CORRECCIÓN PRUEBA DE DIAGNOSTICO
1) Hallar la pendiente, intersección y realice la gráfica
x+3−5
+ y−12
=1
2 x+6−5 y+5=−10
2 x−5 y+21=0
y=mx+bm=25
y=2 x+215
x=5 y−252
Gráfico:
2) Resolver y gráficar
1¿5x2−2 y2=2
2¿5x−2 y=4
x=4+2 y5
5( 16+16 y+4 y225 )−2 y2=280+80 y+20 y2
25−2 y2=2
80+80 y+20 y2=50+50 y2
30 y2−80 y−30=0
y=−b±√b2−4ac2a
y=80±√6400−360060
y=80±10060
y1=3 y2=−13
Gráfico:
TRABAJO EN CLASE
Encontrar los puntos de intersección
1) y=3 x+5 ; y=−x+3
y=3 (0 )+5 y=−(0 )+3
y=5 y=3
(0 )=3 x+5 (0 )=−x+3
x=−53x=3
(−53 ,5)(3,3)
2) y=x2 ; y=3 x−2
y=¿
y=0 y=−2
(0 )=x2 (0 )=3 x−2
x=0 x=23
(0,0 )( 23 ,−2)
3) y=x2−x ; y=x−1
(0 )=x2−x y=(0 )−1
x (x−1 )=0 y=−1
x1=0 x2=1 (0 ) x−1
x=1
4) 3 y−2 x=5 ; y+3 x=9
3 y−2 (0 )=5 y+3 (0 )=9
y=53y=9
3 (0 )−2x=5 (0 )+3x=9
x=−52x=3
(−52 , 53 )(3,9)
DIBUJAR
1) f ( x )=x (2 x+5)
x=02 x+5=0
x=52
Vértice
x=−b2a
=−54
y=2(−54 )2
+5(−54 )=−258
V (−54 ,−258 )
2) f ( x )=−x2−2x+15
x=−b2a
=−1
y=−¿
y=16V (−1,16)
3) f ( x )=x2+2 x−8
x=−b2a
=−1
y= (−1 )2+2 (−1 )−8
y=−9V (−1 ,−9)
RESOLVER
1) 2 y2−x2=1 2) x−2 y=3
x=3+2 y
2 y2−¿
2 y2−9−12 y−4 y2=1
−2 y2−12 y−10=0
y=12±√−122−4(−2)(−10)
2(−2)
y=12±8−4
y1=−5 y2=−1
x=3+2 (−5 ) x=3+2(−1)
x1=−7 x2=1
1) 3 x2−9 y=02) 3 y2−9 x=0
3 x2=9 y−9 y=−3 y2
x2=9 y3x=−3 y2
−9
x=√3 y x= y2
3
√3 y= y2
33 x2−9 (3 )=0
3 y= y4
93x2−27=0
27 y= y4 x2=273
y3=27 √x2=√9
y=3 x=3
DEBER DE LÍMITES
Problemas 10.1
1) limt→−5
(t 2−5 )=20
¿
2)limt →1
3
(5 t−7)
5( 13 )−7=−163
3) limx→−2
(3 x3−4 x2+2 x−3 )=−47
3¿
4) limr→ 9
4 r−311
4 (9 )−311
=36−311
=3311
=3
5) limx→3
x2−x−6x−3
=32−3−63−3
=00=I
(x−3)(x+2)x−3
=x+2
limx→3
x+2=3+2=5
6) limx→2
x2−x−2x−2
=22−2−22−2
=00=I
(x−2)(x+1)x−2
=x+1
limx→2
x+1=2+1=3
7) limx→3
x−3x2−9
= 3−332−9
=00=I
x−3x2−9
= x−3(x−3)(x+3)
= 1x+3
limx→3
1x+3
= 13+3
=16
8) limx→4
x2−9 x+20x2−3 x−4
=42−9 (4 )+2042−3 (4 )−4
=00=I
x2−9 x+20x2−3 x−4
