Lógica y conjuntos
José David Ojeda M.
Matemáticas - 11º
1. Proposiciones
Matemáticas - 11º
1. Proposiciones
• Las proposiciones son enunciados que se pueden calificar como verdaderos o falsos.
• La opiniones, preguntas, ordenes y exclamaciones no son proposiciones.Ejemplos:
• a) Un año tiene 345 días• b) -3 + 4 = 1 c)
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1. Proposiciones• Proposición simple: Es aquella en la
que no se utilizan términos de enlace. Su valor de verdad es Verdadero o falso, en algunos casos puede ser indeterminado
• Ejemplo: p: Hoy es jueves; q: el 3 es numero primo; r: 7 en un factor del 14;s: Hoy llueve en Medellín (Ind)
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1. Proposiciones• Proposiciones compuestas: Están
formadas por dos o mas proposiciones simples, unidas por elementos de enlace llamados conectores lógicos.
Conectivo lógico Símbolo
y
O
si...entonces…
…si y solo si…
Negación (no)
1. Proposiciones
• Ejemplo: Dadas las proposicionesp: la suma de los dígitos de 15 es 6q: es un numero ir racionesr: 15 es múltiplo de 3s: Escribir la proposiciones compuestas:
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9
9 3
a) b) c
)
d) e )
p q q r p r
q s s
1. Proposiciones• Solución:
: La suma de los dígitos de 15 es 6 y es un numero irracional.
: es un numero irracional o 15 es múltiplo de 3. : Si la suma de los dígitos del 15 es 6, entonces 15
es múltiplo de 3. : es un numero irracional, si y solo si, . :
a) p q9
b) q r 9
c) p r
d) q s 9
9 3e) s 9 3
1. Proposiciones
• Negación de una proposición ( )Permite cambiar el valor de verdad de una proposición. Si la proposición p tiene valor de verdad verdadero, su negación
es falsa, y viceversa.
se lee “no p”
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p
p
1. Proposiciones
• Ejercicio: Negar la proposición y escribir el valor de verdad de la negación:
• a) p : Todos los días son festivos (F) : No todos los días son festivos (V)
• b) q : (V) : (F)
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p
15 3 12 q 15 3 12
1. Proposiciones
• Conjunción: Proposición compuesta por dos o mas proposiciones unidas por el conector lógico “y”, que se simboliza Valor de verdad de la conjunción:
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p qV V V
V F F
F V F
F F F
p q
1. Proposiciones
• Disyunción: Proposición compuesta por dos o mas proposiciones unidas mediante el conectivo “o”, que se simbolizaValor de verdad de la disyunción:
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p qV V V
V F V
F V V
F F F
p q
1. Proposiciones• Ejercicios: Determinar el valor de verdad de
las siguientes proposiciones compuestas:• a) : 20 es múltiplo de 3 y 4 es divisor de
12.La proposición p es falsa y la proposición q es verdadera, por lo tanto es falsa.
• b) : 18 es múltiplo de 6 ó 18 es múltiplo de 5 La proposición r es verdadera y la proposición s es falsa, por tanto es verdadera.
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p q
p q
r s
r s
1. Proposiciones• Condicional: Proposición compuesta
por dos o mas proposiciones unidas mediante el conectivo “si…entonces…”, que se simboliza Valor de verdad del condicional:
p qV V V
V F F
F V V
F F V
p q
1. Proposiciones• Bicondicional: Se presenta cuando
cada proposición implica a la otra. Están relacionadas por el conectivo “si y solo si”, que se simboliza Valor de verdad del condicional:
p qV V V
V F F
F V F
F F V
p q
1. Proposiciones• Ejemplo: Determinar el valor de verdad de
las siguientes proposiciones compuestas:• a) : Si 20 termina en cero, entonces es
múltiplo de 5.La proposición p es verdadera y la proposición q es verdadera, por tantoes verdadera.
• b) : 6 es un factor de 12, si y solo si, 6 x 2 = 12.Ambas proposiciones son verdaderas, por tanto es verdadera
p q
p q
r s
r s
1. Proposiciones• Tablas de verdad: Se usan para
determinar el valor de proposiciones compuestas.
