Apuntes de Matemática – 5to. Año Ed. Secundaria.
Departamento de Matemática – Colegio Teodelina
Determinantes.
DETERMINANTES…
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A c a d a M a t r i z c u a d ra d a B m x n s e l e a s o c i a u n n ú m e ro l l a m a d o d e t e r m i n a nt e d e B , d e o rd e n n , q u e s e s i m b o l i za d e t ( B ) o | B | y s e c a l c u l a d e d i s t i n t a s m a n e ra s ,
s e g ú n e l o rd e n d e l a M a t r i z .
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 1.
Sea una matriz B = (b11). El determinante de B será el propio elemento b11
B = (3) → |B| = 3
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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 2.
El factor determinante asociado a la matriz A es el número real obtenido por la diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el
producto de los elementos de la diagonal secundaria.
A = a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21 a22
= a11 · a22 – a12 · a21
a11 · a22 - (a12 · a21)
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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 2.
53
27A 293.25.7
53
27||
A
218206.310.2106
32
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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 3.
E n e s t e c a s o u t i l i z a m o s u n
p r o c e s o p r á c t i c o
d e n o m i n a d o r e g l a d e S a r r u s .
413
125
312
13
25
12
= 16 – 3 + 15 –18 –2 + 20
= 28
10 0 1
6 2 0
2 1 1
10 0
6 2
0 1
= 20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30
O J O C O N L O S S I G N O S
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
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1 ) S i u n a m a t r i z t i e n e u n a f i l a o c o l u m n a d e
c e r o s , s u d e t e r m i n a n t e e s c e r o . E j e m p l o s :
2 ) S i u n a m a t r i z
t i e n e d o s f i l a s o d o s c o l u m n a s
i g u a l e s , s u d e t e r m i n a
n t e e s n u l o .
E j e m p l o s :
0
918
0921
2318
0921
0
000
892
531
0
1605
802
501
3 ) E l d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z e s i g u a l a l d e s u
t r a s p u e s t a . E j e m p l o :
3151893
52A
3151895
32tA
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
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4 ) S i p e r m u t a m o s d o s f i l a s o d o s c o l u m n a s d e u n a m a t r i z , e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z o b t e n i d a e s e l
o p u e s t o d e l a m a t r i z o r i g i n a l . E j e m p l o s :
5 ) S i m u l t i p l i c a m o s c a d a e l e m e n t o d e u n a f i l a o
c o l u m n a d e u n a m a t r i z p o r u n n ú m e r o , e l d e t e r m i n a n t e d e l a
m a t r i z o b t e n i d a e s i g u a l a l p r o d u c t o d e e s e n ú m e r o p o r e l
d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z o r i g i n a l . E j e m p l o :
3151893
52 31815
39
25
10 |A|
tsr
zyx
cba
7010.7.7.7.7||
tsr
zyx
cba
B
| B | = 7 . | A |
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
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6 ) E l d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z t r i a n g u l a r e s i g u a l a l p r o d u c t o
d e l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l . E j e m p l o s :
7 ) S i u n a m a t r i z t i e n e d o s f i l a s o
d o s c o l u m n a s p r o p o r c i o n a l e s , s u d e t e r m i n a n t e
e s c e r o . E j e m p l o :
0
8.284
)1.(201
3.293
A
427.3.2
797
035
002
602.3.5.2
2000
5300
6850
0872