MATEMÁTICAS 2º BACH CC. Y TECNOL.
ÁLGEBRA: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero
CURSO 14-15
1.-Se pide a) (1p) Enuncia brevemente: qué es el rango de una matriz y cuándo una matriz es
regular. b) (5p) Discutir según los valores del parámetro m el rango de la matriz
(
)
c) (4p) ¿Para qué valores de m, la matriz A es regular? Para m=1, calcula A-1.
2.-Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {
. Se pide:
a) (6p)Discutir según los valores del parámetro a. b) (2p)Resolver dicho sistema para a=2. c) (2p)Enuncia brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius.
3.-Se sabe que |
| Hallar indicando, en cada caso, las propiedades que
utilices:
a) (3p)|2A3|; |(4A2)-1|; |A+At|; b)(3p)|
|; c)(3p)|
|
d) (1p)¿Cuándo una matriz es simétrica? ¿Y cuándo es una matriz singular?
4.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {
. Se pide:
a) (4p)¿Cuál será el valor de a para que la única solución sea la nula? b) (2p)Resolver para a=-1
c) (4p)Determinar una matriz simétrica X de orden 2 sabiendo que ( ) (
) y
que el |3X|=-9.
5.-Sean las matrices: (
) (
). Se pide:
a) (4p)¿Para qué valores de m se verifica la siguiente ecuación matricial: A2=2·A+I? b) (6p)Para m=1, calcula A-1 y la matriz que satisfaga la ecuación matricial: A·X-
B=A·B.
6.-Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {
. Se pide:
a) (6p)Discutir según los valores del parámetro k. b) (4p)Resolver dicho sistema para k=-1 y k=0.
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Profesor: Fernando Ureña Portero
7.-a) (4p) Determinar a y b para que la matriz (
) tenga inversa.
Calcular A-1 para a=3 y b=1.
b) (6p) Sean las matrices (
) (
) (
) Determinar
las matrices cuadradas de dimensión 2, M y N para que cumplan que {
.
8.-a) (7p) Discutir, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
{
.
b) (3p) Resolver cuando el sistema sea compatible.
9.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {
. Se pide:
a) (7p.) Discutir las soluciones del sistema según el parámetro m. b) (3 p.) Resolver para m=2. Para dicho valor, calcular (si es posible) una solución en la que z=2.
10.-Dadas las matrices: (
) (
) (
). Se pide:
a) (3p.) Hallar a para que la matriz A tenga inversa. b) (4 p.) Para a=-2, calcular A-1. c) (3p.) Para a=1, calcula las soluciones del sistema de ecuaciones A·X=B.
11.-a) Sean las matrices (
) (
). Hallar la matriz X que
verifique que A-1·X·A=B-A.
b) Sabiendo que|
| . Calcula: b.1) |
|; b.2) |
|
12.-Sea la matriz (
). Se pide:
a) (5 p.) ¿Para qué valores del parámetro existe la matriz inversa de A? b) (5 p.) Hallar A-1 para .
13.-a) Dado el sistema de ecuaciones lineales {
. Discutir según los
valores del parámetro a. Resolver para a=1.
b) Calcular los valores de a, b y c para que la matriz (
) verifique que (A-2I)2=0.
Donde I es la matriz unidad de orden 2 y 0 es la matriz nula de orden 2.
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CURSO 13-14
1.-Dadas las matrices (
) y ( ), donde B
t es la matriz traspuesta de B e I la matriz unidad de
orden 3.
a) (6p.)Estudiar según el parámetro el rango de A·Bt+I.
b) (4p.) Calcular la matriz X que verifica: A·Bt·X-X=2B.
2.-Dadas las matrices (
) (
), obtener razonadamente el valor de los
determinantes siguientes, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) (4p.) |A+B| y |·(A+B)-1|. b) (3p.) |(A+B)-1·A| y |A-1·(A+B)|. c) (3p.) |2·A·B·A-1| y |A3·B-1|.
3.-Dado el sistema de ecuaciones: {
a) (7p.) Discutir la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro a. b) (3p.) Resolver en el caso (o en los casos) en que sea compatible indeterminado.
4.-Sea la matriz (
) .
a) (3p.) La matriz A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones homogéneo.
Discutir dicho sistema según los valores del parámetro m.
b) (3p.) Resolver para m=-1 y m=2.
c) (4p.) Determinar A-1 para m=0.
