Medida de Hausdorff exacta de conjuntos deCantor
Leandro Zuberman
CEMIM (Centro Marplatense de Investigaciones Matematicas) y CONICET
Reunion Aunal de la Union Matematica ArgentinaBahıa Blanca 21 de Septiembre de 2016
Medida de Hausdorff
Una estimacion del tamano de un conjunto es la medidade Lebesgue.
Basada en estimaciones por cubrimientos, por exceso, aminimizar.Los conjuntos de Cantor en la recta u otros conjuntos“pequenos” en Rd , al tener medida nula resultanindistinguibles.Requieren una nocion mas refinada de tamano.La medida y dimension de Hausdorff permite distinguirconjuntos de medida nula y tambien esta basada enestimaciones por cubrimientos, por exceso.
Medida de Hausdorff
Una estimacion del tamano de un conjunto es la medidade Lebesgue.Basada en estimaciones por cubrimientos, por exceso, aminimizar.
Los conjuntos de Cantor en la recta u otros conjuntos“pequenos” en Rd , al tener medida nula resultanindistinguibles.Requieren una nocion mas refinada de tamano.La medida y dimension de Hausdorff permite distinguirconjuntos de medida nula y tambien esta basada enestimaciones por cubrimientos, por exceso.
Medida de Hausdorff
Una estimacion del tamano de un conjunto es la medidade Lebesgue.Basada en estimaciones por cubrimientos, por exceso, aminimizar.Los conjuntos de Cantor en la recta u otros conjuntos“pequenos” en Rd , al tener medida nula resultanindistinguibles.
Requieren una nocion mas refinada de tamano.La medida y dimension de Hausdorff permite distinguirconjuntos de medida nula y tambien esta basada enestimaciones por cubrimientos, por exceso.
Medida de Hausdorff
Una estimacion del tamano de un conjunto es la medidade Lebesgue.Basada en estimaciones por cubrimientos, por exceso, aminimizar.Los conjuntos de Cantor en la recta u otros conjuntos“pequenos” en Rd , al tener medida nula resultanindistinguibles.Requieren una nocion mas refinada de tamano.
La medida y dimension de Hausdorff permite distinguirconjuntos de medida nula y tambien esta basada enestimaciones por cubrimientos, por exceso.
Medida de Hausdorff
Una estimacion del tamano de un conjunto es la medidade Lebesgue.Basada en estimaciones por cubrimientos, por exceso, aminimizar.Los conjuntos de Cantor en la recta u otros conjuntos“pequenos” en Rd , al tener medida nula resultanindistinguibles.Requieren una nocion mas refinada de tamano.La medida y dimension de Hausdorff permite distinguirconjuntos de medida nula y tambien esta basada enestimaciones por cubrimientos, por exceso.
Medida de HausdorffSea E ⊂ Rd .
Dado δ > 0, una familia (Ui)∞i=1 tal que:
E ⊂∞⋃
i=1
Ui y |Ui | ≤ δ ∀i≥1,
se dice un δ-cubrimiento de E .Sea s > 0. Definimos:
Hsδ(E) = inf
{ ∞∑i=1
|Ui |s : {Ui} es δ-cubrimiento de E
}.
Hs(E) = limδ→0+
Hsδ(E)
La definicion no cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos de abiertos o convexos.La definicion cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos por bolas.
Medida de HausdorffSea E ⊂ Rd .Dado δ > 0, una familia (Ui)
∞i=1 tal que:
E ⊂∞⋃
i=1
Ui y |Ui | ≤ δ ∀i≥1,
se dice un δ-cubrimiento de E .
Sea s > 0. Definimos:
Hsδ(E) = inf
{ ∞∑i=1
|Ui |s : {Ui} es δ-cubrimiento de E
}.
Hs(E) = limδ→0+
Hsδ(E)
La definicion no cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos de abiertos o convexos.La definicion cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos por bolas.
Medida de HausdorffSea E ⊂ Rd .Dado δ > 0, una familia (Ui)
∞i=1 tal que:
E ⊂∞⋃
i=1
Ui y |Ui | ≤ δ ∀i≥1,
se dice un δ-cubrimiento de E .Sea s > 0. Definimos:
Hsδ(E) = inf
{ ∞∑i=1
|Ui |s : {Ui} es δ-cubrimiento de E
}.
Hs(E) = limδ→0+
Hsδ(E)
La definicion no cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos de abiertos o convexos.La definicion cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos por bolas.
Medida de HausdorffSea E ⊂ Rd .Dado δ > 0, una familia (Ui)
∞i=1 tal que:
E ⊂∞⋃
i=1
Ui y |Ui | ≤ δ ∀i≥1,
se dice un δ-cubrimiento de E .Sea s > 0. Definimos:
Hsδ(E) = inf
{ ∞∑i=1
|Ui |s : {Ui} es δ-cubrimiento de E
}.
Hs(E) = limδ→0+
Hsδ(E)
La definicion no cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos de abiertos o convexos.La definicion cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos por bolas.
Medida de HausdorffSea E ⊂ Rd .Dado δ > 0, una familia (Ui)
∞i=1 tal que:
E ⊂∞⋃
i=1
Ui y |Ui | ≤ δ ∀i≥1,
se dice un δ-cubrimiento de E .Sea s > 0. Definimos:
Hsδ(E) = inf
{ ∞∑i=1
|Ui |s : {Ui} es δ-cubrimiento de E
}.
Hs(E) = limδ→0+
Hsδ(E)
La definicion no cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos de abiertos o convexos.
