Lımites en Espacios de Banach
Miquel Cueca Ten, UVAlba Gomez Pachon, USJesus Ocariz Gallego, UM
Mercedes Prado Rodrıguez, USAbraham Rueda Zoca, UGR
III Escuela-Taller y IX Encuentro de Analisis Funcional y Aplicaciones.Abril 9-13, Zafra
Tutor: Jesus M. F. Castillo
Esquema de la Charla
Filtros y ultrafiltros
Lımites por ultrafiltros
Identificacion del espacio de ultrafiltros
Aplicaciones
Filtros y Ultrafiltros
Definicion
Un filtro de un conjunto X no vacıo es un subconjunto U deP(X ) que verifica:
/0 6∈U
A ∈U y A⊆ B ⊆ X ⇒ B ∈U
A,B ∈U ⇒ A∩B ∈U
Ejemplo
Sea X = {1,2,3}, un filtro del conjunto X es:
U = {{1},{1,2},{1,2,3}}
Filtros y Ultrafiltros
Definicion
Un filtro de un conjunto X no vacıo es un subconjunto U deP(X ) que verifica:
/0 6∈U
A ∈U y A⊆ B ⊆ X ⇒ B ∈U
A,B ∈U ⇒ A∩B ∈U
Ejemplo
Sea X = {1,2,3}, un filtro del conjunto X es:
U = {{1},{1,2},{1,2,3}}
Filtros y Ultrafiltros
Definicion
Un filtro de un conjunto X no vacıo es un subconjunto U deP(X ) que verifica:
/0 6∈U
A ∈U y A⊆ B ⊆ X ⇒ B ∈U
A,B ∈U ⇒ A∩B ∈U
Ejemplo
Sea X = {1,2,3}, un filtro del conjunto X es:
U = {{1},{1,2},{1,2,3}}
Filtros y ultrafiltros
Definicion
Sea U un filtro de X . Se dice que U es un ultrafiltro si esmaximal respecto a la relacion de orden inclusion ⊆
Proposicion
Sea U un filtro de X . U es un ultrafiltro si y solo si ∀A⊆ X , obien A ∈U , o bien X rA ∈U
Filtros y ultrafiltros
Definicion
Sea U un filtro de X . Se dice que U es un ultrafiltro si esmaximal respecto a la relacion de orden inclusion ⊆
Proposicion
Sea U un filtro de X . U es un ultrafiltro si y solo si ∀A⊆ X , obien A ∈U , o bien X rA ∈U
Filtros y Ultrafiltros
⇒
Suponemos X rA /∈U .Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A
⋂Z ⊆ Y } y veamos que es un
filtro:
1 /0 /∈ V
2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂
Z1 ⊆ Y1 yA⋂
Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂
Z2 ∈U yA⋂
(Z1⋂
Z2)⊆ Y1⋂
Y2. Por tanto, Y1⋂
Y2 ∈ V
3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂
Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
⇒Suponemos X rA /∈U .
Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A⋂
Z ⊆ Y } y veamos que es unfiltro:
1 /0 /∈ V
2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂
Z1 ⊆ Y1 yA⋂
Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂
Z2 ∈U yA⋂
(Z1⋂
Z2)⊆ Y1⋂
Y2. Por tanto, Y1⋂
Y2 ∈ V
3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂
Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
⇒Suponemos X rA /∈U .Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A
⋂Z ⊆ Y } y veamos que es un
filtro:
1 /0 /∈ V
2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂
Z1 ⊆ Y1 yA⋂
Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂
Z2 ∈U yA⋂
(Z1⋂
Z2)⊆ Y1⋂
Y2. Por tanto, Y1⋂
Y2 ∈ V
3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂
Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
⇒Suponemos X rA /∈U .Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A
⋂Z ⊆ Y } y veamos que es un
filtro:
1 /0 /∈ V
2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂
Z1 ⊆ Y1 yA⋂
Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂
Z2 ∈U yA⋂
(Z1⋂
Z2)⊆ Y1⋂
Y2. Por tanto, Y1⋂
Y2 ∈ V
3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂
Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
⇒Suponemos X rA /∈U .Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A
⋂Z ⊆ Y } y veamos que es un
filtro:
1 /0 /∈ V
2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂
Z1 ⊆ Y1 yA⋂
Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂
Z2 ∈U yA⋂
(Z1⋂
Z2)⊆ Y1⋂
Y2. Por tanto, Y1⋂
Y2 ∈ V
3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂
Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
⇒Suponemos X rA /∈U .Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A
⋂Z ⊆ Y } y veamos que es un
filtro:
1 /0 /∈ V
2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂
Z1 ⊆ Y1 yA⋂
Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂
Z2 ∈U yA⋂
(Z1⋂
Z2)⊆ Y1⋂
Y2. Por tanto, Y1⋂
Y2 ∈ V
3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂
Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:
V = U : A⋂
X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U
V = P(X ) entonces /0 ∈ V .
⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)
⋂B = /0 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:
V = U : A⋂
X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U
V = P(X ) entonces /0 ∈ V .
⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)
⋂B = /0 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:
V = U : A⋂
X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U
V = P(X ) entonces /0 ∈ V .
⇐
Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)
⋂B = /0 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:
V = U : A⋂
X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U
V = P(X ) entonces /0 ∈ V .
⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .
Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)
⋂B = /0 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:
V = U : A⋂
X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U
V = P(X ) entonces /0 ∈ V .
⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .
Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)
⋂B = /0 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:
V = U : A⋂
X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U
V = P(X ) entonces /0 ∈ V .
⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)
⋂B = /0 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:
V = U : A⋂
X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U
V = P(X ) entonces /0 ∈ V .
⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)
⋂B = /0 ∈ V
Filtros y Ultrafiltros
Definicion
Se dice que un ultrafiltro Ha es principal si ∃a ∈ X tal que es de laforma
Ha = {Y ⊆ X |a ∈ Y }
En otro caso se dice que es no principal.
Teorema
Sea X un conjunto infinito, entonces existe un ultrafiltro noprincipal
Filtros y Ultrafiltros
Definicion
Se dice que un ultrafiltro Ha es principal si ∃a ∈ X tal que es de laforma
Ha = {Y ⊆ X |a ∈ Y }
En otro caso se dice que es no principal.
Teorema
Sea X un conjunto infinito, entonces existe un ultrafiltro noprincipal
Filtros y Ultrafiltros
Demostracion
Definimos F = {A⊆ X |Card(X rA) < ∞} y veamos que es unfiltro:
Sea A = /0, X r /0 = X luego Card(X r /0) = ∞. Entonces,/0 /∈F .
Sean A,B ∈F , entonces Card(X rA) < ∞ yCard(X rB) < ∞.Luego, por las Leyes de De Morgan:Card((X rA)
⋃(X rB)) = Card(X r (A
⋂B)) es finito. Por
tanto, A⋂
B ∈F .
Sea A ∈F , A⊆ B ⊂ X . EntoncesCard(X rB)≤ Card(X rA) < ∞. Por tanto, B ∈F .
Filtros y Ultrafiltros
DemostracionDefinimos F = {A⊆ X |Card(X rA) < ∞} y veamos que es unfiltro:
Sea A = /0, X r /0 = X luego Card(X r /0) = ∞. Entonces,/0 /∈F .
Sean A,B ∈F , entonces Card(X rA) < ∞ yCard(X rB) < ∞.Luego, por las Leyes de De Morgan:Card((X rA)
⋃(X rB)) = Card(X r (A
⋂B)) es finito. Por
tanto, A⋂
B ∈F .
Sea A ∈F , A⊆ B ⊂ X . EntoncesCard(X rB)≤ Card(X rA) < ∞. Por tanto, B ∈F .
