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CICLO 2011 – II
LOGICA PROPOSICIONAL
LOGOLOGICA PROPOSICIONAL
CICLO 2011 – II
Universidad MetropolitanaEnseñando el camino
Es un enunciado al cual se le puede asociar el concepto de verdadero o falso, pero no ambos.
PROPOSICION
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoProposición
Ejemplos:Si son proposiciones La luna es cuadrada 7 es un número primo Las arañas son
mamíferos La raíz de √2 es 1.41 Los gatos tienen 7
vidas
no Son proposiciones ¿Qué hora es? Por favor, cierre la
puerta El 6 de abril de 1876 fue
sábado Dice el Presidente:“Todos en este país son
unos mentirosos y esto es verdad”
Universidad MetropolitanaEnseñando el camino
Proposiciones compuestasConectivos
Conocido el valor de verdad de ciertas proposiciones, la lógica establece el valor de verdad de otras relacionadas con éstas.
A éstas últimas se les conoce como proposiciones compuestas
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoNegación
Si p es una proposición, entonces “no p” es la negación de p y se denota por:
~ pEjemplo:p: Hoy es martes~ p: Hoy no es martes
¿Qué sucede con la negación de p, siendo p verdadero?
¿Qué sucede con la negación de p, siendo p falso?
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoNegación
Esto lo podemos escribir de una manera “compacta”, utilizando una tabla
A esta tabla se le llama “tabla de certeza de la negación”
p ~ p
V F
F V
Posibilidades para la proposición p
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoConjunción
Si p y q son proposiciones, se llama conjunción de p y q a la proposición compuesta “p y q “ y se denota por:
p ∧ q
Ejemplos:p: Hoy es martesq: La luna es cuadradar: mañana es miércoles
p ∧ q :Hoy es martes y la luna es cuadrada
p ∧ r :Hoy es martes y mañana es miércoles
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoConjunción
En la conjunción es verdadera solo si ambas son verdaderas en los demas casos es FALSO
Se lee p y q
p q p ∧ qV V V
V F F
F V F
F F F
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoConjunción
Se toman como “sinónimos” de la conjunción:
Además Pero Sin embargo Aunque
También Aún A la vez No obstante
Universidad MetropolitanaEnseñando el camino
Conjunción: p ̂ q
Luís estudia ,además de trabajar Luís estudió pero no aprobó Luís canta, sin embargo no baila Luís jugó futbol aunque estaba lesionado Luís juega futbol , también José Luís salió, aún no llega Luís cocina a la vez que canta Luís viajará no obstante esté sin visa Luís canta , no baila.
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoConjunción: p ̂ q
No siempre “y” denota una conjunción ………Ejemplo:
Silvia y Nelly son hermanas
Esta es una proposición (simple), en donde el “y” permite establecer la relación entre los sujetos.
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoDisyunción
Si p 0 q son proposiciones, se llama disyunción de p 0 q a la proposición compuesta y es verdadera basta que una de ellas sea verdadera
p q p ∨ qV V V
V F V
F V V
F F F
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoDisyunción
Seré cantante o futbolista p: Seré cantante q: Seré futbolista
Simbolización: p ∨ q
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoCondicional
Si p y q son proposiciones, se llama condicional de p y q a la proposición compuesta “si p, entonces q” y se denota por:
p → q
Ejemplos: Si no llueve
(entonces) iremos a la playa
Si me gano la lotería (entonces) me voy de viaje
Si no estudio (entonces) no aprobaré Lógica
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoCondicional
Veamos la tabla del condicional:
p → q
Conviene pensar en una “promesa” ..... Si no llueve (entonces) iremos a la playa
p q p → qV V V
V F F
F V V
F F V
Universidad MetropolitanaEnseñando el camino B I CONDICIONAL
Este caso de denota por la doble fecha y significa si solo si .Es verdadera si ambos son iguales
En los demás casos es falso
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Universidad MetropolitanaEnseñando el camino
Ejemplo con 3 proposiciones simples
¿Cuántas posibilidades tendremos?
