MatemticaRecreativa Yakov I. PerelmanPreparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001Matemtica RecreativaYakov I. PerelmanPreparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. PerelmanPrlogoste es un libro para jugar mientras aprenden a resolver problemas matemticos o, si lo prefieren, para aprender matemticas mientras se juega.Alguien puede pensar que sus conocimientos aritmticos son insuficientes, o que con el tiempo yase han olvidado para disfrutar del contenido de Matemticas recreativas.e equivoca completamente!"l prop#sito de esta obra reside e$presamente en destacar la parte de juego que tiene la resoluci#nde cualquier acertijo, no en averiguar los conocimientos logar%tmicos que usted puede tener... &astacon que sepa las reglas aritmticas y posea ciertas nociones de geometr%a.'o obstante, el contenido de esta obra es variad%simo( en ella se ofrece desde una numerosa colecci#n de pasatiempos, rompecabe)as e ingeniosos trucos sobre ejercicios matemticos hasta ejemplos *tiles y prcticos de contabilidad y medici#n, todo lo cual forma un cuerpo de ms de uncentenar de acertijos y problemas de gran inters.+ero, cuidado!A veces los problemas aparentemente ms sencillos son los que llevan peorintenci#n...A fin de evitar que caiga en la tentaci#n de consultar las soluciones precipitadamente, la obra se hadividido en dos partes( la primera contiene die) cap%tulos en donde se plantean todo tipo deacertijos, y la segunda contiene la soluci#n correspondiente.Antes de recurrir a ella, piense unpoco y divirtase intentando esquivar la trampa., ahora, para terminar, un ejemplo( -qu es mayor, el avi#n o la sombra que ste proyecta sobre la.ierra/+iense en ello, y si no est muy convencido de sus conclusiones, busque la respuesta en laparte dedicada a las soluciones.Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. PerelmanCaptulo 1Desayuno y rompecabezas1. - La ardilla en el calvero0 1oy por la ma2ana he jugado al escondite con una ardilla 0 contaba a la hora del desayuno uno delos comensales en el albergue donde pasbamos las vacaciones 0. -3ecuerdan ustedes el calvero circular del bosque con un abedul solitario en el centro4/ +ara ocultarse de m%, una ardilla se hab%a escondido tras ese rbol. Al salir del bosque al claro, inmediatamente he visto el hociquito de la ardilla y sus vivaces ojuelos que me miraban fijamente detrs del tronco. 5on precauci#n, sin acercarme, he empe)ado a dar la vuelta por el contorno del calvero, tratando de ver al animalillo. 5uatro vueltas he dado alrededor del rbol, pero la bribona se iba retirando tras del tronco ensentido contrario, sin ense2arme ms que el hociquillo. "n fin, no me ha sido posible dar la vueltaalrededor de la ardilla.0 in embargo 0 objet# alguien 0, usted mismo ha dicho que dio cuatro veces la vuelta alrededor delrbol.0 Alrededor del rbol, s%6 pero no alrededor de la ardilla. 0 +ero la ardilla, -no estaba en el rbol/ 0-, qu/0 "ntonces usted daba tambin vueltas alrededor de la ardilla.0 -5#mo, si ni siquiera una ve) le pude ver el lomo/0 -+ero qu tiene que ver el lomo/ 7a ardilla se halla en el centro, usted marcha describiendo un c%rculo, por lo tanto anda alrededor de la ardilla.0 'i mucho menos. 8mag%nese que ando junto a usted describiendo un c%rculo, y que usted vavolvindome continuamente la cara y escondiendo la espalda. -9ir%a usted que doy vueltas a sualrededor/0 5laro que s%. -:u hace usted si no/0 -7e rodeo, aunque no me encuentre nunca detrs de usted, y no vea su espalda/0 7a ha tomado usted con mi espalda! 5ierra el c%rculo usted a mi alrededor6 ah% es donde est elintr%ngulis, y no en que me vea o no la espalda.0 +erdone! -:u significa dar vueltas alrededor de algo/0 A mi entender no quiere decir nada ms que lo siguiente( ocupar sucesivamente distintasposiciones de modo que pueda observarse el objeto desde todos los lados. -'o es as%, profesor/ 0pregunt# uno de los interlocutores a un viejecillo sentado en la mesa.0 "n realidad, est n ustedes discutiendo sobre palabras 0 contest# el hombre de ciencia 0. "n estos casos hay que empe)ar siempre por lo que acaban de hacer6 o sea, hay que ponerse de acuerdo en elsignificado de los trminos. -5#mo deben comprenderse las palabras ;moverse alrededor de un objeto;/ +ueden tener un doble significado. "n primer lugar, pueden interpretarse como un movimiento por una l%nea cerrada en cuyo interior se halla el objeto. "sta es una interpretaci#n. d%as...0 -"l ol da vueltas/0 'aturalmente, lo mismo que la .ierra alrededor de su eje. 8maginen ustedes que la rotaci#n delol se reali)ara ms despacio6 es decir, que diera una vuelta no en => d%as, sino en ?>@ d%as y ABC6 osea, en un a2o. "ntonces el ol tendr%a siempre el mismo lado orientado a la .ierra y nunca ver%amos la parte contraria, la espalda del ol. +ero, -podr%a entonces afirmarse que la .ierra no daba vueltas alrededor del ol/0 As%, pues, est claro que a pesar de todo yo he dado vueltas alrededor de la ardilla.0 e2ores, no se vayan! 0 dijo uno de los que hab%an escuchado la discusi#n 0. :uiero proponer losiguiente. 5omo nadie va a ir de paseo, lloviendo como est, y por lo visto la lluvia no va a cesar pronto, vamos a quedamos aqu% resolviendo rompecabe)as. "n realidad, ya hemos empe)ado. :uecada uno discurra o recuerde alg*n rompecabe)as. Dsted, profesor, ser nuestro rbitro.0 i los rompecabe)as son de lgebra o de geometr%a, yo no puedo aceptar 0 declar# una joven.0 'i yo tampoco 0 a2adi# alguien ms.0 'o, no6 deben participar todos. 3ogamos a los presentes que no hagan uso ni del lgebra ni de lageometr%a6 en todo caso, s#lo de los rudimentos. -1ay alguna objeci#n/0 'inguna 0 dijeron todos 0. Eenga, vamos a empe)ar!2. - Funcionamiento de los crculos escolares0 "n nuestro 8nstituto 0 comen)# un estudiante de bachillerato 0 funcionan cinco c%rculos( de deportes, de literatura, de fotograf%a, de ajedre) y de canto. "l de deportes funciona un d%a s% y otrono6 el de literatura, una ve) cada tres d%as, el de fotograf%a, una cada cuatro6 el de ajedre), una cadacinco, y el de canto, una cada seis. "l primero e enero se reunieron en la escuela todos los c%rculos,y luego siguieron hacindolo en los d%as designados, sin perder ninguno. e trata de adivinar cuntas tardes ms, en el primer trimestre, se reunieron los cinco c%rculos a la ve).0 -"l a2o era corriente o bisiesto/ 0 preguntaron al. estudiante.0 5orriente.0 -"s decir, que el primer trimestre, enero, febrero y mar)o, fue de FG d%as/0 5laro que s%.0 +erm%teme a2adir una pregunta ms a la hecha por ti en el planteamiento del rompecabe)as 0 dijoel profesor 0. "s la siguiente( -cuntas tardes de ese mismo trimestre no se celebr# en el 8nstituto ninguna reuni#n de c%rculo/0 Ah, ya comprendo! 0 e$clam# alguien 0. "s un problema con segundas... Me parece que despusdel primero de enero, no habr ni un d%a en que se re*nan todos los c%rculos a la ve), ni tampocohabr uno en que no se re*na ninguno de los cinco. 5laro!0 -+or qu/0 'o puedo e$plicarlo, pero creo que quieren pescarle a uno. 0 e2ores! 0 tom# la palabra el que hab%a propuesto el juego y al que todos consideraban como presidente de la reuni#n 0. 'o hay quehacer p*blicas ahora las soluciones definitivas de los rompecabe)as. :ue cada uno discurra. "l rbitro, despus de cenar, nos dar a conocer las contestaciones acertadas. Eenga el siguiente!. - !"ui#n cuenta m$s%9os personas estuvieron contando, durante una hora, todos los transe*ntes que pasaban por la acera. Dna estaba parada junto a la puerta, mientras la otra andaba y desandaba la acera. -:uincont# ms transe*ntes/0 'aturalmente, andando se cuentan ms6 la cosa est clara 0 oy#se en el otro e$tremo de la mesa.Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. Perelman0 9espus de cenar sabremos la respuesta 0 declar# el presidente 0. "l siguiente!&. - Los billetes de autocar0 oy taquillero en una estaci#n de autocares y despacho billetes 0 empe)# a decir el siguienteparticipante en el juego 0. A muchos esto les parecer sencillo. 'o sospechan el n*mero tan grandede billetes que debe manejar el taquillero de una estaci#n, incluso de poca importancia. "s indispensable que los pasajeros puedan adquirir billetes de la indicada estaci#n a cualquier otra delmismo autocar. +resto mis servicios en una l%nea que consta de =@ estaciones. -5untos billetes distintos piensan ustedes que ha preparado la empresa para abastecer las cajas de todas las estaciones/0 1a llegado su turno, se2or aviador 0 proclam# el presidente.'. - (l vuelo del dirigible0 8maginemos que despeg# de 7eningrado un dirigible rumbo al norte. Dna ve) recorridos @GG Hmen esa direcci#n cambi# de rumbo y puso proa al este. 9espus de volar en esa direcci#n @GG Hm, hi)o un viraje de FGG y recorri# en direcci#n sur @GG Hm. 7uego vir# hacia el oeste, y despus de cubrir una distancia de @GG Hm, aterri)#. i tomamos como punto de referencia 7eningrado, se pregunta cul ser la situaci#n del lugar de aterri)aje del dirigible( al oeste, al este, al norte o al surde esta ciudad.0 "ste es un problema para gente ingenua 0 dijo uno de los presentes 0. iguiendo @GG pasos haciadelante, @GG a la derecha, @GG hacia atrs y @GG hacia la i)quierda, -ad#nde vamos a parar/ 7legamos naturalmente al mismo lugar de donde hab%amos partido.0 -9#nde le parece, pues, que aterri)# el dirigible/ 0 "n el mismo aer#dromo de 7eningrado, dedonde hab%a despegado. -'o es as%/0 5laro que no.0 "ntonces no comprendo nada!0 Aqu% hay gato encerrado 0 intervino en la conversaci#n el vecino 0. -Acaso el dirigible no aterri)#en 7eningrado ... / -+uede repetir el problema/"l aviador accedi# de buena gana. 7e escucharon con atenci#n, mirndose perplejos.0 &ueno 0 declar# el presidente 0. 1asta la hora de la cena disponemos de tiempo para pensar eneste problema. Ahora vamos a continuar.). - La sombra0 +erm%tanme tomar como tema de mi rompecabe)as el mismo dirigible 0 dijo el participante deturno 0. -:u es ms largo, el dirigible o la sombra completa que proyecta sobre la .ierra/0 -"s se todo el rompecabe)as/ 0 %.0 7a sombra, claro est, es ms larga que el dirigible6 los rayos del ol se difunden en forma deabanico 0 propuso inmediatamente alguien como soluci#n.0 ,o dir%a que, por el contrario, los rayos del ol van paralelos 0 protest# alguien 0. 7a sombra y eldirigible tienen la misma longitud.0 :u va! -Acaso no ha visto usted los rayos divergentes del ol oculto por una nube/ 9e ello puede uno convencerse observando cunto divergen los rayos solares. 7a sombra del dirigible debeser considerablemente mayor que el dirigible, en la misma forma que la sombra de la nube esmayor que la nube misma.0 -+or qu se acepta corrientemente que los rayos del ol son paralelos/ .odos lo consideran as%..."l presidente no permiti# que la discusi#n se prolongara y concedi# la palabra al siguiente.Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. Perelman*.- +n problema con cerillas"l jugador de turno vaci# sobre la mesa su caja de cerillas, distribuyndolas en tres montones.0 -e dispone usted a hacer hogueras/ 0 bromearon los presentes.0 "l rompecabe)as ser a base de cerillas 0 e$plic# 0. .enemos tres montoncitos diferentes. "n elloshay en total CI cerillas. 