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ou
Logaritmo
No America Latina, a populocoo cresce a uma taxa de 3%
00 ano, aproximadamente. Em quantos anos sua populo-
coo vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?
Nessas condicoes. podemos organizar 0seguinte quadro:
T e m p o Popula~ao
lnicio Po
1 ono Pj = Po' 1,03
2 onos P2 = (Po' 1,03)1,03 = Poll,03)2
3 onos P3 = Poll ,0313
X onos P , = Poll ,031'
100% + 3% = 103% = ~ g g = 1,03
Supondo que a populocco dobrar6 ap6s x enos. temos:
P x = 2 P oDai
/ o ( 1 , 03 )x = ~o ¢::} ( 1 , 03 )X = 2
Nco e possivel resolver essa equccoo usando os conhe- I
cimentos adquiridos ate aqui.
Com 0objetivo de transformar uma equocoo exponencial
como essa numa igualdade entre potencies de mesma base,
vamos desenvolver a nocoo de /ogaritmo.
H6 cerca de 400 anos, em 1614,0
escoces John Na-pier revolucionaria os rnetodos de colculo do epoco com a
invencco dos /ogaritmos. 0 logaritmo de Napier nco era
exatamente 0que usamos hoje, nem era associado 00con-
ceito de expoente, mas a essencio era a mesma.
Naquela epoco, multiplicar, dividir, calcular potencies
e extrair roizes eram trabalhos extremamente 6rduos, que
eram feitos a partir de senos.
Hoje em die, com 0 advenlo das calculadoras eletroni-
cas, multiplicar, dividir, calcular potencies e extrair rcizes nco
e mais uma dil iculdode. Nem por isso os logaritmos torna-
ram-se inuteis, pols a possibil idode de deiinir logaritmos
como expoentes [rnerito do inglesJohn Wallis em 1685) e a
ideio de base pora os logaritmos (do gales William Jones em
1742) transformaram 0 logarilmo em um imprenscindivel ins-
Irumento de resolucoo de equocoes exponenciais.
E esse Iogaritmo moderno, delinido como umexpoente,
que estudaremos nas pr6ximas p6ginas.
Definicdo de logoritrno
de urn nurnero
Considere as seguintes quest6es. A que nurnero x se deve
elevar:
a) 0 nurnero 2 para se obter 8?
b) 0nurnero 3 para se obter *?
a) 2X = 8 ¢::} 2x = 23 ¢::} X = 3
Essevalor 3 denomina-se /ogaritmo do nurnero 8 no bose
2 e e representado por IOg2 8 = 3.
Assim:
Perceba que 0lagarilmo e um expoenle.
b) 3X = _1_ ¢::} 3x = _1_ ¢::} 3' = 3-4 ¢::} X = -481 34
o valor -4 chama-se /ogaritmo do nurnero * no
base 3 e e representado por IOg3 * = -4.
Dodos os nurneros reais positives a e b, com a = 1 = 1, se
b = o", entoo 0 expoente c chama-se logaritmo de b no
base a, au se]o,
logo b = c ¢::} o" = b. com a e b positives e a = 1 = 1 .
Nessa equivolencio temos:
F orm a lo g a ritm ic a F o rm a e x p o n en c ia l
logo b = c Oc = br logmilmo t , potencic
a: bose do logaritmo a: base do potencio
b: logoritmondo c: expoente
Quando folomos Jogoritmo estamos nos referindo a umnurnero. .
Vejamos mais alguns exemplos:
• Iog3 8 1 = 4 ¢::} 34 = 8 1
(1 ) - 5
• log+ 32 = -5 ¢::} 2
• Iog.[5 5 = 2 ¢::} (J5)2 5
• logs 1 = 0 ¢::} 80 = 1
32
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Unidade 1
Observocoes:
1) Veja que, de acordo com as restricoes impostas, nco sao
definidos, por exemplo: log3 (-81 L 10g1O0, logo 3,
Iog_2 8 e 10g16. Experimente aplicar a dehnicoo nesses
cosos.
2) Quando a bose do Iogaritmo for 10, podemos omiti-Ia.
Assim, log 2 e 0 logaritmo de 2 no bose 1O. Aos
logaritmos no bose 1 0 damos 0 nome de logaritmos de-
cimais ou de Briggs.
Exemplos:
1'!) Vamos determinar:
0) log2 128 b) log.[39
0) log2 128
Representando por x 0 valor procurado, temos:
del. 7
Iog2 128 = X ==> 2" = 128 => 2" = 2 => X = 7
Portanto, log2 128 = 7.
b) 10g.[3 9 = x=> (J3)" = 9 => ( 3 + T = 32=>
~=2=>x=42
Logo, Iog./3 9 = 4.
2'!) Sabe-se que logo 25 = 2. Vamos calcular a.
o nurnero a procurado deve ser positivo e diferente de 1
(a > 0 e a 1=1).
logo 25 = 2 =>02= 25 => a = ±J25 => a = ± 5
Logo, a = 5 (0 valor -5 nco deve serconsiderado, pols
a> 0).
3'!) Vamos calcular 0 nurnero real A sabendo que
1A = 10g100,001 + Iog216'
10g100,001 = x=> 10" = 0,001 => 10" = 10-3 =>
=> X = -3
log2 J t - = Y => 2Y= J t - => 2
Y= d 4 =>
=> 2Y = 2-4
=> Y =-4
1Portanto, A =og 100,001 + log2 16=
= (-3) + (-4) = -7.
4'!) Sabe-se que log3 X =-2. Vamos calcular x.
o nurnero x deve ser positivo (x > 0). Pela dehnicoo de
loqoritrno, x =3-2 => X =~
Exercicios propostos
. Usando potencio, determine 0 equivalente a coda loga-
ritmo:
a) log2 7 =x b) m=ogp r c) log 0,1 =- 1
~ Com os rres nurneros dodos, escreva uma igualdade usan-
do Iogaritmo:
o) 6, 36 e 2 No item b temos duos
b) 5, -1 e + respostos possiveis.
Algebra (I )
c) 8,8 e 1
d) 5, 2 e 32 NAo ESCREVA NO L1VRO.
•. Usando a dehnicco, calcule:
a) log3 27 d) log2 J8 g) log20,25
h) log77) log i 164" "
b) log 10000
c) log 1 322"
Determine 0 valor do base a nos seguintes igualdades:
a) logo 8 = 3 c) logo 4 = -2
b) logo 5 =1 d) logo 1 = 0
. Calcule x nos igualdades:
a) log2 x = 5 b) log (x + 1 = 2
SeA = log2 1024 + log 1 625, determine 0 valor deAs-
Se x =Iog2 212 e y = Iogo.01 10, calcule x + y.
Calcule log2 [log3 81]'
Condicoes de existencio de logaritmos
J6 sabemos que a existencio de um Iogaritmo, como por
exemplo logoN, depende das seguintes condicoes:
• N deve ser um numero positive (N > 0).
• A. bose deve ser um nurnero positive e diferente de .
(a > 0 e a 1= 1).
logoNexiste quando e somente quando
{N > 0
a>Oea1=l
Exemplos:
1'!) Vamos determinar os valores reais de x para os quois
existe Iog2 (x - 3).
Como a bose e 2 (positiva e diferente de 1L devemos irr-
por que x - 3 > 0 => x > 3.
Logo, x E IR I x > 3.
2'!) Vamos determinar 0 conjunto dos valores reais de x par~
os quais e possivel determinar log" _2 (x2- 4x - 5).
Pelas condlcoes de existencio, temos:
• x2 - 4x - 5>0
Estudodo sinal:
0=1>0
~=36> 0_
X' =5 e x" = -1
--+--<\_ Lz:--~~
x < - 1 ou x >5 C D
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CapItulo 7 · ' 4 -og o_ri t moe fun c ; a ° I°gar im i c a
Exemplos:• { X - 2 > 0 => x> 2 ®x-2*1 =>x*3
Salisfazendo simullaneamente as condicoes, eslabelece-
os 0quadro de resolucoo:
-1 5
CD--~r---------------~--
2 3QD - - - - - - - - o - - - ~ ~ - - - - - - - - -
s5
ogo, a conjunlo 8 {x E IR I x> 5}.
