Matemáticas II Agosto 2015

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Laboratorio # 1 Antiderivadas

I.- Halle las siguientes integrales indefinidas.

1) ∫ (𝑥5 − 8𝑥2 + 3𝑥3

2⁄ ) 𝑑𝑥 2) ∫ (𝑦2

3⁄ − 6𝑦6

5⁄ + 8) 𝑑𝑦

3) ∫(𝑦3 + 5)(2𝑦 + 3) 𝑑𝑦 4) ∫(𝑡3 + 3𝑡 + 2) (𝑡1

3⁄ + 5) 𝑑𝑡

5) ∫(3𝑦2 + 𝑦)2 𝑑𝑦 6) ∫ (3𝑥

13⁄ + 𝑥

12⁄ )

2

𝑑𝑥

7) ∫ ((3𝑥+7)(𝑥−5)

𝑥4 ) 𝑑𝑥 8) ∫ (𝑥2+3𝑥3−7𝑥4

𝑥3

4⁄) 𝑑𝑥

9) ∫(2𝑥 + 3)1

5⁄ 𝑑𝑥 10) ∫ 3𝑡2√𝑡3 + 15 𝑑𝑡

11) ∫2𝑥

(𝑥2+4)3 𝑑𝑥 12) ∫𝑥3+3𝑥2−2

√𝑥𝑑𝑥

13) ∫((3 + 2𝑥)2(𝑥 − 3)2) 𝑑𝑥 14) ∫ cos(𝑥) √sen(𝑥) + 5 𝑑𝑥

15) ∫ cos(5𝑥 − 2) 𝑑𝑥 16) ∫ 𝑥2 sec2(2𝑥3 + 7) 𝑑𝑥

17) ∫ − csc2(3𝑥) cot(3𝑥) 18) ∫ cos(𝑥) csc2(sen(𝑥)) 𝑑𝑥

II.- Calcule

1) d

dx(∫(x3-2x + 8) dx) 2) ∫ Dx(5 + √x

3) dx

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Laboratorio # 2 Aplicaciones de Antiderivadas

I.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

1) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥3+3𝑥2+6𝑥−2

𝑦+1

2) (𝑥 + 1)𝑑𝑥

𝑑𝑦= 4𝑦

3) 𝑦′′ = cos(4𝑥)

4) 𝑦′′′ = 𝑥6 − 3 sen(𝑥) + 𝑥 + 3

5) 𝑦′′ = 8𝑥 − 4 ; 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0)

II.-

1) Halle la ecuación de la curva cuya pendiente de la recta tangente en cualquier punto está

dada por 3 − 3 cos 𝑥, y pasa por el punto (𝜋, −3)

2) Encontrar la ecuación de la curva, en la cual se tiene 𝐷𝑥3 = 4𝑥2 + 2𝑥 − 7, si el punto (0, 5)

es un punto de inflexión en el cual la pendiente de la recta tangente es 1.

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Laboratorio # 3 Área I.-Calcule la suma indicada, aplicando propiedades y fórmulas.

1) ∑ 6𝑖60

𝑖=1

2) ∑ (√𝑖 − √𝑖 − 1)30𝑖=1

3) ∑ (12𝑖3 − 𝑖2)17𝑖=1

4) ∑ (𝑖2 + 2)222𝑖=1

5) ∑ (𝑖 + 3)2(𝑖 + 1)15𝑖=1

II.- Calcule el límite indicado.

1) lim𝑛→∞

∑ (3 +𝑖

𝑛)

2

(1

𝑛)𝑛

𝑖=1

2) lim𝑛→∞

∑3𝑖2

𝑛3𝑛𝑖=1

III.- Halle el área de la región acotada por la gráfica de las ecuaciones dada.

