1
SOLUCIONAIO
UNIMatemática
Examen deadmisión
2017-1
MATEMÁTICA
PREGUNTA N.o 1
Sean los conjuntos
A abcdefa
= ( )12
las cifras son consecutivas
y crecientes, > 0
B abcdef=
( )12
las cifras son consecutivas
y decrecientes
Halle el número de elementos de A ∪ B.
A) 8 B) 9 C) 10 D) 13 E) 14
RESOLUCIÓN
Tema: Conjuntos numeración
Análisis y procedimiento
• A abcdefa
= ( )12
las cifras son consecutivas
y crecientes, > 0
se debe cumplir que 0 < a < b < c < d < e < f < 12
Por extensión, tenemos que A= ( )( ) ( ) ( ) ( )123456 234567 6789 10 1112 12 12; ,...,
→ n(A)=6
• B abcdef=
( )12
las cifras son consecutivas
y decrecientes
se debe cumplir que 12 > a > b > c > d > e > f ≥ 0
Por extensión, tenemos que
B= ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
11 10 9876 10 98765
654321 543210
12 12
12 12
, ,...,
, )) → n(B)=7
Se observa que A y B son disjuntos.
Nos piden n(A ∪ B)=n(A)+n(B) n(A ∪ B)=6+7
∴ n(A ∪ B)=13
Respuesta: 13
PREGUNTA N.o 2
La suma de las cifras de los cuatro últimos dígitos de
E = + + + + + + +2 22 22 2 3 33 33 3
51 51
... ... ... ...
dígitos dígitos
es
A) 11 B) 13 C) 16 D) 17 E) 19
RESOLUCIÓN
Tema: Operaciones básicas en Z+
Análisis y procedimiento
Piden la suma de los cuatro últimos dígitos de E.
Por dato E = + + + + + +2 22 22 2 3 33
51
51
... ... ...
dígitos
sumandos
++ 33 3
51
51
...
dígitos
sumandos
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2
Entonces E = + + + +5 55 555 55 5
51
51
... ...
dígitos
sumandos
Ordenamos los sumandos en vertical.
5
5 5
5 5 5
5 5 5 5
5 5 5 5 5
7 2 5 5
51
25
27
27
...
...
+
sumandos
En las unidades: 5×51= 255lleva queda
En las decenas: 5×50+25= 275lleva queda
En las centenas: 5×49+27= 272lleva queda
En las unidades de millar: 5×48+27= 267
lleva queda
Por lo tanto, la suma (S) pedida es
S=7+2+5+5=19
Respuesta: 19
PREGUNTA N.o 3
Sea r el residuo de dividir
E=33n+32n+3n+3 entre 8.
Determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas.I. r=6, si n es par.II. r=6, si n es impar.III. r=2, si n es impar.
A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I y III
RESOLUCIÓN
Tema: Teoría de divisibilidad
Análisis y procedimiento
Sabemos que
E rn n n= + + + = +3 3 3 3 83 2o
residuo
Analizamos cada caso: par e impar.• Sin es par Recuerde que
impar
paro
( ) = +( )
8 1
→ E=33n+32n+3n+3
E = +( ) + +( ) + +( ) + = +8 1 8 1 8 1 3 8 6o o o o
∴ r=6
• Sin es impar → n = 2k+1; k ∈Z+
E = 33(2k+1)+32n+32k+1+3
E = 36k · 33+32n+32k · 3+3
E = +( ) +( ) + +( ) + +( ) +8 1 8 3 8 1 8 1 3 3o o o o
E = + + + + + + o o o
8 3 8 1 8 3 3
E = +8 2o
∴ r=2
LuegoI. Verdadera
Por lo analizado r=6 si n es par.
II. Falsa
Por lo analizado no cumple que r=6 si n es impar.
III. Verdadera
Por lo analizado r=2 si n es impar.
Respuesta: I y III
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PREGUNTA N.o 4
Sea la fracción a
3 (a y 3 primos entre sí), con a > 0.
Al numerador le agregamos el número A ∈N
y al denominador 2A, se obtiene una fracción equivalente que es la mitad de la fracción original, entonces la suma de todos los valores posibles de a es:
A) 4 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15
RESOLUCIÓN
Tema: Números racionales
Análisis y procedimiento
Dada la fracción a
3
por condición
a A
A
aA
++
= × ∈3 2
1
2 3; N
a A
A
a+
+=
3 2 6
6a+6A=3a+2Aa
6A=a(2A – 3)
aA
A=
−
6
2 3
aA
A=
− +
−
6 9 9
2 3
aA
= +−
39
2 3 Es divisor entero positivo de 9.
→ 1, 3 o 9
EvaluamosSi 2A – 3=1 → A=2 → a=12Si 2A – 3=3 → A=3 → a=6Si 2A – 3=9 → A=6 → a=4
Como a es PESI con 3, el único valor de a es 4.
Respuesta: 4
PREGUNTA N.o 5
Indique la alternativa correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado:I. Entre dos números racionales existe al menos
un número irracional.II. El número p se puede expresar exactamente
como un número racional r =22
7.