=(x−5)(x−4 )(x−4)(x+1)
= x−5x+1
limx→4
x−5x+1
= 4−54+1
=−15
9) limx→0
x2−2 xx
=00=I
x( x−2)x
=x−2
limx→0
x−2=0−2=−2
10) limx→−3 ( x 4−81
x2+8 x+15 )= (−3 )4−81¿¿ ¿
(x2+9)(x+3)( x−3)(x+3)(x+5)
=(x2+9)(x−3)
x+5
limx→−3
(x2+9)(x−3)x+5
=((−3 )2+9)((−3)−3)
−3+5=−54
11) limx→∞
4 x2+52 x2+1
=4 (∞ )+52 (∞ )+1
=∞∞
=I
4 x2+52 x2+1
=
4 x2
x2+ 5x2
2x2
x2+ 1x2
=4+ 5x2
2+ 1x2
limx→∞
4+ 5x2
2+ 1x2
=4+ 5∞
2+ 1∞
=42=2
12) limx→∞
72x+1
= 7∞
=0
13) limx→∞
x2−17−2 x+8 x2
= ∞2−17−2∞+8∞2
=∞∞
=I
x2−17−2 x+8 x2
=
x2
x2− 1x2
7
x2−2xx2
+8 x2
x2
=1− 1x2
7x2
−2x+8
limx→∞
1− 1x2
7x2
−2x+8
=1− 1
∞2
7∞2
− 2∞
+8= 1−00−0+8
=18
14) limx→∞
x¿¿ ¿
x9 x2−6 x+1
=
x
x2
9 x2
x2−6 xx2
+ 1x2
=
1x
9−6x+ 1x2
limx→−∞
1x
9−6x+1
x2
=
1−∞
9−6
−∞+1
−∞
=19
15) limx→∞
4−3 x3
x3−1
4x3
−3 x3
x3
x3
x3− 1x3
=
4x3
−3
1− 1x3
limx→∞
4
x3−3
1− 1x3
=
4
∞3−3
1− 1∞3
=−3
16) limx→∞ (x+ 1x )=∞
17) limx→−∞
x+1x
=−∞−∞
=I
limx→−∞
1+ 1x1
=11=1
18) limt →∞
¿¿
19) limx→−∞
−x5+2x3−1x5−4 x3
=−∞−∞
=I
−x5
x5+ 2 x
3
x5− 1x5
x5
x5−4 x
3
x5
=−1+ 2
x2− 1x5
1− 4x2
limx→−∞
−1+ 2x2
− 1x5
1− 4x2
=−1+0−01−0
=−1
20) limx→∞
−3x+2
=−3∞
=0
CORRECCIÓN PRUEBA DE LÍMITES
1) Calcule y grafique: limx→∞ ( 4 x3−2√ x−3 )
limx→∞ ( 4 x3−2√ x−3 )=4∞3−2√∞−3
=∞∞
=I
4 x3
x3− 2x3
√ xx6− 3
x3
=4− 2
x3
√ 1x5− 3
x3
=limx→∞
4− 2x3
√ 1x5− 3
x3
=4−00−0
=∞
2) Calcule y grafique: limx→2 ( 3 x
2−x−10x2+5 x−14 )
limx→2 ( 3 x
2−x−10x2+5 x−14 )= 3(2)2−2−10
(2)2+5(2)−14=12−2−104+10−14
=00=I
(x−2)(3 x+5)(x+7)(x−2)
=3 x+5x+7
limx→23 x+5
x+7=3(2)+52+7
=119
limx→2 ( 3 x
2−x−10x2+5 x−14 )=119
3) Relación huésped-parásito.- para una relación huésped-parásito, se determinó que cuando la densidad de huésped (número de huéspedes por unidad de área) es X, entonces el número de parásitos a lo largo de un periodo es
y=23(1− 11+2 x )
Si la densidad del huésped aumentara indefinidamente ¿a qué valor se aproximaría y?