'o le digo cuntas hay en cada uno, pero observen lo siguiente( si de primer mont#n paso al segundo tantas cerillas como hay en ste luego del segundo paso al tercerotantas cerillas como hay en es tercero, y, por *ltimo, del tercero paso al primero tantas cerillascomo e$isten ahora en ese primero, resulta que habr el mismo n*mero de cerillas en cada mont#n.-5untas cerillas hab%a en cada mont#n al principio/,.- (l tocn traicionero0 "ste rompecabe)as 0 empe)# a decir el pen*ltimo contertulio 0 me recuerda un problema que meplante# en cierta ocasi#n un matemtico rural. "ra un cuento bastante divertido. Dn campesino seencontr# en el bosque a un anciano desconocido. +usironse a charlar. "l viejo mir# al campesinocon atenci#n y le dijo(0 "n este bosque s yo de un toc#n maravilloso. "n caso de necesidad ayuda mucho.0 5#mo que ayuda! -Acaso cura algo/0 5urar no cura, pero duplica el dinero. +ones debajo d e l el portamonedas con dinero, cuentas hasta cien, y listo( el dinero que hab%a en el portamonedas se ha duplicado. "sta es la propiedad quetiene. Magn%fico toc#n!0 i pudiera probar... 0 e$clam# so2ador el campesino. 0 "s posible. 5#mo no! +ero hay que pagar.0 -+agar/ -A quin/ -Mucho/0 1ay que pagar al que indique el camino. "s decir, a m% en este caso. i va a ser mucho o poco esotra cuesti#n."mpe)aron a regatear. Al saber que el campesino llevaba poco dinero, el viejo se conform# conrecibir una peseta y veinte cntimos despus de cada operaci#n."l viejo condujo al campesino a lo ms profundo del bosque, lo llev# de un lado para otro y por finencontr# entre unas male)as un viejo toc#n de abeto cubierto de musgo. .omando de manos delcampesino el portamonedas, lo escondi# entre las ra%ces del toc#n.5ontaron hasta cien. "l viejo empe)# a escudri2ar y hurgar al pie del tronco, y al fin sac# elportamonedas, entregndoselo al campesino.ste mir# el interior del portamonedas y... en efecto, el dinero se hab%a duplicado. 5ont# y dio alanciano la peseta y los veinte cntimos prometidos y le rog# que metiera por segunda ve) elportamonedas bajo el toc#n.5ontaron de nuevo hasta cien6 el viejo se puso otra ve) a hurgar en la male)a junto al toc#n, yreali)#se el milagro( el dinero del portamonedas se hab%a duplicado. "l viejo recibi# la peseta y losveinte cntimos convenidos."scondieron por tercera ve) el portamonedas bajo el toc#n. "l dinero se duplic# esta ve) tambin.+ero cuando el campesino hubo pagado al viejo la remuneraci#n prometida, no qued# en el portamonedas ni un solo cntimo. "l pobre hab%a perdido en la combinaci#n todo su dinero. 'o hab%a ya nada que duplicar y el campesino, abatido, se retir# del bosque."l secreto de la duplicaci#n maravillosa del dinero, naturalmente, est claro para ustedes( no enbalde el viejo, rebuscando el portamonedas, hurgaba en la male)a junto al toc#n. +ero, -puedenustedes indicar cunto dinero ten%a el campesino antes de los desdichados e$perimentos con el traicionero toc#n/-.- +n truco aritm#ticoPreparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. Perelman0 Me toca hablar el *ltimo. A fin de que haya mayor variedad, presentar un truco aritmtico, conel ruego de que descubran el secreto que encierra. :ue cualquiera de los presentes, usted mismo, presidente, escriba en un papel un n*mero de tres cifras, sin que yo lo vea.0 -"l n*mero puede tener ceros/0 'o pongo limitaci#n alguna. 5ualquier n*mero de tres cifras, el que deseen.0 ,a lo he escrito. -:u ms/0 A continuaci#n de ese mismo n*mero, escr%balo otra ve), y obtendr una cantidad de seis cifras.0 ,a est.0 9le el papel al compa2ero ms alejado de m%, y que este *ltimo divida por J la cantidadobtenida.0 :u fcil es decir div%dalo por siete! A lo mejor no se divide e$actamente.0 'o se apure6 se divide sin dejar resto.0 'o sabe usted qu n*mero es, y asegura que se divide e$actamente.0 1aga primero la divisi#n y luego hablaremos.0 1a tenido usted la suerte de que se dividiera.0 "ntregue el cociente a su vecino, sin que yo me entere de cul es, y que l lo divida por AA.0 -+iensa usted que va a tener otra ve) suerte, y que va a dividirse/0 1aga la divisi#n. 'o quedar resto.0 "n efecto! -, ahora, qu ms/0 +ase el resultado a otro. Eamos a dividirlo por... A?.0 'o ha elegido bien. on pocos los n*meros que se dividen e$actamente por trece... .0 (l marco7a figura reproduce un marco cuadrado, formado por las fichas del domin# de acuerdo con lasreglas del juego.7os lados del marco tienen la misma longitud, pero no igual n*mero de tantos6 loslados superior e i)quierdo contienen CC tantos cada uno6 de los otros dos lados, uno tiene @F y elotro ?=.Fi. 2.1Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. Perelman-+uede construirse un marco cuadrado cuyos lados contengan el mismo n*mero de tantos, es decir,CC cada uno/1*.- Los siete cuadrados5uatro fichas de domin#, elegidas convenientemente, pueden colocarse formando un cuadrado conidntico n*mero de tantos en cada lado."n la figura pueden ustedes ver un modelo donde la sumade los tantos de cada lado del cuadrado equivale siempre a AA.Fi 2.2-+odr%an ustedes formar con todas las fichas del domin# siete cuadrados de este tipo/'o es necesario que la suma de tantos de cada lado de todos los cuadrados sea la misma.7o que se e$igees que los cuatro lados de cada cuadrado tengan idntico n*mero de tantos.1,.- Los cuadrados m$gicos del domin7a figura muestra un cuadrado formado por AI fichas de domin#, y que ofrece el inters de que la suma de los tantos de cualquiera de sus filas 0 longitudinales, transversales y diagonales 0 es en todos los casos igual a A?.9esde antiguo, estos cuadrados se llaman micos.Fi. 2.!.rate de construir algunos cuadrados mgicos compuestos de AI fichas, pero en los que la suma de tantos sea otra diferente..rece es la suma menor en las filas de un cuadrado mgico formado de AIfichas.7a suma mayor es =?.1-.- Progresin con las /ic0as del domin"n la figura se ven seis fichas de domin# casadas seg*n las reglas del juego, con la particularidadde que la suma total de tantos de cada ficha Ken ambas mitades de cada unaN aumentaPreparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. PerelmanFi. 2."sucesivamente en una unidad( empe)ando con la suma C, la serie consta de los siguientes n*meros de puntos(C, @, >, J, I, F.7a serie de n*meros en que cada trmino consecutivo aumenta Ko disminuyeN en la misma cantidadrespecto del anterior se llama progresi#n aritmtica."n la serie que acabamos de e$poner, cada trmino es mayor que el precedente en una unidad, pero la diferencia entre los trminos de una progresi#n puede tener otro valor.e trata de formar progresiones a base de > fichas.2..- !Pasar ba3o los aros o golpear la bola del contrario%7os aros del croquet tienen forma rectangular.u anchura es dos veces mayor que el dimetro delas bolas."n estas condiciones, -qu es ms fcil/ -+asar el aro sin ro)ar el alambre, desde la posici#n mejor, o a la misma distancia golpear la bola del contrario/21.- La bola y el poste"l poste de croquet, en su parte inferior, tiene un grosor de > cent%metros."l dimetro de la bola esde AG cm. -5untas veces es ms fcil dar en la bola que, desde la misma distancia, pegar en elposte/22.- !Pasar el aro o c0ocar con el poste%7a bola es dos veces ms estrecha que los aros rectangulares y dos veces ms ancha que el poste.-:u es ms fcil, pasar los aros sin tocarlos desde la posici#n mejor, o desde la misma distancia,pegar en el poste/2.- !Pasar la ratonera o dar en la bola del contrario%7a anchura de los aros rectangulares es tres veces mayor que el dimetro de la bola. -:u es msfcil, pasar, desde la mejor posici#n, la ratonera sin tocarla, o desde la misma distancia, tocar labola del contrario/2&.- La ratonera impracticable-:u relaci#n debe e$istir entre la anchura de los aros rectangulares y el dimetro de la bola, paraque sea imposible atravesar la ratonera/Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. PerelmanCaptulo 5nce rompecabezas m$s2'.- (l bramante0-Ms cordel/ 0 pregunt# la madre, sacando las manos de la tina en que lavaba.Ayer mismo te diun buen ovillo. -+ara qu necesitas tanto/ -9#nde lo has metido/0-9#nde lo he metido/ 0 contest# el muchacho 0. +rimero me cogiste la mitad...0-5on qu quieres que ate los paquetes de ropa blanca/07a mitad de lo que qued# se la llev# .om para pescar.09ebes ser condescendiente con tu hermano mayor.07o fui. :ued# muy poquito y de ello cogi# pap la mitad para arreglarse los tirantes que se te hab%an roto de tanto re%rse con el accidente de autom#vil.7uego, Mar%a necesit# dos quintos delresto, para atar no s qu...0-:u has hecho con el resto del cordel/0-5on el resto/ 'o quedaron ms que ?G cm!0-:u longitud ten%a el cordel al principio/2).- Calcetines y guantes"n una misma caja hay die) pares de calcetines color caf y die) pares negros, y en otra caja haydie) pares de guantes caf y otros tantos pares negros. -5untos calcetines y guantes es necesariosacar de cada caja, para conseguir un par de calcetines y un par de guantes de un mismo colorKcualquieraN/2*.- La longevidad del cabello-5untos cabellos hay por trmino medio en la cabe)a de una persona/e han contado unosA@G.GGG. e ha determinado tambin que mensualmente a una persona se te caen cerca de ?.GGGpelos.-5#mo calcular cunto tiempo dura en la cabe)a cada pelo/2,.- (l salario7a *ltima semana he ganado =@G duros, incluyendo el pago por horas e$traordinarias. "l sueldoasciende a =GG duros ms que lo recibido por horas e$traordinarias. -5ul es mi salario sin las horas e$traordinarias/2-.- Carrera de es4uesDn esquiador calcul# que si hac%a AG Hm por hora, llegar%a al sitio designado una hora despus delmediod%a6 si la velocidad era de A@ Hm por hora, llegar%a una hora antes del mediod%a.-A qu velocidad debe correr para llegar al sitio e$actamente al mediod%a/..- Dos obreros9os obreros, uno viejo y otro joven, viven en un mismo apartamento y trabajan en la misma fbrica."l joven va desde casa a la fbrica en =G minutos6 el viejo, en ?G minutos. -,"n cuntos minutos alcan)ar el joven al viejo, andando ambos a su paso normal, si ste sale de casa @ minutosantes que el joven/Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. Perelman1.- Copia de un in/orme"ncarg#se a dos mecan#grafas que copiaran un informe.7a que escrib%a ms rpidamente hubierapodido cumplir el encargo en = horas6 la otra, en ? horas.-"n cunto tiempo copiarn ambas ese informe, si se distribuyen el trabajo para hacerlo en el pla)oms breve posible/+roblemas de este tipo se resuelven generalmente por el mtodo de los conocidos problemas de dep#sitos. G sea( en nuestro problema, se averigua qu parte del trabajo reali)a en una hora cadamecan#grafa6 se suman ambos quebrados y se divide la unidad por esta suma. -'o podr%a usteddiscurrir un mtodo diferente, nuevo, para resolver problemas semejantes/2.- Dos ruedas dentadasDn pi2#n de I dientes est engranado con una rueda dentada de =C dientes Kvase la figuraN.Al darvueltas la rueda grande, el pi2#n se mueve por la periferia.Fi. !.1-5untas veces girar el pi2#n alrededor de su eje, mientras da una vuelta completa alrededor de larueda dentada grande/.