MatemtSolucionario
2009 -IIExamen de admisin
Matemtica
3
TEMA P
Pregunta N. 1Tres socios A, B y C deberan repartirse una utilidad de M dlares proporcionalmente a sus edades, las cuales son x del socio A, (x 3) del socio B y (x 6) del socio C. Como el reparto se realiz un ao despus, calcule la cantidad que recibe el socio que ms se perjudica.
A) M xx
+( )
( )1
3 2 B) M x
x
( )+
21
C) M xx
+( )
31
D) M xx
( )
13
E) M xx
+( )
( )1
2 3
Tema
Magnitudes proporcionales
Referencias
Una aplicacin de las magnitudes proporcionales es el reparto proporcional, el cual consiste en repartir una cantidad con respecto a ciertos nmeros llamados ndices.
Anlisis y procedimiento
Por dato, se tiene que el total que a se repartir es M.
Reparto inicial
sera como
Reparto dentro de
un ao es como
Socio A x (x+1)
Socio B (x 3) (x 2)
Socio C (x 6) (x 5)El total
sera como( ): 3(x 3) 3(x 2)Como el total repartido ahora y el de dentro de un ao deben ser iguales, multiplicamos a uno por (x 2)k y al otro por (x 3)k, respectivamente.
Reparto inicialReparto dentro de un ao
Socio A x(x 2)k (x+1)(x 3)k
Socio B (x 3)(x 2)k (x 2)(x 3)k
Socio C (x 6)(x 2)k (x 5)(x 3)kTotal: 3(x 3)(x 2)k 3(x 2)(x 3)k
Del cuadro se observa que el socio A es el que ms se perjudica; adems, el total que se reparte es el siguiente:
M=3(x 2)(x 3)k
kM
x x=
3 2 3( )( )
Luego, el socio A recibe (x+1)(x 3)k=M xx( )( )
+
13 2
.
Respuesta
La cantidad que recibe el socio que ms se
perjudica es M xx( )( )
+
13 2
.Alternativa D
Pregunta N. 2Del grficoTasa de aprobacin en los cursos A, B, C, D y E de un grupo de estudiantes.
80%
60% 60%
50%
70%
A B C D E
curso
%
4unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
Se afirma:I. El porcentaje promedio de desaprobacin
por curso es 36%.II. El porcentaje de aprobacin del curso D
es el 60% del porcentaje de aprobacin del curso B.
III. La tasa de desaprobacin del curso E es el 60% de la tasa de aprobacin en el curso C.
Cules de las afirmaciones son verdaderas?
A) solo I B) solo II C) solo IIID) solo I y II E) solo I y III
SolucinTema
Estadstica
Referencias
Los diagramas estadsticos son representaciones de un fenmeno estadstico por medio de figuras geomtricas. En este caso, tenemos un diagrama de barras que nos muestra a 5 cursos y el porcen-taje de aprobados en cada uno de ellos.
Anlisis y procedimiento
Sea N el total de estudiantes. Del grfico estads-tico, obtenemos lo siguiente:
Curso Aprobacin Desaprobacin
A 60%N 40%N
B 80%N 20%N
C 50%N 50%N
D 60%N 40%N
E 70%N 30%N
Analizando las proposiciones:I. El porcentaje promedio de desaprobacin
por curso es 36%. Calculando la MA del porcentaje de desapro-
bacin en cada curso.
MA=+ + + +40 20 50 40 30
5% % % % %N N N N N
MA=36%N
Por lo tanto, la proposicin es verdadera.
II. El porcentaje de aprobacin del curso D es el 60% del porcentaje de aprobacin del curso B.
De la tabla, tenemos lo siguiente:
60 80% % %N N
AprobacindeD
AprobacindeBupcurlybracketleftupcurlybracketmid upcurlybracketright upcurlybracketleftupcurlybracketmid upcurlybracketright
= ( )x 75%=x%
Por lo tanto, la proposicin es falsa.
III. La tasa de desaprobacin del curso E es el 60% de la tasa de aprobacin en el curso C
De la tabla, tenemos lo siguiente:
30 50% % %N N
AprobacindeE
AprobacindeCupcurlybracketleftupcurlybracketmid upcurlybracketright upcurlybracketleftupcurlybracketmid upcurlybracketright
= ( )x 60%=x%
Por lo tanto, la proposicin es verdadera.
Respuesta
Solo I y III son verdaderos.
Alternativa E
Pregunta N. 3Se tiene la siguiente igualdad.abba(3)+baab(3)=(2b)(2b)(0)(5) (0 es el cero)Halle el valor de b a.
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
SolucinTema
Numeracin
5unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
Referencias
Cuando se quiere expresar un numeral que est representado en una base diferente de diez a base diez, se realiza una descomposicin polinmica.
EjemploRepresente 4718 en el sistema dcimal. 4718=48
2+781+1 4718=313
Anlisis y procedimiento
Se tiene que
abba(3)+baab(3)=(2b)(2b)0(5)Analizando las cifras en cada numeral, se puede indicar que
1 a 2 a Z+; 1 b 2 b Z+
Descomponiendo polinmicamente se obtiene lo siguiente:
40a+40b=60b 40a=20b b=2aDonde se concluye que a=1 b=2Luego, b a=2 1=1.
Respuesta
El valor de b a es 1.
Alternativa B
Pregunta N. 4Juan y Pedro pueden pintar un auditorio en 5 das, Juan y Carlos lo pueden hacer en 6 das, y Pedro con Carlos lo pueden hacer en 5 das. En cuntos das puede Pedro pintar el auditorio?
A) 847
B) 927
C) 937
D) 947
E) 957
SolucinTema
Fracciones
Referencias
Como nos indican en el problema que un grupo realiza el trabajo en un nmero de das diferente a otro grupo, lo que se recomienda es usar un mismo nmero de das como referencia, para ello, debemos hacer uso de las operaciones entre fracciones.Ejemplo: Si Ana realiza una obra en "3 das" y Luis realiza la misma obra en 2 das, se puede indicar lo siguiente: en un da, Ana realiza la 1/3 de la obra mientras que Luis, en un da, realiza la 1/2 de la obra.
