7/26/2019 Mcm y MCD (Rosemary Torrico Bascop)
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Mximo Comn
Divisor y mnimocomn mltiplo
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Contenido
Introduccin
Mximo comn divisor MCD Mtodos de obtencin del MCD
Mnimo comn mltiplo mcm Mtodos de obtencin del mcm
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Introduccin
Existen diversas situaciones en las que esnecesario saber por ejemplo en cuntasporciones cortar una pi!!a" un pastel de #ormaque todos los presentes puedan comer la misma
cantidad de porciones$
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%$
En otras es necesario reali!ar operacionesbsicas como la suma y resta de#racciones &etero'neas" simpli(cacin de
#racciones" etc$ El Mximo comn Divisor y Mnimo Comn
Mltiplo se aplican para la resolucin deproblemas relacionados con las
situaciones descritas anteriormente
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Mximo comn divisor MCD
El mximo comn divisor de dosnmeros es el mayor de los divisorescomunes de esos nmeros$
Ejemplo MCD )*+",-. / ,
1
33 515
2 3
4 6 9
18 36
Divisores
de 15Divisores
de 36
MCDDivisores
comunes
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Mtodos de obtencin delMCD
*$ 0or descomposicin en #actoresprimos
1$ 2l'oritmo de Euclides para obtenerel MCD
,$ 3sando el mnimo comn mltiplo
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Mtodo * 0or descomposicin en#actores primos
*$ 4e descomponen los nmeros en#actores primos$
1$ 4e toman los #actores comunes conmenor exponente y se multiplica
Ejemplo
5allar el MCD)*67" 187" *877.
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Hallar el MCD(180, 240, 1400)
180 240 1400 Paso 1descomponemos los
nmeros en sus #actoresprimos
Paso 2Marcamos los#actores primos comunes
Paso 3 Multiplicamos los#actores primos comunes yobtenemos el MCD
2 2 5 = 20
MCD
2
90 120 700
45 60 350
45 30 175
45 15 175
15 5 175
5 5 175
1 1 35
1 1 7
1 1 1
2
2
2
3
3
5
5
7
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Mtodo 1 2l'oritmo de Euclidespara obtener el MCD
4ean a y b enteros positivos"
entonces el mximo comn divisor)MCD." de ay bes el ltimo residuono cero de la aplicacin sucesiva delal'oritmo de Euclides$
MCD(a,b) MCD(b,) !
Do"de = a #od b, es el
resid$o de dividir a e"%re b,
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0or ejemplo 5allar el MCD de-69 y 1,8
MCD(689, 234) = MCD(234, 221) = MCD(221,13) = 13
( )234mod689221 ( )221mod23413 ( )13mod2210
0rimero calculamos
el mdulo entre-69 y 1,8 el
resultado es 11*
:ue'o calculamosel mdulo entre
1,8 y 11* elresultado es *,
%$ calculamos el
mdulo entre11* y *, el
resultado es 7$
0or lo que identi(camoscomo MCD a *," debidoa que es el ltimo
divisor residuo )mdulo.di#erente de 7
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Mtodo , 3sando el mnimo comnmltiplo
El mximo comn divisor tambinpuede ser calculado usandoel mnimo comn mltiplo$
4i ay bson distintos de cero
El mximo comn divisor de tresnmeros se puede calcular comosi'ue
MCD(a, b, c) = MCD(a,MCD(b, c))
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0or ejemplo 5allar el MCD de -y 6 usando el mtodo de mcm
224
48
)8,6(
86)8,6( ==
=
mcmMCD
- 6 1
, 8 1
, 1 1
, * ,
* *
mcm)-"6. /
1x1x1x, / 18
Clculamos el
mcm de - y 6
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Mnimo Comn Mltiplom$c$m$
El mnimo comn mltiplo de dos oms nmeros es el menor nmero delos mltiplos comunes a ellos"
distinto de 7$
El m$c$m$ de dos nmeros primos esel resultado de la multiplicacin deambos Ejemplo
El m$c$m$)*, "
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Mtodos de obtencin delmcm
*$ 0or interseccin de conjuntos demltiplos
1$ 0or descomposicin en #actoresprimos
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Mtodo * 0or interseccin deconjuntos de mltiplos
Ejemplo 5allar
El m$c$m$)*1 " *+. /-7
120
60
12 24
36
48 72 &&
15 30
45 75
90!&
M'l%ilos
de 12
m.c.m es el menor
mltiplos
comunes
M'l%ilos
de 15
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Mtodo * 0or descomposicinen #actores primos
=tra #orma deencontrar el m$c$m$de dos o mas
nmeros esmultiplicando los#actores primoscomunes y no
comunes$Ejemplo
mcm)16"*7./1x1x+xiblio'ra#a
Matemticas >" Pedro AntonioGutierrez Figueroa, Ed. a !oguera,"##$.
Dominando las Matemticas"2ritmeticaII" . Ga%dos,"##&.
Matemticas -" EdicionesSanti%%ana,"###
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