Filtros y Ultrafiltros
DemostracionDefinimos F = {A⊆ X |Card(X rA) < ∞} y veamos que es unfiltro:
Sea A = /0, X r /0 = X luego Card(X r /0) = ∞. Entonces,/0 /∈F .
Sean A,B ∈F , entonces Card(X rA) < ∞ yCard(X rB) < ∞.Luego, por las Leyes de De Morgan:Card((X rA)
⋃(X rB)) = Card(X r (A
⋂B)) es finito. Por
tanto, A⋂
B ∈F .
Sea A ∈F , A⊆ B ⊂ X . EntoncesCard(X rB)≤ Card(X rA) < ∞. Por tanto, B ∈F .
Filtros y Ultrafiltros
DemostracionDefinimos F = {A⊆ X |Card(X rA) < ∞} y veamos que es unfiltro:
Sea A = /0, X r /0 = X luego Card(X r /0) = ∞. Entonces,/0 /∈F .
Sean A,B ∈F , entonces Card(X rA) < ∞ yCard(X rB) < ∞.Luego, por las Leyes de De Morgan:Card((X rA)
⋃(X rB)) = Card(X r (A
⋂B)) es finito. Por
tanto, A⋂
B ∈F .
Sea A ∈F , A⊆ B ⊂ X . EntoncesCard(X rB)≤ Card(X rA) < ∞. Por tanto, B ∈F .
Filtros y Ultrafiltros
DemostracionDefinimos F = {A⊆ X |Card(X rA) < ∞} y veamos que es unfiltro:
Sea A = /0, X r /0 = X luego Card(X r /0) = ∞. Entonces,/0 /∈F .
Sean A,B ∈F , entonces Card(X rA) < ∞ yCard(X rB) < ∞.Luego, por las Leyes de De Morgan:Card((X rA)
⋃(X rB)) = Card(X r (A
⋂B)) es finito. Por
tanto, A⋂
B ∈F .
Sea A ∈F , A⊆ B ⊂ X . EntoncesCard(X rB)≤ Card(X rA) < ∞. Por tanto, B ∈F .
Filtros y Ultrafiltros
Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .
Veamos ahora que no es principal.
Supondremos lo contrario, ası, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , loque implica que Y ∈U .
En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r{a}) esinfinito.
Filtros y Ultrafiltros
Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .
Veamos ahora que no es principal.
Supondremos lo contrario, ası, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , loque implica que Y ∈U .
En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r{a}) esinfinito.
Filtros y Ultrafiltros
Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .
Veamos ahora que no es principal.
Supondremos lo contrario, ası, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , loque implica que Y ∈U .
En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r{a}) esinfinito.
Filtros y Ultrafiltros
Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .
Veamos ahora que no es principal.
Supondremos lo contrario, ası, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , loque implica que Y ∈U .
En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r{a}) esinfinito.
Filtros y Ultrafiltros
Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .
Veamos ahora que no es principal.
Supondremos lo contrario, ası, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , loque implica que Y ∈U .
En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r{a}) esinfinito.
Lımites por ultrafiltros
Definicion (Lımite por ultrafiltro)
Tomamos I un conjunto, H un ultrafiltro en I . Sea X un espaciotopologico y f : I −→ X una aplicacion.Definimos
limH f = a ∈ X
si existe a ∈ X de forma que, para todo U entorno de a se tiene
{i ∈ I / f (i) ∈ U} ∈H
Lımites por ultrafiltros
Teorema
En las hipotesis de la definicion anterior, si X es compacto⇒∃ limH f
Demostracion:Supongamos por reduccion al absurdo que 6 ∃ limH f . Entonces,para cada a ∈ X ∃ Ua entorno de a tal que
{i ∈ I / f (i) ∈ Ua} /∈H
Por la compacidad de X existen a1, . . . ,ak ∈ X satisfaciendo
k⋃m=1
Uam = X ⇒k⋃
m=1
{i ∈ I / f (i) ∈ Uam}= I /∈H
lo cual es una contradiccion.
