas con la Geografiacutea que se cubre en la materia de Estudios
Sociales como una sugerencia de incorporacioacuten de la contextualizacioacuten activa que demanda el
Ministerio de Educacioacuten en sus programas
Palabras clave Etnomatemaacuteticas formacioacuten de docentes contextualizacioacuten activa signo
cultural
1 Objetivos
Este taller tiene como objetivo general Analizar la orientacioacuten espacial utilizando las
direcciones a la tica para ofrecer estrategias metodoloacutegicas que aborden los contenidos de la
ubicacioacuten espacial en Educacioacuten Primaria
2 Fundamentacioacuten teoacuterica
El proyecto Formacioacuten de Docentes en la Visioacuten Sociocultural de la Matemaacutetica nace en
2015 en la Universidad Nacional como una forma de contribuir a las demandas
metodoloacutegicas que el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2012) establece en la formacioacuten de
docentes Su principal contribucioacuten es la incorporacioacuten de las etnomatemaacuteticas en la
educacioacuten al proponer el uso de los signos culturales en el planeamiento Ofrece una
respuesta a la necesidad de integrar el eje transversal de la contextualizacioacuten activa en la
educacioacuten como un elemento prioritario en el planeamiento Asiacute se favorece la comprensioacuten
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de los saberes globales al vincularlos con los saberes locales al estimular el uso de modelos
basados en la realidad cercana
Por otro lado este taller aborda contenidos curriculares del Programa de Estudios Sociales
de primero segundo y tercer nivel (Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica 2013) al tomar en
cuenta los contenidos conceptuales de ubicacioacuten espacial orientacioacuten geograacutefica
elaboracioacuten e interpretacioacuten de croquis mapa escala y simbologiacutea
Para lograr el efectivo desarrollo de este taller se inicia con la definicioacuten de los conceptos
primarios En este sentido se concibe el signo cultural como un elemento de la cultura
material que representa la identidad de una regioacuten (Oliveras 1996) que se puede incorporar
en las matemaacuteticas escolares Se entiende Enculturacioacuten Matemaacutetica como el ldquoproceso de
interaccioacuten social desarrollado dentro de un marco de conocimientos determinado pero con
el objetivo de volver a crear y definir ese marcordquo (Bishop 1999 p 120) La Enculturacioacuten
Matemaacutetica ademaacutes de usar elementos de la cultura en el planteamiento de problemas
involucra un proceso de investigacioacuten sobre las matemaacuteticas que se han usado en el desarrollo
de ideas nociones procedimientos procesos meacutetodos y praacutecticas culturales arraigadas en
distintos ambientes
Bishop (1999) clasifica las matemaacuteticas desarrolladas por todas las culturas en alguna de las
seis actividades comunes contar medir localizar disentildear jugar y explicar En particular en
este taller nos centramos en las actividades de localizar y explicar
La actividad matemaacutetica de localizar se concibe como la necesidad de codificar y simbolizar
el entorno espacial al responder al reto de la exploracioacuten de la tierra y el mar con el fin de
conocer el propio terreno en la buacutesqueda de alimento (Bishop 1999) En este taller se
trabajaraacute con direcciones mapas y croquis que constituyen una representacioacuten simboacutelica del
espacio La actividad matemaacutetica de explicar se centra en abstracciones y formalizaciones
que buscan establecer relaciones entre los fenoacutemenos y la teoriacutea que los explica Se abordaraacute
a traveacutes del anaacutelisis de las relaciones entre los objetos del espacio con las direcciones mapas
y croquis asiacute como las transformaciones de que son objeto
Por otro lado la geometriacutea es la parte de la matemaacutetica escolar que se encarga de la
descripcioacuten y anaacutelisis de las formas y el espacio Asiacute el pensamiento espacial seguacuten Gallo
et al (2006) viene a ser el conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales se construyen
y manipulan las representaciones mentales del espacio
Sobre la localizacioacuten se entiende como la accioacuten de sentildealar en forma especiacutefica el lugar
doacutende se encuentran ciudades puertos paiacuteses accidentes geograacuteficos o cualquier otro
elemento Localizar de manera absoluta implica situar con precisioacuten un punto especiacutefico de
la superficie terrestre Localizar de forma relativa seriacutea maacutes bien usar los puntos cardinales
y distancias con respecto a otro lugar
Estimular el estudio de signos culturales en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las
Matemaacuteticas favorece la vinculacioacuten entre la matemaacutetica escolar con la matemaacutetica presente
en las praacutecticas cotidianas y asiacute motiva el aprendizaje gracias a que propicia un cambio en
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83
el dominio afectivo al reconocer que la matemaacutetica es una actividad humana desarrollada
por cada cultura a partir de sus necesidades
3 Metodologiacutea de trabajo
El disentildeo metodoloacutegico del taller contempla el desarrollo de las actividades matemaacuteticas
localizar y explicar Se proponen diferentes actividades que abordan las direcciones a la tica
como un signo cultural de nuestro paiacutes
Este disentildeo sigue el mismo esquema que los otros talleres del curso de Enculturacioacuten
Matemaacutetica y Etnomatemaacutetica En un principio se indaga sobre el conocimiento previo con
el fin de activar los conocimientos matemaacuteticos que se requieren para el efectivo desarrollo
del taller En este caso se explora sobre la percepcioacuten entre los participantes relacionada con
la contextualizacioacuten activa asiacute como conocimientos previos sobre localizacioacuten en el espacio
pensamiento espacial distancia estimacioacuten y direccioacuten Ademaacutes se reflexiona con los
maestros sobre la existencia de elementos matemaacuteticos en la forma de dar direcciones en
Costa Rica a traveacutes del anaacutelisis de sus propias direcciones y las de sus compantildeeros en busca
de esos elementos De esta forma ademaacutes se examina la vinculacioacuten con otras aacutereas como
la Geografiacutea y los Estudios sociales
A continuacioacuten se solicita a los participantes que utilicen medios de localizacioacuten virtuales
como Google maps Waze u otro para verificar la precisioacuten de la estimacioacuten y direccioacuten que
se usoacute en la actividad anterior Esto con el fin de reflexionar sobre las capacidades humanas
referentes a determinar una medida a partir de los sentidos y como esta capacidad puede
influir en la representacioacuten del espacio en dos dimensiones
Luego se invita a los participantes a meditar y socializar por medio de una plataforma
virtual sobre los elementos matemaacuteticos (presentes en el Programa de Matemaacutetica) que
logran distinguir en las direcciones con el fin de que tras la experiencia anterior incorpore
nuevos elementos que tal vez no percibioacute la primera vez que los buscoacute por ejemplo sistemas
de referencia
En una segunda parte se busca que los participantes elaboren un croquis de su comunidad
(Figura 1) que puede ser basado en los mapas que antes usaron Esta actividad tiene el
propoacutesito de evidenciar que los puntos cardinales y puntos de referencia estaacuten vinculados con
la matemaacutetica escolar Tambieacuten explorar habilidades uacutetiles en aspectos como el disentildeo tanto
como una nueva reflexioacuten sobre otros elementos de la matemaacutetica escolar presentes en este
signo cultural
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Figura 1
Croquis de la comunidad
La siguiente actividad estaacute vinculada con una consideracioacuten sobre las posibilidades para
desplazarse de un lugar a otro y coacutemo se puede describir cada una de esas posibilidades
(Figura 2) Se pretende que los participantes piensen esta vez sobre las variaciones que se
presentan en cuanto a la direccioacuten distancia aacutengulos u otro de su desplazamiento
Figura 2
Posibilidades de desplazarse de un lugar a otro
Para finalizar se les pide que cambien el origen de su desplazamiento de modo que analicen
una vez maacutes los sistemas de referencia presentes en las direcciones y en la representacioacuten del
espacio en un plano como un modelo matemaacutetico (Figura 3)
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Figura 3
Sistemas de referencia presentes en las direcciones y en la representacioacuten del espacio en
un plano como un modelo matemaacutetico
La movilizacioacuten e integracioacuten de conceptos relacionados con el pensamiento espacial se daraacute
al finalizar el taller gracias a la socializacioacuten guiada por preguntas como
iquestQueacute elementos matemaacuteticos estaacuten presentes en la elaboracioacuten del mapa
iquestQueacute elementos culturales o matemaacuteticos no han sido considerados
iquestLos conceptos matemaacuteticos (geomeacutetricos) coinciden con los teacuterminos utilizados
popularmente
4 Planificacioacuten del taller
A continuacioacuten se describen las actividades a realizar seguacuten la descripcioacuten anterior asiacute
como los recursos y materiales que seraacuten necesarios (Tabla 1)
Tabla 1
Actividades a realizar
Actividad Conocimientos Materialesrecursos Tiempo estimado
Presentacioacuten y
Conceptos
fundamentales
Contextualizacioacuten
activa localizacioacuten
pensamiento espacial
distancia estimacioacuten
direccioacuten
Acceso a la
plataforma Zoom
10 minutos
Anote la direccioacuten
exacta de su casa
Puntos de referencia
puntos cardinales
estimacioacuten de
distancia
Carpeta en Drive
compartida con los
participantes
10 minutos
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Utilizando otro
punto de referencia
anote de nuevo la
direccioacuten exacta de
su casa
Puntos de referencia
puntos cardinales
estimacioacuten de
distancia
Carpeta en Drive
compartida con los
participantes
6 minutos
Verifique la
estimacioacuten de
medidas y direccioacuten
del desplazamiento
de las direcciones
de las Actividades 1
y 2
Puntos cardinales
medicioacuten
Google maps Waze u
otra aplicacioacuten similar
de localizacioacuten
10 minutos
Reflexioacuten sobre
elementos
matemaacuteticos
presentes en la
ubicacioacuten en el
espacio
Distancia puntos
cardinales rectas
paralelas ubicacioacuten
espacial sistemas de
referencia
Carpeta Drive
compartida con los
participantes
8 minutos
Elaboracioacuten de un
croquis del pueblo
Distancia puntos
cardinales rectas
paralelas ubicacioacuten
espacial
Papel laacutepices
teleacutefono para hacer la
fotografiacutea
15 minutos
Dibujar dos
trayectorias
diferentes para
desplazarse de un
lugar a otro
Paint u otro editor de
imaacutegenes
10 minutos
Cambie el origen hellip Google maps Waze u
otra aplicacioacuten similar
de localizacioacuten Paint
u otro editor de
imaacutegenes
10 minutos
Socializacioacuten Carpeta Drive
compartida con los
participantes
11 minutos
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88
Homotecias con GeoGebra
Grethel Ramiacuterez Goacutemez
Liceo de Poaacutes Costa Rica
grethelramirezgomezgmailcom
Resumen En este documento presentoacute un taller cuyo fin fue generar un acercamiento con la
tecnologiacutea como apoyo a la construccioacuten de conceptos matemaacuteticos en la geometriacutea y
especiacuteficamente con las homotecias El participante logroacute realizar construcciones y observaciones
sobre los diferentes tipos de homotecias directa e inversa fue el protagonista de su propio
conocimiento y al final podraacute compartir las diferentes conclusiones a las que fue capaz de llegar
con las diferentes actividades propuestas
Palabras clave GeoGebra homotecia geometriacutea construccioacuten
1 Introduccioacuten
Este taller que presento fue desarrollado con la herramienta GeoGebra (versioacuten 50) y se creoacute
pensando en primer momento para trabajar con estudiantes de octavo antildeo pero podriacutea
ampliarse para los diferentes temas de geometriacutea que se desarrollan a lo largo de los antildeos en
el programa de estudios propuestos por el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica
(2012)
El objeto de estudio de este se basa en la construccioacuten de argumentos que resulten
validaciones en el inicio de la geometriacutea entrando en trabajo argumentativo para sostener las
respuestas y las producciones aprovechando las posibilidades de acceso al saber y de anaacutelisis
de la matemaacutetica que su utilizacioacuten puede promover como antesala al tema de semejanza y
congruencia de triaacutengulos
Para participar no es necesario tener un conocimiento previo de la herramienta ya que los
minutos iniciales sirven de orientacioacuten para conocerla y hacer eacutenfasis de los usos en ciertos
comandos Ademaacutes inicialmente se busca motivar al participante en la exploracioacuten tomando
como referencia que el programa permite ver diferentes escenarios con movimientos simples
que a nivel del papel y laacutepiz seria muchas veces limitado y otras abstractos por completo
La importancia de estos talleres praacutecticos radica en la integracioacuten de herramientas
informaacuteticas que logran una mayor eficiencia en el aprendizaje de manera que se puedan
obtener herramientas y conocimientos para formulacioacuten de soluciones a problemas de la
sociedad mediante el anaacutelisis matemaacutetico (Barahona et al 2015)
Una vez que se presenta el programa y se estandarizan los conceptos durante el desarrollo
del taller el moderador entregara una secuencia de actividades (4 en total) con las que busca
obtener por parte de los participantes la construccioacuten de figuras exploracioacuten de la
herramienta y conclusiones de manera muy interactivas y promoviendo en todo momento la
participacioacuten
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2 Desarrollo del taller
En la primera actividad se propuso una construccioacuten simple de un cuadrado y aplicar una
homotecia cuyo factor escala sea mayor que uno (ver Figura 1) lo cual generoacute una serie de
inquietudes entre los participantes en torno a la visioacuten del estudiante una vez que crea la
homotecia Williams Uribe(Argentina) hizo una consulta sobre la relacioacuten del aacuterea de ambas
figuras y algunas pruebas que realizoacute ahiacute en el momento lo cual generoacute discusioacuten alrededor
de la manipulacioacuten de la herramienta para el movimiento de los diferentes veacutertices y a la vez
se produjeron varias inquietudes
iquestQueacute pasa con las aacutereas de las figuras una vez que se crea la homotecia
iquestCuaacutel es la relacioacuten del periacutemetro de cada una de las figuras
iquestCuaacutel es el tiempo adecuado para brindar en cada una de las construcciones para
mantener el intereacutes del tema
Figura 1
Construccioacuten simple de un cuadrado
Nota Fuente elaboracioacuten propia
Luego que se crearon los cuadrados y se realizoacute una mesa de discusioacuten alrededor del tema y
sus implicaciones Se inicioacute con la actividad dos misma que no busca entregar todos los
pasos de construccioacuten sino crear una figura recordando los procesos anteriores (ver Figura 2)
pero la homotecia aplicada seraacute con un factor escala que se encuentra entre cero y uno de
esta manera se comenzoacute a generar diferencias entre una y la otra Como dato importante a
rescatar fue que se analizoacute la forma de la redaccioacuten de la actividad ya que en esta segunda
se basoacute en los conocimientos previos de construccioacuten generando en el participante la
necesidad de recordar y explorar datos de la herramienta
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Figura 2
Figura con homotecia de escala entre cero y uno
Nota Fuente elaboracioacuten propia
Trabajamos la actividad nuacutemero tres esperando tener como resultado un proceso maacutes amplio
de observacioacuten y conclusioacuten Para esta actividad se propuso un factor escala negativo y es
donde el participante pudo concluir que la figura no solo se hace ldquomaacutes grande o maacutes pequentildeardquo
sino que tambieacuten puede girar y sigue coincidiendo en veacutertices y segmentos (ver Figura 3)
Aquiacute se hace una importante acotacioacuten sobre la importancia de mantener un lenguaje
adecuado con el estudiante yo participante porque si vamos a desarrollar el taller a nivel de
secundaria es probable que hablar de ldquoinversordquo no sea un teacutermino tan claro como decir ldquose
dio la vueltardquo o ldquose giroacuterdquo Con este detalle logramos ver que estamos concluyendo y
observando lo mismo y cumpliendo el objetivo
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Figura 3
Homotecia con factor de escala negativo
Nota Fuente elaboracioacuten propia
De esta tercera actividad surgioacute una propuesta por parte de una participante del taller sobre
no trabajar tres construcciones diferentes sino implementar el insertar una imagen y trabajar
con ella para observar las diferentes homotecias que resultan aprovechando cosas que guste
al participante y sirva de motivacioacuten extra (ver Figura 4)
Figura 4
Homotecia con imagen
Nota Fuente elaboracioacuten propia
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Otro aporte por rescatar fue si por ejemplo se construye un deslizador y se puede hacer la
manipulacioacuten del mismo con diferentes figuras de manera que se haga maacutes visual el
incremento disminucioacuten o giro de la figura de acuerdo al intervalo donde esteacute ubicado
Ademaacutes de consultar la cercaniacutea del punto origen (00) con respecto a las figuras creadas e
incluso manipular de manera que unimos ambas figuras y recordamos conceptos como el
caso de los aacutengulos opuestos por el veacutertice
Otro participante nos brinda el aporte de la conexioacuten que podemos realizar como proyecto
interdisciplinario con la clase de ciencias por ejemplo al tener una imagen y recibirla al
reveacutes
Otro aporte con el que contamos fue la participacioacuten de un participante de Ecuador quien
nos brindoacute la idea de hacer con las construcciones o las imaacutegenes insertadas generando
asociacioacuten con la fiacutesica por ejemplo el tema de la oacuteptica geomeacutetrica
Por uacuteltimo y a modo de cierre se realiza la actividad cuatro en la cual soliciteacute imaginar que
somos estudiantes de octavo antildeo ante una serie de ejercicios que deben resolverse despueacutes
de haber realizado el taller no todos van a necesitar apoyo de la herramienta inmediato(por
lo que puede ser un cierre en el aula a falta de tiempo) quedoacute claro que para la mayoriacutea fue
maacutes sencillo visualizar desde las diferentes construcciones pero una vez resueltos los
ejercicios logramos crear al final los diferentes conceptos sobre los tipos de homotecias
lenguaje matemaacutetico adecuado y varios conocimientos a tratar para el tema
3 Conclusiones
El programa GeoGebra entre sus ventajas contempla que ademaacutes de ser un programa
disentildeado bajo la modalidad de software libre y la asequibilidad que conlleva es una
herramienta de gran colaboracioacuten para el desarrollo y demostracioacuten de una clase de
geometriacutea permitiendo su implementacioacuten cuando se cuenta con los recursos materiales a
nivel institucional como un taller de construcciones como en el presente congreso Asiacute
mismo en casos donde los recursos sean maacutes limitados su uso se puede desarrollar como
una mesa de discusioacuten a partir del desarrollo empleado por el profesorado
Con la primera actividad se realizoacute una demostracioacuten del proceso de construccioacuten del
conocimiento y conceptualizacioacuten geomeacutetrica importante Asiacute mismo sirvioacute como antesala
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93
para hablar de temas como las relaciones entre aacutereas y periacutemetros de las diferentes figuras
una vez aplicadas los factores escala
El desarrollo de un taller y uso de recursos tecnoloacutegicos como el programa GeoGebra nos
facilita como educadores el poder representar de una manera maacutes visual y significativa el
conocimiento que deseamos trasmitir al estudiante ya que cuando este es quien construye y
se cuestiona la comprensioacuten del proceso profundiza en su aprendizaje
Finalmente las actividades en general nos recuerdan que es de suma importancia tener
presentes las diversas condiciones y realidades del estudiantado contemplando aspectos
como el acceso a medios tecnoloacutegicos lo cual es fundamental para poder mantener una
comunicacioacuten asertiva y asiacute lograr ser generadores de conocimiento a traveacutes de la
experiencia
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Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica
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Non Charismatic Species Implicaciones didaacutecticas y
formacioacuten del profesorado
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo
Universidad Surcolombiana Colombia
eliasamorteguiuscoeduco
Juan Felipe Herrera Polaniacutea
Universidad Surcolombiana Colombia
felipepolania19gmailcom
Resumen Colombia ha sido considerado como albergue de uno de los 35 Hotspots del planeta
y uno de los paiacuteses con mayor diversidad bioloacutegica Sin embargo la poblacioacuten en general ha
desarrollado actitudes y emociones negativas como miedo asco y aversioacuten hacia grupos de
organismos denominados Non Charismatic Species pues aunque poseen un rol ecoloacutegico
fundamental en los ecosistemas son poco apreciados por los nintildeos nintildeas y joacutevenes ejemplo de
ellos las serpientes los murcieacutelagos y varios grupos de artroacutepodos Este trabajo aborda diferentes
experiencias investigativas y didaacutecticas llevadas a cabo en el Grupo de Investigacioacuten ENCINA-
Ensentildeanza de las Ciencias Naturales adscrito al Programa de Licenciatura en Ciencias Naturales
y Educacioacuten Ambiental de la Universidad Surcolombiana (Huila- Colombia) Conceptualizamos
el problema de la biodiversidad sus implicaciones educativas y proyectamos asuntos sobre su
ensentildeanza en escuelas rurales de nuestro paiacutes
Palabras clave Animales no carismaacuteticos implicaciones didaacutecticas formacioacuten del profesorado
experiencias educativas
1 Comprendiendo el problema de la biodiversidad
Hoy en diacutea existen diferentes amenazas latentes en contra de la biodiversidad mundial
principalmente por diferentes actividades antropogeacutenicas que contribuyen en gran medida a
acabar con los componentes ecoloacutegicos de los diferentes ecosistemas A raiacutez de esas
amenazas en las uacuteltimas deacutecadas se ha originado acciones de diferentes sectores de vital
importancia para contrarrestar las tasas de peacuterdida de biodiversidad (Pimm et al 1995) Sin
embargo existe una de la problemaacuteticas maacutes comunes y recurrentes en temas de
biodiversidad y es relacionado con el desconocimiento bioloacutegico sobre lo que existe en los
diferentes entornos naturales que resulta siendo un obstaacuteculo para emprender diferentes
estrategias de conservacioacuten de la biodiversidad En Colombia La falta de apoyo en
investigacioacuten y desarrollo poliacuteticas internas deficientes el conflicto armado entre otros
(Franco et al 2006 Fernaacutendez 2011) han sido los principales aspectos que han
imposibilitado agrandar el conocimiento de un paiacutes que es catalogado con megabiodiverso
A pesar de esos grandes obstaacuteculos seguacuten el Sistema de Informacioacuten sobre Biodiversidad de
Colombia (SiB Colombia) a la fecha existen aproximadamente 62829 especies a lo largo de
todo el territorio nacional posicionando el paiacutes como el primero en aves y orquiacutedeas segundo
en plantas anfibios mariposas y peces dulceacuiacutecolas tercero en palmas y reptiles y por
uacuteltimo el cuarto con mayor nuacutemero de especies de mamiacuteferos Toda esa biodiversidad que
posee Colombia que en su gran mayoriacutea viene determinado por aspectos en la formacioacuten de
los diferentes relieves a lo largo y ancho de paiacutes Ademaacutes en la regioacuten del Chocoacute
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biogeograacutefico se encuentra uno de los 35 Hotspots de Biodiversidad del planeta las cuales
son aacutereas con iacutendices altos de diversidad bioloacutegica y endemismos pero que han tenido un
porcentaje alto de reduccioacuten de su vegetacioacuten primaria (Myers 2003 Sloan et al 2014)
Teniendo en cuenta todo este panorama nacional acerca de la Biodiversidad a pesar de todas
las dificultades que resultan a la hora de conocer nuevas especies en los diferentes
ecosistemas colombianos existe un alto iacutendice de nuevas de especies descritas (Arbelaeacutez
2013) que incluso en los uacuteltimos antildeos pudo estar favorecida por la firma de los acuerdos de
paz con la antigua guerrilla de las FARC-EP que posibilitaron nuevas expediciones es
importante que antes de hablar de estrategias que contribuyan a la conservacioacuten de la
Biodiversidad en primera instancia debemos conocer lo conocido en teacuterminos de diversidad
Bioloacutegica Es por ello esto requiere y demanda un arduo trabajo de documentacioacuten en
diferentes aacutereas como zoologiacutea botaacutenica ecologiacutea entre otros para posteriormente
emprender y originar estrategias de ensentildeanza y aprendizaje mediante la planificacioacuten y el
disentildeo de diferentes temaacuteticas se puedan llevar a cabo en las escuelas como factor
fundamental en la formacioacuten de las Ciencias para la conservacioacuten de los entornos naturales
2 Importancia de la formacioacuten docente para la conservacioacuten de la Biodiversidad
Existen diferentes aspectos que hacen que la profesioacuten docente se subestime a nivel
epistemoloacutegico y social ya que es usual considerar que para ensentildear Ciencias Naturales
solo basta con el afianzamiento del conocimiento disciplinar y que se transmita de manera
directa sin tener en cuenta otros elementos importantes Es por ello que como educadores y
profesionales en la educacioacuten disponen de un conocimiento caracteriacutestico en los cuales estaacuten
vinculados otros aspectos como el pedagoacutegico didaacutectico curriculares entre otros
contribuyendo asiacute a la construccioacuten de un Conocimiento Bioloacutegico Escolar (Valbuena 2007
Mellado 2011) Este conocimiento de profesorado tiene origen en diferentes fuentes
heterogeacuteneas que incluyen diferentes saberes a partir experiencias teoriacuteas impliacutecitas
guiones costumbres entre otros (Porlaacuten y Rivero 1998 Tardif y Lessar 2014)
De acuerdo a lo postulado por Valbuena (2007) establece que para el caso de los docentes
de Biologiacutea dos componentes que hacen parte de su conocimiento profesional el
Conocimiento Bioloacutegico (CB) y el Conocimiento Didaacutectico del Contenido Bioloacutegico
(CDCB) Con base a esto se pueden reconocer los siguientes conocimientos como el
Conocimiento Disciplinar el Conocimiento Pedagoacutegico el Conocimiento Didaacutectico del
Contenido Bioloacutegico y el Conocimiento del Contexto De igual forma seguacuten Fonseca (2018)
encontramos postulados muy similares a lo dicho por Valbuena (2007) puesto que aquiacute ya
relacionado directamente con el Conocimiento Profesional del Profesor de Biologiacutea asociado
a la ensentildeanza de la Biodiversidad menciona la integracioacuten de cinco conocimientos de
docentes en su etapa inicial de ejercicio docente entre ellos tenemos El conocimiento
bioloacutegico el Conocimiento Didaacutectico el Conocimiento de su propia historia de vida el
Conocimiento de su experiencia como interprete ambiental y el Conocimiento del contexto
Es asiacute como las experiencias docentes constituyen un referente clave en el desarrollo
profesional del profesor de Biologiacutea ya que esto permite orientar la manera en coacutemo se
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96
interpreta y se desarrolla el curriacuteculo (Barnett y Hodson 2001) Sin embargo una de las
mayores dificultades que poseen los docentes en su etapa inicial en ejercicio profesional es
la escasa preparacioacuten sobre coacutemo abordar la ensentildeanza de la Biologiacutea en escenarios naturales
(Del Toro y Morcillo 2011) que permitan promover e incentivar en el estudiantado actitudes
que contribuyan a los procesos de conservacioacuten de la Biodiversidad Esto en su gran mayoriacutea
viene determinado por el aporte insuficiente de los diferentes cursos en la formacioacuten del
profesorado para la construccioacuten del Conocimiento de Contenido Bioloacutegico Didaacutectico
Pedagoacutegico y del contexto que permitan la ensentildeanza fuera del aula mediante diferentes
estrategias de ensentildeanza como las Praacutecticas de Campo (Behrendt y Franklin 2014) Por tal
razoacuten el abordaje de las salidas de campo se limita al desarrollo de lecturas socializaciones
debates entre otros y no a su disentildeo aplicacioacuten y evaluacioacuten (Ateskan y Lane 2016)
reduciendo el potencial de esta estrategia tan importante que puede influir en las distintas
finalidades de aprendizaje en el campo de la Biodiversidad
3 Panorama de los animales no carismaacuteticos para su conservacioacuten
En un paiacutes como Colombia catalogado como uno de lo maacutes megadiversos del mundo resulta
de vital importancia que se originen diferentes programas estrategias y poliacuteticas para la
proteccioacuten de los ecosistemas Estos escenarios naturales que se extienden a lo largo y ancho
del todo el territorio nacional gracias a los diferentes pisos teacutermicos cuentan con una amplia
gama de especies de flora y fauna con un importante valor ecoloacutegico en los biomas del paiacutes
Sin embargo hoy en diacutea existe una gran cantidad de especies que estaacuten amenazadas por
factores como la destruccioacuten masiva de sus haacutebitats traacutefico ilegal entre otros A raiacutez de lo
anterior a lo largo de los uacuteltimos antildeos se han formalizado y estructurado diferentes poliacuteticas
ambientales para la proteccioacuten de los diferentes ecosistemas y sus componentes que permitan
garantizar la conservacioacuten de la Biodiversidad existente en Colombia
Desde el gobierno nacional se estaacuten llevando a cabo diferentes planes de accioacuten para la
conservacioacuten de especies y ecosistemas como herramientas indispensables en la
conservacioacuten de la Biodiversidad (Ministerio de Ambiente y Desarrollo Sostenible
MinAmbiente 2020) No obstante resulta interesante evidenciar que la mayoriacutea de
programas de conservacioacuten planes de manejo y estrategias estaacuten focalizadas en su gran
mayoriacutea a especies de aves y mamiacuteferos que en su gran mayoriacutea son los grupos de animales
maacutes llamativos y atrayentes En menor medida se encuentran acciones focalizadas a grupos
de reptiles y anfibios y no existe ninguacuten programa de conservacioacuten o poliacutetica ambiental que
promueva la conservacioacuten de grupos de invertebrados A partir de lo anterior se puede
relacionar en consecuencia una de las principales razones por las cuales no se evidencia
trabajos investigativos relacionados con animales que son catalogados como no carismaacuteticos
Puesto que existe una amplia brecha de desconocimiento acerca sobre la Biologiacutea y Ecologiacutea
de grupos de animales principalmente invertebrados reptiles y anfibios en sus diferentes
haacutebitats (Losey y Vaughan 2006 New 2011 Prokop et al 2016)
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97
El escaso conocimiento bioloacutegico y a su vez las aversiones repulsioacuten miedo asco y disgusto
que generan animales como serpientes murcieacutelagos arantildeas escorpiones sapos ranas
lagartos entre otros denominados como animales no carismaacuteticos por su apariencia fiacutesica
resultan ser una amenaza directa en contra de su conservacioacuten Ademaacutes se puede inferir con
base a ese tipo de aspectos la inclinacioacuten de llevar a cabo programas o estrategias para la
conservacioacuten de especies esteacuteticamente maacutes llamativos y asiacute mismo la razoacuten de la falta de
acciones esenciales para incentivar a la poblacioacuten en general encaminadas al cuidado
proteccioacuten y manejo de especies poco carismaacuteticos que resultan ser de gran importancia
bioloacutegica en los diferentes ecosistemas donde se encuentran (Snaddon et al 2008)
Existen en diferentes fuentes investigaciones que confirman lo mencionado anteriormente
por ejemplo estudios como los de Prokop y Fančovičovaacute (2013) mencionan que estas
tendencias de pensamientos y actitudes hacia este grupo de organismos vienen determinados
por los aspectos morfoloacutegicos Es decir en cuanto a la coloracioacuten de ciertos animales
predominan la afinidad hacia organismos con colores aposemaacuteticos en contraste los colores
criacutepticos que a su vez resulta de gran importancia referente a la popularizacioacuten para
promover la preservacioacuten de especies con dichas caracteriacutesticas Por otra parte otra de las
razones por las cuales se tiende a tener este tipo de percepciones de especies catalogadas no
carismaacuteticas vienen siendo alimentadas por los medios audiovisuales presentando peliacuteculas
series noticias entre otros que contribuyen a establecer esos conceptos alternos y actitudes
que no promueven a su conservacioacuten y ampliacutean los vaciacuteos relacionados al conocimiento
bioloacutegico e importancia ecoloacutegicos de estos organismos Sin embargo este tipo de actitudes
puede ser variable dependiendo de la cultura edad sexo nivel socioeconoacutemico experiencia
eacutetica escolar incluso la inclinacioacuten religiosa que pueden repercutir en aspectos relacionados
con la importancia de que originen procesos de reconstruccioacuten del conocimiento bioloacutegico a
partir procesos didaacutecticos escolares (Barraza 2015 Baynes-Rock 2017)
Por otra parte tomando como referencia los diferentes procesos educativos a nivel de
preescolar baacutesica primaria y secundaria cuando el estudiantado presenta actitudes negativas
debido al desconocimiento o ideas previas acerca del conocimiento bioloacutegico en este caso
relacionados con animales poco agradables para ellos Se origina un choque de concepciones
referente a aspectos de la naturaleza cientiacutefica a causa de la incorrecta interpretacioacuten de
distintos elementos del propio conocimiento cientiacutefico De modo que se destaca la
importancia de procesos de alfabetizacioacuten cientiacutefica en la progresioacuten de concepciones que
esteacuten encaminadas a la realidad bioloacutegica de los diferentes organismos (Prokop et al 2009
Almeida et al 2017)
Para lograr los objetivos de la alfabetizacioacuten cientiacutefica y generar actitudes en pro de la
conservacioacuten de estos animales tan estigmatizados por la sociedad se deben disentildear y aplicar
diferentes estrategias como las salidas de campo que tiene un gran potencial para lograr
diferentes finalidades de aprendizaje a nivel conceptual procedimental y actitudinal Este
tipo de estrategias es una garantiacutea para incentivar habilidades que puedan lograr la
construccioacuten de un Conocimiento Cientiacutefico Escolar y lograr en los y las estudiantes posturas
criacuteticas con bases argumentativas soacutelidas que puedan permitir un cambio de perspectiva
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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relacionado con problemaacuteticas del contexto socio-ambiental siendo un recurso vital en el
quehacer docente (Del Carmen 2011 Garciacutea-Ferrandis et al 2020)
4 Promoviendo la conservacioacuten de los animales no carismaacuteticos
Entre las actividades que realiza el profesorado de Biologiacutea a nivel formativo es importante
destacar el uso de las Salidas de Campo como estrategia didaacutectica en los procesos de
ensentildeanza y aprendizaje con el alumnado Este tipo de recurso educativo posee un irrefutable
valor que pueden repercutir a nivel emocional afectivo cognitivo y ambiental Esto resulta
ser vital en el reconocimiento de la Biodiversidad origen de actitudes pro conservacionistas
obtencioacuten y afianzamiento de habilidades y destrezas en el trabajo cientiacutefico e inmersioacuten en
entornos naturales fuera del aula (Wass 1990 Del Carmen y Pedrinaci 1997 Gavidia y
Cristerna 2000 Rennie 2014) El profesorado en Biologiacutea en su proceso de formacioacuten
generalmente ha participado como novato en las salidas de campo sin tener la experiencia
necesaria para su disentildeo planeacioacuten y ejecucioacuten fuera del aula (Tal y Morag 2009
Amoacutertegui y Correa 2012)
A raiacutez de este tipo de situaciones los docentes con menor experiencia en este tipo de
estrategias didaacutectico-pedagoacutegicas llevan a cabo las actividades de forma inadecuada con un
nivel de conocimiento limitado desempentildeando roles dominantes con sus estudiantes
desperdiciando el gran potencial de las salidas de campo en la formacioacuten del profesorado y
en la ensentildeanza de la Biologiacutea Es asiacute que se evidencia la escasez de trabajos o estudios
especializados en aras de orientar a los docentes en este tipo de estrategias de ensentildeanza
(Ballantyne et al 2010) Sin embargo existe estudios relacionados sobre el conocimiento de
las Praacutecticas de Campo en la formacioacuten docente de Biologiacutea que demuestran hallazgos
relacionados con reflexiones experiencias investigaciones sobre de E-A concepciones
sobre Salidas de Campo entre otros (Amoacutertegui et al 2017) No obstante demuestran que
es importante que se reconozca la diferencia de esta estrategia didaacutectica con otras referente
a su relacioacuten con la epistemologiacutea de la Biologiacutea como disciplina cientiacutefica su disentildeo y
aplicacioacuten y su valor en la construccioacuten del conocimiento del profesorado de Biologiacutea
El trabajo fuera del aula en escenarios naturales promueve en el alumnado el abordaje de
problemaacuteticas ambientales como la potencial destruccioacuten de los ecosistemas la
contaminacioacuten traacutefico ilegal la disminucioacuten de los recursos naturales entre otras Ademaacutes
este tipo de mecanismos permiten acercar al alumnado a la manera en la que se construye el
conocimiento cientiacutefico originando una aproximacioacuten maacutes llamativa accesible interesante
y significativa sobre la naturaleza de la ciencia asiacute mismo se lograr viabilizar la
participacioacuten activa de manera criacutetica y reflexiva sobre las problemaacuteticas del contexto socio-
ambiental (Banet 2010)
Diferentes estudios realizados con anfibios cochinillas caracoles entre otros animales que
se denominados como impopulares han demostrado una progresiva reduccioacuten de las
aversiones ante el desconocimiento inicial sobre estos organismos o la interaccioacuten con ellos
(Prokop y Fančovičovaacute 2017 Prokop y Fančovičovaacute 2018) Esto demuestra que las salidas
de campo como recurso para incentivar actitudes pro conservacionistas hacia animales no
carismaacuteticos permiten el mejoramiento de procesos de ensentildeanza y aprendizaje
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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favoreciendo la construccioacuten de un Conocimiento Bioloacutegico Escolar y la progresioacuten de
actitudes significativas en entornos naturales donde tiene mayor incidencia (Costillo et al
2014)
Desde el Semillero de Investigacioacuten Ensentildeanza de las Ciencias Naturales (ENCINA) de la
Universidad Surcolombiana ubicada en el departamento del Huila (Colombia) en los
uacuteltimos antildeos se han venido desarrollando diferentes trabajos investigativos y propuestas
didaacutecticas que han tenido una gran repercusioacuten para la conservacioacuten y la proteccioacuten de grupos
de animales que son catalogados como impopulares o poco agradables como Murcieacutelagos
(Rivera 2016) Arantildeas (Guevara et al 2018) Esquizoacutemidos (Perdomoet al 2018) Ofidios
(Goacutemez y Herrera 2019) y Artroacutepodos (Rubiano et al 2019 Berjan et al 2020) Esto
permite inferir que este tipo de propuestas se abordan en gran medida por la importancia
ecoloacutegica de estos organismos en los diferentes Ecosistemas de la regioacuten surcolombiana y la
amplia estigmatizacioacuten de la poblacioacuten acerca de este tipo de organismos que han permitido
realizar grandes avances en el campo de la Ensentildeanza de la Biologiacutea contribuyendo asiacute a la
construccioacuten del Conocimiento Cientiacutefico Escolar en diferentes instituciones educativas
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Polinomios generadores de nuacutemeros primos
Ronald Cordero Meacutendez
Universidad San Isidro Labrador Costa Rica
Ronaldcomegmailcom
Resumen Se presenta el Teorema de la Multiplicacioacuten (Factorizacioacuten) de Cordero en Z si 119899 =
(11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 con 119909 119904 119896 ∊ ℤ y 119901 isin
35111741 entonces 1198992 + 119899 + 119901 119904e puede expresar como la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros de
la forma 119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 y 119875(119904 119909 119896) = minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 +
1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901 Algunos ejemplos de aplicacioacuten del Teorema Utilidad de 119899 =
(11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 119909 119904 119896 ∊ ℤ y 119901 ∊
35111741 en la construcciograven de La Criba de los ldquo119899 Cordero Material de investigacioacuten uacutetil
en la construccioacuten de programas informaacuteticos necesarios en la criptografiacutea
Palabras clave Polinomios nuacutemeros primos criba nuacutemeros afortunados de Euler
1 Polinomios generadores de nuacutemeros primos y compuestos (Generador de nuacutemeros
primos)
Los nuacutemeros primos han sido tema de muchas investigaciones muchas repetitivas que
contribuyen poco al tema lo que verifica la frase del gran matemaacutetico Leonhard Euler que
diceldquoLos matemaacuteticos han intentado en vano hasta la actualidad descubrir alguacuten orden en
la secuencia de nuacutemeros primos y tenemos razones para creer que se trata de un misterio que
la mente humana nunca resolveraacuterdquo (Leonard Euler 1707-1783 mencionado por Camacho y
Camacho 2020 p85) Hasta el momento en el antildeo 2020 este misterio no ha sido resuelto
por lo que creo que Euler puede estar en lo cierto Leonhard Euler nacioacute el 15 de abril de
1707 en Basilea Suiza y murioacute el 18 de septiembre de 1782 en San Petersburgo Rusia
(Aznar 2007) Extraordinario matemaacutetico del siglo XVIII
Otra frase que lo afirma dice
El encanto de los nuacutemeros primos consistiacutea quizaacutes en la imposibilidad de explicar en
queacute orden aparecen Cada uno se dispersa a su antojo cumpliendo la condicioacuten de no
tener maacutes divisores que el uno y eacutel mismo Aunque no cabe duda de que cuanto maacutes
grandes son maacutes difiacutecil resulta encontrarlos y es imposible predecir su aparicioacuten
siguiendo ninguna reglahelliprdquoLa foacutermula preferida del profesor (Ogawa 2003
mencionadado por Frases y Pensamientos sf paacuterr 4)
Nuestra pregunta ahora es coacutemo encontrar nuacutemeros primos si no es posible encontrar una
foacutermula polinomial o de otro tipo que nos genere todos y cada uno de los nuacutemeros primos o
por lo menos una foacutermula que genere solamente nuacutemeros primos aunque no sean
consecutivos
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105
En alguacuten momento dado aparecen los nuacutemeros compuestos que se mezclan con los nuacutemeros
primos por lo que me lleva a suponer que el cribado es una buena opcioacuten para encontrar
nuacutemeros primos grandes
Con ayuda de los polinomios 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 donde 119901 = 2 3 5 1117 41 que resulta
ser polinomios que generan nuacutemeros primos cuando 119899 toma valores desde 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 119901 minus
2 y luego generan nuacutemeros compuestos y primos mezclados por lo que el problema de
encontrar una foacutermula que genere solamente nuacutemeros primos no lo resuelve este tipo de
polinomios Pero encontrar un foacutermula que genere los nuacutemeros compuestos que son
generados por estos polinomios es el tema de la investigacioacuten ademaacutes de buscar un
procedimiento que ayude a cribar los nuacutemeros primos
2 Polinomios de la forma 119927(119951) = 119951120784 + 119951 + 119953 donde 119953 = 120784 120785 120787 120783120783 120783120789 120786120783
Los polinomios 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 generan nuacutemeros primos por ejemplo se generan los
nuacutemeros primos 41 43 47 53 61 71 83 97 113 181 151 173 197 223
251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 707 853 911 971 1033
1097 1163 1231 1301 1373 1447 15231601
cuando 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 y desde 119899 = 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 41 minus 2 = 39 en total 40 nuacutemeros
primos pero a partir de 119899 = 40 se generan nuacutemeros compuestos y nuacutemeros primos A este
poliomio se le llama polinomio de Euler
Otra forma de escribir el polinomio de Euler es 119875(119899) = 1198992 minus 119899 + 41 pero eacuteste genera los
nuacutemeros primos anteriores cuando 119899 toma valores desde 1 hasta 40
Otro polinomio de esta forma que genera nuacutemeros primos es 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 17 desde 119899 =
0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 17 minus 2 = 15 119890119897 cual fue descubierto por el matemaacutetico Adrien Marie
Legendre
Legendre nacioacute en Pariacutes en el antildeo 1752 en una familia rica Recibioacute educacioacuten en el
Collage Mazarin en Pariacutes y defendioacute su tesis en fiacutesica y matemaacutetica en 1770 Murioacute
en Pariacutes en el antildeo 1833 despueacutes de una larga y penosa enfermedad Su viuda conservoacute
cuidadosamente las pertenencias del matemaacutetico para preservar su memoria El uacuteltimo
lugar donde vivioacute fue en el pueblo de Auteuil en Pariacutes Francia (Fernaacutendez y Tamaro
2004 paacuterr1)
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3 Los nuacutemeros afortunados de Euler
Primero dejemos claro que Goldbach y Legendre demostraron que no es posible encontrar
un polinomo que deacute nuacutemeros primos para todo nuacutemero natural el primero lo demoacutestro para
coeficientes enteros y el segundo para funciones algebraicas racionales
El matemaacutetico Rabinowitz demostroacute que 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 da nuacutemeros primos para 119899 =
0 hellip 119901 minus 2 si y solo si 1 minus 4119901 es el negativo de un nuacutemero de Heegner que son los uacutenicos
nuacutemeros positivos 119896 que cumplen no ser cuadrados perfectos y que en el anillo de enteros
del cuerpo ℚ(radicminus119896) es de factorizacioacuten uacutenica
Los nuacutemeros de Heegner son 1237111943 67163
Ademaacutes los nuacutemeros afortunados de Euler son los enteros positivos 119901 para los que 1 minus 4119901 =
minus119896 siendo 119896 un nuacutemero de Heegner y mediante comprobacioacuten obtenemos que los uacutenicos
posibles son 2 3 5 11 17 41 y el nuacutemero de Heegner asociado al 41 es el 163
4 Aplicaciones del teorema
41 El teorema de la multiplicacioacuten de Cordero en ℤ
Si 119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 119909 119904 119896 ∊
ℤ 119910 119901 ∊ 35111741 entonces 1198992 + 119899 + 119901 se puede expresar como la multiplicacioacuten
de dos nuacutemeros de la forma 119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + y 119875(119904 119909 119896) =
minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
Las foacutermulas anteriores nos permiten encontrar valores de ldquonrdquo que al sustituir en los
polinomios de la forma 119901(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 donde 119901 ∊ 35111741 obtenemos siempre
un nuacutemero compuesto asiacute como encontrar una factorizacioacuten en dos factores de la expresioacuten
1198992 + 119899 + 119901 ( La factorizacioacuten no necesariamente es completa)
Aplicacioacuten 1
Sea 119904 = 12 119909 = 15 119896 = 8 y 119901 = 41
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = (122(15)2 minus 12(12 + 2)(15) + 41 lowast 122 + 12 + 1)(8 minus 1) + 12(15)2 minus
(12 + 1)(15) + 41 lowast 12 = 253576
Ahora
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1215) = (122(15)2 minus 12(12 + 2)(15) + 41 lowast 122 + 12 + 1)
rArr 119875(1215) = 35797
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Por otro lado
119875(119904 119909 119896) = minus119901(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
rArr 119875(8 minus53) = minus35797 lowast 49 + (2 lowast 253576 + 1) lowast 7 + (15)2 minus 15 + 41 = 1796269
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(253531) = 2535762 + 253576 + 41 = 35797 lowast 1796269
Donde 35797 y 1796269 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 2
Sea 119904 = 1 119909 = 277232917 minus 1 119896 = 2 119910 119901 = 41 Entonces
rArr 119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = ((277232917 minus 1)2 minus (1 + 2)(277232917 minus 1) + 41 + 1 + 1)(2 minus 1) +
(277232917 minus 1)2 minus (1 + 1)(277232917 minus 1) + 41
rArr 119899 = (2154465834 minus 2 lowast 277232917 minus 3 lowast 277232917 + 47) + 2154465834 minus 2 lowast 277232917 +
1 minus 2 lowast 277232917 + 2 + 41
rArr 119899 = 2 lowast 2154465834 minus 9 lowast 277232917 + 91
Ahora
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1 277232917 minus 1) = 2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47
rArr 119875(119904 119909 119896) = minus119901(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
Por otro lado
119875(1 277232917 minus 1 2) = minus2154465834 + 5 lowast 277232917 minus 47 + 4 lowast 2154465834 minus 18 lowast
277232917 + 183 + 2154465834 minus 2 lowast 277232917 + 1 minus 277232917 + 1 + 41
rArr 119875(1 277232917 minus 1 2) = 4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) = (2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91)2 +
(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) + 41
= (2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47) lowast (4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179)
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108
Se necesitariacutea un ordenador para probar que
2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47 y 4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179 son nuacutemeros
primos o compuestos cuyos factores son nuacutemeros primos muy grandes
Aplicacioacuten 3
Sea 119904 = 1500 119909 = 800 119896 = 300 y 119901 = 5
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = ((1500)2(800)2 minus 1500(1500 + 2)(800) + 5 lowast (1500)2 + 1500 + 1)(300 minus
1) + 1500(800)2 minus (1500 + 1)(800) + 11 lowast 1500 = 430025405405499
Por otro lado
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1500 800) = 1438208851501
Ahora
119875(119904 119909 119896) = minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
119875(1500800300) = minus1438208851501 lowast 2992 + (2 lowast 430025405405499 + 1) lowast
299 + (800)2 minus 800 + 5 = 128577882900087005
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(430025405405499) = (430025405405499)2 + 430025405405499 + 5 =
1438208851501 lowast 128577882900087005
Donde 1438208851501 es primo y 128577882900087005 es compuesto
Aplicacioacuten 4
119904 = minus453877 119909 = minus8491 119910 119901 = 11 tenemos que
119875(minus453877 minus8491) = (minus453877)^2 lowast (minus8491)^2 minus 453877 lowast 453875 lowast 8491 +
11 lowast (minus453877)^2 minus 453877 + 1 = 14850564038738095205 = 5 lowast 89 lowast
33372054019636169 de donde 5 89 y 33372054019636169 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 5
119904 = 34567893426789 119909 = 0 y 119901 = 41 tenemos que
119875(345678934267890) = (34567893426789)^2 lowast (0)^2 minus 34567893426789 lowast
34567893426791 lowast 0 + 41 lowast (34567893426789)^2 + 34567893426789 + 1
= 48992509494599562853310298151
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109
= 44059 lowast 104486463803 lowast 10642288263263 donde 44059104486463803 y
10642288263263 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 6
119904 = 2349 119909 = minus345 119910 119901 = 41 tenemos que
119875(2349 minus345) = 23492 lowast (minus345)2 minus 2349 lowast 2351 lowast (minus345) + 41 lowast 23492 + 2349 + 1
= 658887758371 = 41 lowast 16070433131 donde 41 y 16070433131 son nuacutemeros
primos
Aplicacioacuten 7
119904 = 453891 119909 = 849 119910 119901 = 41 tenemos que
119875(453891 849) = 4538912 ∙ (849)2 minus 453891 ∙ 453893 ∙ 849 + 41 ∙ 4538912 +
453891 + 1 = 148330825824787807 = 1699 lowast 8730478271029 donde
1699 y 8730478271029 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 8
Sea 119904 = 2349 119909 = minus345 y 119901 = 41 tenemos que
119875(2349 minus345) = 41 lowast 16070433131
Sea 119896 = 8 entonces
119899 = (41 lowast 16070433131)(8 minus 1) + 2349(minus345)2 minus (2350) lowast (minus345) + 41 lowast 2349
rArr 119899 = 4612494805381
Luego
119875(119904 119909 119896) = minus41 lowast 16070433131 lowast (8 minus 1)2 + (2 lowast 4612494805381 + 1)(8 minus 1) +
(minus345)2 minus (minus345) + 41 = 32289427234573 = 15901 lowast 2030653873 donde 15901 y
2030653873 son primos
Observemos que
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 41 lowast 16070433131 lowast 15901 lowast 2030653873
con 119899 = 4612494805381
Aplicacioacuten 9
Sea 119904 = 10 119896 = 4 y 119909 = minus5 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11) lowast 3 + 10 lowast 25 + 11 lowast 5 + 410 = 22348
119875(119899) = 223482 + 22348 + 41 = 499455493
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110
119875(119904 119909) = 100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11 = 7211
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119901(119899)
119901(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904119909)=
499455493
7211= 69263 o 119875(119904 119909 119896) = minus7211 lowast 9 + (2 lowast 22348 + 1) lowast 3 + 25 + 5 +
41 = 69263
Ademaacutes
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 223482 + 22348 + 41 = 499455493 = 7211 bull 69263
Aplicacioacuten 10
Sea 119904 = 30 119896 = 7 119910 119909 = 8 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 11 119875(119904 119909) y 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (900 lowast 64 minus 960 lowast 8 + 11 lowast 900 + 31) lowast 6 + 30 lowast 64 minus 31 lowast 8 + 11 lowast 30 = 361108
119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783
119875(119904 119909) = 900 lowast 64 minus 960 lowast 8 + 11 lowast 900 + 31 = 59851
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119901(119899)
119901(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904 119909)=
130399348783
59851= 2178733
119875(119904 119909 119896) = minus59851 lowast 36 + (2 lowast 361108 + 1) lowast 6 + 64 minus 8 + 11 = 2178733
Asiacute
119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783 = 59851 bull 2178733
Aplicacioacuten 11
Sea 119904 = 15 119896 = 100 119910 119909 = minus2 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41
119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (225 lowast 4 + 255 lowast 2 + 41 lowast 225 + 16) lowast 99 + 15 lowast 4 + 16 lowast 2 + 615 = 1055156
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111
119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533
Entonces
119875(119904 119909) = 225 lowast 4 + 255 lowast 2 + 41 lowast 225 + 16 = 10651
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119875(119899)
119875(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904 119909)=
1113355239533
10651= 104530583
O tambieacuten
119875(119904 119909 119896) = 4 + 2 + 41 minus 10651 lowast 992 + (2 lowast 1055156 + 1) lowast 99 = 104530583
Luego
119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533 = 10651 bull 104530583
5 La Criba de los 119951 Cordero
Tenemos que
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
donde 119909 119904 119896 ∊ 120551 con 119901 ∊ 35111741 minus119886 le 119909 le 119886 + 2 119886 ∊ ℕlowast 119909 ∊ ℤ
Si 119904 = 1 119910 119896 = 1 obtenemos 119899 = 1199092 minus 2119909 + 119901 donde 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 es la
paraacutebola que estaacute por ldquofuerardquo de las demaacutes paraacutebolas (Figura 1)
Figura 1
Paraacutebola
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112
Si evaluamos 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 en los extremos del intervalo obtenemos
119891(minus119886) = (minus119886)2 minus 2 bull (minus119886) + 119901 = 1198862 + 2119886 + 119901
119891(119886 + 2) = (119886 + 2)2 minus 2(119886 + 2) + 119901 = 1198862 + 4119886 + 4 minus 2119886 minus 4 + 119901 = 1198862 + 2119886 + 119901
O sea da el mismo valor
El veacutertice de la paraacutebola que estaacute ldquopor fuerardquo 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 es (1 119901 minus 1)
Si estudiamos el codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [ para la funcioacuten paraboacutelica 119891(119909) = 1199092 minus
2119909 + 119901
Definimos el conjunto de funciones
119891(119909) = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 ) lowast (119896 minus 1) + 119904 lowast 1199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901
119901 119904 119896 ∊ ℕ
119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1
y codomino 0 le 119899 lt 1198862 + 2119886 + 119901
Resolver la inecuacioacuten
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 ) lowast (119896 minus 1) + 119904 lowast 1199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 le 1198862 +
2119886 + 119901
Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901
119901 119904 119896 ∊ ℕ
119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1
y codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [
O tambieacuten
[21199051198862+(4119905minus2)119886+2119905119901minus1
2119905 1198862 + 2119886 + 119901 [ 119905 ∊ ℕ
Luego se eliminan todos los valores de 119899 obtenidos en las inecuaciones y que estaacuten en el
intervalo [0 1198862 + 2119886 + 119901 [ Los valores de 119899 que quedan en el intervalo se evaluacutean en
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 obtenieacutendose solamente nuacutemeros primos
51 Aplicaciones
Utilicemos la Criba para un 119886 = 20 119901 = 41 119905119890119899119890119898119900119904 119902119906119890 1198862 + 2119886 + 41 = 481 con 119904 =
1 119896 = 1 119910 119901 = 41
119899 = 1199092 minus 2119909 + 41 le 481
minus20 le 119909 le 22
Obtenemos
119899
= 4041444956657689104121140161184209236265296329364401440 481
Nota Se toma solo una vez los valores de 119899 que se repiten
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113
Ahora damos valores a 119904 = 2 119896 = 1 119899 = 21199092 minus 3119909 + 82 lt 481
minus13 le 119909 le 14
Obtenemos
119899
= 81 82 84 87 9196 102 109 117 126 136 147159 172 186201 217 234 252 271
291312 334357 381 406 432 459
Continuamos con 119904 = 3 119896 = 1 119899 = 31199092 minus 4119909 + 123 lt 481
minus10 le 119909 le 11
Obtenemos 119899 = 122123127130 138143155162178187 207218 242
255 283 298 330 347 383 402 442 463
Continuamos con 119904 = 4 119896 = 1 119899 = 41199092 minus 5119909 + 164 lt 481
minus8 le 119909 le 9
119899
= 163164 170173 185 190 208 215 239 248 278 289 325 338 380 395 443 460
Continuamos con 119904 = 5 119896 = 1 119899 = 51199092 minus 6119909 + 205 lt 481
minus6 le 119909 le 8
119899 = 204 205 213 216 232 237 261 268 300 309 349 360 408 421 477
Continuamos con 119904 = 6 119896 = 1 119899 = 61199092 minus 7119909 + 246 lt 481
minus5 le 119909 le 6
119899 = 245 246256259 279284314 321 361370 420 431
Continuamos con 119904 = 7 119896 = 1 119899 = 71199092 minus 8119909 + 287 lt 481
119899 = 286 287 299 302 326 331 367 374 422 431
minus4 le 119909 le 5
Continuamos con 119904 = 8 119896 = 1 119899 = 81199092 minus 9119909 + 328 lt 481
minus3 le 119909 le 4
119899 = 327 328 342 345 373 378 420 427
Continuamos con 119904 = 9 119896 = 1 119899 = 91199092 minus 10119909 + 369 lt 481
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114
minus3 le 119909 le 4
119899 = 368 369 385 388 420 425 473 480
Continuamos con 119904 = 10 119896 = 1 119899 = 101199092 minus 11119909 + 410 lt 481
minus2 le 119909 le 3
119899 = 409410 428 431 467 472
Continuamos con 119904 = 11 119896 = 1 119899 = 111199092 minus 12119909 + 451 lt 481
minus1 le 119909 le 2
119899 = 450 451 471474
Continuamos con 119904 = 2 119896 = 2 119899 = 61199092 minus 11119909 + 249 lt 481
minus5 le 119909 le 7
119899 = 244 249 251266270295 301336 344389399454 466
Continuamos con 119904 = 2 119896 = 3 119899 = 101199092 minus 19119909 + 416 lt 481
minus1 le 119909 le 3
119899 = 407 416418 445 449
Para otros casos se obtiene nuacutemeros repetidos y para valores maacutes grandes se pasa de 481
La graacutefica de los 119899 que generan nuacutemeros primos compuestos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 se
puede observar en la Figura 2
Figura 2
Graacutefica de los 119899 que generan nuacutemeros primos compuestos
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
115
En total obtenemos los valores para 119899
4041444956657681828487899196102104109117121122123126127130136
138140143147155159161162163164170172173178184185186187190201204
205207208209 213215216 217 218232 234 236 237 239 242244245246248249
251 252 255 256 259 261 265 266 268 270 271 278 279 283 284 286 287 289
291 295 296 298 299 300 301 302 309 312 314321325326327 328
329330331334336 338342344345 347349357 360 361364 367368 369370 373
374378380381383385388389 395399401402 406407 408 409 410 416 418 420
421 422 425 427428 431 432 440 442 443445 449 450 451454 459 460 463 466
467471 472 473474 477 480 481
En total 167 valores de 119899 que al evaluarlos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 obtenemos nuacutemeros
compuestos
Cribando estos nuacutemeros obtenemos
01234567891011121314151617181920212223242526272829 30 31 32
33 34 35 36 37383942434546474850515253545557585960 61 62 63 64
66 67 68 69 70 71 72737475777879 80 83 85 86 8890 929394 95 97 98 99
100101103105106107108110111112113114115116118119120124125128129
131132133134135137139141142144145146148149150151152153154156157
158160165166167168169171174175176177179180181182183188189191192
193194195196197198199200202203206210211212214219220221222223224
225226227228229230231233235238240241243247250253254257258260262
263264 267 269 272 273 274275276277280281282 285 288 290292293294 297
303 304 305306 307308310311 313 315316317318319320 322323 324332 333
335337 339340 341 343346 348 350351 352 353 354 355 356 358 359 362
363365366371 372375376377379 382384386387390 391392 393 394 396 397
398 400 403 404 405 411 412 413 414415 417 419 423 424 426 429430433 434
435 436 437 438 439 441 444 446 447 448 452 453 455 456 457 458 461 462
464 465 468 469 470 475 476 478 479
En total 315 valores de 119899 que al evaluarlos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 siempre se obtiene un
nuacutemero primo Estos nuacutemeros primos son
4143475361718397113131151173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503
547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447
15231601 1847 1933 2111 2203 2297 2393 2591 2693 2797 2903 3011 3121 3347
3463 3581 3701 3823 3947 4073 4201 4463 4597 4733 4871 5011 5153 5297 5443
5591 5741 6047 6203 6361 6521 7013 7351 7523 7873 8231 8597 8783 8971 9161
9547 9743 9941 10141 10343 10753 11171 11383 11597 11813 12251 12473 12697
12923 13151 13381 13613 14083 14321 14561 15541 15791 16553 16811 17333
17597 17863 18131 18401 18947 19501 20063 20347 20921 21211 21503 22093
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116
22391 22691 22993 23297 23603 23911 24533 24847 25163 25801 27431 27763
28097 28433 28771 29453 30491 30841 31193 31547 32261 32621 32983 33347
33713 35573 35951 36713 37097 37483 37871 38261 38653 39047 39443 39841
40241 41047 41453 42683 44351 44773 45197 46051 4822148661 49103 49547
49993 50441 50891 51343 51797 52253 52711 53171 53633 54563 55501 56923
57881 58363 59333 61297 6279164303 64811 66347 66863 67901 68947 69473
70001 71597 72671 74297 74843 75391 75941 76493 77047 78721 79283 79847
81551 83273 84431 85597 86183 86771 88547 92153 92761 93371 93983 94597
95213 96451 97073 98323 99581 100213 100847 101483 102121 102761 104047
104693 105341 110597 111263 112601 113947 115301 115981 116663 118033
120103 121493 122891 123593 124297 125003 125711 126421 127133 127847
128563 129281 131447 132173 133631 134363 138053 138797 141041 141793
142547 144061 146347 147881 149423 150197 152531 153313 154097 154883
155671 157253 158047 158843 160441 162853 163661 164471 169373 170197
171023 171851 172681 174347 176021 179393 180241 181943 184511 185371
187963 188831 189701 190573 191447 192323 193201 194963 197621 199403
200297 201193 204797 205703 207521 208433 209347 210263 213023 213947
215801 216731 219533 220471 221411 226141 227093 229003 229961
O sea desde 119899 = 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 481 el 3465 de los valores de 119899 generan nuacutemeros
compuestos al evaluarlos en el polinomio de Euler y el 6535 son nuacutemero primos
En esta criba el nuacutemero primo maacutes pequentildeo es 119901(0) = 02 + 0 + 41 = 41 y el maacutes grande
es 119875(479) = 4792 + 479 + 41 = 229961
Nota Las foacutermulas aquiacute publicadas nos permite encontrar nuacutemeros primos muy grandes o
nuacutemeros compuestos que son el producto de nuacutemeros primos grandes uacutetiles en la
criptografiacutea Las foacutermulas pueden ser la fundamentacioacuten matemaacutetica para desarrollar
programas informaacuteticos o Software que sean utilizados en la proteccioacuten de informacioacuten
necesaria a nivel personal como a nivel mundial
Referencias bibliograacuteficas
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Rusia) httpswwwugres~eaznareulerhtm
Camacho J y Camacho O (2020) Dos Cientiacuteficos Bajo Un Fresno Un Viaje A La Ciencia
En Doce Escritos Google Books
Fernaacutendez T y Tamaro E (2004) Adrien-Marie Legendre
httpswwwbiografiasyvidascombiografiallegendrehtm
Frases y Pensamientos (sf) Frases de nuacutemeros primos
httpswwwfrasesypensamientoscomarfrases-de-numeros-primoshtml
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
117
Propuesta metodoloacutegica para el aprendizaje de
Sucesiones en la modalidad de Educacioacuten Abierta
Licda Charlene Loacutepez Quesada
Universidad de Costa Rica
charlenelopezucraccr
Lic Luis Fernando Mejiacuteas Molina
Universidad de Costa Rica
luismejiasmolinaucraccr
Licda Jennifer Tatiana Quesada
Canales
Universidad de Costa Rica
jenniferquesadacanalesucraccr
Resumen Estaacute investigacioacuten establece una propuesta metodoloacutegica que aborda el tema de
sucesiones en seacutetimo nivel (Teacuterraba) en la modalidad de educacioacuten abierta a la luz de la teoriacutea
de situaciones didaacutecticas La propuesta metodoloacutegica contiene tres moacutedulos dos de ellos dirigidos
al proceso de aprendizaje por parte del estudiante y un moacutedulo creado como apoyo a la labor
docente considerando el juego como herramienta facilitadora de los contenidos y habilidades
presentes en el programa de estudios de matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
Palabras clave Aprendizaje de sucesiones educacioacuten abierta teoriacutea de situaciones didaacutecticas
juegos programa de estudios matemaacutetica
1 Introduccioacuten
El derecho a la educacioacuten comienza con el nacimiento y continuacutea a lo largo de la vida Por
esta razoacuten como complemento de la ensentildeanza formal deberaacuten ofrecerse oportunidades
amplias y flexibles de aprendizaje por medios no formales con recursos y mecanismos
adecuados mediante un aprendizaje informal estimulante aprovechando entre otras las
Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten (UNESCO 2016)
Dentro de los desafiacuteos del sistema educativo costarricense se tiene pendiente la buacutesqueda de
sistemas educativos flexibles con diversas opciones de continuidad en la trayectoria
educativa con ofertas pertinentes y suficientes para atender las necesidades educativas de
quienes habiendo interrumpido el proceso de educacioacuten desean y requieren retomarlo
(Blanco 2009)
Para el antildeo 2016 el Consejo Superior de Educacioacuten toma el acuerdo nuacutemero
03-65-2016 que orienta la confeccioacuten de una nueva poliacutetica educativa con la finalidad de
alinear la educacioacuten costarricense en una novedosa etapa de su desarrollo Dicha poliacutetica
educativa dictada en 2017 se denomina La persona centro del proceso educativo y sujeto
transformador de la sociedad es heredera de los importantes avances mencionados (Consejo
Superior de Educacioacuten 2017)
Estas poliacuteticas educativas pretenden asegurar el acceso de las poblaciones en desventaja
social y en condicioacuten de vulnerabilidad a los servicios sociales baacutesicos por lo que se
evidencia la buacutesqueda de una mayor responsabilidad en instituciones tanto puacuteblicas como
privadas en procura del beneficio de este tipo de poblacioacuten (Cheacutevez 2015)
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
118
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP) aspira a ofrecer y reforzar la
educacioacuten para joacutevenes y adultos que por diversas situaciones dejan el sistema formal de
educacioacuten secundaria por tanto es notorio que las acciones poliacuteticas educativas estaacuten
dirigidas al objetivo de superar el desafiacuteo descrito
Una de estas ofertas educativas establecida es el proyecto de Educacioacuten Abierta que permite
a la poblacioacuten mayor de 12 antildeos incorporarse a completar algunos de los ciclos de la
educacioacuten formal tal es el caso del Tercer Ciclo de la Educacioacuten General Baacutesica
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (2012) indica que ldquoEl dominio de las
habilidades y el desarrollo de la competencia matemaacutetica se propone realizar a partir de la
mediacioacuten pedagoacutegica la organizacioacuten de las lecciones de las tareas matemaacuteticas y la accioacuten
directa docente en el aulardquo (p 14)
Ahora bien el Programa de Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de
Costa Rica (2012) dentro del aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra describe que las funciones se
colocan en otra perspectiva maacutes concreta relaciones de cambio entre dos variables que
dependen entre siacute Las funciones vistas asiacute estaacuten asociadas a relaciones maacutes generales como
pueden ser las relaciones de orden las relaciones de divisibilidad las sucesiones la
proporcionalidad los porcentajes las velocidades o razones de cambio
El proceso evolutivo de ensentildeanza y aprendizaje del proyecto de Educacioacuten Abierta consiste
en la asistencia presencial a tutoriacuteas o bien que cada estudiante se prepare de manera
independiente en la casa por medio de los recursos que brinda el proyecto por esta razoacuten se
decide incursionar en la modalidad de Educacioacuten Abierta debido a su gran importancia para
cumplir con las expectativas que se mencionan anteriormente tanto para el beneficio de los
estudiantes como para el apoyo del docente ya que al tener material de apoyo limitado en
esta liacutenea educativa se comete el error de la mediacioacuten didaacutectica como clases magistrales
Ademaacutes de centrar la atencioacuten en el estudiante la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas (TSD)
propone que el estudiante pueda construir sus conocimientos a traveacutes de una serie de
interacciones con su contexto (situaciones) tal como tambieacuten lo propone el Programa de
Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP 2012)
mediante la forma de organizacioacuten de las lecciones planteada en dicho documento
Por lo tanto se decide trabajar en esta investigacioacuten con la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas
al ser una teoriacutea centrada en el estudiante que se adapta a la modalidad de Educacioacuten Abierta
a las metodologiacuteas que se proponen en los programas del MEP a tener el estudiante la mayor
parte de la responsabilidad por su aprendizaje y a los objetivos de la educacioacuten costarricense
Por otra parte el Programa de Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
de Costa Rica (MEP 2012) pretende desarrollar en los estudiantes una competencia
matemaacutetica definida como ldquohellip una capacidad de usar las matemaacuteticas para entender y actuar
sobre diversos contextos realeshelliprdquo (p 14) Asimismo se destaca la importancia de potenciar
habilidades asociadas a los niveles de abstraccioacuten que alcanzan los estudiantes de manera
que se procuren tareas de razonamiento y argumentacioacuten
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
119
Este tipo de habilidades se le atribuye al aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra del programa de
estudios al ser esta la rama de la matemaacutetica que fortalece el razonamiento loacutegico de los
estudiantes al enfrentarlos a conceptos complicados y cambiantes y de esta manera promover
formas diferentes de pensamiento
Ademaacutes estas destrezas para resolver problemas y pensar de forma criacutetica pueden ayudar a
los estudiantes a tener eacutexito en el trabajo y en la vida auacuten si no continuacutean sus estudios lo
cual es una caracteriacutestica comuacuten en la poblacioacuten meta de estos proyectos educativos sin
importar que continuacuteen con estudios superiores o no se les debe dar las herramientas
necesarias para tener una mejor calidad de vida promoviendo la oportunidad de optar por un
mejor trabajo y asiacute enfrentarse a la realidad social
Por lo anterior y por las dificultades que presentan los estudiantes alrededor del aacutelgebra
evidenciadas en el trabajo de Garrote et al (2004) se inspira esta investigacioacuten a enfocarse
en la rama del aacutelgebra con el fin de fortalecer y ayudar a los estudiantes a la hora de
enfrentarse a la transicioacuten de la aritmeacutetica al aacutelgebra siendo esta un aacuterea de mucha
importancia para la formacioacuten de ciudadanos capaces de enfrentarse y resolver situaciones
complejas de la vida cotidiana
De esta manera se presentaraacute una guiacutea docente que contiene tres moacutedulos el primero
dirigido al autoaprendizaje de los estudiantes el segundo una propuesta metodoloacutegica para
realizar en el aula y el tercero tambieacuten dirigido al autoaprendizaje de los estudiantes como
ejercicios de reforzamiento de los conocimientos
2 Propuesta metodoloacutegica
La presente secuencia constituye una propuesta metodoloacutegica para el docente de Educacioacuten
Abierta que le permita mediar el proceso de ensentildeanza del tema de sucesiones el cual se
ubica en el nivel de seacutetimo antildeo seguacuten los programas del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
La secuencia didaacutectica utilizada estaacute basada en la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas de
Brousseau Es importante aclarar que en esta propuesta se plantean algunas de las situaciones
presentes en la teoriacutea en los moacutedulos de autoaprendizaje para el estudiante y otras en el
moacutedulo de trabajo en clase
La propuesta didaacutectica consta de tres moacutedulos de los cuales dos van dirigidos al estudiante
donde se impulsa y orienta su autoaprendizaje y uno es dirigido al docente para guiarlo
durante la clase presencial del proyecto Dichos moacutedulos se desarrollan en torno a dos videos
de elaboracioacuten propia disentildeados para que el estudiante participe durante la visualizacioacuten de
los mismos y un juego de cartas llamado Eslabones y Cadenas de elaboracioacuten propia
tambieacuten que es una adaptacioacuten del juego Phase 10 y Ron (Naipe)
La idea de secuencia de la aplicacioacuten de los moacutedulos es que el docente en la leccioacuten antes
de abarcar el tema de sucesiones deje como tarea el moacutedulo 1 de autoaprendizaje Luego de
esto que durante la clase presencial el docente desarrolle el moacutedulo 2 y por uacuteltimo el
moacutedulo 3 tambieacuten dirigido al autoaprendizaje del estudiante se deja como tarea al final de
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
120
la leccioacuten presencial a modo de refuerzo A continuacioacuten se explica en queacute consiste cada
moacutedulo mencionado
Caracteriacutesticas Generales de la Propuesta
Modalidad de la propuesta
- Proyectos de Educacioacuten Abierta propuestos por el MEP
Conocimientos por desarrollar
- Sucesiones y sus representaciones Ley de formacioacuten y patrones
Habilidades por desarrollar con la propuesta
- Identificar la ley de formacioacuten de una sucesioacuten utilizando lenguaje natural tabular y
algebraico
- Plantear y resolver problemas relacionados con sucesiones y patrones
Materiales por utilizar
- Paacuteginas interactivas
- Juego Eslabones y Cadenas
Moacutedulo 1
Consiste en un poacutester digital interactivo que se encuentra en el siguiente enlace
httpseduglogstercomglogsucesiones38t6f0c5wko La idea es que los estudiantes
ingresen con ayuda de sus teleacutefonos inteligentes o computadora desde sus casas y realicen
las actividades que ahiacute aparecen El acceso a dicho enlace se lo debe proporcionar el docente
ya sea llevando el poacutester impreso a la clase y que cada estudiante escanee el coacutedigo QR que
trae al final para acceder a la paacutegina o entregando en fiacutesico una copia del poacutester para que
tengan la opcioacuten de escanear el coacutedigo en casa o ingresar el enlace en la computadora Otra
opcioacuten es que el docente tenga el video en su celular y lo pase por medio de Bluetooth a los
estudiantes que no tienen acceso a internet
El PDF interactivo dirige al estudiante a lo largo de tres etapas al enfrentamiento a un
problema contextualizado la visualizacioacuten de un primer video sobre patrones y a la
aplicacioacuten y movilizacioacuten de los conocimientos
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten fundamental el moacutedulo inicia con esta situacioacuten en la cual se expone a los
estudiantes a un primer acercamiento al tema de sucesiones presentaacutendoles un problema
contextualizado el cual deben resolver usando uacutenicamente lo que conocen hasta el momento
Cabe recalcar que este problema puede ser modificado por el docente de acuerdo con el
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
121
contexto de sus estudiantes sin embargo debe lograr representar un verdadero problema no
ejercicios
- Visualizacioacuten del video 1 en este video se activan conocimientos previos que se consideran
necesarios para avanzar con el tema de sucesiones Baacutesicamente se trabaja encontrar
teacuterminos de sucesiones sencillas tanto numeacutericas como pictograacuteficas
- Etapa de movilizacioacuten al finalizar el video se tiene una etapa de ejercicios variados en los
que el estudiante debe realizarlos a modo de ejercitar la mente para identificar el patroacuten y
encontrar teacuterminos de una sucesioacuten
Moacutedulo 2
Consiste en una clase de 2 horas aproximadamente y se basa en una guiacutea para el docente
donde se describe coacutemo a traveacutes del juego de cartas Eslabones y Cadenas se producen
situaciones didaacutecticas de accioacuten formulacioacuten y validacioacuten en las que los estudiantes pueden
interactuar unos con otros y expresar sus ideas Finalmente se pretende que el docente
institucionalice los conocimientos que se adquieren durante el moacutedulo 1 y la clase para esto
se le dan algunas recomendaciones a seguir y libertar para disentildear dicha situacioacuten
A continuacioacuten se describe el Juego Eslabones y Cadenas y coacutemo se disentildean las cartas
Tambieacuten se presentan las instrucciones de coacutemo jugar para que el docente sea capaz de
explicarlo en clase Se recomienda que el docente juegue antes de aplicar la propuesta con
el fin de que maneje lo mejor posible el juego y su objetivo
Juego Eslabones y Cadenas
Materiales por utilizar
- Disentildeo de las cartas (se adjunta al final de la propuesta)
- Disentildeo de las pizarras
- Papel cartulina tamantildeo carta
- Impresora (o acceso a una)
- Plaacutestico
- Tijeras o guillotina
- Marcadores de pizarra
Pasos por seguir
- Imprima el disentildeo de las cartas y el de las pizarras en papel cartulina
- Emplastique las hojas de cartulina por ambos lados (tambieacuten puede recurrir a un lugar donde
se hagan emplasticados para un mejor acabado)
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122
- Recorte con las tijeras o la guillotina cada una de las cartas y cada una de las pizarras Al
final debe tener ocho pizarras y 66 cartas 15 de cada color (celeste morado naranja verde)
numeradas del 1 al 15 2 cartas Salto y 4 cartas Comodiacuten
- Los marcadores se utilizan para que los jugadores rellenen las pizarras
Instrucciones del juego
Significado de las cartas de accioacuten
- Comodiacuten esta carta puede ser utilizada para reemplazar cualquier carta ya sea un nuacutemero
o color para completar cualquier fase El valor asignado se mantiene por toda la mano Si es
la primera carta lanzada en la pila de descarte esta puede ser tomada por el primer jugador
- Salto esta carta se utiliza para saltar a un jugador
Objetivo del juego
- El objetivo del juego es completar las tres misiones lo antes posible y se deben completar
en orden
Las tres misiones son
- Misioacuten 1 grupo de tres cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de tres
cartas con el mismo color
- Misioacuten 2 grupo de cuatro cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de cuatro
cartas con el mismo color
- Misioacuten 3 grupo de cinco cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de cinco
cartas con el mismo color
Antes de comenzar
Escoger un jugador para que mezcle y reparta las cartas las cuales se reparten boca abajo
Para la primera misioacuten se reparten siete cartas (en la segunda misioacuten nueve y en la tercera
misioacuten 11) a cada jugador (o equipo) El mazo con el resto de las cartas se coloca boca abajo
en el centro de la mesa La primera carta se voltea y se coloca al lado pues esta seraacute la primera
carta de la pila de descarte
Luego todos los jugadores voltean sus cartas y las estudian individualmente para determinar
queacute necesitan para completar la misioacuten
Desarrollo del juego
El jugador a la izquierda del repartidor comienza el juego y asiacute se continuacutea con el orden de
los turnos de cada jugador Durante cada turno al jugador que le corresponde debe tomar una
carta ya sea del mazo de cartas o de la pila de descarte luego puede realizar alguna de las
siguientes acciones
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- Apearse colocar sobre la mesa las cartas boca arriba de alguno de los grupos de cartas la
misioacuten que le corresponde Por ejemplo para la misioacuten 1 apear el grupo de cartas [2 4 6]
que va de dos en dos
- Abonar antildeadir una carta de la mano a las apeadas de los demaacutes jugadores Por ejemplo
antildeadir un 8 a la secuencia [2 4 6] de otro jugador
- Completar la misioacuten colocar sobre la mesa boca arriba las cartas que completan la misioacuten
Para finalizar el turno del jugador se tira una de las cartas en la mano a la pila de descarte
Si se completa la misioacuten se toman las cartas del mazo para intentar conseguir la siguiente
misioacuten
Si las cartas del mazo se acaban se baraja la pila de descarte y se ponen estas cartas boca
abajo para poder continuar con el juego Y el juego termina cuando un jugador logra
completar las tres misiones y si esto sucede se deben transcribir los grupos de cartas a las
pizarras donde la fila de la 119899 representa la posicioacuten de la carta en el grupo ordenado y el 119886119899
representa el valor de la carta en la posicioacuten
Variantes en el juego
- Para minimizar el tiempo de juego se puede jugar solamente con dos misiones (primera y
segunda o primera y tercera) Tambieacuten para disminuir la complejidad del juego se puede
jugar omitiendo las apeadas con orden de color en las misiones
- El juego se puede jugar con un naipe comuacuten o con el popular juego ldquoUnordquo variando la
cantidad de cartas requeridas para cada grupo de cartas en las dos uacuteltimas misiones
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten accioacuten y Situacioacuten de formulacioacuten la clase se inicia explicando la mecaacutenica del
juego Eslabones y Cadenas El docente en este caso no juega solo valida las diferentes
sucesiones y realiza algunas preguntas a los estudiantes para que ellos expresen verbalmente
las sucesiones o patrones que estaacuten formando con las cartas Por ejemplo un estudiante puede
decir ldquoestoy realizando una secuencia de nuacutemeros paresrdquo o ldquomi secuencia va de dos en dosrdquo
pero lo importante es que a partir de la situacioacuten de formulacioacuten el docente pueda cerciorarse
de que los estudiantes estaacuten construyendo conscientemente los patrones
- Situacioacuten de validacioacuten en la que los estudiantes consolidan y discuten sobre lo aprendido
defienden y justifican su posicioacuten con las jugadas o secuencias realizadas mientras se
conversa sobre las diferentes representaciones Despueacutes de que el juego acaba (cuando
alguno de los equipos haya completado las fases) y sin retirar las cartas de la mesa de juego
cada equipo debe escoger alguna de las sucesiones en la mesa para que cada equipo realice
la respectiva tabulacioacuten en las pizarras El docente realiza las siguientes preguntas a cada
equipo para que vayan completando las tablas
En la primera carta de su sucesioacuten iquestcuaacutel nuacutemero hay iquestcuaacutel nuacutemero se encuentra en la
segunda carta
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124
Se pretende que mediante esta actividad se introduzca el concepto de variable y la relacioacuten
que existe entre el ldquo119899rdquo y el ldquo119886119899rdquo
Cada grupo debe analizar las diferentes relaciones de la tabla para generar e intentar plantear
una ley de formacioacuten o representacioacuten algebraica de la sucesioacuten
- Institucionalizacioacuten en esta seccioacuten de la clase el docente interviene para revisar y validar
las leyes de formacioacuten que realizaron los estudiantes Se formaliza el concepto de variable y
de sucesioacuten mediante una discusioacuten de los conocimientos adquiridos en las diferentes
situaciones didaacutecticas Se complementa la leccioacuten asignando el moacutedulo 3 como trabajo
extraclase Se presentan algunas recomendaciones y aspectos importantes por considerar para
que el docente planee su situacioacuten de institucionalizacioacuten
A la hora de introducir el concepto de variable se recomienda la utilizacioacuten de un espacio
para rellenar con un nuacutemero (⊡) en lugar de una letra ya que se pudo apreciar que facilitoacute
la comprensioacuten del significado de las mismas en este tema
Se requiere que el docente aclare la forma en que se pasa del lenguaje natural o tabular al
lenguaje algebraico ya que por ellos mismos es una labor que probablemente no logren
realizar debido a la complejidad del mismo Sin embargo la idea es que el docente los guiacutee
a llegar a completar este proceso y no que les presente por completo la forma de hacerlo
Con respecto a la simbologiacutea de la multiplicacioacuten en el lenguaje algebraico (no aparece
ninguacuten signo entre un nuacutemero y una letra) les resulta familiar si el docente lo relaciona con
las operaciones combinadas entre nuacutemeros naturales (cuando hay un pareacutentesis seguido de
un nuacutemero ahiacute existe una multiplicacioacuten que ldquono se verdquo)
Se recomienda que el docente utilice preguntas generadoras como iquestqueacute nuacutemero sigue iquestpor
queacute ese nuacutemero iquestqueacute se hace iquestestaacuten de acuerdo iquestalguien lo hizo diferente iquestqueacute se les
ocurre iquestqueacute pasa con la posicioacuten 1 iquesty si cambiamos a la posicioacuten 2 funciona iquestcoacutemo
consigo el que va en la posicioacuten 97
Moacutedulo 3
Consiste tambieacuten un poacutester interactivo que se encuentra en el siguiente enlace
httpseduglogstercomglognumber-operation2x7p7aw4hqo Fue disentildeado a modo de
reforzar la situacioacuten de institucionalizacioacuten el cual estaacute compuesto por dos etapas la
visualizacioacuten del segundo video donde se formalizan conocimientos y la aplicacioacuten y
movilizacioacuten de los nuevos saberes aprendidos Y funciona de la misma manera que el primer
poacutester interactivo
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten de refuerzo para la institucionalizacioacuten en la cual los estudiantes disponen de un
video donde se refuerza lo dicho por el docente sobre sucesiones
- Etapa de aplicacioacuten y movilizacioacuten de conocimientos la cual se compone de una serie de
ejercicios divididos por secciones donde se utilizan los conceptos y elementos algebraicos
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para el tema de sucesiones con el fin de afianzar conocimientos adquiridos en todo el proceso
de aprendizaje de las sucesiones
3 Conclusioacuten
En relacioacuten con el contenido de Sucesiones se considera que las habilidades que plantea el
MEP para este contenido son necesarias sin embargo no se incluye la representacioacuten graacutefica
de una sucesioacuten cuando es necesaria para futuros temas como funciones y proporcionalidad
Al analizar diferentes definiciones establecidas para el concepto de sucesiones se considera
que son rigurosas yo formales que pueden llegar a ser confusas para el estudiante de
educacioacuten abierta por lo que en esta propuesta se plantea una definicioacuten con vocabulario
sencillo que contempla las habilidades y contenidos del plan de estudios de esta modalidad
ldquoUna sucesioacuten es un conjunto o grupo ordenado de nuacutemeros figuras o cosasrdquo
Entre los obstaacuteculos epistemoloacutegicos se encuentran los conflictos con el significado de las
letras conflictos con el significado de los signos y conflictos con las respuestas esperadas
los cuales a lo largo de la clase presencial se advirtieron pero se lograron abarcar
satisfactoriamente con la situacioacuten de institucionalizacioacuten de aquiacute la importancia de un
adecuado disentildeo de la misma
Los obstaacuteculos cognitivos son particulares y amplios en esta modalidad falta de haacutebitos de
estudio imposibilidad de asistir a clase constantemente falta de conocimientos previos poco
tiempo asignado a los contenidos motivacioacuten e intereacutes condiciones familiares desfavorables
entre otros Dichos obstaacuteculos se consideraron en el disentildeo de la propuesta y se trataron de
evitar en la medida de lo posible avanzando en el conocimiento de forma paulatina con un
autoaprendizaje dirigido y actividades luacutedicas en clase La propuesta va dirigida
especiacuteficamente para Educacioacuten Abierta y no a otro tipo de programa ofrecido por el MEP
sin embargo se considera que esta puede ser adaptable a las condiciones y particularidades
de cada modalidad de estudio
Los obstaacuteculos didaacutecticos son considerados los efectos propuestos en la TSD Topaze
Jourdain Desplazamiento metacognitivo Uso abusivo de la analogiacutea y el Envejecimiento
de las situaciones de ensentildeanza los cuales durante la aplicacioacuten de la propuesta se concluye
que los dos primeros efectos pueden ser evitados haciendo de juegos para abordar los temas
de estudio ya que el papel del docente queda de lado al ser los estudiantes quienes interactuacutean
entre ellos Sin embargo al usar actividades luacutedicas se debe tener cuidado de no caer en el
desplazamiento metacognitivo pues el jugo se puede convertir en el fin de la clase
Por uacuteltimo para este caso particular de las sucesiones por su naturaleza y la forma de
evaluacioacuten realizada por el MEP se dificulto evitar el abuso de la analogiacutea en los ejercicios
en la propuesta
Al consultar a docentes con experiencia en la modalidad de educacioacuten abierta se obtienen
insumos para considerar elementos que se evidencian uacutenicamente a nivel praacutectico
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Los docentes coinciden y mencionan los obstaacuteculos cognitivos establecidos en la teoriacutea sin
embargo recalcan la importancia de la motivacioacuten y el intereacutes ya que una de las situaciones
maacutes preocupantes en esta modalidad es la desercioacuten de los estudiantes y consideran que la
falta de este impulso es la razoacuten de dicha problemaacutetica
En relacioacuten con el contenido de sucesiones se sostiene que es un tema superficial en el
programa de estudios para el nivel de Teacuterraba y se le debe dedicar poco tiempo de clases a
pesar de que diferentes investigaciones aseguran la importancia que posee en el aacutembito del
aacutelgebra en matemaacutetica y recalcan la dificultad que presenta para los estudiantes Ademaacutes los
docentes consideran que debido a la naturaleza del tema y a los tipos de iacutetems que se
presentan en el examen del MEP es de esperarse que le proceso de Razonar yo Argumentar
sea mayoritariamente trabajado en la propuesta
Con respecto a los obstaacuteculos didaacutecticos no se mencionoacute mucho al respecto sin embargo se
destaca la repeticioacuten en las preguntas de los exaacutemenes del MEP en relacioacuten a este tema por
lo que es de esperarse que en la propuesta no se lograra evitar el efecto del abuso de la
analogiacutea de la TSD
Los procesos matemaacuteticos de Razonar yo Argumentar y de Comunicar propuestos en el
programa de estudios del MEP se alcanzaron satisfactoriamente debido al tipo de actividades
planteadas y el tema elegido El proceso de Representar no se logra de manera adecuada
debido a las instrucciones del juego las cuales fueron confusas al trabajar la representacioacuten
tabular y la complejidad del simbolismo algebraico Ademaacutes se presentaron dificultades con
el proceso de Plantear yo Resolver problemas ya que el problema de la situacioacuten
fundamental no se logroacute resolver debido a algunas particularidades mencionadas por los
estudiantes que les impidieron estudiar para la clase
Los docentes expresaron su agrado ante el disentildeo de las actividades planteadas y las
consideraron acordes con tema trabajado se brindaron recomendaciones las cuales fueron
incorporadas en la propuesta con el fin de mejorarla Tambieacuten se discutioacute la dificultad que
podiacutea representar el juego para el tipo de poblacioacuten que asiste a esta modalidad sin embargo
esto no resultoacute ser un problema en el grupo que se aplicoacute la propuesta
Finalmente en el anaacutelisis de resultados realizado se determina que la propuesta didaacutectica
planteada para el aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra especiacuteficamente para el tema de sucesiones
en el nivel de Teacuterraba es acertada debido a que se ocupa de las habilidades planteadas por el
MEP y cumple con lo sentildealado por los docentes expertos al facilitar el proceso mediante el
cual se establece la relacioacuten entre las representaciones algebraicas y aritmeacuteticas de las
sucesiones Ademaacutes se considera la participacioacuten de los estudiantes como evidencia de la
motivacioacuten para trabajar el contenido de sucesiones
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Retos de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico y uno
privado
Jennifer Aragoacuten Monge
Universidad Estatal a Distancia Costa Rica
jaragonunedaccr
Paulina Coto Mata
Universidad Estatal a Distancia Costa Rica
pcotomunedaccr
Resumen Cuando cerraron los colegios de Costa Rica debido al COVID-19 la mayoriacutea de los
docentes empezaron a reinventar las lecciones y pasar a la virtualidad A partir de ahiacute surgieron
muchos retos que se enfrentaron como docentes de Matemaacuteticas para continuar con el proceso
educativo en este caso a nivel de ensentildeanza media La ponencia tiene como objetivo evidenciar
estos desafiacuteos desde dos escenarios diferentes en el Colegio Mariacutea Inmaculada de iacutendole privado
y la Unidad Pedagoacutegica San Diego puacuteblico Algunos de ellos fueron el uso de tecnologiacuteas de la
informacioacuten dificultades para la ensentildeanza a distancia de las Matemaacuteticas situaciones
socioeconoacutemicas compromisos de todos los actores del aacutembito educativo entre otros Se
muestran las diferencias en la praacutectica educativa desde dos realidades distintas
Palabras claves Educacioacuten Educacioacuten a distancia Educacioacuten secundaria Didaacutecticas de las
Matemaacuteticas
1 Introduccioacuten
Con la venida de la pandemia producto de la enfermedad COVID-19 se comenzaron a cerrar
centros educativos Fue cuando la educacioacuten a distancia comenzoacute a tomar auge Surgieron
las plataformas virtuales Google Classroom Microsoft Teams y otros recursos tecnoloacutegicos
como Zoom Youtube y Whastapp Los docentes comenzaron a transformar su forma de
ensentildear y tuvieron que reinventar estrategias metodoloacutegicas y materiales didaacutecticos
Mientras en el Colegio Mariacutea Inmaculada institucioacuten privada comenzaron ese cambio a
pocos diacuteas de cerrado los centros educativos en la Unidad Pedagoacutegica San Diego quedaron
a la espera de directrices por parte del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica y no fue hasta un mes
despueacutes que decidieron incursionar en la educacioacuten virtual
Al no tener una estrategia clara de coacutemo hacerlo se han venido presentando retos que los
docentes han tenido que solventar en la marcha Algunos hasta el diacutea de hoy no se han logrado
superar pese a los siete meses de haber incursionado en este escenario de la virtualidad
El trabajo tiene como objetivo evidenciar los desafiacuteos que afrontaron los docentes desde dos
aacutembitos diferentes colegio puacuteblico y privado asiacute como las soluciones que se le han dado a
algunos de estos Ademaacutes se mostraraacuten las diferencias de la ensentildeanza de las matemaacuteticas
que han recibido los estudiantes desde estos dos escenarios
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2 Colegio Mariacutea Inmaculada
21 Contexto Institucional
El Colegio Mariacutea Inmaculada estaacute ubicado en el distrito de San Vicente en el cantoacuten de
Moravia San Joseacute Es una institucioacuten privada catoacutelica que comprende todos los niveles de la
educacioacuten formal orientada por la Comunidad de Hermanas Franciscanas de Mariacutea
Inmaculada siguiendo el estilo pedagoacutegico y la espiritualidad de San Francisco de Asiacutes y de
la Beata Madre Caridad Brader (Colegio Mariacutea Inmaculada 2020)
Con respecto al estudiantado la mayoriacutea ingresan a la institucioacuten desde prekiacutender y continuacutean
ahiacute hasta llegar a undeacutecimo antildeo son generaciones muy consolidadas que se conocen bastante
bien
Otros aspectos relevantes de la institucioacuten es contar con un personal docente estable con
muchos antildeos de trabajo en equipo El colegio cuenta con un programa de estudio basado en
el del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica pero a la vez con autonomiacutea para de aumentar
cambiar y modificar contenidos a criterio del departamento de Matemaacuteticas
22 La evolucioacuten de las clases
Desde el 16 de marzo se suspendieron las clases presenciales En ese momento no se teniacutea
claro queacute procediacutea ni por cuaacutento tiempo se suspendiacutean las lecciones En cuestioacuten de dos diacuteas
el personal docente se organizoacute para comenzar la educacioacuten a distancia por medio de la
plataforma Classroom Se escogioacute esta por su facilidad para utilizarla Como menciona en la
paacutegina web El Comercio (2020)
Si bien la educacioacuten presencial supone mayores ventajas sobre todo por la posibilidad
de interactuar de forma directa en el dictado de clases el uso de herramientas digitales
como Google Classroom resulta fundamental en eacutepocas de confinamiento auacuten maacutes
cuando el volver a las aulas parece ser una opcioacuten lejana hasta que no se deacute por superada
la pandemia del coronavirus (paacuterr3)
Por medio de esta plataforma se les enviaban videos de Youtube con explicaciones realizadas
por la docente y se les asignaban trabajos sin embargo esta forma no era muy eficiente Los
estudiantes presentaban muchas dudas la mayoriacutea de los ejercicios que se les asignaban
teniacutean errores No estaban preparados para ser autodidactas Esta forma de ensentildear era
unidireccional no habiacutea interaccioacuten con los estudiantes aunque podiacutean plantear las dudas
por medio de la plataforma la comunicacioacuten seguiacutea siendo muy limitada
A partir de ahiacute se planteoacute la necesidad de usar una plataforma maacutes completa que permitiera
video llamadas pero que fuera gratis a la vez De ahiacute que se tomoacute la decisioacuten de incorporar
la aplicacioacuten Zoom como un apoyo a los videos de Youtube Se haciacutean llamadas con los
estudiantes aclarando dudas pero eran simples llamadas las cuales no lograban mejorar
grandemente el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
130
En ese momento la institucioacuten tuvo que tomar una decisioacuten Se optoacute por clases sincroacutenicas
usando Zoom Para ello se consultoacute a los padres de familia sobre la posibilidad de equipo
tecnoloacutegico (computadora o celular) con conexioacuten a internet Al tener una respuesta positiva
se establecioacute un nuevo horario para impartir lecciones organizados por generacioacuten y no por
grupo Se establecieron lapsos maacutes cortos de clases pero con la ventaja de estar todos
conectados al mismo tiempo para explicar aclarar dudas y tratar de hacer una clase virtual
lo maacutes parecida a una presencial Se acordoacute grabar las clases para brindaacutersela a los estudiantes
que por problemas de conexioacuten no asistieron La institucioacuten proporcionoacute computadoras para
los alumnos que no disponiacutean de una se establecieron reglas para el trabajo virtual entre
ellas no se solicitaba activar la caacutemara para salva guardar la integridad del menor de edad
Desde abril y durante todo el antildeo se continuoacute con clases sincroacutenicas por medio de la
plataforma Zoom con un horario establecido Se daban 3 clases de 1 hora a la semana se
pasaba lista de los estudiantes conectados y se teniacutea que justificar las ausencias ante la
administracioacuten
Por uacuteltimo se incorporoacute la evaluacioacuten sumativa Se comenzaron a realizar pruebas parciales
en liacutenea y se realizaron trabajos extraclase La modalidad de estos se explica maacutes adelante
23 Retos de la educacioacuten virtual en el Colegio Mariacutea Inmaculada
En el contexto del aula es difiacutecil lograr que los todos los estudiantes participen activamente
en la virtualidad ha sido auacuten maacutes complicado La participacioacuten en las clases sincroacutenicas se
ha visto afectada por aspectos como la cantidad de alumnos pues son alrededor de 60 por
grupo conexiones inestables distractores propios del ambiente de casa y el miedo a
equivocarse y que su duda quede grabada en un video
Para mejorar este reto se ha procedido a trabajar el miedo al error con el departamento del
psicologiacutea y orientacioacuten asiacute como la utilizacioacuten del chat directo con el docente durante la