1) 𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑥 = 3, 𝑒𝑗𝑒 𝑥

2) 3𝑥 + 5𝑦 − 8 = 0, 𝑥 = −2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥

3) 𝑦 = 5𝑥 − 𝑥2, 𝑦 = 0

4) 𝑦 = 𝑥3 + 1, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1

5) 𝑦 = |4𝑥 − 6|, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1

IV.-Calcular la integral definida indicada, utilizando definición.

1) ∫ (3𝑥 + 2)1

−2𝑑𝑥

2) ∫ (3𝑥2 − 𝑥)2

−1𝑑𝑥

3) ∫ (8 − 𝑥3)3

0𝑑𝑥

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Laboratorio # 4 Propiedades de la integral definida

I.-Dado que:

∫ 𝑥22

−1𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥

2

−1𝑑𝑥 =

3

2 ∫ 𝑥32

−1𝑑𝑥 =

15

4 ∫ sen 𝑥

𝜋2⁄

0𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑥

𝜋2⁄

0𝑑𝑥 = 1

II.-Calcule:

1) ∫ (𝑥 + 4)2

1𝑑𝑥

2) ∫ (2𝑥2 + 6𝑥 + 1)−1

2𝑑𝑥

3) ∫ [(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(2𝑥 + 2)]−1

2𝑑𝑥

4) ∫ (𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥)−2

−2𝑑𝑥

5) ∫ (2 sen 𝑥 + 2 cos 𝑥 − 2)𝜋

2⁄

0𝑑𝑥

III.-Sin calcular las integrales pruebe que:

1) ∫ sen 𝑥𝜋

2⁄

0𝑑𝑥 ≤ ∫ cos 𝑥

𝜋2⁄

0𝑑𝑥

2) ∫ (𝑥2 + 2)2

1𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑥22

1𝑑𝑥

IV.-Halle un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral definida dada.

1) ∫ (𝑥2 + 2𝑥 + 1)2

−1𝑑𝑥

2) ∫ (𝑥2 + 4𝑥)3

−1𝑑𝑥

3) ∫ |𝑥 − 3|4

1𝑑𝑥

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Laboratorio # 5 Teorema Fundamental del Cálculo

I.- Use el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular la integral definida dada.

1) ∫30

(3𝑥2 – 4𝑥 + 1) 𝑑𝑥

2) ∫ 5

−3 (𝑦3 – 4𝑦) 𝑑𝑦

3) ∫𝜋/2

0 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑑𝑥

4) ∫30

(𝑤 + 1)(𝑤 − 3) 𝑑𝑤

5) ∫41

𝑥2−3𝑥+1

√𝑥 𝑑𝑥

6) ∫20

𝑥5+3𝑥6− 𝑥4

𝑥2 𝑑𝑥

7) ∫20

𝑡2

𝑡+1 𝑑𝑡

8) ∫𝜋/2

0 𝑐𝑜𝑠(4𝑥) 𝑑𝑥

9) ∫10

𝑥

𝑥2+1 𝑑𝑥

10) ∫21

𝑥3+5𝑥2−4

𝑥2 𝑑𝑥

11) ∫𝜋0

𝑠𝑒𝑛(𝑥) (cos 𝑥)3 𝑑𝑥

12) ∫𝜋/8

0 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥) 𝑑𝑥

13) ∫5

−5 |𝑥2 − 3| 𝑑𝑥

14) ∫0

−4 |𝑥 + 2| 𝑑𝑥

15) ∫50

(|𝑥 − 3| + 1) 𝑑

II.- Halle

1) 𝑑

𝑑𝑥 (∫

𝑥0

(𝑡3 − 4𝑡) 𝑑𝑡)

2) 𝑑

𝑑𝑥 (∫

3𝑥 + 10

√𝑡 + 3 𝑑𝑡)

3) 𝑑

𝑑𝑥 (∫ (−2𝑡 + 1)𝑑𝑡 )

𝑥−1

0

III.- Halle el área de la región limitada por la gráfica de las ecuaciones dadas, expresándola

mediante una integral definida y calculando esta por Teorema Fundamental del Cálculo.