La definicion cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos por bolas.
Medida de HausdorffSea E ⊂ Rd .Dado δ > 0, una familia (Ui)
∞i=1 tal que:
E ⊂∞⋃
i=1
Ui y |Ui | ≤ δ ∀i≥1,
se dice un δ-cubrimiento de E .Sea s > 0. Definimos:
Hsδ(E) = inf
{ ∞∑i=1
|Ui |s : {Ui} es δ-cubrimiento de E
}.
Hs(E) = limδ→0+
Hsδ(E)
La definicion no cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos de abiertos o convexos.La definicion cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos por bolas.
Dimension de Hausdorff
Dado E ⊂ Rd existe un numero s0 := dim(E) que satisface:
Hs(E) = ∞ si s < s0
Hs(E) = 0 si s > s0.
s
Hs(E)∞
s0
Dimension de Hausdorff
Dado E ⊂ Rd existe un numero s0 := dim(E) que satisface:
Hs(E) = ∞ si s < s0
Hs(E) = 0 si s > s0.
s
Hs(E)
∞
s0
Dimension de Hausdorff
Dado E ⊂ Rd existe un numero s0 := dim(E) que satisface:
Hs(E) = ∞ si s < s0
Hs(E) = 0 si s > s0.
s
Hs(E)∞
s0
Dimension de Hausdorff
Dado E ⊂ Rd existe un numero s0 := dim(E) que satisface:
Hs(E) = ∞ si s < s0
Hs(E) = 0 si s > s0.
s
Hs(E)∞
s0
Dimension de Hausdorff
Dado E ⊂ Rd existe un numero s0 := dim(E) que satisface:
Hs(E) = ∞ si s < s0
Hs(E) = 0 si s > s0.
s
Hs(E)∞
s0
Dimension de Hausdorff
Dado E ⊂ Rd existe un numero s0 := dim(E) que satisface:
Hs(E) = ∞ si s < s0
Hs(E) = 0 si s > s0.
s
Hs(E)∞
s0
Ejemplo: [0,1]
[0,1] ⊂ R.
δ = 1/n,
Ui =
[i − 1
n,
in
]i = 1,2, . . . ,n.
{Ui}ni=1 es un δ-cubrimiento de [0,1]
optimo.
Hs1/n([0,1]) ≤
=
n∑i=1
|Ui |s = n(
1n
)s
= n1−s.
Hs([0,1]) = limn→∞
Hs1/n([0,1]) =
0, si s > 11, si s = 1∞, si s < 1.
dim([0,1]) = 1
Ejemplo: [0,1]
[0,1] ⊂ R. δ = 1/n,
Ui =
[i − 1
n,
in
]i = 1,2, . . . ,n.
{Ui}ni=1 es un δ-cubrimiento de [0,1]
optimo.
Hs1/n([0,1]) ≤
=
n∑i=1
|Ui |s = n(
1n
)s
= n1−s.
Hs([0,1]) = limn→∞
Hs1/n([0,1]) =
0, si s > 11, si s = 1∞, si s < 1.
dim([0,1]) = 1
Ejemplo: [0,1]
[0,1] ⊂ R. δ = 1/n,
Ui =
[i − 1
n,
in
]i = 1,2, . . . ,n.
{Ui}ni=1 es un δ-cubrimiento de [0,1]
optimo.
Hs1/n([0,1]) ≤
=
n∑i=1
|Ui |s = n(
1n
)s
= n1−s.
Hs([0,1]) = limn→∞
Hs1/n([0,1]) =
0, si s > 11, si s = 1∞, si s < 1.
dim([0,1]) = 1
Ejemplo: [0,1]
[0,1] ⊂ R. δ = 1/n,
Ui =
[i − 1
n,
in
]i = 1,2, . . . ,n.
{Ui}ni=1 es un δ-cubrimiento de [0,1]
optimo.
Hs1/n([0,1]) ≤
=
n∑i=1
|Ui |s = n(
1n
)s
= n1−s.
Hs([0,1]) = limn→∞
Hs1/n([0,1]) =
0, si s > 11, si s = 1∞, si s < 1.
dim([0,1]) = 1
Ejemplo: [0,1]
[0,1] ⊂ R. δ = 1/n,
Ui =
[i − 1
n,
in
]i = 1,2, . . . ,n.
{Ui}ni=1 es un δ-cubrimiento de [0,1] optimo.
Hs1/n([0,1]) ≤
=
n∑i=1
|Ui |s = n(
1n
)s
= n1−s.
Hs([0,1]) = limn→∞
Hs1/n([0,1]) =
0, si s > 11, si s = 1∞, si s < 1.
dim([0,1]) = 1
Ejemplo: [0,1]
[0,1] ⊂ R. δ = 1/n,
Ui =
[i − 1
n,
in
]i = 1,2, . . . ,n.
{Ui}ni=1 es un δ-cubrimiento de [0,1] optimo.
Hs1/n([0,1])
≤
=n∑
i=1
|Ui |s = n(
1n
)s
= n1−s.
Hs([0,1]) = limn→∞
Hs1/n([0,1]) =
0, si s > 11, si s = 1∞, si s < 1.
dim([0,1]) = 1
Ejemplo: [0,1]
[0,1] ⊂ R. δ = 1/n,
Ui =
[i − 1
n,
in
]i = 1,2, . . . ,n.
{Ui}ni=1 es un δ-cubrimiento de [0,1] optimo.
