Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 2. Límites 1
Tema 2. Límites
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
1. Índice
2. ¿Qué es el Cálculo?
3. El problema del área
4. Introducción a los límites
5. Límites que no existen
6. Definición formal de límite
7. Cálculo analítico de límites
8. Continuidad en un punto
9. Definición de continuidad
10. Discontinuidades
Tema 2. Límites
11. Límites laterales
12. Continuidad en un intervalo
13. Propiedades de la continuidad
14. Teorema del valor intermedio
15. Límites infinitos
16. Asíntotas verticales
17. Propiedades de los límites infinitos
18. Concepto de límite infinito
19. Definición de límites en el infinito
20. Propiedades de los límites en el infinito
21. Formas indeterminadas 0/0 , /
22. Formas indeterminadas 0. , -
23. Formas indeterminadas 1 , 0 , 00
24. Asíntotas horizontales
25. Asíntotas oblicuas
26. Ejemplo
¿Qué es el Cálculo?
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 2Tema 2. Límites
El Cálculo es la matemática de los cambios, velocidades y aceleraciones.
Se estudian las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco,... y una gran variedad de conceptos para crear modelos para las situaciones de la vida real.
tasa de variación mediat=a t=b
tasa de variación instantánea ent=c
Describe un objeto que se mueve con velocidad constante
Describe la velocidad de un objeto que se mueve aceleradamente
Describe la pendiente de una recta
Describe la pendiente de una curva
Describe el área de un réctángulo
Describe el área bajo una curva
x ydx dy
Matemáticas previas al CálculoEstáticas
CálculoDinámico
Se puede estimar su área usando varios rectángulos
Y=f(x)
El problema del área
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 3Tema 2. Límites
El objetivo es determinar el límite de la suma de las áreas de los rectángulos
cuando su número crece sin tope
Consideremos la región limitada por la gráfica de la función y=f(x) , el eje x y las rectas verticales x=a y x=b
Y=f(x)
Al hacer crecer el nºde rectángulos la aproximación va mejorando cada vez más
Y=f(x)
x=a x=b
Introducción a los límites
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 4Tema 2. Límites
Supongamos que necesitamos dibujar la gráfica de la función 1 ,
11
)(3
x
xx
xf
Con los procedimientos usuales para x 1 obtenemos
-
-
-----
1
2
-2 -1
3
(1,3))(xf
¿Qué sucede en las proximidades de x=1?
x tiende a 1 por la izquierda
f(x) tiende a 3
x tiende a 1 por la derecha
f(x) tiende3
x 0,75 09 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,25
f(x) 2,313 2,710 2,970 2,997 ? 3,003 3,030 3,310 3,813
A pesar de que x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1, y como resultado, f(x) se acerca arbitrariamente a 3.
3)(lim1
xfx Esto se lee
“el límite de
f(x) cuando x
tiende a 1 es
3
Límites que no existen
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 5Tema 2. Límites
Comportamientos típicos asociados a la no existencia de un límite
f(x) tiende a números diferentes según x tienda a c por la derecha o por la izquierda
lim0 x
xx
0 1,
0 1,
xx
x
xx
x
f(x)=-1
f(x)=1
-------
f(x) oscila entre dos valores fijos cuando x tiende a c.
1
lim0 x
senx
2
3
2
5
2
7
2
9
2
11
2
0x
1x
sen
x
1 -1 1 -1 1 -1 El límite no existe
------
f(x) crece o decrece sin cota cuando x tiende a c.
1lim 20 xx
000.000.11
)(000.11
0
1001
)(101
0
2
2
xxfx
xxfx
-------
Definición formal de límite
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 6Tema 2. Límites
A part
ir
de los
ejem
plo
s
Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x tiende a c por cualquiera de sus dos lados, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es L, y escribimos
L(x)lim
fcx
Formalm
ent
e
Sean f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente, en c) y L un número real. La afirmación
significa que para todo 0 existe un 0 tal que si
L(x)lim
fcx
Lxf x-c )( entonces ,0
Si el límite de una función existe, entonces es único
Cálculo analítico de límites
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 7Tema 2. Límites
1. Límites básicos
2. Propiedades de los límites
3. Límites de funciones polinómicas y racionales
4. Límite de una función radical
5. Límite de una función compuesta
6. Límites de funciones trigonométricas
7. Técnicas de cancelación y racionalización
8. Regla del Sandwich
9. Límites trigonométricos especiales
Continuidad en un punto
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 8Tema 2. Límites
Una función es continua en x=c si no hay interrupción de la gráfica de f en c
No hay “saltos”, “agujeros” ni “aberturas”
Condiciones para que el gráfico de f no sea continuo en x=c
f (c) no está definida en x=c
No existe límite de f (x) en x=c
El límite de f (x) en x=c existe, pero no es igual a f (c)
a c b a c b a c b
Definición de Continuidad
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 9Tema 2. Límites
Decimos que una función f es continua en x=c si se satisfacen las tres condiciones siguientes
f (c) está definida.
f(x)cx
lim existe
f(c)f(x)cx
lim
Continuid
a
d en u
n
punto
Decimos que una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo.