1) 𝑦 = 9 − 𝑥2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥 , 𝑥 = −3 , 𝑥 = 3

2) 𝑦 = 5 – 𝑥 , 𝑒𝑗𝑒 𝑥 , 𝑥 = 2 , 𝑥 = 4

3) 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6 , 𝑒𝑗𝑒 𝑥 , 𝑥 = 2 , 𝑥 = 6

4) 𝑦 = 𝑥3 + 2 , 𝑥 = −1 , 𝑥 = 1 , 𝑒𝑗𝑒 𝑥

5) 𝑥 + 𝑦 = 0 , 𝑥 = −1 , 𝑒𝑗𝑒 𝑥

6) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) , 𝑒𝑗𝑒 𝑦 , 𝑥 = 𝜋

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Laboratorio # 6 Área y Volumen

I.- Determine el área de la región limitada por las curvas y rectas dadas.

1) 𝑦 = 0 , 𝑥 = 1 , 𝑦 = √𝑥

2) 𝑥 = −2 , 𝑥 = 2 , 𝑦 = 4 − 𝑥2 , 𝑦 = 0

3) 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = −2𝑥 , 𝑦 = 0 , 𝑥 = 3 , 𝑥 = −3

4) 𝑦 = 2𝑥2 − 8 , 𝑦 = −𝑥2 + 4

5) 𝑦2 = 𝑥 , 𝑥 = 3

6) 𝑦2 = −𝑥 + 9 , 𝑥 = 0

7) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑥 = −𝜋 , 𝑥 = 𝜋 , 𝑦 = 0

8) 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 , 𝑦 = 0

II.- Halle el volumen del solido de revolución generado al girar la región limitada por las curvas y

rectas dadas, alrededor del eje indicado, utilizando el método del “disco”.

1) 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = 0 , 𝑥 = 1 𝑎) 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑏) 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦 = −2

2) 𝑦 = 𝑥2 , 𝑦 = 9 𝑎) 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑏) 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦 = 9

3) 𝑦 = √𝑥 , 𝑦 = 𝑥3 𝑎) 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦 = 0 𝑏) 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 = 0

4) 𝑦 = 𝑥3 − 1 , 𝑒𝑗𝑒 𝑥 , 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑎) 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑏) 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦 = −1

5) 𝑥 + 𝑦 = 3 , 𝑦 = 0 , 𝑥 = 0 𝑎)𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑏) 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦

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Laboratorio # 7 Volumen y Longitud de Arco

I.- Encuentre el volumen del sólido que se genera cuando la región acotada por las curvas dadas

se hace girar en torno al eje que se indica. Use el método de la corteza.

1) 𝑦 = 1

𝑥 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = 4 , 𝑦 = 0 ; a) alrededor del eje 𝑦 b) alrededor de 𝑥 = 4

2) 𝑦 = √𝑥 , 𝑥 = 3 , 𝑦 = 0 ; a) alrededor del eje 𝑦 b) alrededor de 𝑥 = 3

3) 𝑦 = √𝑥 , 𝑥 = 5, 𝑦 = 0 ; a) alrededor de 𝑥 = 5 b) alrededor del eje 𝑥

4) 𝑦 = 1

4 𝑥3 + 1 , 𝑦 = 1 − 𝑥 , 𝑥 = 1 ; a) alrededor del eje 𝑦 b) alrededor de 𝑥 = 2

5) 𝑥 = 𝑦2 , 𝑦 = 1 , 𝑥 = 0 ; a) alrededor del eje 𝑥 b) alrededor de 𝑦 = 12

6) 𝑥 = 𝑦2 , 𝑦 = 2 , 𝑥 = 0 ; alrededor de y = 2

7) 𝑥 = √𝑦 , 𝑥 = 3 , 𝑦 = 0 ; 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥

II.- Halle la longitud de la curva entera o el arco indicado.