Anlisis y procedimiento
Para determinar el tiempo que demora Pedro para pintar el auditorio, trabajaremos por reduccin a la unidad (fraccin de la obra que realizan en un da).
Sea J : nmero de das que emplea Juan.
P : nmero de das que emplea Pedro.
C : nmero de das que emplea Carlos.
Por dato, tenemos:
1 1 15
1 1 16
1 1 15
J P
J C
P C
+ =
+ =
+ =
2 1 1 115
16
15
1 1 1 1760
J C P
J C P
+ =
= + +
+ + =
+
16
1 1760
+ =P
Luego: P = =607
847
Respuesta
La cantidad de das en que Pedro puede pintar
el auditorio es 847
.
Alternativa A
6unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
Pregunta N. 5Una empresa promociona su juego de lotera que consiste en elegir cinco nmeros diferentes de un total de treinta. Para ganar algn premio se necesita acertar por lo menos en tres de los cinco nmeros que salieron sorteados.Calcule la probabilidad de ganar algn premio.
A) 5
142 506 B) 6
142 506 C) 10
142 506
D) 16
142 506 E)
20142 506
SolucinTema
Probabilidades
Referencias
La teora de probabilidades se relaciona con el tema de anlisis combinatorio, ya que este sirve de gran ayuda para obtener el total de formas en que puede realizarse un evento o experimento aleatorio.Las combinaciones se utilizan para obtener las diferentes agrupaciones que se pueden formar con una parte o con todos los elementos de un conjunto teniendo en cuenta lo siguiente:
Cn
K n KKn
=
!!( )!
CKn significa el total de maneras diferentes de
formar grupos de K elementos de un total de n elementos.
Definicin clsica de probabilidad
P AA
( ) =total de casos favorables de total de posibles resulttados al
realizar el experimento aleatorio
=
( )( )n A
n
Anlisis y procedimiento
Se tiene el siguiente experimento aleatorio.: elegir 5 nmeros diferentes de un total de 30. Como no interesa en qu orden se eligen los 5 nmeros:
total de manerasdiferentes de elegir 5
nmeros de un total de 30
= =C530 142 506
Por condicin, para ganar algn premio se necesi-ta acertar, por lo menos, en tres de los 5 nmeros que salieron sorteados. Entonces, se gana un premio cuando:
Acierta en3 n meros
No aciertaen n meros
o
Aciert
2
aa enn meros
No aciertaen n mero
oAcierta en
n4 1 5
meros
Entonces
Total de casos
favorables=
+ + =C C C C C3
5225
45
125
55 31226
P ganar algnpremio( ) =
3126142 506
Respuesta
Por lo tanto, no habra alternativa.
ObservacinPara el problema se ha considerado solo los aciertos
Acierta en
3n meroso Acierta en
n meroso
Acierta
4
een
n meros5
Entonces
Total decasos
favorables
acert 3 nmeros
=
( )+C3
5
acert 4 nmeros
acert 5 nmeros( )
+
( )=C C4
555 16
P ganar algnpremio( ) =
16142 506
Considerando de esta manera la alternativa sera D.
No hay Clave
Pregunta N. 6Calcule la siguiente suma.35+48+63+80+...+1599
A) 22 050 B) 22 055 C) 22 065D) 22 075 E) 22 140
SolucinTemaSucesiones
7unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
Referencias
Sumas notables
K nn n n
k
n2
1
2 2 2 21 2 3 1 2 16
=
= + + + + = +( ) +( )...
K nn n
k
n
=
= + + + + = +( )1
1 2 3 12
...
C C C C C C nk
n
=
= + + + + = 1
...
Anlisis y procedimiento
Por dato, se tiene35+48+63+80+...+1599Observamos que cada sumando tiene la siguiente forma62 1; 72 1; 82 1; 92 1; ...; 402 1Entonces:
S=(62 1)+(72 1)+(82 1)+(92 1)+...+ (402 1)
S=(62+72+82+92+...+402) 135
S =+ + + + + +( )
1 2 3 4 5 402 2 2 2 2 2
40 41 816
...
1 2 3 4 535
2 2 2 2 2
5 6 116
+ + + +( )
Por lo tanto; S=22 050
Respuesta
La suma pedida es 22 050Alternativa A
Pregunta N. 7Si a y b son nmeros naturales, halle la suma de todos los valores posibles de a de modo quea b9 5
3 06+ = ,
A) 7 B) 15 C) 24D) 30 E) 45
SolucinTema
Nmeros decimales
Referencias
Los nmeros decimales se clasifican en decimal exacto e inexacto dentro, de los cuales est el decimal inexacto peridico mixto, el cual tiene la siguiente fraccin generatriz.
099 9
, ... ...... ... ...
...ab cde f
ab cd f ab c
m nncifras cifras c
=
iifras cifras00 0...
m
Anlisis y procedimiento
Del dato tenemos
ab
b+ =5
3 06,
; a N; b N
Pasando el nmero decimal inexacto peridico puro a su fraccin generatriz obtenemos
a b9 5
3690
+ = +
5 945
27690
1 2
a b+=
Como nos piden los valores de a, aplicamos el mdulo 9 a cada trmino
5a+9b=138
5 9 9 3a + = +o o
5 9 3a = + +o
27
9o
a = +9 6o
de donde a puede ser: 6; 15; 24; 33; ...Pero, se tiene lo siguiente:
5a+9b=138
6 12 (cumple)15 7 (cumple)24 2 (cumple)33 3 (no cumple)
Entonces, los valores de a son 6; 15 y 24.
Respuesta
La suma de valores de a es 45.
Alternativa E
8unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
Pregunta N. 8
Si ab ba2 2
3168 = ; halle el menor valor de a+b.
A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 16
SolucinTema
Numeracin
Referencias
Diferencia de cuadrados
m2 n2=(m+n)(m n)
Descomposicin polinmica
abcn=an2+bn+c
Anlisis y procedimiento
Por dato, sabemos que
ab 2 ba 2=3168Aplicamos la diferencia de cuadrados obtenemos
(ab+ba)(ab ba)=3168descomponiendo polinmicamente cada factor, se tiene 11(a+b)9(a b)=3168
Luego de simplificar el factor 11 y 9, se obtiene
a b a b+( ) =168
24
32( )
Por lo tanto, el valor de a+b puede ser 8 16.