Lımites por ultrafiltros
Teorema
En las hipotesis de la definicion anterior, si X es compacto⇒∃ limH f
Demostracion:Supongamos por reduccion al absurdo que 6 ∃ limH f . Entonces,para cada a ∈ X ∃ Ua entorno de a tal que
{i ∈ I / f (i) ∈ Ua} /∈H
Por la compacidad de X existen a1, . . . ,ak ∈ X satisfaciendo
k⋃m=1
Uam = X ⇒k⋃
m=1
{i ∈ I / f (i) ∈ Uam}= I /∈H
lo cual es una contradiccion.
Lımites por ultrafiltros
Teorema
En las hipotesis de la definicion anterior, si X es compacto⇒∃ limH f
Demostracion:Supongamos por reduccion al absurdo que 6 ∃ limH f . Entonces,para cada a ∈ X ∃ Ua entorno de a tal que
{i ∈ I / f (i) ∈ Ua} /∈H
Por la compacidad de X existen a1, . . . ,ak ∈ X satisfaciendo
k⋃m=1
Uam = X ⇒k⋃
m=1
{i ∈ I / f (i) ∈ Uam}= I /∈H
lo cual es una contradiccion.
Lımites por ultrafiltros
Proposicion
En la hipotesis de la definicion de lımite por ultrafiltro, si X esHausdorff, entonces limH f , si existe, es unico.
Demostracion:Supongamos que a,b son lımites por el ultrafiltro de f . Como X esHausdorff ∃ U,V entornos de a y b respectivamente con
U ∩V = /0
Lımites por ultrafiltros
Proposicion
En la hipotesis de la definicion de lımite por ultrafiltro, si X esHausdorff, entonces limH f , si existe, es unico.
Demostracion:Supongamos que a,b son lımites por el ultrafiltro de f . Como X esHausdorff ∃ U,V entornos de a y b respectivamente con
U ∩V = /0
Lımites por ultrafiltros
Por definicion de lımite
{i ∈ I / f (i) ∈ U},{i ∈ I / f (i) ∈ V } ∈H
Por ser filtro, existe algun elemento en la interseccion, digamos j .
Entonces
f (j) ∈ U ∩V
lo que contradice la eleccion de U y V .
Lımites por ultrafiltros
Por definicion de lımite
{i ∈ I / f (i) ∈ U},{i ∈ I / f (i) ∈ V } ∈H
Por ser filtro, existe algun elemento en la interseccion, digamos j .Entonces
f (j) ∈ U ∩V
lo que contradice la eleccion de U y V .
Lımites por ultrafiltros
Nota
En el caso particular de `∞, si tenemos f ∈ `∞, entonces
f (N)⊆ [−‖f ‖∞,‖f ‖∞]
por lo que tiene lımite unico fijado un ultrafiltro en N.
Proposicion
Sea H un ultrafiltro en N.
1 La aplicacion limH : `∞ −→ R es lineal y continua.
2 Dado x ∈ `∞ se tiene lımH x ∈ {xn / n ∈ N}
Lımites por ultrafiltros
Nota
En el caso particular de `∞, si tenemos f ∈ `∞, entonces
f (N)⊆ [−‖f ‖∞,‖f ‖∞]
por lo que tiene lımite unico fijado un ultrafiltro en N.
Proposicion
Sea H un ultrafiltro en N.
1 La aplicacion limH : `∞ −→ R es lineal y continua.
2 Dado x ∈ `∞ se tiene lımH x ∈ {xn / n ∈ N}
Lımites por ultrafiltros
DemostracionVeamos que el limH es aditivo.Sea x ,y ∈ `∞. Llamamos a = limH x , b = limH y .