Exercicios propostos
etermine os valores reais de x para os quais 8 possivel
eterminar:
c) log 1 (-x2 + 5x - 4)"2) Iogx 10
b) Iog10 (x - 3) d Ix-1
) og2 3x+
etermine os valores de x para que exisla:
J logx - 5 lOb) log 1 _ x2 J3
etermine a conjunto dos valores reais de x para que
se]o possivel definir:
o) Iogx (x - 3 )
0) logx_ 1 (x + 4)
c] logx ( x2
- 4) _
d) Iogx+ 1 (x2
- 5x + 6)
:onsequencios do defini<;ao
_9 logoritmo
logo 1 = 0 ,pois o? = 1, qualquer que seja
a>Oea*l.
ogo a = 1 , pois a 1 = a para todo a > 0 e a * 1.
:! 090 an = n I pois an = an para todo a > 0 e
o *" 1 e para todo n.
to g N
a 0 = N ,com N > 0, a > 0 e a * 1.
_ 'ificativa: logo N = x => o" = N
- b .. d logo N Nstituin 0x: a =
= ogo X = logo y ¢:} x = Y ,com x > 0, y> 0,
:J>Oe·a*"1.
__ 5 ihconvo: se logo x = r e logo y = s, isto 8, c' = x e
:;' = y, temos:
- x = y => c' = a' => r = s => logo x = logo y
_ logo x = logo y? = s => o' = as => x = y
:;~~anto, logo x = logo y ¢:} x = y, com x > 0, y> 0,
=>Oea* 1.
I I· I d 109s 10· log2 51!?)Vamos ca cu ar 0va or e 2 .
2 10gs 10.10 925 = (210925r9S 10 = 510gs 1010
2!?)Vamos calcular 0valor de x tal que
log2 (x - 2) = log2 9.
Condlcco de exlstencio: x - 2 > 0 => x> 2log2 (x - 2) = log2 9 => (x - 2) = 9 => x = 11
Como, para x = 11, existem log2 (x - 2), pais 1 1 > 2, e
Iog2 9, a resposta 8 x = 11.
Exercicios propostos
1 Calcule 0valor de:
a) 10gJ2 j2 e) log2 sJ 2
b) logo.5 1f)
21og2
c) logs 54 g) logw- 25
d) Iog3 243 h) Iog17 V7
De a valor de x nos igualdades:
0) 1 = log3 X c) log2 X = log2 5
b) 0 = 1092X d) 109 2x = log 6
Calcule a valor das expressoes:
a) 103. log0 2 c) 210926' log610
b) 21 + log2 3 d ) 310927. log32
Propriedades operotorios
dos logaritmos
1 ~ propriedode: logoritmo
de um produto
Do propriedade fundamental das potencies,
aX . aY = o" + Y , surge uma propriedade semelhante nos
loqoritrnos. Veja um exemplo:
• log2 (4 . 8) = 1092(22 . 23) = log2 22 + 3 =
=2+3=5 C D• log2 4 + log2 8 = log2 22 + log2 23 = 2 + 3 = 5 ®
De C D e ® tiramos que:
log2 (4 . 8) = log24 + log2 8
Vamos provar que esse fato acontece para qualquer base
e quaisquer dais nurneros para as quais exislam os logaritmos
envolvidos. Ou se]c. que se trata de uma propriedade:
logo (M . N) = logo M + logo N
Demonsttocoo:
Consideramos logo (M . N) = p; logo M = m e
logo N = n.
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Unidade
Dessas igualdades, tiramos aP = M . N; am = M e
a" = N. Entao:
aP = M . N = am . an = am+ n
Se aP = am+n, entco p = m + n, ou se]o,
logo (M . N) = logo M + logo N.
Conclusoo:
Numa mesma base, 0 Iogaritmo do produto de dois
nurneros positivos e igual a soma dos logaritmos de coda
um desses nurneros.
Exemplos: lo g 3 . 2 n60 e• log7 (2 . 5) =og7 2 + log75 0 mesmo que
• log 300 = log (3 . 100) = lo g (3·2).
= log 3 + log 100 = log 3 + 2
• logs (4 . 5) = logs 4 + logs 5 = logs 4 + 1
Observocoo: Essa propriedade de transformar pradutos em
somas foi a motivccoo original para a introducoo dos loga-
ritmos no seculo XVII, no intuito de sirnplilicor c6lculos. Veja a
leitura no p. 133.
2~ propriedade: logaritrno
de urn quociente
Vamos observer, por exemplo, que:
• Iog2 ( 1 ; ) = log2 ( ~: ) = log2 24 - 2 =
=4-2=2 C D• log2 1 6 - log2 4 = log2 24 - log2 22 =
=4-2=2 ®De C D e® tiramos que:
log2 ( 1; ) = log2 16- Iog2 4
Esse fato acontece para qualquer base e quaisquer dois
numeros, desde que existam os logaritmos envolvidos. Temos
entco mais uma propriedade dos logaritmos:
Demonsttaciio:
Consideramos logo ~ = q; logo M = m e
logo N = n.
DOl tiramos aq = M. am = Mean = N. Entoo:N'
aq = M = ~ = am- n
N an
Se aq = am - ". entdo q = m - n, ou se]c,
logo ~ = logo M - logo N.
ConciuSDa:
Numo mesmo bose, 0 logaritmo do quociente d e daisnumeros positivos e igual a dlferencc entre os logaritmos
desses nurneros.
Algebra (II
Caso particular: logo ~ = logo 1 --logo N =
= 0 - logo N = -logo N, ou se]o,
Exemplos:
• logs ( ~ ) = logs 2 - logs 3
• log2 (+ ) = log2 1 - log2 8 = 0 - 3 =-3
• log ( {O ) = log 7 - log 10 = log 7 - 1
3~propriedade: logaritmo
de urna potencio
Observemos que:
log2 73 = log2 (7 . 7 . 7) =
log2 7 + log2 7 + Iog2 7 =_3 . Iog2 7
3 parcelas
Entao:
T emos mais uma propriedade dos logaritmos, pois trata-
se de um fato que ocorre para qualquer base e qualquer po -
tencia sempre que existam os Iogaritmos envolvidos.
Demonsttociio:
Consideramos logo MN = r e logo M = m.
DOl tiramos: or = MN e am = M. Entao:
or = MN = (am)N= aNm
Se a' = aNm, entco r = Nm, ou se]o.
logo MN = N . logo M.
Conclosoo:
Numa mesma base, 0 Iogaritmo de uma potencio de
base positiva e igual 00 produto do expoente pelo logo-
ritmo do base do potencio.
Podemos aplicar essa propriedade no logaritmo de uma
raiz (quando existir):
1
logo MN =1
- . log MN 0
E x e m p l o s :
• Iog3 84 = 4 . 1093 8
• log 1 02 = 2 . log 10 = 2 . 1 = 2
• 109753 = 3 . 109751
• 1092 3,f4 = Iog2 (4)3 = + . log2 4 =+ 2 = . 1 . .3
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_ _ _ _ _ - _ - _ . J ] 'f.te'·apitulo 7 Logaritmo e fun<;:60 lagaritmica-----------------~~--------~~--
~~ propriedade: mudonco de base
Observe:
• 09464 = 3, pois 43 = 64;
• 092 64 = 6, pois 26 = 64;
• og24 = 2, pols 22 = 4.
Como 3 = ~, podemos escrever:
Iog 2 64~64 = I 4
Og2
esse coso dizemos que houve uma rnudonco de base
-=s logaritmos (bases 4 e 2).
Vamos entoo provar que a relocoo verilicodo acontece
senpre, isto e, que se tem mais uma propriedode dos
::lgaritmos:
bNlogo N
paro N > 0, b > 0, a > 0; b * 1 elogo b '
= * 1Jemonstro<;:oo:
Consideramos 10gbN = p; logo N = q e logo b = r.
Dot tiramos: bp = N; aq = N e a' = b.
Fazendo substituicoes: N = aq = bp = (a')P = c'".
Se aq = c'P, entdo q = rp e dot p = _ g _ our
logo Nogb N = logo b .
one/usoo:
Como garon-fir que r * ' O?