III. La suma de dos números irracionales es un número irracional.
A) VVV B) VVF C) VFF D) FVF E) FFF
RESOLUCIÓN
Tema: Racionales
Análisis y procedimiento
SeanQ: el conjunto de los números racionalesQ’: el conjunto de los números irracionalesR: el conjunto de los números reales
+∞–∞R
∈Q
∈Q'
2
–1 0 14
–0,5 1 2 3
e p
4
I. Verdadera
Porque • Q no es continuo en R. • LaunióndisjuntadeQ y Q' da R, es decir, Q ∩ Q'=f Q ∪ Q'=R
II. Falsa
Porque p∈Q' y r = ∈
22
7Q
III. Falsa
Contra ejemplo a a= + ∈2 5; 'Q ; b b= − ∈5 2; 'Q
Luego, a+b=10 ∧ 10 ∈QNotaLa adición no cumple la ley de clausura o cerradura en Q'.
Respuesta: VFF
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PREGUNTA N.o 6
Se dispone de tres recipientes cúbicos cuyos lados de longitud L1, L2, L3 cumplen con la siguiente condición:L L L1 2 3
1 2 3= =
Se pretende distribuir 434 litros de agua entre los tres recipientes de modo que alcancen el mismo nivel o altura. Determine los litros de agua que recibe el recipiente de longitud L2.
A) 112 B) 120 C) 124 D) 136 E) 146
RESOLUCIÓN
Tema: Razones - proporciones - SRGE
Análisis y procedimiento
Por condición
434
L1 L2 L3
H V 1V 1 H V 2V 2 H V 3V 3
Donde
V L H V L H V L H1 12
2 22
3 32= × = × = ×; ; (I)
Por dato
L L L L L L
L H L H L
1 2 3 12
22
32
12
22
1 2 3 1 4 9
1 4
= = → = =
→×
=×
= 332
9
× H (II)
Entonces de (I) y (II), se tiene
V V V1 2 3
1 4 9
434
1431= = = =
+
+
∴ V2=4×31=124
Respuesta: 124
PREGUNTA N.o 7
Se elige aleatoriamente un número entero de cinco cifras. Calcule la probabilidad que dicho número sea par y la suma de sus cifras sea 42.
A) 7
910 4× − B)
11
910 4× − C)
13
910 4× −
D) 11
910 3× − E)
13
910 3× −
RESOLUCIÓN
Tema: Teoría de probabilidades
Análisis y procedimiento
Recuerde que para un evento A contenido en un espacio muestral W, la probabilidad (definición clásica) de que ocurra el evento A, se calcula así
P AA n A
( ) = =( )N.º de casos favorables de
N.º de casos totales nn Ω( )
Casos favorables
abcde
suman 42 0
suman 40 2suman 38 4suman 36 6suman 34 8
es par e es par o cero.
Observación
En la base 10, la suma de 4 dígitos es como máximo 36.
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Entoncessi e=6 → a=b=c=d=9
∴ hay un caso
si e=8 → abcd8
7999 → P 4 1 3
4
1 34; ;
!
! !( ) = ×= casos
8899 → P 4 2 2
4
2 26; ;
!
! !( ) = ×= casos
∴ (N.º de casos favorables)=1+4+6=11
Casos totales
abcde : ; ; ; ...;10 000 10 001 10 002 99 999
90 000 numerales
Por lo tanto, la probabilidad de que al elegir al azar un número de 5 cifras, dicho número sea par y sus cifras sumen 42 es
P = = × −11
90 000
11
910 4
Respuesta: 11
910 4× −
PREGUNTA N.o 8
Sean a, b, a, b ∈N, N=aabb, M=aa+1bb+1, con a y b primos diferentes. Si N es un cubo perfecto y M es un cuadrado perfecto. Entonces indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. El número de divisores de N M3 ⋅ es impar.II. El producto ab(a+1)(b+1) es múltiplo de 36.III. El número de divisores de N M3 ⋅ es par.
A) VVV B) VVF C) FVV D) FVF E) FFF
RESOLUCIÓN
Tema: Números primos y compuestos
Análisis y procedimiento
Del enunciado se tiene• N=aa×bb (D.C.) Como N es un cubo perfecto, entonces
α β= ∧ =3 3o o
.
• M=aa+1×bb+1 (D.C.) Como M es un cuadrado perfecto, entonces
α β+ = ∧ + =1 2 1 2o o
→ αα
α=
+
− +
→ = +
= + ∈ +
o
o
o3 3
2 1 4
6 3
6 3 0k k; Z
Análogamente con b se tiene
β
β
= +
= + ∈ +
6 3
6 3 0
o
n n; Z
De donde se tiene que
N=a6k+3×b6n+3 (D.C.)
M=a6k+4×b6n+4 (D.C.)
y sea P N M= ⋅3
P = a2k+1×b2n+1×a3k+2×b3n+2
→ P = a5k+3×b5n+3 (D.C.)
Evaluando las proposiciones, tenemos
I. Falsa
CD(P)=(5k+4)(5n+4) Puede ser par o impar, dependiendo de los
valores que tomen k y n.
II. Verdadera
ab(a+1)(b+1)
→ (6k+3)(6n+3)(6k+4)(6n+4)
→ 3(2k+1)3(2n+1)2(3k+2)2(3n+2)
→ 36(2k+1)(2n+1)(3k+2)(3n+2)=36o
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III. Falsa
CD(P)=(5k+4)(5n+4) Puede ser par o impar, dependiendo de los
valores que tomen k y n.
Respuesta: FVF
PREGUNTA N.o 9
Sean las ecuacionesy=x2 – 3x+4 ∧ y=mx+3Determine los valores reales de m para que nunca se intersequen.
