Matrices Inversas. Rango
Matrices Elementales
Algebra
Araceli Guzman y Guillermo Garro
Facultad de CienciasUNAM
Semestre 2018-1
doyouwantmektalwar.wordpress.com
Matrices Algebra
Matrices identidad
La matriz identidad de tamano n, es la matriz cuadrada In = (δij)n tal que
δij =
{1 i = j,
0 i 6= j.
(Conocida como delta de Kronecker) Esto es, In tiene 1′s en su diagonal, y 0′s en el resto delas entradas.
Por ejemplo,
I1 = (1) I2 =
(1 00 1
)I3 =
1 0 00 1 00 0 1
I4 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
Teorema
Si A es una matriz cuadrada de tamano n, entonces
AIn = InA = A.
Si no hay lugar a confusion, podemos escribir simplemente I y obviar el tamano. Lo mismoharemos si, dado el contexto, podemos entender con toda seguridad el tamano.
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Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra
Matrices invertibles y matrices inversas
Dada una matriz cuadrada A de tamano n, decimos que A es invertible si existe una matriz Btal que
AB = BA = In
Decimos en este caso que B es la inversa de A y usamos la notacion B = A−1. La nomenclaturay la notacion queda justificada con el siguiente
Teorema
La matriz inversa de una matriz invertible es unica
Demostracion.
Si B y B′ son inversas de A, entonces
B = BIn = B(AB′) = (BA)B′ = InB′ = B′.
Si una matriz cuadrada no es invertible decimos que es singular.
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Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra
Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones
Teorema
Si una matriz cuadrada A de tamano n es invertible, entonces para todo b ∈ Rn, elsistema Ax = b tiene solucion unica.
Demostracion.
Solo hay que formalizar algunas de las observaciones que ya hemos hecho. (Prueba de existen-cia) Sea b un vector cualquiera en Rn. Sea x = A−1b. Tenemos
Ax = A(A−1b) = (AA−1)b = Inb = b.
(Prueba de unicidad) Supongamos ahora que y ∈ Rn cumple la igualdad
Ay = b.
Tenemos
A−1(Ay) = A−1b
(A−1A)y = A−1b
Iny = A−1b
y = A−1b
Una cadenita de implicaciones
A es invertible⇓
∀b ∈ Rn (Ax = b tiene solucion unica)
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Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra
Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones
Teorema
Si una matriz cuadrada A de tamano n es invertible, entonces para todo b ∈ Rn, elsistema Ax = b tiene solucion unica.
Demostracion.
Solo hay que formalizar algunas de las observaciones que ya hemos hecho. (Prueba de existen-cia) Sea b un vector cualquiera en Rn. Sea x = A−1b. Tenemos
Ax = A(A−1b) = (AA−1)b = Inb = b.
(Prueba de unicidad) Supongamos ahora que y ∈ Rn cumple la igualdad
Ay = b.
Tenemos
A−1(Ay) = A−1b
(A−1A)y = A−1b
Iny = A−1b
y = A−1b
Una cadenita de implicaciones
A es invertible⇓
∀b ∈ Rn (Ax = b tiene solucion unica)
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Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra
Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones
Corolario
Sea A una matrix cuadrada de tamano n. Si A es invertible, el sistema homogeneoAx = 0 tiene unicamente la solucion trivial x = 0.
Demostracion.
Para todo b ∈ Rn, el sistema Ax = b tiene solucion unica.
En particular, el sistema homogeneo Ax = 0 tiene solucion unica.
Pero la solucion trivial x = 0 es siempre solucion del sistema homogeneo, de manera que estadebe ser unica.
Una cadenita de implicaciones
A es invertible⇓
∀b ∈ Rn (Ax = b tiene solucion unica)⇓
Ax = 0 tiene unicamente solucion trivial x = 0
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Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra
Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones
Corolario
Sea A una matrix cuadrada de tamano n. Si A es invertible, el sistema homogeneoAx = 0 tiene unicamente la solucion trivial x = 0.
Demostracion.
Para todo b ∈ Rn, el sistema Ax = b tiene solucion unica.