Hs1/n([0,1])
≤
=n∑
i=1
|Ui |s = n(
1n
)s
= n1−s.
Hs([0,1]) = limn→∞
Hs1/n([0,1]) =
0, si s > 11, si s = 1∞, si s < 1.
dim([0,1]) = 1
Ejemplo: [0,1]
[0,1] ⊂ R. δ = 1/n,
Ui =
[i − 1
n,
in
]i = 1,2, . . . ,n.
{Ui}ni=1 es un δ-cubrimiento de [0,1] optimo.
Hs1/n([0,1])
≤
=n∑
i=1
|Ui |s = n(
1n
)s
= n1−s.
Hs([0,1]) = limn→∞
Hs1/n([0,1]) =
0, si s > 11, si s = 1∞, si s < 1.
dim([0,1]) = 1
Ejemplo: conjunto ternario de Cantor
Notemos Fn = {I1, . . . , I2n}.
Fn es un 3−n-cubrimiento de C.
Hs3−n (C) ≤
2n∑j=1
|Ij |s = 2n(3−n)s =
(23s
)n
,
Si 3s = 2, entonces Hs(C) ≤ 1 y dimC ≤ s = log 2/ log 3
Si el cubrimiento es optimo, las desigualdades devienenigualdades.
Ejemplo: conjunto ternario de Cantor
Notemos Fn = {I1, . . . , I2n}.Fn es un 3−n-cubrimiento de C.
Hs3−n (C) ≤
2n∑j=1
|Ij |s = 2n(3−n)s =
(23s
)n
,
Si 3s = 2, entonces Hs(C) ≤ 1 y dimC ≤ s = log 2/ log 3
Si el cubrimiento es optimo, las desigualdades devienenigualdades.
Ejemplo: conjunto ternario de Cantor
Notemos Fn = {I1, . . . , I2n}.Fn es un 3−n-cubrimiento de C.
Hs3−n (C) ≤
2n∑j=1
|Ij |s = 2n(3−n)s =
(23s
)n
,
Si 3s = 2, entonces Hs(C) ≤ 1 y dimC ≤ s = log 2/ log 3
Si el cubrimiento es optimo, las desigualdades devienenigualdades.
Ejemplo: conjunto ternario de Cantor
Notemos Fn = {I1, . . . , I2n}.Fn es un 3−n-cubrimiento de C.
Hs3−n (C) ≤
2n∑j=1
|Ij |s = 2n(3−n)s =
(23s
)n
,
Si 3s = 2, entonces Hs(C) ≤ 1 y dimC ≤ s = log 2/ log 3
Si el cubrimiento es optimo, las desigualdades devienenigualdades.
Ejemplo: conjunto ternario de Cantor
Notemos Fn = {I1, . . . , I2n}.Fn es un 3−n-cubrimiento de C.
Hs3−n (C) ≤
2n∑j=1
|Ij |s = 2n(3−n)s =
(23s
)n
,
Si 3s = 2, entonces Hs(C) ≤ 1 y dimC ≤ s = log 2/ log 3
Si el cubrimiento es optimo, las desigualdades devienenigualdades.
Cubrimientos, Cubrimientos optimos y algoritmos
Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de Hausdorff
Es mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs
1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1
Hs3−n (C) = (2/3s)n, Hlog 2/ log 3(C) = 1n = 1.
En otros casos, los δn cubrimientos optimos me puedendar una aproximacion de la medida de Hausdorff.Es una idea para generar un algoritmo que calcule lamedida exacta de Cantor.
Cubrimientos, Cubrimientos optimos y algoritmos
Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.
Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs
1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1
Hs3−n (C) = (2/3s)n, Hlog 2/ log 3(C) = 1n = 1.
En otros casos, los δn cubrimientos optimos me puedendar una aproximacion de la medida de Hausdorff.Es una idea para generar un algoritmo que calcule lamedida exacta de Cantor.
Cubrimientos, Cubrimientos optimos y algoritmos
Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.
Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs
1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1
Hs3−n (C) = (2/3s)n, Hlog 2/ log 3(C) = 1n = 1.
En otros casos, los δn cubrimientos optimos me puedendar una aproximacion de la medida de Hausdorff.Es una idea para generar un algoritmo que calcule lamedida exacta de Cantor.
Cubrimientos, Cubrimientos optimos y algoritmos
Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.
Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs
1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1
Hs3−n (C) = (2/3s)n, Hlog 2/ log 3(C) = 1n = 1.
En otros casos, los δn cubrimientos optimos me puedendar una aproximacion de la medida de Hausdorff.Es una idea para generar un algoritmo que calcule lamedida exacta de Cantor.
Cubrimientos, Cubrimientos optimos y algoritmos
Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.
En los ejemplos anteriores:Hs
1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1
Hs3−n (C) = (2/3s)n, Hlog 2/ log 3(C) = 1n = 1.
En otros casos, los δn cubrimientos optimos me puedendar una aproximacion de la medida de Hausdorff.Es una idea para generar un algoritmo que calcule lamedida exacta de Cantor.
Cubrimientos, Cubrimientos optimos y algoritmos
Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:
Hs1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1
Hs3−n (C) = (2/3s)n, Hlog 2/ log 3(C) = 1n = 1.
En otros casos, los δn cubrimientos optimos me puedendar una aproximacion de la medida de Hausdorff.Es una idea para generar un algoritmo que calcule lamedida exacta de Cantor.
Cubrimientos, Cubrimientos optimos y algoritmos
Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs
1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1
Hs3−n (C) = (2/3s)n, Hlog 2/ log 3(C) = 1n = 1.