A) ⟨– 5; –1⟩ B) ⟨– 5; 1⟩ C) ⟨1; 5⟩ D) R\ [– 5; –1] E) R\ ⟨– 5; –1⟩
RESOLUCIÓN
Tema: Gráfica de funciones
Análisis y procedimiento
A partir de las funciones y=x2 – 3x+4 ∧ y=mx+3
Se tiene la representación
X
Y
34
3/2
1/4
Como se piden los valores reales de m para que nunca se intersequen.
igualamos las expresiones
x2 – 3x+4=mx+3
→ x2 – (m+3)x+1=0
Se cumple que su discriminante es negativa.
→ (m+3)2 – 4(1)(1) < 0
→ (m+3)2 < 4
→ – 2 < m+3 < 2
→ – 5 < m < –1
∴ m ∈⟨– 5; –1⟩
Respuesta: ⟨– 5; –1⟩
PREGUNTA N.o 10
Si E=⟨– ∞; 2] es el conjunto solución de la inecuación |x – a| ≤ |x – b|, 0 < a < b, entonces el menor valor de (a+b)2 es:
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
RESOLUCIÓN
Tema: Valor absoluto
Análisis y procedimiento
Se tiene la inecuación |x – a| ≤ |x – b|; 0 < a < b
→ (x – a)2 ≤ (x – b)2
→ (x – a)2 – (x – b)2 ≤ 0
→ (x – a+x – b)(x – a – x+b) ≤ 0
→ 2 0x a b b a− −( ) −( ) ≤+( )
→ 2x – a – b ≤ 0
→ xa b
xa b
≤+
→ ∈ −∞+
2 2;
Como el conjunto solución es E=⟨ – ∞; 2], tenemos
→ a b+
=2
2
→ a+b=4
∴ (a+b)2=16
Observación
El valor de (a+b) es único.
Respuesta: 16
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PREGUNTA N.o 11
Sea A z z z z= ∈ −( ) −( ) = + C : 4 3 3 152
Halle z0 ∈A tal que |z0| sea mínimo.
A) –1 B) 1 C) i
D) – 7i E) 7
RESOLUCIÓN
Tema: Números complejos
Análisis y procedimiento
Tenemos
A z z z z= ∈ −( ) −( ) = + ( )
C : 4 3 3 152
I
Graficamos ADe (I)
4 3 9 152 2
z z z z− +( ) +( ) = +
3 12 21 02
z z z− +( ) + =
z z z2
4 7 0− +( ) + = (II)
Ahora, sea z=x+yi en (II)
x2+y2 – 8x+7=0
(x – 4)2+y2=32
Im
Re
A
3
1 4
En la gráfica, z0 ∈A.
Entonces, z0 mínimo es z0=1.
Respuesta: 1
PREGUNTA N.o 12
Dados a; b ∈R y los problemas de programación lineal
mín ax+by (1) máx ax+by (2)sa (x; y) ∈ D sa (x; y) ∈ D
Sea (x0; y0) solución del problema (1). Señale la alternativa correcta después de determinar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:I. ( – x0; – y0) es solución del problema (2).II. Si D ≠ f, entonces la solución de los problemas
(1) y (2) son distintas.III. Si las soluciones de los problemas (1) y (2)
coinciden, entonces D x y= ( ) 0 0; .
A) VVV B) VFV C) VVF D) FFV E) FFF
RESOLUCIÓN
Tema: Programación lineal
Análisis y procedimiento
Analizamos las proposiciones.I. Falso
Si (x0; y0) es solución de (1) y (x0; y0) ∈IC,
entonces, (– x0; – y0) ∈IIIC.
∴ (– x0; – y0) no es solución del problema (2).
II. Falso
Si D x y= ( ) '; ' , entonces
mín ax+by=máx ax+by.
III. Falso
Si tenemos que
D
x y
x y
x
y
z x y=
+ ≤
+ ≥
≥
≥
= +
5
5
0
0
4 4;
al resolver tenemos que
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8
Y
X5
D
5
→ máx z=20 ∧ mín z=20. Las soluciones de
(1) y (2) coinciden, pero D x y≠ ( ) 0 0;
(D es segmento)
Respuesta: FFF
PREGUNTA N.o 13
Sean f: [2; 4] → A, f(x)=1– 2x biyectiva y
g: A → B, gxx( ) = +
7
1 biyectiva.
Determine B.
A) − −
7
2
7
6;
B) − −[ ]7 3;
C) − −
21
2
25
6;
D) − −
2125
3;
E) 2 4;[ ]
RESOLUCIÓN
Tema: Funciones
Análisis y procedimiento
Tenemos
• f: [2; 4] → A; f(x)=1 – 2x
Como f es biyectiva, A=Ran( f ).
De 2 ≤ x ≤ 4
– 7 ≤ 1 – 2x ≤ – 3
Luego,
Ran( f )=A=[– 7; – 3]
• g: A → B, g xx
( ) =+7
1
Como g es biyectiva
A=Dom(g) ∧ B=Ran(g)
→ A=[– 7; – 3]
→ – 7 ≤ x ≤ – 3 +1
– 6 ≤ x+1 ≤ – 2 invertimos
− ≥+
≥ −1
6
1
1
1
2x
×(7)
− ≥+
≥ −7
6
7
1
7
2x
− ≤+
≤ −7
2
7
1
7
6x
− ≤ ≤ −7
2
7
6g x( )
∴ B = − −
7
2
7
6;
Respuesta: − −
7
2
7
6;
PREGUNTA N.o 14
Al efectuar la división
x n x n
x
n+ − +( ) +
−
1 11
el término independiente del cociente que resulta es
A) – 2n B) – n C) 0 D) n E) 2n
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RESOLUCIÓN
Tema: División algebraica
Análisis y procedimiento
En la división indicada
x n x n
x
n+ − +( ) +
−
1 11
Aplicamos la regla de Ruffini.
x=1 1 1 1 1 –n. . .