En particular, el sistema homogeneo Ax = 0 tiene solucion unica.
Pero la solucion trivial x = 0 es siempre solucion del sistema homogeneo, de manera que estadebe ser unica.
Una cadenita de implicaciones
A es invertible⇓
∀b ∈ Rn (Ax = b tiene solucion unica)⇓
Ax = 0 tiene unicamente solucion trivial x = 0
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Matrices inversas. Propiedades
Teorema
Supongamos que A es una matriz cuadrada invertible. Entonces:
1. A−1 es invertible y (A−1)−1 = A.
2. Si λ 6= 0, λA es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3. AT es invertible y (AT)−1 = (A−1)T.
4. Para cualquier natural m > 0, Am es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.
Demostracion.
1. Inmediato, puesto que AA−1 = A−1A = I.
2. Tenemos que (1
λA−1
)(λA) =
λ
λA−1A = I.
3. Nuevamente,(AT)(A−1)T = (A−A)T = IT = I.
4. Se deja al estudiante.
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Matrices inversas. Propiedades
Teorema
Si A y B son matrices cuadradas invertibles del mismo tamano, entonces el productoAB es invertible y
(AB)−1 = B−1A−1.
Demostracion.
(B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = B−1IB = B−1B = I.
Corolario
Si A1, A2, ..., An son matrices cuadradas invertibles del mismo tamano, entonces B =A1A2 · · ·An es invertible y
B−1 = (A1 · · ·An)−1 = A−1n · · ·A
−12 A−1
1 .
Si A es una matriz cuadrada inveritible y n > 0 es un numero entero, entonces definimos
A−n = (A−1)n
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Operaciones Elementales
Recordemos que las operaciones elementales por renglon sobre matrices son de tres tipos:
1. Intercambiar un renglon por otro.
2. Multiplicar un renglon por un escalar distinto de cero.
3. Sumar a un renglon un multiplo escalar de otro.
Decimos que dos matrices A y B son equivalentes (por renglon), lo que escribirmos A ∼ B, siB puede obtenerse de A mediante operaciones elementales. Es claro que A ∼ A.
Pero obsevamos que de hecho, toda operacion elemental es reversible con una operacion delmismo tipo. Ası que si B puede obtenerse de A mediante operaciones elementales, entonces Apuede obtenerse de B mediante operaciones elementales. Es decir, A ∼ B si y solo si B ∼ A.
Por otra parte, si A, B y C son matrices tales que A ∼ B y B ∼ C, entonces es claro queA ∼ B.
Por lo tanto, la equivalencia por renglon, es una relacion de equivalencia en el espacio de todaslas matrices.
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Formas escalonadas
Una matriz esta en forma escalonada (por renglones) si tiene las siguientes propiedades
1. Todas las filas diferrentes de cero estan arriba de cualquier fila con puros ceros
2. Cada entrada principal de una fila esta en columna a la deracha de la entrada principal deuna fila superior.
3. Todas las entradas de una columna que esten debajo de una entrada principal son cero.
Si una matriz cumple ademas las siguientes propiedades, entonces esta en forma escalonadareducida (por renglones):
4. La entrada principal de cada fila diferente de cero es 1.
5. Cada 1 principal es la unica entrada diferente de cero en su columna.
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Formas reducidas y sistemas de ecuaciones
Teorema : Existencia y Unicidad de la Forma Escalonada Reducida
Toda matriz es equivalente a una unica matriz escalonada reducida
Teorema : Existencia y unicidad de las soluciones de un sistema
Un sistema de ecuaciones lineales es consistente (tiene solucion) si y solo si, la formaescalonada reducida de la matriz aumentada no tiene un renglon de la forma
(0 0 0 · · · 0 b), con b 6= 0.
Si el sistema es consistente, entonces el conjunto solucion contiene ya sea una solucion,cuando no existen variables libres, o un numero infinito de soluciones, cuando existe almenos una variable libre.