Respuesta
El menor valor de a+b es 8.
Alternativa D
Pregunta N. 9Sean los conjuntosA={x R/|x |x|| 1} yB={x A/|x |x| 1| 1}Entonces podemos decir que A/B es:
A) B)
12
12
; C)
12
0;
D)
12
0; E) 0;
SolucinTema
Desigualdades con valor absoluto
Referencias
Se utilizarn desigualdades con valor absoluto y operaciones con intervalos.
Anlisis y procedimiento
De A: |x |x|| 1 1 x |x| 1
I. Si x 0 1 x x 1 1 0 1
II. Si x < 0 1 x+x 1
12
x 12 x < 0 x
12
0;
De (I) y (II): x +
12;
A = + 12;
De B: x A |x |x| 1| 1
1 x |x| 1 1 0 x |x| 2
I. Si x 0 0 x x 2 x A
x x 0
12
x 0
II. Si x < 0 0 x+x 2
x < 0 0 x 1 x
9unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
Luego, B=[0; +
A B\ ;= 12
0
Respuesta
A B\ ;=
12
0
Alternativa D
Pregunta N. 10La suma de todas las soluciones positivas de la
ecuacin 10
16
22
+ +=
x xx x es:
A) +2 5 172
B) + +2 5 172
C) 2 5 172
+ +
D) + +3 5 172
E) 3 5 172
+ +
SolucinTema
Ecuaciones fraccionarias
Referencias
Resolucin de ecuaciones cuadrticas por el crite-
rio de factorizacin y por frmula general.
Anlisis y procedimiento
Cambiando la forma de la ecuacin convenien-
temente, obtenemos
10
17 1
22
+ += + +( )
x xx x
Hacemos cambio de variable (incgnita).Sea y=1+x+x2; luego, en la ecuacin tenemos que
107 7 10 02
yy y y= + =
(y 5)(y 2)=0
y=5 y=2
Volvemos a la incgnita inicial x2+x+1=5 x2+x+1=2 x2+x 4=0 x2+x 1=0
Utilizamos la frmula general para cada caso y obtenemos lo siguiente:
x x
x x
1 2
3 4
1 172
1 172
1 52
1 52
=
+ =
=
+ =
Entonces, la suma de las soluciones positivas es
x x1 3
2 5 172
+ = + +
Respuesta
La suma de las soluciones positivas es
+ +2 5 172
Alternativa B
Pregunta N. 11Sea f una funcin tal que
f x x x x( ) = ( )2 2 4 , x 4, entonces Dom( f ) Ran( f ) es igual a:
A) [0; B) [1; C) 0; D) [4; E) 1;
10
unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
SolucinTema
Funciones reales
Referencias
Composicin de funciones Clculo del dominio y rango
Anlisis y procedimiento
f x x x x x( ) = ( ) 2 2 4 4;
= + ( ) = + ( )f x x x x2 1 1 2 4 4 4
= ( ) = ( ) f x x1 1 2 2 4
2 2
= ( ) = ( ) f x x1 1 2 1 1 4
2 2
La x a =1 y obtenemos
f a a2 21 2 1 4( ) = ( ) ( ) (*)Como
x x x a a a 4 2 1 1 1 1 1 02 2
x x x a a a 4 2 1 1 1 1 1 02 2 .
luego de (*) se tiene lo siguiente: Dom f=[0; +
Tambin a 1 (a 1)0 (a 1)2 0
( ) ( ) ( ) a a1 4 4 2 1 4 82 2
luego de (*) se tiene lo siguiente
Ran f=[ 8; +
Respuesta
Dom f Ran f=[0; +
Alternativa A
Pregunta N. 12Sea P(x)=x3 3ax2 a2x+3a3, donde a > 0 y Q(x)= P(x a). Diga cul de las siguientes afirmaciones es correcta:
A) Q(x) P(x), x < 0B) Q(x) P(x), x 0; aC) P(x) Q(x), x a; 2aD) Q(x) P(x), x 2a; 3aE) P(x) Q(x), x > 3a
SolucinTema
Inecuaciones polinomiales
Referencias
Factorizacin de polinomios y criterio de los puntos crticos.
Anlisis y procedimiento
P(x)=x3 3ax2 a2x+3a3
P(x)=(x a)3 4a2(x a); a > 0
Como Q(x)= P(x a)
Q(x)= [(x 2a)3 4a2(x 2a)]
Luego, si R(x)=P(x) Q(x), entonces
R(x)=(x a)3 4a2(x a)+(x 2a)3 4a2(x 2a)
R(x)=(2x 3a)(x2 3ax a2)
R(x)== ( )
+
2 3
3 132
3 132
x a x a x a.
= ( )
+
2 3
3 132
3 132
x a x a x a
Si resolvemos R(x) 0, obtenemos P(x) Q(x) 0 Q(x) P(x)
Luego
2 33 13
23 13
20x a x a x a( )
+
Los puntos crticos son
32
3 132
3 132
a a a; ;
+
11
unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
+ +
133
2
aa3
2
133 +
2
a
2a 3a
Luego, x 2a; 3a, entonces, se cumple que Q(x) P(x).
Respuesta
Q(x) P(x); x 2a; 3a
Alternativa C
Pregunta N. 13Al resolver el sistema:
xz
x y
x y
x
z
=
+( ) =+( ) =
6
1000
100
El valor para y es
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
SolucinTemaSistema de ecuaciones
Referencias
Ecuaciones exponenciales Logaritmos
Anlisis y procedimiento
Se tiene el sistema siguiente:
174p
Notar que x, y, z > 0.
De () se obtiene: xlog(x+y)=log1000 xlog(x+y)=3 (1)
De () se obtiene: zlog(x+y)=log100 zlog(x+y)=2 (2)
Luego de (1) y (2):
134p , entonces x=3k; z=2k
Reemplazando en () tenemos:
6k2=6; k>0 k=1
entonces x=3; z=2
De () se obtiene:
(3+y)2=100
y=7
Respuesta
El valor de y es 7.