limx→∞
23(1− 11+2x )=23(1− 1
1+2∞ )=23 (1−0 )=23
limx→∞
23(1− 11+2x )=23
TRABAJO EN CLASE DERIVADAS
1) y=√x3+ 1
√x3
dydx
=x32+1 x
−32
dydx
=32x12−32x
−52
dydx
=3√ x2
− 3
2√ x5
2) y=2√ t 3+ 4√ t−√2
dydx
=2 t32+ 4
t12
−212
dydx
=3 t12+4 t
−12 −0
dydx
=3 t12−2 t
−32
dydx
=3√t− 2
√ t3
3) y=−x2
16+ 2x−x
32+ 13 x2
+ x3
dydx
=−116x2+2 x−1−x
32+13x−2+ 1
3x
dydx
=−18x−2x−2−3
2x12−23x−3+ 1
3
dydx
=−18x− 2x2
−3√x2
− 23 x3
+ 13
4) y= 7
x1,2+ 5
x2,1
dydx
=−7 x−1,2+5 x2,1
dydx
=−7 (−1,2 x−2,2 )+5 (2,1x1,1 )
dydx
=8,4 x−2,2+10,5 x1,1
5) y=x2 (x3−6 x+7 )
dydx
=x2 ddx
(x3−6 x+7 )+ (x3−6 x+7 ) ddxx2
dydx
=x2 (3 x2−6+0 )+(x3−6 x+7 ) (2 x )
dydx
=3 x4−6 x2+2x 4−12 x2+14 x
dydx
=5 x4−18 x2+14 x
DEBER DE DERIVADAS
REGLA-EXPONETE
1) y=x5
dydx
=5 x5−1 dydx
=5 x4
2) y=9x2
dydx
=9 ddxx2dydx
=18x2−1
dydx
=9 ddxx2dydx
=18x
3) y=73x3
dydx
=73ddxx3
dydx
=733 x2
dydx
=7 x2
4) y= 1
x−2
dydx
=x2
dydx
=2x
5) y= (x+1 )2
dydx
=2 (x+1 ) .( ddx x+ ddx 1)dydx
=2 (x+1 )−(1+0 )
dydx
=2 (x+1 )
6) y=( x2+7 )3
dydx
=3 (x2+7 )2 .( ddx x2+ ddx 7)dydx
=3 (x2+7 )2 . (2 x+0 )
dydx
=6 x (x2+7 )2
7) y=(3x3−2 )5
dydx
=5 (3 x3−2 )4 .(3 ddx x3− ddx2)
dydx
=5 (3 x3−2 )4 . (9 x2−0 )
dydx
=45 x2 (3 x3−2 )4
8) y= 3√x3−2
dydx
=13
(x3−2 )13−1
dydx
=13
(x3−2 )−23 ( ddx x3− d
dx2)
dydx
=13
(x3−2 )−23 (3 x2−0 )
dydx
=x2 (x3−2 )−23 dydx
= x2
3√(x3−2 )2
9) y=7 x5
dydx
=7 ddxx5dydx
=35 x4
10) y= (x+3 )3
dydx
=3 ( x+3 )2 .( ddx x+ ddx 3)dydx
=3 ( x+3 )2
REGLA CONSTANTE
1) y=7
dydx
=0
2) y=√7
dydx
=712 dydx
=0
3) y=82
dydx
=0
4) y=25
dydx
=0
5) y=x2−2
dydx
= ddxx2− d
dx2
dydx
=2x−0 dydx
=2 x
6) y=2x3−1
dydx
=2 ddxx3− d
dx1
dydx
=6 x2−0 dydx
=6 x2
7) y=722
dydx
=0
8) y=√52
dydx
=0
9) y=8−2 x3
dydx
= ddx8−2 d
dxx3
dydx
=0−6 x2
dydx
=−6 x2
10) y=x7−x5+3
dydx
= ddxx7− d
dxx8+ d
dx3
dydx
=7 x6−5 x4+0
dydx
=7 x6−5 x4
REGLA COCIENTE
1) y= 5
x3
dydx
=x3ddx5−5 d
dxx3
(x3 )2
dydx
=x3 (0 )−5 (3 x2 )
x6
dydx
=0−15 x2
x6=−15 x2
x6=−15x4
dydx
=−15 x−4
2) y= x2
x3
dydx
=1x
dydx
=x−1 dydx
=−1 x−2
3) y= 1
x3
dydx
=x−3
dydx
=−3 x−4
4) y= 2
4 x2
dydx
= 1
2 x2
dydx
=2x−2
dydx