Dado ε ∈ R+, entonces{n ∈ N / |xn−a|< ε
2
},{
n ∈ N / |yn−b|< ε
2
}∈H
|xn + yn− (a + b)| ≤ |xn−a|+ |yn−b|< ε
para n en la interseccion.Ası el conjunto {n ∈ N / |xn + yn− (a + b)|< ε} contiene a{
n ∈ N / |xn−a|< ε
2
}⋂{n ∈ N / |yn−b|< ε
2
}∈H
Lımites por ultrafiltros
DemostracionVeamos que el limH es aditivo.Sea x ,y ∈ `∞. Llamamos a = limH x , b = limH y .Dado ε ∈ R+, entonces{
n ∈ N / |xn−a|< ε
2
},{
n ∈ N / |yn−b|< ε
2
}∈H
|xn + yn− (a + b)| ≤ |xn−a|+ |yn−b|< ε
para n en la interseccion.
Ası el conjunto {n ∈ N / |xn + yn− (a + b)|< ε} contiene a{n ∈ N / |xn−a|< ε
2
}⋂{n ∈ N / |yn−b|< ε
2
}∈H
Lımites por ultrafiltros
DemostracionVeamos que el limH es aditivo.Sea x ,y ∈ `∞. Llamamos a = limH x , b = limH y .Dado ε ∈ R+, entonces{
n ∈ N / |xn−a|< ε
2
},{
n ∈ N / |yn−b|< ε
2
}∈H
|xn + yn− (a + b)| ≤ |xn−a|+ |yn−b|< ε
para n en la interseccion.Ası el conjunto {n ∈ N / |xn + yn− (a + b)|< ε} contiene a{
n ∈ N / |xn−a|< ε
2
}⋂{n ∈ N / |yn−b|< ε
2
}∈H
Lımites por ultrafiltros
Teorema
H es no principal si, y solamente si, ∀{xn} sucesion convergente setiene que
lim xn = limH x
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.
Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:Dado U ∈ U se ve de la forma
U : P(N)−→ {0,1}
definiendo, dado A⊆ N por
U (A) :=
{1 A ∈U0 A /∈U
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:
Dado U ∈ U se ve de la forma
U : P(N)−→ {0,1}
definiendo, dado A⊆ N por
U (A) :=
{1 A ∈U0 A /∈U
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:Dado U ∈ U se ve de la forma
U : P(N)−→ {0,1}
definiendo, dado A⊆ N por
U (A) :=
{1 A ∈U0 A /∈U
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:Dado U ∈ U se ve de la forma
U : P(N)−→ {0,1}
definiendo, dado A⊆ N por
U (A) :=
{1 A ∈U0 A /∈U
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:Dado U ∈ U se ve de la forma
U : P(N)−→ {0,1}
definiendo, dado A⊆ N por
U (A) :=
{1 A ∈U0 A /∈U
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface
f ( /0) = 0
A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1
A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1
A⊆ N⇒
f (A) = 1∨
f (N\A) = 1
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface
f ( /0) = 0
A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1
A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1
A⊆ N⇒
f (A) = 1∨
f (N\A) = 1
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface
f ( /0) = 0
A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1
A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1
A⊆ N⇒
f (A) = 1∨
f (N\A) = 1
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface
f ( /0) = 0
A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1
A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1
A⊆ N⇒
f (A) = 1∨
f (N\A) = 1
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface
f ( /0) = 0
A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1
A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1
A⊆ N
⇒
f (A) = 1∨
f (N\A) = 1
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface
f ( /0) = 0
A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1
A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1
A⊆ N⇒
f (A) = 1∨
f (N\A) = 1
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface
f ( /0) = 0
A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1
A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1
A⊆ N⇒
f (A) = 1∨
f (N\A) = 1
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Lema
U es un cerrado en {0,1}P(N).
En virtud del teorema de Tychonoff, U es un subconjunto cerradodentro de un compacto, luego es compacto.
Lema
El conjunto de filtros principales es denso en U.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Lema
U es un cerrado en {0,1}P(N).