5.- a) (5p.) Calcular la matriz X que cumpla la siguiente ecuación matricial: X·A-B=2X, sabiendo que
(
) (
).
b) (5p.) Sea el determinante | | |
| . Se pide Calcular el valor de los siguientes
determinantes, explicitando las propiedades utilizadas.
|
| |
|
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6.-Dado el sistema de ecuaciones {
a) (7p.) Discutir la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro a. b) (3p.) Resolver en el caso (o casos) en que sea compatible indeterminado.
7.- a) (3p.) Sea M una matriz cuadrada donde |M|=-1 y |-2M|=8. Calcula el orden la matriz
cuadrada M.
b) (4p.) Sea la matriz (
). Determinar la matriz B para que se cumpla: A+B=A·B.
c) (3p.) Sean las matrices: (
) (
). Se pide: B-1 y |A·B2013·At|
8.- Dado el sistema de ecuaciones: {
. Se pide:
a) (6p.) Discutir la compatibilidad según los valores de .
b) (4p.) Resolver para
9.-Se sabe que las matrices A y B cumplen las siguientes condiciones:
(
) (
). Se pide calcular:
a) A-B b) A c) B.
10.-Sean las matrices (
) (
) (
). Se pide:
a) (3p.) |A-1|; b) (5 p.) la matriz X, sabiendo que A · X = Bt · C; c) (2p.) |A2013 ·Bt B|
11.-Sean las matrices: (
) ( ) (
). Se pide:
a) (5p.) Rango de la matriz A según los valores de m. b) (3p.) Discutir el sistema formado por A·X=B según los valores de m. c) (2p.) Resolver la ecuación A·X=B para m=1.
12.-Sean las matrices (
) (
) . Se pide:
a) (3p.) Calcular λ para que la ecuación X·A=B tenga solución (única). b) (3p.) Calcular la matriz X para λ=4. c) (4p.) Calcular |A2·B| en función de λ.
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CURSO 12-13
1.-a) Sea la matriz (
), calcular el Rango de A según los valores del parámetro a.
b) Para a=1, calcular |2At·A
-1|.
c) Sean A y B matrices cuadradas de orden n2, tales que B=A-1
. Se sabe que |A|=3, razona cuánto vale |B|. ¿Cuál es el rango de B?
2.- a) Calcula todas las matrices cuadradas de orden 2 de la forma (
) que satisfagan la
ecuación matricial A2+2A+3I=0, expresando c en función de a.
b) Demostrar que las matrices del apartado anterior (a) son invertibles y calcular su inversa. 3.- a) Sea A una matriz cuadrada de orden 2 y columnas C1 y C2 y determinante 5, y la matriz B cuadrada de orden 2 y determinante 2. Si D es la matriz cuadrada de orden 2 y columnas 4C2 y C1-C2. Calcular el determinante de la matriz B·D
-1.
b) Sea la matriz (
). Calcular x e y para que se cumpla B-1
=Bt.
4.-Sean las matrices ( ) (
) (
). Se pide:
a) Determinar la matriz, sabiendo que se cumple: |A|=7 y A·B=C. b) Sean las matrices anteriores y que verifican las condiciones del apartado anterior. Decide cuál de
las igualdades siguientes se cumple. Justifica la respuesta. b.1) A=C·B
-1; b.2) B=A
-1·C; b.3) A
-1=B·C
-1
5.-Dadas las matrices: A= (
) (
) ( ) (
). Se pide:
a) (5p) Hallar el rango de A en función del parámetro k. b) (2,5p) Para k=2, hallar si existe solución en el sistema A·X=B. c) (2,5p) Para k=1, hallar si existe la solución del sistema A·X=C.
6.-Dadas las matrices (
) y B una matriz de orden 2 no nula y que verifica que B2=-7B+. Se pide:
a) (4p) Calcular los parámetros a y b para que se cumpla que A2=a·A+b·.
b) (3p) Calcular los parámetros p y q para que se cumpla que B-1
=p·B+q·. Justificar que existe B-1
.
c) (3p) Calcular los parámetros x e y que verifique que B3=x·B+y·.
7.-Sean las matrices: (
) (
) ( ) . Se pide:
a) (2p) Determinar para qué valores de a y b, la matriz A es regular. b) (3p) Determinar para qué valores de a y b se cumple que A=A
-1.
c) (5p) Para a=2 y b=2, determinar las matrices C que verifican A·C=C·A.