En otros casos, los δn cubrimientos optimos me puedendar una aproximacion de la medida de Hausdorff.Es una idea para generar un algoritmo que calcule lamedida exacta de Cantor.
Cubrimientos, Cubrimientos optimos y algoritmos
Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs
1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1
Hs3−n (C) = (2/3s)n, Hlog 2/ log 3(C) = 1n = 1.
En otros casos, los δn cubrimientos optimos me puedendar una aproximacion de la medida de Hausdorff.Es una idea para generar un algoritmo que calcule lamedida exacta de Cantor.
Cubrimientos, Cubrimientos optimos y algoritmos
Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs
1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1
Hs3−n (C) = (2/3s)n, Hlog 2/ log 3(C) = 1n = 1.
En otros casos, los δn cubrimientos optimos me puedendar una aproximacion de la medida de Hausdorff.
Es una idea para generar un algoritmo que calcule lamedida exacta de Cantor.
Cubrimientos, Cubrimientos optimos y algoritmos
Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs
1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1
Hs3−n (C) = (2/3s)n, Hlog 2/ log 3(C) = 1n = 1.
En otros casos, los δn cubrimientos optimos me puedendar una aproximacion de la medida de Hausdorff.Es una idea para generar un algoritmo que calcule lamedida exacta de Cantor.
Densidades
Dado E ⊂ Rd , definimos
DE (x) = limr→0+
Ld (E ∩ B(x , r))
Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))
crd
EP
Q
R
DE (P) = 1
DE (Q) = 1/2
DE (R) = 1/4
P
Q
R
Q
R
FS
T
DF (S) = 1
0 < DF (T ) < 1
T
Densidades
Dado E ⊂ Rd , definimos
DE (x) = limr→0+
Ld (E ∩ B(x , r))
Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))
crd
E
P
Q
R
DE (P) = 1
DE (Q) = 1/2
DE (R) = 1/4
P
Q
R
Q
R
FS
T
DF (S) = 1
0 < DF (T ) < 1
T
Densidades
Dado E ⊂ Rd , definimos
DE (x) = limr→0+
Ld (E ∩ B(x , r))
Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))
crd
EP
Q
R
DE (P) = 1
DE (Q) = 1/2
DE (R) = 1/4
P
Q
R
Q
R
FS
T
DF (S) = 1
0 < DF (T ) < 1
T
Densidades
Dado E ⊂ Rd , definimos
DE (x) = limr→0+
Ld (E ∩ B(x , r))
Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))
crd
EP
Q
R
DE (P) = 1
DE (Q) = 1/2
DE (R) = 1/4
P
Q
R
Q
R
FS
T
DF (S) = 1
0 < DF (T ) < 1
T
Densidades
Dado E ⊂ Rd , definimos
DE (x) = limr→0+
Ld (E ∩ B(x , r))
Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))
crd
EP
Q
R
DE (P) = 1
DE (Q) = 1/2
DE (R) = 1/4
P
Q
R
Q
R
FS
T
DF (S) = 1
0 < DF (T ) < 1
T
Densidades
Dado E ⊂ Rd , definimos
DE (x) = limr→0+
Ld (E ∩ B(x , r))
Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))
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EP
Q
R
DE (P) = 1
DE (Q) = 1/2
DE (R) = 1/4
P
Q
R
Q
R
F
S
T
DF (S) = 1
0 < DF (T ) < 1
T
Densidades
Dado E ⊂ Rd , definimos
DE (x) = limr→0+
Ld (E ∩ B(x , r))
Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))
crd
EP
Q
R
DE (P) = 1
DE (Q) = 1/2
DE (R) = 1/4
P
Q
R
Q
R
FS
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DF (S) = 1
0 < DF (T ) < 1
T
Densidades
Dado E ⊂ Rd , definimos
DE (x) = limr→0+
Ld (E ∩ B(x , r))
Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))
crd
EP
Q
R
DE (P) = 1
DE (Q) = 1/2
DE (R) = 1/4
P
Q
R
Q
R
FS
T
DF (S) = 1
0 < DF (T ) < 1
T
Densidades
Dado E ⊂ Rd , definimos
DE (x) = limr→0+
Ld (E ∩ B(x , r))
Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))
crd
EP
Q
R
DE (P) = 1
DE (Q) = 1/2
DE (R) = 1/4
P
Q
R
Q
R
FS
T
DF (S) = 1
0 < DF (T ) < 1
T
Densidades
Teorema de Densidad de Lebesgue: DE (x) = 1 pct x ∈ E
Si C es una curva suave, limr→0+long(C∩B(x ,r))
2r = 1
Si S es una superficie suave, limr→0+area(S∩B(x ,r))
cr2 = 1¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?
ΘsE (x) = lim supr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
ΘsE (x) = lim infr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Densidades
Teorema de Densidad de Lebesgue: DE (x) = 1 pct x ∈ E
Si C es una curva suave, limr→0+long(C∩B(x ,r))
2r = 1
Si S es una superficie suave, limr→0+area(S∩B(x ,r))
cr2 = 1¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?
ΘsE (x) = lim supr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
ΘsE (x) = lim infr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Densidades
Teorema de Densidad de Lebesgue: DE (x) = 1 pct x ∈ E
Si C es una curva suave, limr→0+long(C∩B(x ,r))
2r = 1
Si S es una superficie suave, limr→0+area(S∩B(x ,r))
cr2 = 1
¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?