En virtud del teorema de Tychonoff, U es un subconjunto cerradodentro de un compacto, luego es compacto.
Lema
El conjunto de filtros principales es denso en U.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Lema
U es un cerrado en {0,1}P(N).
En virtud del teorema de Tychonoff, U es un subconjunto cerradodentro de un compacto, luego es compacto.
Lema
El conjunto de filtros principales es denso en U.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Demostracion:
Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que
G ∈ O⇔{
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}
Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que
A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F
Por lo que
∃ k ∈ ∩ni=1Ai
⋂∩mj=1N\Bj
Ası Hk ∈ O.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .
Entonces
∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que
G ∈ O⇔{
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}
Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que
A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F
Por lo que
∃ k ∈ ∩ni=1Ai
⋂∩mj=1N\Bj
Ası Hk ∈ O.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que
G ∈ O⇔{
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}
Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que
A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F
Por lo que
∃ k ∈ ∩ni=1Ai
⋂∩mj=1N\Bj
Ası Hk ∈ O.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que
G ∈ O⇔{
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}
Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que
A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F
Por lo que
∃ k ∈ ∩ni=1Ai
⋂∩mj=1N\Bj
Ası Hk ∈ O.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que
G ∈ O⇔{
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}
Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que
A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F
Por lo que
∃ k ∈ ∩ni=1Ai
⋂∩mj=1N\Bj
Ası Hk ∈ O.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que
G ∈ O⇔{
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}
Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que
A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F
Por lo que
∃ k ∈ ∩ni=1Ai
⋂∩mj=1N\Bj
Ası Hk ∈ O.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que
G ∈ O⇔{
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}
Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que
A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F
Por lo que
∃ k ∈ ∩ni=1Ai
⋂∩mj=1N\Bj
Ası Hk ∈ O.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces
∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que
G ∈ O⇔{
Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}
Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que
A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F
Por lo que
∃ k ∈ ∩ni=1Ai
⋂∩mj=1N\Bj
Ası Hk ∈ O.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Definimos
L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞}
Definimos la siguiente aplicacion
Φ : U −→ LU 7−→ Φ(U ) : `∞ −→ R
Φ(U )(x) 7−→ limU x
Φ−1 : L −→ UL 7−→ {A⊆ N / L(χA) = 1}
Fijamos L ∈L .
Φ(Φ−1(L)) = lim{A⊆N / L(χA)=1}
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Definimos
L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞}
Definimos la siguiente aplicacion
Φ : U −→ LU 7−→ Φ(U ) : `∞ −→ R
Φ(U )(x) 7−→ limU x
Φ−1 : L −→ UL 7−→ {A⊆ N / L(χA) = 1}
Fijamos L ∈L .
Φ(Φ−1(L)) = lim{A⊆N / L(χA)=1}
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Definimos
L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞}
Definimos la siguiente aplicacion
Φ : U −→ LU 7−→ Φ(U ) : `∞ −→ R
Φ(U )(x) 7−→ limU x
Φ−1 : L −→ UL 7−→ {A⊆ N / L(χA) = 1}
Fijamos L ∈L .
Φ(Φ−1(L)) = lim{A⊆N / L(χA)=1}
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Definimos
L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞}
Definimos la siguiente aplicacion
Φ : U −→ LU 7−→ Φ(U ) : `∞ −→ R
Φ(U )(x) 7−→ limU x
Φ−1 : L −→ UL 7−→ {A⊆ N / L(χA) = 1}
Fijamos L ∈L .
Φ(Φ−1(L)) = lim{A⊆N / L(χA)=1}
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea A⊆ N.
Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.
1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1
2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.
1 L(χA) = 1
⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1
2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.
1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1
2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.
1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1
2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.
1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1
2 L(χA) = 0
⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.
1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1
2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1
⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.
1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1
2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1
como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.