- !Cu$ntos a6os tiene%A un aficionado a los rompecabe)as le preguntaron cuntos a2os ten%a.7a contestaci#n fuecompleja(0.omad tres veces los a2os que tendr dentro de tres a2os, restadles tres veces los a2os que ten%ahace tres a2os y resultar e$actamente los a2os que tengo ahora. -5untos a2os tiene/&.- !Cu$ntos a6os tiene 7oberto%0Eamos a calcularlo.1ace AI a2os, recuerdo que 3oberto era e$actamente tres veces ms viejoque su hijo.0"spere6 precisamente ahora, seg*n mis noticias, es dos veces ms viejo que su hijo.0, por ello no es dif%cil establecer cuntos a2os tienen 3oberto y su hijo.-5untos/'.- De comprasAl salir de compras de una tienda de +ar%s, llevaba en el portamonedas unos A@ francos en pie)as deun franco y pie)as de =G cntimos.Al regresar, tra%a tantos francos como monedas de =G cntimos ten%a al comien)o, y tantas monedas de =G, cntimos como pie)as de franco ten%a antes."n el portamonedas me quedaba un tercio del dinero que llevaba al salir de compras.-5unto costaron las compras/Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. PerelmanCaptulo &!8abe +sted Contar%).- !8abe usted contar%7a pregunta es un tanto ofensiva para una persona mayor de tres a2os. -:uin no sabe contar/ 'ose necesita un arte especial para decir por orden Puno, dos, tres ... Q. A pesar de todo, estoy segurode que no siempre resuelve usted este problema, tan sencillo al parecer. .odo depende de lo que haya que contar... 'o es dif%cil contar los clavos que hay en un caj#n. +ero supongamos que el caj#n no contiene s#lo clavos, sino clavos y tuercas revueltos, y que se precisa averiguar cuntos hay de unos y de otras. -:u hacer en ese caso/ -Ea usted a colocar los clavos y las tuercas en dosmontones y luego contarlos/"l mismo problema surge cuando un ama de casa ha de contar la ropa antes de darla a lavar. +rimero hace montones, separando las camisas en uno, las toallas en otro, las fundas de almohadaen otro, etc. #lo despus de esta labor, bastante fastidiosa, empie)a a contar las pie)as de cada mont#n."so se llama no saber contar! +orque ese modo de contar objetos heterogneos es bastanteinc#modo, complicado y algunas veces incluso irreali)able. Menos mal si lo que hay que contar sonclavos o ropa blanca, porque pueden distribuirse con facilidad en montones.+ero, pongmonos en el caso de un silvicultor que necesita contar los pinos, abetos, abedules, pobos que hay por hectrea en una parcela determinada. 7e es imposible clasificar los rboles yagruparlos previamente por especies. -"n qu forma podr hacerlo/ -5ontar primero s#lo los pinos, luego s#lo abetos, despus los abedules, y a continuaci#n los pobos/ -Ea a recorrer la parcela cuatro veces/-'o e$iste acaso un procedimiento que simplifique esa operaci#n, y e$ija que se recorra la parcelauna sola ve)/ %6 e$iste ese procedimiento, y los silvicultores lo utili)an desde antiguo. Eoy ae$poner en qu consiste, tomando como ejemplo la operaci#n de contar clavos y tuercas.+ara contar de una ve) cuntos clavos y tuercas hay en el caj#n, sin agrupar previamente los objetosde cada clase, tome un lpi) y una hoja de papel, rayada como el modelo(Fi. ".19espus empiece a contar. .ome del caj#n lo primero que le venga a la mano. i es un clavo, traceuna raya en la casilla correspondiente a los clavos6 si es una tuerca, ind%quelo con una raya en la casilla de las tuercas. .ome el segundo objeto y haga lo mismo. .ome el tercero, etc., hasta que vac%e el caj#n. Al terminar de contar, habr tra)ado en la primera casilla tantas rayas como clavos hab%a en el caj#n, y en la segunda, tantas como tuercas hab%a. #lo falta hacer el recuento de las rayas inscritas en cada columna.Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. Perelman"l recuento de las rayas puede reali)arse ms fcil y rpidamente no ponindolas simplemente una tras otra, sino agrupndolas de cinco en cinco, formando, por ejemplo, series como las indicadas enla figura.Fi. ".2"sos cuadrados es mejor agruparlos en parejas, es decir, despus de las AG primeras rayas, se ponela undcima en una columna nueva6 cuando en la segunda columna haya dos cuadrados, se empie)a otro cuadrado en la columna tercera, etc. 7as rayas tomarn entonces una forma parecida alaindicada en la figura.Rig. C.?7as rayas, as% colocadas, es muy fcil contarlas, ya que se ve inmediatamente que hay tres decenascompletas, un grupo de cinco y tres rayas ms, es decir,?G L @ L ? M ?I+ueden utili)arse tambin otras clases de figuras6 por ejemplo, se emplean a menudo figuras en lasque cada cuadrado completo vale AG Kvase la figuraN.Fi. ".""n una parcela del bosque, para contar rboles de diferentes especies, debe procederse e$actamenteen la misma forma6 pero en la hoja de papel se precisan cuatro casillas y no dos, como acabamos dever. "n este caso es mejor que las casillas tengan forma apaisada y no vertical. Antes de empe)ar a contar, la hoja presenta, por consiguiente, la forma indicada en la figura.Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. PerelmanFi. ".5Al terminar de contar, habr en la hoja apro$imadamente lo que muestra la figura.Fi. ".#9e este modo resulta facil%simo hacer el balance definitivo(+inos @?Abetos JFAbedules C>+obos ?J"ste mismo procedimiento utili)a el mdico para contar en el microscopio el n*mero de gl#bulosrojos y leucocitos que tiene una muestra de sangre.Al hacer la lista de la ropa blanca para lavar, el ama de casa puede proceder de igual modo,ahorrando as% tiempo y trabajo.i tiene que contar, por ejemplo, qu plantas hay en un prado, y cuntas de cada clase, ya sabec#mo podr hacerlo con la mayor rapide). "n una hoja de papel, escriba previamente los nombres de las plantas indicadas, destinando una casilla a cada una, y dejando algunas casillas libres de reserva para otras plantas que puedan presentarse. "mpiece a contar utili)ando un grfico parecidoal que se ve en la figura.9espus, siga contando como hemos hecho en el caso de la parcela forestal.*.- !Para 4u# deben contarse los $rboles del bos4ue%"n efecto, -qu necesidad hay de contar los rboles del bosque/ "sto, a los habitantes de las ciudades les parece incluso empresa imposible. "n Ana Sarenina, novela de 7e#n .olstoi, 7evin, entendido en agricultura, pregunta a un pariente suyo, desconocedor de estas cuestiones, que quierevender un bosque(Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. Perelman0-1as contado los rboles/0-:u quiere decir eso de contar los rboles/ 0le responde aqul, asombrado0. Aunque una mentel*cida podr%a contar las arenas y los rayos de los planetas...05laro, claro, y la mente l*cida de 3iabinin TcomercianteU puede hacerlo. 'o hay comerciante que los compre sin contarlos.e cuentan los rboles en el bosque para determinar cuntos metros c*bicos de madera hay en l. +ara ello no se cuentan los rboles del bosque entero, sino de una parcela determinada( de media hectrea o de un cuarto de hectrea. e elige una parcela cuyos rboles, por la cantidad, altura, grosor y especie, constituyan el trmino medio de los de dicho bosque. Al contar, no basta determinar el n*mero de rboles de cada clase, hay que saber adems cuntos troncos hay de cada grosor( cuntos de =@ cm, cuntos de ?G cm, cuntos de ?@ cm, etc. +or ello, el registro donde va ainscribirse tendr muchas casillas y no s#lo cuatro, como el del ejemplo simplificado anterior. e comprende ahora el n*mero de veces que hubiera sido necesario recorrer el bosque para contar losrboles mediante un procedimiento corriente, en ve) del que acabamos de e$plicar.5omo se ve, contar es una cosa sencilla y fcil cuando se trata de objetos homogneos. +ara contarobjetos heterogneos es preciso utili)ar procedimientos especiales, como los e$puestos, de cuyae$istencia mucha gente no tiene la menor idea.Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. PerelmanCaptulo '7ompecabezas num#ricos,.- Por cinco /rancos9 cienDn artista de variedades, en un circo parisiense, hac%a al p*blico esta seductora proposici#n(09eclaro ante testigos que pagar AGG francos al que me d cinco francos en veinte monedas6deber haber, entre estas =G, tres clases de monedas( de @G cntimos, de =G cntimos y de @cntimos. 5ien francos por cinco! -:uin los desea/3ein# el silencio."l p*blico qued# sumido en refle$iones.7os lpices corr%an por las hojas de laslibretas de notas6 pero nadie aceptaba la propuesta.0"stoy viendo que el p*blico considera que @ francos es un precio demasiado elevado para unbillete de AGG francos.&ien6 estoy dispuesto a rebajar dos francos y a establecer un precio menor(? francos, en monedas, del valor indicado. +ago AGG francos, ,por ?! :ue se pongan en cola losque lo deseen!+ero no se form# cola."staba claro que el p*blico vacilaba en aprovecharse de aquel casoe$traordinario.0-"s que ? francos les parece tambin mucho/&ien, rebajo un franco ms.Abonen, en las indicadas monedas, s#lo = francos, y entregar cien francos al que lo haga.5omo nadie se mostrara dispuesto a reali)ar el cambio, el artista continu#(0:ui) no tengan ustedes dinero suelto!'o se preocupen, pueden entregrmelo ms tarde.9enme s#lo escrito en un papel cuntas monedas de cada clase se comprometen a traer!+or mi parte, estoy dispuesto a pagar tambin cien francos a todo lector que me env%e por escrito lalista correspondiente.-.- +n millar-+uede usted e$presar el n*mero A.GGG utili)ando ocho cifras iguales/ KAdems de las cifras sepermite utili)ar tambin los signos de las operaciones.N&..- :einticuatro"s fcil e$presar el n*mero =C por medio de tres ochos( I L I L I. -+odr hacerse esto mismoutili)ando no el ocho, sino otras tres cifras iguales/"l problema tiene ms de una soluci#n.&1.- ;reinta"l n*mero ?G es fcil e$presarle con tres cincos( @ $ @ L @. "s ms dif%cil hacer esto mismo conotras tres cifras iguales.+rubelo. -'o lograr%an encontrar varias soluciones/&2.- Las ci/ras 4ue /altan"n la siguiente multiplicaci#n, ms de la mitad de las cifras estn sustituidas por asterisco.-+odr%a reponer las cifras que faltan/Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. PerelmanFi. 5.1&.- !"u# n2meros son%1e aqu% otro problema del mismo tipo.e pide la reposici#n de los n*meros en la multiplicaci#nsiguiente(Fi. 5.2&&.- !"u# n2mero 0emos dividido%3epongan las cifras que faltan en la divisi#n(Fi. 5.!&'.- Divisin por 11"scriba un n*mero de F cifras, sin que se repita ninguna de ellas Kes decir, que todas las cifras seandiferentesN, y que sea divisible por AA."scriba el mayor de todos los n*meros que satisfaga estas condiciones."scriba el menor de todos ellos.&).- Casos singulares de multiplicacinR%jese en est multiplicaci#n de dos n*meros(Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. PerelmanCI $ A@F M J.>?="n ella participan las F cifras significativas.-+odr%a usted encontrar algunos otros ejemplos semejantes/"n caso afirmativo, -cuntos hay/&*.- ;ri$ngulo num#rico"n los circulitos de este tringulo Kvase la figuraN coloque las nueve cifras significativas en forma tal que la suma de cada lado sea =G.Rig. @.C&,.- 5tro tri$ngulo num#rico1ay que distribuir las cifras significativas en los c%rculos de mismo tringulo Kvase la figuraN demodo que la suma en cada lado sea AJ.&-.