7/18/2019 Limit Es
http://slidepdf.com/reader/full/limit-es-5692344102a1a 1/3
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS
Taller de Reforzamiento Lımite.Calculo I
Defincion: La funcion f : R → R tiene lımite L, en el puntode acumulacion x0, si y solo si dado > 0 arbitrario, existeδ > 0 tal que
0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − L| <
Teoremas sobre lımites
1. Si el lımite de una funcion existe cuando x tiende a x0 ,este es unico.
2. Si f (x) = k ( k constante), entonces lımx→x0
f (x) = k
3. Si lımx→x0
f (x) = A y lımx→x0
g(x) = B , entonces
3.1) lımx→x0
k · f (x) = k · lımx→x0
f (x) = k · A
3.2) lımx→x0
[f (x) ± g(x)]
= lımx→x0
f (x) ± lımx→x0
g(x) = A ± B
3.3) lımx→x0[f
(x
) ·g
(x
)]= lım
x→x0
f (x) · lımx→x0
g(x) = A · B
3.4) lımx→x0
f (x)
g(x)
=
lımx→x0
f (x)
lımx→x0
g(x)=
A
B, B = 0
3.5) lımx→x0
[f (x)]n =
lımx→x0
f (x)
n
= An
3.6) lımx→x0
n
f (x) = n
lımx→x0
f (x) = n
√ A
4. Lımite de un polinomio: Si p(x) es un polinomio y x0 ∈R , entonces lım
x→x0
p(x) = p(x0)
5. Lımite de una funcion racional: Si r (x) = p(x)
q(x) y x0 ∈
R tal que x0 = 0 , entonces
lımx→x0
r(x) = r (a) = p(a)
q(a)
6. Lımite de funciones compuestas :
lımx→x0
g[f (x)] = g
lımx→x0
f (x)
7. Teorema del Sandwich: Si f (x), g(x) y h(x) son fun-ciones tales que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) , para todo x enun intervalo abierto que contiene a x0 ( excepto posible-mente al propio x0 ) y si :
lımx→x0
g(x) = lımx→x0
h(x) = L ⇒ lımx→x0
f (x) = L
1. Dada una funcion f se dice que tiene lımite por la izquier-da L1, si:
∀ > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x0−x < δ ⇒ |f (x)−L1| <
Notacion: lımx→x
−
0
f (x) = L1
2. Dada una funcion f se dice que tiene lımite por la derechaL2, si:
∀ > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x−x0 < δ ⇒ |f (x)−L2| <
Notacion: lımx→x
+0
f (x) = L2
Observacion:
lımx→x0
f (x) ⇔ lımx→x
−
0
f (x) = lımx→x
+0
f (x)
Ejemplos
1. Demuestre usando la definicion que
lımx→5
9 − 3x = −6
Solucion:
Dado > 0, se debe hallar δ > 0 tal que:
0 < |x − 5| < δ ⇒ |(9 − 3x) − (−6)| <
Luego,
|9 − 3x + 6| = |15 − 3x|= |3x − 15|= 3|x − 5|< 3 · δ
= 3 ·
3
Por lo tanto,
∀ > 0, ∃δ =
3> 0, tal que
0 < |x − 5| < δ ⇒ |(9 − 3x) − (−6)| <
2. Demuestre usando la definicion que
lımx→1
x2 + x + 1 = 3
Solucion:Dado > 0, se debe hallar δ > 0 tal que:
0 <
|x
−1
| < δ
⇒ |x2 + x + 1
−3
| <
Luego,
|x2 + x + 1 − 3| = |x2 + x − 2|= |(x + 2)(x − 1)|< |x + 2| · δ
7/18/2019 Limit Es
http://slidepdf.com/reader/full/limit-es-5692344102a1a 2/3
7/18/2019 Limit Es
http://slidepdf.com/reader/full/limit-es-5692344102a1a 3/3
= lımx→4
4√
2
6=
2√
2
3
Encuentrese el valor del siguiente l ımite, o establezca queno existe:
lımx→1
|x − 1|x − 1
, x = 1
Solucion: De acuerdo con la definicion de valor absoluto,se tiene:
|x − 1| =
x − 1 , x ≥ 1
−(x
−1) , x < 1
De esta forma:
|x − 1|x − 1
= x − 1
x − 1= 1, si x > 1
|x − 1|x − 1
= 1 − x
x − 1= −1, si x < 1
La funcion puede escribirse entonces como una funcion atramos,
f (x) = |x − 1|
x
−1
=
1 , x > 1
−1 , x < 1
Ahora,
lımx→1− f (x) = lım
x→1−(−1) = −1lım
x→1+ f (x) = lımx→1+(1) = 1
⇒ lımx→1
f (x) No existe
6. Considerese la funcion a tramos definida ası:
f (x) =
x2 , x ≤ 2ax + b , −2 < x < 22x − 5 , x ≥ 2
Encuentrense los valores de las constantes a y b paraque: lım
x→−2f (x) y lım
x→2
f (x) existan. Solucion:
lımx→−2
f (x) ⇔
lımx→−2+
f (x) y lımx→−2−
f (x) existen
y ademas lımx→−2+
f (x) = lımx→−2−
f (x)
Pero,
lımx→−2+
f (x) = lımx→−2+
ax + b = −2a + b
lımx→−2−
f (x) = lımx→−2−
x2 = 4
Ası para que lımite de f(x) en -2 exista es necesario que−2a + b = 4.Analogamente,
lımx→2
f (x) ⇔
y ademas lımx→2+
f (x) = lımx→2−
f (x)
Pero,
lımx→2+
f (x) = lımx→−2+
2x − 5 = −1
lımx→2−
f (x) = lımx→−2−
ax + b = 2a + b
Ası para que lımite de f(x) en 2 exista es necesario que2a + b = −1.Resolviendo el sistema
−2a + b = 42a + b = −1
se obtiene a = −5
4 y b = 3
2.
Con estos valores la funcion f es,
f (x) =
x2 , x ≤ 2−5
4x + 3
2 , −2 < x < 2
2x − 5 , x ≥ 2
Ejercicios Propuestos
1. Demostrar usando la definicion de lımite
1.1) lımx→1 x2
+ 2 = 3
1.2) lımx→0
√ x + 1 = 1
1.3) lımx→2
x2 − 4
x − 2= 4
2. Calcular los siguientes lımites
2.1) lımx→1
√ x − 1
3√
x − 1
2.2) lımx→1
1
1 − x− 3
1 − x3
2.3) lımx→ 1
2
x
−2
− x
−1
− 22x − 1
2.4) lımx→1
3√
x2 − 2 3√
x + 1
(x − 1)2
3. Calcular los siguientes l ımites (estudiar los lımites late-rales)
3.1) lımx→1
|2x − 1| − x
|x − 1|3.2) lım
x→2
(3 + |2x − 4|)
3.3) lımx→1
x2
−1
|x − 1|
3.4) lımx→3
2|x − 3| + x2 − 9
x2 − 2x − 3
MT
3
Top Related