11 1 1 –n 0. . .
01 0 0 –(n+1) n. . .
(n+2) términos
→ q(x)=xn+xn –1+xn – 2+...+x – n
Por lo tanto, el término independiente de q(x) es – n.
Respuesta: – n
PREGUNTA N.o 15
Sean a; b; c ∈R tales que 0 < a < b < c y x1 < x2. Siendo (x1; y1) y (x2; y2) soluciones del sistema de ecuaciones
y=ax2+bx+c
y=cx2+bx+a
entonces podemos afirmar que
A) x1, x2, y1, y2 > 0
B) x1, x2 < 0; y1, y2 > 0
C) x1, x2 > 0; y1, y2 > 0
D) x1 < 0; x2, y1, y2 > 0
E) x1 > 0; y1, y2 < 0
RESOLUCIÓN
Tema: Sistema de ecuaciones no lineales
Análisis y procedimiento
Se tiene 0 < a < b < c → c – b > 0
(x1; y1) y (x2; y2) son soluciones del sistema.
y=ax2+bx+c
y=cx2+bx+a
De
ax2+bx+c=cx2+bx+a
(a – c)x2=a – c; a – c ≠ 0
x2=1
Si
x=1 → y=a+b+c
x= –1 → y=a – b+c
Luego, las soluciones son
( – 1; a – b+c) y (1; a+b+c)
Como x1 < x2
→ x1= – 1; y1=a – b+c > 0 (c – b > 0 ∧ a > 0)
→ x2=1; y2=a+b+c > 0 (c > b > a > 0)
∴ x1 < 0; x2, y1, y2 > 0
Respuesta: x1 < 0; x2, y1, y2 > 0
PREGUNTA N.o 16
Determine los puntos de intersección de la gráfica
de la función definida por f x xx( ) = − +2 2
con la recta 3x – 2y= – 11.
A) ( – 1; 2), (3; 9) B) (1; – 4), (3; 10) C) (–1; 4), (3; 10) D) ( – 1; 1), (4; 9) E) (1; – 4), (3; 12)
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RESOLUCIÓN
Tema: Gráfica de funciones
Análisis y procedimiento
Tenemos
y=f(x)=|x – 2|+x2
3x – 2y= – 11 → y x= +3
2
11
2
Igualando ordenadas
x x x x x x− + = + → − = − + +23
2
11
22 4 2 3 112 2
→ 2x – 4= – 2x2+3x+11 ∨ 2x – 4=2x2 – 3x – 11
0=2x2 – x – 15 ∨ 0=2x2 – 5x – 7
(2x +5) (2x – 7)
(x – 3) (x +1)
0=(2x+5)(x – 3) ∨ 0=(2x – 7)(x+1)
x x= − ∨ =
( )( )
5
23
no cumplesí cumple
x x= − ∨ = −
( )( )
7
21
no cumplesí cumple
Luego
si x=3 → f(3)=10=y → (x; y)=(3; 10)
si x= – 1 → f( – 1)=4=y → (x; y)=( –1; 4)
Por lo tanto, los puntos de intersección son(3; 10), ( –1; 4).
Respuesta: ( –1; 4), (3; 10)
PREGUNTA N.o 17
Halle el valor de x silog log log logx y
x y
= − −
=
−
1024 3 2
2 256
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 24
RESOLUCIÓN
Tema: Logaritmos
Análisis y procedimiento
Tenemos
log x=log 1024 – 3 log 2 – log y
log x+log y = log 1024 – log 8
log xy = log 128 → xy=128
Además
2x – y = 256=28 → x – y=8
Se forma el sistema
xy x y
x y
= > ∧ >
− =
128 0 0
8
;
Entonces x=16; y=8
Por lo tanto, el valor de x es 16.
Respuesta: 16
PREGUNTA N.o 18
Determine la traza de A, si se cumple que
A I A I+( ) =
−( ) = −
2 21 2
0 1
1 0
0 1y
A) 1 B) 5/4 C) 2
D) 2 E) 4
RESOLUCIÓN
Tema: Matrices
Análisis y procedimiento
A I A I+( ) − −( ) =
− −
=
2 2 1 2
0 1
1 0
0 1
2 2
0 2
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11
42 2
0 2
1 2 1 2
0 1 2A A=
→ =
/ /
/
∴ ( ) = + =traza A1
2
1
21
Respuesta: 1
PREGUNTA N.o 19
Considere la progresión aritmética
3a(n); 43(n+1); 4a(n+2); ...
donde la suma de los tres primeros términos es mayor que 170. Si n es el menor posible, calcule la suma de los primeros 12 términos de esta progresión.
A) 1150 B) 1330 C) 1340
D) 1350 E) 1650
RESOLUCIÓN
Tema: Sucesiones
Análisis y procedimiento
Se tiene la progresión aritmética (PA).
3an; 43(n+1); 4a(n+2); ...
(3n+a); (4n+7); (4n+8+a); ...
r r
r r
La suma de los 3 términos en función del término
central y la razón (r).