- (strella m$gica7a estrella numrica de seis puntas dibujada en la figura tiene una propiedad mgica( las seis filasde n*meros dan una misma suma(CL>L JLFM=> AAL >L ILAM=>CLILA=L=M=> AAL JL @L?M=>FL@LAGL=M=> A L A= L AG L ? M =>7a suma de los n*meros colocados en las puntas de la estrella,es diferente(C L AA L F L ? L = L A M ?GPreparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. PerelmanFi. 5.5-'o podr%a usted perfeccionar esta estrella, colocando los n*meros en los c%rculos de modo que nos#lo las filas tuvieran la misma cantidad K=>N, sino que esa misma cantidad K=>N fuera la suma de los n*meros de las puntas/Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. PerelmanCaptulo )7elatos de n2meros gigantes'..- +n trato venta3oso'o se sabe cundo ni d#nde ha sucedido esta historia. "s posible que ni siquiera haya sucedido6 esto es seguramente lo ms probable. +ero sea un hecho o una invenci#n, la historia que vamos a relatar es bastante interesante y vale la pena escuchar%a. Dn millonario regresaba muy contento deun viaje, durante el cual hab%a tenido un encuentro feli) que le promet%a grandes ganancias...A veces ocurren estas felices casualidades 0contaba a los suyos0. 'o en balde se dice que el dinerollama al dinero. 1e aqu% que mi dinero atrae ms dinero. , de qu modo tan inesperado! .ropec en el camino con un desconocido, de aspecto muy corriente. 'o hubiera entablado conversaci#n sil mismo no me hubiera abordado en cuanto supo que yo era hombre adinerado. , al final de nuestra conversaci#n me propuso un negocio tan ventajoso, que me dej# at#nito.Fi. #.1. $n solo c%ntimo01agamos el siguiente trato 0me dijo0. 5ada d%a, durante todo un mes, le entregar cien mil pesetas.5laro que no voy a hacerlo gratis, pero el pago es una nimiedad."l primer d%a yo deb%a pagarle, risa da decirlo, s#lo un cntimo.'o di crdito a lo que o%a(0-Dn cntimo/ 0le pregunt de nuevo.0Dn cntimo 0contest#0. +or las segundas cien mil pesetas, pagar usted dos cntimos.0&ien 0dije impaciente0. -, despus/09espus, por las terceras cien mil pesetas, C cntimos6 por las cuartas, I6 por las quintas, A>. As%durante todo el mes6 cada d%a pagar usted el doble que el anterior.0-, qu ms/ 0le pregunt.0"so es todo 0dijo0, no le pedir nada ms. +ero debe usted mantener el trato en todos sus puntos6todas las ma2anas le llevar cien mil pesetas y usted me pagar lo estipulado. 'o intente romper eltrato antes de finali)ar el mes.0"ntregar cientos de miles de pesetas por cntimos! A no ser que el dinero sea falso 0pens0 estehombre est loco! 9e todos modos, es un negocio lucrativo y no hay que dejarlo escapar.0"st bien 0le contest0. .raiga el dinero. +or mi parte, pagar, puntualmente. , usted no me vengacon enga2os. .raiga dinero bueno.Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001MatemticaRecreativa Yakov I. Perelman0+uede estar tranquilo 0me dijo06 espreme ma2ana por la ma2ana.#lo una cosa me preocupaba( que no viniera, que pudiera darse cuenta de lo ruinoso que era elnegocio que hab%a emprendido. &ueno, esperar un d%a, al fin y al cabo, no era mucho! .ranscurri# aquel d%a. +or la ma2ana temprano del d%a siguiente, el desconocido que el rico hab%aencontrado en el viaje llam# a la ventana.0-1a preparado usted el dinero/ 0dijo0. ,o he tra%do el m%o."fectivamente, una ve) en la habitaci#n, el e$tra2o personaje empe)# a sacar el dinero6 dinerobueno, nada ten%a de falso. 5ont# cien mil pesetas justas y dijo( 0Aqu% est lo m%o, como hab%amos convenido. Ahora le toca a usted pagar..."l rico puso sobre la mesa un cntimo de cobre y esper# receloso a ver si el husped tomar%a lamoneda o se arrepentir%a, e$igiendo que le devolviera el dinero. "l visitante mir# el cntimo, losopes# y se lo meti# en el bolsillo.0"spreme ma2ana a la misma hora. 'o se olvide de proveerse de dos cntimos 0dijo, y se fue."l rico no daba crdito a su suerte( 5ien mil pesetas que le hab%an ca%do del cielo! 5ont# de nuevoel dinero y convenci#se de que no era falso. 7o escondi# y p*sose a esperar la paga del d%asiguiente.+or la noche le entraron dudas6 -no se tratar%a de un ladr#n que se fing%a tonto para observar d#ndeescond%a el dinero y luego asaltar la casa acompa2ado de una cuadrilla de bandidos/Fi. #.2. &l desconocido llama"l rico cerr# bien las puertas, estuvo mirando y escuchando atentamente por la ventana desde queanocheci#, y tard# mucho en quedarse dormido. +or la ma2ana sonaron de nuevo golpes en la puerta6 era el desconocido que tra%a el dinero. 5ont# cien mil pesetas, recibi# sus dos cntimos, semeti# la moneda en el bolsillo y march#se diciendo(0+ara ma2ana prepare cuatro cntimos6 no se olvide"l rico se puso de nuevo contento6 las segundas cien mil pesetas, le hab%an salido tambin gratis. ,el husped no parec%a ser un ladr#n( no miraba furtivamente, no observaba, no hac%a ms que pedirsus cntimos. Dn e$travagante! ediciones sin utilizar instrumentos)..- >edicin de distancias con pasos'o siempre se dispone de regla para medir o de cinta mtrica, por lo tanto, es muy *til saber c#mo,sin necesidad de ellas, pueden efectuarse mediciones apro$imadas.+or ejemplo, durante una e$cursi#n, puede medirse fcilmente con pasos una distancia ms omenos larga.+ara ello es preciso conocer la longitud de un paso, as% como saber contar los pasos con e$actitud. 'aturalmente, no todos los pasos son siempre iguales( podernos andar a paso corto, y tambin caminar a paso largo. in embargo, cuando se efect*a una marcha ordinaria, los pasos son apro$imadamente de la misma longitud. 5onocida la longitud media de cada paso, puede, sin gran error, medirse la distancia recorrida.+ara determinar la longitud media del paso propio, es necesario medir la longitud total de muchos pasos y calcular la magnitud de uno.+ara hacer esta operaci#n, hace falta utili)ar una cinta mtrica o un cord#n."$tienda la cinta en un terreno llano y mida la distancia correspondiente a =G metros. Marque esal%nea en el suelo y retire la cinta.Ande con paso ordinario, siguiendo la l%nea, y cuente el n*mero de pasos que ha dado. "s posible que no resulte un n*mero e$acto de pasos en la distancia que se mida. "ntonces, si el resto es menor que la mitad de un paso, puede simplemente despreciarse6 si es mayor que medio paso, puede contarse ese resto como un paso entero. 9ivid%endo la distancia total de =G metros por el n*mero de pasos, obtendremos la longitud media de uno. "ste n*mero no hay que olvidarlo, para,en caso necesario, hacer uso de l cuando se deseen reali)ar mediciones de distancia.A fin de no equivocarse al contar los pasos, especialmente cuando se trate de grandes distancias, seaconseja hacerlo en la forma siguiente( se cuentan de die) en die) y cada ve) que se alcan)a este n*mero se dobla uno de los dedos de la mano i)quierda. 5uando se hayan doblado todos los dedos de la mano i)quierda, lo que supone @G pasos, se dobla un dedo de la mano derecha. 9e este modopueden contarse hasta =@G pasos, despus de lo cual se comien)a de nuevo. 'o debe olvidarse el n*mero de veces que se hayan doblado los dedos de la mano derecha. +or ejemplo, si despus de recorrer cierta distancia, se han doblado dos veces todos los dedos de la mano. derecha y al terminar de andar estn doblados tres dedos de la mano derecha y cuatro de la i)quierda, se habrn dado los pasos siguientes(= $ =@G L ? $ @G L C $ AG M >FGA este n*mero hay que a2adir los pasos dados despus de doblar por *ltima ve) un dedo de la manoi)quierda Ken nuestro ejemplo, el cuartoN.Al mismo tiempo recordemos esta antigua regla( la longitud del paso de una persona adulta es iguala la mitad de la distancia de los ojos a la planta del pie. veces la distancia comprendida entre los e$tremos de los dedos pulgar e %ndice, estando la mano con la palma plana e$tendida lo ms posible."sta *ltima indicaci#n nos ense2a a medir sin necesidad de aparatos6 para ello es preciso medirpreviamente ciertas longitudes en la mano y mantener en la memoria los resultados de la medici#n.-:u distancias son las que deben medirse en la mano/+rimero, la anchura de la palma de lamano, tal como se indica en la figura.Fi. 5.1"n una persona adulta, esta distancia es apro$imadamente de AG cm6 es posible que en su mano, dicha distancia sea algo menor6 entonces deber usted saber e$actamente en cunto es menor.1ade medirse tambin la distancia entre los e$tremos de los dedos cora)#n e %ndice, separndolos lo ms posible.Adems, es conveniente conocer la longitud de su dedo %ndice, medida a partir de labase del dedo pulgar, en la forma que muestra la figura., por *ltimo, mida la distancia entre lose$tremos de los dedos pulgar y me2ique, cuando ambos estn totalmente e$tendidos.Dtili)ando esta escala animada, puede efectuarse la medici#n apro$imada de objetos peque2os.Captulo ,7ompecabezas de geometra+ara resolver los rompecabe)as incluidos en este cap%tulo no se requiere haber estudiado un curso completo de geometr%a6 basta sencillamente conocer las nociones ms elementales de esta rama dela ciencia. 7as dos docenas de problemas descritos en este cap%tulo ayudarn al lector a darse cuenta de en qu grado domina los conocimientos de geometr%a que consideraba asimilados. 5onocer bien la geometr%a quiere decir no s#lo saber enumerar las propiedades de las figuras, sino tambin poder utili)ar hbilmente estas propiedades para resolver problemas reales.)2.- La carreta-+or qu el eje delantero de una carreta se desgasta ms y se calienta con mayor frecuencia que eltrasero/).- La lente biconveCa5on una lupa, que aumenta cuatro veces, se observa un ngulo de grado y medio. -5on qumagnitud se ve/)&.- (l nivel de la burbu3a5onocen ustedes, naturalmente, este tipo de nivel, con su burbuja de aire indicadora que sedespla)a a la i)quierda o a la derecha de la marca %ndice cuando se inclina la base del nivel respectodel hori)onte. 5uanto mayor sea la inclinaci#n, tanto ms se alejar la burbuja de la marca central. 7a burbuja se mueve porque es ms ligera que el l%quido que la contiene, y por ello asciende, tratando de ocupar el punto ms elevado. +ero si el tubo fuera recto, la burbuja, al sufrir l nivel la menor inclinaci#n, se despla)ar%a a la parte e$trema del tubo, o sea, a la parte ms alta. "s fcil comprender que un nivel de este tipo seria incomod%simo para trabajar. 0+or tanto, el tubo del nivelse hace en forma curva. 5uando la base del nivel est hori)ontal, la burbuja, al ocupar el punto ms alto del tubo, se encuentra en su parte central. i el nivel est inclinado, el punto ms elevado no coincidir con la parte central del tubo, sino que se hallar en otro punto pr#$imo a la marca, y la burbuja se despla)ar respecto de la marca %ndice, situndose en otro lugar del tubo, que entonces ser el ms alto.e trata de determinar cuntos mil%metros se separa la burbuja de la marca si el nivel tiene unainclinaci#n de medio grado y el radio de curvatura del tubo es de A m.)'.- A2mero de caras1e aqu% una pregunta que sin duda alguna parecer muy cndida, o por el contrario, demasiadosutil. -5untas caras tiene un lpi) de seis aristas/Antes de mirar la respuesta, refle$ione atentamente sobre el problema.)).- (l cuarto creciente de la Lunae trata de dividir la figura de un cuarto creciente de la 7una en seis partes, tra)ando solamente dosl%neas rectas.-5#mo hacerlo/Fi. 6.1)*.