1) 6𝑥𝑦 = 𝑥4 + 3 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 = 1 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 2

2) 𝑥 = 1

8𝑦4 +

1

4𝑦−2 𝑑𝑒 𝑦 = 1 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑦 = 4

3) 𝑦 = 𝑥4

16+

1

2𝑥2 𝑑𝑒 𝑥 = 2 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 3

4) 𝑦 = 2𝑥3/2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 =1

3 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 = 7

5) 𝑦 = (4 − 𝑥2/3)3/2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 8

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Laboratorio # 8 Función Inversa I

I.- Demostrar que las funciones f y g son inversas. Trazar sus gráficas en el mismo sistema de

coordenadas.

1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 ; 𝑔(𝑥) = 1

2 (𝑥 − 3)

2) 𝑓(𝑥) = 1

1+𝑥 ; 𝑔(𝑥) =

1−𝑥

𝑥 , 𝑥 > 0

3) 𝑓(𝑥) = 5 + 𝑥5/3 ; 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 5)3/5

II.- Sin obtener la inversa de f, encontrar su dominio y rango.

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥+2

𝑥+1

2) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1

𝑥 , 𝑥 > 0

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥3

III.- Encontrar la inversa de la función dada señalando su dominio y rango.

1) 𝑓(𝑥) = 3x – 5

2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)3 + 2

3) 𝑓(𝑥) = 1

𝑥3+1

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥+2

𝑥+1

IV.- Calcular (𝑓−1)′(𝑑) Si:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 ; 𝑑 = 9

2) 𝑓(𝑥) = 1 − 2𝑥 − 𝑥3 ; 𝑑 = 4

3) 𝑓(𝑥) = 1 + 2√𝑥 , 𝑥 > 0 ; 𝑑 = 8

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥+3

𝑥−1 , 𝑥 > 1 ; 𝑑 = 3

5) 𝑓(𝑥) = tan(𝑥) ,−𝜋

2< 𝑥 <

𝜋

2 ; 𝑑 = √3

6) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 −1

𝑥3 , 𝑥 > 0 ; 𝑑 = 2

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Laboratorio # 9 Función Inversa II

I.-

a) Halle el punto en la gráfica de 𝑓, para el valor de x indicado. b) Sin obtener 𝑓−1, halle el punto de la gráfica de 𝑓−1 correspondiente al punto obtenido en

a). c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓−1 en el punto obtenido en b).

1) 𝑓(𝑥) =𝑥−3

𝑥−1; 𝑥 = 2

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 − 3; 𝑥 = 3

3) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)4; 𝑥 = 1

4) 𝑓(𝑥) = ∫𝑑𝑡

𝑡3 ; 𝑥 = 12𝑥

0

5) 𝑓(𝑥) = 8𝑥2 − 3𝑥 + 1 ; 𝑥 = 2

II.- Calcular (𝑓−1)′(𝑑) Si:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 ; 𝑑 = 9

1) 2) 𝑓(𝑥) = 1 − 2𝑥 − 𝑥3 ; 𝑑 = 4

2) 3) 𝑓(𝑥) = 1 + 2√𝑥 , 𝑥 > 0 ; 𝑑 = 8

3) 4) 𝑓(𝑥) = 𝑥+3

𝑥−1 , 𝑥 > 1 ; 𝑑 = 3

4) 5) 𝑓(𝑥) = tan(𝑥) ,−𝜋

2< 𝑥 <

𝜋

2 ; 𝑑 = √3

5) 6) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 −1

𝑥3 , 𝑥 > 0 ; 𝑑 = 2

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Laboratorio # 10 Funciones Trigonométricas Inversas

I.- Halle 𝐷𝑥𝑦 , simplifique resultado.

1) 𝑦 = 2 sen−1(𝑥) + cos−1(𝑥)

2) 𝑦 = 2√𝑥 ∗ 𝑥 tan−1 √𝑥

3) 𝑦 = [tan−1(𝑥)][cot−1(𝑥)]

4) 𝑦 =cos(𝑥)

sen−1(𝑥)

5) 𝑦 = tan−1 (𝑥+1

2)

6) 𝑦 = 7 cos−1(√2𝑥)

7) 𝑦 = sen−1(𝑥) cos−1(2𝑥) tan−1(3𝑥) cot−1(4𝑥)

II.- Calcule las siguientes integrales.