8.-Dado el sistema de ecuaciones: {
}. Se pide:
a) (7p) Estudiar la compatibilidad del sistema en función del parámetro a. b) (3p) Resolver para a=0
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9.-Sea el sistema de ecuaciones: {
}. Se pide:
a) (5p) Calcular el valor de k para que tenga más de una solución. b) (2p) Calcular el valor de k para no tenga solución. c) (3p) Resolver para k=0.
10.-Sean las matrices (
) y B=3·3 (donde 3 es la matriz identidad o unidad de orden 3).
Calcular:
a) (3p) An, cuando n es par.
b) (7p) Resolver la ecuación matricial: 6·A20
·X=B-3·A·X. (tener en cuenta A20
en función de lo calculado anteriormente)
11.-Sabiendo que |
| . Calcular, indicando las propiedades utilizadas, el valor de:
a) (5p) |
|; b) (5p) |
|
12.-Dado el sistema de ecuaciones: {
} . Se pide:
a) (4p) ¿Cuánto ha de valer el parámetro a para que al añadirle la ecuación ax+y+z=9 sea un sistema de ecuaciones compatible y determinado? b) (3p) Resolver para a=0. c) (3p) ¿Cuánto ha de valer el parámetro a para que el sistema de 3 ecuaciones anterior no tenga solución?
13.-Dada la matriz (
) y sea B la matriz que verifica que (
).
a) (4p) Demostrar que A y B tiene inversas. b) (6p) Resolver la ecuación matricial A
-1·X-B=B·A.
14.-Sean las matrices: (
) (
).
a) Hallar una matriz X tal que A·X·A-1
=B. b) Calcular A
10.
c) Hallar todas las matrices M que satisfacen (A+M)·(A-M)=A2-M
2.
15.-Dado el sistema de ecuaciones: {
.
a) (7 p.) Discutirlo según los valores de k. b) (3 p.) Resolverlo cuando el sistema sea compatible.
16.-Dada la matriz (
).
a) (5 p.) Determinar el rango de M según valores del parámetro .
b) (5 p.) Determinar para qué valores de , existe la matriz inversa de M. Calcular dicha inversa para
=0.
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CURSO 11-12
1.-a) (5p.) Sean A y B matrices cuadradas de orden 3, cuyos determinantes son |A|=½ y |B|=-2. Hallar: a.1) |A
3|; a.2) |A
-1|; a.3) |-2A|; a.4) |A·B
t|; a.5) Rango de B
b) Utilizar las propiedades los determinantes para calcular el valor de:
b.1)(2p. ) |A|=| |; b.2) (3p.)|B|= |
|
2.-Dada la matriz A=(
). Se pide:
a) (5p.) Rango de A según los valores del parámetro a.
b) (5p.) Para a=2, discutir el sistema A·( ) (
) en función de los valores del parámetro b y
resolverlo cuando sea posible.
3.-Dado el sistema de ecuaciones {
. Se pide:
a) (6p.)Discutir según los valores del parámetro . b) (4p.)Resolver el sistema de ecuaciones para .
4.-a) Dada la matriz A=(
). Se pide:
a.1) (2,5p.)Determina los valores de para los que A2+3A no tiene inversa.
a.2) (2,5p.)Para , hallar la matriz X que verifique que A·X+A=2I.
b) (5p.)Dada la matriz A=(
). Calcular a y b para que A-1
=At.
5. Sean las matrices (
) (
). Se pide:
a) (4p.) ¿Para qué valores de m la matriz A no tiene inversa?
b) (4p.) Para m=1, calcular la inversa de A.
c) (2p.) Resolver la ecuación matricial A·X=B para m=1.
6.1-(6p.)Sea la matriz (
) cuyo determinante vale 4. Se pide, indicando las propiedades que
utilizas:
a) |-3At|; b) |
| ; c) |A-1
At| ; d) Si B es una matriz cuadrada y B
3=I, calcula |B
-1|
6.2.-Dadas la matriz (
)e I la matriz unidad de orden 2. Resolver el sistema de ecuaciones
matricial: {
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7.-Sea el sistema de ecuaciones {
. Se pide:
a) (6p.)Discutir según los valores del parámetro a.
b) (3p.)Resolver para a=2.
c) (1p.) Enuncia brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius.
8.- a) (5p.)Dadas las matrices (
) (
) , razonar para qué valores de t el
sistema homogéneo A·X=0, tiene más de una solución.
b) (4p.)Dadas las matrices (
) (
), calcular a, b y c, sabiendo que no
pueden valer 0 a la vez, para que las matrices M y N tengan, simultáneamente, rango 2.
c) (1p.)Enuncia brevemente qué es el rango de una matriz.