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Formas reducidas y sistemas de ecuaciones
Teorema
Sea A = (aij)n×n una matriz cuadrada de tamano n. El sistema homogeneo Ax = 0ntiene unicamente solucion trivial x = 0n si y solo si, A es equivalente por renglon a lamatriz identidad In.
Demostracion.
Supongamos que el sistema homogeneo Ax = 0n tiene unicamente la solucion trivial. Esto es,los siguientes sistemas son equivalentes
En otras palabras, si aplicamos al algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz aumentada del sistmea,entonces
Ası que In es la forma reducida de A.
Una cadenita de implicaciones
A es invertible⇓
∀b ∈ Rn (Ax = b tiene solucion unica)⇓
Ax = 0 tiene unicamente solucion trivial x = 0m
A ∼ I
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Formas reducidas y sistemas de ecuaciones
Teorema
Sea A = (aij)n×n una matriz cuadrada de tamano n. El sistema homogeneo Ax = 0ntiene unicamente solucion trivial x = 0n si y solo si, A es equivalente por renglon a lamatriz identidad In.
Demostracion.
Supongamos que el sistema homogeneo Ax = 0n tiene unicamente la solucion trivial. Esto es,los siguientes sistemas son equivalentes
En otras palabras, si aplicamos al algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz aumentada del sistmea,entonces
Ası que In es la forma reducida de A.
Una cadenita de implicaciones
A es invertible⇓
∀b ∈ Rn (Ax = b tiene solucion unica)⇓
Ax = 0 tiene unicamente solucion trivial x = 0m
A ∼ I
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Matrices Elementales
Una matriz elemental (por renglon) E, de tamano n, es la que resulta de realizar alguna delas operaciones elementales sobre la matriz identidad In.
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Operaciones y Matrices Elementales
Teorema : Operaciones elementales por producto de matrices
Si una matriz elemental E es el resultado de realizar una cierta operacion por renglonsobre la identidad Im, y A es una matriz de m×n, entonces el producto EA es la matrizque resulta cuando realizamos la misma operacion sobre A.
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Operaciones y Matrices Elementales
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Operaciones y Matrices Elementales
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Matrices Elementales y Equivalencia por Renglon
Corolario
Sean A y B matrices. Entonces A ∼ B si y solo si, existe una sucesion finita E1, ..., Ekde matrices elementales tales que
B = E1E2 · · ·EkA.
Demostracion.
Supongamos que B se obtiene desde A mediante k operaciones elementales. Podemos haceruna interpretacion “algorıtmica”, en el sentido de que B se obtiene de A en k pasos sucesivos,cada paso corresponde a la aplicacion de una operacion elemental. Para cada 1 ≤ i ≤ k, seaEi la matriz elemental correspondiente a la operacion del i-esimo paso. La matriz B se obtienesucesicamente del modo siguiente
A,
E1A, paso 1: aplicamos la primera operacion elemental
E2E1A, paso 2: aplicamos la segunda operacion elemental
......
B = Ek · · ·E2E1A, paso k: aplicamos la k-esima (y ultima) operacion elemental
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Inversas de Matrices Elementales
Teorema : Inversas de Matrices Elementales
Toda matriz elemental es invertile, y la inversa es tambien una matriz elemental. Masaun, la inversa de una matriz elemental E se obtiene con una operacion sobre la identidaddel mismo tipo con la que se obtuvo E.
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Operaciones y Matrices Elementales
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Inversas de Matrices Elementales
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Determinante de Matrices Elementales
Teorema
Si E es una matriz elemental, |E| 6= 0. Especifıcamente,
1. Si E se obtiene de multiplicar por λ 6= 0 el renglon i de I, entonces |E| = λ.
2. Si E se obtiene de intercambiar dos renglones de I, entonces |E| = −1.
3. Si E se obtiene de sumar λ ∈ R veces el renglon j al renglon i de I, entonces|E| = 1.
Ejemplos
Sean E1 =
(λ 00 1
), E2 =
(0 11 0
)y E3 =
(1 λ0 1
). Entonces
|E1| =∣∣∣∣λ 00 1
∣∣∣∣ = λ
|E2| =∣∣∣∣0 11 0
∣∣∣∣ = −1|E3| =
(1 λ0 1
)= 1.
