LA REGLA DE LA CADENA
MATE 3013
DEFINICION:
La composición función , de f con g, se define
f g
( ( ))f g f g x
La composición de funciones
Ejemplo : Para y
Hallar y
f (x) x3 g(x) 1 x2 ,
( )( )f g x ( )( ).g f x
2 4 61 3 3x x x
2 3(1 )x
2(1 )f x
( )( ) ( ( ))f g x f g x ( )( ) ( ( ))g f x g f x
3( )g x
3 21 ( )x
61 x
La composición de funciones
Ejemplo : Para and
Hallar y
f (x) x g(x) x 1,
( )( )f g x ( )( ).g f x
( )( ) ( ( ))f g x f g x
( 1)f x
( )( ) 1f g x x
( )( ) ( ( ))g f x g f x
( )g x
( )( ) 1g f x x
La composición de funciones
Práctica adicional
Para las funciones en el Ejemplo anterior, hallar:
a.)
b.)
f f x
g g x
( )( ) ( ( ))f f x f f x ( )f x x 4 x
g g x g g x ( 1)g x 1 1x 2x
La composición de funciones
Suponer que g(x) es una función en x diferenciable.
Entonces, para cualquier número real k,
d
dxg x
k k g x
k1d
dxg x
La regla para potencias - extendida
Dicho en palabras, la derivada de una función
cualquiera elevada a una potencia es la
derivada de la potencia multiplicada por la
derivada de la función que se eleva a la
potencia.
Ejemplo 1: Derivar
f x 1 x3 1
2 .
La regla para potencias - extendida
2
3
3
2 1
x
x
𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥3
𝑓′(𝑥) = 𝑑
𝑑𝑥1 + 𝑥3
=1
21 + 𝑥3 −
12 ∙ 3𝑥2
Ejemplo 2:
Derivar:
Si no existiera otra forma tendríamos que expandir el
binomio y aplicar la regla para sumas de términos y
potencias. El éxito depende de que te acuerdes de como
expandir un cubo, o en este caso multiplicar
1 − 3𝑥 1 − 3𝑥 1 − 3𝑥 = 1 − 9x + 27𝑥2 − 27𝑥3
La regla para potencias - extendida
𝑓 𝑥 = 1 − 3𝑥 3
𝑓′ 𝑥 − 9 + 54𝑥 − 81𝑥2
Hallar la derivada de esta forma es fácil si somos
buenos en álgebra básica. Sino…
Ejemplo 2: (continuación)
Derivar:
Usando la regla de cadena tenemos que:
La regla para potencias - extendida
𝑓 𝑥 = 1 − 3𝑥 3
𝑓′ 𝑥 = −9 + 54𝑥 − 81𝑥2
Llegamos al mismo resultado que anterior.
𝑓′ 𝑥 = (1 − 3𝑥)3 ′ ∙ 1 − 3𝑥 ′
En palabras decimos, la derivada de la potencia
por la derivada de la base.
𝑓′ 𝑥 = 3(1 − 3𝑥)2 ∙ −3
𝑓′ 𝑥 = −9(1 − 6𝑥 + 9𝑥2)
Ejemplo 2:
Derivar:
Primero aplicaremos primeramente la regla del producto.
La regla para potencias - extendida
𝑓′ 𝑥 = 𝑥3 ′ ∙ 5 − 2𝑥 5 + 𝑥3[ 5 − 2𝑥 5]′
Ahora, en cada término en el que hay que derivar, usaremos la
regla para potencias o la regla extendida para potencias, según
sea necesario.
𝑓′ 𝑥 =𝑑
𝑑𝑥[𝑥3] ∙ 5 − 2𝑥 5 + 𝑥3
𝑑
𝑑𝑥[ 5 − 2𝑥 5](5 − 2𝑥)′
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 ∙ 5 − 2𝑥 5 + 𝑥3 ∙ 5 5 − 2𝑥 4 ∙ (−2)
𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 ∙ 5 − 2𝑥 4 [3 5 − 2𝑥 − 10𝑥]
𝑓 𝑥 = 𝑥3 5 − 2𝑥 5
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 ∙ 5 − 2𝑥 5 − 10𝑥3 5 − 2𝑥 4
𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 ∙ 5 − 2𝑥 4 (15 − 16𝑥)
Aquí, buscamos la derivada de la potencia,
dejando la base igual, y luego derivamos la base.
Respuesta correcta sin simplificar.
Respuesta completamente simplificada.
Ejemplo 3:
Derivar:
Primero aplicaremos la regla del producto.
La regla para potencias - extendida
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥 − 5 3 ′ ∙ 7 − 𝑥 2 + 3𝑥 − 5 3 7 − 𝑥 2 ′
Ahora, en cada derivada que vamos a buscar, usaremos
la regla para potencias - extendida.
𝑓′ 𝑥 =𝑑
𝑑𝑥[ 3𝑥 − 5 3] ∙ 3𝑥 − 5 ′ ∙ 7 − 𝑥 2 + 3𝑥 − 5 3
𝑑
𝑑𝑥[ 7 − 𝑥 2](7 − 𝑥)′
𝑓′ 𝑥 = 3 3𝑥 − 5 2 ∙ 3 ∙ 7 − 𝑥 2 + 3𝑥 − 5 3 ∙ 2 7 − 𝑥 ∙ −1
𝑓′ 𝑥 = 9 3𝑥 − 5 2 ∙ 7 − 𝑥 2 − 2 3𝑥 − 5 3 ∙ 7 − 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥 − 5 2 ∙ 7 − 𝑥 [9 7 − 𝑥 − 2 3𝑥 − 5 ]
𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 5 3 7 − 𝑥 2
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥 − 5 2 ∙ 7 − 𝑥 73 − 15𝑥
Respuesta correcta sin
simplificar.