clase La aplicacioacuten Zoom permite escribir en forma privada al profesor daacutendole un ambiente
de confianza al estudiante En el archivo de video de la ponente Aragoacuten (2020a) se evidencia
como se ha perdido el miedo a participar y ha mejorado la interaccioacuten en las clases
Otro gran reto que se tuvo que afrontar fue el implementar estrategias de trabajo en el aula
virtual La formacioacuten docente se basa en metodologiacuteas para la ensentildeanza en forma presencial
y no se estaba preparado para este cambio de escenario La mayoriacutea de las veces se optoacute por
una metodologiacutea tradicional donde el docente habla y los estudiantes escuchan sin embargo
no era adecuado quedarse con ella se necesitaba promover la participacioacuten pues esta ldquomejora
la asimilacioacuten y relevancia de contenidosrdquo (Baena y Ruiz 2019 p276)
En el segundo video de la ponente Aragoacuten (2020a) se muestra un trabajo grupal creado por
los estudiantes para introducir el tema de cuerpos soacutelidos Consistiacutea en explicar uno de ellos
sus partes y caracteriacutesticas debiacutean construir la figura en fiacutesico o por medio del programa
Geogebra Tambieacuten teniacutean que dar ejemplos concretos donde se observara ese cuerpo soacutelido
Cabe destacar que el tema no fue explicado con anterioridad el estudiante investigaba y
recolectaba la informacioacuten que ocupaba para desarrollarlo (Aragoacuten 2020b) De esta manera
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
131
se logra una mayor participacioacuten de los estudiantes y romper con esa metodologiacutea tradicional
que se veniacutea aplicando
Otro reto de la educacioacuten virtual y tal vez el maacutes difiacutecil de solucionar fue la evaluacioacuten El
docente no estaba preparado para valorar los aprendizajes desde una computadora El Colegio
Mariacutea Inmaculada analizando que el regreso a clases presenciales se visualizaba muy lejano
tomoacute la decisioacuten de seguir evaluando sumativamente Se propuso hacer las pruebas parciales
que inicialmente se teniacutean planeadas en la modalidad presencial pero ahora de forma virtual
Estas pruebas se enviaban por medio de la plataforma Classroom en forma de un archivo de
PDF a todos los estudiantes al mismo tiempo se le proporcionaban dos horas para su
realizacioacuten El estudiante descargaba el archivo lo imprimiacutea lo resolviacutea y lo devolviacutea en otro
archivo de PDF que conteniacutea las fotografiacuteas de cada paacutegina del examen
No obstante al hacer las pruebas virtuales se pierde la confiabilidad de esta No se tienen los
medios para verificar que el estudiante realice por eacutel mismo la prueba sin recurrir a
aplicaciones o programas matemaacuteticos o terceras personas para resolverla
En este caso solo se apela a la conciencia de los estudiantes y padres de familia de realizar la
prueba de la forma honesta evaluando las habilidades vistas en clases Es importante recordar
que la evaluacioacuten ldquoes un instrumento educativo que sobre todo informa respecto al proceso
educativo haciendo siacute su valoracioacuten del aprendizaje pero con el objeto de brindar mejores
propuestas y resultadosrdquo (Monzoacuten 2015 p22)
Por uacuteltimo otro reto importante fue el crear ambientes de trabajo aptos para el aprendizaje
La dinaacutemica del hogar ha cambiado la mayoriacutea de los padres de familia estaacuten en teletrabajo
los distractores son muchos no se cuentan con tantos escritorios y sillas adecuadas para estar
de 7 am a 2 pm frente a una computadora Muchos estudiantes tuvieron que recurrir a usar
anteojos para solventar los problemas de vista que generan los dispositivos electroacutenicos
Otros expresaban los dolores de espalda y cabeza por la dinaacutemica de la educacioacuten virtual A
continuacioacuten (Figura 1) opiniones de los estudiantes que reflejan esta problemaacutetica
Figura 1
Opiniones de los estudiantes sobre la problemaacutetica
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
132
Con respecto a este reto no se ha logrado grandes avances Se procedioacute a hablar con los
padres de familia y estudiantes para tratar en la medida de lo posible de crear ese ambiente
adecuado Tambieacuten se han creado espacios entre las clases virtuales para que el estudiante
descanse se levante y se despeje de estar frente a la computadora Ademaacutes desde el
Departamento de Orientacioacuten y Psicologiacutea se ha trabajado la importancia de crear horarios
de estudio y de descanso donde el estudiante pueda desconectarse de esta modalidad y evitar
lo sobrecargos de labores
3 El proceso de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico en Costa Rica
31 Unidad Pedagoacutegica San Diego
Contexto Institucional
La Unidad Pedagoacutegica San Diego (UP) se ubica en el distrito de San Diego en el cantoacuten de
La Unioacuten en la provincia de Cartago la institucioacuten alberga desde preescolar primaria y
secundaria (hasta III Ciclo) esta uacuteltima cuenta con una poblacioacuten cercana a los 450
estudiantes de diferentes niveles socioeconoacutemicos
Con respecto a los encargados legales la mayoriacutea cuenta con un nivel educativo uacutenicamente
de primaria completa muy pocos han terminado la educacioacuten diversificada y el nivel
universitario es praacutecticamente nulo Sus ingresos econoacutemicos son fluctuantes las fuentes
principales de empleo son informales Los lugares donde habitan generalmente son zonas de
alto riesgo social en casas prestadas alquiladas e incluso en cuarteriacuteas Existe un alto
porcentaje de estudiante becados por diferentes instituciones gubernamentales y no
gubernamentales y tienen un acceso limitado a los servicios baacutesicos incluidos el internet
La Unidad Pedagoacutegica tiene una alta concentracioacuten de inmigrantes muchos de ellos no tienen
un ciclo lectivo continuo en la institucioacuten ya que se trasladan con sus familiares a las zonas
donde hay fuentes de empleo provocando una inestabilidad en el proceso educativo de los
joacutevenes
32 Evolucioacuten en la Educacioacuten Virtual
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (MEP) suspendioacute las lecciones presenciales en la UP a
partir del lunes 16 de marzo dado que el colegio se encuentra en una zona con escases de
agua ese mismo lunes se iniciaba la semana de evaluacioacuten correspondiente a las primeras
pruebas escritas del primer trimestre
Inicialmente los docentes deciden enviar material a los estudiantes por medio del Facebook
del colegio con el fin de repasar los temas y no olvidar lo aprendido hasta el momento Se
pensaba que despueacutes de Semana Santa se regresariacutea a la presencialidad y se aplicariacutean las
pruebas escritas con toda normalidad
Cuando la sentildeora Giselle Cruz Maduro Ministra de Educacioacuten anuncia que el retorno a las
aulas no seraacute antes de vacaciones de medio periacuteodo se toma la decisioacuten de realizar grupos
de WhatsApp por cada seccioacuten con los estudiantes de noveno antildeo con el fin de lograr un
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133
acercamiento y fortalecer el viacutenculo entre docente ndash estudiante Posteriormente se realizoacute lo
mismo con la generacioacuten de seacutetimo antildeo
Luego de las capacitaciones se inicia con las sesiones sincroacutenicas y asincroacutenicas con los
estudiantes por medio de la plataforma virtual Microsoft Teams escogida por el Ministerio
de Educacioacuten Puacuteblica Esta herramienta propicia la interaccioacuten virtual entre el profesor y los
estudiantes tal y como lo menciona Martiacutenez en la Revista Digital Educativa 30 (2020)
Esta plataforma nos permite crear clases virtuales gestionadas por el docente donde
los alumnos y el profesor pueden compartir distintos tipos de materiales de clase
(documentos apuntes viacutedeos imaacutegenes documentales cuestionarioshellip) ademaacutes de
mantener conversaciones mandar tareas y actividades evaluables generar exaacutemenes
online y un sinfiacuten de actividades relacionadas con el diacutea a diacutea del aula (paacuterr3)
Ademaacutes se trabajan con las Guiacuteas de Trabajo Autoacutenomo (GTA) como lo indica su nombre
son guiacuteas elaboradas por el docente donde se explica de una forma detallada una habilidad y
ejercicios relacionados con el tema El estudiante con ayuda de esta trabaja de manera
independiente para lograr el aprendizaje Es en este momento cuando se hacen visibles las
dificultades para la apropiacioacuten del conocimiento a distancia
Retos de la educacioacuten virtual en la Unidad Pedagoacutegica San Diego
Al inicio del mes de mayo se realiza una encuesta por medio de los profesores guiacuteas para
conocer el grado de conectividad que tienen los estudiantes de la Unidad Pedagoacutegica los
resultados no fueron los esperados La mayoriacutea no tienen acceso a internet estable y
constante muchos de ellos utilizan datos limitados Ademaacutes no todos tienen computadora
o teleacutefonos inteligentes para ingresar a los acompantildeamientos virtuales
En relacioacuten con las sesiones sincroacutenicas en Microsoft Teams el Estado llega a un acuerdo
con las compantildeiacuteas telefoacutenicas para que las aplicaciones no generen gasto de datos moacuteviles
es decir sean gratuitas para las familias costarricenses pero aun asiacute no fue funcional esto
debido que existe poca cobertura en los hogares la llamadas documentos y archivos en
general no cargan
Se tiene el tiempo limitado para el acompantildeamiento virtual una de las poliacuteticas del MEP es
no trasladar el centro educativo a los hogares En el caso de matemaacuteticas estas pasan de 5
lecciones de 40 minutos por semana a un maacuteximo una hora de semanalmente Otro factor
determinante es la asistencia al no ser obligatoria muchos de los estudiantes no muestran
intereacutes en asistir a las sesiones Ademaacutes no existe un acompantildeamiento ni un compromiso
real por parte de los encargados legales en todo este proceso
Todo esto desencadena problemas para la comprensioacuten de conceptos propiamente
matemaacuteticos los estudiantes enviacutean mensajes como ldquoHola buenos diacuteas profe vieras que no
estoy recibiendo lecciones por Teams y la verdad no entiendo la guiacuteardquo ldquoHola Profe vieras
que quitaron el wifi en mi casa y no ingreso a Teams y tengo muchas dudas de los ejerciciosrdquo
este tipo de mensajes se dieron con mayor frecuencia con el avance del curso lectivo
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134
Despueacutes de convivir con todas estas limitaciones el docente tiene que reinventarse y pensar
en diferentes estrategias recursos o aplicaciones que se adapten y motiven a la poblacioacuten
educativa como se menciona en los programas de estudios del Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica (2012) ldquoEn el aprendizaje son decisivas la motivacioacuten y intereacutes y en general todas
las dimensiones afectivas por lo que se adopta una visioacuten integral y humanista sobre la
ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (p37)
Ante las limitaciones que presentaba la poblacioacuten los docentes proceden a buscar diferentes
estrategias para continuar con el proceso educativo con todos los estudiantes de ahiacute nace la
necesidad de utilizar WhatsApp se graban videos se enviacutean fotos se aclaran dudas o se
hacen video llamadas para explicar un determinado tema
Se preguntaraacuten iquestPor queacute WhatsApp y no YouTube o Vimeo La respuesta es muy sencilla
es una aplicacioacuten que la mayoriacutea de las personas tiene en su celular la saben utilizar si la
docente enviacutea un video o un audio con la explicacioacuten de alguacuten tema solo genera un gasto a
la hora de la descarga y queda guardado en el dispositivo y puede utilizarlo cada vez que asiacute
lo requiera Era el medio maacutes factible y el que ofreciacutea mayores ventajas como se menciona
en el artiacuteculo de la revista de investigacioacuten en educacioacuten este recurso
Favorece la cooperacioacuten entre estudiantes Mejora la relacioacuten entre profesor y
alumnoSe establece una relacioacuten maacutes personalizada con el profesor por tanto
personaliza el aprendizaje Motivacioacuten del alumnado para aprender al mantener una
actitud positiva hacia el uso educativo del WA Promueve la participacioacuten incluso del
alumnado maacutes retraiacutedo o tiacutemido Ampliacutea las posibilidades creativas para los
estudiantes Promueve la lectura de textos cientiacuteficos Accesibilidad a materiales
formativos en varios formatos Posibilita dejar mini clases grabadas oralmente Abre
un canal para exponer y expresar ideas Posibilita la evaluacioacuten diagnoacutestica sobre los
conocimientos de los alumnos (Suarez 2018 p128)
A continuacioacuten (Figura 2) un extracto de la comunicacioacuten docente-estudiante utilizando
Whastapp
Figura 2
Extracto de la comunicacioacuten docente-estudiante por medio de Whatsapp
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135
Por otro lado los problemas de conectividad que tuvo esta poblacioacuten repercuten en la
imposibilidad de usar aplicaciones y programas propiamente matemaacuteticos Incluso algunos
no cuentan con calculadora propia pues las limitaciones econoacutemicas no les permitiacutean
adquirir una Este uacuteltimo punto rompe con uno de los cinco ejes disciplinares propuestos en
los programas de estudio como es el uso de la tecnologiacutea como un recurso para que el
estudiante construya su propio conocimiento
Las tecnologiacuteas pueden ser un poderoso aliado para potenciar el pensamiento
matemaacutetico Y es precisamente en la resolucioacuten de problemas en entornos reales donde
eacutestas pueden aportar sus beneficios de la mejor manera en contextos de aprendizaje
que fortalezcan las habilidades y capacidades matemaacuteticas (Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica 2012 p37)
La aplicacioacuten Mathway vino a ser un aliado para los estudiantes que no podiacutean adquirir una
calculadora y ademaacutes les ayudaba a verificar el resultado de ejercicios matemaacuteticos que se
les proponiacutean en la GTA
4 Conclusiones y recomendaciones
De la experiencia en el Colegio Mariacutea Inmaculada y en la Unidad Pedagoacutegica San Diego se
puede concluir que no se teniacutea un camino claro de coacutemo lograr una educacioacuten virtual pues
no se formaron a los docentes para trabajar en este escenario ni se teniacutea los recursos
necesarios para desarrollar a cabalidad esta modalidad De ahiacute que surgieron muchos retos
que se tuvieron que solventar en la marcha Es gracias a la labor docente y administrativa que
se logra continuar con un proceso educativo dentro de las posibilidades sin embargo Costa
Rica no estaacute preparada para este cambio Auacuten falta mucho camino por recorrer Ni siquiera
podemos asegurar una conectividad del 100 de los alumnos
Pese a las limitaciones que se dieron existieron estudiantes muy comprometidos
responsables aplicados que desde el primer momento realizaron sus trabajos como si
estuvieran en el aula Es digno de resaltar los valores mostrados por estos joacutevenes siendo
esto un aliciente para los docentes que con gran vocacioacuten realizaban su trabajo
Una de las ensentildeanzas maacutes valiosas que se pudo constatar con esta experiencia es la
importancia del profesor en algunos hasta casos desvalorizados Por maacutes tecnologiacutea de punta
y guiacuteas de trabajo autoacutenomo se necesita el calor humano del docente que en forma presencial
desarrolle la leccioacuten La interaccioacuten profesorndashestudiante frente a frente es un elemento que
no podemos dejar en el olvido La educacioacuten virtual siacute permitioacute el aprendizaje de algunas
habilidades del programa de estudios pero de forma maacutes lenta y con maacutes dificultades que si
se estuviera en forma presencial
Ya se ha dado un gran avance en la educacioacuten virtual se recomienda a un futuro pensar en
una modalidad dual que implemente tanto la virtualidad como la presencialidad Ambas
tienen ventajas que pueden enriquecer el proceso educativo
Es importante pensar a un futuro en instrumentos de evaluacioacuten sumativa metodologiacuteas de
trabajo virtual y plataformas que se adapten mejor a las condiciones de toda la poblacioacuten
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136
Ademaacutes se recomienda capacitar a los docentes en el uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
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137
Simulacioacuten con el paquete CODAP para resolver
problemas estocaacutesticos
Greivin Ramiacuterez Arce
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica y Universidad de Costa Rica
gramirezitcraccr
Resumen Se pretende en el taller la simulacioacuten de problemas estocaacutesticos a traveacutes de la
herramienta Common Online Data Analysis Platform (CODAP) que es un paquete web
gratuito de libre acceso dinaacutemico con diversidad de elementos graacuteficas para la
representacioacuten de datos y de raacutepida curva de aprendizaje pues su nivel de programacioacuten es
baacutesico Se propone la simulacioacuten de cinco problemas de probabilidad con su respectiva
solucioacuten teoacuterica llegada de autobuses encuentro entre amigos torres de electricidad signos
del zodiaco y el banco abarcando temas como distribucioacuten binomial probabilidad
geomeacutetrica probabilidad de eventos conjuntos y complementos conteo y teoriacutea de colas
Palabras clave CODAP simulacioacuten probabilidad
1 Introduccioacuten
En el proceso repetitivo de seleccioacuten de muestras aleatorias se puede aproximar la
probabilidad de problemas basados en la frecuencia relativa del nuacutemero de eacutexitos obtenidos
en n experimentos La ley de los grandes nuacutemeros respalda estas aproximaciones y se puede
aplicar en temas como caacutelculo de probabilidad de eventos simples y compuestos ensayos
de Bernoulli distribucioacuten binomial probabilidad geomeacutetrica y probabilidad condicional
Se presenta a continuacioacuten una posible simulacioacuten a problemas probabiliacutesticos que facilitan
su comprensioacuten con respecto a la solucioacuten teoacuterica alejaacutendose inicialmente del formalismo
matemaacutetico Distintos investigadores a nivel mundial respaldan el uso de la tecnologiacutea
Fernaacutendez et al (2009) Biehler et al (2013) Tabak et al (2019) y a la vez se promueve
como una herramienta uacutetil de desarrollo de instruccioacuten en muchos curriacuteculos educativos
como el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (MEP) en Costa Rica la Secretariacutea de Educacioacuten
Puacuteblica (SEP) en Meacutexico el Ministerio de Educacioacuten y Formacioacuten Profesional (MEFP) en
Espantildea entre otros
La simulacioacuten en el paquete CODAP a traveacutes del proceso repetitivo de experimentos daraacute
una buena aproximacioacuten a la solucioacuten de problemas y a la vez permite la visualizacioacuten desde
el proceso constructivo de la distribucioacuten la obtencioacuten de datos la representacioacuten de ellos y
el caacutelculo final de la frecuencia relativa para la toma de decisiones
El disentildeo del paquete CODAP por el consorcio Concord fue hecho pensando en una
herramienta STEM (Science Technology Engineering and Mathematics) que permite el
acceso a datos cientiacuteficos reales a traveacutes de sus bases para explorar visualizar calcular y
entonces tomar decisiones
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138
Se puede acceder al paquete en la direccioacuten httpscodapconcordorg
Requerimientos del taller
Solo se requiere contar con internet pues CODAP se utiliza en liacutenea
2 Actividades
21 Simulacioacuten de autobuses
Imagine que estaacute esperando un autobuacutes en una terminal que estaacute muy saturada Uno de cada
cuatro autobuses que llegan en forma aleatoria le puede llevar a su destino iquestCuaacutel es la
posibilidad que entre los primeros cinco autobuses que arriban se encuentre al menos uno
que te lleve a tu destino
Seleccione la opcioacuten de Sampler en la barra de herramientas Plugins del software
Cree la distribucioacuten de buses seguacuten la hipoacutetesis del enunciado (uno de cada cuatro
autobuses le puede llevar a su destino Se toma 1 el bus me lleva 0 el bus no me lleva)
Asiacute
Figura 1
Creacioacuten de la distribucioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
a Por omisioacuten el programa toma como primer experimento tres muestras de tamantildeo cinco
con reemplazo Seleccione START para iniciar la animacioacuten
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Figura 2
Simulacioacuten del primer experimento
Nota Elaboracioacuten propia
En su caso iquesten los tres experimentos pudo ir a su destino
b Realice tres experimentos (equivale a 9 muestras de tamantildeo 5) iquestDe esas nueve muestras
en cuaacutentas ocasiones pudo ir a su destino
c Agregue un nuevo atributo en la tabla de muestras llamado Me lleva o no
Figura 3
Cuenta eacutexitos
Nota Elaboracioacuten propia
d Repita la cantidad de experimentos que desee y utilice la calculadora para contar el
nuacutemero de ocasiones del total de muestras en las que de cada cuatro buses que llegaron a
la estacioacuten pudo ir a su destino
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Figura 4
Probabilidad de eacutexito
Nota Elaboracioacuten propia
e Consulte la cantidad de eacutexitos que obtuvo el compantildeero (a) del lado y suacutemelo a la
cantidad de eacutexito que usted obtuvo Calcule nuevamente el nuacutemero de ocasiones del total
de muestras entre los dos en las que de cada cuatro buses que llegaron a la estacioacuten
pudieron ir a su destino
Solucioacuten teoacuterica
Sea 119883 el nuacutemero de buses que lo llevan al destino de los cinco que llegan de manera
aleatoria
119883~119861 (119899 = 5 119901 =1
4) donde su funcioacuten de probabilidad estaacute dada por
119891119883(119896) = 119862(119899 119896)119901119896119902119899minus119896 con 119896 = 012 hellip 5
119875(119883 ge 1) = sum 119862(5 119896) (1
4)
1198965
119896=1
(3
4)
5minus119896
=781
1024asymp 0762695
22 Encuentro entre amigos
Dos amigos han decidido encontrarse en un restaurante entre 8 y 9 de la noche Cada uno
de ellos entra al restaurante en forma aleatoria en cualquier minuto de ese periodo y esperan
16 minutos maacuteximo y luego se retiran iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que se encuentren
a Arrastre una tabla con las siguientes columnas
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Figura 5
Definicioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
b Asigne un tiempo aleatorio de llegada del primer amigo y del segundo amigo entre las 8
y las 9
Figura 6
Tiempo de llegada de los amigos
Nota Elaboracioacuten propia
c Obtenga la diferencia absoluta entre los tiempos de llegada de los dos amigos
d Defina si los amigos se encuentran o no seguacuten la diferencia de los tiempos de llegada
Figura 7
Diferencias en tiempos de llegada
Nota Elaboracioacuten propia
e Aumenta a 1000 el nuacutemero de llegadas de los amigos y calcula la probabilidad empiacuterica
de que los dos amigos se encuentren
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iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que no se encuentren
iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que se encuentren a la entrada del restaurante
Solucioacuten teoacuterica
23 Torres de Electricidad
Los pueblos A B C y D estaacuten enlazados por liacuteneas de transmisioacuten eleacutectrica entre A y B A
y C B y C y C y D La planta generadora estaacute en A (ver la Fig ) Durante una tormenta
severa la probabilidad que alguna liacutenea en particular se caiga por defecto del clima es 02 y
es independiente de cualquier liacutenea iquestCuaacutel es la probabilidad que el pueblo D tenga energiacutea
eleacutectrica despueacutes de la tormenta iquestQueacute es maacutes probable que haya energiacutea en el Pueblo D
despueacutes de una tormenta severa o que no haya
a Construya la tabla correspondiente y escribe los siguientes atributos LiacuteneaAB LiacuteneaAC
LiacuteneaBC LiacuteneaCD y PuebloD
b Asigne a cada atributo la foacutermula
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Figura 8
Definicioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
Donde 1 significa que la liacutenea funciona perfectamente mientras que 0 significa que hay un
defecto en la Liacutenea
Arrastre 1000 casos y analice algunos de los resultados
d Luego en el PuebloD tendraacute energiacutea eleacutectrica si se obtiene un 1 en caso contrario un 0 de
la siguiente forma
Figura 9
Electricidad en el pueblo D
Nota Elaboracioacuten propia
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144
Otras opciones
if(AB+BC+CD=31if(AC+CD=210))
if(lineaCDlineaAB=11if(lineaCDlineaABlineaBC=110))
if(LineaCD=00 if(LineaAC=1 1 if(LineaAB=1 and LineaBC=110 )))
Construya una graacutefica del nuacutemero de veces en las que hay electricidad en el pueblo D
Figura 10
Graacutefico de frecuencias del pueblo D
Nota Elaboracioacuten propia
iquestQueacute es maacutes probable que haya energiacutea en el Pueblo D despueacutes de una tormenta severa o
que no haya
Solucioacuten teoacuterica
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Por lo que despueacutes de una tormenta severa es maacutes probable que haya electricidad (p =
07424) en el pueblo D a que no haya (q = 02576)
24 Los signos del zodiaco
Problema 1
Estimar la probabilidad de que en un grupo de 5 personas al menos dos de ellas tengan el
mismo signo del Zodiaco (Hay 12 signos zodiacales y asumieacuteramos que cada signo es
igualmente probable para cualquier persona) iquestQueacute tan alta crees que es la probabilidad
a Seleccione la opcioacuten de Sampler en la barra de herramientas Plugins del software
b Cree la distribucioacuten de signos zodiacales Asiacute
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Figura 10
Creacioacuten de la distribucioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
c Por omisioacuten el programa toma como primer experimento tres muestras de tamantildeo cinco
con reemplazo Varieacute los paraacutemetros para que tome 100 muestras de tamantildeo 5 Seleccione
START para iniciar la animacioacuten
En su caso en la primera muestra iquestal menos dos de ellos tienen el mismo signo del
zodiaco
d Defina en cada una de las 100 muestras en cuaacuteles de ellas resulto al menos dos personas
con el mismo signo del zodiaco Asiacute
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Figura 11
Tienen mismo signo
Nota Elaboracioacuten propia
Se define la foacutermula en MismoSigno
if(count(value = Caacutencer) gt 1 1 0) + if(count(value = Capricorneo) gt 1 1 0) +
if(count(value = Aries) gt 1 1 0)+if(count(value = Tauro) gt 1 1 0) + if(count(value =
Geacutemenis) gt 1 1 0) + if(count(value = Acuario) gt 1 1 0)+if(count(value = Leo) gt 1
1 0) + if(count(value = Piscis) gt 1 1 0) + if(count(value = Virgo) gt 1 1
0)+if(count(value = Sagitario) gt 1 1 0) + if(count(value = Libra) gt 1 1 0) +
if(count(value = Escorpioacuten) gt 1 1 0)
e Determine la probabilidad de que en cada grupo de 5 personas al menos dos de ellas
tengan el mismo signo del Zodiaco
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Figura 12
Probabilidad de cada grupo tenga al menos dos personas con el mismo signo zodiacal
Nota Elaboracioacuten propia
Solucioacuten teoacuterica
Sean
X el evento de que al menos dos personas tienen el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
el evento de que ninguna persona tiene el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
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Problema 2
Ahora estamos interesados en estimar la probabilidad de que al menos una persona de un
grupo de cinco personas tenga el mismo signo zodiacal que tuacute
El proceso va a cambiar a partir del cuarto paso
a Defina en cada una de las 100 muestras en cuaacuteles de ellas resulto al menos una persona
que tiene el mismo signo zodiacal que tuacute (supongamos que eres Caacutencer) Asiacute
Figura 13
Tienen signo Caacutencer
Nota Elaboracioacuten propia
b Determine la probabilidad de que en cada grupo de 5 personas al menos una de ella
tenga signo Caacutencer
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Figura 12
Probabilidad de cada grupo tenga al menos una persona Caacutencer
Nota Elaboracioacuten propia
Solucioacuten teoacuterica
Sean
X el evento de que al menos dos personas tienen el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
el evento de que ninguna persona tiene el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
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25 El banco
Un banco de la ciudad soacutelo abre dos ventanillas para atender a sus clientes El nuacutemero de
clientes que llega al banco variacutea en forma entre 0 y 5 por minuto Los clientes forman una
liacutenea y la persona de adelante pasa a la primera ventanilla disponible En las ventanillas se
atiende una persona por minuto Disentildea una simulacioacuten y registra el nuacutemero de personas en
la liacutenea de espera al final de cada minuto Usa una tabla como la siguiente
Minuto Nuacutemero de clientes
que llegan
Nuacutemero de clientes
esperando en liacutenea
Tiempo de espera
para la uacuteltima
persona (minutos)
1 3 1 1
2 4 3 2
1 iquestCuaacutel es la longitud de la fila despueacutes de cinco minutos
2 iquestCuaacutel es el tiempo que una persona tiene que esperar si llegoacute en el minuto 10
3 iquestCuaacutentas veces el tiempo de espera se redujo a cero
4 iquestCuaacutel es el promedio de personas esperando sobre el periacuteodo de 20 minutos
5 Si tuacute fueras gerente de un banco iquestincrementariacuteas o disminuiriacuteas el nuacutemero de
ventanillas
a Construya en CODAP una tabla que contenga las siguientes columnas
Figura 13
Creacioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
En el minuto cero auacuten no han llegado clientes al banco
b Asignar la foacutermula caseindex a la columna Minuto
c Asignar un nuacutemero aleatorio entre cero y cinco a la columna NumClientesArriban en
cada minuto que transcurre Este nuacutemero seraacute la cantidad de personas que arriban al banco
por minuto Asiacute
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Figura 14
Personas que arriban al banco por minuto
Nota Elaboracioacuten propia
d Se contabilizan las personas que permanecen haciendo fila con la siguiente foacutermula
asignada a NumClientesenLinea
Figura 15
Personas hacen fila
Nota Elaboracioacuten propia
e Se calcula el tiempo de espera de la uacuteltima persona que estaacute haciendo fila asignando la
foacutermula
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Figura 16
Tiempo en la fila de la uacuteltima persona
Nota Elaboracioacuten propia
f Cree casos hasta el minuto 60 para determinar lo que pasa despueacutes de una hora
g Grafique y obtenga el promedio del Tiempoenespera en los 60 minutos
iquestSi tuacute fueras gerente de un banco iquestincrementariacuteas o disminuiriacuteas el nuacutemero de ventanillas
Referencias bibliograacuteficas
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154
Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano
Guillermo Alfonso Brenes Tencio
Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica Costa Rica
guillermobrenestenciomepgocr
Resumen En el presente trabajo analizamos los signos de poder presentes en una seleccioacuten de
retratos elaborados en Hispanoameacuterica colonial durante los siglos XVII y XVIII
Palabras clave Retratos Iconografiacutea del poder Hispanoameacuterica Colonial
1 iquestQueacute se entiende por retrato
El retrato se puede entender como la expresioacuten visual perceptiva de un sujeto (Borja 2011
Burke 2005) Ante una imagen se estaacute en presencia de una percepcioacuten El geacutenero del retrato
forma parte de la cultura visual de las sociedades americanas durante la dominacioacuten ejercida
por la Monarquiacutea espantildeola durante casi trescientos antildeos (Moya 2001 Peacuterez y Quezada
2009) iquestQuieacutenes se retrataban Los funcionarios reales miembros de la alta jerarquiacutea
eclesiaacutestica e individuos (hombres y mujeres) de las maacutes distinguidas familias de la elite
hispanoamericana
2 iquestCuaacuteles son algunas caracteriacutesticas de los retratos coloniales
Los retratos reproducen los rasgos fiacutesicos y la posicioacuten social de los personajes
Los retratos se caracterizan por la riqueza del colorido y la minuciosidad en los
detalles
Estaacuten impregnados de un profundo simbolismo
Los retratos manifiestan no solo la identidad individual y colectiva sino tambieacuten las
cualidades fiacutesicas morales y sociales
Los retratados eran muy conscientes de la muerte y la pintura era una forma de
trascender
Se colocaban en las salas de las residencias virreinales los palacios arzobispales y los
conventos femeninos
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3 Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano
31 Retratos de virreyes
El virrey era el representante del Rey en sus dominios americanos Su lsquorsquoalter egorsquorsquo (Museo
Colonial de Bogotaacute 2020) En los retratos pictoacutericos el virrey como es el caso por ejemplo
del cuadro que representa a don Joseacute Soliacutes Folch de Cardona (1716 ndash 1770) suele aparecer
con la mirada hacia el frente con la espalda erguida y una mano en la cintura sentildeal de la
dignidad de su cargo asiacute como de su poderiacuteo poliacutetico y socioeconoacutemico Uno de los siacutembolos
del poder del virrey era su bastoacuten de mando Otros signos de poder son el tricornio o
sombrero de tres puntas el cortinaje carmesiacute y el escudo familiar que representaba el noble
linaje del retratado de origen madrilentildeo (Figura 1)
Figura 1
Joaquiacuten Gutieacuterrez Retrato de D Joseacute Soliacutes y Folch de Cardona virrey de Nueva Granada
Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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32 Retratos de damas de la elite virreinal
Un caso es el retrato de la noble dama Mariacutea Tadea Gonzaacutelez Manrique del Frago y Bonis
(1736 ndash 1780) quien estaacute vestida con un riquiacutesimo traje de tela estampado realizado con tela
china La marquesa luce una amplia diversidad de alhajas como signo de su elevado nivel
social y econoacutemico (Museo Colonial de Bogotaacute 2020) Dontildea Mariacutea Tadea aparece retrata
realiacutesticamente pero con rasgos faciales simplificados y una piel que luce impecablemente
tersa En el retrato se evidencian signos de estatus escudo de armas un cortinaje carmesiacute y
el uso de la cartela (datos biograacuteficos de la marquesa de San Jorge de Bogotaacute) (Figura 2)
Figura 2
Joaquiacuten Gutieacuterrez Retrato de dontildea Mariacutea Tadea Gonzaacutelez Manrique del Frago y Bonis
marquesa de San Jorge Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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33 Retratos de miembros de la alta jerarquiacutea eclesiaacutestica
El arzobispo de Nueva Espantildea Don Manuel Joseacute Rubio y Salinas (1703 ndash 1765) estaacute
representado de forma realista y de cuerpo entero (Figura 3) Estaacute vestido con su suntuoso
traje eclesiaacutestico y luce una cruz pectoral Aparece sentado sobre un magniacutefico silloacuten de
madera moldurada La mitra que descansa sobre una mesa denota su maacutexima autoridad
religiosa Aparecen signos de poder como el escudo familiar el cortinaje y la cartela La
imagen de Cristo crucificado es un signo de que el arzobispo era un hombre de profunda fe
y de una vida religiosa presuntamente ejemplar
Figura 3
Miguel Cabrera Retrato del arzobispo de Meacutexico Dr Manuel Joseacute Rubio y Salinas Oacuteleo
sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo de Bellas Artes de Boston
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158
34 Retratos de monjas coronadas
Los retratos de las religiosas se realizaban para conmemorar dos momentos fundamentales
de la vida espiritual la profesioacuten de fe (nupcias miacutesticas con Jesucristo) y la muerte (Lavrin
2016 Montero 2002) En el caso del retrato de Sor Matiana Francisca del Sentildeor San Joseacute
(siglo XVIII) la religiosa yace en su lecho ricamente ataviada su cabeza reposa en un
almohadoacuten blanco Cintildee su cabeza una exuberante corona de flores siacutembolo de la vida y la
muerte En sus manos entrelazadas sobre el pecho lleva un ramo de azucenas como siacutembolo
de pureza de la fenecida (Figura 4)
Figura 4
Retrato de Sor Matiana Francisca del Sentildeor San Joseacute (vicaria) Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Anoacutenimo
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4 Algunas historias por detraacutes de los retratoshellip
41 Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz
La joven dama Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz (1715 ndash 1767) dotada de una gran
inteligencia y sensibilidad perteneciacutea a una acaudalada familia de la eacutelite del Virreinato de
la Nueva Espantildea (Lavrin 2016) Estaacute retratada de cuerpo entero y exhibe un lujoso vestido
bordeado en hilos de plata y seda (Figura 5) Porta diversas joyas y un abanico cerrado en
una de sus manos El cortinaje (posiblemente de seda o terciopelo) sentildeala que la escena
ocurre en un espacio interior En un costado hay un lujoso mueble labrado que es un reloj
(idea de la medicioacuten o el paso del tiempo)
Figura 5
Retrato de Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII Museo de
Soumaya
Nota Anoacutenimo
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42 Sor Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz
Mariacutea Ignacia ingresa a una orden religiosa (Congregacioacuten de Mariacutea) e invierte su inmensa
fortuna en el fomento de la educacioacuten de nintildeas y joacutevenes novohispanas (funda un colegio ndash
convento) (Lavrin 2016) Sor Mariacutea Ignacia aparece vestida con el austero haacutebito religioso
y en una de sus manos porta un libro (una de sus aficiones era la lectura) y un escapulario
siacutembolo de la vida asceacutetica Su postura es de tres cuartos (Figura 6)
Figura 6
Andreacutes de Islas Retrato de Sor Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz Oacuteleo sobre tela Siglo
XVIII
Nota Convento de La Ensentildeanza de Meacutexico
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161
43 Don Antonio Caballero y Goacutengora
Don Antonio Pascual de San Pedro de Alcaacutentara Caballero y Goacutengora (1723 ndash 1796) fue
flamante virrey de la Nueva Granada y ademaacutes se desempentildeoacute como arzobispo de Bogotaacute
(Museo Colonial de Bogotaacute 2020) Aparece retratado con sus ropas eclesiaacutesticas y una
medalla de oro en el pecho En una de sus manos lleva el bastoacuten episcopal con cordoacuten y
bellotas En un costado aparece una mesa sobre la cual hay tres mitras que simbolizan su
poder religioso y las veces en que se desempentildeoacute como obispo En la parte superior izquierda
del retrato aparece un cortinaje carmesiacute y a la derecha el escudo familiar (Figura 7) Signos
inequiacutevocos de poder y prestigio que capitalizaba don Antonio Caballero y Goacutengora
Figura 7
Pablo Antonio Garciacutea del Campo Retrato de D Antonio Pascual de San Pedro de Alcaacutentara
Caballero y Goacutengora Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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162
44 Antonia de Pastrana y Cabrera Pretel
La nintildea retratada estaacute vestida con el haacutebito dominico (Gutieacuterrez 1995) y lleva sobre su cabeza
una corona de rosas blancas (signo de pureza e inocencia) Antonia luce aretes collares de
perlas y una cruz de oro con esmeraldas En el costado derecho se observa una mesa sobre la
que descansa una imagen del Nintildeo Jesuacutes El gesto de Antonia de Pastrana y Cabrera Pretel
es adusto y aparece retratada de cuerpo entero lo que evidencia que proveniacutea de una hija de
notable familia neogranadina (Figura 8)
Figura 8
Retrato de la nintildea Antonia Pastrana y Cabrera Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII Museo Santa
Clara de Bogotaacute
Nota Anoacutenimo
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5 Conclusiones
1 En los retratos de los virreyes se pueden observar signos de distincioacuten y de poder en el
uso de ricas vestimentas que denotan prestancia el uso de cortinajes que entronizan la
figura pintada sombreros escudos de familia y el bastoacuten de mando (siacutembolo de autoridad
poliacutetica y militar)
2 Los retratos de damas de la alta sociedad virreinal evidencian la influencia del estilo
cortesano franceacutes en sus elaborados peinados delicados vestidos confeccionados en sateacuten y
raso y las opulentas joyas de oro y piedras preciosas
3 Los retratos de personajes eclesiaacutesticos exaltan sus virtudes cristianas y labor
evangeacutelica y estatus social a traveacutes de signos como ropajes libros efigies sacras y otros
4 En los retratos de monjas muertas y coronadas se entremezclan los elementos simboacutelicos
y los significados religiosos (matrimonio miacutestico con Cristo y oacutebito)
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164
Tareas y estrategias metodoloacutegicas para plantear
problemas de modelizacioacuten matemaacutetica
Karen Porras Lizano
Universidad Nacional Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica Costa Rica
Karenporraslizanounaaccr
Gilberto Chavarriacutea Arroyo
Universidad Nacional Costa Rica
gilbertochavarriacuteaarroyounaaccr
Resumen La actividad de inventar o plantear problemas matemaacuteticos forma parte integral
del proceso de modelizacioacuten matemaacutetica y es considerada por algunos investigadores de
gran importancia dentro de la experiencia matemaacutetica de los estudiantes No obstante sigue
siendo una praacutectica poco explorada en las clases de matemaacutetica y que presenta dificultades
para los profesores ya que se requiere crear tareas y utilizar estrategias metodoloacutegicas
adecuadas seguacuten este enfoque Por tanto en este trabajo brindamos una propuesta de tarea
donde se estimula el planteamiento de un problema de modelizacioacuten matemaacutetica puede
servir como ejemplo para ser llevada al aula Al mismo tiempo en concordancia con lo
propuesto en los Programas de Estudio de Matemaacuteticas del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
permite acercar las matemaacuteticas a los estudiantes motivarlos y potenciar capacidades
cognitivas superiores
Palabras clave Planteamiento de problemas modelizacioacuten matemaacutetica educacioacuten
secundaria
1 Introduccioacuten
En una sociedad globalizada y ante un continuo avance de la tecnologiacutea de la informacioacuten y
comunicacioacuten las generaciones de joacutevenes enfrentan impredecibles cambios que deben
aprender a afrontar En consecuencia los sistemas educativos en todo el mundo deben ir de
la mano con este proceso vertiginoso de prioridades cambiantes donde las estrategias de
ensentildeanza y aprendizaje estaacuten influenciadas por este contexto (Singer et al 2015) Como
praacutectica de aprendizaje y pensamiento el planteamiento de problemas puede desempentildear un
papel fundamental en este proceso proporcionando oportunidades para construir significados
de forma activa al mismo tiempo que los profesores y estudiantes pueden crear conocimiento
juntos en una variedad de contextos y generar y abordar preguntas criacuteticas sobre el
conocimiento que se construye
Por otra parte desde la antiguumledad la modelizacioacuten matemaacutetica ha sido de gran importancia
por generar beneficios en la vida del ser humano permitiendo observar la conexioacuten entre la
matemaacutetica y la realidad cotidiana de esta (Castro y Castro 1997 Lombardo y Jacobini
2008) En la matemaacutetica escolar la modelizacioacuten involucra entornos reales fiacutesicos sociales
y culturales generando espacios de reflexioacuten y anaacutelisis En ellos se fomenta la construccioacuten
y comprensioacuten de los conceptos por parte del estudiante incentivando al mismo tiempo
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165
habilidades de gran potencial como la imaginacioacuten la creatividad o la invencioacuten (English y
Sriraman 2010 Lesh y English 2005 Loacutepez Molina y Castro 2017)
En este trabajo consideramos que el planteamiento de problemas forma parte integral del
proceso de modelizacioacuten matemaacutetica desarrollaacutendose dentro de sus fases (Hansen y Hana
2015) Es decir el problema y su construccioacuten constituye parte fundamental del proceso de
modelizacioacuten dado que la creacioacuten de un modelo matemaacutetico requiere de un mecanismo de
ajuste y reformulacioacuten continua del problema principal Ademaacutes durante el proceso de
modelizacioacuten se pueden formular conjeturas realizar un seguimiento y revisioacuten de las
preguntas del problema al mismo tiempo que se adquiere una posicioacuten criacutetica hacia el
modelo matemaacutetico y sus resultados (Hansen y Hana 2015)
2 Planteamiento de problemas en el proceso de modelizacioacuten matemaacutetica
En Costa Rica la ensentildeanza de la modelizacioacuten matemaacutetica se estaacute promoviendo desde el
antildeo 2012 con la implementacioacuten del plan de estudios de matemaacutetica desde los niveles de
educacioacuten primaria hasta los niveles de educacioacuten secundaria por parte del Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica (2012) En este documento una de las modificaciones fue la inclusioacuten de
la modelizacioacuten matemaacutetica como parte fundamental del curriacuteculo relacionando este proceso
con el planteamiento de problemas Asimismo la creacioacuten de problemas no es un mecanismo
nuevo se viene desarrollando desde hace varias deacutecadas atraacutes con diversas
conceptualizaciones formulacioacuten (Kilpatrick 1987) generacioacuten (Silver y Cai 1994)
planteamiento (Brown y Walter 1990) e invencioacuten (Castro 2008)
Ademaacutes en la investigacioacuten actual de la modelizacioacuten matemaacutetica existen muchas
perspectivas teoacutericas que describen este proceso pero sin consenso alguno Sin embargo
coinciden en que su objetivo principal es permitir la traduccioacuten de la realidad a una estructura
matemaacutetica (Rico 2009) En particular Galbraith y Stillman (2006) plantean cinco
transiciones en las cuales se construye el conocimiento matemaacutetico durante el proceso de
modelizacioacuten matemaacutetica (a) De la situacioacuten desordenada del mundo real a la declaracioacuten
del problema del mundo real (b) De la declaracioacuten de problemas del mundo real al modelo
matemaacutetico (c) Del modelo matemaacutetico a la solucioacuten matemaacutetica (d) De la solucioacuten
matemaacutetica al significado de la solucioacuten en el mundo real y (e) Desde el significado de la
solucioacuten en el mundo real hasta la revisioacuten del modelo o la solucioacuten de aceptacioacuten
En la primera transicioacuten de la situacioacuten desordenada del mundo real a la declaracioacuten del
problema del mundo real es donde se realiza el proceso de planteamiento del problema
creando los primeros borradores de este tomado en cuenta elementos de gran importancia
como lo es el contexto condiciones relevantes y los elementos correctos de las entidades
estrateacutegicas (Hansen y Hana 2015) Es decir es el proceso donde el estudiante construye su
propio problema proporcionando un contexto real y matemaacutetico a la vez con un objetivo o
interrogante que seraacute contestada durante el proceso de resolucioacuten (Aylloacuten 2012)
A su vez la invencioacuten de problemas estaacute iacutentimamente relacionada con la resolucioacuten de
problemas En este proceso el estudiante ademaacutes de inventar el problema estructura y
construye la solucioacuten del problema elabora un plan estrateacutegico de resolucioacuten formula las
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166
estrategias y representaciones del objeto matemaacutetico que utilizaraacute Involucrando los
conocimientos matemaacuteticos que posee intereses y experiencias personales es decir el
problema se reviste de significado para el estudiante por ser parte de eacutel y proporcionado a su
vez motivacioacuten en su aprendizaje Tambieacuten ldquocuando un individuo inventa un problema ha
alcanzado niveles de reflexioacuten complejos por tanto ha llegado a una etapa de razonamiento
que hace posible la construccioacuten del conocimiento matemaacuteticordquo (Aylloacuten 2012 p 34) lo que
reviste de importancia el trabajar en el aula el planteamiento de problemas
Silver y Cai (1996) mencionan una serie de beneficios en el aprendizaje del estudiante al
ensentildear por medio del planteamiento de problemas entre ellos destacamos los siguientes
incentiva la participacioacuten activa del estudiante en su aprendizaje estimula la creatividad
imaginacioacuten y curiosidad los estudiantes comprenden y analizan mejor los conceptos y los
procesos matemaacuteticos propicia una mejor actitud y disposicioacuten hacia la matemaacutetica
motiva que los estudiantes sean mejores resolutores de problemas potencia la autonomiacutea en
el aprendizaje de los estudiantes prepara a los estudiantes para su desempentildeo personal y
profesional futuro fuera de las aulas reduce la ansiedad y el miedo por las matemaacuteticas
entre otros
3 El papel del profesor en la invencioacuten de problemas
La seleccioacuten y aplicacioacuten de tareas adecuadas por parte del profesor determinan el desarrollo
de habilidades necesarias que requiere un buen resolutor En este sentido proponemos el
potenciar la aplicacioacuten del proceso de invencioacuten de problemas a traveacutes de abundantes y
variadas oportunidades relacionado con el proceso de resolucioacuten de problema con
modelizacioacuten matemaacutetica Al mismo tiempo se promueve que el estudiante construya
habilidades como creatividad el anaacutelisis la criticidad perseverancia entre otros
Asimismo autores como Aylloacuten (2012) realizan una clasificacioacuten de tipos de tareas que se
pueden trabajar en el proceso de invencioacuten de problemas (a) situaciones libres (b)
situaciones semiestructuradas y (c) situaciones estructuradas En el primer tipo de tarea los
estudiantes no tienen restriccioacuten para formular sus problemas En el segundo tipo los
estudiantes inventan sus problemas semejantes a otros antes trabajados o que respondan a
cierta informacioacuten o situacioacuten proporcionada El tercer tipo los estudiantes reformulan un
problema o se cambia alguna condicioacuten de este lo cual se puede dar antes durante o despueacutes
de la solucioacuten Tambieacuten se puede dividir el problema inicial en problemas maacutes sencillos
Con respecto a esto Aylloacuten (2012) propone una serie de estrategias que puede utilizar el
profesor para realizar el planteamiento de problemas en el aula de matemaacutetica por ejemplo
elegir una situacioacuten significativa para el estudiante que genere debate entre los estudiantes
y el docente Tambieacuten estimular el proceso de investigacioacuten por parte de los estudiantes antes
de formular el problema ademaacutes propiciar un espacio en confianza para la formulacioacuten de
preguntas o conjeturas Asimismo se puede utilizar analogiacuteas por ejemplo problemas
semejantes Utilizar la estrategia ldquoiquestQueacute pasariacutea siacuterdquo para cambiar la exigencia o ingresar
pequentildeas variantes del problema Al mismo tiempo la idea de estas estrategias es generar
motivacioacuten de los estudiantes y propiciar el desarrollo de las habilidades matemaacuteticas
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167
En resumen para trabajar el planteamiento de problemas en el aula de matemaacutetica el
profesor debe tomar en cuenta los siguientes aspectos para crear sus propias tareas (a) tipo
de tarea (b) plan de estudios y (c) caracteriacutesticas propias del estudiante En el primer aspecto
recomendamos considerar el tipo de tarea que se desea plantear es decir una situacioacuten libre
o semiestructurada o estructurada Tambieacuten las formas de presentar o comunicar la
informacioacuten las condiciones que debe tener el problema inventado y por uacuteltimo si se
requiere de investigacioacuten previa por parte del docente y los estudiantes
El segundo aspecto es el plan de estudios aquiacute debemos considerar el nivel educativo del
estudiante la habilidad matemaacutetica y el conocimiento matemaacutetico por construir Ademaacutes
que el docente debe ser conocedor de los tipos de representaciones matemaacuteticas del objeto
matemaacutetico que se quiere trabajar con la actividad de planteamiento de problemas
Por uacuteltimo recomendamos considerar las caracteriacutesticas propias del estudiante por ejemplo
las adecuaciones Los conocimientos previos contexto y recursos que posee el estudiante
Ademaacutes el docente debe tomar en cuenta los tipos de errores matemaacuteticos que sus estudiantes
pueden realizar durante la tarea
4 Un ejemplo de tarea de planteamiento de problemas
Con la finalidad de ilustrar las recomendaciones propuestas en el apartado anterior hemos
creado un ejemplo de tarea semiestructurada donde se puede trabajar el proceso de
planteamiento de un problema matemaacutetico la cual la exponemos a continuacioacuten
Figura 1
Ejemplo de actividad semiestructurada para el planteamiento de problemas
Se propone una actividad para estudiantes del nivel de sexto antildeo de educacioacuten primaria cuya
habilidad a trabajar seriacutea el ldquoplantear y resolver problemas aplicando proporcionalidad
directardquo y desarrollando conocimientos matemaacuteticos como razoacuten proporcioacuten directa
porcentaje y regla de tres Sin embargo la actividad tambieacuten se puede adaptar al nivel de
seacutetimo antildeo de educacioacuten secundaria cuya habilidad a trabajar es ldquoanalizar relaciones de
proporcionalidad directa e inversa de forma verbal tabular graacutefica y algebraicardquo y cuyos
conocimientos matemaacuteticos a desarrollar seriacutean los tipos de representaciones del tipo verbal
tabular graacutefica y algebraica
Suponga que tienes una empresa con las caracteriacutesticas que quieras
la cual produce una serie de productos que puedes comercializar Con
los precios de estos productos construye un problema de tal manera
que involucre a la vez el IVA
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168
Dicha actividad requiere de una investigacioacuten previa por parte del profesor dado que se
necesita tener conocimientos con respecto al Impuesto de valor agregado (IVA) Ademaacutes
fue revisada y validada por los dos investigadores y por una maestra del nivel de primaria
Posteriormente se realizoacute una prueba piloto con un estudiante del nivel de sexto antildeo de
educacioacuten privada Sin embargo este tipo de actividad se puede llevar a cabo en educacioacuten
puacuteblica En la Figura 2 se muestra el resultado de la invencioacuten del estudiante que participoacute
en la prueba piloto
Figura 2
Creacioacuten de un menuacute de cafeacute como simulacioacuten de una empresa
En la figura anterior se muestra como el estudiante fue capaz de crear un menuacute de cafeacute para
simular su propia empresa Para esto previamente el estudiante realizoacute una indagacioacuten del
tipo de empresa que queriacutea inventar ademaacutes de los productos y precios sin el IVA que queriacutea
comercializar En esta actividad se involucraron toacutepicos de Estudios Sociales tales como
impuesto directos e indirectos los tipos de productos que son grabados y su respectivo
porcentaje de impuesto logrando que la actividad sea interdisciplinaria Asimismo se puede
involucrar otras materias del nivel de primaria como lo son los idiomas espantildeol o ingleacutes
como se observa en la Figura 2 Luego realizoacute la creacioacuten de su propio problema imaginando
una situacioacuten que se podriacutea dar en la vida real con su empresa En la siguiente figura se
expone la invencioacuten del estudiante
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
169
Figura 3
Ejemplo de problema inventado por estudiante con su propia empresa
En cuanto al proceso de modelizacioacuten aplicado el estudiante relacionado con el
planteamiento del problema se pudo observar que aplicoacute las cinco transiciones propuestas
por Galbraith y Stillman (2006) Es decir en primer lugar comienza con una situacioacuten
desordenada el crear la empresa y proponer los productos que desea comercializar ordena y
organiza la informacioacuten concibiendo el problema y al mismo tiempo formula un plan
estrateacutegico para obtener la solucioacuten En el problema se visualiza los personajes es una familia
y plantea una situacioacuten cotidiana que se puede dar en la vida real si la empresa fuera
verdadera
En la segunda transicioacuten el estudiante organiza la informacioacuten de tal manera que logra
generar un modelo matemaacutetico esto lo observamos en la figura 3 en el ordenamiento inicial
de los precios que utilizara posteriormente en una operacioacuten baacutesica aritmeacutetica Como tercera
transicioacuten se obtiene que el estudiante elabora la solucioacuten matemaacutetica para ello suma todos
precios para obtener la cantidad total que se le debe cobrar a la familia sin incluir el IVA
utilizando para esto un tipo de representacioacuten simboacutelico numeacuterico Posteriormente utiliza la
regla de tres por medio de una representacioacuten tabular para calcular el 13 del IVA por ser
un servicio y realiza el caacutelculo utilizando nuevamente el sistema de representacioacuten simboacutelico
numeacuterico El monto que obtiene por 13 es adicionado al resultado de la suma de los precios
del primer paso Luego se observa que brinda una respuesta a la luz de las condiciones del
problema dotando de significado de la solucioacuten en el mundo real Por uacuteltimo realiza una
revisioacuten de todos los procesos matemaacuteticos realizados para obtener y aceptar la solucioacuten final
del problema
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
170
Por otra parte al ser la empresa de la propia autoriacutea del estudiante se evidencia sus intereacutes y
experiencias personales por lo que el problema representa para este una situacioacuten
significativa Ademaacutes en aula puede generar debate entre los mismos estudiantes y el
profesor utilizando la estrategia ldquoiquestQueacute pasariacutea siacuterdquo para cambiar la cantidad de integrantes
de la familia cambiar los productos guiar al estudiante en el pensamiento de que otros
impuestos se involucran la situacioacuten entre otras variantes
5 Conclusiones
El planteamiento de problemas como herramienta pedagoacutegica y como parte integral de la
modelizacioacuten matemaacutetica ha tomado auge desde finales del siglo XX El reto de los docentes
en nuestros diacuteas consiste en conocer la realidad de los estudiantes y aprovechar los recursos
del entorno para proponer tareas que les permitan a sus alumnos inventar problemas
matemaacuteticos Las estrategias y la tarea propuesta que se proponen en este trabajo constituyen
un esbozoacute de algunas diferentes formas de presentar y trabajar situaciones cotidianas que
ofrece oportunidades y desafiacuteos para la aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos relacionado con
el planteamiento de problemas
Esta aacuterea de investigacioacuten requiere maacutes estudios que permitan profundizar sobre las bondades
y retos de implementar la invencioacuten de problemas en el aula Con todo se vislumbran algunas
oportunidades de oro en la combinacioacuten de planteamiento de problemas y modelado
matemaacutetico en contextos escolares
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Propuesta metodoloacutegica para el aprendizaje de Sucesiones en la modalidad de Educacioacuten
Abierta (XII FIMAT) 117
Charlene Loacutepez Quesada Luis Fernando Mejiacuteas Molina y Jennifer Tatiana Quesada
Retos de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico y uno privado (XII FIMAT) 128
Jennifer Aragoacuten Monge y Paulina Coto Mata
Simulacioacuten con el paquete CODAP para resolver problemas estocaacutesticos (XXII CONCITES)
137
Greivin Ramiacuterez Arce
Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano (XXII CONCITES) 154
Guillermo Alfonso Brenes Tencio
Tareas y estrategias metodoloacutegicas para plantear problemas de modelizacioacuten matemaacutetica
(XII FIMAT) 164
Karen Porras Lizano y Gilberto Chavarriacutea Arroyo
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
5
Presentacioacuten
En el 2020 organizamos el XII FIMAT Festival Internacional de Matemaacuteticas y el XXII CONCITES
Congreso Nacional de Ciencia Tecnologiacutea y Sociedad con gran participacioacuten nacional e internacional
En consideracioacuten a las restricciones del periacuteodo y la necesidad de actualizacioacuten de los docentes se
unieron los dos grandes programas en un evento virtual que se llevoacute a cabo del 13 al 17 de octubre 2020
El evento se organizoacute en bloques vespertinos de martes a viernes y la mantildeana del saacutebado
El congreso contoacute con una declaracioacuten de intereacutes educativo por el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de
Costa Rica
Para desarrollar el programa se contoacute con un gran comiteacute organizador interinstitucional que unioacute
esfuerzos
El comiteacute organizador reunioacute 15 entidades puacuteblicas y privadas
Se conformoacute un equipo de 14 moderadores voluntarios de estudiantes colegiales (Blue Valley) y
universitarios (TEC)
Instituciones coorganizadoras del XII FIMAT y XXII CONCITES 2020
Fundacioacuten CIENTEC Blue Valley School SINAC Ministerio de Ambiente y Energiacutea UCR-Escuela de
Formacioacuten docente y Educacioacuten matemaacutetica Universidad de Costa Rica UNA- Sede Regional Brunca
Sede Regional Chorotega y Escuela de Matemaacutetica de la Universidad Nacional TEC- Escuela de
Ciencias Naturales y Exactas (San Carlos) la Escuela de Matemaacutetica y Escuela de Fiacutesica del Instituto
Tecnoloacutegico de Costa Rica UNED- Escuela de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Estatal a
Distancia UTN- Universidad Teacutecnica Nacional Academia Nacional de Ciencias Fundacioacuten Omar
Dengo FOD Colegio de Licenciados y Profesores COLYPRO Asociacioacuten Nacional de Educadores
ANDE Ecology Project International EPI ASOMED y un comiteacute internacional
Comiteacute cientiacutefico FIMAT
Lic Manuel Murillo Tsijli ASOMED
Lic Carlos Monge Madriz TEC
Maacutester Anabelle Castro Castro ASOMED
Comiteacute cientiacutefico CONCITES
Carlos L Chanto Espinoza PhD UNA
MSc Luz Mariacutea Moya CIENTEC
Diego Retana Alvarado PhD Facultad de Educacioacuten UCR
M Ed Oscar Barahona Aguilar Caacutetedra Ensentildeanza de la Ciencia UNED
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Patrocinaron
Componentes Intel fue el patrocinador oficial
Copatrocinaron Casio UISIL Learning Interactive y COLYPRO
Alcances
Asistieron 325 participantes
Participaron representantes de 11 paiacuteses Argentina Brasil Chile Colombia Costa Rica Espantildea
Estados Unidos de Ameacuterica Guatemala Meacutexico Peruacute y Panamaacute
108 ponentes respondieron a la convocatoria
Se realizaron 2 actividades de extensioacuten que llegaron a otras 103 personas
Programa
Reunioacute 107 presentaciones en diferentes formatos (conferencias talleres mesas redondas y
conversatorio) impartidas en 5 diacuteas y grabadas El programa estaacute disponible en
httpswwwcientecorcrsitesdefaultfilesarticulosprogramaconcites20hpdf
Ponentes internacionales
Barry D Bruce PhD Sustainable Energy amp EducationResearch Center Microbiology amp
Chemical amp Biomolecular Engineering University of Tennessee at Knoxville EEUU
Daniel Clark Orey PhD Professor Departamento de Educaccedilatildeo Matemaacutetica Universidade
Federal de Ouro Preto Brasil
Eduardo Saacuteenz de Cabezoacuten Ph D Departamento de Matemaacuteticas y Computacioacuten Universidad
de La Rioja Espantildea
Estrella Burgos Directora Revista iquestCoacutemo Ves Universidad Nacional Autoacutenoma de Meacutexico
Lori Lambertson especialista del Teacher Institute Exploratorium San Francisco EEUU
Martiacuten Bonfil Olivera Divulgador de la ciencia y autor Direccioacuten General de Divulgacioacuten de la
Ciencia UNAM Meacutexico
Milton Rosa PhD Centro de Educaccedilatildeo Aberta e a Distacircncia Universidade Federal de Ouro Preto
Brasil
Modesto Tamez especialista del Teacher Institute Exploratorium San Francisco EEUU
Paloma Zubieta Loacutepez Comunicadora Cientiacutefica del Instituto de Matemaacuteticas de la UNAM
coordinadora del Festival Matemaacutetico UNAM Meacutexico
Pablo Flores Martiacutenez Ph Didaacutectica de la Matemaacutetica Universidad de Granada Espantildea
Sergio de Reacutegules Editor de la Revista iquestCoacutemo Ves de la UNAM Meacutexico
Veroacutenica Albanese Dpto Didaacutectica de la Matemaacutetica Universidad de Granada Espantildea
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Mesas Redondas y Conversatorios
Rodrigo Cerqueira do Nascimento Borba Universidade do Estado de Minas Gerais Brasil
Radu Bogdan Toma Universidad de Burgos Espantildea
Nancy Fernaacutendez Marchesi Universidad Nacional de Tierra del Fuego Argentina
Marisol Lopera Peacuterez Universidad de Antioquia Colombia
Ceacutesar Leonel Montenegro Peacuterez Universidad de San Carlos Guatemala
Linda Arelis Silva Arias Universidad de Talca Chile
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo Universidad Surcolombiana Colombia
Francisco Mateo Ramiacuterez Universidad Internacional de La Rioja Espantildea
Jairo Robles Pintildeeros Universidad Federal de Bahiacutea Brasil
Carolina Gonzaacutelez Velaacutezquez Universidad de Antioquia Colombia
Roberto Gonzaacutelez Munizaga Jefe del Departamento de Educacioacuten Ambiental Ministerio del
Medio Ambiente Chile
Aacutelbum de fotos
Una coleccioacuten de fotos documenta el evento virtual
httpswwwflickrcomphotoscientecalbums72157716523575396
Edicioacuten y publicacioacuten de videos
Como resultado de la modalidad a distancia se grabaron todas las sesiones por lo que una subcomisioacuten
del comiteacute organizador ha estado trabajando en la editacioacuten y publicacioacuten de las ponencias El propoacutesito
es conformar una gran biblioteca de recursos de acceso libre de este congreso doble que iraacute siendo
publicado en www youtubecomcientec
Nosotros iremos trabajando en las ponencias y compartieacutendolas en redes sociales de manera paulatina
en unos 9 meses antes de iniciar con el siguiente congreso -)
1 Conferencia Utilizacioacuten de recursos didaacutecticos como apoyo en la ensentildeanza virtual Natalie
Reyes Riotte del Colegio San Antonio de Padua Costa Rica httpsyoutubep-lUTTYK6N8
2 Conferencia Padres y madres costarricenses creencias sobre matemaacutetica por Luis Gerardo Meza
TEC httpsyoutubePy_C9mTzzH8
3 Conferencia Experiencias del proyecto RENACE en el tema de probabilidad por Carlos Monge
Madriz TEC httpsyoutube4dEznOmpQNc
4 Aprendizaje activo algunas estrategias para los cursos de pedagogiacutea por Ivonne Saacutenchez-
Fernaacutendez TEC httpsyoutube5tzChWFiJR8
5 Conferencia Estrategias de mediacioacuten pedagoacutegica en la ensentildeanza virtual por Ivonne Saacutenchez-
Fernaacutendez TEC httpsyoutubeT10h9up1rA4
6 Conversatorio Educacion Ambiental CONCITES2020 con Roberto Gonzaacutelez Munizaga Chile
y Carmen Roldaacuten Chacoacuten (FONAFIFO-MINAE) httpsyoutubeGKiubb0gzuM
7 Vacunas mitos y realidades por Martiacuten Bonfil UNAM Meacutexico httpsyoutubeomZmtkD2rZw
8 Cambios en el Sol por Miguel Rojas Quesada TEC httpsyoutubewXOF1VrpRSw
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9 Evaluacioacuten en tiempos de pandemia Taller por Gisele Cordero Molina Blue Valley
School httpsyoutubeXpfpiqc2jXA
10 Mapas Conceptuales en MatemaacuteticaTaller Luis Goacutemez Rodriacuteguez Blue Valley
School httpsyoutubeEpFyNPv8LGk
11 Science Capital Engaging students with Science and Promoting Social Justice por Gisele
Cordero Molina Blue Valley School httpsyoutubeEix_mH3MSsc
12 La Resta Pensando Conferencia Antonio Ramoacuten Martiacuten Adriaacuten Colegio Aguere Espantildea (Islas
Canarias) httpsyoutubeexgBY05muPc
13 Uso de praacutecticas interactivas y adaptativas (recursos en ingleacutes) en el aula virtual Conferencia
Susanne Artintildeano Hangen Blue Valley School httpsyoutube1vNTYt5hl-I
Agradecemos la unioacuten de esfuerzos la confianza que posibilitoacute la continuidad de estas trayectorias que
iniciaron desde 1998 y la creatividad para seguir innovando en formas de apoyar el aprendizaje
El siguiente libro de memorias reuacutene artiacuteculos de trabajos presentados en el XXI CONCITES 2019 -
Limoacuten asiacute como del XII FIMAT y XXII CONCITES ambos celebrados en el 2020
Alejandra Leoacuten Castellaacute
Directora Ejecutiva Fundacioacuten CIENTEC
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Creacioacuten de animaciones para la visualizacioacuten de la geometriacutea
en tercera dimensioacuten usando el software GeoGebra
Joseacute Pablo Calderoacuten Gairaud
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica
jose03pcggmailcom
Steven Gabriel Saacutenchez Ramiacuterez
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica
stevengabriel26gmailcom
Resumen En este artiacuteculo se describe el proceso para realizar animaciones en tercera dimensioacuten con el software
GeoGebra Dichos modelos consisten en la visualizacioacuten de las figuras proporciones y cortes consecuentes de
la interseccioacuten de un soacutelido con un plano transversal Para realizar las construcciones se utilizaraacuten las
herramientas que brinda GeoGebra como tambieacuten conceptos baacutesicos relacionados con la parametrizacioacuten de
superficies Ademaacutes se hace hincapieacute en la importancia de la creacioacuten de recursos didaacutecticos con el uso de la
tecnologiacutea para la comprensioacuten de la visualizacioacuten espacial para los estudiantes en el aprendizaje de conceptos
geomeacutetricos y coacutemo GeoGebra permite facilitar la transicioacuten de una visualizacioacuten en segunda dimensioacuten a
tercera dimensioacuten
Palabras clave tercera dimensioacuten parametrizar curvas superficies visualizar geometriacutea
1 Introduccioacuten
El uso de la geometriacutea siempre ha sido indispensable para el desarrollo cientiacutefico del ser humano con
solo volver al pasado se puede apreciar las sin fin de piraacutemides y diferentes esculturas creadas gracias a
los diversos conceptos baacutesicos geomeacutetricos que manejaban nuestros antepasados Por esa razoacuten es
fundamental el estudio de la geometriacutea en nuestras a aulas Es deber de cada paiacutes velar en que su malla
curricular esteacute lo maacutes actualizada posible seguacuten el grado acadeacutemico que se imparta relacionaacutendolo con
las capacidades cognitivas de los estudiantes seguacuten su edad
Por otro lado es importante tener los insumos suficientes para que la ensentildeanza de la geometriacutea se deacute en
las mejores condiciones con el fin de obtener un aprendizaje significativo En el caso de la geometriacutea
espacial como lo indica Ballestero y Gamboa (2010) su estudio contribuye significativamente al
desarrollo de las necesidades espaciales de visualizacioacuten por lo que es importante vincular la capacidad
matemaacutetica con la espacial
En este trabajo se expondraacute sobre la importancia de la ensentildeanza de la visualizacioacuten en tres dimensiones
(3D) utilizando modelizacioacuten y animacioacuten geomeacutetrica teniendo como objetivo el dar una interaccioacuten
baacutesica del uso del software GeoGebra
2 Geometriacutea en tercer dimensioacuten y plan de estudios del MEP
En el antildeo 2012 el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP) decidioacute realizar un cambio
draacutestico en el plan de estudios de matemaacuteticas poniendo como eje central la resolucioacuten de problemas
tambieacuten incorporando eliminando y modificando distintos toacutepicos estudiados en primaria y secundaria
Dentro de los cambios se resaltan modificaciones en los temas de geometriacutea espacial La nueva malla
curricular del MEP (2012) propone que
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1 La visualizacioacuten espacial se introduzca con una manipulacioacuten dinaacutemica de los objetos
2 Los temas de geometriacutea se observen de forma espacial usando modelizacioacuten geomeacutetrica
3 Exista maacutes presencia en el ldquosentido espacialrdquo
4 Se debe enfatizar maacutes en la visualizacioacuten de formas en el espacio y no solo en sus foacutermulas
Anterior al cambio se debiacutea ahondar solo en el caacutelculo de aacutereas y voluacutemenes de los soacutelidos dejando por
fuera el anaacutelisis de su manipulacioacuten y visualizacioacuten Con la nueva modificacioacuten los estudiantes deben
realizar dichos caacutelculos excluyendo el volumen como tambieacuten desarrollar habilidades de ubicacioacuten
espacial identificar los distintos cortes transversales que se generan en cada uno de los cuerpos redondos
entre otros
Por lo tanto en la formacioacuten general baacutesica y diversificada costarricense se desarrollan toacutepicos con
relacioacuten a la geometriacutea espacial siendo los grados de deacutecimo y undeacutecimo donde se enfatiza maacutes La
importancia de desarrollar una visualizacioacuten espacial en los estudiantes va maacutes allaacute del concepto
matemaacutetico seguacuten Guzmaacuten (1996 citado en Gonzato et al 2011)
Se trata de evaluar los procesos y capacidades de los sujetos para realizar ciertas tareas que
requieren ldquoverrdquo o ldquoimaginarrdquo mentalmente los objetos geomeacutetricos espaciales asiacute como relacionar
los objetos y realizar determinadas operaciones o transformaciones geomeacutetricas con los mismos
Tambieacuten este tema ha recibido atencioacuten desde un punto de vista del propio trabajo del matemaacutetico
en los momentos de abordar la resolucioacuten de problemas formulacioacuten de conjeturas asiacute como en
otras aacutereas diferentes de la geometriacutea (p2)
Como se indica anteriormente el estudio de la tercera dimensioacuten favorece a la imaginacioacuten y abstraccioacuten
del alumnado y agudiza de cierta forma las habilidades interdisciplinarias para generar pensamientos
oacuteptimos que favorezcan la resolucioacuten de problemas siendo este uacuteltimo el eje central del MEP para la
formacioacuten matemaacutetica
3 Visualizacioacuten de la tercera dimensioacuten
La geometriacutea es un aacuterea de las matemaacuteticas que actualmente es considerada fundamental para la
formacioacuten acadeacutemica y cultural de la persona esto debido a su facilidad para estimular un razonamiento
loacutegico y desarrollar otras habilidades para visualizar intuir conjeturar etc Sin embargo en la praacutectica
algunos docentes deciden dejar los contenidos de geometriacutea para el final del periodo lectivo y no
profundizar en estos (Gamboa y Ballestero 2010)
Seguacuten Gamboa y Ballestero (2010) esta situacioacuten desencadena en el estudiante la sensacioacuten de ser una
rama difiacutecil y de poca utilidad por lo que no hay motivacioacuten para aprenderla Al no profundizar en las
habilidades y contenidos geomeacutetricos no se desarrolla en el estudiante la capacidad de visualizar u
orientar y por consiguiente un deacuteficit en la visualizacioacuten de la tercera dimensioacuten Dicha deficiencia en
la capacidad de visualizar afecta directamente el enfoque del MEP que es la resolucioacuten de problemas
Para desarrollar la capacidad de visualizar en tercera dimensioacuten de los estudiantes es importante
promover su sentido espacial El sentido espacial es un sentido intuitivo de la forma y el espacio en el
cual estaacuten implicados los conceptos geomeacutetricos y las habilidades de reconocer visualizar representar y
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transformar las formas (Rosenstein et al 1996) Para desarrollar este sentido espacial es necesario
abarcar sus tres componentes conocer las propiedades de figuras y formas reconocer y establecer
relaciones geomeacutetricas y la ubicacioacuten y los movimientos (Ramiacuterez 2014)
Ante la deficiencia y dificultad de desarrollar la visualizacioacuten en tercera dimensioacuten de los estudiantes sin
el material concreto adecuado se han creado distintos softwares o aplicaciones que permiten una
manipulacioacuten ideal de los elementos geomeacutetricos El uso de estas Tecnologiacuteas de Informacioacuten y
Comunicacioacuten (TIC s) para la visualizacioacuten en tercera dimensioacuten facilitan al docente la tarea de
desarrollar estas habilidades y ademaacutes permiten al estudiante generar su propio conocimiento
4 Curvas superficies y parametrizacioacuten
Para la construccioacuten de diferentes animaciones interactivas para visualizar y modelar las diferentes
curvas y superficies es importante conocer de forma baacutesica el desarrollo matemaacutetico de estas asimismo
el trabajo que lleva su representacioacuten parameacutetrica sin entrar en gran detalle se definen estos dos
conceptos los cuales seraacuten de suma importancia conocerlos para el uso oacuteptimo del software GeoGebra
a la hora de generar dichas construcciones
41 Curvas
Seguacuten Peacuterez (2014) indica que una idea intuitiva de curva es la de una trayectoria en el espacio de una
partiacutecula en movimiento en cada instante esta estaraacute en un lugar concreto lugar que depende de un
paraacutemetro (que se puede ver como la variable tiempo) esta trayectoria debe ser suave Imagiacutenese
entonces a un motorizado siguiendo una carretera (que no tiene huecos ni picos) el cual anda repartiendo
la correspondencia a una casa
Si se quiere definir una curva de forma maacutes elaborada entonces se podriacutea indicar que una curva
parametrizada es una aplicacioacuten diferenciable tal que
120572 119868 rarr ℝ2 120572(119905) = (119909(119905) 119910(119905) 119911(119905)) 119905 isin ℝ
42 Superficies
Peacuterez (2014) explica que una superficie es un subconjunto en ℝ3 donde cada punto tiene un entorno
similar a un trozo de plano que ha sido suavemente curvado Imagiacutenese entonces un mantel el cual se
coloca en una mesa redonda este mantel es suavemente combado tal que toma la forma de dicha mesa
De forma un poco maacutes formal una superficie se puede definir parametrizadamente como
119883 119880 rarr ℝ3 119883 = 119883(119906 119907) = (119909(119906 119907) 119910(119906 119907) 119911(119906 119907)) 119888119900119899 119880 sub ℝ2
Cabe destacar que ambos conceptos son fundamentales para generar diferentes animaciones con el
software GeoGebra se recomienda no solo quedarse con estas dos nociones sino maacutes bien indagar de
forma exhaustiva estas definiciones ya que ayudaraacute al buen manejo del programa mencionado
anteriormente
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5 El software GeoGebra y la visualizacioacuten 3D
El software GeoGebra es un programa disentildeado especiacuteficamente para la ensentildeanza y el aprendizaje de
las Matemaacuteticas Dentro de las herramientas y funciones que tiene GeoGebra estaacute la manipulacioacuten tanto
de figuras planas (recta circunferencia poliacutegonos etc) como de cuerpos soacutelidos y figuras en tercera
dimensioacuten (esfera cilindro cono etc)
GeoGebra categoriza las diferentes figuras o elementos geomeacutetricos que se pueden construir
dependiendo de si se encuentra el usuario en la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo (tercera dimensioacuten) o ldquoVista Graacuteficardquo
(dos dimensiones)
Dentro de la ldquoVista Graacuteficardquo GeoGebra permite crear
Puntos
Rectas o segmentos
Poliacutegonos
Circunferencias
Elipses
Aacutengulos
Figura 1
Vista Graacutefica ndash GeoGebra
Nota Elaboracioacuten Propia
Dentro de la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo GeoGebra permite crear
Puntos
Rectas o segmentos
Poliacutegonos
Planos
Cuerpos soacutelidos (piraacutemide cono cilindro prisma
y esferas)
Aacutengulos
Deslizadores imaacutegenes botones etc
Ademaacutes permite interactuar entre las distintas construcciones y manipularlas de diversas maneras
(transformaciones en el plano)
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Figura 2
Vista 3D - GeoGebra
Nota Elaboracioacuten Propia
El software permite que haya una relacioacuten directa entre los elementos creados en la ldquoVista Graacuteficardquo
ldquoVista Graacutefica 3Drdquo y su representacioacuten algebraica en la ldquoVista Algebraicardquo
6 El software GeoGebra y parametrizacioacuten
GeoGebra utiliza distintos mecanismos para ingresar las curvas que se quieren graficar recordemos que
nuestro objetivo es el de visualizar la tercera dimensioacuten por lo que la vista que se utilizaraacute en todo
momento seraacute ldquoGraacuteficos 3Drdquo Como se vio en la seccioacuten pasada el programa posee herramientas
predeterminadas y una barra de entrada que seraacute en donde ingresemos los comandos para generar las
curvas y superficies Para un efecto de calidad estas deben ser ingresadas en su forma parameacutetrica en el
caso de las curvas se dispone de los comandos que pueden ser observados en la Figura 3
Figura 3
Comandos de curvas
Nota Elaboracioacuten Propia
De estas la que se apega a nuestras necesidades seraacute la segunda ya que con ella se grafican las curvas
en la tercera dimensioacuten Observemos en la Figura 4 el coacutemo se ingresa la curva parametrizada y su
visualizacioacuten en la tercera dimensioacuten
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Figura 4
Visualizacioacuten de curva
Nota Elaboracioacuten propia
Por otro lado las superficies tienen tambieacuten sus distintas entradas las cuales pueden verse en la Figura
5
Figura 5
Comandos de superficies
Nota Elaboracioacuten propia
En este caso seraacute la tercera opcioacuten la que se debe utilizar para generar superficies en donde sus valores
se ingresan de forma parameacutetrica es importante observar que para las superficies se necesitan dos
paraacutemetros Observemos en la Figura 6 el coacutemo se ingresa una superficie parametrizada y su
visualizacioacuten en la tercera dimensioacuten
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Figura 6
Visualizacioacuten de superficie
Nota Elaboracioacuten propia
Ejemplo Cono truncado
Para fines de este artiacuteculo se crearaacute una animacioacuten de un cono truncado en la cual se utilizaraacuten varias
herramientas del software GeoGebra asiacute como la parametrizacioacuten del cono Al finalizar esta animacioacuten
el estudiante podraacute interactuar con la construccioacuten y visualizar los cortes paralelos a la base las dos
circunferencias que se generan por el corte la razoacuten de los dos triaacutengulos rectaacutengulos (que se forman con
la altura radio y generatriz) ademaacutes seraacute capaz de modificar el tamantildeo del cono la distancia del corte
del cono y generar el cono truncado por siacute mismo
Para la construccioacuten de esta animacioacuten se necesita crear dos conos el primero se crea con la herramienta
ldquoConordquo que ya ofrece GeoGebra y el segundo se crearaacute por medio de parametrizacioacuten este uacuteltimo seraacute
el cono truncado
1 Para generar el primer cono se necesita de un deslizador ldquoAlturardquo que modifique la altura y el
radio de la circunferencia Una vez creado el deslizador se necesita un punto en el eje Z que
represente la altura Posteriormente crea el cono con la herramienta ldquoConordquo
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Figura 7
Cono dependiente del deslizador
Nota Elaboracioacuten propia
2 Ahora genere un deslizador ldquoCorterdquo cuyo valor maacuteximo sea el deslizador anterior Este
deslizador representa la altura del corte Construya un punto en el eje Z que dependa del
deslizador ldquoCorterdquo y con la herramienta ldquoPlano paralelordquo (dando clic al punto en el eje Z y al
plano de la base) construya el plano que simula el corte (Si considera necesario con la misma
herramienta puede sustituir el plano base que trae la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo)
Figura 8
Cortes en el cono
Nota Elaboracioacuten propia
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3 Con la herramienta ldquoInterseccioacuten de dos superficiesrdquo construya la circunferencia de la base y la
generada entre el cono y el corte Ademaacutes con la herramienta ldquoPuntordquo genere un punto que
pertenezca a la circunferencia de la base Ahora con la herramienta ldquoSegmentordquo construya el
triaacutengulo rectaacutengulo formado por el centro de la base el veacutertice y el punto en la circunferencia
de la base Por uacuteltimo con la herramienta ldquointerseccioacutenrdquo marque el punto entre la hipotenusa y el
plano del corte y construya el segmento entre ese punto y el centro de la segunda circunferencia
De esta forma se visualiza la semejanza entre los triaacutengulos
Figura 9
Semejanza de triaacutengulos
Nota Elaboracioacuten propia
4 Genere una casilla de control para ocultar el cono otra para los planos otra para las
circunferencias y otra para los lados del triaacutengulo De esta forma si las cuatro casillas estaacuten
desactivadas solo se visualizan las casillas y los deslizadores
5 Ahora debe crear un cono por medio de parametrizacioacuten Para ello debe ingresar el siguiente
comando en la barra de entrada
(Superficie(rcos(t) rsen(t) r r06 t02pi))
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Figura 10
Cono generado con parametrizacioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
6 Modifique los paraacutemetros para que el cono se oriente correctamente y la altura dependa del
deslizador ldquoAlturardquo Ademaacutes modifique los paraacutemetros para generar el efecto de cono truncado
y que dependa del deslizador ldquoCorterdquo Modifique en ldquoPropiedadesrdquo el grosor del trazo para que
tenga una apariencia maacutes niacutetida El comando quedariacutea de la siguiente manera Superficie (r cos(t)
r sen(t) -r + Altura r Altura - Corte Altura t 0 2π)
Figura 11
Cono parametrizado con deslizadores
Nota Elaboracioacuten propia
7 Por uacuteltimo construya un deslizador ldquoRegionrdquo de tipo aacutengulo (que vaya de 0 a 360) con el que se
pueda ir generando el cono truncado Modifique los paraacutemetros para que el cono dependa del
deslizador ldquoRegionrdquo Elabore una casilla de control con la que pueda ocultar la regioacuten del cono
truncado El comando quedariacutea de la siguiente manera
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Superficie (r cos(t) r sen(t) -r + Altura r Altura - Corte Altura t 0 Region)
Figura 12
Cono parametrizado
Una vez concluida la construccioacuten proceda a personalizarla Debe quedarle de la siguiente la misma
manera que en la Figura 13
Figura 13
Construccioacuten del cono truncado finalizada
Nota Elaboracioacuten propia
7 Importancia de la parametrizacioacuten en construcciones interactivas
El rol de la parametrizacioacuten en las construcciones es lograr un acabado continuo y que permita al
estudiante visualizar de mejor manera la animacioacuten pues sin la parametrizacioacuten se trabaja con un espacio
discreto de puntos y baja considerablemente la calidad de esta
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Figura 14
Diferencias entre construcciones parametrizadas y no parametrizadas
Nota Elaboracioacuten propia
8 Conclusiones
Se puede observar con lo desarrollado en este escrito la importancia que tiene el uso del software
GeoGebra para generar materiales que ayuden y potencialicen la visualizacioacuten y modelacioacuten de la
geometriacutea en la tercera dimensioacuten esto para propiciar espacios que favorezcan que el proceso de
ensentildeanza-aprendizaje sea exitoso
Cabe destacar que el uso de curvas y superficies parameacutetricas en estas construcciones es fundamental
para el buen desarrollo de las animaciones que se desean realizar Como se vio en anteriormente al no
hacerlo con estos comandos es imposible que el applet interactivo ayude a la visualizacioacuten y maacutes bien
puede generar problemas con los objetivos planteados en este trabajo
Se insta al lector a seguir indagando en el tema ya que lo visto acaacute es una introduccioacuten de las aplicaciones
que se pueden realizar tanto para secundaria como para temas con maacutes abstraccioacuten matemaacutetica como
por ejemplo cuaacutedricas y soacutelidos simples
Referencias Bibliograacuteficas
Gamboa R y Ballestero E (2010) La ensentildeanza y aprendizaje en secundaria la perspectiva de los
estudiantes Educare 17(2) 125-142 httpswwwredalycorgpdf1941194115606010pdf
Gonzato J Cajaraville J y Godino J (2011) Una aproximacioacuten ontosemioacutetica a la visualizacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica Ensentildeanza de las Ciencias 30(2) 109-130
httpswwwracocatindexphpEnsenanzaarticleview254506
Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2012) Programa de Estudios de Matemaacuteticas San Joseacute Costa Rica
Ramiacuterez R (3-5 de julio de 2014) En geometriacutea hablemos de-espacio [Sesioacuten de conferencia] XV
Congreso de Ensentildeanza y Aprendizaje de las Matemaacuteticas El sentido de las matemaacuteticas
con sentido Baeza Espantildea httpsthalescicaesxvceamactaspdfcon02pdf
Rosenstein J Caldwell J y Crown W (1996) New Jersey Mathematics Curriculum Framework New
Jersey Mathematics Coalition and New Jersey Department of Education
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Peacuterez J (2014) Curso Curvas y Superficies Universidad de Granada
httpwpdugres~jperezwordpresswp-contentuploadsraizCySpdf
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Efectividad de la cartografiacutea participativa en la ensentildeanza de la
Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastres Un ejemplo de
aplicacioacuten en el centro educativo Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
German Alvarado Luna
Instituto Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
Costa Rica
gdal5hotmailcom
Neyfren Salazar Aguilar
Colegio Teacutecnico Profesional de Mora
Costa Rica
neyfren11gmailcom
Resumen El objetivo de este estudio fue corroborar la efectividad de la cartografiacutea participativa en la
ensentildeanza de la Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastres (GIRD) Para ello se aplicaron talleres de cartografiacutea
participativa en un grupo de octavo grado del centro educativo Itskazuacute Educacioacuten Humanista Posteriormente
dichos talleres fueron evaluados desde el nivel de seguimiento de las orientaciones praacutecticas para conducir al
aprendizaje significativo logrados por los estudiantes mediante observaciones participantes y encuestas Como
conclusioacuten se muestra que la cartografiacutea participativa mostroacute efectividad en la ensentildeanza de la GIRD pues los
objetivos de aprendizaje de cada taller se cumplieron las orientaciones praacutecticas para lograr el aprendizaje
significativo se siguieron y muchos de los conceptos asociados con la temaacutetica fueron interiorizados
Asimismo se denota que la efectividad de esta herramienta depende del disentildeo del conjunto de los talleres
Palabras clave cartografiacutea participativa gestioacuten integral de riesgo de desastres aprendizaje significativo
1 Introduccioacuten
La Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastre (GIRD) ha sido considerada como una de las herramientas
primordiales para afrontar los desastres desencadenados por eventos naturales sobre todo por su enfoque
socio-ambiental para intervenir las situaciones de riesgo (PNUD 2012) Uno de los principales campos
de accioacuten para promover dicha herramienta conceptual ha sido la educacioacuten A traveacutes de ella se busca
que las personas comprendan las amenazas y vulnerabilidades de sus contextos inmediatos para que
puedan enfrentar cualquier hecho violento que se logre consumar (Arauz 2008)
En Costa Rica desde la deacutecada de 1990 se han hecho esfuerzos para incorporar este tema en la educacioacuten
formal (Arauz 2008) El programa de Estudios Sociales derivado de la poliacutetica ldquoEducar para una nueva
ciudadaniacuteardquo hace esto uacuteltimo a traveacutes de la geografiacutea pues entiende que esta disciplina es la que mayor
potencial tiene para establecer puentes entre los aacutembitos ambientales y socio-econoacutemicos (Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica 2016) En general en todo este programa se encuentra toacutepicos con recomendaciones
metodoloacutegicas y conceptuales referentes a la GIRD pero en octavo antildeo es donde se le dan mayor eacutenfasis
fundamentalmente en el abordaje de los fenoacutemenos geoloacutegicos e hidrometereoloacutegicos que inciden
actualmente en el planeta (Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica 2016)
Este programa propone una renovacioacuten en la forma de ensentildear la geografiacutea pues surgiere que esta sirva
para analizar problemas contemporaacuteneos y buscarles solucioacuten en remplazo de los meacutetodos memoriacutesticos
y descriptivos En ese sentido se demanda una innovacioacuten en la praacutectica educativa docente con
metodologiacuteas donde los estudiantes asuman un papel maacutes activo construyan conocimientos de forma
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colaborativa y contextualizada y sean partiacutecipes desde el espacio educativo de la construccioacuten de
alternativas de futuro
No obstante estos avances teoacutericos han tenido dificultades para materializarse a nivel praacutectico pues el
profesorado costarricense tiende al uso de teacutecnicas didaacutecticas tradicionales donde el estudiantado asume
un papel completamente pasivo lo cual se extrapola a los aacutembitos educativos vinculados al Desarrollo
Sostenible tal como la GIRD (Arauz 2008 Estado de la Nacioacuten 2017 Castro et al 2017)
La cartografiacutea participativa es una herramienta con mucho potencial para salir de ese estado e innovar
En primer lugar la GIRD parte de un enfoque territorial por lo que la cartografiacutea es un instrumento
necesario para su abordaje ya que permite representar de forma contrapuesta los recursos riesgos y usos
de un territorio (Font et al 1996) En segundo lugar al antildeadiacutersele el componente participativo a la
cartografiacutea se permite que los mismos estudiantes de forma conjunta y situados en sus realidades sean
quienes la realicen a fin de que comprendan las problemaacuteticas socio-espaciales y formulen propuestas de
transformacioacuten (Patintildeo 2017)
En otras palabras la cartografiacutea participativa es efectiva en la ensentildeanza de la GIRD pues estaacute
fuertemente implicada con esta temaacutetica y corresponde a las propuestas pedagoacutegicas activas Este
documento pretende dar cuenta de ello evaluando la aplicacioacuten de una serie de talleres de cartografiacutea
participativa en GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en un grupo de octavo antildeo conformado por 8
estudiantes de un centro educativo ubicado en espacio en riesgo a este tipo de eventos Itskazuacute Educacioacuten
Humanista en San Rafael de Escazuacute
Para ello es importante considerar que las fuentes de informacioacuten de la evaluacioacuten no solamente son los
aprendizajes que los educandos logren obtener sino tambieacuten las praacutecticas educativas de los docentes (De
la Herraacuten 2014) Asimismo se debe tomar en cuenta que la evaluacioacuten tiene que estar presente en todas
las fases de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje y es mucho maacutes efectiva si se forma una comunidad
de reflexioacuten cooperativa donde participen docentes y estudiantes (Nuacutentildeez 2014 Pereira 2015)
En ese sentido en este trabajo los docentes evaluaron los aprendizajes significativos obtenidos por los
estudiantes en las diferentes fases de la ejecucioacuten de los talleres tanto en teacuterminos de los conocimientos
memorizados como en teacuterminos de las aplicaciones contextuales y las significaciones personales
otorgadas a dichos conocimientos (Castillo 2012) Los estudiantes por su parte evaluaron los talleres de
cartografiacutea participativa desde las orientaciones praacutecticas para conducir al aprendizaje significativo las
cuales son seguacuten Ballester (2002) trabajo abierto motivacioacuten uso del medio creatividad y mapa
conceptual
2 Meacutetodos
Esta investigacioacuten se realizoacute mediante un enfoque mixto en tanto que se utilizoacute de forma integrada
informacioacuten de caraacutecter cuantitativo y cualitativo Para evaluar los aprendizajes obtenidos por los
estudiantes en las diferentes fases de la ejecucioacuten de los talleres se utilizaron dos teacutecnicas la observacioacuten
participante y la encuesta En la observacioacuten se usoacute como instrumento una hoja de cotejo acompantildeada
por un registro anecdoacutetico Lo evaluado fue el logro en cada taller de los objetivos de aprendizaje
planteados Lo que se hizo fue registrar si ello se cumplioacute o no
En la encuesta se usoacute como instrumento un cuestionario abierto el cual fue aplicado a los estudiantes
Con este se evaluoacute al final del proceso el nivel de interiorizacioacuten de los conceptos esenciales
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relacionados con la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Este cuestionario fue conformado por 25
iacutetems por cada iacutetem respondido correctamente los estudiantes obtuvieron un punto
Para tratar la informacioacuten se optoacute por establecer una escala Si los estudiantes obteniacutean entre 25 y 18
iacutetems correctos en su cuestionario (entre el 100 y el 70) se consideroacute que interiorizaron los conceptos
esenciales de la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos si es menor a ese puntaje se consideroacute que faltoacute
trabajo para ello Con el fin de analizar la totalidad de los estudiantes se sacaron los porcentajes de los
estudiantes que obtuvieron entre 25 y 18 iacutetems correctos y de los estudiantes que obtuvieron menos de
18 iacutetems correctos
Luego se establecieron rangos para esos porcentajes los cuales fueron asociados con un criterio de
clasificacioacuten para determinar si el conjunto de los estudiantes interiorizaron los conceptos esenciales de
la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Del maacutes alto al maacutes bajo eso se expresoacute asiacute interiorizacioacuten
completa parcial baja nula Con el propoacutesito de obtener informacioacuten maacutes detallada se hizo todo el
ejercicio anterior en cada uno de los conceptos asociados a la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos
Para evaluar los talleres desde las orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo se utilizoacute como
teacutecnica la encuesta El instrumento utilizado fue un cuestionario abierto aplicado a estudiantes
conformados por 22 preguntas divididas en cinco secciones correspondientes a cada orientacioacuten praacutectica
del aprendizaje significativo Las respuestas preestablecidas fueron lsquorsquoTotalmente de acuerdorsquorsquo lsquorsquoDe
acuerdorsquorsquo lsquorsquoEn desacuerdorsquorsquo y lsquorsquoTotalmente en desacuerdorsquorsquo Lo que debieron hacer los estudiantes fue
leer la afirmacioacuten y marcar la respuesta preestablecida correspondiente Para tratar la informacioacuten se
optoacute por utilizar la escala tipo Likert A fin de obtener informacioacuten maacutes detallada este procedimiento se
aplicoacute a cada seccioacuten correspondiente a una orientacioacuten del aprendizaje significativo
Para analizar la totalidad de cuestionarios a nivel general y a nivel de cada una de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo se optoacute por calcular el porcentaje de los cuestionarios
categorizados como ldquoTotalmente de acuerdordquo o ldquoDe acuerdordquo establecer rangos para esos porcentajes
y asociarlos con criterios de clasificacioacuten para ubicar el nivel de seguimiento de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo Del rango maacutes alto al maacutes bajo eso se expresoacute de la siguiente
forma ldquoseguimiento totalrdquo ldquoparcialrdquo ldquobajordquo y ldquonulordquo Finalmente con el fin de obtener informacioacuten
complementaria se calcularon los porcentajes a nivel general y a nivel de cada una de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo de la cantidad de respuestas a ldquoTotalmente de acuerdordquo ldquoDe
acuerdordquo ldquoEn desacuerdordquo y ldquoTotalmente en desacuerdordquo
3 Evaluacioacuten de los aprendizajes significativos obtenidos en cada taller
En total se realizaron 7 talleres en febrero del 2019 cuya duracioacuten aproximada fue de una hora y media
El primer taller fue el que tuvo como objetivo introducir los conceptos esenciales de la GIRD en eventos
siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes Este taller se conformoacute por tres actividades ademaacutes de la
presentacioacuten del proyecto En la primera actividad se conformaron 2 subgrupos a cada subgrupo se le
dio una serie de iacuteconos y una matriz de clasificacioacuten en blanco referentes a la GIRD para que a partir
de deducciones y conocimientos previos colocaran cada icono en la seccioacuten respectiva
En la segunda actividad los facilitadores expusieron interrogativamente los conceptos esenciales de la
GIRD acompantildeados con imaacutegenes y viacutedeos En la tercera actividad los estudiantes se reunieron en los
subgrupos para corregir sus matrices de clasificacioacuten a fin de afianzar los contenidos vistos y examinar
si los comprendieron para su eventual aplicacioacuten Esta uacuteltima actividad dejoacute claro que los estudiantes
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tuvieron comprensioacuten de los conceptos esenciales de la GIRD ya que las matrices de clasificacioacuten fueron
corregidas correctamente En ese sentido se puede afirmar que el objetivo de este taller se cumplioacute
Figura 1
Elaboracioacuten de la matriz de clasificacioacuten
El segundo taller tuvo como objetivo presentar a los estudiantes los elementos esenciales de la cartografiacutea
participativa para que tuvieran las herramientas baacutesicas para elaborar colectivamente un mapa de
amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de Escazuacute Esta actividad consistioacute en exponer los elementos
esenciales de la cartografiacutea participativa las normas baacutesicas del trabajo en grupo el tipo de mapa a
intervenir (mapa a escala temaacutetico) las simbologiacuteas a ubicar (previamente definidas por los facilitadores)
y la forma de colocarlas en el mapa Los estudiantes generaron preguntas y comentarios que evidenciaron
comprensioacuten de los elementos esenciales de la cartografiacutea participativa y por tanto que el objetivo de
este taller se cumplioacute
El tercer taller tuvo como objetivo acercar a los estudiantes a los principales riesgos de desastres de la
comunidad donde viven es decir el cantoacuten de Escazuacute La idea fue que conectaran sus conocimientos
previos con los recogidos a nivel oficial para que tuvieran la informacioacuten necesaria en el proceso
colectivo de creacioacuten cartograacutefica Dicha actividad consistioacute en una exposicioacuten de las caracteriacutesticas
geofiacutesicas y socioeconoacutemicas del cantoacuten de Escazuacute Nuevamente las preguntas y comentarios que
hicieron los estudiantes al respecto mostraron que pudieron conectar sus conocimientos previos con los
registros oficiales presentados
El cuarto taller tuvo como objetivo construir colectivamente un mapa de amenazas y vulnerabilidades