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Matrices Elementales y Sistemas Homogeneos de Ecuaciones
Teorema
Para toda matriz B, B ∼ I si y solo si, B es el producto de matrices elementales.
Demostracion.
Si B ∼ I, entonces existen matrices elementales E1, E2, ..., Ek tales que B = E1E2 · · ·EkI.Pero I es elemental. Ası que B es el producto de matrices elementales.
Por otra parte, si B = E1E2 · · ·Ek, donde cada Ei es elemental, i = 1, ..., k, entoncessimplemente escribimos B = E1E2 · · ·EkI. Por lo tanto B ∼ I.
Teorema
El sistema homogeneo tiene solucion unica (trivial) si y solo si A es el producto dematrices elementales
Una cadenita de implicaciones
A es invertible⇓
∀b ∈ Rn (Ax = b tiene solucion unica)⇓
Ax = 0 tiene unicamente solucion trivial x = 0m
A ∼ Im
A = E1E2 · · ·Ek, con E1, E2, ..., Ek son matrices elementales
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Matrices Elementales y Sistemas Homogeneos de Ecuaciones
Teorema
Para toda matriz B, B ∼ I si y solo si, B es el producto de matrices elementales.
Demostracion.
Si B ∼ I, entonces existen matrices elementales E1, E2, ..., Ek tales que B = E1E2 · · ·EkI.Pero I es elemental. Ası que B es el producto de matrices elementales.
Por otra parte, si B = E1E2 · · ·Ek, donde cada Ei es elemental, i = 1, ..., k, entoncessimplemente escribimos B = E1E2 · · ·EkI. Por lo tanto B ∼ I.
Teorema
El sistema homogeneo tiene solucion unica (trivial) si y solo si A es el producto dematrices elementales
Una cadenita de implicaciones
A es invertible⇓
∀b ∈ Rn (Ax = b tiene solucion unica)⇓
Ax = 0 tiene unicamente solucion trivial x = 0m
A ∼ Im
A = E1E2 · · ·Ek, con E1, E2, ..., Ek son matrices elementales
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Matrices Elementales y Matrices Invertibles
Teorema
Si A es un producto de matrices elementales, entonces A es invertible.
Demostracion.
Las matrices elementales son invertibles, ası que si A es un producto de matrices elementales,A es invertible.
Una cadenita de implicaciones
A es invertible⇓
∀b ∈ Rn (Ax = b tiene solucion unica)⇓
Ax = 0 tiene unicamente solucion trivial x = 0m
A ∼ Im
A = E1E2 · · ·Ek, con E1, E2, ..., Ek son matrices elementales⇓
A es invertible
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Matrices Elementales y Matrices Invertibles
Teorema
Si A es un producto de matrices elementales, entonces A es invertible.
Demostracion.
Las matrices elementales son invertibles, ası que si A es un producto de matrices elementales,A es invertible.
Una cadenita de implicaciones
A es invertible⇓
∀b ∈ Rn (Ax = b tiene solucion unica)⇓
Ax = 0 tiene unicamente solucion trivial x = 0m
A ∼ Im
A = E1E2 · · ·Ek, con E1, E2, ..., Ek son matrices elementales⇓
A es invertible
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Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles
Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles
Sea A una matriz cuadrada de tamano n. Son equivalentes:
1. A es invertible.
2. Ax = b tiene solucion unica para todo b ∈ Rn.
3. Ax = 0n tiene unicamente solucion trivial x = 0n.
4. La forma escalon reducida de A es In.
5. A es el producto de matrices elementales.
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Ejemplo
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Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra
Ejemplo
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Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra
Metodo de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa
Si A es una matriz cuadrada invertible de tamano n, entonces existe una sucesion finita dematrices elementales E1, ..., Ek tales que
In = Ek · · ·E2E1A
Por lo tanto, si multiplicamos (por la derecha) ambos lados de esta ultima igualdad por A−1,
A−1 = Ek · · ·E2E1In.