Una función que es continua en toda la recta real (-
, ) se llama continua en todas partes
Continuid
a
d en u
n
inte
rvalo
abiert
o
Discontinuidades
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 10Tema 2. Límites
Sea I un intervalo abierto que continene un número real c. Si una función f está definida en I (salvo, posiblemente,
en c) y no es continua en c se dice que f tiene una discontinuidad en c
discontinuidades evitables
discontinuidades inevitables
f se puede hacer continua definiendo (o redefiniendo)
apropiadamente f (c)
f no se puede redefinir para evitar la discontinuidad
11
)(2
xx
xf
Discontinuidad evitable en x=1------
-------
xxf
1)(
1 2 3
-3 -2 -1
-1
-2
1
2
1
12
Discontinuidad inevitable en x=1
Límites laterales
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 11Tema 2. Límites
cLímite por la derecha
Lf(x)cx
lim
x
x tiende a c para valores superiores a c
Límite por la izquierda
Lf(x)cx
lim
xx tiende a c para valores inferiores a c
Ejem
plo xxf )(
1 2 3
-3 -2 -1
-1
-2
1
2Función parte entera
0 lim
1lim
0
0
x
x
x
x
Existencia de límiteSean f una función y sean L y c números reales.El límite de f(x) cuando x tiende a c es L si y solo si
f(x)cx
lim Lf(x)cx
lim
Continuidad en un intervalo
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 12Tema 2. Límites
Decimos que una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el intervalo abierto (a,b) yContin
uida
d en u
n
inte
rvalo
cerr
ado )(limy )(lim bff(x)aff(x)bxax
La función es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b
[a
]b
Propiedades de la continuidad
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 13Tema 2. Límites
Si b es un número real y f , g son continuas en x=c, entonces las siguientes funciones también son continuas
Múltiplo escalar: bf Producto: fg Suma y diferencia: g f
Cociente: g(c)gf
0 si ,
Las funciones de los tipos siguientes son continuas en sus dominios
Funciones polinómicas:
Funciones racionales:
Funciones radicales:
Funciones trigonométricas:
011
1)( axaxaxaxaxf ii
nn
nn
0)( , )()(
)( xqxqxp
xf
n xxf )(
ecxxctgxtgxxsenx cos ,sec , , ,cos ,
Muchas funciones elementales son continuas en sus dominios
Si g es continua en x=c y f es continua en g(c), la función compuesta (f o g)(x)=f(g(x)) es continua en c
Teorema del valor intermedio
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 14Tema 2. Límites
[ ]
a c1 c2 c3 b
f(a) -
k -
f(b) -
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en tal que f(c)=k
Útil para localizar ceros de una función continua en un intervalo cerrado
Si f es continua en [a,b] y f(a) y f(b) difieren de signo, entonces existe al menos un cero de f en [a,b] (Teorema de Bolzano)
Ejem
plo
12)( 3 xxxf
Tiene un cero en el invervalo [0,1]f es continua en [0,1]
1)1(
0)0(
f
f0)(: existe cfc
(c,0)
(1,2)
1 0
(0,-1)
Límites infinitos
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 15Tema 2. Límites
Análogamente la expresión
f(x) cx
limexiste un0 tal que f(x) N siempre que 0 l x-c l .
significa que para todo N 0
Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c, salvo, posiblemente, en el propio c. La expresiónsignifica que para todo M 0 existe un0 tal que f(x) M siempre que 0 l x-c l .
f(x) cx
limM
c
x
y
Para definir el límite infinito por la izquierda, basta sustituir 0 l x-c l por c-x c
Para definir el límite infinito por la derecha, basta sustituir 0 l x-c l por c x c +
2
3)(
xxf
f decrece sin cota cuando x tiende a 2 por la izquierda
f crece sin cota cuando x tiende a 2 por la
derecha
Ejemplo
- 2
3lim
2 xx
2
3lim
2 xx
2
Asíntotas verticales
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 16Tema 2. Límites
Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x =c es una asíntota vertical de la gráfica de f
Observación
Si una función f posee una asíntota vertical en x =c ,
entonces f no es contínua en c
Ejemplos
)1(2
1)(
xxf
Asíntota en x=-1
-1
11
)( 2
2
xx
xf
Asíntotas en x=-1 , x=1
-1 1
Propiedades de los límites infinitos
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 17Tema 2. Límites
Sean c y L números reales, y sean f y g funciones tales que
Lg(x) f(x) cxcx
limy lim
g(x)f(x) cx
limSuma o diferencia
0 ,lim
L f(x)g(x)cx
0 ,lim
L f(x)g(x)cx
Producto
0lim
f(x)g(x)
cxCociente
Propiedades análogas son válidas para límites laterales y para funciones cuyo límite cuando x tiende a c es -
Concepto de límite en el infinito
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 18Tema 2. Límites
Supongamos que necesitamos dibujar la gráfica de la función
13
)( 2
2
xx
xf
Gráficamente los valores de f(x) parecen aproximarse a 3 cuando x crece sin tope
-
-
-
----
1
2
-2 -1
3
)(xf
x decrece sin tope
f(x) se acerca a 3
x crece sin tope
f(x) se acerca 3
x - -100 -10 -1 0 1 10 100 f(x) 3 2,999 2,97 1,5 0 1,5 2,97 2,999 3
Límite en -
3)(lim 3)(lim
xfxfxx
Límite en +
Definición de Límites en el infinito
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 19Tema 2. Límites
La expresión
significa que para todo 0 existe unM0 tal que l f(x) L l siempre que xM
Lf(x) x
lim
M
x
y
Sea L un número real.