9.- a) (5p.)Dadas las matrices (
) (
), se pide:
a.1) Determinar para qué valores de k la matriz Bt·A
t tiene inversa.
a.2) Resolver la ecuación matricial (A·B)t·X=I para k=0.
b) (5p.)Dadas la matrices (
) (
). Resolver el sistema de ecuaciones matricial:
{
10.- a) (5p.) Sea la matriz (
), se pide:
a.1) Estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetro m.
a.2) Para m=-1, calcular A-1
.
b) (5p.) Discutir la compatibilidad del siguiente sistema según los valores a y resolver cuando el sistema
sea compatible indeterminado: {
11.-Indicando las propiedades de los determinantes utilizadas en cada caso, se pide:
a) (6p.)Si | | |
| , calcular
a.1) |
|=; a.2) |
|; a.3) |
|
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b) (2p.)Si |
| , calcular|
|
c) (2p.) Sabiendo que x, y, z y u son valores no nulos, justificar sin efectuar su desarrollo que
|
|
12.-Dadas las matrices (
) ( ).
a) Discutir el rango de A según los valores de .
b) Para =2, resuelve el sistema de ecuaciones (o la ecuación matricial) A·X=B.
13.- Sean las matrices (
) (
)
a) Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es
·A.
b) Para =-3, determina la matriz X que verifica la ecuación At·X=B, siendo A
t la matriz traspuesta de
A.
14.- a) Discutir, según los valores de m, el sistema: {
b) Resolver para m=0 y m=1.
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CURSO 10-11
1.-Sean las matrices: (
) (
) (
).
a) Matriz inversa de otra. ¿Por qué no tiene inversa la matriz C? b) Matriz inversible o regular. ¿Es invertible la matriz D? c) Hallar los valores de m para que exista B
-1.
d) Hallar B-1
para m=0. e) Calcular la matriz X para que cumpla que X·B+C=D para m=0.
2.-Sabiendo que (
) y que |A|=4. Indicando en cada caso las propiedades utilizadas, se pide:
a) | |; | |; |
|.
b) Calcular A, si A·(
)=I.
c) Si (
) ¿qué relación existe entre b, c y d para que se verifique B-1
=2I-B.
d) Menor complementario de un elemento de un determinante 3.-El sistema A·X=B tiene diferentes soluciones según sea la matriz B, sabiendo que:
A (
) ( )
a) Rango de matriz b) Determinar si existen valor/es de a para los que el sistema sea compatible.
c) Si a=4 y B (
), determinar, si existen, el valor/es de b para los que el sistema es
incompatible.
d) Si a=4 y B (
), determinar, si existen, el valor/es de c para los que el sistema es compatible
indeterminado. Resolver el sistema.
4.-a) Discutir según los valores del parámetro a y resolver cuando sea posible: {
b) Sean (
) (
) . Calcular: |(B.A)t|
-1 y B
2.
c) ¿Qué es un adjunto en un determinante?
5.-Sea la matriz (
). Se pide:
a) Estudiar el rango de A según los valores de a. b) Hallar el valor de a para que A sea una matriz regular. c) Hallar A
-1 para a=1.
d) Enunciar brevemente el Teorema de Rouché-Fröbenius
6.-a) Sea (
), encontrar todas las matrices (
) tal que se verifique B·P=P·B.
b) Sea | | |
| Se pide el valor de: |C4·C
-1|, |
| y |
|.
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7.-Sea el sistema de ecuaciones: {
a) Discutir según los valores de a. ¿Tiene siempre solución? b) Resolver para a=-1. c) ¿Qué es un sistema homogéneo? ¿Cuándo será incompatible?
8.-a) Dadas las matrices P (
) y A (
), hállese razonadamente la matriz B,
sabiendo que B·P=A.
b) Sea el sistema de ecuaciones {
. Discutir y resolver según a.
9.-Dadas las matrices (
) (
) (
).
c) ¿Para qué valores de m existe B-1
? d) Para m=1, calcular B
-1.
e) Para m=1, hallar la matriz X tal que X·B+C=D.
10.-Determina, según los valores de m, el rango de la matriz (
). ¿Cuándo tiene
inversa A? Para m=1, soluciona el sistema ( ) (
).
11.- a) Discutir, según los valores de a, el sistema: {
b) Resolver para a=0.