ΘsE (x) = lim supr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
ΘsE (x) = lim infr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Densidades
Teorema de Densidad de Lebesgue: DE (x) = 1 pct x ∈ E
Si C es una curva suave, limr→0+long(C∩B(x ,r))
2r = 1
Si S es una superficie suave, limr→0+area(S∩B(x ,r))
cr2 = 1¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?
ΘsE (x) = lim supr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
ΘsE (x) = lim infr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Densidades
Teorema de Densidad de Lebesgue: DE (x) = 1 pct x ∈ E
Si C es una curva suave, limr→0+long(C∩B(x ,r))
2r = 1
Si S es una superficie suave, limr→0+area(S∩B(x ,r))
cr2 = 1¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?
ΘsE (x) = lim supr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
ΘsE (x) = lim infr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Densidades
Teorema de Densidad de Lebesgue: DE (x) = 1 pct x ∈ E
Si C es una curva suave, limr→0+long(C∩B(x ,r))
2r = 1
Si S es una superficie suave, limr→0+area(S∩B(x ,r))
cr2 = 1¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?
ΘsE (x) = lim supr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
ΘsE (x) = lim infr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Densidades
Teorema de Densidad de Lebesgue: DE (x) = 1 pct x ∈ E
Si C es una curva suave, limr→0+long(C∩B(x ,r))
2r = 1
Si S es una superficie suave, limr→0+area(S∩B(x ,r))
cr2 = 1¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?
ΘsE (x) = lim supr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
ΘsE (x) = lim infr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Densidades
Teorema de Densidad de Lebesgue: DE (x) = 1 pct x ∈ E
Si C es una curva suave, limr→0+long(C∩B(x ,r))
2r = 1
Si S es una superficie suave, limr→0+area(S∩B(x ,r))
cr2 = 1¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?
ΘsE (x) = lim supr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
ΘsE (x) = lim infr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Densidades
Teorema de Densidad de Lebesgue: DE (x) = 1 pct x ∈ E
Si C es una curva suave, limr→0+long(C∩B(x ,r))
2r = 1
Si S es una superficie suave, limr→0+area(S∩B(x ,r))
cr2 = 1¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?
ΘsE (x) = lim supr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
ΘsE (x) = lim infr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Densidades
Teorema de Densidad de Lebesgue: DE (x) = 1 pct x ∈ E
Si C es una curva suave, limr→0+long(C∩B(x ,r))
2r = 1
Si S es una superficie suave, limr→0+area(S∩B(x ,r))
cr2 = 1¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?
ΘsE (x) = lim supr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
ΘsE (x) = lim infr→0+
Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Densidades
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s (U cualquiera o U convexo).
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (99); Marta Llorente yManuel Moran (04,07,11); Lars Olsen (08)Relacionan los cubrimientos optimos, con la existencia debolas o conjuntos que realicen el supremo.Obtienen algoritmos para estimar las medidas (Hausdorff,Hausdorff centrada y packing) de conjuntos autosimilares.
Densidades
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s (U cualquiera o U convexo).
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (99); Marta Llorente yManuel Moran (04,07,11); Lars Olsen (08)Relacionan los cubrimientos optimos, con la existencia debolas o conjuntos que realicen el supremo.Obtienen algoritmos para estimar las medidas (Hausdorff,Hausdorff centrada y packing) de conjuntos autosimilares.
Densidades
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s (U cualquiera o U convexo).
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (99); Marta Llorente yManuel Moran (04,07,11); Lars Olsen (08)Relacionan los cubrimientos optimos, con la existencia debolas o conjuntos que realicen el supremo.Obtienen algoritmos para estimar las medidas (Hausdorff,Hausdorff centrada y packing) de conjuntos autosimilares.
Densidades
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s (U cualquiera o U convexo).
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (99); Marta Llorente yManuel Moran (04,07,11); Lars Olsen (08)Relacionan los cubrimientos optimos, con la existencia debolas o conjuntos que realicen el supremo.Obtienen algoritmos para estimar las medidas (Hausdorff,Hausdorff centrada y packing) de conjuntos autosimilares.
Densidades
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s (U cualquiera o U convexo).
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (99); Marta Llorente yManuel Moran (04,07,11); Lars Olsen (08)
Relacionan los cubrimientos optimos, con la existencia debolas o conjuntos que realicen el supremo.Obtienen algoritmos para estimar las medidas (Hausdorff,Hausdorff centrada y packing) de conjuntos autosimilares.
Densidades
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s (U cualquiera o U convexo).
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (99); Marta Llorente yManuel Moran (04,07,11); Lars Olsen (08)Relacionan los cubrimientos optimos, con la existencia debolas o conjuntos que realicen el supremo.
Obtienen algoritmos para estimar las medidas (Hausdorff,Hausdorff centrada y packing) de conjuntos autosimilares.
Densidades
Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .
Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .
DE (x) = limr→0+
sup|U|<r
Hs(U ∩ E)
(|U|)s (U cualquiera o U convexo).
Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .
Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (99); Marta Llorente yManuel Moran (04,07,11); Lars Olsen (08)Relacionan los cubrimientos optimos, con la existencia debolas o conjuntos que realicen el supremo.Obtienen algoritmos para estimar las medidas (Hausdorff,Hausdorff centrada y packing) de conjuntos autosimilares.
Algunas cuestiones tecnicas sobre las hipotesis
Ayer y Strichartz para conjuntos autosimilares contenidosen la recta (conjuntos de Cantor) y satisfaciendo lacondicion del conjunto abierto (convexos son bolas).