del cantoacuten de Escazuacute La idea fue que los estudiantes interiorizaran por completo los conceptos esenciales
de la GIRD y pudieran utilizarlos para analizar sus realidades Este taller se conformoacute por tres
actividades La primera actividad consistioacute en que los estudiantes en subgrupos mapearan a partir de la
simbologiacutea dada las principales amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de Escazuacute La segunda
actividad fue la presentacioacuten en subgrupos de los mapas de amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de
Escazuacute y la discusioacuten en plenaria de cada uno de ellos La tercera actividad consistioacute en la
sistematizacioacuten de la informacioacuten de ambos mapas y en la definicioacuten colectivamente de tres tipos de
zonas de riesgo alto medio y bajo
La precisioacuten con la cual los estudiantes realizaron las distintas actividades de este taller demuestra que
interiorizaron los conceptos esenciales de GIRD principalmente los de amenaza y vulnerabilidad y
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aprendieron sus sentidos praacutecticos al aplicarlos como herramientas de anaacutelisis para sus realidades
inmediatas
Figura 2
Presentaciones de mapas
Asiacute para ellos las principales amenazas estaacuten asociadas con el desarrollo urbano descontrolado y la
geografiacutea montantildeosa del cantoacuten Por su parte las vulnerabilidades las asocian con la presencia del barrio
marginal los Anonos y el desarrollo residencial de las zonas altas Con estos datos los estudiantes
definieron las zonas de riesgo Para ellos la zona de riesgo alto es el sureste del distrito San Rafael ya
que ahiacute se concentra el desarrollo urbano descontrolado y el barrio marginal los Anonos y las zonas de
riesgo medio fueron las partes altas del distrito de San Rafael y del distrito de San Antonio
primordialmente por las fuertes pendientes que alliacute se ubican
El quinto taller tuvo como objetivo seleccionar las amenazas y vulnerabilidades ante eventos siacutesmicos y
volcaacutenicos maacutes urgentes de resolver en el cantoacuten de Escazuacute a fin de que los estudiantes tomaran un rol
de tomadores de decisiones para que advirtieran la importancia del tema en estudio Asimismo se
pretendioacute filtrar la informacioacuten obtenida para que el ejercicio del proacuteximo taller ndashdisentildeo de propuestas-
se diera con mayor efectividad La actividad consistioacute en un panel abierto donde todos los miembros del
grupo seleccionaron los temas maacutes urgentes de atender respecto a la GIRD en el cantoacuten de Escazuacute Estos
temas fueron anotados en la pizarra por los facilitadores y fueron elegidos a traveacutes de una votacioacuten
Esta actividad dio paso a una discusioacuten donde los estudiantes tomaran la batuta de la clase y utilizaron
los conceptos abordados con naturalidad y propiedad Ello desde luego permitioacute cumplir con los
objetivos planteados con este taller pues los estudiantes adquirieron conciencia de la importancia del
tema abordado al menos en el momento de la ejecucioacuten del taller y la informacioacuten se filtroacute para efectos
de facilitar el siguiente taller
El sexto taller tuvo como objetivo disentildear propuestas de GIRD ante eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en el
cantoacuten de Escazuacute La idea fue que los estudiantes aplicaran especiacuteficamente los procesos asociados a la
GIRD ante eventos siacutesmicos y volcaacutenicos La actividad que se realizoacute fue un panel abierto donde los
estudiantes definieron colectivamente propuestas de solucioacuten Asimismo las sistematizaron en una
matriz de clasificacioacuten referente a los procesos de la GIRD del espacio en estudio
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Figura 3
Disentildeo de propuestas de solucioacuten
Los productos resultantes de este ejercicio mostraron que los estudiantes tomaron conciencia sobre la
GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Las propuestas fueron en gran medida pertinentes y
correctamente clasificadas Asiacute por ejemplo en prevencioacuten disentildearon medidas relacionadas con
ordenamiento territorial en mitigacioacuten aluden a medidas para mejorar la infraestructura y la
participacioacuten comunitaria en rehabilitacioacuten ponen como prioridad la buacutesqueda de afectados en
condicioacuten de vulnerabilidad y en reconstruccioacuten sentildealan la remocioacuten de escombros y la reconstruccioacuten
planificada Como tal los objetivos de la actividad se cumplieron en tanto que hubo una apropiacioacuten de
los conceptos en estudio No obstante se pudo notar que hizo falta mayor nivel de detalle y precisioacuten
Finalmente el seacuteptimo taller tuvo como objetivo evaluar los talleres de cartografiacutea participativa Para
ello realizaron tres actividades la primera fue presentar a los estudiantes memoria de los talleres la
segunda fue un cuestionario cerrado donde individualmente cada estudiante evaluoacute el proceso de
creacioacuten cartograacutefica implementado por los facilitadores la tercera fue un cuestionario abierto que
evaluoacute individualmente los conocimientos adquiridos por los estudiantes en GIRD Con esto se obtuvo
la informacioacuten necesaria para evaluar los talleres de cartografiacutea
4 Evaluacioacuten de los talleres de cartografiacutea participativa desde las orientaciones praacutecticas del
aprendizaje significativo
A nivel general el puntaje obtenido por los estudiantes en sus cuestionarios mostroacute que todos ellos
estuvieron ldquoTotalmente de acuerdordquo con que los talleres de cartografiacutea participativa siguieran las
orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo Sin embargo se puede apreciar que ldquoDe acuerdordquo
fue la respuesta maacutes frecuente entre los estudiantes abarcando un 528 del total de las respuestas
Luego sigue ldquoTotalmente de acuerdordquo con un 42 ldquoEn desacuerdordquo con un 4 y ldquoTotalmente en
desacuerdordquo con un 12 lo cual si bien no contradice el resultado presentado en el paacuterrafo anterior
presenta algunos detalles que no deben menospreciarse Se muestra que los estudiantes no estuvieron
completamente convencidos de que los talleres siguieran al dedillo las orientaciones praacutecticas del
aprendizaje significativo
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La revisioacuten por aparte de cada una de las orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo permitioacute
dar cuenta de los aspectos donde hay que mejorar Entre lo que se menciona se encuentra acoplarse
mejor a las necesidades y capacidades de cada quien plantear metas maacutes realistas propiciar la
observacioacuten del entorno promover la toma de conciencia sobre la temaacutetica y la realidad circundante
utilizar recursos poco usuales y mejorar la relacioacuten conceptual
5 Evaluacioacuten al final del proceso del nivel de interiorizacioacuten de los conceptos de GIRD en eventos
siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes
El resultado general fue que un 50 de los estudiantes obtuvieron entre 25 y 18 iacutetems correctos y otro
50 menos 18 Seguacuten los criterios de clasificacioacuten establecidos este resultado sentildeala que los estudiantes
interiorizaron parcialmente los conceptos de GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos con los talleres de
cartografiacutea participativa Ello indica que se necesitan maacutes esfuerzos para causar la interiorizacioacuten de los
conceptos de GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes
No obstante eso fue uniforme para los distintos conceptos asociados a la GIRD ya que en unos casos si
se logroacute causar una interiorizacioacuten completa mientras que en otros soacutelo parcialmente y en otros muy
poco Los conceptos que siacute se lograron interiorizar con los talleres de cartografiacutea participativa fueron los
de Riesgo de desastres y Amenazas siacutesmicas y volcaacutenicas Los conceptos que se lograron interiorizar
parcialmente fueron GIRD y Reconstruccioacuten Finalmente los conceptos que se lograron interiorizar poco
fueron Vulnerabilidades siacutesmicas y volcaacutenicas Mitigacioacuten y Rehabilitacioacuten
6 Conclusioacuten
En suma se puede decir que la cartografiacutea participativa como herramienta didaacutectica para la ensentildeanza
de la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos fue bastante efectiva para contribuir en los aprendizajes
significativos de ese tema Se pudo corroborar que los objetivos de aprendizaje de cada taller se
cumplieron y que las orientaciones praacutecticas para lograr el aprendizaje significativo se siguieron en
mucho Asimismo la mitad de los estudiantes lograron interiorizar los distintos conceptos asociados con
la temaacutetica
Ahora es importante indicar que ello requiere mejoras pues por ejemplo la otra mitad de estudiantes
no logroacute alcanzar aprendizajes significativos en todos los conceptos esenciales Los factores que pudieron
haber influido en esa situacioacuten son el poco eacutenfasis que se le dio al abordaje de ciertos conceptos
(principalmente los procesos de la GIRD) la falta de rigurosidad en la evaluacioacuten inmediata de algunos
talleres y el seguimiento parcial de algunas orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo
Estos factores sin embargo no son completamente intriacutensecos a la teacutecnica cartografiacutea participativa pues
resultan del disentildeo conjunto de los talleres En ese sentido las mejoras se alcanzariacutean con una serie de
modificaciones al disentildeo de la propuesta Estas modificaciones sin embargo tambieacuten deben ser probadas
y evaluadas mediante un proceso riguroso Esto uacuteltimo es reconocer un elemento propio de la naturaleza
de la intervencioacuten didaacutectica la necesidad permanente de investigar la praacutectica educativa para alcanzar la
efectividad en la ensentildeanza (Restrepo 2009)
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Fuentes bibliograacuteficas
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Troya
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21(53) 103-112
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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El contexto en el aprendizaje de las ciencias iquestde quieacuten y para
queacute
Antonio Alejandro Lorca Mariacuten
Universidad de Huelva Espantildea
antoniolorcaddccuhues
Diego Armando Retana Alvarado
Universidad de Costa Rica Costa Rica
diegoarmandoretana ucraccr
Resumen El siglo XXI ha traiacutedo aparejado una serie de cambios sociales tecnoloacutegicos e
incluso laborales que hacen que nos planteemos nuestro paradigma educativo y por ende
sus perspectivas a nivel ontoloacutegico epistemoloacutegico y metodoloacutegico En esta comunicacioacuten
se expone la experiencia llevada a cabo bajo una metodologiacutea por indagacioacuten y en la que un
taller cuestionando la Homeopatiacutea sirve como foco de reflexioacuten para ejemplificar nuevas
perspectivas en el aula El realizar un acercamiento a los contenidos propios de las
asignaturas de fiacutesica y quiacutemica a traveacutes de la experimentacioacuten donde las afirmaciones en
ciencias se hagan a traveacutes de los datos y no como dogmas de fe se plantean como
metodologiacuteas necesarias para una ciudadaniacutea continuamente inmersa en un mar de opiniones
El cuestionar los medios de comunicacioacuten (foco de informacioacuten para muchos) nos acerca al
pensamiento criacutetico y escepticismo que tanto se reclama en nuestras aulas
Palabras Clave Didaacutectica de las ciencias experimentales indagacioacuten basada en modelos
maestros en formacioacuten inicial Pseudociencias
1 Introduccioacuten
El nuevo papel del profesor de cara a los nuevos retos que le va a plantear la era digital y en su papel
dentro del proceso debe pasar no soacutelo por el uso de los materiales si no por un comportamiento una
actitud un modelo de hacer que haraacute de este un planteamiento tal que haya que considerar su definicioacuten
para pasar de un papel formador educador a un papel dinamizador de orientacioacuten y tutela (Lorca-Mariacuten
et al 2018) La sociedad en la actualidad precisa una educacioacuten adaptada a sus necesidades y en este
sentido poco ha evolucionado el sistema educativo El tratamiento que desde las aulas hacemos de las
ciencias poco ha evolucionado desde las primeras Universidades (ver Figura 1) y donde a esta se la
aproxima maacutes a una religioacuten que ha una disciplina acadeacutemica donde el papel omnisciente del docente es
incuestionable y donde los alumnos como siervos disciacutepulos asumen el papel pasivo de memorizar los
contenidos de ciencias como si de evangelios se tratase y bajo el uacutenico criterio de la fe (Ver Figura 2)
No es de extrantildear que luego nuestros alumnos carezcan de la capacidad de generalizar los aprendizajes
de la escuela a otros contextos y dar respuestas a cuestiones donde poner en juego esos aprendizajes
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Figura 1
Aula Fray Luis de Leoacuten de la Universidad de Salamanca (Espantildea) Aula a fecha actual de la Universidad
de Huelva (Espantildea) Representacioacuten de la falta de evolucioacuten en la educacioacuten
Figura 2
Aula actual de la Universidad de Huelva (Espantildea) y su parecido a cualquier iglesia Representacioacuten
entre el tratamiento de la ciencia en las aulas actuales y la religioacuten
De cara a este cambio que se plantea el profesor debe poner eacutenfasis en el aprendizaje donde debe actuar
como tutor fomentando la autonomiacutea del alumno disentildeando y gestionando sus propios recursos y
partiendo de las concepciones erroacuteneas que sabemos que nuestros alumnos tienen y que en la literatura
podemos encontrar (ver Figura 3)
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Figura 3
Modelo de ensentildeanza y aprendizaje en la Ensentildeanza y Aprendizaje de las Ciencias
Nota Tomado de Lorca-Mariacuten 2015
No deja de ser un cambio de paradigma el que se comienza a plantear y donde cualquier profesor debe
preguntarse para queacute ensentildeamos ciencia queacute implicaciones en la sociedad debe tener la ciencia queacute
ensentildeamos y por supuesto coacutemo debemos presentar la ciencia en nuestras aulas
Este enfoque plantea la posicioacuten del estudiante dentro del sistema aula El papel activo del alumnado se
erige como elemento clave del proceso y donde la autoridad enciclopeacutedica del docente pasa a un segundo
plano para pasar a ser guiacutea en la metodologiacutea del proceso Donde el papel de las concepciones erroacuteneas
de nuestros estudiantes son el punto de partida de los procesos de formacioacuten y donde la tecnologiacutea son
elementos claves para dotar de sentido los procesos fenoacutemenos y hechos en nuestras aulas Donde el
contexto banco de preguntas a las que cargar de contenidos son claves para generar situaciones de
aprendizaje y determinantes de las conductas esperadas de nuestros alumnos El pensamiento criacutetico la
reflexioacuten en las acciones la toma de decisiones la creatividad pasan a ser contenidos actitudinales
esenciales para la consecucioacuten de los objetivos
Sin embargo requiere disponer de una organizacioacuten de los espacios agrupamientos y tiempos que no
siempre va de la mano del modelo operante de actual sistema educativo Ni el esfuerzo por parte de
aquellos actores que ejercen los distintos roles (alumnosprofesor) en seguacuten queacute casos estaacuten dispuestos
a llevarlo a cabo
La estructura del modelo de ensentildeanza y aprendizaje que se plantea desde el aacuterea de la didaacutectica de las
ciencias experimentales y que es de general aceptacioacuten es el de Indagacioacuten Y aunque clave en el aula de
ciencias tiene unos elementos que debemos tener presente Para Martiacutenez-Chico et al (2017) el alumno
debe apropiarse de la pregunta expresar justificar y discutir sus ideas utilizando diferentes lenguajes
Disentildear la buacutesqueda de pruebas para contrastar sus ideas llevan a cabo esa buacutesqueda analizan resultados
obtienen y discuten conclusiones y finalmente el profesor da un paso maacutes en el acercamiento a ideas
maacutes cientiacuteficas (ver Figura 4) Asimismo implica plantear problemas identificar diferentes caminos
para resolverlos desarrollar y observar experimentos sencillos recoger datos buscar y contrastar
respuestas entre otras (Linn Davis y Bell 2004)
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Figura 4
Estructura de una secuencia basada en la indagacioacuten
Nota Tomado de Martiacutenez-Chico et al 2017
Asiacute y como ya hemos especificado deben partir de las concepciones erroacuteneas que poseen nuestros
alumnos (o entendemos que poseen) y que solo el sistema educativo tiene los medios y recursos
personales (especialistas en la docencia) para poder trabajarlas Construimos ideas conceptos
proposiciones o esquemas a partir de los objetos eventos y situaciones a los que nos enfrentamos y cada
uno lo hace desde su propia situacioacuten personal por lo que se presentan como claves para el comienzo de
cualquier proceso
En este sentido las concepciones estaacuten mediadas por las percepciones que los sujetos tienen de la
realidad Entendiendo percepcioacuten como el resultado de la interpretacioacuten personal de la informacioacuten
(estiacutemulo externo) y por lo tanto es subjetiva Asiacute los factores de los que depende la percepcioacuten son
conocimiento actitud culturalsocial sentido e incluso el sexo entre otros muchos maacutes factores
Cuando hablamos de concepcioacuten la entendemos como la estructura mental general que posee el
individuo a traveacutes del procesamiento manipulacioacuten y uso del conjunto de percepciones que experimenta
el individuo
Asiacute Driver (1989) las clasifica seguacuten sean causados por
Pensamiento dirigido por la percepcioacuten Por ejemplo el azuacutecar o la sal desaparece al disolverse en el
agua
Conceptos indiferenciados Por ejemplo tratar como elementos sinoacutenimos Calortemperatura o
Masavolumendensidad
Enfoque limitado Por ejemplo pensar que la presioacuten no actuacutea en estados de equilibrio o que la fuerza
soacutelo existe si provoca movimiento
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Razonamiento causal lineal no reversible Por ejemplo el papel que juega la energiacutea en los cambios de
estado
Dependencia del contexto Por ejemplo el elegir recipiente de metal para sopa caliente siendo este mejor
conductor del calor
Las caracteriacutesticas generales que este mismo autor define son que
Son estables en el tiempo y resistentes al cambio
Son comunes a las de otros alumnos de la misma edad y cultura
Son construcciones personales de caraacutecter impliacutecito
Presentan semejanzas con concepciones histoacutericas del pensamiento cientiacutefico y filosoacutefico
Son ideas funcionales que buscan utilidad
Se ponen de manifiesto en actividades o predicciones
Tienen coherencia interna pero no desde el punto de vista cientiacutefico
2 Objetivos
Existe una doble finalidad dentro de la comunicacioacuten que se plantea y que podemos transformarlos en
forma de objetivos principales Por una parte y en un primer objetivo capacitar a los asistentes en
metodologiacuteas activas propias de los nuevos modelos educativos Mostrarles que los conocimientos
propios de una metodologiacutea determinante dentro del aula de ciencia y su extensioacuten a las competencias
STEM trabajo colaborativo planificacioacuten iniciativa creatividad comunicacioacuten y divulgacioacuten entre
otras
En un segundo objetivo la adquisicioacuten de los conocimientos propios determinados por la Legislacioacuten
espantildeola actual en fiacutesica y quiacutemica Contenidos conceptuales relacionados con la Materia las
Disoluciones el concepto de mol la formulacioacuten entre otros Contenidos procedimentales como las
disoluciones seriadas el pipeteo destrezas en el manejo de material de laboratorio y de pruebas
estandarizadas como la prueba del Yodo Obtener informacioacuten sobre temas cientiacuteficos utilizando
distintas fuentes y emplearla valorando su contenido para fundamentar y orientar trabajos sobre temas
cientiacuteficos Desarrollar actitudes criacuteticas fundamentadas en el conocimiento cientiacutefico para analizar
individualmente o en grupo cuestiones relacionadas con las ciencias
3 El taller
La propuesta que se plantea se inicia dando respuestas a una seria de preguntas claves y que todo docente
se debe ir haciendo iquestPara queacute ensentildear ciencias iquestQueacute ciencia ensentildear iquestCoacutemo debe relacionarse el
saber el alumno y el profesor iquestQueacute implicaciones debe tener en la sociedad iquestQueacute valores debe
fomentar iquestQueacute cuaacutendo y coacutemo ensentildear iquestQueacute cuaacutendo y coacutemo evaluar iquestQueacute estrategias de
aprendizaje yo actividades se proponen iquestCoacutemo deberiacutean presentarse las ciencias en las aulas Se trata
de una reflexioacuten sobre el sentido epistemoloacutegico de la ciencia su papel en la alfabetizacioacuten cientiacutefica de
los alumnos y su implicacioacuten en la sociedad Esta visioacuten o cambio en el paradigma de las ciencias desde
el punto de vista educativo parte de elementos claves
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Un conocimiento profundo sobre los contenidos a trabajar y que abordaremos en una secuencia
contextualizaacutendolos Es un planteamiento teoacuterico-cientiacutefico de los contenidos propios de la materia a
trabajar y que desde el curriacuteculo oficial debemos tener presente Explicitar la importancia del
conocimiento didaacutectico del contenido
Conocer queacute obstaacuteculos y dificultades de aprendizaje presentan los alumnos de secundaria sobre los
conceptos a trabajar Para ello se debe realizar una buacutesqueda sistemaacutetica en las distintas revistas
especializadas del aacuterea y que nos deacute una visioacuten de cuaacuteles son las concepciones erroacuteneas que marcaraacuten
nuestro devenir en el proceso de ensentildeanza
Conocimiento epistemoloacutegico de la ciencia Intentando responder a la cuestioacuten de coacutemo se conoce los
distintos contenidos a trabajar
Conocimiento de los distintos elementos que conforman el sistema aula Organizacioacuten planificacioacuten
evaluacioacuten entre otros
Por el contexto en el que se generaba la propuesta fue interesante profundizar en el tratamiento de las
concepciones erroacuteneas que tienen nuestros estudiantes a la hora de plantear cualquier proceso de
ensentildeanza y aprendizaje y en particular de los contenidos que iacutebamos a trabajar Dilucioacuten seriacioacuten
concepto de mol partiacutecula caracteriacutesticas de la materia caracteriacutesticas en particular del agua entre otros
Partiendo de una noticia reciente sobre el estado actual de la Homeopatiacutea y su inclusioacuten en la sociedad
actual nos acercamos a las opiniones que nuestros asistentes tienen de este tipo de praacutecticas
La intervencioacuten en siacute misma se ha publicado recientemente en la revista Alambique Didaacutectica de las
ciencias experimentales bajo el tiacutetulo de ldquoCiencia frente a seudociencia el fomento del pensamiento
criacuteticordquo (Lorca-Mariacuten et al 2019) Sin embargo resumir que se procedioacute a la fabricacioacuten de un producto
homeopaacutetico bajo los criterios que marca laboratorios del sector Mediante una dilucioacuten seriada decimal
(en diluciones 110) a partir de un antiseacuteptico yodado que actuacutea como tincioacuten madre (TM) se realizan las
distintas diluciones hasta obtener la dilucioacuten deseada 1DH (Decimales Hahnemannianas) 2DH
3DHhelliphellip Mediante la prueba del yodo se comprueba la autenticidad de las afirmaciones en las que se
sustenta la homeopatiacutea (ver Figura 5)
Figura 5
Fotografiacuteas durante la presentacioacuten donde un voluntario actuoacute de alumno para la ponencia
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Por uacuteltimo y tras la elaboracioacuten de la secuencia se desarrolloacute una reflexioacuten sobre el proceso despertando
un debate de reflexioacuten sobre las pseudociencias en la sociedad actual su modelo de generalizacioacuten foros
de crecimiento entre otras cuestiones
4 Conclusioacuten
La propuesta que se plantea fue muy valorada entre los docentes para su uso en el aula de ciencias
destacando su contribucioacuten a la contextualizacioacuten de aprendizaje de conocimientos relativos a conceptos
y procesos cientiacuteficos y especialmente de cara a trabajar contenidos actitudinales que en muchos casos
pasan desapercibidos en el aula de ciencias Asimismo se consideroacute que favorece la capacidad para
describir y explicar fenoacutemenos con el que el alumno convive y para interpretar los datos e informaciones
que llegan al estudiante a traveacutes de las redes sociales youtubers influencers entre otros
Se destacoacute el ejercicio de la experimentacioacuten cientiacutefica directa lo que potencia principalmente aspectos
de la competencia cientiacutefica como iniciacioacuten a la investigacioacuten cientiacutefica baacutesica
Es digno de mencioacuten en la intervencioacuten aquellas aportaciones referentes a la importancia del papel activo
del alumno La necesidad de generar contextos y situaciones que propicien la necesidad por investigar e
indagar donde el docente se comporte como guiacutea del proceso y el alumno adquiere un papel principal
en el proceso La necesidad de precisar entornos colaborativos entre el alumnado ya que entre los retos
que se enmarca el siglo XXI estaacute el de trabajos formados por grupos cada vez maacutes interdisciplinares y
donde la reflexioacuten comunicacioacuten y colaboracioacuten son elementos claves
La concepcioacuten sobre la ensentildeanza de las ciencias que posea el profesorado el conocimiento sobre los
contenidos cientiacuteficos a tratar la constante actualizacioacuten sobre las investigaciones que se hacen en
materia de concepciones erroacuteneas del alumnado en ciencia asiacute como sobre las informaciones que se
publican por los distintos medios de comunicacioacuten son variables para tener presentes pues condicionan
este tipo de metodologiacutea que parte del contexto en el que estaacuten sumergidos nuestros alumnos
Tenemos un sistema educativo centrado en respuestas maacutes que en preguntas cuando en una sociedad 40
toda informacioacuten debe ser cuestionada El sistema educativo debe formar alumnos con pensamiento
criacutetico y esceacutepticos
Debemos poner eacutenfasis en aprender haciendo y reflexionar sobre el proceso para ello debemos ensentildear
ciencias centraacutendonos en las preguntas desarrollando y usando modelos que nos acerquen a la realidad
del alumnado planificar y realizar proyectos e investigaciones que ayuden al alumno a interpretar el
medio que le rodea Analizando e interpretando datos concluyendo a partir de la interpretacioacuten de estos
y con argumentos que se puedan generalizar en patrones Comunicando y divulgando con argumentos a
partir de evidencias contrastables En definitiva ensentildeamos Ciencia sin hacer Ciencia El contexto en el
que se lleva a cabo la ensentildeanza y aprendizaje de las ciencias la ha dogmatizado hasta su tratamiento
como una religioacuten
Agradecimientos
Agradecer a la organizacioacuten del XXI CONCITES y en su caso a la fundacioacuten CIENTEC la oportunidad
de llevar a cabo la presente comunicacioacuten A la Universidad de Huelva (Espantildea) y Universidad de Costa
Rica por el apoyo otorgado para la realizacioacuten de este trabajo fruto de una estancia de investigacioacuten
cofinanciada por la Asociacioacuten Universitaria Iberoamericana de Posgrado el centro de investigacioacuten
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COIDESO el grupo de investigacioacuten DESYM y la Universidad de Huelva a traveacutes de su Estrategia de
Poliacutetica de Investigacioacuten y Transferencia
Referencias Bibliograacuteficas
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Education 11(5) 481-490
Linn MC Davis EA y Bell P (2004) Internet Environments for Science Education Erlbaum
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en el aula de ciencias iquestdebe ser una obligacioacuten o no En Encuentros de Universidad de A
Coruntildea Servicio de Publicaciones
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seudociencia el fomento del pensamiento criacutetico Alambique Didaacutectica de las ciencias
experimentales (97) 57-61
Martiacutenez-Chico M Loacutepez-Gay R Jimeacutenez-Liso M y Trabaloacuten Oller M (2017) Una propuesta
integrada para la formacioacuten inicial de maestros desde el aprendizaje de ciencias mediante
indagacioacuten y modelizacioacuten a la competencia para ensentildear ciencias Ensentildeanza de las Ciencias
(Extra) 115-122
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El uso del Meme como recurso pedagoacutegico y evaluativo
Hairo Zuacutentildeiga-Alvarado
International Christian School Costa Rica
hgzalvaradogmailcom
Resumen los memes han sido utilizados como recursos para expresar criticas sociales
humor y recreacioacuten estos factores pueden ser utilizados en la educacioacuten y llevar esos tres
elementos y generar un aprendizaje significativo a partir de su uso pedagoacutegico y evaluativo
El uso de la saacutetira y la comedia en la comunicacioacuten representa una ruta compleja de
aprendizaje por lo cual genera construccioacuten de conocimiento soacutelido y significativo El meme
se convierte en un novedoso recurso educativo que tiene las caracteriacutesticas fundamentales
para realizar procesos de evaluacioacuten diagnoacutestica ademaacutes al ser utilizado en las lecciones
facilita el ambiente dinaacutemico y propicio para el aprendizaje
Palabras claves meme aprendizaje procesos de ensentildeanza aprendizaje innovacioacuten
educativa TICs TACs
1 Introduccioacuten
La educacioacuten es un proceso que no concluye invita a los participantes a estar en una constante renovacioacuten
de conocimiento El ser humano es un ente de aprendizaje continuo con la capacidad de transformar lo
que observa en procesos elevados de metacognicioacuten hacia una ruta de integralidad
El avance tan acelerado de la tecnologiacutea conlleva el reto principal del quehacer docente hacia la buacutesqueda
de meacutetodos alternativos de aprendizaje donde logre captar la mayor capacidad de atencioacuten de los
educandos y donde se valore la inclusioacuten educativa como una arista primordial del aprendizaje
Los nuevos desafiacuteos docentes invitan a la constante innovacioacuten educativa llaman a los educadores a que
rompan paradigmas y trasciendan en su labor docente donde contextualicen los contenidos a partir de
recursos educativos peculiares como lo son los memes
2 Los memes iquestqueacute son
Un meme es un recurso visual que utiliza elementos llamativos como lo son colores imaacutegenes y
variedades de tipografiacuteas tienen la particularidad de que utilizan aspectos propios de la teoriacutea del color
utilizando colores opuestos para denotar mensajes La mezcla de colores y tipografiacuteas hacen que los
memes se conviertan en recursos ideales para expresar ideas comentarios y criacuteticas que pueden ir desde
aacutembitos locales internaciones y glocales
Son utilizados con alta frecuencia para expresar criacuteticas utilizando mensajes claros concisos y con tonos
de ironiacutea sarcasmo y jocosidad por otro lado los memes tienen la capacidad de llegar a ser virales en el
internet permitiendo asiacute alcanzar un puacuteblico meta maacutes amplio es por esto queacute pueden ser utilizados
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como recursos pedagoacutegicos es decir trascienden la sociedad de la informacioacuten (Vera 2016 citando a
Barroso y Cabero 2016)
3 El meme como recurso pedagoacutegico
Los memes son quizaacutes el recurso pedagoacutegico con mayor accesibilidad y al mismo tiempo con mayor
grado de subvaloracioacuten este recurso brinda muacuteltiples oportunidades para proyectar informacioacuten
masificarla y divulgarla a partir de la creatividad comunicacioacuten siacutentesis y criticidad (Balda 2019)
Es decir permite generar nuevas rutas en la construccioacuten de conocimiento de los discentes utilizando
procesos interculturales e interdisciplinarios lleva consigo un andamiaje de ideologiacuteas y pensamientos
permitiendo al meme ser un gran portador de conocimiento
Para nadie es un secreto que se vive en una sociedad con altos iacutendices de globalizacioacuten donde la
tecnologiacutea se convirtioacute en un aliado en la formacioacuten de conocimiento en los educandos por parte de los
docentes es por esto por lo que los memes vuelven a ser pioneros en la formacioacuten construccioacuten y
reflexioacuten del conocimiento brindado en el proceso ensentildeanza-aprendizaje En este recurso digital se
pueden hallar todas las caracteriacutesticas establecidas en las TICs donde permite la flexibilidad del
curriculum y simultaacuteneamente se transforman en TACs en otras palabras los memes son herramientas
que participan en procesos complejos de comunicacioacuten y de conocimiento generando asiacute la proyeccioacuten
de habilidades de pensamiento sisteacutemico y analiacutetico
El pensamiento criacutetico es uno de los factores que maacutes se busca en los procesos de ensentildeanza-aprendizaje
son el reto de los educadores actuales y son el deseo de los estudiantes que estaacuten sedientos de nuevos
retos nuevos aprendizajes y nuevas tendencias pedagoacutegicas que conviertan sus entornos de ensentildeanza
en ambientes dinaacutemicos y de aplicabilidad
En la misma liacutenea para garantizar un aprendizaje significativo es necesario cumplir con dos requisitos
1 Brindar los contenidos de manera que los estudiantes logren entender el porqueacute de los temas que
aprende y 2 Contextualizar los contenidos que estudian para asiacute encontrar la aplicabilidad del
conocimiento
Los estudiantes modernos son exigentes en cuanto a estudiar y aprender son emocionales y pueden
realizar varias tareas al mismo tiempo esto da al docente un rompecabezas de teacutecnicas que pueden usar
para despertar en los estudiantes el intereacutes por la asignatura y con esto generar un viacutenculo que fortalezca
la relacioacuten estudiante-docente y viceversa los cerebros de nuestros estudiantes trabajan a partir de grupos
de intereses (Cataldi y Dominighni sf) si se logra posicionar la asignatura en ese ciacuterculo se construiriacutea
una nueva ruta de conocimiento
La creacioacuten de ese viacutenculo emocional garantiza que los procesos de ensentildeanza-aprendizaje se encaminen
hacia la ruta de la significancia ya que es fundamental que los estudiantes logren sentirse coacutemodos
seguros y felices en los entornos de aprendizaje (Lewin 2017)
4 El meme como recurso evaluativo
La evaluacioacuten como tal se ha visto proyectada como el proceso que muestra el avance de un estudiante
en el proceso de aprendizaje se ha tipificado como un proceso sumativo donde a partir de una escala
numeacuterica el estudiante recibe una calificacioacuten que brinda presuntamente su nivel de desempentildeo para
los objetivos planteados
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Este proceso sumativo se ha visto bajo el esquema de educacioacuten tradicional valorando el resultado del
aprendizaje y omitiendo el proceso de aprendizaje lo cual elimina por completo el verdadero proceso
de significancia de la educacioacuten Es durante el proceso de aprendizaje donde el estudiante cuestiona lo
que sabe produce y reflexiona siendo estas tres habilidades fundamentales en la construccioacuten de
conocimiento y vitales para lograr el aprendizaje significativo (Apeacutendice I II y III)
El aprendizaje significativo y la evaluacioacuten son procesos que pueden ocurrir paralelamente si se aplican
las diversas formas de evaluacioacuten que existen los memes pueden ser utilizados en las tres rutas de
evaluacioacuten que existen
El meme como evaluador diagnoacutestico debido a su naturaleza criacutetica los memes funcionan con
herramientas para iniciar discusiones reflexiones y diversas metodologiacuteas donde el estudiante puede
hacer introspeccioacuten sobre la compresioacuten de los contenidos a desarrollar o ya estudiados
El meme como evaluador sumativo al utilizar el meme como esta estrategia el docente requiere de una
ruacutebrica soacutelida y objetiva
El meme como evaluador formativo el docente puede utilizar este recurso como una herramienta
metodoloacutegica para brindar espacios de retroalimentacioacuten grupal e individual con el fin de brindar un
aprendizaje formativo
5 Materiales y meacutetodos
Se realizoacute una encuesta a un grupo de 36 docentes de preescolar primaria y secundaria de sistemas
educativos puacuteblicos y privados de las modalidades diurnas bachillerato internacional y nocturnas y a un
grupo de 58 estudiantes pertenecientes a colegios privados y puacuteblicos y que oscilan las edades de 14 a
20 antildeos y de las modalidades acadeacutemica bachillerato internacional y Colegio Nacional Virtual Marco
Tulio Salazar
La muestra de docentes contempla una distribucioacuten que incluye San Carlos Puntarenas San Marcos de
Tarrazuacute Heredia San Joseacute y Cartago mientras que la muestra de estudiantes se utilizoacute la direccioacuten
regional de Heredia especiacuteficamente los circuitos escolares 05 y 07
Las encuestas aplicadas contienen un total de ocho preguntas de las cuaacuteles seis son preguntas cerradas y
dos son preguntas abiertas Las respuestas obtenidas fueron procesadas a partir de graacuteficos y tablas con
el fin de contrastar los resultados
6 Discusioacuten de resultados
Como parte del proceso de indagacioacuten se le pregunto a los docentes sobre el principal uso que se ha dado
a los memes la figura 1 contempla los resultados de esta interrogante
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Figura 1
Uso que se le dan a los memes
Nota Creacioacuten propia
Tal y como muestra la figura anterior las opciones de recreacioacuten u ocio criacutetica social y comunicacioacuten
de ideas son las respuestas con mayor frecuencia en la muestra encuestada esto evidencia que el meme
es un recurso con una gama amplia de uso permitiendo alcanzar niveles de comunicacioacuten superiores a
partir de diferentes estrategias y herramientas
En la misma liacutenea utilizar memes en las lecciones como recurso pedagoacutegico y evaluativo tiene muacuteltiples
beneficios en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje ya que al utilizar el humor como forma de
comunicacioacuten de ideas permite generar conexiones neuronales fuertes y realizar en forma impliacutecita
procesos de cuestionamiento de conocimiento al entender o no entender el meme es este recurso una de
las formas maacutes atractivas para llegar a la metacognicioacuten tal y como lo afirma Vera (2016) al indicar que
ldquohelliplos memes tienen un poder de descripcioacuten y explicacioacuten en torno a un fenoacutemeno hecho u desarrollo
cultural mucho maacutes efectivo para la cultura juvenil globalizada -y por ende hiperconectada- en el aacutembito
educativo del siglo XXIrdquo (p 5)
Se considera que los memes tendraacuten efectos positivos en el estudiantado (Figura 2) y en clima de clase
si esto se logra por consecuencia se afectaraacute positivamente el aprendizaje transformaacutendolo en
contextualizado divertido y significativo Transportan al estudiante hacia paradigmas cognitivos
inexplorados donde se promueve una mentalidad de crecimiento a partir de la sensacioacuten de seguridad
empoderamiento y felicidad de las lecciones
Figura 2
Efecto del uso de los memes en las lecciones de acuerdo con los docentes
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Por otro lado los estudiantes son una de las aristas principales del proceso educativo ante esto se les
preguntoacute a los educandos sobre si existe un agrado por el posible uso de los memes como recurso
pedagoacutegico y evaluativo en las lecciones el resultado se ubica en la Figura 3
Figura 3
Efecto del uso de los memes en las lecciones de acuerdo con los docentes
Nota Creacioacuten propia
Tal y como muestra la figura anterior existe una alta frecuencia por que los memes sean utilizados en
las lecciones ya que permitiraacuten a los estudiantes abordar contenidos desde distintas perspectivas
generando una innovacioacuten educativa en los salones de clases
Estos procesos trascienden de la labor tradicional del docente y produce la liberacioacuten de serotonina
aumentando la felicidad y por ende la sensacioacuten se seguridad y comodidad ante el aprendizaje logrando
el aprendizaje significativo
La contextualizacioacuten del conocimiento es vital es ahiacute donde el meme entra en juego y produce en la
relacioacuten docente-estudiante la contextualizacioacuten del conocimiento para fortalecer el viacutenculo emocional
necesario para el discente esto genera un efecto dominoacute donde a partir de todo lo mencionado
anteriormente se abren caminos hacia una educacioacuten multicultural integral y reflexiva
Los memes utilizados como un recurso evaluativo les brinda a los estudiantes la capacidad de realizar
una auto reflexioacuten y auto retroalimentacioacuten a partir de la comprensioacuten del recurso en contexto social
cuando el estudiante se replantee en su mente porqueacute comprende ese meme por queacute entiende el trasfondo
del meme y por queacute puede identificar errores o datos falsos en un meme habremos logrado como
docentes llevar a la verdadera criticidad al verdadero pensamiento criacutetico y la metacognicioacuten Los
memes son los recursos linguumliacutesticos maacutes utilizados en muchas aacutereas de la sociedad como la publicidad
el periodismo y la sociologiacutea es momento que se utilicen tambieacuten en la educacioacuten y lograr transformar
el arte de educar
7 Conclusiones
Tras finalizar este proceso investigativo se concluye que
El meme es un recurso pedagoacutegico y evaluativo que permite al docente innovar en sus lecciones
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Utilizar el meme como recurso pedagoacutegico invita a los estudiantes a llevar su construccioacuten de
conocimiento a niveles superiores
Innovar es una labor que el docente debe hacer constantemente llevar al estudiante a disfrutar el
aprendizaje es fundamental para alcanzar el aprendizaje significativo
La contextualizacioacuten de conocimiento es necesaria para formar el viacutenculo entre el docente y el estudiante
El meme es un recurso versaacutetil que permite al docente conocer a sus estudiantes fortalecer su relacioacuten
con ellos y despertar desarrollar en los estudiantes competencias habilidades y destrezas
Referencias Bibliograacuteficas
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experiencia de aula Nuacutemeros Revista de Didaacutectica de las matemaacuteticas 102 29-41
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ensentildeanza del lenguaje Revista Educacioacuten y Tecnologiacutea 1-15
httpsdialnetuniriojaesdescargaarticulo6148882pdf
Apeacutendices
Apeacutendice I Desglose del estudio de un meme de literatura
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Apeacutendice II Desglose del estudio de un meme de matemaacuteticas
Apeacutendice III Desglose del estudio de un meme de Fiacutesica
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Estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de la quiacutemica
Carla Goacutemez Quiroacutes
Universidad Latinoamericana de Ciencia y Tecnologiacutea Costa Rica
cgomezq296ulacitedcr
Resumen La gamificacioacuten o ludificacioacuten es una herramienta de transformacioacuten educativa que permite integrar
metodologiacuteas activas y participativas frente al modelo claacutesico de ensentildeanza magistral En el presente artiacuteculo
se proponen varias estrategias didaacutecticas para la presentacioacuten de contenidos de quiacutemica general en el aula en
forma de juego con objeto de incentivar la motivacioacuten y el aprendizaje entre estudiantes tanto de secundaria
como de nivel inicial universitario Las estrategias se implementaron en un grupo de 46 estudiantes de quiacutemica
inorgaacutenica baacutesica de primer ingreso de universidad (edad promedio = 19 antildeos) procedentes de colegios puacuteblicos
y privados con diferentes niveles de conocimiento sobre la materia El 100 de los estudiantes consideraron
que las actividades realizadas facilitaron su aprendizaje personal e incrementaron su intereacutes en la materia
Palabras clave gamificacioacuten nomenclatura geometriacutea molecular balanceo de ecuaciones simulacioacuten
1 Introduccioacuten
La quiacutemica como asignatura de ciencias es muy importante en los programas de estudio de educacioacuten
secundaria y en los primeros antildeos de educacioacuten superior a nivel global Es un tema central para las
carreras de ciencias baacutesicas ciencias de la salud e ingenieriacuteas entre otras No obstante se ha observado
que en general los estudiantes poseen una percepcioacuten de que la quiacutemica es difiacutecil de entender lo cual en
muchos casos se torna en ansiedad y conduce a la peacuterdida de motivacioacuten o intereacutes sobre la materia
(Nakamatsu 2012)
Lo anterior se puede atribuir a la naturaleza abstracta de la asignatura al meacutetodo de ensentildeanza magistral
que la mayoriacutea de los profesores de quiacutemica han venido utilizando a lo largo del tiempo (Corchuelo
2018) y a la brecha que auacuten existe en nuestro paiacutes entre colegios de enfoque cientiacutefico y acadeacutemico lo
cual auacuten en antildeos recientes no deja de ser uno de los grandes retos que tiene el Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica (MEP) en Costa Rica (Hernaacutendez-Chaverri et al 2017)
En lo que respecta a los profesores de quiacutemica tanto a nivel de secundaria como a nivel de educacioacuten
superior uno de los principales retos consiste en desarrollar nuevas estrategias que permitan revertir esta
percepcioacuten negativa sobre la materia y transformar el aprendizaje en una experiencia positiva que
fomente que los estudiantes se motiven y aprecien la importancia de adquirir conocimiento en esta
asignatura
Una de las estrategias que ha venido desarrollando una gran popularidad en el aacuterea de la educacioacuten
consiste en la teacutecnica de gamificacioacuten cuyo objetivo de acuerdo con Ortegoacuten (2016) consiste en el
empleo o identificacioacuten de elementos caracteriacutesticos del juego que permitan transformar una actividad
desarrollada en un entorno no luacutedico en una experiencia agradable que potencie la motivacioacuten la
concentracioacuten la transmisioacuten de conocimiento y la creacioacuten de un viacutenculo significativo con los
estudiantes
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Gamificar el estudio de la quiacutemica ya sea en forma de juegos educativos simulaciones o bien
experiencias no tradicionales en clase es una propuesta atractiva que brinda a los estudiantes la
oportunidad de visualizar conceptos abstractos participar en el proceso de aprendizaje activo y construir
conocimiento de manera efectiva
Seguacuten Oliva (2016) dentro de un contexto universitario la gamificacioacuten representa una oportunidad para
propiciar una cultura de conectividad entre el docente y el estudiante que alimente el intereacutes genuino de
este uacuteltimo por aprender lo cual seraacute reflejado en el mejoramiento de las dinaacutemicas de grupo la atencioacuten
en clase el fomento de actitudes de criacutetica reflexiva retroalimentacioacuten eficiente y aprendizaje
significativo Asimismo la posibilidad de incentivar la participacioacuten de la totalidad de los estudiantes
permite detectar y solucionar de manera oportuna y efectiva aquellos problemas o errores de comprensioacuten
y colectivizacioacuten del conocimiento reduciendo de esta manera las probabilidades de fracaso acadeacutemico
No obstante es importante considerar que el eacutexito o fracaso de la implementacioacuten de estas estrategias
depende de las mecaacutenicas de juego establecidas y de la adecuada seleccioacuten de las herramientas de juego
para la adaptacioacuten de los conceptos educativos de intereacutes de modo que se debe de tener especial cuidado
en cuanto al disentildeo e implementacioacuten de la actividad Con base en esto Werbach amp Hunter (2012)
citados por Corchuelo (2018) consideran que el disentildeo de una estrategia de gamificacioacuten exitosa se basa
en el cumplimiento de los siguientes puntos
a Definir con claridad los objetivos educativos que se quieren conseguir en el aula
b Delimitar los comportamientos que se quieren potenciar en los estudiantes
c Establecer las caracteriacutesticas e intereses de los jugadores
d Definir el sistema de gamificacioacuten y establecer los ciclos de las actividades
e Disentildear las actividades bajo la premisa de que se debe fomentar la diversioacuten
f Definir los recursos y herramientas necesarias para el desarrollo de la estrategia y la posterior
evaluacioacuten de competencias
En la siguiente seccioacuten se describen las caracteriacutesticas de las estrategias didaacutecticas implementadas para
la dinamizacioacuten de contenidos temaacuteticos en el aacuterea de quiacutemica
2 Materiales y meacutetodos
Con objeto de incentivar la motivacioacuten y el aprendizaje de la quiacutemica entre los estudiantes se realizoacute
una investigacioacuten de caraacutecter cualitativo y disentildeo descriptivo para conocer la valoracioacuten de las estrategias
de gamificacioacuten implementadas En las siguientes subsecciones se detallan los elementos establecidos
para el presente estudio de acuerdo con lo estipulado por Werbach amp Hunter (2012) citados por
Corchuelo (2018)
21 Definicioacuten de los objetivos educativos
De manera adicional a los objetivos acadeacutemicos establecidos dentro del programa del curso la aplicacioacuten
de las estrategias planteadas procura motivar a los estudiantes a participar en clase asiacute como dinamizar
los contenidos temaacuteticos dentro del aula para reducir los tiempos de exposicioacuten magistral de los
conceptos y orientar el proceso de ensentildeanza hacia un sistema basado en la resolucioacuten de problemas Lo
anterior para fomentar el pensamiento creativo de los estudiantes
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22 Comportamientos que se quieren potenciar entre los estudiantes
Dentro de los comportamientos que se quieren potenciar entre los estudiantes se destaca la participacioacuten
en clase el aprendizaje colaborativo la retroalimentacioacuten efectiva entre pares acadeacutemicos y la asistencia
a la mayoriacutea de las sesiones de clase Ademaacutes del intereacutes de potenciar comportamientos positivos se
procura de igual manera revertir comportamientos o percepciones negativas sobre la materia
23 Caracteriacutesticas e intereses de los jugadores
La estrategia de gamificacioacuten se aplicoacute a un grupo de 46 estudiantes de pregrado de la Escuela de
Medicina y Cirugiacutea Veterinaria San Francisco de Asiacutes de la Universidad Veritas - Espantildea con edades
dentro del rango de 17 hasta los 29 antildeos con diferentes niveles de conocimiento sobre la materia
procedentes de colegios puacuteblicos y privados La distribucioacuten de geacutenero fue de 73 (33) mujeres y 27
(12) hombres
24 Sistema de gamificacioacuten y ciclos de actividades
La seleccioacuten de los temas se realizoacute con base en la distribucioacuten de los contenidos temaacuteticos establecidos
dentro del programa del curso el cual se encuentra dividido en las unidades mostradas en la Tabla 1
Tabla 1
Contenidos temaacuteticos establecidos dentro del programa del curso
Unidad Detalle
I Introduccioacuten a la quiacutemica
II Estructura electroacutenica del aacutetomo Tabla perioacutedica Enlace quiacutemico
III Reacciones quiacutemicas y cantidades
IV Estados de la materia
V Agua Disoluciones y coloides
VI Velocidad de reaccioacuten Equilibrio Quiacutemico Aacutecido-Base
Las estrategias de gamificacioacuten se llevaron a cabo en grupos de maacuteximo 5 estudiantes En general las
actividades fueron planificadas para realizarse al inicio y al final de cada unidad temaacutetica del curso en
horario de clase El esquema de clase se desarrolloacute en tres etapas a) exposicioacuten magistral del tema con
una duracioacuten de maacuteximo 15 minutos b) aplicacioacuten de la estrategia de gamificacioacuten en grupos y c)
revisioacuten grupal de ejercicios para finalizar la clase
25 Descripcioacuten de estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de conceptos de quiacutemica
De acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) existen tres niveles de ensentildeanza y aprendizaje de
conceptos en quiacutemica los cuales consisten en el nivel macroscoacutepico submicroscoacutepico y simboacutelico El
nivel macroscoacutepico hace referencia al aprendizaje de conceptos a traveacutes de la observacioacuten el nivel
submicroscoacutepico representa los conceptos quiacutemicos relativos al movimiento de las moleacuteculas aacutetomos o
partiacuteculas subatoacutemicas y el nivel simboacutelico comprende aquellos conceptos que se estudian mediante el
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uso de siacutembolos foacutermulas estructuras o nuacutemeros De estos conceptos los uacuteltimos dos es decir los
niveles submicroscoacutepico y simboacutelico son considerados de alta dificultad para los estudiantes
Con base en lo anterior se detallan a continuacioacuten las estrategias de gamificacioacuten utilizadas para la
dinamizacioacuten y refuerzo de conceptos considerados de alta complejidad por los estudiantes
251 Dados de iones para nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos
La primera estrategia se enfoca en el tema de nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos perteneciente al
nivel simboacutelico de acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) El objetivo principal de esta estrategia
consiste en reducir el error que cometen los estudiantes al combinar catioacuten-catioacuten o anioacuten-anioacuten
mediante la utilizacioacuten de dos dados que lanzan de manera simultaacutenea Uno de los dados el que posee
los cationes se identifica con un color distinto (azul) al dado que posee los aniones (rojo) como se
observa en la Figura 1 de modo que sea un recordatorio para que los estudiantes se aseguren de combinar
especies diferentes
Figura 1
Dados de cationes y aniones para nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos
Adicionalmente esta estrategia permite reforzar el aprendizaje de los nuacutemeros de oxidacioacuten de iones
monoatoacutemicos y poliatoacutemicos asiacute como la praacutectica de la distribucioacuten correcta de estos en cuanto a la
formulacioacuten de los compuestos y su posterior nomenclatura
252 Construccioacuten de modelos tridimensionales de marshmallows para geometriacutea molecular y
Estructuras de Lewis
Una de las principales dificultades respecto al aprendizaje de la quiacutemica como se mencionoacute previamente
consiste en su naturaleza abstracta Para este efecto la construccioacuten de modelos tridimensionales es de
gran utilidad para que los estudiantes visualicen las estructuras de las moleacuteculas en el espacio Este tema
de igual manera pertenece al nivel simboacutelico de acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015)
La estrategia desarrollada se basa en realizar primeramente los disentildeos de las estructuras de Lewis en
papel y posteriormente trasladarlas a su forma tridimensional empleando gomitas o marshmallows
como se muestra en la Figura 2
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Figura 2
Modelos tridimensionales de marshmallows o gomitas para representaciones de geometriacutea molecular y
estructuras de Lewis
La geometriacutea molecular se puede visualizar adicionalmente de manera opcional con ayuda de kits
para construccioacuten de moleacuteculas
253 Balanceo de ecuaciones quiacutemicas con confites y simulaciones PhET
La estequiometriacutea y balanceo de ecuaciones quiacutemicas es uno de los temas de mayor trascendencia en el
estudio de la quiacutemica De acuerdo con la separacioacuten de conceptos de Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) se
clasifica como nivel submicroscoacutepico
La implementacioacuten de ayudas visuales en este caso es de gran apoyo De modo que la estrategia se
plantea como un juego en el que los estudiantes compiten en velocidad para determinar queacute grupo
finaliza el balanceo de ecuaciones en el menor tiempo Para este efecto se utilizan confites como Skittles
o MampMacutes para simular los aacutetomos respetando la asignacioacuten de colores para cada elemento en especiacutefico
tal y como se observa en la Figura 3
Figura 3
Apoyo visual para el balanceo de ecuaciones quiacutemicas
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Otra herramienta disponible para utilizar en clase como apoyo visual para actividades de gamificacioacuten
consiste en el proyecto ldquoPhET Interactive Simulationsrdquo de la Universidad de Colorado Boulder de
donde se pueden obtener distintos recursos educativos para ilustrar conceptos adicionales Las
simulaciones especiacuteficas para quiacutemica se pueden obtener de
httpsphetcoloradoeduensimulationscategorychemistry
26 Recursos y herramientas necesarias
Se aplicoacute un cuestionario en liacutenea para conocer la percepcioacuten de los estudiantes respecto a las estrategias
de gamificacioacuten utilizadas durante el curso Las preguntas definidas para el anaacutelisis cualitativo se
observan en la Tabla 2
Tabla 2
Encuesta aplicada a los estudiantes
Pregunta Tipo de pregunta
iquestCuaacutel fue la actividad que maacutes llamoacute su atencioacuten
Opcioacuten muacuteltiple
iquestLas actividades realizadas incrementaron su intereacutes por la quiacutemica
inorgaacutenica
Dicotoacutemica
iquestCuaacutel fue el tema que maacutes le interesoacute de los contenidos abordados por
las actividades Puede marcar varias opciones
Opcioacuten muacuteltiple
iquestPrefiere el uso de simulaciones en computadora o la construccioacuten de
modelos y juegos en fiacutesico para visualizar conceptos quiacutemicos
Opcioacuten muacuteltiple
iquestConsidera usted que las actividades realizadas fueron innovadoras y
atractivas para los estudiantes
Dicotoacutemica
iquestLas actividades realizadas facilitaron su aprendizaje personal de los
conceptos involucrados
Dicotoacutemica
iquestConsidera uacutetil el uso de estrategias didaacutecticas luacutedicas como
alternativa al enfoque tradicional de ensentildeanza de la quiacutemica
inorgaacutenica a nivel universitario
Dicotoacutemica
iquestTiene alguacuten comentario o sugerencia adicional para mejorar las
actividades realizadas
Abierta
3 Resultados y Discusioacuten
De acuerdo con los resultados obtenidos en la encuesta las actividades que maacutes llamaron la atencioacuten de
los estudiantes con un porcentaje de 444 en ambos casos fueron la construccioacuten de modelos
tridimensionales y la utilizacioacuten de simulaciones PhET El 111 del estudiantado se interesoacute por la
actividad de los dados de iones
En relacioacuten con la valoracioacuten general de las actividades se obtuvo que el 100 de los estudiantes
consideraron que las estrategias aplicadas incrementaron su intereacutes por la quiacutemica y facilitaron su
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aprendizaje personal La distribucioacuten especiacutefica de los contenidos de mayor intereacutes incluyendo la
utilizacioacuten de simulaciones PhET para la visualizacioacuten de otros conceptos se muestra en la Figura 4
donde los temas estudiados con estas uacuteltimas obtuvieron la mayor aceptacioacuten
Figura 4
Intereacutes sobre los contenidos temaacuteticos abordados durante las actividades
En general las estrategias que involucraron el desarrollo manual de modelos tuvieron una aceptacioacuten
mayor (844) respecto al uso de simulaciones computacionales (156) lo cual permite apreciar la
necesidad de realizar una transformacioacuten educativa hacia modelos de ensentildeanza que permitan la
transicioacuten de los estudiantes desde un rol pasivo a un rol activo que les permita interactuar en mayor
medida con sus procesos de aprendizaje como menciona Ortegoacuten (2016) Los estudiantes consideraron
que la experimentacioacuten y realizacioacuten de actividades praacutecticas que les permitieron interactuar con el
contenido visto en clase les ayudoacute a tener un panorama maacutes amplio de coacutemo funciona la quiacutemica en la
vida real lo cual no hubieran obtenido si las clases fueran en su totalidad de caraacutecter magistral
4 Conclusiones
Las estrategias de gamificacioacuten en quiacutemica brindan a los estudiantes la oportunidad de visualizar
conceptos abstractos participar en el proceso de aprendizaje activo y construir conocimiento de
manera efectiva
Los resultados obtenidos en este estudio permiten apreciar la necesidad de realizar una
transformacioacuten educativa hacia modelos de ensentildeanza de aprendizaje activo
Agradecimientos
El desarrollo de este documento no habriacutea sido posible sin la entusiasta participacioacuten y colaboracioacuten de
mis estudiantes del curso de Quiacutemica Inorgaacutenica Baacutesica de la Escuela de Medicina y Cirugiacutea Veterinaria
San Francisco de Asiacutes de la Universidad Veritas en donde tuve la oportunidad de impartir este curso
durante el periacuteodo acadeacutemico del II Cuatrimestre 2019 Agradezco la amabilidad de los estudiantes y del
personal administrativo asiacute como el aprendizaje adquirido durante este breve periacuteodo en la institucioacuten
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Referencias bibliograacuteficas
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ming_and_writing_structural_formulae_of_hydrocarbons_using_the_ball-and-stick_models
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Elaboracioacuten de iacutetems en Geometriacutea y GeoGebra como
herramienta de apoyo en la construccioacuten de las figuras
Estiacutebaliz Rojas Quesada
Universidad Estatal a Distancia
erojasqunedaccr
Eric Padilla Mora
Universidad Estatal a Distancia
epadillaunedaccr
Resumen Este taller estaacute orientado al anaacutelisis de diversos aspectos teoacutericos propios de construccioacuten y
validacioacuten de iacutetems destacando la validez y confiabilidad Se pretende que el participante analice algunos
ejercicios y determine si cumplen con los requisitos para poder ser aplicados posteriormente disentildearaacute ejercicios
tomando en cuenta la teoriacutea y finalmente se le brindaraacute una breve introduccioacuten al empleo del Software
GeoGebra como recurso que le podriacutea contribuir con el disentildeo de las figuras que empleariacutea en los iacutetems
generados Ademaacutes durante el taller se podraacute implementar algunas actividades que le permitan fortalecer su
formacioacuten Matemaacutetica especiacuteficamente en el aacuterea de geometriacutea
Palabras clave Evaluacioacuten geometriacutea anaacutelisis de iacutetems construccioacuten de iacutetems
Objetivo del taller disentildear iacutetems para pruebas escritas en temas de Geometriacutea del I y II Ciclo de la
Educacioacuten General Baacutesica y emplear el software GeoGebra como apoyo para la construccioacuten de las
figuras geomeacutetricas que se incluyan en estos
Puacuteblico meta docentes del I y II Ciclo de la Educacioacuten General Baacutesica Costarricense asiacute como
estudiantes en formacioacuten para dichos ciclos
Recursos computadora con acceso a internet hojas blancas laacutepiz lapicero y borrador
Cantidad maacutexima de participantes 15 personas
1 Introduccioacuten
La evaluacioacuten como proceso cumple entre otros roles el de orientar al docente sobre el aprendizaje de
los estudiantes ofreciendo la posibilidad de fortalecerlo y consolidarlo Ademaacutes se constituye como un
medio para poder transformar el proceso de ensentildeanza dado que permite evidenciar cuaacuteles son las
necesidades prioritarias que se debe atender Por tanto tiene que ser visualizada como una actividad
continua y un proceso integrador que genera desde la reflexioacuten de las experiencias oportunidades
formativas De acuerdo con Fernaacutendez (2018) ldquola evaluacioacuten implica que el docente registre las
fortalezas los talentos las cualidades los obstaacuteculos los problemas o las debilidades que de manera
individual y grupal se vayan dando para intervenir oportunamenterdquo (paacuterr 3)
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Sin embargo se debe recurrir a la medicioacuten para cuantificar los atributos que se encuentran presentes en
los estudiantes (Martiacutenez 2008) tal y como sucede en la educacioacuten costarricense la cual sin importar el
propoacutesito de la evaluacioacuten diagnoacutestica formativa o sumativa debe cumplir con una serie de estaacutendares
de calidad los cuales tienen que ver principalmente con la validez y confiabilidad de los instrumentos
que se emplean para realizar la evaluacioacuten de los aprendizajes
En cuanto a la validez considerada como ldquoel grado en que un test mide lo que pretende medirrdquo (Martiacutenez
2005 p 330) involucra el anaacutelisis de dos aspectos esenciales el contenido para que las preguntas sean
relevantes y representativas del tema que se pretende medir y el proceso de respuesta ya que por medio
de ello se puede establecer los procedimientos que siguen las personas para responder y los indicadores
de lo que se quiere evaluar (Meneses et al 2013)
Por su parte se puede indicar que la confiabilidad se relaciona con el grado de consistencia con que los
examinados realizan la prueba por lo cual es importante determinarla (American Educational Research
Association et al 2018) Para el caso de los instrumentos de evaluacioacuten que se realizan en el aula es
maacutes sencillo tratar de mantener la validez que la confiabilidad ya que para este uacuteltimo se requieren
realizar una serie de anaacutelisis psicomeacutetricos que se salen del alcance de este taller Por tanto para elaborar
iacutetems es primordial el dominio del contenido y de aspectos baacutesicos en evaluacioacuten de los aprendizajes
Otro aspecto fundamental en el caso de Matemaacutetica en aacutereas como la geometriacutea aunque por lo general
se indica que ldquolas figuras no estaacuten hechas a escalardquo es que al emplear imaacutegenes y figuras estas no
contradigan definiciones postulados lemas resultados o teoremas propios de la disciplina y que en la
medida de las posibilidades sirvan de guiacutea u orientacioacuten es aquiacute donde el empleo de alguacuten software para
elaborarlas seriacutea lo idoacuteneo
El taller estaacute orientado al anaacutelisis de diversos aspectos teoacutericos propios de construccioacuten y validacioacuten de
iacutetems se pretende que el participante analice algunos ejercicios y determine si cumplen con los requisitos
para poder ser aplicados luego tomando en cuenta la teoriacutea disentildearaacute ejercicios y para finalizar se
brindaraacute una breve introduccioacuten al empleo del Software GeoGebra como recurso que le podriacutea contribuir
con el disentildeo de las figuras que empleariacutea en los iacutetems generados Ademaacutes durante el taller se podraacute
implementar algunas actividades que le permitan fortalecer su formacioacuten en Matemaacutetica
especiacuteficamente en el aacuterea de geometriacutea
2 Actividades del taller
I Parte Anaacutelisis y elaboracioacuten de iacutetems
Tiempo aproximado 35 minutos
Actividad 1
Se realiza una breve exposicioacuten sobre aspectos teoacutericos relacionados con la elaboracioacuten y validacioacuten de
iacutetems Tiempo aproximado 15 minutos
Se retomaraacuten algunos de los aspectos que de acuerdo con el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa
Rica (MEP) (2011) se debe considerar para la elaboracioacuten de iacutetems tales como
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Las experiencias de aula y el contexto del estudiante
Los objetivos o habilidades especiacuteficas
Utiliza iacutetems objetivos y de desarrollo
Utilizar un vocabulario teacutecnico acorde con el contenido por evaluar
Cuidar el puntaje de los iacutetems
Evitar la redaccioacuten en forma negativa
Realizar la tabla de especificaciones
Para la validacioacuten de los iacutetems se recomienda que se cuente con la participacioacuten de dos a tres personas
que sean expertos en el aacuterea El objetivo de contar con estas personas es que realice un juzgamiento de
los iacutetems en donde se considere algunos criterios de aceptacioacuten para ello se recomienda como miacutenimo
Verificar la congruencia con respecto a los Programas de Estudio en cuanto al ciclo y antildeo educativo
para el cual se aplicaraacute
Revisar el tecnicismo propio de la asignatura
Revisar la redaccioacuten
Resolver el iacutetem
Analizar la cantidad de procedimientos para asignar el nivel de dificultad
Verificar la pertinencia de acuerdo con sus caracteriacutesticas
Analizar las alternativas de respuesta (Seleccioacuten Uacutenica)
Efectuar un anaacutelisis de sensibilidad
Brindar sugerencias para mejorar el iacutetem
Actividad 2
Los participantes realizaraacuten un anaacutelisis y discusioacuten de cuatro iacutetems (ver anexo 1) relacionados con
geometriacutea considerando aspectos propios de la evaluacioacuten entre ellos habilidad redaccioacuten validez
dificultad alternativas y sensibilidad
Tiempo aproximado 10 minutos
Actividad 3
Los participantes seleccionaran una habilidad especiacutefica de los Programas de Estudio del MEP elaboran
y validaran dos iacutetems relacionados con temas de geometriacutea uno objetivo y otro de desarrollo Para el
anaacutelisis deben considerar al menos los siguientes aspectos
Verificar la congruencia con respecto a los Programas de Estudio en cuanto al ciclo y antildeo educativo
para el cual se aplicaraacute
Revisar el tecnicismo propio de la asignatura
Revisar la redaccioacuten
Resolver el iacutetem
Analizar la cantidad de procedimientos para asignar el nivel de dificultad
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Verificar la pertinencia de acuerdo con sus caracteriacutesticas
Analizar las alternativas de respuesta (Seleccioacuten Uacutenica)
Tiempo aproximado 10 minutos
II Parte
GeoGebra una herramienta de apoyo en la construccioacuten de figuras geomeacutetricas
Tiempo aproximado 55 minutos
Actividad 1
Instalacioacuten por parte de los participantes del software GeoGebra
Tiempo aproximado 10 minutos
Dicho programa puede ser descargado de httpswwwgeogebraorgdownload
Actividad 2
Ingreso al ambiente de trabajo de GeoGebra
De acuerdo con la paacutegina oficial de GeoGebra se indica que
GeoGebra es un software de matemaacuteticas para todo nivel educativo Reuacutene dinaacutemicamente
geometriacutea aacutelgebra estadiacutestica y caacutelculo en registros graacuteficos de anaacutelisis y de organizacioacuten en
hojas de caacutelculo GeoGebra con su libre agilidad de uso congrega a una comunidad vital y en
crecimiento En todo el mundo millones de entusiastas lo adoptan y comparten disentildeos y
aplicaciones de GeoGebra Dinamiza el estudio Armonizando lo experimental y lo conceptual
para experimentar una organizacioacuten didaacutectica y disciplinar que cruza matemaacutetica ciencias
ingenieriacutea y tecnologiacutea (STEM Science Technolog y Engineering amp Mathematics) La
comunidad que congrega lo extiende como recurso mundial iexclpotente e innovador para la cuestioacuten
clave y claacutesica de la ensentildeanza y el aprendizaje (p 1)
Un vistazo a GeoGebra
Al descargar e instalar dicho programa y abrirlo se debe visualizar un ambiente de trabajo similar a lo
mostrado a continuacioacuten
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Figura 1
Ambiente de trabajo de GeoGebra
Nota Elaboracioacuten propia
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 3
Conocer el ambiente de trabajo de la paacutegina principal del GeoGebra
Diversas vistas de trabajo de GeoGebra
Menuacute principal
Menuacute de creacioacuten y manipulacioacuten de objetos
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Figura 2
Menuacute principal y menuacute de creacioacuten
NotaElaboracioacuten propia
Tiempo aproximado 10 minutos
Actividad 4
Conocer las diversas propiedades de algunos de los objetos que se pueden crear en GeoGebra
Figura 3
Punto y segmento en ambiente de trabajo de GeoGebra
Nota Elaboracioacuten propia
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Ademaacutes representar un punto Cambiarle el tamantildeo el color el nombre y determinar las coordenadas
Trazar un segmento Cambiarle el tamantildeo el color el nombre y determinar su longitud
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 5
Construir un segmento de 2 cm de longitud Denotar sus puntos extremos con las letras A y B
respectivamente
Trazar una recta perpendicular al segmento que pase por el punto A Luego sobre la perpendicular
destaque un punto y denoacutetelo con la letra C
Manipule libremente el punto denotado por B Luego trace el segmento BC
Determine la medida de los tres aacutengulos internos del triaacutengulo ABC Ajustar los decimales con los cuales
se desea brindar la medida de dichos aacutengulos internos
De acuerdo con la medida de los aacutengulos internos del triaacutengulo iquestQueacute nombre recibe
Determine la medida de los lados de triaacutengulo ABC
De acuerdo con la medida de los lados iquestQueacute nombre recibe
Tiempo aproximado 15 minutos
Actividad 6
Construir un triaacutengulo escaleno obtusaacutengulo Trazar las bisectrices y denotar el incentro con la letra ldquoRrdquo
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 7
Realizar las construcciones que se requieren en los iacutetems construidos en la actividad 3 de la primera
parte del taller Tiempo aproximado 5 minutos
Actividades optativas
Actividad 8
Construir un triaacutengulo isoacutesceles Trazar las medianas y trazar la circunferencia circunscrita en dicho
triaacutengulo
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Actividad 9
Construir un triaacutengulo equilaacutetero Trazar las alturas y determinar el aacuterea de la regioacuten triangular generada
Verificar que el aacuterea satisface que 2
b aA
donde ldquobrdquo es la medida de uno de los lados y ldquoardquo es la medida
de la altura trazada sobre dicho lado
Actividad 10
Construir un cuadrado y determinar el valor del periacutemetro
Construir un rectaacutengulo (que no sea cuadrado) y determinar el valor del aacuterea
Actividad 11
Construir un pentaacutegono hexaacutegono y un octoacutegono
Actividad 12
Construir un pentaacutegono regular un hexaacutegono regular y un dodecaacutegono regular
Actividad 13
Construir un cubo
Referencias bibliograacuteficas
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Psicometriacutea Editorial UOC
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Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2011) La prueba escrita
fileCUsersestibDropboxPersonalEvaluaciC3B3n20y20pedagogC3ADaMEP
la_prueba_escrita_2011pdf
Anexos
Anexo 1 Ejercicios por analizar en la actividad 21
1 Considere la siguiente figura en la cual se muestra el ∆119860119861119862 si 119860119862 cong 119860119861
Nota es importante considerar que la figura no estaacute hecha a escala
De acuerdo con los datos en la figura el periacutemetro de dicho triaacutengulo corresponde a
( ) 59 cm
( ) 43 cm
( ) 43 cm2
( ) 59 cm2
2 Considere la siguiente figura
Realice lo que se le indica a continuacioacuten Valor total 7 puntos Un punto cada acierto
1 Observacioacuten debe considerarse que todos los ejercicios propuestos para esta actividad 2 tienen errores voluntarios o
intencionados con el fin de realizar el anaacutelisis propio de la actividad errores que van desde la redaccioacuten el formalismo y el
contenido entre otros
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iquestCuaacutel es su nombre _________________
Coloree con azul cuatro triaacutengulos
Coloree con verde un cuadrilaacutetero
Coloree con rojo un pentaacutegono
3 Considere el siguiente texto y la figura
Es el segmento que une un veacutertice con el punto medio
del lado opuesto
El texto dado hace referencia a la definicioacuten de
( ) Mediatriz
( ) Mediana
( ) Altura
( ) Ninguna de las anteriores
3 Juan tiene una empresa destinada a la venta de chocolates la cual se ha destacado por
disentildearlos de diversas formas y tamantildeos Para cierta actividad una empresa le solicitoacute
que le vendiera 5 000 chocolates y han seleccionado uno que tiene forma de un pentaacutegono
regular cuyas dimensiones son lado de la base 5 cm apotema de la base 3 cm y altura 4
cm Con base en dicha informacioacuten disentildee una estrategia que permita
a) Determinar la cantidad de materia prima (chocolate) que deberaacute preparar la empresa
Valor 3 puntos
b) Saber cuaacutento deberaacute pagar la empresa a Juan por los chocolates encargados si cada
chocolate tiene un valor de 200 colones Valor 5 puntos
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Etnomodelacioacuten La Modelacioacuten en la Cultura
Daniel Clark Orey
Universidad Federal de Ouro Preto Brasil
oreydcufopedubr
Milton Rosa
Universidad Federal de Ouro Preto Brasil
miltonrosaufopedubr
Resumen La realidad vivida por los miembros de grupos culturales distintos puede ser percibido
como siendo un conjunto de experiencias que estaacuten presentes en sus vidas cotidianas cuyas
representaciones son generadas viacutea inferencias con la utilizacioacuten de concepciones mentales a
traveacutes de la etnomodelacioacuten La propuesta de la etnomodelacioacuten puede ser interpretada como una
accioacuten pedagoacutegica que permite reconocer y presentar los conocimientos matemaacuteticos presentes
en la vida diaria de los alumnos en situaciones didaacutecticas motivadoras La etnomodelacioacuten busca
proporcionar la conexioacuten de las praacutecticas matemaacuteticas locales con los procedimientos
matemaacuteticos usados en otros sistemas de conocimientos matemaacuteticos como por ejemplo el
escolar o acadeacutemico en una resignificacioacuten del conocimiento matemaacutetico por medio de la
etnomodelacioacuten
Palabras clave Cultura Etnomodelacioacuten Modelacioacuten
1 Consideraciones Iniciales
Histoacutericamente el desarrollo de las matemaacuteticas estuvo relacionado con la resolucioacuten de
problemas diarios y tambieacuten con la tentativa de modelar los acontecimientos cotidianos por
medio de modelos explicativos e interpretativos de esas situaciones Seguacuten este contexto la
etnomodelacioacuten puede ser considerado como un sitio de investigacioacuten y una tendencia
pedagoacutegica porque a) puede ser utilizada en la ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
en todos los niveles de la educacioacuten y b) que contribuye para el desarrollo de la reflexioacuten
criacutetica de los alumnos ampliando su autonomiacutea para la resolucioacuten de situaciones-problemas
enfrentadas en el cotidiano
Entonces es importante que el trabajo en etnomodelacioacuten sea direccionado para que los
alumnos a) entiendan el significado de las situaciones problemas presentadas b)
comprendan el conocimiento matemaacutetico como una herramienta para la comprensioacuten de la
resolucioacuten de los problemas que surgem en el diacutea a diacutea c) se den cuenta de que las
metodologiacuteas utilizadas en la modelacioacuten han contribuiacutedo para el exceso de formalismo en
el lenguaje matemaacutetico valorizando la formalizacioacuten de sus contenidos matemaacuteticos en
detrimento de sus conexiones con el cotidiano y otras aacutereas del conocimiento
Las dimensiones social y cultural de la etnomodelacioacuten son importante para proporcionar
reflexiones criacuteticas sobre el papel de la elaboracioacuten de modelos para la resolucioacuten de
situaciones problemas que aquejan las comunidades globales y locales Estos modelos son
representaciones de sistemas de conocimientos matemaacuteticos que ayudan a los miembros de
grupos culturales distintos en el entendimiento y en la apropiacioacuten de la realidad mediante el
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uso de pequentildeas unidades de informacioacuten denominadas etnomodelos que vinculan el
patrimonio cultural de estos miembros con la evolucioacuten de procedimientos y praacutecticas
matemaacuteticas que son desarrolladas en su propio contexto cultural (Rosa y Orey 2017a)
Asiacute la investigacioacuten sobre estas dimensiones ha definindo sus objetivos por medio del
establecimiento de la naturaleza y potencialidad de sus meacutetodos de pesquisa e investigacioacuten
En estas dimensiones la combinacioacuten de la teoriacutea y la praacutectica auxilia a los alumnos en el
entendimiento de los sistemas retirados de la realidad para adquirir las herramientas
necesarias para que puedan ejercer la ciudadaniacutea y participar activamente de la sociedad y de
sus comunidades Por consiguiente Rosa y Orey (2017b) argumentan que los principales
objetivos de estas dimensiones son
Proporcionar a los estudiantes las herramientas educativas necesarias para que como
ciudadanos en formacioacuten sean capaces de actuar modificar cambiar y transformar la propia
realidad
Iniciar el aprendizaje en matemaacuteticas a partir del contexto sociocultural de los alumnos
proporcionaacutendoles el desarrollo del raciocinio loacutegico y de la creatividad
Facilitar el aprendizaje de ideas procedimientos conceptos y praacutecticas que ayuden a los
alumnos a desarrollar el conocimiento matemaacutetico para que puedan comprender los
contextos social econoacutemico poliacutetico ambiental histoacuterico y cultural en los cuales estaacuten
inseridos
La aplicacioacuten de las dimensiones social y cultural de la etnomodelacioacuten se basa en la
comprensioacuten y el entendimiento de la realidad en la que los estudiantes se colocan a traveacutes
de la reflexioacuten el anaacutelisis y la accioacuten criacutetica sobre esa realidad Por ejemplo cuando
prestamos de la realidad los sistemas que existen dentro de ella los alumnos comienzan a
estudiarlos simboacutelica sistemaacutetica analiacutetica y criacuteticamente En ese caso partiendo de una
determinada situacioacuten problema los alumnos pueden elaborar hipoacutetesis probarlas
corregirlas hacer inferencias generalizar analizar concluir y tomar decisiones sobre el
objeto de estudio que estaacuten relacionados con las actividades realizadas en sus vidas diarias
(DrsquoAmbrosio 1990)
Todaviacutea para que se produzca el conocimiento matemaacutetico es importante que la
etnomodelacioacuten sea concebida como un entorno de aprendizaje en el que los estudiantes
investiguen situaciones provenientes de la realidad y de sus comunidades locales En ese
entorno se destaca la importancia de incluir las situaciones provenientes del cotidiano y de
otras aacutereas del conocimiento Eso permite a los alumnos intervenir en la propia realidad con
la obtencioacuten de una representacioacuten social y cultural del conocimiento matemaacutetico que estaacute
relacionado con la situacioacuten estudiada por medio de debates criacuteticos y reflexivos en la
elaboracioacuten y comprensioacuten de los etnomodelos
2 Las etnomatematicas y la modelacion
Las etnomatemaacuteticas ofrecen una visioacuten maacutes amplia del conocimiento matemaacutetico pues
abarca las ideas nociones procedimientos procesos meacutetodos y praacutecticas arraigadas en
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entornos culturales distintos Para Rosa y Orey (2017a) es importante el desarrollo de la
reflexioacuten criacutetica sobre las dimensiones sociales culturales ambientales econoacutemicas y
poliacuteticas de las matemaacuteticas en una sociedad dinaacutemica y globalizada
La propuesta del programa etnomatemaacuteticas es hacer de las matemaacuteticas algo vivo que
trabaje con situaciones reales en el tiempo y en el espacio por medio de anaacutelisis
cuestionamientos y criacuteticas sobre los fenoacutemenos presentes en la vida diaria (DrsquoAmbrosio
1990) La aplicacioacuten de las teacutecnicas etnomatemaacuteticas y las de herramientas de la modelacioacuten
nos permiten examinar sistemas tomados de la realidad y nos dan una idea de las variadas
formas de hacer matemaacuteticas de una manera holiacutestica (Bassanezi 2002)
En ese contexto Rosa y Orey (2017a) destacan que las etnomatemaacuteticas se relacionan con el
estudio de las ideas y procedimientos matemaacuteticos que consideran el contexto cultural en el
cual las nociones y praacutecticas matemaacuteticas emergen a traveacutes de la matematizacioacuten de praacutecticas
matemaacuteticas locales La matematizacioacuten estaacute relacionada con los sistemas de conocimiento
que estaacuten relacionados con la cotidianeidad de los miembros de cada grupo cultural y que
pueden ser matematizados y traducidos al lenguaje de las matemaacuteticas escolares y
acadeacutemicas
La utilizacioacuten de la matematizacioacuten que estaacute presente en la cotidianeidad de los miembros de
grupos culturales distintos tiene por objetivo la ampliacioacuten y el perfeccionamiento del
conocimiento matemaacutetico pues conduce al fortalecimiento de su identidad cultural La
modelacioacuten es una de las posibles estrategias que posibilitan la aproximacioacuten y la relacioacuten
entre los saberes y haceres entre sistemas matemaacuteticos distintos
Para Rosa y Orey (2003) la modelacioacuten puede ser percibida como un conjunto de
representaciones de la realidad que son generadas viacutea inferencias con la utilizacioacuten de
representaciones mentales que permiten valorar y respetar el conocimiento etnomatemaacutetico
presentes en situaciones cotidianas Este enfoque contextualiza el conocimiento matemaacutetico
desarrollado localmente ya que estudia los fenoacutemenos matemaacuteticos que se dan en diversos
contextos culturales (globales)
Asiacute el conocimiento matemaacutetico puede ser entendido como resultante de oriacutegenes locales
(eacutemicas) maacutes que globales (eacuteticas) que permiten la proposicioacuten de actos de traduccioacuten entre
esas dos perspectivas (Eglash et al 2006) Este enfoque parece ser razonable ya que las
etnomatemaacuteticas a menudo hace uso de la modelacioacuten a fin de establecer relaciones entre los
marcos conceptuales locales y los conocimientos matemaacuteticos incluido en los disentildeos
globales
De ese modo las ideas procedimientos y praacutecticas matemaacuteticas incluyen los principios
geomeacutetricos en trabajo artesanal conceptos arquitectoacutenicos y praacutecticas son encontradas en
actividades y artefactos de culturas locales y globales que pueden ser traducidas entre
sistemas de conocimientos matemaacuteticos distintos Consecuentemente este conocimiento estaacute
relacionado con una postura glocal desde una visioacuten pluricultural por medio del dinamismo
cultural entre los miembros de grupos culturales distintos
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3 Etnomodelacioacuten
Es importante la buacutesqueda de enfoques metodoloacutegicos y pedagoacutegicos alternativos para
registrar formas histoacutericas de ideas y procedimientos matemaacuteticos locales que se dan en
diferentes contextos culturales porque las praacutecticas matemaacuteticas occidentales son aceptadas
a nivel mundial sin discusiones y coacutemo verdades uacutenicas Asiacute el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico local debe ser documentado como parte del estudio del progreso cientiacutefico de las
id praacutecticas matemaacuteticas efectuadas por los miembros de grupos culturales distintos
Seguacuten Rosa y Orey (2017b) una opcioacuten de enfoque alternativo es la etnomodelacioacuten que
agrega las perspectivas culturales a los conceptos de la modelacioacuten Estos conceptos estaacuten
relacionados con la medicioacuten el caacutelculo los juegos la adivinacioacuten la navegacioacuten la
astronomiacutea la modelacioacuten y en una amplia variedad de otros procedimientos matemaacuteticos
asiacute como como en artefactos culturales Este enfoque representa un proceso de traduccioacuten y
elaboracioacuten de los problemas y preguntas tomados de los fenoacutemenos diarios y tambieacuten de la
vida cotidiana
Por ejemplo Orey y Rosa (2017b) afirman que es esencial mostrar que la Etnomodelacioacuten
incluye ideas nociones procedimientos teacutecnicas estrategias perspectivas y praacutecticas
matemaacuteticas desarrolladas por miembros en culturas distintas y que son manifestadas y
transmitidas de diversos modos La etnomodelacioacuten ofrece a los investigadores y educadores
un marco importante para transformar las matemaacuteticas en un conocimiento activo y
contextualizado a traveacutes de la perspectiva cultural de la modelacioacuten
Este contexto posibilitoacute el desarrollo de una comprensioacuten de la etnomodelacioacuten como la
traduccioacuten de los procedimientos matemaacuteticos locales y de las praacutecticas matemaacuteticas En ese
sentido la traduccioacuten puede ser considerada como la descripcioacuten de los procesos de
modelacioacuten de sistemas locales (culturales) los cuales pueden tener una representacioacuten en
otros sistemas alternativos del conocimiento matemaacutetico Entonces la etnomodelacioacuten se
configura como un elemento esencial en el aacutembito de la antropologiacutea cultural las
etnomatemaacuteticas y la modelacioacuten matemaacutetica La figura 1 muestra la interseccioacuten entre estos
tres campos de estudio
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Figura 1
Etnomodelacioacuten como la interseccioacuten entre tres campos de conocimiento
Nota Recuperado de Rosa y Orey (2012)
De acuerdo con Rosa y Orey (2017b) es importante observar que la traduccioacuten es
considerada como la descripcioacuten de los procesos de modelacioacuten de sistemas locales
(culturales) pueden tener una representacioacuten matemaacutetica en la cultura occidental y viceversa
a traveacutes de la Etnomodelacioacuten por medio de tres tipos de visiones culturales del conocimiento
matemaacutetico local (eacutemico) global (eacutetico) y glocal (dialoacutegico)
a) Conocimiento Matemaacutetico Local (Eacutemico)
El conocimiento matemaacutetico eacutemico estaacute relacionado con los saberes y haceres provenientes
de los miembros del propio grupo cultural pues se origina desde dentro de la cultura em una
visioacuten interior de acuerdo con una postura intracultural (Rosa y Orey (2017b) Por ejemplo
la interculturalidad promueve la recuperacioacuten fortalecimiento desarrollo y cohesioacuten al
interior de las culturas locales para la consolidacioacuten de una sociedad pluricultural basada en
la equidad solidaridad complementariedad reciprocidad y justicia social Asiacute el curriacuteculo
escolar debe incorporar los saberes y conocimientos de las cosmovisiones de los grupos
culturales locales en sus praacutecticas educativas (Saaresranta 2011)
El anaacutelisis del conocimiento interno es eacutemico si las ideias procedimientos y praacutecticas
matemaacuteticas son exclusivas de culturas que tienen sus raiacuteces en las diversas formas en que
las actividades diarias se llevan a cabo en un entorno cultural especiacutefico Este conocimiento
estaacute de acuerdo con las percepciones e interpretaciones consideradas apropiadas por tales
culturas desde dentro Estaacute relacionado con las cuentas descripciones y anaacutelisis expresados
en teacuterminos de las categoriacuteas y esquemas conceptuales que son considerados significativos y
apropiados por los miembros de grupos culturales distintos (Rosa y Orey 2012)
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La validacioacuten de este conocimiento trae consigo una cuestioacuten de consenso de la poblacioacuten
local que debe estar de acuerdo con que sus constructos coincidan con las percepciones
compartidas que retratan las caracteriacutesticas de su cultura (Rosa y Orey 2017b) El
conocimiento matemaacutetico eacutemico se orienta de nosotros hacia nosotros con la perspectiva de
los nativos que es una visioacuten desde dentro interior y local
b) Conocimiento Matemaacutetico Global (Eacutetico)
El conocimiento matemaacutetico eacutetico estaacute relacionado con los saberes y quehaceres
provenientes de los observadores externos a la cultura que se originan desde fuera del grupo
cultural en una visioacuten exterior sobre sus miembros en una postura intercultural (Rosa y Orey
2017b) La interculturalidad promueve el desarrollo de la interrelacioacuten e interaccioacuten de
conocimientos saberes ciencia y tecnologiacutea propios de cada cultura con otras culturas que
fortalece la identidad propia y la interaccioacuten en igualdad de condiciones entre todas las
culturas locales con los grupos culturales globales (Saaresranta 2011)
En el curriacuteculo del sistema educativo se promueven las praacutecticas de interaccioacuten entre
diferentes culturas desarrollando actitudes de valoracioacuten convivencia y diaacutelogo entre
distintas visiones del mundo para proyectar y universalizar la sabiduriacutea propia y local
(Saaresranta 2011) Asiacute las ideas y procedimientos matemaacuteticos son eacuteticos si pueden ser
comparados entre culturas a traveacutes del uso de definiciones y meacutetricas comunes Este
conocimiento se relaciona con las cuentas descripciones y anaacutelisis de los procedimientos y
praacutecticas matemaacuteticas expresadas en teacuterminos de las categoriacuteas consideradas apropiadas por
observadores externos (Rosa y Orey 2012)
El conocimiento matemaacutetico eacutetico es preciso loacutegico replicable e independiente de los
observadores externos y su validacioacuten es una cuestioacuten de anaacutelisis loacutegico y empiacuterico en
particular de que la construccioacuten de ese conocimiento cumple con los estaacutendares de
integralidad y consistencia loacutegica (Rosa y Orey 2017b) El conocimiento eacutetico se orienta de
ellos (investigadores y educadores) hacia nosotros con una perspectiva de los observadores
externos que es una visioacuten desde fuera exterior y global
c) Conocimiento Matemaacutetico Global (Dialoacutegico)
Este conocimiento presenta un dinamismo cultural entre los conocimientos matemaacuteticos
eacutemico y eacutetico que estaacute representado por los encuentros entre dos o maacutes culturas diversas en
las aulas Asiacute el conocimiento matemaacutetico de los miembros de grupos culturales distintos se
combina con el sistema de conocimiento matemaacutetico occidental que resulta en una
perspectiva dialoacutegica en Educacioacuten Matemaacutetica Este conocimiento incluye el
reconocimiento de otras epistemologiacuteas y de la naturaleza holiacutestica e integrada del
conocimiento matemaacutetico de los miembros de diversos grupos que se encuentran en
contextos culturales distintos (Rosa y Orey 2017b)
Este enfoque puede garantizar el desarrollo de la comprensioacuten de las diferentes maneras de
hacer las matemaacuteticas mediante diaacutelogo y respeto mutuos entre los enfoques globales y
locales a traveacutes de la glocalizacioacuten que puede enriquecer las temaacuteticas novedosas para los
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estudiantes y les muestra como las aplicaciones matemaacuteticas pueden encontrarse en muchas
aacutereas de la ciencia de los negocios de la vida cotidiana y en las diversas praacutecticas culturales
(Rosa y Orey 2017a)
En ese sentido la glocalizacioacuten (global+local) es un abordaje dialoacutegico que considera la
interaccioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos locales (desde dentroeacutemicosinsiders) y
globales (desde fueraeacuteticosoutsiders) Este enfoque tambieacuten estaacute relacionado con la
aceleracioacuten e intensificacioacuten de la interaccioacuten e integracioacuten entre los miembros de grupos
culturales distintos que componen la sociedad (Rosa y Orey 2017b)
De acuerdo con ese contexto es necesario ampliar la discusioacuten de las posibilidades para la
inclusioacuten de las perspectivas de la Etnomodelacioacuten que valoran y den voz a la diversidad
social y cultural de los miembros de grupos culturales distintos y de este modo desarrollar
una comprensioacuten de sus diferencias a traveacutes del diaacutelogo y el respeto Consecuentemente las
poliacuteticas educativas reclaman que en el trabajo pedagoacutegico en las instituciones educativas
sean incluidos los artefactos mentefactos y sociofactos que son indicadores descriptivos de
las culturas para enriquecer la diversidad del conocimiento matemaacutetico de los miembros de
grupos culturales distintos
4 Indicadores Descriptivos Culturales
De acuerdo con Huxley (1955) bioacutelogo ingleacutes y primer director de la UNESCO acuntildeoacute el
concepto de mentefactos para expresar los sistemas abstractos de creencias valores e ideas
que se manejan en las culturas De acuerdo con eacutel consideramos que hay tres indicadores
descriptivos que son componentes esenciales de todas las culturas artefactos mentefactos y
sociofactos elementos que forman parte del patrimonio cultural y que se han organizado
histoacutericamente por la humanidad
a) Artefactos
Los artefactos son objetos culturales que proporcionan las herramientas materiales
necesarias para el desarrollo de vestimentas abrigos defensas y transportes
Consecuentemente estos artefactos auxilian a los miembros de grupos culturales distintos en
la resolucioacuten de los problemas diarios con la utilizacioacuten de teacutecnicas y estrategias
matemaacuteticas (Rosa y Orey 2017a) Los artefactos son considerados como herramientas
aparatos e instrumentos de observacioacuten Los artefactos son confeccionados con el empleo
del conocimiento matemaacutetico local a traveacutes del uso de materiales distintos desarrollados en
contextos diversos (DrsquoAmbrosio 2001)
Los artefactos pueden ser considerados como mercanciacuteas culturales que incluyen la
tecnologiacutea material desarrollada por los miembros de un grupo cultural que satisfacen sus
necesidades baacutesicas de alimento cobijo transporte y similares (DrsquoAmbrosio 2001)
Consecuentemente los artefactos tambieacuten estaacuten relacionados con las manifestaciones
teacutecnicas y materiales de una determinada cultura como por ejemplo los sistemas de
tratamiento de la tierra las herramientas utilizadas y la organizacioacuten de la produccioacuten
agriacutecola
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b) Mentefactos
Los mentefactos son las ideas los valores y creencias compartidos de generacioacuten en
generacioacuten como por ejemplo la religioacuten la lengua las leyes y los puntos de vista Estos
indicadores son los elementos centrales y maacutes duraderos de las culturas pues incluyen lo
miacutetico los mitos las tradiciones artiacutesticas y el folclore (Huxley 1955) El lenguaje
matemaacutetico y cientiacutefico los conocimientos desarrollados y difundidos por los miembros de
grupos culturales distintos tambieacuten son considerados mentefactos
Para Rosa y Orey (2017b) los mentefactos se relacionan con las nociones de geacutenero
valores ideales cultura libertad creencias democracia religioacuten colectivismo
individualismo derechos y deberes sociales y tambieacuten informan a los miembros de grupos
culturales distintos para que se organicen de acuerdo con su propio sistema de explicaciones
cientiacuteficas y matemaacuteticas creencias y tradiciones pues se relacionan con la capacidad
humana de pensar y formular ideas y conforman los ideales y las imaacutegenes por los que se
miden otros aspectos culturales
De acuerdo con DrsquoAmbrosio (2001) los mentefactos son los sistemas de
conocimiento que se expresan en formas diversas de comunicacioacuten que componen la base
del proceso de socializacioacuten de esos miembros Los conceptos y las teoriacuteas que componen
los mentefactos se denominan instrumentos de anaacutelisis
c) Sociofactos
Los sociofactos son las estructuras y organizaciones de una determinada cultura que
influencian el comportamiento social y el desarrollo de saberes y haceres cientiacuteficos y
matemaacuteticos de sus miembros y que incluyen aspectos de las culturas que se relacionan con
viacutenculos entre individuos y grupos (Rosa y Orey 2017b) Asiacute estas estructuras son
consideradas como las interacciones entre las personas la estructura de las instituciones las
normas sociales las instituciones gubernamentales la estructura de la educacioacuten y las
instituciones poliacuteticas
Por consiguiente para Huxley (1955) los sociofactos incluyen la convivencia en las
familias en los gobiernos en los sistemas educativos en las organizaciones deportivas en
los grupos religiosos y en cualquier otra agrupacioacuten destinada a desarrollar actividades
socioculturales especiacuteficas pues son los aspectos relacionados con la organizacioacuten social
con los viacutenculos entre los individuos y los grupos sociales como por ejemplo las estructuras
familiares los parentescos los comportamientos reproductivos y sexuales
Para DrsquoAmbrosio (2001) los sociofactos incluyen sistemas poliacuteticos y educativos
porque son los patrones esperados y aceptados por las relaciones interpersonales que estaacuten
relacionadas con los aspectos econoacutemico poliacutetico militar y religioso En ese contexto Rosa
(2010) sostiene que estos indicadores descriptivos culturales estaacuten presentes en la vida
cotidiana de los miembros de grupos culturales distintos ayudaacutendolos a ampliar y el
perfeccionar sus conocimientos matemaacuteticos porque proponen el fortalecimiento de sus
identidades culturales
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71
Para Rosa y Orey (2017a) esta perspectiva proporciona el equilibrio necesario al curriacuteculo
escolar pues al insertar estos componentes en el curriacuteculo matemaacutetico concebimos la
etnomodelacioacuten como un programa que estaacute basado en un paradigma que busca la
humanizacioacuten de las matemaacuteticas por medio de un abordaje filosoacutefico y contextualizado del
curriacuteculo matemaacutetico
5 Consideraciones Finales
Es importante buscar enfoques metodoloacutegicos alternativos mientras las praacutecticas
matemaacuteticas occidentales sean aceptadas a nivel mundial para registrar formas histoacutericas de
ideas y procedimientos matemaacuteticos que se dan en diferentes contextos culturales Un
enfoque pedagoacutegico alternativo es el de la Etnomodelacioacuten que agrega la perspectiva cultural
a los conceptos de la modelacioacuten matemaacutetica (Rosa y Orey 2010)
Es esencial mostrar que la etnomodelacioacuten incluye ideas perspectivas y praacutecticas
matemaacuteticas de individuos en diferentes culturas y que estas ideas son manifestadas y
transmitidas de diversos modos Asiacute el desarrollo de la etnomodelacioacuten debe ser
documentado como parte del estudio del progreso cientiacutefico de las ideas y las praacutecticas
matemaacuteticas efectuadas por los miembros de grupos culturales distintos La Etnomodelacioacuten
ofrece a los educadores un marco importante para transformar las matemaacuteticas en un
conocimiento maacutes activo para contribuir en la realizacioacuten de una sociedad maacutes humana y
justa El objetivo principal de la etnomodelacioacuten es desarrollar una herramienta poderosa
para ayudar a los miembros de grupos culturales distintos a crear una sociedad definida por
la dignidad para todos y donde iniquidad arrogancia violencia e intolerancia no tengan lugar
Es necesario ampliar la discusioacuten de las posibilidades pedagoacutegicas para poder incluir una