- Con 12 cerillas5on doce cerillas puede construirse la figura de una cru) Kvase la figuraN, cuya rea equivalga a lasuma de las superficies de cinco cuadrados hechos tambin de cerillas.5ambie usted la disposici#n de las cerillas de tal modo que el contorno de la figura obtenidaabarque s#lo una superficie equivalente a cuatro de esos cuadrados.Fi. 6.2+ara resolver este problema no deben utili)arse instrumentos de medici#n de ninguna clase.),.- Con oc0o cerillas5on ocho cerillas pueden construirse numerosas figuras de contorno cerrado. Algunas pueden verseen la figura6 su superficie es, naturalmente, distinta.Fi. 6.!e plantea c#mo construir con I cerillas la figura de superficie m$ima.)-.- !"u# camino debe seguir la mosca%"n la pared interior de un vaso cil%ndrico de cristal hay una gota de miel situada a tres cent%metrosdel borde superior del recipiente. "n la pared e$terior, en el punto diametralmente opuesto, se ha parado una mosca.8nd%quese cul es el camino ms corto que puede seguir la mosca para llegar hasta la gota de miel.Fi. 6."7a altura del vaso es de =G cm y el dimetro de AG cm.'o piensen ustedes que la mosca va a encontrar ella misma el camino ms corto y facilitar as% lasoluci#n del problema6 para ello es necesario poseer ciertos conocimientos de geometr%a, demasiado vastos para el cerebro de una mosca.*..- Dacer pasar una moneda de cinco pesetas.omen dos monedas( una de cinco pesetas y otra de die) cntimos. 9ibujen en una hoja de papel unc%rculo e$actamente igual a la circunferencia de la moneda de die) cntimos y rec#rtenlo cuidadosamente.-+odr pasar la moneda de cinco pesetas por ese orificio/'o se trata de un truco, es un verdadero problema geomtrico.*1.- Dallar la altura d# una torre"n la ciudad donde usted vive hay, sin duda, algunos monumentos notables, y entre ellos una torrecuya altura seguramente desconoce. 9ispone usted de una postal con la fotograf%a de la torre.-"n qu forma puede esta foto ayudarle a averiguar la altura de la torre/*2.- Las /iguras seme3antes"ste problema va destinado a los que sepan en qu consiste la semejan)a geomtrica. e trata deresponder a las dos preguntas siguientes(AN "n un cartab#n de dibujo Kvase la figuraN, -son semejantes los tringulos e$terior e interior/=N "n un marco, -son semejantes los rectngulos e$terior e interior/Fi. 6.5*.- La sombra del cable-A qu distancia se e$tiende en el espacio la sombra total producida por un cable telegrfico de Cmm de dimetro/*&.- (l ladrillitoDn ladrillo, de los usados en la construcci#n, pesa unos cuatro Hilogramos. -5unto pesar unladrillito de juguete hecho del mismo material y cuyas dimensiones sean todas cuatro veces menores/*'.- (l gigante y el enano-5untas veces es ms pesado un gigante de = m de altura que un enano de A m/*).- Dos sandas1ay a la venta dos sand%as de tama2o diferente. Dna de ellas es la cuarta parte ms ancha que laotra y cuesta ve) y media ms cara. -5ul de las dos es ms ventajoso comprar/**.- Dos melones"stn a la venta dos melones de la misma calidad. Dno tiene >G cent%metros de per%metro, el otro @Gcm. "l primero cuesta ve) y media ms caro que el segundo6 -:u mel#n es ms ventajosocomprar/*,.- La cereza7a parte carnosa y el hueso de una cere)a son de la misma anchura. upongamos que la cere)a y elhueso tengan forma esfrica.-+uede usted calcular cuntas veces es mayor el volumen de la parte jugosa que el del hueso/*-.- (l modelo de la torre (i//el7a torre "iffel de +ar%s tiene ?GG m de altura y est construida enteramente de hierro6 su peso totales de I.GGG.GGG de Hilogramos.9eseo encargar un modelo e$acto de dicha torre, tambin de hierro, y que pese s#lo A Hg. -:ualtura tendr/ -er mayor o menor que la de un vaso/,..- Dos cacerolas.enemos dos cacerolas de cobre de igual forma con las paredes de idntico espesor. 7a capacidadde la primera es I veces mayor que la segunda. -5untas veces es ms pesada la primera/,1.- !"ui#n tiene m$s /ro%Dn d%a de fr%o, una persona mayor y un ni2o estn al aire libre.Ambos van igualmente vestidos. -5ul de los dos tiene ms fr%o/,2.- (l az2car-:u pesa ms, un vaso lleno de a)*car en polvo o de a)*car en terrones/Captulo -La geometra de la lluvia la nieve,.- (l pluvimetro"$isten ciudades que tienen la reputaci#n de ser muy lluviosas. in embargo, los hombres de ciencia dicen muchas veces que la cantidad anual de agua procedente de lluvia es mucho mayor enotras ciudades que no tienen dicha reputaci#n. -9e d#nde sacan esto/ -+uede acaso medirse la cantidad de agua aportada por la lluvia/"l clculo parece una tarea dif%cil6 no obstante, ustedes mismos pueden aprender a hacerlo y adeterminar la cantidad de agua de lluvia. 'o piensen que para ello hace falta recoger toda el agua de lluvia que cae sobre la tierra. &asta, simplemente, con medir el espesor de la capa de agua formada sobre el suelo, siempre que el agua ca%da no se pierda y no sea absorbida por el terreno. "sto es bien fcil de hacer. 5uando llueve, el agua cae sobre el terreno de manera uniforme6 no seda el caso de que en un bancal caiga ms agua que en el vecino. &asta medir el espesor de la capade agua de lluvia en un sitio cualquiera y esto nos indicar el espesor en toda la superficie del terreno regado por la lluvia.eguramente adivinan ustedes qu, es lo que hay que hacer para medir el espesor de la capa de agua ca%da en forma de lluvia. "s necesario construir una superficie donde el agua no se escurra ni pueda ser absorbida por la tierra. +ara este fin sirve cualquier vasija abierta6 por ejemplo, un balde. i disponen de un balde de paredes verticales Kpara que sea igual su anchura en la base y en la partealtaN, col#quenlo bajo la lluvia en un lugar despejado, a cierta altura, con objeto de que no caigan alinterior del balde las salpicaduras de agua que saltan al chocar la lluvia contra el suelo. 5uandocese la lluvia, midan la altura del agua recogida en el balde y tendrn ustedes todo lo necesario paraefectuar los clculos.G m=.+or tanto, el agua que ha ca%do en l ser(C $ F>G M ?.ICG Hg casi C toneladas.,'.- Determinacin de la cantidad de agua procedente de la nieve1emos aprendido a medir el agua que cae en forma de lluvia. -5#mo puede medirse el aguaprocedente del grani)o/ "$actamente por el mismo procedimiento. 3ecoja el grani)o en supluvi#metro, djelo derretir, mida el agua contenida y dispondr de los datos necesarios para elclculo."l proceso de medici#n cuando se trata del agua procedente de la nieve, es algo diferente. "n este caso, se obtendr%an con el pluvi#metro resultados muy ine$actos, pues el viento puede arrastrar parte de la nieve acumulada en el balde. "s posible reali)ar el clculo de la cantidad de nieve sin necesidad de emplear el pluvi#metro, midiendo directamente el espesor de la capa de nieve que cubre el patio, el huerto, el campo, etc., utili)ando para ello una regla graduada de madera. +ero para conocer el espesor de la capa acuosa obtenida al derretirse la nieve, es preciso hacer una nuevaoperaci#n, consistente en llenar el balde con la nieve del mismo grado de porosidad, dejarla que se derrita y anotar la altura de la capa de agua obtenida. "n esta forma, determina usted la altura, en mm, de la capa de agua resultante para cada cm de espesor de la capa de nieve. 5onociendo este dato, es fcil convertir el espesor de una capa cualquiera de nieve en la cantidad correspondiente deagua.i mide diariamente la cantidad de agua de lluvia ca%da en el per%odo templado del a2o y a2ade al resultado el agua acumulada durante el invierno en forma de nieve, sabr usted la cantidad total de agua que cae anualmente en su localidad. "ste es un dato global muy importante, que indica la cantidad de precipitaciones para el lugar dado. Ke llama precipitaciones la cantidad total de agua ca%da, bien sea en forma de lluvia, de nieve o de grani)o.N"s bien sabido que en el globo terrestre e$isten grandes diferencias de medias anuales en lasprecipitaciones seg*n las )onas geogrficas, que van desde menos de =@ a ms de =GG cm.+or ejemplo, si tomamos algunos casos e$tremos, cierto lugar de la 8ndia es totalmente inundado por el agua de lluvia6 caen anualmente A.=>G cm, o sea, A= AB= m de agua. "n cierta ocasi#n, cayeron en ese sitio, en un d%a, ms de cien cm de agua. "$isten, por el contrario, lugares donde lasprecipitaciones son escas%simas6 as%, en ciertas regiones de Amrica del ur, por ejemplo, en 5hile,se recoge durante todo el a2o, menos de A cm de precipitaciones.7as regiones donde las precipitaciones son inferiores a =@ cent%metros se llaman secas. "n ellas no pueden cultivarse cereales sin emplear mtodos artificiales de irrigaci#n."s fcil comprender que si se mide el agua que cae anualmente en diversos lugares del globoterrestre, puede deducirse, por los datos obtenidos, el espesor medio de la capa de agua precipitadadurante el a2o en la .ierra. 3esulta que en la tierra firme Ken los ocanos no se reali)an observacionesN, la media anual de precipitaciones es de JI cm. e considera que en los ocanos, lacantidad de agua ca%da en forma de lluvia viene a ser apro$imadamente la misma que en las e$tensiones equivalentes de tierra firme. +ara calcular la cantidad de agua que cae anualmente sobre nuestro planeta en forma de lluvia, grani)o y nieve, hay que conocer la superficie total delglobo terrestre. i no tiene a mano d#nde consultar este dato, puede calcularlo del modo queindicamos.Captulo 1.;reinta problemas di/erentes"spero que la lectura de este libro no haya pasado sin dejar huella en el lector6 que no s#lo le haya recreado, sino que le haya sido tambin de cierto provecho, desarrollando su comprensi#n e ingenioy ense2ndole a utili)ar sus conocimientos con mayor decisi#n y soltura."l lector, seguramente, desear comprobar su capacidad comprensiva.A este fin van destinadas las tres decenas de problemas de diverso gnero, recopiladas en este *ltimo cap%tulo de nuestro libro.,).- La cadenaA un herrero le trajeron @ tro)os de cadena, de tres eslabones cada uno, y le encargaron que losuniera formando una cadena continua.Fi. 10.1Antes de poner manos a la obra, el herrero comen)# a meditar sobre el n*mero de anillos quetendr%a necesidad de cortar y forjar de nuevo.9ecidi# que le har%a falta abrir y cerrar cuatro anillos.-'o es posible efectuar este trabajo abriendo y enla)ando un n*mero menor de anillos/,*.- Las araras y los escaraba3osDn chiquillo ca)# varias ara2as y escarabajos, en total ocho, y los guard# en una caja.i se cuenta el n*mero total de patas que corresponde a los I animales resultan @C patas.-5untas ara2as y cuntos escarabajos hay en la caja/,,.- (l impermeable el sombrero y los c0anclos5ierta persona compr# un impermeable, un sombrero y unos chanclos y pag# por todo ACG duros. "l impermeable le cost# FG duros ms que el sombrero6 el sombrero y el impermeable juntoscostaron A=G duros ms que los chanclos. -5ul es el precio de cada prenda/"l problema hay que resolverlo mentalmente, sin emplear ecuaciones.,-.- Los 0uevos de gallina y de pato7as cestas que se ven en la figura contienen huevos6 en unas cestas hay huevos de gallina, en lasotras de pato.u n*mero est indicado en cada cesta. Pi vendo esta cesta 0meditaba el vendedor,me quedarn el doble de huevos de gallina que de pato.Q -A qu cesta se refiere el vendedor/Fi. 10.2-..