• Ejemplo: Hallar el valor de verdad de
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V V V F V F F
V F F V F V V
F V F V F V V
F F F V V F V
p q p q p q p q p q p q
p q p q
p q
1. Proposiciones• Ejemplo 2: Hallar el valor de verdad
de la siguiente proposición:
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V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
p q p q p q p q p q p p q p q
1. Proposiciones
• Ejercicios: Elaborar la tabla de valor de verdad para cada una de las siguientes proposiciones:
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a) b)
c
) d )
p q q p p q p q
p p q p q q p
2. Teoría de conjuntos
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2. Teoría de conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos determinados, a cada objeto del conjunto se le denomina elemento.Dado un objeto y un conjunto, se puede establecer si el elemento pertenece o no al conjunto.Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas.
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2. Teoría de conjuntos• Recordemos los conjuntos numéricos
Reales (R)
Racionales (Q)
Irracionales
(I)
Enteros
(Z)
Fraccionarios
PositivosNegativos
Positivos (N)CeroNegativos
PositivosNegativos
2. Teoría de conjuntos
• Determinación de conjuntos:• Un conjunto se determina por
extensión cuando se nombra cada uno de los elementos que lo integran.
• Ejemplo: El conjunto de los números naturales pares se determina por extensión así:
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2, 4, 6, 8, 10, 12,......M
2. Teoría de conjuntos
• Un conjunto se determina por comprensión cuando se recurre a la propiedad que lo caracteriza y que solo cumplen sus elementos:
• Ejemplo: El conjunto de los números pares se determina por comprensión así:
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/ 2M x N x n
2. Teoría de conjuntos
• Ejemplo: Determinar por extensión y por comprensión los siguientes conjuntos.
a) El conjunto de los números primos menores que 35Por Extensión:
Por comprensión:
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2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31P
/ es un numero primo 1 35P x x x
2. Teoría de conjuntos
b) El conjunto de los cuadrados perfectos menores que 100.Por extensión:
Por comprensión:
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0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81S
2/ 0 100, S x Z x n n n Z
2. Teoría de conjuntos• Relación de Pertenencia:
Un elemento pertenece a un conjunto si cumple con las características que definen al conjunto. El símbolo se utiliza para expresar dicha relación.
• Si el elemento a pertenece al conjunto B, se escribe y se lee a pertenece a B.
• Si el elemento t no pertenece al conjunto H se escribe y se lee t no pertenece a H .
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a B
t H
2. Teoría de conjuntosRELACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Relación de contenencia: Un conjunto A esta incluido en un conjunto B, si y solo si todo elemento de A es también elemento de B.
• Se simboliza y se lee A esta contenido en B o A es subconjunto de B.
• Si existe por lo menos un elemento de A que no pertenece a B, se dice que A no esta contenido en B y se escribe
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A B
A B
2. Teoría de conjuntos
• Ejemplo: Determinar las relaciones de contenencia entre cada par de conjuntos.
ya que todos los naturales divisibles entre 5 cumplen con la condición
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/ : es divisible entre 5
/ : 5
H x x N x
I x x Q x
H I
5x
2. Teoría de conjuntos
ya que el conjunto I no contempla ningún numero negativo, mientras que el conjunto J si.
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/ : 5
1/ :
5
I x x Q x
J x x R x
J I
2. Teoría de conjuntos
• Relación de Igualdad: Dos conjuntos A y B son iguales si tienen exactamente los mismos elementos
• Simbólicamente:
• Es decir todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A.
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A B A B B A
2. Teoría de conjuntos• Ejemplo: Determinar si los siguientes
conjuntos son iguales.
• K esta compuesto por los enteros positivos menores o iguales a 16, esto es
por tanto
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/ 4
0, 1, 2, 3... 13, 14, 15, 16
K x x Z x
L
0, 1, 2, 3... 13, 14, 15, 16K
K L
2. Teoría de conjuntos• OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:
Intersección entre conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B.
