1
CAPTULO 1.- GENERALIDADES.
1.1. Definicin e importancia de la Topografa.
La topografa es una ciencia aplicada que se encarga de estudiar las
posiciones de un terreno o lugar de la tierra en forma relativa o absoluta. Esta
ciencia estudia los mtodos y procedimientos para realizar mediciones sobre
terrenos relativamente pequeos y plasmarlos en forma grfica y a escala en
un plano, con todas las caractersticas necesarias para proyectar obras de
arquitectura y de ingeniera civil.
Aprender topografa es de suma importancia para todas las personas que
requieran realizar estudios de ingeniera civil, arquitectura, o cualquier
carrera de ingeniera que sea afn a las obras de construccin.
1.2. Tipos de Levantamientos.
Estos pueden ser Topogrficos o Geodsicos.
Topogrficos: Son aquellos que por abarcar superficies reducidas pueden
hacerse despreciando la curvatura de la tierra, sin error apreciable.
Geodsicos: Son levantamientos en grandes extensiones que hacen
necesario considerar la curvatura de la tierra.
Los levantamientos topogrficos son los ms comunes y los que ms nos
interesan en este curso. Los geodsicos son motivo de estudio especial al
cual se dedica la Geodesia.
Dentro de los levantamientos Topogrficos se encuentran:
Levantamientos de terrenos en general: Tienen por objeto marcar linderos
o localizarlos, medir y dividir superficies, ubicar terrenos en planos generales
ligando con levantamientos anteriores, o proyectar obras y construcciones.
Topografa de vas de comunicacin: Es la que sirve para estudiar y
construir caminos, ferrocarriles, canales, lneas de transmisin, acueductos,
etc.
2
Topografa de Minas: Tiene por objeto fijar y controlar la posicin de
trabajos subterrneos y relacionarlos con las obras superficiales.
Levantamientos Catastrales: Son los que se hacen en ciudades, zonas
urbanas y municipios, para fijar linderos o estudiar las obras urbanas.
Levantamientos Areos: Son los que se hacen por medio de la fotografa,
generalmente desde aviones, y se usan como auxiliares muy valiosos de
todas las otras clases de levantamientos. La Fotogrametra se dedica
especialmente al estudio de estos trabajos.
1.3. Aplicacin de la topografa.
La teora de la Topografa se basa esencialmente en la Geometra Plana,
Geometra del espacio, Trigonometra y Matemticas en general. Adems del
conocimiento de estas materias, se hacen necesarias algunas cualidades
personales, como por ejemplo: Iniciativa, habilidad para manejar los
aparatos, habilidad para tratar a las personas, confianza en s mismo y buen
criterio general.
Precisin: Todas las operaciones en topografa estn sujetas a las
imperfecciones propias de los aparatos y a las imperfecciones en el manejo
de ellos; por lo tanto ninguna medida en topografa es exacta, y es por eso
que la naturaleza y magnitud de los errores deben se comprendidas para
obtener buenos resultados.
Comprobaciones: Siempre en todo trabajo de Topografa, se debe buscar
la manera de comprobar las medidas y los clculos ejecutados. Esto tiene
por objeto descubrir equivocaciones y errores, y determinar el grado de
precisin obtenida.
Notas de campo: Es la parte ms importante del trabajo de campo en
Topografa. Las notas de campo deben tomarse siempre en libretas
especiales de registro, y con toda claridad para evitar el tener que pasarlas
posteriormente, es decir, se toman en limpio, y consecuentemente no se
pasan en limpio.
3
Deben incluirse la mayor cantidad de datos complementarios posibles
para evitar confusiones o malas interpretaciones, ya que es muy comn que
los clculos o dibujos los hagan personas diferentes a las encargadas del
trabajo de campo.
1.4. Poligonal y tipos de poligonales.
La poligonal es una figura geomtrica que contiene como elementos
ngulos y distancias. Una poligonal puede ser cerrada o abierta, estas
pueden contener lados rectos y curvos.
Poligonales cerradas. En topografa las poligonales cerradas se utilizan
para determinar lmites de terrenos de propiedad, que plasmados en un
plano llevarn todos los datos necesarios para su identificacin y de esa
manera poder realizar cualquier tipo de proyecto y construccin.
La figura 1.4.1. muestra un ejemplo de una poligonal cerrada, que para
efectos de convertirse en un levantamiento, deber llevar datos adjuntos,
tales como: ngulos interiores o exteriores, rumbos magnticos o
astronmicos, distancias de los lados, coordenadas, superficie, ubicacin y
localizacin, etc.
Figura 1.4.1. Plano de levantamiento topogrfico.
2911'
363
2'
992
3'
10536'
904
2'
SUP: 620
.85 M
PERIMET
RO: 135.0
2 M
3
2
1
5
4
N 4
8 0
0' 0
0" E
S 85 52' 05" W
S 0
3
26' 10" E
N 3
2 3
5' 15" W
38
15
38,02
20
24
S 57 35' 33" E
4
Poligonales abiertas. Normalmente son lneas rectas quebradas,
utilizadas en topografa para realizar estudios y proyectos de construccin
como vas de comunicacin: carreteras, calles, avenidas, caminos, lneas de
alcantarillado, de agua potable, de transmisin (elctrica, telfono, fibra
ptica, cable, etc.), aeropuertos, puertos.
Estas poligonales tienen como caracterstica principal un origen y un
destino, y nunca cierran sobre si mismas. Para fines de levantamiento
topogrfico debern contar con todos los datos necesarios tales como:
orientacin magntica o astronmica de cada uno de sus lados, coordenadas
ecuatoriales de sus vrtices, ngulos de deflexin, distancias de sus lados,
etc.
La figura 1.4.2. muestra un ejemplo de una poligonal abierta, que pudiera
ser utilizada para cualquier tipo de proyecto de construccin de obra civil o
arquitectnica.
5
1.5. Errores.
Orgenes de los errores: Pueden ser instrumentales, personales y/o
naturales.
Los errores se dividen en dos clases: Sistemticos y accidentales.
Sistemticos: Son los que, para condiciones de trabajo fijas en el campo,
son constantes y del mismo signo y por tanto son acumulativos, por ejemplo:
en medidas de ngulos, aparatos mal graduados o arrastre de graduaciones
en los trnsitos; en medidas de distancias y desniveles, cintas o estadales
mal graduados, catenaria, cinta inclinada, mala alineacin, error por
temperatura, etc..
Accidentales: Son los que se cometen indiferentemente en un sentido o
en otro, y por tanto es igualmente probable que tengan signo positivo o
negativo. Ejemplo: en medidas de ngulos, lecturas de graduaciones,
visuales descentradas de la seal; en medidas de distancias, colocacin de
marcas en el terreno, variaciones en la tensin de la cinta, apreciacin de
fracciones, etc. Muchos de estos errores se eliminan porque se compensa.
El valor ms probable de una cantidad medida varias veces, es el
promedio de las medidas tomadas, o media aritmtica. Esto se aplica tanto a
ngulos como a distancias y desniveles.
1.6. Medidas de distancias.
Las medidas de distancias pueden hacerse:
- Directas (con cinta).
- Indirecta (con Telmetros).
Medidas directas.
Logmetros (cintas de acero, cintas de lienzo, cintas de fibra de vidrio,
cadenas).
Las distancias con que se trabaja y que se marcan en planos, siempre
son horizontales.
6
Por tanto, las distancias siempre que se puede, se miden horizontales o
se convierten a horizontales con datos auxiliares (ngulo vertical o
pendiente).
Empleo de la cinta en medida de distancias.
-Terreno horizontal.
Se va poniendo la cinta paralela al terreno, al aire, y se marcan los tramos
clavando estacas o fichas, o pintando marcas en el terreno en forma de
cruz. (Ver la figura 1.6.1.).
Figura 1.6.1.
Al medir con longmetro es preferible que ste no toque el terreno, pues
los cambios de temperatura al arrastrarlo, o al contacto simple, influye
sensiblemente en las medidas.
Las cintas de acero en general estn hechas para que con una tensin de
aproximadamente 4 kgs. por cada 20 mts. de longitud, den la medida
marcada. Esta tensin se mide con dinammetro en medidas de precisin, y
las cintas deben compararse con la medida patrn. Para trabajos ordinarios
con cinta de 20 o 30 metros, despus de haber experimentado la fuerza que
se necesita para tensarla con 4 5 kgs. No es necesario el uso constante del
dinammetro.
7
-Terreno inclinado.- Pendiente constante.
Puede ponerse la cinta paralela al terreno, y deber medirse tambin el
ngulo vertical o pendiente para despus calcular la proyeccin horizontal.
(Ver la figura 1.6.2.).
Figura 1.6.2. Terreno inclinado.
Tambin puede medirse por tramos, poniendo la cinta horizontal a ojo. (Ver
figura 1.6.3.).
Figura 1.6.3. Terreno inclinado medido con cinta y plomada.
plomadahilo con
8
-Terreno irregular.
Siempre se mide en tramos horizontales para evitarse el exceso de datos
de inclinaciones de la cinta en cada tramo. (Ver figura 1.6.4.).
Figura 1.6.4. Terreno irregular.
El alineamiento de los puntos intermedios entre los extremos de una lnea,
puede hacerse: a ojo (con balizas o con hilo y plomada) o empleando aparato
(trnsito). Ver la figura 1.6.5 de una baliza.
Figura 1.6.5. Baliza.
2, 2.50 0 3 m.
metlico
regatn
BALIZA
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PRACTICA No. 1. Levantar una perpendicular a una lnea a un punto
dado (A) de sta.( Mtodo de la regla 3,4,5).
PROCEDIMIENTO:
Paso 1. Se traza y se mide la lnea base. (Ver figura 1.6.6.).
Paso 2. Sobre la lnea base se posiciona un punto (A) clavando una
estaca; de este punto se levantar la lnea perpendicular. (Ver figura
1.6.7.).
Paso 3. Con una sola cinta se forma un tringulo rectngulo. Se
emplean lados de 3, 4 y 5 metros o mltiplos de ellos. Con una sola cinta
se puede formar el tringulo, sostenida por tres personas, una en la marca
(3), otra en la (7) y otra juntando la (0) y la (12). (Ver figura 1.6.8.).
10
Figura 1.6.8.
5
(0)
(12)
4
(3)
3A
(7)
MATERIAL Y/O EQUIPO:
- Cinta mtrica topogrfica de 30 metros.