perspectiva cultural de las matemaacuteticas que respete la diversidad social de los miembros de
distintos grupos culturales distintos Un enfoque que garantice el desarrollo de la
comprensioacuten de las diferentes maneras de hacer las matemaacuteticas mediante diaacutelogo y respeto
mutuos entre los enfoques locales y globales a traveacutes de la glocalizacioacuten En este contexto
es necesario mostrar a los estudiantes que pertenecen a culturas con baja representacioacuten social
la contribucioacuten que dan al desarrollo del pensamiento matemaacutetico Ensentildear a los estudiantes
que pertenecen a culturas mayoritarias diferentes grupos culturales promovieacutendoles el
respeto por la diversidad y contribuyendo a la educacioacuten glocal (Rosa y Orey 2017a)
Por ejemplo la glocalizacioacuten (global+local) enriquece las temaacuteticas novedosas para los
estudiantes y les muestra como las aplicaciones matemaacuteticas pueden encontrarse en muchas
aacutereas de la ciencia de los negocios de la vida cotidiana y en las diversas praacutecticas culturales
En ese sentido Rosa y Orey (2017b) afirman que la glocalizacioacuten es un abordaje dialoacutegico
que considera la interaccioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos locales (desde
dentroeacutemicosinsiders) y globales (desde fueraeacuteticosoutsiders) Este enfoque tambieacuten estaacute
relacionado con la aceleracioacuten e intensificacioacuten de la interaccioacuten e integracioacuten entre los
miembros de grupos culturales distintos que componen la sociedad El trabajo pedagoacutegico
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asiacute orientado permite un anaacutelisis maacutes amplio del contexto escolar pues las praacutecticas
pedagoacutegicas trascienden el espacio fiacutesico y pasan a acoger los saberes y haceres presentes
en todo el contexto sociocultural de los alumnos
Para terminar la aplicacioacuten de la etnomodelacioacuten nos brinda la oportunidad de examinar los
sistemas de conocimientos locales (eacutemicos) y globales (eacuteticos) para tener una idea de las
formas de las matemaacuteticas utilizadas en diversos contextos y grupos culturales De ese modo
la perspectiva global (eacutetica) juega un papel importante en la investigacioacuten en la
etnomodelacioacuten sin embargo la perspectiva local (eacutemica) debe tenerse en cuenta tambieacuten
en el desarrollo de este proceso Asiacute el conocimiento matemaacutetico de los miembros de grupos
culturales distintos que se combina con otros sistemas de conocimientos matemaacuteticos
resulta en una perspectiva dialoacutegica en la Educacioacuten Matemaacutetica a traveacutes del dinamismo
cultural
Referencias bibliograacuteficas
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originario campesino Tinkazos 14(30) 127-143
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Herramientas 20 ldquoAlgunas opciones para sumar a
nuestras clasesrdquo
PhD Carlos L Chanto Espinoza
Universidad Nacional de Costa Rica
carloschantoespinozaunacr
Msc Marlene Duraacuten Loacutepez
Universidad Nacional de Costa Rica
marleneduranlopezunacr
Resumen Cada vez maacutes docentes estaacuten utilizando herramientas como blogs wikis y podcasts
como nueva forma de ensentildear De ahiacute la importancia de la exposicioacuten que busca incitar la
innovacioacuten y la participacioacuten capacitar y motivar a sus copartiacutecipes e instaurar una diferencia
en su proceso de ensentildeanza y aprendizaje La implementacioacuten de las TIC supone un cambio en
las metodologiacuteas que se han implementado hace muchos antildeos donde la relacioacuten entre el profesor
y el educando es vertical el primero estaacute a cargo del conocimiento y por el cual auacuten hay
profesionales que no quieren abandonar esta posicioacuten en cambio las TIC permiten la
participacioacuten del alumno dando como resultado un ambiente maacutes interactivo Los profesores son clave en la implementacioacuten de las TIC son los responsables de desarrollar
diferentes estrategias que sean atractivas y motivantes para sus alumnos estos uacuteltimos por su
parte reconocen el uso de las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten como una herramienta
educativa y no como una forma en la cual puedan distraerse
Tambieacuten con el establecimiento de estas metodologiacuteas supone una gran ventaja porque desarrolla
nuevas habilidades nuevos escenarios por conocer que representan un reto ademaacutes de que el
estudiante esteacute preparado para cuando inicie su etapa laboral donde todos esos aprendizajes se
ponen en praacutectica y se verifica la calidad del proceso educativo
Palabras clave Herramientas Conocimiento TIC Desafiacuteos Educacioacuten Brecha digital
1 Introduccioacuten
Vivimos en una epoca en donde la utilizacioacuten de las Tecnologiacuteas de Informacioacuten y
Comunicacioacuten denomidas TIC estan creciendo de tal forma que van cambiando el mundo
que conocemos Hoy en diacutea es normal ver que algunos procesos que antes requeriacutean de largas
filas y visitas a oficinas se reducen a unos cuantos clics y una coneccioacuten a intenet
Esta revolucioacuten de la era digital no se ha quedado exenta al sector educativo ya que cada vez
es mas comuacuten ver que muchos centros de educacioacuten opten por dar cursos virtuales en casi un
100 por ciento en su modalidad de aprendizage
La educacioacuten a distancia es por su naturaleza una de las pricipales candidatas al cambio de
la digitalizacion de la educacion y esto se evidencia en las universidades que brindan
servicios a distacia por medio de multiples herramientas digitales y plataformas educativas
Este paradigma rompe con el esquema tradicional de educacioacuten y aprendizaje en donde los
alumnos tienen que trasladarse desde lugares remotos a centros universitarios para recibir
clases ya que las plataformas virtuales educativas brindan toda una gama de herramientas
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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que les permiten tanto a formadores como educandos llevar a cabo el proceso de aprendizaje
de una manera dinaacutemica e interactiva
Una de las primordiales caracteristicas de la educacion virtual o a distancia es su capacidad
para cubrir una demanda mucho mayor de educandos que si se llevara de manera precencial
Ya que con ayuda de las TIC tienen capacidad de llenar aulas virtules con grandes
capacidades de alumnos en comparacioacuten con las aulas fiacutesicas
2 El marco de las TIC en el saloacuten de clases
En la actualidad el mercado laboral estaacute cada diacutea maacutes exigente en la preparacioacuten acadeacutemica
de las personas esto debido a las diferentes exigencias de las empresas las cuales solicitan
muacuteltiples habilidades blandas sumadas los diferentes teacutecnicos grados universitarios sin
mencionar el manejo de alguna segunda lengua
La falta de empleo a raiacutez de la poca preparacioacuten de la poblacioacuten hace que las personas
busquen diferentes meacutetodos de estudios que los certifiquen en sus distintas aacutereas para tener
un respaldo ante un extenso mercado laboral Es aquiacute donde las TIC han ido evolucionando
junto con la docencia ofreciendo herramientas para mejorar la captacioacuten de la informacioacuten
brindando material didaacutectico maacutes dinaacutemico y efectivo e interactivo
Seguacuten Hernaacutendez (2011) ldquohellip las TIC hacen referencia Al conjunto de recursos necesarios
para tratar informacioacuten procesada por los ordenadores y dispositivos electroacutenicos
aplicaciones informaacuteticas y redes necesarias para convertirla almacenarla administrarla y
transmitirlardquo (paacuterr3)
Al analizar el concepto anteriormente citado podemos asumir que las tecnologiacuteas de
informacioacuten abarcan desde simples tareas domeacutesticas hasta los maacutes complejos sistemas
informaacuteticos La importancia que conllevan las TIC para las micro y gigantes empresas es
significativa por la versatilidad y utilidad que este tipo de tecnologiacuteas les brinda en pro de un
mejor rendimiento y eficiencia de estas
Las tecnologiacuteas de informacioacuten les ofrecen a los estudiantes una amplia gama de recursos
que son actualizados de manera constante que pueden ser utilizados y aplicados a su
desarrollo acadeacutemico conlleva muchos beneficios como obtener o acceder a informacioacuten
amplia y variada de cualquier tema en especiacutefico en cualquier lugar en que se encuentre el
estudiante sin limitaciones geograacuteficas o de tiempo asiacute lo menciona Almenara (2007) ldquohellip
uno de los efectos maacutes importantes y significativos de las TIC en al aacutembito educativo es la
posibilidad que nos ofrecen para flexibilizar el tiempo y el espacio en que se desarrolla la
accioacuten educativardquo (p 15)
En los uacuteltimos antildeos la tecnologiacutea ha evolucionado alcanzando niveles muy altos en la
utilizacioacuten de las TIC en las universidades El conversar sobre docencia y la incorporacioacuten
de las TIC al marco de la ejecucioacuten de ensentildeanza aprendizaje No existe incertidumbre de
que las tecnologiacuteas estaacuten transformado de manera fundamental nuestra forma de vivir
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La educacioacuten como tal estaacute compuesta de distintos factores el docente encargado de impartir
la materia y la ensentildeanza los recursos teoacutericos y didaacutecticos y el medio para evaluar el
aprendizaje Seguacuten lo establece el Programa de produccioacuten Multimedia (2016) ldquoSe debe
aprovechar todo el potencial que ofrecen las tecnologiacuteas para asiacute establecer y fortalecer
comunidades o redes virtuales de aprendizaje donde el profesor y el estudiante interactuacuteenrdquo
(paacuterr7)
Seguacuten lo establecen Vlasova et al (2019) ldquoPodemos definir parte del concepto de la
tecnologiacutea en la educacioacuten como desarrollo de nuevos programas de disciplinas educativas
basados en la ciencia enfocados en la capacitacioacuten especiacutefica de los profesores para utilizar
tecnologiacuteas y meacutetodos como lo son las plataformas virtuales en sus actividades profesionales
y justificar la efectividad de los programasrdquo (p 1)
En contraste la incorporacioacuten de las TIC en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje es flexible
y se adaptan a las formas de aprender de los diferentes estudiantes Tal y como lo define Rose
(2016) desde la pantalla de una computadora uacutenicamente de texto de la manera tradicional
hasta sistemas en donde el aprendizaje se haga por colores formas o sonidos Herramientas
como tutores inteligentes soporte visual ayuda para aprendizaje colaborativos entre muchas
otras herramientas que avanzan cada diacutea respondiendo cada vez maacutes a las necesidades y
respuestas humanas
Tambieacuten contribuye a la inclusioacuten de diferentes grupos sociales que antes eran excluidos de
los procesos educativos por falta de material o herramientas que se adaptaran a las
necesidades especiacuteficas de esas personas Asiacute lo menciona Rodriacuteguez (2019) ldquoAhora las
nuevas tecnologiacuteas han hecho su arribo a los ambientes educativos de diferentes maneras ya
sea como contenidos educativos objetos de aprendizaje plataformas infraestructura o
auxiliaresrdquo
De manera que las TIC esbozan transformaciones en la educacioacuten virtual enmarcadas en el
campo de las telecomunicaciones y la informaacutetica provocando permutas en las sociedades
en relacioacuten con la manera de trabajo las formas de interaccioacuten y comunicacioacuten de muacuteltiples
sectores sociales y la manera de consentir a la informacioacuten en un mundo global
De modo que un intento de virtualizacioacuten el uso de la plataforma las conferencias por
dispositivo electroacutenico entre muacuteltiples herramientas donde fueron expliacutecitamente creadas
para proporcionar que se intercambie el conocimiento entre los colaboradores minimizar el
sentimiento de reducir el espacio la inseguridad y soledad cuando se estudia
3 Educacioacuten y su relacioacuten con las TIC
Los beneficios de las TIC como columna para desplegar aacutereas de aprendizajes muestran que
la mayoriacutea de los sistemas que sobrellevan las redes de conocimiento son asentadas en textos
Praacutecticamente toda la educacioacuten estaacute edificada sobre trabajos escritos libros de textos y
precisamente las redes de comunicacioacuten mediante computadoras encajan los textos
interactivos que consienten edificar el conocimiento
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77
Otro de los puntos positivos que tiene la implementacioacuten TIC en el proceso de ensentildeanza ndash
aprendizaje es la apertura a la accesibilidad de esta Actualmente existen muchos programas
educativos que son impartidos mediante lecciones virtuales esto es un gran beneficio ya que
existen muchas personas que por diferentes motivos no les es posible asistir a lecciones
presenciales
Hace algunos antildeos la utilizacioacuten de las TIC en la docencia no era tan significativo las clases
eran presenciales los trabajos tareas y proyectos se entregaban de forma fiacutesica algunos
incluso escritos a mano pero con el pasar de los antildeos cada vez se fue desarrollando esta
innovacioacuten hasta tal punto que es posible recibir una educacioacuten en forma virtual por medio
de computadores y acceso a una red de internet en donde las personas pueden participar en
videoconferencias en foros hacer video llamadas compartir informacioacuten realizar tareas y
exaacutemenes en liacutenea
Esta modalidad vino a facilitar muacuteltiples procesos a muchas personas que por diversas
razones no pueden asistir de forma presencial a recibir lecciones las TIC les permite lograr
sus objetivos de superacioacuten desde su hogar y a la vez desarrollando otras actividades como
asistir al trabajo o atender a sus familias
La tecnologiacutea le ha dado un gran giro a la educacioacuten puesto que ya no es suficiente las clases
tradicionales para mantener a los estudiantes atentos y deseosos de aprender algo nuevo cada
diacutea como se ha visto las nuevas tecnologiacuteas han abarcado muchos aacutembitos hoy diacutea es casi
imposible que una persona no esteacute involucrada de alguna manera con la tecnologiacutea Asiacute lo
establece Garciacutea (2017) ldquohellipel uso de la tecnologiacutea en el aula es una de esas cuestiones que
hace que sea faacutecil ser un maestrordquo (paacuterr1)
La utilizacioacuten de la tecnologiacutea en el aacuterea de la educacioacuten tiene como objetivo el aumento de
los procesos de ensentildeanza - aprendizaje al ser tecnologiacuteas modernas el docente y los
educandos pueden consentir a la informacioacuten a partir de cualquier lugar del mundo y a
cualquier hora lo uacutenico que se requiere es una conexioacuten a internet
Tal y como lo establece Lozano (2016) ldquohellip el mundo evoluciona y la educacioacuten tambieacuten el
modelo actual educativo- aprendizaje a traveacutes de libros y una pizarra con tizas ha finalizado
Hace varios antildeos que la tecnologiacutea entroacute con fuerza para mejorar la educacioacuten y ahora ya es
una parte vital de ellardquo (paacuterr1)
Al desarrollarse nuevos recursos didaacutecticos y tecnoloacutegicos lo que provoca es que el docente
este maacutes capacitado y preparado para utilizar estas nuevas herramientas y asiacute poder ofrecer
una mejor calidad en la educacioacuten y facilitar el aprendizaje de los estudiantes que ellos le
encuentren la motivacioacuten al aprender de manera participativa
4 La ensentildeanza con apoyo tecnoloacutegico no es moda
La educacioacuten con apoyo tecnoloacutegico es uno de los temas maacutes actuales y tratados durante
los uacuteltimos antildeos la educacioacuten a distancia se ha abierto un gran espacio dentro de la educacioacuten
general que se afirma en algunos medios de comunicacioacuten para formar un tipo de relacioacuten
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entre ambas partes el que ensentildea y el que aprende independientemente del lugar y tiempo de
cada uno
No obstante las universidades utilizan las TIC como apoyo la docencia aunque este proceso
educativo formal y no existiacutea ninguacuten apoyo por parte de ninguna identidad como ahora que
hay un gran apoyo con una buena base en tal educacioacuten que se apoya en la tecnologiacutea
En la mayoriacutea de los lugares donde se han implementado TIC con apoyo a la docencia ha
brindado un espacio para que todos los educandos puedan acomodar sus prioridades y
facilitar informacioacuten desde cualquier lugar y a cualquier hora que sea necesaria
La TIC deben hoy diacutea integrar la docencia y la sociedad de esta manera coopera con la
educacioacuten y trata de ofrecer un gran y valioso aporte materializando la idea de formar un
pueblo con un alta nivel acadeacutemico y amplio conocimiento educativo
Tal y como lo define Arguedas (2016) ldquoEl proceso de ensentildear y aprender ocurre con una
separacioacuten de espacio y de tiempo entre quienes ensentildean y los estudiantesrdquo (p82)
El papel que juega la tecnologiacutea en el aacutembito de la educacioacuten es el maacutes importante al facilitar
el aprendizaje mediante documentos virtuales que suministra informacioacuten importante y
requerida por el educando tambieacuten mediante la plataforma virtual que se encuentra en un
entorno estudiantiles facilitando tener acceso a la informacioacuten de los diferentes programas
Estas tendencias modernas de la educacioacuten con el apoyo de TIC estaacuten en constante
actualizacioacuten transformando el conocimiento de coacutemo emplear la tecnologiacutea para ser
eficientes y entender todo lo que se puede desarrollar con ellas
Con la evolucioacuten de las TIC en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se ha complementado
dando como resultado una mejor y maacutes amplia ensentildeanza a todas las personas El aprendizaje
es maacutes que memorizar paacuterrafos o textos es en siacute una transformacioacuten de lo leiacutedo a las
actividades de la vida cotidiana con la ayuda de la TIC
El uso de materiales didaacutecticos facilita el aprendizaje tales como multimedia videos
documentos y hasta audiolibros tales ayudan a reforzar la materia escrita en los libros y asiacute
complementa la lectura
El internet ya facilita las comunicaciones en muacuteltiples sectores del mundo se ha
transformado se en una herramienta impredecible hace muchos antildeos no se teniacutea clara la idea
de quera una computadora y ahora gracias al avance de las TIC se puede hasta realizar un
examen virtual desde la comodidad de la casa
Asiacute lo define Barrantes (2016) las nuevas tecnologiacuteas no solo cambiaraacuten los meacutetodos de
ensentildeanza sino tambieacuten la propia gestioacuten de las universidades
Estas tecnologiacuteas se deben efectuar con base a los objetivos que se quieren alcanzar y dar un
buen uso de ellas de manera controlada evitando las diferentes problemaacuteticas que se pueden
adquirir al exceder el uso y mal uso de estas
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5 Conclusiones
El desarrollo tecnoloacutegico propone transformaciones de muacuteltiples tipo la educacioacuten sin duda
alguacuten es una de las secciones maacutes capaces a dichos cambios Se demanda que este sumario
sea gobernado por investigacioacuten educativa y no simplemente innovacioacuten La investigacioacuten
educativa asegura que los meacutetodos y la tecnologiacutea posean efectos efectivos y estrictamente
se trate de transformar las herramientas para lograr nuevos resultados La predisposicioacuten
tecnoloacutegica en un futuro mediato fundaraacute que narremos con entornos de aprendizaje
informales y sociales las teacutecnicas de ensentildeanza-aprendizaje habituales que auacuten permanecen
tengan que desaparecer
Consiguientemente el nuevo papel del docente precisa no solo renovar sus conocimientos
sino vislumbrar y estar sumergido en la dinaacutemica comunicacional moderna no solo sabiendo
el funcionamiento de las modernas herramientas TIC sino coexistiendo como acto de parte
de estas Los sistemas inteligentes aferrados al sumario de ensentildeanza-aprendizaje que estaacuten
en progreso ha sido exitosa
Los modernos espacios virtuales fundados para estos cambios de preparacioacuten formacioacuten y
perfeccionamiento en que las personas edifican su propio conocimiento y utilizan diferentes
metodologiacuteas de aprendizaje que fortifican las destrezas de los educandos Se puede decir
que es significativo conocer las bases teoacutericas que sufre la educacioacuten con ayuda de las TIC
para concebir este modelo que desde hace antildeos se despliega a nivel mundial
Los medios de ensentildeanza constituyen un componente esencial del proceso ensentildeanza-
aprendizaje imaacutegenes o representaciones de objetos imitacioacuten los contenidos en todos los
programas las potenciar el conocimiento del educando Entendiendo que la modalidad de
Educacioacuten con apoyo de las TIC Si se quiere atenuar un trabajo colaborativo se debe valorar
cuaacutel herramienta brindariacutea un mayor beneficio en el aprendizaje de los educandos
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Las direcciones a la tica como un recurso para ensentildear
matemaacuteticas
Marcela Garciacutea Borboacuten
Universidad Nacional Costa Rica
marcelagarciaborbonunaaccr
Jesennia Chavarriacutea Vaacutesquez
Universidad Nacional Costa Rica
jchaunaaccr
Mariacutea Elena Gavarrete Villaverde
Universidad Nacional Costa Rica
mgavarreteunaaccr
Margot Martiacutenez Rodriacuteguez
Universidad Nacional Costa Rica
mmartiunaaccr
Resumen El proyecto Formacioacuten de docentes en la visioacuten sociocultural de las matemaacuteticas
formulado desde el 2015 disentildeoacute e impartioacute el curso Enculturacioacuten Matemaacutetica y Etnomatemaacutetica
en diversas zonas costeras limiacutetrofes indiacutegenas y rurales del paiacutes Se trata de un curso dirigido a
docentes de primaria que busca mostrar estrategias y recursos para abordar las clases de
matemaacutetica desde la visioacuten sociocultural al hacer del signo cultural el centro del planeamiento
De este modo el proyecto generoacute el modelo Etnomatemaacuteticas Glocalizadas para maestros
(ETGLOMA 2019) que busca continuar con los propoacutesitos del proyecto original
El taller ldquoLas direcciones a la tica como un recurso para ensentildear matemaacuteticasrdquo aborda el tema de
la ubicacioacuten espacial como parte del aacuterea de la Geometriacutea Ademaacutes vincula las habilidades
matemaacuteticas con algunas relacionadas con la Geografiacutea que se cubre en la materia de Estudios
Sociales como una sugerencia de incorporacioacuten de la contextualizacioacuten activa que demanda el
Ministerio de Educacioacuten en sus programas
Palabras clave Etnomatemaacuteticas formacioacuten de docentes contextualizacioacuten activa signo
cultural
1 Objetivos
Este taller tiene como objetivo general Analizar la orientacioacuten espacial utilizando las
direcciones a la tica para ofrecer estrategias metodoloacutegicas que aborden los contenidos de la
ubicacioacuten espacial en Educacioacuten Primaria
2 Fundamentacioacuten teoacuterica
El proyecto Formacioacuten de Docentes en la Visioacuten Sociocultural de la Matemaacutetica nace en
2015 en la Universidad Nacional como una forma de contribuir a las demandas
metodoloacutegicas que el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2012) establece en la formacioacuten de
docentes Su principal contribucioacuten es la incorporacioacuten de las etnomatemaacuteticas en la
educacioacuten al proponer el uso de los signos culturales en el planeamiento Ofrece una
respuesta a la necesidad de integrar el eje transversal de la contextualizacioacuten activa en la
educacioacuten como un elemento prioritario en el planeamiento Asiacute se favorece la comprensioacuten
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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de los saberes globales al vincularlos con los saberes locales al estimular el uso de modelos
basados en la realidad cercana
Por otro lado este taller aborda contenidos curriculares del Programa de Estudios Sociales
de primero segundo y tercer nivel (Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica 2013) al tomar en
cuenta los contenidos conceptuales de ubicacioacuten espacial orientacioacuten geograacutefica
elaboracioacuten e interpretacioacuten de croquis mapa escala y simbologiacutea
Para lograr el efectivo desarrollo de este taller se inicia con la definicioacuten de los conceptos
primarios En este sentido se concibe el signo cultural como un elemento de la cultura
material que representa la identidad de una regioacuten (Oliveras 1996) que se puede incorporar
en las matemaacuteticas escolares Se entiende Enculturacioacuten Matemaacutetica como el ldquoproceso de
interaccioacuten social desarrollado dentro de un marco de conocimientos determinado pero con
el objetivo de volver a crear y definir ese marcordquo (Bishop 1999 p 120) La Enculturacioacuten
Matemaacutetica ademaacutes de usar elementos de la cultura en el planteamiento de problemas
involucra un proceso de investigacioacuten sobre las matemaacuteticas que se han usado en el desarrollo
de ideas nociones procedimientos procesos meacutetodos y praacutecticas culturales arraigadas en
distintos ambientes
Bishop (1999) clasifica las matemaacuteticas desarrolladas por todas las culturas en alguna de las
seis actividades comunes contar medir localizar disentildear jugar y explicar En particular en
este taller nos centramos en las actividades de localizar y explicar
La actividad matemaacutetica de localizar se concibe como la necesidad de codificar y simbolizar
el entorno espacial al responder al reto de la exploracioacuten de la tierra y el mar con el fin de
conocer el propio terreno en la buacutesqueda de alimento (Bishop 1999) En este taller se
trabajaraacute con direcciones mapas y croquis que constituyen una representacioacuten simboacutelica del
espacio La actividad matemaacutetica de explicar se centra en abstracciones y formalizaciones
que buscan establecer relaciones entre los fenoacutemenos y la teoriacutea que los explica Se abordaraacute
a traveacutes del anaacutelisis de las relaciones entre los objetos del espacio con las direcciones mapas
y croquis asiacute como las transformaciones de que son objeto
Por otro lado la geometriacutea es la parte de la matemaacutetica escolar que se encarga de la
descripcioacuten y anaacutelisis de las formas y el espacio Asiacute el pensamiento espacial seguacuten Gallo
et al (2006) viene a ser el conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales se construyen
y manipulan las representaciones mentales del espacio
Sobre la localizacioacuten se entiende como la accioacuten de sentildealar en forma especiacutefica el lugar
doacutende se encuentran ciudades puertos paiacuteses accidentes geograacuteficos o cualquier otro
elemento Localizar de manera absoluta implica situar con precisioacuten un punto especiacutefico de
la superficie terrestre Localizar de forma relativa seriacutea maacutes bien usar los puntos cardinales
y distancias con respecto a otro lugar
Estimular el estudio de signos culturales en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las
Matemaacuteticas favorece la vinculacioacuten entre la matemaacutetica escolar con la matemaacutetica presente
en las praacutecticas cotidianas y asiacute motiva el aprendizaje gracias a que propicia un cambio en
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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el dominio afectivo al reconocer que la matemaacutetica es una actividad humana desarrollada
por cada cultura a partir de sus necesidades
3 Metodologiacutea de trabajo
El disentildeo metodoloacutegico del taller contempla el desarrollo de las actividades matemaacuteticas
localizar y explicar Se proponen diferentes actividades que abordan las direcciones a la tica
como un signo cultural de nuestro paiacutes
Este disentildeo sigue el mismo esquema que los otros talleres del curso de Enculturacioacuten
Matemaacutetica y Etnomatemaacutetica En un principio se indaga sobre el conocimiento previo con
el fin de activar los conocimientos matemaacuteticos que se requieren para el efectivo desarrollo
del taller En este caso se explora sobre la percepcioacuten entre los participantes relacionada con
la contextualizacioacuten activa asiacute como conocimientos previos sobre localizacioacuten en el espacio
pensamiento espacial distancia estimacioacuten y direccioacuten Ademaacutes se reflexiona con los
maestros sobre la existencia de elementos matemaacuteticos en la forma de dar direcciones en
Costa Rica a traveacutes del anaacutelisis de sus propias direcciones y las de sus compantildeeros en busca
de esos elementos De esta forma ademaacutes se examina la vinculacioacuten con otras aacutereas como
la Geografiacutea y los Estudios sociales
A continuacioacuten se solicita a los participantes que utilicen medios de localizacioacuten virtuales
como Google maps Waze u otro para verificar la precisioacuten de la estimacioacuten y direccioacuten que
se usoacute en la actividad anterior Esto con el fin de reflexionar sobre las capacidades humanas
referentes a determinar una medida a partir de los sentidos y como esta capacidad puede
influir en la representacioacuten del espacio en dos dimensiones
Luego se invita a los participantes a meditar y socializar por medio de una plataforma
virtual sobre los elementos matemaacuteticos (presentes en el Programa de Matemaacutetica) que
logran distinguir en las direcciones con el fin de que tras la experiencia anterior incorpore
nuevos elementos que tal vez no percibioacute la primera vez que los buscoacute por ejemplo sistemas
de referencia
En una segunda parte se busca que los participantes elaboren un croquis de su comunidad
(Figura 1) que puede ser basado en los mapas que antes usaron Esta actividad tiene el
propoacutesito de evidenciar que los puntos cardinales y puntos de referencia estaacuten vinculados con
la matemaacutetica escolar Tambieacuten explorar habilidades uacutetiles en aspectos como el disentildeo tanto
como una nueva reflexioacuten sobre otros elementos de la matemaacutetica escolar presentes en este
signo cultural
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Figura 1
Croquis de la comunidad
La siguiente actividad estaacute vinculada con una consideracioacuten sobre las posibilidades para
desplazarse de un lugar a otro y coacutemo se puede describir cada una de esas posibilidades
(Figura 2) Se pretende que los participantes piensen esta vez sobre las variaciones que se
presentan en cuanto a la direccioacuten distancia aacutengulos u otro de su desplazamiento
Figura 2
Posibilidades de desplazarse de un lugar a otro
Para finalizar se les pide que cambien el origen de su desplazamiento de modo que analicen
una vez maacutes los sistemas de referencia presentes en las direcciones y en la representacioacuten del
espacio en un plano como un modelo matemaacutetico (Figura 3)
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Figura 3
Sistemas de referencia presentes en las direcciones y en la representacioacuten del espacio en
un plano como un modelo matemaacutetico
La movilizacioacuten e integracioacuten de conceptos relacionados con el pensamiento espacial se daraacute
al finalizar el taller gracias a la socializacioacuten guiada por preguntas como
iquestQueacute elementos matemaacuteticos estaacuten presentes en la elaboracioacuten del mapa
iquestQueacute elementos culturales o matemaacuteticos no han sido considerados
iquestLos conceptos matemaacuteticos (geomeacutetricos) coinciden con los teacuterminos utilizados
popularmente
4 Planificacioacuten del taller
A continuacioacuten se describen las actividades a realizar seguacuten la descripcioacuten anterior asiacute
como los recursos y materiales que seraacuten necesarios (Tabla 1)
Tabla 1
Actividades a realizar
Actividad Conocimientos Materialesrecursos Tiempo estimado
Presentacioacuten y
Conceptos
fundamentales
Contextualizacioacuten
activa localizacioacuten
pensamiento espacial
distancia estimacioacuten
direccioacuten
Acceso a la
plataforma Zoom
10 minutos
Anote la direccioacuten
exacta de su casa
Puntos de referencia
puntos cardinales
estimacioacuten de
distancia
Carpeta en Drive
compartida con los
participantes
10 minutos
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Utilizando otro
punto de referencia
anote de nuevo la
direccioacuten exacta de
su casa
Puntos de referencia
puntos cardinales
estimacioacuten de
distancia
Carpeta en Drive
compartida con los
participantes
6 minutos
Verifique la
estimacioacuten de
medidas y direccioacuten
del desplazamiento
de las direcciones
de las Actividades 1
y 2
Puntos cardinales
medicioacuten
Google maps Waze u
otra aplicacioacuten similar
de localizacioacuten
10 minutos
Reflexioacuten sobre
elementos
matemaacuteticos
presentes en la
ubicacioacuten en el
espacio
Distancia puntos
cardinales rectas
paralelas ubicacioacuten
espacial sistemas de
referencia
Carpeta Drive
compartida con los
participantes
8 minutos
Elaboracioacuten de un
croquis del pueblo
Distancia puntos
cardinales rectas
paralelas ubicacioacuten
espacial
Papel laacutepices
teleacutefono para hacer la
fotografiacutea
15 minutos
Dibujar dos
trayectorias
diferentes para
desplazarse de un
lugar a otro
Paint u otro editor de
imaacutegenes
10 minutos
Cambie el origen hellip Google maps Waze u
otra aplicacioacuten similar
de localizacioacuten Paint
u otro editor de
imaacutegenes
10 minutos
Socializacioacuten Carpeta Drive
compartida con los
participantes
11 minutos
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88
Homotecias con GeoGebra
Grethel Ramiacuterez Goacutemez
Liceo de Poaacutes Costa Rica
grethelramirezgomezgmailcom
Resumen En este documento presentoacute un taller cuyo fin fue generar un acercamiento con la
tecnologiacutea como apoyo a la construccioacuten de conceptos matemaacuteticos en la geometriacutea y
especiacuteficamente con las homotecias El participante logroacute realizar construcciones y observaciones
sobre los diferentes tipos de homotecias directa e inversa fue el protagonista de su propio
conocimiento y al final podraacute compartir las diferentes conclusiones a las que fue capaz de llegar
con las diferentes actividades propuestas
Palabras clave GeoGebra homotecia geometriacutea construccioacuten
1 Introduccioacuten
Este taller que presento fue desarrollado con la herramienta GeoGebra (versioacuten 50) y se creoacute
pensando en primer momento para trabajar con estudiantes de octavo antildeo pero podriacutea
ampliarse para los diferentes temas de geometriacutea que se desarrollan a lo largo de los antildeos en
el programa de estudios propuestos por el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica
(2012)
El objeto de estudio de este se basa en la construccioacuten de argumentos que resulten
validaciones en el inicio de la geometriacutea entrando en trabajo argumentativo para sostener las
respuestas y las producciones aprovechando las posibilidades de acceso al saber y de anaacutelisis
de la matemaacutetica que su utilizacioacuten puede promover como antesala al tema de semejanza y
congruencia de triaacutengulos
Para participar no es necesario tener un conocimiento previo de la herramienta ya que los
minutos iniciales sirven de orientacioacuten para conocerla y hacer eacutenfasis de los usos en ciertos
comandos Ademaacutes inicialmente se busca motivar al participante en la exploracioacuten tomando
como referencia que el programa permite ver diferentes escenarios con movimientos simples
que a nivel del papel y laacutepiz seria muchas veces limitado y otras abstractos por completo
La importancia de estos talleres praacutecticos radica en la integracioacuten de herramientas
informaacuteticas que logran una mayor eficiencia en el aprendizaje de manera que se puedan
obtener herramientas y conocimientos para formulacioacuten de soluciones a problemas de la
sociedad mediante el anaacutelisis matemaacutetico (Barahona et al 2015)
Una vez que se presenta el programa y se estandarizan los conceptos durante el desarrollo
del taller el moderador entregara una secuencia de actividades (4 en total) con las que busca
obtener por parte de los participantes la construccioacuten de figuras exploracioacuten de la
herramienta y conclusiones de manera muy interactivas y promoviendo en todo momento la
participacioacuten
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2 Desarrollo del taller
En la primera actividad se propuso una construccioacuten simple de un cuadrado y aplicar una
homotecia cuyo factor escala sea mayor que uno (ver Figura 1) lo cual generoacute una serie de
inquietudes entre los participantes en torno a la visioacuten del estudiante una vez que crea la
homotecia Williams Uribe(Argentina) hizo una consulta sobre la relacioacuten del aacuterea de ambas
figuras y algunas pruebas que realizoacute ahiacute en el momento lo cual generoacute discusioacuten alrededor
de la manipulacioacuten de la herramienta para el movimiento de los diferentes veacutertices y a la vez
se produjeron varias inquietudes
iquestQueacute pasa con las aacutereas de las figuras una vez que se crea la homotecia
iquestCuaacutel es la relacioacuten del periacutemetro de cada una de las figuras
iquestCuaacutel es el tiempo adecuado para brindar en cada una de las construcciones para
mantener el intereacutes del tema
Figura 1
Construccioacuten simple de un cuadrado
Nota Fuente elaboracioacuten propia
Luego que se crearon los cuadrados y se realizoacute una mesa de discusioacuten alrededor del tema y
sus implicaciones Se inicioacute con la actividad dos misma que no busca entregar todos los
pasos de construccioacuten sino crear una figura recordando los procesos anteriores (ver Figura 2)
pero la homotecia aplicada seraacute con un factor escala que se encuentra entre cero y uno de
esta manera se comenzoacute a generar diferencias entre una y la otra Como dato importante a
rescatar fue que se analizoacute la forma de la redaccioacuten de la actividad ya que en esta segunda
se basoacute en los conocimientos previos de construccioacuten generando en el participante la
necesidad de recordar y explorar datos de la herramienta
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Figura 2
Figura con homotecia de escala entre cero y uno
Nota Fuente elaboracioacuten propia
Trabajamos la actividad nuacutemero tres esperando tener como resultado un proceso maacutes amplio
de observacioacuten y conclusioacuten Para esta actividad se propuso un factor escala negativo y es
donde el participante pudo concluir que la figura no solo se hace ldquomaacutes grande o maacutes pequentildeardquo
sino que tambieacuten puede girar y sigue coincidiendo en veacutertices y segmentos (ver Figura 3)
Aquiacute se hace una importante acotacioacuten sobre la importancia de mantener un lenguaje
adecuado con el estudiante yo participante porque si vamos a desarrollar el taller a nivel de
secundaria es probable que hablar de ldquoinversordquo no sea un teacutermino tan claro como decir ldquose
dio la vueltardquo o ldquose giroacuterdquo Con este detalle logramos ver que estamos concluyendo y
observando lo mismo y cumpliendo el objetivo
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Figura 3
Homotecia con factor de escala negativo
Nota Fuente elaboracioacuten propia
De esta tercera actividad surgioacute una propuesta por parte de una participante del taller sobre
no trabajar tres construcciones diferentes sino implementar el insertar una imagen y trabajar
con ella para observar las diferentes homotecias que resultan aprovechando cosas que guste
al participante y sirva de motivacioacuten extra (ver Figura 4)
Figura 4
Homotecia con imagen
Nota Fuente elaboracioacuten propia
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Otro aporte por rescatar fue si por ejemplo se construye un deslizador y se puede hacer la
manipulacioacuten del mismo con diferentes figuras de manera que se haga maacutes visual el
incremento disminucioacuten o giro de la figura de acuerdo al intervalo donde esteacute ubicado
Ademaacutes de consultar la cercaniacutea del punto origen (00) con respecto a las figuras creadas e
incluso manipular de manera que unimos ambas figuras y recordamos conceptos como el
caso de los aacutengulos opuestos por el veacutertice
Otro participante nos brinda el aporte de la conexioacuten que podemos realizar como proyecto
interdisciplinario con la clase de ciencias por ejemplo al tener una imagen y recibirla al
reveacutes
Otro aporte con el que contamos fue la participacioacuten de un participante de Ecuador quien
nos brindoacute la idea de hacer con las construcciones o las imaacutegenes insertadas generando
asociacioacuten con la fiacutesica por ejemplo el tema de la oacuteptica geomeacutetrica
Por uacuteltimo y a modo de cierre se realiza la actividad cuatro en la cual soliciteacute imaginar que
somos estudiantes de octavo antildeo ante una serie de ejercicios que deben resolverse despueacutes
de haber realizado el taller no todos van a necesitar apoyo de la herramienta inmediato(por
lo que puede ser un cierre en el aula a falta de tiempo) quedoacute claro que para la mayoriacutea fue
maacutes sencillo visualizar desde las diferentes construcciones pero una vez resueltos los
ejercicios logramos crear al final los diferentes conceptos sobre los tipos de homotecias
lenguaje matemaacutetico adecuado y varios conocimientos a tratar para el tema
3 Conclusiones
El programa GeoGebra entre sus ventajas contempla que ademaacutes de ser un programa
disentildeado bajo la modalidad de software libre y la asequibilidad que conlleva es una
herramienta de gran colaboracioacuten para el desarrollo y demostracioacuten de una clase de
geometriacutea permitiendo su implementacioacuten cuando se cuenta con los recursos materiales a
nivel institucional como un taller de construcciones como en el presente congreso Asiacute
mismo en casos donde los recursos sean maacutes limitados su uso se puede desarrollar como
una mesa de discusioacuten a partir del desarrollo empleado por el profesorado
Con la primera actividad se realizoacute una demostracioacuten del proceso de construccioacuten del
conocimiento y conceptualizacioacuten geomeacutetrica importante Asiacute mismo sirvioacute como antesala
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para hablar de temas como las relaciones entre aacutereas y periacutemetros de las diferentes figuras
una vez aplicadas los factores escala
El desarrollo de un taller y uso de recursos tecnoloacutegicos como el programa GeoGebra nos
facilita como educadores el poder representar de una manera maacutes visual y significativa el
conocimiento que deseamos trasmitir al estudiante ya que cuando este es quien construye y
se cuestiona la comprensioacuten del proceso profundiza en su aprendizaje
Finalmente las actividades en general nos recuerdan que es de suma importancia tener
presentes las diversas condiciones y realidades del estudiantado contemplando aspectos
como el acceso a medios tecnoloacutegicos lo cual es fundamental para poder mantener una
comunicacioacuten asertiva y asiacute lograr ser generadores de conocimiento a traveacutes de la
experiencia
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Non Charismatic Species Implicaciones didaacutecticas y
formacioacuten del profesorado
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo
Universidad Surcolombiana Colombia
eliasamorteguiuscoeduco
Juan Felipe Herrera Polaniacutea
Universidad Surcolombiana Colombia
felipepolania19gmailcom
Resumen Colombia ha sido considerado como albergue de uno de los 35 Hotspots del planeta
y uno de los paiacuteses con mayor diversidad bioloacutegica Sin embargo la poblacioacuten en general ha
desarrollado actitudes y emociones negativas como miedo asco y aversioacuten hacia grupos de
organismos denominados Non Charismatic Species pues aunque poseen un rol ecoloacutegico
fundamental en los ecosistemas son poco apreciados por los nintildeos nintildeas y joacutevenes ejemplo de
ellos las serpientes los murcieacutelagos y varios grupos de artroacutepodos Este trabajo aborda diferentes
experiencias investigativas y didaacutecticas llevadas a cabo en el Grupo de Investigacioacuten ENCINA-
Ensentildeanza de las Ciencias Naturales adscrito al Programa de Licenciatura en Ciencias Naturales
y Educacioacuten Ambiental de la Universidad Surcolombiana (Huila- Colombia) Conceptualizamos
el problema de la biodiversidad sus implicaciones educativas y proyectamos asuntos sobre su
ensentildeanza en escuelas rurales de nuestro paiacutes
Palabras clave Animales no carismaacuteticos implicaciones didaacutecticas formacioacuten del profesorado
experiencias educativas
1 Comprendiendo el problema de la biodiversidad
Hoy en diacutea existen diferentes amenazas latentes en contra de la biodiversidad mundial
principalmente por diferentes actividades antropogeacutenicas que contribuyen en gran medida a
acabar con los componentes ecoloacutegicos de los diferentes ecosistemas A raiacutez de esas
amenazas en las uacuteltimas deacutecadas se ha originado acciones de diferentes sectores de vital
importancia para contrarrestar las tasas de peacuterdida de biodiversidad (Pimm et al 1995) Sin
embargo existe una de la problemaacuteticas maacutes comunes y recurrentes en temas de
biodiversidad y es relacionado con el desconocimiento bioloacutegico sobre lo que existe en los
diferentes entornos naturales que resulta siendo un obstaacuteculo para emprender diferentes
estrategias de conservacioacuten de la biodiversidad En Colombia La falta de apoyo en
investigacioacuten y desarrollo poliacuteticas internas deficientes el conflicto armado entre otros
(Franco et al 2006 Fernaacutendez 2011) han sido los principales aspectos que han
imposibilitado agrandar el conocimiento de un paiacutes que es catalogado con megabiodiverso
A pesar de esos grandes obstaacuteculos seguacuten el Sistema de Informacioacuten sobre Biodiversidad de
Colombia (SiB Colombia) a la fecha existen aproximadamente 62829 especies a lo largo de
todo el territorio nacional posicionando el paiacutes como el primero en aves y orquiacutedeas segundo
en plantas anfibios mariposas y peces dulceacuiacutecolas tercero en palmas y reptiles y por
uacuteltimo el cuarto con mayor nuacutemero de especies de mamiacuteferos Toda esa biodiversidad que
posee Colombia que en su gran mayoriacutea viene determinado por aspectos en la formacioacuten de
los diferentes relieves a lo largo y ancho de paiacutes Ademaacutes en la regioacuten del Chocoacute
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biogeograacutefico se encuentra uno de los 35 Hotspots de Biodiversidad del planeta las cuales
son aacutereas con iacutendices altos de diversidad bioloacutegica y endemismos pero que han tenido un
porcentaje alto de reduccioacuten de su vegetacioacuten primaria (Myers 2003 Sloan et al 2014)
Teniendo en cuenta todo este panorama nacional acerca de la Biodiversidad a pesar de todas
las dificultades que resultan a la hora de conocer nuevas especies en los diferentes
ecosistemas colombianos existe un alto iacutendice de nuevas de especies descritas (Arbelaeacutez
2013) que incluso en los uacuteltimos antildeos pudo estar favorecida por la firma de los acuerdos de
paz con la antigua guerrilla de las FARC-EP que posibilitaron nuevas expediciones es
importante que antes de hablar de estrategias que contribuyan a la conservacioacuten de la
Biodiversidad en primera instancia debemos conocer lo conocido en teacuterminos de diversidad
Bioloacutegica Es por ello esto requiere y demanda un arduo trabajo de documentacioacuten en
diferentes aacutereas como zoologiacutea botaacutenica ecologiacutea entre otros para posteriormente
emprender y originar estrategias de ensentildeanza y aprendizaje mediante la planificacioacuten y el
disentildeo de diferentes temaacuteticas se puedan llevar a cabo en las escuelas como factor
fundamental en la formacioacuten de las Ciencias para la conservacioacuten de los entornos naturales
2 Importancia de la formacioacuten docente para la conservacioacuten de la Biodiversidad
Existen diferentes aspectos que hacen que la profesioacuten docente se subestime a nivel
epistemoloacutegico y social ya que es usual considerar que para ensentildear Ciencias Naturales
solo basta con el afianzamiento del conocimiento disciplinar y que se transmita de manera
directa sin tener en cuenta otros elementos importantes Es por ello que como educadores y
profesionales en la educacioacuten disponen de un conocimiento caracteriacutestico en los cuales estaacuten
vinculados otros aspectos como el pedagoacutegico didaacutectico curriculares entre otros
contribuyendo asiacute a la construccioacuten de un Conocimiento Bioloacutegico Escolar (Valbuena 2007
Mellado 2011) Este conocimiento de profesorado tiene origen en diferentes fuentes
heterogeacuteneas que incluyen diferentes saberes a partir experiencias teoriacuteas impliacutecitas
guiones costumbres entre otros (Porlaacuten y Rivero 1998 Tardif y Lessar 2014)
De acuerdo a lo postulado por Valbuena (2007) establece que para el caso de los docentes
de Biologiacutea dos componentes que hacen parte de su conocimiento profesional el
Conocimiento Bioloacutegico (CB) y el Conocimiento Didaacutectico del Contenido Bioloacutegico
(CDCB) Con base a esto se pueden reconocer los siguientes conocimientos como el
Conocimiento Disciplinar el Conocimiento Pedagoacutegico el Conocimiento Didaacutectico del
Contenido Bioloacutegico y el Conocimiento del Contexto De igual forma seguacuten Fonseca (2018)
encontramos postulados muy similares a lo dicho por Valbuena (2007) puesto que aquiacute ya
relacionado directamente con el Conocimiento Profesional del Profesor de Biologiacutea asociado
a la ensentildeanza de la Biodiversidad menciona la integracioacuten de cinco conocimientos de
docentes en su etapa inicial de ejercicio docente entre ellos tenemos El conocimiento
bioloacutegico el Conocimiento Didaacutectico el Conocimiento de su propia historia de vida el
Conocimiento de su experiencia como interprete ambiental y el Conocimiento del contexto
Es asiacute como las experiencias docentes constituyen un referente clave en el desarrollo
profesional del profesor de Biologiacutea ya que esto permite orientar la manera en coacutemo se
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interpreta y se desarrolla el curriacuteculo (Barnett y Hodson 2001) Sin embargo una de las
mayores dificultades que poseen los docentes en su etapa inicial en ejercicio profesional es
la escasa preparacioacuten sobre coacutemo abordar la ensentildeanza de la Biologiacutea en escenarios naturales
(Del Toro y Morcillo 2011) que permitan promover e incentivar en el estudiantado actitudes
que contribuyan a los procesos de conservacioacuten de la Biodiversidad Esto en su gran mayoriacutea
viene determinado por el aporte insuficiente de los diferentes cursos en la formacioacuten del
profesorado para la construccioacuten del Conocimiento de Contenido Bioloacutegico Didaacutectico
Pedagoacutegico y del contexto que permitan la ensentildeanza fuera del aula mediante diferentes
estrategias de ensentildeanza como las Praacutecticas de Campo (Behrendt y Franklin 2014) Por tal
razoacuten el abordaje de las salidas de campo se limita al desarrollo de lecturas socializaciones
debates entre otros y no a su disentildeo aplicacioacuten y evaluacioacuten (Ateskan y Lane 2016)
reduciendo el potencial de esta estrategia tan importante que puede influir en las distintas
finalidades de aprendizaje en el campo de la Biodiversidad
3 Panorama de los animales no carismaacuteticos para su conservacioacuten
En un paiacutes como Colombia catalogado como uno de lo maacutes megadiversos del mundo resulta
de vital importancia que se originen diferentes programas estrategias y poliacuteticas para la
proteccioacuten de los ecosistemas Estos escenarios naturales que se extienden a lo largo y ancho
del todo el territorio nacional gracias a los diferentes pisos teacutermicos cuentan con una amplia
gama de especies de flora y fauna con un importante valor ecoloacutegico en los biomas del paiacutes
Sin embargo hoy en diacutea existe una gran cantidad de especies que estaacuten amenazadas por
factores como la destruccioacuten masiva de sus haacutebitats traacutefico ilegal entre otros A raiacutez de lo
anterior a lo largo de los uacuteltimos antildeos se han formalizado y estructurado diferentes poliacuteticas
ambientales para la proteccioacuten de los diferentes ecosistemas y sus componentes que permitan
garantizar la conservacioacuten de la Biodiversidad existente en Colombia
Desde el gobierno nacional se estaacuten llevando a cabo diferentes planes de accioacuten para la
conservacioacuten de especies y ecosistemas como herramientas indispensables en la
conservacioacuten de la Biodiversidad (Ministerio de Ambiente y Desarrollo Sostenible
MinAmbiente 2020) No obstante resulta interesante evidenciar que la mayoriacutea de
programas de conservacioacuten planes de manejo y estrategias estaacuten focalizadas en su gran
mayoriacutea a especies de aves y mamiacuteferos que en su gran mayoriacutea son los grupos de animales
maacutes llamativos y atrayentes En menor medida se encuentran acciones focalizadas a grupos
de reptiles y anfibios y no existe ninguacuten programa de conservacioacuten o poliacutetica ambiental que
promueva la conservacioacuten de grupos de invertebrados A partir de lo anterior se puede
relacionar en consecuencia una de las principales razones por las cuales no se evidencia
trabajos investigativos relacionados con animales que son catalogados como no carismaacuteticos
Puesto que existe una amplia brecha de desconocimiento acerca sobre la Biologiacutea y Ecologiacutea
de grupos de animales principalmente invertebrados reptiles y anfibios en sus diferentes
haacutebitats (Losey y Vaughan 2006 New 2011 Prokop et al 2016)
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El escaso conocimiento bioloacutegico y a su vez las aversiones repulsioacuten miedo asco y disgusto
que generan animales como serpientes murcieacutelagos arantildeas escorpiones sapos ranas
lagartos entre otros denominados como animales no carismaacuteticos por su apariencia fiacutesica
resultan ser una amenaza directa en contra de su conservacioacuten Ademaacutes se puede inferir con
base a ese tipo de aspectos la inclinacioacuten de llevar a cabo programas o estrategias para la
conservacioacuten de especies esteacuteticamente maacutes llamativos y asiacute mismo la razoacuten de la falta de
acciones esenciales para incentivar a la poblacioacuten en general encaminadas al cuidado
proteccioacuten y manejo de especies poco carismaacuteticos que resultan ser de gran importancia
bioloacutegica en los diferentes ecosistemas donde se encuentran (Snaddon et al 2008)
Existen en diferentes fuentes investigaciones que confirman lo mencionado anteriormente
por ejemplo estudios como los de Prokop y Fančovičovaacute (2013) mencionan que estas
tendencias de pensamientos y actitudes hacia este grupo de organismos vienen determinados
por los aspectos morfoloacutegicos Es decir en cuanto a la coloracioacuten de ciertos animales
predominan la afinidad hacia organismos con colores aposemaacuteticos en contraste los colores
criacutepticos que a su vez resulta de gran importancia referente a la popularizacioacuten para
promover la preservacioacuten de especies con dichas caracteriacutesticas Por otra parte otra de las
razones por las cuales se tiende a tener este tipo de percepciones de especies catalogadas no
carismaacuteticas vienen siendo alimentadas por los medios audiovisuales presentando peliacuteculas
series noticias entre otros que contribuyen a establecer esos conceptos alternos y actitudes
que no promueven a su conservacioacuten y ampliacutean los vaciacuteos relacionados al conocimiento
bioloacutegico e importancia ecoloacutegicos de estos organismos Sin embargo este tipo de actitudes
puede ser variable dependiendo de la cultura edad sexo nivel socioeconoacutemico experiencia
eacutetica escolar incluso la inclinacioacuten religiosa que pueden repercutir en aspectos relacionados
con la importancia de que originen procesos de reconstruccioacuten del conocimiento bioloacutegico a
partir procesos didaacutecticos escolares (Barraza 2015 Baynes-Rock 2017)
Por otra parte tomando como referencia los diferentes procesos educativos a nivel de
preescolar baacutesica primaria y secundaria cuando el estudiantado presenta actitudes negativas
debido al desconocimiento o ideas previas acerca del conocimiento bioloacutegico en este caso
relacionados con animales poco agradables para ellos Se origina un choque de concepciones
referente a aspectos de la naturaleza cientiacutefica a causa de la incorrecta interpretacioacuten de
distintos elementos del propio conocimiento cientiacutefico De modo que se destaca la
importancia de procesos de alfabetizacioacuten cientiacutefica en la progresioacuten de concepciones que
esteacuten encaminadas a la realidad bioloacutegica de los diferentes organismos (Prokop et al 2009
Almeida et al 2017)
Para lograr los objetivos de la alfabetizacioacuten cientiacutefica y generar actitudes en pro de la
conservacioacuten de estos animales tan estigmatizados por la sociedad se deben disentildear y aplicar
diferentes estrategias como las salidas de campo que tiene un gran potencial para lograr
diferentes finalidades de aprendizaje a nivel conceptual procedimental y actitudinal Este
tipo de estrategias es una garantiacutea para incentivar habilidades que puedan lograr la
construccioacuten de un Conocimiento Cientiacutefico Escolar y lograr en los y las estudiantes posturas
criacuteticas con bases argumentativas soacutelidas que puedan permitir un cambio de perspectiva
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relacionado con problemaacuteticas del contexto socio-ambiental siendo un recurso vital en el
quehacer docente (Del Carmen 2011 Garciacutea-Ferrandis et al 2020)
4 Promoviendo la conservacioacuten de los animales no carismaacuteticos
Entre las actividades que realiza el profesorado de Biologiacutea a nivel formativo es importante
destacar el uso de las Salidas de Campo como estrategia didaacutectica en los procesos de
ensentildeanza y aprendizaje con el alumnado Este tipo de recurso educativo posee un irrefutable
valor que pueden repercutir a nivel emocional afectivo cognitivo y ambiental Esto resulta
ser vital en el reconocimiento de la Biodiversidad origen de actitudes pro conservacionistas
obtencioacuten y afianzamiento de habilidades y destrezas en el trabajo cientiacutefico e inmersioacuten en
entornos naturales fuera del aula (Wass 1990 Del Carmen y Pedrinaci 1997 Gavidia y
Cristerna 2000 Rennie 2014) El profesorado en Biologiacutea en su proceso de formacioacuten
generalmente ha participado como novato en las salidas de campo sin tener la experiencia
necesaria para su disentildeo planeacioacuten y ejecucioacuten fuera del aula (Tal y Morag 2009
Amoacutertegui y Correa 2012)
A raiacutez de este tipo de situaciones los docentes con menor experiencia en este tipo de
estrategias didaacutectico-pedagoacutegicas llevan a cabo las actividades de forma inadecuada con un
nivel de conocimiento limitado desempentildeando roles dominantes con sus estudiantes
desperdiciando el gran potencial de las salidas de campo en la formacioacuten del profesorado y
en la ensentildeanza de la Biologiacutea Es asiacute que se evidencia la escasez de trabajos o estudios
especializados en aras de orientar a los docentes en este tipo de estrategias de ensentildeanza
(Ballantyne et al 2010) Sin embargo existe estudios relacionados sobre el conocimiento de
las Praacutecticas de Campo en la formacioacuten docente de Biologiacutea que demuestran hallazgos
relacionados con reflexiones experiencias investigaciones sobre de E-A concepciones
sobre Salidas de Campo entre otros (Amoacutertegui et al 2017) No obstante demuestran que
es importante que se reconozca la diferencia de esta estrategia didaacutectica con otras referente
a su relacioacuten con la epistemologiacutea de la Biologiacutea como disciplina cientiacutefica su disentildeo y
aplicacioacuten y su valor en la construccioacuten del conocimiento del profesorado de Biologiacutea
El trabajo fuera del aula en escenarios naturales promueve en el alumnado el abordaje de
problemaacuteticas ambientales como la potencial destruccioacuten de los ecosistemas la
contaminacioacuten traacutefico ilegal la disminucioacuten de los recursos naturales entre otras Ademaacutes
este tipo de mecanismos permiten acercar al alumnado a la manera en la que se construye el
conocimiento cientiacutefico originando una aproximacioacuten maacutes llamativa accesible interesante
y significativa sobre la naturaleza de la ciencia asiacute mismo se lograr viabilizar la
participacioacuten activa de manera criacutetica y reflexiva sobre las problemaacuteticas del contexto socio-
ambiental (Banet 2010)
Diferentes estudios realizados con anfibios cochinillas caracoles entre otros animales que
se denominados como impopulares han demostrado una progresiva reduccioacuten de las
aversiones ante el desconocimiento inicial sobre estos organismos o la interaccioacuten con ellos
(Prokop y Fančovičovaacute 2017 Prokop y Fančovičovaacute 2018) Esto demuestra que las salidas
de campo como recurso para incentivar actitudes pro conservacionistas hacia animales no
carismaacuteticos permiten el mejoramiento de procesos de ensentildeanza y aprendizaje
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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favoreciendo la construccioacuten de un Conocimiento Bioloacutegico Escolar y la progresioacuten de
actitudes significativas en entornos naturales donde tiene mayor incidencia (Costillo et al
2014)
Desde el Semillero de Investigacioacuten Ensentildeanza de las Ciencias Naturales (ENCINA) de la
Universidad Surcolombiana ubicada en el departamento del Huila (Colombia) en los
uacuteltimos antildeos se han venido desarrollando diferentes trabajos investigativos y propuestas
didaacutecticas que han tenido una gran repercusioacuten para la conservacioacuten y la proteccioacuten de grupos
de animales que son catalogados como impopulares o poco agradables como Murcieacutelagos
(Rivera 2016) Arantildeas (Guevara et al 2018) Esquizoacutemidos (Perdomoet al 2018) Ofidios
(Goacutemez y Herrera 2019) y Artroacutepodos (Rubiano et al 2019 Berjan et al 2020) Esto
permite inferir que este tipo de propuestas se abordan en gran medida por la importancia
ecoloacutegica de estos organismos en los diferentes Ecosistemas de la regioacuten surcolombiana y la
amplia estigmatizacioacuten de la poblacioacuten acerca de este tipo de organismos que han permitido
realizar grandes avances en el campo de la Ensentildeanza de la Biologiacutea contribuyendo asiacute a la
construccioacuten del Conocimiento Cientiacutefico Escolar en diferentes instituciones educativas
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Polinomios generadores de nuacutemeros primos
Ronald Cordero Meacutendez
Universidad San Isidro Labrador Costa Rica
Ronaldcomegmailcom
Resumen Se presenta el Teorema de la Multiplicacioacuten (Factorizacioacuten) de Cordero en Z si 119899 =
(11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 con 119909 119904 119896 ∊ ℤ y 119901 isin
35111741 entonces 1198992 + 119899 + 119901 119904e puede expresar como la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros de
la forma 119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 y 119875(119904 119909 119896) = minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 +
1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901 Algunos ejemplos de aplicacioacuten del Teorema Utilidad de 119899 =
(11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 119909 119904 119896 ∊ ℤ y 119901 ∊
35111741 en la construcciograven de La Criba de los ldquo119899 Cordero Material de investigacioacuten uacutetil
en la construccioacuten de programas informaacuteticos necesarios en la criptografiacutea
Palabras clave Polinomios nuacutemeros primos criba nuacutemeros afortunados de Euler
1 Polinomios generadores de nuacutemeros primos y compuestos (Generador de nuacutemeros
primos)
Los nuacutemeros primos han sido tema de muchas investigaciones muchas repetitivas que
contribuyen poco al tema lo que verifica la frase del gran matemaacutetico Leonhard Euler que
diceldquoLos matemaacuteticos han intentado en vano hasta la actualidad descubrir alguacuten orden en
la secuencia de nuacutemeros primos y tenemos razones para creer que se trata de un misterio que
la mente humana nunca resolveraacuterdquo (Leonard Euler 1707-1783 mencionado por Camacho y
Camacho 2020 p85) Hasta el momento en el antildeo 2020 este misterio no ha sido resuelto
por lo que creo que Euler puede estar en lo cierto Leonhard Euler nacioacute el 15 de abril de
1707 en Basilea Suiza y murioacute el 18 de septiembre de 1782 en San Petersburgo Rusia
(Aznar 2007) Extraordinario matemaacutetico del siglo XVIII
Otra frase que lo afirma dice
El encanto de los nuacutemeros primos consistiacutea quizaacutes en la imposibilidad de explicar en
queacute orden aparecen Cada uno se dispersa a su antojo cumpliendo la condicioacuten de no
tener maacutes divisores que el uno y eacutel mismo Aunque no cabe duda de que cuanto maacutes
grandes son maacutes difiacutecil resulta encontrarlos y es imposible predecir su aparicioacuten
siguiendo ninguna reglahelliprdquoLa foacutermula preferida del profesor (Ogawa 2003
mencionadado por Frases y Pensamientos sf paacuterr 4)
Nuestra pregunta ahora es coacutemo encontrar nuacutemeros primos si no es posible encontrar una
foacutermula polinomial o de otro tipo que nos genere todos y cada uno de los nuacutemeros primos o
por lo menos una foacutermula que genere solamente nuacutemeros primos aunque no sean
consecutivos
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En alguacuten momento dado aparecen los nuacutemeros compuestos que se mezclan con los nuacutemeros
primos por lo que me lleva a suponer que el cribado es una buena opcioacuten para encontrar
nuacutemeros primos grandes
Con ayuda de los polinomios 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 donde 119901 = 2 3 5 1117 41 que resulta
ser polinomios que generan nuacutemeros primos cuando 119899 toma valores desde 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 119901 minus
2 y luego generan nuacutemeros compuestos y primos mezclados por lo que el problema de
encontrar una foacutermula que genere solamente nuacutemeros primos no lo resuelve este tipo de
polinomios Pero encontrar un foacutermula que genere los nuacutemeros compuestos que son
generados por estos polinomios es el tema de la investigacioacuten ademaacutes de buscar un
procedimiento que ayude a cribar los nuacutemeros primos
2 Polinomios de la forma 119927(119951) = 119951120784 + 119951 + 119953 donde 119953 = 120784 120785 120787 120783120783 120783120789 120786120783
Los polinomios 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 generan nuacutemeros primos por ejemplo se generan los
nuacutemeros primos 41 43 47 53 61 71 83 97 113 181 151 173 197 223
251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 707 853 911 971 1033
1097 1163 1231 1301 1373 1447 15231601
cuando 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 y desde 119899 = 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 41 minus 2 = 39 en total 40 nuacutemeros
primos pero a partir de 119899 = 40 se generan nuacutemeros compuestos y nuacutemeros primos A este
poliomio se le llama polinomio de Euler
Otra forma de escribir el polinomio de Euler es 119875(119899) = 1198992 minus 119899 + 41 pero eacuteste genera los
nuacutemeros primos anteriores cuando 119899 toma valores desde 1 hasta 40
Otro polinomio de esta forma que genera nuacutemeros primos es 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 17 desde 119899 =
0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 17 minus 2 = 15 119890119897 cual fue descubierto por el matemaacutetico Adrien Marie
Legendre
Legendre nacioacute en Pariacutes en el antildeo 1752 en una familia rica Recibioacute educacioacuten en el
Collage Mazarin en Pariacutes y defendioacute su tesis en fiacutesica y matemaacutetica en 1770 Murioacute
en Pariacutes en el antildeo 1833 despueacutes de una larga y penosa enfermedad Su viuda conservoacute
cuidadosamente las pertenencias del matemaacutetico para preservar su memoria El uacuteltimo
lugar donde vivioacute fue en el pueblo de Auteuil en Pariacutes Francia (Fernaacutendez y Tamaro
2004 paacuterr1)
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3 Los nuacutemeros afortunados de Euler
Primero dejemos claro que Goldbach y Legendre demostraron que no es posible encontrar
un polinomo que deacute nuacutemeros primos para todo nuacutemero natural el primero lo demoacutestro para
coeficientes enteros y el segundo para funciones algebraicas racionales
El matemaacutetico Rabinowitz demostroacute que 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 da nuacutemeros primos para 119899 =
0 hellip 119901 minus 2 si y solo si 1 minus 4119901 es el negativo de un nuacutemero de Heegner que son los uacutenicos
nuacutemeros positivos 119896 que cumplen no ser cuadrados perfectos y que en el anillo de enteros
del cuerpo ℚ(radicminus119896) es de factorizacioacuten uacutenica
Los nuacutemeros de Heegner son 1237111943 67163
Ademaacutes los nuacutemeros afortunados de Euler son los enteros positivos 119901 para los que 1 minus 4119901 =
minus119896 siendo 119896 un nuacutemero de Heegner y mediante comprobacioacuten obtenemos que los uacutenicos
posibles son 2 3 5 11 17 41 y el nuacutemero de Heegner asociado al 41 es el 163
4 Aplicaciones del teorema
41 El teorema de la multiplicacioacuten de Cordero en ℤ
Si 119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 119909 119904 119896 ∊
ℤ 119910 119901 ∊ 35111741 entonces 1198992 + 119899 + 119901 se puede expresar como la multiplicacioacuten
de dos nuacutemeros de la forma 119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + y 119875(119904 119909 119896) =
minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
Las foacutermulas anteriores nos permiten encontrar valores de ldquonrdquo que al sustituir en los
polinomios de la forma 119901(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 donde 119901 ∊ 35111741 obtenemos siempre
un nuacutemero compuesto asiacute como encontrar una factorizacioacuten en dos factores de la expresioacuten
1198992 + 119899 + 119901 ( La factorizacioacuten no necesariamente es completa)
Aplicacioacuten 1
Sea 119904 = 12 119909 = 15 119896 = 8 y 119901 = 41
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = (122(15)2 minus 12(12 + 2)(15) + 41 lowast 122 + 12 + 1)(8 minus 1) + 12(15)2 minus
(12 + 1)(15) + 41 lowast 12 = 253576
Ahora
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1215) = (122(15)2 minus 12(12 + 2)(15) + 41 lowast 122 + 12 + 1)
rArr 119875(1215) = 35797
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Por otro lado
119875(119904 119909 119896) = minus119901(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
rArr 119875(8 minus53) = minus35797 lowast 49 + (2 lowast 253576 + 1) lowast 7 + (15)2 minus 15 + 41 = 1796269
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(253531) = 2535762 + 253576 + 41 = 35797 lowast 1796269
Donde 35797 y 1796269 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 2
Sea 119904 = 1 119909 = 277232917 minus 1 119896 = 2 119910 119901 = 41 Entonces
rArr 119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = ((277232917 minus 1)2 minus (1 + 2)(277232917 minus 1) + 41 + 1 + 1)(2 minus 1) +
(277232917 minus 1)2 minus (1 + 1)(277232917 minus 1) + 41
rArr 119899 = (2154465834 minus 2 lowast 277232917 minus 3 lowast 277232917 + 47) + 2154465834 minus 2 lowast 277232917 +
1 minus 2 lowast 277232917 + 2 + 41
rArr 119899 = 2 lowast 2154465834 minus 9 lowast 277232917 + 91
Ahora
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1 277232917 minus 1) = 2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47
rArr 119875(119904 119909 119896) = minus119901(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
Por otro lado
119875(1 277232917 minus 1 2) = minus2154465834 + 5 lowast 277232917 minus 47 + 4 lowast 2154465834 minus 18 lowast
277232917 + 183 + 2154465834 minus 2 lowast 277232917 + 1 minus 277232917 + 1 + 41
rArr 119875(1 277232917 minus 1 2) = 4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) = (2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91)2 +
(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) + 41
= (2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47) lowast (4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179)
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Se necesitariacutea un ordenador para probar que
2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47 y 4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179 son nuacutemeros
primos o compuestos cuyos factores son nuacutemeros primos muy grandes
Aplicacioacuten 3
Sea 119904 = 1500 119909 = 800 119896 = 300 y 119901 = 5
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = ((1500)2(800)2 minus 1500(1500 + 2)(800) + 5 lowast (1500)2 + 1500 + 1)(300 minus
1) + 1500(800)2 minus (1500 + 1)(800) + 11 lowast 1500 = 430025405405499
Por otro lado
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1500 800) = 1438208851501
Ahora
119875(119904 119909 119896) = minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
119875(1500800300) = minus1438208851501 lowast 2992 + (2 lowast 430025405405499 + 1) lowast
299 + (800)2 minus 800 + 5 = 128577882900087005
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(430025405405499) = (430025405405499)2 + 430025405405499 + 5 =
1438208851501 lowast 128577882900087005
Donde 1438208851501 es primo y 128577882900087005 es compuesto
Aplicacioacuten 4
119904 = minus453877 119909 = minus8491 119910 119901 = 11 tenemos que
119875(minus453877 minus8491) = (minus453877)^2 lowast (minus8491)^2 minus 453877 lowast 453875 lowast 8491 +
11 lowast (minus453877)^2 minus 453877 + 1 = 14850564038738095205 = 5 lowast 89 lowast
33372054019636169 de donde 5 89 y 33372054019636169 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 5
119904 = 34567893426789 119909 = 0 y 119901 = 41 tenemos que
119875(345678934267890) = (34567893426789)^2 lowast (0)^2 minus 34567893426789 lowast
34567893426791 lowast 0 + 41 lowast (34567893426789)^2 + 34567893426789 + 1
= 48992509494599562853310298151
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109
= 44059 lowast 104486463803 lowast 10642288263263 donde 44059104486463803 y
10642288263263 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 6
119904 = 2349 119909 = minus345 119910 119901 = 41 tenemos que
119875(2349 minus345) = 23492 lowast (minus345)2 minus 2349 lowast 2351 lowast (minus345) + 41 lowast 23492 + 2349 + 1
= 658887758371 = 41 lowast 16070433131 donde 41 y 16070433131 son nuacutemeros
primos
Aplicacioacuten 7
119904 = 453891 119909 = 849 119910 119901 = 41 tenemos que
119875(453891 849) = 4538912 ∙ (849)2 minus 453891 ∙ 453893 ∙ 849 + 41 ∙ 4538912 +
453891 + 1 = 148330825824787807 = 1699 lowast 8730478271029 donde
1699 y 8730478271029 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 8
Sea 119904 = 2349 119909 = minus345 y 119901 = 41 tenemos que
119875(2349 minus345) = 41 lowast 16070433131
Sea 119896 = 8 entonces
119899 = (41 lowast 16070433131)(8 minus 1) + 2349(minus345)2 minus (2350) lowast (minus345) + 41 lowast 2349
rArr 119899 = 4612494805381
Luego
119875(119904 119909 119896) = minus41 lowast 16070433131 lowast (8 minus 1)2 + (2 lowast 4612494805381 + 1)(8 minus 1) +
(minus345)2 minus (minus345) + 41 = 32289427234573 = 15901 lowast 2030653873 donde 15901 y
2030653873 son primos
Observemos que
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 41 lowast 16070433131 lowast 15901 lowast 2030653873
con 119899 = 4612494805381
Aplicacioacuten 9
Sea 119904 = 10 119896 = 4 y 119909 = minus5 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11) lowast 3 + 10 lowast 25 + 11 lowast 5 + 410 = 22348
119875(119899) = 223482 + 22348 + 41 = 499455493
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110
119875(119904 119909) = 100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11 = 7211
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119901(119899)
119901(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904119909)=
499455493
7211= 69263 o 119875(119904 119909 119896) = minus7211 lowast 9 + (2 lowast 22348 + 1) lowast 3 + 25 + 5 +
41 = 69263
Ademaacutes
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 223482 + 22348 + 41 = 499455493 = 7211 bull 69263
Aplicacioacuten 10
Sea 119904 = 30 119896 = 7 119910 119909 = 8 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 11 119875(119904 119909) y 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (900 lowast 64 minus 960 lowast 8 + 11 lowast 900 + 31) lowast 6 + 30 lowast 64 minus 31 lowast 8 + 11 lowast 30 = 361108
119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783
119875(119904 119909) = 900 lowast 64 minus 960 lowast 8 + 11 lowast 900 + 31 = 59851
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119901(119899)
119901(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904 119909)=
130399348783
59851= 2178733
119875(119904 119909 119896) = minus59851 lowast 36 + (2 lowast 361108 + 1) lowast 6 + 64 minus 8 + 11 = 2178733
Asiacute
119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783 = 59851 bull 2178733
Aplicacioacuten 11
Sea 119904 = 15 119896 = 100 119910 119909 = minus2 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41
119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (225 lowast 4 + 255 lowast 2 + 41 lowast 225 + 16) lowast 99 + 15 lowast 4 + 16 lowast 2 + 615 = 1055156
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111
119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533
Entonces
119875(119904 119909) = 225 lowast 4 + 255 lowast 2 + 41 lowast 225 + 16 = 10651
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119875(119899)
119875(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904 119909)=
1113355239533
10651= 104530583
O tambieacuten
119875(119904 119909 119896) = 4 + 2 + 41 minus 10651 lowast 992 + (2 lowast 1055156 + 1) lowast 99 = 104530583
Luego
119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533 = 10651 bull 104530583
5 La Criba de los 119951 Cordero
Tenemos que
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
donde 119909 119904 119896 ∊ 120551 con 119901 ∊ 35111741 minus119886 le 119909 le 119886 + 2 119886 ∊ ℕlowast 119909 ∊ ℤ
Si 119904 = 1 119910 119896 = 1 obtenemos 119899 = 1199092 minus 2119909 + 119901 donde 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 es la
paraacutebola que estaacute por ldquofuerardquo de las demaacutes paraacutebolas (Figura 1)
Figura 1
Paraacutebola
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112
Si evaluamos 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 en los extremos del intervalo obtenemos
119891(minus119886) = (minus119886)2 minus 2 bull (minus119886) + 119901 = 1198862 + 2119886 + 119901
119891(119886 + 2) = (119886 + 2)2 minus 2(119886 + 2) + 119901 = 1198862 + 4119886 + 4 minus 2119886 minus 4 + 119901 = 1198862 + 2119886 + 119901
O sea da el mismo valor
El veacutertice de la paraacutebola que estaacute ldquopor fuerardquo 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 es (1 119901 minus 1)
Si estudiamos el codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [ para la funcioacuten paraboacutelica 119891(119909) = 1199092 minus
2119909 + 119901
Definimos el conjunto de funciones
119891(119909) = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 ) lowast (119896 minus 1) + 119904 lowast 1199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901
119901 119904 119896 ∊ ℕ
119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1
y codomino 0 le 119899 lt 1198862 + 2119886 + 119901
Resolver la inecuacioacuten
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 ) lowast (119896 minus 1) + 119904 lowast 1199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 le 1198862 +
2119886 + 119901
Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901
119901 119904 119896 ∊ ℕ
119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1
y codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [
O tambieacuten
[21199051198862+(4119905minus2)119886+2119905119901minus1
2119905 1198862 + 2119886 + 119901 [ 119905 ∊ ℕ
Luego se eliminan todos los valores de 119899 obtenidos en las inecuaciones y que estaacuten en el
intervalo [0 1198862 + 2119886 + 119901 [ Los valores de 119899 que quedan en el intervalo se evaluacutean en
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 obtenieacutendose solamente nuacutemeros primos
51 Aplicaciones
Utilicemos la Criba para un 119886 = 20 119901 = 41 119905119890119899119890119898119900119904 119902119906119890 1198862 + 2119886 + 41 = 481 con 119904 =
1 119896 = 1 119910 119901 = 41
119899 = 1199092 minus 2119909 + 41 le 481
minus20 le 119909 le 22
Obtenemos
119899
= 4041444956657689104121140161184209236265296329364401440 481
Nota Se toma solo una vez los valores de 119899 que se repiten
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113
Ahora damos valores a 119904 = 2 119896 = 1 119899 = 21199092 minus 3119909 + 82 lt 481
minus13 le 119909 le 14
Obtenemos
119899
= 81 82 84 87 9196 102 109 117 126 136 147159 172 186201 217 234 252 271
291312 334357 381 406 432 459
Continuamos con 119904 = 3 119896 = 1 119899 = 31199092 minus 4119909 + 123 lt 481
minus10 le 119909 le 11
Obtenemos 119899 = 122123127130 138143155162178187 207218 242
255 283 298 330 347 383 402 442 463
Continuamos con 119904 = 4 119896 = 1 119899 = 41199092 minus 5119909 + 164 lt 481
minus8 le 119909 le 9
119899
= 163164 170173 185 190 208 215 239 248 278 289 325 338 380 395 443 460
Continuamos con 119904 = 5 119896 = 1 119899 = 51199092 minus 6119909 + 205 lt 481
minus6 le 119909 le 8
119899 = 204 205 213 216 232 237 261 268 300 309 349 360 408 421 477
Continuamos con 119904 = 6 119896 = 1 119899 = 61199092 minus 7119909 + 246 lt 481
minus5 le 119909 le 6
119899 = 245 246256259 279284314 321 361370 420 431
Continuamos con 119904 = 7 119896 = 1 119899 = 71199092 minus 8119909 + 287 lt 481
119899 = 286 287 299 302 326 331 367 374 422 431
minus4 le 119909 le 5
Continuamos con 119904 = 8 119896 = 1 119899 = 81199092 minus 9119909 + 328 lt 481
minus3 le 119909 le 4
119899 = 327 328 342 345 373 378 420 427
Continuamos con 119904 = 9 119896 = 1 119899 = 91199092 minus 10119909 + 369 lt 481
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minus3 le 119909 le 4
119899 = 368 369 385 388 420 425 473 480
Continuamos con 119904 = 10 119896 = 1 119899 = 101199092 minus 11119909 + 410 lt 481
minus2 le 119909 le 3
119899 = 409410 428 431 467 472
Continuamos con 119904 = 11 119896 = 1 119899 = 111199092 minus 12119909 + 451 lt 481
minus1 le 119909 le 2
119899 = 450 451 471474
Continuamos con 119904 = 2 119896 = 2 119899 = 61199092 minus 11119909 + 249 lt 481
minus5 le 119909 le 7
119899 = 244 249 251266270295 301336 344389399454 466
Continuamos con 119904 = 2 119896 = 3 119899 = 101199092 minus 19119909 + 416 lt 481
minus1 le 119909 le 3
119899 = 407 416418 445 449
Para otros casos se obtiene nuacutemeros repetidos y para valores maacutes grandes se pasa de 481
La graacutefica de los 119899 que generan nuacutemeros primos compuestos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 se
puede observar en la Figura 2
Figura 2
Graacutefica de los 119899 que generan nuacutemeros primos compuestos
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115
En total obtenemos los valores para 119899
4041444956657681828487899196102104109117121122123126127130136
138140143147155159161162163164170172173178184185186187190201204
205207208209 213215216 217 218232 234 236 237 239 242244245246248249
251 252 255 256 259 261 265 266 268 270 271 278 279 283 284 286 287 289
291 295 296 298 299 300 301 302 309 312 314321325326327 328
329330331334336 338342344345 347349357 360 361364 367368 369370 373
374378380381383385388389 395399401402 406407 408 409 410 416 418 420
421 422 425 427428 431 432 440 442 443445 449 450 451454 459 460 463 466
467471 472 473474 477 480 481
En total 167 valores de 119899 que al evaluarlos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 obtenemos nuacutemeros
compuestos
Cribando estos nuacutemeros obtenemos
01234567891011121314151617181920212223242526272829 30 31 32
33 34 35 36 37383942434546474850515253545557585960 61 62 63 64
66 67 68 69 70 71 72737475777879 80 83 85 86 8890 929394 95 97 98 99
100101103105106107108110111112113114115116118119120124125128129
131132133134135137139141142144145146148149150151152153154156157
158160165166167168169171174175176177179180181182183188189191192
193194195196197198199200202203206210211212214219220221222223224
225226227228229230231233235238240241243247250253254257258260262
263264 267 269 272 273 274275276277280281282 285 288 290292293294 297
303 304 305306 307308310311 313 315316317318319320 322323 324332 333
335337 339340 341 343346 348 350351 352 353 354 355 356 358 359 362
363365366371 372375376377379 382384386387390 391392 393 394 396 397
398 400 403 404 405 411 412 413 414415 417 419 423 424 426 429430433 434
435 436 437 438 439 441 444 446 447 448 452 453 455 456 457 458 461 462
464 465 468 469 470 475 476 478 479
En total 315 valores de 119899 que al evaluarlos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 siempre se obtiene un
nuacutemero primo Estos nuacutemeros primos son
4143475361718397113131151173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503
547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447
15231601 1847 1933 2111 2203 2297 2393 2591 2693 2797 2903 3011 3121 3347
3463 3581 3701 3823 3947 4073 4201 4463 4597 4733 4871 5011 5153 5297 5443
5591 5741 6047 6203 6361 6521 7013 7351 7523 7873 8231 8597 8783 8971 9161
9547 9743 9941 10141 10343 10753 11171 11383 11597 11813 12251 12473 12697
12923 13151 13381 13613 14083 14321 14561 15541 15791 16553 16811 17333
17597 17863 18131 18401 18947 19501 20063 20347 20921 21211 21503 22093
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22391 22691 22993 23297 23603 23911 24533 24847 25163 25801 27431 27763
28097 28433 28771 29453 30491 30841 31193 31547 32261 32621 32983 33347
33713 35573 35951 36713 37097 37483 37871 38261 38653 39047 39443 39841
40241 41047 41453 42683 44351 44773 45197 46051 4822148661 49103 49547
49993 50441 50891 51343 51797 52253 52711 53171 53633 54563 55501 56923
57881 58363 59333 61297 6279164303 64811 66347 66863 67901 68947 69473
70001 71597 72671 74297 74843 75391 75941 76493 77047 78721 79283 79847
81551 83273 84431 85597 86183 86771 88547 92153 92761 93371 93983 94597
95213 96451 97073 98323 99581 100213 100847 101483 102121 102761 104047
104693 105341 110597 111263 112601 113947 115301 115981 116663 118033
120103 121493 122891 123593 124297 125003 125711 126421 127133 127847
128563 129281 131447 132173 133631 134363 138053 138797 141041 141793
142547 144061 146347 147881 149423 150197 152531 153313 154097 154883
155671 157253 158047 158843 160441 162853 163661 164471 169373 170197
171023 171851 172681 174347 176021 179393 180241 181943 184511 185371
187963 188831 189701 190573 191447 192323 193201 194963 197621 199403
200297 201193 204797 205703 207521 208433 209347 210263 213023 213947
215801 216731 219533 220471 221411 226141 227093 229003 229961
O sea desde 119899 = 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 481 el 3465 de los valores de 119899 generan nuacutemeros
compuestos al evaluarlos en el polinomio de Euler y el 6535 son nuacutemero primos
En esta criba el nuacutemero primo maacutes pequentildeo es 119901(0) = 02 + 0 + 41 = 41 y el maacutes grande
es 119875(479) = 4792 + 479 + 41 = 229961
Nota Las foacutermulas aquiacute publicadas nos permite encontrar nuacutemeros primos muy grandes o
nuacutemeros compuestos que son el producto de nuacutemeros primos grandes uacutetiles en la
criptografiacutea Las foacutermulas pueden ser la fundamentacioacuten matemaacutetica para desarrollar
programas informaacuteticos o Software que sean utilizados en la proteccioacuten de informacioacuten
necesaria a nivel personal como a nivel mundial
Referencias bibliograacuteficas
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Rusia) httpswwwugres~eaznareulerhtm
Camacho J y Camacho O (2020) Dos Cientiacuteficos Bajo Un Fresno Un Viaje A La Ciencia
En Doce Escritos Google Books
Fernaacutendez T y Tamaro E (2004) Adrien-Marie Legendre
httpswwwbiografiasyvidascombiografiallegendrehtm
Frases y Pensamientos (sf) Frases de nuacutemeros primos
httpswwwfrasesypensamientoscomarfrases-de-numeros-primoshtml
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117
Propuesta metodoloacutegica para el aprendizaje de
Sucesiones en la modalidad de Educacioacuten Abierta
Licda Charlene Loacutepez Quesada
Universidad de Costa Rica
charlenelopezucraccr
Lic Luis Fernando Mejiacuteas Molina
Universidad de Costa Rica
luismejiasmolinaucraccr
Licda Jennifer Tatiana Quesada
Canales
Universidad de Costa Rica
jenniferquesadacanalesucraccr
Resumen Estaacute investigacioacuten establece una propuesta metodoloacutegica que aborda el tema de
sucesiones en seacutetimo nivel (Teacuterraba) en la modalidad de educacioacuten abierta a la luz de la teoriacutea
de situaciones didaacutecticas La propuesta metodoloacutegica contiene tres moacutedulos dos de ellos dirigidos
al proceso de aprendizaje por parte del estudiante y un moacutedulo creado como apoyo a la labor
docente considerando el juego como herramienta facilitadora de los contenidos y habilidades
presentes en el programa de estudios de matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
Palabras clave Aprendizaje de sucesiones educacioacuten abierta teoriacutea de situaciones didaacutecticas
juegos programa de estudios matemaacutetica
1 Introduccioacuten
El derecho a la educacioacuten comienza con el nacimiento y continuacutea a lo largo de la vida Por
esta razoacuten como complemento de la ensentildeanza formal deberaacuten ofrecerse oportunidades
amplias y flexibles de aprendizaje por medios no formales con recursos y mecanismos
adecuados mediante un aprendizaje informal estimulante aprovechando entre otras las
Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten (UNESCO 2016)
Dentro de los desafiacuteos del sistema educativo costarricense se tiene pendiente la buacutesqueda de
sistemas educativos flexibles con diversas opciones de continuidad en la trayectoria
educativa con ofertas pertinentes y suficientes para atender las necesidades educativas de
quienes habiendo interrumpido el proceso de educacioacuten desean y requieren retomarlo
(Blanco 2009)
Para el antildeo 2016 el Consejo Superior de Educacioacuten toma el acuerdo nuacutemero
03-65-2016 que orienta la confeccioacuten de una nueva poliacutetica educativa con la finalidad de
alinear la educacioacuten costarricense en una novedosa etapa de su desarrollo Dicha poliacutetica
educativa dictada en 2017 se denomina La persona centro del proceso educativo y sujeto
transformador de la sociedad es heredera de los importantes avances mencionados (Consejo
Superior de Educacioacuten 2017)
Estas poliacuteticas educativas pretenden asegurar el acceso de las poblaciones en desventaja
social y en condicioacuten de vulnerabilidad a los servicios sociales baacutesicos por lo que se
evidencia la buacutesqueda de una mayor responsabilidad en instituciones tanto puacuteblicas como
privadas en procura del beneficio de este tipo de poblacioacuten (Cheacutevez 2015)
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118
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP) aspira a ofrecer y reforzar la
educacioacuten para joacutevenes y adultos que por diversas situaciones dejan el sistema formal de
educacioacuten secundaria por tanto es notorio que las acciones poliacuteticas educativas estaacuten
dirigidas al objetivo de superar el desafiacuteo descrito
Una de estas ofertas educativas establecida es el proyecto de Educacioacuten Abierta que permite
a la poblacioacuten mayor de 12 antildeos incorporarse a completar algunos de los ciclos de la
educacioacuten formal tal es el caso del Tercer Ciclo de la Educacioacuten General Baacutesica
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (2012) indica que ldquoEl dominio de las
habilidades y el desarrollo de la competencia matemaacutetica se propone realizar a partir de la
mediacioacuten pedagoacutegica la organizacioacuten de las lecciones de las tareas matemaacuteticas y la accioacuten
directa docente en el aulardquo (p 14)
Ahora bien el Programa de Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de
Costa Rica (2012) dentro del aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra describe que las funciones se
colocan en otra perspectiva maacutes concreta relaciones de cambio entre dos variables que
dependen entre siacute Las funciones vistas asiacute estaacuten asociadas a relaciones maacutes generales como
pueden ser las relaciones de orden las relaciones de divisibilidad las sucesiones la
proporcionalidad los porcentajes las velocidades o razones de cambio
El proceso evolutivo de ensentildeanza y aprendizaje del proyecto de Educacioacuten Abierta consiste
en la asistencia presencial a tutoriacuteas o bien que cada estudiante se prepare de manera
independiente en la casa por medio de los recursos que brinda el proyecto por esta razoacuten se
decide incursionar en la modalidad de Educacioacuten Abierta debido a su gran importancia para
cumplir con las expectativas que se mencionan anteriormente tanto para el beneficio de los
estudiantes como para el apoyo del docente ya que al tener material de apoyo limitado en
esta liacutenea educativa se comete el error de la mediacioacuten didaacutectica como clases magistrales
Ademaacutes de centrar la atencioacuten en el estudiante la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas (TSD)
propone que el estudiante pueda construir sus conocimientos a traveacutes de una serie de
interacciones con su contexto (situaciones) tal como tambieacuten lo propone el Programa de
Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP 2012)
mediante la forma de organizacioacuten de las lecciones planteada en dicho documento
Por lo tanto se decide trabajar en esta investigacioacuten con la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas
al ser una teoriacutea centrada en el estudiante que se adapta a la modalidad de Educacioacuten Abierta
a las metodologiacuteas que se proponen en los programas del MEP a tener el estudiante la mayor
parte de la responsabilidad por su aprendizaje y a los objetivos de la educacioacuten costarricense
Por otra parte el Programa de Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
de Costa Rica (MEP 2012) pretende desarrollar en los estudiantes una competencia
matemaacutetica definida como ldquohellip una capacidad de usar las matemaacuteticas para entender y actuar
sobre diversos contextos realeshelliprdquo (p 14) Asimismo se destaca la importancia de potenciar
habilidades asociadas a los niveles de abstraccioacuten que alcanzan los estudiantes de manera
que se procuren tareas de razonamiento y argumentacioacuten
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
119
Este tipo de habilidades se le atribuye al aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra del programa de
estudios al ser esta la rama de la matemaacutetica que fortalece el razonamiento loacutegico de los
estudiantes al enfrentarlos a conceptos complicados y cambiantes y de esta manera promover
formas diferentes de pensamiento
Ademaacutes estas destrezas para resolver problemas y pensar de forma criacutetica pueden ayudar a
los estudiantes a tener eacutexito en el trabajo y en la vida auacuten si no continuacutean sus estudios lo
cual es una caracteriacutestica comuacuten en la poblacioacuten meta de estos proyectos educativos sin
importar que continuacuteen con estudios superiores o no se les debe dar las herramientas
necesarias para tener una mejor calidad de vida promoviendo la oportunidad de optar por un
mejor trabajo y asiacute enfrentarse a la realidad social
Por lo anterior y por las dificultades que presentan los estudiantes alrededor del aacutelgebra
evidenciadas en el trabajo de Garrote et al (2004) se inspira esta investigacioacuten a enfocarse
en la rama del aacutelgebra con el fin de fortalecer y ayudar a los estudiantes a la hora de
enfrentarse a la transicioacuten de la aritmeacutetica al aacutelgebra siendo esta un aacuterea de mucha
importancia para la formacioacuten de ciudadanos capaces de enfrentarse y resolver situaciones
complejas de la vida cotidiana
De esta manera se presentaraacute una guiacutea docente que contiene tres moacutedulos el primero
dirigido al autoaprendizaje de los estudiantes el segundo una propuesta metodoloacutegica para
realizar en el aula y el tercero tambieacuten dirigido al autoaprendizaje de los estudiantes como
ejercicios de reforzamiento de los conocimientos
2 Propuesta metodoloacutegica
La presente secuencia constituye una propuesta metodoloacutegica para el docente de Educacioacuten
Abierta que le permita mediar el proceso de ensentildeanza del tema de sucesiones el cual se
ubica en el nivel de seacutetimo antildeo seguacuten los programas del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
La secuencia didaacutectica utilizada estaacute basada en la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas de
Brousseau Es importante aclarar que en esta propuesta se plantean algunas de las situaciones
presentes en la teoriacutea en los moacutedulos de autoaprendizaje para el estudiante y otras en el
moacutedulo de trabajo en clase
La propuesta didaacutectica consta de tres moacutedulos de los cuales dos van dirigidos al estudiante
donde se impulsa y orienta su autoaprendizaje y uno es dirigido al docente para guiarlo
durante la clase presencial del proyecto Dichos moacutedulos se desarrollan en torno a dos videos
de elaboracioacuten propia disentildeados para que el estudiante participe durante la visualizacioacuten de
los mismos y un juego de cartas llamado Eslabones y Cadenas de elaboracioacuten propia
tambieacuten que es una adaptacioacuten del juego Phase 10 y Ron (Naipe)
La idea de secuencia de la aplicacioacuten de los moacutedulos es que el docente en la leccioacuten antes
de abarcar el tema de sucesiones deje como tarea el moacutedulo 1 de autoaprendizaje Luego de
esto que durante la clase presencial el docente desarrolle el moacutedulo 2 y por uacuteltimo el
moacutedulo 3 tambieacuten dirigido al autoaprendizaje del estudiante se deja como tarea al final de
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
120
la leccioacuten presencial a modo de refuerzo A continuacioacuten se explica en queacute consiste cada
moacutedulo mencionado
Caracteriacutesticas Generales de la Propuesta
Modalidad de la propuesta
- Proyectos de Educacioacuten Abierta propuestos por el MEP
Conocimientos por desarrollar
- Sucesiones y sus representaciones Ley de formacioacuten y patrones
Habilidades por desarrollar con la propuesta
- Identificar la ley de formacioacuten de una sucesioacuten utilizando lenguaje natural tabular y
algebraico
- Plantear y resolver problemas relacionados con sucesiones y patrones
Materiales por utilizar
- Paacuteginas interactivas
- Juego Eslabones y Cadenas
Moacutedulo 1
Consiste en un poacutester digital interactivo que se encuentra en el siguiente enlace
httpseduglogstercomglogsucesiones38t6f0c5wko La idea es que los estudiantes
ingresen con ayuda de sus teleacutefonos inteligentes o computadora desde sus casas y realicen
las actividades que ahiacute aparecen El acceso a dicho enlace se lo debe proporcionar el docente
ya sea llevando el poacutester impreso a la clase y que cada estudiante escanee el coacutedigo QR que
trae al final para acceder a la paacutegina o entregando en fiacutesico una copia del poacutester para que
tengan la opcioacuten de escanear el coacutedigo en casa o ingresar el enlace en la computadora Otra
opcioacuten es que el docente tenga el video en su celular y lo pase por medio de Bluetooth a los
estudiantes que no tienen acceso a internet
El PDF interactivo dirige al estudiante a lo largo de tres etapas al enfrentamiento a un
problema contextualizado la visualizacioacuten de un primer video sobre patrones y a la
aplicacioacuten y movilizacioacuten de los conocimientos
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten fundamental el moacutedulo inicia con esta situacioacuten en la cual se expone a los
estudiantes a un primer acercamiento al tema de sucesiones presentaacutendoles un problema
contextualizado el cual deben resolver usando uacutenicamente lo que conocen hasta el momento
Cabe recalcar que este problema puede ser modificado por el docente de acuerdo con el
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
121
contexto de sus estudiantes sin embargo debe lograr representar un verdadero problema no
ejercicios
- Visualizacioacuten del video 1 en este video se activan conocimientos previos que se consideran
necesarios para avanzar con el tema de sucesiones Baacutesicamente se trabaja encontrar
teacuterminos de sucesiones sencillas tanto numeacutericas como pictograacuteficas
- Etapa de movilizacioacuten al finalizar el video se tiene una etapa de ejercicios variados en los
que el estudiante debe realizarlos a modo de ejercitar la mente para identificar el patroacuten y
encontrar teacuterminos de una sucesioacuten
Moacutedulo 2
Consiste en una clase de 2 horas aproximadamente y se basa en una guiacutea para el docente
donde se describe coacutemo a traveacutes del juego de cartas Eslabones y Cadenas se producen
situaciones didaacutecticas de accioacuten formulacioacuten y validacioacuten en las que los estudiantes pueden
interactuar unos con otros y expresar sus ideas Finalmente se pretende que el docente
institucionalice los conocimientos que se adquieren durante el moacutedulo 1 y la clase para esto
se le dan algunas recomendaciones a seguir y libertar para disentildear dicha situacioacuten
A continuacioacuten se describe el Juego Eslabones y Cadenas y coacutemo se disentildean las cartas
Tambieacuten se presentan las instrucciones de coacutemo jugar para que el docente sea capaz de
explicarlo en clase Se recomienda que el docente juegue antes de aplicar la propuesta con
el fin de que maneje lo mejor posible el juego y su objetivo
Juego Eslabones y Cadenas
Materiales por utilizar
- Disentildeo de las cartas (se adjunta al final de la propuesta)
- Disentildeo de las pizarras
- Papel cartulina tamantildeo carta
- Impresora (o acceso a una)
- Plaacutestico
- Tijeras o guillotina
- Marcadores de pizarra
Pasos por seguir
- Imprima el disentildeo de las cartas y el de las pizarras en papel cartulina
- Emplastique las hojas de cartulina por ambos lados (tambieacuten puede recurrir a un lugar donde
se hagan emplasticados para un mejor acabado)
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- Recorte con las tijeras o la guillotina cada una de las cartas y cada una de las pizarras Al
final debe tener ocho pizarras y 66 cartas 15 de cada color (celeste morado naranja verde)
numeradas del 1 al 15 2 cartas Salto y 4 cartas Comodiacuten
- Los marcadores se utilizan para que los jugadores rellenen las pizarras
Instrucciones del juego