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2. Teoría de conjuntos
• Simbólicamente
Si el conjunto es vacio, se dice que A y B, son conjuntos disyuntos:de lo contrario se dice que son conjuntos intersecantes:
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/ A B x x A x B
A B
A BA B
A B
2. Teoría de conjuntos• Ejemplos: Dados…
Hallar y representar en un diagrama de Venn.
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A B ) b) c d ) )B C C D Ca A
2
/ , 4 5
/ , 6
/ , 10
/ , 4 0
A x x Z x
B x x Z x
C x x Z x
D x x Z x
2. Teoría de conjuntosB) Aa
-4 -3
-2 -1 0
1 23 4
5
6
A B 1, 2, 3, 4
b) B C
1 2 3
4 5 6
-1
-2 -3
B C
C D C D
c) C D
A BB C
-1
-2 -3
C -1
-2 -3
C
-4
0
12
3
4
d) A CA
A C C
2. Teoría de conjuntos
• Unión entre conjuntos: La unión entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A o a B o a ambos.
Simbólicamente,
/ A B x x A x B
2. Teoría de conjuntos• Ejemplo: Dados los conjuntos
Hallar y representarlo en un diagrama de Venn.
/ 3 1 15
/ 12 5 36
A x x es multiplo de x
B x x es multiplo de x
A B
2. Teoría de conjuntos• Solución: Determinando A y B por
extensión se tiene que.
• Entonces:
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3, 6, 9, 12, 24, 36A B
3 6
9
24
36
12
A B
3, 6, 9, 12 12, 24, 36A B
2. Teoría de conjuntos
• Cardinal de un conjunto: Es la cantidad de elementos que posee, el cardenal del conjunto A se simboliza n(A).
• Para el ejemplo anterior:
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4; 3;n A n B
6; 1n A B n A B En general:
n An A n A BB n B
2. Teoría de conjuntos
• Unión de conjuntos a partir de la relación existente entre ellos:
• La parte sombreada corresponde a la unión.
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2. Teoría de conjuntos• Propiedades de la unión y la
intersección1.Conmutativa:
2.Asociativa:
3.Distributiva:
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A B B A A B B A
A B C A B C A B C A B C
A B C A B A C
A B C A B A C
4. Absorción
A B A A
B A B B
2. Teoría de conjuntos
• Diferencia entre conjuntos: La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
• Simbólicamente:
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/ A B x x A x B A B B A
2. Teoría de conjuntos
• Ejemplo: Sean
Hallar: y y representar cada operación en un diagrama de Venn.
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/ , en numero par 15
/ , 2 6
R x x N x x
S x x Z x
R S S R
2. Teoría de conjuntos
• Solución:
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R S
8 10
12 14
24 6
-2 -1 1 0
3 5
8 10
12 14
24 6
-2 -1 1 0
3 5
S R
8, 10 , 12, 14R S
R S R S
2, 1, 0, 1, 3, 5S R
2. Teoría de conjuntos• Conjunto Universal: Formado por todos los
elementos del tema en referencia, se representa gráficamente mediante un rectángulo y simbólicamente mediante U.
• Complemento de un conjunto: El complemento de un conjunto con respecto al conjunto universal U es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A. El complemento de A se simboliza A’ o Ac y se lee A complemento.Simbólicamente
' / A U A x x U x A
2. Teoría de conjuntos• Ejemplo: Dados
Hallar A’ y representarlo en un diagrama de Venn.
• Solución:
Luego:
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U / 1 20
/ es divisor de 18
x x N x
A x x
U 1, 2, 3,..., 19, 20 1, 2, 3, 6, 9, 18A
' 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20A
2. Teoría de conjuntos
• Gráficamente:
Matemáticas - 11º
1 2
3 6 9
18
4 57 8 10
11 12 13
1415 16
1719 20
A
U
2. Teoría de conjuntos• Ejercicio: Dados los siguientes
conjuntos
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U / , 3 20
/ , 3
/ , 1 8
/ , 4
x x Z x
A x x Z x
B x x Z x x
C x x Z x
2. Teoría de conjuntos• Escribir los elementos
correspondientes a cada expresión:
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' ' '
' ' '
' ' ' '
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15. ' '
A B B C B C
C A A B B A
A B B C
A C C A A B
B C A B B C
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