- Hilo fluorescente de albail.
- Estacas de fierro o madera.
- Cintilla topogrfica fluorescente.
- Marro de 4 libras.
PRACTICA No. 2. Levantar una perpendicular a una lnea a un punto
dado (A) de sta. (Mtodo del comps).
PROCEDIMIENTO:
Paso 1. Midiendo distancias iguales cualesquiera a ambos lados del punto
A, hacia los puntos B y C. (Ver figura 1.6.9.).
11
Paso 2. Posicionarse en cada uno de los puntos B y C y abrir un comps
hacia cada punto, del mismo tamao del lado o mayor de la mitad,
trasladando el comps hacia arriba o hacia abajo. (Ver figura 1.6.10.).
Paso 3. Donde se intersequen ambos arcos, esa ser la perpendicular de
la lnea base, trazada desde el punto A. (Ver figura 1.6.11.).
12
MATERIAL Y/O EQUIPO:
- Cinta mtrica topogrfica de 30 metros.
- Hilo fluorescente de albail.
- Estacas de fierro o madera.
- Cintilla topogrfica fluorescente.
- Marro de 4 libras.
PRACTICA No. 3. Trazar un alineamiento entre dos puntos invisibles uno
de otro.
PROCEDIMIENTO:
Paso 1. Fuera del obstculo se traza AP y se mide, y su perpendicular por
(B), y tambin se miden: A-1, A-2, A-3, etc., donde convenga situarlos.
Paso 2. De aqu se calculan las distancias 1-1, 2-2, 3-3 normales a la
lnea auxiliar.
Paso 3. Levantando normales en 1, 2, 3 y 4, y con sus longitudes
conocidas, se fijan 1, 2, 3 y 4 que estn sobre la lnea AB.
Nota: Para todos los pasos anteriores ver la figura 1.6.11.
Figura 1.6.11.
13
MATERIAL Y/O EQUIPO:
- Cinta mtrica topogrfica de 30 metros.
- Hilo fluorescente de albail.
- Estacas de fierro o madera.
- Cintilla topogrfica fluorescente.
- Marro de 4 libras.
Ejercicio 1.1. (Resuelto) Calcular el alineamiento 1-1', 2-2', 3-3', 4-4' entre
dos puntos invisibles e inaccesibles con los datos siguientes:
Acotacin metros
A-P=35, P-B=27, A-1=5, A-2=15, A-3=20, A-4=25
Desarrollo: de la frmula de relacin de tringulos, calcular cada uno de
los datos faltantes.
1
11
APA
BP, sustituyendo datos y despejando 1-1', se obtiene:
5
11
35
27 ; 1-1=3.9m para los datos faltantes se sigue el mismo
procedimiento.
;15
22
35
27 2-2=11.6m ;
20
33
35
27 3-3=15.4m ;
25
44
35
27
4-4=19.3m
Ejercicio 1.2. Calcular el alineamiento 1-1', 2-2', 3-3', 4-4' entre dos puntos
invisibles e inaccesibles con los datos siguientes:
Acotacin metros
A-P=50, P-B=45, A-1=10, A-2=25, A-3=33, A-4=40
Ejercicio 1.3. Calcular el alineamiento 1-1', 2-2', 3-3', 4-4' entre dos puntos
invisibles e inaccesibles con los datos siguientes:
Acotacin metros
A-P=70, P-B=60, A-1=20, A-2=36, A-3=44, A-4=52
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CAPTULO 2.- PLANIMETRA.
2.1. Levantamientos con cinta, medida de ngulos.
En todo trabajo de levantamiento lo primero que debe hacerse es un
reconocimiento de la zona donde se trabajar, para definir vrtices del
polgono, visibilidad, aparatos e instrumentos necesarios, personal, tiempo,
etc.
Es conveniente comentar que para los levantamientos con el uso
exclusivo de la cinta, se debe adquirir cierta habilidad del topgrafo, adems
de considerar que estos levantamientos no son de gran precisin, por lo
tanto, solo deben de tomarse en cuenta solo para trabajos preliminares y de
reconocimiento.
Entre los mtodos de levantamientos de terrenos con cinta, se encuentran
los siguientes: base triangulado (triangulaciones), lado de liga, coordenadas,
radiaciones, entre otros.
METODOS DE LEVANTAMIENTO CON CINTA EXCLUSIVAMENTE.
a.) Polgono de base triangulado.
Sea un permetro cualquiera irregular:
Se traza un polgono de apoyo o poligonal, por ejemplo A, B, C, D,
E, F, A.
El polgono debe tener el menor nmero de lados posible, y ser cerrado.
(Ver figura 2.1.1.).
15
Figura 2.1.1.
E
D
F
A B
C
Es indispensable que en cada punto sea visible el anterior y el que le
sigue.
El polgono debe seguir aproximadamente el permetro. Conviene trazarlo
de tal modo que las distancias del permetro por levantar, a sus lados y
vrtices, no sean mayores que la longitud de la cinta de que se dispone.
Para transformar el polgono en una figura rgida se sigue el
procedimiento de Triangulacin.
Se miden longitudes (lados y diagonales).
Los tringulos deben ser bien conformados, es decir, lo ms cerca posible
del Equiltero. Debe evitarse ngulos menores de 20.
PRACTICA No. 4. Levantamiento con cinta de un polgono cerrado con el
mtodo Base Triangulado.
PROCEDIMIENTO:
Paso 1. Reconocimiento del terreno. Se verifica si el terreno est en
condiciones para aplicar correctamente el mtodo.
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Paso 2. Se traza y se mide los lados y diagonales de la poligonal,
formando tringulos. (Ver figura 2.1.2.).
A
B
C
D
E
diagonales
dia
gon
ale
s
lados
figura 2.1.2
Paso 3. Levantamiento de detalles con relacin al polgono, dentro o fuera
del mismo. Estos pueden ser edificaciones, ros, canales, o cualquier objeto
que no sea fcil de remover. Con los detalles y las referencias se formarn
tringulos. (Ver figura 2.1.3).
A
B
C
D
E
figura 2.1.3
CONSTRUCCION
MONUMENTO
dist
dist
dist d
ist
dist
Paso 4. En gabinete se calculan los ngulos interiores de los tringulos
del polgono y de los detalles. Los ngulos interiores se utilizan para dibujar
lo levantado.
17
Paso 5. Se calcula la superficie.
Paso 6. Se dibuja todo lo levantado. El dibujo debe llevar los datos
mnimos necesarios tales como: orientacin, plano de localizacin, detalles,
referencias, ngulos y distancias. (Ver figura 2.1.4.).
ESC. SIN ESCALA
H. NOGALES, SONORA FECHA: 24 / SEPTIEMBRE / 2007
ACOTACION : METROS
DIBUJO EN INGENIERIA CIVIL
ARTURO MORALES QUINTERO
ING. REFUGIO SOTO JOCOBI
INSTITUTO TECNOLOGICO DE NOGALES
LEVANTAMIENTO 06
2911'm
ts
36
32
'mts
99
23
'mts
10536'mts
904
2'm
ts
SUP: 620
.85 M
PERIMET
RO: 135.0
2 M
3
2
1
5
4
N 4
8 0
0' 0
0" E
S 57 35' 33" E
S 85 52' 05" W
S 0
3
26
' 1
0" E
N 3
2 3
5' 1
5" W
COORDENADAS
PUNTO X Y
1
2
3
4
5
0.00
11.15
43.23
19.27
20.47
32.02
42.05
21.69
19.96
0.00
TERRENO PROPIEDAD DEL
UBICADO EN LA COLONIA CHULA VISTA
MANZANA 14, LOTE C NOROESTE
LEVANTO, DIBUJO Y CALCULO
Lugar: Nogales, Sonora, Mxico.
Fecha: 20 de Abril del 2005
Acotacin: Metros
Sr. Snchez
Ing. Refugio Soto Jocobi
38mts
15m
ts
38,0
2m
ts
20
mts
24mts
MATERIAL Y/O EQUIPO:
- Cinta mtrica topogrfica de 30 metros.
- Hilo fluorescente de albail.
- Estacas de fierro o madera.
- Cintilla topogrfica fluorescente.
- Marro de 4 libras.
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Frmulas para calcular los ngulos y superficie de los tringulos. La suma
de las superficies de los tringulos ser el total de la superficie del polgono.
a+b+cbc2
cos
s(s-a)
(s-b) (s-c)
2=
Atan
s(s-a)A=
2 bc
s=
sen (s-b) (s-c)A
=cb
C
2
aB
A
superficie = ))()(( csbsass ; donde "s" es el semipermetro y a, b, y c
son los lados del tringulo.
Dentro de cada tringulo, y en el polgono total, la suma de ngulos
interiores debe ser: ngulos interiores = 180 (n-2); n = nmero de lados o
ngulos.
Ejercicio 2.1.(resuelto) Calcular ngulos interiores y superficie del
tringulo con los datos siguientes: (acotacin en metros).
50.25a , ,80.26b 40.27c
A
B C
b c
a
19
Desarrollo: Se calcula:
-El semipermetro, 2
cbas
;
2
40.2780.2650.25 ; ms 85.39
-Los ngulos interiores del tringulo, en este caso utilizaremos la frmula
de senos:
bc
csbsAsen))((
2
)40.27)(80.26(
)40.2785.39)(80.2685.39(
32.734
)45.12)(05.13( =
32.734
4725.162 221255.0 47038.0 )47038.0(
21
senA
37.31328
'''2
OA 2)'''( 37.31328
OA
75.3756
'''OA
70.698
)45.12)(35.14(
)40.27)(50.25(
)40.2785.39)(50.2585.39())((
2 ac
csasBsen
)50567.0(
250567.02557.0
70.698
6575.178 1senB
2)(
2 48.32223048.322230'''''' OO
BB
96.44560
'''OB
40.683
)05.13)(35.14(
)80.26)(50.25(
80.2685.39)(50.2585.39())((
2 ab
bsasCsen
)52347.0(
252347.027402.0
40.683
2675.187 1senC
2)(
2 65.55333165.553331'''''' OO
CC
29.51763
'''OC
La sumatoria de los ngulos del tringulo:
000018029.5176396.4456075.3756
'''''''''''' OOOO
20
-La superficie:
))()(( csbsassSuperficie
)40.2785.39)(80.2685.39)(50.2585.39)(85.39(
49.92909)45.12)(05.13)(35.14)(85.39(
mSuperficie2
81.304
Ejercicio 2.2. (Resuelto). Calcular ngulos interiores y superficie del
tringulo con los datos siguientes: (acotacin en metros).