1) ∫3𝑚+5

√1−𝑚2𝑑𝑚

2) ∫9−𝑥2

9+𝑥2 𝑑𝑥

3) ∫8𝑑𝑥

𝑥√36𝑥2−9

4) ∫ 2(1 − 4𝑧2)−12⁄ 𝑑𝑧

14⁄

0

5) ∫𝑒𝑥

9+𝑒2𝑥 𝑑𝑥

6) ∫𝑑𝑥

√1−6𝑥−𝑥2

III.- Obtenga una ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 tan−1(𝑥), en el punto

cuya abscisa es x= 1.

IV.-Resuelve los siguientes problemas

1) Hallar el área de la región acotada por las gráficas de 𝑦 = (5 + 4𝑥 − 𝑥2)−12⁄ ,

𝑥 = 0 , 𝑥 = 3

2) La región acotada por las gráficas de

𝑦 =1

𝑥2√𝑥4−16, 𝑥 =

5

2, 𝑥 = 4, 𝑦 = 0

Se gira alrededor del eje “y”. Obtener el volumen del sólido generado

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Laboratorio # 11 Función Logaritmo Natural

I.- Halle 𝐷𝑥𝑦 , simplifique.

1) 1) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥

𝑥

2) 2) 𝑦 = ln(𝑥

𝑥+1)

3) 3) 𝑦 = −ln (𝑐𝑜𝑠𝑥)

4) 4) 𝑦 = 1

𝑙𝑛𝑥

5) 5) 𝑦 = ln (𝑥 𝑙𝑛𝑥)

6) 6) 𝑦 = ln((𝑥+1)(𝑥+2)

𝑥+3)

II.- Utilice diferenciación logarítmica para calcular 𝑑𝑦

𝑑𝑥

1) 𝑦 = √2𝑥+13

(𝑥+3)√3𝑥+3

2) 𝑦 = √𝑥+4

(2𝑥+1)3

III.-

1) Determinar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = ln (𝑥2 − 3) en x = 2

2) Grafique las siguientes funciones:

a) f(x) = ln(x − 1)

b) f(x) = −ln(x + 3)

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IV.- Calcule las siguientes integrales

1) ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥

2) ∫1

4𝑥+8 𝑑𝑥

3) ∫𝑑𝑥

√𝑥 (2+ √𝑥)

4) ∫𝑥 𝑑𝑥

𝑥2+𝑥+1

5) ∫3+ 𝑙𝑛2𝑥

𝑥 (1− 𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥

6) ∫(1

𝑥+2+

1

𝑥−1−

1

𝑥+3) 𝑑𝑥

V.-

1) Calcular el área de la región acotada por:

1) 𝑦 = 1

𝑥 , 𝑦 = 𝑥2 , 𝑥 =

1

2 , 𝑥 = 2

2) 𝑦 = 1

𝑥 , 𝑦 = 𝑥2 , 𝑦 = 𝑥 − 1 , 𝑥 = 2

2) Encuentre el volumen del solido que se genera cuando la región acotada por las curvas dadas se

hace girar en torno al eje que se indica.

𝑦 = 1

𝑥 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = 4 , 𝑦 = 0

1) Alrededor de 𝑥 = 4

2) Alrededor de 𝑥 = 6 , 𝑦 = 1

𝑥 , 𝑥 = 2 , 𝑥 = 4

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Laboratorio # 12 Función Exponencial Natural

I.- Halle 𝐷𝑥𝑌, simplifique.

