7/18/2019 Matrices
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UNCa – Facultad de Ciencias Agrarias
Dpto. Ciencias Básicas – Matemática I y II
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3. O!"ACION!# CON MA$"IC!#
#UMA
Sean Am%n y Bm%n dos matrices equidimensionales.Si A & 'ai() y B & '*i(); entonces, existe una matriz Cm%n tal que:
C & A + B⇔
ci( & ai( + *i( i,(
La suma de matrices goza de las propiedades conmutativa y asociativa y tiene elemento neutro (la
matriz nula).
A + B & B + A'A +B) + C & A + 'B + C)A + - & - + A & -
Para toda matriz A & 'ai(), se define su matriz opuestaA & 'ai() tal que:
A + 'A) & -
"!#$A
Si dos matrices A y B son equidimensionales, entonces
A B & A + 'B).
sea que, para restar de A la matriz B, !asta con sumar a A la opuesta de B.
La resta de matrices no es conmutativa. A B≠
B A
MA$"I/ $"A#U!#$A D! UNA MA$"I/
"ada una matriz A cualquiera, se llama traspuesta de A, y se sim!oliza con At
#$, a una matrizque tiene por filas las columnas de A y por columnas las filas de A.
At #%& ('i() ⇔ 0i( & a (i a (i∈ A
ropiedad1 el determinante de una matriz A es igual al de su traspuesta.
| A|=| A| t #
MU2$I2ICACION D! UNA MA$"I/ O" UN !#CA2A"
Para multiplicar una matriz A por un escalar cualquiera, !asta multiplicar cada elemento de A
por el escalar .
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A & 'ai() ∧ ∈
"⇒
.A & '.ai()
MU2$I2ICACION D! MA$"IC!#
Si una matriz A es conforma!le con otra matriz B, entonces existe una matriz C llamada
producto de A por B que cumple con la siguientede4inici5n:
A & 'ai() ∧ B & '*i(), C & 'ci() tal 6ue
A % B & C ⇔ ba=c kjik
n
=1k
ij ∑ , i,(.
"e esta definicin se deduce que, si el orden de A es mxn y el de B es mxp, el de C es mxp, esdecir que la matriz producto tiene como n*mero de filas el de A, y como n*mero de columnas el
de B.
NO CONMU$A$I7IDAD D! 2A MU2$I2ICACION D! MA$"IC!#
+n general, la multiplicacin de matrices no es conmutativa.
A . B≠
B . A
Por ello, al multiplicar matrices se de!e acer una clara distincin entre una multiplicacin aizquierda (o pre-multiplicacin) y una multiplicacin a dereca (o post-multiplicacin).
ABACO D! 2A MU2$I2ICACION D! MA$"IC!#
l efectuar una multiplicacin entre dos matrices y /, es pr0ctico utilizar un esquema (llamado0!aco de la multiplicacin) como el siguiente:
B
A A.B Por e1emplo, si A y B son tales que
aaa
aaa = A
232221
131211
y
b
b
b
= B
31
21
11
,
para efectuar su multiplicacin es conveniente utilizar esta disposicin
!22
!#2
!32
a22 a2#a23
a#2a##a#3
a22 !224a2# !#24a23 !32
a#2 !224a## !#24a#3 !32
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MA$"I/ N!U$"A !N 2A MU2$I2ICACION La matriz identidad In es neutra en la multiplicacin de matrices, tanto por izquierda (pre-multiplicando) como por dereca (post-multiplicando).
s5, dada una matriz Am%n cualquiera, se cumple: Im.Am%n & Am%n Am%n.In & Am%n
+1emplo: sea
3-3
25
1-2
= A3x2
6esulta:
A=
3-3
25
1-2
=
3-3
25
1-2
.
100
010
001
= A. I 3x23x23
A=
3-3
25
1-2
=
10
01 .
3-3
25
1-2
= I . A 3x223x2
IN7!"#ION D! UNA MA$"I/
Sea A una matriz no singular de orden n. +xiste, asociada a ella, una matriz llamada 7la in8ersa
de A9, que se anota A: y que satisface la condicin:
A.A: & A:.A & In
donde In es la matriz identidad.
Se demuestra que, dada A, su matriz inversa A: se o!tiene efectuando las operaciones que seindican en la igualdad que sigue:
)C ( .1
= At
A
A
1-
∆,
donde ;A es el determinante de A y 'CA)t es la matriz de los co-factores de A, traspuesta.
+1emplo: sea
11-2-
111-
312
= A ; se quiere calcular A:.
6esulta: ;A & < + '<) + 3 '=) '<) ':) & :<
dem0s:
2=(-1)-1=11-
11 = )aC( 11 1=(-2)-1-=
12-
11- = )aC( 12
3=(-2)-1=1-2-
11- = )aC( 13 4=(-3)-1=
11-
31 = )aC( 21
8=(-6)-2=12-
32 = )aC( 22 0=(-2)-2-=
1-2-
12 = )aC( 23
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2-=3-1=11
31 = )aC( 31 5=(-3)-2=
11-
32 = )aC( 32
3=(-1)-2=
11-
12 = )aC( 33
Por lo que
35-2-
084-
31-2
=C A y
303
5-81-
2-4-2
= )C ( t
A , de donde:
∆
4
10
4
1
12
5-
3
2
12
1-
6
1-
3
1-
6
1
=
303
5-81-
2-4-2
.12
1 = )C .(
1 = A
t
A
A
1-
8erificacin: para verificar la validez de la matriz o!tenida, A se pre-multiplica y se post-multiplica por A:,de!iendo resultar, por definicin de matriz inversa, la matriz identidad I. +n efecto,
I =
100
010
001
=
410
41
12
5-
3
2
12
1-
6
1-
3
1-
6
1
.
11-2-
111-
312
= A A. 31-
I =
100
010
001
=
11-2-
111-
312
.
4
10
4
1
12
5-
3
2
12
1-
6
1-
3
1-
6
1
=.A A 31-
.
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