,90.54a ,60.48b 90.60c
Desarrollo: Se calcula:
-El semipermetro, 2
cbas
2
90.6060.4890.54 s
ms 20.82
-Los ngulos interiores del tringulo, en este caso utilizaremos la frmula
de cosenos:
74.2959
)30.27)(20.82(
)90.60)(60.48(
)90.5420.82)(20.82()(
2cos
bc
assA
)87074.0(2
87074.0758195.074.2959
06.2244cos
1 A
A
B C
b c
a
21
2)(2 27.17272927.172729
'''''' OOAA
54.345458'''O
A
41.3343
)60.33)(20.82(
)90.60)(90.54(
)60.4820.82)(20.82()(
2cos
ac
bssB
)90889.0(2
90889.08268.041.3343
92.2761cos
1 B
2)(2 96.51382496.513824
'''''' OOBB
91.431749'''O
B
14.2668
)30.21)(20.82(
)60.48)(90.54(
)90.6020.82)(20.82()(
2cos
ab
cssC
)81007.0(2
81007.065621.014.2668
86.1750cos
1 C
2)(2 78.50533578.505335
'''''' OOCC
41.554771'''O
C
La sumatoria de los ngulos del tringulo:
000018055.41477191.43174954.345458'''''''''''' OOOO
-La superficie:
))()(( csbsassSuperficie
)90.6020.82)(60.4820.82)(90.5420.82)(20.82(
86.1606028)30.21)(60.33)(30.27)(20.82(
mSuperficie2
292.1267
22
Ejercicio 2.3.(Resuelto). Calcular ngulos interiores y superficie del
tringulo con los datos siguientes: (acotacin en metros).
,60.76a
,50.78b
90.80c
Desarrollo: Se calcula:
-El semipermetro, 2
cbas
= mss 00.118
2
90.8050.7860.76
-Los ngulos interiores del tringulo, en este caso utilizaremos la frmula
de tangente:
)60.41)(00.118(
)10.37)(50.39(
)40.7600.118)(00.118(
)90.8000.118)(50.7800.118(
)(
))((
2tan
ass
csbsA
)5464.0(2
5464.02985.080.4908
45.1465tan
1 A
2)(
2 32.5392832.53928'''''' OO
AA
65.101857
'''OA
)50.39)(00.118(
)10.37)(60.41(
)50.7800.118)(00.118(
)90.8000.118)(40.7600.118(
)(
))((
2tan
bss
csasB
)5754.0(
25754.033112.0
00.4661
36.1543tan
1 B
2)(
2 01.3552901.35529'''''' OO
BB
A
B C
b c
a
23
02.65057
'''OB
)10.37)(00.118(
)50.39)(60.41(
)90.8000.118(00.118
)50.7800.118)(40.7600.118(
)(
))((
2tan
css
bsasC
)61266.0(
261266.03753.0
80.4377
20.1643tan
1 C
2)(
2 41.38293141.382931'''''' OO
CC
81.165962
'''OC
La sumatoria de los ngulos del tringulo:
000018081.16596202.6505965.101857'''''''''''' OOOO
-La superficie:
))()(( csbsassSuperficie
90.8000.118)(50.7800.118)(40.7600.118(00.118
96.7193600)10.37)(50.39)(60.41)(00.118(
mSuperficie2
089.2682
Ejercicio 2.4. Utilizando la frmula de los senos, calcular ngulos
interiores y superficie del tringulo con los datos siguientes: (acotacin en
metros).
,62.15a
,32.17b
29.14c
A
B C
b c
a
24
Ejercicio 2.5. Utilizando la frmula de los cosenos, calcular ngulos
interiores y superficie del tringulo con los datos siguientes: (acotacin en
metros).
,99.33a
,11.38b
21.35c
Ejercicio 2.6. Utilizando la frmula de la tangente, calcular ngulos
interiores y superficie del tringulo con los datos siguientes: (acotacin en
metros).
,23.75a ,54.69b 96.71c
A
B C
b c
a
A
B
C
b c
a
25
b.) Polgono con lado de liga.
Cuando no pueden medirse todas las diagonales, puede emplearse el
mtodo lado de liga. (Ver figura 2.1.5).
Figura 2.1.5.
HcA
ba
A clados de liga
GF
ba
CA
B
E
D
Se miden a, b, c, en cada vrtice; (b es el lado de liga).
Si se miden dos lados iguales, el de liga resulta una cuerda de crculo de
radio "a", y el ngulo se calcula as:
)
2(2
1
a
bA sen
En esta forma quedan definidos los ngulos del polgono de apoyo.
La superficie dentro del polgono se calcula sumando la de todos los
tringulos.
PRACTICA No. 5. Levantamiento con cinta de un polgono cerrado con el
mtodo lado de liga.
PROCEDIMIENTO:
Paso1.Reconocimiento del terreno. Se verifica si el terreno est en
condiciones para aplicar correctamente el mtodo.
Paso 2. Se traza y se mide los lados del polgono.(Ver figura 2.1.5).
26
Paso 3. Se traza y se mide los lados de liga. (Ver figura 2.1.5).
Paso 4. Levantamiento de detalles con relacin al polgono, dentro o fuera
del mismo. Estos pueden ser edificaciones, ros, canales, o cualquier objeto
que no sea fcil de remover. Con los detalles y las referencias se formarn
tringulos. (Ver figura 2.1.3).
Paso 5. Con los datos obtenidos de los lados de liga, se calcula los
ngulos interiores del polgono.
Paso 6. Con los ngulos interiores y las distancias de los lados, se dibuja
el polgono. En el dibujo a escala se traza y se mide diagonales, con las
cuales se forman tringulos.
Paso 7. Se calcula la superficie de cada tringulo formado, con el
mtodo de base triangulado. La superficie total ser la suma de todos los
tringulos.
Paso 8. Se dibuja todo lo levantado. El dibujo debe llevar los datos
mnimos necesarios tales como: orientacin, plano de localizacin, detalles,
referencias, ngulos y distancias. (Ver figura 2.1.4).
MATERIAL Y/O EQUIPO:
- Cinta mtrica topogrfica de 30 metros.
- Hilo fluorescente de albail.
- Estacas de fierro o madera.
- Cintilla topogrfica fluorescente.
- Marro de 4 libras.
Ejercicio 2.7 (resuelto). Calcular los ngulos interiores del polgono con la
frmula del mtodo lado de liga, con los datos siguientes:
27
B
C
E
55
5
5
55
5
5
5
5
7.94
6.62
8.75
8.02
8.80
-Calcular el ngulo A:
)56090491.52(2794.02
10
94.72
)5(2
94.72
111
sensensenA
52.1807105
'''OA
-Calcular el ngulo B:
)45258311.41(2662.02
10
62.62
)5(2
62.62
111
sensensenB
6.185482
'''OB
-Calcular el ngulo C:
)16354711.61(2876.02
10
76.82
)5(2
76.82
111
sensensenC
82.2305122
'''OC
-Calcular el ngulo D:
)32151496.53(2802.02
10
02.82
)5(2
02.82
111
sensensenD
90.3438106
'''OD
28
-Calcular el ngulo E:
)64236343.61(2880.02
10
80.82
)5(2
80.82
111
sensensenE
02.517123
'''OE
Ejercicio 2.8 (resuelto). Calcular los ngulos interiores del polgono con la
frmula del mtodo lado de liga, con los datos siguientes:
A
B
C
DF
7
7
77
7
7
7
7
77
7
7
9.56
13.44
13.03
9.82
10.61
13.82
-Calcular el ngulo A:
)0673.43(26829.02
14
56.92
)7(2
56.92
111
sensensenA
56.40886'''O
A
-Calcular el ngulo B:
)7398.73(296.02
14
44.132
)7(2
44.132
111
sensensenB
5.4628147'''O
B
29
-Calcular el ngulo C:
)5464.68(29307.02
14
03.132
)7(2
03.132
111
sensensenC
33.3405137'''O
C
Calcular el ngulo D:
)5417.44(270143.02
14
82.92
)7(2
82.92
111
sensensenD
46.00589'''O
D
Calcular el ngulo E:
)27565.49(275786.02
14
61.102
)7(2
61.102
111
sensensenE
69.43398'''O
E
Calcular el ngulo F:
)80236.80(29871.02
14
82.132
)7(2
82.132
111
sensensenF
1736161'''O
F
Ejercicio 2.9. Calcular los ngulos interiores del polgono con la frmula
del mtodo lado de liga, con los datos siguientes:
B C
D
F
99
9
9
9 9
9
9 9
9
9
9
11.23
17.04
13.51
14.20
14.26
15.44
30
Ejercicio 2.10. Calcular los ngulos interiores del polgono con la frmula
del mtodo lado de liga, con los datos siguientes:
B
C
D
E
F
G
10 10
10
10
10
10
1010
10
10
10
10
10
10
17.41
14.76
18.21
19.018.23
9.34
9.37
2.2. Concepto de azimut, rumbo y declinacin magntica.
Direcciones de las lneas y ngulos horizontales.
La direccin de una lnea se puede definir por el Rumbo o por su Azimut.
Ambos pueden ser magnticos o astronmicos. Los datos astronmicos se
consideran invariables, y tambin se les llama verdaderos.
Rumbo es el ngulo que forma una lnea con el eje Norte-Sur, contado de
cero a 90, a partir del Norte o a partir del sur, hacia el Este o hacia el Oeste.
(Ver figura 2.2.1.).
31
Figura 2.2.1.
S
N
SE7300'
AW
D
SW
P
NW NE
E
C
SW 48
53'
NE 48
53'
Rum
bo di
recto
AB
W
S
B
E
N
Tomando la lnea AB, su rumbo directo es el que se obtiene,
estacionndose en A y visando el punto B.
El rumbo inverso es el que tiene el sentido opuesto, o sea el de BA.
Azimut es el ngulo que forma una lnea con la direccin Norte-sur,
medido de 0 a 360 a partir del norte, en el sentido del movimiento del reloj.
nicamente en el primer cuadrante coinciden el Rumbo y el Azimut en
valor numrico.