Para escrever 0 10gbN usando logaritmos no base a,
'ealizamos a rnudonco de base:
I N - logo Nogb - I b
ogo
bservocoes:
Nessa propriedade de rnudcnco de base, fazendo N =a,
temos um coso importante:
logo a10gba = I b
ogo
Entoo podemos escrever que, quando existirem os loga-
ritmos envolvidos:
ou
Quondo exisfirem, 10gb0 e logo b serco numeros
inversos.
Exemplos:
log25• log7 5 = - . - - - : : . . . . _ _ , , = - (na base 2)
log27
log. 5log 7 (no base 10)
• logs 25 = 2 ¢:> log2s 5 = _1_2
3 4• 10gba = - - ¢:> log b = --. 4 a 3
2) Outra cplicocoo importante dessa propriedade e 0 uso emcalculadoras eletronicos, pois elas so possuem teclas para
calcular logaritmos no base 1 0 e no base e [vejc observa-
<;:00 do poqino 125).
N AO E SC RE VA N O L 1V RO .
Exercicio proposto
Escreva:
a) logs 8 usando logaritmos na base 4;
b) 0 valor de logy x sabendo que loq, y =
Quadros-resumo
2_13
Sempre que existirem os logaritmos envolvidos, teremos:
Oef in i<;:oode logoritmo
logo b = c ¢:> aC = b
Conse qiie nc io s d o d efin i< ;:a od e l og oritm o
P) logo 1 = 0 4!!) alagob = b
2!!) logo a = 1
3!!) logo an =n5!!) 10gba = 10gbc ¢:> a = c
P ro prie do de s o pe ro t6 rio s d os lo go ritm os
1 !!) logo (M . N) = logo M + logo N
2!!) logo ~ = logo M- logo N
logo ~ = -logo N
3!!) logo MN =N . logo M
logo N,JM = ~ . logo M
logo Nlogo b
I 1 b OU 10gba . logo b = 1oq,
4!!) 10gbN =
Exemplos:
1 2 ) Vamos determinar 0desenvolvimento logarftmico do ex-
pressco log ( Off ). 0que signifi-co desenvol-vimento loqo-ritmico?
log ( off) ~ log [ a ·c~-]- ) ~
1
log (a . b2 ) - log c3 =
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[ Unidode
1
= log a + log b"2 - log C3 =
= log a + _1_ . log b - 3 . log c2
Logo, log ( o f f ) = log 0 + - + . log b - 3 . log c.
29) Dodos logo m = 11 e logo n = 6, qual e 0 valor de
logo (m3n2)?
logo (m3n2)= logo m3 + logo n2 =
= 3 . logo m + 2 . logo n = 3 . 1 1 + 2 . 6 = 45
Entdo, logo (m3n2)= 45.
39) Vamos calcular 0 valor do expressdo log3 5 . IOg2581.
log381log35 . log25 81 = log3 5· log3 25 =
log3 34
__ I~~. 4 __= log35 . ~....J .
log3Y 2·~
=..1.=22
49) Vamos provar que, para a E IR~,b E IR! e b * 1, temos
10gba = 10gb" an, para todo n E IR.
Consideramos 10gba = x e dar tiramos b" =a.
b' = a ~ (bx)n= an ~ (bn)X= an ~ logbn an = X
10gba = x e 10gb" an = X ~ 10gba = 10gb " an
Examplos:
• logs 7 = log2s 49
• log94 = log 1 (4)2 = log3 29'2
• log 5 = 10g1000125
• 10g113 = 109m J3
Exercicios propostos
1 Determine 0 desenvolvimento Iogarrtmico das expressoes:
a) log ( 1t~h ) c) 109. ( a:~ )
b) log3 ( ~ ) d) log J J o e
1
Determine a expressco P sabendo que:
a) log P = 2 . log a + 5 . log b1
b) loq, P = loq, a - 210gx b
Sobendo que log a = 6 . log b, 2 . log b =log c e que
log c = 45, calcule 0 valor nurnerico 'do expressco
.
~10g1J~'NAo E SC REVA NO lI VRO.
1 Escreva usando logaritmos de base 10:
a) log25 c) log2 (x - 1)
b) loq, 2 d) log[x + 11(x - 3)
-;--;-----,-, ,------ ---Algebra III
Escreva no forma de um unico log:
a) logs 6 + 1095 1 1 C I 4 . log 3
b) log7 28 - log74
2 Sendo logo 2 = 20 e logo 5 = 30, calcule 0 valor de
logo 100.
Sendo loq, 2 = 0 e 109. 3 = b, calcule loq, VT2 err
[uncoo de a e b.
Dodos log 2 = a, log 3 = b e log 10 = 1, calcule
log 60.
CologaritmoDenomina-se cologaritmo de um numero N (N>0) numa
base a (0 > 0 e a * 1) 0 oposto do Iogaritmo do numero Nno base a ou 0 logoritmo do inverso de N no base a.
ou coloq, N 1= logo Noloq, N
Como provar que -1090 N = 1090 * ?x rcicios propostos--- -----
Pelo defini<;oo de cologaritmo, calcule:
a) colog2 8 c) COIOgl~0,001
b) colog3 (*) d) colog2 2J2
2 Se logx S = 2 . log. a + colog, b, determine 0
expressco S.
2 Se 1095x = 1 0 9 5 3 + coloq, 4, qual e 0 valor de x?
C61culo d e logaritmos
lntroducoo
Em Quimica, define-se 0 pH de uma solucco como 0
logaritmo decimal (base 10) do inverso do respectiva conce
treece de H30+ (ion hidroxonio}. 0 cerebro humano center-um liquido cu]o concentrocoo de H30+ e 4,8 . 10-8 mol!
(em media). Qual sera 0 pH desse Irquido?
De acordo com a dellnlcoo e os dodos do problema, temos
pH =Iog10 ( 4 8 .\ 0-8 ) =,
= 10glo 1 - log 10 (4,8· 10-8) =
= 10g1O1 - 10glo 4,8 - 10g1010-8 =
= 0 - log 10 4,8 - (-8) = 8 - log 10 4,8
Portanto, pH = 8 - Iog10 4,8 .
Para logoritmos como esse, existem tres formos de cclculc• com 0 ouxilio do calculadora;
• por meio de alguns Iogoritmos dodos;
• com a cplicccco de tabelas de valores (tabelas de loqc-
ritmos).
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CoJ:.!_tulo 7 logoritmo e Iu n c o o logoritmico
Com a difusoo do uso da calculadora, a utillzccoo das
ccelos de logaritmos hoje esto praticamente cbolldc.
a'emos a seguir os outros dais processos citados.
Colculodoro
Algumas calculadoras possuem duos teclcs com as
.saguintes[uncoes:
:cIa 1 f ' f o 9 I : permite calcular 0logaritmo decimal de um
-umer~inteiro ou decimal.
-ada ~: permite calcular 0 nurnero N quando se
conhece log N = x.
Usando essas teclcs, as
:. priedades dos logaritmos e
::.: uatro operocoes fundamen-
_ , e possive l realizar os se-
;_ es colculos:
~ log 36
dlqitc-se 36 - teclo-se
log 36 = 1,556303
- log 3j4,57
log 3j4,57 = + . log 4,57
Emalgumas colcu-
ladoras, para ab-ler log N digila-se
primeiro log e de-
pois N.
digita'se 4,57 - tecla-seog -
-+- 0,659916- divide-sa par 3 - 0,219972
log V4:57 =0,219972
- og2997
log 9971092 997 = (propriedade de mudoncc de
log 2
base)-
Usando a lecla og , cclculo-se
log 997 =2,998695 e log 2 =0,301030.
log· 997 = 2,998695 = 99614492 0 301030 '
_- agIO x = 0,72342
igita-se 0,72342 - tecla-se ~ -
- 5,289566
og 5,289566 =0,72342
_ =>odemostcrnbern resolver a problema do liquido cere-
oral que vimos na pcqino anterior: usando a calculado-
'a, obtemos log 4,8 =0,681241 .
Assirn, pH = 8 - 0,681241 =7,3
servccdo: Existem calculadoras com a teclo [!E], que-~....,' e calcular as logaritmos naturais dos nurneros
ec.s oositivos. Os Iogaritmos naturais rem a base e, ou sejo.