Alternativa C
Pregunta N. 14En un antiguo texto, se encuentra la matriz
Ax
yz
=
1 00 00 0
, y el producto A2A T la ltima
columna, la cual es
621
. Halle la matriz A.
A) 1 3 00 0 20 0 1
B) 1 2 00 0 30 0 1
C) 1 1 00 0 20 0 1
D) 1 1 00 0 30 0 2
E)
1 1 00 0 20 0 3
12
unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
SolucinTema
Matrices
Referencias
Operaciones con matrices Transpuesta de una matriz
Anlisis y procedimiento
Hallamos A2 y A2 A T
Ax
yz
xyz
x xyyz
z
2
2
1 00 00 0
1 00 00 0
10 0
0 0
=
=
A Ax xy
yz
z
xy z
T2
2
10 0
0 0
1 0 00 0
0
=
A A
x xy xyz
y z yz
z y z
T2
2 2
2 2
2 3
1
0
0
=
+
( )
De la condicin dada tenemos lo siguiente
xyz
yz
z
2
3
621
=
z3= 1 yz2=2 xyz= 6
z= 1 y=2 x= 3
Respuesta
A =
1 3 00 0 20 0 1
Alternativa A
Pregunta N. 15Si (x0; y0) es la solucin del sistema
4 5
2
2
2
e e e e e
e e e e e
x y x y
x y x y
+ =
+ =
cul de las siguientes regiones sombreadas corresponde al conjunto solucin del sistema?
6 3 1
3 9 20 0
0 0
x u y w
x u y w
+ +
D) E)w
u
w
u00
SolucinTema
Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
Referencias
Resolucin de un sistema de ecuaciones
trascendentes, utilizando el mtodo de Gauss (eliminacin).
Resolucin de un sistema de inecuaciones
lineales, utilizando el mtodo grfico.
Anlisis y procedimiento
Del sistema AB
13
unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
Restamos las ecuaciones (I) (II):
= + =+3 3 2 12e e x yx y III( )
Reemplazamos en (II):
e1+ex y=2e x y=1 (IV)
De las ecuaciones (III) y (IV) se obtiene:
x y= = 23
13
Luego, el sistema de ecuaciones es el siguiente:
623
313
1
323
913
2
+
+
u w
u w
w u
w u
+
4 123
23
Resolvemos grficamente
w
u
w=2
3u+
2
3
w u=4 1
Respuesta
La regin que representa el conjunto solucin es
w
u
Alternativa A
Pregunta N. 16Sea S la regin limitada por las siguientes inecuaciones
y x 4 yx
+ 2
6
x
y2
0 x y 2
al minimizar f(x, y), sobre S se afirma que
A) Si f(x, y)=x+y, entonces se tiene 2 soluciones.
B) Si f(x, y)=y x, entonces 413
163
; es solucin.
C) Si f(x, y)=x
y2
+ , entonces (2; 0) es solucin.
D) Si f(x, y)=x
y2 , entonces se tiene infinitas
soluciones.
E) Si f(x, y)=yx
2
, entonces (6; 3) es solucin.
SolucinTema
Programacin lineal
Referencias
Grfica de relaciones. Teorema fundamental de la programacin
lineal.
Anlisis y procedimiento
Graficando las relaciones, obtenemos lo siguiente
Intersecando las rectas se obtienen los puntos
A=( 1; 3) B =
43
23
;
C=(6; 3) D =
43
163
;
14
unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
Analizando las alternativas, solo se cumple la proposicin E.
Veamos lo siguiente:
Para determinar mn f yx
x y( , ) = 2, evaluamos en
los vrtices de la regin convexa.
f fA( ) ( ; )= = + =1 3 3
12
52
f fB( );
= = =
43
23
23
23
0
f(C)=f(6; 3)=3 3=0
f fD( );
= = =
43
163
163
23
143
Como queremos el mnimo valor de f, este se encuentra en B y C, ya que f(B)=0 f(C)=0Entonces, se encuentran en todo el segmento BC y, como (6; 3) BC, entonces, es una solucin.
Respuesta
Se afirma que si f yx
x y( , ) = 2, entonces, (6; 3) es
una solucin.
Alternativa E
Pregunta N. 17
Dada la serie xk
k
n
=
0
, cuyas sumas parciales son
dadas por S x xnk
k
n( ) =
=
0
. Indique la secuencia
correcta despus de determinar si la proposicin
es verdadera (V) o falsa (F).
I. Sn(1) diverge cuando n tiende a .
II. Sn12
converge a 2 cuando n tiende a .
III. Sn1
100
converge a 0 cuando n tiende a .
A) VVF B) FVF C) FFFD) FVV E) FFV
SolucinTema
Series de nmeros reales
Referencias
Series geomtricas, convergentes y diver-gentes.
Lmites.
Anlisis y procedimiento
Se sabe que
x x x
xxK
K= + + + =
=
1 11 1 120 ... ; ;Entonces, se observa lo siguiente
I. Verdadero En efecto, tenemos
S nn
K
K
n( ) ...1 1 1 1 1 1
0= = + + + = +
=
Luego, si n , entonces, Sn(1)
de donde Sn(1) diverge si n tiende al infinito.
II. Verdadero
Pues Snn1
21
12
14
12
= + + + +
...
luego, si n , entonces
Sn12
1
112
2 =
=
III. Falso Pues
Sn
n1100
11
1001
1001
100
2
= + +
+ +
...
luego, si n , entonces
Sn1
1001
11
100
10099
=
=
Respuesta
Los valores de verdad son VVF, respectivamente.
Alternativa A
15
unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
Pregunta N. 18La raz cbica del nmero complejo z= 2 de mayor argumento principal, es tambin raz 18-sima de otro complejo u=a+bi con a y b nmeros reales. Determine a+b.
A) 2 3 15 +( )B) 26
C) 2 3 17 +( )D) 28 E) 29
SolucinTema
Nmeros complejos
Referencias
Forma polar y radicacin de nmeros complejos.