(4n+7 – r)+(4n+7)+(4n+7+r)=12n+21
3(4n+7)=12n+21
Por dato se sabe que
12n+21 > 170
12n > 149
n > 12,4...
En toda PA se cumple
2×(2.º término)=(1.er término)+(3.er término)
2×(4n+7)=(3n+a)+(4n+8+a)
8n+14=7n+2a+8
n a14 10
6 2 + =
Por dato nes mínimo
Luego, la PA inicial sería
41 ; 52 ; 63 ; 74 ; ... ; a12; ...
11 11 11
Su término general es an=11n+41
Entonces el término doce es
a12=11×12+41
a12=173
Nos piden, la suma de los 12 primeros términos de la PA.
Sa a
121 12
212=
+( )×
S12
52 173
212=
+( )×
∴ S12=1350
Respuesta: 1350
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PREGUNTA N.o 21
En un cuadrilátero convexo ABCD se verifica
que AB ≅ BC ≅ CD. Si m ABD=13m DBC y
m ADB=6m DBC, halle m DBC.
A) 2º B) 3º C) 4º
D) 5º E) 6º
RESOLUCIÓN
Tema: Congruencia de triángulos
Análisis y procedimiento
30º
90º – 7a
bb
a
a
ab
b
H
C
A
B
D
S
6a 6a a a
a
90º – 7a90º – 7a
7a7a7a
13a13a
Piden
m DBC=a.
ABC isósceles
→ m BAS=90º – 7a
AS=SC=b
ASB ≅ CHD (ALA)
→ AS=CH=b
AHC notable
→ m CAH=30º
ABD (S m i=180º)
∴ a=5º
Respuesta: 5º
PREGUNTA N.o 20
Considere para cada n ∈N el conjunto
S x x nn = ∈ − = + R : 2 1 1 y
A x x= ∈ < R : 3
Determine la suma de los valores de n, de tal forma que se cumpla Sn ⊆ A.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
Tema: Valor absoluto
Análisis y procedimiento
Tenemos que
• Sn=x ∈ R: |2x –1|=n+1; n ∈ N
→ 2x –1=n+1 ∨ 2x –1=– n –1
xn
=+ 22
∨ xn
=−
2
→ Sn n
n =+ − 2
2 2;
• A x x= ∈ < = −R : ;3 3 3
Como Sn ⊆ A
→ n n+ − ⊆ −
2
2 23 3; ;
Esto es
− <+
< → − − < < −32
23 2 3 2 2 3 2
nn (I)
− <−
< → − < <32
3 2 3 2 3n
n (II)
(I) ∩ (II)
− < < −2 3 2 3 2n como n ∈ N → n=1
Por lo tanto, la suma de valores de n es 1.
Respuesta: 1
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PREGUNTA N.o 22
Determine la longitud (en cm) del lado de un
polígono regular inscrito en una circunferencia C de
radio R cm si la longitud del lado de un polígono
de doble número de lados inscrito en C es igual
a R
2 cm.
A) 15
2R
B) 15
3R
C) 15
4R
D) 15
5R
E) 15
6R
RESOLUCIÓN
Tema: Polígonos regulares
Análisis y procedimiento
x2
R4
R4
x2
15R4R
R
O
CS
H BA qq
Piden AB=x.
Tenemos como condición que BCR
=2
.
AB=longitud del lado de un polígono regular
CB=longitud del lado de un polígono regular
de doble número de lados.
CSO: teorema de Pitágoras
OSR
=15
4
OSC ∼ BHC
HB
OS
CB
CO
x
R
R
R= → =2
15
4
2
∴ x R=15
4
Respuesta: 15
4R
PREGUNTA N.o 23
En un triángulo ABC, se traza BM M AC∈( ) tal que
AM MC=3
4, por M se traza MH ⊥ BC H BC∈( ) y
por A se traza AE ⊥ BM E BM∈( ). Si MH=8 u,
AE = 6 3 u y m MBC=30º, calcule el área del
triángulo MHC (en u2).
A) 30 3
B) 32 3
C) 34 3
D) 36 3
E) 38 3
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RESOLUCIÓN
Tema: Áreas de regiones triangulares
Análisis y procedimiento
Recuerde
nB
m
A
C
A( ABC) =
⋅m n
2
3
8
4qq
38
36 3a=8
38
B
E
H
A M C
P
30º
Piden A( MHC)=S
Sa
S a=⋅
→ =8
24
MHB: BH = 8 3
CP BM⊥
→ AEM ∼ CPM
CP = 8 3
CPB: CB = 16 3
→ a = 8 3
∴ S = 32 3
Respuesta: 32 3
PREGUNTA N.o 24
La figura representa un cubo de arista a cm. Calcule
el área (en cm2) de la circunferencia que pasa por
los puntos P, Q, R, S, T, U; teniendo en cuenta que
son puntos medios de las aristas.
R
QP
U
S
T
A) pa2 B) pa2
2 C)
22
2pa
D) 2
4
2pa E) 3
4
2pa
RESOLUCIÓN
Tema: Poliedros regulares
Análisis y procedimiento
2a
22a
2
2a
22a
2
2a
2
2a
2
2a
2
2a
22a
2a
2
a
2
a
2Q
R
P
U
T
S
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Sea r el radio de la circunferencia que pasa por los puntos P, Q, R, S, T y U.