- • = loge X (Iogaritmo natural de x]. 0 nurnero e, base dos
- ::::J" mos noturois, e caracterizado pelo fato de que seu
:;::"trno natural e igual a 1, au se]c, en e = 1. 0 nurnero
e e lrroclonol. Um valor aproximado dessa importante cons-
tante e e = 2,7182818284. Os logaritmos naturais, de
base e, sao muito importantes nas opllcocoes.
Logoritmos dodos
A partir de um ou mais Iogaritmos dodos, podemos obter
o valor aproximado de uma infinidade de logaritmos, usando
as propriedades conhecidas. Por exernplo:
Dodos log 2 =0,30 e log 3 =0,48, podemos calcular:
• log 6 = log (2 . 3) = log 2 + log 3 =
=0,30 + 0,48 = 0,78
• log 30 = log (3 . 10) = log 3 + log 10=
= 0,48 + 1 = 1,48
• log 8 = log 23 = 3 . log 2 = 3 . 0,30 = 0;90
• log J3 = - + . log 3 = - + . 0,48 = 0,24
109 3 048• log2 3 = log 2 = 0,30 = 1,60
• Iog932 = log 32 = log 2
5= 5· log 2 =
log 9 log 32 2 . log 3
= 5·0,30 = . . .. l .2 Q _ = 1 56252·0,48 0,96 r
• 10932 = ~ = 0,625 (Neste caso, usamos a foto de
que 10932 e 10923 sao inversos.)
• 1098116 = 0,625 (logS1 16 = 1093'2l = 10932 = 0,625)
Exercic·OS propostos-----
2, Com a ouxilto de uma calculodora, use as teclas das
quatro operac;:6esfundamentais, a teclo log e a l O " para
obter os valores a seguir (coso nco tenha uma colculodo-
ra a disposicco, indique a roteiro para efetuar a cclculo]:
c] log 64,3
b) log 0,00196
c) log 0,0570
d) x tal que log x = 1,35
e) log 914
f) log 0,820
g) log J T 5 3 6
h) log3 38
i) log5 J3
j) log2 10
I) x = sJ429
m ) x = V7n) x = 34,27
Em I, men calculamos log x e depois x.
o pH de uma solucco e a logaritmo decimal do inverso
do concentrocoo de H30+. Qual e a pH de uma solu-
ceo cuja concentrocoo de H30+ e 4,5 ' 10-5 mol! e ?
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Uniclade 1
(PUC-SP) Uma calculadora eletronico possui as teclcs
das quatro operccoes fundamentais e as teclos lO",
log 10e loge. Como se pode obter 0valor de e usando as
func;:6esdo calculadora?
3 Dodos log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, quanto vale:
a) log 5 f) log 72
b) log 20 g) log 0,006c) log 0,0002 h) log 14,4
d) log 30000 i) log 7,5
e) log 500 j) log 250
~ Dodos log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70, cal-
cule, com oproxlmccco de duos casas decimais e usan-
do mudanc;:a de base, os logaritmos:
a) Iog2 12 c) logs 9
b) logs 3 d) Iogloo 5
3 (UFMG) Dodos log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule
log Va2b quando a = 2 e b = 3.
(Mack-SP) Dodos log 4 = 0,60206 e
log 6 = 077815 calcule log . 1 6 000 . 0,64" 5 , . j 216
(FEI-SP)Qual eo Iogaritmo decimal de loJ 3 200 , dado
log 2 = 0,301?
Aplicocdo dos logoritmos no resolucdo
de equocoes exponenciois
e de problemas
Exemplos:
12) Dodos log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70,
vornos resolver a equccoo 52x - 7 . SX+ 12 = 0.
yx - 7 . SX+ 12 = ° => ( S X ) 2 - 7(5X) + 12 = °Fazendo SX= y, temos:
y2- 7y + 12 = °~ = (_7)2 - 4( 1)(12) = 1
y' = 4 e 'I' = 3
Dol:
• 5x = 4 => log 5x = log 4 => log SX= log 22 =>
=> X . log 5 = 2 . log 2 =>
= 2· log 2 = 0,60 = ° 86=> x log 5 0,70 '
• 5' = 3 => log SX = log 3 => x . log 5 = log 3 =>
_ log 3 _ 0,48 _=> x - log 5 - 0,70 - 0,69
S = {0,69; 0,86}
22) Sabemos que 0 nurnero de bccterics numa cultura, de-
pois de um tempo t. e dado por N = No . e", em que
No e 0nurnero inicial (quando t =0) ere a taxa de cres-
cimento relativa. Em quanto tempo 0nurnero de bocterics
dobrcro se a taxa de crescimento continuo e de 5% 00
minuto?
Algebra (I )
Pelos dodos do problema, a
pergunta e: em quanto tempo
N = 2No?
Se a taxa e de
5% 00minuto, 0
tempo t e dado
em minutos.Assim, temos:
N = No . erl => 2»«0 =,)10 . eO,OSt=> 2 = eO,051=>
=> en 2 = en eO,051=> en 2 = ° 05t· en e =>, ~
1
=> en 2 = 0,05t => t = 6~~,
Calculando en 2 obtemos en 2 = 0,6931; portanto:
t = 0,6931 = 13,8 min = 13 min e 180 min =0,05
= 13 min 48 s.
onurnero de bocterics dobro ro
em 13 minutos e 48 segundos.
o tempo nco
depende do n C r
mere inicial debocterlos.
3e ) Em quantos anos 500 g de uma substonclo radioativc
que se desintegra a uma taxa de 3% 00 ano, se reduz-
roo a 100 g? Use Q = Qo . e-r, em que Q e a masse
do substcncio, rea taxa e teo tempo em anos.
Sabemos que:
Q = Qo' e-rt => 100 = 500 . e-O,031
que e equivalente a:
+ = e-O,031=>en ( + ) = en e-O,031=>
=> en 1 - en 5 = -0,03t· en e =>...___,..._., '--v---
° 1=> -en 5 = -0,03t =>
=> t = ~ = 1,6094 =53,6 anos0,03 0,03
42) Situccco-problerno do introducco do capitulo:
"No America Latina, a populocoo cresce a uma taxa ce
3% 00 ano, aproximadamente. Em quantos anos s c
populccco vai dobrar se a taxa de crescimento continue'
a mesma?"
Populocoo do ano-base = Po
Populocco opes um ana = Pol1,03) = Pl
Populccoo cpos do is anos = Poll ,03)2 = P2
Populocoo opes x anos = Pol1 ,03)X = P,
Supondo que a populocco dobroro em relccco 00a c-
base opes x enos, temos:
Px = 2Po ¢:> l o ( 1,03)X = ?fo ¢:> (1 ,03)X = 2
Aplicando loqoritrnos. temos:
log (1 ,03)X = log 2 ¢:> x . log 1,03 = log 2 ¢:>
¢:> x = log 2 = 0,30103 = 23
log 1,03 0,01284
A populocoo dobroro em 23 anos aproximadamente.
Em que ano, aproximadamente, 0 populccoo do Ame--
co Latina sera a dobra do de 1990?
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Capitulo 7 Logoritmo e Func c o logoritmico
Exercicios
Dodos log 2 = 0,30, log 3 = 0,48, log 5 = 0,70 e
log e = 0,43, resolva as equccoes:
a) 2x = 5 c ) 5x = e
b) e X = 3 d) e X - 6 = °e) 3X = 10
f ) eX= 15
Calcule (cam duos casas decimciis) 0 valor de x queverihcc a equocco 3 . 2X= 10, dodos log 2 = 0,30 e
log 3 = 0,48.
Dodos log 5 =0,70 e log 3 =0,48, calcule 0 valor de
x no equocco (0,3)X = 1,5.
Se log 2 = 0,30 e log e = 0,43, resolva a equccoo
8x- 2e =0.
Dodos log 2 =0,30 e log 3 =0,48, resolva a equocco
32x - 5 . 3x + 6 = O.
Determine 0valor de x que verilico a equocco
(1, 12)X= 3, sendo dodos log 2 = 0,30, log 3 = 0,48e log 7 = 0,85.
Resolva a equccoo e2x- 3 . eX+ 2 = 0, dodos log 2 =
0,30 e log e = 0,43.
';:;-0 os exercicios 42 a 44 usea formula Q =Qo ' e-rl, no qual
representc a massa do substcncio, r representa a taxa e t
- esenta 0 tempo.