Significado de las cartas de accioacuten
- Comodiacuten esta carta puede ser utilizada para reemplazar cualquier carta ya sea un nuacutemero
o color para completar cualquier fase El valor asignado se mantiene por toda la mano Si es
la primera carta lanzada en la pila de descarte esta puede ser tomada por el primer jugador
- Salto esta carta se utiliza para saltar a un jugador
Objetivo del juego
- El objetivo del juego es completar las tres misiones lo antes posible y se deben completar
en orden
Las tres misiones son
- Misioacuten 1 grupo de tres cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de tres
cartas con el mismo color
- Misioacuten 2 grupo de cuatro cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de cuatro
cartas con el mismo color
- Misioacuten 3 grupo de cinco cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de cinco
cartas con el mismo color
Antes de comenzar
Escoger un jugador para que mezcle y reparta las cartas las cuales se reparten boca abajo
Para la primera misioacuten se reparten siete cartas (en la segunda misioacuten nueve y en la tercera
misioacuten 11) a cada jugador (o equipo) El mazo con el resto de las cartas se coloca boca abajo
en el centro de la mesa La primera carta se voltea y se coloca al lado pues esta seraacute la primera
carta de la pila de descarte
Luego todos los jugadores voltean sus cartas y las estudian individualmente para determinar
queacute necesitan para completar la misioacuten
Desarrollo del juego
El jugador a la izquierda del repartidor comienza el juego y asiacute se continuacutea con el orden de
los turnos de cada jugador Durante cada turno al jugador que le corresponde debe tomar una
carta ya sea del mazo de cartas o de la pila de descarte luego puede realizar alguna de las
siguientes acciones
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123
- Apearse colocar sobre la mesa las cartas boca arriba de alguno de los grupos de cartas la
misioacuten que le corresponde Por ejemplo para la misioacuten 1 apear el grupo de cartas [2 4 6]
que va de dos en dos
- Abonar antildeadir una carta de la mano a las apeadas de los demaacutes jugadores Por ejemplo
antildeadir un 8 a la secuencia [2 4 6] de otro jugador
- Completar la misioacuten colocar sobre la mesa boca arriba las cartas que completan la misioacuten
Para finalizar el turno del jugador se tira una de las cartas en la mano a la pila de descarte
Si se completa la misioacuten se toman las cartas del mazo para intentar conseguir la siguiente
misioacuten
Si las cartas del mazo se acaban se baraja la pila de descarte y se ponen estas cartas boca
abajo para poder continuar con el juego Y el juego termina cuando un jugador logra
completar las tres misiones y si esto sucede se deben transcribir los grupos de cartas a las
pizarras donde la fila de la 119899 representa la posicioacuten de la carta en el grupo ordenado y el 119886119899
representa el valor de la carta en la posicioacuten
Variantes en el juego
- Para minimizar el tiempo de juego se puede jugar solamente con dos misiones (primera y
segunda o primera y tercera) Tambieacuten para disminuir la complejidad del juego se puede
jugar omitiendo las apeadas con orden de color en las misiones
- El juego se puede jugar con un naipe comuacuten o con el popular juego ldquoUnordquo variando la
cantidad de cartas requeridas para cada grupo de cartas en las dos uacuteltimas misiones
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten accioacuten y Situacioacuten de formulacioacuten la clase se inicia explicando la mecaacutenica del
juego Eslabones y Cadenas El docente en este caso no juega solo valida las diferentes
sucesiones y realiza algunas preguntas a los estudiantes para que ellos expresen verbalmente
las sucesiones o patrones que estaacuten formando con las cartas Por ejemplo un estudiante puede
decir ldquoestoy realizando una secuencia de nuacutemeros paresrdquo o ldquomi secuencia va de dos en dosrdquo
pero lo importante es que a partir de la situacioacuten de formulacioacuten el docente pueda cerciorarse
de que los estudiantes estaacuten construyendo conscientemente los patrones
- Situacioacuten de validacioacuten en la que los estudiantes consolidan y discuten sobre lo aprendido
defienden y justifican su posicioacuten con las jugadas o secuencias realizadas mientras se
conversa sobre las diferentes representaciones Despueacutes de que el juego acaba (cuando
alguno de los equipos haya completado las fases) y sin retirar las cartas de la mesa de juego
cada equipo debe escoger alguna de las sucesiones en la mesa para que cada equipo realice
la respectiva tabulacioacuten en las pizarras El docente realiza las siguientes preguntas a cada
equipo para que vayan completando las tablas
En la primera carta de su sucesioacuten iquestcuaacutel nuacutemero hay iquestcuaacutel nuacutemero se encuentra en la
segunda carta
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124
Se pretende que mediante esta actividad se introduzca el concepto de variable y la relacioacuten
que existe entre el ldquo119899rdquo y el ldquo119886119899rdquo
Cada grupo debe analizar las diferentes relaciones de la tabla para generar e intentar plantear
una ley de formacioacuten o representacioacuten algebraica de la sucesioacuten
- Institucionalizacioacuten en esta seccioacuten de la clase el docente interviene para revisar y validar
las leyes de formacioacuten que realizaron los estudiantes Se formaliza el concepto de variable y
de sucesioacuten mediante una discusioacuten de los conocimientos adquiridos en las diferentes
situaciones didaacutecticas Se complementa la leccioacuten asignando el moacutedulo 3 como trabajo
extraclase Se presentan algunas recomendaciones y aspectos importantes por considerar para
que el docente planee su situacioacuten de institucionalizacioacuten
A la hora de introducir el concepto de variable se recomienda la utilizacioacuten de un espacio
para rellenar con un nuacutemero (⊡) en lugar de una letra ya que se pudo apreciar que facilitoacute
la comprensioacuten del significado de las mismas en este tema
Se requiere que el docente aclare la forma en que se pasa del lenguaje natural o tabular al
lenguaje algebraico ya que por ellos mismos es una labor que probablemente no logren
realizar debido a la complejidad del mismo Sin embargo la idea es que el docente los guiacutee
a llegar a completar este proceso y no que les presente por completo la forma de hacerlo
Con respecto a la simbologiacutea de la multiplicacioacuten en el lenguaje algebraico (no aparece
ninguacuten signo entre un nuacutemero y una letra) les resulta familiar si el docente lo relaciona con
las operaciones combinadas entre nuacutemeros naturales (cuando hay un pareacutentesis seguido de
un nuacutemero ahiacute existe una multiplicacioacuten que ldquono se verdquo)
Se recomienda que el docente utilice preguntas generadoras como iquestqueacute nuacutemero sigue iquestpor
queacute ese nuacutemero iquestqueacute se hace iquestestaacuten de acuerdo iquestalguien lo hizo diferente iquestqueacute se les
ocurre iquestqueacute pasa con la posicioacuten 1 iquesty si cambiamos a la posicioacuten 2 funciona iquestcoacutemo
consigo el que va en la posicioacuten 97
Moacutedulo 3
Consiste tambieacuten un poacutester interactivo que se encuentra en el siguiente enlace
httpseduglogstercomglognumber-operation2x7p7aw4hqo Fue disentildeado a modo de
reforzar la situacioacuten de institucionalizacioacuten el cual estaacute compuesto por dos etapas la
visualizacioacuten del segundo video donde se formalizan conocimientos y la aplicacioacuten y
movilizacioacuten de los nuevos saberes aprendidos Y funciona de la misma manera que el primer
poacutester interactivo
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten de refuerzo para la institucionalizacioacuten en la cual los estudiantes disponen de un
video donde se refuerza lo dicho por el docente sobre sucesiones
- Etapa de aplicacioacuten y movilizacioacuten de conocimientos la cual se compone de una serie de
ejercicios divididos por secciones donde se utilizan los conceptos y elementos algebraicos
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125
para el tema de sucesiones con el fin de afianzar conocimientos adquiridos en todo el proceso
de aprendizaje de las sucesiones
3 Conclusioacuten
En relacioacuten con el contenido de Sucesiones se considera que las habilidades que plantea el
MEP para este contenido son necesarias sin embargo no se incluye la representacioacuten graacutefica
de una sucesioacuten cuando es necesaria para futuros temas como funciones y proporcionalidad
Al analizar diferentes definiciones establecidas para el concepto de sucesiones se considera
que son rigurosas yo formales que pueden llegar a ser confusas para el estudiante de
educacioacuten abierta por lo que en esta propuesta se plantea una definicioacuten con vocabulario
sencillo que contempla las habilidades y contenidos del plan de estudios de esta modalidad
ldquoUna sucesioacuten es un conjunto o grupo ordenado de nuacutemeros figuras o cosasrdquo
Entre los obstaacuteculos epistemoloacutegicos se encuentran los conflictos con el significado de las
letras conflictos con el significado de los signos y conflictos con las respuestas esperadas
los cuales a lo largo de la clase presencial se advirtieron pero se lograron abarcar
satisfactoriamente con la situacioacuten de institucionalizacioacuten de aquiacute la importancia de un
adecuado disentildeo de la misma
Los obstaacuteculos cognitivos son particulares y amplios en esta modalidad falta de haacutebitos de
estudio imposibilidad de asistir a clase constantemente falta de conocimientos previos poco
tiempo asignado a los contenidos motivacioacuten e intereacutes condiciones familiares desfavorables
entre otros Dichos obstaacuteculos se consideraron en el disentildeo de la propuesta y se trataron de
evitar en la medida de lo posible avanzando en el conocimiento de forma paulatina con un
autoaprendizaje dirigido y actividades luacutedicas en clase La propuesta va dirigida
especiacuteficamente para Educacioacuten Abierta y no a otro tipo de programa ofrecido por el MEP
sin embargo se considera que esta puede ser adaptable a las condiciones y particularidades
de cada modalidad de estudio
Los obstaacuteculos didaacutecticos son considerados los efectos propuestos en la TSD Topaze
Jourdain Desplazamiento metacognitivo Uso abusivo de la analogiacutea y el Envejecimiento
de las situaciones de ensentildeanza los cuales durante la aplicacioacuten de la propuesta se concluye
que los dos primeros efectos pueden ser evitados haciendo de juegos para abordar los temas
de estudio ya que el papel del docente queda de lado al ser los estudiantes quienes interactuacutean
entre ellos Sin embargo al usar actividades luacutedicas se debe tener cuidado de no caer en el
desplazamiento metacognitivo pues el jugo se puede convertir en el fin de la clase
Por uacuteltimo para este caso particular de las sucesiones por su naturaleza y la forma de
evaluacioacuten realizada por el MEP se dificulto evitar el abuso de la analogiacutea en los ejercicios
en la propuesta
Al consultar a docentes con experiencia en la modalidad de educacioacuten abierta se obtienen
insumos para considerar elementos que se evidencian uacutenicamente a nivel praacutectico
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126
Los docentes coinciden y mencionan los obstaacuteculos cognitivos establecidos en la teoriacutea sin
embargo recalcan la importancia de la motivacioacuten y el intereacutes ya que una de las situaciones
maacutes preocupantes en esta modalidad es la desercioacuten de los estudiantes y consideran que la
falta de este impulso es la razoacuten de dicha problemaacutetica
En relacioacuten con el contenido de sucesiones se sostiene que es un tema superficial en el
programa de estudios para el nivel de Teacuterraba y se le debe dedicar poco tiempo de clases a
pesar de que diferentes investigaciones aseguran la importancia que posee en el aacutembito del
aacutelgebra en matemaacutetica y recalcan la dificultad que presenta para los estudiantes Ademaacutes los
docentes consideran que debido a la naturaleza del tema y a los tipos de iacutetems que se
presentan en el examen del MEP es de esperarse que le proceso de Razonar yo Argumentar
sea mayoritariamente trabajado en la propuesta
Con respecto a los obstaacuteculos didaacutecticos no se mencionoacute mucho al respecto sin embargo se
destaca la repeticioacuten en las preguntas de los exaacutemenes del MEP en relacioacuten a este tema por
lo que es de esperarse que en la propuesta no se lograra evitar el efecto del abuso de la
analogiacutea de la TSD
Los procesos matemaacuteticos de Razonar yo Argumentar y de Comunicar propuestos en el
programa de estudios del MEP se alcanzaron satisfactoriamente debido al tipo de actividades
planteadas y el tema elegido El proceso de Representar no se logra de manera adecuada
debido a las instrucciones del juego las cuales fueron confusas al trabajar la representacioacuten
tabular y la complejidad del simbolismo algebraico Ademaacutes se presentaron dificultades con
el proceso de Plantear yo Resolver problemas ya que el problema de la situacioacuten
fundamental no se logroacute resolver debido a algunas particularidades mencionadas por los
estudiantes que les impidieron estudiar para la clase
Los docentes expresaron su agrado ante el disentildeo de las actividades planteadas y las
consideraron acordes con tema trabajado se brindaron recomendaciones las cuales fueron
incorporadas en la propuesta con el fin de mejorarla Tambieacuten se discutioacute la dificultad que
podiacutea representar el juego para el tipo de poblacioacuten que asiste a esta modalidad sin embargo
esto no resultoacute ser un problema en el grupo que se aplicoacute la propuesta
Finalmente en el anaacutelisis de resultados realizado se determina que la propuesta didaacutectica
planteada para el aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra especiacuteficamente para el tema de sucesiones
en el nivel de Teacuterraba es acertada debido a que se ocupa de las habilidades planteadas por el
MEP y cumple con lo sentildealado por los docentes expertos al facilitar el proceso mediante el
cual se establece la relacioacuten entre las representaciones algebraicas y aritmeacuteticas de las
sucesiones Ademaacutes se considera la participacioacuten de los estudiantes como evidencia de la
motivacioacuten para trabajar el contenido de sucesiones
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Retos de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico y uno
privado
Jennifer Aragoacuten Monge
Universidad Estatal a Distancia Costa Rica
jaragonunedaccr
Paulina Coto Mata
Universidad Estatal a Distancia Costa Rica
pcotomunedaccr
Resumen Cuando cerraron los colegios de Costa Rica debido al COVID-19 la mayoriacutea de los
docentes empezaron a reinventar las lecciones y pasar a la virtualidad A partir de ahiacute surgieron
muchos retos que se enfrentaron como docentes de Matemaacuteticas para continuar con el proceso
educativo en este caso a nivel de ensentildeanza media La ponencia tiene como objetivo evidenciar
estos desafiacuteos desde dos escenarios diferentes en el Colegio Mariacutea Inmaculada de iacutendole privado
y la Unidad Pedagoacutegica San Diego puacuteblico Algunos de ellos fueron el uso de tecnologiacuteas de la
informacioacuten dificultades para la ensentildeanza a distancia de las Matemaacuteticas situaciones
socioeconoacutemicas compromisos de todos los actores del aacutembito educativo entre otros Se
muestran las diferencias en la praacutectica educativa desde dos realidades distintas
Palabras claves Educacioacuten Educacioacuten a distancia Educacioacuten secundaria Didaacutecticas de las
Matemaacuteticas
1 Introduccioacuten
Con la venida de la pandemia producto de la enfermedad COVID-19 se comenzaron a cerrar
centros educativos Fue cuando la educacioacuten a distancia comenzoacute a tomar auge Surgieron
las plataformas virtuales Google Classroom Microsoft Teams y otros recursos tecnoloacutegicos
como Zoom Youtube y Whastapp Los docentes comenzaron a transformar su forma de
ensentildear y tuvieron que reinventar estrategias metodoloacutegicas y materiales didaacutecticos
Mientras en el Colegio Mariacutea Inmaculada institucioacuten privada comenzaron ese cambio a
pocos diacuteas de cerrado los centros educativos en la Unidad Pedagoacutegica San Diego quedaron
a la espera de directrices por parte del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica y no fue hasta un mes
despueacutes que decidieron incursionar en la educacioacuten virtual
Al no tener una estrategia clara de coacutemo hacerlo se han venido presentando retos que los
docentes han tenido que solventar en la marcha Algunos hasta el diacutea de hoy no se han logrado
superar pese a los siete meses de haber incursionado en este escenario de la virtualidad
El trabajo tiene como objetivo evidenciar los desafiacuteos que afrontaron los docentes desde dos
aacutembitos diferentes colegio puacuteblico y privado asiacute como las soluciones que se le han dado a
algunos de estos Ademaacutes se mostraraacuten las diferencias de la ensentildeanza de las matemaacuteticas
que han recibido los estudiantes desde estos dos escenarios
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2 Colegio Mariacutea Inmaculada
21 Contexto Institucional
El Colegio Mariacutea Inmaculada estaacute ubicado en el distrito de San Vicente en el cantoacuten de
Moravia San Joseacute Es una institucioacuten privada catoacutelica que comprende todos los niveles de la
educacioacuten formal orientada por la Comunidad de Hermanas Franciscanas de Mariacutea
Inmaculada siguiendo el estilo pedagoacutegico y la espiritualidad de San Francisco de Asiacutes y de
la Beata Madre Caridad Brader (Colegio Mariacutea Inmaculada 2020)
Con respecto al estudiantado la mayoriacutea ingresan a la institucioacuten desde prekiacutender y continuacutean
ahiacute hasta llegar a undeacutecimo antildeo son generaciones muy consolidadas que se conocen bastante
bien
Otros aspectos relevantes de la institucioacuten es contar con un personal docente estable con
muchos antildeos de trabajo en equipo El colegio cuenta con un programa de estudio basado en
el del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica pero a la vez con autonomiacutea para de aumentar
cambiar y modificar contenidos a criterio del departamento de Matemaacuteticas
22 La evolucioacuten de las clases
Desde el 16 de marzo se suspendieron las clases presenciales En ese momento no se teniacutea
claro queacute procediacutea ni por cuaacutento tiempo se suspendiacutean las lecciones En cuestioacuten de dos diacuteas
el personal docente se organizoacute para comenzar la educacioacuten a distancia por medio de la
plataforma Classroom Se escogioacute esta por su facilidad para utilizarla Como menciona en la
paacutegina web El Comercio (2020)
Si bien la educacioacuten presencial supone mayores ventajas sobre todo por la posibilidad
de interactuar de forma directa en el dictado de clases el uso de herramientas digitales
como Google Classroom resulta fundamental en eacutepocas de confinamiento auacuten maacutes
cuando el volver a las aulas parece ser una opcioacuten lejana hasta que no se deacute por superada
la pandemia del coronavirus (paacuterr3)
Por medio de esta plataforma se les enviaban videos de Youtube con explicaciones realizadas
por la docente y se les asignaban trabajos sin embargo esta forma no era muy eficiente Los
estudiantes presentaban muchas dudas la mayoriacutea de los ejercicios que se les asignaban
teniacutean errores No estaban preparados para ser autodidactas Esta forma de ensentildear era
unidireccional no habiacutea interaccioacuten con los estudiantes aunque podiacutean plantear las dudas
por medio de la plataforma la comunicacioacuten seguiacutea siendo muy limitada
A partir de ahiacute se planteoacute la necesidad de usar una plataforma maacutes completa que permitiera
video llamadas pero que fuera gratis a la vez De ahiacute que se tomoacute la decisioacuten de incorporar
la aplicacioacuten Zoom como un apoyo a los videos de Youtube Se haciacutean llamadas con los
estudiantes aclarando dudas pero eran simples llamadas las cuales no lograban mejorar
grandemente el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
130
En ese momento la institucioacuten tuvo que tomar una decisioacuten Se optoacute por clases sincroacutenicas
usando Zoom Para ello se consultoacute a los padres de familia sobre la posibilidad de equipo
tecnoloacutegico (computadora o celular) con conexioacuten a internet Al tener una respuesta positiva
se establecioacute un nuevo horario para impartir lecciones organizados por generacioacuten y no por
grupo Se establecieron lapsos maacutes cortos de clases pero con la ventaja de estar todos
conectados al mismo tiempo para explicar aclarar dudas y tratar de hacer una clase virtual
lo maacutes parecida a una presencial Se acordoacute grabar las clases para brindaacutersela a los estudiantes
que por problemas de conexioacuten no asistieron La institucioacuten proporcionoacute computadoras para
los alumnos que no disponiacutean de una se establecieron reglas para el trabajo virtual entre
ellas no se solicitaba activar la caacutemara para salva guardar la integridad del menor de edad
Desde abril y durante todo el antildeo se continuoacute con clases sincroacutenicas por medio de la
plataforma Zoom con un horario establecido Se daban 3 clases de 1 hora a la semana se
pasaba lista de los estudiantes conectados y se teniacutea que justificar las ausencias ante la
administracioacuten
Por uacuteltimo se incorporoacute la evaluacioacuten sumativa Se comenzaron a realizar pruebas parciales
en liacutenea y se realizaron trabajos extraclase La modalidad de estos se explica maacutes adelante
23 Retos de la educacioacuten virtual en el Colegio Mariacutea Inmaculada
En el contexto del aula es difiacutecil lograr que los todos los estudiantes participen activamente
en la virtualidad ha sido auacuten maacutes complicado La participacioacuten en las clases sincroacutenicas se
ha visto afectada por aspectos como la cantidad de alumnos pues son alrededor de 60 por
grupo conexiones inestables distractores propios del ambiente de casa y el miedo a
equivocarse y que su duda quede grabada en un video
Para mejorar este reto se ha procedido a trabajar el miedo al error con el departamento del
psicologiacutea y orientacioacuten asiacute como la utilizacioacuten del chat directo con el docente durante la
clase La aplicacioacuten Zoom permite escribir en forma privada al profesor daacutendole un ambiente
de confianza al estudiante En el archivo de video de la ponente Aragoacuten (2020a) se evidencia
como se ha perdido el miedo a participar y ha mejorado la interaccioacuten en las clases
Otro gran reto que se tuvo que afrontar fue el implementar estrategias de trabajo en el aula
virtual La formacioacuten docente se basa en metodologiacuteas para la ensentildeanza en forma presencial
y no se estaba preparado para este cambio de escenario La mayoriacutea de las veces se optoacute por
una metodologiacutea tradicional donde el docente habla y los estudiantes escuchan sin embargo
no era adecuado quedarse con ella se necesitaba promover la participacioacuten pues esta ldquomejora
la asimilacioacuten y relevancia de contenidosrdquo (Baena y Ruiz 2019 p276)
En el segundo video de la ponente Aragoacuten (2020a) se muestra un trabajo grupal creado por
los estudiantes para introducir el tema de cuerpos soacutelidos Consistiacutea en explicar uno de ellos
sus partes y caracteriacutesticas debiacutean construir la figura en fiacutesico o por medio del programa
Geogebra Tambieacuten teniacutean que dar ejemplos concretos donde se observara ese cuerpo soacutelido
Cabe destacar que el tema no fue explicado con anterioridad el estudiante investigaba y
recolectaba la informacioacuten que ocupaba para desarrollarlo (Aragoacuten 2020b) De esta manera
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
131
se logra una mayor participacioacuten de los estudiantes y romper con esa metodologiacutea tradicional
que se veniacutea aplicando
Otro reto de la educacioacuten virtual y tal vez el maacutes difiacutecil de solucionar fue la evaluacioacuten El
docente no estaba preparado para valorar los aprendizajes desde una computadora El Colegio
Mariacutea Inmaculada analizando que el regreso a clases presenciales se visualizaba muy lejano
tomoacute la decisioacuten de seguir evaluando sumativamente Se propuso hacer las pruebas parciales
que inicialmente se teniacutean planeadas en la modalidad presencial pero ahora de forma virtual
Estas pruebas se enviaban por medio de la plataforma Classroom en forma de un archivo de
PDF a todos los estudiantes al mismo tiempo se le proporcionaban dos horas para su
realizacioacuten El estudiante descargaba el archivo lo imprimiacutea lo resolviacutea y lo devolviacutea en otro
archivo de PDF que conteniacutea las fotografiacuteas de cada paacutegina del examen
No obstante al hacer las pruebas virtuales se pierde la confiabilidad de esta No se tienen los
medios para verificar que el estudiante realice por eacutel mismo la prueba sin recurrir a
aplicaciones o programas matemaacuteticos o terceras personas para resolverla
En este caso solo se apela a la conciencia de los estudiantes y padres de familia de realizar la
prueba de la forma honesta evaluando las habilidades vistas en clases Es importante recordar
que la evaluacioacuten ldquoes un instrumento educativo que sobre todo informa respecto al proceso
educativo haciendo siacute su valoracioacuten del aprendizaje pero con el objeto de brindar mejores
propuestas y resultadosrdquo (Monzoacuten 2015 p22)
Por uacuteltimo otro reto importante fue el crear ambientes de trabajo aptos para el aprendizaje
La dinaacutemica del hogar ha cambiado la mayoriacutea de los padres de familia estaacuten en teletrabajo
los distractores son muchos no se cuentan con tantos escritorios y sillas adecuadas para estar
de 7 am a 2 pm frente a una computadora Muchos estudiantes tuvieron que recurrir a usar
anteojos para solventar los problemas de vista que generan los dispositivos electroacutenicos
Otros expresaban los dolores de espalda y cabeza por la dinaacutemica de la educacioacuten virtual A
continuacioacuten (Figura 1) opiniones de los estudiantes que reflejan esta problemaacutetica
Figura 1
Opiniones de los estudiantes sobre la problemaacutetica
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
132
Con respecto a este reto no se ha logrado grandes avances Se procedioacute a hablar con los
padres de familia y estudiantes para tratar en la medida de lo posible de crear ese ambiente
adecuado Tambieacuten se han creado espacios entre las clases virtuales para que el estudiante
descanse se levante y se despeje de estar frente a la computadora Ademaacutes desde el
Departamento de Orientacioacuten y Psicologiacutea se ha trabajado la importancia de crear horarios
de estudio y de descanso donde el estudiante pueda desconectarse de esta modalidad y evitar
lo sobrecargos de labores
3 El proceso de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico en Costa Rica
31 Unidad Pedagoacutegica San Diego
Contexto Institucional
La Unidad Pedagoacutegica San Diego (UP) se ubica en el distrito de San Diego en el cantoacuten de
La Unioacuten en la provincia de Cartago la institucioacuten alberga desde preescolar primaria y
secundaria (hasta III Ciclo) esta uacuteltima cuenta con una poblacioacuten cercana a los 450
estudiantes de diferentes niveles socioeconoacutemicos
Con respecto a los encargados legales la mayoriacutea cuenta con un nivel educativo uacutenicamente
de primaria completa muy pocos han terminado la educacioacuten diversificada y el nivel
universitario es praacutecticamente nulo Sus ingresos econoacutemicos son fluctuantes las fuentes
principales de empleo son informales Los lugares donde habitan generalmente son zonas de
alto riesgo social en casas prestadas alquiladas e incluso en cuarteriacuteas Existe un alto
porcentaje de estudiante becados por diferentes instituciones gubernamentales y no
gubernamentales y tienen un acceso limitado a los servicios baacutesicos incluidos el internet
La Unidad Pedagoacutegica tiene una alta concentracioacuten de inmigrantes muchos de ellos no tienen
un ciclo lectivo continuo en la institucioacuten ya que se trasladan con sus familiares a las zonas
donde hay fuentes de empleo provocando una inestabilidad en el proceso educativo de los
joacutevenes
32 Evolucioacuten en la Educacioacuten Virtual
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (MEP) suspendioacute las lecciones presenciales en la UP a
partir del lunes 16 de marzo dado que el colegio se encuentra en una zona con escases de
agua ese mismo lunes se iniciaba la semana de evaluacioacuten correspondiente a las primeras
pruebas escritas del primer trimestre
Inicialmente los docentes deciden enviar material a los estudiantes por medio del Facebook
del colegio con el fin de repasar los temas y no olvidar lo aprendido hasta el momento Se
pensaba que despueacutes de Semana Santa se regresariacutea a la presencialidad y se aplicariacutean las
pruebas escritas con toda normalidad
Cuando la sentildeora Giselle Cruz Maduro Ministra de Educacioacuten anuncia que el retorno a las
aulas no seraacute antes de vacaciones de medio periacuteodo se toma la decisioacuten de realizar grupos
de WhatsApp por cada seccioacuten con los estudiantes de noveno antildeo con el fin de lograr un
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
133
acercamiento y fortalecer el viacutenculo entre docente ndash estudiante Posteriormente se realizoacute lo
mismo con la generacioacuten de seacutetimo antildeo
Luego de las capacitaciones se inicia con las sesiones sincroacutenicas y asincroacutenicas con los
estudiantes por medio de la plataforma virtual Microsoft Teams escogida por el Ministerio
de Educacioacuten Puacuteblica Esta herramienta propicia la interaccioacuten virtual entre el profesor y los
estudiantes tal y como lo menciona Martiacutenez en la Revista Digital Educativa 30 (2020)
Esta plataforma nos permite crear clases virtuales gestionadas por el docente donde
los alumnos y el profesor pueden compartir distintos tipos de materiales de clase
(documentos apuntes viacutedeos imaacutegenes documentales cuestionarioshellip) ademaacutes de
mantener conversaciones mandar tareas y actividades evaluables generar exaacutemenes
online y un sinfiacuten de actividades relacionadas con el diacutea a diacutea del aula (paacuterr3)
Ademaacutes se trabajan con las Guiacuteas de Trabajo Autoacutenomo (GTA) como lo indica su nombre
son guiacuteas elaboradas por el docente donde se explica de una forma detallada una habilidad y
ejercicios relacionados con el tema El estudiante con ayuda de esta trabaja de manera
independiente para lograr el aprendizaje Es en este momento cuando se hacen visibles las
dificultades para la apropiacioacuten del conocimiento a distancia
Retos de la educacioacuten virtual en la Unidad Pedagoacutegica San Diego
Al inicio del mes de mayo se realiza una encuesta por medio de los profesores guiacuteas para
conocer el grado de conectividad que tienen los estudiantes de la Unidad Pedagoacutegica los
resultados no fueron los esperados La mayoriacutea no tienen acceso a internet estable y
constante muchos de ellos utilizan datos limitados Ademaacutes no todos tienen computadora
o teleacutefonos inteligentes para ingresar a los acompantildeamientos virtuales
En relacioacuten con las sesiones sincroacutenicas en Microsoft Teams el Estado llega a un acuerdo
con las compantildeiacuteas telefoacutenicas para que las aplicaciones no generen gasto de datos moacuteviles
es decir sean gratuitas para las familias costarricenses pero aun asiacute no fue funcional esto
debido que existe poca cobertura en los hogares la llamadas documentos y archivos en
general no cargan
Se tiene el tiempo limitado para el acompantildeamiento virtual una de las poliacuteticas del MEP es
no trasladar el centro educativo a los hogares En el caso de matemaacuteticas estas pasan de 5
lecciones de 40 minutos por semana a un maacuteximo una hora de semanalmente Otro factor
determinante es la asistencia al no ser obligatoria muchos de los estudiantes no muestran
intereacutes en asistir a las sesiones Ademaacutes no existe un acompantildeamiento ni un compromiso
real por parte de los encargados legales en todo este proceso
Todo esto desencadena problemas para la comprensioacuten de conceptos propiamente
matemaacuteticos los estudiantes enviacutean mensajes como ldquoHola buenos diacuteas profe vieras que no
estoy recibiendo lecciones por Teams y la verdad no entiendo la guiacuteardquo ldquoHola Profe vieras
que quitaron el wifi en mi casa y no ingreso a Teams y tengo muchas dudas de los ejerciciosrdquo
este tipo de mensajes se dieron con mayor frecuencia con el avance del curso lectivo
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Despueacutes de convivir con todas estas limitaciones el docente tiene que reinventarse y pensar
en diferentes estrategias recursos o aplicaciones que se adapten y motiven a la poblacioacuten
educativa como se menciona en los programas de estudios del Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica (2012) ldquoEn el aprendizaje son decisivas la motivacioacuten y intereacutes y en general todas
las dimensiones afectivas por lo que se adopta una visioacuten integral y humanista sobre la
ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (p37)
Ante las limitaciones que presentaba la poblacioacuten los docentes proceden a buscar diferentes
estrategias para continuar con el proceso educativo con todos los estudiantes de ahiacute nace la
necesidad de utilizar WhatsApp se graban videos se enviacutean fotos se aclaran dudas o se
hacen video llamadas para explicar un determinado tema
Se preguntaraacuten iquestPor queacute WhatsApp y no YouTube o Vimeo La respuesta es muy sencilla
es una aplicacioacuten que la mayoriacutea de las personas tiene en su celular la saben utilizar si la
docente enviacutea un video o un audio con la explicacioacuten de alguacuten tema solo genera un gasto a
la hora de la descarga y queda guardado en el dispositivo y puede utilizarlo cada vez que asiacute
lo requiera Era el medio maacutes factible y el que ofreciacutea mayores ventajas como se menciona
en el artiacuteculo de la revista de investigacioacuten en educacioacuten este recurso
Favorece la cooperacioacuten entre estudiantes Mejora la relacioacuten entre profesor y
alumnoSe establece una relacioacuten maacutes personalizada con el profesor por tanto
personaliza el aprendizaje Motivacioacuten del alumnado para aprender al mantener una
actitud positiva hacia el uso educativo del WA Promueve la participacioacuten incluso del
alumnado maacutes retraiacutedo o tiacutemido Ampliacutea las posibilidades creativas para los
estudiantes Promueve la lectura de textos cientiacuteficos Accesibilidad a materiales
formativos en varios formatos Posibilita dejar mini clases grabadas oralmente Abre
un canal para exponer y expresar ideas Posibilita la evaluacioacuten diagnoacutestica sobre los
conocimientos de los alumnos (Suarez 2018 p128)
A continuacioacuten (Figura 2) un extracto de la comunicacioacuten docente-estudiante utilizando
Whastapp
Figura 2
Extracto de la comunicacioacuten docente-estudiante por medio de Whatsapp
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Por otro lado los problemas de conectividad que tuvo esta poblacioacuten repercuten en la
imposibilidad de usar aplicaciones y programas propiamente matemaacuteticos Incluso algunos
no cuentan con calculadora propia pues las limitaciones econoacutemicas no les permitiacutean
adquirir una Este uacuteltimo punto rompe con uno de los cinco ejes disciplinares propuestos en
los programas de estudio como es el uso de la tecnologiacutea como un recurso para que el
estudiante construya su propio conocimiento
Las tecnologiacuteas pueden ser un poderoso aliado para potenciar el pensamiento
matemaacutetico Y es precisamente en la resolucioacuten de problemas en entornos reales donde
eacutestas pueden aportar sus beneficios de la mejor manera en contextos de aprendizaje
que fortalezcan las habilidades y capacidades matemaacuteticas (Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica 2012 p37)
La aplicacioacuten Mathway vino a ser un aliado para los estudiantes que no podiacutean adquirir una
calculadora y ademaacutes les ayudaba a verificar el resultado de ejercicios matemaacuteticos que se
les proponiacutean en la GTA
4 Conclusiones y recomendaciones
De la experiencia en el Colegio Mariacutea Inmaculada y en la Unidad Pedagoacutegica San Diego se
puede concluir que no se teniacutea un camino claro de coacutemo lograr una educacioacuten virtual pues
no se formaron a los docentes para trabajar en este escenario ni se teniacutea los recursos
necesarios para desarrollar a cabalidad esta modalidad De ahiacute que surgieron muchos retos
que se tuvieron que solventar en la marcha Es gracias a la labor docente y administrativa que
se logra continuar con un proceso educativo dentro de las posibilidades sin embargo Costa
Rica no estaacute preparada para este cambio Auacuten falta mucho camino por recorrer Ni siquiera
podemos asegurar una conectividad del 100 de los alumnos
Pese a las limitaciones que se dieron existieron estudiantes muy comprometidos
responsables aplicados que desde el primer momento realizaron sus trabajos como si
estuvieran en el aula Es digno de resaltar los valores mostrados por estos joacutevenes siendo
esto un aliciente para los docentes que con gran vocacioacuten realizaban su trabajo
Una de las ensentildeanzas maacutes valiosas que se pudo constatar con esta experiencia es la
importancia del profesor en algunos hasta casos desvalorizados Por maacutes tecnologiacutea de punta
y guiacuteas de trabajo autoacutenomo se necesita el calor humano del docente que en forma presencial
desarrolle la leccioacuten La interaccioacuten profesorndashestudiante frente a frente es un elemento que
no podemos dejar en el olvido La educacioacuten virtual siacute permitioacute el aprendizaje de algunas
habilidades del programa de estudios pero de forma maacutes lenta y con maacutes dificultades que si
se estuviera en forma presencial
Ya se ha dado un gran avance en la educacioacuten virtual se recomienda a un futuro pensar en
una modalidad dual que implemente tanto la virtualidad como la presencialidad Ambas
tienen ventajas que pueden enriquecer el proceso educativo
Es importante pensar a un futuro en instrumentos de evaluacioacuten sumativa metodologiacuteas de
trabajo virtual y plataformas que se adapten mejor a las condiciones de toda la poblacioacuten
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136
Ademaacutes se recomienda capacitar a los docentes en el uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Referencias bibliograacuteficas
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137
Simulacioacuten con el paquete CODAP para resolver
problemas estocaacutesticos
Greivin Ramiacuterez Arce
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica y Universidad de Costa Rica
gramirezitcraccr
Resumen Se pretende en el taller la simulacioacuten de problemas estocaacutesticos a traveacutes de la
herramienta Common Online Data Analysis Platform (CODAP) que es un paquete web
gratuito de libre acceso dinaacutemico con diversidad de elementos graacuteficas para la
representacioacuten de datos y de raacutepida curva de aprendizaje pues su nivel de programacioacuten es
baacutesico Se propone la simulacioacuten de cinco problemas de probabilidad con su respectiva
solucioacuten teoacuterica llegada de autobuses encuentro entre amigos torres de electricidad signos
del zodiaco y el banco abarcando temas como distribucioacuten binomial probabilidad
geomeacutetrica probabilidad de eventos conjuntos y complementos conteo y teoriacutea de colas
Palabras clave CODAP simulacioacuten probabilidad
1 Introduccioacuten
En el proceso repetitivo de seleccioacuten de muestras aleatorias se puede aproximar la
probabilidad de problemas basados en la frecuencia relativa del nuacutemero de eacutexitos obtenidos
en n experimentos La ley de los grandes nuacutemeros respalda estas aproximaciones y se puede
aplicar en temas como caacutelculo de probabilidad de eventos simples y compuestos ensayos
de Bernoulli distribucioacuten binomial probabilidad geomeacutetrica y probabilidad condicional
Se presenta a continuacioacuten una posible simulacioacuten a problemas probabiliacutesticos que facilitan
su comprensioacuten con respecto a la solucioacuten teoacuterica alejaacutendose inicialmente del formalismo
matemaacutetico Distintos investigadores a nivel mundial respaldan el uso de la tecnologiacutea
Fernaacutendez et al (2009) Biehler et al (2013) Tabak et al (2019) y a la vez se promueve
como una herramienta uacutetil de desarrollo de instruccioacuten en muchos curriacuteculos educativos
como el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (MEP) en Costa Rica la Secretariacutea de Educacioacuten
Puacuteblica (SEP) en Meacutexico el Ministerio de Educacioacuten y Formacioacuten Profesional (MEFP) en
Espantildea entre otros
La simulacioacuten en el paquete CODAP a traveacutes del proceso repetitivo de experimentos daraacute
una buena aproximacioacuten a la solucioacuten de problemas y a la vez permite la visualizacioacuten desde
el proceso constructivo de la distribucioacuten la obtencioacuten de datos la representacioacuten de ellos y
el caacutelculo final de la frecuencia relativa para la toma de decisiones
El disentildeo del paquete CODAP por el consorcio Concord fue hecho pensando en una
herramienta STEM (Science Technology Engineering and Mathematics) que permite el
acceso a datos cientiacuteficos reales a traveacutes de sus bases para explorar visualizar calcular y
entonces tomar decisiones
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Se puede acceder al paquete en la direccioacuten httpscodapconcordorg
Requerimientos del taller
Solo se requiere contar con internet pues CODAP se utiliza en liacutenea
2 Actividades
21 Simulacioacuten de autobuses
Imagine que estaacute esperando un autobuacutes en una terminal que estaacute muy saturada Uno de cada
cuatro autobuses que llegan en forma aleatoria le puede llevar a su destino iquestCuaacutel es la
posibilidad que entre los primeros cinco autobuses que arriban se encuentre al menos uno
que te lleve a tu destino
Seleccione la opcioacuten de Sampler en la barra de herramientas Plugins del software
Cree la distribucioacuten de buses seguacuten la hipoacutetesis del enunciado (uno de cada cuatro
autobuses le puede llevar a su destino Se toma 1 el bus me lleva 0 el bus no me lleva)
Asiacute
Figura 1
Creacioacuten de la distribucioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
a Por omisioacuten el programa toma como primer experimento tres muestras de tamantildeo cinco
con reemplazo Seleccione START para iniciar la animacioacuten
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Figura 2
Simulacioacuten del primer experimento
Nota Elaboracioacuten propia
En su caso iquesten los tres experimentos pudo ir a su destino
b Realice tres experimentos (equivale a 9 muestras de tamantildeo 5) iquestDe esas nueve muestras
en cuaacutentas ocasiones pudo ir a su destino
c Agregue un nuevo atributo en la tabla de muestras llamado Me lleva o no
Figura 3
Cuenta eacutexitos
Nota Elaboracioacuten propia
d Repita la cantidad de experimentos que desee y utilice la calculadora para contar el
nuacutemero de ocasiones del total de muestras en las que de cada cuatro buses que llegaron a
la estacioacuten pudo ir a su destino
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Figura 4
Probabilidad de eacutexito
Nota Elaboracioacuten propia
e Consulte la cantidad de eacutexitos que obtuvo el compantildeero (a) del lado y suacutemelo a la
cantidad de eacutexito que usted obtuvo Calcule nuevamente el nuacutemero de ocasiones del total
de muestras entre los dos en las que de cada cuatro buses que llegaron a la estacioacuten
pudieron ir a su destino
Solucioacuten teoacuterica
Sea 119883 el nuacutemero de buses que lo llevan al destino de los cinco que llegan de manera
aleatoria
119883~119861 (119899 = 5 119901 =1
4) donde su funcioacuten de probabilidad estaacute dada por
119891119883(119896) = 119862(119899 119896)119901119896119902119899minus119896 con 119896 = 012 hellip 5
119875(119883 ge 1) = sum 119862(5 119896) (1
4)
1198965
119896=1
(3
4)
5minus119896
=781
1024asymp 0762695
22 Encuentro entre amigos
Dos amigos han decidido encontrarse en un restaurante entre 8 y 9 de la noche Cada uno
de ellos entra al restaurante en forma aleatoria en cualquier minuto de ese periodo y esperan
16 minutos maacuteximo y luego se retiran iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que se encuentren
a Arrastre una tabla con las siguientes columnas
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Figura 5
Definicioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
b Asigne un tiempo aleatorio de llegada del primer amigo y del segundo amigo entre las 8
y las 9
Figura 6
Tiempo de llegada de los amigos
Nota Elaboracioacuten propia
c Obtenga la diferencia absoluta entre los tiempos de llegada de los dos amigos
d Defina si los amigos se encuentran o no seguacuten la diferencia de los tiempos de llegada
Figura 7
Diferencias en tiempos de llegada
Nota Elaboracioacuten propia
e Aumenta a 1000 el nuacutemero de llegadas de los amigos y calcula la probabilidad empiacuterica
de que los dos amigos se encuentren
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iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que no se encuentren
iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que se encuentren a la entrada del restaurante
Solucioacuten teoacuterica
23 Torres de Electricidad
Los pueblos A B C y D estaacuten enlazados por liacuteneas de transmisioacuten eleacutectrica entre A y B A
y C B y C y C y D La planta generadora estaacute en A (ver la Fig ) Durante una tormenta
severa la probabilidad que alguna liacutenea en particular se caiga por defecto del clima es 02 y
es independiente de cualquier liacutenea iquestCuaacutel es la probabilidad que el pueblo D tenga energiacutea
eleacutectrica despueacutes de la tormenta iquestQueacute es maacutes probable que haya energiacutea en el Pueblo D
despueacutes de una tormenta severa o que no haya
a Construya la tabla correspondiente y escribe los siguientes atributos LiacuteneaAB LiacuteneaAC
LiacuteneaBC LiacuteneaCD y PuebloD
b Asigne a cada atributo la foacutermula
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Figura 8
Definicioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
Donde 1 significa que la liacutenea funciona perfectamente mientras que 0 significa que hay un
defecto en la Liacutenea
Arrastre 1000 casos y analice algunos de los resultados
d Luego en el PuebloD tendraacute energiacutea eleacutectrica si se obtiene un 1 en caso contrario un 0 de
la siguiente forma
Figura 9
Electricidad en el pueblo D
Nota Elaboracioacuten propia
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Otras opciones
if(AB+BC+CD=31if(AC+CD=210))
if(lineaCDlineaAB=11if(lineaCDlineaABlineaBC=110))
if(LineaCD=00 if(LineaAC=1 1 if(LineaAB=1 and LineaBC=110 )))
Construya una graacutefica del nuacutemero de veces en las que hay electricidad en el pueblo D
Figura 10
Graacutefico de frecuencias del pueblo D
Nota Elaboracioacuten propia
iquestQueacute es maacutes probable que haya energiacutea en el Pueblo D despueacutes de una tormenta severa o
que no haya
Solucioacuten teoacuterica
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Por lo que despueacutes de una tormenta severa es maacutes probable que haya electricidad (p =
07424) en el pueblo D a que no haya (q = 02576)
24 Los signos del zodiaco
Problema 1
Estimar la probabilidad de que en un grupo de 5 personas al menos dos de ellas tengan el
mismo signo del Zodiaco (Hay 12 signos zodiacales y asumieacuteramos que cada signo es
igualmente probable para cualquier persona) iquestQueacute tan alta crees que es la probabilidad
a Seleccione la opcioacuten de Sampler en la barra de herramientas Plugins del software
b Cree la distribucioacuten de signos zodiacales Asiacute
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Figura 10
Creacioacuten de la distribucioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
c Por omisioacuten el programa toma como primer experimento tres muestras de tamantildeo cinco
con reemplazo Varieacute los paraacutemetros para que tome 100 muestras de tamantildeo 5 Seleccione
START para iniciar la animacioacuten
En su caso en la primera muestra iquestal menos dos de ellos tienen el mismo signo del
zodiaco
d Defina en cada una de las 100 muestras en cuaacuteles de ellas resulto al menos dos personas
con el mismo signo del zodiaco Asiacute
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Figura 11
Tienen mismo signo
Nota Elaboracioacuten propia
Se define la foacutermula en MismoSigno
if(count(value = Caacutencer) gt 1 1 0) + if(count(value = Capricorneo) gt 1 1 0) +
if(count(value = Aries) gt 1 1 0)+if(count(value = Tauro) gt 1 1 0) + if(count(value =
Geacutemenis) gt 1 1 0) + if(count(value = Acuario) gt 1 1 0)+if(count(value = Leo) gt 1
1 0) + if(count(value = Piscis) gt 1 1 0) + if(count(value = Virgo) gt 1 1
0)+if(count(value = Sagitario) gt 1 1 0) + if(count(value = Libra) gt 1 1 0) +
if(count(value = Escorpioacuten) gt 1 1 0)
e Determine la probabilidad de que en cada grupo de 5 personas al menos dos de ellas
tengan el mismo signo del Zodiaco
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Figura 12
Probabilidad de cada grupo tenga al menos dos personas con el mismo signo zodiacal
Nota Elaboracioacuten propia
Solucioacuten teoacuterica
Sean
X el evento de que al menos dos personas tienen el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
el evento de que ninguna persona tiene el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
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Problema 2
Ahora estamos interesados en estimar la probabilidad de que al menos una persona de un
grupo de cinco personas tenga el mismo signo zodiacal que tuacute
El proceso va a cambiar a partir del cuarto paso
a Defina en cada una de las 100 muestras en cuaacuteles de ellas resulto al menos una persona
que tiene el mismo signo zodiacal que tuacute (supongamos que eres Caacutencer) Asiacute
Figura 13
Tienen signo Caacutencer
Nota Elaboracioacuten propia
b Determine la probabilidad de que en cada grupo de 5 personas al menos una de ella
tenga signo Caacutencer
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Figura 12
Probabilidad de cada grupo tenga al menos una persona Caacutencer
Nota Elaboracioacuten propia
Solucioacuten teoacuterica
Sean
X el evento de que al menos dos personas tienen el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
el evento de que ninguna persona tiene el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
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25 El banco
Un banco de la ciudad soacutelo abre dos ventanillas para atender a sus clientes El nuacutemero de
clientes que llega al banco variacutea en forma entre 0 y 5 por minuto Los clientes forman una
liacutenea y la persona de adelante pasa a la primera ventanilla disponible En las ventanillas se
atiende una persona por minuto Disentildea una simulacioacuten y registra el nuacutemero de personas en
la liacutenea de espera al final de cada minuto Usa una tabla como la siguiente
Minuto Nuacutemero de clientes
que llegan
Nuacutemero de clientes
esperando en liacutenea
Tiempo de espera
para la uacuteltima
persona (minutos)
1 3 1 1
2 4 3 2
1 iquestCuaacutel es la longitud de la fila despueacutes de cinco minutos
2 iquestCuaacutel es el tiempo que una persona tiene que esperar si llegoacute en el minuto 10
3 iquestCuaacutentas veces el tiempo de espera se redujo a cero
4 iquestCuaacutel es el promedio de personas esperando sobre el periacuteodo de 20 minutos
5 Si tuacute fueras gerente de un banco iquestincrementariacuteas o disminuiriacuteas el nuacutemero de
ventanillas
a Construya en CODAP una tabla que contenga las siguientes columnas
Figura 13
Creacioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
En el minuto cero auacuten no han llegado clientes al banco
b Asignar la foacutermula caseindex a la columna Minuto
c Asignar un nuacutemero aleatorio entre cero y cinco a la columna NumClientesArriban en
cada minuto que transcurre Este nuacutemero seraacute la cantidad de personas que arriban al banco
por minuto Asiacute
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Figura 14
Personas que arriban al banco por minuto
Nota Elaboracioacuten propia
d Se contabilizan las personas que permanecen haciendo fila con la siguiente foacutermula
asignada a NumClientesenLinea
Figura 15
Personas hacen fila
Nota Elaboracioacuten propia
e Se calcula el tiempo de espera de la uacuteltima persona que estaacute haciendo fila asignando la
foacutermula
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Figura 16
Tiempo en la fila de la uacuteltima persona
Nota Elaboracioacuten propia
f Cree casos hasta el minuto 60 para determinar lo que pasa despueacutes de una hora
g Grafique y obtenga el promedio del Tiempoenespera en los 60 minutos
iquestSi tuacute fueras gerente de un banco iquestincrementariacuteas o disminuiriacuteas el nuacutemero de ventanillas
Referencias bibliograacuteficas
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154
Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano
Guillermo Alfonso Brenes Tencio
Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica Costa Rica
guillermobrenestenciomepgocr
Resumen En el presente trabajo analizamos los signos de poder presentes en una seleccioacuten de
retratos elaborados en Hispanoameacuterica colonial durante los siglos XVII y XVIII
Palabras clave Retratos Iconografiacutea del poder Hispanoameacuterica Colonial
1 iquestQueacute se entiende por retrato
El retrato se puede entender como la expresioacuten visual perceptiva de un sujeto (Borja 2011
Burke 2005) Ante una imagen se estaacute en presencia de una percepcioacuten El geacutenero del retrato
forma parte de la cultura visual de las sociedades americanas durante la dominacioacuten ejercida
por la Monarquiacutea espantildeola durante casi trescientos antildeos (Moya 2001 Peacuterez y Quezada
2009) iquestQuieacutenes se retrataban Los funcionarios reales miembros de la alta jerarquiacutea
eclesiaacutestica e individuos (hombres y mujeres) de las maacutes distinguidas familias de la elite
hispanoamericana
2 iquestCuaacuteles son algunas caracteriacutesticas de los retratos coloniales
Los retratos reproducen los rasgos fiacutesicos y la posicioacuten social de los personajes
Los retratos se caracterizan por la riqueza del colorido y la minuciosidad en los
detalles
Estaacuten impregnados de un profundo simbolismo
Los retratos manifiestan no solo la identidad individual y colectiva sino tambieacuten las
cualidades fiacutesicas morales y sociales
Los retratados eran muy conscientes de la muerte y la pintura era una forma de
trascender
Se colocaban en las salas de las residencias virreinales los palacios arzobispales y los
conventos femeninos
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3 Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano
31 Retratos de virreyes
El virrey era el representante del Rey en sus dominios americanos Su lsquorsquoalter egorsquorsquo (Museo
Colonial de Bogotaacute 2020) En los retratos pictoacutericos el virrey como es el caso por ejemplo
del cuadro que representa a don Joseacute Soliacutes Folch de Cardona (1716 ndash 1770) suele aparecer
con la mirada hacia el frente con la espalda erguida y una mano en la cintura sentildeal de la
dignidad de su cargo asiacute como de su poderiacuteo poliacutetico y socioeconoacutemico Uno de los siacutembolos
del poder del virrey era su bastoacuten de mando Otros signos de poder son el tricornio o
sombrero de tres puntas el cortinaje carmesiacute y el escudo familiar que representaba el noble
linaje del retratado de origen madrilentildeo (Figura 1)
Figura 1
Joaquiacuten Gutieacuterrez Retrato de D Joseacute Soliacutes y Folch de Cardona virrey de Nueva Granada
Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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32 Retratos de damas de la elite virreinal
Un caso es el retrato de la noble dama Mariacutea Tadea Gonzaacutelez Manrique del Frago y Bonis
(1736 ndash 1780) quien estaacute vestida con un riquiacutesimo traje de tela estampado realizado con tela
china La marquesa luce una amplia diversidad de alhajas como signo de su elevado nivel
social y econoacutemico (Museo Colonial de Bogotaacute 2020) Dontildea Mariacutea Tadea aparece retrata
realiacutesticamente pero con rasgos faciales simplificados y una piel que luce impecablemente
tersa En el retrato se evidencian signos de estatus escudo de armas un cortinaje carmesiacute y
el uso de la cartela (datos biograacuteficos de la marquesa de San Jorge de Bogotaacute) (Figura 2)
Figura 2
Joaquiacuten Gutieacuterrez Retrato de dontildea Mariacutea Tadea Gonzaacutelez Manrique del Frago y Bonis
marquesa de San Jorge Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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33 Retratos de miembros de la alta jerarquiacutea eclesiaacutestica
El arzobispo de Nueva Espantildea Don Manuel Joseacute Rubio y Salinas (1703 ndash 1765) estaacute
representado de forma realista y de cuerpo entero (Figura 3) Estaacute vestido con su suntuoso
traje eclesiaacutestico y luce una cruz pectoral Aparece sentado sobre un magniacutefico silloacuten de
madera moldurada La mitra que descansa sobre una mesa denota su maacutexima autoridad
religiosa Aparecen signos de poder como el escudo familiar el cortinaje y la cartela La
imagen de Cristo crucificado es un signo de que el arzobispo era un hombre de profunda fe
y de una vida religiosa presuntamente ejemplar
Figura 3
Miguel Cabrera Retrato del arzobispo de Meacutexico Dr Manuel Joseacute Rubio y Salinas Oacuteleo
sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo de Bellas Artes de Boston
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34 Retratos de monjas coronadas
Los retratos de las religiosas se realizaban para conmemorar dos momentos fundamentales
de la vida espiritual la profesioacuten de fe (nupcias miacutesticas con Jesucristo) y la muerte (Lavrin
2016 Montero 2002) En el caso del retrato de Sor Matiana Francisca del Sentildeor San Joseacute
(siglo XVIII) la religiosa yace en su lecho ricamente ataviada su cabeza reposa en un
almohadoacuten blanco Cintildee su cabeza una exuberante corona de flores siacutembolo de la vida y la
muerte En sus manos entrelazadas sobre el pecho lleva un ramo de azucenas como siacutembolo
de pureza de la fenecida (Figura 4)
Figura 4
Retrato de Sor Matiana Francisca del Sentildeor San Joseacute (vicaria) Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Anoacutenimo
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4 Algunas historias por detraacutes de los retratoshellip
41 Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz
La joven dama Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz (1715 ndash 1767) dotada de una gran
inteligencia y sensibilidad perteneciacutea a una acaudalada familia de la eacutelite del Virreinato de
la Nueva Espantildea (Lavrin 2016) Estaacute retratada de cuerpo entero y exhibe un lujoso vestido
bordeado en hilos de plata y seda (Figura 5) Porta diversas joyas y un abanico cerrado en
una de sus manos El cortinaje (posiblemente de seda o terciopelo) sentildeala que la escena
ocurre en un espacio interior En un costado hay un lujoso mueble labrado que es un reloj
(idea de la medicioacuten o el paso del tiempo)
Figura 5
Retrato de Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII Museo de
Soumaya
Nota Anoacutenimo
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42 Sor Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz
Mariacutea Ignacia ingresa a una orden religiosa (Congregacioacuten de Mariacutea) e invierte su inmensa
fortuna en el fomento de la educacioacuten de nintildeas y joacutevenes novohispanas (funda un colegio ndash
convento) (Lavrin 2016) Sor Mariacutea Ignacia aparece vestida con el austero haacutebito religioso
y en una de sus manos porta un libro (una de sus aficiones era la lectura) y un escapulario
siacutembolo de la vida asceacutetica Su postura es de tres cuartos (Figura 6)
Figura 6
Andreacutes de Islas Retrato de Sor Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz Oacuteleo sobre tela Siglo
XVIII
Nota Convento de La Ensentildeanza de Meacutexico
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43 Don Antonio Caballero y Goacutengora
Don Antonio Pascual de San Pedro de Alcaacutentara Caballero y Goacutengora (1723 ndash 1796) fue
flamante virrey de la Nueva Granada y ademaacutes se desempentildeoacute como arzobispo de Bogotaacute
(Museo Colonial de Bogotaacute 2020) Aparece retratado con sus ropas eclesiaacutesticas y una
medalla de oro en el pecho En una de sus manos lleva el bastoacuten episcopal con cordoacuten y
bellotas En un costado aparece una mesa sobre la cual hay tres mitras que simbolizan su
poder religioso y las veces en que se desempentildeoacute como obispo En la parte superior izquierda
del retrato aparece un cortinaje carmesiacute y a la derecha el escudo familiar (Figura 7) Signos
inequiacutevocos de poder y prestigio que capitalizaba don Antonio Caballero y Goacutengora
Figura 7
Pablo Antonio Garciacutea del Campo Retrato de D Antonio Pascual de San Pedro de Alcaacutentara
Caballero y Goacutengora Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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44 Antonia de Pastrana y Cabrera Pretel
La nintildea retratada estaacute vestida con el haacutebito dominico (Gutieacuterrez 1995) y lleva sobre su cabeza
una corona de rosas blancas (signo de pureza e inocencia) Antonia luce aretes collares de
perlas y una cruz de oro con esmeraldas En el costado derecho se observa una mesa sobre la
que descansa una imagen del Nintildeo Jesuacutes El gesto de Antonia de Pastrana y Cabrera Pretel
es adusto y aparece retratada de cuerpo entero lo que evidencia que proveniacutea de una hija de
notable familia neogranadina (Figura 8)
Figura 8
Retrato de la nintildea Antonia Pastrana y Cabrera Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII Museo Santa
Clara de Bogotaacute
Nota Anoacutenimo
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5 Conclusiones
1 En los retratos de los virreyes se pueden observar signos de distincioacuten y de poder en el
uso de ricas vestimentas que denotan prestancia el uso de cortinajes que entronizan la
figura pintada sombreros escudos de familia y el bastoacuten de mando (siacutembolo de autoridad
poliacutetica y militar)
2 Los retratos de damas de la alta sociedad virreinal evidencian la influencia del estilo
cortesano franceacutes en sus elaborados peinados delicados vestidos confeccionados en sateacuten y
raso y las opulentas joyas de oro y piedras preciosas
3 Los retratos de personajes eclesiaacutesticos exaltan sus virtudes cristianas y labor
evangeacutelica y estatus social a traveacutes de signos como ropajes libros efigies sacras y otros
4 En los retratos de monjas muertas y coronadas se entremezclan los elementos simboacutelicos
y los significados religiosos (matrimonio miacutestico con Cristo y oacutebito)
Bibliografiacutea
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Tareas y estrategias metodoloacutegicas para plantear
problemas de modelizacioacuten matemaacutetica
Karen Porras Lizano
Universidad Nacional Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica Costa Rica
Karenporraslizanounaaccr
Gilberto Chavarriacutea Arroyo
Universidad Nacional Costa Rica
gilbertochavarriacuteaarroyounaaccr
Resumen La actividad de inventar o plantear problemas matemaacuteticos forma parte integral
del proceso de modelizacioacuten matemaacutetica y es considerada por algunos investigadores de
gran importancia dentro de la experiencia matemaacutetica de los estudiantes No obstante sigue
siendo una praacutectica poco explorada en las clases de matemaacutetica y que presenta dificultades
para los profesores ya que se requiere crear tareas y utilizar estrategias metodoloacutegicas
adecuadas seguacuten este enfoque Por tanto en este trabajo brindamos una propuesta de tarea
donde se estimula el planteamiento de un problema de modelizacioacuten matemaacutetica puede
servir como ejemplo para ser llevada al aula Al mismo tiempo en concordancia con lo
propuesto en los Programas de Estudio de Matemaacuteticas del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
permite acercar las matemaacuteticas a los estudiantes motivarlos y potenciar capacidades
cognitivas superiores
Palabras clave Planteamiento de problemas modelizacioacuten matemaacutetica educacioacuten
secundaria
1 Introduccioacuten
En una sociedad globalizada y ante un continuo avance de la tecnologiacutea de la informacioacuten y
comunicacioacuten las generaciones de joacutevenes enfrentan impredecibles cambios que deben
aprender a afrontar En consecuencia los sistemas educativos en todo el mundo deben ir de
la mano con este proceso vertiginoso de prioridades cambiantes donde las estrategias de
ensentildeanza y aprendizaje estaacuten influenciadas por este contexto (Singer et al 2015) Como
praacutectica de aprendizaje y pensamiento el planteamiento de problemas puede desempentildear un
papel fundamental en este proceso proporcionando oportunidades para construir significados
de forma activa al mismo tiempo que los profesores y estudiantes pueden crear conocimiento
juntos en una variedad de contextos y generar y abordar preguntas criacuteticas sobre el
conocimiento que se construye
Por otra parte desde la antiguumledad la modelizacioacuten matemaacutetica ha sido de gran importancia
por generar beneficios en la vida del ser humano permitiendo observar la conexioacuten entre la
matemaacutetica y la realidad cotidiana de esta (Castro y Castro 1997 Lombardo y Jacobini
2008) En la matemaacutetica escolar la modelizacioacuten involucra entornos reales fiacutesicos sociales
y culturales generando espacios de reflexioacuten y anaacutelisis En ellos se fomenta la construccioacuten
y comprensioacuten de los conceptos por parte del estudiante incentivando al mismo tiempo
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habilidades de gran potencial como la imaginacioacuten la creatividad o la invencioacuten (English y
Sriraman 2010 Lesh y English 2005 Loacutepez Molina y Castro 2017)
En este trabajo consideramos que el planteamiento de problemas forma parte integral del
proceso de modelizacioacuten matemaacutetica desarrollaacutendose dentro de sus fases (Hansen y Hana
2015) Es decir el problema y su construccioacuten constituye parte fundamental del proceso de
modelizacioacuten dado que la creacioacuten de un modelo matemaacutetico requiere de un mecanismo de
ajuste y reformulacioacuten continua del problema principal Ademaacutes durante el proceso de
modelizacioacuten se pueden formular conjeturas realizar un seguimiento y revisioacuten de las
preguntas del problema al mismo tiempo que se adquiere una posicioacuten criacutetica hacia el
modelo matemaacutetico y sus resultados (Hansen y Hana 2015)
2 Planteamiento de problemas en el proceso de modelizacioacuten matemaacutetica
En Costa Rica la ensentildeanza de la modelizacioacuten matemaacutetica se estaacute promoviendo desde el
antildeo 2012 con la implementacioacuten del plan de estudios de matemaacutetica desde los niveles de
educacioacuten primaria hasta los niveles de educacioacuten secundaria por parte del Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica (2012) En este documento una de las modificaciones fue la inclusioacuten de
la modelizacioacuten matemaacutetica como parte fundamental del curriacuteculo relacionando este proceso
con el planteamiento de problemas Asimismo la creacioacuten de problemas no es un mecanismo
nuevo se viene desarrollando desde hace varias deacutecadas atraacutes con diversas
conceptualizaciones formulacioacuten (Kilpatrick 1987) generacioacuten (Silver y Cai 1994)
planteamiento (Brown y Walter 1990) e invencioacuten (Castro 2008)
Ademaacutes en la investigacioacuten actual de la modelizacioacuten matemaacutetica existen muchas
perspectivas teoacutericas que describen este proceso pero sin consenso alguno Sin embargo
coinciden en que su objetivo principal es permitir la traduccioacuten de la realidad a una estructura
matemaacutetica (Rico 2009) En particular Galbraith y Stillman (2006) plantean cinco
transiciones en las cuales se construye el conocimiento matemaacutetico durante el proceso de
modelizacioacuten matemaacutetica (a) De la situacioacuten desordenada del mundo real a la declaracioacuten
del problema del mundo real (b) De la declaracioacuten de problemas del mundo real al modelo
matemaacutetico (c) Del modelo matemaacutetico a la solucioacuten matemaacutetica (d) De la solucioacuten
matemaacutetica al significado de la solucioacuten en el mundo real y (e) Desde el significado de la
solucioacuten en el mundo real hasta la revisioacuten del modelo o la solucioacuten de aceptacioacuten
En la primera transicioacuten de la situacioacuten desordenada del mundo real a la declaracioacuten del
problema del mundo real es donde se realiza el proceso de planteamiento del problema
creando los primeros borradores de este tomado en cuenta elementos de gran importancia
como lo es el contexto condiciones relevantes y los elementos correctos de las entidades
estrateacutegicas (Hansen y Hana 2015) Es decir es el proceso donde el estudiante construye su
propio problema proporcionando un contexto real y matemaacutetico a la vez con un objetivo o
interrogante que seraacute contestada durante el proceso de resolucioacuten (Aylloacuten 2012)
A su vez la invencioacuten de problemas estaacute iacutentimamente relacionada con la resolucioacuten de
problemas En este proceso el estudiante ademaacutes de inventar el problema estructura y
construye la solucioacuten del problema elabora un plan estrateacutegico de resolucioacuten formula las
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estrategias y representaciones del objeto matemaacutetico que utilizaraacute Involucrando los
conocimientos matemaacuteticos que posee intereses y experiencias personales es decir el
problema se reviste de significado para el estudiante por ser parte de eacutel y proporcionado a su
vez motivacioacuten en su aprendizaje Tambieacuten ldquocuando un individuo inventa un problema ha
alcanzado niveles de reflexioacuten complejos por tanto ha llegado a una etapa de razonamiento
que hace posible la construccioacuten del conocimiento matemaacuteticordquo (Aylloacuten 2012 p 34) lo que
reviste de importancia el trabajar en el aula el planteamiento de problemas
Silver y Cai (1996) mencionan una serie de beneficios en el aprendizaje del estudiante al
ensentildear por medio del planteamiento de problemas entre ellos destacamos los siguientes
incentiva la participacioacuten activa del estudiante en su aprendizaje estimula la creatividad
imaginacioacuten y curiosidad los estudiantes comprenden y analizan mejor los conceptos y los
procesos matemaacuteticos propicia una mejor actitud y disposicioacuten hacia la matemaacutetica
motiva que los estudiantes sean mejores resolutores de problemas potencia la autonomiacutea en
el aprendizaje de los estudiantes prepara a los estudiantes para su desempentildeo personal y
profesional futuro fuera de las aulas reduce la ansiedad y el miedo por las matemaacuteticas
entre otros
3 El papel del profesor en la invencioacuten de problemas
La seleccioacuten y aplicacioacuten de tareas adecuadas por parte del profesor determinan el desarrollo
de habilidades necesarias que requiere un buen resolutor En este sentido proponemos el
potenciar la aplicacioacuten del proceso de invencioacuten de problemas a traveacutes de abundantes y
variadas oportunidades relacionado con el proceso de resolucioacuten de problema con
modelizacioacuten matemaacutetica Al mismo tiempo se promueve que el estudiante construya
habilidades como creatividad el anaacutelisis la criticidad perseverancia entre otros
Asimismo autores como Aylloacuten (2012) realizan una clasificacioacuten de tipos de tareas que se
pueden trabajar en el proceso de invencioacuten de problemas (a) situaciones libres (b)
situaciones semiestructuradas y (c) situaciones estructuradas En el primer tipo de tarea los
estudiantes no tienen restriccioacuten para formular sus problemas En el segundo tipo los
estudiantes inventan sus problemas semejantes a otros antes trabajados o que respondan a
cierta informacioacuten o situacioacuten proporcionada El tercer tipo los estudiantes reformulan un
problema o se cambia alguna condicioacuten de este lo cual se puede dar antes durante o despueacutes
de la solucioacuten Tambieacuten se puede dividir el problema inicial en problemas maacutes sencillos
Con respecto a esto Aylloacuten (2012) propone una serie de estrategias que puede utilizar el
profesor para realizar el planteamiento de problemas en el aula de matemaacutetica por ejemplo
elegir una situacioacuten significativa para el estudiante que genere debate entre los estudiantes
y el docente Tambieacuten estimular el proceso de investigacioacuten por parte de los estudiantes antes
de formular el problema ademaacutes propiciar un espacio en confianza para la formulacioacuten de
preguntas o conjeturas Asimismo se puede utilizar analogiacuteas por ejemplo problemas
semejantes Utilizar la estrategia ldquoiquestQueacute pasariacutea siacuterdquo para cambiar la exigencia o ingresar
pequentildeas variantes del problema Al mismo tiempo la idea de estas estrategias es generar
motivacioacuten de los estudiantes y propiciar el desarrollo de las habilidades matemaacuteticas
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En resumen para trabajar el planteamiento de problemas en el aula de matemaacutetica el
profesor debe tomar en cuenta los siguientes aspectos para crear sus propias tareas (a) tipo
de tarea (b) plan de estudios y (c) caracteriacutesticas propias del estudiante En el primer aspecto
recomendamos considerar el tipo de tarea que se desea plantear es decir una situacioacuten libre
o semiestructurada o estructurada Tambieacuten las formas de presentar o comunicar la
informacioacuten las condiciones que debe tener el problema inventado y por uacuteltimo si se
requiere de investigacioacuten previa por parte del docente y los estudiantes
El segundo aspecto es el plan de estudios aquiacute debemos considerar el nivel educativo del
estudiante la habilidad matemaacutetica y el conocimiento matemaacutetico por construir Ademaacutes
que el docente debe ser conocedor de los tipos de representaciones matemaacuteticas del objeto
matemaacutetico que se quiere trabajar con la actividad de planteamiento de problemas
Por uacuteltimo recomendamos considerar las caracteriacutesticas propias del estudiante por ejemplo
las adecuaciones Los conocimientos previos contexto y recursos que posee el estudiante
Ademaacutes el docente debe tomar en cuenta los tipos de errores matemaacuteticos que sus estudiantes
pueden realizar durante la tarea
4 Un ejemplo de tarea de planteamiento de problemas
Con la finalidad de ilustrar las recomendaciones propuestas en el apartado anterior hemos
creado un ejemplo de tarea semiestructurada donde se puede trabajar el proceso de
planteamiento de un problema matemaacutetico la cual la exponemos a continuacioacuten
Figura 1
Ejemplo de actividad semiestructurada para el planteamiento de problemas
Se propone una actividad para estudiantes del nivel de sexto antildeo de educacioacuten primaria cuya
habilidad a trabajar seriacutea el ldquoplantear y resolver problemas aplicando proporcionalidad
directardquo y desarrollando conocimientos matemaacuteticos como razoacuten proporcioacuten directa
porcentaje y regla de tres Sin embargo la actividad tambieacuten se puede adaptar al nivel de
seacutetimo antildeo de educacioacuten secundaria cuya habilidad a trabajar es ldquoanalizar relaciones de
proporcionalidad directa e inversa de forma verbal tabular graacutefica y algebraicardquo y cuyos
conocimientos matemaacuteticos a desarrollar seriacutean los tipos de representaciones del tipo verbal
tabular graacutefica y algebraica
Suponga que tienes una empresa con las caracteriacutesticas que quieras
la cual produce una serie de productos que puedes comercializar Con
los precios de estos productos construye un problema de tal manera
que involucre a la vez el IVA
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Dicha actividad requiere de una investigacioacuten previa por parte del profesor dado que se
necesita tener conocimientos con respecto al Impuesto de valor agregado (IVA) Ademaacutes
fue revisada y validada por los dos investigadores y por una maestra del nivel de primaria
Posteriormente se realizoacute una prueba piloto con un estudiante del nivel de sexto antildeo de
educacioacuten privada Sin embargo este tipo de actividad se puede llevar a cabo en educacioacuten
puacuteblica En la Figura 2 se muestra el resultado de la invencioacuten del estudiante que participoacute
en la prueba piloto
Figura 2
Creacioacuten de un menuacute de cafeacute como simulacioacuten de una empresa
En la figura anterior se muestra como el estudiante fue capaz de crear un menuacute de cafeacute para
simular su propia empresa Para esto previamente el estudiante realizoacute una indagacioacuten del
tipo de empresa que queriacutea inventar ademaacutes de los productos y precios sin el IVA que queriacutea
comercializar En esta actividad se involucraron toacutepicos de Estudios Sociales tales como
impuesto directos e indirectos los tipos de productos que son grabados y su respectivo
porcentaje de impuesto logrando que la actividad sea interdisciplinaria Asimismo se puede
involucrar otras materias del nivel de primaria como lo son los idiomas espantildeol o ingleacutes
como se observa en la Figura 2 Luego realizoacute la creacioacuten de su propio problema imaginando
una situacioacuten que se podriacutea dar en la vida real con su empresa En la siguiente figura se
expone la invencioacuten del estudiante
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Figura 3
Ejemplo de problema inventado por estudiante con su propia empresa
En cuanto al proceso de modelizacioacuten aplicado el estudiante relacionado con el
planteamiento del problema se pudo observar que aplicoacute las cinco transiciones propuestas
por Galbraith y Stillman (2006) Es decir en primer lugar comienza con una situacioacuten
desordenada el crear la empresa y proponer los productos que desea comercializar ordena y
organiza la informacioacuten concibiendo el problema y al mismo tiempo formula un plan
estrateacutegico para obtener la solucioacuten En el problema se visualiza los personajes es una familia
y plantea una situacioacuten cotidiana que se puede dar en la vida real si la empresa fuera
verdadera
En la segunda transicioacuten el estudiante organiza la informacioacuten de tal manera que logra
generar un modelo matemaacutetico esto lo observamos en la figura 3 en el ordenamiento inicial
de los precios que utilizara posteriormente en una operacioacuten baacutesica aritmeacutetica Como tercera
transicioacuten se obtiene que el estudiante elabora la solucioacuten matemaacutetica para ello suma todos
precios para obtener la cantidad total que se le debe cobrar a la familia sin incluir el IVA
utilizando para esto un tipo de representacioacuten simboacutelico numeacuterico Posteriormente utiliza la
regla de tres por medio de una representacioacuten tabular para calcular el 13 del IVA por ser
un servicio y realiza el caacutelculo utilizando nuevamente el sistema de representacioacuten simboacutelico
numeacuterico El monto que obtiene por 13 es adicionado al resultado de la suma de los precios
del primer paso Luego se observa que brinda una respuesta a la luz de las condiciones del
problema dotando de significado de la solucioacuten en el mundo real Por uacuteltimo realiza una
revisioacuten de todos los procesos matemaacuteticos realizados para obtener y aceptar la solucioacuten final
del problema
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Por otra parte al ser la empresa de la propia autoriacutea del estudiante se evidencia sus intereacutes y
experiencias personales por lo que el problema representa para este una situacioacuten
significativa Ademaacutes en aula puede generar debate entre los mismos estudiantes y el
profesor utilizando la estrategia ldquoiquestQueacute pasariacutea siacuterdquo para cambiar la cantidad de integrantes
de la familia cambiar los productos guiar al estudiante en el pensamiento de que otros
impuestos se involucran la situacioacuten entre otras variantes
5 Conclusiones
El planteamiento de problemas como herramienta pedagoacutegica y como parte integral de la
modelizacioacuten matemaacutetica ha tomado auge desde finales del siglo XX El reto de los docentes
en nuestros diacuteas consiste en conocer la realidad de los estudiantes y aprovechar los recursos
del entorno para proponer tareas que les permitan a sus alumnos inventar problemas
matemaacuteticos Las estrategias y la tarea propuesta que se proponen en este trabajo constituyen
un esbozoacute de algunas diferentes formas de presentar y trabajar situaciones cotidianas que
ofrece oportunidades y desafiacuteos para la aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos relacionado con
el planteamiento de problemas
Esta aacuterea de investigacioacuten requiere maacutes estudios que permitan profundizar sobre las bondades
y retos de implementar la invencioacuten de problemas en el aula Con todo se vislumbran algunas
oportunidades de oro en la combinacioacuten de planteamiento de problemas y modelado
matemaacutetico en contextos escolares
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5
Presentacioacuten
En el 2020 organizamos el XII FIMAT Festival Internacional de Matemaacuteticas y el XXII CONCITES
Congreso Nacional de Ciencia Tecnologiacutea y Sociedad con gran participacioacuten nacional e internacional
En consideracioacuten a las restricciones del periacuteodo y la necesidad de actualizacioacuten de los docentes se
unieron los dos grandes programas en un evento virtual que se llevoacute a cabo del 13 al 17 de octubre 2020
El evento se organizoacute en bloques vespertinos de martes a viernes y la mantildeana del saacutebado
El congreso contoacute con una declaracioacuten de intereacutes educativo por el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de
Costa Rica
Para desarrollar el programa se contoacute con un gran comiteacute organizador interinstitucional que unioacute
esfuerzos
El comiteacute organizador reunioacute 15 entidades puacuteblicas y privadas
Se conformoacute un equipo de 14 moderadores voluntarios de estudiantes colegiales (Blue Valley) y
universitarios (TEC)
Instituciones coorganizadoras del XII FIMAT y XXII CONCITES 2020
Fundacioacuten CIENTEC Blue Valley School SINAC Ministerio de Ambiente y Energiacutea UCR-Escuela de
Formacioacuten docente y Educacioacuten matemaacutetica Universidad de Costa Rica UNA- Sede Regional Brunca
Sede Regional Chorotega y Escuela de Matemaacutetica de la Universidad Nacional TEC- Escuela de
Ciencias Naturales y Exactas (San Carlos) la Escuela de Matemaacutetica y Escuela de Fiacutesica del Instituto
Tecnoloacutegico de Costa Rica UNED- Escuela de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Estatal a
Distancia UTN- Universidad Teacutecnica Nacional Academia Nacional de Ciencias Fundacioacuten Omar
Dengo FOD Colegio de Licenciados y Profesores COLYPRO Asociacioacuten Nacional de Educadores
ANDE Ecology Project International EPI ASOMED y un comiteacute internacional
Comiteacute cientiacutefico FIMAT
Lic Manuel Murillo Tsijli ASOMED
Lic Carlos Monge Madriz TEC
Maacutester Anabelle Castro Castro ASOMED
Comiteacute cientiacutefico CONCITES
Carlos L Chanto Espinoza PhD UNA
MSc Luz Mariacutea Moya CIENTEC
Diego Retana Alvarado PhD Facultad de Educacioacuten UCR
M Ed Oscar Barahona Aguilar Caacutetedra Ensentildeanza de la Ciencia UNED
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Patrocinaron
Componentes Intel fue el patrocinador oficial
Copatrocinaron Casio UISIL Learning Interactive y COLYPRO
Alcances
Asistieron 325 participantes
Participaron representantes de 11 paiacuteses Argentina Brasil Chile Colombia Costa Rica Espantildea
Estados Unidos de Ameacuterica Guatemala Meacutexico Peruacute y Panamaacute
108 ponentes respondieron a la convocatoria
Se realizaron 2 actividades de extensioacuten que llegaron a otras 103 personas
Programa
Reunioacute 107 presentaciones en diferentes formatos (conferencias talleres mesas redondas y
conversatorio) impartidas en 5 diacuteas y grabadas El programa estaacute disponible en
httpswwwcientecorcrsitesdefaultfilesarticulosprogramaconcites20hpdf
Ponentes internacionales
Barry D Bruce PhD Sustainable Energy amp EducationResearch Center Microbiology amp
Chemical amp Biomolecular Engineering University of Tennessee at Knoxville EEUU
Daniel Clark Orey PhD Professor Departamento de Educaccedilatildeo Matemaacutetica Universidade
Federal de Ouro Preto Brasil
Eduardo Saacuteenz de Cabezoacuten Ph D Departamento de Matemaacuteticas y Computacioacuten Universidad
de La Rioja Espantildea
Estrella Burgos Directora Revista iquestCoacutemo Ves Universidad Nacional Autoacutenoma de Meacutexico
Lori Lambertson especialista del Teacher Institute Exploratorium San Francisco EEUU
Martiacuten Bonfil Olivera Divulgador de la ciencia y autor Direccioacuten General de Divulgacioacuten de la
Ciencia UNAM Meacutexico
Milton Rosa PhD Centro de Educaccedilatildeo Aberta e a Distacircncia Universidade Federal de Ouro Preto
Brasil
Modesto Tamez especialista del Teacher Institute Exploratorium San Francisco EEUU
Paloma Zubieta Loacutepez Comunicadora Cientiacutefica del Instituto de Matemaacuteticas de la UNAM
coordinadora del Festival Matemaacutetico UNAM Meacutexico
Pablo Flores Martiacutenez Ph Didaacutectica de la Matemaacutetica Universidad de Granada Espantildea
Sergio de Reacutegules Editor de la Revista iquestCoacutemo Ves de la UNAM Meacutexico
Veroacutenica Albanese Dpto Didaacutectica de la Matemaacutetica Universidad de Granada Espantildea
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Mesas Redondas y Conversatorios
Rodrigo Cerqueira do Nascimento Borba Universidade do Estado de Minas Gerais Brasil
Radu Bogdan Toma Universidad de Burgos Espantildea
Nancy Fernaacutendez Marchesi Universidad Nacional de Tierra del Fuego Argentina
Marisol Lopera Peacuterez Universidad de Antioquia Colombia
Ceacutesar Leonel Montenegro Peacuterez Universidad de San Carlos Guatemala
Linda Arelis Silva Arias Universidad de Talca Chile
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo Universidad Surcolombiana Colombia
Francisco Mateo Ramiacuterez Universidad Internacional de La Rioja Espantildea
Jairo Robles Pintildeeros Universidad Federal de Bahiacutea Brasil
Carolina Gonzaacutelez Velaacutezquez Universidad de Antioquia Colombia
Roberto Gonzaacutelez Munizaga Jefe del Departamento de Educacioacuten Ambiental Ministerio del
Medio Ambiente Chile
Aacutelbum de fotos
Una coleccioacuten de fotos documenta el evento virtual
httpswwwflickrcomphotoscientecalbums72157716523575396
Edicioacuten y publicacioacuten de videos
Como resultado de la modalidad a distancia se grabaron todas las sesiones por lo que una subcomisioacuten
del comiteacute organizador ha estado trabajando en la editacioacuten y publicacioacuten de las ponencias El propoacutesito
es conformar una gran biblioteca de recursos de acceso libre de este congreso doble que iraacute siendo
publicado en www youtubecomcientec
Nosotros iremos trabajando en las ponencias y compartieacutendolas en redes sociales de manera paulatina
en unos 9 meses antes de iniciar con el siguiente congreso -)
1 Conferencia Utilizacioacuten de recursos didaacutecticos como apoyo en la ensentildeanza virtual Natalie
Reyes Riotte del Colegio San Antonio de Padua Costa Rica httpsyoutubep-lUTTYK6N8
2 Conferencia Padres y madres costarricenses creencias sobre matemaacutetica por Luis Gerardo Meza
TEC httpsyoutubePy_C9mTzzH8
3 Conferencia Experiencias del proyecto RENACE en el tema de probabilidad por Carlos Monge
Madriz TEC httpsyoutube4dEznOmpQNc
4 Aprendizaje activo algunas estrategias para los cursos de pedagogiacutea por Ivonne Saacutenchez-
Fernaacutendez TEC httpsyoutube5tzChWFiJR8
5 Conferencia Estrategias de mediacioacuten pedagoacutegica en la ensentildeanza virtual por Ivonne Saacutenchez-
Fernaacutendez TEC httpsyoutubeT10h9up1rA4
6 Conversatorio Educacion Ambiental CONCITES2020 con Roberto Gonzaacutelez Munizaga Chile
y Carmen Roldaacuten Chacoacuten (FONAFIFO-MINAE) httpsyoutubeGKiubb0gzuM
7 Vacunas mitos y realidades por Martiacuten Bonfil UNAM Meacutexico httpsyoutubeomZmtkD2rZw
8 Cambios en el Sol por Miguel Rojas Quesada TEC httpsyoutubewXOF1VrpRSw
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9 Evaluacioacuten en tiempos de pandemia Taller por Gisele Cordero Molina Blue Valley
School httpsyoutubeXpfpiqc2jXA
10 Mapas Conceptuales en MatemaacuteticaTaller Luis Goacutemez Rodriacuteguez Blue Valley
School httpsyoutubeEpFyNPv8LGk
11 Science Capital Engaging students with Science and Promoting Social Justice por Gisele
Cordero Molina Blue Valley School httpsyoutubeEix_mH3MSsc
12 La Resta Pensando Conferencia Antonio Ramoacuten Martiacuten Adriaacuten Colegio Aguere Espantildea (Islas
Canarias) httpsyoutubeexgBY05muPc
13 Uso de praacutecticas interactivas y adaptativas (recursos en ingleacutes) en el aula virtual Conferencia
Susanne Artintildeano Hangen Blue Valley School httpsyoutube1vNTYt5hl-I
Agradecemos la unioacuten de esfuerzos la confianza que posibilitoacute la continuidad de estas trayectorias que
iniciaron desde 1998 y la creatividad para seguir innovando en formas de apoyar el aprendizaje
El siguiente libro de memorias reuacutene artiacuteculos de trabajos presentados en el XXI CONCITES 2019 -
Limoacuten asiacute como del XII FIMAT y XXII CONCITES ambos celebrados en el 2020
Alejandra Leoacuten Castellaacute
Directora Ejecutiva Fundacioacuten CIENTEC
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Creacioacuten de animaciones para la visualizacioacuten de la geometriacutea
en tercera dimensioacuten usando el software GeoGebra
Joseacute Pablo Calderoacuten Gairaud
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica
jose03pcggmailcom
Steven Gabriel Saacutenchez Ramiacuterez
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica
stevengabriel26gmailcom
Resumen En este artiacuteculo se describe el proceso para realizar animaciones en tercera dimensioacuten con el software
GeoGebra Dichos modelos consisten en la visualizacioacuten de las figuras proporciones y cortes consecuentes de
la interseccioacuten de un soacutelido con un plano transversal Para realizar las construcciones se utilizaraacuten las
herramientas que brinda GeoGebra como tambieacuten conceptos baacutesicos relacionados con la parametrizacioacuten de
superficies Ademaacutes se hace hincapieacute en la importancia de la creacioacuten de recursos didaacutecticos con el uso de la
tecnologiacutea para la comprensioacuten de la visualizacioacuten espacial para los estudiantes en el aprendizaje de conceptos
geomeacutetricos y coacutemo GeoGebra permite facilitar la transicioacuten de una visualizacioacuten en segunda dimensioacuten a
tercera dimensioacuten
Palabras clave tercera dimensioacuten parametrizar curvas superficies visualizar geometriacutea
1 Introduccioacuten
El uso de la geometriacutea siempre ha sido indispensable para el desarrollo cientiacutefico del ser humano con
solo volver al pasado se puede apreciar las sin fin de piraacutemides y diferentes esculturas creadas gracias a
los diversos conceptos baacutesicos geomeacutetricos que manejaban nuestros antepasados Por esa razoacuten es
fundamental el estudio de la geometriacutea en nuestras a aulas Es deber de cada paiacutes velar en que su malla
curricular esteacute lo maacutes actualizada posible seguacuten el grado acadeacutemico que se imparta relacionaacutendolo con
las capacidades cognitivas de los estudiantes seguacuten su edad
Por otro lado es importante tener los insumos suficientes para que la ensentildeanza de la geometriacutea se deacute en
las mejores condiciones con el fin de obtener un aprendizaje significativo En el caso de la geometriacutea
espacial como lo indica Ballestero y Gamboa (2010) su estudio contribuye significativamente al
desarrollo de las necesidades espaciales de visualizacioacuten por lo que es importante vincular la capacidad
matemaacutetica con la espacial
En este trabajo se expondraacute sobre la importancia de la ensentildeanza de la visualizacioacuten en tres dimensiones
(3D) utilizando modelizacioacuten y animacioacuten geomeacutetrica teniendo como objetivo el dar una interaccioacuten
baacutesica del uso del software GeoGebra
2 Geometriacutea en tercer dimensioacuten y plan de estudios del MEP
En el antildeo 2012 el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP) decidioacute realizar un cambio
draacutestico en el plan de estudios de matemaacuteticas poniendo como eje central la resolucioacuten de problemas
tambieacuten incorporando eliminando y modificando distintos toacutepicos estudiados en primaria y secundaria
Dentro de los cambios se resaltan modificaciones en los temas de geometriacutea espacial La nueva malla
curricular del MEP (2012) propone que
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1 La visualizacioacuten espacial se introduzca con una manipulacioacuten dinaacutemica de los objetos
2 Los temas de geometriacutea se observen de forma espacial usando modelizacioacuten geomeacutetrica
3 Exista maacutes presencia en el ldquosentido espacialrdquo
4 Se debe enfatizar maacutes en la visualizacioacuten de formas en el espacio y no solo en sus foacutermulas
Anterior al cambio se debiacutea ahondar solo en el caacutelculo de aacutereas y voluacutemenes de los soacutelidos dejando por
fuera el anaacutelisis de su manipulacioacuten y visualizacioacuten Con la nueva modificacioacuten los estudiantes deben
realizar dichos caacutelculos excluyendo el volumen como tambieacuten desarrollar habilidades de ubicacioacuten
espacial identificar los distintos cortes transversales que se generan en cada uno de los cuerpos redondos
entre otros
Por lo tanto en la formacioacuten general baacutesica y diversificada costarricense se desarrollan toacutepicos con
relacioacuten a la geometriacutea espacial siendo los grados de deacutecimo y undeacutecimo donde se enfatiza maacutes La
importancia de desarrollar una visualizacioacuten espacial en los estudiantes va maacutes allaacute del concepto
matemaacutetico seguacuten Guzmaacuten (1996 citado en Gonzato et al 2011)
Se trata de evaluar los procesos y capacidades de los sujetos para realizar ciertas tareas que
requieren ldquoverrdquo o ldquoimaginarrdquo mentalmente los objetos geomeacutetricos espaciales asiacute como relacionar
los objetos y realizar determinadas operaciones o transformaciones geomeacutetricas con los mismos
Tambieacuten este tema ha recibido atencioacuten desde un punto de vista del propio trabajo del matemaacutetico
en los momentos de abordar la resolucioacuten de problemas formulacioacuten de conjeturas asiacute como en
otras aacutereas diferentes de la geometriacutea (p2)
Como se indica anteriormente el estudio de la tercera dimensioacuten favorece a la imaginacioacuten y abstraccioacuten
del alumnado y agudiza de cierta forma las habilidades interdisciplinarias para generar pensamientos
oacuteptimos que favorezcan la resolucioacuten de problemas siendo este uacuteltimo el eje central del MEP para la
formacioacuten matemaacutetica
3 Visualizacioacuten de la tercera dimensioacuten
La geometriacutea es un aacuterea de las matemaacuteticas que actualmente es considerada fundamental para la
formacioacuten acadeacutemica y cultural de la persona esto debido a su facilidad para estimular un razonamiento
loacutegico y desarrollar otras habilidades para visualizar intuir conjeturar etc Sin embargo en la praacutectica
algunos docentes deciden dejar los contenidos de geometriacutea para el final del periodo lectivo y no
profundizar en estos (Gamboa y Ballestero 2010)
Seguacuten Gamboa y Ballestero (2010) esta situacioacuten desencadena en el estudiante la sensacioacuten de ser una
rama difiacutecil y de poca utilidad por lo que no hay motivacioacuten para aprenderla Al no profundizar en las
habilidades y contenidos geomeacutetricos no se desarrolla en el estudiante la capacidad de visualizar u
orientar y por consiguiente un deacuteficit en la visualizacioacuten de la tercera dimensioacuten Dicha deficiencia en
la capacidad de visualizar afecta directamente el enfoque del MEP que es la resolucioacuten de problemas
Para desarrollar la capacidad de visualizar en tercera dimensioacuten de los estudiantes es importante
promover su sentido espacial El sentido espacial es un sentido intuitivo de la forma y el espacio en el
cual estaacuten implicados los conceptos geomeacutetricos y las habilidades de reconocer visualizar representar y
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transformar las formas (Rosenstein et al 1996) Para desarrollar este sentido espacial es necesario
abarcar sus tres componentes conocer las propiedades de figuras y formas reconocer y establecer
relaciones geomeacutetricas y la ubicacioacuten y los movimientos (Ramiacuterez 2014)
Ante la deficiencia y dificultad de desarrollar la visualizacioacuten en tercera dimensioacuten de los estudiantes sin
el material concreto adecuado se han creado distintos softwares o aplicaciones que permiten una
manipulacioacuten ideal de los elementos geomeacutetricos El uso de estas Tecnologiacuteas de Informacioacuten y
Comunicacioacuten (TIC s) para la visualizacioacuten en tercera dimensioacuten facilitan al docente la tarea de
desarrollar estas habilidades y ademaacutes permiten al estudiante generar su propio conocimiento
4 Curvas superficies y parametrizacioacuten
Para la construccioacuten de diferentes animaciones interactivas para visualizar y modelar las diferentes
curvas y superficies es importante conocer de forma baacutesica el desarrollo matemaacutetico de estas asimismo
el trabajo que lleva su representacioacuten parameacutetrica sin entrar en gran detalle se definen estos dos
conceptos los cuales seraacuten de suma importancia conocerlos para el uso oacuteptimo del software GeoGebra
a la hora de generar dichas construcciones
41 Curvas
Seguacuten Peacuterez (2014) indica que una idea intuitiva de curva es la de una trayectoria en el espacio de una
partiacutecula en movimiento en cada instante esta estaraacute en un lugar concreto lugar que depende de un
paraacutemetro (que se puede ver como la variable tiempo) esta trayectoria debe ser suave Imagiacutenese
entonces a un motorizado siguiendo una carretera (que no tiene huecos ni picos) el cual anda repartiendo
la correspondencia a una casa
Si se quiere definir una curva de forma maacutes elaborada entonces se podriacutea indicar que una curva
parametrizada es una aplicacioacuten diferenciable tal que
120572 119868 rarr ℝ2 120572(119905) = (119909(119905) 119910(119905) 119911(119905)) 119905 isin ℝ
42 Superficies
Peacuterez (2014) explica que una superficie es un subconjunto en ℝ3 donde cada punto tiene un entorno
similar a un trozo de plano que ha sido suavemente curvado Imagiacutenese entonces un mantel el cual se
coloca en una mesa redonda este mantel es suavemente combado tal que toma la forma de dicha mesa
De forma un poco maacutes formal una superficie se puede definir parametrizadamente como
119883 119880 rarr ℝ3 119883 = 119883(119906 119907) = (119909(119906 119907) 119910(119906 119907) 119911(119906 119907)) 119888119900119899 119880 sub ℝ2
Cabe destacar que ambos conceptos son fundamentales para generar diferentes animaciones con el
software GeoGebra se recomienda no solo quedarse con estas dos nociones sino maacutes bien indagar de
forma exhaustiva estas definiciones ya que ayudaraacute al buen manejo del programa mencionado
anteriormente
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5 El software GeoGebra y la visualizacioacuten 3D
El software GeoGebra es un programa disentildeado especiacuteficamente para la ensentildeanza y el aprendizaje de
las Matemaacuteticas Dentro de las herramientas y funciones que tiene GeoGebra estaacute la manipulacioacuten tanto
de figuras planas (recta circunferencia poliacutegonos etc) como de cuerpos soacutelidos y figuras en tercera
dimensioacuten (esfera cilindro cono etc)
GeoGebra categoriza las diferentes figuras o elementos geomeacutetricos que se pueden construir
dependiendo de si se encuentra el usuario en la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo (tercera dimensioacuten) o ldquoVista Graacuteficardquo
(dos dimensiones)
Dentro de la ldquoVista Graacuteficardquo GeoGebra permite crear
Puntos
Rectas o segmentos
Poliacutegonos
Circunferencias
Elipses
Aacutengulos
Figura 1
Vista Graacutefica ndash GeoGebra
Nota Elaboracioacuten Propia
Dentro de la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo GeoGebra permite crear
Puntos
Rectas o segmentos
Poliacutegonos
Planos
Cuerpos soacutelidos (piraacutemide cono cilindro prisma
y esferas)
Aacutengulos
Deslizadores imaacutegenes botones etc
Ademaacutes permite interactuar entre las distintas construcciones y manipularlas de diversas maneras
(transformaciones en el plano)
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Figura 2
Vista 3D - GeoGebra
Nota Elaboracioacuten Propia
El software permite que haya una relacioacuten directa entre los elementos creados en la ldquoVista Graacuteficardquo
ldquoVista Graacutefica 3Drdquo y su representacioacuten algebraica en la ldquoVista Algebraicardquo
6 El software GeoGebra y parametrizacioacuten
GeoGebra utiliza distintos mecanismos para ingresar las curvas que se quieren graficar recordemos que
nuestro objetivo es el de visualizar la tercera dimensioacuten por lo que la vista que se utilizaraacute en todo
momento seraacute ldquoGraacuteficos 3Drdquo Como se vio en la seccioacuten pasada el programa posee herramientas
predeterminadas y una barra de entrada que seraacute en donde ingresemos los comandos para generar las
curvas y superficies Para un efecto de calidad estas deben ser ingresadas en su forma parameacutetrica en el
caso de las curvas se dispone de los comandos que pueden ser observados en la Figura 3
Figura 3
Comandos de curvas
Nota Elaboracioacuten Propia
De estas la que se apega a nuestras necesidades seraacute la segunda ya que con ella se grafican las curvas
en la tercera dimensioacuten Observemos en la Figura 4 el coacutemo se ingresa la curva parametrizada y su
visualizacioacuten en la tercera dimensioacuten
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Figura 4
Visualizacioacuten de curva
Nota Elaboracioacuten propia
Por otro lado las superficies tienen tambieacuten sus distintas entradas las cuales pueden verse en la Figura
5
Figura 5
Comandos de superficies
Nota Elaboracioacuten propia
En este caso seraacute la tercera opcioacuten la que se debe utilizar para generar superficies en donde sus valores