Nos piden A =pr 2 (*)
Como P, Q, R, S, T y U son puntos medios, entonces, el hexágono PQRSTU es regular.
→ PQ ra
= = =62
2
Reemplazamos en (*)
A =πa2
2
Respuesta: pa2
2
PREGUNTA N.o 25
En la figura se tiene una plataforma rígida ABCD en forma de trapecio tal que AB=DC=2BC=20 cm y una cuerda AP, calcule (en cm) la longitud recorrida por el extremo P, hasta que haga contacto con DC, sabiendo que AP=40 cm.
A) 14p B) 15p C) 16p
P
B
C
54º
54º
AA
DD
D) 17p E) 18p
RESOLUCIÓN
Tema: Circunferencia
Análisis y procedimiento
Piden la longitud recorrida por el extremo P.(1+2+3)
1
23
3p10
3p10
54º
54º10
10
10
10 20
20
40
C
B
Q
PA
D
P'
T
p5
Como
m DAQ=54º →m QAP=36º
→ mQAP =π
5
→ 15
40= ⋅π
→ 1=8p
Como
BC // AD → m QBC=54º
→ mQBC =3
10
π
→ 23
1020= ⋅
π → 2=6p
Además
mDCT =3
10
π → 3
3
1010= ⋅
π
→ 3=3p
∴ 1+2+3=17p
Respuesta: 17p
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PREGUNTA N.o 26
En un triángulo ABC, en AC se ubica un punto H, por dicho punto se traza la perpendicular PH a AC, la cual interseca a AB en Q. Si m PAB=53º, m ACB=143º, AP=AB y AH=12 m. Calcule HC (en m).
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
RESOLUCIÓN
Tema: Congruencia de triángulos
Análisis y procedimiento
Piden HC=x.
Dato: AP=AB; AH=12
53º 143º
37º53º 12
12
H xqqq
A
R
C
B
P
Q
Trazamos AR ⊥ BC.
m PAH =m BAR = 53º + q
→ AHP ≅ ARB
→ AH=AR=12
Además
ARC: not 37º y 53º
→ 12+x=20
∴ x=8
Respuesta: 8
PREGUNTA N.o 27
En el paralelogramo ABCD mostrado en la figura, BD ⊥ DC. Se ubica un punto P, en el interior del triángulo ABD, de modo que (AP)2+(PC)2=55 y (PB)2+2(CD)2=30. Calcule PD.
A D
B C
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
RESOLUCIÓN
Tema: Relaciones métricas
Análisis y procedimiento
Datos
(AP)2+(PC)2=55
(PB)2+2(CD)2=30
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Nos piden calcular PD.
b
n
n
n m
a xP
A
B
D
C
Q
Del dato
a2+b2=55
m2+2n2=30
APQ (teorema de la mediana)
a2+2=2m2+2n2 (I)
BQCD (teorema de Marlen)
2+x2=m2+b2 (II)
De (I) y (II)
a2 – x2=m2+2n2 – b2
→ x2=25
∴ x=5
Respuesta: 5
PREGUNTA N.o 28
Desde el punto de vista P, se trazan rectas secantes L 1 y L 2 a una circunferencia C. L 1 corta a C en A y
B (AP > BP), L 2 corta a C en E y D (EP > DP). Si AB=10 cm, ED=8 cm y BP+DP=6 cm, determine la longitud (en cm) de BP.
A) 2,8 B) 2,9 C) 3,0 D) 3,1 E) 3,2
RESOLUCIÓN
Tema: Relaciones métricas en la circunferencia
Análisis y procedimiento
Nos piden BP=a.
Por dato tenemos que a+b=6.
L 1
L 2
E
AB
P
D
b
a10
8
Recuerde que
mn
t
m · n=t
En el problema
(10+a)a=(8+b)b
10 8 2 2
6
a b b a b a b a− = − = +( ) −( )
→ 8a=7b → a=7k; b=8k
15k=6 k=0,4
a = 7×(0,4)
∴ a=2,8
Respuesta: 2,8
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PREGUNTA N.o 29
En el ángulo triedro trirrectángulo O - ABC; si las áreas de las caras OAB, OBC y OAC miden respectivamente S, 2S y 3S. Entonces el área de la región que determina un plano secante a las aristas y que pasa A, B y C es
A) 2 2S B) 3 2S C) S 14
D) 2 3S E) S 15
RESOLUCIÓN
Tema: Ángulo triedro
Análisis y procedimiento
Tenemos los siguientes datos:
AOAB=S
AOBC=2S
AOAC=3S
Nos piden AABC.
SS
3S3S
2S2S
A
B
C
O
Como el triedro es trirrectángulo
→ A A A AABC OAB OBC OAC2 2 2 2= + +
→ A S S SABC2 2 2 2
2 3= ( ) + ( ) + ( )
∴ A SABC = 14
Respuesta: S 14
PREGUNTA N.o 30
La figura mostrada es un dodecaedro regular. Calcule la medida del ángulo entre AB y CD.
A) 30º B) 36º C) 45º
C
B
A
D
D) 60º E) 72º
RESOLUCIÓN
Tema: Poliedros regulares
Análisis y procedimiento
Nos piden calcular x.x: medida del ángulo determinado por AB y CD.
N
C
BAx
36º36º
Q
M
D
En el gráfico, tenemos que
DMNC es un trapecio isósceles.
→ MN // DC
Además, AQNBM es un pentágono regular.