Las direcciones magnticas se obtienen con brjula. La figura 2.2.2.
muestra como se mide el azimut de las lneas.
Figura 2.2.2.
S
B
W A
N
E
32
Declinacin Magntica es el ngulo formado entre la direccin Norte-
Astronmica y la Norte-Magntica. Cada lugar de la Tierra tiene una
Declinacin que puede ser hacia el Este o hacia el Oeste, segn se desva la
punta norte de la aguja magntica.
El meridiano de un lugar de la Tierra sigue la direccin Norte-Sur
Astronmica.
La declinacin magntica en un lugar puede obtenerse determinando la
direccin astronmica y la magntica de una lnea; tambin se puede obtener
de tablas de posiciones geogrficas que dan la declinacin de diversos
lugares y poblaciones, o mediante planos de curvas isognicas.
La declinacin sufre variaciones que se clasifican en: seculares, anuales,
diurnas e irregulares. Las tres primeras son variaciones que sufre con el
tiempo, y por eso es importante cuando se usa orientacin magntica, anotar
la fecha y la hora en que se hizo la orientacin.
Las variaciones irregulares no se pueden determinar, pues se deben a
atracciones locales o tormentas magnticas y pueden ser variaciones muy
grandes.
BRJULA.
Generalmente son aparatos de mano. Pueden apoyarse en tripi, o en un
bastn, o en una vara cualquiera.
Las letras E y W de la cartula estn invertidas debido al movimiento
relativo de la aguja respecto a la caja. Las pnulas sirven para dirigir la visual,
a la cual se va a medir el Rumbo.
Para leer el rumbo directo de una lnea se dirige el Norte de la caja al otro
extremo de la lnea, y se lee el rumbo con la punta norte de la caja.( Ver
figura 2.2.3.).
33
Figura 2.2.3.
E W
pnula
S
meridiano
magntico
pnula
N
vis
ual
Condiciones que debe reunir una brjula.
-La lnea de los ceros Norte-Sur debe coincidir con el plano vertical de la
visual definida por las pnulas.
Si esto no se cumple, las lneas cuyos rumbos se miden quedarn
desorientadas, aunque a veces se desorienta a propsito para eliminar la
declinacin.
La recta que une las dos puntas de la aguja debe pasar por el eje de
rotacin, es decir, la aguja en s debe ser una lnea recta.
Se revisa observando si la diferencia de las lecturas entre las dos puntas
es de 180, en cualquier posicin de la aguja.
Se corrige enderezando la aguja.
El eje de rotacin debe coincidir con el centro geomtrico de la
graduacin.
Se revisa observando si la diferencia de lecturas de las dos puntas es de
180 en alguna posicin y en otras no. El defecto consiste en que el pivote de
giro de la aguja se haya desviado. Se corrige enderezando el pivote
convenientemente, en el sentido normal a la posicin de la aguja que acuse
la mxima diferencia a 180.
34
Nota: Los ajustes que se le hagan a la brjula, conviene que se le hagan
en taller, para evitar que la aguja se desmagnetice.
La aguja debe quedar apretada cuando no se usa, para que no se golpee
al transportarla y se doble el pivote.
USOS DE LA BRJULA.
Se emplea para levantamientos secundarios, reconocimientos
preliminares, para tomar radiaciones en trabajos de configuraciones, para
polgonos apoyados en otros levantamientos ms precisos, etc.
No debe emplearse la brjula en zonas donde queda sujeta a atracciones
locales (poblaciones, lneas de transmisin elctrica, etc.).
REGISTRO DE CAMPO
Trabajo:______________ Lugar:_________________
Fecha:___________________
Estacin
Punto visado Rumbo
Magntico
observado
Longitud Observaciones
A B NE 51 1/4 123.50 A. mojonera
de
De concreto
A H SE 21 1/2 Rumbo Ledo
A las 9:30
B C
B A
C D
35
REGISTRO DE GABINETE
Rumbo
magntico
calculado
ANGULOS
Ntese que los ngulos slo se leen con aproximacin de o de de
grado a lo sumo, estimado a ojo.
Para levantamientos muy rpidos, de poca precisin, pueden tomarse
rumbos saltando las estaciones pares, o las impares.
El mejor procedimiento consiste en medir, en todos y cada uno de los
vrtices, rumbos directos e inversos de los lados que all concurran, pues as
por diferencia de rumbos se calculan en cada punto el valor del ngulo
interior, correctamente, aunque haya alguna atraccin local. Con esto se
logra obtener los ngulos interiores del polgono, verdaderos, a pesar de que
haya atracciones locales, que en caso de existir, slo producen
desorientacin de las lneas.
PRACTICA No. 5. Levantamiento topogrfico de un polgono con brjula y
cinta por el mtodo de itinerarios.
PROCEDIMIENTO:
1. Se miden rumbos hacia atrs y hacia delante en cada vrtice. (rumbos
observados). Se miden distancias de los lados.( Ver figura 2.2.4.).
36
Figura2.2.4.
el polgono
sentido en que
se recorre
G
F
H
A
B
E
DC
2. A partir de estos rumbos, se calculan los ngulos interiores, por
diferencia de rumbos, en cada vrtice.
3. Se escoge un rumbo base (que puede ser el de un lado cuyos rumbos
directo e inverso hayan coincidido mejor).
4. A partir del rumbo base, con los ngulos interiores calculados se
calculan nuevos rumbos para todos los lados, que sern los rumbos
calculados.
En el inciso (4) debe verificarse que:
ngulos interiores = 180 (n-2)
Si hay error, este no deber exceder la tolerancia, que para este caso es:
T = a n = n
En esta frmula "a" es la aproximacin del aparato que se considera de
1/2, y (n) el nmero de ngulos medidos.
5. Calcular la superficie del polgono por el mtodo base triangulado.
6. Dibujar lo levantado con todos los datos y especificaciones.
37
MATERIAL Y/O EQUIPO:
- Brjula de reflexin
- Cinta mtrica topogrfica de 30 metros.
- Hilo fluorescente de albail.
- Estacas de fierro o madera.
- Cintilla topogrfica fluorescente.
- Marro de 4 libras.
Ejercicios para aprender a obtener rumbos y azimuts a partir de ngulos
interiores y exteriores y un rumbo o azimut como base. Tambin obtener
ngulos con los rumbos o azimuts de todos los lados.
Ejercicio 2.11. A partir del rumbo de la lnea AB y los ngulos interiores
del polgono, obtener los rumbos faltantes.
A
B
C
5522'
712'
5336'
-Calcular el rumbo del lado BC:
Haciendo estacin en B, se obtiene el rumbo indirecto AB=SW3006.
Con el ngulo interior B=5622 y el rumbo indirecto AB, se calcula el rumbo
directo BC.
06302255'' OO
rumboBC
1625'O
SErumboBC
38
-Calcular el rumbo del lado CA:
Haciendo estacin en C, se obtiene el rumbo indirecto de BC=NW2516.
Con el ngulo interior C=5336 y el rumbo indirecto BC, se calcula el rumbo
directo CA.
36531625 '' OOrumboCA
5278'O
NWrumboCA
Ejercicio 2.12. A partir del rumbo de la lnea AB y los ngulos interiores
del polgono, obtener los rumbos faltantes.
-Calcular el rumbo del lado BC:
Haciendo estacin en B, se obtiene el rumbo indirecto AB=SW4949.
Con el ngulo interior B=8923 y el rumbo indirecto AB, se calcula el rumbo
directo BC.
49492389 '' OOrumboBC
3439'O
SErumboBC
39
-Calcular el rumbo del lado CD:
Haciendo estacin en D, se obtiene el rumbo indirecto de BC=NW3934.
Con el ngulo interior C=7356 y el rumbo indirecto BC, se calcula el rumbo
directo CD.
56733439180 '' OOOrumboCD
30113180'OO
rumboCD
3066'O
SWrumboCD
-Calcular el rumbo del lado DA:
Haciendo estacin en D, se obtiene el rumbo indirecto de CD=NE6630.
Con el ngulo interior D=10423 y el rumbo indirecto CD, se calcula el
rumbo directo DA.
306623104 ' OOrumboDA
5337'O
NWrumboDA
Ejercicio 2.13 (no resuelto). A partir del rumbo de la lnea AB y los
ngulos interiores del polgono, obtener los rumbos faltantes.
40
Ejercicio 2.14 (no resuelto). A partir del rumbo de la lnea AB y los ngulos
interiores del polgono, obtener los rumbos faltantes.
41
2.3. Descripcin del teodolito mecnico, electrnico y estacin total.
Teodolito mecnico.
El teodolito, es el aparato universal para la Topografa, debido a la gran
variedad de usos que se le dan. Puede usarse para medir y trazar ngulos
horizontales y direcciones, ngulos verticales, y diferencias en elevacin;
para la prolongacin de lneas; y para determinacin de distancias. Aunque
debido a la variedad de fabricantes de teodolitos, stos difieren algo en
cuanto a sus detalles de construccin, en lo que respecta a sus
caractersticas, esencialmente son sumamente parecidos. Es un instrumento
de medicin mecnico-ptico universal, que sirve para medir ngulos
verticales y, sobre todo, horizontales, mbito en el cual tiene una precisin
elevada. Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y
desniveles.
Es porttil y manual, est hecho con fines topogrficos e ingenieriles,
sobre todo en las triangulaciones. Con ayuda de una mira y mediante la
taquimetra, puede medir distancias. Bsicamente, el teodolito actual es un
telescopio montado sobre un trpode y con dos crculos graduados, uno
vertical y otro horizontal, con los que se miden los ngulos con ayuda de
lentes. (Ver figura 2.3.1).
Figura 2.3.1. Teodolito mecnico.
42
Los teodolitos se clasifican en teodolitos repetidores, reiteradores y
teodolitos-brjula.
Los teodolitos repetidores han sido fabricados para la acumulacin de
medidas sucesivas de un mismo ngulo horizontal en el limbo, pudiendo asi
dividir el ngulo acumulado y el nmero de mediciones.
Los teodolitos reiteradores llamados tambin direccionales tienen la
particularidad de poseer un limbo fijo y solo se puede mover la alidada.
Los teodolitos-brjula, como dice su nombre, tiene incorporada una
brjula de caractersticas especiales. La brjula es imantada en la misma
direccin al crculo horizontal. La graduacin es de 0-180 con gran
precisin.
El teodolito tiene tres ejes principales y dos secundarios.
