2
Bases del Método
Teorema
x
f(x)
xu x
Una ecuación f(x)=0, donde f(x) es una función real y continua, posee al menos una raíz entre xl y xu sif(xl)*f(xu) < 0.
Figura 1 Existe al menos una ráiz entre los dos puntos si la función esreal, continua y cambia de signo en este rango.
8/28/2015
x
f(x)
xu x
3
Bases del Método
Figura 2 Si la función no cambia de signo entre los dos puntos, aunasí quizá exista las raíz de la ecuación entre dichos puntos.
xf
0xf
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x
f(x)
xu x
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Bases del Método
Figura 3 Si la función no cambia de signo entre los puntos, quizano exista raíz de entre los puntos.
x
f(x)
xu
x
xf
0xf
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x
f(x)
xu x
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Bases del Método
Figura 4 Si la función cambia de signo entre los dos puntos, quiza exista más de una raíz para la ecuación entre los puntos.
xf
0xf
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Paso 1
Seleccionar x y xu como dos posibles raices de maneraque cumplan con que f(x) f(xu) < 0, o lo que es lo mismo que f(x) cambia de signo entre x y xu. Figura 5.
x
f(x)
xu x
Figura5
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x
f(x)
xu x
xm
8
Paso 2
Estimar la raíz, xm de la ecuación f (x) = 0 como el puntomedio entre x y xu
xx
m = xu
2
Figure 6 Estimate of xm
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Paso 3
Luego debe verificar los siguiente
a) Si , la raíz se encuentra entre x y xm; asignamos x = x ; xu = xm.
b) Si , la raíz se encuentra entre xm y xu; asignamos x = xm; xu = xu.
c) Si ; la raíz es xm. Y se detiene la búsqueda.
0ml xfxf
0ml xfxf
0ml xfxf
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10
Paso 4
xx
m = xu
2
100
new
m
old
m
new
ax
xxm
raíz la de estimación actual new
mx
raíz la de previa estimaciónold
mx
Encuentra la nueva estimación
Encuentra el valor absoluto de el error aproximado relativo
donde
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Paso 5
Si ?
Si
No
Ir al paso 2 utilizandolos nuevos valores Xu y
Xl
Deterner el algoritmo
Compare el valor absoluto del error relativo aproximadocon la error tolerado especificado .
a
s
sa
Es importante saber si el número de iteracción llega al máximo, en ese caso esto debe detener el algoritmo y notificar al usuario.
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EjemploUsted trabaja para una compañia que fabrica baños,especificamente con el mecanismo de llenado y vacíadodel tanque del bater. La boya flotante tiene unagravedad específica de 0.6 y un radio de 5.5 cm. Debesdeterminar la profundida que la boya está sumergidacuando flota en el agua.
Figure 7 Diagrama de la boya flotante8/28/2015
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Ejemplo 1 Cont.
La ecuación de la profundidad que la boya se sumergees:
a) Utilice el método de bisección y estima la raíz con tresiteracciones.
b) Encuentre el valor absoluto del error relativo aproximadode cada iteracción y el número de digitos significantescorrectos en cada iteracción.
010993.3165.0 423 xx
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Ejemplo 1 Cont.
De la física del problema la bola de estar sumergida entre x = 0 y x = 2R,
donde R = radio de la boya,
lo que es.
11.00
055.020
20
x
x
Rx
Figure 6 Diagram of the floating ball
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Gráfico de la función:
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Ejemplo 1 Cont.
423 1099331650 -.x.xxf
Figure 8 Gráfico de la función (x)
Solution
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Ejemplo 1 Cont.
Asumimos
11.0
00.0
ux
x
Determinar si la función cambia de signo entre x and xu .
4423
4423
10662.210993.311.0165.011.011.0
10993.310993.30165.000
fxf
fxf
u
l
Dado
010662.210993.311.00 44 ffxfxf ul
Al menos existe una raíz entre x y xu, lo que es entre 0 y 0.11
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Example 1 Cont.
055.02
11.00
2
u
m
xxx
010655.610993.3055.00
10655.610993.3055.0165.0055.0055.0
54
5423
ffxfxf
fxf
ml
m
Iteration 1The estimate of the root is
Hence the root is bracketed between xm and xu, that is, between 0.055 and 0.11. So, the lower and upper limits of the new bracket are
At this point, the absolute relative approximate error cannot be calculated as we do not have a previous approximation.
11.0 ,055.0 ul xx
a
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20
Ejemplo1 Cont.
0825.02
11.0055.0
2
u
m
xxx
010655.610622.1)0825.0(055.0
10622.110993.30825.0165.00825.00825.0
54
4423
ffxfxf
fxf
ml
m
Iteración 2La estimación de la raíz es
Dado que la raíz está entre x y xm, lo que es, entre 0.055 y 0.0825, se sustituyen los límites:
0825.0 ,055.0 ul xx
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Ejemplo1 Cont.
El valor absoluto del error aproximado en la iteracción 2 isa
%333.33
1000825.0
055.00825.0
100
new
m
old
m
new
ma
x
xx
Ningún digito significativo es cierto en la respuesta de xm = 0.0825 debido a que el erro es mayor que del 5%.
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Ejemplo 1 Cont.
06875.02
0825.0055.0
2
u
m
xxx
010563.510655.606875.0055.0
10563.510993.306875.0165.006875.006875.0
55
5423
ffxfxf
fxf
ml
m
Iteración 3La estimación de la raíz es
Dado que la raíz se encuentre entre x and xm, lo que es, entre 0.055 y0.06875, estos son los nuevos límites
06875.0 ,055.0 ul xx
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Ejemplo 1 Cont.
El valor absoluto del error aproximado al final de la iteracción 3a
%20
10006875.0
0825.006875.0
100
new
m
old
m
new
ma
x
xx
Aún no hay digitos significativos, el error es mayo que 5%. Sieteiteracción son mostrada en la tabla No.1
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Tabla 1
Table 1 Raíz de f(x)=0 como función dél número de iteracción para el método de bisección.
Iteration x xu xm a % f(xm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.00000
0.055
0.055
0.055
0.06188
0.06188
0.06188
0.06188
0.0623
0.0623
0.11
0.11
0.0825
0.06875
0.06875
0.06531
0.06359
0.06273
0.06273
0.06252
0.055
0.0825
0.06875
0.06188
0.06531
0.06359
0.06273
0.0623
0.06252
0.06241
----------
33.33
20.00
11.11
5.263
2.702
1.370
0.6897
0.3436
0.1721
6.655×10−5
−1.622×10−4
−5.563×10−5
4.484×10−6
−2.593×10−5
−1.0804×10−5
−3.176×10−6
6.497×10−7
−1.265×10−6
−3.0768×10−7
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Ejemplo 1 Cont.
Para encontre la cantidad de números signficativos al menos correctosen la respuesta luego de 10 iteracciónes:
463.23442.0log2
23442.0log
103442.0
105.01721.0
105.0
2
2
2
m
m
m
m
m
a
2mDe manera que
El número de digitos significativos correctos en la respuesta del error estimado 0.06241 al final de la 10th iteración es 2.
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Ventajas del Método
Siempre converge
El rango de busqueda de la raíz se reduce a la mitad con cada iteracción
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Inconvenientes
Convergencia lenta
Si un de los valores asumidosinicialmente esta cerca de la raíz la convergencia es más lenta.
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Inconvenientes (cont)
Si una función f(x) es de tal forma quetoca al eje x, en un valor mínimo de todala función es incapaz de encontrar valoresiniciales para la búsqueda.
f(x)
x
2xxf
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