Anlisis y procedimiento
z3 3 3 32 2 1= =
Pero
(mayor argumento principal)
=
+
+
+
13 3
53
53
3
cos
cos
cos
pi pi
pi pi
pi pi
i
i
i
sen
sen
sen
Entonces, la raz de z= 2 de mayor argumento es
2
53
53
3 cospi pi
+
isen
Por dato sabemos que
2
53
53
3 18cospi pi
+
= +i a bisen
26(cos30p+isen30p)=a+bi
26(1+i 0)=a+bi
26+0 i=a+bi
a=26 b=0 a+b=26
Respuesta
El valor de a+b es 26.
Alternativa B
Pregunta N. 19Indique la secuencia correcta despus de determinar si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F).I. Si A es un matriz de orden mn y B es una
matriz de orden n, entonces A+B es de orden m.
II. Si A =
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
es una matriz de orden
44, entonces existe un nmero natural k tal que Ak=0.
III. Si A es una matriz de orden nn, entonces A+AT=0.
A) VFV B) VFF C) FVFD) FFV E) FFF
SolucinTema
Matrices
Referencias
Operaciones con matrices.Matrices nilpotentes.Transpuesta de una matriz.
Anlisis y procedimiento
I. Falso En efecto, si A=(aij)mn y B=(bij)nl, enton-
ces, no est definida la suma A+B, pues A y B son de orden diferente.
16
unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
II. Verdadero Hallemos las potencias de A.
A2
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
=
=
0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0
A A A3 2
0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
= =
=
0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0
A A A3 2
0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
= =
=
0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0
A A A4 3
0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
= =
=
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
A A A4 3
0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
= =
=
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
de donde existe k=4, tal que A4=0; se concluye que A es una matriz nilpotente.
III. Falso Veamos un contraejemplo: Dada la matriz
A =
2 34 5 2 2
, entonces, AT =
2 43 5
Luego,
A AT+ =
4 77 10
0 00 0
Respuesta
Los valores de verdad de las proposiciones son FVF, respectivamente.
Alternativa C
Pregunta N. 20La suma de la siguiente serie27+9+3+1+... es;
A) 38,5 B) 39,5 C) 40,5D) 41,5 E) 42,5
SolucinTema
Series - avales
Referencias
Descomposicin de un aval. Ejemplo
0 23
25
3
55 2
, = +
0 111
13
1
3
1
33 2 3
, ... ...= + + +
Fraccin generatriz de un aval peridico puro.
01 1
,abab
n nn
n
n
=
( )
( )
Ejemplo
0 5
567
,
=
0 232399
, =
Anlisis y procedimiento
Por dato tenemos
S=27+9+3+1+1
3+
1
32+
1
33
. . .+
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
40
0,131
2=
fraccin
generatriz
S = + =40
12
40 5,
Respuesta
La suma de la siguiente serie es 40,5.
Alternativa C
17
unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
Pregunta N. 21En los sectores circulares AOB y COD. SiL a OC bAB
= =3 u, , calcule mAOB
b
2ssO
A
B
C
D
a 3
A) a5
B) ab
C) a
D) b E) ab
SolucinTema
rea de un sector circular
Referencias
Clculo del rea de un sector circular
S r=12
2
S =2
2
rad
A
B
O
r
r
Se sabe lo siguiente:S: rea del sector circularq: nmero de radianesr: radio del sector circular: longitud del arco de circunferencia
Anlisis y procedimiento
Piden mAOB.
rads 2s
B
A
3a
O
b
C
D
Dato
L a OC bAB = =3,
Sea
mAOB=qrad S b=12
2 (I)
Del grfico, se establece lo siguiente:
33
23
32
22
Sa
Sa
=
( ) =
(II)
Reemplazamos (I) en (II)
3
232
2 22
2
2
b a a
b
= =
Debido q > 0
Se deduce que = ab
.
Respuesta
La medida del ngulo AOB es ab
.
Alternativa B
18
unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
Pregunta N. 22En un tringulo ABC se tiene AB=a, BC=b y mABC=120. Calcule la longitud de la bisectriz interna BF , F AC.
A) aba b+
B) 2aba b+
C) ab
D) aba b
3+
E) 2 3aba b+
SolucinTema
Resolucin de tringulos oblicungulos
Referencias
Clculo de la bisectriz interior de un tringulo.
B2
A C
B
b
c aB2
Vb
Va ca c
Bb =
+
22
cos
Vb: Representa la bisectriz interior relativa al
lado AC.
Anlisis y procedimiento
Piden la longitud de la bisectriz interna BF.
A F
B
ab
60 60
x
C
Datos: AB=a; BC=b y mABC=120.
Sea: BF=x x=2
60a ba b
+ cos
xa ba b
=
+
Respuesta
La longitud de la bisectriz interna BF esaba b+
Alternativa A
Pregunta N. 23En el tringulo rectngulo ABC (recto en B) con BC=h y mCAB=q, se tiene inscrita una semicircunferencia segn se muestra en la figura. Exprese el radio de la circunferencia en funcin de h y q.
A B
C
A) hcos
sen1+
B) h
senq C) h
cosq
D) hcos
sen cos
+ E)
hsensen cos
+
SolucinTema
Resolucin de tringulos rectngulos
Referencias
ncot
ncscn
Identidad por cociente: cotcossen
=
Identidad recproca: senqcscq=1
19
unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
Anlisis y procedimiento
A B
C
M
r
rcsc rO
h
En el tringulo rectngulo OMA(recto en M) se cumple que OA=rcscq:En el tringulo rectngulo ABC observamos:
cot
csc cossen
csc
=
+ =
+( )r rh
rh
1
hcosq=r(senqcscq+senq)
hcosq=r(1+senq)
rh
=
+
cossen
1
Respuesta
Por lo tanto, el radio de la semicircunferencia es
igual a hcossen
1+
.
Alternativa A
Pregunta N. 24En la figura, los planos son perpendiculares. El segmento BH mide 2,5 cm y es la proyeccin ortogonal del segmento AB sobre el segmento BC. Determine el coseno del ngulo ABC .