Llorente y Moran con la condicion de separacion fuerte.Para la medida Hausdorff centrada y para la medidapacking.Olsen con la condicion del conjunto abierto. Para las tresmedidas (Hausdorff, Hausdorff centrada y packing).
Algunas cuestiones tecnicas sobre las hipotesis
Ayer y Strichartz para conjuntos autosimilares contenidosen la recta (conjuntos de Cantor) y satisfaciendo lacondicion del conjunto abierto (convexos son bolas).Llorente y Moran con la condicion de separacion fuerte.Para la medida Hausdorff centrada y para la medidapacking.
Olsen con la condicion del conjunto abierto. Para las tresmedidas (Hausdorff, Hausdorff centrada y packing).
Algunas cuestiones tecnicas sobre las hipotesis
Ayer y Strichartz para conjuntos autosimilares contenidosen la recta (conjuntos de Cantor) y satisfaciendo lacondicion del conjunto abierto (convexos son bolas).Llorente y Moran con la condicion de separacion fuerte.Para la medida Hausdorff centrada y para la medidapacking.Olsen con la condicion del conjunto abierto. Para las tresmedidas (Hausdorff, Hausdorff centrada y packing).
El caso lineal, conjuntos de Cantor
Jacques Marion (1987) calculan la medida de Hausdorffpara conjuntos autosimilares con la open set condition.Estimaciones directas.
Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (1999) Usandodensidades, intervalos optimos y proponen algoritmo.Cheng Qin Qu, Hui Rao, and Wei Yi Su (01) Calculan lamedida de Hausdorff para conjuntos de Cantor nonecesariamente autosimilares, con intervalosequiespaciados (homogeneos).Todos tienen su contrapartida para la medida packingDe-Jun Feng, Su Hua and Zhi-Ying Wen 00, IgnacioGarcıa y Leandro Zuberman 13
El caso lineal, conjuntos de Cantor
Jacques Marion (1987) calculan la medida de Hausdorffpara conjuntos autosimilares con la open set condition.Estimaciones directas.Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (1999) Usandodensidades, intervalos optimos y proponen algoritmo.
Cheng Qin Qu, Hui Rao, and Wei Yi Su (01) Calculan lamedida de Hausdorff para conjuntos de Cantor nonecesariamente autosimilares, con intervalosequiespaciados (homogeneos).Todos tienen su contrapartida para la medida packingDe-Jun Feng, Su Hua and Zhi-Ying Wen 00, IgnacioGarcıa y Leandro Zuberman 13
El caso lineal, conjuntos de Cantor
Jacques Marion (1987) calculan la medida de Hausdorffpara conjuntos autosimilares con la open set condition.Estimaciones directas.Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (1999) Usandodensidades, intervalos optimos y proponen algoritmo.Cheng Qin Qu, Hui Rao, and Wei Yi Su (01) Calculan lamedida de Hausdorff para conjuntos de Cantor nonecesariamente autosimilares, con intervalosequiespaciados (homogeneos).
Todos tienen su contrapartida para la medida packingDe-Jun Feng, Su Hua and Zhi-Ying Wen 00, IgnacioGarcıa y Leandro Zuberman 13
El caso lineal, conjuntos de Cantor
Jacques Marion (1987) calculan la medida de Hausdorffpara conjuntos autosimilares con la open set condition.Estimaciones directas.Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (1999) Usandodensidades, intervalos optimos y proponen algoritmo.Cheng Qin Qu, Hui Rao, and Wei Yi Su (01) Calculan lamedida de Hausdorff para conjuntos de Cantor nonecesariamente autosimilares, con intervalosequiespaciados (homogeneos).Todos tienen su contrapartida para la medida packingDe-Jun Feng, Su Hua and Zhi-Ying Wen 00, IgnacioGarcıa y Leandro Zuberman 13
El caso lineal, conjuntos de Cantor no autosimilares uhomogeneos
Steen Pedersen y Jason Phillips (14) calcularon la medidade Hausdorff de conjuntos de Cantor, no necesariamenteautosimilares u homogeneos.
Sin embargo, no todos los conjuntos considerados por Qu,Rao y Su satisfacen las hipotesis de Pedersen y Philipscondiciones de separacion muy fuertes.Nos propusimos lograr un resultado que abarque todos losanteriores. considerados por estos autores.
El caso lineal, conjuntos de Cantor no autosimilares uhomogeneos
Steen Pedersen y Jason Phillips (14) calcularon la medidade Hausdorff de conjuntos de Cantor, no necesariamenteautosimilares u homogeneos.Sin embargo, no todos los conjuntos considerados por Qu,Rao y Su satisfacen las hipotesis de Pedersen y Philipscondiciones de separacion muy fuertes.
Nos propusimos lograr un resultado que abarque todos losanteriores. considerados por estos autores.
El caso lineal, conjuntos de Cantor no autosimilares uhomogeneos
Steen Pedersen y Jason Phillips (14) calcularon la medidade Hausdorff de conjuntos de Cantor, no necesariamenteautosimilares u homogeneos.Sin embargo, no todos los conjuntos considerados por Qu,Rao y Su satisfacen las hipotesis de Pedersen y Philipscondiciones de separacion muy fuertes.Nos propusimos lograr un resultado que abarque todos losanteriores. considerados por estos autores.
Conjuntos de Cantor
Autosimilares
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
Datos: factor de contraccion λ
cantidad de hijos m.
Conjuntos de Cantor
Autosimilares
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
Datos: factor de contraccion λ
cantidad de hijos m.