Ejes principales.
-Eje vertical de rotacin instrumental S-S (EVRI).
-Eje horizontal de rotacin del anteojo K-K (EHRA).
-Eje ptico Z-Z (EO).
El eje vertical de rotacin instrumental es el eje que sigue la trayectoria
del cenit-nadir, tambin conocido como la lnea de la plomada, y que marca
la vertical del lugar.
El eje ptico es el eje donde se enfoca a los puntos. El eje principal es el
eje donde se miden ngulos horizontales. El eje que sigue la trayectoria de la
lnea visual debe ser perpendicular al eje secundario y este debe ser
perpendicular al eje vertical. Los discos son fijos y la alidada es la parte
m vil. l ecl metro tambin es el disco vertical.
El eje horizontal de rotacin del anteojo o eje de muones es el eje
secundario del teodolito, en el se mueve el visor. En el eje de muones hay
que medir cuando utilizamos mtodos directos, como una cinta de medir, y
as obtenemos la distancia geomtrica elevada y si medimos directamente al
suelo obtendremos la distancia geomtrica semielevada; las dos se miden a
partir del eje de muones del teodolito.
43
El plano de colimacin es un plano vertical que pasa por el eje de
colimacin que est en el centro del visor del aparato; se genera al girar el
objetivo.( Ver figura 2.3.2.).
Figura 2.3.2. Ejes principales de un teodolito.
Ejes secundarios.
-Lnea de fe.
-Lnea de ndice.
Partes principales.
-Niveles: El nivel es un pequeo tubo cerrado que contiene una mezcla de
alcohol y ter, una burbuja de aire; la tangente de la burbuja de aire ser un
plano horizontal. Se puede trabajar con los niveles descorregidos.
44
-Precisin: Depende del tipo de teodolito que se utilice. Existen desde los
antiguos que varan entre el minuto y medio minuto, los modernos que tienen
una precisin de entre 10, 6, 1 y hasta 0.1.
-Nivel esfrico: Caja cilndrica tapada por un casquete esfrico. Cuanto
menor sea el radio de curvatura sern menos sensibles; sirven para obtener
de forma rpida el plano horizontal. Estos niveles tienen en el centro un
crculo, hay que colocar la burbuja adentro del crculo para hallar un plano
horizontal bastante aproximado. Tienen menor precisin que los niveles
tricos, su precisin est en 1 como mximo aunque lo normal es de 10 o
12.
-Nivel trico: Si est descorregido nos impide medir. Hay que calarlo con
los tornillos que lleva el aparato. Para corregir el nivel hay que bajarle un
ngulo determinado y despus estando en el plano horizontal con los tornillos
se nivela el ngulo que hemos determinado. Se puede trabajar descorregido,
pero hay que cambiar la constante que da el fabricante. Para trabajar
descorregido necesitamos un plano paralelo. Para medir hacia el norte
geogrfico (se miden azimuts, si no se tienen orientaciones) utilizando el
movimiento general y el movimiento particular.
Sirven para orientar el aparato y si se conoce el acimutal se sabrn las
direcciones medidas respecto al norte.
-Plomada: Se utiliza para que el teodolito est en la misma vertical que el
punto del suelo.
-Plomada de gravedad: Bastante incomodidad en su manejo, se hace
poco precisa sobre todo los das de viento. Era el mtodo utilizado antes de
aparecer la plomada ptica.
-Plomada ptica: Es la que llevan hoy en da los teodolitos, por el ocular
se ve el suelo, y as se pone el aparato en la misma vertical que el punto
buscado.
45
-Limbos: Discos graduados que permiten determinar ngulos. Estn
divididos de de 0 a 360 grados sexagesimales, o de 0 a 400 grados
centesimales. En los limbos verticales se pueden ver diversas graduaciones
(limbos cenitales). Los limbos son discos graduados, tanto verticales como
horizontales. Los teodolitos miden en graduacin normal (sentido dextrgiro)
o graduacin anormal (sentido levgiro o contrario a las agujas del reloj). Se
miden ngulos cenitales (distancia cenital), ngulos de pendiente (altura de
horizonte) y ngulos nadirales.
-Nonius: Mecanismo que nos permite aumentar o disminuir la precisin de
un limbo. Se dividen las "n" divisiones del limbo entre las "n" divisiones del
nonio. La sensibilidad del nonio es la diferencia entre la magnitud del limbo y
la magnitud del nonio.
Micrmetro: Mecanismo ptico que permite hacer la funcin de los nonios
pero de forma que se ve una serie de graduaciones y un rayo ptico
mediante mecanismos, esto aumenta la precisin.
Partes accesorias.
-Trpodes: Se utilizan para trabajar mejor, tienen la misma X y Y pero
diferente Z ya que tiene una altura; el ms utilizado es el de meseta. Hay
unos elementos de unin para fijar el trpode al aparato.
Los tornillos nivelantes mueven la plataforma del trpode; la plataforma
nivelante tiene tres tornillos para conseguir que el eje vertical sea vertical.
-Tornillo de presin (movimiento general): Tornillo marcado en amarillo, se
fija el movimiento particular, que es el de los ndices, y se desplaza el disco
negro solidario con el aparato. Se busca el punto y se fija el tornillo de
presin. Este tornillo acta en forma radial, o sea hacia el eje principal.
-Tornillo de coincidencias (movimiento particular o lento): Si hay que visar
un punto lejano, con el punto no se puede, para centrar el punto se utiliza el
tornillo de coincidencia.
46
Con este movimiento se hace coincidir la lnea vertical de la cruz filar con
la vertical deseada, y este acta en forma tangencial. Los otros dos tornillos
mueven el ndice y as se pueden mover ngulos o lecturas acimutales con
esa orientacin.
Movimientos del teodolito.
Este instrumento, previamente instalado sobre el trpode en un punto del
terreno que se denomina estacin, realiza los movimientos sobre los ejes
principales.
Movimiento de la alidada: Este movimiento se realiza sobre el eje vertical
(S-S), tambin presente en los instrumentos de todas las generaciones de
teodolito. Permite al operador girar el anteojo horizontalmente, en un rango
de 360.
Movimiento del anteojo: Este movimiento se realiza sobre el eje horizontal
(K-K) y permite al operador girar desde el punto de apoyo hasta el cenit,
aunque estos casos son muy raros ya que mayormente se abarca un rango
promedio de 90.
Caractersticas constructivas fundamentales.
Para realizar un buen levantamiento topogrfico se deben considerar las
siguientes condiciones:
-Cuando el teodolito se encuentre perfectamente instalado en una
estacin, el eje vertical (o eje principal S-S) queda perfectamente vertical.
-El eje de colimacin (Z-Z) debe ser perpendicular al eje horizontal (K-K).
-El eje horizontal (K-K) debe ser perpendicular al eje vertical (S-S).
47
Teodolito electrnico.
Es la versin del teodolito ptico, con la incorporacin de electrnica para
hacer las lecturas del crculo horizontal y vertical, desplegando los ngulos
en una pantalla eliminando errores de apreciacin, es ms simple en su uso,
y por requerir menos piezas es ms simple en su fabricacin y en algunos
casos su calibracin.
Las principales caractersticas que se deben observar para comparar
estos equipos hay que tener en cuenta la precisin, el nmero de aumentos
en la lente del objetivo y si tiene o no compensador electrnico. ( Ver figura
2.3.3.).
Figura. 2.3.3. Teodolito electrnico
48
Estacin total.
Se denomina estacin total a un aparato electro-ptico utilizado en
topografa, cuyo funcionamiento se apoya en la tecnologa electrnica.
Consiste en la incorporacin de un distancimetro y un microprocesador a un
teodolito electrnico. (Ver figura 2.3.4.).
Algunas de las caractersticas que incorpora,, y con las cuales no cuentan
los teodolitos, son una pantalla alfanumrica de cristal lquido (LCD), leds de
avisos, iluminacin independiente de la luz solar, calculadora, distancimetro,
trackeador (seguidor de trayectoria) y la posibilidad de guardar informacin
en formato electrnico, lo cual permite utilizarla posteriormente en
ordenadores personales. Vienen provistas de diversos programas sencillos
que permiten, entre otras capacidades, el clculo de coordenadas en campo,
replanteo de puntos de manera sencilla y eficaz y clculo de acimutes y
distancias.
Funcionamiento.
Vista como un teodolito, una estacin total se compone de las mismas
partes y funciones. El estacionamiento y verticalizacin son idnticos, aunque
para la estacin total se cuenta con niveles electrnicos que facilitan la tarea.
Los tres ejes y sus errores asociados tambin estn presentes, el de
verticalidad, que con la doble compensacin ve reducida su influencia sobre
las lecturas horizontales, y los de colimacin e inclinacin del eje secundario,
con el mismo comportamiento que en un teodolito clsico, salvo que el
primero puede ser corregido por software, mientras que en el segundo la
correccin debe realizarse por mtodos mecnicos.
El instrumento realiza la medicin de ngulos a partir de marcas
realizadas en discos transparentes. Las lecturas de distancias se realizan
mediante una onda electromagntica portadora con distintas frecuencias que
rebota en un prisma ubicado en el punto a medir y regresa, tomando el
instrumento el desfase entre las ondas.
49
Algunas estaciones totales presentan la capacidad de medir "a slido", lo
que significa que no necesita un prisma reflectante.
Este instrumento permite la obtencin de coordenadas de puntos respecto
a un sistema local o arbitrario, como tambin a sistemas definidos y
materializados. Para la obtencin de estas coordenadas el instrumento
realiza una serie de lecturas y clculos sobre ellas y dems datos
suministrados por el operador. Las lecturas que se obtienen con este
instrumento son las de ngulos verticales, horizontales y distancias. Otra
particularidad de este instrumento es la posibilidad de incorporarle datos
como coordenadas de puntos, cdigos, correcciones de presin y
temperatura, etc.
La precisin de las medidas es del orden de la diezmilsima de gonio en
ngulos y de milmetros en las distancias, pudiendo realizar medidas en
puntos situados entre 2 y 5 kilmetros segn el aparato y la cantidad de
prismas usada.
Genricamente se les denomina estaciones totales porque tienen la
capacidad de medir ngulos, distancias y niveles, lo cual requera
previamente de diversos instrumentos. Estos teodolitos electro-pticos hace
tiempo que son una realidad tcnica accesible desde el punto de vista
econmico. Su precisin, facilidad de uso y la posibilidad de almacenar
informacin para descargarla despus en programas de CAD ha hecho que
desplacen a los teodolitos, que actualmente estn en desuso.