A) 0,41
HC
2
2
21
2
A
B
B) 0,47C) 0,50D) 0,67E) 0,71
SolucinTema
ngulo diedro
Referencias
Para proyectar ortogonalmente un segmento sobre una recta, se traza desde los extremos del segmento rectas perpendiculares a la recta dada. Luego, el segmento que une los pies de los perpendiculares es la proyeccin ortogonal del segmento sobre la recta.
A
B
B
A
A
B
B
A
A' B' B'A'
B'A' A' B'
A'B': Es la proyeccin ortogonal de AB sobre .
Anlisis y procedimiento
2,5
5
H
2
2
B
C
D
21
E
A
2
Segn el dato y el grfico, AH debe ser perpen-dicular a BC.
Luego, en el BAH tenemos
cos = BH
AB
Como AE=DC=2 y mBEA=90
Utilizando el teorema de Pitgoras en el BEA, obtenemos
AB=5
20
unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
Como BH=2,5 (dato) se cumple que
cos
,, = =2 5
50 50
Este problema es absurdo, pues el valor de q est determinado con los datos del problema; por lo tanto, la longitud de BH tambin est determinada y no le corresponde 2,5 cm.
Pues en el grfico AC=5 y BC=2 2.
Luego, en el BAC: BH=HC= 2.
cos , = =25
0 28
Por lo tanto, 0,28 sera la respuesta correcta.
Respuesta
0,50
Alternativa C
Pregunta N. 25En la circunferencia trigonomtrica, si mAMP = ,halle la abscisa del punto Q, donde R es punto medio de ON.
R
P
Q
O A
M
N
X
Y
A) cos
sen
1 2 B)
cossen
+
11 2
C) cos
sen
+
+
11
D) cossen
+ 2 E)
cossen
+ 3
SolucinTema
Circunferencia trigonomtrica
Referencias
Representacin geomtrica del seno de un arco.
Representacin geomtrica del coseno de un arco.
cos
C. T.
X
Y
sen
Anlisis y procedimiento
sen
X
M
N
O
( ; 0)n
p
nQ
R
cos
Y
1/2
1/2
Del grfico sabemos que tansencos
= =
+
12n n
n+cos=2nsen
n =
cossen
2 1
Q n Q( ; )
cossen
; =
0 1 2 0
Respuesta
Por lo tanto, la abscisa del punto Q es cos
sen
1 2.
Alternativa A
21
unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
Pregunta N. 26Sean , , los ngulos de un tringulo, tal que tan+tan+tan=2007. Entonces podemos afirmar que el valor de 1+tantantan es
A) 2008 B) 2009 C) 2010D) 2011 E) 2012
Solucin
Tema
Identidades trigonomtricas de arcos compuestos
Referencias
si x+y+z=p, entonces
tanx+tany+tanz=tanxtanytanz
Anlisis y procedimiento
Piden 1+tantantan
Datos:
tan+tan+tan=2007 , , son los ngulos de un tringulo
Entonces, ++=p.
Luego tan+tan+tan=tantantan
Reemplazando tenemos tantantan=2007.
Por lo tanto
1+tantantan=2008
Respuesta
El valor de 1+tantantan es igual a 2008.
Alternativa A
Pregunta N. 27El conjunto
x x x[ ] >{ }0 0, sen( ) cos( ) 2 pi pies igual al
A) 12
; 32
B) 14
; 54
C) 0; 14
D) 52
; 2 E) 1; 2
SolucinTema
Inecuaciones trigonomtricas
Referencias
Circunferencia trigonomtrica
Anlisis y procedimiento
Datos sen(px) cos(px)>0; x [0; 2] sen(px)>cos(px); 0 x 2 0 px 2p
Y
X
4
5
4
x
C.T.
De la circunferencia trigonomtrica, se observa lo siguiente:
pipi
pi
454
<
22
unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
Por lo tanto, x14
54
; .
Respuesta
El conjunto es igual a 14
54
; .
Alternativa B
Pregunta N. 28
Si un dimetro de la circunferencia
(x h)2+(y k)2=r2 tiene como extremos a los
puntos (2; 2) y (6; 5), entonces h kr
+ +
2
2
es igual a
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Solucin
Tema
Cnicas
Referencias
Ecuacin de una circunferencia.
Coordenadas del punto medio de un segmento.
Anlisis y procedimiento
Graficamos la circunferencia:
B (6; 5)
A (2; 2)( ) +( ) =x h y k r
2 2 2
O h k( ; )
r
X
Y
Determinamos el centro de la circunferencia:
hx xA B
=
+
2
h =+
=
2 62
4 (I)
ky yA B
=
+
2
k =+
=
2 52
72
(II)
Determinamos el radio:
2 r=dAB
2 6 2 5 22 2r = ( ) + ( )
r = 52
(III)
De (I); (II) y (III) obtenemos:
h
k r+ + = + +
4 24
724
522
2
2
hk r
+ + =4 2
82
Respuesta
Entonces, hk r
+ +
4 2
2 es igual a 8.
Alternativa B
Pregunta N. 29En la figura mostrada, el rea de la superficie sombreada es
r
r
A) (7+12p)r2 B) (10+12p)r2 C) (12+7p)r2
D) (2+12p)r2 E) (12+2p)r2
23
unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
SolucinTema
rea de un sector circular
Referencias
rea de un cuarto de crculo de radio r: pr 2
4
Anlisis y procedimiento
Observacin:El rea de la regin pedida (s) equivale a sumar 8 veces el rea de un cuarto de crculo y 12 veces el rea de una regin cuadrangular.
Sr
r=
+ ( )8 4 12
22pi
S=(12+2p)r2
r
r
Respuesta
El rea de la superficie pedida es (12+2p)r2.
Alternativa E
Pregunta N. 30Los dimetros de la base de un tronco de cono de
revolucin miden 22 y 4 unidades respectivamen-
te. Calcule la longitud del radio (en unidades) de
la base de un cilindro de revolucin que tiene la misma altura y el volumen equivalente al tronco del cono dado.
A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10,5
SolucinTema
Slidos geomtricos
Referencias
Dos slidos equivalentes son aquellos que tienen igual volumen, luego solo se requiere recordar las frmulas que permiten calcular el volumen del tronco de cono y del cilindro de revolucin.