Uma substcncio radioativa se desintegra a uma taxa de
8% 00 ano. Em quantos anos 50 g dessa substcncio se
reduziroo a 5 g?
Num loborotorlo, uma pessoa veriiico que a taxa de cres-cimento relativo continuo de bocterios numa cultura e de
2,5% por minuto. Nessas condicoes, em quantos minutos
o nurnero de bocterios possoro de 4000 para 6000?
Calcule a meia-vida de uma substcncio radioativa que se
desintegra a uma toxo de 4% ao ano. (Lembre-se: meier
vida e 0 tempo que deve decorrer para que, em certo
omento, metade dos ctornos de uma substcnclo rcdioo-
vo se desintegre.)
IFuvest-SP)A intensidade I de um terremoto, medida no
escala Richter, e um nurnero que varia de I = 0 ate
= 8,9 para 0maior terremoto conhecido. I e dado pe-formula: 2 E
1= -Ioglo-3 Eo
a qual E e a energia l ibercdo no terremoto em
uilowott-horo e Eo = 7 . 10-3 kWh.
} Qual e a energia liberodo num terremoto de intensi-
dade 8 no escala Richter?
0 ) Aumentando de uma unidade a intensidade do terre-
mota, par quanta fica multiplicada a energia liberada?
expressco M = A( 1 + 1)"nos permite calcular a montante
, resultante da opllcoccc do capital A, a [orcs compos-"os, a taxa anual i, 00 completer um perlodo de n anos.
essas condlcces, se 0 capital de R$ 800000,00 for
oollcodo c juros compostos e 6 taxa anual de 12%, ap6s
c onto tempo do opllcoceo seroo obtidos [uros no valor
_9 R$ 700000,OO?
Uma pessao deposita uma quantia em caderneta de
poupcnco 6 taxa de 2% 00 meso Em quantos meses a
quantia depositada triplica?
Uma pessoa coloca R$ 1000,00 num fundo de oplico-
<;:00que rende, em media, 1,5% a.m. Em quantos meses
essa pessoa tero no minima R$ 1300,00? Use uma cal-
culadora para fazer as colculos.
Um corte a de credito cobra juros de 9% a.m. sobre 0
saldo devedor. Um usuorio desse cortoo tem um soldo
devedor de R$ 505,00. Em quanta tempo essa divide
cheqoro a R$ 600,00 se nco for paga?
(Dodos: log 2 = 0,3; log 3 = 0,48; log 1,01 = 0,004;
log 1,09 = 0,038.)
Funcdo loqcritmico
No capitulo anterior estudamos a Iuncoo exponencial.
Para todo numero real positivo a i= 1, a Iuncoo exponencial
f: IR -- IR: dada por fix) = o" e uma correspondencio biuni-
voca entre IR e IR:. Ela e
crescente se a > 1, decres-
cente se ° < a < 1 e tem a
seguinte propriedade:
f(xl + X2)= f(xd . f(x2), ou se-
Dizer que f i x ) e uma
correspondenclo biu-
nivoca e 0mesmo
que dizer que f euma Iuncoo bijeliva.
Essas considerocoes garantem que f possui uma Iuncoo
inversa.
Delinicdo d o fUn900 l o g o r i t m i c o
A inversa da fun<;:aoexponencial de base a e a fun<;:ao
logo: IR: -- IR, que associa a coda nurnero real positivo x 0
nurnero real logo x, chamado logaritmo de x na base a, com
a real positivo e a i = 1.
Observe que f: IR - IR:, dada par fix) = c", tem a pro-
priedade f(xl + X2)= f(xd . f(X2),ou se]c, aX,+ "2= aX,. 0"2.
A sua inversa g: IR: -+IR, dada por g(x) = logo x, tem a pro-
priedade logo (Xl' X2)= logo Xl + logo x2'
I R I R :
Dominio do fun<;ao logaritmica: IR:
Imagem da fun900 loqorltmlco: IR
Como a funcec logaritmica e a inversa da fun900
exponencial, temos:
log xa 0 = x e logo (aX)= x, para todo x E IR
Assim, logo x e 0 expoente ao qual 59 deve elevar a base
a para obter 0 nurnero x, ou sejc, y = logo x ~ aY =x, como
i6 vimos.
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As func;:6es logarrtmicas mais usadas sao aquelas cu]o
base a e maior do que 1; portlculcrrnente. as de base 10
(Iogaritmos decirnois}, as de base 2 (Iogaritmos binorios] e as
de base e (Iogaritmos naturais).
Sao exemplos de funcoo logarrtmica as funcoes de IR~
em IR definidas por:
• f(x) = log2 x • h(x) = loge X = en x
• g(x) = IoglO X = log x • i(x) = log I X4"
Exerclcios propostos-----
As func;:6eslogarrtmicas f e 9 sao dadas por
f(x) = log3 x e g(x) = log4 x. Determine:
a) f (9) e) Im(f)
b) g(l) f) x tal que g(x) =4
c) g(4) g) f (27) + g( 1 6)
d) D ( f) h ) f-l(l )
Dados f(x) = log3 (x + 1 L g(x) = 4 + log2 x e
h(x) = log 2xI determine:
a) f (2 )
b) g (2 )
c) h(50 )
d ) g(l)
e) f (26)
f ) g(J2)
Gr6fico do func;oo logorHmico
Observe os seguintes graficos de func;:6eslogaritmicas:
f(x) = log2 x
x y = f ( x )
1-2
""4
1-1
"2
1 0
2 1
4 2
y
f (x ) = log2 X
x
Algebra ( I)
f(x) = log I X2"
x y = f I x )
12
""4
11
"2
1 0
2 -1
4 -2
x
f (x ) = log , x
"2
Os gr6fieos de y = loq, x e y = 10gb XI com a > 1 e
0< b < 1 quaisquer, tem0mesmo aspecto dos gr6fi"
cos oeimo, respeetivomente.
Como consequencio da delinicdo de Iuncco logorrtmica
e do analise dos graficos, podemos concluir que:
. • 0grafico do func;:oo Iogarrtmica passa pelo ponto ( 1 1 O L
ou sejc, f( 1) = 01 oU I olndo. logo 1 = 0;
• 0grafico nunca toca 0eixo y e nco ocupo pontos dos qua"
drantes )1 e III;
• quando a > 1 1 a [uncco logaritmica e crescente(Xl > X2 ¢:> logo Xl > logo X 2 ) ;
• quando 0 < a < 1 1 a luncoc logaritmica e decrescente
(Xl> X2 ¢:> logo x, < logo X2);
• somente nurneros positivos possuem Iogaritmo reel, pols a
funcoo x --+ o " assume somente valores positivos;
• se a > 1 1 os numeros maiores do que 1 tem logaritmo po-
sitivo e os nurneros compreendidos entre 0 e 1 lem
logaritmo negativo;
• se 0 < a < 1 1 os nurneros maiores do que 1 tem logaritmo
negativo e os nurneros cornpreendidos entre 0 e 1 tern
logaritmo positivo;
• a func;:ooIogaritmica e illmiiodc, superior e inferiormente.
No caso de a > 1 ser iii" No coso de a > 1,0que signifieo ser ilirni-
todo inferiormente?mitada superiormente sig"
nilicc que se pode dar a
logo x um valor too grande quanto se queirc, desde que
tomemos x suficientemente grande;
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;;0 eontr6rio da funcoo exponeneiol f(x) = c" eom a > 1,
::_8 eresee rapidomente, a funcoo Iogarltmieo logo x eom
::> 1 eresee muito lentamente. Vejo, por exemplo, que, se
:::g ° x = 1 000, entoo x = 101000. Assim, se quisermos
::ye log 10 x seja maior do que 1000, ser6 preciso tomor um
-:..!lero x que tenha pelo menos 1001 algarismos;
c ( ncco logarftmica
einjetiva, pois nurneros positivos
crerentes tem Iogaritmos diferentes.' Ela e lornbern sobrejeti-
o, pois, dado qualquer nurnero real b. existe sempre um
:"!lico nurnero real positivo x tal que logo x = b. Portanto, ela
;,.bijetiva (h6 uma correspondencio biunivoca entre IR! e IR).