Por otra parte, desde hace ya varios aos las estaciones totales se estn
viendo desplazadas por equipos GNSS (Sistema Satelital de Navegacin
Global, por sus siglas en ingls) que abarca sistemas como el GPS, antes
conocido como Navstar, de E.E.U.U., el GLONASS, de Rusia, El COMPAS
de China y el GALILEO de la Unin Europea.
50
Las ventajas del GNSS topogrfico con respecto a la estacin total son
que una vez fijada la base en tierra no es necesario mas que una sola
persona para tomar los datos, mientras que la estacin total requera de dos,
el tcnico que manejaba la estacin y el operario que situaba el prisma; y
aunque con la tecnologa de Estacin Total Robtica, esto ya no es
necesario, el precio de los sistemas GNSS ha bajado tanto que han ido
desplazando a aquellas en campo abierto. Por otra parte, la estacin total
exige que exista una lnea visual entre el aparato y el prisma (o punto de
control), lo que es innecesario con el GNSS, aunque por su parte el GNSS
requiere al operario situarse en dicho punto, lo cual no siempre es posible. La
gran ventaja que mantiene la Estacin Total contra los sistemas satelitales
son los trabajos bajo techo y subterrneos, adems de aquellos donde el
operador no puede acceder, como torres elctricas o riscos, y que con
sistemas de medicin sin prisma de hasta 3000 m (a la fecha), estos
levantamientos se pueden hacer por una persona y desde un solo punto,
aunque en este aspecto los Escneres Lser y la tecnologa LIDAR han
estado ganado terreno.
Por lo tanto, no siempre es posible el uso del GNSS, principalmente
cuando no puede recepcionar las seales de los satlites debido a la
presencia de edificaciones, bosque tupido, etc. Por lo dems, los sistemas
GNSS RTK (Cenemtico de Tiempo Real, por sus siglas en ingls) ya
igualan e incluso superan la precisin de cualquier estacin total, salvando
los errores acumulables de stas ltimas, permitiendo adems
levantamientos de puntos distantes incluso a 100 kms sin problema. En el
futuro se percibe que la eleccin entre un equipo GNSS o bien una estacin
total estar mas dado por la aplicacin en si, que por los lmites tecnolgicos
que cada instrumento presente.
51
Figura 2.3.4. Estacin Total
-Nomenclatura y funciones de una estacin total.
Pantalla.
La pantalla utiliza una matriz de puntos LCD con 4 lneas y 20 caracteres
por lnea. En general, las tres lneas superiores muestran los datos medidos
y la ltima lnea muestra la funcin de cada tecla que vara segn el modo de
medicin.
52
Contraste e iluminacin.
El contraste e iluminacin de la pantalla puede ser ajustado. Ver MODO
SP CIAL (Modo Men), o en el "Modo de Tecla strella.
El calentador (Automtico).
El calentador automtico incorporado funciona cuando la temperatura est
abajo del 0C. Esto incide en la velocidad del despliegue a temperaturas bajo
0C. Para poner ON/OFF el calentador, vea seccin el Calentador ON /
OFF. El tiempo de operacin se reduce si el calentador se usa.
Ejemplo.
Modo de medida angular Modo de medida de distancia
ngulo V: 90o
10' 20"
ngulo H: 120o
30' 40"
Unidades en pies Unidades en pies y pulgadas
ngulo Horizontal: 120 30' 40"
Distancia reducida: 123.45ft
Diferencia de altura: 12.34ft
V: 90o
10'20" HD: 1203040 0 R T INGR P1
V: 90o
10'20" HD: 1203040 0 R T INGR P1
V: 90o
10'20" HD: 1203040 0 R T INGR P1
HD: 120o
30'40" DH* 65.432 m DV: 12.345 m MED. MODO S/A P1
V: 90o
10'20" HD: 1203040 0 R T INGR P1
ngulo Horizontal: 120 30' 40" Distancia reducida: 65.432m Diferencia de altura: 12.345m
HD: 120o
30'40" DH* 123.45 ft DV: 12.34 ft
M D. MODO S/A P1
HD: 120o
30'40" DH* 123.04.6fi DV: 12.03.4fi
M D. MODO S/A P1
ngulo horizontal : 120o
30' 40" Distancia reducida : 123ft 4in 6/8in Diferencia de altura : 12ft 3in 4/8in
53
Smbolos de la Pantalla.
Smbolo Significado Smbo
lo
Significado
V ngulo Vertical * MED funcionando
HD ngulo Horizontal
Derecho
m Unidades en etros
HI ngulo Horizontal
Izquierdo
ft Unidades en pies
DH Distancia Reducida fi Unidades en pies y pulgadas
DV Diferencia de Altura Bluetooth es el sistema de
comunicacin. (Este smbolo es marca
registrada por Bluetooth y aparece
en pantalla con la marca
de la batera cuando la
estacin total se comunica por
Bluetooth.)
DI Distancia Inclinada
N Coordenada N
E Coordenada E
Z Coordenada Z
Teclado de Operacin.
54
Teclas Nombre de
la tecla
Funcin
Tecla
Estrella
El Modo de tecla Estrella se usa para
presentar o desplegar las siguientes
opciones.
1 contraste del Pantalla 2 iluminacin de
Retculo
3 Luz de fondo 4 Correccin de
Compensador
5 Punto Lser Gua (Solo para los
modelos con esta opcin) 6
Configuracin del Modo Audio
Medida de Coordenadas Modo de medicin de coordenadas
Medida de Distancias Modo de medicin de la distancia
ANG Medida de
ngulos
Modo de medicin angular
MENU Tecla de
Men
Alterna los modos men y normal. Para
determinar las mediciones en diversas
aplicaciones y ajustar en el modo de
men.
ESC Tecla
Escape
Vuelve al modo de medicin o al
modo anterior desde el modo actual.
Para pasar directamente al modo de
REGISTRO DE DATOS o al modo de
REPLANTEO desde el modo de
medicin normal.
55
Tambin se puede utilizar para
registrar datos durante el modo de
medicin normal.
Para seleccionar la funcin de la
tecla ESC, ver captulo 16. MODO DE
SELECCIN.
POWER Encendido Enciende y apaga (ON/OFF) la batera.
ENT Tecla
Entrada
Presionar al final de la introduccin de
valores.
F1~F4 Teclas
Especiales.
(Teclas de
funcin)
Responden al mensaje mostrado.
56
Figura 2.3.5. Partes de una Estacin Total.
Tornillo de seguridad de la manilla de transporte
Manilla de transporte
Puntos de gua
Marca central del instrumento
Telescopio de plomada ptica (Opcional)
Tornillo de nivelacin
Perilla de seguridad de la base nivelante Base nivelante
Tornillo de ajuste del nivel circular
Nivel Circular
Pantalla
Lente objetivo
57
Figura 2.3.6. Partes de una Estacin Total.
Colimador
Perilla de enfoque del telescopio
Sujetador del telescopio
Pieza ocular del telescopio
Freno del movimiento vertical
Tornillo tangencial vertical
Nivel tubular
Pantalla
Botn de seguridad de la batera
Batera
Marca central del instrumento
Tornillo tangencial horizontal
Freno del movimiento horizontal
Conector de batera externa
Puerto serial
58
2.4. Mtodos de levantamiento.
Para representar grficamente los terrenos que levantamos es necesario
el apoyo de figuras geomtricas, puntos, lneas rectas, curvas, coordenadas,
etc. En esas condiciones podemos apoyarnos en poligonales abiertas o
cerradas, desde las cuales recopilar las mediciones lineales y angulares que
nos permitan representar grficamente la porcin de terreno con todos sus
detalles.
- ngulos Interiores.- Consiste en medir todos los ngulos interiores del
polgono. Es especialmente adecuado para polgonos cerrados.
Tiene la ventaja de permitir que los ngulos se midan por repeticiones o
reiteraciones, lo cual no ocurre con los otros mtodos.
Condicin angular:
Suma de ngulos interiores = 180 (n-2).
- Deflexiones.- Consiste en medir el ngulo de deflexin en cada vrtice.
Deflexin es el ngulo que forma en un vrtice la prolongacin del lado
anterior con el lado siguiente.
Estableciendo el sentido en que se va a recorrer el polgono; habr
deflexiones derechas e izquierdas.
Este sistema es especialmente adecuado para polgonos abiertos como
los que se emplean en vas de comunicacin.
En cada vrtice se ve el punto de atrs, se da vuelta de campana y se gira
la deflexin para ver el punto adelante.
Condicin angular: La suma de deflexiones de un polgono cerrado es
igual a 360, considerando signos contrarios para deflexiones derechas e
izquierdas. En polgonos abiertos, el control angular solo puede hacerse
comprobando las direcciones de los lados, mediante rumbos astronmicos,
cada cierto nmero de lados.
59
- Conservacin de Acimuts.- Este mtodo se emplea para cualquier clase
de polgonos.
Con el aparato en posicin directa, se orienta el aparato en el primer
vrtice (magnticamente o astronmicamente), para medir con un vernier el
azimut del primer lado, despus conservando en el vernier esta lectura, se
traslada el aparato al punto siguiente, y al ver el de atrs en posicin inversa,
queda el anteojo sobre la lnea cuyo Azimut se tiene marcado. Se vuelve el
anteojo en posicin directa, y as se logra que el aparato quede en una
posicin paralela a la que tuvo en el punto de atrs, o sea que el cero queda
otra vez orientado al Norte; y dejando ah fija la graduacin (movimiento
general apretado), se afloja el tornillo del movimiento particular y puede
medirse el Azimut de la siguiente lnea, con el vernier. As se contina el
procedimiento recorriendo ordenadamente los vrtices.
Trazo y prolongacin de alineamientos con teodolito.- Con vuelta de
campana, alternando posiciones para vista atrs y adelante con objeto de no
hacer acumulativo cualquier error de la lnea de colimacin que no se haya
apreciado al ajustar el aparato.(Ver figura 2.4.1).
Figura 2.4.1. Trazo y prolongacin de alineamiento.
A
I
B
CD
D I
D
Revisando en cada estacin la marca fijada adelante, con dos vueltas de
campana. (Ver figura 2.4.2.).