Anlisis y procedimiento
h h
2
h
r
22
11
Sabemos que el volumen de un tronco de cilindro
de radios 2 y 11 con altura h es el siguiente:
V =h
h3
2 11 2 11 492 2pi pi pi pi( ) ( ) ( )( )+ +( ) = (I)
Adems:
Vcil=pr2h (II)
De (I) = (II): pr 2h=49ph r=7
Respuesta
r=7
Alternativa B
24
unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
Pregunta N. 31Una semiesfera est inscrita en un paraleleppedo de base cuadrada. Si el paraleleppedo tiene una superficie de rea igual a 64 u2, entonces el volumen (en u3) de la semiesfera es
A) 163p B)
193p C)
233p
D) 293p E)
323p
SolucinTema
Esfera
Referencias
Recordemos que el paraleleppedo es un prisma recto, entonces, podemos aplicar los teoremas que se cumplen en un prisma recto.rea de la superficie lateral (ASL).
ASL=(2pbase)(aL)
Donde
2pbase: permetro de la base
aL: longitud de la arista lateral
rea de la superficie total (AST):
AST=ASL+2B
Donde: B: rea de la base
Tambin debemos recordar el clculo del volu-
men de una semiesfera.
Volumen de una semiesfera (VSE)
VSE R=23
3pi
R: radio de la semiesfera.
Anlisis y procedimiento
Como la semiesfera est inscrita en el paralelep- pedo, entonces, el crculo mximo debe estar inscrito en una de las bases.
Entonces:
AST=(8R)(R)+2[(2R)2]
AST=8R2+8R2
AST=16R2 (I)
Por dato tenemos:
AST=64 (II)
(I)=(II):
16R2=64
R=2
Luego:
VSE R=23
3pi VSE = ( )23 23
pi
VSE =163
pi
Respuesta
El volumen de la semiesfera es 163p .
Alternativa A
Pregunta N. 32En un tringulo ABC se traza la mediana AM. Si mABC=105, mACB=30, entonces m MAC es
A) 12 B) 14 C) 15D) 16 E) 18
25
unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
SolucinTema
Tringulos
Referencias
Recordemos que en los tringulos rectngulos notables la razn de sus lados es conocida.
Anlisis y procedimiento
105
45x 30
a
a
x
30
HA
B
C
M
a
a
a
Piden mMAC.
Como mBAH y mBCH son notables entonces,
se traza BH para formar los tringulos notables
ABH y BHC.
t BHA notable (45)
AH=BH
t BHC notable (30 y 60)
BC=2(BH)
En tBHC aplicamos teorema de la mediana
relativa a la hipotenusa.
HM=BC/2
Entonces, T HMC es issceles
mMHC=30
En T AMH, tenemos
x+x=30
x=15
mMAC=15
Respuesta
La mMAC es 15.
Alternativa C
Pregunta N. 33
En la figura, AC es el dimetro de la circunferencia
de centro O y radio de longitud R; P y Q puntos
de tangencia. Si mPBQ=90 y BH=h, entonces
AH HC es
A H C
Q
B
P
O
A) h2 R2 B) 2(h2 R2) C) 3(h2 R2)
D) 4R2 h2 E) 2(4R2 h2)
SolucinTema
Relaciones mtricas en el tringulo rectngulo
Referencias
El teorema de Pitgoras relaciona los catetos de un tringulo rectngulo y su hipotenusa, adems, podemos relacionar los puntos de tangencia P y Q en la circunferencia con el cuadrado OPBQ.
Anlisis y procedimiento
Piden ab
26
unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
Notamos lo siguiente:
a+b=2R (I)
En el BHO teorema de Pitgoras
h
b aR2
2 2
22+
= ( )
a2+b2 2ab=8R2 4h2 (II)
De (I)2:
a2+b2+2ab=4R2 (III)
Luego (III) (II)
4 4 42 2ab h R=
ab=h2 R2
Respuesta
El producto de AH y HC es h2 R2.
Alternativa A
Pregunta N. 34
En la figura, BD es dimetro de la circunferencia
de centro O, MN tangente, BM secante. Si AB=5,
MN=12, calcule BM.
A) 13 B) 12 C) 11D) 10 E) 9
SolucinTema
Relaciones mtricas en tringulos oblicungulos
Referencias
Para el problema es necesario recordar el teorema de la tangente y el teorema de proyeccio- nes; adems, como BD es dimetro, entonces, AL=LP.
Anlisis y procedimiento
Al asociar la incgnita BM al dato AB=5, se obtiene por el teorema de proyecciones lo siguiente:
(BM)2 52=b2 a2 (I)
Pero tambin se observa que a; b y 12 se
relacionan por el teorema de la tangente.
122=(b+a)(b a)
122=b2 a2 (II)
Luego, de (I) y (II) obtenemos
(BM)2 52=122
(BM)2=122+52
BM=13
Respuesta
La longitud del segmento BM es 13.
Alternativa A
27
unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
Pregunta N. 35
Si en un tringulo rectngulo ABC, recto en B,
la altura BH (H AC y AH < HC) relativa a la
hipotunesa mide 12 cm, y la diferencia entre las
proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa
es 7 cm. Entonces, la longitud (en cm) del radio
de la circunferencia inscrita en el tringulo ABH es
A) 1,5 B) 2,0 C) 2,5
D) 3,0 E) 3,5
Solucin
Tema
Relaciones mtricas en el tringulo rectngulo.
Referencias
Debemos relacionar en un tringulo rectngulo
las longitudes de la altura y de las proyecciones
ortogonales de los catetos.
Anlisis y procedimiento
Nos piden hallar r
Por datos, se tiene
BH=12 cm y HC AH=7 cm
Por relaciones mtricas en el t ABC
(12)2=(+7)
144=(+7)
(9)(16)=(+7); =9
Luego AH=9 cm AHB: Notable 37 y 53 AB=15 cm
Por teorema de Poncelet en el AHB 5+12=15+2r r=3 cm
Respuesta
El radio de la circunferencia inscrita en el tringulo AHB es 3 cm.