1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+
⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1
2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}
Usando
Teorema
El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.
por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro
L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞
Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}Usando
Teorema
El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.
por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro
L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞
Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}Usando
Teorema
El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.
por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro
L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞
Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}Usando
Teorema
El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.
por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro
L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞
Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}Usando
Teorema
El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.
por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro
L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞
Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.
Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}Usando
Teorema
El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.
por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro
L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞
Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Nota
{en / n ∈N}= {Φ(Hn) / n ∈N} y por lo anterior, es denso en L .donde en(x) = xn ∀x ∈ `∞
Definicion
Dado X un espacio topologico, se define la compactificacion deStone-Cech de X como (β X ,δ ) con la propiedad adicional: paratoda funcion f : X −→ R continua y acotada se extiende af β : β X −→ R satisfaciendo
1 f β ◦δ = f
2 f β es continua.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Nota
{en / n ∈N}= {Φ(Hn) / n ∈N} y por lo anterior, es denso en L .donde en(x) = xn ∀x ∈ `∞
Definicion
Dado X un espacio topologico, se define la compactificacion deStone-Cech de X como (β X ,δ ) con la propiedad adicional: paratoda funcion f : X −→ R continua y acotada se extiende af β : β X −→ R satisfaciendo
1 f β ◦δ = f
2 f β es continua.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Teorema
βN = L
Demostracion: Sea δ : N−→L dada por
δ (n) = en n ∈ N
Continua inyectiva y con imagen densa. Veamos que es lacompactificacion de Stone-Cech.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Teorema
βN = L
Demostracion:
Sea δ : N−→L dada por
δ (n) = en n ∈ N
Continua inyectiva y con imagen densa. Veamos que es lacompactificacion de Stone-Cech.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Teorema
βN = L
Demostracion: Sea δ : N−→L dada por
δ (n) = en n ∈ N
Continua inyectiva y con imagen densa. Veamos que es lacompactificacion de Stone-Cech.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Teorema
βN = L
Demostracion: Sea δ : N−→L dada por
δ (n) = en n ∈ N
Continua inyectiva y con imagen densa. Veamos que es lacompactificacion de Stone-Cech.
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).
Entonces
f β (L) = L(f ) ∀L ∈L
1 f β ◦δ = f
2 f β es continua.
Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.Entonces se tiene la continuidad de f β .
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).Entonces
f β (L) = L(f ) ∀L ∈L
1 f β ◦δ = f
2 f β es continua.
Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.Entonces se tiene la continuidad de f β .
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).Entonces
f β (L) = L(f ) ∀L ∈L
1 f β ◦δ = f
2 f β es continua.
Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.Entonces se tiene la continuidad de f β .
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).Entonces
f β (L) = L(f ) ∀L ∈L
1 f β ◦δ = f
2 f β es continua.
Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.Entonces se tiene la continuidad de f β .
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).Entonces
f β (L) = L(f ) ∀L ∈L
1 f β ◦δ = f
2 f β es continua.
Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.
Entonces se tiene la continuidad de f β .
Identificacion del Espacio de Ultrafiltros
Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).Entonces
f β (L) = L(f ) ∀L ∈L
1 f β ◦δ = f
2 f β es continua.
Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.Entonces se tiene la continuidad de f β .
Aplicaciones
Definicion
Sea E es un espacio de Banach.Se dice separablemente inyectivo si para todo espacio de Banachseparable X y cada subespacio Y ⊆ X , todo operador T : Y −→ Ese extiende a un operador T : X −→ E .Si se satisface ademas que ‖T‖ ≤ λ · ‖T‖ se dice que esλ -separablemente inyectivo.
Aplicaciones
Definicion
Sea E es un espacio de Banach.Se dice separablemente inyectivo si para todo espacio de Banachseparable X y cada subespacio Y ⊆ X , todo operador T : Y −→ Ese extiende a un operador T : X −→ E .Si se satisface ademas que ‖T‖ ≤ λ · ‖T‖ se dice que esλ -separablemente inyectivo.