Esta ultima igualdad nos dice que la misma secuencia de operaciones por renglon que sirvenpara reducir A en In, sirven para reducir In en A−1.
En vista de esta observacion, podemos establecer un metodo para encontrar matrices inversasel cual ilustramos a continuacion con algunos ejemplos.
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Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra
Metodo de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa
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Metodo de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa
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Metodo de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa
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Determinantes y Matrices Elementales
Lema
Sean B una matriz cuadrada y E una matriz elemental del mismo tamano de B. Entonces
|EB| = |E||B|.
Ejemplos
Sean E1 =
(λ 00 1
), E2 =
(0 11 0
)y E3 =
(1 λ0 1
). Y sea. B =
(a bc d
). Entonces
|E1B| =∣∣∣∣(λ 0
0 1
)(a bc d
)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣λa λbc d
∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = |E1||B|.
|E2B| =∣∣∣∣(0 1
1 0
)(a bc d
)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣c da b
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = |E2||B|
|E3B| =∣∣∣∣(1 λ
0 1
)(a bc d
)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a+ λc b+ λdc d
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣λc λdc d
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = |E3||B|.
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Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra
Matrices Escalonadas
Lema
Si A es una matriz cuadrada en forma escalon reducida por renglon, entonces A = I, obien A tiene un renglon o una columna de ceros.
Demostracion.
Veamos el caso de una matriz cuadrada de tamano 3.
Sea pues A = (aij)3×3 una matriz cuadrada de tamano 3, y supongamos que A esta en formaescalon reducida y sin columnas ni renglones de ceros. En particular esto significa que a11 = 1(de lo contario, la primera columna serıa de ceros). Por lo tanto a21 = 0 = a31.
Ahora, si a22 = 0, entonces a32 = 0, y dado que A no tiene columnas ni renglones de ceros,tambien a12 6= 0 (de hecho a12 = 1) y a33 6= 0 (de hecho a33 = 1). Pero de ello tambien sesigue que a23 = 0. Luego, el renglon 2 es de ceros. Contradiccion.
Por tanto a22 = 1. Y en consecuencia, a12 = 0 = a32.
De ello se sigue finalmente que a33 = 1, y por tanto a31 = 0 = a32.
Esto es, A = I3.
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Determinantes de matrices escalonadas
Lema
Si A es una matriz cuadrada en forma escalonada reducida por renglon, entonces |A| = 1si A = I o bien |A| = 0 en otro caso.
Demostracion.
Inmediato del lema anterior.
Lema
Sea A una matriz cuadrada y sea R su forma escalon reducida por renglon. Entonces|A| = 0 si y solo si |R| = 0 (o equivalentemente |A| 6= 0 si y solo si |R| 6= 0).
Demostracion.
Para una coleccion finita de matrices elementales E1, E2, ..., Ek, se cumple la igualdad R =EkEk−1 · · ·E2E1A. Luego,
|R| = |EkEk−1 · · ·E2E1A|= |Ek||Ek−1 · · ·E2E1A|
......
= |Ek||Ek−1| · · · |E2||E1||A|.
La conclusion del lema se sigue puesto que |Ei| 6= 0 para toda i = 1, ..., k.
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Matrices Invertibles
Teorema
Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si |A| 6= 0.
Demostracion.
Sea R la forma escalon reducida de A.
Si A es invertible, entonces R = I, y por el lema anterior, |A| 6= 0 puesto que |I| = 1.
Recıprocamente, si |A| 6= 0, entonces nuevamente por el lema anterior, |R| 6= 0. Y como Resta en forma escalon reducida, se sigue que R = I, ası que A es invertible.
Observacion
Hay que notar que esta prueba no usa en absoluto la Regla de Cramer.
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Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles
Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles
Sea A una matriz cuadrada de tamano n. Son equivalentes:
1. A es invertible.
2. Ax = b tiene solucion unica para todo b ∈ Rn.
3. Ax = 0n tiene unicamente solucion trivial x = 0n.
4. La forma escalon reducida de A es In.
5. A es el producto de matrices elementales.
6. |A| 6= 0.