- (l vueloDn avi#n cubri# la distancia que separa las ciudades A y & en A hora y =G minutos.in embargo,al volar de regreso recorri# esa distancia en IG minutos.-5#mo se e$plica esto/-1.- 7egalos en met$lico9os padres regalaron dinero a sus hijos.Dno de ellos dio a su hijo ciento cincuenta duros, el otroentreg# al suyo cien.3esult#, sin embargo, que ambos hijos juntos aumentaron su capitalsolamente en ciento cincuenta duros.-9e qu modo se e$plica esto/-2.- Las dos /ic0as"n un tablero del juego de damas hay que colocar dos fichas, una blanca y otra negra. -9e cuntos modos diferentes pueden disponerse dichas fichas/-.- Con dos ci/ras-5ul es el menor n*mero entero positivo que puede usted escribir con dos cifras/-&.- La unidad-5#mo e$presar la unidad, empleando al mismo tiempo las die) primeras cifras/-'.- Con cinco nueves"$prese el n*mero die) empleando cinco nueves.8ndique, como m%nimo, dos procedimientos delos m*ltiples que hay para reali)arlo.-).- Con las diez ci/ras"$prese el n*mero cien, utili)ando las die) primeras cifras. -+or cuntos procedimientos puedeusted hacerlo/-*.- Por cuatro procedimientos"$prese el n*mero cien de cuatro modos distintos, empleando cinco cifras iguales.-,.- Con cuatro unidades-5ul es el n*mero mayor que puede usted escribir con cuatro unos/--.- Divisin enigm$tica"n el ejemplo de divisi#n que vamos a ver, todas las cifras estn reempla)adas por asteriscos, ae$cepci#n de cuatro cuatros.5oloque en lugar de los asteriscos las cifras reempla)adas.Fi. 10.!"ste problema puede resolverse en diferentes formas.1...- +n e3emplo m$s de divisin.Fi. 10."1.1.- !"u# resulta%upongamos un cuadrado de un metro de lado, dividido en cuadraditos de un mil%metro.5alculementalmente qu longitud se obtendr%a si colocsemos todos los cuadraditos en l%nea, adosadosunos a otros.1.2.- 5tro problema del mismo genero8mag%nese un cubo de un metro de arista dividido en cubitos de un mil%metro.5alc*lensementalmente los Hil#metros de altura que tendr%a una columna formada por todos los cubitosdispuestos uno encima del otro.1..- (l avinDn avi#n de doce metros de envergadura fue fotografiado desde el suelo durante su vuelo en elmomento de pasar por la vertical del aparato.7a cmara fotogrfica tiene doce cm de profundidad."n la foto, el avi#n presenta una envergadura de ocho mm. -A qu altura volaba el avi#n en el momento de ser fotografiado/1.&.- +n milln de ob3etosDn objeto pesa IF,C g. 5alcule mentalmente las toneladas que pesa un mill#n de estos objetos.1.'.- A2mero de caminos posibles"n la figura se ve un bosque dividido en sectores, separados entre s% por veredas.7a l%nea de puntos indica el camino a seguir por las veredas para ir desde el punto A al &. 'aturalmente, steno es el *nico camino entre dichos puntos, siguiendo las veredas. -5untos caminos diferentes, pero de igual longitud, e$isten entre los puntos mencionados/Fi. 10.51.).- La es/era de< relo3e trata de dividir esta esfera de reloj Kvase la figuraN en seis partes, de la forma que usted desee,pero con la condici#n de que en cada parte, la suma de los n*meros sea la misma.Fi. 10.#"ste problema tiene por objeto comprobar ms que su ingenio, su rapide) de comprensi#n.1.*.- La estrella de oc0o puntas1ay que distribuir los n*meros del A al A> en los puntos de intersecci#n de las l%neas de la figura demodo que la suma de los cuatro n*meros que se hallan en cada lado de los dos cuadrados sea ?C y que la suma de los cuatro n*meros que se encuentran en los vrtices de cada cuadrado sea tambin?C.Fi. 10.51.,.- La rueda con n2meros7as cifras del A al F hay que distribuirlas en la rueda de la figura( una cifra debe ocupar el centrodel c%rculo y las dems, los e$tremos de cada dimetro de manera que las tres cifras de cada filasumen siempre A@.Fi. 10.61.-.- La mesa de tres patas"$iste la opini#n de que una mesa de tres patas nunca se balancea, incluso aunque las patas sean de longitud diferente. -"s verdad esto/11..- Determinacin de $ngulos-:u magnitud tienen los ngulos formados por las saetas de los relojes de la figura de la pginasiguiente/9ebe resolverse mentalmente sin utili)ar el transportador.Fi. 10.6111.- Por el ecuadori pudiramos recorrer la .ierra siguiendo el ecuador, la coronilla de nuestra cabe)a describir%a unal%nea ms larga que la planta de los pies. -:u magnitud tendr%a la diferencia entre estaslongitudes/112.- (n seis /ilaseguramente conoce usted la historia c#mica sobre c#mo nueve caballos fueron distribuidos en die) establos y en cada establo result# haber un caballo."l problema que voy a proponerle se parece mucho a esta broma clebre, pero no tiene soluci#n imaginaria, sino completamente real.5onsiste en lo siguiente( 9istribuir =C personas en > filas de modo que en cada fila haya @ personas.11.- !De 4u# modo 0acer la divisin%"$iste un problema ya conocido( dividir una escuadra Ko sea, un rectngulo del que se ha separadola cuarta parteN en cuatro partes iguales.+ruebe a dividir esta misma figura en tres partes, demanera que las tres sean iguales. -"s posible resolver este problema/11&.- (l problema de EenediFtovMuchos conocedores de la literatura universal no sospechan que el poeta E. &enediHtov es autor dela primera colecci#n en ruso de rompecabe)as matemticos."ste compendio no fue publicado6 qued# en forma de manuscrito y no fue descubierto hasta AF=C..uve la posibilidad de conocerlo, eincluso llegu a establecer el a2o AI>F como fecha en que fue escrito Ken el manuscrito no se se2alaN, basndome en uno de los rompecabe)as.5opio de ese compendio el siguiente problema, e$puesto por el poeta en forma literaria.e titulaoluci#n ingeniosa de un problema complicado(Dna comadre ten%a para vender nueve decenas de huevos."nvi# al mercado a sus tres, hijas, entregando a la mayor y ms lista de ellas una decena6 a la segunda, tres decenas, y a la tercera, lamenor, cincuenta huevos, y les dijo(0+oneos previamente de acuerdo y fijad el precio a que debis vender los huevos, y no os volvis atrs de lo convenido.Manteneos firmes las tres en lo tocante al precio6 pero conf%o en que mi hijamayor, gracias a su sagacidad, aun atenindose al acuerdo de vender todas al mismo precio, sacar tanto por su decena como la segunda por sus tres decenas, y al mismo tiempo, aleccionar a la segunda hermana sobre c#mo vender las tres decenas por el mismo precio que la menor los cincuenta huevos."l producto de la venta y el precio deben ser los mismos para las tres.:uiero que vendis todos los huevos, de modo que saquemos, en n*meros redondos, AG HopeHs, como m%nimo, por cada decena y no menos de FG HopeHs por las nueve decenas.5on esto interrumpo, por ahora, el relato de &enediHtov, a fin de que los propios lectores puedanadivinar c#mo cumplieron las tres muchachas el encargo recibido.8olucionesA"l rompecabe)as referente a la ardilla en el calvero ha sido anali)ado por completo anteriormente.+asamos al siguiente.=5ontestaremos fcilmente a la primera cuesti#n 0al cabo de cuntos d%as se reunirn en la escuela ala ve) los cinco c%rculos0, si sabemos encontrar el menor de todos los n*meros que se divida e$actamente Km%nimo com*n m*ltiploN por =,?,C,@ y>. "s fcil comprender que este n*mero es el>G. "s decir, el d%a >A se reunirn de nuevo los @ c%rculos( el de deportes, despus de ?G intervalosde dos d%as6 el de literatura, a los =G intervalos de ? d%as6 el de fotograf%a, a los A@ intervalos de cuatro d%as6 el de ajedre), a los A= de @ d%as, y el de canto, a los AG de > d%as. Antes de >G d%as no habr una tarde as%. +asados otros >G d%as vendr una nueva tarde semejante, durante el segundo trimestre.As% pues, en el primer trimestre hay una sola tarde en la que se reunirn de nuevo los cinco c%rculosa la ve). 1allar respuesta a la pregunta -cuntas tardes no se reunir ning*n c%rculo/ resulta ms complicado. +ara encontrar esos d%as hay que escribir por orden los n*meros del A al FG y tachar, enla serie, los d%as de funcionamiento del c%rculo de deportes6 es decir, los n*meros A, ?, @, J, F, etc. 7uego hay que tachar los d%as de funcionamiento del c%rculo de literatura( el C, AG, etc. 9espus de haber tachado los correspondientes a los c%rculos de fotograf%a, de ajedre) y de canto, nos quedarn los d%as en que en el primer trimestre no haya funcionado ni un solo c%rculo.:uien haga esta operaci#n se convencer de que durante el primer trimestre son =C los d%as en queno funciona ning*n c%rculo6 I en enero( los d%as =, I, A=, AC, AI, =G, =C y ?G. "n febrero hay J d%asas%, y en mar)o, F.?Ambos contaron el mismo n*mero de transe*ntes. "l que estaba parado junto a la puerta contabalos transe*ntes que marchaban en ambas direcciones, mientras que el que andaba ve%a dos vecesms personas que se cru)aban con l.C"n cada una de las =@ estaciones, los pasajeros pueden pedir billete para cualquier estaci#n, es decir, para los =C puntos diferentes. "sto indica que el n*mero de billetes diferentes que hay quepreparar es de =@ $ =C M >GG.@"ste problema no contiene contradicci#n alguna. 'o hay que pensar que el dirigible vuela siguiendo el per%metro deun cuadrado6 es necesario tener en cuenta la forma esferoidal de la .ierra. 7os meridianos, al avan)ar hacia elnorte, se van apro$imando Kvase la figuraN6 por ello, cuando vuela los @GG Hil#metros siguiendo el arco del paralelo situado a @GG Hm al norte de la latitud de 7eningrado, el dirigible se despla)a hacia oriente un n*mero de grados mayor que el que recorre despus endirecci#n contraria, al encontrarse de nuevo en la latitud de 7eningrado. 5omo resultado de ello, eldirigible, al terminar el vuelo, estaba al este de 7eningrado.-5unto/ "sto puede calcularse. "n la figura, ven ustedes la ruta seguida por el dirigible( A&59"."l punto ' es el +olo 'orte6 en ese punto se juntan los meridianos A& y 59. "l dirigible vol# primero @GG Hm hacia el norte, es decir, siguiendo el meridiano A'.5omo la longitud de un grado de meridiano equivale a AAA Hm, el arco de meridiano de @GG Hmcontendr @GG( AAA M C grados y medio. 7eningrado est situado en el paralelo >G6 porconsiguiente, el punto & se encuentra en los >GV L C,@V M >C,@V. 9espus, el dirigible vol# con rumbo este, es decir, por el paralelo &5, y recorri# siguindolo, @GG Hm. 7a longitud de un gradoen este paralelo puede calcularse Ko verse en las tablasN6 equivale a CI Hm. "s fcil determinar cuntos grados recorri# el dirigible en direcci#n este, @GG ( CI M AG,CV. 7uego, la nave area tom#direcci#n sur, es decir, vol# siguiendo el meridiano 59 y recorridos @GG Hm hab%a de encontrarsede nuevo en el paralelo de 7eningrado. Ahora la ruta toma direcci#n oeste, es decir, va por A96 @GGHm de este camino es evidentemente una distancia ms corta que A9. "n la distancia A9 hay los mismos grados que en la &5, es decir, AG,CG. +ero la distancia de un grado, a los >GV de latitud, equivale a @@,@ Hm. +or consiguiente, entre A y 9 e$iste una distancia igual a @@,@ $ AG,C M @JJHm.Eemos, pues, que el dirigible no pod%a aterri)ar en 7eningrado( le faltaron JJ Hm para llegar a estepunto6 es decir, que descendi# en el lago 7adoga.>7os que han hablado sobre esteproblema han cometido algunas faltas. 'o es cierto que los rayos del ol que caen sobre la .ierra diverjan sensiblemente. 