Conjuntos de Cantor
Autosimilares
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
Datos: factor de contraccion λ
cantidad de hijos m.
Conjuntos de Cantor
Autosimilares
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
Datos: factor de contraccion λ
cantidad de hijos m.
Conjuntos de Cantor
Autosimilares
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
Datos: factor de contraccion λ
cantidad de hijos m.
Conjuntos de Cantor
Autosimilares
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
λ
λ2
Datos: factor de contraccion λ
cantidad de hijos m.
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares
λ1
λ1λ2
λ1
λ1λ2
λ1
λ1λ2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares
λ1
λ1λ2
λ1
λ1λ2
λ1
λ1λ2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares
λ1
λ1λ2
λ1
λ1λ2
λ1
λ1λ2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares
λ1
λ1λ2
λ1
λ1λ2
λ1
λ1λ2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares
λ1
λ1λ2
λ1
λ1λ2
λ1
λ1λ2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares
λ1
λ1λ2
λ1
λ1λ2
λ1
λ1λ2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares u homogeneos
λ1 λ1 λ1
d1,0 d1,1 d1,2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
sucesion de conjuntos finitos Dn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.
g12
g11
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares u homogeneos
λ1 λ1 λ1
d1,0 d1,1 d1,2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
sucesion de conjuntos finitos Dn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.
g12
g11
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares u homogeneos
λ1 λ1 λ1
d1,0 d1,1 d1,2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
sucesion de conjuntos finitos Dn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.
g12
g11
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares u homogeneos
λ1 λ1 λ1
d1,0 d1,1 d1,2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
sucesion de conjuntos finitos Dn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.
g12
g11
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares u homogeneos
λ1 λ1 λ1
d1,0 d1,1 d1,2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
sucesion de conjuntos finitos Dn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.
g12
g11
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares u homogeneos
λ1 λ1 λ1
d1,0 d1,1 d1,2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
sucesion de conjuntos finitos Dn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.
g12
g11
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares u homogeneos
λ1 λ1 λ1
d1,0 d1,1 d1,2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
sucesion de conjuntos finitos Dn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.
g12
g11
Conjuntos de Cantor
No-autosimilares u homogeneos
λ1 λ1 λ1
d1,0 d1,1
d1,2
Datos: sucesion de factores de contraccion λn
sucesion de cantidad de hijos mn.
sucesion de conjuntos finitos Dn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.
g12
g11
Conjuntos de Cantor no necesariamente autosimilaresu homogeneos
Dados
(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),(mn)n∈N ⊂ N≥2 yDn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.Notamos: sn = r1 . . . rn.
Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n
j=1 djsj : dj ∈ Dj}Cn = Pn + [0, sn] =
⋃x∈Pn
[x , x + sn].
C =⋂∞
n=1 Cn
Conjuntos de Cantor no necesariamente autosimilaresu homogeneos
Dados(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),
(mn)n∈N ⊂ N≥2 yDn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.Notamos: sn = r1 . . . rn.
Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n
j=1 djsj : dj ∈ Dj}Cn = Pn + [0, sn] =
⋃x∈Pn
[x , x + sn].
C =⋂∞
n=1 Cn
Conjuntos de Cantor no necesariamente autosimilaresu homogeneos
Dados(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),(mn)n∈N ⊂ N≥2 y
Dn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.Notamos: sn = r1 . . . rn.
Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n
j=1 djsj : dj ∈ Dj}Cn = Pn + [0, sn] =
⋃x∈Pn
[x , x + sn].
C =⋂∞
n=1 Cn
Conjuntos de Cantor no necesariamente autosimilaresu homogeneos
Dados(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),(mn)n∈N ⊂ N≥2 yDn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.
Notamos: sn = r1 . . . rn.
Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n
j=1 djsj : dj ∈ Dj}Cn = Pn + [0, sn] =
⋃x∈Pn
[x , x + sn].
C =⋂∞
n=1 Cn
Conjuntos de Cantor no necesariamente autosimilaresu homogeneos
Dados(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),(mn)n∈N ⊂ N≥2 yDn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.Notamos: sn = r1 . . . rn.
Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n
j=1 djsj : dj ∈ Dj}Cn = Pn + [0, sn] =
⋃x∈Pn
[x , x + sn].
C =⋂∞
n=1 Cn
Conjuntos de Cantor no necesariamente autosimilaresu homogeneos
Dados(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),(mn)n∈N ⊂ N≥2 yDn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.Notamos: sn = r1 . . . rn.
Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n
j=1 djsj : dj ∈ Dj}
Cn = Pn + [0, sn] =⋃
x∈Pn[x , x + sn].
C =⋂∞
n=1 Cn
Conjuntos de Cantor no necesariamente autosimilaresu homogeneos
Dados(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),(mn)n∈N ⊂ N≥2 yDn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.Notamos: sn = r1 . . . rn.
Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n
j=1 djsj : dj ∈ Dj}Cn = Pn + [0, sn] =
⋃x∈Pn
[x , x + sn].
C =⋂∞
n=1 Cn
Conjuntos de Cantor no necesariamente autosimilaresu homogeneos
Dados(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),(mn)n∈N ⊂ N≥2 yDn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.Notamos: sn = r1 . . . rn.
Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n
j=1 djsj : dj ∈ Dj}Cn = Pn + [0, sn] =
⋃x∈Pn
[x , x + sn].
