1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
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MATEMÁTICAS
UNIDAD 2
GRADO 8º
Productos notables
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LOGRO:
Reconoce como se conforman los productos notables a partir de la
propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.
INDICADORES DE LOGRO:
Reconoce los diferentes productos notables
Aplica los productos notables a la resolución de problemas
geométricos
Aplica los productos notables a la resolución de problemas de la
cotidianidad.
Resuelve ejercicios que involucran productos notables.
Identifica la relación entre los productos notables y la
potenciación.
¿CÓMO ASÍ QUE NOTABLES?, ¿SOBRESALEN MÁS QUE LOS OTROS?
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Reseña histórica:
Al iniciarnos en nuestra aventura por el conocimiento de las
matemáticas, lo primero a lo que se hace referencia es al número,
como clase, según lo plantean algunos, o como conjunto, según otros.
La cuestión es que el hombre y su inmensa necesidad de organizarse en
sociedades, poco a poco, fue implementando un lenguaje simbólico que
le sirvió de instrumento en las actividades cotidianas, tanto para
comunicarse como para demarcar y establecer normas de convivencia.
Primero, se da cuenta que el medio natural le ofrece una serie de
herramientas para tal organización; comienza a utilizar las piedras como
mecanismo de conteo; luego, descubre que puede hacer marcas en los
árboles, en el suelo, en las paredes de las cavernas… y así llega, sin
saber, a la intuición de número.
El estudio de los números, o mejor dicho la fase de estructuración de los
números y su aplicación en otras ramas de la matemática, como la
geometría, la aritmética y el álgebra, no ha sido fácil. Desde mucho
antes de Cristo, con Pitágoras de Samos, pasando por Euclides, Al-
Jwārizmī, Fermat, Descartes, Leibniz, entre otros; todos ellos fueron
dándole forma y sentido a todo ese conocimiento vago que desde
tiempos remotos, babilonios y egipcios aplicaban en su cotidianidad.
Por ejemplo, en la aritmética, que es la parte de la matemática que
trata del arte o habilidad para contar, sólo se utilizan números o
cantidades conocidas que mediante operaciones de adición,
multiplicación y potenciación, de acuerdo con ciertas propiedades ya
existentes, es posible realizar todos los cálculos habidos y por haber. En
el álgebra, rama de la matemática que permite generalizar las
aplicaciones aritméticas, mediante el uso de cantidades desconocidas
representadas por letras, también se vale de las operaciones de
adición, multiplicación y potenciación para tales aplicaciones. Y en la
geometría (del griego geō que significa 'tierra' y metrein 'medir'), rama
de las matemáticas que se encarga de las relaciones métricas del
espacio y sus propiedades, en su forma más elemental y no tan
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elemental; se vale del álgebra y la aritmética para formalizar y
sistematizar sus aplicaciones.
Dentro de todas estas operaciones elementales, como la adición, la
multiplicación, la potenciación, entre otras, aplicables en todas las
ramas de las matemáticas anteriormente mencionadas, a través de
propiedades de composición bien definidas, se derivan procedimientos
que permiten simplificar con mayor facilidad las operaciones indicadas.
Procedimientos como el producto notable y la factorización son
herramientas muy prácticas para la agilización en la búsqueda de un
resultado concreto1.
Cuando se realiza un producto notable se está aplicando una
multiplicación, pero se hace de una forma directa reduciendo la
operación a un mínimo de pasos posibles, por ejemplo en aritmética no
es muy frecuente encontrarse con un producto notable pero se puede
ejemplificar un ejercicio para hacer sencillas demostraciones, de la
siguiente manera:
930253)35(25)35( 222
Si se realiza la multiplicación aplicando la propiedad distributiva, que es
el proceso normal, el procedimiento se hace más largo; observa:
915152533533555)35()35()35( 2
Ahora bien, si trabajamos dentro del álgebra, el mismo producto
notable pudiese aplicarse de la siguiente manera:
1Santamaría, J. (2006). Productos notables. Artículo no publicado (pp.1-8). Tinaquillo, Estado
Cojedes.
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5
yxyxyx 53).53()53( 2yyxyyxxx 5.53).5()5.(33).3(
22222 25309)5()53(2)3()53( yxyxyyxxyx
Al llevar este mismo procedimiento al campo de la geometría le
daríamos el siguiente enfoque:
Suponga un terreno de forma cuadrada, donde cada lado mide ”y-4”,
calcula el área del terreno:
Para hallar el área de un cuadrado se multiplica lo que mide de ancho
por lo que mide de largo; así:
222 )4()4()(2)4()4()4( yyyyy 1682 yy es el área del
terreno.
