Universidad Simón Bolívar
Mecánica de Materiales II:Deformaciones y desplazamientos
Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar
Universidad Simón Bolívar
• Desplazamientos• Desplazamientos
• Deformaciones• Normal• Tangencial
• Deformaciones• Normal• Tangencial
• Relación Desplazamiento - Deformación• Relación Desplazamiento - Deformación
• Deformación homogénea• Deformación homogénea
• Estado plano de deformaciones• Circulo de Mohr – Método gráfico• Circulo de Mohr – Reglas de correspondencia
• Estado plano de deformaciones• Circulo de Mohr – Método gráfico• Circulo de Mohr – Reglas de correspondencia
• Análisis experimental de deformaciones• Análisis experimental de deformaciones
ContenidoContenido
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Se define como:
y
x z
rR
sPP’
=z
y
x
r ( )
=w
v
u
trs ,( ) ),(, trsrtrR +=
Los desplazamientos del punto P (u,vy w) son función del sistema decoordenadas XYZ y del tiempo
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
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Cuando un sólido es sometido a cargas, encada punto experimenta undesplazamiento que se descompone en:• Movimiento rígido
TraslaciónRotación
• Deformación puraCambios de longitudVariaciones de ángulos
Deformación NormalDeformación Tangencial
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
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Se define como:
y
x z
r
R
sP
P’
dr
drdRn
−=ε
r+dr
s+dsQ
Q’dr
dR
nn
• εn es positiva si se alarga
• εn es negativa si se encoje
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
Deformación Normal
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y
x z
r
R
sP
P’
−⋅= θπγ22
1nm
drdR
n
N
dQdq M
m90°
θ
• γnm es positiva siθ < 90°
• γnm es negativa siθ > 90°
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
Deformación Tangencial
Se define como:
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y
dyL
P
Q
P’
Q’
Y
dY
v
∆L
y
vy ∂
∂=ε
v+dv
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento -Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
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y
vy ∂
∂=ε
De manera similar puede demostrarse que:
x
ux ∂
∂=εz
wz ∂
∂=ε
∂∂+
∂∂⋅=
x
v
y
uxy 2
1γ
∂∂+
∂∂⋅=
x
w
z
uxz 2
1γ
∂∂+
∂∂⋅=
y
w
z
vyz 2
1γ
De esta manera se conforma:
[ ]
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
εγγγεγγγε
ε
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento -Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
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Sucede cuando la matriz de deformaciones es idéntica en todos lospuntos del solido, es decir:
HzFyDxAu +⋅+⋅+⋅=
MzKyBxEv +⋅+⋅+⋅=
NzCyLxGw +⋅+⋅+⋅=
ctte ====== yzxzxyzyx γγγεεε
Eso significa que los desplazamientos se pueden expresar delasiguiente manera:
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
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Ejemplo de deformación homogénea:Ejemplo de deformación no homogénea:
x
y
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
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Ejemplo de estado plano de deformaciones:
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
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Implica que una de las deformaciones principales es igual a cero:
[ ]
=000
0
0
yyx
xyx
εγγε
ε
Existe total analogía entre los esfuerzos y las deformaciones, por loque se cumple que:
( ) ( )θγθεεεε
ε ⋅⋅+⋅⋅
−+
+= 22
221 SenCos xyyxyx
x
( ) ( )θγθεε
γ ⋅⋅+⋅⋅
−= 22
211 CosSen xyxy
yx
( )yx
xytgεε
γθ
−⋅
=⋅2
2
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
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γ
εnP1(ε1)
R
Cθ⋅2
2yx εε + ( ) 2
2
4 xyyxR γ
εε+
−=
P2(ε2)
• Se ubican lospuntos Px(εx,γxy) yPy(εy,-γxy) y se trazauna recta queintersecta el eje de lasabscisas en el puntoC.
Py(εy,−γxy)
Px(εx,γxy)
• Con centro en C yradio CPx, se traza lacircunferencia deradio R
• La circunferencia seintersecta con el ejede las abscisas P1 y P2
que corresponden alas deformacionesprincipalesε1 y ε2
• El ángulo(dirección principal)que forma ladeformaciónε1 con eleje x es igual y desentido contrario a lamitad del ángulo entreCP1 y CPx
• Si queremosdeterminar lasdeformacionesεx1 yγx1y1 en un plano cuyanormal forma unángulo φ en sentidoanti horario con el ejex, medimos un ángulo2φ en sentido horarioen el círculo de Mohr
Px1(σx1,τx1y1)
y
x
x1
y1
φ
2.φ
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
Mohr – Método gráfico
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εn(ε1)
C
(ε2)
• Las deformacionesnormales ytangenciales en unplano perpendicular alplano XY son lascoordenadas en unpunto sobre lacircunferencia deMohr
(εy,−γxy)
(εx,γxy)
Px1(εx1,γx1y1)
y
x
x1
y1
φ
2.φ
• Los ejes X y Y serepresentan en elcírculo de Mohr comoradios
y
x
(εy,−γxy)
(εx,γxy)
• En el plano XY, losangulos son positivoscuando se miden ensentido anti horario.En el diagrama deMohr son positivos sise miden en sentidohorario
• Si un eje x1 formaun ánguloθ con otroeje x2 en el plano XY,entonces el radio CPx1
forma un ángulo -2θcon CPx2 en el circulode Mohr
Px2(εx2,γx2y2)2.θ
x2y2
θ
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
Circulo de Mohr – Reglas de correspondencia
γ
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Galgas extensiométricas:es un dispositivo comúnmente usado enpruebas y mediciones mecánicas. La galga extensiométrica es unaresistencia que consiste en una matriz de bobinas o cable muyfinoel cual varia su resistencia linealmente dependiendo de la cargaaplicada al dispositivo
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
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( )xyyxx f γεεε ,,1 =°= 0θ
Sea una pieza en estado plano de deformaciones sometida acualquier tipo de cargas:
y
z x
( )xyyxx f γεεε ,,2 =°= 451θ( )xyyxx f γεεε ,,3 =°= 902θ
Con la finalidad de calcular:
xyyx γεε
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
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x1
y1
x2
y2
x3
y3
45°
90°
1xx εε =
3xy εε =
( )312 2
1xxxxy εεεγ +⋅−=
Roseta rectangular:
Desplazamientos DeformacionesRelación
Desplazamiento - Deformación
Deformación Homogénea
Estado plano
Análisis experimental
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