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Matrices Invertibles
Corolario
Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamano, tales que AB = I o BA = I,entonces A es invertible y B = A−1.
Demostracion.
Supongamos que BA = I. Consideremos el sistema homogeneo Ax = 0. (Recordemos que unsistema homogeneo tiene siempre solucion trivial). Multiplicamos por la derecha por B,
BAx = B0
Ix = 0
x = 0.
Esto implica que esl sistema homogeneo tiene una unica solucion x = 0.
Por el Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles (TFMI), A es invertible. Y si ahoramultiplicamos por la derecha ambos lados de BA = I, obtenemos
BAA−1 = IA−1
BI = A−1
B = A−1
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Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles
Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles
Sea A una matriz cuadrada de tamano n. Son equivalentes:
1. A es invertible.
2. Ax = b tiene solucion unica para todo b ∈ Rn.
3. Ax = 0n tiene unicamente solucion trivial x = 0n.
4. La forma escalon reducida de A es In.
5. A es el producto de matrices elementales.
6. |A| 6= 0.
7. Existe una matriz B tal que AB = I.
8. Existe una matriz B tal que BA = I.
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Regla del Producto del Determinante
Corolario
Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamano. Entonces
|AB| = |A||B|.
Demostracion.
Partiremos la demostracion en dos casos, a saber, A invertible y A no invertible.
Supongamos que A es invertible. Entonces, por el TFMI, A = E1E2 · · ·Ek, donde Ei eselemental para toda i = 1, 2, .., k. Luego, por uno de los lemas probado anteriormente,
|AB| = |E1E2 · · ·EkB|= |E1||E2 · · ·EkB|
......
= |E1||E2| · · · |Ek||B|= |E1E2||E3 · · ·EkB|
......
= |E1E2 · · ·Ek||B|= |A||B|.
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Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra
Regla del Producto del Determinante
Corolario
Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamano. Entonces
|AB| = |A||B|.
Demostracion.
Supongamos que A no es invertible. Vamos a verificar que AB no es invertible. Si lo fuera,entonces para alguna matriz C se tiene
A(BC) = (AB)C = I.
Se sigue que A es invertible (por el corolario anterior). Contradiccion. Por lo tanto
|AB| = 0 = 0|B| = |A||B|.
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Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra
Rango de una matriz
El rango de una matriz A = (aij)m×n es igual al numero de renglones distintos del rengloncero de la forma escalonada reducida de A. Usamos la notacion rank(A).
Observe que 0 ≤ rank(A) ≤ m. Pero se puede probar que rank(A) = rank(AT). Por lo tantotambien se cumple que 0 ≤ rank(A) ≤ n.
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Rango de una matriz
Teorema
Una matriz cuadrada A de tamano n es invertible si y solo si, rank(A) = n.
Demostracion.
Si A es invertible, entonces por el TFMI, su forma escalon reducida es In. Y desde luego, elnumero de renglones distintos del renglon cero de In es n.
Recıprocamente, si rank(A) = n, entonces la forma escalon reducida de A tiene n renglonesdistintos del renglon cero. Pero ya probamos que la forma escalon reducida de una matrizcuadrada es la identidad In o bien tiene al menos un renglon de puros ceros. Como no sucedelo segundo, se tiene que la forma escalon reducida de A es In. Por el TFMI, A es invertible.
Teorema
Sea A una matriz de n ×m tal que rank(A) = r, y sea b ∈ Rn. Supongamos que elsistema Ax = b es consistente. Entonces la solucion general del sistema tiene n − rparametros (variables libres).
Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Algebra
Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles
Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles
Sea A una matriz cuadrada de tamano n. Son equivalentes:
1. A es invertible.
2. Ax = b tiene solucion unica para todo b ∈ Rn.
3. Ax = 0n tiene unicamente solucion trivial x = 0n.
4. La forma escalon reducida de A es In.
5. A es el producto de matrices elementales.
6. |A| 6= 0.
7. Existe una matriz B tal que AB = In.
8. Existe una matriz B tal que BA = In.
9. rank(A) = n.
Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM
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