El producto notable es aquella multiplicación que
se efectúa con expresiones algebraicas de forma
directa, aplicando una fórmula o procedimiento,
de acuerdo a una situación específica.
Veamos algunos casos específicos de productos
notables.
4y
4y
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6
Por Ley de Potenciación: 2aaa
EL CUADRADO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS
Ejemplo Nº 1
Supóngase que tenemos una región de forma cuadrada, cuyas
dimensiones son las siguientes: de largo y de ancho mide "" 7x
unidades.
Necesitamos conocer el área del cuadrado.
Sabemos que para calcular el área de un
cuadrado, sólo tenemos que multiplicar lo
que mide de ancho por lo que mide de
largo, Es decir:
Área del Cuadrado = Largo Ancho
Área = (Lado) 2
Entonces; Apliquemos la Fórmula:
Área = 2777 )()()( xxx
Si aplicamos la propiedad distributiva nos quedaría:
(X + 7) . (X + 7) = X2 + X.7 + 7.X + 72 = X2 + 2 (7.X) + 72
Luego: Área = 27)(x
Desarrollemos esta potencia de la siguiente manera:
Ancho Largo
7x
7x
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7
222 7727 )()()()( xxx
Simplificando el resultado, tenemos que: 49147 22 xxx )(
De esta manera obtenemos el área de la región cuadrada:
Área = 49142 xx
El resultado es un polinomio de tres términos: “EL primer
término al cuadrado, más el doble del producto del primer
término por el segundo, más el segundo término al cuadrado”
Ejemplo 2:
Desarrollemos el Producto Notable: 25 )( y
222 5255 )()()()( yyy
Simplificando queda:
22 10255 yyy )(
Cuadrado
del 1er
Término
El Doble del
producto: del 1er
término por el 2do
término
Cuadrado
del
2do
Término
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8
ACTIVIDAD:
Resuelve preferiblemente en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
Ejercicios propuestos:
a. (x + 7)2 b. ( + ) 2 c. ( + 5) 2
d. (x2 + 3) 2 e. (xy + xz) 2 f. (Xa+1 + 1) 2
g. (a2 b + ac) 2 h. (2xy + y2) 2
5.9- En un club se desea crear una cancha para la práctica individual
de tenis y se dispone de una pared cuadrada de lado x. Los
especialistas en ese deporte solicitan que sea más grande, por lo
que se le añadieron 3m a cada lado. ¿Cuál es el área de la
nueva pared?
CUADRADO DE UNA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS
Se resuelve de la misma forma que el caso del cuadrado de la suma de
dos términos; sólo que para desarrollar este caso hay que tomar en
cuenta el signo de los términos.
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
Aprendamos algo
nuevo
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9
Ejemplo Nº 3:
222 3323 )()()()( xxx
Simplificando:
963 22 xxx )(
El cuadrado de una diferencia es igual a:
El cuadrado del primer término, menos el doble producto del
primero por el segundo, más el cuadrado del segundo
Ejercicios propuestos:
a. (X - 5)2 b. (2X/3 - 1/5) 2c. (a/3 - 3) 2
d. (X2 - 2) 2 e. (Xa-1 - 1) 2 f. (2xy - x2 ) 2
g. Si a2 + b2 = 13 y a . b = 6 ¿cuánto vale (a – b) 2?
h. Calcula los productos: 1) (–x – a) 2
2) (x + a) 2 ¿Qué relación existe entre ellos? ¿Por qué?
Primer
Término
Segundo
Término Primer
Término
Segundo
Término
Doble
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
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10
7x
5x
i. Se necesita revestir un piso con cerámica, el cual tiene forma
cuadrada de lado x, pero la cantidad de cerámica sólo cubre
una superficie también cuadrada que tiene ¾ de metro menos
por cada lado del área total. ¿Cuántos m2 de cerámica se
compraron?
j. ¿Qué diferencia observas en estos ejercicios? : 1) (x – a) 2
2) x2 - a2
Después de resolverlos, ¿qué apreciación tienes al respecto?
EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN
Ejemplo Nº 4:
Tenemos una región de forma rectangular cuyas dimensiones ya
conocemos:
Se necesita conocer el área de la región.
Sabemos que el área de un rectángulo se calcula
multiplicando lo que mide de largo por el ancho.
Entonces: Área = )()( 57 xx
Ancho Largo
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
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Desarrollarnos este producto de la siguiente manera:
)()()()( 575757 2 xxxx
El resultado de este producto notable es un trinomio: “El término común
al cuadrado más el producto del término común con la suma algebraica
de los términos no comunes más el producto de los términos no
comunes”.
Simplificando el resultado, queda:
)()()()( 35257 2 xxxx 3522 xx
De esta manera se obtiene el área de la región rectangular:
Área = 3522 xx
Ejemplo Nº 5:
Desarrolla el producto: )()( 2393 xx
2929332393 2 )()()()()()( xxxx
Simplificando cada término:
22 9333 xxxx )()()(
xxx 21)7()3()29()3(
182)9(
Término
Común
Términos no
comunes Término
común
Suma de
términos no
comunes
Producto de
términos no
comunes
Trinomio
Término
Común
Término no
comunes
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12
Luego:
182192393 2 xxxx )()(
El producto de los términos no comunes
Producto del término común con la
suma de los no comunes
El cuadrado del término común
Ejercicios propuestos:
5.19- (x2 + 6) . (x2 – 2) 5.20- (a3 + 1/5) . (a3 + 2/3)
5.21- (y – 3/5) . (y + 4) 5.22- (2x - 7) . (2x +2)
5.23- Si se cumple que (x + a) . (x + b) = x2 - 2x + 8 entonces
¿cuánto vale a + b?
5.24- ¿Para qué valores de la x se cumple que el producto de:
a) (x + 3) por
b) (x - 1) es igual a cero?
5.25- Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 9 cm
y en el otro se le resta 2cm, ¿cuál será el área de la nueva figura?
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
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13
6x
6x
2.26- Calcule el área del siguiente rectángulo:
LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA:
Ejemplo Nº 6:
Se conocen las dimensiones de una región rectangular:
Largo = 6x y Ancho = 6x
Tenemos que calcular el área respectiva:
Para hallar el área de un rectángulo
aplicamosla Fórmula: Área = Largo x.Ancho
Área = base x Altura
Entonces, Área = )()( 66 xx
Para desarrollar este producto procedemos de la siguiente forma:
22 )6()()6()6( xxx
Suma Diferencia
1erTérmino al
cuadrado 2
doTérmino al
cuadrado
x
a
x
b
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
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Simplificando el resultado: 362x
Luego: El área de la región rectangular es: 22 6x
El resultado de este producto notable es un binomio: “El
cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo
término”
ACTIVIDAD:
Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios propuesto.
Ejercicios propuestos:
a. (y – 3/5) . (y + 3/5) b. (x2 + 6) . (x2 – 6)
c. (a3 + 1/5) . (a3 – 1/5) d. (x/3 + 2/7) . (x/3 – 2/7)
e. (2x - 7) . (2x +7)
f. Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 5 m y en
el otro se le resta 5 m ¿cuál será el área de la figura que se originó?
g. Calcula el área de la figura sombreada:
x
a
x
a
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
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5x
5x
EL CUBO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS:
Ejemplo Nº 6:
Se debe determinar el volumen de un tanque que tiene forma de cubo,
conociendo sus dimensiones:
Largo = x + 5, Ancho = x + 5 y Alto = x + 5
Para hallar el volumen de un cubo aplicamos la fórmula:
Volumen = Largo x Ancho x Alto
Como las tres medidas son iguales
Entonces,Volumen = (Lado)3
Entonces: Volumen = )())( 555 xxx
Por Ley de Potenciación: 35555 )()())( xxxx
Luego: Volumen = 35)(x
Para desarrollar esta potencia procedemos así:
35)(x = (x + 5)2 . (x + 5) esto por ley de potenciación y como
sabemos calcular el cuadrado de una suma
35)(x = (x2 + 10.x + 25) . (x + 5)
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
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35)(x = x3 + 5.x2 + 10.x2 + 50.x + 25.x + 125 esto por multiplicación
de polinomios
35)(x = x3 + 15.x2 + 75.x + 125 por agrupación de términos
semejantes
35)(x = x3 + 3 . 5. x2 + 3. 52.x + 53
El resultado de este producto notable es un polinomio: “El cubo
del primer término, más el triple del producto del primer término
al cuadrado, por el segundo término, más el triple del producto
del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del
segundo término”.