60
Figura 2.4.2. Trazo y prolongacin de alineamiento.
A
D
B
I
I D I
ID
C
D
D
Cuando hay un obstculo, puede procederse como se ilustra salvando el
obstculo con lneas normales al alineamiento, o desvindose un ngulo ()
cualquiera.
Figura 2.4.3. Trazo y prolongacin de alineamiento.
d
d
90
90
d
&
180-2&
90
90
&
d
Como determinar la distancia entre dos puntos cuando son estos
inaccesibles pero visibles. (A y B).- Se mide una longitud conveniente segn
lo permita el terreno (CD) y desde sus extremos se miden ngulos a (A) y a
(B). (Ver figura 2.4.4.).
61
Figura 2.4.4. Determinar distancia entre dos puntos inaccesibles e
invisibles.
auxiliar
A
auxiliarC se mide
D
se calcula AB en el tringulo
despus por Ley de Cosenos
calcular por Ley de Senos, y
cuyos elementos se pueden
As se forman dos tringulos
C
D C
ACB o en el ADB.
A
D
B
B
2.5. Agrimensura.
La agrimensura fue considerada antiguamente la rama de la topografa
destinada a la delimitacin de superficies, la medicin de reas y la
rectificacin de lmites. En la actualidad la comunidad cientfica internacional
reconoce que es una disciplina autnoma, con estatuto propio y lenguaje
especfico que estudia los objetos territoriales a toda escala, focalizndose
en la fijacin de toda clase de lmites. De este modo produce documentos
cartogrficos e infraestructura virtual para establecer planos, cartas y mapas
dando publicidad a los lmites de la propiedad o gubernamentales. Con el fin
de cumplir su objetivo, la agrimensura se nutre de la topografa, geometra,
ingeniera, trigonometra, matemticas, fsica, derecho, geomorfologa,
edafologa, arquitectura, historia, computacin, teledeteccin.
62
Origen.
A lo largo de la evolucin de esta disciplina los agrimensores se han
servido de diversos instrumentos especficos de su actividad. Entre ellos
destac durante siglos la escuadra de agrimensor, que permita establecer
las dimensiones de diferentes ngulos en varias direcciones.
La agrimensura ha sido un elemento esencial en el desarrollo del entorno
humano, desde el comienza de la historia registrada (En el 5000 A.C.); es un
requisito en la planificacin y ejecucin de casi toda la forma de la
construccin. Sus aplicaciones, actuales, mas conocidas son el transporte,
edificacin y construccin, comunicaciones, cartografa, y la definicin de los
lmites de la propiedad o gubernamentales
Las tcnicas de la agrimensura se han aplicado a lo largo de gran parte
de nuestra historia escrita. En el antiguo Egipto, cuando el Nilo inundaba sus
riberas y las granjas que se encontraban sobre las mismas, se establecieron
lmites por simple geometra. La casi perfecta cuadratura y orientacin norte-
sur de la Gran Pirmide de Guiza, construida en el 2700 a. C., confirma que
los egipcios dominaban la agrimensura.
Registro de tierras en Egipto (3000 A. C.). Bajo los romanos los
agrimensores se establecieron como una profesin, y crearon las divisiones
bsicas del imperio, as como el registro de los impuestos de las tierras
conquistadas (sobre el ao 300). En Inglaterra, el Domesday Book por
Guillermo I de Inglaterra (1086) Cubra toda Inglaterra. Figuran nombres de
los propietarios de las tierras, superficie, calidad de la tierra, e informacin
especfica sobre el contenido de la zona y sus habitantes. No inclua mapas
mostrando la exacta localizacin de las tierras. El catastro de la Europa
continental se cre en 1808. Creado por Napolen Bonaparte, "Un buen
catastro ser mi mayor logro en mi derecho civil", de Napolen I. Contena el
nmero de parcelas de la tierra, su uso, su valor. 100 millones de parcelas de
tierra, se triangularon y midieron hacindose mapas a escala de 1:2500 y
1:1250.
63
Rpida propagacin por Europa, pero sobre todo debido a los problemas
en los pases del Mediterrneo, los Balcanes y Europa oriental ocasionados
por los gastos de mantenimiento del catastro y conflictos. Las mediciones a
gran escala son un prerrequisito para realizar un mapa. A fines de los 1780s,
un equipo de la cartografa de Gran Bretaa, inicialmente bajo el General
William Roy comenz la Principal de la triangulacin de Bretaa utilizando el
teodolito Ramsden. En Espaa, en el siglo XIX, Javier de Burgos apoy la
creacin de las Academias de las Nobles Artes, para expedir ttulos de
agrimensores.
Tcnicas.
Histricamente, se midieron distancias de mltiples formas; como unir los
puntos con cadenas de una longitud conocida, por ejemplo, la cadena de
Gunter o cintas de acero o invar. Con el fin de medir las distancias
horizontales, estas cadenas o cintas se tensaban de acuerdo a la
temperatura, para reducir el pandeo y la holgura. Los ngulos horizontales se
midieron utilizando una brjula, que proporciona una inclinacin magntica
que se poda medir. Este tipo de instrumento posteriormente se mejor, con
unos discos inscritos con mejor resolucin angular, as como el montar
telescopios con retculos para ver con ms precisin encima del disco (vase
teodolito). Adems, se aadieron crculos calibrados que permitan medir de
ngulos verticales, junto con los vernieres para medir las fracciones de
grado. El mtodo ms simple para medir alturas es con un altmetro
(bsicamente un barmetro); utilizando la presin del aire como indicador de
alturas. Pero para la agrimensura se necesitaba mejorar la precisin. Con
este fin se han desarrollado una multitud de variantes, tales como los niveles
exactos. Los niveles son calibrados para dar un plano exacto de diferencias
de alturas entre el instrumento y el punto en cuestin que se mide, por lo
general, mediante el uso de una barra de medicin vertical.
64
A finales de los 1990s se utilizaban como herramientas bsicas en la
agrimensura sobre el terreno, la cinta mtrica para medir las distancias ms
cortas o diferencias de cotas; y un teodolito fijado en un trpode para medir
ngulos (horizontales y verticales), en combinacin con la triangulacin.
Partiendo de un punto de referencia, donde se conoce su ubicacin y cota,
se miden distancias y los ngulos de otros de los que se quiere conocer su
ubicacin y cota. Un instrumento ms moderno es la estacin total, que es un
teodolito electrnico con un dispositivo de medicin de distancia (EDM).
Desde la introduccin de las estaciones totales se han ido cambiando los
todos dispositivos pticos y mecnicos por electrnicos, con un ordenador
porttil y software. Las modernas estaciones top-of-the-line ya no requieren
un reflector o prisma (utilizados para devolver los pulsos de luz al medir
distancias) para devolver las mediciones de distancia, son totalmente
autmatas, y puede incluso enviar un e-mail con los datos al ordenador de la
oficina y conectarse a un sistema global de navegacin por satlite, tales
como el conocido GPS. Aunque los sistemas GPS han aumentado la
velocidad en la toma de datos de la agrimensura, todava slo tienen una
precisin de unos 20 mm. Adems los sistemas GPS no funcionan en zonas
con una densa arboleda. Es por esto que las estaciones totales no han
eliminado por completo los instrumentos anteriores. La robtica permite a los
agrimensores recoger mediciones precisas sin tener que contratar a ms
trabajadores, mirando a travs del telescopio o grabar datos. Una forma ms
rpida de medir (sin obstculos) es ir en un helicptero con localizacin
acstica por lser, combinado con el GPS para determinar la altura del
helicptero. Para aumentar la precisin, se colocan balizas en el suelo (a
unos 20 km). Este mtodo alcanza una precisin de unos 5 mm. Con el
mtodo de triangulacin, lo primero que se tiene que conocer es la distancia
horizontal al objeto. Si no se conoce o no se puede medir directamente, se
calcula como se explica en el artculo triangulacin.
65
Entonces, la altura de un objeto se puede obtener mediante la medicin
del ngulo entre la horizontal y la lnea que une un punto a una distancia
conocida y la parte superior del objeto. Para determinar la altura de una
montaa, se debe tomar como referencia el nivel del mar, pero aqu las
distancias pueden ser demasiado grandes y la montaa puede que no se
vea. As pues, en primer lugar se debe determinar la posicin de un punto,
entonces vamos hasta ese punto y realizamos una medicin relativa, y as
sucesivamente hasta que se alcance la cima de montaa.
Agrimensura como carrera.
Los principios bsicos de la agrimensura han cambiado poco a lo largo de
los siglos, pero los instrumentos utilizados por los agrimensores han
evolucionado enormemente. La ingeniera, en especial la ingeniera civil,
depende en gran medida de los agrimensores. Siempre hay caminos, diques,
muros de contencin, puentes o zonas residenciales por construir, donde los
agrimensores estn involucrados. Determinan los lmites de la propiedad
privada y los lmites de las distintas divisiones polticas. Tambin ofrecen
asesoramiento y datos para los sistemas de informacin geogrfica (SIG),
bases de datos informatizadas que contienen informacin sobre las
caractersticas y lmites del terreno. Los agrimensores debern poseer un
conocimiento minucioso de lgebra, clculo bsico, geometra y
trigonometra. Tambin deben conocer las leyes que regulan los catastros, la
propiedad y los contratos. Adems, deben ser capaces de utilizar los
delicados instrumentos con exactitud y precisin.
66
2.6. Mtodos para el clculo de superficies.
Mtodos analticos para el clculo de superficies:
-Dobles Distancias Meridianas o Longitudes (D.D.M.).
-Dobles Distancias Paralelas o Latitudes (D.D.P.)
-Coordenadas.
Para el clculo de superficies por los mtodos antes descritos, se
requieren como datos los rumbos calculados y las distancias de los lados de
una poligonal cerrada.
Pasos a seguir para el clculo de superficies:
1.- Clculo de Latitudes y Longitudes.
Con el rumbo y la distancia de cada lado, se calculan las proyecciones al
norte-sur (latitudes) y este-oeste (longitudes).
Las latitudes son el resultado de multiplicar el coseno del rumbo por la
distancia; y las longitudes son el resultado de multiplicar el seno del rumbo
por la distancia. (Ver figura 2.6.1.).
Figura 2.6.1. Latitudes y longitudes.
LONGITUD A-B
S
LA
TIT
UD
A-B
RUMBO
WA
E
B
N
67
2.- Clculo del error de Latitud y el error de longitud y el error de Cierre.