Respuesta completamente simplificada.
Parte 1: Suponer que g(x) es una función en x
diferenciable. Entonces, para cualquier número real k,
La regla para funciones exponenciales - extendida
Dicho en palabras, la derivada de una
función cualquiera función exponencial
natural es la función exponencial
multiplicada por la derivada del
exponente.
𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑔 𝑥 = 𝑒𝑔 𝑥 ∙
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
Ejemplo: Derivar:
𝑓 𝑥 = −5𝑒4𝑥
La regla para funciones exponenciales - extendida
𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑔 𝑥 = 𝑒𝑔 𝑥 ∙
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
𝑓′(𝑥) = −5𝑒4𝑥 ∙𝑑
𝑑𝑥(4𝑥)
𝑓′(𝑥) = −5𝑒4𝑥 ∙ 4
𝑓′(𝑥) = −20𝑒4𝑥
Ejemplo: Derivar:
𝑓 𝑥 = 2𝑒3𝑥 −2
La regla para funciones exponenciales - extendida
𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑔 𝑥 = 𝑒𝑔 𝑥 ∙
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
𝑓′(𝑥) = 2𝑒3𝑥−2 ∙𝑑
𝑑𝑥(3𝑥 − 2)
𝑓′(𝑥) = 2𝑒3𝑥−2 ∙ 3
𝑓′(𝑥) = 6𝑒3𝑥−2
Ejemplo: Derivar: 𝑓 𝑥 =𝑒𝑥3
𝑥4
La regla para funciones exponenciales - extendida
𝑓′(𝑥) =𝑒𝑥3 ′
∙ 𝑥4 − 𝑒𝑥3(𝑥4)′
(𝑥4)2
𝑓′(𝑥) =𝑒𝑥3
(3𝑥2) ∙ 𝑥4 − 𝑒𝑥3(4𝑥3)
𝑥8
𝑓′(𝑥) =𝑒𝑥3
3𝑥6 − 4𝑥3
𝑥8
Aplicaremos dos reglas, primeramente la regla para
cocientes y luego la regla para potencias - extendida.
Parte 2: Suponer que g(x) es una función en x
diferenciable. Entonces, para cualquier número real k,
La regla para funciones exponenciales - extendida
Dicho en palabras, la derivada de una función
cualquiera función exponencial es la función
exponencial multiplicada por el logaritmo
natural de la base multiplicada por la
derivada del exponente.
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑔 𝑥 = ln (𝑎)𝑎𝑔 𝑥 ∙
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
Ejemplo: Derivar: 𝑔 𝑥 = 3𝑥2
La regla para funciones exponenciales - extendida
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑔 𝑥 = ln (𝑎)𝑎𝑔 𝑥 ∙
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
𝑔′(𝑥) = ln (3) ∙ 3𝑥2∙
𝑑
𝑑𝑥(𝑥2)
𝑔′(𝑥) = ln (3) ∙ 3𝑥2(2𝑥)
𝑔′ 𝑥 = 2𝑥 ln 3 3𝑥2
Ejemplo: Derivar:
𝑔 𝑥 = 4(3𝑥2 −9𝑥)
La regla para funciones exponenciales - extendida
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑔 𝑥 = ln (𝑎)𝑎𝑔 𝑥 ∙
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
𝑔′(𝑥) = 4 ∙ ln (3) ∙ 3𝑥2−9𝑥 ∙𝑑
𝑑𝑥(𝑥2 − 9𝑥)
𝑔′(𝑥) = 4 ∙ ln (3) ∙ 3𝑥2−9𝑥(2𝑥 − 9)
𝑔′ 𝑥 = 4 ∙ ln 3 (2𝑥 − 9) 3𝑥2−9𝑥
La derivada de una composición , está dada por
o lo que es igual,
En otras palabras la derivada de una composición es la
derivada de la función que está afuera por la
derivada de la función de adentro.
f g
( )( ) ( ( )) '( ( )) '( )d d
f g x f g x f g x g xdx dx
La regla de la cadena - general
dy dy du
dx du dx
Ejemplo : Hallar 𝑓´(𝑥) para
dy dy du
dx du dx
𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 1
𝑑
𝑑𝑥𝑥3 + 1 = 𝑥3 + 1
′∙ [𝑥3 + 1]′
𝑑
𝑑𝑥𝑥3 + 1 = 1
2 ∙ 𝑥3 + 1 −12 ∙ 3𝑥2
𝑓′(𝑥) =3𝑥2
2 𝑥3 + 1
La regla de la cadena
Dice: la derivada de una composición es la derivada de la función
externa multiplicada por la derivada de la función interna.
Ejemplo : Hallar h´(𝑧) para .
dy dy du
dx du dx
Si cambiamos h(x) de forma
entonces podemos aplicar la regla de la cadena.
ℎ′(𝑥) = 3 ∙ 4𝑧 − 5 −3 ′(4𝑧 − 5) ′
La regla de la cadena - generalizada
ℎ′(𝑥) = 3 ∙ −3 4𝑧 − 5 −4 ∙ 4
ℎ 𝑧 =3
(4𝑧 − 5)3
ℎ′(𝑥) = −36 4𝑧 − 5 −4
ℎ′(𝑥) = −36
4𝑧 − 5 4
ℎ 𝑧 = 3(4𝑧 − 5)−3
Dice: la derivada de una composición es la derivada de la función
externa multiplicada por la derivada de la función interna.
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