Exercicios propostos
Construa os gr6ficos das func;oes logaritmicas e conhrrne
neles as conclusoes obtidas:
0) fIx) = Iog3 X
b) fIx) = log2 ( ; )
c) fIx) = log 1 X
"3
d) fIx) = log2 (x - 1)
Observando a base, identilique as seguintes func;oes
como crescentes ou decrescentes:
a) fIx) = log3 x d) f(x) = logo.5 x
b) fIx) = log2 x e) fIx) = log_l_ x4
e) fIx) = Iog1 .2 X f) f(x) = logo, 1 X
Uma relocdo importante
No capitulo 2, vimos que os gr6ficos de duos func;6es in-
.ersos soc simetricos em relccoo 6 reta y = x (bissetriz dos
ouadrantes I e 111).Observe a seguir os gr6ficos das Iuncoes
. versos fIx) = o" e g(x) = logo x:
y
f ( x ) = 2 X
Observe no gr6fico (a > 1) como a func;:60exponen-
cial cresce rapidamente, enquanto a funcoo Iogoritmi-co cresce muito lentomente.
·fa.y
bissetrlz4
,,,,,,,,
x
-2 -1 ,,' 0
-1,,
-2g(x) = IO gl X
2<a<1
Escrevo os coordenadas de alguns pontos sirnetricos emcoda um dos gr6ficos.
NAo ESCREVA NO LlVRO.
Exercicio propos 0
Construa no mesmo sistema de eixos os gr6ficos de
fIx) = 3 < e g(x) = Iog3 x.
Uma propriedade importante
Duos [uncoes logarftmicas quaisquer s60 sempre pro-
poreionais.
Detnonsttocoo:
Dodos as luncoes Iogarftmicas fIx) = logo x e
g(x) 10gb xg(x) = 10gbx, temos que -f-( -) = I = logo b. isto e ,
x ogo x
g(x) = :logo ~I • fIx) = > g(x) = k . fIx)... ~- . .!k
Logo, a constante de proporcionalidade e dada por
k = logo b.
Observocdo: Essa propriedade expllco por que, dodos a e b
positivos e diferentes de 1, os gr6ficos de 1090x e 10gbx sao
obtldos, um a partir do outro, multiplieando todas as ordena-
das por uma constante.
Vejcrnos um exemplo tomando as Iuncces f(x) = log2 x e
g(x) = log8 x.
Observe que:
• log2 x = 1 -+ x = 2 -+ log8 X = -}
• log2 X = 2 -+ x = 4 -+ log8 X = ~
• log2 X = 3 -+ x = 8 -+ 10gBX =
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Unidade
Dobrando Iog2 x (de 1 para 2), dobrou tornbem logs x
(de -} para ~ ). Triplicando log2 x (de 1 para 3), triplicou
tornbern logs x (de -} para ~ = 1), e assim por diante.
Alern disso, temos 1 = 3 . -}, 2 = 3· ~,
3 = 3· ~, e assim por diorite, ou seja,
log2 x = ')~Ilogs x, ou ainda,!
k (constante de proporcionolidcde]
log2 X = : IOg2 ~I' logs x
1k (constante de proporcionalidade)
Observe que, multiplicando as ordenadas de logs x pelaconstante 3, obtemos as ordenadas de log2 x.
l o g 2X
X Y
1-1
2
1 0
2 1
4 2
l o g a x
x y
1 - 1
2 "3
1 0
21
"3
4 2"3
y
2 - - - - - - - :- - - - - - ~ --, /,, ,
1 -----~,------~----------,
8 93 -2 34567
-2
Corocterizccdo das funcoes
logaritmicas
Como saber se para resolver um determinado problema
devemos usar 0 modelo dado pelas func;:6es10garHmicas?
A resposta e : quando estivermos diante de uma funcco
f: IR~ -- IR, crescente ou decrescente tal que
f(xi . X2)= f(xd + f(X2)para quaisquer XI, X2E IR~. Pois, neste
coso, e posslvel provar que existe a > 0 tal que fIx) = logo x
para todo x E IR~.
x
Algebra III
ID Equocoes logarHmicas
Vamos agora estudar as equac;:6eslogarltmicas, ou seja,
aquelas nos quais a incognita est6 envolvido no logaritmando
ou no base do logaritmo, como estas:
• Iog3 x = 5
• log2 (x + 1) + log2 (x - 1) = 1
• loq, _ I3 = 2
• 2 . log x = log 2x - log 3
Exemplos:
12)Vamos resolver a equocco log2 [x - 3) + Iog2 X = 2.
• condicco de existencio: x - 3 > 0 ex> 0 =>
=>x>3 e x>0=>x>3
• he dois modos diferentes de resolucco:
I ) log2 [x - 3) + log2 X = 2 => log2 [[x - 3)x] = 2
Usando a delinlccc de logaritmo:
(x - 3)x = 22 => x2 - 3x - 4 = 0
~ = 9 + 16 = 25
x' = 4 e x " = -1
ou
II ) log2 ( x - 3) + Iog2 X = log2 22 =>
=> log2 [ ( x - 3)x] = Iog2 4
Usando 0 fato de que a funcdo Iogaritmica e lnle-
tiva:(x - 3 ) x = 4 => x2 - 3x - 4 = 0
~= 25
x' = 4 e x"= -1
• verlhcocoo: como a condtcco de existencio ex> 3,
entoo 4 ESe - 1 r t . S
S = {4 }
22) Vamos resolver a equccoo
logro x - 3 . 10glOX + 2 = O.
• condicco de exlstenclo: x> 0
• a equocoo pode ser escrita no
forma (log10 xj2 - 3 . 10g10X + 2 = 0
Fazendo 10glOx = y, temos:
l- 3y + 2 =0
.l=l
y' = 2 e Y ' = 1
Como 10glOx .; y, entco
log2 x noo po -
de ser con-.... 1iIIIi' fundido com
lo g x2 .
J log 10 X
1 log 10 X
2 => 102 X => X = 100
1 =>101 =x=>x= 10
• verilicocoo: 100 > 0 e 10> O. Logo, 100 ESe
10 ES.
S={lO,lOO}
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Capitulo 7 Logoritmo e fun~6~ogorltmico-----
I,ll
Exercicios propostos
; .e s olv a a s equc coes :
= - .09x 36 = 2
: : : log 1 (x - 2 ) = -3"2
e ) log2 ( x 2 + X + 2 ) = 3
d ) log 2 [log3 (x - 1 )] = 2
Colcule x sabe nd o que :
~ 2 1 0 9 2 1 x+1 = 3
e so lv a a s s eg uin te s equccoes:
0 ) log fo (x + 1 ) - 1 0 g IO ( x + 1 ) = 0
: : J ) log3 [7 + log9 (x - 1)] = 2
c) log~ x - 4 . log s x + 3 = 0
0) 10g10 ( x + 4) + 1 0g 10 (x - 4) = 2 . 1 0 g 1 0 3
aek -SP )Se Iog1 0 m = 2 - Io g1 0 4, d ete rm in e 0 va lo r d e
m ( Iembra r: 2 = IoglO 102 ) .
istemas de equocoes logarHmicas6 siste mas d e equocoes q ue s ao re so lv id os a plie an do -
.- as p ro prie d ad e s o pe ra t6 ria s d os lo ga rit mo s.
- emplo:
V am os re so lve r 0 siste ma d e equocoes
0910 x - log 10 y = 10g1O2
x-y = 16
• condicoes de exislencio: x> 0 e y> 0
• preporocco d o sis tem a:
oglO x - 1 0 g1 0 Y = Iog1 0 2 => 1 0 g IO ( ~ ) = Iog1 0 2 =>
=> . 2 5 . . . . = 2 => x = 2 yy
4 X- y = 16 => 4 x
- y = 42 => X - Y :;:: 2
• re solve nd o 0 sisterno;
{X = 2 y => 2 y - y = 2 => y = 2x - y = 2
x = 2 y => x = 2 (2 ) => x = 4
• verlhcocco: x = 4 > 0 e y = 2 > 0
Logo, S = {(4, 2 lJ .
Exercicios propostos
Reso lv a o s s is temas d e equccces:
0 ) {loglO X - log 1 0 Y = 10g IO 3
x + 2 y :;;: 1 5
b) {lO g 10 X + log lOY = 2 NA o ESCREVANO L IVRO .
x + y = 20
Se jam x , y E IR ta l que { X I + y = 710 3 .og 10 X + ag lOY =
Calcule 0 valor de x 2 + y2 .