1) 𝑦 = 𝑒12𝑥3+4

2) 𝑦 =𝑥2𝑒7𝑥

7−

𝑒3𝑥2

12

3) 𝑦 = 𝑒5𝑥 ln(2𝑥)

4) 𝑦 =𝑒3𝑥+2

𝑒𝑥−47

5) 𝑦 = ln(2𝑥3 + 𝑒2𝑥)

6) 𝑦 = 𝑒3𝑥 sen(𝑒−2𝑥)

II.- Calcule las siguientes integrales.

1) ∫ 𝑒3𝑥+11

0

2) ∫ 𝑒3𝑥(𝑒𝑥 − 2)𝑑𝑥

3) ∫ 𝑒2𝑥(𝑒2𝑥 + 3)2𝑑𝑥

4) ∫ 𝑒3𝑦(1 + 𝑒3𝑦)1 3⁄ 𝑑𝑦

5) ∫𝑒5𝑥

𝑒5𝑥−5

6) ∫𝑒6𝑥

𝑒3𝑥+1𝑑𝑥

7) ∫(𝑒𝑥+1)2

𝑒3𝑥𝑑𝑥

8) ∫ (𝑒−2𝑥 + 3)𝑑𝑥3

1

9) ∫ 𝑥2𝑒−𝑥3𝑑𝑥

1

0

10) ∫𝑒3𝑥

𝑒𝑥+3𝑑𝑥

III.-Resuelva

1) Halle el área de la región acotada por:

𝑦 = 𝑒2𝑥;

𝑦 = 𝑒−2𝑥; 𝑦 = 3

2) Halla el volumen del sólido generado al girar la región acotada por:

𝑦 = 𝑒𝑥 + 2; 𝑦 = 2; 𝑥 = 0; 𝑥 = ln(2)

3) Halla la longitud de la curva 𝑦 =1

2(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥) desde el punto donde 𝑥 = 0 hasta el

punto donde 𝑥 = ln(3)

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Laboratorio # 13 Funciones Exponenciales de otras bases

I.- Halle 𝐷𝑥𝑦 , simplifique.

1) 𝑦 = 43𝑥2+6𝑥

2) 𝑦 = 2𝑥2 log4(𝑥3)

3) 𝑦 = log2 (𝑥2+4

𝑥3−3)

4) 𝑦 = 𝑥4 tan−1(35𝑥)

5) log4(𝑥2𝑦) = 𝑥

II.- Calcule las siguientes integrales.

1) ∫ 𝑥46−𝑥2𝑑𝑥

2) ∫ 24 sen 4𝑥 cos 4𝑥 𝑑𝑥

3) ∫ 4𝑥(6𝑥 + 3𝑥)𝑑𝑥

4) ∫ 2𝑥(8𝑥 + 9𝑥)𝑑𝑥

5) ∫ 43𝑦(1 + 53𝑦)𝑑𝑦

6) ∫56𝑥

56𝑥+1𝑑𝑥

7) ∫42𝑥

42𝑥+2𝑑𝑥

8) ∫84𝑥

84𝑥+2𝑑𝑥

9) ∫7𝑥

7𝑥−3𝑑𝑥

10) ∫ 41−𝑥2𝑥𝑑𝑥

1

0

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III.- Trace la gráfica de las funciones siguientes.

1) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

2) 𝑓(𝑥) = 3−𝑥 + 1

IV.- Resuelva lo siguiente

1) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica 𝑦 = 4𝑥 − 4 en el punto cuya abscisa es

log4(4)

2) Halle el área de la región acotada por las curvas y rectas dadas.

𝑦 = 23𝑥; 𝑦 = 25𝑥; 𝑥 = log2(4)

𝑦 = 23𝑥; 𝑦 = 4(3𝑥); 𝑥 = 0

3) Halle el volumen del solido generado al girar la región acotada por las curvas y rectas dadas

alrededor del eje indicado 𝑦 = 3𝑥 + 2, 𝑥 = 0, 𝑦 = 2, 𝑥 = log3(3)

a) Alrededor del eje x

b) Alrededor de 𝑦 = −1

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Laboratorio # 14 Funciones Hiperbólicas

I.-Halle y simplifique la derivada de las siguientes funciones.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

II.- Evaluar la integral dada

1)

2)

3)

4)

5)

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Laboratorio # 15 Métodos de Integración I

I.- Calcula las siguientes integrales.