Aplicaciones
Definicion
Sea E es un espacio de Banach.Se dice universalmente separablemente inyectivo si para todoespacio de Banach X y cada subespacio separable Y ⊆ X , todooperador T : Y −→ E se extiende a un operador T : X −→ E .Si se satisface ademas que ‖T‖ ≤ λ · ‖T‖ se dice que esuniversalmente λ−separablemente inyectivo.
Aplicaciones
Teorema
Bajo la hipotesis del continuo todo espacio 1-separablementeinyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.
Demostracion:
E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.T : Y −→ E .Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.H = (Hn) con Hn : Y −→ R
Aplicaciones
Teorema
Bajo la hipotesis del continuo todo espacio 1-separablementeinyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.
Demostracion:
E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.
T : Y −→ E .Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.H = (Hn) con Hn : Y −→ R
Aplicaciones
Teorema
Bajo la hipotesis del continuo todo espacio 1-separablementeinyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.
Demostracion:
E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.T : Y −→ E .
Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.H = (Hn) con Hn : Y −→ R
Aplicaciones
Teorema
Bajo la hipotesis del continuo todo espacio 1-separablementeinyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.
Demostracion:
E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.T : Y −→ E .Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.
H = (Hn) con Hn : Y −→ R
Aplicaciones
Teorema
Bajo la hipotesis del continuo todo espacio 1-separablementeinyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.
Demostracion:
E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.T : Y −→ E .Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.H = (Hn) con Hn : Y −→ R
Aplicaciones
Por el teorema de Hahn-Banach, extendemos Hn a X∼
Hn : X −→ R lineal, continua y ‖∼
Hn ‖= ‖Hn‖
∼H = (
∼Hn)
|∼
Hn(x)| ≤ ‖∼
Hn ‖‖x‖= ‖Hn‖‖x‖ ≤ ‖H‖‖x‖=⇒
∼Hn ∈ `∞ =⇒
∼H ∈ `∞
Aplicaciones
Por el teorema de Hahn-Banach, extendemos Hn a X∼
Hn : X −→ R lineal, continua y ‖∼
Hn ‖= ‖Hn‖∼H = (
∼Hn)
|∼
Hn(x)| ≤ ‖∼
Hn ‖‖x‖= ‖Hn‖‖x‖ ≤ ‖H‖‖x‖
=⇒∼
Hn ∈ `∞ =⇒∼H ∈ `∞
Aplicaciones
Por el teorema de Hahn-Banach, extendemos Hn a X∼
Hn : X −→ R lineal, continua y ‖∼
Hn ‖= ‖Hn‖∼H = (
∼Hn)
|∼
Hn(x)| ≤ ‖∼
Hn ‖‖x‖= ‖Hn‖‖x‖ ≤ ‖H‖‖x‖=⇒
∼Hn ∈ `∞ =⇒
∼H ∈ `∞
Aplicaciones
∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α
Yα = `∞
∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x
=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖
T =∼H ◦
∼T =⇒‖T‖= ‖T‖
Entonces E es universalmente-1-separablemente inyectivo.
Aplicaciones
∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α
Yα = `∞
∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x
=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖
T =∼H ◦
∼T =⇒‖T‖= ‖T‖
Entonces E es universalmente-1-separablemente inyectivo.
Aplicaciones
∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α
Yα = `∞
∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x
=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖
T =∼H ◦
∼T =⇒‖T‖= ‖T‖
Entonces E es universalmente-1-separablemente inyectivo.
Aplicaciones
∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α
Yα = `∞
∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x
=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖
T =∼H ◦
∼T =⇒‖T‖= ‖T‖
Entonces E es universalmente-1-separablemente inyectivo.
Aplicaciones
∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α
Yα = `∞
∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x
=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖
T =∼H ◦
∼T =⇒‖T‖= ‖T‖
Entonces E es universalmente-1-separablemente inyectivo.
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