p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F
Universidad MetropolitanaEnseñando el camino
Ejemplo con 3 proposiciones simples
p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F
r∨p q∨p ~(q∨p)V V FV V FV V FV V FV V FF V FV F VF F V
(r ∨ p) ∧ ~(q∨p) FFFFFFVF
Hacer la tabla de certeza para: (r∨p) ∧ ~(q∨p)
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEn resumen
Una tabla de verdad para proposiciones compuestas que contienen:
1 proposición simple… tendrá 2 filas 2 proposiciones simples 3 proposiciones simples 4 proposiciones simples
……razonando inductivamente……..
n proposiciones simples
4 = 22 filas8 = 23 filas16= 24 filas
2n filas
Universidad MetropolitanaEnseñando el camino
Formas de expresar un condicional…….
Si es Chiclayano, es Peruano (p →q) Es Peruano, siempre que sea Chiclayano Es Peruano si es Chiclayano Es suficiente que sea Chiclayano para que sea
Peruano Siempre y cuando sea Chiclayano, será
Peruano. Es necesario que sea Peruano para ser
CliclayanoTODAS ESTAS EXPRESIONES SE SIMBOLIZAN
COMO: p → q
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoPartes de un condicional
p →q
antecedente
Condición suficiente
consecuente
Condición necesaria
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoFormas derivadas del condicional
Dado el condicional directo: p →q, el condicional ~ p → ~q se llama contrario y lo expresaríamos: “ si no p, entonces no q”
Directo: p →qSi repruebo el examen, entonces me enojaré
bastante Contrario: ~ p → ~q
Si no repruebo el examen, entonces no me enojaré bastante
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoFormas derivadas del condicional
Dado el condicional directo: p →q, el condicional q → p se llama recíproco y lo expresaríamos:
“ si q, entonces p” Directo: p →q
Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante
Recíproco: q → p Si me enojo bastante , entonces reprobaré el
examen
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoFormas derivadas del condicional
Dado el condicional directo: p →q, el condicional ~ q → ~p se llama contrarrecíproco y lo expresaríamos: “ si no q, entonces no p”
Directo: p →qSi repruebo el examen, entonces me enojaré
bastante Contrarrecíproco: ~ q → ~p Si no me enojo bastante, entonces no repruebo el
examen
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoFormas derivadas
p q q p
~ p ~ q ~ q ~ p
Directo Recíproco
Contrario Contrarrecíproco
recíprocos contrarios
contrarrecíprocos
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjemplo
Hallar las formas derivadas del siguiente condicional:
Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. ……………………………………. ¿V o F?
Falso (contraejemplo: 2)Recíproco: Si un número es múltiplo de 4 entonces es
par. …………………………………..¿V o F?Verdadero!
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjemplo
Directo: p →qSi un número es par, entonces es múltiplo
de 4.Contrario: ~ p → ~ q Si un número no es par, entonces no es
múltiplo de 4Verdadero!
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjemplo
Directo: p →qSi un número es par, entonces es múltiplo
de 4.Contrarrecíproco: ~ q → ~ p Si un número no es múltiplo de 4,
entonces no es par Falso….. 2 no es múltiplo de cuatro y es
par (a nte c e d e nte ve rda d e ro , c o ns e c ue nte fa ls o )
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjercicios
1. Escribir las formas derivadas para: a) (r ∨ ~q ) → p .
b)Si y o d ig o s í, e lla d ic e no .
2 . Co ns truy e una p ro p o s ic ió n ve rda d e ra q ue inc luya un c o nd ic io na l, una c o njunc ió n, una d is yunc ió n y una ne g a c ió n (no ne c e s a ria m e nte e n e s e o rd e n), q ue c o ns te d e la s c o m p o ne nte s p , q y r c o n to d a s e lla s fa ls a s .
Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjercicios
Es c ribe e l re c íp ro c o , e l inve rs o y e l c o ntra rre c íp ro c o d e c a da una d e la s p ro p o s ic io ne s s ig uie nte s :
Si q , e nto nc e s r ~ p (~ q ) ~ p ~ (r ∧ q ) El s o l brilla s i e s tá s fe liz . Si tu a uto m ó vil no tie ne a ire a c o nd ic io na d o ,
no te ndrá s a m ig o s .