∴ x=72º
Respuesta: 72
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PREGUNTA N.o 31
La superficie lateral de un prisma recto regular triangular es un rectángulo cuya diagonal mide 12 m y su altura 6 3 m. Calcule el área total del sólido (en m2). A) 38 3 B) 39 3 C) 40 3
D) 41 3 E) 42 3
RESOLUCIÓN
Tema: Prisma
Análisis y procedimiento
Nos piden AST.
AST: área de la superficie total del prisma regular.
36
6B
C2
2222
2222
A
12
El prisma es regular, por lo tanto, su base es un triángulo equilátero.
AST=ASL+2Abase
A base = =2 3
43
2
ASL = × =6 6 3 36 3
AST = +36 3 2 3
∴ AST = 38 3
Respuesta: 38 3
PREGUNTA N.o 32
En el gráfico AB//FG y ϕ – q=38º. Determine la medida del ángulo formado por L
1 y L
2.
L 2
L 1
B
A G
F
8º
E
C
D
bb
ϕq
aa
A) 15º B) 30º C) 37º
D) 53º E) 60º
RESOLUCIÓN
Tema: Ángulos determinados por dos rectas paralelas con una secante
Análisis y procedimiento
Piden x.
x: medida del ángulo entre L 1
y L 2
.
Dato: f – q=38º
bb
a
a
x+a
af
q
L 2L 1
F
ED
Qx
B
GA C
8º
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AB GF
// entonces
m QEF=b=x+a+8º
→ b – a=x+8º (I)
AB GF
// entonces
2a+f+8º=q+2b
→ f – q+8º=2(b – a) (II)
Como f – q=38º (dato)
De (I)
b – a=x+8
Reemplazamos en (II)
38º+8º=2(x+8º)
∴ x=15º
Respuesta: 15º
PREGUNTA N.o 33
Al eliminar a y b de las igualdades
p sen2(a)+q cos2(a)=a
q sen2(b)+p cos2(b)=b
p tan(a)=q tan(b)
donde p ≠ q, obtenemos
A) 1 1 1 1p q a b− = −
B) p+q=a+b
C) p – q=a – b
D) 1 1 1 1p q a b+ = +
E) a+p=q+b
RESOLUCIÓN
Tema: Identidades trigonométricas fundamentales
Análisis y procedimiento
Nos piden eliminar a y b de las igualdades dadas.
• p · sen2a+q · cos2a=a; p ≠ q
(p – a) · tan2a=a – q
tan2 α =−−
a q
p a (I)
• q · sen2b+p · cos2b=b; p ≠ q
(q – b) · tan2b=b – p
tan2 β =−−
b p
q b (II)
• p · tana=q · tanb; p ≠ q
p2 · tan2a=q2 · tan2b (III)
(I) y (II) en (III)
pa q
p aq
b p
q b
2 2⋅−−
= ⋅
−−
Operando
abpqa b p q
⋅ + − −
=
1 1 1 10
∴ 1 1 1 1p q a b+ = +
Respuesta: 1 1 1 1p q a b+ = +
PREGUNTA N.o 34
Sea f: [– p; p] → R la función definida por
f(x)=cos4(x)+sen2(x) – 1
¿En cuántos puntos el gráfico de esta función inter-seca al eje de las abscisas?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
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RESOLUCIÓN
Tema: Funciones trigonométricas directas
Análisis y procedimiento
f(x) intersecta al eje x → f(x)=0
cos4x+sen2x – 1=0
cos4x – cos2x=0
cos cos2 2 1 0x x −( ) =
cos2x(cosx+1)(cosx –1)=0
cos ;x x= → = −02 2
π π
cosx+1=0 → cosx= –1 → x= – p; p
cosx –1=0 → cosx=1 → x=0
Cinco soluciones para x ∈ [ – p; p].
Por lo tanto, f(x) interseca al eje x en 5 puntos.
Respuesta: 5
PREGUNTA N.o 35
Las funciones arc cos y arc tan se intersecan en el punto P. Calcule la abscisa de P.
A) 2 5 2
2
−
B) 2 5 2
2
+
C) 5 1
2
−
D) 5 1
4
−
E) 2 5 7
2
+
RESOLUCIÓN
Tema: Funciones trigonométricas inversas
Análisis y procedimiento
Y
Y=arctanx
Y=arccosx
X–1 1
– p/2
p/2
p
0P
En el punto P
arccos arctanx x
α α
=
→ cosa=x ∧ tana=x
secα =1
x
Como
sec2a=1+tan2a
1
12
2
xx= +
1=x2+x4
Completando cuadrados.
x 22
1
2
5
4+
=
x 2 1
2
5
2+ = ±
Como x2 ≥ 0
→ =−
x 2 5 1
2
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Como la abscisa de P es positiva, tenemos
x =−5 1
2
∴ =−
x2 5 2
2
Respuesta: 2 5 2
2
−
PREGUNTA N.o 36
En el intervalo π π
2
5
2;
, determine todos los valores
de a donde se cumple csc(a) > cot(a).