Alternativa D
Pregunta N. 36En un ngulo triedro, dos caras miden 45 y el ngulo diedro entre ellas mide 90. Entonces la otra cara mide
A) 45 B) 60 C) 75D) 90 E) 120
SolucinTema
Geometra del espacio
Subtema: ngulo poliedro (triedro)
Referencias
Debemos recordar las siguientes notaciones utilizadas respecto a un ngulo triedro:
28
unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
ngulo triedro O ABC:
vrtice: O
aristas: OA OB OC
, y
medidas de caras: a, b y c
medidas de diedros: , y q
Anlisis y procedimiento
Piden a.
Datos:
En el ngulo triedro O ABC, b=c=45.
Medida del diedro OA
es 90.
Sea P OA
. Luego, trazamos PM y PQ perpen-
diculares a OA
, entonces:
PO=PM=PQ=m
m MPQ=90
OQ=OM=MQ=m 2
OMQ: equiltero
a=60
Respuesta
La medida de la tercera cara es 60.
Alternativa E
Pregunta N. 37
Seale la alternativa que presenta la secuencia
correcta despus de determinar si la proposicin es
verdadera (V) o falsa (F).
I. Si una recta AB y un plano P son perpendi-
culares a una recta CD, entonces la recta AB
y el plano P son paralelas entre s.
II. La interseccin de cuatro planos no paralelos
entre s, siempre es un punto.
III. Si en todo plano P determinado por dos rec-
tas paralelas disjuntas, se cumple que dichas
rectas son paralelas a un segundo plano P1,
entonces P es paralelo a P1.
A) VFV B) VFF C) FFF
D) FFV E) VVF
Solucin
Tema
Geometra del espacio
Referencias
Posiciones relativas entre rectas y planos
Anlisis y procedimiento
Nos piden determinar el valor de verdad en cada
proposicin.
I. Falso
29
unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
Del grfico se obtiene
P CD
AB CD
Pero la recta AB no es paralela al plano P
(AB
// P)
II. Falso
La interseccin de 4 planos no paralelos no
siempre ser un punto, puede ser tambin
una recta.
III. Falso
Sea L L1 2
//
Si AB
// L L1 2
//
L1
// P1 y L 2
// P1
Pero los planos P y P1 no son paralelos
( P P1)
Respuesta
FFF
Alternativa C
Pregunta N. 38
En la figura, se tiene un tronco de cilindro oblicuo.
Si UN2 CP2=30 y m NUP=15, entonces su
rea lateral (en u2) es
A) 174p B) 3 C) 4
D) 134p E)
154p
Solucin
Tema
Cilindro: tronco de cilindro
Referencias
Considerando que la seccin recta del cilindro
es circular, podramos calcular el rea de la
superficie lateral.
Anlisis y procedimiento
Piden el rea de la superficie lateral (ASL).
30
unI 2009 -II Academia CSAR VALLEJO
Sabemos
ASL ra b
r a b= ( ) +( ) = +( )22
pi pi (I)
CAP notable (15 y 75)
AB=b4
NAV notable (15 y 75)
AH=a4
HB=2r=a b
4
ra b
=
8 (II)
Reemplazando (II) en (I) obtenemos
ASL
a ba b=
( )+( )pi
8
ASL
a b=
( )pi
2 2
8
Del dato obtenemos a2 b2=30
=
( )=ASL pi pi
308
154
Respuesta
El rea de la superficie lateral es 154p .
Alternativa E
Pregunta N. 39
Seale la alternativa que presenta la secuencia
correcta despus de determinar si la proposicin
es verdadera (V) o falsa (F)
I. Los centros de las caras de un tetraedro
regular son los vrtices de un tetraedro.
II. Los centros de las caras de un octaedro
regular son los vrtices de un octaedro.
III. Los centros de las caras de un icosaedro
regular son los vrtices de un dodecaedro.
A) VVV B) VVF C) VFF
D) FFV E) VFV
Solucin
Tema
Poliedros regulares
Referencias
Los centros de las caras de un poliedro regular
son los vrtices de su poliedro conjugado inscrito.
Anlisis y procedimiento
Nos piden la secuencia del valor de verdad de
las proposiciones dadas, as tenemos lo siguiente:
I. Verdadero (V)
Un tetraedro regular tiene cuatro caras
regulares, por lo tanto, para cada cara existe
un centro. Luego, estos cuatro centros no son
coplanares y, por ende, sern vrtices de un
tetraedro.
31
unI 2009 -IISolucionario de Matemtica
II. Falso (F) Los centros de las caras de un octaedro
regular son los vrtices de su hexaedro regular conjugado e inscrito; por lo tanto, no son vrtices de un octaedro.
III. Verdadero (V) El poliedro conjugado de un icosaedro regular
es el dodecaedro regular. Luego, los centros de las caras del icosaedro
regular son vrtices de un dodecaedro.
Respuesta
VFV
Alternativa E
Pregunta N. 40Una pirmide regular triangular forma en su vrtice un triedro cuyas caras miden 60. La suma de las reas de las caras es 81 3 2m . Determine la altura (en m) de la pirmide
A) 3 2 B) 3 3 C) 4 2
D) 5 3 E) 6 2
SolucinTema
Pirmide regular
Referencias
Recordamos que una pirmide regular presenta dos caractersticas principales. La base est limitada por un polgono regular y el pie de su altura es el centro de su base.Asimismo, el rea de la superficie lateral (suma de caras) ASL es el siguiente:
ASL=Pbaseap
Donde: Pbase: semipermetro de la base. ap: apotema de la cara lateral.
Anlisis y procedimiento
Dado que en el vrtice se forma un triedro cuyas
caras son 60, ubicaremos dichas medidas.
Notamos que las caras laterales son regiones
equilteras de lado a y apotema a2
3 .
ASL
a a= =
81 3 32 2 3 De lo cual a = 6 3 En la pirmide, trazamos la altura VG, donde
G es baricentro de la base. Luego en el VGM por teorema de Pitgoras, tenemos
lo siguiente:
H
a aH
a22 2
23
63
63
= =
Reemplazando
H = 6 2
Respuesta
La longitud de la altura de la pirmide es 6 2.
Alternativa E