1) ∫ cos(𝑥) ln(𝑠𝑒𝑛(𝑥)) 𝑑𝑥

2) ∫ 𝑥4 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥

3) ∫ 𝑠𝑒𝑛7(𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥

4) ∫ 𝑥 cos(5𝑥) 𝑑𝑥

5) ∫3

1+9𝑥2 𝑑𝑥

6) ∫ 𝑙𝑛2𝑥 𝑑𝑥

7) ∫(𝑥 + 2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 4𝑥 − 6)𝑑𝑥

8) ∫4

√9− 𝑥2 𝑑𝑥

9) ∫1−𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃

10) ∫ 𝑥2 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥

11) ∫ 𝑠𝑒𝑛2 4𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥

12) ∫ 5𝑥4 √𝑥5 + 1 𝑑𝑥

13) ∫ 𝑥 5𝑥 𝑑𝑥

14) ∫(6𝑥 − 2) tan(6𝑥2 − 4𝑥 + 10) 𝑑𝑥

15) ∫𝑥2

(𝑥2+9) 𝑑𝑥

16) ∫𝑥

√𝑥2−36 𝑑𝑥

17) ∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥

18) ∫ 𝑥3𝑒𝑥2 𝑑𝑥

19) ∫ 3𝑥4 √2 − 𝑥5 𝑑𝑥

20) ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑𝑥

II.-

1) Halle el área de la región limitada por la curva y = lnx , eje x y la recta x = 𝑒3

2) Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la recta y = 1, la región acotada

por y = √𝑥 y las rectas y = 1 , x = 4

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Laboratorio # 16 Métodos de Integración II I. Calcula las siguientes integrales.

1) ∫5𝑥2+2

(𝑥−3)3𝑑𝑥 10) ∫

𝑥+1

√2𝑥−𝑥2𝑑𝑥

2) ∫𝑥+8

𝑥3−2𝑥2+𝑥𝑑𝑥 11) ∫

𝑥2

√4−𝑥2

√3

−1𝑑𝑥

3) ∫3𝑥+8

𝑥3−4𝑥2+4𝑥𝑑𝑥 12) ∫

√4−9𝑧2

𝑧𝑑𝑧

0

−2

4) ∫𝑡5

(𝑡3+1)2𝑑𝑡 13) ∫

−2𝑥+5

(𝑥−1)(𝑥2+2)𝑑𝑥

5) ∫3𝑥2−4𝑥+5

(𝑥−1)(𝑥2+1)𝑑𝑥

2

0 14) ∫

𝑑𝑥

sen 𝑥−cos 𝑥+2

6) ∫𝑑𝑥

2 √𝑥3

+√𝑥 15) ∫

cos 𝑥

1+cos 𝑥𝑑𝑥

7) ∫𝑑𝑥

√𝑥 √𝑥3

+(1+ √𝑥3

)2 16) ∫

𝑑𝑥

(2+cos 𝑥−2 sen 𝑥) sen 𝑥

8) ∫𝑑𝑥

√𝑥− √𝑥34

0

−2 17) ∫

𝑑𝑥

sen 𝑥+cos 𝑥

9) ∫7𝑥

(2𝑥+1)(𝑥−3)𝑑𝑥 18) ∫

𝑥5

2⁄

𝑥+2

2

0𝑑𝑥

II.-

1) Halla el área de la región acotada por 𝑦 =𝑥

(𝑥+3)2 𝑥 = −2 , 𝑥 = 2, 𝑦 = 0

2) Halla la longitud de arco de la curva 𝑦 = 𝑒𝑥, desde 𝑥 = −1 a 𝑥 = ln 2√4