se ingresan de forma parameacutetrica es importante observar que para las superficies se necesitan dos
paraacutemetros Observemos en la Figura 6 el coacutemo se ingresa una superficie parametrizada y su
visualizacioacuten en la tercera dimensioacuten
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Figura 6
Visualizacioacuten de superficie
Nota Elaboracioacuten propia
Ejemplo Cono truncado
Para fines de este artiacuteculo se crearaacute una animacioacuten de un cono truncado en la cual se utilizaraacuten varias
herramientas del software GeoGebra asiacute como la parametrizacioacuten del cono Al finalizar esta animacioacuten
el estudiante podraacute interactuar con la construccioacuten y visualizar los cortes paralelos a la base las dos
circunferencias que se generan por el corte la razoacuten de los dos triaacutengulos rectaacutengulos (que se forman con
la altura radio y generatriz) ademaacutes seraacute capaz de modificar el tamantildeo del cono la distancia del corte
del cono y generar el cono truncado por siacute mismo
Para la construccioacuten de esta animacioacuten se necesita crear dos conos el primero se crea con la herramienta
ldquoConordquo que ya ofrece GeoGebra y el segundo se crearaacute por medio de parametrizacioacuten este uacuteltimo seraacute
el cono truncado
1 Para generar el primer cono se necesita de un deslizador ldquoAlturardquo que modifique la altura y el
radio de la circunferencia Una vez creado el deslizador se necesita un punto en el eje Z que
represente la altura Posteriormente crea el cono con la herramienta ldquoConordquo
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Figura 7
Cono dependiente del deslizador
Nota Elaboracioacuten propia
2 Ahora genere un deslizador ldquoCorterdquo cuyo valor maacuteximo sea el deslizador anterior Este
deslizador representa la altura del corte Construya un punto en el eje Z que dependa del
deslizador ldquoCorterdquo y con la herramienta ldquoPlano paralelordquo (dando clic al punto en el eje Z y al
plano de la base) construya el plano que simula el corte (Si considera necesario con la misma
herramienta puede sustituir el plano base que trae la ldquoVista Graacutefica 3Drdquo)
Figura 8
Cortes en el cono
Nota Elaboracioacuten propia
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3 Con la herramienta ldquoInterseccioacuten de dos superficiesrdquo construya la circunferencia de la base y la
generada entre el cono y el corte Ademaacutes con la herramienta ldquoPuntordquo genere un punto que
pertenezca a la circunferencia de la base Ahora con la herramienta ldquoSegmentordquo construya el
triaacutengulo rectaacutengulo formado por el centro de la base el veacutertice y el punto en la circunferencia
de la base Por uacuteltimo con la herramienta ldquointerseccioacutenrdquo marque el punto entre la hipotenusa y el
plano del corte y construya el segmento entre ese punto y el centro de la segunda circunferencia
De esta forma se visualiza la semejanza entre los triaacutengulos
Figura 9
Semejanza de triaacutengulos
Nota Elaboracioacuten propia
4 Genere una casilla de control para ocultar el cono otra para los planos otra para las
circunferencias y otra para los lados del triaacutengulo De esta forma si las cuatro casillas estaacuten
desactivadas solo se visualizan las casillas y los deslizadores
5 Ahora debe crear un cono por medio de parametrizacioacuten Para ello debe ingresar el siguiente
comando en la barra de entrada
(Superficie(rcos(t) rsen(t) r r06 t02pi))
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Figura 10
Cono generado con parametrizacioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
6 Modifique los paraacutemetros para que el cono se oriente correctamente y la altura dependa del
deslizador ldquoAlturardquo Ademaacutes modifique los paraacutemetros para generar el efecto de cono truncado
y que dependa del deslizador ldquoCorterdquo Modifique en ldquoPropiedadesrdquo el grosor del trazo para que
tenga una apariencia maacutes niacutetida El comando quedariacutea de la siguiente manera Superficie (r cos(t)
r sen(t) -r + Altura r Altura - Corte Altura t 0 2π)
Figura 11
Cono parametrizado con deslizadores
Nota Elaboracioacuten propia
7 Por uacuteltimo construya un deslizador ldquoRegionrdquo de tipo aacutengulo (que vaya de 0 a 360) con el que se
pueda ir generando el cono truncado Modifique los paraacutemetros para que el cono dependa del
deslizador ldquoRegionrdquo Elabore una casilla de control con la que pueda ocultar la regioacuten del cono
truncado El comando quedariacutea de la siguiente manera
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Superficie (r cos(t) r sen(t) -r + Altura r Altura - Corte Altura t 0 Region)
Figura 12
Cono parametrizado
Una vez concluida la construccioacuten proceda a personalizarla Debe quedarle de la siguiente la misma
manera que en la Figura 13
Figura 13
Construccioacuten del cono truncado finalizada
Nota Elaboracioacuten propia
7 Importancia de la parametrizacioacuten en construcciones interactivas
El rol de la parametrizacioacuten en las construcciones es lograr un acabado continuo y que permita al
estudiante visualizar de mejor manera la animacioacuten pues sin la parametrizacioacuten se trabaja con un espacio
discreto de puntos y baja considerablemente la calidad de esta
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Figura 14
Diferencias entre construcciones parametrizadas y no parametrizadas
Nota Elaboracioacuten propia
8 Conclusiones
Se puede observar con lo desarrollado en este escrito la importancia que tiene el uso del software
GeoGebra para generar materiales que ayuden y potencialicen la visualizacioacuten y modelacioacuten de la
geometriacutea en la tercera dimensioacuten esto para propiciar espacios que favorezcan que el proceso de
ensentildeanza-aprendizaje sea exitoso
Cabe destacar que el uso de curvas y superficies parameacutetricas en estas construcciones es fundamental
para el buen desarrollo de las animaciones que se desean realizar Como se vio en anteriormente al no
hacerlo con estos comandos es imposible que el applet interactivo ayude a la visualizacioacuten y maacutes bien
puede generar problemas con los objetivos planteados en este trabajo
Se insta al lector a seguir indagando en el tema ya que lo visto acaacute es una introduccioacuten de las aplicaciones
que se pueden realizar tanto para secundaria como para temas con maacutes abstraccioacuten matemaacutetica como
por ejemplo cuaacutedricas y soacutelidos simples
Referencias Bibliograacuteficas
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estudiantes Educare 17(2) 125-142 httpswwwredalycorgpdf1941194115606010pdf
Gonzato J Cajaraville J y Godino J (2011) Una aproximacioacuten ontosemioacutetica a la visualizacioacuten en
educacioacuten matemaacutetica Ensentildeanza de las Ciencias 30(2) 109-130
httpswwwracocatindexphpEnsenanzaarticleview254506
Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2012) Programa de Estudios de Matemaacuteticas San Joseacute Costa Rica
Ramiacuterez R (3-5 de julio de 2014) En geometriacutea hablemos de-espacio [Sesioacuten de conferencia] XV
Congreso de Ensentildeanza y Aprendizaje de las Matemaacuteticas El sentido de las matemaacuteticas
con sentido Baeza Espantildea httpsthalescicaesxvceamactaspdfcon02pdf
Rosenstein J Caldwell J y Crown W (1996) New Jersey Mathematics Curriculum Framework New
Jersey Mathematics Coalition and New Jersey Department of Education
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Peacuterez J (2014) Curso Curvas y Superficies Universidad de Granada
httpwpdugres~jperezwordpresswp-contentuploadsraizCySpdf
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Efectividad de la cartografiacutea participativa en la ensentildeanza de la
Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastres Un ejemplo de
aplicacioacuten en el centro educativo Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
German Alvarado Luna
Instituto Itskatzuacute Educacioacuten Humanista
Costa Rica
gdal5hotmailcom
Neyfren Salazar Aguilar
Colegio Teacutecnico Profesional de Mora
Costa Rica
neyfren11gmailcom
Resumen El objetivo de este estudio fue corroborar la efectividad de la cartografiacutea participativa en la
ensentildeanza de la Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastres (GIRD) Para ello se aplicaron talleres de cartografiacutea
participativa en un grupo de octavo grado del centro educativo Itskazuacute Educacioacuten Humanista Posteriormente
dichos talleres fueron evaluados desde el nivel de seguimiento de las orientaciones praacutecticas para conducir al
aprendizaje significativo logrados por los estudiantes mediante observaciones participantes y encuestas Como
conclusioacuten se muestra que la cartografiacutea participativa mostroacute efectividad en la ensentildeanza de la GIRD pues los
objetivos de aprendizaje de cada taller se cumplieron las orientaciones praacutecticas para lograr el aprendizaje
significativo se siguieron y muchos de los conceptos asociados con la temaacutetica fueron interiorizados
Asimismo se denota que la efectividad de esta herramienta depende del disentildeo del conjunto de los talleres
Palabras clave cartografiacutea participativa gestioacuten integral de riesgo de desastres aprendizaje significativo
1 Introduccioacuten
La Gestioacuten Integral de Riesgo de Desastre (GIRD) ha sido considerada como una de las herramientas
primordiales para afrontar los desastres desencadenados por eventos naturales sobre todo por su enfoque
socio-ambiental para intervenir las situaciones de riesgo (PNUD 2012) Uno de los principales campos
de accioacuten para promover dicha herramienta conceptual ha sido la educacioacuten A traveacutes de ella se busca
que las personas comprendan las amenazas y vulnerabilidades de sus contextos inmediatos para que
puedan enfrentar cualquier hecho violento que se logre consumar (Arauz 2008)
En Costa Rica desde la deacutecada de 1990 se han hecho esfuerzos para incorporar este tema en la educacioacuten
formal (Arauz 2008) El programa de Estudios Sociales derivado de la poliacutetica ldquoEducar para una nueva
ciudadaniacuteardquo hace esto uacuteltimo a traveacutes de la geografiacutea pues entiende que esta disciplina es la que mayor
potencial tiene para establecer puentes entre los aacutembitos ambientales y socio-econoacutemicos (Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica 2016) En general en todo este programa se encuentra toacutepicos con recomendaciones
metodoloacutegicas y conceptuales referentes a la GIRD pero en octavo antildeo es donde se le dan mayor eacutenfasis
fundamentalmente en el abordaje de los fenoacutemenos geoloacutegicos e hidrometereoloacutegicos que inciden
actualmente en el planeta (Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica 2016)
Este programa propone una renovacioacuten en la forma de ensentildear la geografiacutea pues surgiere que esta sirva
para analizar problemas contemporaacuteneos y buscarles solucioacuten en remplazo de los meacutetodos memoriacutesticos
y descriptivos En ese sentido se demanda una innovacioacuten en la praacutectica educativa docente con
metodologiacuteas donde los estudiantes asuman un papel maacutes activo construyan conocimientos de forma
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colaborativa y contextualizada y sean partiacutecipes desde el espacio educativo de la construccioacuten de
alternativas de futuro
No obstante estos avances teoacutericos han tenido dificultades para materializarse a nivel praacutectico pues el
profesorado costarricense tiende al uso de teacutecnicas didaacutecticas tradicionales donde el estudiantado asume
un papel completamente pasivo lo cual se extrapola a los aacutembitos educativos vinculados al Desarrollo
Sostenible tal como la GIRD (Arauz 2008 Estado de la Nacioacuten 2017 Castro et al 2017)
La cartografiacutea participativa es una herramienta con mucho potencial para salir de ese estado e innovar
En primer lugar la GIRD parte de un enfoque territorial por lo que la cartografiacutea es un instrumento
necesario para su abordaje ya que permite representar de forma contrapuesta los recursos riesgos y usos
de un territorio (Font et al 1996) En segundo lugar al antildeadiacutersele el componente participativo a la
cartografiacutea se permite que los mismos estudiantes de forma conjunta y situados en sus realidades sean
quienes la realicen a fin de que comprendan las problemaacuteticas socio-espaciales y formulen propuestas de
transformacioacuten (Patintildeo 2017)
En otras palabras la cartografiacutea participativa es efectiva en la ensentildeanza de la GIRD pues estaacute
fuertemente implicada con esta temaacutetica y corresponde a las propuestas pedagoacutegicas activas Este
documento pretende dar cuenta de ello evaluando la aplicacioacuten de una serie de talleres de cartografiacutea
participativa en GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en un grupo de octavo antildeo conformado por 8
estudiantes de un centro educativo ubicado en espacio en riesgo a este tipo de eventos Itskazuacute Educacioacuten
Humanista en San Rafael de Escazuacute
Para ello es importante considerar que las fuentes de informacioacuten de la evaluacioacuten no solamente son los
aprendizajes que los educandos logren obtener sino tambieacuten las praacutecticas educativas de los docentes (De
la Herraacuten 2014) Asimismo se debe tomar en cuenta que la evaluacioacuten tiene que estar presente en todas
las fases de los procesos de ensentildeanza y aprendizaje y es mucho maacutes efectiva si se forma una comunidad
de reflexioacuten cooperativa donde participen docentes y estudiantes (Nuacutentildeez 2014 Pereira 2015)
En ese sentido en este trabajo los docentes evaluaron los aprendizajes significativos obtenidos por los
estudiantes en las diferentes fases de la ejecucioacuten de los talleres tanto en teacuterminos de los conocimientos
memorizados como en teacuterminos de las aplicaciones contextuales y las significaciones personales
otorgadas a dichos conocimientos (Castillo 2012) Los estudiantes por su parte evaluaron los talleres de
cartografiacutea participativa desde las orientaciones praacutecticas para conducir al aprendizaje significativo las
cuales son seguacuten Ballester (2002) trabajo abierto motivacioacuten uso del medio creatividad y mapa
conceptual
2 Meacutetodos
Esta investigacioacuten se realizoacute mediante un enfoque mixto en tanto que se utilizoacute de forma integrada
informacioacuten de caraacutecter cuantitativo y cualitativo Para evaluar los aprendizajes obtenidos por los
estudiantes en las diferentes fases de la ejecucioacuten de los talleres se utilizaron dos teacutecnicas la observacioacuten
participante y la encuesta En la observacioacuten se usoacute como instrumento una hoja de cotejo acompantildeada
por un registro anecdoacutetico Lo evaluado fue el logro en cada taller de los objetivos de aprendizaje
planteados Lo que se hizo fue registrar si ello se cumplioacute o no
En la encuesta se usoacute como instrumento un cuestionario abierto el cual fue aplicado a los estudiantes
Con este se evaluoacute al final del proceso el nivel de interiorizacioacuten de los conceptos esenciales
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relacionados con la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Este cuestionario fue conformado por 25
iacutetems por cada iacutetem respondido correctamente los estudiantes obtuvieron un punto
Para tratar la informacioacuten se optoacute por establecer una escala Si los estudiantes obteniacutean entre 25 y 18
iacutetems correctos en su cuestionario (entre el 100 y el 70) se consideroacute que interiorizaron los conceptos
esenciales de la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos si es menor a ese puntaje se consideroacute que faltoacute
trabajo para ello Con el fin de analizar la totalidad de los estudiantes se sacaron los porcentajes de los
estudiantes que obtuvieron entre 25 y 18 iacutetems correctos y de los estudiantes que obtuvieron menos de
18 iacutetems correctos
Luego se establecieron rangos para esos porcentajes los cuales fueron asociados con un criterio de
clasificacioacuten para determinar si el conjunto de los estudiantes interiorizaron los conceptos esenciales de
la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Del maacutes alto al maacutes bajo eso se expresoacute asiacute interiorizacioacuten
completa parcial baja nula Con el propoacutesito de obtener informacioacuten maacutes detallada se hizo todo el
ejercicio anterior en cada uno de los conceptos asociados a la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos
Para evaluar los talleres desde las orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo se utilizoacute como
teacutecnica la encuesta El instrumento utilizado fue un cuestionario abierto aplicado a estudiantes
conformados por 22 preguntas divididas en cinco secciones correspondientes a cada orientacioacuten praacutectica
del aprendizaje significativo Las respuestas preestablecidas fueron lsquorsquoTotalmente de acuerdorsquorsquo lsquorsquoDe
acuerdorsquorsquo lsquorsquoEn desacuerdorsquorsquo y lsquorsquoTotalmente en desacuerdorsquorsquo Lo que debieron hacer los estudiantes fue
leer la afirmacioacuten y marcar la respuesta preestablecida correspondiente Para tratar la informacioacuten se
optoacute por utilizar la escala tipo Likert A fin de obtener informacioacuten maacutes detallada este procedimiento se
aplicoacute a cada seccioacuten correspondiente a una orientacioacuten del aprendizaje significativo
Para analizar la totalidad de cuestionarios a nivel general y a nivel de cada una de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo se optoacute por calcular el porcentaje de los cuestionarios
categorizados como ldquoTotalmente de acuerdordquo o ldquoDe acuerdordquo establecer rangos para esos porcentajes
y asociarlos con criterios de clasificacioacuten para ubicar el nivel de seguimiento de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo Del rango maacutes alto al maacutes bajo eso se expresoacute de la siguiente
forma ldquoseguimiento totalrdquo ldquoparcialrdquo ldquobajordquo y ldquonulordquo Finalmente con el fin de obtener informacioacuten
complementaria se calcularon los porcentajes a nivel general y a nivel de cada una de las orientaciones
praacutecticas del aprendizaje significativo de la cantidad de respuestas a ldquoTotalmente de acuerdordquo ldquoDe
acuerdordquo ldquoEn desacuerdordquo y ldquoTotalmente en desacuerdordquo
3 Evaluacioacuten de los aprendizajes significativos obtenidos en cada taller
En total se realizaron 7 talleres en febrero del 2019 cuya duracioacuten aproximada fue de una hora y media
El primer taller fue el que tuvo como objetivo introducir los conceptos esenciales de la GIRD en eventos
siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes Este taller se conformoacute por tres actividades ademaacutes de la
presentacioacuten del proyecto En la primera actividad se conformaron 2 subgrupos a cada subgrupo se le
dio una serie de iacuteconos y una matriz de clasificacioacuten en blanco referentes a la GIRD para que a partir
de deducciones y conocimientos previos colocaran cada icono en la seccioacuten respectiva
En la segunda actividad los facilitadores expusieron interrogativamente los conceptos esenciales de la
GIRD acompantildeados con imaacutegenes y viacutedeos En la tercera actividad los estudiantes se reunieron en los
subgrupos para corregir sus matrices de clasificacioacuten a fin de afianzar los contenidos vistos y examinar
si los comprendieron para su eventual aplicacioacuten Esta uacuteltima actividad dejoacute claro que los estudiantes
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tuvieron comprensioacuten de los conceptos esenciales de la GIRD ya que las matrices de clasificacioacuten fueron
corregidas correctamente En ese sentido se puede afirmar que el objetivo de este taller se cumplioacute
Figura 1
Elaboracioacuten de la matriz de clasificacioacuten
El segundo taller tuvo como objetivo presentar a los estudiantes los elementos esenciales de la cartografiacutea
participativa para que tuvieran las herramientas baacutesicas para elaborar colectivamente un mapa de
amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de Escazuacute Esta actividad consistioacute en exponer los elementos
esenciales de la cartografiacutea participativa las normas baacutesicas del trabajo en grupo el tipo de mapa a
intervenir (mapa a escala temaacutetico) las simbologiacuteas a ubicar (previamente definidas por los facilitadores)
y la forma de colocarlas en el mapa Los estudiantes generaron preguntas y comentarios que evidenciaron
comprensioacuten de los elementos esenciales de la cartografiacutea participativa y por tanto que el objetivo de
este taller se cumplioacute
El tercer taller tuvo como objetivo acercar a los estudiantes a los principales riesgos de desastres de la
comunidad donde viven es decir el cantoacuten de Escazuacute La idea fue que conectaran sus conocimientos
previos con los recogidos a nivel oficial para que tuvieran la informacioacuten necesaria en el proceso
colectivo de creacioacuten cartograacutefica Dicha actividad consistioacute en una exposicioacuten de las caracteriacutesticas
geofiacutesicas y socioeconoacutemicas del cantoacuten de Escazuacute Nuevamente las preguntas y comentarios que
hicieron los estudiantes al respecto mostraron que pudieron conectar sus conocimientos previos con los
registros oficiales presentados
El cuarto taller tuvo como objetivo construir colectivamente un mapa de amenazas y vulnerabilidades
del cantoacuten de Escazuacute La idea fue que los estudiantes interiorizaran por completo los conceptos esenciales
de la GIRD y pudieran utilizarlos para analizar sus realidades Este taller se conformoacute por tres
actividades La primera actividad consistioacute en que los estudiantes en subgrupos mapearan a partir de la
simbologiacutea dada las principales amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de Escazuacute La segunda
actividad fue la presentacioacuten en subgrupos de los mapas de amenazas y vulnerabilidades del cantoacuten de
Escazuacute y la discusioacuten en plenaria de cada uno de ellos La tercera actividad consistioacute en la
sistematizacioacuten de la informacioacuten de ambos mapas y en la definicioacuten colectivamente de tres tipos de
zonas de riesgo alto medio y bajo
La precisioacuten con la cual los estudiantes realizaron las distintas actividades de este taller demuestra que
interiorizaron los conceptos esenciales de GIRD principalmente los de amenaza y vulnerabilidad y
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aprendieron sus sentidos praacutecticos al aplicarlos como herramientas de anaacutelisis para sus realidades
inmediatas
Figura 2
Presentaciones de mapas
Asiacute para ellos las principales amenazas estaacuten asociadas con el desarrollo urbano descontrolado y la
geografiacutea montantildeosa del cantoacuten Por su parte las vulnerabilidades las asocian con la presencia del barrio
marginal los Anonos y el desarrollo residencial de las zonas altas Con estos datos los estudiantes
definieron las zonas de riesgo Para ellos la zona de riesgo alto es el sureste del distrito San Rafael ya
que ahiacute se concentra el desarrollo urbano descontrolado y el barrio marginal los Anonos y las zonas de
riesgo medio fueron las partes altas del distrito de San Rafael y del distrito de San Antonio
primordialmente por las fuertes pendientes que alliacute se ubican
El quinto taller tuvo como objetivo seleccionar las amenazas y vulnerabilidades ante eventos siacutesmicos y
volcaacutenicos maacutes urgentes de resolver en el cantoacuten de Escazuacute a fin de que los estudiantes tomaran un rol
de tomadores de decisiones para que advirtieran la importancia del tema en estudio Asimismo se
pretendioacute filtrar la informacioacuten obtenida para que el ejercicio del proacuteximo taller ndashdisentildeo de propuestas-
se diera con mayor efectividad La actividad consistioacute en un panel abierto donde todos los miembros del
grupo seleccionaron los temas maacutes urgentes de atender respecto a la GIRD en el cantoacuten de Escazuacute Estos
temas fueron anotados en la pizarra por los facilitadores y fueron elegidos a traveacutes de una votacioacuten
Esta actividad dio paso a una discusioacuten donde los estudiantes tomaran la batuta de la clase y utilizaron
los conceptos abordados con naturalidad y propiedad Ello desde luego permitioacute cumplir con los
objetivos planteados con este taller pues los estudiantes adquirieron conciencia de la importancia del
tema abordado al menos en el momento de la ejecucioacuten del taller y la informacioacuten se filtroacute para efectos
de facilitar el siguiente taller
El sexto taller tuvo como objetivo disentildear propuestas de GIRD ante eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en el
cantoacuten de Escazuacute La idea fue que los estudiantes aplicaran especiacuteficamente los procesos asociados a la
GIRD ante eventos siacutesmicos y volcaacutenicos La actividad que se realizoacute fue un panel abierto donde los
estudiantes definieron colectivamente propuestas de solucioacuten Asimismo las sistematizaron en una
matriz de clasificacioacuten referente a los procesos de la GIRD del espacio en estudio
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Figura 3
Disentildeo de propuestas de solucioacuten
Los productos resultantes de este ejercicio mostraron que los estudiantes tomaron conciencia sobre la
GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos Las propuestas fueron en gran medida pertinentes y
correctamente clasificadas Asiacute por ejemplo en prevencioacuten disentildearon medidas relacionadas con
ordenamiento territorial en mitigacioacuten aluden a medidas para mejorar la infraestructura y la
participacioacuten comunitaria en rehabilitacioacuten ponen como prioridad la buacutesqueda de afectados en
condicioacuten de vulnerabilidad y en reconstruccioacuten sentildealan la remocioacuten de escombros y la reconstruccioacuten
planificada Como tal los objetivos de la actividad se cumplieron en tanto que hubo una apropiacioacuten de
los conceptos en estudio No obstante se pudo notar que hizo falta mayor nivel de detalle y precisioacuten
Finalmente el seacuteptimo taller tuvo como objetivo evaluar los talleres de cartografiacutea participativa Para
ello realizaron tres actividades la primera fue presentar a los estudiantes memoria de los talleres la
segunda fue un cuestionario cerrado donde individualmente cada estudiante evaluoacute el proceso de
creacioacuten cartograacutefica implementado por los facilitadores la tercera fue un cuestionario abierto que
evaluoacute individualmente los conocimientos adquiridos por los estudiantes en GIRD Con esto se obtuvo
la informacioacuten necesaria para evaluar los talleres de cartografiacutea
4 Evaluacioacuten de los talleres de cartografiacutea participativa desde las orientaciones praacutecticas del
aprendizaje significativo
A nivel general el puntaje obtenido por los estudiantes en sus cuestionarios mostroacute que todos ellos
estuvieron ldquoTotalmente de acuerdordquo con que los talleres de cartografiacutea participativa siguieran las
orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo Sin embargo se puede apreciar que ldquoDe acuerdordquo
fue la respuesta maacutes frecuente entre los estudiantes abarcando un 528 del total de las respuestas
Luego sigue ldquoTotalmente de acuerdordquo con un 42 ldquoEn desacuerdordquo con un 4 y ldquoTotalmente en
desacuerdordquo con un 12 lo cual si bien no contradice el resultado presentado en el paacuterrafo anterior
presenta algunos detalles que no deben menospreciarse Se muestra que los estudiantes no estuvieron
completamente convencidos de que los talleres siguieran al dedillo las orientaciones praacutecticas del
aprendizaje significativo
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La revisioacuten por aparte de cada una de las orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo permitioacute
dar cuenta de los aspectos donde hay que mejorar Entre lo que se menciona se encuentra acoplarse
mejor a las necesidades y capacidades de cada quien plantear metas maacutes realistas propiciar la
observacioacuten del entorno promover la toma de conciencia sobre la temaacutetica y la realidad circundante
utilizar recursos poco usuales y mejorar la relacioacuten conceptual
5 Evaluacioacuten al final del proceso del nivel de interiorizacioacuten de los conceptos de GIRD en eventos
siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes
El resultado general fue que un 50 de los estudiantes obtuvieron entre 25 y 18 iacutetems correctos y otro
50 menos 18 Seguacuten los criterios de clasificacioacuten establecidos este resultado sentildeala que los estudiantes
interiorizaron parcialmente los conceptos de GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos con los talleres de
cartografiacutea participativa Ello indica que se necesitan maacutes esfuerzos para causar la interiorizacioacuten de los
conceptos de GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos en los estudiantes
No obstante eso fue uniforme para los distintos conceptos asociados a la GIRD ya que en unos casos si
se logroacute causar una interiorizacioacuten completa mientras que en otros soacutelo parcialmente y en otros muy
poco Los conceptos que siacute se lograron interiorizar con los talleres de cartografiacutea participativa fueron los
de Riesgo de desastres y Amenazas siacutesmicas y volcaacutenicas Los conceptos que se lograron interiorizar
parcialmente fueron GIRD y Reconstruccioacuten Finalmente los conceptos que se lograron interiorizar poco
fueron Vulnerabilidades siacutesmicas y volcaacutenicas Mitigacioacuten y Rehabilitacioacuten
6 Conclusioacuten
En suma se puede decir que la cartografiacutea participativa como herramienta didaacutectica para la ensentildeanza
de la GIRD en eventos siacutesmicos y volcaacutenicos fue bastante efectiva para contribuir en los aprendizajes
significativos de ese tema Se pudo corroborar que los objetivos de aprendizaje de cada taller se
cumplieron y que las orientaciones praacutecticas para lograr el aprendizaje significativo se siguieron en
mucho Asimismo la mitad de los estudiantes lograron interiorizar los distintos conceptos asociados con
la temaacutetica
Ahora es importante indicar que ello requiere mejoras pues por ejemplo la otra mitad de estudiantes
no logroacute alcanzar aprendizajes significativos en todos los conceptos esenciales Los factores que pudieron
haber influido en esa situacioacuten son el poco eacutenfasis que se le dio al abordaje de ciertos conceptos
(principalmente los procesos de la GIRD) la falta de rigurosidad en la evaluacioacuten inmediata de algunos
talleres y el seguimiento parcial de algunas orientaciones praacutecticas del aprendizaje significativo
Estos factores sin embargo no son completamente intriacutensecos a la teacutecnica cartografiacutea participativa pues
resultan del disentildeo conjunto de los talleres En ese sentido las mejoras se alcanzariacutean con una serie de
modificaciones al disentildeo de la propuesta Estas modificaciones sin embargo tambieacuten deben ser probadas
y evaluadas mediante un proceso riguroso Esto uacuteltimo es reconocer un elemento propio de la naturaleza
de la intervencioacuten didaacutectica la necesidad permanente de investigar la praacutectica educativa para alcanzar la
efectividad en la ensentildeanza (Restrepo 2009)
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El contexto en el aprendizaje de las ciencias iquestde quieacuten y para
queacute
Antonio Alejandro Lorca Mariacuten
Universidad de Huelva Espantildea
antoniolorcaddccuhues
Diego Armando Retana Alvarado
Universidad de Costa Rica Costa Rica
diegoarmandoretana ucraccr
Resumen El siglo XXI ha traiacutedo aparejado una serie de cambios sociales tecnoloacutegicos e
incluso laborales que hacen que nos planteemos nuestro paradigma educativo y por ende
sus perspectivas a nivel ontoloacutegico epistemoloacutegico y metodoloacutegico En esta comunicacioacuten
se expone la experiencia llevada a cabo bajo una metodologiacutea por indagacioacuten y en la que un
taller cuestionando la Homeopatiacutea sirve como foco de reflexioacuten para ejemplificar nuevas
perspectivas en el aula El realizar un acercamiento a los contenidos propios de las
asignaturas de fiacutesica y quiacutemica a traveacutes de la experimentacioacuten donde las afirmaciones en
ciencias se hagan a traveacutes de los datos y no como dogmas de fe se plantean como
metodologiacuteas necesarias para una ciudadaniacutea continuamente inmersa en un mar de opiniones
El cuestionar los medios de comunicacioacuten (foco de informacioacuten para muchos) nos acerca al
pensamiento criacutetico y escepticismo que tanto se reclama en nuestras aulas
Palabras Clave Didaacutectica de las ciencias experimentales indagacioacuten basada en modelos
maestros en formacioacuten inicial Pseudociencias
1 Introduccioacuten
El nuevo papel del profesor de cara a los nuevos retos que le va a plantear la era digital y en su papel
dentro del proceso debe pasar no soacutelo por el uso de los materiales si no por un comportamiento una
actitud un modelo de hacer que haraacute de este un planteamiento tal que haya que considerar su definicioacuten
para pasar de un papel formador educador a un papel dinamizador de orientacioacuten y tutela (Lorca-Mariacuten
et al 2018) La sociedad en la actualidad precisa una educacioacuten adaptada a sus necesidades y en este
sentido poco ha evolucionado el sistema educativo El tratamiento que desde las aulas hacemos de las
ciencias poco ha evolucionado desde las primeras Universidades (ver Figura 1) y donde a esta se la
aproxima maacutes a una religioacuten que ha una disciplina acadeacutemica donde el papel omnisciente del docente es
incuestionable y donde los alumnos como siervos disciacutepulos asumen el papel pasivo de memorizar los
contenidos de ciencias como si de evangelios se tratase y bajo el uacutenico criterio de la fe (Ver Figura 2)
No es de extrantildear que luego nuestros alumnos carezcan de la capacidad de generalizar los aprendizajes
de la escuela a otros contextos y dar respuestas a cuestiones donde poner en juego esos aprendizajes
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Figura 1
Aula Fray Luis de Leoacuten de la Universidad de Salamanca (Espantildea) Aula a fecha actual de la Universidad
de Huelva (Espantildea) Representacioacuten de la falta de evolucioacuten en la educacioacuten
Figura 2
Aula actual de la Universidad de Huelva (Espantildea) y su parecido a cualquier iglesia Representacioacuten
entre el tratamiento de la ciencia en las aulas actuales y la religioacuten
De cara a este cambio que se plantea el profesor debe poner eacutenfasis en el aprendizaje donde debe actuar
como tutor fomentando la autonomiacutea del alumno disentildeando y gestionando sus propios recursos y
partiendo de las concepciones erroacuteneas que sabemos que nuestros alumnos tienen y que en la literatura
podemos encontrar (ver Figura 3)
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Figura 3
Modelo de ensentildeanza y aprendizaje en la Ensentildeanza y Aprendizaje de las Ciencias
Nota Tomado de Lorca-Mariacuten 2015
No deja de ser un cambio de paradigma el que se comienza a plantear y donde cualquier profesor debe
preguntarse para queacute ensentildeamos ciencia queacute implicaciones en la sociedad debe tener la ciencia queacute
ensentildeamos y por supuesto coacutemo debemos presentar la ciencia en nuestras aulas
Este enfoque plantea la posicioacuten del estudiante dentro del sistema aula El papel activo del alumnado se
erige como elemento clave del proceso y donde la autoridad enciclopeacutedica del docente pasa a un segundo
plano para pasar a ser guiacutea en la metodologiacutea del proceso Donde el papel de las concepciones erroacuteneas
de nuestros estudiantes son el punto de partida de los procesos de formacioacuten y donde la tecnologiacutea son
elementos claves para dotar de sentido los procesos fenoacutemenos y hechos en nuestras aulas Donde el
contexto banco de preguntas a las que cargar de contenidos son claves para generar situaciones de
aprendizaje y determinantes de las conductas esperadas de nuestros alumnos El pensamiento criacutetico la
reflexioacuten en las acciones la toma de decisiones la creatividad pasan a ser contenidos actitudinales
esenciales para la consecucioacuten de los objetivos
Sin embargo requiere disponer de una organizacioacuten de los espacios agrupamientos y tiempos que no
siempre va de la mano del modelo operante de actual sistema educativo Ni el esfuerzo por parte de
aquellos actores que ejercen los distintos roles (alumnosprofesor) en seguacuten queacute casos estaacuten dispuestos
a llevarlo a cabo
La estructura del modelo de ensentildeanza y aprendizaje que se plantea desde el aacuterea de la didaacutectica de las
ciencias experimentales y que es de general aceptacioacuten es el de Indagacioacuten Y aunque clave en el aula de
ciencias tiene unos elementos que debemos tener presente Para Martiacutenez-Chico et al (2017) el alumno
debe apropiarse de la pregunta expresar justificar y discutir sus ideas utilizando diferentes lenguajes
Disentildear la buacutesqueda de pruebas para contrastar sus ideas llevan a cabo esa buacutesqueda analizan resultados
obtienen y discuten conclusiones y finalmente el profesor da un paso maacutes en el acercamiento a ideas
maacutes cientiacuteficas (ver Figura 4) Asimismo implica plantear problemas identificar diferentes caminos
para resolverlos desarrollar y observar experimentos sencillos recoger datos buscar y contrastar
respuestas entre otras (Linn Davis y Bell 2004)
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Figura 4
Estructura de una secuencia basada en la indagacioacuten
Nota Tomado de Martiacutenez-Chico et al 2017
Asiacute y como ya hemos especificado deben partir de las concepciones erroacuteneas que poseen nuestros
alumnos (o entendemos que poseen) y que solo el sistema educativo tiene los medios y recursos
personales (especialistas en la docencia) para poder trabajarlas Construimos ideas conceptos
proposiciones o esquemas a partir de los objetos eventos y situaciones a los que nos enfrentamos y cada
uno lo hace desde su propia situacioacuten personal por lo que se presentan como claves para el comienzo de
cualquier proceso
En este sentido las concepciones estaacuten mediadas por las percepciones que los sujetos tienen de la
realidad Entendiendo percepcioacuten como el resultado de la interpretacioacuten personal de la informacioacuten
(estiacutemulo externo) y por lo tanto es subjetiva Asiacute los factores de los que depende la percepcioacuten son
conocimiento actitud culturalsocial sentido e incluso el sexo entre otros muchos maacutes factores
Cuando hablamos de concepcioacuten la entendemos como la estructura mental general que posee el
individuo a traveacutes del procesamiento manipulacioacuten y uso del conjunto de percepciones que experimenta
el individuo
Asiacute Driver (1989) las clasifica seguacuten sean causados por
Pensamiento dirigido por la percepcioacuten Por ejemplo el azuacutecar o la sal desaparece al disolverse en el
agua
Conceptos indiferenciados Por ejemplo tratar como elementos sinoacutenimos Calortemperatura o
Masavolumendensidad
Enfoque limitado Por ejemplo pensar que la presioacuten no actuacutea en estados de equilibrio o que la fuerza
soacutelo existe si provoca movimiento
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Razonamiento causal lineal no reversible Por ejemplo el papel que juega la energiacutea en los cambios de
estado
Dependencia del contexto Por ejemplo el elegir recipiente de metal para sopa caliente siendo este mejor
conductor del calor
Las caracteriacutesticas generales que este mismo autor define son que
Son estables en el tiempo y resistentes al cambio
Son comunes a las de otros alumnos de la misma edad y cultura
Son construcciones personales de caraacutecter impliacutecito
Presentan semejanzas con concepciones histoacutericas del pensamiento cientiacutefico y filosoacutefico
Son ideas funcionales que buscan utilidad
Se ponen de manifiesto en actividades o predicciones
Tienen coherencia interna pero no desde el punto de vista cientiacutefico
2 Objetivos
Existe una doble finalidad dentro de la comunicacioacuten que se plantea y que podemos transformarlos en
forma de objetivos principales Por una parte y en un primer objetivo capacitar a los asistentes en
metodologiacuteas activas propias de los nuevos modelos educativos Mostrarles que los conocimientos
propios de una metodologiacutea determinante dentro del aula de ciencia y su extensioacuten a las competencias
STEM trabajo colaborativo planificacioacuten iniciativa creatividad comunicacioacuten y divulgacioacuten entre
otras
En un segundo objetivo la adquisicioacuten de los conocimientos propios determinados por la Legislacioacuten
espantildeola actual en fiacutesica y quiacutemica Contenidos conceptuales relacionados con la Materia las
Disoluciones el concepto de mol la formulacioacuten entre otros Contenidos procedimentales como las
disoluciones seriadas el pipeteo destrezas en el manejo de material de laboratorio y de pruebas
estandarizadas como la prueba del Yodo Obtener informacioacuten sobre temas cientiacuteficos utilizando
distintas fuentes y emplearla valorando su contenido para fundamentar y orientar trabajos sobre temas
cientiacuteficos Desarrollar actitudes criacuteticas fundamentadas en el conocimiento cientiacutefico para analizar
individualmente o en grupo cuestiones relacionadas con las ciencias
3 El taller
La propuesta que se plantea se inicia dando respuestas a una seria de preguntas claves y que todo docente
se debe ir haciendo iquestPara queacute ensentildear ciencias iquestQueacute ciencia ensentildear iquestCoacutemo debe relacionarse el
saber el alumno y el profesor iquestQueacute implicaciones debe tener en la sociedad iquestQueacute valores debe
fomentar iquestQueacute cuaacutendo y coacutemo ensentildear iquestQueacute cuaacutendo y coacutemo evaluar iquestQueacute estrategias de
aprendizaje yo actividades se proponen iquestCoacutemo deberiacutean presentarse las ciencias en las aulas Se trata
de una reflexioacuten sobre el sentido epistemoloacutegico de la ciencia su papel en la alfabetizacioacuten cientiacutefica de
los alumnos y su implicacioacuten en la sociedad Esta visioacuten o cambio en el paradigma de las ciencias desde
el punto de vista educativo parte de elementos claves
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Un conocimiento profundo sobre los contenidos a trabajar y que abordaremos en una secuencia
contextualizaacutendolos Es un planteamiento teoacuterico-cientiacutefico de los contenidos propios de la materia a
trabajar y que desde el curriacuteculo oficial debemos tener presente Explicitar la importancia del
conocimiento didaacutectico del contenido
Conocer queacute obstaacuteculos y dificultades de aprendizaje presentan los alumnos de secundaria sobre los
conceptos a trabajar Para ello se debe realizar una buacutesqueda sistemaacutetica en las distintas revistas
especializadas del aacuterea y que nos deacute una visioacuten de cuaacuteles son las concepciones erroacuteneas que marcaraacuten
nuestro devenir en el proceso de ensentildeanza
Conocimiento epistemoloacutegico de la ciencia Intentando responder a la cuestioacuten de coacutemo se conoce los
distintos contenidos a trabajar
Conocimiento de los distintos elementos que conforman el sistema aula Organizacioacuten planificacioacuten
evaluacioacuten entre otros
Por el contexto en el que se generaba la propuesta fue interesante profundizar en el tratamiento de las
concepciones erroacuteneas que tienen nuestros estudiantes a la hora de plantear cualquier proceso de
ensentildeanza y aprendizaje y en particular de los contenidos que iacutebamos a trabajar Dilucioacuten seriacioacuten
concepto de mol partiacutecula caracteriacutesticas de la materia caracteriacutesticas en particular del agua entre otros
Partiendo de una noticia reciente sobre el estado actual de la Homeopatiacutea y su inclusioacuten en la sociedad
actual nos acercamos a las opiniones que nuestros asistentes tienen de este tipo de praacutecticas
La intervencioacuten en siacute misma se ha publicado recientemente en la revista Alambique Didaacutectica de las
ciencias experimentales bajo el tiacutetulo de ldquoCiencia frente a seudociencia el fomento del pensamiento
criacuteticordquo (Lorca-Mariacuten et al 2019) Sin embargo resumir que se procedioacute a la fabricacioacuten de un producto
homeopaacutetico bajo los criterios que marca laboratorios del sector Mediante una dilucioacuten seriada decimal
(en diluciones 110) a partir de un antiseacuteptico yodado que actuacutea como tincioacuten madre (TM) se realizan las
distintas diluciones hasta obtener la dilucioacuten deseada 1DH (Decimales Hahnemannianas) 2DH
3DHhelliphellip Mediante la prueba del yodo se comprueba la autenticidad de las afirmaciones en las que se
sustenta la homeopatiacutea (ver Figura 5)
Figura 5
Fotografiacuteas durante la presentacioacuten donde un voluntario actuoacute de alumno para la ponencia
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Por uacuteltimo y tras la elaboracioacuten de la secuencia se desarrolloacute una reflexioacuten sobre el proceso despertando
un debate de reflexioacuten sobre las pseudociencias en la sociedad actual su modelo de generalizacioacuten foros
de crecimiento entre otras cuestiones
4 Conclusioacuten
La propuesta que se plantea fue muy valorada entre los docentes para su uso en el aula de ciencias
destacando su contribucioacuten a la contextualizacioacuten de aprendizaje de conocimientos relativos a conceptos
y procesos cientiacuteficos y especialmente de cara a trabajar contenidos actitudinales que en muchos casos
pasan desapercibidos en el aula de ciencias Asimismo se consideroacute que favorece la capacidad para
describir y explicar fenoacutemenos con el que el alumno convive y para interpretar los datos e informaciones
que llegan al estudiante a traveacutes de las redes sociales youtubers influencers entre otros
Se destacoacute el ejercicio de la experimentacioacuten cientiacutefica directa lo que potencia principalmente aspectos
de la competencia cientiacutefica como iniciacioacuten a la investigacioacuten cientiacutefica baacutesica
Es digno de mencioacuten en la intervencioacuten aquellas aportaciones referentes a la importancia del papel activo
del alumno La necesidad de generar contextos y situaciones que propicien la necesidad por investigar e
indagar donde el docente se comporte como guiacutea del proceso y el alumno adquiere un papel principal
en el proceso La necesidad de precisar entornos colaborativos entre el alumnado ya que entre los retos
que se enmarca el siglo XXI estaacute el de trabajos formados por grupos cada vez maacutes interdisciplinares y
donde la reflexioacuten comunicacioacuten y colaboracioacuten son elementos claves
La concepcioacuten sobre la ensentildeanza de las ciencias que posea el profesorado el conocimiento sobre los
contenidos cientiacuteficos a tratar la constante actualizacioacuten sobre las investigaciones que se hacen en
materia de concepciones erroacuteneas del alumnado en ciencia asiacute como sobre las informaciones que se
publican por los distintos medios de comunicacioacuten son variables para tener presentes pues condicionan
este tipo de metodologiacutea que parte del contexto en el que estaacuten sumergidos nuestros alumnos
Tenemos un sistema educativo centrado en respuestas maacutes que en preguntas cuando en una sociedad 40
toda informacioacuten debe ser cuestionada El sistema educativo debe formar alumnos con pensamiento
criacutetico y esceacutepticos
Debemos poner eacutenfasis en aprender haciendo y reflexionar sobre el proceso para ello debemos ensentildear
ciencias centraacutendonos en las preguntas desarrollando y usando modelos que nos acerquen a la realidad
del alumnado planificar y realizar proyectos e investigaciones que ayuden al alumno a interpretar el
medio que le rodea Analizando e interpretando datos concluyendo a partir de la interpretacioacuten de estos
y con argumentos que se puedan generalizar en patrones Comunicando y divulgando con argumentos a
partir de evidencias contrastables En definitiva ensentildeamos Ciencia sin hacer Ciencia El contexto en el
que se lleva a cabo la ensentildeanza y aprendizaje de las ciencias la ha dogmatizado hasta su tratamiento
como una religioacuten
Agradecimientos
Agradecer a la organizacioacuten del XXI CONCITES y en su caso a la fundacioacuten CIENTEC la oportunidad
de llevar a cabo la presente comunicacioacuten A la Universidad de Huelva (Espantildea) y Universidad de Costa
Rica por el apoyo otorgado para la realizacioacuten de este trabajo fruto de una estancia de investigacioacuten
cofinanciada por la Asociacioacuten Universitaria Iberoamericana de Posgrado el centro de investigacioacuten
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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COIDESO el grupo de investigacioacuten DESYM y la Universidad de Huelva a traveacutes de su Estrategia de
Poliacutetica de Investigacioacuten y Transferencia
Referencias Bibliograacuteficas
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en el aula de ciencias iquestdebe ser una obligacioacuten o no En Encuentros de Universidad de A
Coruntildea Servicio de Publicaciones
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seudociencia el fomento del pensamiento criacutetico Alambique Didaacutectica de las ciencias
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integrada para la formacioacuten inicial de maestros desde el aprendizaje de ciencias mediante
indagacioacuten y modelizacioacuten a la competencia para ensentildear ciencias Ensentildeanza de las Ciencias
(Extra) 115-122
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El uso del Meme como recurso pedagoacutegico y evaluativo
Hairo Zuacutentildeiga-Alvarado
International Christian School Costa Rica
hgzalvaradogmailcom
Resumen los memes han sido utilizados como recursos para expresar criticas sociales
humor y recreacioacuten estos factores pueden ser utilizados en la educacioacuten y llevar esos tres
elementos y generar un aprendizaje significativo a partir de su uso pedagoacutegico y evaluativo
El uso de la saacutetira y la comedia en la comunicacioacuten representa una ruta compleja de
aprendizaje por lo cual genera construccioacuten de conocimiento soacutelido y significativo El meme
se convierte en un novedoso recurso educativo que tiene las caracteriacutesticas fundamentales
para realizar procesos de evaluacioacuten diagnoacutestica ademaacutes al ser utilizado en las lecciones
facilita el ambiente dinaacutemico y propicio para el aprendizaje
Palabras claves meme aprendizaje procesos de ensentildeanza aprendizaje innovacioacuten
educativa TICs TACs
1 Introduccioacuten
La educacioacuten es un proceso que no concluye invita a los participantes a estar en una constante renovacioacuten
de conocimiento El ser humano es un ente de aprendizaje continuo con la capacidad de transformar lo
que observa en procesos elevados de metacognicioacuten hacia una ruta de integralidad
El avance tan acelerado de la tecnologiacutea conlleva el reto principal del quehacer docente hacia la buacutesqueda
de meacutetodos alternativos de aprendizaje donde logre captar la mayor capacidad de atencioacuten de los
educandos y donde se valore la inclusioacuten educativa como una arista primordial del aprendizaje
Los nuevos desafiacuteos docentes invitan a la constante innovacioacuten educativa llaman a los educadores a que
rompan paradigmas y trasciendan en su labor docente donde contextualicen los contenidos a partir de
recursos educativos peculiares como lo son los memes
2 Los memes iquestqueacute son
Un meme es un recurso visual que utiliza elementos llamativos como lo son colores imaacutegenes y
variedades de tipografiacuteas tienen la particularidad de que utilizan aspectos propios de la teoriacutea del color
utilizando colores opuestos para denotar mensajes La mezcla de colores y tipografiacuteas hacen que los
memes se conviertan en recursos ideales para expresar ideas comentarios y criacuteticas que pueden ir desde
aacutembitos locales internaciones y glocales
Son utilizados con alta frecuencia para expresar criacuteticas utilizando mensajes claros concisos y con tonos
de ironiacutea sarcasmo y jocosidad por otro lado los memes tienen la capacidad de llegar a ser virales en el
internet permitiendo asiacute alcanzar un puacuteblico meta maacutes amplio es por esto queacute pueden ser utilizados
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como recursos pedagoacutegicos es decir trascienden la sociedad de la informacioacuten (Vera 2016 citando a
Barroso y Cabero 2016)
3 El meme como recurso pedagoacutegico
Los memes son quizaacutes el recurso pedagoacutegico con mayor accesibilidad y al mismo tiempo con mayor
grado de subvaloracioacuten este recurso brinda muacuteltiples oportunidades para proyectar informacioacuten
masificarla y divulgarla a partir de la creatividad comunicacioacuten siacutentesis y criticidad (Balda 2019)
Es decir permite generar nuevas rutas en la construccioacuten de conocimiento de los discentes utilizando
procesos interculturales e interdisciplinarios lleva consigo un andamiaje de ideologiacuteas y pensamientos
permitiendo al meme ser un gran portador de conocimiento
Para nadie es un secreto que se vive en una sociedad con altos iacutendices de globalizacioacuten donde la
tecnologiacutea se convirtioacute en un aliado en la formacioacuten de conocimiento en los educandos por parte de los
docentes es por esto por lo que los memes vuelven a ser pioneros en la formacioacuten construccioacuten y
reflexioacuten del conocimiento brindado en el proceso ensentildeanza-aprendizaje En este recurso digital se
pueden hallar todas las caracteriacutesticas establecidas en las TICs donde permite la flexibilidad del
curriculum y simultaacuteneamente se transforman en TACs en otras palabras los memes son herramientas
que participan en procesos complejos de comunicacioacuten y de conocimiento generando asiacute la proyeccioacuten
de habilidades de pensamiento sisteacutemico y analiacutetico
El pensamiento criacutetico es uno de los factores que maacutes se busca en los procesos de ensentildeanza-aprendizaje
son el reto de los educadores actuales y son el deseo de los estudiantes que estaacuten sedientos de nuevos
retos nuevos aprendizajes y nuevas tendencias pedagoacutegicas que conviertan sus entornos de ensentildeanza
en ambientes dinaacutemicos y de aplicabilidad
En la misma liacutenea para garantizar un aprendizaje significativo es necesario cumplir con dos requisitos
1 Brindar los contenidos de manera que los estudiantes logren entender el porqueacute de los temas que
aprende y 2 Contextualizar los contenidos que estudian para asiacute encontrar la aplicabilidad del
conocimiento
Los estudiantes modernos son exigentes en cuanto a estudiar y aprender son emocionales y pueden
realizar varias tareas al mismo tiempo esto da al docente un rompecabezas de teacutecnicas que pueden usar
para despertar en los estudiantes el intereacutes por la asignatura y con esto generar un viacutenculo que fortalezca
la relacioacuten estudiante-docente y viceversa los cerebros de nuestros estudiantes trabajan a partir de grupos
de intereses (Cataldi y Dominighni sf) si se logra posicionar la asignatura en ese ciacuterculo se construiriacutea
una nueva ruta de conocimiento
La creacioacuten de ese viacutenculo emocional garantiza que los procesos de ensentildeanza-aprendizaje se encaminen
hacia la ruta de la significancia ya que es fundamental que los estudiantes logren sentirse coacutemodos
seguros y felices en los entornos de aprendizaje (Lewin 2017)
4 El meme como recurso evaluativo
La evaluacioacuten como tal se ha visto proyectada como el proceso que muestra el avance de un estudiante
en el proceso de aprendizaje se ha tipificado como un proceso sumativo donde a partir de una escala
numeacuterica el estudiante recibe una calificacioacuten que brinda presuntamente su nivel de desempentildeo para
los objetivos planteados
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40
Este proceso sumativo se ha visto bajo el esquema de educacioacuten tradicional valorando el resultado del
aprendizaje y omitiendo el proceso de aprendizaje lo cual elimina por completo el verdadero proceso
de significancia de la educacioacuten Es durante el proceso de aprendizaje donde el estudiante cuestiona lo
que sabe produce y reflexiona siendo estas tres habilidades fundamentales en la construccioacuten de
conocimiento y vitales para lograr el aprendizaje significativo (Apeacutendice I II y III)
El aprendizaje significativo y la evaluacioacuten son procesos que pueden ocurrir paralelamente si se aplican
las diversas formas de evaluacioacuten que existen los memes pueden ser utilizados en las tres rutas de
evaluacioacuten que existen
El meme como evaluador diagnoacutestico debido a su naturaleza criacutetica los memes funcionan con
herramientas para iniciar discusiones reflexiones y diversas metodologiacuteas donde el estudiante puede
hacer introspeccioacuten sobre la compresioacuten de los contenidos a desarrollar o ya estudiados
El meme como evaluador sumativo al utilizar el meme como esta estrategia el docente requiere de una
ruacutebrica soacutelida y objetiva
El meme como evaluador formativo el docente puede utilizar este recurso como una herramienta
metodoloacutegica para brindar espacios de retroalimentacioacuten grupal e individual con el fin de brindar un
aprendizaje formativo
5 Materiales y meacutetodos
Se realizoacute una encuesta a un grupo de 36 docentes de preescolar primaria y secundaria de sistemas
educativos puacuteblicos y privados de las modalidades diurnas bachillerato internacional y nocturnas y a un
grupo de 58 estudiantes pertenecientes a colegios privados y puacuteblicos y que oscilan las edades de 14 a
20 antildeos y de las modalidades acadeacutemica bachillerato internacional y Colegio Nacional Virtual Marco
Tulio Salazar
La muestra de docentes contempla una distribucioacuten que incluye San Carlos Puntarenas San Marcos de
Tarrazuacute Heredia San Joseacute y Cartago mientras que la muestra de estudiantes se utilizoacute la direccioacuten
regional de Heredia especiacuteficamente los circuitos escolares 05 y 07
Las encuestas aplicadas contienen un total de ocho preguntas de las cuaacuteles seis son preguntas cerradas y
dos son preguntas abiertas Las respuestas obtenidas fueron procesadas a partir de graacuteficos y tablas con
el fin de contrastar los resultados
6 Discusioacuten de resultados
Como parte del proceso de indagacioacuten se le pregunto a los docentes sobre el principal uso que se ha dado
a los memes la figura 1 contempla los resultados de esta interrogante
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Figura 1
Uso que se le dan a los memes
Nota Creacioacuten propia
Tal y como muestra la figura anterior las opciones de recreacioacuten u ocio criacutetica social y comunicacioacuten
de ideas son las respuestas con mayor frecuencia en la muestra encuestada esto evidencia que el meme
es un recurso con una gama amplia de uso permitiendo alcanzar niveles de comunicacioacuten superiores a
partir de diferentes estrategias y herramientas
En la misma liacutenea utilizar memes en las lecciones como recurso pedagoacutegico y evaluativo tiene muacuteltiples
beneficios en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje ya que al utilizar el humor como forma de
comunicacioacuten de ideas permite generar conexiones neuronales fuertes y realizar en forma impliacutecita
procesos de cuestionamiento de conocimiento al entender o no entender el meme es este recurso una de
las formas maacutes atractivas para llegar a la metacognicioacuten tal y como lo afirma Vera (2016) al indicar que
ldquohelliplos memes tienen un poder de descripcioacuten y explicacioacuten en torno a un fenoacutemeno hecho u desarrollo
cultural mucho maacutes efectivo para la cultura juvenil globalizada -y por ende hiperconectada- en el aacutembito
educativo del siglo XXIrdquo (p 5)
Se considera que los memes tendraacuten efectos positivos en el estudiantado (Figura 2) y en clima de clase
si esto se logra por consecuencia se afectaraacute positivamente el aprendizaje transformaacutendolo en
contextualizado divertido y significativo Transportan al estudiante hacia paradigmas cognitivos
inexplorados donde se promueve una mentalidad de crecimiento a partir de la sensacioacuten de seguridad
empoderamiento y felicidad de las lecciones
Figura 2
Efecto del uso de los memes en las lecciones de acuerdo con los docentes
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Por otro lado los estudiantes son una de las aristas principales del proceso educativo ante esto se les
preguntoacute a los educandos sobre si existe un agrado por el posible uso de los memes como recurso
pedagoacutegico y evaluativo en las lecciones el resultado se ubica en la Figura 3
Figura 3
Efecto del uso de los memes en las lecciones de acuerdo con los docentes
Nota Creacioacuten propia
Tal y como muestra la figura anterior existe una alta frecuencia por que los memes sean utilizados en
las lecciones ya que permitiraacuten a los estudiantes abordar contenidos desde distintas perspectivas
generando una innovacioacuten educativa en los salones de clases
Estos procesos trascienden de la labor tradicional del docente y produce la liberacioacuten de serotonina
aumentando la felicidad y por ende la sensacioacuten se seguridad y comodidad ante el aprendizaje logrando
el aprendizaje significativo
La contextualizacioacuten del conocimiento es vital es ahiacute donde el meme entra en juego y produce en la
relacioacuten docente-estudiante la contextualizacioacuten del conocimiento para fortalecer el viacutenculo emocional
necesario para el discente esto genera un efecto dominoacute donde a partir de todo lo mencionado
anteriormente se abren caminos hacia una educacioacuten multicultural integral y reflexiva
Los memes utilizados como un recurso evaluativo les brinda a los estudiantes la capacidad de realizar
una auto reflexioacuten y auto retroalimentacioacuten a partir de la comprensioacuten del recurso en contexto social
cuando el estudiante se replantee en su mente porqueacute comprende ese meme por queacute entiende el trasfondo
del meme y por queacute puede identificar errores o datos falsos en un meme habremos logrado como
docentes llevar a la verdadera criticidad al verdadero pensamiento criacutetico y la metacognicioacuten Los
memes son los recursos linguumliacutesticos maacutes utilizados en muchas aacutereas de la sociedad como la publicidad
el periodismo y la sociologiacutea es momento que se utilicen tambieacuten en la educacioacuten y lograr transformar
el arte de educar
7 Conclusiones
Tras finalizar este proceso investigativo se concluye que
El meme es un recurso pedagoacutegico y evaluativo que permite al docente innovar en sus lecciones
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Utilizar el meme como recurso pedagoacutegico invita a los estudiantes a llevar su construccioacuten de
conocimiento a niveles superiores
Innovar es una labor que el docente debe hacer constantemente llevar al estudiante a disfrutar el
aprendizaje es fundamental para alcanzar el aprendizaje significativo
La contextualizacioacuten de conocimiento es necesaria para formar el viacutenculo entre el docente y el estudiante
El meme es un recurso versaacutetil que permite al docente conocer a sus estudiantes fortalecer su relacioacuten
con ellos y despertar desarrollar en los estudiantes competencias habilidades y destrezas
Referencias Bibliograacuteficas
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Apeacutendices
Apeacutendice I Desglose del estudio de un meme de literatura
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Apeacutendice II Desglose del estudio de un meme de matemaacuteticas
Apeacutendice III Desglose del estudio de un meme de Fiacutesica
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Estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de la quiacutemica
Carla Goacutemez Quiroacutes
Universidad Latinoamericana de Ciencia y Tecnologiacutea Costa Rica
cgomezq296ulacitedcr
Resumen La gamificacioacuten o ludificacioacuten es una herramienta de transformacioacuten educativa que permite integrar
metodologiacuteas activas y participativas frente al modelo claacutesico de ensentildeanza magistral En el presente artiacuteculo
se proponen varias estrategias didaacutecticas para la presentacioacuten de contenidos de quiacutemica general en el aula en
forma de juego con objeto de incentivar la motivacioacuten y el aprendizaje entre estudiantes tanto de secundaria
como de nivel inicial universitario Las estrategias se implementaron en un grupo de 46 estudiantes de quiacutemica
inorgaacutenica baacutesica de primer ingreso de universidad (edad promedio = 19 antildeos) procedentes de colegios puacuteblicos
y privados con diferentes niveles de conocimiento sobre la materia El 100 de los estudiantes consideraron
que las actividades realizadas facilitaron su aprendizaje personal e incrementaron su intereacutes en la materia
Palabras clave gamificacioacuten nomenclatura geometriacutea molecular balanceo de ecuaciones simulacioacuten
1 Introduccioacuten
La quiacutemica como asignatura de ciencias es muy importante en los programas de estudio de educacioacuten
secundaria y en los primeros antildeos de educacioacuten superior a nivel global Es un tema central para las
carreras de ciencias baacutesicas ciencias de la salud e ingenieriacuteas entre otras No obstante se ha observado
que en general los estudiantes poseen una percepcioacuten de que la quiacutemica es difiacutecil de entender lo cual en
muchos casos se torna en ansiedad y conduce a la peacuterdida de motivacioacuten o intereacutes sobre la materia
(Nakamatsu 2012)
Lo anterior se puede atribuir a la naturaleza abstracta de la asignatura al meacutetodo de ensentildeanza magistral
que la mayoriacutea de los profesores de quiacutemica han venido utilizando a lo largo del tiempo (Corchuelo
2018) y a la brecha que auacuten existe en nuestro paiacutes entre colegios de enfoque cientiacutefico y acadeacutemico lo
cual auacuten en antildeos recientes no deja de ser uno de los grandes retos que tiene el Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica (MEP) en Costa Rica (Hernaacutendez-Chaverri et al 2017)
En lo que respecta a los profesores de quiacutemica tanto a nivel de secundaria como a nivel de educacioacuten
superior uno de los principales retos consiste en desarrollar nuevas estrategias que permitan revertir esta
percepcioacuten negativa sobre la materia y transformar el aprendizaje en una experiencia positiva que
fomente que los estudiantes se motiven y aprecien la importancia de adquirir conocimiento en esta
asignatura
Una de las estrategias que ha venido desarrollando una gran popularidad en el aacuterea de la educacioacuten
consiste en la teacutecnica de gamificacioacuten cuyo objetivo de acuerdo con Ortegoacuten (2016) consiste en el
empleo o identificacioacuten de elementos caracteriacutesticos del juego que permitan transformar una actividad
desarrollada en un entorno no luacutedico en una experiencia agradable que potencie la motivacioacuten la
concentracioacuten la transmisioacuten de conocimiento y la creacioacuten de un viacutenculo significativo con los
estudiantes
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Gamificar el estudio de la quiacutemica ya sea en forma de juegos educativos simulaciones o bien
experiencias no tradicionales en clase es una propuesta atractiva que brinda a los estudiantes la
oportunidad de visualizar conceptos abstractos participar en el proceso de aprendizaje activo y construir
conocimiento de manera efectiva
Seguacuten Oliva (2016) dentro de un contexto universitario la gamificacioacuten representa una oportunidad para
propiciar una cultura de conectividad entre el docente y el estudiante que alimente el intereacutes genuino de
este uacuteltimo por aprender lo cual seraacute reflejado en el mejoramiento de las dinaacutemicas de grupo la atencioacuten
en clase el fomento de actitudes de criacutetica reflexiva retroalimentacioacuten eficiente y aprendizaje
significativo Asimismo la posibilidad de incentivar la participacioacuten de la totalidad de los estudiantes
permite detectar y solucionar de manera oportuna y efectiva aquellos problemas o errores de comprensioacuten
y colectivizacioacuten del conocimiento reduciendo de esta manera las probabilidades de fracaso acadeacutemico
No obstante es importante considerar que el eacutexito o fracaso de la implementacioacuten de estas estrategias
depende de las mecaacutenicas de juego establecidas y de la adecuada seleccioacuten de las herramientas de juego
para la adaptacioacuten de los conceptos educativos de intereacutes de modo que se debe de tener especial cuidado
en cuanto al disentildeo e implementacioacuten de la actividad Con base en esto Werbach amp Hunter (2012)
citados por Corchuelo (2018) consideran que el disentildeo de una estrategia de gamificacioacuten exitosa se basa
en el cumplimiento de los siguientes puntos
a Definir con claridad los objetivos educativos que se quieren conseguir en el aula
b Delimitar los comportamientos que se quieren potenciar en los estudiantes
c Establecer las caracteriacutesticas e intereses de los jugadores
d Definir el sistema de gamificacioacuten y establecer los ciclos de las actividades
e Disentildear las actividades bajo la premisa de que se debe fomentar la diversioacuten
f Definir los recursos y herramientas necesarias para el desarrollo de la estrategia y la posterior
evaluacioacuten de competencias
En la siguiente seccioacuten se describen las caracteriacutesticas de las estrategias didaacutecticas implementadas para
la dinamizacioacuten de contenidos temaacuteticos en el aacuterea de quiacutemica
2 Materiales y meacutetodos
Con objeto de incentivar la motivacioacuten y el aprendizaje de la quiacutemica entre los estudiantes se realizoacute
una investigacioacuten de caraacutecter cualitativo y disentildeo descriptivo para conocer la valoracioacuten de las estrategias
de gamificacioacuten implementadas En las siguientes subsecciones se detallan los elementos establecidos
para el presente estudio de acuerdo con lo estipulado por Werbach amp Hunter (2012) citados por
Corchuelo (2018)
21 Definicioacuten de los objetivos educativos
De manera adicional a los objetivos acadeacutemicos establecidos dentro del programa del curso la aplicacioacuten
de las estrategias planteadas procura motivar a los estudiantes a participar en clase asiacute como dinamizar
los contenidos temaacuteticos dentro del aula para reducir los tiempos de exposicioacuten magistral de los
conceptos y orientar el proceso de ensentildeanza hacia un sistema basado en la resolucioacuten de problemas Lo
anterior para fomentar el pensamiento creativo de los estudiantes
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22 Comportamientos que se quieren potenciar entre los estudiantes
Dentro de los comportamientos que se quieren potenciar entre los estudiantes se destaca la participacioacuten
en clase el aprendizaje colaborativo la retroalimentacioacuten efectiva entre pares acadeacutemicos y la asistencia
a la mayoriacutea de las sesiones de clase Ademaacutes del intereacutes de potenciar comportamientos positivos se
procura de igual manera revertir comportamientos o percepciones negativas sobre la materia
23 Caracteriacutesticas e intereses de los jugadores
La estrategia de gamificacioacuten se aplicoacute a un grupo de 46 estudiantes de pregrado de la Escuela de
Medicina y Cirugiacutea Veterinaria San Francisco de Asiacutes de la Universidad Veritas - Espantildea con edades
dentro del rango de 17 hasta los 29 antildeos con diferentes niveles de conocimiento sobre la materia
procedentes de colegios puacuteblicos y privados La distribucioacuten de geacutenero fue de 73 (33) mujeres y 27
(12) hombres
24 Sistema de gamificacioacuten y ciclos de actividades
La seleccioacuten de los temas se realizoacute con base en la distribucioacuten de los contenidos temaacuteticos establecidos
dentro del programa del curso el cual se encuentra dividido en las unidades mostradas en la Tabla 1
Tabla 1
Contenidos temaacuteticos establecidos dentro del programa del curso
Unidad Detalle
I Introduccioacuten a la quiacutemica
II Estructura electroacutenica del aacutetomo Tabla perioacutedica Enlace quiacutemico
III Reacciones quiacutemicas y cantidades
IV Estados de la materia
V Agua Disoluciones y coloides
VI Velocidad de reaccioacuten Equilibrio Quiacutemico Aacutecido-Base
Las estrategias de gamificacioacuten se llevaron a cabo en grupos de maacuteximo 5 estudiantes En general las
actividades fueron planificadas para realizarse al inicio y al final de cada unidad temaacutetica del curso en
horario de clase El esquema de clase se desarrolloacute en tres etapas a) exposicioacuten magistral del tema con
una duracioacuten de maacuteximo 15 minutos b) aplicacioacuten de la estrategia de gamificacioacuten en grupos y c)
revisioacuten grupal de ejercicios para finalizar la clase
25 Descripcioacuten de estrategias de gamificacioacuten para la ensentildeanza de conceptos de quiacutemica
De acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) existen tres niveles de ensentildeanza y aprendizaje de
conceptos en quiacutemica los cuales consisten en el nivel macroscoacutepico submicroscoacutepico y simboacutelico El
nivel macroscoacutepico hace referencia al aprendizaje de conceptos a traveacutes de la observacioacuten el nivel
submicroscoacutepico representa los conceptos quiacutemicos relativos al movimiento de las moleacuteculas aacutetomos o
partiacuteculas subatoacutemicas y el nivel simboacutelico comprende aquellos conceptos que se estudian mediante el
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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uso de siacutembolos foacutermulas estructuras o nuacutemeros De estos conceptos los uacuteltimos dos es decir los
niveles submicroscoacutepico y simboacutelico son considerados de alta dificultad para los estudiantes
Con base en lo anterior se detallan a continuacioacuten las estrategias de gamificacioacuten utilizadas para la
dinamizacioacuten y refuerzo de conceptos considerados de alta complejidad por los estudiantes
251 Dados de iones para nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos
La primera estrategia se enfoca en el tema de nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos perteneciente al
nivel simboacutelico de acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) El objetivo principal de esta estrategia
consiste en reducir el error que cometen los estudiantes al combinar catioacuten-catioacuten o anioacuten-anioacuten
mediante la utilizacioacuten de dos dados que lanzan de manera simultaacutenea Uno de los dados el que posee
los cationes se identifica con un color distinto (azul) al dado que posee los aniones (rojo) como se
observa en la Figura 1 de modo que sea un recordatorio para que los estudiantes se aseguren de combinar
especies diferentes
Figura 1
Dados de cationes y aniones para nomenclatura de compuestos inorgaacutenicos
Adicionalmente esta estrategia permite reforzar el aprendizaje de los nuacutemeros de oxidacioacuten de iones
monoatoacutemicos y poliatoacutemicos asiacute como la praacutectica de la distribucioacuten correcta de estos en cuanto a la
formulacioacuten de los compuestos y su posterior nomenclatura
252 Construccioacuten de modelos tridimensionales de marshmallows para geometriacutea molecular y
Estructuras de Lewis
Una de las principales dificultades respecto al aprendizaje de la quiacutemica como se mencionoacute previamente
consiste en su naturaleza abstracta Para este efecto la construccioacuten de modelos tridimensionales es de
gran utilidad para que los estudiantes visualicen las estructuras de las moleacuteculas en el espacio Este tema
de igual manera pertenece al nivel simboacutelico de acuerdo con Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015)
La estrategia desarrollada se basa en realizar primeramente los disentildeos de las estructuras de Lewis en
papel y posteriormente trasladarlas a su forma tridimensional empleando gomitas o marshmallows
como se muestra en la Figura 2
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Figura 2
Modelos tridimensionales de marshmallows o gomitas para representaciones de geometriacutea molecular y
estructuras de Lewis
La geometriacutea molecular se puede visualizar adicionalmente de manera opcional con ayuda de kits
para construccioacuten de moleacuteculas
253 Balanceo de ecuaciones quiacutemicas con confites y simulaciones PhET
La estequiometriacutea y balanceo de ecuaciones quiacutemicas es uno de los temas de mayor trascendencia en el
estudio de la quiacutemica De acuerdo con la separacioacuten de conceptos de Sarkodie y Adu-Gyamfi (2015) se
clasifica como nivel submicroscoacutepico
La implementacioacuten de ayudas visuales en este caso es de gran apoyo De modo que la estrategia se
plantea como un juego en el que los estudiantes compiten en velocidad para determinar queacute grupo
finaliza el balanceo de ecuaciones en el menor tiempo Para este efecto se utilizan confites como Skittles
o MampMacutes para simular los aacutetomos respetando la asignacioacuten de colores para cada elemento en especiacutefico
tal y como se observa en la Figura 3
Figura 3
Apoyo visual para el balanceo de ecuaciones quiacutemicas
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Otra herramienta disponible para utilizar en clase como apoyo visual para actividades de gamificacioacuten
consiste en el proyecto ldquoPhET Interactive Simulationsrdquo de la Universidad de Colorado Boulder de
donde se pueden obtener distintos recursos educativos para ilustrar conceptos adicionales Las
simulaciones especiacuteficas para quiacutemica se pueden obtener de
httpsphetcoloradoeduensimulationscategorychemistry
26 Recursos y herramientas necesarias
Se aplicoacute un cuestionario en liacutenea para conocer la percepcioacuten de los estudiantes respecto a las estrategias
de gamificacioacuten utilizadas durante el curso Las preguntas definidas para el anaacutelisis cualitativo se
observan en la Tabla 2
Tabla 2
Encuesta aplicada a los estudiantes
Pregunta Tipo de pregunta
iquestCuaacutel fue la actividad que maacutes llamoacute su atencioacuten
Opcioacuten muacuteltiple
iquestLas actividades realizadas incrementaron su intereacutes por la quiacutemica
inorgaacutenica
Dicotoacutemica
iquestCuaacutel fue el tema que maacutes le interesoacute de los contenidos abordados por
las actividades Puede marcar varias opciones
Opcioacuten muacuteltiple
iquestPrefiere el uso de simulaciones en computadora o la construccioacuten de
modelos y juegos en fiacutesico para visualizar conceptos quiacutemicos
Opcioacuten muacuteltiple
iquestConsidera usted que las actividades realizadas fueron innovadoras y
atractivas para los estudiantes
Dicotoacutemica
iquestLas actividades realizadas facilitaron su aprendizaje personal de los
conceptos involucrados
Dicotoacutemica
iquestConsidera uacutetil el uso de estrategias didaacutecticas luacutedicas como
alternativa al enfoque tradicional de ensentildeanza de la quiacutemica
inorgaacutenica a nivel universitario
Dicotoacutemica
iquestTiene alguacuten comentario o sugerencia adicional para mejorar las
actividades realizadas
Abierta
3 Resultados y Discusioacuten
De acuerdo con los resultados obtenidos en la encuesta las actividades que maacutes llamaron la atencioacuten de
los estudiantes con un porcentaje de 444 en ambos casos fueron la construccioacuten de modelos
tridimensionales y la utilizacioacuten de simulaciones PhET El 111 del estudiantado se interesoacute por la
actividad de los dados de iones
En relacioacuten con la valoracioacuten general de las actividades se obtuvo que el 100 de los estudiantes
consideraron que las estrategias aplicadas incrementaron su intereacutes por la quiacutemica y facilitaron su
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aprendizaje personal La distribucioacuten especiacutefica de los contenidos de mayor intereacutes incluyendo la
utilizacioacuten de simulaciones PhET para la visualizacioacuten de otros conceptos se muestra en la Figura 4
donde los temas estudiados con estas uacuteltimas obtuvieron la mayor aceptacioacuten
Figura 4
Intereacutes sobre los contenidos temaacuteticos abordados durante las actividades
En general las estrategias que involucraron el desarrollo manual de modelos tuvieron una aceptacioacuten
mayor (844) respecto al uso de simulaciones computacionales (156) lo cual permite apreciar la
necesidad de realizar una transformacioacuten educativa hacia modelos de ensentildeanza que permitan la
transicioacuten de los estudiantes desde un rol pasivo a un rol activo que les permita interactuar en mayor
medida con sus procesos de aprendizaje como menciona Ortegoacuten (2016) Los estudiantes consideraron
que la experimentacioacuten y realizacioacuten de actividades praacutecticas que les permitieron interactuar con el
contenido visto en clase les ayudoacute a tener un panorama maacutes amplio de coacutemo funciona la quiacutemica en la
vida real lo cual no hubieran obtenido si las clases fueran en su totalidad de caraacutecter magistral
4 Conclusiones
Las estrategias de gamificacioacuten en quiacutemica brindan a los estudiantes la oportunidad de visualizar
conceptos abstractos participar en el proceso de aprendizaje activo y construir conocimiento de
manera efectiva
Los resultados obtenidos en este estudio permiten apreciar la necesidad de realizar una
transformacioacuten educativa hacia modelos de ensentildeanza de aprendizaje activo
Agradecimientos
El desarrollo de este documento no habriacutea sido posible sin la entusiasta participacioacuten y colaboracioacuten de
mis estudiantes del curso de Quiacutemica Inorgaacutenica Baacutesica de la Escuela de Medicina y Cirugiacutea Veterinaria
San Francisco de Asiacutes de la Universidad Veritas en donde tuve la oportunidad de impartir este curso
durante el periacuteodo acadeacutemico del II Cuatrimestre 2019 Agradezco la amabilidad de los estudiantes y del
personal administrativo asiacute como el aprendizaje adquirido durante este breve periacuteodo en la institucioacuten
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Referencias bibliograacuteficas
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ming_and_writing_structural_formulae_of_hydrocarbons_using_the_ball-and-stick_models
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53
Elaboracioacuten de iacutetems en Geometriacutea y GeoGebra como
herramienta de apoyo en la construccioacuten de las figuras
Estiacutebaliz Rojas Quesada
Universidad Estatal a Distancia
erojasqunedaccr
Eric Padilla Mora
Universidad Estatal a Distancia
epadillaunedaccr
Resumen Este taller estaacute orientado al anaacutelisis de diversos aspectos teoacutericos propios de construccioacuten y
validacioacuten de iacutetems destacando la validez y confiabilidad Se pretende que el participante analice algunos
ejercicios y determine si cumplen con los requisitos para poder ser aplicados posteriormente disentildearaacute ejercicios
tomando en cuenta la teoriacutea y finalmente se le brindaraacute una breve introduccioacuten al empleo del Software
GeoGebra como recurso que le podriacutea contribuir con el disentildeo de las figuras que empleariacutea en los iacutetems
generados Ademaacutes durante el taller se podraacute implementar algunas actividades que le permitan fortalecer su
formacioacuten Matemaacutetica especiacuteficamente en el aacuterea de geometriacutea
Palabras clave Evaluacioacuten geometriacutea anaacutelisis de iacutetems construccioacuten de iacutetems
Objetivo del taller disentildear iacutetems para pruebas escritas en temas de Geometriacutea del I y II Ciclo de la
Educacioacuten General Baacutesica y emplear el software GeoGebra como apoyo para la construccioacuten de las
figuras geomeacutetricas que se incluyan en estos
Puacuteblico meta docentes del I y II Ciclo de la Educacioacuten General Baacutesica Costarricense asiacute como
estudiantes en formacioacuten para dichos ciclos
Recursos computadora con acceso a internet hojas blancas laacutepiz lapicero y borrador
Cantidad maacutexima de participantes 15 personas
1 Introduccioacuten
La evaluacioacuten como proceso cumple entre otros roles el de orientar al docente sobre el aprendizaje de
los estudiantes ofreciendo la posibilidad de fortalecerlo y consolidarlo Ademaacutes se constituye como un
medio para poder transformar el proceso de ensentildeanza dado que permite evidenciar cuaacuteles son las
necesidades prioritarias que se debe atender Por tanto tiene que ser visualizada como una actividad
continua y un proceso integrador que genera desde la reflexioacuten de las experiencias oportunidades
formativas De acuerdo con Fernaacutendez (2018) ldquola evaluacioacuten implica que el docente registre las
fortalezas los talentos las cualidades los obstaacuteculos los problemas o las debilidades que de manera
individual y grupal se vayan dando para intervenir oportunamenterdquo (paacuterr 3)
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Sin embargo se debe recurrir a la medicioacuten para cuantificar los atributos que se encuentran presentes en
los estudiantes (Martiacutenez 2008) tal y como sucede en la educacioacuten costarricense la cual sin importar el
propoacutesito de la evaluacioacuten diagnoacutestica formativa o sumativa debe cumplir con una serie de estaacutendares
de calidad los cuales tienen que ver principalmente con la validez y confiabilidad de los instrumentos
que se emplean para realizar la evaluacioacuten de los aprendizajes
En cuanto a la validez considerada como ldquoel grado en que un test mide lo que pretende medirrdquo (Martiacutenez
2005 p 330) involucra el anaacutelisis de dos aspectos esenciales el contenido para que las preguntas sean
relevantes y representativas del tema que se pretende medir y el proceso de respuesta ya que por medio
de ello se puede establecer los procedimientos que siguen las personas para responder y los indicadores
de lo que se quiere evaluar (Meneses et al 2013)
Por su parte se puede indicar que la confiabilidad se relaciona con el grado de consistencia con que los
examinados realizan la prueba por lo cual es importante determinarla (American Educational Research
Association et al 2018) Para el caso de los instrumentos de evaluacioacuten que se realizan en el aula es
maacutes sencillo tratar de mantener la validez que la confiabilidad ya que para este uacuteltimo se requieren
realizar una serie de anaacutelisis psicomeacutetricos que se salen del alcance de este taller Por tanto para elaborar
iacutetems es primordial el dominio del contenido y de aspectos baacutesicos en evaluacioacuten de los aprendizajes
Otro aspecto fundamental en el caso de Matemaacutetica en aacutereas como la geometriacutea aunque por lo general
se indica que ldquolas figuras no estaacuten hechas a escalardquo es que al emplear imaacutegenes y figuras estas no
contradigan definiciones postulados lemas resultados o teoremas propios de la disciplina y que en la
medida de las posibilidades sirvan de guiacutea u orientacioacuten es aquiacute donde el empleo de alguacuten software para
elaborarlas seriacutea lo idoacuteneo
El taller estaacute orientado al anaacutelisis de diversos aspectos teoacutericos propios de construccioacuten y validacioacuten de
iacutetems se pretende que el participante analice algunos ejercicios y determine si cumplen con los requisitos
para poder ser aplicados luego tomando en cuenta la teoriacutea disentildearaacute ejercicios y para finalizar se
brindaraacute una breve introduccioacuten al empleo del Software GeoGebra como recurso que le podriacutea contribuir
con el disentildeo de las figuras que empleariacutea en los iacutetems generados Ademaacutes durante el taller se podraacute
implementar algunas actividades que le permitan fortalecer su formacioacuten en Matemaacutetica
especiacuteficamente en el aacuterea de geometriacutea
2 Actividades del taller
I Parte Anaacutelisis y elaboracioacuten de iacutetems
Tiempo aproximado 35 minutos
Actividad 1
Se realiza una breve exposicioacuten sobre aspectos teoacutericos relacionados con la elaboracioacuten y validacioacuten de
iacutetems Tiempo aproximado 15 minutos
Se retomaraacuten algunos de los aspectos que de acuerdo con el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa
Rica (MEP) (2011) se debe considerar para la elaboracioacuten de iacutetems tales como
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Las experiencias de aula y el contexto del estudiante
Los objetivos o habilidades especiacuteficas
Utiliza iacutetems objetivos y de desarrollo
Utilizar un vocabulario teacutecnico acorde con el contenido por evaluar
Cuidar el puntaje de los iacutetems
Evitar la redaccioacuten en forma negativa
Realizar la tabla de especificaciones
Para la validacioacuten de los iacutetems se recomienda que se cuente con la participacioacuten de dos a tres personas
que sean expertos en el aacuterea El objetivo de contar con estas personas es que realice un juzgamiento de
los iacutetems en donde se considere algunos criterios de aceptacioacuten para ello se recomienda como miacutenimo
Verificar la congruencia con respecto a los Programas de Estudio en cuanto al ciclo y antildeo educativo
para el cual se aplicaraacute
Revisar el tecnicismo propio de la asignatura
Revisar la redaccioacuten
Resolver el iacutetem
Analizar la cantidad de procedimientos para asignar el nivel de dificultad
Verificar la pertinencia de acuerdo con sus caracteriacutesticas
Analizar las alternativas de respuesta (Seleccioacuten Uacutenica)
Efectuar un anaacutelisis de sensibilidad
Brindar sugerencias para mejorar el iacutetem
Actividad 2
Los participantes realizaraacuten un anaacutelisis y discusioacuten de cuatro iacutetems (ver anexo 1) relacionados con
geometriacutea considerando aspectos propios de la evaluacioacuten entre ellos habilidad redaccioacuten validez
dificultad alternativas y sensibilidad
Tiempo aproximado 10 minutos
Actividad 3
Los participantes seleccionaran una habilidad especiacutefica de los Programas de Estudio del MEP elaboran
y validaran dos iacutetems relacionados con temas de geometriacutea uno objetivo y otro de desarrollo Para el
anaacutelisis deben considerar al menos los siguientes aspectos
Verificar la congruencia con respecto a los Programas de Estudio en cuanto al ciclo y antildeo educativo
para el cual se aplicaraacute
Revisar el tecnicismo propio de la asignatura
Revisar la redaccioacuten
Resolver el iacutetem
Analizar la cantidad de procedimientos para asignar el nivel de dificultad
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Verificar la pertinencia de acuerdo con sus caracteriacutesticas
Analizar las alternativas de respuesta (Seleccioacuten Uacutenica)
Tiempo aproximado 10 minutos
II Parte
GeoGebra una herramienta de apoyo en la construccioacuten de figuras geomeacutetricas
Tiempo aproximado 55 minutos
Actividad 1
Instalacioacuten por parte de los participantes del software GeoGebra
Tiempo aproximado 10 minutos
Dicho programa puede ser descargado de httpswwwgeogebraorgdownload
Actividad 2
Ingreso al ambiente de trabajo de GeoGebra
De acuerdo con la paacutegina oficial de GeoGebra se indica que
GeoGebra es un software de matemaacuteticas para todo nivel educativo Reuacutene dinaacutemicamente
geometriacutea aacutelgebra estadiacutestica y caacutelculo en registros graacuteficos de anaacutelisis y de organizacioacuten en
hojas de caacutelculo GeoGebra con su libre agilidad de uso congrega a una comunidad vital y en
crecimiento En todo el mundo millones de entusiastas lo adoptan y comparten disentildeos y
aplicaciones de GeoGebra Dinamiza el estudio Armonizando lo experimental y lo conceptual
para experimentar una organizacioacuten didaacutectica y disciplinar que cruza matemaacutetica ciencias
ingenieriacutea y tecnologiacutea (STEM Science Technolog y Engineering amp Mathematics) La
comunidad que congrega lo extiende como recurso mundial iexclpotente e innovador para la cuestioacuten
clave y claacutesica de la ensentildeanza y el aprendizaje (p 1)
Un vistazo a GeoGebra
Al descargar e instalar dicho programa y abrirlo se debe visualizar un ambiente de trabajo similar a lo
mostrado a continuacioacuten
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Figura 1
Ambiente de trabajo de GeoGebra
Nota Elaboracioacuten propia
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 3
Conocer el ambiente de trabajo de la paacutegina principal del GeoGebra
Diversas vistas de trabajo de GeoGebra
Menuacute principal
Menuacute de creacioacuten y manipulacioacuten de objetos
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Figura 2
Menuacute principal y menuacute de creacioacuten
NotaElaboracioacuten propia
Tiempo aproximado 10 minutos
Actividad 4
Conocer las diversas propiedades de algunos de los objetos que se pueden crear en GeoGebra
Figura 3
Punto y segmento en ambiente de trabajo de GeoGebra
Nota Elaboracioacuten propia
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Ademaacutes representar un punto Cambiarle el tamantildeo el color el nombre y determinar las coordenadas
Trazar un segmento Cambiarle el tamantildeo el color el nombre y determinar su longitud
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 5
Construir un segmento de 2 cm de longitud Denotar sus puntos extremos con las letras A y B
respectivamente
Trazar una recta perpendicular al segmento que pase por el punto A Luego sobre la perpendicular
destaque un punto y denoacutetelo con la letra C
Manipule libremente el punto denotado por B Luego trace el segmento BC
Determine la medida de los tres aacutengulos internos del triaacutengulo ABC Ajustar los decimales con los cuales
se desea brindar la medida de dichos aacutengulos internos
De acuerdo con la medida de los aacutengulos internos del triaacutengulo iquestQueacute nombre recibe
Determine la medida de los lados de triaacutengulo ABC
De acuerdo con la medida de los lados iquestQueacute nombre recibe
Tiempo aproximado 15 minutos
Actividad 6
Construir un triaacutengulo escaleno obtusaacutengulo Trazar las bisectrices y denotar el incentro con la letra ldquoRrdquo
Tiempo aproximado 5 minutos
Actividad 7
Realizar las construcciones que se requieren en los iacutetems construidos en la actividad 3 de la primera
parte del taller Tiempo aproximado 5 minutos
Actividades optativas
Actividad 8
Construir un triaacutengulo isoacutesceles Trazar las medianas y trazar la circunferencia circunscrita en dicho
triaacutengulo
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Actividad 9
Construir un triaacutengulo equilaacutetero Trazar las alturas y determinar el aacuterea de la regioacuten triangular generada
Verificar que el aacuterea satisface que 2
b aA
donde ldquobrdquo es la medida de uno de los lados y ldquoardquo es la medida
de la altura trazada sobre dicho lado
Actividad 10
Construir un cuadrado y determinar el valor del periacutemetro
Construir un rectaacutengulo (que no sea cuadrado) y determinar el valor del aacuterea
Actividad 11
Construir un pentaacutegono hexaacutegono y un octoacutegono
Actividad 12
Construir un pentaacutegono regular un hexaacutegono regular y un dodecaacutegono regular
Actividad 13
Construir un cubo
Referencias bibliograacuteficas
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Psicometriacutea Editorial UOC
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Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2011) La prueba escrita
fileCUsersestibDropboxPersonalEvaluaciC3B3n20y20pedagogC3ADaMEP
la_prueba_escrita_2011pdf
Anexos
Anexo 1 Ejercicios por analizar en la actividad 21
1 Considere la siguiente figura en la cual se muestra el ∆119860119861119862 si 119860119862 cong 119860119861
Nota es importante considerar que la figura no estaacute hecha a escala
De acuerdo con los datos en la figura el periacutemetro de dicho triaacutengulo corresponde a
( ) 59 cm
( ) 43 cm
( ) 43 cm2
( ) 59 cm2
2 Considere la siguiente figura
Realice lo que se le indica a continuacioacuten Valor total 7 puntos Un punto cada acierto
1 Observacioacuten debe considerarse que todos los ejercicios propuestos para esta actividad 2 tienen errores voluntarios o
intencionados con el fin de realizar el anaacutelisis propio de la actividad errores que van desde la redaccioacuten el formalismo y el
contenido entre otros
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iquestCuaacutel es su nombre _________________
Coloree con azul cuatro triaacutengulos
Coloree con verde un cuadrilaacutetero
Coloree con rojo un pentaacutegono
3 Considere el siguiente texto y la figura
Es el segmento que une un veacutertice con el punto medio
del lado opuesto
El texto dado hace referencia a la definicioacuten de
( ) Mediatriz
( ) Mediana
( ) Altura
( ) Ninguna de las anteriores
3 Juan tiene una empresa destinada a la venta de chocolates la cual se ha destacado por
disentildearlos de diversas formas y tamantildeos Para cierta actividad una empresa le solicitoacute
que le vendiera 5 000 chocolates y han seleccionado uno que tiene forma de un pentaacutegono
regular cuyas dimensiones son lado de la base 5 cm apotema de la base 3 cm y altura 4
cm Con base en dicha informacioacuten disentildee una estrategia que permita
a) Determinar la cantidad de materia prima (chocolate) que deberaacute preparar la empresa
Valor 3 puntos
b) Saber cuaacutento deberaacute pagar la empresa a Juan por los chocolates encargados si cada
chocolate tiene un valor de 200 colones Valor 5 puntos
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Etnomodelacioacuten La Modelacioacuten en la Cultura
Daniel Clark Orey
Universidad Federal de Ouro Preto Brasil
oreydcufopedubr
Milton Rosa
Universidad Federal de Ouro Preto Brasil
miltonrosaufopedubr
Resumen La realidad vivida por los miembros de grupos culturales distintos puede ser percibido
como siendo un conjunto de experiencias que estaacuten presentes en sus vidas cotidianas cuyas
representaciones son generadas viacutea inferencias con la utilizacioacuten de concepciones mentales a
traveacutes de la etnomodelacioacuten La propuesta de la etnomodelacioacuten puede ser interpretada como una
accioacuten pedagoacutegica que permite reconocer y presentar los conocimientos matemaacuteticos presentes
en la vida diaria de los alumnos en situaciones didaacutecticas motivadoras La etnomodelacioacuten busca
proporcionar la conexioacuten de las praacutecticas matemaacuteticas locales con los procedimientos
matemaacuteticos usados en otros sistemas de conocimientos matemaacuteticos como por ejemplo el
escolar o acadeacutemico en una resignificacioacuten del conocimiento matemaacutetico por medio de la
etnomodelacioacuten
Palabras clave Cultura Etnomodelacioacuten Modelacioacuten
1 Consideraciones Iniciales
Histoacutericamente el desarrollo de las matemaacuteticas estuvo relacionado con la resolucioacuten de
problemas diarios y tambieacuten con la tentativa de modelar los acontecimientos cotidianos por
medio de modelos explicativos e interpretativos de esas situaciones Seguacuten este contexto la
etnomodelacioacuten puede ser considerado como un sitio de investigacioacuten y una tendencia
pedagoacutegica porque a) puede ser utilizada en la ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas
en todos los niveles de la educacioacuten y b) que contribuye para el desarrollo de la reflexioacuten
criacutetica de los alumnos ampliando su autonomiacutea para la resolucioacuten de situaciones-problemas
enfrentadas en el cotidiano
Entonces es importante que el trabajo en etnomodelacioacuten sea direccionado para que los
alumnos a) entiendan el significado de las situaciones problemas presentadas b)
comprendan el conocimiento matemaacutetico como una herramienta para la comprensioacuten de la
resolucioacuten de los problemas que surgem en el diacutea a diacutea c) se den cuenta de que las
metodologiacuteas utilizadas en la modelacioacuten han contribuiacutedo para el exceso de formalismo en
el lenguaje matemaacutetico valorizando la formalizacioacuten de sus contenidos matemaacuteticos en
detrimento de sus conexiones con el cotidiano y otras aacutereas del conocimiento
Las dimensiones social y cultural de la etnomodelacioacuten son importante para proporcionar
reflexiones criacuteticas sobre el papel de la elaboracioacuten de modelos para la resolucioacuten de
situaciones problemas que aquejan las comunidades globales y locales Estos modelos son
representaciones de sistemas de conocimientos matemaacuteticos que ayudan a los miembros de
grupos culturales distintos en el entendimiento y en la apropiacioacuten de la realidad mediante el
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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uso de pequentildeas unidades de informacioacuten denominadas etnomodelos que vinculan el
patrimonio cultural de estos miembros con la evolucioacuten de procedimientos y praacutecticas
matemaacuteticas que son desarrolladas en su propio contexto cultural (Rosa y Orey 2017a)
Asiacute la investigacioacuten sobre estas dimensiones ha definindo sus objetivos por medio del
establecimiento de la naturaleza y potencialidad de sus meacutetodos de pesquisa e investigacioacuten
En estas dimensiones la combinacioacuten de la teoriacutea y la praacutectica auxilia a los alumnos en el
entendimiento de los sistemas retirados de la realidad para adquirir las herramientas
necesarias para que puedan ejercer la ciudadaniacutea y participar activamente de la sociedad y de
sus comunidades Por consiguiente Rosa y Orey (2017b) argumentan que los principales
objetivos de estas dimensiones son
Proporcionar a los estudiantes las herramientas educativas necesarias para que como
ciudadanos en formacioacuten sean capaces de actuar modificar cambiar y transformar la propia
realidad
Iniciar el aprendizaje en matemaacuteticas a partir del contexto sociocultural de los alumnos
proporcionaacutendoles el desarrollo del raciocinio loacutegico y de la creatividad
Facilitar el aprendizaje de ideas procedimientos conceptos y praacutecticas que ayuden a los
alumnos a desarrollar el conocimiento matemaacutetico para que puedan comprender los
contextos social econoacutemico poliacutetico ambiental histoacuterico y cultural en los cuales estaacuten
inseridos
La aplicacioacuten de las dimensiones social y cultural de la etnomodelacioacuten se basa en la
comprensioacuten y el entendimiento de la realidad en la que los estudiantes se colocan a traveacutes
de la reflexioacuten el anaacutelisis y la accioacuten criacutetica sobre esa realidad Por ejemplo cuando
prestamos de la realidad los sistemas que existen dentro de ella los alumnos comienzan a
estudiarlos simboacutelica sistemaacutetica analiacutetica y criacuteticamente En ese caso partiendo de una
determinada situacioacuten problema los alumnos pueden elaborar hipoacutetesis probarlas
corregirlas hacer inferencias generalizar analizar concluir y tomar decisiones sobre el
objeto de estudio que estaacuten relacionados con las actividades realizadas en sus vidas diarias
(DrsquoAmbrosio 1990)
Todaviacutea para que se produzca el conocimiento matemaacutetico es importante que la