12.-Sea la matriz (
). Se pide:
a) Determinar los valores de λ para que la matriz A2+3A no tenga inversa.
b) Para λ=0 hallar una matriz X que verifique que A·X+A=2I.
13.- Discutir según los valores de a el siguiente sistema: {
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CURSO 09-10
1.-Dada la matriz (
)
a) Estudia, según los valores de m, el rango de A.
b) Para m=-1, calcula la matriz X que verifica XA+A=2I3.
2.-Sea el sistema {
a) Discutir las soluciones del sistema anterior en función de a.
b) Resolver para el valor de a que hace al anterior sistema compatible indeterminado.
3.-Se consideran las matrices (
)
a) Halla los valores de x, y, z para los que la matriz A no tiene inversa.
b) Determina los valores de a para los que el sistema que se forma de B·A=C tiene solución.
c) Resuelve el sistema anterior cuando sea posible.
4.-Realiza las cuestiones siguientes:
a) Sea (
). Halla An, siendo .
b) Busca una matriz B tal que B·A=(0 0), siendo (
).
c) Sean las matrices (
) (
). Estudia en función de los valores de k, si la
matriz B·A tiene inversa.
5.-Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican A·X·B=C.
a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que |A|=3, |B|=-1 y |C|=6, calcula |X| y
|2X|.
b) Si (
), (
) y C (
), calcula la matriz X.
6.-Sea el sistema de ecuaciones {
a) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible.
b) Resuelve el sistema para m=-1.
7.-Se consideras las matrices (
) y B=A-kI2, donde k es una constante.
a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa.
b) Calcula B-1
para k=-1.
c) Determina las constantes y para las que se cumple A2+A=I2.
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8.-Sean las matrices (
) y ( ).
a) Calcula, si existe, la inversa de la matriz A.
b) Resuelve ¡el sistema A·X=3X.
9. Dadas las matrices: (
) (
)
a) Encontrar las condiciones que debe cumplir a, b, c para que se verifique A·B=B·A.
b) Para a=b=c=1, calcular B10
.
c) Calcular A-1
.
10. Dado el sistema {
a) Clasificarlo según los valores de k.
b) Resolverlo para k=-1
11. Se considera el sistema {
}
a) Discutir según los valores de m.
b) Resolver para m=0.
12. Dada la matriz (
). Obtener A-1
.
13. Dadas las matrices (
) (
). Obtener una matriz cuadrada X2 que verifique
A·X·B=A+B.
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CURSO 08-09
1.- a) Calcular razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:
mzzyx
myzyx
mxzyx
42
2
2
b) Resuelve el sistema anterior para el caso m=0 y para el caso m=1.
2.-Dadas las matrices
111
402
201
111
121
211
ByA
a) Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. b) Resuelve la ecuación matricial: A·X+B=A+I, donde I denota la matriz identidad de orden 3.
3.-Sabemos que el sistema de ecuaciones:
22
132
zyx
zyx. Tiene las mismas soluciones que el que
resulta al añadir la ecuación ax+y+7z=7.
a) Determina el valor de a. b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de las incógnitas sea igual a la unidad.
4.-Considera la matriz
2
22
111
mmm
mmmA
a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.
b) Estudia si el sistema
1
1
1
·
z
y
x
A tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en
el apartado anterior. Si tienen solución hállalas.
5.-Dada la matriz
k
k
k
A
71
31
31
a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. b) Para k=0, halla la matriz inversa de A.
6.-Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
1)1(
0
1
kkzykx
zky
yx
a) Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible. b) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z=2
7.-Dadas las matrices:
1
1
11
02
1
1
0
2
0
1
;
221
010
111
CyBA
Calcula la matriz P que verifica AP-B=Ct.
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8.-Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
1
2
1
zayx
aazyx
axyx
a) Discútelo según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en el caso a=2.
9.-Considérese el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial A·X=B, donde
z
y
x
XyB
a
aaA ,
3
2
1
,
11
12
211
Siendo a un parámetro real. Se pide:
a) Clasifica el sistema en función del parámetro a . b) Para a=0, obtén las soluciones mediante el cálculo X=A
-1·B.
10.-Calcula una matriz cuadrada X, sabiendo que verifica: X·A
2+BA=A
2 siendo:
002
020
200
001
010
100
ByA
11.-Estudiar el rango de la matriz:
11
1
)1(1
mm
mm
mmmm
A según los valores del parámetro m.
12.-Sean las matrices:
76
98
10
02ByA Hallar una matriz X, tal que X·A·X
-1=B.
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