II Inequac;6es logarrtmicasV ejam os alg uns e xe mplos d e inequccoes lo ga rit mie as e
suas resolucoes:
a) log2 (x + 1) > Iog 2 6
b) log3 X + log3 ( x - 8) < 2
c ) log49 2 x - log49 3 ~ log7 X + log49 2
a) log2 ( x + 1) > log2 6
• condicco de exislencio: x + 1 > 0 => x> -1 C D• base a = 2 (a > 1 ) - a Iuncoo e c re sc e nt e e , p ort an -
to , rnontern-se 0 se ntid o d o d esig ua ld ad e:
log 2 (x + 1 ) > log2 6 => x + 1 > 6 => x > 5 ®• quad ro de resolucco (a s condlcoes C D e ® devem
se r sa ti sf e it as s imu lt aneamen te ) :
-1
C D - - ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - ~
d D - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - -5 :I
S - - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - - - .5
Po rt an to , S = { x E IR 1 x > 5 } .
b) log3 X + log3 ( x - 8) < 2
• condicoo de existencic: x > 0 e x - 8 > 0 =>
=>x >o e x>8=>x >8 C DComo 2 = Io g3 3 2 , a inequocoo p od e se r e sc rita a ssim :
log 3 x + Io g3 (x - 8) < Io g3 9.
• base a = 3 (0 > 1) - rnontern-se 0 sentido do desi-
gua ldade :
log 3 x + log3 (x - 8) < log3 9 =>
=> 1 09 3 [xIx - 8)] < 1 0 9 3 9 =>
=> x (x - 8) < 9 =>
=> x2 - 8x - 9 < 0 + x
A = 100
x' =9 e x" = -1
®1 <x<9
• quad ro de resolucco:
8C D - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - -
I
®-o--~-1 ::9
I I
S - - -- - -- - -- ~ ~~ - -- - -- .8 9
Po rt an to , S = {x E IR I 8 < x < 9},
c) Io g49 2 x - Iog49 3 ~ log7 X + log49 2
• condicco de exls tsnclo: 2x> 0 ex> 0 = > x> 0
P ara que t o do s os logaritmos tenham a mesma base ,
p od emos s ub st lt uir lo g7 x p or lo g4 9 x2• A lnequccco f ica
csslrn:
log49 2x - log49 3 ~ lo g4 9 x 2 + log49 2 = >
= > log49 2 3x
~ Io g49 ( 2 x 2) = >
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I@. Unidade 1
~ 2x ;:. 2x2 ~
3
~ 6x2 - 2x ~ 0
X' = 0 e x" = _1_3
+ + x
a 1
"3
Construa 0 quodro de resolucco para confirmor a res-
posta.
• verihcocoo: x > 0 e 0 ~ x :s; _1_ ~3
Portanto, S = {x E IR 10 < x ~ + } .
1O<x~ -
3
Exercicios propostos
Resolva as inequac;:6es abaixo:
a) log 1 (3 - x) - log 1 2 > log 1 X
"2 "2"2
b) log 1 (x - 1) ;;,: Iog3 4"" 3
c) log3 (log2 x) > 0
d) loq, 2 > log5 2
e) log 1 (log2 x) > 0"" 3
(Mack-SP) Quais os valores reais de x que verilicorn a
equccoo -log 1 (x2 - 8) ;;, : O?"2
Determine os valores reais de x que satisfazem:
a) 2 10910 [x - 4) > 1
b) IloglO xl < 1
c) log 1 (x2 - 2x) ;;,: - 1"" 3
Usc das inequocoes Icgaritmicas
Veiornos alguns exemplos de opllcocco das inequac;:6es
logarftmicas.
1Q ) Vamos caleular para que valores reais de x e definida a
func;:60 fIx) = 10glO [Iog+ (x2
- x + 1)J.
Para que essa funcec sejo definida, e neeess6rio que
log 1 ( x 2 - X + 1) > O. Entao, devemos resolver essa ine-T
cuccco.
Como 0 = log 1 1 , a inequccco pode ser escrita assim:T
109+ (x 2 - x + 1 ) > 109+ 1
• condlcces de exlstencic:
x 2 - x + 1 > 0
~ = -3(nco tem ze-
ros reais)
+++++++++ x
Como a> 0 e ~ < 0, a condlcco se verlllcc para todo
x real. C D
Algebra III
• base a = +desigualdade:
x2 - x + 1 < 1 ~
(0 < a < 1) --> troca-se 0 senfido do
+~+:
O<x<l ®
~ x2 - X < 0
~=1
x' = 1 e x" = 0
• quadro de resolucoo:
CD-----------
QD---~~----_o---------0: 1 :, ,
sa
Logo, S = D(f) = {x E IR I 0 < x < 1}.
2 Q ) Vamos determinar os valores de k para que a equocoo
x2 - 2x + 10g10 (k - 2) = 0 admita roizes reois dile-
rentes.Para que a equocco cdrnito raizes reais diferentes, deve-
mos ter 6. > 0, ou sejo:
(- 2)2 - 4( 1 ) . log 10 (k - 2) > 0 ~
~ 4 - 4 . log 10 (k - 2) > 0 ~
~ -4.10glO (k - 2) > -4~
~ 4 . 10g10(k - 2) <4 ~ IoglO (k - 2) < 1
Portanto, temos de resolver a inequccoo:
log 10 (k - 2 ) < 1 ou 10g10(k - 2 ) < 10glo 10
• condicco de existencio: k - 2 > 0 ~ k»2 C D• base a
=10 (a > 1 ) --> rnontern-se 0 sentido da desi-
gualdade: k - 2 < 10 ~ k < 12 ®• quadro de resolucco:
2C D ~ ' - - - _ - - - - - -
,
QD--~------------~----12:
S - - - 0 - - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - -2 12
Logo 1 S = {k E IR I 2 < k < 12} .
Exercicios propostos
Para que valores reais de x e dehnldo a func;:ao
f(xl = IoglO [Iog+ (x + llJ?
(Faap,SPl Determine os valores de a para que a equccoo
x2 - 2x - 10910a = 0 admita rolzes reais.
Determine os valores de k para que a equccco
x2 - 2x + 109\0 (k 2 - 3k) = 0 admita ralzes reais e
dllerentes.
Explicite 0domlnio do funceo
f(xl = 1)1098 X - 1092 5 .
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Capitulo 7 I.d
Outros oplicocoesdo func;ao logarHm ica
e dos logaritmos
~::; a asexercicios
68 a 72 em equipe.nilor-Cf] 0 nurnero de bccterios numa certa culturo
cuplico a coda here. Se, num determinado inslonte, a
culture tem mil bccterios, dci o quonto tempo, aproximo-
oomente, a cultura tero um mtlhco de bocterlosf Consi-
oeror log 2 = 0,3.
) 2 horos c) 5 horos e) 100 horos
0 ) 3 horos d) 10 horas
ock-SP)0 volume de um liquido volot l l diminui 2 0% par
oro. Ap6s um tempo I,seu volume se reduz a metade. 0valor que mais se aproximo de 1e: (Use log 2 = 0,30.)
0) 2 he 30 min. c) 3 h. e) 4 h.b) 2 h. d) 3 he 24 min.
(Vunesp) Os bi61ogos dizem que ho uma o/ometrio entre
duos vorioveis, x e y, quando e possive] determinor duos
constantes, c e k, de maneira que y = ex'. Nos cosos de
olometrio, pode ser conveniente determinor c e k par meio
de dados experimentais. Consideremos uma experiencio
hipotetico no qual se obtiveram os dodos do tobela:
x y
2 16
20 40
Nota histOrica
No inicio do seculo XVII, os colculos envolvidos nos as-
- tos de Astronomia e Noveqccoo eram Iongos e trabalho-
50S. Para sirnplillcor esses cclculos, surgiram nessa epoco as
orimelros tabuas de Iogaritmos, inventadas independentemen-
ospor jest Burgi ( 1 552 -1632 ) e John Napier (1 550 -1 61 7) .
.ego depois, Henry Briggs ( 1 561 -1631 ) aperfeic;:oou essas
-6buas, apresentando os logaritmos decimais.