5omparada con la distancia que lasepara del ol, la .ierra es tan peque2a que los rayos del ol que caen sobre cualquier parte de su superficie divergen en un ngulo peque2%simo, inapreciable6prcticamente pueden considerarseparalelos. A veces contemplamos, en la llamada irradiaci#n tras las nubes, que los rayos del ol sedifunden en forma de abanico6 esto s#lo es fruto de la perspectiva. ?LA=MA@ =? Aac) ALAM= =LIMAG ?L>MF =A =)ac AL=M? =L=MC ?LA=MA@ == ?)ca AL=M? =LIMAG ?L?M> AF @ca) ALCM@ =L=MC ?L>MF AI >c)a ALCM@ =LCM> ?L?M> AJ J,a ven que el resto de avellanas es diferente cada ve). +or ello, conociendo el resto, es fcil determinar c#mo estn distribuidos los objetos entre sus amigos. 9e nuevo 0por tercera ve)0 se alejade la habitaci#n y mira su libretita de notas donde lleva apuntado el cuadro anterior Ken realidads#lo hacen falta la primera y la *ltima columnaN6 es dif%cil recordarlo de memoria, y adems no haynecesidad de ello. "l cuadro le indicar d#nde se halla cada objeto. +or ejemplo, si han quedado enel plato @ avellanas, quiere decir Kcaso bcaN quela llave la tiene &enigno6elcortaplumas,Xregorio6el lpi), Zuan.+ara que el truco salga bien, debe recordar e$actamente cuntas avellanas ha entregado a cada persona Kdistrib*yalas siempre siguiendo el orden alfabtico de los nombres, como lo hemos hechoen el caso e$plicadoN.A?A fin de simplificar el problema, dejemos por ahora a un lado los J dobles( G 0 G, A 0 A, = 0 =, ? 0 ?,C 0 C, @ 0 @, > 0 >. 'os quedan =A fichas en las que cada n*mero de tantos se repite seis veces. +orejemplo, tenemos que todos los cuatro sern(C 0 G6 C 0 A6 C 0 =6 C 0 ?6 C 0 C6 C 0 @6 C 0 >.As%, pues, cada n*mero de tantos se repite un n*mero par de veces, con lo cual las fichas que forman cada grupo pueden casarse una con otra hasta que se agote el grupo. Dna ve) hecho eso, cuando nuestras =A fichas estn casadas formando una fila ininterrumpida, colocamos los siete dobles G 0 G, A 0 A, = 0 =, etc., en los sitios correspondientes entre las dos fichas casadas. "ntonces,las =I fichas resultan, formando una sola l%nea, casadas seg*n las reglas del juego.AC"s fcil demostrar que en la fila del domin# debe ser idntico el n*mero de tantos del final y del comien)o. "n realidad, de no ser as%, el n*mero de tantos de los e$tremos de la fila se repetir%a unn*mero impar de veces Ken el interior de la l%nea el n*mero de tantos est formando parejasN6 sabemos, sin embargo, que en las fichas del domin#, cada n*mero de tantos se repite ocho veces( esdecir, un n*mero par de veces. +or consiguiente, la suposici#n de que el n*mero de tantos en los e$tremos de la l%nea no fuera el mismo, no es justa6 el n*mero de tantos debe ser el mismo. K3a)onamientos semejantes a ste reciben en matemticas la denominaci#n de demostraci#n por el contrario.N9e esta propiedad que acabamos de demostrar, se deduce que la l%nea de =I fichas del domin#puede siempre cerrarse por los e$tremos formando un anillo. 9e aqu% que todas las fichas del domin# puedan casarse siguiendo las reglas del juego, y formar no s#lo una fila, sino un c%rculo cerrado."s posible que interese a los lectores saber cuntas l%neas o c%rculos diferentes de ese tipo pueden formarse. in entrar en detalles fatigosos de clculos, diremos que el n*mero de modos diferentes de distribuci#n que pueden formar las =I fichas en una l%nea Ko en un c%rculoN es enorme( pasa de Jbillones. u n*mero e$acto es(J.F@F.==F.F?A.@=G.K"s el producto de los siguientes factores( =A? $ ?I $ @ $ J $ C.=?AN.A@7a soluci#n de este rompecabe)as se deduce de lo que acabamos de decir. abemos que las =I fichas del domin# pueden casarse formando un c%rculo cerrado6 por consiguiente, si de este c%rculoquitamos una ficha resultar que(AN 7as otras =J forman una fila ininterrumpida con los e$tremos sin casar6=N 7os tantos de los e$tremos de esta l%nea coincidirn con los n*meros de la ficha que se ha quitado."scondiendo una ficha del domin#, podemos decir previamente el n*mero de tantos que habr enlos e$tremos de la l%nea por las otras fichas.A>7a suma de tantos del cuadrado buscado debe ser CC $ C M AJ>6 es decir, I ms quela suma de todos los tantos del domin# KA>IN."sto ocurre porque el n*mero de tantos de las fichas que ocupan los ngulos del cuadrado se cuentan dos veces. 9e lo dichose deduce que la suma de los tantos en los e$tremos del cuadrado debe ser ocho. "sto facilita en cierto modo la colocaci#n e$igida, aunque el encontrarla es bastante enredoso. 7a soluci#n viene indicada en la figura que se muestra a continuaci#n.AJ9amos dos soluciones de este problema entre las muchas posibles."n la primera Kvase la figuraNtenemos(FiuraA cuadrado con una suma de ? A cuadrado con una suma de FA cuadrado con una suma de > A cuadrado con una suma de AGA cuadrado con una suma de I A cuadrado con una suma de A>"n la segunda soluci#n Kvase figuraN tenemosFiura= cuadrado con una suma de C = cuadrado con una suma de AGA cuadrado con una suma de I = cuadrado con una suma de A=AI7a figura contigua ofrece un modelo de cuadro mgico con AI tantos en cada fila(FiuraAF"n total se pueden formar =? progresiones a base de las > fichas. 7as fichas iniciales son lassiguientes(aN para progresiones en las que la ra)#n es A(G0GG0AA0A=0G=0A?0G=0=?0A?0==0CA0GG0=G0?A0=G0CA0?A0C=0??0@?0CbN para progresiones en las que la ra)#n es =(G0G G0= G0A=G8ncluso un jugador hbil dir seguramente que, en las condiciones dadas, es ms fcil atravesar losaros que golpear la bola del contrario, puesto que los aros son dos veces ms anchos que la bola. in embargo, esa idea es equivocada( los aros, cierto, son ms anchos que la bola, pero el espaciolibre para que la bola pase por el interior del aro es dos veces menor que el que la bola misma presenta al hacer blanco.Rigura, ?J y ?IN tiene soluci#n y tanto el artista como yo hemos podidosin riesgo alguno prometer cualquier premio por la soluci#n de los mismos.+ara convencerse deello, recurramos al lgebra.+agando @ francos.upongamos que sea posible y que para hacerlo han hecho falta $ monedas de@G cntimos, y de =G cntimos y ) de @. .endremos la ecuaci#n(@G$ L =Gy L @) M @GG9ividiendo todos los trminos por @, resulta(AG$ L Cy L ) M AGGAdems, como el n*mero total de monedas, seg*n las condiciones del problema, equivale a =G, sepuede formar otra ecuaci#n con los n*meros $, y, ).$ L y L ) M =G3estando esta ecuaci#n de la que hemos obtenido antes nos resulta(9ividiendo por ?, tenemos(F$ L ?y M IG?$ L y M => =B?+ero ?$ 0tres veces el n*mero de monedas de @G cntimos0 es un n*mero entero."l n*mero de monedas de =G cntimos 0y0 es asimismo un n*mero entero.7a suma de dos enteros no puede sernunca un n*mero mi$to K=> =B?N.'uestro supuesto de que el problema ten%a soluci#n nos lleva, como se ve, al absurdo."l problema, pues, no tiene soluci#n."l lector, siguiendo este procedimiento, se convence de que los otros dos problemas despus de larebaja 0abonando ? y = francos0 tampoco tienen soluci#n."l primero nos lleva a la ecuaci#n(y el segundo a(?$ L y A? AB??$ L y > =B?Ambos son insolubles, pues deben ser e$presados en n*meros enteros.5omo ve usted, el artista no arriesgaba nada al ofrecer importantes sumas por la soluci#n de estosproblemas( nunca habr de entregar los premios ofrecidos.@I.FGC. 7a suma total de las cifras colocadas enlos lugares pares es(? L @ L F L C M =A7a suma de las cifras colocadas en los lugares impares es(= L > L I L G M A>7a diferencia entre estas sumas Khay que restar del n*mero mayor el menorN es(=A 0 A> M @"sta diferencia K@N no se divide por AA, lo que quiere decir que el n*mero no es divisible por AA.+robemos el n*mero J.?CC.@?@(?L CL ?MAGJLCL @L @M=A=A0AGMAA5omo el AA se divide por AA, el n*mero que hemos probado es m*ltiplo de AA.Ahora ya nos es fcil determinar en qu orden hay que escribir las nueve cifras para que resulte un m*ltiplo de AA y para satisfacer lo que el problema e$ige.+or ejemplo( ?@=.GCF.JI>.1agamos la prueba(? L = L C L J L > M ==@ L G L F L I M ==Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 20017a diferencia es == 0 == M G6 quiere decirse que el n*mero indicado es m*ltiplo de AA."l mayor de todos los n*meros pedidos es( FIJ.>@=.CA?, el menor(AG=.?CJ.@I>C>Dn lector paciente puede encontrar nueve casos distintos de esta clase de multiplicaci#n. on lossiguientes(A= L CI? M @.JF>C= $ A?I M @.JF>AI $ =FJ M @.?C>=J $ AFI M @.?C>?F $ AI> M J.=@CCI $ A@F M J.>?==I $ A@J M C.?F>C $ A.J?I M >.F@=C $ A.F>? M J.I@=CJ y CI7as figuras muestran las soluciones. 7as cifras del centro de cada fila pueden permutarse entre s% yde ese modo se obtienen algunas soluciones ms.CF+ara establecer con ms facilidad la busca de la colocaci#n de los n*meros pedida, nos guiaremospor los siguientes clculos(7asumabuscadadelosn*merosdelaspuntasdelaestrellaequivalea=>6lasumadetodoslosn*meros de la estrella es igual a JI. "s decir, que la suma de los n*meros del he$gono interior equivale a JI 0 => M @=.7a suma de los n*meros de cada lado es =>6 si sumamos los tres lados obtendremos => $ ? M JI6 sinolvidar que cada n*mero situado en un ngulo se cuenta dos veces. 5omo la suma de los tres paresinteriores Kes decir, del he$gono interiorN debe ser, seg*n sabemos, igual a @=, resulta que la sumaduplicada de los n*meros de los ngulos de cada tringulo equivale a JI 0 @= M =>6 la suma sencillaser, pues, igual a A?.Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001"l n*mero de combinaciones queda as% considerablemente reducido. +or ejemplo, sabemos que niel A= ni el AA pueden ocupar las puntas de la estrella K-por qu/N . "sto quiere decir que podemos empe)ar a probar con el n*mero AG, con lo cual se determina enseguida qu otros dos n*meros deben ocupar los restantes vrtices del tringulo( A y =.iguiendo este camino, encontramos definitivamente la distribuci#n que nos piden. "s la indicadaen la figura.@G+uede comprenderse que la alegr%a del rico no dur# mucho6 pronto empe)# a comprender que ele$tra2o husped no era un simpl#n, ni el negocio que hab%a concertado con l era tan ventajosocomo le hab%a parecido al principio. A 0partir del decimoquinto d%a, por las cien mil pesetas correspondientes hubo de pagar no cntimos, sino cientos de pesetas, y las cantidades a pagar aumentaban rpidamente. "n efecto, el rico, por la segunda mitad del mes, pag#(por las A@Vs cien mil pesetas A>? ptas. y IC ctmsA>Vs ?=J y >IAJVs >@@ y ?>AIVs A.?AG y J=AFVs =.>=A y CCin embargo, el rico consideraba que no sufr%a prdidas ni mucho menos. Aunque hab%a pagadoms de cinco mil pesetas, hab%a recibido A.IGG.GGG pesetas.'o obstante, las ganancias disminu%an de d%a en d%a, cada ve) con mayor rapide).=GV @.=C= ptas. y II ctms=AV AG.CI@ y J>==V =G.FJA y @==?V CA.FC? y C=CV I?.II> y I=@V A>J.JJ= y A>=>V ??@.@CC y ?==JV >JA.GII y >CPreparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001.en%a que pagar ya ms de lo que recib%a. :u bien le hubiera venido pararse! +ero no pod%arescindir el contrato.7a continuaci#n fue todav%a peor. "l millonario se convenci#, demasiado tarde, de que el desconocido hab%a sido ms astuto que l y recibir%a mucho ms dinero que el que hab%a de pagar.A partir del d%a =I, el rico hubo de abonar millones. +or fin, los dos *ltimos d%as lo arruinaron. 