C =⋂∞
n=1 Cn
Hipotesis
Hipotesis: condiciones de separacion.
mnrn < 1,Para todo 1 ≤ j < j ′ ≤ mn − 1 se verifica:
rn(dn,j ′ − dn,j) ≥(j ′ − j − 1)(1− rn)
mn − 1
Para todo 1 ≤ j ≤ mn − 1, se verifica:∑mn−1t=j+1 gn
t
gn−1j ′ +
∑mn−1t=1 gn
t
≤ mn − jmn
.
Teorema:
Hs(C) = lim infn→∞
(m1 . . .mn)(r1 . . . rn)s = lim infn→∞
µ(n)ssn
Hipotesis
Hipotesis: condiciones de separacion.mnrn < 1,
Para todo 1 ≤ j < j ′ ≤ mn − 1 se verifica:
rn(dn,j ′ − dn,j) ≥(j ′ − j − 1)(1− rn)
mn − 1
Para todo 1 ≤ j ≤ mn − 1, se verifica:∑mn−1t=j+1 gn
t
gn−1j ′ +
∑mn−1t=1 gn
t
≤ mn − jmn
.
Teorema:
Hs(C) = lim infn→∞
(m1 . . .mn)(r1 . . . rn)s = lim infn→∞
µ(n)ssn
Hipotesis
Hipotesis: condiciones de separacion.mnrn < 1,Para todo 1 ≤ j < j ′ ≤ mn − 1 se verifica:
rn(dn,j ′ − dn,j) ≥(j ′ − j − 1)(1− rn)
mn − 1
Para todo 1 ≤ j ≤ mn − 1, se verifica:∑mn−1t=j+1 gn
t
gn−1j ′ +
∑mn−1t=1 gn
t
≤ mn − jmn
.
Teorema:
Hs(C) = lim infn→∞
(m1 . . .mn)(r1 . . . rn)s = lim infn→∞
µ(n)ssn
Hipotesis
Hipotesis: condiciones de separacion.mnrn < 1,Para todo 1 ≤ j < j ′ ≤ mn − 1 se verifica:
rn(dn,j ′ − dn,j) ≥(j ′ − j − 1)(1− rn)
mn − 1
Para todo 1 ≤ j ≤ mn − 1, se verifica:∑mn−1t=j+1 gn
t
gn−1j ′ +
∑mn−1t=1 gn
t
≤ mn − jmn
.
Teorema:
Hs(C) = lim infn→∞
(m1 . . .mn)(r1 . . . rn)s = lim infn→∞
µ(n)ssn
Hipotesis
Hipotesis: condiciones de separacion.mnrn < 1,Para todo 1 ≤ j < j ′ ≤ mn − 1 se verifica:
rn(dn,j ′ − dn,j) ≥(j ′ − j − 1)(1− rn)
mn − 1
Para todo 1 ≤ j ≤ mn − 1, se verifica:∑mn−1t=j+1 gn
t
gn−1j ′ +
∑mn−1t=1 gn
t
≤ mn − jmn
.
Teorema:
Hs(C) = lim infn→∞
(m1 . . .mn)(r1 . . . rn)s = lim infn→∞
µ(n)ssn
Hipotesis comparadas
Qu Rao Su Pedersen Philips
mnrn < 1 mnr sn < 1 mnrn < 1
gaps decrecientes dk ′,j − dk ′,i ≥ 2(j − i)
∑mn−1t=j+1 gn
t
gn−1j′ +
∑mn−1t=1 gn
t≤ mn−j
mn.
Hipotesis comparadas
Qu Rao Su Pedersen Philips
mnrn < 1
mnr sn < 1 mnrn < 1
gaps decrecientes dk ′,j − dk ′,i ≥ 2(j − i)
∑mn−1t=j+1 gn
t
gn−1j′ +
∑mn−1t=1 gn
t≤ mn−j
mn.
Hipotesis comparadas
Qu Rao Su Pedersen Philips
mnrn < 1 mnr sn < 1
mnrn < 1
gaps decrecientes dk ′,j − dk ′,i ≥ 2(j − i)
∑mn−1t=j+1 gn
t
gn−1j′ +
∑mn−1t=1 gn
t≤ mn−j
mn.
Hipotesis comparadas
Qu Rao Su Pedersen Philips
mnrn < 1 mnr sn < 1 mnrn < 1
gaps decrecientes dk ′,j − dk ′,i ≥ 2(j − i)
∑mn−1t=j+1 gn
t
gn−1j′ +
∑mn−1t=1 gn
t≤ mn−j
mn.
Hipotesis comparadas
Qu Rao Su Pedersen Philips
mnrn < 1 mnr sn < 1 mnrn < 1
gaps decrecientes
dk ′,j − dk ′,i ≥ 2(j − i)
∑mn−1t=j+1 gn
t
gn−1j′ +
∑mn−1t=1 gn
t≤ mn−j
mn.
Hipotesis comparadas
Qu Rao Su Pedersen Philips
mnrn < 1 mnr sn < 1 mnrn < 1
gaps decrecientes dk ′,j − dk ′,i ≥ 2(j − i)
∑mn−1t=j+1 gn
t
gn−1j′ +
∑mn−1t=1 gn
t≤ mn−j
mn.
Hipotesis comparadas
Qu Rao Su Pedersen Philips
mnrn < 1 mnr sn < 1 mnrn < 1
gaps decrecientes dk ′,j − dk ′,i ≥ 2(j − i)
∑mn−1t=j+1 gn
t
gn−1j′ +
∑mn−1t=1 gn
t≤ mn−j
mn.
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