=−4 x−3
5) y= x3
x6
dydx
= 1
x3
dydx
=x−3
dydx
=−3 x−4
6) y= x+1x+1
dydx
=11
dydx
=0
7) y= x+1x−1
dydx
=(x−1 ) d
dx( x+1 )−(x+1) d
dx(x−1)
¿¿
dydx
=(x−1 ) (1+0 )−(x+1)(1−0)
¿¿dydx
=−2¿¿
8) y=( x+1 )( x+3 )
dydx
=(x+3 ) d
dx( x+1 )−( x+1 ) d
dx( x+3 )
( x+3 )2
dydx
=(x+3 )( ddx x+ ddx 1)−( x+1 )( ddx x+ ddx 3)
( x+3 )2
dydx
=(x+3 ) (1 )−( x+1 ) (1 )
( x+3 )2
dydx
= x+3−x−1( x+3 )2
dydx
= 2
(x+3 )2
9) y= x2+ x5
x2
dydx
=(x2 ) d
dx(x2+ x5 )−(x2+ x5 ) d
dx(x2 )
(x2 )2
dydx
=(x2 )( ddx x
2
+ ddxx5)−(x2+x5 ) (2 x )
x4
dydx
=(x2 ) (2 x+5x4 )−(2 x3+2x6 )
x4
dydx
=2 x3+5x6−2x3−2 x6
x4
dydx
=3 x6
x4=3 x2
10) f (w )=w−5w5
dydw
=(w5 ) d
dw(w−5 )−(w−5 ) d
dw(w5 )
(w5 )2
dydw
=(w5 )( ddw w− d
dw5)−(w−5 ) (5w4 )
w10
dydw
=(w5 ) (1 )−(5w5−25w4 )
w10
dydw
=w5−5w5+25w4
w10
dydw
=−4w5+25w4
w10
dydw
=w4 (−4w+25 )
w10
dydw
=−4w+25w6
REGLA DEL PRODUCTO
1. y=x2√x=x2 x12
dydx
=x2 ddxx12+x
12 ddxx2
dydx
=x2 12x12−1
+x122 x2−1
dydx
=12x32+2 x
32
dydx
=52x32
2. y=(2x3 ) (4 x2 )
dydx
=2x3 ddx4 x2+4 x2 d
dx2x3
dydx
=2x34 (2 ) x2−1+4 x22 (3 ) x3−1
dydx
=16 x4+24 x4
dydx
=40 x4
3. y=x3 (3 x )2
dydx
=x3 ddx
(3 x )2+ (3 x )2 ddxx3
dydx
=x32 (3 x ) x2−1 ddx
(3 x )+ (3x )2 (3 ) x3−1
dydx
=6 x4 (3 )+9 x2 (3 x2 )
dydx
=18 x4+27 x4=45 x4
4. y= (x+1 ) ( x+3 )
dydx
=( x+1 ) ddx
( x+3 )+( x+3 ) ddx
( x+1 )
dydx
=( x+1 )( ddx x+ ddx 3)+( x+3 )( ddx x+ ddx 1)dydx
=( x+1 ) (1 )+( x+3 ) (1 )
dydx
=x+1x+3
dydx
=2x+4
5. y=x2 ( x−2 ) (x+4 )
dydx
=x2 ( x−2 ) ddx
( x+4 )+ x2 ( x+4 ) ddx
( x−2 )+( x−2 ) ( x+4 ) ddxx2
dydx
=(x3−2 x2) ( ddx x+ ddx 4)+(x3+4 x2 )( ddx x− ddx2)+(x2+2 x−8 ) (2 x )
dydx
=(x3−2 x2) (1 )+(x3+4 x2 ) (1 )+(2 x3+4 x2−16 x )
dydx
=x3−2x2+x3+4 x2+2 x3+4 x2−16 x
dydx
=4 x3+6 x2−16 x
6. y=( x2−1 ) ( x3+3 x )
dydx
=(x2−1 ) ddx
(x3+3 x )+(x3+3 x ) ddx
( x2−1 )
dydx
=(x2−1 )( ddx x3
+ ddx3 x)+(x3+3 x )( ddx x2− d
dx1)
dydx
=(x2−1 ) (3 x2+3 )+(x3+3x ) (2 x )
dydx
=3 x4+3 x2−3x2−3+2x4+6x2
dydx
=5 x4+6 x2−3
7. y=(5x2−3 ) ( x2+x+4 )
dydx
=(5x2−3 )∗d
dx(x2+x+4 )+ (x2+ x+4 )∗d
dx(5x2−3 )
dydx
=(5 x2−3 )( ddx x2
+ ddxx+ ddx4)+(x2+x+4 )( ddx 5 x