32233 )5()5()(35)(3))5( xxxx
Luego; simplificando cada término:
33)( xx , 22 1553 xx )()(
1255555 3)( , xxx 7525353 2)()(
De esta manera tenemos que:
12575155 233 xxxx )(
Ejemplo Nº 7:
Desarrollar el producto notable: 312 )( x
Si aplicamos el procedimiento anterior; obtenemos:
El cubo del primer término (2x) 3
El triple del producto del primer 3 . (2x)2 . 1
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17
término al cuadrado por el
segundotérmino
El triple del producto del primer
término por el cuadrado del
segundo
3 . 2x . 13
El cubo del segundo término 13
Sumando estos términos
32233 1123123212 )()()()()()()( xxxx
Simplificando cada término del resultado:
* )()()()( xxxx 2222 3 38x
* 143123 22 xx )()( 212x
* 123123 2 xx )()( x6
* 1111)1( 3
Luego, el polinomio se reduce a: 1612812 33 xxxx )(
ACTIVIDAD:
Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios propuestos.
Ejercicios propuestos:
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a. (x + 3)3 b. (3X/2 + 4/5) 3 c. ( y/3 + 3) 3
d. (x2 + 5) 3 e. (xy + xz) 3 f. (a2 b + ac) 3
g. (2xy + y2) 3
h. Si el volumen de un cubo es 27 cm3 ¿Cuál será el nuevo volumen
si se aumenta su arista en x unidades?
EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS.
Se desarrolla aplicando el mismo procedimiento de “el cubo de la suma
de dos términos”, sólo que en este caso se debe tomar en cuenta el
signo de los términos.
Veamos esto en un ejemplo:
Ejemplo Nº 8:
Desarrolla el producto notable: 32)(y
Simplificando cada término en el resultado:
Primer
Término
Segundo
Término
32233 )2()2()(3)2()3)()2( yyyy
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
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* 33)( yy
* 22 623 yy )()(
* )()()( 4323 2 yy = y12
* )2()2()2()2( 3 8
Luego; Simplificado cada término el polinomio resultante es:
8126)2( 233 yyyy
En resumen, obtenemos como resultado: El cubo del primer
término, menos el triple del producto del cuadrado del primero
por el segundo, más el triple del producto del primero por el
cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.
ACTIVIDAD:
En tu cuaderno realiza los siguientes ejercicios propuestos.
Ejercicios propuestos:
a. (X – 1/2)3 b. (2X/3 - 1/5) 3 c. (a/3 - 3) 3
d. (X2 - 5) 3 e. (xy - xz) 3 f. (2xy - x2 ) 2
g. Compara los siguientes cubos
1) (x - p) 3 2) (p - x) 3 ¿Son iguales? ¿Por qué?
h. Las cajas para embalaje de mercancía de una empresa tienen
forma cúbica con volumen de 125 cm3, con la finalidad de
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disminuir costos, la empresa decide reducir el tamaño del
envase restando x unidades (con x < 5) a la arista del cubo
original. ¿Qué fórmula permite conocer el volumen del nuevo
envase?
i. Si a = b + 3 ¿cuánto vale (a – b)3 ?
j. Simplifica las siguientes operaciones:
a) )()()( 1414123 2 xxx
b) 294117372 )()()( xxx
c) 33 6132 )()( xx
k. Halla la suma de:
El doble del cuadrado de la diferencia entre X y 2, con el triple
delproducto de la suma de X y 1 por su diferencia.
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En tu cuaderno resuelve los siguientes productos notables: (x + 5)2 = (7a + b)2 = (4ab2 + 6xy3)2 = (xa+1 + yb-2)2 = (8 - a)2 = (3x4 -5y2)2 = (xa+1 - 4xa-2)2 = (5a + 10b)(5a - 10b) = (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) = (x + 4)3 = (5x + 2y)3 = (2x2y + 4m)3 = (1 - 4y)3 = (3a3 - 7xy4)3 = (2xa+4 - 8ya-1)3 = (x + 5)(x + 3) = (a + 9)(a - 6) = (y - 12)(y - 7) = (4x3 + 15)(4x3 + 5) = (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14) =
Recolectemos
lo aprendido
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