3) MECÁNICA CUÁNTICA
F.CLASICA : Determinista
Y
X
y Vo
t=0 t=1 g
{1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista
e-1
2{1925} , W Heisenberg
Mecánica Matricial : [ ] estados
{1926} E Schroedinger
Mecánica ondulatoria
{1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld
),(
),(
),(
),(:
tr
trEE
txEE
txyyO
Ψ
===
3.1) Experimento de la doble rendija
e-
D
1
2
D’pantalla
La radiación de e-s sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia
por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2.
Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por la otra, el patrón final no mostraría interferencia.
e-
2
e-
2
1
1
α)
β)
X’
2
1Ψ
2
2Ψ
2
1Ψ 2
2Ψ+
Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ1:e-s por 1 y Ψ2:e-s por 2, entonces, las probabilidades de encontrar a los electrones en Y se determina con los , por lo tanto, las curvas de probabilidad correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψ1 y Ψ2 correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento.
2Ψ
X’
Y’
Y’
Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el estado del e- debe de especificarse así:
Ψe= Ψ1+ Ψ2
De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la interferencia,
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
2 cos
:e
desfasaje entre
φ
φ−Ψ = Ψ + Ψ = Ψ + Ψ + Ψ Ψ
Ψ ∧ Ψ
En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá estar presente en 1 y 2.
3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p)
x
p
2
≥∆∆ px
x∆
p∆
: incertidumbre de la posición
: incertidumbre de la cantidad de movimiento lineal
Esta relación describe una interacción con el sistema que no se puede controlar, es proceso del universo.
ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO
2E t∆ ∆ ≥
E∆
t∆
: incertidumbre de la energía
: incertidumbre del tiempo
3.3) FUNCIÓN DE ONDA ΨEs la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida toda la información del sistema.
r PT
2
2
( )
( )
2 : RES
r r t v a
r r t continua
d rda Ley F m r
dt
= → →
= →
= →rr r
2 2
2 2 2
" : "
( , ) ( , ) { }
1
M
c
OEM E B
E E x t E x t E sen kx wt
E deOEM
E Ev c
x v t
φ−
→ = − +
∂ ∂= → =∂ ∂
ur uur
e- e- Ψ
X
= =
{ }
( , ) ( , ) ( )
( )
x t x t x
x x
PSI v
CF
ψ ψ ψψ
= =→
M
Valores asociados
Probabilidad
H Ψ=E ΨEc. de Schroedinger
La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo las mediciones se efectuarán con |Ψ|2 ,el cual se interpreta como densidad de probabilidad.
|Ψ|2 : densidad de probabilidad …: densidad de probabilidad …
Indica la probabilidad de encontrar a la partícula Indica la probabilidad de encontrar a la partícula en cierto volumen y en cierto tiempo. en cierto volumen y en cierto tiempo.
|Ψ|2dv :… en el V=dv
|Ψ(x)|2dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx
a bx
Pv
[ ] ∫ Ψ=→
←b
a
xab dxPbax
Xx
2
)(,:""
Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la
condición de normalidad de Ψ,
12 =∫
∞
∞−
dxψ ∃ de la partícula en X!
Las CF se describen usando sus valores esperados , CF <CF>
{ }∫∞
∞−
= dxCFCF2ψ
Ψ: Describe al sistema
Ψ Interpretar
Ejemplo: Problema de la partícula en una caja
x
m v
L
La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con velocidad v.
Estado Cinemático: v
Sistema restringido: x
Discretizar
< 0,L>
Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del problema, los estados discretos,
Ψ Ψn En ; n =1,2,3,…
Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que describe los estados de m es,
{ }( )x Asen kxψ ≡
Donde se escogerá de tal manera que describa la probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L,λ
π2=k
, 0,
; 1,2,3 ,...
2,
2
2
n n
nn
kx n x L
kL n n
nk
L
L nv
n L
π
λ ν
ππ π
λ
= ==
→ ≡
=
=
=
=
2( ) ; 1, 2,3,...n
n
x Asen x nπψ
λ
≡ =
Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por
{ } 22 22
2
,
2
2
2
2
,
2
2
8
1
2 2 2 2
2
2 8
( ) ,
nnkn n
n
k n
kn n
n
hp h
E mvm m m
hL
n h
hE n
nE E
m L m
x ASen nxL mL
λλ
πψ
= = = =
÷
=
= = = =
=
Principio de incertidumbre
ΨΨ
0 L
Ψn Ψn2=| Ψn |2
0 0L LL/2 L/2
L/3L/3
2L/32L/3
En (E1)
9
4
1
n
3
2
1
v=cte
3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER
Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a la descripción del problema físico. Por ejemplo,
1. HΨ=E Ψ Estados estacionarios
H: Hamiltoneano operador de energía.
E: energía del estado estacionario.
2. Ec de SchroedingerF. clásica Física Cuántica
{ }
{ } { } { }{ }
2 2
2 2 2
22
2 2
2 2 2
2 2 2
( , ) ( ) .......................( )
( , ) 1 ( , )..........................( )
( , ) 1( , )
( , ), ( , ) ( , )
x t A x Cos wt
x t x t
x v t
x tA Cos wt A x t w Cos wt
x v
x t w px t x t
x v
ψ ψ α
ψ ψ β
ψ ψ
ψ ψ ψ
=
∂ ∂=∂ ∂
∂ = − ∂ ∂ −= − =
∂ h
2
2 22
2
22v
w p
v v v
ππ υ λ = = =
h
…..... Ec de Schrodinger
( )
{ }
22
2
2 2
22
2( ) ( )
k p
k p p
p
E E E cte
pE E E p m E E
m
mx E E x
xψ ψ
= + =
= = − → = −
∂ = − −∂ h
ψψ
ψψψ
ψψψ
Evm
tihv
m
EEpxm
=
+−
∂∂=+∇−
=+∂∂−
2
2
2
2
22
2
2
h
h
h
3. Caso general
),(),(),(2
),( 22
trtrVtrm
trt
i ψψψ +∇−=∂∂ h
h
ψψψ2
2
2
2
2
2
zyx ∂∂+
∂∂+
∂∂
Resolviendo el ejercicio…
∞ ∞
v
Ep
0 L
2
2 2
..
2
22
2
2 2 2
0
20 :
0 ( ) { }
2( )
............
8
: 1 ( )
2
n
L
mL E
x
x x x t ASen wt
mEx ASen x
ASen nxL
hE n
mh
A Normalización dx A Sen cx dx
AL
ψ ψ
α
ψ
π
ψ∞
−∞
∂− = −∂
+ = → =
=
→ =
=
→ = =
=
∫ ∫
h
h
%
x