2
− ddx3)
dydx
=(5 x2−3 ) (2x+1 )+(x2+x+4 ) (10x )
dydx
=10 x3+5 x2−6 x−3+10 x3+10 x2+40 x
dydx
=20 x3+15 x2+34 x−3
8. y=( x2+4 ) (3 x+2 )
dydx
=(x2+4 ) ddx
(3 x+2 )+(3 x+2 ) ddx
(x2+4 )
dydx
=(x2+4 )(3 ddx x+ ddx 2)+(3 x+2 )( ddx x2+ ddx 4)dydx
=(x2+4 ) (3 )+ (3x+2 ) (2 x )
dydx
=3 x2+12+6 x2+4 x
dydx
=9 x2+4 x+12
9. y=3 ( x+6 ) ( x−5 )
dydx
=3 ( x+6 ) ddx
( x−5 )+3 (x−5 ) ddx
( x+6 )+ ( x+6 ) (x−5 ) ddx3
dydx
=(3 x+18 )( ddx x− ddx5)+ (3x−15 )( ddx x+ ddx 6)+ ( x+6 ) (x−5 ) (0 )
dydx
=(3 x+18 ) (1 )+(3 x−15 ) (1 )+0
dydx
=3 x+18+3x−15+0
dydx
=6 x+3
10. y= (5 x+6 ) ( x−4 )
dydx
=(5 x+6 ) ddx
( x−4 )+ (x−4 ) ddx
(5 x+6 )
dydx
=(5 x+6 )( ddx x− ddx4 )+ ( x−4 )(5 ddx x+ ddx 6)
dydx
=(5 x+6 ) (1 )+ (x−4 ) (5 )
dydx
=5 x+6+5 x−20
dydx
=10 x−14
1)
DEBER RECTA TANGENTE
1) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y=3+ x –5 x2+x4 cuando x=0
dydx
= ddx3+ ddxx−5 d
dxx2+ d
dxx4
dydx
=0+1−10 x+4 x3
dydx
=4 x3−10 x+1
dydx x=0
=4(0)3−10 (0 )+1=1
m=1
y=mx+b
y=x+3
2) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto indicado
y=4 x2+5x+6 ; (1,15)
dydx
=4 ddxx2+5 d
dxx+ ddx6
dydx
=8 x+5+0
dydx
=8 x+5
dydx x=1
=8 (1 )+5=13
m=13
y− y0=m(x−x0)
y –15=13(x – 1)
y=13 x+2
3) Encuentre la pendiente en el punto indicando y la ecuación de la recta
y=3 x2+4 x – 8; (0 ,−8)
dydx
=3 ddxx2+4 d
dxx− ddx8
dydx
=6 x+4+0
dydx
=6 x+4
dydx
=6 (0 )+4
m=4
y− y0=m(x−x0)
y – (−8)=4(x−0)
y=4 x−8
4) Encuentre las pendientes en el punto indicativo y hallar la ecuación de la curva recta tangente y=5 – 6 x – 2x3 ;(0,5)
dydx
= ddx5−6 d
dxx−2 d
dxx3
dydx
=0−6−6 x2
dydx
=−6 x2−6
dydx
=−6(0)2=−6
m=−6
y=mx+b
y=−6 x+¿5
5) Encuentre la pendiente en el punto indicado y hallar la ecuación de la recta
y=3 x−4√ x; x = 4
dydx
=3 ddxx−4 d
dxx1 /2
dydx
=3−2 x−1 /2
dydx
=3− 2
√ x
dydx
=3− 2
√4=3−1=2
m=2
y=¿ 2x
6) Encuentre la pendiente en el punto indicado y la ecuación de la recta y=2x2+3 x –5 ; (1,0)
dydx
=2 ddxx2+3 d
dxx− ddx5
dydx
=4 x+3+0
dydx
=4 x+3
dydx x=1
=4 (1 )+3=7
m=7
y=mx+b
y=7 x−7
7) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y=2+2x – 5 x2+x3 cuando x=0
dydx
= ddx2+2 d
dxx−5 d
dxx2+ d
dxx3
dydx
=0+2−10x+3 x2
dyd x
=3 x2−10 x+2
dydx x=0
=3(0)2−10 (0 )+2=2
m=2
y=mx+b
y=2x+2
8) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto indicado
y=2x2+3 x+4 ; x=0 ; y=4
dydx
=2 ddxx2+3 d
dxx+ ddx4
dydx
=4 x+3+0
dydx
=4 x+3
dydx x=0
=4 (0 )+3=3
m=3
y=3 x+4
9) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto indicado
y=−3x2+7 x – 3 ; (0,-3)
dydx
=−3 ddxx2+7 d
dxx− ddx3
dydx
=−6 x+7−0
dydx
=−6 x+7
dydx x=0
=−6 (0 )+7=7
m=7
y=mx+b
y=7 x –3
10) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto indicado
y=−2x2+5 x – 9; (1, -6)
dydx
=−2 ddxx2+5 d
d xx− ddx9
dydx
=−4 x+5−0
dydx
=−4 x+5
dydx x=1
=−4 (1 )+5=1
m=1
y− y0=m(x−x0)
y – (−6)=1(x−1)
y+6=1x−1
y=x−7
DEBER DERIVACIÓN IMPLÍCITA
1) x2+4 y2=4
ddxx2+4 d
dxy2= d
dx4
2 x+8 y y '=0
8 y y '=−2 x
y '=−2x8 y
2) 2 y3−7 x2=5
2ddxy3−7 d
dxx2= d
dx5
6 y2 y '−14 x=0
6 y2 y '=14 x
y '=14 x6 y2
3) 3 x2+6 y2=1
3ddxx2+6 d
dxy2=1
6 x+12 y y '=0
12 y y '=−6 x
y '=−6 x12 y
4) 2 x2−3 y2=4
2ddxx2−3 d
dxy2= d
dx4
4 x−6 y y '=0
−6 y y '=−4 x
y '= 4 x6 y
5) xy=4
xddxy+ y d
dxx= ddx4
x y'+ y=0
x y'=− y
y '=− yx
6) x2+ xy−2 y2=0
ddxx2+(x ddx y+ y ddx x)−2 ddx y2=0
2 x+x y '+ y−4 y y '=0
x y'−4 y y '=−2 x− y
y ' (x−4 y )=−2x− y
y '=−2x− yx−4 y
7) xy− y−11 x=5
(x ddx y+ y ddx x )− ddxy−11 d
dxx= ddx5
x y'+ y− y '−11=0
x y'− y '=11− y
y ' (x−1 )=11− y
y '=11− yx−1
8) x3 y3+x=9
(x3 ddx y3+ y3 ddx x3)+ ddx x= ddx9
3 x3 y2 y '+3 x2 y3+1=0
3 x3 y2 y '=−3 x2 y3−1
y '=−3 x2 y3−13 x3 y2
9) x3 y 4−5 x3−xy=0
(x3 ddx y4+ y4 ddx x3)−5 ddx x3−(x ddx y+ y ddx x)=04 x3 y3 y '+3 x2 y4−15 x2−x y'− y=0
4 x3 y3 y '−x y '= y+15 x2−3 x2 y4
y ' (4 x3 y3−x )= y+15 x2−3 x2 y4
y '= y+15 x2−3x2 y4
4 x3 y3−x
10) 4 x2+9 y2=16
4ddxx2+9 d
dxy2=16
8 x+18 y y '=0
18 y y '=−8 x
y '=−8 x18 y
CORRECCIÓN DE LA MICROPRUEBA
Si la función de costo total para un fabricante está dada por C= 5q2
√q2+3+5000, encuentre la
función de costo marginal
dcdq
=¿¿
dcdq
=¿¿
dcdq
=10q¿¿
dcdq
=10q√q2+3− 5q3
√q2+3q2+3