1eaqu% estos enormes pagos(=IV A.?C=.AJJ ptas. y =I ctms=FV =.>IC.?@C y @>?GV @.?>I.JGF y A=5uando el husped se march# definitivamente, el millonario sac# la cuenta de cunto le hab%an costado los tres millones de pesetas a primera vista tan baratos. 3esult# que hab%a pagado al desconocido AG.J?J.CAI pesetas =? cntimos. 5asi once millones de pesetas. , eso que hab%a empe)ado pagando un cntimo. "l desconocido hubiera podido llevar diariamente trescientas milpesetas, y con todo, no hubiera perdido nada.Antes de terminar esta historia, voy a indicar el procedimiento de acelerar el clculo de las prdidasde nuestro millonario6 en otras palabras, c#mo puede hacerse la suma de la serie de n*meros(A L = L C L I L A> L ?= L >C L...'o es dif%cil observar la siguiente particularidad de estos n*meros(A M A= M A L AC MKA L =N L AI MKA L = L CN L AA> MKA L = L C L IN L A?= MKA L = L C L I L A>N L Aetc.Eemos que cada uno de los n*meros de esta serie es igual al conjunto de todos los anteriores sumados ms una unidad. +or eso, cuando hay que sumar todos los n*meros de una serie de stas,por ejemplo, desde A hasta ?=.J>I, bastar a2adir al *ltimo n*mero K?=.J>IN la suma de todos los anteriores. "n otras palabras, le a2adimos ese mismo *ltimo n*mero restndole previamente la unidad K?=.J>I 0 lN. 3esulta >@.@?@.iguiendo este mtodo pueden calcularse las prdidas de nuestro millonario con mucha rapide) si sabemos cunto ha pagado la *ltima ve). "l *ltimo pago fue de @.?>I.JGF pesetas A= cntimos. +oreso, sumando @.?>I.JGF pesetas A= cntimos y @.?>I.JGF pesetas AA cntimos, obtendremosinmediatamente el resultado buscado( 1..**.&1, pesetas 2 c#ntimos.@Ai se continuase de este modo difundindose el rumor por la ciudad, es decir, si cada uno que looiga logra comunicrselo a tres ciudadanos ms en el cuarto de hora siguiente, la ciudad irenterndose de la noticia de acuerdo con el horario que sigue(Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001F.GG h CGLK?Y=JN MA=AF.A@ hF.?G hA=ALK?YIAN?>CLK?Y=C?NM?>CMA.GF?A la hora y media de haber aparecido la noticia en la ciudad, la conocen, como vemos, unas A.AGG personas en total.+uede parecer poco para una poblaci#n de @G.GGG habitantes y cabe pensar que la noticia no llegarpronto a ser conocida de todos los habitantes. in embargo, observemos la difusi#n futura delrumor(F.C@ h A. GF?LK?YJ=FN M?.=IGAG.GG hAG.A@ h?.=IGLK?Y=.AIJNF.ICALK?Y>.@>ANMF.ICAM=F.@=C"sto indica que antes de las die) y media de la ma2ana, absolutamente todos los ciudadanos de la populosa ciudad conocern la noticia que a las I de la ma2ana sab%a s#lo una persona. "$aminemos ahora c#mo se ha resuelto el clculo anterior. 'os hemos limitado a sumar la siguiente serie de n*meros(A L ? L K? $ ?N L K? $ ? $ ? N L K? $ ? $ ? $ ?N, etc.'ada uno comunica la noticia a otras tres personas-'o puede averiguarse esta suma ms brevemente, como hemos hecho antes con la suma de losn*meros de la serie A L = L C L I, etctera/ "s posible si tomamos en consideraci#n la siguientepropiedad de los sumandos(AMA?MA $ = L APreparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001FM KA L ?N $ = L A=JMKA L ? L FN $ = L AIAMKA L ? L F L =JN $ = L A, etc."n otras palabras, cada n*mero de esta serie es igual al doble de la suma de todos los n*meros anteriores ms una unidad.9e aqu% se deduce que para encontrar la suma de todos los trminos de la serie, desde uno hastacualquier trmino, basta agregar a este n*mero su mitad Khabiendo restado previamente el *ltimotrmino de la unidadN.- las die1 4 media todos conocen la noticia+or ejemplo la suma de los n*merosA L ? L F L =J L IA L =C? L J=Fes igual a J=F ms la mitad de J=I6 es decir, J=F L ?>C M A.GF?. "n el caso concreto a que nos refer%amos, cada vecino que sab%a la noticia la comunicaba s#lo a tres ciudadanos. +ero si los habitantes de la ciudad hubieran sido ms locuaces y hubieran comunicado la noticia escuchada, no a tres, sino por ejemplo, a cinco o a otros die), est claro que el rumor se hubiera difundido con mucha mayor rapide) todav%a. i, por ejemplo, se transmitiera cada ve) a cinco personas, la informaci#n de la ciudad presentar%a el siguiente cuadro(I.GG hI.A@ h AL@M A personaM >I.?G hI.C@ hF.GG h> L K@Y@N?A L K=@Y@NA@> L KA=@Y@NM ?AM A@>M JIAF.A@ hF.?G hJIA L K>=@Y@N?.FG> LK?.A=@Y@NM ?.FG>M AF.@?AAntes de las F.C@ de la ma2ana era ya conocida por los @G.GGG habitantes de la ciudad.Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001Proceso de di9usi+n de un rumor"l rumor se difunde todav%a con mayor rapide) si cada uno de los que lo escuchan transmite lanoticia a AG. "ntonces resulta la curiosa serie de n*meros(I.GG hI.A@ h ALAGM A personaM AAI.?G h AA L AGG M AAAI.C@ hF.GG hAAA L A.GGGA.AAA L AG.GGGM A.AAAM AA.AAA"l n*mero siguiente de esta serie ser evidentemente AAA.AAA6 lo que indica que toda la ciudadconoce la noticia poco despus de las nueve de la ma2ana.@=in embargo, este tipo de negocio era un verdadero fraude. 7a avalancha, como se llam# a ese negocio sucio, o la bola de nieve, como la denominaban los franceses, causaba prdidas a los numerosos participantes que no consegu%an vender los billetes comprados. "sos eran los que pagaban a la empresa la diferencia entre los @G duros del precio de la bicicleta y los AG que se pagaban por ella. .arde o temprano, llegaba infaliblemente un momento en que los poseedores debilletes no pod%an encontrar a nadie dispuesto a adquirirlos. 9e que esto ten%a indefectiblementeque ocurrir as%, se convencern ustedes si tomando un lpi), siguen el curso del proceso y anotan el%mpetu creciente del n*mero de personas arrastra das por la avalancha."l primer grupo de compradores que recibe sus billetes directa mente de la casa, de ordinario, encuentra compradores sin esfuer)o alguno6 cada uno facilita billetes a cuatro nuevos participantes. "stos cuatro deben vender sus billetes a C $ @, es decir, a otro =G, convencindoles delas ventajas de esa compra. upongamos que lo consigan, y ya tenemos reclutados =G compradores.7a avalancha avan)a. 7os =G nuevos due2os de billetes debe distribuirlos a =G $ @ M AGG personasms.1asta este momento, cada uno de los fundadores de la avalancha ha arrastrado a ella aA L C L =G L AGG M A=@ personas,Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001de las cuales =@ han recibido una bicicleta cada uno, y AGG s#lo la esperan)a de adquirirla, por loque han pagado AG duros.7a avalancha, en ese momento, sale del estrecho c%rculo de las personas conocidas y empie)a a e$tenderse por la ciudad, donde sin embargo, es cada ve) ms dif%cil encontrar nuevos compradorade billetes. "l indicado centenar de poseedores de billetes debe venderlos a @GG ciudadanos ms,los que a su ve) habrn de reclutar =.@GG nuevas v%ctimas. 7a ciudad queda muy pronto inundada dbilletes, y resulta bastante dif%cil encontrar nuevas personas dispuestas y deseosas de comprarlos.,a ven ustedes que el n*mero de personas arrastradas por A avalancha crece en virtud de la mismaley matemtica que acabamos de e$aminar al referirnos a la divulgaci#n de rumores. 1e aqu% A pirmide numrica que resulta(AC=GAGG@GG=.@GGA=.@GG>=.@GGi la ciudad es grande y toda la poblaci#n capa) de montar en bicicleta asciende a >=.@GG personas,en el momento que e$aminamos, es decir, a la octava vuelta, la avalancha debe desaparecer. .odos han resultado absorbidos por ella, pero s#lo la quinta parte ha recibido bicicleta6 las restantes CB@ partes tienen en sus manos billetes, pero no encuentran a quin venderlos.Dna ciudad de poblaci#n ms numerosa, incluso una capital de varios millones de habitantes, puedesaturarse de billetes prometedores al cabo de pocas vueltas, ya que la magnitud de la avalanchaaumenta con rapide) incre%ble.?A=.@GGA.@>=.@GGJ.IA=.@GG?F.G>=.@GG7a vuelta A=V de la avalancha, como ven, podr%a arrastrar a la poblaci#n de toda una naci#n, y CB@de la poblaci#n quedar%an enga2ados por los organi)adores de la avalancha.@?"mpe)aron las visitas diarias de .erencio a la tesorer%a imperial. sta se hallaba cerca del sal#n deltrono, y los primeros viajes no costaron esfuer)o alguno a .erencio."l primer d%a sac# de la tesorer%a un solo bras. "ra una peque2a monedita de =A mm de dimetro y@ g de peso. K+eso y tama2o apro$imado de una moneda de @ pesetas, acu2ada en nuestros d%as.N"l segundo, tercero, cuarto, quinto y se$to viajes fueron tambin fciles( el guerrero traslad#monedas que pesaban =, C, I, A> y ?= veces ms que la primera.7a sptima moneda pesaba ?=G gramos 0seg*n el sistema moderno de pesas y medidas0 y ten%a Icm de dimetro KIC mm e$actamenteN.Preparado por Patricio Barros 5 de junio de 2001"l octavo d%a, .erencio hubo de sacar de la tesorer%a una moneda correspondiente a A=I unidadesmonetarias. +esaba >CG gramos y ten%a unos AG,@G cm de anchura.:a s%ptima moneda* la novena moneda 4 la und%cima moneda"l noveno d%a, .erencio llev# al sal#n imperial una moneda equivalente a =@> unidades monetarias..en%a A? cm de ancho y pesaba A,=@ Hg."l duodcimo d%a, la moneda alcan)# casi =J cm de dimetro con un peso de AG,=@ Hg."l emperador, que hasta aquel entonces hab%a contemplado afablemente al guerrero, no disimulabaya su triunfo. Ee%a que .erencio hab%a hecho A= viajes y sacado de la tesorer%a poco ms de =.GGGmonedas de bronce."l d%a decimotercero esperaba a .erencio una moneda equivalente a C.GF> unidades monetarias..en%a unos ?C cm de ancho y su peso era igual a =G,@ Hg."l d%a decimocuarto, .erencio sac# de la tesorer%a una pesada moneda de CA Hg de peso y unos C=cm de anchura.0-"sts ya cansado, mi valiente .erencio/ 0le pregunt# el emperador, reprimiendo una sonrisa.0'o, se2or m%o 0contest# ce2udo el guerrero, secndose el sudor que ba2aba su frente.:a decimotercera moneda 4 la decimo(uinta monedaPreparado por Patricio Barros 5 de junio de 20017leg# el d%a decimoquinto. "se d%a, la carga de .erencio fue pesada. e arrastr# lentamente hasta elemperador, llevando una enorme moneda formada por A>.?IC unidades monetarias. .en%a @? cm deanchura y pesaba IG Hg( el peso de un guerrero talludo."l d%a decimose$to, el guerrero se tambaleaba bajo la carga que llevaba a cuestas. "ra una monedaequivalente a ?=.J>I unidades monetarias, de A>C Hg de peso y >J cm de dimetro."l guerrero hab%a quedado e$tenuado y respiraba con dificultad. "l emperador sonre%a...5uando .erencio apareci#, al d%a siguiente, en el sal#n del trono del emperador, fue acogido congrandes carcajadas. 'o pod%a llevar en bra)os su carga, y la hac%a rodar ante l. 7a moneda ten%a ICcm de dimetro y pesaba ?=I Hg. 5orrespond%a al peso de >@.@?> unidades monetarias."l decimoctavo d%a fue el *ltimo del enriquecimiento de .erencio. Aquel d%a terminaron las idas yvenidas desde la tesorer%a al sal#n del emperador. "sta ve) hubo de llevar una moneda correspondiente a A?A.GJ= unidades monetarias. .en%a ms de un metro de dimetro y pesaba >@@ Hg.:a decimose;ta moneda 4 la decimos%ptima monedaDtili)ando la lan)a como si fuera una palanca, .erencio, con enorme esfuer)o, apenas si pudohacerla llegar rodando al sal#n. 7a gigantesca moneda cay# con estrpito a las plantas del emperador..erencio se hallaba completamente e$tenuado.0'o pu