Límites y continuidad
Cálculo 1
Límites de funciones
Analicemos la función: 112
xx
xf
La función está definida para toda x diferente de 1.
Podemos simplificar la función de la siguiente manera:
1
111
112
x
xxx
xx
xf x 1
x
y
1
1
–1
0
112
xx
xfy
2
x
y
1
1
–1
0
y = x + 1
2
Valores de x menores y mayores 1que 1
0.9
1.1
0.99
1.01
0.999
1.001
0.999999
1.000001
1.9
2.1
1.99
2.01
1.999
2.001
1.999999
2.000001
1112
x
xx
xf x 1
Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.
211
lim2lim2
11
xx
oxfxx
Definición informal de límiteSea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe
Lxfx
10
lim
x
y
1
1
–1
0
11
)2
xx
xfa
2
x
y
1
1
–1
0
1) xxhc
2
x
y
1
1
–1
0
1,1
1,11
)
2
x
xxx
xgb
2
Comportamientos asociados a la no existencia de un limite
Funciones sin límite en un punto
0,1
0,0)
x
xya
La función salta
-3 -2 -1 0 1 2 3-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y
0,0
0,1
)x
xxyb
Crece demasiado
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0,1
sen
0,0)
xx
xyc
Oscila demasiado
Ejercicio
1
1
2 3
y = g(x)
y
x
xgx 1lim
Encontrar
xgx 2lim
xgx 3lim
Tarea
Haga una tabla con los valores de g(x) en los puntos –5.9, –5.99, –5.999, ... y para –6.1, –6.01, –6.001, ... ¿Cual es el limx–6 g(x)?
124
62
xx
xxg
Calculo Analítico de Limites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son números reales)
1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M 0
6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n
Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
Ejercicios
Eliminación de denominador cero
Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.
xxxx
x
2
2
1
2lim
hh
h
22lim
0
Límites por un ladoDefinición informal de límite por la izquierda y límite por la derecha
Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos
Lxfax
lim
Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos
Mxfax
lim
Límites por un lado y bilateralesUna función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:
Limx c f (x) = L Limx c– f (x) = L y Limx c+ f (x) = L
Ejemplo
1lim0
xfx
existennoxfyxfxx 00limlim
0lim1
xfx
1lim1
xfx
existenoxfx 1lim
1lim2
xfx
1lim2
xfx
1lim2
xfx
23limlimlim333
fxfxfxfxxx
1lim4
xfx
existennoxfyxfxx 44limlim
1 2 3 4
1
2
0
y
x
y = f (x)
Tarea #12¿cuáles límites son verdaderos y cuales son falsos?
1lim1
xfx
0lim0
xfx
1lim0
xfx
xfxfxx
00
limlim
existexfx
0
lim 0lim0
xfx
1lim0
xfx
1lim1
xfx
0lim1
xfx
2lim2
xfx
existenoxfx
1
lim 2lim2
xfx
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Límites infinitosSi el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.
xfcx
lim
Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.
xfcx
lim
-3 -2 -1 0 1 2 3-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Ejemplos
xx
1lim
0
x
y
xx
1lim
0
y = 1/x
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2 -1 0 1 2 3
11
lim1 xx
11
lim1 xx
x
y
y = 1/(x – 1)
0
5
10
15
20
25
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
20
1lim
xx
20
1lim
xx
2
1x
y
0
5
10
15
20
25
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
y
23 3
1lim
xx
23 3
1lim
xx
23
1
xy
Límites de funciones racionales
0
22
lim22
2lim
42
lim2
2
22
2
2
xx
xxx
xx
xxx
41
21
lim22
2lim
42
lim2222
xxxx
xx
xxx
223
lim43
lim222 xx
xxx
xx
223
lim43
lim222 xx
xxx
xx
existenoxx
xxx
xx
223
lim43
lim222
223232 2
1lim
2
2lim
2
2lim
xx
x
x
xxxx
ContinuidadContinuidad en un punto
Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si
cfxfcx
lim
Ejemplos
1
1
0
y
x
y = f(x)
1
0
y
x
y = f(x)
1
0 x
y = f(x)
y = f(x)
y
x
2
0
5
10
15
20
25
-3 -2 -1 0 1 2 3
2
1
xxfy
Tipos de discontinuidades
xy Discontinuidad escalonada
xseny
1 Discontinuidad oscilante
21
x
y Discontinuidad infinita
2
22
x
xy Discontinuidad removible
Continuidad en los extremosUna función f es continua en el extremo izquierdo x = a de su dominio, si
afxfax
lim
Una función f es continua en el extremo derecho x = b de su dominio, si
bfxfbx
lim
y = f(x)
a c b
Criterio de continuidad
Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres condiciones siguientes:
1. f(c) existe (c está en el dominio de f)
2. Limx c f(x) existe (f tiene un límite cuando xc)
3. Limx c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)
Ejemplo
1 2 3 4
1
2
0
y
x
y = f (x)
Continua
Discontinua
Reglas de continuidadTeorema 6
Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son continuas en:
1. f + g y f – g
2. f g
3. kf, donde k es cualquier número
4. f/g (si g(c) ≠ 0)
5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son enteros)
Continuidad de polinomiosTeorema 7
Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero.
25
20x4
xxxg
xfxr
Ejemplo:
Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2.
La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx0| x | = 0.
Continuidad de la composición
Teorema 8
Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en c.
f g
g ° f
f (c) g(f (c))Continua en c Continua en f(c)
Continua en c
Ejemplos
1033
2 xx
xy
211 2x
xy
xx
ycos
2
xsenx
y 2
4
11
Tarea #14
1
1
20
Diga si la función es continua y porque en x = –1 , 0, 1 y 2.
¿En qué puntos son continuas las siguientes funciones?
341
2 xx
xy xsenxy 1 1
tan2
x
xxya) b) c)
-1
Extensión continua en un punto
Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero limxc f(c ) = L, se puede definir una función F(x) usando la regla
f(x) si x está en el dominio de fF(x) =
L si x = c
Ejemplo:
4
62
2
xxx
xf
Se puede simplificar en:
2
32232
46
2
2
xx
xxxx
xxx
xf
Que es continua en x = 2
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