El error de Latitud se obtiene del resultado de la diferencia de sumatorias
de las proyecciones norte-sur.
El error de Longitud se obtiene del resultado de la diferencia de
sumatorias de las proyecciones este-oeste.
El error de Cierre se obtiene del resultado de la suma del cuadrado de los
errores de Latitud y de Longitud.
3.- Balanceo de Latitudes y Longitudes.
El balanceo de latitudes y longitudes se hace corrigiendo las Latitudes y
las Longitudes y se obtienen por medio de la Regla de la brjula, utilizando
la frmula siguiente:
Permetro
(Error de Long. AB) X (Distancia AB)Correccin de Long. AB=
(Error de Lat. AB) X (Distancia AB)
PermetroCorreccin de Lat. AB=
Antes de realizar el balanceo, es conveniente verificar en la sumatoria de
latitudes y longitudes, cual resultado es mayor y cual es menor.
La correccin de latitud se le suma al lado norte, si de ese lado la
sumatoria fue menor y se le resta si fue mayor; lo mismo se hace para el sur.
La correccin de longitud se le suma al lado este, si de ese lado la
sumatoria fue menor y se le resta si fue mayor, lo mismo se hace para el lado
oeste.
Para comprobar el balanceo de Latitudes y Longitudes, la sumatoria de
Latitudes al norte debe ser exactamente igual que la sumatoria de Latitudes
al sur y la sumatoria de Longitudes al sur, debe ser exactamente igual que la
sumatoria de Longitudes hacia el oeste.
68
4.- Clculo de las DOBLES DISTANCIAS MERIDIANAS (D.D.M.).
Para obtener las D.D.M., primeramente se obtienen las Distancias
meridianas y estas ltimas se multiplican por dos.
Las Distancias Meridianas se obtienen con las Longitudes balanceadas,
haciendo un meridiano de referencia que se encuentre en el punto ms hacia
el oeste del polgono. La distancia meridiana de un lado en particular, es la
distancia dirigida desde el meridiano de referencia hasta el punto medio del
lado. (Ver figura 2.6.2.).
Figura 2.6.2. Distancias meridianas.
meridiano de referencia
distancia
punto medio
punto medio
meridiana
Para obtener la superficie del polgono, se multiplican las D.D.M. por las
latitudes, obtenindose dobles reas al N(+) y S(-); se restan las del norte
con las del sur y se dividen entre dos .
5.- Clculo de las DOBLES DISTANCIAS PARALELAS (D.D.P.).
Para obtener las D.D.P., primeramente se obtienen las Distancias
paralelas y estas ltimas se multiplican por dos.
Las Distancias Paralelas se obtienen con las Latitudes balanceadas,
haciendo un paralelo de referencia que se encuentre en el punto ms hacia
el sur del polgono.
69
La distancia paralela de un lado en particular, es la distancia dirigida
desde el paralelo de referencia hasta el punto medio del lado. (Figura 2.6.3.).
Figura 2.6.3. Distancias paralelas.
paraleladistancia
paralelo dereferencia
punto medio
punto medio
.
Para obtener la superficie del polgono, se multiplican las D.D.P. por las
longitudes, obtenindose dobles reas al E(+) y W(-); se restan las del este
con las del oeste y se dividen entre dos .
6.- Clculo de las COORDENADAS.
Se calculan las coordenadas en X y Y de cada punto de la poligonal,
sumando las longitudes y las latitudes respectivamente.
Se trazan los ejes coordenados X y Y en la poligonal, como lo muestra la
figura 2.6.4.
Figura 2.6.4. Coordenadas.
OD
E
X
C
B
A
Y
70
Una vez calculadas las coordenadas, se hacen productos cruzados hacia
arriba y hacia abajo. La sumatoria de productos hacia arriba menos la
sumatoria de productos hacia abajo, divididos entre dos, da como resultado
la superficie del polgono.
Ejercicio 2.15 (resuelto). Con los datos de los rumbos y distancias,
calcular el rea del siguiente polgono con los mtodos: D.D.M., D.D.P., y
COORDENADAS.
LATITUDES LONGITUDES
LADO DISTANCIA RUMBO COSENO SENO N(+) S(-) E(+) W(-)
A-B 168.01 NE 4120' 0.75088 0.66044 126.16 110.960
B-C 250.10 SE 6330' 0.446198 0.8949 111.594 223.823
C-D 246.40 SW 2240' 0.92276 0.38537 227.369 94.955
D-E 216.90 NW 6002' 0.4995 0.8663 108.341 187.904
E-A 118.30 NW 2930' 0.870356 0.4924 102.963 58.254
p= 999.71
337.459 338.963 334.783 341.113
Lat. A-B=(cos 4120)(168.01)
Error de latitud=337.459-338.963
Lat. A-B=126.16
Error de latitud=-1.5037
Long. A-B=(sen4120)(168.01)
Error de longitud=334.783-341.113
Long. A-B=110.96
Error de longitud=-6.33
71
CORRECC. DE LATS. CORREC. DE LONG LATS. BALANCEAD LONGS. BALANCE
LADO N(+) S(-) E(+) W(-) N(+) S(-) E(+) W(-)
A-B 0.25271 1.063 126.408 112.024
B-C 0.3762 1.584 111.218 225.407
C-D 0.37062 1.560 226.998 93.395
D-E 0.32625 1.373 108.667 186.531
E-A 0.17794 0.749 103.141 57.505
338.216 338.216 337.430 337.430
0 0
Error de cierre = (E lat.)+ (E long) Corr. De Lat.A-B=[(E. de lat)(dist A-B)]/(Perime)
Error de cierre = (-1.5037)+ (-6.3297) Corr. De Lat.A-B=[(-1,5037)(168.01)]/(997.71)
Error de cierre=6.50586
Corr. De Lat A-B=0.25271
Precisin=(Error de cierre)/(Permetro)
Precisin=(6.50586)/(999.71)
Corr. De Lon.A-B=[(E. de lon)(dist A-B)]/(Perim)
Precisin=1/0.0065077
Corr. De Lon.A-B=[(-6.3297)(168,01)]/(999.71)
Precisin=1:153.66
Corr. De Lon.A-B=1.063
DOBLES AREAS
DOBLES AREAS
LADO D.D.M. N(+) S(-) D.D.P. E(+) W(-)
A-B 112.024 14,160.739 550.024 61,615.92
B-C 449.455 49,987.41 565.214 127,403
C-D 581.466 131,991.7 226.998 21,200.5
D-E 301.540 32,767.442 108.667 20,270.6
E-A 57.505 5,931.11 320.475 18,428.8
52,859,28 181,979.1
189,019 59900
Area por D.D.M.= [(N+)-(S-)]/2
Area por D.D.P.= [(E+)-(W-)]/2
Area por D.D.M.= [(52,859.28)-(181,979.1)]/2 Area por D.D.P.= [(189,019)-(59900)]/2
Area por D.D.M.= 64,559.94
Area por D.DP.= 64,559.51
72
COORDENADAS PRODUCTOS
PUNTOS X Y
A 0 211808 23,727.6
B 112024 338216 0 114,124.4
C 337431 226998 25,429.25 55,395.6
D 244035 0 0 0
E 57505 108667 26,518.58 0
A 0 211.808 12,179.96
64,127.78 193,247.6
Area por COORDENADAS=()2
Area por COORDENADAS=(64,127.78-193,247.6)2
Area por COORDENADAS= 64,559.90
Ejercicio 2.16. Con los datos de los rumbos y distancias, calcular el rea
del siguiente polgono con los mtodos: D.D.M., D.D.P., y COORDENADAS.
LADO DISTANCIA RUMBO
A-B 115.25 NE 2610'
B-C 177.50 SE 8410'
C-D 148.50 SE 2911'
D-E 274.90 SW 4430'
E-F 152.10 NE 1550'
F-G 98.50 SW 6920'
G-A 138.90 NW 2410'
73
Ejercicio 2.17. Con los datos de los rumbos y distancias, calcular el rea
del siguiente polgono con los mtodos: D.D.M., D.D.P., y COORDENADAS.
LADO DISTANCIA RUMBO
A-B 108.50 NE 4120'
B-C 99.20 SE 7610'
C-D 92.90 SE 3922'
D-E 93.42 SE 0610'
E-F 103.40 SW 3115'
F-G 131.10 SW 7020'
G-H 80.15 NW 5320
H-I 131.90 NE 5100'
I-A 147.50 NW 4205
74
2.7. Problemas de divisin de superficies.
En distintas ocasiones, se presentan casos de dividir un terreno con
determinadas restricciones, como puede ser el caso de distribuir reas para
cuestiones testamentarias o cualquiera que sea la necesidad de dividir un
terreno en partes iguales o desiguales. Cuando el terreno tiene forma
regular, no es tan difcil hacerlo, solo es necesario utilizar los conocimientos
de trigonometra y geometra, como del propio ingenio. Como casi siempre
los terrenos se presentan en forma irregular y en ocasiones en formas muy
raras, se darn ejemplos para dividir superficies en terrenos irregulares.
Primero se darn ejemplos, de cmo resolver problemas de datos
faltantes en polgonos. Estos problemas se pueden presentar cuando se
olvid, o no fue posible, tomar algn dato de campo. Sin embargo, debe
procurarse no omitir datos de campo, pues en estos casos, las soluciones se
basan en que el polgono debe cerrarse forzosamente, y si existe algn error,
ste no se puede descubrir, y el trabajo queda defectuoso. Con estos casos
se pretende principalmente ilustrar la aplicacin de clculos con coordenadas
y rumbos.
75
Problemas de datos o medidas faltantes en polgonos cerrados.
- Falta rumbo y longitud de un lado.
Como todos los dems datos del polgono, ngulos, longitudes y rumbos
son conocidos, se pueden calcular proyecciones y coordenadas de todos los
vrtices; los datos faltantes del lado PM pueden calcularse simplemente as:
R= ang tan
Long. = X
X YP
mY -
p -
mX
p
F E
A
mm- Xp +
2
Y
2
Y- p MD
C
B
- Faltan longitudes de dos lados consecutivos.
En este caso y los siguientes, se pueden resolver calculando la longitud y
el rumbo de una lnea auxiliar entre los puntos extremos conocidos, formando
un tringulo dentro del cual se calculan los elementos faltantes,
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