etnomodelacioacuten sea concebida como un entorno de aprendizaje en el que los estudiantes
investiguen situaciones provenientes de la realidad y de sus comunidades locales En ese
entorno se destaca la importancia de incluir las situaciones provenientes del cotidiano y de
otras aacutereas del conocimiento Eso permite a los alumnos intervenir en la propia realidad con
la obtencioacuten de una representacioacuten social y cultural del conocimiento matemaacutetico que estaacute
relacionado con la situacioacuten estudiada por medio de debates criacuteticos y reflexivos en la
elaboracioacuten y comprensioacuten de los etnomodelos
2 Las etnomatematicas y la modelacion
Las etnomatemaacuteticas ofrecen una visioacuten maacutes amplia del conocimiento matemaacutetico pues
abarca las ideas nociones procedimientos procesos meacutetodos y praacutecticas arraigadas en
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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entornos culturales distintos Para Rosa y Orey (2017a) es importante el desarrollo de la
reflexioacuten criacutetica sobre las dimensiones sociales culturales ambientales econoacutemicas y
poliacuteticas de las matemaacuteticas en una sociedad dinaacutemica y globalizada
La propuesta del programa etnomatemaacuteticas es hacer de las matemaacuteticas algo vivo que
trabaje con situaciones reales en el tiempo y en el espacio por medio de anaacutelisis
cuestionamientos y criacuteticas sobre los fenoacutemenos presentes en la vida diaria (DrsquoAmbrosio
1990) La aplicacioacuten de las teacutecnicas etnomatemaacuteticas y las de herramientas de la modelacioacuten
nos permiten examinar sistemas tomados de la realidad y nos dan una idea de las variadas
formas de hacer matemaacuteticas de una manera holiacutestica (Bassanezi 2002)
En ese contexto Rosa y Orey (2017a) destacan que las etnomatemaacuteticas se relacionan con el
estudio de las ideas y procedimientos matemaacuteticos que consideran el contexto cultural en el
cual las nociones y praacutecticas matemaacuteticas emergen a traveacutes de la matematizacioacuten de praacutecticas
matemaacuteticas locales La matematizacioacuten estaacute relacionada con los sistemas de conocimiento
que estaacuten relacionados con la cotidianeidad de los miembros de cada grupo cultural y que
pueden ser matematizados y traducidos al lenguaje de las matemaacuteticas escolares y
acadeacutemicas
La utilizacioacuten de la matematizacioacuten que estaacute presente en la cotidianeidad de los miembros de
grupos culturales distintos tiene por objetivo la ampliacioacuten y el perfeccionamiento del
conocimiento matemaacutetico pues conduce al fortalecimiento de su identidad cultural La
modelacioacuten es una de las posibles estrategias que posibilitan la aproximacioacuten y la relacioacuten
entre los saberes y haceres entre sistemas matemaacuteticos distintos
Para Rosa y Orey (2003) la modelacioacuten puede ser percibida como un conjunto de
representaciones de la realidad que son generadas viacutea inferencias con la utilizacioacuten de
representaciones mentales que permiten valorar y respetar el conocimiento etnomatemaacutetico
presentes en situaciones cotidianas Este enfoque contextualiza el conocimiento matemaacutetico
desarrollado localmente ya que estudia los fenoacutemenos matemaacuteticos que se dan en diversos
contextos culturales (globales)
Asiacute el conocimiento matemaacutetico puede ser entendido como resultante de oriacutegenes locales
(eacutemicas) maacutes que globales (eacuteticas) que permiten la proposicioacuten de actos de traduccioacuten entre
esas dos perspectivas (Eglash et al 2006) Este enfoque parece ser razonable ya que las
etnomatemaacuteticas a menudo hace uso de la modelacioacuten a fin de establecer relaciones entre los
marcos conceptuales locales y los conocimientos matemaacuteticos incluido en los disentildeos
globales
De ese modo las ideas procedimientos y praacutecticas matemaacuteticas incluyen los principios
geomeacutetricos en trabajo artesanal conceptos arquitectoacutenicos y praacutecticas son encontradas en
actividades y artefactos de culturas locales y globales que pueden ser traducidas entre
sistemas de conocimientos matemaacuteticos distintos Consecuentemente este conocimiento estaacute
relacionado con una postura glocal desde una visioacuten pluricultural por medio del dinamismo
cultural entre los miembros de grupos culturales distintos
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66
3 Etnomodelacioacuten
Es importante la buacutesqueda de enfoques metodoloacutegicos y pedagoacutegicos alternativos para
registrar formas histoacutericas de ideas y procedimientos matemaacuteticos locales que se dan en
diferentes contextos culturales porque las praacutecticas matemaacuteticas occidentales son aceptadas
a nivel mundial sin discusiones y coacutemo verdades uacutenicas Asiacute el desarrollo del pensamiento
matemaacutetico local debe ser documentado como parte del estudio del progreso cientiacutefico de las
id praacutecticas matemaacuteticas efectuadas por los miembros de grupos culturales distintos
Seguacuten Rosa y Orey (2017b) una opcioacuten de enfoque alternativo es la etnomodelacioacuten que
agrega las perspectivas culturales a los conceptos de la modelacioacuten Estos conceptos estaacuten
relacionados con la medicioacuten el caacutelculo los juegos la adivinacioacuten la navegacioacuten la
astronomiacutea la modelacioacuten y en una amplia variedad de otros procedimientos matemaacuteticos
asiacute como como en artefactos culturales Este enfoque representa un proceso de traduccioacuten y
elaboracioacuten de los problemas y preguntas tomados de los fenoacutemenos diarios y tambieacuten de la
vida cotidiana
Por ejemplo Orey y Rosa (2017b) afirman que es esencial mostrar que la Etnomodelacioacuten
incluye ideas nociones procedimientos teacutecnicas estrategias perspectivas y praacutecticas
matemaacuteticas desarrolladas por miembros en culturas distintas y que son manifestadas y
transmitidas de diversos modos La etnomodelacioacuten ofrece a los investigadores y educadores
un marco importante para transformar las matemaacuteticas en un conocimiento activo y
contextualizado a traveacutes de la perspectiva cultural de la modelacioacuten
Este contexto posibilitoacute el desarrollo de una comprensioacuten de la etnomodelacioacuten como la
traduccioacuten de los procedimientos matemaacuteticos locales y de las praacutecticas matemaacuteticas En ese
sentido la traduccioacuten puede ser considerada como la descripcioacuten de los procesos de
modelacioacuten de sistemas locales (culturales) los cuales pueden tener una representacioacuten en
otros sistemas alternativos del conocimiento matemaacutetico Entonces la etnomodelacioacuten se
configura como un elemento esencial en el aacutembito de la antropologiacutea cultural las
etnomatemaacuteticas y la modelacioacuten matemaacutetica La figura 1 muestra la interseccioacuten entre estos
tres campos de estudio
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Figura 1
Etnomodelacioacuten como la interseccioacuten entre tres campos de conocimiento
Nota Recuperado de Rosa y Orey (2012)
De acuerdo con Rosa y Orey (2017b) es importante observar que la traduccioacuten es
considerada como la descripcioacuten de los procesos de modelacioacuten de sistemas locales
(culturales) pueden tener una representacioacuten matemaacutetica en la cultura occidental y viceversa
a traveacutes de la Etnomodelacioacuten por medio de tres tipos de visiones culturales del conocimiento
matemaacutetico local (eacutemico) global (eacutetico) y glocal (dialoacutegico)
a) Conocimiento Matemaacutetico Local (Eacutemico)
El conocimiento matemaacutetico eacutemico estaacute relacionado con los saberes y haceres provenientes
de los miembros del propio grupo cultural pues se origina desde dentro de la cultura em una
visioacuten interior de acuerdo con una postura intracultural (Rosa y Orey (2017b) Por ejemplo
la interculturalidad promueve la recuperacioacuten fortalecimiento desarrollo y cohesioacuten al
interior de las culturas locales para la consolidacioacuten de una sociedad pluricultural basada en
la equidad solidaridad complementariedad reciprocidad y justicia social Asiacute el curriacuteculo
escolar debe incorporar los saberes y conocimientos de las cosmovisiones de los grupos
culturales locales en sus praacutecticas educativas (Saaresranta 2011)
El anaacutelisis del conocimiento interno es eacutemico si las ideias procedimientos y praacutecticas
matemaacuteticas son exclusivas de culturas que tienen sus raiacuteces en las diversas formas en que
las actividades diarias se llevan a cabo en un entorno cultural especiacutefico Este conocimiento
estaacute de acuerdo con las percepciones e interpretaciones consideradas apropiadas por tales
culturas desde dentro Estaacute relacionado con las cuentas descripciones y anaacutelisis expresados
en teacuterminos de las categoriacuteas y esquemas conceptuales que son considerados significativos y
apropiados por los miembros de grupos culturales distintos (Rosa y Orey 2012)
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La validacioacuten de este conocimiento trae consigo una cuestioacuten de consenso de la poblacioacuten
local que debe estar de acuerdo con que sus constructos coincidan con las percepciones
compartidas que retratan las caracteriacutesticas de su cultura (Rosa y Orey 2017b) El
conocimiento matemaacutetico eacutemico se orienta de nosotros hacia nosotros con la perspectiva de
los nativos que es una visioacuten desde dentro interior y local
b) Conocimiento Matemaacutetico Global (Eacutetico)
El conocimiento matemaacutetico eacutetico estaacute relacionado con los saberes y quehaceres
provenientes de los observadores externos a la cultura que se originan desde fuera del grupo
cultural en una visioacuten exterior sobre sus miembros en una postura intercultural (Rosa y Orey
2017b) La interculturalidad promueve el desarrollo de la interrelacioacuten e interaccioacuten de
conocimientos saberes ciencia y tecnologiacutea propios de cada cultura con otras culturas que
fortalece la identidad propia y la interaccioacuten en igualdad de condiciones entre todas las
culturas locales con los grupos culturales globales (Saaresranta 2011)
En el curriacuteculo del sistema educativo se promueven las praacutecticas de interaccioacuten entre
diferentes culturas desarrollando actitudes de valoracioacuten convivencia y diaacutelogo entre
distintas visiones del mundo para proyectar y universalizar la sabiduriacutea propia y local
(Saaresranta 2011) Asiacute las ideas y procedimientos matemaacuteticos son eacuteticos si pueden ser
comparados entre culturas a traveacutes del uso de definiciones y meacutetricas comunes Este
conocimiento se relaciona con las cuentas descripciones y anaacutelisis de los procedimientos y
praacutecticas matemaacuteticas expresadas en teacuterminos de las categoriacuteas consideradas apropiadas por
observadores externos (Rosa y Orey 2012)
El conocimiento matemaacutetico eacutetico es preciso loacutegico replicable e independiente de los
observadores externos y su validacioacuten es una cuestioacuten de anaacutelisis loacutegico y empiacuterico en
particular de que la construccioacuten de ese conocimiento cumple con los estaacutendares de
integralidad y consistencia loacutegica (Rosa y Orey 2017b) El conocimiento eacutetico se orienta de
ellos (investigadores y educadores) hacia nosotros con una perspectiva de los observadores
externos que es una visioacuten desde fuera exterior y global
c) Conocimiento Matemaacutetico Global (Dialoacutegico)
Este conocimiento presenta un dinamismo cultural entre los conocimientos matemaacuteticos
eacutemico y eacutetico que estaacute representado por los encuentros entre dos o maacutes culturas diversas en
las aulas Asiacute el conocimiento matemaacutetico de los miembros de grupos culturales distintos se
combina con el sistema de conocimiento matemaacutetico occidental que resulta en una
perspectiva dialoacutegica en Educacioacuten Matemaacutetica Este conocimiento incluye el
reconocimiento de otras epistemologiacuteas y de la naturaleza holiacutestica e integrada del
conocimiento matemaacutetico de los miembros de diversos grupos que se encuentran en
contextos culturales distintos (Rosa y Orey 2017b)
Este enfoque puede garantizar el desarrollo de la comprensioacuten de las diferentes maneras de
hacer las matemaacuteticas mediante diaacutelogo y respeto mutuos entre los enfoques globales y
locales a traveacutes de la glocalizacioacuten que puede enriquecer las temaacuteticas novedosas para los
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estudiantes y les muestra como las aplicaciones matemaacuteticas pueden encontrarse en muchas
aacutereas de la ciencia de los negocios de la vida cotidiana y en las diversas praacutecticas culturales
(Rosa y Orey 2017a)
En ese sentido la glocalizacioacuten (global+local) es un abordaje dialoacutegico que considera la
interaccioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos locales (desde dentroeacutemicosinsiders) y
globales (desde fueraeacuteticosoutsiders) Este enfoque tambieacuten estaacute relacionado con la
aceleracioacuten e intensificacioacuten de la interaccioacuten e integracioacuten entre los miembros de grupos
culturales distintos que componen la sociedad (Rosa y Orey 2017b)
De acuerdo con ese contexto es necesario ampliar la discusioacuten de las posibilidades para la
inclusioacuten de las perspectivas de la Etnomodelacioacuten que valoran y den voz a la diversidad
social y cultural de los miembros de grupos culturales distintos y de este modo desarrollar
una comprensioacuten de sus diferencias a traveacutes del diaacutelogo y el respeto Consecuentemente las
poliacuteticas educativas reclaman que en el trabajo pedagoacutegico en las instituciones educativas
sean incluidos los artefactos mentefactos y sociofactos que son indicadores descriptivos de
las culturas para enriquecer la diversidad del conocimiento matemaacutetico de los miembros de
grupos culturales distintos
4 Indicadores Descriptivos Culturales
De acuerdo con Huxley (1955) bioacutelogo ingleacutes y primer director de la UNESCO acuntildeoacute el
concepto de mentefactos para expresar los sistemas abstractos de creencias valores e ideas
que se manejan en las culturas De acuerdo con eacutel consideramos que hay tres indicadores
descriptivos que son componentes esenciales de todas las culturas artefactos mentefactos y
sociofactos elementos que forman parte del patrimonio cultural y que se han organizado
histoacutericamente por la humanidad
a) Artefactos
Los artefactos son objetos culturales que proporcionan las herramientas materiales
necesarias para el desarrollo de vestimentas abrigos defensas y transportes
Consecuentemente estos artefactos auxilian a los miembros de grupos culturales distintos en
la resolucioacuten de los problemas diarios con la utilizacioacuten de teacutecnicas y estrategias
matemaacuteticas (Rosa y Orey 2017a) Los artefactos son considerados como herramientas
aparatos e instrumentos de observacioacuten Los artefactos son confeccionados con el empleo
del conocimiento matemaacutetico local a traveacutes del uso de materiales distintos desarrollados en
contextos diversos (DrsquoAmbrosio 2001)
Los artefactos pueden ser considerados como mercanciacuteas culturales que incluyen la
tecnologiacutea material desarrollada por los miembros de un grupo cultural que satisfacen sus
necesidades baacutesicas de alimento cobijo transporte y similares (DrsquoAmbrosio 2001)
Consecuentemente los artefactos tambieacuten estaacuten relacionados con las manifestaciones
teacutecnicas y materiales de una determinada cultura como por ejemplo los sistemas de
tratamiento de la tierra las herramientas utilizadas y la organizacioacuten de la produccioacuten
agriacutecola
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b) Mentefactos
Los mentefactos son las ideas los valores y creencias compartidos de generacioacuten en
generacioacuten como por ejemplo la religioacuten la lengua las leyes y los puntos de vista Estos
indicadores son los elementos centrales y maacutes duraderos de las culturas pues incluyen lo
miacutetico los mitos las tradiciones artiacutesticas y el folclore (Huxley 1955) El lenguaje
matemaacutetico y cientiacutefico los conocimientos desarrollados y difundidos por los miembros de
grupos culturales distintos tambieacuten son considerados mentefactos
Para Rosa y Orey (2017b) los mentefactos se relacionan con las nociones de geacutenero
valores ideales cultura libertad creencias democracia religioacuten colectivismo
individualismo derechos y deberes sociales y tambieacuten informan a los miembros de grupos
culturales distintos para que se organicen de acuerdo con su propio sistema de explicaciones
cientiacuteficas y matemaacuteticas creencias y tradiciones pues se relacionan con la capacidad
humana de pensar y formular ideas y conforman los ideales y las imaacutegenes por los que se
miden otros aspectos culturales
De acuerdo con DrsquoAmbrosio (2001) los mentefactos son los sistemas de
conocimiento que se expresan en formas diversas de comunicacioacuten que componen la base
del proceso de socializacioacuten de esos miembros Los conceptos y las teoriacuteas que componen
los mentefactos se denominan instrumentos de anaacutelisis
c) Sociofactos
Los sociofactos son las estructuras y organizaciones de una determinada cultura que
influencian el comportamiento social y el desarrollo de saberes y haceres cientiacuteficos y
matemaacuteticos de sus miembros y que incluyen aspectos de las culturas que se relacionan con
viacutenculos entre individuos y grupos (Rosa y Orey 2017b) Asiacute estas estructuras son
consideradas como las interacciones entre las personas la estructura de las instituciones las
normas sociales las instituciones gubernamentales la estructura de la educacioacuten y las
instituciones poliacuteticas
Por consiguiente para Huxley (1955) los sociofactos incluyen la convivencia en las
familias en los gobiernos en los sistemas educativos en las organizaciones deportivas en
los grupos religiosos y en cualquier otra agrupacioacuten destinada a desarrollar actividades
socioculturales especiacuteficas pues son los aspectos relacionados con la organizacioacuten social
con los viacutenculos entre los individuos y los grupos sociales como por ejemplo las estructuras
familiares los parentescos los comportamientos reproductivos y sexuales
Para DrsquoAmbrosio (2001) los sociofactos incluyen sistemas poliacuteticos y educativos
porque son los patrones esperados y aceptados por las relaciones interpersonales que estaacuten
relacionadas con los aspectos econoacutemico poliacutetico militar y religioso En ese contexto Rosa
(2010) sostiene que estos indicadores descriptivos culturales estaacuten presentes en la vida
cotidiana de los miembros de grupos culturales distintos ayudaacutendolos a ampliar y el
perfeccionar sus conocimientos matemaacuteticos porque proponen el fortalecimiento de sus
identidades culturales
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71
Para Rosa y Orey (2017a) esta perspectiva proporciona el equilibrio necesario al curriacuteculo
escolar pues al insertar estos componentes en el curriacuteculo matemaacutetico concebimos la
etnomodelacioacuten como un programa que estaacute basado en un paradigma que busca la
humanizacioacuten de las matemaacuteticas por medio de un abordaje filosoacutefico y contextualizado del
curriacuteculo matemaacutetico
5 Consideraciones Finales
Es importante buscar enfoques metodoloacutegicos alternativos mientras las praacutecticas
matemaacuteticas occidentales sean aceptadas a nivel mundial para registrar formas histoacutericas de
ideas y procedimientos matemaacuteticos que se dan en diferentes contextos culturales Un
enfoque pedagoacutegico alternativo es el de la Etnomodelacioacuten que agrega la perspectiva cultural
a los conceptos de la modelacioacuten matemaacutetica (Rosa y Orey 2010)
Es esencial mostrar que la etnomodelacioacuten incluye ideas perspectivas y praacutecticas
matemaacuteticas de individuos en diferentes culturas y que estas ideas son manifestadas y
transmitidas de diversos modos Asiacute el desarrollo de la etnomodelacioacuten debe ser
documentado como parte del estudio del progreso cientiacutefico de las ideas y las praacutecticas
matemaacuteticas efectuadas por los miembros de grupos culturales distintos La Etnomodelacioacuten
ofrece a los educadores un marco importante para transformar las matemaacuteticas en un
conocimiento maacutes activo para contribuir en la realizacioacuten de una sociedad maacutes humana y
justa El objetivo principal de la etnomodelacioacuten es desarrollar una herramienta poderosa
para ayudar a los miembros de grupos culturales distintos a crear una sociedad definida por
la dignidad para todos y donde iniquidad arrogancia violencia e intolerancia no tengan lugar
Es necesario ampliar la discusioacuten de las posibilidades pedagoacutegicas para poder incluir una
perspectiva cultural de las matemaacuteticas que respete la diversidad social de los miembros de
distintos grupos culturales distintos Un enfoque que garantice el desarrollo de la
comprensioacuten de las diferentes maneras de hacer las matemaacuteticas mediante diaacutelogo y respeto
mutuos entre los enfoques locales y globales a traveacutes de la glocalizacioacuten En este contexto
es necesario mostrar a los estudiantes que pertenecen a culturas con baja representacioacuten social
la contribucioacuten que dan al desarrollo del pensamiento matemaacutetico Ensentildear a los estudiantes
que pertenecen a culturas mayoritarias diferentes grupos culturales promovieacutendoles el
respeto por la diversidad y contribuyendo a la educacioacuten glocal (Rosa y Orey 2017a)
Por ejemplo la glocalizacioacuten (global+local) enriquece las temaacuteticas novedosas para los
estudiantes y les muestra como las aplicaciones matemaacuteticas pueden encontrarse en muchas
aacutereas de la ciencia de los negocios de la vida cotidiana y en las diversas praacutecticas culturales
En ese sentido Rosa y Orey (2017b) afirman que la glocalizacioacuten es un abordaje dialoacutegico
que considera la interaccioacuten entre los conocimientos matemaacuteticos locales (desde
dentroeacutemicosinsiders) y globales (desde fueraeacuteticosoutsiders) Este enfoque tambieacuten estaacute
relacionado con la aceleracioacuten e intensificacioacuten de la interaccioacuten e integracioacuten entre los
miembros de grupos culturales distintos que componen la sociedad El trabajo pedagoacutegico
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asiacute orientado permite un anaacutelisis maacutes amplio del contexto escolar pues las praacutecticas
pedagoacutegicas trascienden el espacio fiacutesico y pasan a acoger los saberes y haceres presentes
en todo el contexto sociocultural de los alumnos
Para terminar la aplicacioacuten de la etnomodelacioacuten nos brinda la oportunidad de examinar los
sistemas de conocimientos locales (eacutemicos) y globales (eacuteticos) para tener una idea de las
formas de las matemaacuteticas utilizadas en diversos contextos y grupos culturales De ese modo
la perspectiva global (eacutetica) juega un papel importante en la investigacioacuten en la
etnomodelacioacuten sin embargo la perspectiva local (eacutemica) debe tenerse en cuenta tambieacuten
en el desarrollo de este proceso Asiacute el conocimiento matemaacutetico de los miembros de grupos
culturales distintos que se combina con otros sistemas de conocimientos matemaacuteticos
resulta en una perspectiva dialoacutegica en la Educacioacuten Matemaacutetica a traveacutes del dinamismo
cultural
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originario campesino Tinkazos 14(30) 127-143
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Herramientas 20 ldquoAlgunas opciones para sumar a
nuestras clasesrdquo
PhD Carlos L Chanto Espinoza
Universidad Nacional de Costa Rica
carloschantoespinozaunacr
Msc Marlene Duraacuten Loacutepez
Universidad Nacional de Costa Rica
marleneduranlopezunacr
Resumen Cada vez maacutes docentes estaacuten utilizando herramientas como blogs wikis y podcasts
como nueva forma de ensentildear De ahiacute la importancia de la exposicioacuten que busca incitar la
innovacioacuten y la participacioacuten capacitar y motivar a sus copartiacutecipes e instaurar una diferencia
en su proceso de ensentildeanza y aprendizaje La implementacioacuten de las TIC supone un cambio en
las metodologiacuteas que se han implementado hace muchos antildeos donde la relacioacuten entre el profesor
y el educando es vertical el primero estaacute a cargo del conocimiento y por el cual auacuten hay
profesionales que no quieren abandonar esta posicioacuten en cambio las TIC permiten la
participacioacuten del alumno dando como resultado un ambiente maacutes interactivo Los profesores son clave en la implementacioacuten de las TIC son los responsables de desarrollar
diferentes estrategias que sean atractivas y motivantes para sus alumnos estos uacuteltimos por su
parte reconocen el uso de las tecnologiacuteas de informacioacuten y comunicacioacuten como una herramienta
educativa y no como una forma en la cual puedan distraerse
Tambieacuten con el establecimiento de estas metodologiacuteas supone una gran ventaja porque desarrolla
nuevas habilidades nuevos escenarios por conocer que representan un reto ademaacutes de que el
estudiante esteacute preparado para cuando inicie su etapa laboral donde todos esos aprendizajes se
ponen en praacutectica y se verifica la calidad del proceso educativo
Palabras clave Herramientas Conocimiento TIC Desafiacuteos Educacioacuten Brecha digital
1 Introduccioacuten
Vivimos en una epoca en donde la utilizacioacuten de las Tecnologiacuteas de Informacioacuten y
Comunicacioacuten denomidas TIC estan creciendo de tal forma que van cambiando el mundo
que conocemos Hoy en diacutea es normal ver que algunos procesos que antes requeriacutean de largas
filas y visitas a oficinas se reducen a unos cuantos clics y una coneccioacuten a intenet
Esta revolucioacuten de la era digital no se ha quedado exenta al sector educativo ya que cada vez
es mas comuacuten ver que muchos centros de educacioacuten opten por dar cursos virtuales en casi un
100 por ciento en su modalidad de aprendizage
La educacioacuten a distancia es por su naturaleza una de las pricipales candidatas al cambio de
la digitalizacion de la educacion y esto se evidencia en las universidades que brindan
servicios a distacia por medio de multiples herramientas digitales y plataformas educativas
Este paradigma rompe con el esquema tradicional de educacioacuten y aprendizaje en donde los
alumnos tienen que trasladarse desde lugares remotos a centros universitarios para recibir
clases ya que las plataformas virtuales educativas brindan toda una gama de herramientas
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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que les permiten tanto a formadores como educandos llevar a cabo el proceso de aprendizaje
de una manera dinaacutemica e interactiva
Una de las primordiales caracteristicas de la educacion virtual o a distancia es su capacidad
para cubrir una demanda mucho mayor de educandos que si se llevara de manera precencial
Ya que con ayuda de las TIC tienen capacidad de llenar aulas virtules con grandes
capacidades de alumnos en comparacioacuten con las aulas fiacutesicas
2 El marco de las TIC en el saloacuten de clases
En la actualidad el mercado laboral estaacute cada diacutea maacutes exigente en la preparacioacuten acadeacutemica
de las personas esto debido a las diferentes exigencias de las empresas las cuales solicitan
muacuteltiples habilidades blandas sumadas los diferentes teacutecnicos grados universitarios sin
mencionar el manejo de alguna segunda lengua
La falta de empleo a raiacutez de la poca preparacioacuten de la poblacioacuten hace que las personas
busquen diferentes meacutetodos de estudios que los certifiquen en sus distintas aacutereas para tener
un respaldo ante un extenso mercado laboral Es aquiacute donde las TIC han ido evolucionando
junto con la docencia ofreciendo herramientas para mejorar la captacioacuten de la informacioacuten
brindando material didaacutectico maacutes dinaacutemico y efectivo e interactivo
Seguacuten Hernaacutendez (2011) ldquohellip las TIC hacen referencia Al conjunto de recursos necesarios
para tratar informacioacuten procesada por los ordenadores y dispositivos electroacutenicos
aplicaciones informaacuteticas y redes necesarias para convertirla almacenarla administrarla y
transmitirlardquo (paacuterr3)
Al analizar el concepto anteriormente citado podemos asumir que las tecnologiacuteas de
informacioacuten abarcan desde simples tareas domeacutesticas hasta los maacutes complejos sistemas
informaacuteticos La importancia que conllevan las TIC para las micro y gigantes empresas es
significativa por la versatilidad y utilidad que este tipo de tecnologiacuteas les brinda en pro de un
mejor rendimiento y eficiencia de estas
Las tecnologiacuteas de informacioacuten les ofrecen a los estudiantes una amplia gama de recursos
que son actualizados de manera constante que pueden ser utilizados y aplicados a su
desarrollo acadeacutemico conlleva muchos beneficios como obtener o acceder a informacioacuten
amplia y variada de cualquier tema en especiacutefico en cualquier lugar en que se encuentre el
estudiante sin limitaciones geograacuteficas o de tiempo asiacute lo menciona Almenara (2007) ldquohellip
uno de los efectos maacutes importantes y significativos de las TIC en al aacutembito educativo es la
posibilidad que nos ofrecen para flexibilizar el tiempo y el espacio en que se desarrolla la
accioacuten educativardquo (p 15)
En los uacuteltimos antildeos la tecnologiacutea ha evolucionado alcanzando niveles muy altos en la
utilizacioacuten de las TIC en las universidades El conversar sobre docencia y la incorporacioacuten
de las TIC al marco de la ejecucioacuten de ensentildeanza aprendizaje No existe incertidumbre de
que las tecnologiacuteas estaacuten transformado de manera fundamental nuestra forma de vivir
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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La educacioacuten como tal estaacute compuesta de distintos factores el docente encargado de impartir
la materia y la ensentildeanza los recursos teoacutericos y didaacutecticos y el medio para evaluar el
aprendizaje Seguacuten lo establece el Programa de produccioacuten Multimedia (2016) ldquoSe debe
aprovechar todo el potencial que ofrecen las tecnologiacuteas para asiacute establecer y fortalecer
comunidades o redes virtuales de aprendizaje donde el profesor y el estudiante interactuacuteenrdquo
(paacuterr7)
Seguacuten lo establecen Vlasova et al (2019) ldquoPodemos definir parte del concepto de la
tecnologiacutea en la educacioacuten como desarrollo de nuevos programas de disciplinas educativas
basados en la ciencia enfocados en la capacitacioacuten especiacutefica de los profesores para utilizar
tecnologiacuteas y meacutetodos como lo son las plataformas virtuales en sus actividades profesionales
y justificar la efectividad de los programasrdquo (p 1)
En contraste la incorporacioacuten de las TIC en el proceso de ensentildeanza ndash aprendizaje es flexible
y se adaptan a las formas de aprender de los diferentes estudiantes Tal y como lo define Rose
(2016) desde la pantalla de una computadora uacutenicamente de texto de la manera tradicional
hasta sistemas en donde el aprendizaje se haga por colores formas o sonidos Herramientas
como tutores inteligentes soporte visual ayuda para aprendizaje colaborativos entre muchas
otras herramientas que avanzan cada diacutea respondiendo cada vez maacutes a las necesidades y
respuestas humanas
Tambieacuten contribuye a la inclusioacuten de diferentes grupos sociales que antes eran excluidos de
los procesos educativos por falta de material o herramientas que se adaptaran a las
necesidades especiacuteficas de esas personas Asiacute lo menciona Rodriacuteguez (2019) ldquoAhora las
nuevas tecnologiacuteas han hecho su arribo a los ambientes educativos de diferentes maneras ya
sea como contenidos educativos objetos de aprendizaje plataformas infraestructura o
auxiliaresrdquo
De manera que las TIC esbozan transformaciones en la educacioacuten virtual enmarcadas en el
campo de las telecomunicaciones y la informaacutetica provocando permutas en las sociedades
en relacioacuten con la manera de trabajo las formas de interaccioacuten y comunicacioacuten de muacuteltiples
sectores sociales y la manera de consentir a la informacioacuten en un mundo global
De modo que un intento de virtualizacioacuten el uso de la plataforma las conferencias por
dispositivo electroacutenico entre muacuteltiples herramientas donde fueron expliacutecitamente creadas
para proporcionar que se intercambie el conocimiento entre los colaboradores minimizar el
sentimiento de reducir el espacio la inseguridad y soledad cuando se estudia
3 Educacioacuten y su relacioacuten con las TIC
Los beneficios de las TIC como columna para desplegar aacutereas de aprendizajes muestran que
la mayoriacutea de los sistemas que sobrellevan las redes de conocimiento son asentadas en textos
Praacutecticamente toda la educacioacuten estaacute edificada sobre trabajos escritos libros de textos y
precisamente las redes de comunicacioacuten mediante computadoras encajan los textos
interactivos que consienten edificar el conocimiento
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Otro de los puntos positivos que tiene la implementacioacuten TIC en el proceso de ensentildeanza ndash
aprendizaje es la apertura a la accesibilidad de esta Actualmente existen muchos programas
educativos que son impartidos mediante lecciones virtuales esto es un gran beneficio ya que
existen muchas personas que por diferentes motivos no les es posible asistir a lecciones
presenciales
Hace algunos antildeos la utilizacioacuten de las TIC en la docencia no era tan significativo las clases
eran presenciales los trabajos tareas y proyectos se entregaban de forma fiacutesica algunos
incluso escritos a mano pero con el pasar de los antildeos cada vez se fue desarrollando esta
innovacioacuten hasta tal punto que es posible recibir una educacioacuten en forma virtual por medio
de computadores y acceso a una red de internet en donde las personas pueden participar en
videoconferencias en foros hacer video llamadas compartir informacioacuten realizar tareas y
exaacutemenes en liacutenea
Esta modalidad vino a facilitar muacuteltiples procesos a muchas personas que por diversas
razones no pueden asistir de forma presencial a recibir lecciones las TIC les permite lograr
sus objetivos de superacioacuten desde su hogar y a la vez desarrollando otras actividades como
asistir al trabajo o atender a sus familias
La tecnologiacutea le ha dado un gran giro a la educacioacuten puesto que ya no es suficiente las clases
tradicionales para mantener a los estudiantes atentos y deseosos de aprender algo nuevo cada
diacutea como se ha visto las nuevas tecnologiacuteas han abarcado muchos aacutembitos hoy diacutea es casi
imposible que una persona no esteacute involucrada de alguna manera con la tecnologiacutea Asiacute lo
establece Garciacutea (2017) ldquohellipel uso de la tecnologiacutea en el aula es una de esas cuestiones que
hace que sea faacutecil ser un maestrordquo (paacuterr1)
La utilizacioacuten de la tecnologiacutea en el aacuterea de la educacioacuten tiene como objetivo el aumento de
los procesos de ensentildeanza - aprendizaje al ser tecnologiacuteas modernas el docente y los
educandos pueden consentir a la informacioacuten a partir de cualquier lugar del mundo y a
cualquier hora lo uacutenico que se requiere es una conexioacuten a internet
Tal y como lo establece Lozano (2016) ldquohellip el mundo evoluciona y la educacioacuten tambieacuten el
modelo actual educativo- aprendizaje a traveacutes de libros y una pizarra con tizas ha finalizado
Hace varios antildeos que la tecnologiacutea entroacute con fuerza para mejorar la educacioacuten y ahora ya es
una parte vital de ellardquo (paacuterr1)
Al desarrollarse nuevos recursos didaacutecticos y tecnoloacutegicos lo que provoca es que el docente
este maacutes capacitado y preparado para utilizar estas nuevas herramientas y asiacute poder ofrecer
una mejor calidad en la educacioacuten y facilitar el aprendizaje de los estudiantes que ellos le
encuentren la motivacioacuten al aprender de manera participativa
4 La ensentildeanza con apoyo tecnoloacutegico no es moda
La educacioacuten con apoyo tecnoloacutegico es uno de los temas maacutes actuales y tratados durante
los uacuteltimos antildeos la educacioacuten a distancia se ha abierto un gran espacio dentro de la educacioacuten
general que se afirma en algunos medios de comunicacioacuten para formar un tipo de relacioacuten
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entre ambas partes el que ensentildea y el que aprende independientemente del lugar y tiempo de
cada uno
No obstante las universidades utilizan las TIC como apoyo la docencia aunque este proceso
educativo formal y no existiacutea ninguacuten apoyo por parte de ninguna identidad como ahora que
hay un gran apoyo con una buena base en tal educacioacuten que se apoya en la tecnologiacutea
En la mayoriacutea de los lugares donde se han implementado TIC con apoyo a la docencia ha
brindado un espacio para que todos los educandos puedan acomodar sus prioridades y
facilitar informacioacuten desde cualquier lugar y a cualquier hora que sea necesaria
La TIC deben hoy diacutea integrar la docencia y la sociedad de esta manera coopera con la
educacioacuten y trata de ofrecer un gran y valioso aporte materializando la idea de formar un
pueblo con un alta nivel acadeacutemico y amplio conocimiento educativo
Tal y como lo define Arguedas (2016) ldquoEl proceso de ensentildear y aprender ocurre con una
separacioacuten de espacio y de tiempo entre quienes ensentildean y los estudiantesrdquo (p82)
El papel que juega la tecnologiacutea en el aacutembito de la educacioacuten es el maacutes importante al facilitar
el aprendizaje mediante documentos virtuales que suministra informacioacuten importante y
requerida por el educando tambieacuten mediante la plataforma virtual que se encuentra en un
entorno estudiantiles facilitando tener acceso a la informacioacuten de los diferentes programas
Estas tendencias modernas de la educacioacuten con el apoyo de TIC estaacuten en constante
actualizacioacuten transformando el conocimiento de coacutemo emplear la tecnologiacutea para ser
eficientes y entender todo lo que se puede desarrollar con ellas
Con la evolucioacuten de las TIC en el proceso de ensentildeanza aprendizaje se ha complementado
dando como resultado una mejor y maacutes amplia ensentildeanza a todas las personas El aprendizaje
es maacutes que memorizar paacuterrafos o textos es en siacute una transformacioacuten de lo leiacutedo a las
actividades de la vida cotidiana con la ayuda de la TIC
El uso de materiales didaacutecticos facilita el aprendizaje tales como multimedia videos
documentos y hasta audiolibros tales ayudan a reforzar la materia escrita en los libros y asiacute
complementa la lectura
El internet ya facilita las comunicaciones en muacuteltiples sectores del mundo se ha
transformado se en una herramienta impredecible hace muchos antildeos no se teniacutea clara la idea
de quera una computadora y ahora gracias al avance de las TIC se puede hasta realizar un
examen virtual desde la comodidad de la casa
Asiacute lo define Barrantes (2016) las nuevas tecnologiacuteas no solo cambiaraacuten los meacutetodos de
ensentildeanza sino tambieacuten la propia gestioacuten de las universidades
Estas tecnologiacuteas se deben efectuar con base a los objetivos que se quieren alcanzar y dar un
buen uso de ellas de manera controlada evitando las diferentes problemaacuteticas que se pueden
adquirir al exceder el uso y mal uso de estas
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5 Conclusiones
El desarrollo tecnoloacutegico propone transformaciones de muacuteltiples tipo la educacioacuten sin duda
alguacuten es una de las secciones maacutes capaces a dichos cambios Se demanda que este sumario
sea gobernado por investigacioacuten educativa y no simplemente innovacioacuten La investigacioacuten
educativa asegura que los meacutetodos y la tecnologiacutea posean efectos efectivos y estrictamente
se trate de transformar las herramientas para lograr nuevos resultados La predisposicioacuten
tecnoloacutegica en un futuro mediato fundaraacute que narremos con entornos de aprendizaje
informales y sociales las teacutecnicas de ensentildeanza-aprendizaje habituales que auacuten permanecen
tengan que desaparecer
Consiguientemente el nuevo papel del docente precisa no solo renovar sus conocimientos
sino vislumbrar y estar sumergido en la dinaacutemica comunicacional moderna no solo sabiendo
el funcionamiento de las modernas herramientas TIC sino coexistiendo como acto de parte
de estas Los sistemas inteligentes aferrados al sumario de ensentildeanza-aprendizaje que estaacuten
en progreso ha sido exitosa
Los modernos espacios virtuales fundados para estos cambios de preparacioacuten formacioacuten y
perfeccionamiento en que las personas edifican su propio conocimiento y utilizan diferentes
metodologiacuteas de aprendizaje que fortifican las destrezas de los educandos Se puede decir
que es significativo conocer las bases teoacutericas que sufre la educacioacuten con ayuda de las TIC
para concebir este modelo que desde hace antildeos se despliega a nivel mundial
Los medios de ensentildeanza constituyen un componente esencial del proceso ensentildeanza-
aprendizaje imaacutegenes o representaciones de objetos imitacioacuten los contenidos en todos los
programas las potenciar el conocimiento del educando Entendiendo que la modalidad de
Educacioacuten con apoyo de las TIC Si se quiere atenuar un trabajo colaborativo se debe valorar
cuaacutel herramienta brindariacutea un mayor beneficio en el aprendizaje de los educandos
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Las direcciones a la tica como un recurso para ensentildear
matemaacuteticas
Marcela Garciacutea Borboacuten
Universidad Nacional Costa Rica
marcelagarciaborbonunaaccr
Jesennia Chavarriacutea Vaacutesquez
Universidad Nacional Costa Rica
jchaunaaccr
Mariacutea Elena Gavarrete Villaverde
Universidad Nacional Costa Rica
mgavarreteunaaccr
Margot Martiacutenez Rodriacuteguez
Universidad Nacional Costa Rica
mmartiunaaccr
Resumen El proyecto Formacioacuten de docentes en la visioacuten sociocultural de las matemaacuteticas
formulado desde el 2015 disentildeoacute e impartioacute el curso Enculturacioacuten Matemaacutetica y Etnomatemaacutetica
en diversas zonas costeras limiacutetrofes indiacutegenas y rurales del paiacutes Se trata de un curso dirigido a
docentes de primaria que busca mostrar estrategias y recursos para abordar las clases de
matemaacutetica desde la visioacuten sociocultural al hacer del signo cultural el centro del planeamiento
De este modo el proyecto generoacute el modelo Etnomatemaacuteticas Glocalizadas para maestros
(ETGLOMA 2019) que busca continuar con los propoacutesitos del proyecto original
El taller ldquoLas direcciones a la tica como un recurso para ensentildear matemaacuteticasrdquo aborda el tema de
la ubicacioacuten espacial como parte del aacuterea de la Geometriacutea Ademaacutes vincula las habilidades
matemaacuteticas con algunas relacionadas con la Geografiacutea que se cubre en la materia de Estudios
Sociales como una sugerencia de incorporacioacuten de la contextualizacioacuten activa que demanda el
Ministerio de Educacioacuten en sus programas
Palabras clave Etnomatemaacuteticas formacioacuten de docentes contextualizacioacuten activa signo
cultural
1 Objetivos
Este taller tiene como objetivo general Analizar la orientacioacuten espacial utilizando las
direcciones a la tica para ofrecer estrategias metodoloacutegicas que aborden los contenidos de la
ubicacioacuten espacial en Educacioacuten Primaria
2 Fundamentacioacuten teoacuterica
El proyecto Formacioacuten de Docentes en la Visioacuten Sociocultural de la Matemaacutetica nace en
2015 en la Universidad Nacional como una forma de contribuir a las demandas
metodoloacutegicas que el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (2012) establece en la formacioacuten de
docentes Su principal contribucioacuten es la incorporacioacuten de las etnomatemaacuteticas en la
educacioacuten al proponer el uso de los signos culturales en el planeamiento Ofrece una
respuesta a la necesidad de integrar el eje transversal de la contextualizacioacuten activa en la
educacioacuten como un elemento prioritario en el planeamiento Asiacute se favorece la comprensioacuten
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de los saberes globales al vincularlos con los saberes locales al estimular el uso de modelos
basados en la realidad cercana
Por otro lado este taller aborda contenidos curriculares del Programa de Estudios Sociales
de primero segundo y tercer nivel (Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica 2013) al tomar en
cuenta los contenidos conceptuales de ubicacioacuten espacial orientacioacuten geograacutefica
elaboracioacuten e interpretacioacuten de croquis mapa escala y simbologiacutea
Para lograr el efectivo desarrollo de este taller se inicia con la definicioacuten de los conceptos
primarios En este sentido se concibe el signo cultural como un elemento de la cultura
material que representa la identidad de una regioacuten (Oliveras 1996) que se puede incorporar
en las matemaacuteticas escolares Se entiende Enculturacioacuten Matemaacutetica como el ldquoproceso de
interaccioacuten social desarrollado dentro de un marco de conocimientos determinado pero con
el objetivo de volver a crear y definir ese marcordquo (Bishop 1999 p 120) La Enculturacioacuten
Matemaacutetica ademaacutes de usar elementos de la cultura en el planteamiento de problemas
involucra un proceso de investigacioacuten sobre las matemaacuteticas que se han usado en el desarrollo
de ideas nociones procedimientos procesos meacutetodos y praacutecticas culturales arraigadas en
distintos ambientes
Bishop (1999) clasifica las matemaacuteticas desarrolladas por todas las culturas en alguna de las
seis actividades comunes contar medir localizar disentildear jugar y explicar En particular en
este taller nos centramos en las actividades de localizar y explicar
La actividad matemaacutetica de localizar se concibe como la necesidad de codificar y simbolizar
el entorno espacial al responder al reto de la exploracioacuten de la tierra y el mar con el fin de
conocer el propio terreno en la buacutesqueda de alimento (Bishop 1999) En este taller se
trabajaraacute con direcciones mapas y croquis que constituyen una representacioacuten simboacutelica del
espacio La actividad matemaacutetica de explicar se centra en abstracciones y formalizaciones
que buscan establecer relaciones entre los fenoacutemenos y la teoriacutea que los explica Se abordaraacute
a traveacutes del anaacutelisis de las relaciones entre los objetos del espacio con las direcciones mapas
y croquis asiacute como las transformaciones de que son objeto
Por otro lado la geometriacutea es la parte de la matemaacutetica escolar que se encarga de la
descripcioacuten y anaacutelisis de las formas y el espacio Asiacute el pensamiento espacial seguacuten Gallo
et al (2006) viene a ser el conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales se construyen
y manipulan las representaciones mentales del espacio
Sobre la localizacioacuten se entiende como la accioacuten de sentildealar en forma especiacutefica el lugar
doacutende se encuentran ciudades puertos paiacuteses accidentes geograacuteficos o cualquier otro
elemento Localizar de manera absoluta implica situar con precisioacuten un punto especiacutefico de
la superficie terrestre Localizar de forma relativa seriacutea maacutes bien usar los puntos cardinales
y distancias con respecto a otro lugar
Estimular el estudio de signos culturales en el proceso de ensentildeanza y aprendizaje de las
Matemaacuteticas favorece la vinculacioacuten entre la matemaacutetica escolar con la matemaacutetica presente
en las praacutecticas cotidianas y asiacute motiva el aprendizaje gracias a que propicia un cambio en
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el dominio afectivo al reconocer que la matemaacutetica es una actividad humana desarrollada
por cada cultura a partir de sus necesidades
3 Metodologiacutea de trabajo
El disentildeo metodoloacutegico del taller contempla el desarrollo de las actividades matemaacuteticas
localizar y explicar Se proponen diferentes actividades que abordan las direcciones a la tica
como un signo cultural de nuestro paiacutes
Este disentildeo sigue el mismo esquema que los otros talleres del curso de Enculturacioacuten
Matemaacutetica y Etnomatemaacutetica En un principio se indaga sobre el conocimiento previo con
el fin de activar los conocimientos matemaacuteticos que se requieren para el efectivo desarrollo
del taller En este caso se explora sobre la percepcioacuten entre los participantes relacionada con
la contextualizacioacuten activa asiacute como conocimientos previos sobre localizacioacuten en el espacio
pensamiento espacial distancia estimacioacuten y direccioacuten Ademaacutes se reflexiona con los
maestros sobre la existencia de elementos matemaacuteticos en la forma de dar direcciones en
Costa Rica a traveacutes del anaacutelisis de sus propias direcciones y las de sus compantildeeros en busca
de esos elementos De esta forma ademaacutes se examina la vinculacioacuten con otras aacutereas como
la Geografiacutea y los Estudios sociales
A continuacioacuten se solicita a los participantes que utilicen medios de localizacioacuten virtuales
como Google maps Waze u otro para verificar la precisioacuten de la estimacioacuten y direccioacuten que
se usoacute en la actividad anterior Esto con el fin de reflexionar sobre las capacidades humanas
referentes a determinar una medida a partir de los sentidos y como esta capacidad puede
influir en la representacioacuten del espacio en dos dimensiones
Luego se invita a los participantes a meditar y socializar por medio de una plataforma
virtual sobre los elementos matemaacuteticos (presentes en el Programa de Matemaacutetica) que
logran distinguir en las direcciones con el fin de que tras la experiencia anterior incorpore
nuevos elementos que tal vez no percibioacute la primera vez que los buscoacute por ejemplo sistemas
de referencia
En una segunda parte se busca que los participantes elaboren un croquis de su comunidad
(Figura 1) que puede ser basado en los mapas que antes usaron Esta actividad tiene el
propoacutesito de evidenciar que los puntos cardinales y puntos de referencia estaacuten vinculados con
la matemaacutetica escolar Tambieacuten explorar habilidades uacutetiles en aspectos como el disentildeo tanto
como una nueva reflexioacuten sobre otros elementos de la matemaacutetica escolar presentes en este
signo cultural
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Figura 1
Croquis de la comunidad
La siguiente actividad estaacute vinculada con una consideracioacuten sobre las posibilidades para
desplazarse de un lugar a otro y coacutemo se puede describir cada una de esas posibilidades
(Figura 2) Se pretende que los participantes piensen esta vez sobre las variaciones que se
presentan en cuanto a la direccioacuten distancia aacutengulos u otro de su desplazamiento
Figura 2
Posibilidades de desplazarse de un lugar a otro
Para finalizar se les pide que cambien el origen de su desplazamiento de modo que analicen
una vez maacutes los sistemas de referencia presentes en las direcciones y en la representacioacuten del
espacio en un plano como un modelo matemaacutetico (Figura 3)
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Figura 3
Sistemas de referencia presentes en las direcciones y en la representacioacuten del espacio en
un plano como un modelo matemaacutetico
La movilizacioacuten e integracioacuten de conceptos relacionados con el pensamiento espacial se daraacute
al finalizar el taller gracias a la socializacioacuten guiada por preguntas como
iquestQueacute elementos matemaacuteticos estaacuten presentes en la elaboracioacuten del mapa
iquestQueacute elementos culturales o matemaacuteticos no han sido considerados
iquestLos conceptos matemaacuteticos (geomeacutetricos) coinciden con los teacuterminos utilizados
popularmente
4 Planificacioacuten del taller
A continuacioacuten se describen las actividades a realizar seguacuten la descripcioacuten anterior asiacute
como los recursos y materiales que seraacuten necesarios (Tabla 1)
Tabla 1
Actividades a realizar
Actividad Conocimientos Materialesrecursos Tiempo estimado
Presentacioacuten y
Conceptos
fundamentales
Contextualizacioacuten
activa localizacioacuten
pensamiento espacial
distancia estimacioacuten
direccioacuten
Acceso a la
plataforma Zoom
10 minutos
Anote la direccioacuten
exacta de su casa
Puntos de referencia
puntos cardinales
estimacioacuten de
distancia
Carpeta en Drive
compartida con los
participantes
10 minutos
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Utilizando otro
punto de referencia
anote de nuevo la
direccioacuten exacta de
su casa
Puntos de referencia
puntos cardinales
estimacioacuten de
distancia
Carpeta en Drive
compartida con los
participantes
6 minutos
Verifique la
estimacioacuten de
medidas y direccioacuten
del desplazamiento
de las direcciones
de las Actividades 1
y 2
Puntos cardinales
medicioacuten
Google maps Waze u
otra aplicacioacuten similar
de localizacioacuten
10 minutos
Reflexioacuten sobre
elementos
matemaacuteticos
presentes en la
ubicacioacuten en el
espacio
Distancia puntos
cardinales rectas
paralelas ubicacioacuten
espacial sistemas de
referencia
Carpeta Drive
compartida con los
participantes
8 minutos
Elaboracioacuten de un
croquis del pueblo
Distancia puntos
cardinales rectas
paralelas ubicacioacuten
espacial
Papel laacutepices
teleacutefono para hacer la
fotografiacutea
15 minutos
Dibujar dos
trayectorias
diferentes para
desplazarse de un
lugar a otro
Paint u otro editor de
imaacutegenes
10 minutos
Cambie el origen hellip Google maps Waze u
otra aplicacioacuten similar
de localizacioacuten Paint
u otro editor de
imaacutegenes
10 minutos
Socializacioacuten Carpeta Drive
compartida con los
participantes
11 minutos
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Comares
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Homotecias con GeoGebra
Grethel Ramiacuterez Goacutemez
Liceo de Poaacutes Costa Rica
grethelramirezgomezgmailcom
Resumen En este documento presentoacute un taller cuyo fin fue generar un acercamiento con la
tecnologiacutea como apoyo a la construccioacuten de conceptos matemaacuteticos en la geometriacutea y
especiacuteficamente con las homotecias El participante logroacute realizar construcciones y observaciones
sobre los diferentes tipos de homotecias directa e inversa fue el protagonista de su propio
conocimiento y al final podraacute compartir las diferentes conclusiones a las que fue capaz de llegar
con las diferentes actividades propuestas
Palabras clave GeoGebra homotecia geometriacutea construccioacuten
1 Introduccioacuten
Este taller que presento fue desarrollado con la herramienta GeoGebra (versioacuten 50) y se creoacute
pensando en primer momento para trabajar con estudiantes de octavo antildeo pero podriacutea
ampliarse para los diferentes temas de geometriacutea que se desarrollan a lo largo de los antildeos en
el programa de estudios propuestos por el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica
(2012)
El objeto de estudio de este se basa en la construccioacuten de argumentos que resulten
validaciones en el inicio de la geometriacutea entrando en trabajo argumentativo para sostener las
respuestas y las producciones aprovechando las posibilidades de acceso al saber y de anaacutelisis
de la matemaacutetica que su utilizacioacuten puede promover como antesala al tema de semejanza y
congruencia de triaacutengulos
Para participar no es necesario tener un conocimiento previo de la herramienta ya que los
minutos iniciales sirven de orientacioacuten para conocerla y hacer eacutenfasis de los usos en ciertos
comandos Ademaacutes inicialmente se busca motivar al participante en la exploracioacuten tomando
como referencia que el programa permite ver diferentes escenarios con movimientos simples
que a nivel del papel y laacutepiz seria muchas veces limitado y otras abstractos por completo
La importancia de estos talleres praacutecticos radica en la integracioacuten de herramientas
informaacuteticas que logran una mayor eficiencia en el aprendizaje de manera que se puedan
obtener herramientas y conocimientos para formulacioacuten de soluciones a problemas de la
sociedad mediante el anaacutelisis matemaacutetico (Barahona et al 2015)
Una vez que se presenta el programa y se estandarizan los conceptos durante el desarrollo
del taller el moderador entregara una secuencia de actividades (4 en total) con las que busca
obtener por parte de los participantes la construccioacuten de figuras exploracioacuten de la
herramienta y conclusiones de manera muy interactivas y promoviendo en todo momento la
participacioacuten
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2 Desarrollo del taller
En la primera actividad se propuso una construccioacuten simple de un cuadrado y aplicar una
homotecia cuyo factor escala sea mayor que uno (ver Figura 1) lo cual generoacute una serie de
inquietudes entre los participantes en torno a la visioacuten del estudiante una vez que crea la
homotecia Williams Uribe(Argentina) hizo una consulta sobre la relacioacuten del aacuterea de ambas
figuras y algunas pruebas que realizoacute ahiacute en el momento lo cual generoacute discusioacuten alrededor
de la manipulacioacuten de la herramienta para el movimiento de los diferentes veacutertices y a la vez
se produjeron varias inquietudes
iquestQueacute pasa con las aacutereas de las figuras una vez que se crea la homotecia
iquestCuaacutel es la relacioacuten del periacutemetro de cada una de las figuras
iquestCuaacutel es el tiempo adecuado para brindar en cada una de las construcciones para
mantener el intereacutes del tema
Figura 1
Construccioacuten simple de un cuadrado
Nota Fuente elaboracioacuten propia
Luego que se crearon los cuadrados y se realizoacute una mesa de discusioacuten alrededor del tema y
sus implicaciones Se inicioacute con la actividad dos misma que no busca entregar todos los
pasos de construccioacuten sino crear una figura recordando los procesos anteriores (ver Figura 2)
pero la homotecia aplicada seraacute con un factor escala que se encuentra entre cero y uno de
esta manera se comenzoacute a generar diferencias entre una y la otra Como dato importante a
rescatar fue que se analizoacute la forma de la redaccioacuten de la actividad ya que en esta segunda
se basoacute en los conocimientos previos de construccioacuten generando en el participante la
necesidad de recordar y explorar datos de la herramienta
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Figura 2
Figura con homotecia de escala entre cero y uno
Nota Fuente elaboracioacuten propia
Trabajamos la actividad nuacutemero tres esperando tener como resultado un proceso maacutes amplio
de observacioacuten y conclusioacuten Para esta actividad se propuso un factor escala negativo y es
donde el participante pudo concluir que la figura no solo se hace ldquomaacutes grande o maacutes pequentildeardquo
sino que tambieacuten puede girar y sigue coincidiendo en veacutertices y segmentos (ver Figura 3)
Aquiacute se hace una importante acotacioacuten sobre la importancia de mantener un lenguaje
adecuado con el estudiante yo participante porque si vamos a desarrollar el taller a nivel de
secundaria es probable que hablar de ldquoinversordquo no sea un teacutermino tan claro como decir ldquose
dio la vueltardquo o ldquose giroacuterdquo Con este detalle logramos ver que estamos concluyendo y
observando lo mismo y cumpliendo el objetivo
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Figura 3
Homotecia con factor de escala negativo
Nota Fuente elaboracioacuten propia
De esta tercera actividad surgioacute una propuesta por parte de una participante del taller sobre
no trabajar tres construcciones diferentes sino implementar el insertar una imagen y trabajar
con ella para observar las diferentes homotecias que resultan aprovechando cosas que guste
al participante y sirva de motivacioacuten extra (ver Figura 4)
Figura 4
Homotecia con imagen
Nota Fuente elaboracioacuten propia
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Otro aporte por rescatar fue si por ejemplo se construye un deslizador y se puede hacer la
manipulacioacuten del mismo con diferentes figuras de manera que se haga maacutes visual el
incremento disminucioacuten o giro de la figura de acuerdo al intervalo donde esteacute ubicado
Ademaacutes de consultar la cercaniacutea del punto origen (00) con respecto a las figuras creadas e
incluso manipular de manera que unimos ambas figuras y recordamos conceptos como el
caso de los aacutengulos opuestos por el veacutertice
Otro participante nos brinda el aporte de la conexioacuten que podemos realizar como proyecto
interdisciplinario con la clase de ciencias por ejemplo al tener una imagen y recibirla al
reveacutes
Otro aporte con el que contamos fue la participacioacuten de un participante de Ecuador quien
nos brindoacute la idea de hacer con las construcciones o las imaacutegenes insertadas generando
asociacioacuten con la fiacutesica por ejemplo el tema de la oacuteptica geomeacutetrica
Por uacuteltimo y a modo de cierre se realiza la actividad cuatro en la cual soliciteacute imaginar que
somos estudiantes de octavo antildeo ante una serie de ejercicios que deben resolverse despueacutes
de haber realizado el taller no todos van a necesitar apoyo de la herramienta inmediato(por
lo que puede ser un cierre en el aula a falta de tiempo) quedoacute claro que para la mayoriacutea fue
maacutes sencillo visualizar desde las diferentes construcciones pero una vez resueltos los
ejercicios logramos crear al final los diferentes conceptos sobre los tipos de homotecias
lenguaje matemaacutetico adecuado y varios conocimientos a tratar para el tema
3 Conclusiones
El programa GeoGebra entre sus ventajas contempla que ademaacutes de ser un programa
disentildeado bajo la modalidad de software libre y la asequibilidad que conlleva es una
herramienta de gran colaboracioacuten para el desarrollo y demostracioacuten de una clase de
geometriacutea permitiendo su implementacioacuten cuando se cuenta con los recursos materiales a
nivel institucional como un taller de construcciones como en el presente congreso Asiacute
mismo en casos donde los recursos sean maacutes limitados su uso se puede desarrollar como
una mesa de discusioacuten a partir del desarrollo empleado por el profesorado
Con la primera actividad se realizoacute una demostracioacuten del proceso de construccioacuten del
conocimiento y conceptualizacioacuten geomeacutetrica importante Asiacute mismo sirvioacute como antesala
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para hablar de temas como las relaciones entre aacutereas y periacutemetros de las diferentes figuras
una vez aplicadas los factores escala
El desarrollo de un taller y uso de recursos tecnoloacutegicos como el programa GeoGebra nos
facilita como educadores el poder representar de una manera maacutes visual y significativa el
conocimiento que deseamos trasmitir al estudiante ya que cuando este es quien construye y
se cuestiona la comprensioacuten del proceso profundiza en su aprendizaje
Finalmente las actividades en general nos recuerdan que es de suma importancia tener
presentes las diversas condiciones y realidades del estudiantado contemplando aspectos
como el acceso a medios tecnoloacutegicos lo cual es fundamental para poder mantener una
comunicacioacuten asertiva y asiacute lograr ser generadores de conocimiento a traveacutes de la
experiencia
Referencias bibliograacuteficas
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Non Charismatic Species Implicaciones didaacutecticas y
formacioacuten del profesorado
Eliacuteas Francisco Amoacutertegui Cedentildeo
Universidad Surcolombiana Colombia
eliasamorteguiuscoeduco
Juan Felipe Herrera Polaniacutea
Universidad Surcolombiana Colombia
felipepolania19gmailcom
Resumen Colombia ha sido considerado como albergue de uno de los 35 Hotspots del planeta
y uno de los paiacuteses con mayor diversidad bioloacutegica Sin embargo la poblacioacuten en general ha
desarrollado actitudes y emociones negativas como miedo asco y aversioacuten hacia grupos de
organismos denominados Non Charismatic Species pues aunque poseen un rol ecoloacutegico
fundamental en los ecosistemas son poco apreciados por los nintildeos nintildeas y joacutevenes ejemplo de
ellos las serpientes los murcieacutelagos y varios grupos de artroacutepodos Este trabajo aborda diferentes
experiencias investigativas y didaacutecticas llevadas a cabo en el Grupo de Investigacioacuten ENCINA-
Ensentildeanza de las Ciencias Naturales adscrito al Programa de Licenciatura en Ciencias Naturales
y Educacioacuten Ambiental de la Universidad Surcolombiana (Huila- Colombia) Conceptualizamos
el problema de la biodiversidad sus implicaciones educativas y proyectamos asuntos sobre su
ensentildeanza en escuelas rurales de nuestro paiacutes
Palabras clave Animales no carismaacuteticos implicaciones didaacutecticas formacioacuten del profesorado
experiencias educativas
1 Comprendiendo el problema de la biodiversidad
Hoy en diacutea existen diferentes amenazas latentes en contra de la biodiversidad mundial
principalmente por diferentes actividades antropogeacutenicas que contribuyen en gran medida a
acabar con los componentes ecoloacutegicos de los diferentes ecosistemas A raiacutez de esas
amenazas en las uacuteltimas deacutecadas se ha originado acciones de diferentes sectores de vital
importancia para contrarrestar las tasas de peacuterdida de biodiversidad (Pimm et al 1995) Sin
embargo existe una de la problemaacuteticas maacutes comunes y recurrentes en temas de
biodiversidad y es relacionado con el desconocimiento bioloacutegico sobre lo que existe en los
diferentes entornos naturales que resulta siendo un obstaacuteculo para emprender diferentes
estrategias de conservacioacuten de la biodiversidad En Colombia La falta de apoyo en
investigacioacuten y desarrollo poliacuteticas internas deficientes el conflicto armado entre otros
(Franco et al 2006 Fernaacutendez 2011) han sido los principales aspectos que han
imposibilitado agrandar el conocimiento de un paiacutes que es catalogado con megabiodiverso
A pesar de esos grandes obstaacuteculos seguacuten el Sistema de Informacioacuten sobre Biodiversidad de
Colombia (SiB Colombia) a la fecha existen aproximadamente 62829 especies a lo largo de
todo el territorio nacional posicionando el paiacutes como el primero en aves y orquiacutedeas segundo
en plantas anfibios mariposas y peces dulceacuiacutecolas tercero en palmas y reptiles y por
uacuteltimo el cuarto con mayor nuacutemero de especies de mamiacuteferos Toda esa biodiversidad que
posee Colombia que en su gran mayoriacutea viene determinado por aspectos en la formacioacuten de
los diferentes relieves a lo largo y ancho de paiacutes Ademaacutes en la regioacuten del Chocoacute
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biogeograacutefico se encuentra uno de los 35 Hotspots de Biodiversidad del planeta las cuales
son aacutereas con iacutendices altos de diversidad bioloacutegica y endemismos pero que han tenido un
porcentaje alto de reduccioacuten de su vegetacioacuten primaria (Myers 2003 Sloan et al 2014)
Teniendo en cuenta todo este panorama nacional acerca de la Biodiversidad a pesar de todas
las dificultades que resultan a la hora de conocer nuevas especies en los diferentes
ecosistemas colombianos existe un alto iacutendice de nuevas de especies descritas (Arbelaeacutez
2013) que incluso en los uacuteltimos antildeos pudo estar favorecida por la firma de los acuerdos de
paz con la antigua guerrilla de las FARC-EP que posibilitaron nuevas expediciones es
importante que antes de hablar de estrategias que contribuyan a la conservacioacuten de la
Biodiversidad en primera instancia debemos conocer lo conocido en teacuterminos de diversidad
Bioloacutegica Es por ello esto requiere y demanda un arduo trabajo de documentacioacuten en
diferentes aacutereas como zoologiacutea botaacutenica ecologiacutea entre otros para posteriormente
emprender y originar estrategias de ensentildeanza y aprendizaje mediante la planificacioacuten y el
disentildeo de diferentes temaacuteticas se puedan llevar a cabo en las escuelas como factor
fundamental en la formacioacuten de las Ciencias para la conservacioacuten de los entornos naturales
2 Importancia de la formacioacuten docente para la conservacioacuten de la Biodiversidad
Existen diferentes aspectos que hacen que la profesioacuten docente se subestime a nivel
epistemoloacutegico y social ya que es usual considerar que para ensentildear Ciencias Naturales
solo basta con el afianzamiento del conocimiento disciplinar y que se transmita de manera
directa sin tener en cuenta otros elementos importantes Es por ello que como educadores y
profesionales en la educacioacuten disponen de un conocimiento caracteriacutestico en los cuales estaacuten
vinculados otros aspectos como el pedagoacutegico didaacutectico curriculares entre otros
contribuyendo asiacute a la construccioacuten de un Conocimiento Bioloacutegico Escolar (Valbuena 2007
Mellado 2011) Este conocimiento de profesorado tiene origen en diferentes fuentes
heterogeacuteneas que incluyen diferentes saberes a partir experiencias teoriacuteas impliacutecitas
guiones costumbres entre otros (Porlaacuten y Rivero 1998 Tardif y Lessar 2014)
De acuerdo a lo postulado por Valbuena (2007) establece que para el caso de los docentes
de Biologiacutea dos componentes que hacen parte de su conocimiento profesional el
Conocimiento Bioloacutegico (CB) y el Conocimiento Didaacutectico del Contenido Bioloacutegico
(CDCB) Con base a esto se pueden reconocer los siguientes conocimientos como el
Conocimiento Disciplinar el Conocimiento Pedagoacutegico el Conocimiento Didaacutectico del
Contenido Bioloacutegico y el Conocimiento del Contexto De igual forma seguacuten Fonseca (2018)
encontramos postulados muy similares a lo dicho por Valbuena (2007) puesto que aquiacute ya
relacionado directamente con el Conocimiento Profesional del Profesor de Biologiacutea asociado
a la ensentildeanza de la Biodiversidad menciona la integracioacuten de cinco conocimientos de
docentes en su etapa inicial de ejercicio docente entre ellos tenemos El conocimiento
bioloacutegico el Conocimiento Didaacutectico el Conocimiento de su propia historia de vida el
Conocimiento de su experiencia como interprete ambiental y el Conocimiento del contexto
Es asiacute como las experiencias docentes constituyen un referente clave en el desarrollo
profesional del profesor de Biologiacutea ya que esto permite orientar la manera en coacutemo se
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interpreta y se desarrolla el curriacuteculo (Barnett y Hodson 2001) Sin embargo una de las
mayores dificultades que poseen los docentes en su etapa inicial en ejercicio profesional es
la escasa preparacioacuten sobre coacutemo abordar la ensentildeanza de la Biologiacutea en escenarios naturales
(Del Toro y Morcillo 2011) que permitan promover e incentivar en el estudiantado actitudes
que contribuyan a los procesos de conservacioacuten de la Biodiversidad Esto en su gran mayoriacutea
viene determinado por el aporte insuficiente de los diferentes cursos en la formacioacuten del
profesorado para la construccioacuten del Conocimiento de Contenido Bioloacutegico Didaacutectico
Pedagoacutegico y del contexto que permitan la ensentildeanza fuera del aula mediante diferentes
estrategias de ensentildeanza como las Praacutecticas de Campo (Behrendt y Franklin 2014) Por tal
razoacuten el abordaje de las salidas de campo se limita al desarrollo de lecturas socializaciones
debates entre otros y no a su disentildeo aplicacioacuten y evaluacioacuten (Ateskan y Lane 2016)
reduciendo el potencial de esta estrategia tan importante que puede influir en las distintas
finalidades de aprendizaje en el campo de la Biodiversidad
3 Panorama de los animales no carismaacuteticos para su conservacioacuten
En un paiacutes como Colombia catalogado como uno de lo maacutes megadiversos del mundo resulta
de vital importancia que se originen diferentes programas estrategias y poliacuteticas para la
proteccioacuten de los ecosistemas Estos escenarios naturales que se extienden a lo largo y ancho
del todo el territorio nacional gracias a los diferentes pisos teacutermicos cuentan con una amplia
gama de especies de flora y fauna con un importante valor ecoloacutegico en los biomas del paiacutes
Sin embargo hoy en diacutea existe una gran cantidad de especies que estaacuten amenazadas por
factores como la destruccioacuten masiva de sus haacutebitats traacutefico ilegal entre otros A raiacutez de lo
anterior a lo largo de los uacuteltimos antildeos se han formalizado y estructurado diferentes poliacuteticas
ambientales para la proteccioacuten de los diferentes ecosistemas y sus componentes que permitan
garantizar la conservacioacuten de la Biodiversidad existente en Colombia
Desde el gobierno nacional se estaacuten llevando a cabo diferentes planes de accioacuten para la
conservacioacuten de especies y ecosistemas como herramientas indispensables en la
conservacioacuten de la Biodiversidad (Ministerio de Ambiente y Desarrollo Sostenible
MinAmbiente 2020) No obstante resulta interesante evidenciar que la mayoriacutea de
programas de conservacioacuten planes de manejo y estrategias estaacuten focalizadas en su gran
mayoriacutea a especies de aves y mamiacuteferos que en su gran mayoriacutea son los grupos de animales
maacutes llamativos y atrayentes En menor medida se encuentran acciones focalizadas a grupos
de reptiles y anfibios y no existe ninguacuten programa de conservacioacuten o poliacutetica ambiental que
promueva la conservacioacuten de grupos de invertebrados A partir de lo anterior se puede
relacionar en consecuencia una de las principales razones por las cuales no se evidencia
trabajos investigativos relacionados con animales que son catalogados como no carismaacuteticos
Puesto que existe una amplia brecha de desconocimiento acerca sobre la Biologiacutea y Ecologiacutea
de grupos de animales principalmente invertebrados reptiles y anfibios en sus diferentes
haacutebitats (Losey y Vaughan 2006 New 2011 Prokop et al 2016)
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El escaso conocimiento bioloacutegico y a su vez las aversiones repulsioacuten miedo asco y disgusto
que generan animales como serpientes murcieacutelagos arantildeas escorpiones sapos ranas
lagartos entre otros denominados como animales no carismaacuteticos por su apariencia fiacutesica
resultan ser una amenaza directa en contra de su conservacioacuten Ademaacutes se puede inferir con
base a ese tipo de aspectos la inclinacioacuten de llevar a cabo programas o estrategias para la
conservacioacuten de especies esteacuteticamente maacutes llamativos y asiacute mismo la razoacuten de la falta de
acciones esenciales para incentivar a la poblacioacuten en general encaminadas al cuidado
proteccioacuten y manejo de especies poco carismaacuteticos que resultan ser de gran importancia
bioloacutegica en los diferentes ecosistemas donde se encuentran (Snaddon et al 2008)
Existen en diferentes fuentes investigaciones que confirman lo mencionado anteriormente
por ejemplo estudios como los de Prokop y Fančovičovaacute (2013) mencionan que estas
tendencias de pensamientos y actitudes hacia este grupo de organismos vienen determinados
por los aspectos morfoloacutegicos Es decir en cuanto a la coloracioacuten de ciertos animales
predominan la afinidad hacia organismos con colores aposemaacuteticos en contraste los colores
criacutepticos que a su vez resulta de gran importancia referente a la popularizacioacuten para
promover la preservacioacuten de especies con dichas caracteriacutesticas Por otra parte otra de las
razones por las cuales se tiende a tener este tipo de percepciones de especies catalogadas no
carismaacuteticas vienen siendo alimentadas por los medios audiovisuales presentando peliacuteculas
series noticias entre otros que contribuyen a establecer esos conceptos alternos y actitudes
que no promueven a su conservacioacuten y ampliacutean los vaciacuteos relacionados al conocimiento
bioloacutegico e importancia ecoloacutegicos de estos organismos Sin embargo este tipo de actitudes
puede ser variable dependiendo de la cultura edad sexo nivel socioeconoacutemico experiencia
eacutetica escolar incluso la inclinacioacuten religiosa que pueden repercutir en aspectos relacionados
con la importancia de que originen procesos de reconstruccioacuten del conocimiento bioloacutegico a
partir procesos didaacutecticos escolares (Barraza 2015 Baynes-Rock 2017)
Por otra parte tomando como referencia los diferentes procesos educativos a nivel de
preescolar baacutesica primaria y secundaria cuando el estudiantado presenta actitudes negativas
debido al desconocimiento o ideas previas acerca del conocimiento bioloacutegico en este caso
relacionados con animales poco agradables para ellos Se origina un choque de concepciones
referente a aspectos de la naturaleza cientiacutefica a causa de la incorrecta interpretacioacuten de
distintos elementos del propio conocimiento cientiacutefico De modo que se destaca la
importancia de procesos de alfabetizacioacuten cientiacutefica en la progresioacuten de concepciones que
esteacuten encaminadas a la realidad bioloacutegica de los diferentes organismos (Prokop et al 2009
Almeida et al 2017)
Para lograr los objetivos de la alfabetizacioacuten cientiacutefica y generar actitudes en pro de la
conservacioacuten de estos animales tan estigmatizados por la sociedad se deben disentildear y aplicar
diferentes estrategias como las salidas de campo que tiene un gran potencial para lograr
diferentes finalidades de aprendizaje a nivel conceptual procedimental y actitudinal Este
tipo de estrategias es una garantiacutea para incentivar habilidades que puedan lograr la
construccioacuten de un Conocimiento Cientiacutefico Escolar y lograr en los y las estudiantes posturas
criacuteticas con bases argumentativas soacutelidas que puedan permitir un cambio de perspectiva
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relacionado con problemaacuteticas del contexto socio-ambiental siendo un recurso vital en el
quehacer docente (Del Carmen 2011 Garciacutea-Ferrandis et al 2020)
4 Promoviendo la conservacioacuten de los animales no carismaacuteticos
Entre las actividades que realiza el profesorado de Biologiacutea a nivel formativo es importante
destacar el uso de las Salidas de Campo como estrategia didaacutectica en los procesos de
ensentildeanza y aprendizaje con el alumnado Este tipo de recurso educativo posee un irrefutable
valor que pueden repercutir a nivel emocional afectivo cognitivo y ambiental Esto resulta
ser vital en el reconocimiento de la Biodiversidad origen de actitudes pro conservacionistas
obtencioacuten y afianzamiento de habilidades y destrezas en el trabajo cientiacutefico e inmersioacuten en
entornos naturales fuera del aula (Wass 1990 Del Carmen y Pedrinaci 1997 Gavidia y
Cristerna 2000 Rennie 2014) El profesorado en Biologiacutea en su proceso de formacioacuten
generalmente ha participado como novato en las salidas de campo sin tener la experiencia
necesaria para su disentildeo planeacioacuten y ejecucioacuten fuera del aula (Tal y Morag 2009
Amoacutertegui y Correa 2012)
A raiacutez de este tipo de situaciones los docentes con menor experiencia en este tipo de
estrategias didaacutectico-pedagoacutegicas llevan a cabo las actividades de forma inadecuada con un
nivel de conocimiento limitado desempentildeando roles dominantes con sus estudiantes
desperdiciando el gran potencial de las salidas de campo en la formacioacuten del profesorado y
en la ensentildeanza de la Biologiacutea Es asiacute que se evidencia la escasez de trabajos o estudios
especializados en aras de orientar a los docentes en este tipo de estrategias de ensentildeanza
(Ballantyne et al 2010) Sin embargo existe estudios relacionados sobre el conocimiento de
las Praacutecticas de Campo en la formacioacuten docente de Biologiacutea que demuestran hallazgos
relacionados con reflexiones experiencias investigaciones sobre de E-A concepciones
sobre Salidas de Campo entre otros (Amoacutertegui et al 2017) No obstante demuestran que
es importante que se reconozca la diferencia de esta estrategia didaacutectica con otras referente
a su relacioacuten con la epistemologiacutea de la Biologiacutea como disciplina cientiacutefica su disentildeo y
aplicacioacuten y su valor en la construccioacuten del conocimiento del profesorado de Biologiacutea
El trabajo fuera del aula en escenarios naturales promueve en el alumnado el abordaje de
problemaacuteticas ambientales como la potencial destruccioacuten de los ecosistemas la
contaminacioacuten traacutefico ilegal la disminucioacuten de los recursos naturales entre otras Ademaacutes
este tipo de mecanismos permiten acercar al alumnado a la manera en la que se construye el
conocimiento cientiacutefico originando una aproximacioacuten maacutes llamativa accesible interesante
y significativa sobre la naturaleza de la ciencia asiacute mismo se lograr viabilizar la
participacioacuten activa de manera criacutetica y reflexiva sobre las problemaacuteticas del contexto socio-
ambiental (Banet 2010)
Diferentes estudios realizados con anfibios cochinillas caracoles entre otros animales que
se denominados como impopulares han demostrado una progresiva reduccioacuten de las
aversiones ante el desconocimiento inicial sobre estos organismos o la interaccioacuten con ellos
(Prokop y Fančovičovaacute 2017 Prokop y Fančovičovaacute 2018) Esto demuestra que las salidas
de campo como recurso para incentivar actitudes pro conservacionistas hacia animales no
carismaacuteticos permiten el mejoramiento de procesos de ensentildeanza y aprendizaje
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favoreciendo la construccioacuten de un Conocimiento Bioloacutegico Escolar y la progresioacuten de
actitudes significativas en entornos naturales donde tiene mayor incidencia (Costillo et al
2014)
Desde el Semillero de Investigacioacuten Ensentildeanza de las Ciencias Naturales (ENCINA) de la
Universidad Surcolombiana ubicada en el departamento del Huila (Colombia) en los
uacuteltimos antildeos se han venido desarrollando diferentes trabajos investigativos y propuestas
didaacutecticas que han tenido una gran repercusioacuten para la conservacioacuten y la proteccioacuten de grupos
de animales que son catalogados como impopulares o poco agradables como Murcieacutelagos
(Rivera 2016) Arantildeas (Guevara et al 2018) Esquizoacutemidos (Perdomoet al 2018) Ofidios
(Goacutemez y Herrera 2019) y Artroacutepodos (Rubiano et al 2019 Berjan et al 2020) Esto
permite inferir que este tipo de propuestas se abordan en gran medida por la importancia
ecoloacutegica de estos organismos en los diferentes Ecosistemas de la regioacuten surcolombiana y la
amplia estigmatizacioacuten de la poblacioacuten acerca de este tipo de organismos que han permitido
realizar grandes avances en el campo de la Ensentildeanza de la Biologiacutea contribuyendo asiacute a la
construccioacuten del Conocimiento Cientiacutefico Escolar en diferentes instituciones educativas
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Polinomios generadores de nuacutemeros primos
Ronald Cordero Meacutendez
Universidad San Isidro Labrador Costa Rica
Ronaldcomegmailcom
Resumen Se presenta el Teorema de la Multiplicacioacuten (Factorizacioacuten) de Cordero en Z si 119899 =
(11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 con 119909 119904 119896 ∊ ℤ y 119901 isin
35111741 entonces 1198992 + 119899 + 119901 119904e puede expresar como la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros de
la forma 119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 y 119875(119904 119909 119896) = minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 +
1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901 Algunos ejemplos de aplicacioacuten del Teorema Utilidad de 119899 =
(11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 119909 119904 119896 ∊ ℤ y 119901 ∊
35111741 en la construcciograven de La Criba de los ldquo119899 Cordero Material de investigacioacuten uacutetil
en la construccioacuten de programas informaacuteticos necesarios en la criptografiacutea
Palabras clave Polinomios nuacutemeros primos criba nuacutemeros afortunados de Euler
1 Polinomios generadores de nuacutemeros primos y compuestos (Generador de nuacutemeros
primos)
Los nuacutemeros primos han sido tema de muchas investigaciones muchas repetitivas que
contribuyen poco al tema lo que verifica la frase del gran matemaacutetico Leonhard Euler que
diceldquoLos matemaacuteticos han intentado en vano hasta la actualidad descubrir alguacuten orden en
la secuencia de nuacutemeros primos y tenemos razones para creer que se trata de un misterio que
la mente humana nunca resolveraacuterdquo (Leonard Euler 1707-1783 mencionado por Camacho y
Camacho 2020 p85) Hasta el momento en el antildeo 2020 este misterio no ha sido resuelto
por lo que creo que Euler puede estar en lo cierto Leonhard Euler nacioacute el 15 de abril de
1707 en Basilea Suiza y murioacute el 18 de septiembre de 1782 en San Petersburgo Rusia
(Aznar 2007) Extraordinario matemaacutetico del siglo XVIII
Otra frase que lo afirma dice
El encanto de los nuacutemeros primos consistiacutea quizaacutes en la imposibilidad de explicar en
queacute orden aparecen Cada uno se dispersa a su antojo cumpliendo la condicioacuten de no
tener maacutes divisores que el uno y eacutel mismo Aunque no cabe duda de que cuanto maacutes
grandes son maacutes difiacutecil resulta encontrarlos y es imposible predecir su aparicioacuten
siguiendo ninguna reglahelliprdquoLa foacutermula preferida del profesor (Ogawa 2003
mencionadado por Frases y Pensamientos sf paacuterr 4)
Nuestra pregunta ahora es coacutemo encontrar nuacutemeros primos si no es posible encontrar una
foacutermula polinomial o de otro tipo que nos genere todos y cada uno de los nuacutemeros primos o
por lo menos una foacutermula que genere solamente nuacutemeros primos aunque no sean
consecutivos
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En alguacuten momento dado aparecen los nuacutemeros compuestos que se mezclan con los nuacutemeros
primos por lo que me lleva a suponer que el cribado es una buena opcioacuten para encontrar
nuacutemeros primos grandes
Con ayuda de los polinomios 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 donde 119901 = 2 3 5 1117 41 que resulta
ser polinomios que generan nuacutemeros primos cuando 119899 toma valores desde 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 119901 minus
2 y luego generan nuacutemeros compuestos y primos mezclados por lo que el problema de
encontrar una foacutermula que genere solamente nuacutemeros primos no lo resuelve este tipo de
polinomios Pero encontrar un foacutermula que genere los nuacutemeros compuestos que son
generados por estos polinomios es el tema de la investigacioacuten ademaacutes de buscar un
procedimiento que ayude a cribar los nuacutemeros primos
2 Polinomios de la forma 119927(119951) = 119951120784 + 119951 + 119953 donde 119953 = 120784 120785 120787 120783120783 120783120789 120786120783
Los polinomios 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 generan nuacutemeros primos por ejemplo se generan los
nuacutemeros primos 41 43 47 53 61 71 83 97 113 181 151 173 197 223
251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 707 853 911 971 1033
1097 1163 1231 1301 1373 1447 15231601
cuando 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 y desde 119899 = 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 41 minus 2 = 39 en total 40 nuacutemeros
primos pero a partir de 119899 = 40 se generan nuacutemeros compuestos y nuacutemeros primos A este
poliomio se le llama polinomio de Euler
Otra forma de escribir el polinomio de Euler es 119875(119899) = 1198992 minus 119899 + 41 pero eacuteste genera los
nuacutemeros primos anteriores cuando 119899 toma valores desde 1 hasta 40
Otro polinomio de esta forma que genera nuacutemeros primos es 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 17 desde 119899 =
0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 17 minus 2 = 15 119890119897 cual fue descubierto por el matemaacutetico Adrien Marie
Legendre
Legendre nacioacute en Pariacutes en el antildeo 1752 en una familia rica Recibioacute educacioacuten en el
Collage Mazarin en Pariacutes y defendioacute su tesis en fiacutesica y matemaacutetica en 1770 Murioacute
en Pariacutes en el antildeo 1833 despueacutes de una larga y penosa enfermedad Su viuda conservoacute
cuidadosamente las pertenencias del matemaacutetico para preservar su memoria El uacuteltimo
lugar donde vivioacute fue en el pueblo de Auteuil en Pariacutes Francia (Fernaacutendez y Tamaro
2004 paacuterr1)
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3 Los nuacutemeros afortunados de Euler
Primero dejemos claro que Goldbach y Legendre demostraron que no es posible encontrar
un polinomo que deacute nuacutemeros primos para todo nuacutemero natural el primero lo demoacutestro para
coeficientes enteros y el segundo para funciones algebraicas racionales
El matemaacutetico Rabinowitz demostroacute que 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 da nuacutemeros primos para 119899 =
0 hellip 119901 minus 2 si y solo si 1 minus 4119901 es el negativo de un nuacutemero de Heegner que son los uacutenicos
nuacutemeros positivos 119896 que cumplen no ser cuadrados perfectos y que en el anillo de enteros
del cuerpo ℚ(radicminus119896) es de factorizacioacuten uacutenica
Los nuacutemeros de Heegner son 1237111943 67163
Ademaacutes los nuacutemeros afortunados de Euler son los enteros positivos 119901 para los que 1 minus 4119901 =
minus119896 siendo 119896 un nuacutemero de Heegner y mediante comprobacioacuten obtenemos que los uacutenicos
posibles son 2 3 5 11 17 41 y el nuacutemero de Heegner asociado al 41 es el 163
4 Aplicaciones del teorema
41 El teorema de la multiplicacioacuten de Cordero en ℤ
Si 119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 119909 119904 119896 ∊
ℤ 119910 119901 ∊ 35111741 entonces 1198992 + 119899 + 119901 se puede expresar como la multiplicacioacuten
de dos nuacutemeros de la forma 119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + y 119875(119904 119909 119896) =
minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
Las foacutermulas anteriores nos permiten encontrar valores de ldquonrdquo que al sustituir en los
polinomios de la forma 119901(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 donde 119901 ∊ 35111741 obtenemos siempre
un nuacutemero compuesto asiacute como encontrar una factorizacioacuten en dos factores de la expresioacuten
1198992 + 119899 + 119901 ( La factorizacioacuten no necesariamente es completa)
Aplicacioacuten 1
Sea 119904 = 12 119909 = 15 119896 = 8 y 119901 = 41
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = (122(15)2 minus 12(12 + 2)(15) + 41 lowast 122 + 12 + 1)(8 minus 1) + 12(15)2 minus
(12 + 1)(15) + 41 lowast 12 = 253576
Ahora
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1215) = (122(15)2 minus 12(12 + 2)(15) + 41 lowast 122 + 12 + 1)
rArr 119875(1215) = 35797
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Por otro lado
119875(119904 119909 119896) = minus119901(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
rArr 119875(8 minus53) = minus35797 lowast 49 + (2 lowast 253576 + 1) lowast 7 + (15)2 minus 15 + 41 = 1796269
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(253531) = 2535762 + 253576 + 41 = 35797 lowast 1796269
Donde 35797 y 1796269 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 2
Sea 119904 = 1 119909 = 277232917 minus 1 119896 = 2 119910 119901 = 41 Entonces
rArr 119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = ((277232917 minus 1)2 minus (1 + 2)(277232917 minus 1) + 41 + 1 + 1)(2 minus 1) +
(277232917 minus 1)2 minus (1 + 1)(277232917 minus 1) + 41
rArr 119899 = (2154465834 minus 2 lowast 277232917 minus 3 lowast 277232917 + 47) + 2154465834 minus 2 lowast 277232917 +
1 minus 2 lowast 277232917 + 2 + 41
rArr 119899 = 2 lowast 2154465834 minus 9 lowast 277232917 + 91
Ahora
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1 277232917 minus 1) = 2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47
rArr 119875(119904 119909 119896) = minus119901(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
Por otro lado
119875(1 277232917 minus 1 2) = minus2154465834 + 5 lowast 277232917 minus 47 + 4 lowast 2154465834 minus 18 lowast
277232917 + 183 + 2154465834 minus 2 lowast 277232917 + 1 minus 277232917 + 1 + 41
rArr 119875(1 277232917 minus 1 2) = 4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) = (2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91)2 +
(2154465835 minus 9 lowast 277232917 + 91) + 41
= (2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47) lowast (4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179)
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Se necesitariacutea un ordenador para probar que
2154465834 minus 5 lowast 277232917 + 47 y 4 lowast 2154465834 minus 16 lowast 277232917 + 179 son nuacutemeros
primos o compuestos cuyos factores son nuacutemeros primos muy grandes
Aplicacioacuten 3
Sea 119904 = 1500 119909 = 800 119896 = 300 y 119901 = 5
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
rArr 119899 = ((1500)2(800)2 minus 1500(1500 + 2)(800) + 5 lowast (1500)2 + 1500 + 1)(300 minus
1) + 1500(800)2 minus (1500 + 1)(800) + 11 lowast 1500 = 430025405405499
Por otro lado
119875(119904 119909) = 11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1
rArr 119875(1500 800) = 1438208851501
Ahora
119875(119904 119909 119896) = minus119875(119904 119909)(119896 minus 1)2 + (2119899 + 1)(119896 minus 1) + 1199092 minus 119909 + 119901
119875(1500800300) = minus1438208851501 lowast 2992 + (2 lowast 430025405405499 + 1) lowast
299 + (800)2 minus 800 + 5 = 128577882900087005
Por el teorema
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 = 119875(119904 119909) lowast 119875(119904 119909 119896)
rArr 119875(430025405405499) = (430025405405499)2 + 430025405405499 + 5 =
1438208851501 lowast 128577882900087005
Donde 1438208851501 es primo y 128577882900087005 es compuesto
Aplicacioacuten 4
119904 = minus453877 119909 = minus8491 119910 119901 = 11 tenemos que
119875(minus453877 minus8491) = (minus453877)^2 lowast (minus8491)^2 minus 453877 lowast 453875 lowast 8491 +
11 lowast (minus453877)^2 minus 453877 + 1 = 14850564038738095205 = 5 lowast 89 lowast
33372054019636169 de donde 5 89 y 33372054019636169 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 5
119904 = 34567893426789 119909 = 0 y 119901 = 41 tenemos que
119875(345678934267890) = (34567893426789)^2 lowast (0)^2 minus 34567893426789 lowast
34567893426791 lowast 0 + 41 lowast (34567893426789)^2 + 34567893426789 + 1
= 48992509494599562853310298151
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= 44059 lowast 104486463803 lowast 10642288263263 donde 44059104486463803 y
10642288263263 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 6
119904 = 2349 119909 = minus345 119910 119901 = 41 tenemos que
119875(2349 minus345) = 23492 lowast (minus345)2 minus 2349 lowast 2351 lowast (minus345) + 41 lowast 23492 + 2349 + 1
= 658887758371 = 41 lowast 16070433131 donde 41 y 16070433131 son nuacutemeros
primos
Aplicacioacuten 7
119904 = 453891 119909 = 849 119910 119901 = 41 tenemos que
119875(453891 849) = 4538912 ∙ (849)2 minus 453891 ∙ 453893 ∙ 849 + 41 ∙ 4538912 +
453891 + 1 = 148330825824787807 = 1699 lowast 8730478271029 donde
1699 y 8730478271029 son nuacutemeros primos
Aplicacioacuten 8
Sea 119904 = 2349 119909 = minus345 y 119901 = 41 tenemos que
119875(2349 minus345) = 41 lowast 16070433131
Sea 119896 = 8 entonces
119899 = (41 lowast 16070433131)(8 minus 1) + 2349(minus345)2 minus (2350) lowast (minus345) + 41 lowast 2349
rArr 119899 = 4612494805381
Luego
119875(119904 119909 119896) = minus41 lowast 16070433131 lowast (8 minus 1)2 + (2 lowast 4612494805381 + 1)(8 minus 1) +
(minus345)2 minus (minus345) + 41 = 32289427234573 = 15901 lowast 2030653873 donde 15901 y
2030653873 son primos
Observemos que
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 41 lowast 16070433131 lowast 15901 lowast 2030653873
con 119899 = 4612494805381
Aplicacioacuten 9
Sea 119904 = 10 119896 = 4 y 119909 = minus5 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11) lowast 3 + 10 lowast 25 + 11 lowast 5 + 410 = 22348
119875(119899) = 223482 + 22348 + 41 = 499455493
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110
119875(119904 119909) = 100 lowast 25 + 120 lowast 5 + 4100 + 11 = 7211
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119901(119899)
119901(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904119909)=
499455493
7211= 69263 o 119875(119904 119909 119896) = minus7211 lowast 9 + (2 lowast 22348 + 1) lowast 3 + 25 + 5 +
41 = 69263
Ademaacutes
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 = 223482 + 22348 + 41 = 499455493 = 7211 bull 69263
Aplicacioacuten 10
Sea 119904 = 30 119896 = 7 119910 119909 = 8 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 11 119875(119904 119909) y 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (900 lowast 64 minus 960 lowast 8 + 11 lowast 900 + 31) lowast 6 + 30 lowast 64 minus 31 lowast 8 + 11 lowast 30 = 361108
119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783
119875(119904 119909) = 900 lowast 64 minus 960 lowast 8 + 11 lowast 900 + 31 = 59851
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119901(119899)
119901(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904 119909)=
130399348783
59851= 2178733
119875(119904 119909 119896) = minus59851 lowast 36 + (2 lowast 361108 + 1) lowast 6 + 64 minus 8 + 11 = 2178733
Asiacute
119875(119899) = 3611082 + 361108 + 11 = 130399348783 = 59851 bull 2178733
Aplicacioacuten 11
Sea 119904 = 15 119896 = 100 119910 119909 = minus2 encontrar 119899 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41
119875(119904 119909) 119910 119875(119904 119909 119896)
Solucioacuten
119899 = (225 lowast 4 + 255 lowast 2 + 41 lowast 225 + 16) lowast 99 + 15 lowast 4 + 16 lowast 2 + 615 = 1055156
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111
119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533
Entonces
119875(119904 119909) = 225 lowast 4 + 255 lowast 2 + 41 lowast 225 + 16 = 10651
El otro factor se puede encontrar haciendo la divisioacuten 119875(119899)
119875(119904119909) o utilizando la foacutermula
119875(119899)
119875(119904 119909)=
1113355239533
10651= 104530583
O tambieacuten
119875(119904 119909 119896) = 4 + 2 + 41 minus 10651 lowast 992 + (2 lowast 1055156 + 1) lowast 99 = 104530583
Luego
119875(119899) = 10551562 + 1055156 + 41 = 1113355239533 = 10651 bull 104530583
5 La Criba de los 119951 Cordero
Tenemos que
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1)(119896 minus 1) + 1199041199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
donde 119909 119904 119896 ∊ 120551 con 119901 ∊ 35111741 minus119886 le 119909 le 119886 + 2 119886 ∊ ℕlowast 119909 ∊ ℤ
Si 119904 = 1 119910 119896 = 1 obtenemos 119899 = 1199092 minus 2119909 + 119901 donde 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 es la
paraacutebola que estaacute por ldquofuerardquo de las demaacutes paraacutebolas (Figura 1)
Figura 1
Paraacutebola
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112
Si evaluamos 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 en los extremos del intervalo obtenemos
119891(minus119886) = (minus119886)2 minus 2 bull (minus119886) + 119901 = 1198862 + 2119886 + 119901
119891(119886 + 2) = (119886 + 2)2 minus 2(119886 + 2) + 119901 = 1198862 + 4119886 + 4 minus 2119886 minus 4 + 119901 = 1198862 + 2119886 + 119901
O sea da el mismo valor
El veacutertice de la paraacutebola que estaacute ldquopor fuerardquo 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 + 119901 es (1 119901 minus 1)
Si estudiamos el codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [ para la funcioacuten paraboacutelica 119891(119909) = 1199092 minus
2119909 + 119901
Definimos el conjunto de funciones
119891(119909) = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 ) lowast (119896 minus 1) + 119904 lowast 1199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904
Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901
119901 119904 119896 ∊ ℕ
119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1
y codomino 0 le 119899 lt 1198862 + 2119886 + 119901
Resolver la inecuacioacuten
119899 = (11990421199092 minus 119904(119904 + 2)119909 + 119901 lowast 1199042 + 119904 + 1 ) lowast (119896 minus 1) + 119904 lowast 1199092 minus (119904 + 1)119909 + 119901 lowast 119904 le 1198862 +
2119886 + 119901
Con 1 le 119904 le1198862+2119886+119901
119901 119904 119896 ∊ ℕ
119904 ge 1 119904119894 119896 = 1119904 ge 2 119904119894 119896 ne 1
y codomino [0 1198862 + 2119886 + 119901 [
O tambieacuten
[21199051198862+(4119905minus2)119886+2119905119901minus1
2119905 1198862 + 2119886 + 119901 [ 119905 ∊ ℕ
Luego se eliminan todos los valores de 119899 obtenidos en las inecuaciones y que estaacuten en el
intervalo [0 1198862 + 2119886 + 119901 [ Los valores de 119899 que quedan en el intervalo se evaluacutean en
119875(119899) = 1198992 + 119899 + 119901 obtenieacutendose solamente nuacutemeros primos
51 Aplicaciones
Utilicemos la Criba para un 119886 = 20 119901 = 41 119905119890119899119890119898119900119904 119902119906119890 1198862 + 2119886 + 41 = 481 con 119904 =
1 119896 = 1 119910 119901 = 41
119899 = 1199092 minus 2119909 + 41 le 481
minus20 le 119909 le 22
Obtenemos
119899
= 4041444956657689104121140161184209236265296329364401440 481
Nota Se toma solo una vez los valores de 119899 que se repiten
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Ahora damos valores a 119904 = 2 119896 = 1 119899 = 21199092 minus 3119909 + 82 lt 481
minus13 le 119909 le 14
Obtenemos
119899
= 81 82 84 87 9196 102 109 117 126 136 147159 172 186201 217 234 252 271
291312 334357 381 406 432 459
Continuamos con 119904 = 3 119896 = 1 119899 = 31199092 minus 4119909 + 123 lt 481
minus10 le 119909 le 11
Obtenemos 119899 = 122123127130 138143155162178187 207218 242
255 283 298 330 347 383 402 442 463
Continuamos con 119904 = 4 119896 = 1 119899 = 41199092 minus 5119909 + 164 lt 481
minus8 le 119909 le 9
119899
= 163164 170173 185 190 208 215 239 248 278 289 325 338 380 395 443 460
Continuamos con 119904 = 5 119896 = 1 119899 = 51199092 minus 6119909 + 205 lt 481
minus6 le 119909 le 8
119899 = 204 205 213 216 232 237 261 268 300 309 349 360 408 421 477
Continuamos con 119904 = 6 119896 = 1 119899 = 61199092 minus 7119909 + 246 lt 481
minus5 le 119909 le 6