A principal confrlbulcco dos logaritmos para facilitar
cs c61culos foi a de transformar as operocces de multipllco-
c;:aoem adic;:ao e de divisao em subtrocoo, 00 estudar as pro-
oriedades operat6rias:
logo (x . y i = logo x + logo y
logoL= logo x - logo yy
Essas descobertas aumentaram multo a capaeidade
de cclculo nurnerlco dos que estavam envolvidos em
Astronomia e Navegac;:ao. Dlzlo-se na epoca que a inven-
ceo dos logaritmos "duplieou" a vida dos cstronomos. oluscc
00 fato de que a trabalho de e61culo diminuira tanto com a
trcduceo dos logarltmos, que as astronomos poderiam pro-
Supondo que hc]o uma relccco de alometria entre x e
ye considerando 10glO 2 = 0,301, determine 0 valor
de k.
7 . (FGV-SP)0 cnuncio de certo produto aparece dioriamente
num certo horcrio no televlsco. Ap6s t dies do lnicio da
exposicoo (I exposicoes dlorlos). 0 nurnero de pessoas
(y) que fica conhecendo 0 produto e dado pory = 3 - 3(0,95)', em que y e dado em milhoes de pes-
soas.
0) Para que valores de Ieremos pelo menos 1 ,2 rn ilh d o
de pessoas conhecendo 0 produto?
b) Fccc 0grafico de y em [uncco de I.
I .....Cesgranrio-RJ) As indicocoes R l e R 2, na escala Richter,
de do is terremotos estoo relacionadas pela f6rmula
R1 - R 2 = log 1 0 ( ~ ~ ) . em que M l e M 2 medem a ener-
gia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que
se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos:
um correspondente a R \ = 8 e outre correspondente a
R 2 = 6 . A rozoo M J e:M2
a) 2.
b) log2 10..
c) ~3
d ) 102
e ) 10glO ( i ) .
ATE NCAO ! A s q ue st 5e s d e v es ti bu la rt or am
t ra ns cr it as li te ra lm e nt e. Embo ra em a lg umas '
a pa rs ca : " As si na ls ", " ln dlq ue ". e tc .,
n ao e scre va no livro . T od as as re spostas
d ev em s er d ad as n o c ad ern o.
duzir 0 equivalente 00 que produziriam anles, se pudessem
viver duos vidas. Posteriormente, surgiram as reguas de cal-
culo, baseadas nessas propriedades dos logoritmos. Hoje,
com 0advento das calculadoras e microcomputadores, elas
coircm em desuso.
L o ga ritm o s e fun~oes l o g ar i t m i cas
Vorlos conceitos b6sicos da Matem6tiea, eriados para
atender a certas neeessidades e resolver problemas especlil-
cos, revelaram posteriormente uma utilidade bem mais ampla
do que a inicialmente pensada e vieram, com a evolucco das
ideias e 0desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posl-
c;:oodefinitive de grande relevancia nessa clsncto: Emalguns
casas, a utilidade original fol, com a tempo, superada por no'
vas teenieas, mas a relevanc1a te6rica se manteve. [ ... J
OS logaritmos foram inventados no lnicto do seculo
XVII a fim de stmpllhcor as trabalhosas operocoes orl tmst lccs
dos cslrcnomos para a eloborcccc de tabelos de navegac;:ao.
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c_- Unidode
Com efeito, a regra log (xy) = log x + log y e suas
consequencios, tais como
log ( ~ ) = log x - log v , log (xn) = n . log x,
log r i fX = log x, permitem reduzir cada operccoo arit-n
rnetico (exceto, naturalmente, a odlcoo e a subtrocco) a uma
operocco mais simples, efetuada com os logaritmos. Essamaravilhosa utilidade protico dos logaritmos perdurou ate re-
centements, quando foi vastamente superada pelo uso das
calculadoras eletroniccs.
A funcoo logaritmica, entretanto, juntamente com sua
inverse, a [uncdo exponencial, permanece como uma das
mais importantes na Matemotica, por uma serle de rczoes
que vdo muito olern da sua utilidade como instrumento de col-
culo oritrnetico. [ . .. J
Resumindo: um rnoterncttco ou cstronomo do seculo
X V I I achava os logaritmos importantes porque eles Ihe perm i-
tiam efetuar c61culos com rapidez e eliclencio. Um matem6-tico de hoje acha que a func;:oo logaritmica e sua inverse, a
func;:ooexponencial, ocupam uma poslcco central na Anolise
Matem6tica por causa de suas propriedades funcionais, es-
pecialmente a equocco diferencial x' = c . x, que descreve
a evolucoo de grandezas que, em cada instante, sofrem uma
voriocdo proporcional ao valor naquele instante. Exemplos
de grandezas com essa propriedade sco um capital empre-
gada a juros compostos, uma populocco (de animais ou bac-
terics], a radioatividade de uma substcncic, ou um capital
que sofre desconto. [ . .. J
Exlrcldo de l iMA, Elan Loges. Me u p ro fe sso r d e M ate m6 tic a e
outras his tor ias . Rio de Janeiro, IMPA-Vilae, 1991. p. 28-30 passim.
A lei de Weber e as escalas de Fechner
A lei de Weber (ErnstHeinrich Weber, 1795-1878,
fisiologista olerndo] para resposta de seres humanos a estimu-
los fislcos declara que diferencos marcantes na resposta a
um estimulo ocarrem para voriocoes da intensidade do esti-
mulo proporcicinais ao pr6prio estimulo. Por exernplo, um ho-mem que sai de um ambiente iluminado para outre s6 perce-
be uma vorlccdo da luminosidade se esta for superior a 2%;
s6 distingue entre solucoes salinas se a voriocoo da salinida-
de for superior a 25%; etc ...
E rn st H e in ri ch We be r(1795-1878)
Jlgebra ( I )- - - - - - - - - - - - - - - - -
Fechner (Gustav Theodor Fechner, 1801-1887, Iisico
e Hlosclo olemco) propos um rnetodo de consfrucoo de esca-
las baseado na lei de Weber. Se]o i a taxa de vorlocco da
intensidade do estimulo que permite discrlrninccco da respos'
ta. Associemos ao estimulo X o 0 nivel de resposta O . Entao,
a cada vcriccoo de taxa i no nivel do estlrnulo, aumentamos
uma unidade na rnedido do nivel de resposta . Sejam y a res-
posta e x a intensidade do estimulo.a) Temos que x = X c ( 1 + i ) Y .
b) Temos que y =a . log x + b. com a = . 1 e1 log ( 1 + i)
X c = ( 1 + i ) b .
c) 0brilho de uma estrela e uma sensocco, ou se]o. e uma
resposta a um estimulo que e a energia luminosa recebido
pelo olho. Os cstrcnornos medem 0brilho por in'errnedlo
de uma escala de Fechner, m = c - 2,5 . 10glo I, em que
mea medida do brilho, chamada de magnitude aparen-
te, I e a energia luminosa recebido pelo oIho e c e umaconstante.
d) Uma escala de Fechner multo, conhecida e a escala
Richter, que mede a intensidade de terremotos. Ela e deli-
nida por R=a + log 10 I, em que Rea intensidade do ter-
remoto (em graus Richter) e I e a energia libercdo por ele.
e) Outra escala de Fechner tcmbern muito conhecida e a quemede ruidos, dellnldo por R= 12 + Iog10 I, em que R ea medida do ruldo em bels (essa desiqnocoo e em home-
nagem a Alexander Graham Bell, 1847-1922, fisico es-
coces e inventor do telefone) e I e a intensidade sonora,
rnedido em watts por metro quadrado. Na reolidode, aunidade legal no Brasil e um submultiple do bel, 0decibel.
G ustav T heod or F ech ner(1801-1887)
Exircldo de MORGADO,Augusto Cesar e ouiros. Progressoes e
Matem6 ti ca f in anc e ir a. Rio de Janeiro, SBM, 1993. p. 40-41 passim.
(Cole~-60 do Professor de Matem6tica.1
o lo ga ritm o n o e ra d a in fo rm a tic a
Quando um evento tem proboblhdcde p de ocorrer,
sua ocorrencia fornece uma quantidade de Informac;:oes I
dada por umo expressco que envolve logoritmos, que e :1
1 = log2--P
ou sejo, I bit de injorrnccco.
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