La expresión
significa que para todo 0 existe unN tal que l f(x) L l siempre que xN
Lf(x) x
lim
L
Propiedades de los límites en el infinito
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 20Tema 2. Límites
Si g(x)f(x)xx limy lim
g(x)f(x) g(x)f(x) xxx
limlimlimSuma
g(x)f(x) f(x)g(x)xxx
limlimlimProducto
Propiedades análogas son válidas para límites en -
existen ambos
0lim
xc
rx
CocienteSi r es un número racional positivo y c es cualquier número real, entonces
0lim
xc
rx
Además, si xr está definida para x , entonces
Formas indeterminadas ,
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 21Tema 2. Límites
Sea p un número real, + o -
g(x)f(x)
g(x)f(x)pxpxpx
lim0lim lim
00 es del tipo
00
00 no es el resultado de ningún límite
Los límites de este tipo pueden tener resultados diversosEs un tipo de indeterminación
Si f y g son polinomios, descomponer en factores y simplicarpuede ayudar a resolver la indeterminación
Para resolver la indeterminación se puede intentar
dividir todos los términos por x elevado a la potencia más alta
00
Formas indeterminadas ,
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 22Tema 2. Límites
0Es fácil transformar esta indeterminación en otra del tipo
ya que )(
1)(
)(
xf
xgxgf
cuando pxpx
gf , 0
Se puede resolver multiplicando y dividiendo por la conjugada
baba
bababa
ba
22
También se puede transformar en
baab
ba
11
0
0
Formas indeterminadas
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 23Tema 2. Límites
1e
xx
11lim
Para resolver la indeterminación se hace uso del número e
0
0
0
Para resolver la indeterminación usualmente el límite se transforma (tomando logaritmos) en otro del tipo ,y éste, a su vez, en otro del tipo
0
También es habitual el uso de la Regla de L´Hôpital (Tema 3)
1 0 00
Asíntotas horizontales
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 24Tema 2. Límites
x
y
LLy
)(xfy La gráfica de f(x) tiende hacia la recta y=L cuando x crece sin cota
La recta y = L es asíntota horizontal de la gráfica de f si lim Lf(x)x
lim Lf(x)x
o bien
Ejemplos
112
)(
xx
xf
Asíntota vertical en x=-1
-1
y=2 asíntota horizontal
2
12
23)(
2
x
xxf asíntota horizontal
por la derecha
2
3y
asíntota horizontalpor la izquierda
2
3y
Asíntotas oblícuas
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 25Tema 2. Límites
La función f(x) se va aproximando a la asíntota oblícua cuando x tiende a - o a +
n mx y
xf(x)
mx
lim mxxfnx
)(lim
Ejemplo
2
42)(
2
xxx
xf
2
2
Asíntota oblícua y = x
Asíntota vertical en x=2
Ejemplo de aplicación de los límites
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 26Tema 2. Límites
Supongamos que f(t) mide el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t)=1 corresponde al nivel normal (sin polución) y el tiempo t se mide en semanas.Cuando t =0, se vierten resíduos orgánicos en el estanque y, con la oxidación de ese material, el nivel de oxígeno pasa a ser
¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno hay en el estanque 1 semana después? ¿Y 2 semanas? ¿Y 10 semanas? ¿Y una vez transcurrido “suficiente” tiempo?
11
)( 2
2
ttt
tf
semanas 10 %1,9010191
11011010
)10(
semanas 2 %60 53
12122
)2(
semana 1 %50 21
11111
)1(
2
2
2
2
2
2
f
f
f
100% 11
1)(lim 2
2
ttt
tft
l l l l 2 4 6 8
1 -0,75 -
0,5 -0,25 -
El nivel de oxígeno en el estanque tiende al nivel normal 1 cuando t tiende a
Bibliografía
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 27Tema 2. Límites
Cálculo y Geometría AnalíticaLarson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill
Ejercicios y problemas
Problemas de Matemáticas para ingeniería técnica agrícola y veterinaria
Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2)
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