A) p p2
;
B) 25
2p p;
C) π π π π
2
3
4
9
4
5
2; ;∪
D) π π
ππ
2
5
62
9
4; ;∪
E) π
π ππ
22
5
2; ;∪
RESOLUCIÓN
Tema: Inecuaciones trigonométricas
Análisis y procedimiento
Nos piden los valores de a partir de la inecuación dada.Analizamos la inecuación en el intervalo
π π
2
5
2;
→ csc a > cot a
csc cot
tan
α α
α
−
>
>
20
0
Luego
02 2 2
3
2< < ∨ < <α π
πα π
0 < a < p ∨ 2p < a < 3p (I)
Debido a que
π
απ
2
5
2≤ < (II)
De (I) y (II) obtenemos
π
α π π απ
22
5
2≤ < ∨ < <
Por lo tanto, los valores de a son
π
π ππ
22
5
2; ;
∪
Observación
En la clave E se debe considerar cerrado en p2
.
Respuesta: π
π ππ
22
5
2; ;
∪
PREGUNTA N.o 37
Dada la figura
q45º
37º
calcule 37tan(q).
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
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RESOLUCIÓN
Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Análisis y procedimiento
Tenemos el siguiente gráfico.
q
25k25k
20k
12k16k
45º
37º37º
E
B A
C
D
53º
Se traza BE ⊥ a la prolongación de DA.
En ABC: AB=4a
En AEB: AB=5b
→ AB=20k, BE=16k, AE=12k
AC=25k, AD=25k
BED: tanθ =16
37
k
k
∴ 37tanq=16
Respuesta: 16
PREGUNTA N.o 38
En el gráfico mostrado si AB // CD, entonces el valor de tan(q) es
q
X
C
D
Y
A(0; –4)
B(–6; –8)
A) − 3
2 B) − 1
2 C) − 1
3
D) 1
2 E)
3
2
RESOLUCIÓN
Tema: Reducción al primer cuadrante
Análisis y procedimiento
Como AB // CD, entonces los ángulos formados por el eje de ordenadas y los segmentos AB y CD son de igual medida.
a
qA(0; –4)
B(–6; –8) 6
4
4
8
X
Y
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Como
q+a=180º
→ tanq=– tana
tanθ = −6
4
∴ = −tanθ3
2
Respuesta: −3
2
PREGUNTA N.o 39
Dadas las funciones f y g definidas por
fx
xx( ) arctan=
+
2
1 2, g
x
xx( ) arc sen=
+
2 1
Determine Ran( f ) ∩ Dom(g).
A) 04
;π
B) R
C) ⟨– ∞; 1]
D) [1; +∞⟩ E) [0; 1]
RESOLUCIÓN
Tema: Funciones trigonométricas inversas
Análisis y procedimiento
fx
xx( ) =
+
arctan2
1 2; g
x
xx( ) =
+
arcsen2 1
•2
1
2
1
2
12 2
x
x x
xx
x+
=+
=+
xx
xx
xx
+ ≥ → <
+
≤ → <
+
≤1
2 01
1
1
20
2
11
02
1 4<
+
≤arctan
xx
π;
Para x=0,
arctan2
10
2
x
x+
=
luego,
Ran f =
04
;π
•x
x x
xx
x
2 21
1
1
1
1+=
+=
+
xx
xx
+ ≥ ∨ + ≤ −1
21
2
→ 01 1
2
1
2
10< + ≤ ∨ − ≤ + <x
xx
x
− ≤ + ≤ − 1
2
1 1
20x
x
para x=0, g está definida.
→ − ≤ + ≤ ⊂ −[ ]1
2
1 1
21 1x
x;
luego Domg=R
∴ Ran Domf g∩ =
04
;π
Respuesta: 04
;π
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PREGUNTA N.o 40
Dada la ecuación general de la cónica C: Ax2+By2+Cx+Dy+F=0 con A, B, C, D, F constantes arbitrarias, se tiene que:I. Si A=B ≠ 0, entonces siempre tenemos la ecua-
ción de una circunferencia.II. Si B=0 y A ≠ 0, entonces siempre tenemos la
ecuación de una parábola.III. Si A · B < 0 y D2 – 4B2F > 0, entonces siempre
tenemos la ecuación de una hipérbola.Luego son verdaderas:
A) solo I B) II y III C) solo II D) solo III E) I y III
RESOLUCIÓN
Tema: Cónicas
Análisis y procedimiento
I. Como A=B ≠ 0, entonces, la ecuación sería:
Ax2+Ay2+Cx+Dy+F=0
Completando cuadrados obtenemos
xC
Ay
D
A
C D
A
F
A+
+ +
=
+−
2 2 4
2 2 2 2
2
si C D
A
F
A
2 2
240
+− > Circunferencia
si C D
A
F
A
2 2
240
+− ≤ Caso degenerado
(punto o conjunto vacío)
Por lo tanto, no siempre es una circunferencia.
II. En forma general, la ecuación puede expresarse como sigue:
Ax2+0xy+By2+Cx+Dy+F=0
Pero B=0
→ Ax2+0xy+0y2+Cx+Dy+F=0
Por la teoría de ecuación cuadrática general, tenemos que
02 – 4A(0)=0
La ecuación puede ser una parábola o dos rectas paralelas, o una recta o un conjunto vacío.
III. AB < 0 y D2 – 4BF > 0 (Corrección)
Completando cuadrados en la ecuación obte-nemos
tienen ≠ signo A ≠ 0
B ≠ 0
A +B =
2
x+BC
2+AD
2 – 4ABF
4AB
C
2A
2
Y+D
2B
=BC
2+A(D2 – 4BF)
4AB
Como el segundo miembro es diferente de cero, entonces, la ecuación es una hipérbola.
Respuesta: solo III
CESAR
VALLEJO
ACADEMIA
CREEMOS EN LA EXIGENCIA
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