119899 = 245 246256259 279284314 321 361370 420 431
Continuamos con 119904 = 7 119896 = 1 119899 = 71199092 minus 8119909 + 287 lt 481
119899 = 286 287 299 302 326 331 367 374 422 431
minus4 le 119909 le 5
Continuamos con 119904 = 8 119896 = 1 119899 = 81199092 minus 9119909 + 328 lt 481
minus3 le 119909 le 4
119899 = 327 328 342 345 373 378 420 427
Continuamos con 119904 = 9 119896 = 1 119899 = 91199092 minus 10119909 + 369 lt 481
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minus3 le 119909 le 4
119899 = 368 369 385 388 420 425 473 480
Continuamos con 119904 = 10 119896 = 1 119899 = 101199092 minus 11119909 + 410 lt 481
minus2 le 119909 le 3
119899 = 409410 428 431 467 472
Continuamos con 119904 = 11 119896 = 1 119899 = 111199092 minus 12119909 + 451 lt 481
minus1 le 119909 le 2
119899 = 450 451 471474
Continuamos con 119904 = 2 119896 = 2 119899 = 61199092 minus 11119909 + 249 lt 481
minus5 le 119909 le 7
119899 = 244 249 251266270295 301336 344389399454 466
Continuamos con 119904 = 2 119896 = 3 119899 = 101199092 minus 19119909 + 416 lt 481
minus1 le 119909 le 3
119899 = 407 416418 445 449
Para otros casos se obtiene nuacutemeros repetidos y para valores maacutes grandes se pasa de 481
La graacutefica de los 119899 que generan nuacutemeros primos compuestos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 se
puede observar en la Figura 2
Figura 2
Graacutefica de los 119899 que generan nuacutemeros primos compuestos
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En total obtenemos los valores para 119899
4041444956657681828487899196102104109117121122123126127130136
138140143147155159161162163164170172173178184185186187190201204
205207208209 213215216 217 218232 234 236 237 239 242244245246248249
251 252 255 256 259 261 265 266 268 270 271 278 279 283 284 286 287 289
291 295 296 298 299 300 301 302 309 312 314321325326327 328
329330331334336 338342344345 347349357 360 361364 367368 369370 373
374378380381383385388389 395399401402 406407 408 409 410 416 418 420
421 422 425 427428 431 432 440 442 443445 449 450 451454 459 460 463 466
467471 472 473474 477 480 481
En total 167 valores de 119899 que al evaluarlos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 obtenemos nuacutemeros
compuestos
Cribando estos nuacutemeros obtenemos
01234567891011121314151617181920212223242526272829 30 31 32
33 34 35 36 37383942434546474850515253545557585960 61 62 63 64
66 67 68 69 70 71 72737475777879 80 83 85 86 8890 929394 95 97 98 99
100101103105106107108110111112113114115116118119120124125128129
131132133134135137139141142144145146148149150151152153154156157
158160165166167168169171174175176177179180181182183188189191192
193194195196197198199200202203206210211212214219220221222223224
225226227228229230231233235238240241243247250253254257258260262
263264 267 269 272 273 274275276277280281282 285 288 290292293294 297
303 304 305306 307308310311 313 315316317318319320 322323 324332 333
335337 339340 341 343346 348 350351 352 353 354 355 356 358 359 362
363365366371 372375376377379 382384386387390 391392 393 394 396 397
398 400 403 404 405 411 412 413 414415 417 419 423 424 426 429430433 434
435 436 437 438 439 441 444 446 447 448 452 453 455 456 457 458 461 462
464 465 468 469 470 475 476 478 479
En total 315 valores de 119899 que al evaluarlos en 119875(119899) = 1198992 + 119899 + 41 siempre se obtiene un
nuacutemero primo Estos nuacutemeros primos son
4143475361718397113131151173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503
547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447
15231601 1847 1933 2111 2203 2297 2393 2591 2693 2797 2903 3011 3121 3347
3463 3581 3701 3823 3947 4073 4201 4463 4597 4733 4871 5011 5153 5297 5443
5591 5741 6047 6203 6361 6521 7013 7351 7523 7873 8231 8597 8783 8971 9161
9547 9743 9941 10141 10343 10753 11171 11383 11597 11813 12251 12473 12697
12923 13151 13381 13613 14083 14321 14561 15541 15791 16553 16811 17333
17597 17863 18131 18401 18947 19501 20063 20347 20921 21211 21503 22093
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22391 22691 22993 23297 23603 23911 24533 24847 25163 25801 27431 27763
28097 28433 28771 29453 30491 30841 31193 31547 32261 32621 32983 33347
33713 35573 35951 36713 37097 37483 37871 38261 38653 39047 39443 39841
40241 41047 41453 42683 44351 44773 45197 46051 4822148661 49103 49547
49993 50441 50891 51343 51797 52253 52711 53171 53633 54563 55501 56923
57881 58363 59333 61297 6279164303 64811 66347 66863 67901 68947 69473
70001 71597 72671 74297 74843 75391 75941 76493 77047 78721 79283 79847
81551 83273 84431 85597 86183 86771 88547 92153 92761 93371 93983 94597
95213 96451 97073 98323 99581 100213 100847 101483 102121 102761 104047
104693 105341 110597 111263 112601 113947 115301 115981 116663 118033
120103 121493 122891 123593 124297 125003 125711 126421 127133 127847
128563 129281 131447 132173 133631 134363 138053 138797 141041 141793
142547 144061 146347 147881 149423 150197 152531 153313 154097 154883
155671 157253 158047 158843 160441 162853 163661 164471 169373 170197
171023 171851 172681 174347 176021 179393 180241 181943 184511 185371
187963 188831 189701 190573 191447 192323 193201 194963 197621 199403
200297 201193 204797 205703 207521 208433 209347 210263 213023 213947
215801 216731 219533 220471 221411 226141 227093 229003 229961
O sea desde 119899 = 0 ℎ119886119904119905119886 119899 = 481 el 3465 de los valores de 119899 generan nuacutemeros
compuestos al evaluarlos en el polinomio de Euler y el 6535 son nuacutemero primos
En esta criba el nuacutemero primo maacutes pequentildeo es 119901(0) = 02 + 0 + 41 = 41 y el maacutes grande
es 119875(479) = 4792 + 479 + 41 = 229961
Nota Las foacutermulas aquiacute publicadas nos permite encontrar nuacutemeros primos muy grandes o
nuacutemeros compuestos que son el producto de nuacutemeros primos grandes uacutetiles en la
criptografiacutea Las foacutermulas pueden ser la fundamentacioacuten matemaacutetica para desarrollar
programas informaacuteticos o Software que sean utilizados en la proteccioacuten de informacioacuten
necesaria a nivel personal como a nivel mundial
Referencias bibliograacuteficas
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Rusia) httpswwwugres~eaznareulerhtm
Camacho J y Camacho O (2020) Dos Cientiacuteficos Bajo Un Fresno Un Viaje A La Ciencia
En Doce Escritos Google Books
Fernaacutendez T y Tamaro E (2004) Adrien-Marie Legendre
httpswwwbiografiasyvidascombiografiallegendrehtm
Frases y Pensamientos (sf) Frases de nuacutemeros primos
httpswwwfrasesypensamientoscomarfrases-de-numeros-primoshtml
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Propuesta metodoloacutegica para el aprendizaje de
Sucesiones en la modalidad de Educacioacuten Abierta
Licda Charlene Loacutepez Quesada
Universidad de Costa Rica
charlenelopezucraccr
Lic Luis Fernando Mejiacuteas Molina
Universidad de Costa Rica
luismejiasmolinaucraccr
Licda Jennifer Tatiana Quesada
Canales
Universidad de Costa Rica
jenniferquesadacanalesucraccr
Resumen Estaacute investigacioacuten establece una propuesta metodoloacutegica que aborda el tema de
sucesiones en seacutetimo nivel (Teacuterraba) en la modalidad de educacioacuten abierta a la luz de la teoriacutea
de situaciones didaacutecticas La propuesta metodoloacutegica contiene tres moacutedulos dos de ellos dirigidos
al proceso de aprendizaje por parte del estudiante y un moacutedulo creado como apoyo a la labor
docente considerando el juego como herramienta facilitadora de los contenidos y habilidades
presentes en el programa de estudios de matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
Palabras clave Aprendizaje de sucesiones educacioacuten abierta teoriacutea de situaciones didaacutecticas
juegos programa de estudios matemaacutetica
1 Introduccioacuten
El derecho a la educacioacuten comienza con el nacimiento y continuacutea a lo largo de la vida Por
esta razoacuten como complemento de la ensentildeanza formal deberaacuten ofrecerse oportunidades
amplias y flexibles de aprendizaje por medios no formales con recursos y mecanismos
adecuados mediante un aprendizaje informal estimulante aprovechando entre otras las
Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten (UNESCO 2016)
Dentro de los desafiacuteos del sistema educativo costarricense se tiene pendiente la buacutesqueda de
sistemas educativos flexibles con diversas opciones de continuidad en la trayectoria
educativa con ofertas pertinentes y suficientes para atender las necesidades educativas de
quienes habiendo interrumpido el proceso de educacioacuten desean y requieren retomarlo
(Blanco 2009)
Para el antildeo 2016 el Consejo Superior de Educacioacuten toma el acuerdo nuacutemero
03-65-2016 que orienta la confeccioacuten de una nueva poliacutetica educativa con la finalidad de
alinear la educacioacuten costarricense en una novedosa etapa de su desarrollo Dicha poliacutetica
educativa dictada en 2017 se denomina La persona centro del proceso educativo y sujeto
transformador de la sociedad es heredera de los importantes avances mencionados (Consejo
Superior de Educacioacuten 2017)
Estas poliacuteticas educativas pretenden asegurar el acceso de las poblaciones en desventaja
social y en condicioacuten de vulnerabilidad a los servicios sociales baacutesicos por lo que se
evidencia la buacutesqueda de una mayor responsabilidad en instituciones tanto puacuteblicas como
privadas en procura del beneficio de este tipo de poblacioacuten (Cheacutevez 2015)
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118
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP) aspira a ofrecer y reforzar la
educacioacuten para joacutevenes y adultos que por diversas situaciones dejan el sistema formal de
educacioacuten secundaria por tanto es notorio que las acciones poliacuteticas educativas estaacuten
dirigidas al objetivo de superar el desafiacuteo descrito
Una de estas ofertas educativas establecida es el proyecto de Educacioacuten Abierta que permite
a la poblacioacuten mayor de 12 antildeos incorporarse a completar algunos de los ciclos de la
educacioacuten formal tal es el caso del Tercer Ciclo de la Educacioacuten General Baacutesica
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (2012) indica que ldquoEl dominio de las
habilidades y el desarrollo de la competencia matemaacutetica se propone realizar a partir de la
mediacioacuten pedagoacutegica la organizacioacuten de las lecciones de las tareas matemaacuteticas y la accioacuten
directa docente en el aulardquo (p 14)
Ahora bien el Programa de Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de
Costa Rica (2012) dentro del aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra describe que las funciones se
colocan en otra perspectiva maacutes concreta relaciones de cambio entre dos variables que
dependen entre siacute Las funciones vistas asiacute estaacuten asociadas a relaciones maacutes generales como
pueden ser las relaciones de orden las relaciones de divisibilidad las sucesiones la
proporcionalidad los porcentajes las velocidades o razones de cambio
El proceso evolutivo de ensentildeanza y aprendizaje del proyecto de Educacioacuten Abierta consiste
en la asistencia presencial a tutoriacuteas o bien que cada estudiante se prepare de manera
independiente en la casa por medio de los recursos que brinda el proyecto por esta razoacuten se
decide incursionar en la modalidad de Educacioacuten Abierta debido a su gran importancia para
cumplir con las expectativas que se mencionan anteriormente tanto para el beneficio de los
estudiantes como para el apoyo del docente ya que al tener material de apoyo limitado en
esta liacutenea educativa se comete el error de la mediacioacuten didaacutectica como clases magistrales
Ademaacutes de centrar la atencioacuten en el estudiante la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas (TSD)
propone que el estudiante pueda construir sus conocimientos a traveacutes de una serie de
interacciones con su contexto (situaciones) tal como tambieacuten lo propone el Programa de
Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica de Costa Rica (MEP 2012)
mediante la forma de organizacioacuten de las lecciones planteada en dicho documento
Por lo tanto se decide trabajar en esta investigacioacuten con la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas
al ser una teoriacutea centrada en el estudiante que se adapta a la modalidad de Educacioacuten Abierta
a las metodologiacuteas que se proponen en los programas del MEP a tener el estudiante la mayor
parte de la responsabilidad por su aprendizaje y a los objetivos de la educacioacuten costarricense
Por otra parte el Programa de Estudio de Matemaacutetica del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
de Costa Rica (MEP 2012) pretende desarrollar en los estudiantes una competencia
matemaacutetica definida como ldquohellip una capacidad de usar las matemaacuteticas para entender y actuar
sobre diversos contextos realeshelliprdquo (p 14) Asimismo se destaca la importancia de potenciar
habilidades asociadas a los niveles de abstraccioacuten que alcanzan los estudiantes de manera
que se procuren tareas de razonamiento y argumentacioacuten
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
119
Este tipo de habilidades se le atribuye al aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra del programa de
estudios al ser esta la rama de la matemaacutetica que fortalece el razonamiento loacutegico de los
estudiantes al enfrentarlos a conceptos complicados y cambiantes y de esta manera promover
formas diferentes de pensamiento
Ademaacutes estas destrezas para resolver problemas y pensar de forma criacutetica pueden ayudar a
los estudiantes a tener eacutexito en el trabajo y en la vida auacuten si no continuacutean sus estudios lo
cual es una caracteriacutestica comuacuten en la poblacioacuten meta de estos proyectos educativos sin
importar que continuacuteen con estudios superiores o no se les debe dar las herramientas
necesarias para tener una mejor calidad de vida promoviendo la oportunidad de optar por un
mejor trabajo y asiacute enfrentarse a la realidad social
Por lo anterior y por las dificultades que presentan los estudiantes alrededor del aacutelgebra
evidenciadas en el trabajo de Garrote et al (2004) se inspira esta investigacioacuten a enfocarse
en la rama del aacutelgebra con el fin de fortalecer y ayudar a los estudiantes a la hora de
enfrentarse a la transicioacuten de la aritmeacutetica al aacutelgebra siendo esta un aacuterea de mucha
importancia para la formacioacuten de ciudadanos capaces de enfrentarse y resolver situaciones
complejas de la vida cotidiana
De esta manera se presentaraacute una guiacutea docente que contiene tres moacutedulos el primero
dirigido al autoaprendizaje de los estudiantes el segundo una propuesta metodoloacutegica para
realizar en el aula y el tercero tambieacuten dirigido al autoaprendizaje de los estudiantes como
ejercicios de reforzamiento de los conocimientos
2 Propuesta metodoloacutegica
La presente secuencia constituye una propuesta metodoloacutegica para el docente de Educacioacuten
Abierta que le permita mediar el proceso de ensentildeanza del tema de sucesiones el cual se
ubica en el nivel de seacutetimo antildeo seguacuten los programas del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
La secuencia didaacutectica utilizada estaacute basada en la Teoriacutea de Situaciones Didaacutecticas de
Brousseau Es importante aclarar que en esta propuesta se plantean algunas de las situaciones
presentes en la teoriacutea en los moacutedulos de autoaprendizaje para el estudiante y otras en el
moacutedulo de trabajo en clase
La propuesta didaacutectica consta de tres moacutedulos de los cuales dos van dirigidos al estudiante
donde se impulsa y orienta su autoaprendizaje y uno es dirigido al docente para guiarlo
durante la clase presencial del proyecto Dichos moacutedulos se desarrollan en torno a dos videos
de elaboracioacuten propia disentildeados para que el estudiante participe durante la visualizacioacuten de
los mismos y un juego de cartas llamado Eslabones y Cadenas de elaboracioacuten propia
tambieacuten que es una adaptacioacuten del juego Phase 10 y Ron (Naipe)
La idea de secuencia de la aplicacioacuten de los moacutedulos es que el docente en la leccioacuten antes
de abarcar el tema de sucesiones deje como tarea el moacutedulo 1 de autoaprendizaje Luego de
esto que durante la clase presencial el docente desarrolle el moacutedulo 2 y por uacuteltimo el
moacutedulo 3 tambieacuten dirigido al autoaprendizaje del estudiante se deja como tarea al final de
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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la leccioacuten presencial a modo de refuerzo A continuacioacuten se explica en queacute consiste cada
moacutedulo mencionado
Caracteriacutesticas Generales de la Propuesta
Modalidad de la propuesta
- Proyectos de Educacioacuten Abierta propuestos por el MEP
Conocimientos por desarrollar
- Sucesiones y sus representaciones Ley de formacioacuten y patrones
Habilidades por desarrollar con la propuesta
- Identificar la ley de formacioacuten de una sucesioacuten utilizando lenguaje natural tabular y
algebraico
- Plantear y resolver problemas relacionados con sucesiones y patrones
Materiales por utilizar
- Paacuteginas interactivas
- Juego Eslabones y Cadenas
Moacutedulo 1
Consiste en un poacutester digital interactivo que se encuentra en el siguiente enlace
httpseduglogstercomglogsucesiones38t6f0c5wko La idea es que los estudiantes
ingresen con ayuda de sus teleacutefonos inteligentes o computadora desde sus casas y realicen
las actividades que ahiacute aparecen El acceso a dicho enlace se lo debe proporcionar el docente
ya sea llevando el poacutester impreso a la clase y que cada estudiante escanee el coacutedigo QR que
trae al final para acceder a la paacutegina o entregando en fiacutesico una copia del poacutester para que
tengan la opcioacuten de escanear el coacutedigo en casa o ingresar el enlace en la computadora Otra
opcioacuten es que el docente tenga el video en su celular y lo pase por medio de Bluetooth a los
estudiantes que no tienen acceso a internet
El PDF interactivo dirige al estudiante a lo largo de tres etapas al enfrentamiento a un
problema contextualizado la visualizacioacuten de un primer video sobre patrones y a la
aplicacioacuten y movilizacioacuten de los conocimientos
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten fundamental el moacutedulo inicia con esta situacioacuten en la cual se expone a los
estudiantes a un primer acercamiento al tema de sucesiones presentaacutendoles un problema
contextualizado el cual deben resolver usando uacutenicamente lo que conocen hasta el momento
Cabe recalcar que este problema puede ser modificado por el docente de acuerdo con el
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121
contexto de sus estudiantes sin embargo debe lograr representar un verdadero problema no
ejercicios
- Visualizacioacuten del video 1 en este video se activan conocimientos previos que se consideran
necesarios para avanzar con el tema de sucesiones Baacutesicamente se trabaja encontrar
teacuterminos de sucesiones sencillas tanto numeacutericas como pictograacuteficas
- Etapa de movilizacioacuten al finalizar el video se tiene una etapa de ejercicios variados en los
que el estudiante debe realizarlos a modo de ejercitar la mente para identificar el patroacuten y
encontrar teacuterminos de una sucesioacuten
Moacutedulo 2
Consiste en una clase de 2 horas aproximadamente y se basa en una guiacutea para el docente
donde se describe coacutemo a traveacutes del juego de cartas Eslabones y Cadenas se producen
situaciones didaacutecticas de accioacuten formulacioacuten y validacioacuten en las que los estudiantes pueden
interactuar unos con otros y expresar sus ideas Finalmente se pretende que el docente
institucionalice los conocimientos que se adquieren durante el moacutedulo 1 y la clase para esto
se le dan algunas recomendaciones a seguir y libertar para disentildear dicha situacioacuten
A continuacioacuten se describe el Juego Eslabones y Cadenas y coacutemo se disentildean las cartas
Tambieacuten se presentan las instrucciones de coacutemo jugar para que el docente sea capaz de
explicarlo en clase Se recomienda que el docente juegue antes de aplicar la propuesta con
el fin de que maneje lo mejor posible el juego y su objetivo
Juego Eslabones y Cadenas
Materiales por utilizar
- Disentildeo de las cartas (se adjunta al final de la propuesta)
- Disentildeo de las pizarras
- Papel cartulina tamantildeo carta
- Impresora (o acceso a una)
- Plaacutestico
- Tijeras o guillotina
- Marcadores de pizarra
Pasos por seguir
- Imprima el disentildeo de las cartas y el de las pizarras en papel cartulina
- Emplastique las hojas de cartulina por ambos lados (tambieacuten puede recurrir a un lugar donde
se hagan emplasticados para un mejor acabado)
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- Recorte con las tijeras o la guillotina cada una de las cartas y cada una de las pizarras Al
final debe tener ocho pizarras y 66 cartas 15 de cada color (celeste morado naranja verde)
numeradas del 1 al 15 2 cartas Salto y 4 cartas Comodiacuten
- Los marcadores se utilizan para que los jugadores rellenen las pizarras
Instrucciones del juego
Significado de las cartas de accioacuten
- Comodiacuten esta carta puede ser utilizada para reemplazar cualquier carta ya sea un nuacutemero
o color para completar cualquier fase El valor asignado se mantiene por toda la mano Si es
la primera carta lanzada en la pila de descarte esta puede ser tomada por el primer jugador
- Salto esta carta se utiliza para saltar a un jugador
Objetivo del juego
- El objetivo del juego es completar las tres misiones lo antes posible y se deben completar
en orden
Las tres misiones son
- Misioacuten 1 grupo de tres cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de tres
cartas con el mismo color
- Misioacuten 2 grupo de cuatro cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de cuatro
cartas con el mismo color
- Misioacuten 3 grupo de cinco cartas con nuacutemeros ordenados bajo alguna regla y grupo de cinco
cartas con el mismo color
Antes de comenzar
Escoger un jugador para que mezcle y reparta las cartas las cuales se reparten boca abajo
Para la primera misioacuten se reparten siete cartas (en la segunda misioacuten nueve y en la tercera
misioacuten 11) a cada jugador (o equipo) El mazo con el resto de las cartas se coloca boca abajo
en el centro de la mesa La primera carta se voltea y se coloca al lado pues esta seraacute la primera
carta de la pila de descarte
Luego todos los jugadores voltean sus cartas y las estudian individualmente para determinar
queacute necesitan para completar la misioacuten
Desarrollo del juego
El jugador a la izquierda del repartidor comienza el juego y asiacute se continuacutea con el orden de
los turnos de cada jugador Durante cada turno al jugador que le corresponde debe tomar una
carta ya sea del mazo de cartas o de la pila de descarte luego puede realizar alguna de las
siguientes acciones
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123
- Apearse colocar sobre la mesa las cartas boca arriba de alguno de los grupos de cartas la
misioacuten que le corresponde Por ejemplo para la misioacuten 1 apear el grupo de cartas [2 4 6]
que va de dos en dos
- Abonar antildeadir una carta de la mano a las apeadas de los demaacutes jugadores Por ejemplo
antildeadir un 8 a la secuencia [2 4 6] de otro jugador
- Completar la misioacuten colocar sobre la mesa boca arriba las cartas que completan la misioacuten
Para finalizar el turno del jugador se tira una de las cartas en la mano a la pila de descarte
Si se completa la misioacuten se toman las cartas del mazo para intentar conseguir la siguiente
misioacuten
Si las cartas del mazo se acaban se baraja la pila de descarte y se ponen estas cartas boca
abajo para poder continuar con el juego Y el juego termina cuando un jugador logra
completar las tres misiones y si esto sucede se deben transcribir los grupos de cartas a las
pizarras donde la fila de la 119899 representa la posicioacuten de la carta en el grupo ordenado y el 119886119899
representa el valor de la carta en la posicioacuten
Variantes en el juego
- Para minimizar el tiempo de juego se puede jugar solamente con dos misiones (primera y
segunda o primera y tercera) Tambieacuten para disminuir la complejidad del juego se puede
jugar omitiendo las apeadas con orden de color en las misiones
- El juego se puede jugar con un naipe comuacuten o con el popular juego ldquoUnordquo variando la
cantidad de cartas requeridas para cada grupo de cartas en las dos uacuteltimas misiones
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten accioacuten y Situacioacuten de formulacioacuten la clase se inicia explicando la mecaacutenica del
juego Eslabones y Cadenas El docente en este caso no juega solo valida las diferentes
sucesiones y realiza algunas preguntas a los estudiantes para que ellos expresen verbalmente
las sucesiones o patrones que estaacuten formando con las cartas Por ejemplo un estudiante puede
decir ldquoestoy realizando una secuencia de nuacutemeros paresrdquo o ldquomi secuencia va de dos en dosrdquo
pero lo importante es que a partir de la situacioacuten de formulacioacuten el docente pueda cerciorarse
de que los estudiantes estaacuten construyendo conscientemente los patrones
- Situacioacuten de validacioacuten en la que los estudiantes consolidan y discuten sobre lo aprendido
defienden y justifican su posicioacuten con las jugadas o secuencias realizadas mientras se
conversa sobre las diferentes representaciones Despueacutes de que el juego acaba (cuando
alguno de los equipos haya completado las fases) y sin retirar las cartas de la mesa de juego
cada equipo debe escoger alguna de las sucesiones en la mesa para que cada equipo realice
la respectiva tabulacioacuten en las pizarras El docente realiza las siguientes preguntas a cada
equipo para que vayan completando las tablas
En la primera carta de su sucesioacuten iquestcuaacutel nuacutemero hay iquestcuaacutel nuacutemero se encuentra en la
segunda carta
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124
Se pretende que mediante esta actividad se introduzca el concepto de variable y la relacioacuten
que existe entre el ldquo119899rdquo y el ldquo119886119899rdquo
Cada grupo debe analizar las diferentes relaciones de la tabla para generar e intentar plantear
una ley de formacioacuten o representacioacuten algebraica de la sucesioacuten
- Institucionalizacioacuten en esta seccioacuten de la clase el docente interviene para revisar y validar
las leyes de formacioacuten que realizaron los estudiantes Se formaliza el concepto de variable y
de sucesioacuten mediante una discusioacuten de los conocimientos adquiridos en las diferentes
situaciones didaacutecticas Se complementa la leccioacuten asignando el moacutedulo 3 como trabajo
extraclase Se presentan algunas recomendaciones y aspectos importantes por considerar para
que el docente planee su situacioacuten de institucionalizacioacuten
A la hora de introducir el concepto de variable se recomienda la utilizacioacuten de un espacio
para rellenar con un nuacutemero (⊡) en lugar de una letra ya que se pudo apreciar que facilitoacute
la comprensioacuten del significado de las mismas en este tema
Se requiere que el docente aclare la forma en que se pasa del lenguaje natural o tabular al
lenguaje algebraico ya que por ellos mismos es una labor que probablemente no logren
realizar debido a la complejidad del mismo Sin embargo la idea es que el docente los guiacutee
a llegar a completar este proceso y no que les presente por completo la forma de hacerlo
Con respecto a la simbologiacutea de la multiplicacioacuten en el lenguaje algebraico (no aparece
ninguacuten signo entre un nuacutemero y una letra) les resulta familiar si el docente lo relaciona con
las operaciones combinadas entre nuacutemeros naturales (cuando hay un pareacutentesis seguido de
un nuacutemero ahiacute existe una multiplicacioacuten que ldquono se verdquo)
Se recomienda que el docente utilice preguntas generadoras como iquestqueacute nuacutemero sigue iquestpor
queacute ese nuacutemero iquestqueacute se hace iquestestaacuten de acuerdo iquestalguien lo hizo diferente iquestqueacute se les
ocurre iquestqueacute pasa con la posicioacuten 1 iquesty si cambiamos a la posicioacuten 2 funciona iquestcoacutemo
consigo el que va en la posicioacuten 97
Moacutedulo 3
Consiste tambieacuten un poacutester interactivo que se encuentra en el siguiente enlace
httpseduglogstercomglognumber-operation2x7p7aw4hqo Fue disentildeado a modo de
reforzar la situacioacuten de institucionalizacioacuten el cual estaacute compuesto por dos etapas la
visualizacioacuten del segundo video donde se formalizan conocimientos y la aplicacioacuten y
movilizacioacuten de los nuevos saberes aprendidos Y funciona de la misma manera que el primer
poacutester interactivo
A continuacioacuten se explican las situaciones incluidas en este moacutedulo
- Situacioacuten de refuerzo para la institucionalizacioacuten en la cual los estudiantes disponen de un
video donde se refuerza lo dicho por el docente sobre sucesiones
- Etapa de aplicacioacuten y movilizacioacuten de conocimientos la cual se compone de una serie de
ejercicios divididos por secciones donde se utilizan los conceptos y elementos algebraicos
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125
para el tema de sucesiones con el fin de afianzar conocimientos adquiridos en todo el proceso
de aprendizaje de las sucesiones
3 Conclusioacuten
En relacioacuten con el contenido de Sucesiones se considera que las habilidades que plantea el
MEP para este contenido son necesarias sin embargo no se incluye la representacioacuten graacutefica
de una sucesioacuten cuando es necesaria para futuros temas como funciones y proporcionalidad
Al analizar diferentes definiciones establecidas para el concepto de sucesiones se considera
que son rigurosas yo formales que pueden llegar a ser confusas para el estudiante de
educacioacuten abierta por lo que en esta propuesta se plantea una definicioacuten con vocabulario
sencillo que contempla las habilidades y contenidos del plan de estudios de esta modalidad
ldquoUna sucesioacuten es un conjunto o grupo ordenado de nuacutemeros figuras o cosasrdquo
Entre los obstaacuteculos epistemoloacutegicos se encuentran los conflictos con el significado de las
letras conflictos con el significado de los signos y conflictos con las respuestas esperadas
los cuales a lo largo de la clase presencial se advirtieron pero se lograron abarcar
satisfactoriamente con la situacioacuten de institucionalizacioacuten de aquiacute la importancia de un
adecuado disentildeo de la misma
Los obstaacuteculos cognitivos son particulares y amplios en esta modalidad falta de haacutebitos de
estudio imposibilidad de asistir a clase constantemente falta de conocimientos previos poco
tiempo asignado a los contenidos motivacioacuten e intereacutes condiciones familiares desfavorables
entre otros Dichos obstaacuteculos se consideraron en el disentildeo de la propuesta y se trataron de
evitar en la medida de lo posible avanzando en el conocimiento de forma paulatina con un
autoaprendizaje dirigido y actividades luacutedicas en clase La propuesta va dirigida
especiacuteficamente para Educacioacuten Abierta y no a otro tipo de programa ofrecido por el MEP
sin embargo se considera que esta puede ser adaptable a las condiciones y particularidades
de cada modalidad de estudio
Los obstaacuteculos didaacutecticos son considerados los efectos propuestos en la TSD Topaze
Jourdain Desplazamiento metacognitivo Uso abusivo de la analogiacutea y el Envejecimiento
de las situaciones de ensentildeanza los cuales durante la aplicacioacuten de la propuesta se concluye
que los dos primeros efectos pueden ser evitados haciendo de juegos para abordar los temas
de estudio ya que el papel del docente queda de lado al ser los estudiantes quienes interactuacutean
entre ellos Sin embargo al usar actividades luacutedicas se debe tener cuidado de no caer en el
desplazamiento metacognitivo pues el jugo se puede convertir en el fin de la clase
Por uacuteltimo para este caso particular de las sucesiones por su naturaleza y la forma de
evaluacioacuten realizada por el MEP se dificulto evitar el abuso de la analogiacutea en los ejercicios
en la propuesta
Al consultar a docentes con experiencia en la modalidad de educacioacuten abierta se obtienen
insumos para considerar elementos que se evidencian uacutenicamente a nivel praacutectico
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126
Los docentes coinciden y mencionan los obstaacuteculos cognitivos establecidos en la teoriacutea sin
embargo recalcan la importancia de la motivacioacuten y el intereacutes ya que una de las situaciones
maacutes preocupantes en esta modalidad es la desercioacuten de los estudiantes y consideran que la
falta de este impulso es la razoacuten de dicha problemaacutetica
En relacioacuten con el contenido de sucesiones se sostiene que es un tema superficial en el
programa de estudios para el nivel de Teacuterraba y se le debe dedicar poco tiempo de clases a
pesar de que diferentes investigaciones aseguran la importancia que posee en el aacutembito del
aacutelgebra en matemaacutetica y recalcan la dificultad que presenta para los estudiantes Ademaacutes los
docentes consideran que debido a la naturaleza del tema y a los tipos de iacutetems que se
presentan en el examen del MEP es de esperarse que le proceso de Razonar yo Argumentar
sea mayoritariamente trabajado en la propuesta
Con respecto a los obstaacuteculos didaacutecticos no se mencionoacute mucho al respecto sin embargo se
destaca la repeticioacuten en las preguntas de los exaacutemenes del MEP en relacioacuten a este tema por
lo que es de esperarse que en la propuesta no se lograra evitar el efecto del abuso de la
analogiacutea de la TSD
Los procesos matemaacuteticos de Razonar yo Argumentar y de Comunicar propuestos en el
programa de estudios del MEP se alcanzaron satisfactoriamente debido al tipo de actividades
planteadas y el tema elegido El proceso de Representar no se logra de manera adecuada
debido a las instrucciones del juego las cuales fueron confusas al trabajar la representacioacuten
tabular y la complejidad del simbolismo algebraico Ademaacutes se presentaron dificultades con
el proceso de Plantear yo Resolver problemas ya que el problema de la situacioacuten
fundamental no se logroacute resolver debido a algunas particularidades mencionadas por los
estudiantes que les impidieron estudiar para la clase
Los docentes expresaron su agrado ante el disentildeo de las actividades planteadas y las
consideraron acordes con tema trabajado se brindaron recomendaciones las cuales fueron
incorporadas en la propuesta con el fin de mejorarla Tambieacuten se discutioacute la dificultad que
podiacutea representar el juego para el tipo de poblacioacuten que asiste a esta modalidad sin embargo
esto no resultoacute ser un problema en el grupo que se aplicoacute la propuesta
Finalmente en el anaacutelisis de resultados realizado se determina que la propuesta didaacutectica
planteada para el aacuterea de Relaciones y Aacutelgebra especiacuteficamente para el tema de sucesiones
en el nivel de Teacuterraba es acertada debido a que se ocupa de las habilidades planteadas por el
MEP y cumple con lo sentildealado por los docentes expertos al facilitar el proceso mediante el
cual se establece la relacioacuten entre las representaciones algebraicas y aritmeacuteticas de las
sucesiones Ademaacutes se considera la participacioacuten de los estudiantes como evidencia de la
motivacioacuten para trabajar el contenido de sucesiones
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Retos de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico y uno
privado
Jennifer Aragoacuten Monge
Universidad Estatal a Distancia Costa Rica
jaragonunedaccr
Paulina Coto Mata
Universidad Estatal a Distancia Costa Rica
pcotomunedaccr
Resumen Cuando cerraron los colegios de Costa Rica debido al COVID-19 la mayoriacutea de los
docentes empezaron a reinventar las lecciones y pasar a la virtualidad A partir de ahiacute surgieron
muchos retos que se enfrentaron como docentes de Matemaacuteticas para continuar con el proceso
educativo en este caso a nivel de ensentildeanza media La ponencia tiene como objetivo evidenciar
estos desafiacuteos desde dos escenarios diferentes en el Colegio Mariacutea Inmaculada de iacutendole privado
y la Unidad Pedagoacutegica San Diego puacuteblico Algunos de ellos fueron el uso de tecnologiacuteas de la
informacioacuten dificultades para la ensentildeanza a distancia de las Matemaacuteticas situaciones
socioeconoacutemicas compromisos de todos los actores del aacutembito educativo entre otros Se
muestran las diferencias en la praacutectica educativa desde dos realidades distintas
Palabras claves Educacioacuten Educacioacuten a distancia Educacioacuten secundaria Didaacutecticas de las
Matemaacuteticas
1 Introduccioacuten
Con la venida de la pandemia producto de la enfermedad COVID-19 se comenzaron a cerrar
centros educativos Fue cuando la educacioacuten a distancia comenzoacute a tomar auge Surgieron
las plataformas virtuales Google Classroom Microsoft Teams y otros recursos tecnoloacutegicos
como Zoom Youtube y Whastapp Los docentes comenzaron a transformar su forma de
ensentildear y tuvieron que reinventar estrategias metodoloacutegicas y materiales didaacutecticos
Mientras en el Colegio Mariacutea Inmaculada institucioacuten privada comenzaron ese cambio a
pocos diacuteas de cerrado los centros educativos en la Unidad Pedagoacutegica San Diego quedaron
a la espera de directrices por parte del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica y no fue hasta un mes
despueacutes que decidieron incursionar en la educacioacuten virtual
Al no tener una estrategia clara de coacutemo hacerlo se han venido presentando retos que los
docentes han tenido que solventar en la marcha Algunos hasta el diacutea de hoy no se han logrado
superar pese a los siete meses de haber incursionado en este escenario de la virtualidad
El trabajo tiene como objetivo evidenciar los desafiacuteos que afrontaron los docentes desde dos
aacutembitos diferentes colegio puacuteblico y privado asiacute como las soluciones que se le han dado a
algunos de estos Ademaacutes se mostraraacuten las diferencias de la ensentildeanza de las matemaacuteticas
que han recibido los estudiantes desde estos dos escenarios
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2 Colegio Mariacutea Inmaculada
21 Contexto Institucional
El Colegio Mariacutea Inmaculada estaacute ubicado en el distrito de San Vicente en el cantoacuten de
Moravia San Joseacute Es una institucioacuten privada catoacutelica que comprende todos los niveles de la
educacioacuten formal orientada por la Comunidad de Hermanas Franciscanas de Mariacutea
Inmaculada siguiendo el estilo pedagoacutegico y la espiritualidad de San Francisco de Asiacutes y de
la Beata Madre Caridad Brader (Colegio Mariacutea Inmaculada 2020)
Con respecto al estudiantado la mayoriacutea ingresan a la institucioacuten desde prekiacutender y continuacutean
ahiacute hasta llegar a undeacutecimo antildeo son generaciones muy consolidadas que se conocen bastante
bien
Otros aspectos relevantes de la institucioacuten es contar con un personal docente estable con
muchos antildeos de trabajo en equipo El colegio cuenta con un programa de estudio basado en
el del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica pero a la vez con autonomiacutea para de aumentar
cambiar y modificar contenidos a criterio del departamento de Matemaacuteticas
22 La evolucioacuten de las clases
Desde el 16 de marzo se suspendieron las clases presenciales En ese momento no se teniacutea
claro queacute procediacutea ni por cuaacutento tiempo se suspendiacutean las lecciones En cuestioacuten de dos diacuteas
el personal docente se organizoacute para comenzar la educacioacuten a distancia por medio de la
plataforma Classroom Se escogioacute esta por su facilidad para utilizarla Como menciona en la
paacutegina web El Comercio (2020)
Si bien la educacioacuten presencial supone mayores ventajas sobre todo por la posibilidad
de interactuar de forma directa en el dictado de clases el uso de herramientas digitales
como Google Classroom resulta fundamental en eacutepocas de confinamiento auacuten maacutes
cuando el volver a las aulas parece ser una opcioacuten lejana hasta que no se deacute por superada
la pandemia del coronavirus (paacuterr3)
Por medio de esta plataforma se les enviaban videos de Youtube con explicaciones realizadas
por la docente y se les asignaban trabajos sin embargo esta forma no era muy eficiente Los
estudiantes presentaban muchas dudas la mayoriacutea de los ejercicios que se les asignaban
teniacutean errores No estaban preparados para ser autodidactas Esta forma de ensentildear era
unidireccional no habiacutea interaccioacuten con los estudiantes aunque podiacutean plantear las dudas
por medio de la plataforma la comunicacioacuten seguiacutea siendo muy limitada
A partir de ahiacute se planteoacute la necesidad de usar una plataforma maacutes completa que permitiera
video llamadas pero que fuera gratis a la vez De ahiacute que se tomoacute la decisioacuten de incorporar
la aplicacioacuten Zoom como un apoyo a los videos de Youtube Se haciacutean llamadas con los
estudiantes aclarando dudas pero eran simples llamadas las cuales no lograban mejorar
grandemente el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
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130
En ese momento la institucioacuten tuvo que tomar una decisioacuten Se optoacute por clases sincroacutenicas
usando Zoom Para ello se consultoacute a los padres de familia sobre la posibilidad de equipo
tecnoloacutegico (computadora o celular) con conexioacuten a internet Al tener una respuesta positiva
se establecioacute un nuevo horario para impartir lecciones organizados por generacioacuten y no por
grupo Se establecieron lapsos maacutes cortos de clases pero con la ventaja de estar todos
conectados al mismo tiempo para explicar aclarar dudas y tratar de hacer una clase virtual
lo maacutes parecida a una presencial Se acordoacute grabar las clases para brindaacutersela a los estudiantes
que por problemas de conexioacuten no asistieron La institucioacuten proporcionoacute computadoras para
los alumnos que no disponiacutean de una se establecieron reglas para el trabajo virtual entre
ellas no se solicitaba activar la caacutemara para salva guardar la integridad del menor de edad
Desde abril y durante todo el antildeo se continuoacute con clases sincroacutenicas por medio de la
plataforma Zoom con un horario establecido Se daban 3 clases de 1 hora a la semana se
pasaba lista de los estudiantes conectados y se teniacutea que justificar las ausencias ante la
administracioacuten
Por uacuteltimo se incorporoacute la evaluacioacuten sumativa Se comenzaron a realizar pruebas parciales
en liacutenea y se realizaron trabajos extraclase La modalidad de estos se explica maacutes adelante
23 Retos de la educacioacuten virtual en el Colegio Mariacutea Inmaculada
En el contexto del aula es difiacutecil lograr que los todos los estudiantes participen activamente
en la virtualidad ha sido auacuten maacutes complicado La participacioacuten en las clases sincroacutenicas se
ha visto afectada por aspectos como la cantidad de alumnos pues son alrededor de 60 por
grupo conexiones inestables distractores propios del ambiente de casa y el miedo a
equivocarse y que su duda quede grabada en un video
Para mejorar este reto se ha procedido a trabajar el miedo al error con el departamento del
psicologiacutea y orientacioacuten asiacute como la utilizacioacuten del chat directo con el docente durante la
clase La aplicacioacuten Zoom permite escribir en forma privada al profesor daacutendole un ambiente
de confianza al estudiante En el archivo de video de la ponente Aragoacuten (2020a) se evidencia
como se ha perdido el miedo a participar y ha mejorado la interaccioacuten en las clases
Otro gran reto que se tuvo que afrontar fue el implementar estrategias de trabajo en el aula
virtual La formacioacuten docente se basa en metodologiacuteas para la ensentildeanza en forma presencial
y no se estaba preparado para este cambio de escenario La mayoriacutea de las veces se optoacute por
una metodologiacutea tradicional donde el docente habla y los estudiantes escuchan sin embargo
no era adecuado quedarse con ella se necesitaba promover la participacioacuten pues esta ldquomejora
la asimilacioacuten y relevancia de contenidosrdquo (Baena y Ruiz 2019 p276)
En el segundo video de la ponente Aragoacuten (2020a) se muestra un trabajo grupal creado por
los estudiantes para introducir el tema de cuerpos soacutelidos Consistiacutea en explicar uno de ellos
sus partes y caracteriacutesticas debiacutean construir la figura en fiacutesico o por medio del programa
Geogebra Tambieacuten teniacutean que dar ejemplos concretos donde se observara ese cuerpo soacutelido
Cabe destacar que el tema no fue explicado con anterioridad el estudiante investigaba y
recolectaba la informacioacuten que ocupaba para desarrollarlo (Aragoacuten 2020b) De esta manera
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
131
se logra una mayor participacioacuten de los estudiantes y romper con esa metodologiacutea tradicional
que se veniacutea aplicando
Otro reto de la educacioacuten virtual y tal vez el maacutes difiacutecil de solucionar fue la evaluacioacuten El
docente no estaba preparado para valorar los aprendizajes desde una computadora El Colegio
Mariacutea Inmaculada analizando que el regreso a clases presenciales se visualizaba muy lejano
tomoacute la decisioacuten de seguir evaluando sumativamente Se propuso hacer las pruebas parciales
que inicialmente se teniacutean planeadas en la modalidad presencial pero ahora de forma virtual
Estas pruebas se enviaban por medio de la plataforma Classroom en forma de un archivo de
PDF a todos los estudiantes al mismo tiempo se le proporcionaban dos horas para su
realizacioacuten El estudiante descargaba el archivo lo imprimiacutea lo resolviacutea y lo devolviacutea en otro
archivo de PDF que conteniacutea las fotografiacuteas de cada paacutegina del examen
No obstante al hacer las pruebas virtuales se pierde la confiabilidad de esta No se tienen los
medios para verificar que el estudiante realice por eacutel mismo la prueba sin recurrir a
aplicaciones o programas matemaacuteticos o terceras personas para resolverla
En este caso solo se apela a la conciencia de los estudiantes y padres de familia de realizar la
prueba de la forma honesta evaluando las habilidades vistas en clases Es importante recordar
que la evaluacioacuten ldquoes un instrumento educativo que sobre todo informa respecto al proceso
educativo haciendo siacute su valoracioacuten del aprendizaje pero con el objeto de brindar mejores
propuestas y resultadosrdquo (Monzoacuten 2015 p22)
Por uacuteltimo otro reto importante fue el crear ambientes de trabajo aptos para el aprendizaje
La dinaacutemica del hogar ha cambiado la mayoriacutea de los padres de familia estaacuten en teletrabajo
los distractores son muchos no se cuentan con tantos escritorios y sillas adecuadas para estar
de 7 am a 2 pm frente a una computadora Muchos estudiantes tuvieron que recurrir a usar
anteojos para solventar los problemas de vista que generan los dispositivos electroacutenicos
Otros expresaban los dolores de espalda y cabeza por la dinaacutemica de la educacioacuten virtual A
continuacioacuten (Figura 1) opiniones de los estudiantes que reflejan esta problemaacutetica
Figura 1
Opiniones de los estudiantes sobre la problemaacutetica
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132
Con respecto a este reto no se ha logrado grandes avances Se procedioacute a hablar con los
padres de familia y estudiantes para tratar en la medida de lo posible de crear ese ambiente
adecuado Tambieacuten se han creado espacios entre las clases virtuales para que el estudiante
descanse se levante y se despeje de estar frente a la computadora Ademaacutes desde el
Departamento de Orientacioacuten y Psicologiacutea se ha trabajado la importancia de crear horarios
de estudio y de descanso donde el estudiante pueda desconectarse de esta modalidad y evitar
lo sobrecargos de labores
3 El proceso de la educacioacuten virtual en un colegio puacuteblico en Costa Rica
31 Unidad Pedagoacutegica San Diego
Contexto Institucional
La Unidad Pedagoacutegica San Diego (UP) se ubica en el distrito de San Diego en el cantoacuten de
La Unioacuten en la provincia de Cartago la institucioacuten alberga desde preescolar primaria y
secundaria (hasta III Ciclo) esta uacuteltima cuenta con una poblacioacuten cercana a los 450
estudiantes de diferentes niveles socioeconoacutemicos
Con respecto a los encargados legales la mayoriacutea cuenta con un nivel educativo uacutenicamente
de primaria completa muy pocos han terminado la educacioacuten diversificada y el nivel
universitario es praacutecticamente nulo Sus ingresos econoacutemicos son fluctuantes las fuentes
principales de empleo son informales Los lugares donde habitan generalmente son zonas de
alto riesgo social en casas prestadas alquiladas e incluso en cuarteriacuteas Existe un alto
porcentaje de estudiante becados por diferentes instituciones gubernamentales y no
gubernamentales y tienen un acceso limitado a los servicios baacutesicos incluidos el internet
La Unidad Pedagoacutegica tiene una alta concentracioacuten de inmigrantes muchos de ellos no tienen
un ciclo lectivo continuo en la institucioacuten ya que se trasladan con sus familiares a las zonas
donde hay fuentes de empleo provocando una inestabilidad en el proceso educativo de los
joacutevenes
32 Evolucioacuten en la Educacioacuten Virtual
El Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (MEP) suspendioacute las lecciones presenciales en la UP a
partir del lunes 16 de marzo dado que el colegio se encuentra en una zona con escases de
agua ese mismo lunes se iniciaba la semana de evaluacioacuten correspondiente a las primeras
pruebas escritas del primer trimestre
Inicialmente los docentes deciden enviar material a los estudiantes por medio del Facebook
del colegio con el fin de repasar los temas y no olvidar lo aprendido hasta el momento Se
pensaba que despueacutes de Semana Santa se regresariacutea a la presencialidad y se aplicariacutean las
pruebas escritas con toda normalidad
Cuando la sentildeora Giselle Cruz Maduro Ministra de Educacioacuten anuncia que el retorno a las
aulas no seraacute antes de vacaciones de medio periacuteodo se toma la decisioacuten de realizar grupos
de WhatsApp por cada seccioacuten con los estudiantes de noveno antildeo con el fin de lograr un
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
133
acercamiento y fortalecer el viacutenculo entre docente ndash estudiante Posteriormente se realizoacute lo
mismo con la generacioacuten de seacutetimo antildeo
Luego de las capacitaciones se inicia con las sesiones sincroacutenicas y asincroacutenicas con los
estudiantes por medio de la plataforma virtual Microsoft Teams escogida por el Ministerio
de Educacioacuten Puacuteblica Esta herramienta propicia la interaccioacuten virtual entre el profesor y los
estudiantes tal y como lo menciona Martiacutenez en la Revista Digital Educativa 30 (2020)
Esta plataforma nos permite crear clases virtuales gestionadas por el docente donde
los alumnos y el profesor pueden compartir distintos tipos de materiales de clase
(documentos apuntes viacutedeos imaacutegenes documentales cuestionarioshellip) ademaacutes de
mantener conversaciones mandar tareas y actividades evaluables generar exaacutemenes
online y un sinfiacuten de actividades relacionadas con el diacutea a diacutea del aula (paacuterr3)
Ademaacutes se trabajan con las Guiacuteas de Trabajo Autoacutenomo (GTA) como lo indica su nombre
son guiacuteas elaboradas por el docente donde se explica de una forma detallada una habilidad y
ejercicios relacionados con el tema El estudiante con ayuda de esta trabaja de manera
independiente para lograr el aprendizaje Es en este momento cuando se hacen visibles las
dificultades para la apropiacioacuten del conocimiento a distancia
Retos de la educacioacuten virtual en la Unidad Pedagoacutegica San Diego
Al inicio del mes de mayo se realiza una encuesta por medio de los profesores guiacuteas para
conocer el grado de conectividad que tienen los estudiantes de la Unidad Pedagoacutegica los
resultados no fueron los esperados La mayoriacutea no tienen acceso a internet estable y
constante muchos de ellos utilizan datos limitados Ademaacutes no todos tienen computadora
o teleacutefonos inteligentes para ingresar a los acompantildeamientos virtuales
En relacioacuten con las sesiones sincroacutenicas en Microsoft Teams el Estado llega a un acuerdo
con las compantildeiacuteas telefoacutenicas para que las aplicaciones no generen gasto de datos moacuteviles
es decir sean gratuitas para las familias costarricenses pero aun asiacute no fue funcional esto
debido que existe poca cobertura en los hogares la llamadas documentos y archivos en
general no cargan
Se tiene el tiempo limitado para el acompantildeamiento virtual una de las poliacuteticas del MEP es
no trasladar el centro educativo a los hogares En el caso de matemaacuteticas estas pasan de 5
lecciones de 40 minutos por semana a un maacuteximo una hora de semanalmente Otro factor
determinante es la asistencia al no ser obligatoria muchos de los estudiantes no muestran
intereacutes en asistir a las sesiones Ademaacutes no existe un acompantildeamiento ni un compromiso
real por parte de los encargados legales en todo este proceso
Todo esto desencadena problemas para la comprensioacuten de conceptos propiamente
matemaacuteticos los estudiantes enviacutean mensajes como ldquoHola buenos diacuteas profe vieras que no
estoy recibiendo lecciones por Teams y la verdad no entiendo la guiacuteardquo ldquoHola Profe vieras
que quitaron el wifi en mi casa y no ingreso a Teams y tengo muchas dudas de los ejerciciosrdquo
este tipo de mensajes se dieron con mayor frecuencia con el avance del curso lectivo
XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Despueacutes de convivir con todas estas limitaciones el docente tiene que reinventarse y pensar
en diferentes estrategias recursos o aplicaciones que se adapten y motiven a la poblacioacuten
educativa como se menciona en los programas de estudios del Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica (2012) ldquoEn el aprendizaje son decisivas la motivacioacuten y intereacutes y en general todas
las dimensiones afectivas por lo que se adopta una visioacuten integral y humanista sobre la
ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticasrdquo (p37)
Ante las limitaciones que presentaba la poblacioacuten los docentes proceden a buscar diferentes
estrategias para continuar con el proceso educativo con todos los estudiantes de ahiacute nace la
necesidad de utilizar WhatsApp se graban videos se enviacutean fotos se aclaran dudas o se
hacen video llamadas para explicar un determinado tema
Se preguntaraacuten iquestPor queacute WhatsApp y no YouTube o Vimeo La respuesta es muy sencilla
es una aplicacioacuten que la mayoriacutea de las personas tiene en su celular la saben utilizar si la
docente enviacutea un video o un audio con la explicacioacuten de alguacuten tema solo genera un gasto a
la hora de la descarga y queda guardado en el dispositivo y puede utilizarlo cada vez que asiacute
lo requiera Era el medio maacutes factible y el que ofreciacutea mayores ventajas como se menciona
en el artiacuteculo de la revista de investigacioacuten en educacioacuten este recurso
Favorece la cooperacioacuten entre estudiantes Mejora la relacioacuten entre profesor y
alumnoSe establece una relacioacuten maacutes personalizada con el profesor por tanto
personaliza el aprendizaje Motivacioacuten del alumnado para aprender al mantener una
actitud positiva hacia el uso educativo del WA Promueve la participacioacuten incluso del
alumnado maacutes retraiacutedo o tiacutemido Ampliacutea las posibilidades creativas para los
estudiantes Promueve la lectura de textos cientiacuteficos Accesibilidad a materiales
formativos en varios formatos Posibilita dejar mini clases grabadas oralmente Abre
un canal para exponer y expresar ideas Posibilita la evaluacioacuten diagnoacutestica sobre los
conocimientos de los alumnos (Suarez 2018 p128)
A continuacioacuten (Figura 2) un extracto de la comunicacioacuten docente-estudiante utilizando
Whastapp
Figura 2
Extracto de la comunicacioacuten docente-estudiante por medio de Whatsapp
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Por otro lado los problemas de conectividad que tuvo esta poblacioacuten repercuten en la
imposibilidad de usar aplicaciones y programas propiamente matemaacuteticos Incluso algunos
no cuentan con calculadora propia pues las limitaciones econoacutemicas no les permitiacutean
adquirir una Este uacuteltimo punto rompe con uno de los cinco ejes disciplinares propuestos en
los programas de estudio como es el uso de la tecnologiacutea como un recurso para que el
estudiante construya su propio conocimiento
Las tecnologiacuteas pueden ser un poderoso aliado para potenciar el pensamiento
matemaacutetico Y es precisamente en la resolucioacuten de problemas en entornos reales donde
eacutestas pueden aportar sus beneficios de la mejor manera en contextos de aprendizaje
que fortalezcan las habilidades y capacidades matemaacuteticas (Ministerio de Educacioacuten
Puacuteblica 2012 p37)
La aplicacioacuten Mathway vino a ser un aliado para los estudiantes que no podiacutean adquirir una
calculadora y ademaacutes les ayudaba a verificar el resultado de ejercicios matemaacuteticos que se
les proponiacutean en la GTA
4 Conclusiones y recomendaciones
De la experiencia en el Colegio Mariacutea Inmaculada y en la Unidad Pedagoacutegica San Diego se
puede concluir que no se teniacutea un camino claro de coacutemo lograr una educacioacuten virtual pues
no se formaron a los docentes para trabajar en este escenario ni se teniacutea los recursos
necesarios para desarrollar a cabalidad esta modalidad De ahiacute que surgieron muchos retos
que se tuvieron que solventar en la marcha Es gracias a la labor docente y administrativa que
se logra continuar con un proceso educativo dentro de las posibilidades sin embargo Costa
Rica no estaacute preparada para este cambio Auacuten falta mucho camino por recorrer Ni siquiera
podemos asegurar una conectividad del 100 de los alumnos
Pese a las limitaciones que se dieron existieron estudiantes muy comprometidos
responsables aplicados que desde el primer momento realizaron sus trabajos como si
estuvieran en el aula Es digno de resaltar los valores mostrados por estos joacutevenes siendo
esto un aliciente para los docentes que con gran vocacioacuten realizaban su trabajo
Una de las ensentildeanzas maacutes valiosas que se pudo constatar con esta experiencia es la
importancia del profesor en algunos hasta casos desvalorizados Por maacutes tecnologiacutea de punta
y guiacuteas de trabajo autoacutenomo se necesita el calor humano del docente que en forma presencial
desarrolle la leccioacuten La interaccioacuten profesorndashestudiante frente a frente es un elemento que
no podemos dejar en el olvido La educacioacuten virtual siacute permitioacute el aprendizaje de algunas
habilidades del programa de estudios pero de forma maacutes lenta y con maacutes dificultades que si
se estuviera en forma presencial
Ya se ha dado un gran avance en la educacioacuten virtual se recomienda a un futuro pensar en
una modalidad dual que implemente tanto la virtualidad como la presencialidad Ambas
tienen ventajas que pueden enriquecer el proceso educativo
Es importante pensar a un futuro en instrumentos de evaluacioacuten sumativa metodologiacuteas de
trabajo virtual y plataformas que se adapten mejor a las condiciones de toda la poblacioacuten
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Ademaacutes se recomienda capacitar a los docentes en el uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Referencias bibliograacuteficas
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Simulacioacuten con el paquete CODAP para resolver
problemas estocaacutesticos
Greivin Ramiacuterez Arce
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica y Universidad de Costa Rica
gramirezitcraccr
Resumen Se pretende en el taller la simulacioacuten de problemas estocaacutesticos a traveacutes de la
herramienta Common Online Data Analysis Platform (CODAP) que es un paquete web
gratuito de libre acceso dinaacutemico con diversidad de elementos graacuteficas para la
representacioacuten de datos y de raacutepida curva de aprendizaje pues su nivel de programacioacuten es
baacutesico Se propone la simulacioacuten de cinco problemas de probabilidad con su respectiva
solucioacuten teoacuterica llegada de autobuses encuentro entre amigos torres de electricidad signos
del zodiaco y el banco abarcando temas como distribucioacuten binomial probabilidad
geomeacutetrica probabilidad de eventos conjuntos y complementos conteo y teoriacutea de colas
Palabras clave CODAP simulacioacuten probabilidad
1 Introduccioacuten
En el proceso repetitivo de seleccioacuten de muestras aleatorias se puede aproximar la
probabilidad de problemas basados en la frecuencia relativa del nuacutemero de eacutexitos obtenidos
en n experimentos La ley de los grandes nuacutemeros respalda estas aproximaciones y se puede
aplicar en temas como caacutelculo de probabilidad de eventos simples y compuestos ensayos
de Bernoulli distribucioacuten binomial probabilidad geomeacutetrica y probabilidad condicional
Se presenta a continuacioacuten una posible simulacioacuten a problemas probabiliacutesticos que facilitan
su comprensioacuten con respecto a la solucioacuten teoacuterica alejaacutendose inicialmente del formalismo
matemaacutetico Distintos investigadores a nivel mundial respaldan el uso de la tecnologiacutea
Fernaacutendez et al (2009) Biehler et al (2013) Tabak et al (2019) y a la vez se promueve
como una herramienta uacutetil de desarrollo de instruccioacuten en muchos curriacuteculos educativos
como el Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica (MEP) en Costa Rica la Secretariacutea de Educacioacuten
Puacuteblica (SEP) en Meacutexico el Ministerio de Educacioacuten y Formacioacuten Profesional (MEFP) en
Espantildea entre otros
La simulacioacuten en el paquete CODAP a traveacutes del proceso repetitivo de experimentos daraacute
una buena aproximacioacuten a la solucioacuten de problemas y a la vez permite la visualizacioacuten desde
el proceso constructivo de la distribucioacuten la obtencioacuten de datos la representacioacuten de ellos y
el caacutelculo final de la frecuencia relativa para la toma de decisiones
El disentildeo del paquete CODAP por el consorcio Concord fue hecho pensando en una
herramienta STEM (Science Technology Engineering and Mathematics) que permite el
acceso a datos cientiacuteficos reales a traveacutes de sus bases para explorar visualizar calcular y
entonces tomar decisiones
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Se puede acceder al paquete en la direccioacuten httpscodapconcordorg
Requerimientos del taller
Solo se requiere contar con internet pues CODAP se utiliza en liacutenea
2 Actividades
21 Simulacioacuten de autobuses
Imagine que estaacute esperando un autobuacutes en una terminal que estaacute muy saturada Uno de cada
cuatro autobuses que llegan en forma aleatoria le puede llevar a su destino iquestCuaacutel es la
posibilidad que entre los primeros cinco autobuses que arriban se encuentre al menos uno
que te lleve a tu destino
Seleccione la opcioacuten de Sampler en la barra de herramientas Plugins del software
Cree la distribucioacuten de buses seguacuten la hipoacutetesis del enunciado (uno de cada cuatro
autobuses le puede llevar a su destino Se toma 1 el bus me lleva 0 el bus no me lleva)
Asiacute
Figura 1
Creacioacuten de la distribucioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
a Por omisioacuten el programa toma como primer experimento tres muestras de tamantildeo cinco
con reemplazo Seleccione START para iniciar la animacioacuten
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Figura 2
Simulacioacuten del primer experimento
Nota Elaboracioacuten propia
En su caso iquesten los tres experimentos pudo ir a su destino
b Realice tres experimentos (equivale a 9 muestras de tamantildeo 5) iquestDe esas nueve muestras
en cuaacutentas ocasiones pudo ir a su destino
c Agregue un nuevo atributo en la tabla de muestras llamado Me lleva o no
Figura 3
Cuenta eacutexitos
Nota Elaboracioacuten propia
d Repita la cantidad de experimentos que desee y utilice la calculadora para contar el
nuacutemero de ocasiones del total de muestras en las que de cada cuatro buses que llegaron a
la estacioacuten pudo ir a su destino
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Figura 4
Probabilidad de eacutexito
Nota Elaboracioacuten propia
e Consulte la cantidad de eacutexitos que obtuvo el compantildeero (a) del lado y suacutemelo a la
cantidad de eacutexito que usted obtuvo Calcule nuevamente el nuacutemero de ocasiones del total
de muestras entre los dos en las que de cada cuatro buses que llegaron a la estacioacuten
pudieron ir a su destino
Solucioacuten teoacuterica
Sea 119883 el nuacutemero de buses que lo llevan al destino de los cinco que llegan de manera
aleatoria
119883~119861 (119899 = 5 119901 =1
4) donde su funcioacuten de probabilidad estaacute dada por
119891119883(119896) = 119862(119899 119896)119901119896119902119899minus119896 con 119896 = 012 hellip 5
119875(119883 ge 1) = sum 119862(5 119896) (1
4)
1198965
119896=1
(3
4)
5minus119896
=781
1024asymp 0762695
22 Encuentro entre amigos
Dos amigos han decidido encontrarse en un restaurante entre 8 y 9 de la noche Cada uno
de ellos entra al restaurante en forma aleatoria en cualquier minuto de ese periodo y esperan
16 minutos maacuteximo y luego se retiran iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que se encuentren
a Arrastre una tabla con las siguientes columnas
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Figura 5
Definicioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
b Asigne un tiempo aleatorio de llegada del primer amigo y del segundo amigo entre las 8
y las 9
Figura 6
Tiempo de llegada de los amigos
Nota Elaboracioacuten propia
c Obtenga la diferencia absoluta entre los tiempos de llegada de los dos amigos
d Defina si los amigos se encuentran o no seguacuten la diferencia de los tiempos de llegada
Figura 7
Diferencias en tiempos de llegada
Nota Elaboracioacuten propia
e Aumenta a 1000 el nuacutemero de llegadas de los amigos y calcula la probabilidad empiacuterica
de que los dos amigos se encuentren
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iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que no se encuentren
iquestCuaacutel seraacute la probabilidad de que se encuentren a la entrada del restaurante
Solucioacuten teoacuterica
23 Torres de Electricidad
Los pueblos A B C y D estaacuten enlazados por liacuteneas de transmisioacuten eleacutectrica entre A y B A
y C B y C y C y D La planta generadora estaacute en A (ver la Fig ) Durante una tormenta
severa la probabilidad que alguna liacutenea en particular se caiga por defecto del clima es 02 y
es independiente de cualquier liacutenea iquestCuaacutel es la probabilidad que el pueblo D tenga energiacutea
eleacutectrica despueacutes de la tormenta iquestQueacute es maacutes probable que haya energiacutea en el Pueblo D
despueacutes de una tormenta severa o que no haya
a Construya la tabla correspondiente y escribe los siguientes atributos LiacuteneaAB LiacuteneaAC
LiacuteneaBC LiacuteneaCD y PuebloD
b Asigne a cada atributo la foacutermula
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Figura 8
Definicioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
Donde 1 significa que la liacutenea funciona perfectamente mientras que 0 significa que hay un
defecto en la Liacutenea
Arrastre 1000 casos y analice algunos de los resultados
d Luego en el PuebloD tendraacute energiacutea eleacutectrica si se obtiene un 1 en caso contrario un 0 de
la siguiente forma
Figura 9
Electricidad en el pueblo D
Nota Elaboracioacuten propia
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Otras opciones
if(AB+BC+CD=31if(AC+CD=210))
if(lineaCDlineaAB=11if(lineaCDlineaABlineaBC=110))
if(LineaCD=00 if(LineaAC=1 1 if(LineaAB=1 and LineaBC=110 )))
Construya una graacutefica del nuacutemero de veces en las que hay electricidad en el pueblo D
Figura 10
Graacutefico de frecuencias del pueblo D
Nota Elaboracioacuten propia
iquestQueacute es maacutes probable que haya energiacutea en el Pueblo D despueacutes de una tormenta severa o
que no haya
Solucioacuten teoacuterica
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Por lo que despueacutes de una tormenta severa es maacutes probable que haya electricidad (p =
07424) en el pueblo D a que no haya (q = 02576)
24 Los signos del zodiaco
Problema 1
Estimar la probabilidad de que en un grupo de 5 personas al menos dos de ellas tengan el
mismo signo del Zodiaco (Hay 12 signos zodiacales y asumieacuteramos que cada signo es
igualmente probable para cualquier persona) iquestQueacute tan alta crees que es la probabilidad
a Seleccione la opcioacuten de Sampler en la barra de herramientas Plugins del software
b Cree la distribucioacuten de signos zodiacales Asiacute
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Figura 10
Creacioacuten de la distribucioacuten
Nota Elaboracioacuten propia
c Por omisioacuten el programa toma como primer experimento tres muestras de tamantildeo cinco
con reemplazo Varieacute los paraacutemetros para que tome 100 muestras de tamantildeo 5 Seleccione
START para iniciar la animacioacuten
En su caso en la primera muestra iquestal menos dos de ellos tienen el mismo signo del
zodiaco
d Defina en cada una de las 100 muestras en cuaacuteles de ellas resulto al menos dos personas
con el mismo signo del zodiaco Asiacute
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Figura 11
Tienen mismo signo
Nota Elaboracioacuten propia
Se define la foacutermula en MismoSigno
if(count(value = Caacutencer) gt 1 1 0) + if(count(value = Capricorneo) gt 1 1 0) +
if(count(value = Aries) gt 1 1 0)+if(count(value = Tauro) gt 1 1 0) + if(count(value =
Geacutemenis) gt 1 1 0) + if(count(value = Acuario) gt 1 1 0)+if(count(value = Leo) gt 1
1 0) + if(count(value = Piscis) gt 1 1 0) + if(count(value = Virgo) gt 1 1
0)+if(count(value = Sagitario) gt 1 1 0) + if(count(value = Libra) gt 1 1 0) +
if(count(value = Escorpioacuten) gt 1 1 0)
e Determine la probabilidad de que en cada grupo de 5 personas al menos dos de ellas
tengan el mismo signo del Zodiaco
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Figura 12
Probabilidad de cada grupo tenga al menos dos personas con el mismo signo zodiacal
Nota Elaboracioacuten propia
Solucioacuten teoacuterica
Sean
X el evento de que al menos dos personas tienen el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
el evento de que ninguna persona tiene el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
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Problema 2
Ahora estamos interesados en estimar la probabilidad de que al menos una persona de un
grupo de cinco personas tenga el mismo signo zodiacal que tuacute
El proceso va a cambiar a partir del cuarto paso
a Defina en cada una de las 100 muestras en cuaacuteles de ellas resulto al menos una persona
que tiene el mismo signo zodiacal que tuacute (supongamos que eres Caacutencer) Asiacute
Figura 13
Tienen signo Caacutencer
Nota Elaboracioacuten propia
b Determine la probabilidad de que en cada grupo de 5 personas al menos una de ella
tenga signo Caacutencer
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Figura 12
Probabilidad de cada grupo tenga al menos una persona Caacutencer
Nota Elaboracioacuten propia
Solucioacuten teoacuterica
Sean
X el evento de que al menos dos personas tienen el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
el evento de que ninguna persona tiene el mismo signo zodiacal de las cinco
seleccionadas
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25 El banco
Un banco de la ciudad soacutelo abre dos ventanillas para atender a sus clientes El nuacutemero de
clientes que llega al banco variacutea en forma entre 0 y 5 por minuto Los clientes forman una
liacutenea y la persona de adelante pasa a la primera ventanilla disponible En las ventanillas se
atiende una persona por minuto Disentildea una simulacioacuten y registra el nuacutemero de personas en
la liacutenea de espera al final de cada minuto Usa una tabla como la siguiente
Minuto Nuacutemero de clientes
que llegan
Nuacutemero de clientes
esperando en liacutenea
Tiempo de espera
para la uacuteltima
persona (minutos)
1 3 1 1
2 4 3 2
1 iquestCuaacutel es la longitud de la fila despueacutes de cinco minutos
2 iquestCuaacutel es el tiempo que una persona tiene que esperar si llegoacute en el minuto 10
3 iquestCuaacutentas veces el tiempo de espera se redujo a cero
4 iquestCuaacutel es el promedio de personas esperando sobre el periacuteodo de 20 minutos
5 Si tuacute fueras gerente de un banco iquestincrementariacuteas o disminuiriacuteas el nuacutemero de
ventanillas
a Construya en CODAP una tabla que contenga las siguientes columnas
Figura 13
Creacioacuten de variables
Nota Elaboracioacuten propia
En el minuto cero auacuten no han llegado clientes al banco
b Asignar la foacutermula caseindex a la columna Minuto
c Asignar un nuacutemero aleatorio entre cero y cinco a la columna NumClientesArriban en
cada minuto que transcurre Este nuacutemero seraacute la cantidad de personas que arriban al banco
por minuto Asiacute
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Figura 14
Personas que arriban al banco por minuto
Nota Elaboracioacuten propia
d Se contabilizan las personas que permanecen haciendo fila con la siguiente foacutermula
asignada a NumClientesenLinea
Figura 15
Personas hacen fila
Nota Elaboracioacuten propia
e Se calcula el tiempo de espera de la uacuteltima persona que estaacute haciendo fila asignando la
foacutermula
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Figura 16
Tiempo en la fila de la uacuteltima persona
Nota Elaboracioacuten propia
f Cree casos hasta el minuto 60 para determinar lo que pasa despueacutes de una hora
g Grafique y obtenga el promedio del Tiempoenespera en los 60 minutos
iquestSi tuacute fueras gerente de un banco iquestincrementariacuteas o disminuiriacuteas el nuacutemero de ventanillas
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Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano
Guillermo Alfonso Brenes Tencio
Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica Costa Rica
guillermobrenestenciomepgocr
Resumen En el presente trabajo analizamos los signos de poder presentes en una seleccioacuten de
retratos elaborados en Hispanoameacuterica colonial durante los siglos XVII y XVIII
Palabras clave Retratos Iconografiacutea del poder Hispanoameacuterica Colonial
1 iquestQueacute se entiende por retrato
El retrato se puede entender como la expresioacuten visual perceptiva de un sujeto (Borja 2011
Burke 2005) Ante una imagen se estaacute en presencia de una percepcioacuten El geacutenero del retrato
forma parte de la cultura visual de las sociedades americanas durante la dominacioacuten ejercida
por la Monarquiacutea espantildeola durante casi trescientos antildeos (Moya 2001 Peacuterez y Quezada
2009) iquestQuieacutenes se retrataban Los funcionarios reales miembros de la alta jerarquiacutea
eclesiaacutestica e individuos (hombres y mujeres) de las maacutes distinguidas familias de la elite
hispanoamericana
2 iquestCuaacuteles son algunas caracteriacutesticas de los retratos coloniales
Los retratos reproducen los rasgos fiacutesicos y la posicioacuten social de los personajes
Los retratos se caracterizan por la riqueza del colorido y la minuciosidad en los
detalles
Estaacuten impregnados de un profundo simbolismo
Los retratos manifiestan no solo la identidad individual y colectiva sino tambieacuten las
cualidades fiacutesicas morales y sociales
Los retratados eran muy conscientes de la muerte y la pintura era una forma de
trascender
Se colocaban en las salas de las residencias virreinales los palacios arzobispales y los
conventos femeninos
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3 Signos de poder en el retrato colonial hispanoamericano
31 Retratos de virreyes
El virrey era el representante del Rey en sus dominios americanos Su lsquorsquoalter egorsquorsquo (Museo
Colonial de Bogotaacute 2020) En los retratos pictoacutericos el virrey como es el caso por ejemplo
del cuadro que representa a don Joseacute Soliacutes Folch de Cardona (1716 ndash 1770) suele aparecer
con la mirada hacia el frente con la espalda erguida y una mano en la cintura sentildeal de la
dignidad de su cargo asiacute como de su poderiacuteo poliacutetico y socioeconoacutemico Uno de los siacutembolos
del poder del virrey era su bastoacuten de mando Otros signos de poder son el tricornio o
sombrero de tres puntas el cortinaje carmesiacute y el escudo familiar que representaba el noble
linaje del retratado de origen madrilentildeo (Figura 1)
Figura 1
Joaquiacuten Gutieacuterrez Retrato de D Joseacute Soliacutes y Folch de Cardona virrey de Nueva Granada
Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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32 Retratos de damas de la elite virreinal
Un caso es el retrato de la noble dama Mariacutea Tadea Gonzaacutelez Manrique del Frago y Bonis
(1736 ndash 1780) quien estaacute vestida con un riquiacutesimo traje de tela estampado realizado con tela
china La marquesa luce una amplia diversidad de alhajas como signo de su elevado nivel
social y econoacutemico (Museo Colonial de Bogotaacute 2020) Dontildea Mariacutea Tadea aparece retrata
realiacutesticamente pero con rasgos faciales simplificados y una piel que luce impecablemente
tersa En el retrato se evidencian signos de estatus escudo de armas un cortinaje carmesiacute y
el uso de la cartela (datos biograacuteficos de la marquesa de San Jorge de Bogotaacute) (Figura 2)
Figura 2
Joaquiacuten Gutieacuterrez Retrato de dontildea Mariacutea Tadea Gonzaacutelez Manrique del Frago y Bonis
marquesa de San Jorge Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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33 Retratos de miembros de la alta jerarquiacutea eclesiaacutestica
El arzobispo de Nueva Espantildea Don Manuel Joseacute Rubio y Salinas (1703 ndash 1765) estaacute
representado de forma realista y de cuerpo entero (Figura 3) Estaacute vestido con su suntuoso
traje eclesiaacutestico y luce una cruz pectoral Aparece sentado sobre un magniacutefico silloacuten de
madera moldurada La mitra que descansa sobre una mesa denota su maacutexima autoridad
religiosa Aparecen signos de poder como el escudo familiar el cortinaje y la cartela La
imagen de Cristo crucificado es un signo de que el arzobispo era un hombre de profunda fe
y de una vida religiosa presuntamente ejemplar
Figura 3
Miguel Cabrera Retrato del arzobispo de Meacutexico Dr Manuel Joseacute Rubio y Salinas Oacuteleo
sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo de Bellas Artes de Boston
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34 Retratos de monjas coronadas
Los retratos de las religiosas se realizaban para conmemorar dos momentos fundamentales
de la vida espiritual la profesioacuten de fe (nupcias miacutesticas con Jesucristo) y la muerte (Lavrin
2016 Montero 2002) En el caso del retrato de Sor Matiana Francisca del Sentildeor San Joseacute
(siglo XVIII) la religiosa yace en su lecho ricamente ataviada su cabeza reposa en un
almohadoacuten blanco Cintildee su cabeza una exuberante corona de flores siacutembolo de la vida y la
muerte En sus manos entrelazadas sobre el pecho lleva un ramo de azucenas como siacutembolo
de pureza de la fenecida (Figura 4)
Figura 4
Retrato de Sor Matiana Francisca del Sentildeor San Joseacute (vicaria) Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Anoacutenimo
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4 Algunas historias por detraacutes de los retratoshellip
41 Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz
La joven dama Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz (1715 ndash 1767) dotada de una gran
inteligencia y sensibilidad perteneciacutea a una acaudalada familia de la eacutelite del Virreinato de
la Nueva Espantildea (Lavrin 2016) Estaacute retratada de cuerpo entero y exhibe un lujoso vestido
bordeado en hilos de plata y seda (Figura 5) Porta diversas joyas y un abanico cerrado en
una de sus manos El cortinaje (posiblemente de seda o terciopelo) sentildeala que la escena
ocurre en un espacio interior En un costado hay un lujoso mueble labrado que es un reloj
(idea de la medicioacuten o el paso del tiempo)
Figura 5
Retrato de Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII Museo de
Soumaya
Nota Anoacutenimo
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42 Sor Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz
Mariacutea Ignacia ingresa a una orden religiosa (Congregacioacuten de Mariacutea) e invierte su inmensa
fortuna en el fomento de la educacioacuten de nintildeas y joacutevenes novohispanas (funda un colegio ndash
convento) (Lavrin 2016) Sor Mariacutea Ignacia aparece vestida con el austero haacutebito religioso
y en una de sus manos porta un libro (una de sus aficiones era la lectura) y un escapulario
siacutembolo de la vida asceacutetica Su postura es de tres cuartos (Figura 6)
Figura 6
Andreacutes de Islas Retrato de Sor Mariacutea Ignacia de Azlor y Echeverz Oacuteleo sobre tela Siglo
XVIII
Nota Convento de La Ensentildeanza de Meacutexico
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43 Don Antonio Caballero y Goacutengora
Don Antonio Pascual de San Pedro de Alcaacutentara Caballero y Goacutengora (1723 ndash 1796) fue
flamante virrey de la Nueva Granada y ademaacutes se desempentildeoacute como arzobispo de Bogotaacute
(Museo Colonial de Bogotaacute 2020) Aparece retratado con sus ropas eclesiaacutesticas y una
medalla de oro en el pecho En una de sus manos lleva el bastoacuten episcopal con cordoacuten y
bellotas En un costado aparece una mesa sobre la cual hay tres mitras que simbolizan su
poder religioso y las veces en que se desempentildeoacute como obispo En la parte superior izquierda
del retrato aparece un cortinaje carmesiacute y a la derecha el escudo familiar (Figura 7) Signos
inequiacutevocos de poder y prestigio que capitalizaba don Antonio Caballero y Goacutengora
Figura 7
Pablo Antonio Garciacutea del Campo Retrato de D Antonio Pascual de San Pedro de Alcaacutentara
Caballero y Goacutengora Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII
Nota Museo Colonial de Bogotaacute
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44 Antonia de Pastrana y Cabrera Pretel
La nintildea retratada estaacute vestida con el haacutebito dominico (Gutieacuterrez 1995) y lleva sobre su cabeza
una corona de rosas blancas (signo de pureza e inocencia) Antonia luce aretes collares de
perlas y una cruz de oro con esmeraldas En el costado derecho se observa una mesa sobre la
que descansa una imagen del Nintildeo Jesuacutes El gesto de Antonia de Pastrana y Cabrera Pretel
es adusto y aparece retratada de cuerpo entero lo que evidencia que proveniacutea de una hija de
notable familia neogranadina (Figura 8)
Figura 8
Retrato de la nintildea Antonia Pastrana y Cabrera Oacuteleo sobre tela Siglo XVIII Museo Santa
Clara de Bogotaacute
Nota Anoacutenimo
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5 Conclusiones
1 En los retratos de los virreyes se pueden observar signos de distincioacuten y de poder en el
uso de ricas vestimentas que denotan prestancia el uso de cortinajes que entronizan la
figura pintada sombreros escudos de familia y el bastoacuten de mando (siacutembolo de autoridad
poliacutetica y militar)
2 Los retratos de damas de la alta sociedad virreinal evidencian la influencia del estilo
cortesano franceacutes en sus elaborados peinados delicados vestidos confeccionados en sateacuten y
raso y las opulentas joyas de oro y piedras preciosas
3 Los retratos de personajes eclesiaacutesticos exaltan sus virtudes cristianas y labor
evangeacutelica y estatus social a traveacutes de signos como ropajes libros efigies sacras y otros
4 En los retratos de monjas muertas y coronadas se entremezclan los elementos simboacutelicos
y los significados religiosos (matrimonio miacutestico con Cristo y oacutebito)
Bibliografiacutea
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XII Festival Internacional de Matemaacuteticas - XXII Congreso Nacional de Ciencias Tecnologiacutea y Sociedad
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Tareas y estrategias metodoloacutegicas para plantear
problemas de modelizacioacuten matemaacutetica
Karen Porras Lizano
Universidad Nacional Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica Costa Rica
Karenporraslizanounaaccr
Gilberto Chavarriacutea Arroyo
Universidad Nacional Costa Rica
gilbertochavarriacuteaarroyounaaccr
Resumen La actividad de inventar o plantear problemas matemaacuteticos forma parte integral
del proceso de modelizacioacuten matemaacutetica y es considerada por algunos investigadores de
gran importancia dentro de la experiencia matemaacutetica de los estudiantes No obstante sigue
siendo una praacutectica poco explorada en las clases de matemaacutetica y que presenta dificultades
para los profesores ya que se requiere crear tareas y utilizar estrategias metodoloacutegicas
adecuadas seguacuten este enfoque Por tanto en este trabajo brindamos una propuesta de tarea
donde se estimula el planteamiento de un problema de modelizacioacuten matemaacutetica puede
servir como ejemplo para ser llevada al aula Al mismo tiempo en concordancia con lo
propuesto en los Programas de Estudio de Matemaacuteticas del Ministerio de Educacioacuten Puacuteblica
permite acercar las matemaacuteticas a los estudiantes motivarlos y potenciar capacidades
cognitivas superiores
Palabras clave Planteamiento de problemas modelizacioacuten matemaacutetica educacioacuten
secundaria
1 Introduccioacuten
En una sociedad globalizada y ante un continuo avance de la tecnologiacutea de la informacioacuten y
comunicacioacuten las generaciones de joacutevenes enfrentan impredecibles cambios que deben
aprender a afrontar En consecuencia los sistemas educativos en todo el mundo deben ir de
la mano con este proceso vertiginoso de prioridades cambiantes donde las estrategias de
ensentildeanza y aprendizaje estaacuten influenciadas por este contexto (Singer et al 2015) Como
praacutectica de aprendizaje y pensamiento el planteamiento de problemas puede desempentildear un
papel fundamental en este proceso proporcionando oportunidades para construir significados
de forma activa al mismo tiempo que los profesores y estudiantes pueden crear conocimiento
juntos en una variedad de contextos y generar y abordar preguntas criacuteticas sobre el
conocimiento que se construye
Por otra parte desde la antiguumledad la modelizacioacuten matemaacutetica ha sido de gran importancia
por generar beneficios en la vida del ser humano permitiendo observar la conexioacuten entre la
matemaacutetica y la realidad cotidiana de esta (Castro y Castro 1997 Lombardo y Jacobini
2008) En la matemaacutetica escolar la modelizacioacuten involucra entornos reales fiacutesicos sociales
y culturales generando espacios de reflexioacuten y anaacutelisis En ellos se fomenta la construccioacuten
y comprensioacuten de los conceptos por parte del estudiante incentivando al mismo tiempo
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habilidades de gran potencial como la imaginacioacuten la creatividad o la invencioacuten (English y
Sriraman 2010 Lesh y English 2005 Loacutepez Molina y Castro 2017)
En este trabajo consideramos que el planteamiento de problemas forma parte integral del
proceso de modelizacioacuten matemaacutetica desarrollaacutendose dentro de sus fases (Hansen y Hana
2015) Es decir el problema y su construccioacuten constituye parte fundamental del proceso de
modelizacioacuten dado que la creacioacuten de un modelo matemaacutetico requiere de un mecanismo de
ajuste y reformulacioacuten continua del problema principal Ademaacutes durante el proceso de
modelizacioacuten se pueden formular conjeturas realizar un seguimiento y revisioacuten de las
preguntas del problema al mismo tiempo que se adquiere una posicioacuten criacutetica hacia el
modelo matemaacutetico y sus resultados (Hansen y Hana 2015)
2 Planteamiento de problemas en el proceso de modelizacioacuten matemaacutetica
En Costa Rica la ensentildeanza de la modelizacioacuten matemaacutetica se estaacute promoviendo desde el
antildeo 2012 con la implementacioacuten del plan de estudios de matemaacutetica desde los niveles de
educacioacuten primaria hasta los niveles de educacioacuten secundaria por parte del Ministerio de
Educacioacuten Puacuteblica (2012) En este documento una de las modificaciones fue la inclusioacuten de
la modelizacioacuten matemaacutetica como parte fundamental del curriacuteculo relacionando este proceso
con el planteamiento de problemas Asimismo la creacioacuten de problemas no es un mecanismo
nuevo se viene desarrollando desde hace varias deacutecadas atraacutes con diversas
conceptualizaciones formulacioacuten (Kilpatrick 1987) generacioacuten (Silver y Cai 1994)
planteamiento (Brown y Walter 1990) e invencioacuten (Castro 2008)
Ademaacutes en la investigacioacuten actual de la modelizacioacuten matemaacutetica existen muchas
perspectivas teoacutericas que describen este proceso pero sin consenso alguno Sin embargo
coinciden en que su objetivo principal es permitir la traduccioacuten de la realidad a una estructura
matemaacutetica (Rico 2009) En particular Galbraith y Stillman (2006) plantean cinco
transiciones en las cuales se construye el conocimiento matemaacutetico durante el proceso de
modelizacioacuten matemaacutetica (a) De la situacioacuten desordenada del mundo real a la declaracioacuten
del problema del mundo real (b) De la declaracioacuten de problemas del mundo real al modelo
matemaacutetico (c) Del modelo matemaacutetico a la solucioacuten matemaacutetica (d) De la solucioacuten
matemaacutetica al significado de la solucioacuten en el mundo real y (e) Desde el significado de la
solucioacuten en el mundo real hasta la revisioacuten del modelo o la solucioacuten de aceptacioacuten
En la primera transicioacuten de la situacioacuten desordenada del mundo real a la declaracioacuten del
problema del mundo real es donde se realiza el proceso de planteamiento del problema
creando los primeros borradores de este tomado en cuenta elementos de gran importancia
como lo es el contexto condiciones relevantes y los elementos correctos de las entidades
estrateacutegicas (Hansen y Hana 2015) Es decir es el proceso donde el estudiante construye su
propio problema proporcionando un contexto real y matemaacutetico a la vez con un objetivo o
interrogante que seraacute contestada durante el proceso de resolucioacuten (Aylloacuten 2012)
A su vez la invencioacuten de problemas estaacute iacutentimamente relacionada con la resolucioacuten de
problemas En este proceso el estudiante ademaacutes de inventar el problema estructura y
construye la solucioacuten del problema elabora un plan estrateacutegico de resolucioacuten formula las
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estrategias y representaciones del objeto matemaacutetico que utilizaraacute Involucrando los
conocimientos matemaacuteticos que posee intereses y experiencias personales es decir el
problema se reviste de significado para el estudiante por ser parte de eacutel y proporcionado a su
vez motivacioacuten en su aprendizaje Tambieacuten ldquocuando un individuo inventa un problema ha
alcanzado niveles de reflexioacuten complejos por tanto ha llegado a una etapa de razonamiento
que hace posible la construccioacuten del conocimiento matemaacuteticordquo (Aylloacuten 2012 p 34) lo que
reviste de importancia el trabajar en el aula el planteamiento de problemas
Silver y Cai (1996) mencionan una serie de beneficios en el aprendizaje del estudiante al
ensentildear por medio del planteamiento de problemas entre ellos destacamos los siguientes
incentiva la participacioacuten activa del estudiante en su aprendizaje estimula la creatividad
imaginacioacuten y curiosidad los estudiantes comprenden y analizan mejor los conceptos y los
procesos matemaacuteticos propicia una mejor actitud y disposicioacuten hacia la matemaacutetica
motiva que los estudiantes sean mejores resolutores de problemas potencia la autonomiacutea en
el aprendizaje de los estudiantes prepara a los estudiantes para su desempentildeo personal y
profesional futuro fuera de las aulas reduce la ansiedad y el miedo por las matemaacuteticas
entre otros
3 El papel del profesor en la invencioacuten de problemas
La seleccioacuten y aplicacioacuten de tareas adecuadas por parte del profesor determinan el desarrollo
de habilidades necesarias que requiere un buen resolutor En este sentido proponemos el
potenciar la aplicacioacuten del proceso de invencioacuten de problemas a traveacutes de abundantes y
variadas oportunidades relacionado con el proceso de resolucioacuten de problema con
modelizacioacuten matemaacutetica Al mismo tiempo se promueve que el estudiante construya
habilidades como creatividad el anaacutelisis la criticidad perseverancia entre otros
Asimismo autores como Aylloacuten (2012) realizan una clasificacioacuten de tipos de tareas que se
pueden trabajar en el proceso de invencioacuten de problemas (a) situaciones libres (b)
situaciones semiestructuradas y (c) situaciones estructuradas En el primer tipo de tarea los
estudiantes no tienen restriccioacuten para formular sus problemas En el segundo tipo los
estudiantes inventan sus problemas semejantes a otros antes trabajados o que respondan a
cierta informacioacuten o situacioacuten proporcionada El tercer tipo los estudiantes reformulan un
problema o se cambia alguna condicioacuten de este lo cual se puede dar antes durante o despueacutes
de la solucioacuten Tambieacuten se puede dividir el problema inicial en problemas maacutes sencillos
Con respecto a esto Aylloacuten (2012) propone una serie de estrategias que puede utilizar el
profesor para realizar el planteamiento de problemas en el aula de matemaacutetica por ejemplo
elegir una situacioacuten significativa para el estudiante que genere debate entre los estudiantes
y el docente Tambieacuten estimular el proceso de investigacioacuten por parte de los estudiantes antes
de formular el problema ademaacutes propiciar un espacio en confianza para la formulacioacuten de
preguntas o conjeturas Asimismo se puede utilizar analogiacuteas por ejemplo problemas
semejantes Utilizar la estrategia ldquoiquestQueacute pasariacutea siacuterdquo para cambiar la exigencia o ingresar
pequentildeas variantes del problema Al mismo tiempo la idea de estas estrategias es generar
motivacioacuten de los estudiantes y propiciar el desarrollo de las habilidades matemaacuteticas
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En resumen para trabajar el planteamiento de problemas en el aula de matemaacutetica el
profesor debe tomar en cuenta los siguientes aspectos para crear sus propias tareas (a) tipo
de tarea (b) plan de estudios y (c) caracteriacutesticas propias del estudiante En el primer aspecto
recomendamos considerar el tipo de tarea que se desea plantear es decir una situacioacuten libre
o semiestructurada o estructurada Tambieacuten las formas de presentar o comunicar la
informacioacuten las condiciones que debe tener el problema inventado y por uacuteltimo si se
requiere de investigacioacuten previa por parte del docente y los estudiantes
El segundo aspecto es el plan de estudios aquiacute debemos considerar el nivel educativo del
estudiante la habilidad matemaacutetica y el conocimiento matemaacutetico por construir Ademaacutes
que el docente debe ser conocedor de los tipos de representaciones matemaacuteticas del objeto
matemaacutetico que se quiere trabajar con la actividad de planteamiento de problemas
Por uacuteltimo recomendamos considerar las caracteriacutesticas propias del estudiante por ejemplo
las adecuaciones Los conocimientos previos contexto y recursos que posee el estudiante
Ademaacutes el docente debe tomar en cuenta los tipos de errores matemaacuteticos que sus estudiantes
pueden realizar durante la tarea
4 Un ejemplo de tarea de planteamiento de problemas
Con la finalidad de ilustrar las recomendaciones propuestas en el apartado anterior hemos
creado un ejemplo de tarea semiestructurada donde se puede trabajar el proceso de
planteamiento de un problema matemaacutetico la cual la exponemos a continuacioacuten
Figura 1
Ejemplo de actividad semiestructurada para el planteamiento de problemas
Se propone una actividad para estudiantes del nivel de sexto antildeo de educacioacuten primaria cuya
habilidad a trabajar seriacutea el ldquoplantear y resolver problemas aplicando proporcionalidad
directardquo y desarrollando conocimientos matemaacuteticos como razoacuten proporcioacuten directa
porcentaje y regla de tres Sin embargo la actividad tambieacuten se puede adaptar al nivel de
seacutetimo antildeo de educacioacuten secundaria cuya habilidad a trabajar es ldquoanalizar relaciones de
proporcionalidad directa e inversa de forma verbal tabular graacutefica y algebraicardquo y cuyos
conocimientos matemaacuteticos a desarrollar seriacutean los tipos de representaciones del tipo verbal
tabular graacutefica y algebraica
Suponga que tienes una empresa con las caracteriacutesticas que quieras
la cual produce una serie de productos que puedes comercializar Con
los precios de estos productos construye un problema de tal manera
que involucre a la vez el IVA
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Dicha actividad requiere de una investigacioacuten previa por parte del profesor dado que se
necesita tener conocimientos con respecto al Impuesto de valor agregado (IVA) Ademaacutes
fue revisada y validada por los dos investigadores y por una maestra del nivel de primaria
Posteriormente se realizoacute una prueba piloto con un estudiante del nivel de sexto antildeo de
educacioacuten privada Sin embargo este tipo de actividad se puede llevar a cabo en educacioacuten
puacuteblica En la Figura 2 se muestra el resultado de la invencioacuten del estudiante que participoacute
en la prueba piloto
Figura 2
Creacioacuten de un menuacute de cafeacute como simulacioacuten de una empresa
En la figura anterior se muestra como el estudiante fue capaz de crear un menuacute de cafeacute para
simular su propia empresa Para esto previamente el estudiante realizoacute una indagacioacuten del
tipo de empresa que queriacutea inventar ademaacutes de los productos y precios sin el IVA que queriacutea
comercializar En esta actividad se involucraron toacutepicos de Estudios Sociales tales como
impuesto directos e indirectos los tipos de productos que son grabados y su respectivo
porcentaje de impuesto logrando que la actividad sea interdisciplinaria Asimismo se puede
involucrar otras materias del nivel de primaria como lo son los idiomas espantildeol o ingleacutes
como se observa en la Figura 2 Luego realizoacute la creacioacuten de su propio problema imaginando
una situacioacuten que se podriacutea dar en la vida real con su empresa En la siguiente figura se
expone la invencioacuten del estudiante
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Figura 3
Ejemplo de problema inventado por estudiante con su propia empresa
En cuanto al proceso de modelizacioacuten aplicado el estudiante relacionado con el
planteamiento del problema se pudo observar que aplicoacute las cinco transiciones propuestas
por Galbraith y Stillman (2006) Es decir en primer lugar comienza con una situacioacuten
desordenada el crear la empresa y proponer los productos que desea comercializar ordena y
organiza la informacioacuten concibiendo el problema y al mismo tiempo formula un plan
estrateacutegico para obtener la solucioacuten En el problema se visualiza los personajes es una familia
y plantea una situacioacuten cotidiana que se puede dar en la vida real si la empresa fuera
verdadera
En la segunda transicioacuten el estudiante organiza la informacioacuten de tal manera que logra
generar un modelo matemaacutetico esto lo observamos en la figura 3 en el ordenamiento inicial
de los precios que utilizara posteriormente en una operacioacuten baacutesica aritmeacutetica Como tercera
transicioacuten se obtiene que el estudiante elabora la solucioacuten matemaacutetica para ello suma todos
precios para obtener la cantidad total que se le debe cobrar a la familia sin incluir el IVA
utilizando para esto un tipo de representacioacuten simboacutelico numeacuterico Posteriormente utiliza la
regla de tres por medio de una representacioacuten tabular para calcular el 13 del IVA por ser
un servicio y realiza el caacutelculo utilizando nuevamente el sistema de representacioacuten simboacutelico
numeacuterico El monto que obtiene por 13 es adicionado al resultado de la suma de los precios
del primer paso Luego se observa que brinda una respuesta a la luz de las condiciones del
problema dotando de significado de la solucioacuten en el mundo real Por uacuteltimo realiza una
revisioacuten de todos los procesos matemaacuteticos realizados para obtener y aceptar la solucioacuten final
del problema
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Por otra parte al ser la empresa de la propia autoriacutea del estudiante se evidencia sus intereacutes y
experiencias personales por lo que el problema representa para este una situacioacuten
significativa Ademaacutes en aula puede generar debate entre los mismos estudiantes y el
profesor utilizando la estrategia ldquoiquestQueacute pasariacutea siacuterdquo para cambiar la cantidad de integrantes
de la familia cambiar los productos guiar al estudiante en el pensamiento de que otros
impuestos se involucran la situacioacuten entre otras variantes
5 Conclusiones
El planteamiento de problemas como herramienta pedagoacutegica y como parte integral de la
modelizacioacuten matemaacutetica ha tomado auge desde finales del siglo XX El reto de los docentes
en nuestros diacuteas consiste en conocer la realidad de los estudiantes y aprovechar los recursos
del entorno para proponer tareas que les permitan a sus alumnos inventar problemas
matemaacuteticos Las estrategias y la tarea propuesta que se proponen en este trabajo constituyen
un esbozoacute de algunas diferentes formas de presentar y trabajar situaciones cotidianas que
ofrece oportunidades y desafiacuteos para la aplicacioacuten de modelos matemaacuteticos relacionado con
el planteamiento de problemas
Esta aacuterea de investigacioacuten requiere maacutes estudios que permitan profundizar sobre las bondades
y retos de implementar la invencioacuten de problemas en el aula Con todo se vislumbran algunas
oportunidades de oro en la combinacioacuten de planteamiento de problemas y modelado
matemaacutetico en contextos escolares
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