7/21/2019 Método de Integración Por Partes
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-integracion-por-partes-56dd8b02119f1 1/14
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUICÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICAINGº ALEXIS R. ORTA L.
INTEGRACIÓN POR PARTES:
Integrando la diferencial del producto dos funciones ( )d uv vdu ud v= +resulta que ( )d uv vdu ud v uv vdu ud v ud v uv vdu= + ⇒ = + ⇒ = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , la
constante de integración se tomará en cuenta al nal del proceso.
Donde la última ecuación se conoce como la fórmula de integración
por partes: ud v uv vdu= −∫ ∫
Cuando se aplica esta fórmula a una integral, se empieza por hacer
que una parte del integrando corresponde a dv . La epresión que se
usa para dv de!e incluir a la diferencial dx . Despu"s se toma u comoel resto del integrando # se encuentra du .
Como este procedimiento requiere partir en dos el integrando, la
aplicación la fórmula de integración por partes. $s mu# importante
elegir dv de manera apropiada. %ormalmente se escoge la porción
más complicada del integrando que se puede integrar directamente.
( ) ( )
( )
3 32 2
3 32 2
32
1 1
: ; 1
1 1 : 1
2 2. (1 )
3 3
2 21 1 1
3 3
1
1
. .
1)
1 .
Selección u x du dx dv x dx
dv x dx v x dx Cambio deVariable z x dz dx
sust v z dz v z k v x k udv uv vdu
x x x dx x x dx k
I x dx c v w x dw dx s
x
ust I
x dx = ⇒ = = + ⇒
= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
= ⇒ = + ⇒ = + + ⇒ = −
+ = + − + +
= + ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ =
+
+ =
⇒
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫ ∫ 3 52 2
3 52 2
2(1 )
5
2 2 21 (1 ) (1 )
3 3 5
2) ( ) ( ) : ;
sec
w dw x k
x x x dx x x k
Selección u x du dx dv Secxtg x dx
dv Secx tg x dx v Secx tg x dx v Sec x k udv uv vdu
xSecxtgxdx x x Sec x dx xSecxtgxdx xSec x
xSec x tg x dx
= + +
+ = + − + +
= ⇒ = =
= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = −
− =
⇒
= ⇒ −
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
3 2
2 2
:3)
Ln Sec x tg x k
Sec x Sec x dx Selección u Sec x du Sec xtgx dx
dv Sec xdx dv Sec x dx v tgx k udv uv
Sec d
v
x x
du
+ +
⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = −
⇒ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
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( ) ( )
3 3 2
3 2 3 3
3 3 3
4) (
1
1
2
Sec x dx Secxtg x tgxSecxtgx dx Sec x dx Secxtg x tg xSecx dx
Sec x dx Secxtg x Sec x Secx dx Sec xdx Secx tg x Sec x Secx dx
Sec x dx Secx tg x Sec x Secx dx Sec x dx Sec
Sen
x tg x Ln Secx tg x k
xLn Cos
= − ⇒ = −
= − − ⇒ = − −
= − + ⇒ = + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
[ ]
22
: ( )
( ) ( )
( ) ( )
)
5) :
Sen xSelección u Ln Cos x du dx
Cosx
dv Senx dx dv Senx dx v Cosx k udv uv vdu
Sen xSenxLn Cos x dx Cos xLn Cosx Cosx dx
Cos x
SenxLn Cosx dx Ln Cosx Cos x Cosx k
Selec
x
ción u x d
dx
x Cos xdx
−= ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = − + ⇒ = −
=− − ÷
= − +
⇒
⇒
⇒
+
=
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
2 2
1
1
2 2 2 2
2 ;
2 ( )
: ; cos
2
6)
2 2
u xdx dv Cos x dx dv Cos x dx v Sen x k
x Cosxdx x Sen x xSen x dx I
I xSen x dx Selección u x du dx dv sen x dx dv senxdx v x k
x Cosxdx x Sen x x Cosx Cosx dx x Cosxdx x Senx xCosx Senx k
= = ⇒ = ⇒ = +
= −
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = − +
= − − + ⇒ = − − +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
32
12
32 3
2
3 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
3
3 35 3 3 2
35 3
5 3 1 : 3
1 1 : 1 3
1 2(1 ).
3 9
2 (1 ) 21 1
9
1
1
39
2
x x x dx Selección u x du x dx
dv x x dx v x x dx Cambio de Variable w x dw x dx
x sust v w dw v k udv uv v du
x x x x dx x x dx
x x x dx
x x dx − ⇒ = ⇒ =
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
−= − ⇒ = − + ⇒ = −
− −− = + − ⇒
−−
⇒
=
− ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
∫
( )
( )
32 3
2
32
3 52 2
32
52
32
33 2
3 2 3 2
1
3
1
3 35 3 3
3 35 3 3
(1 ) 21
9 3
1 : 1 3
1 2. (1 )
3 15
2 (1 ) 2 21 ( (1 ) )
9 3 15
2(1 ) 2(1 )1
9 5
x x x dx
I x x dx Cambio de Variable z x dz x dx
sust I z dz x k
x x x x dx x k
x x x x dx x k
−+ −
= − ⇒ = − ⇒ =−
= − = − − +
− −− = + − − +
− − −− = − +
∫
∫
∫
∫
∫
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( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3
443
4
3
3
4
3
4
3
: 33
3 3 : 3
3.
4 4
3 313 3 3
4 4 3
3 13 3
7)
4
3
3 34
3 dx
Selección u Ln x du x
dv x dx v x dx Cambio de Variable z x dz dx
x z sust v z dz v k v k udv uv vdu
x x dx x Ln x dx Ln x
x
x x Ln x dx L
x Ln x d
x x d
x
n
/
= − ⇒ =−
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =−
⇒ = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = −
− −− − = − −
−
−− − = − − −
− − ⇒∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 4
3
4 4
3
3 31
3 3 34 4 4
3 33 3 3
8
4 16
: ; cos
cos cos c
)
)
os
:9
x
x x
x Ln x dx Ln x k
x x x Ln x dx Ln x k
Selección u x du dx dv sen x dx v sen x dx v x k
x sen x dx x x x dx x sen x dx x x sen x k
Selecc
x sen x dx
L ión un x d x
− −
− − = − − +
− −− − = − − +
= ⇒ = = ⇒ = ⇒ − +
= −
⇒
+ ⇒ + +
⇒
=
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
2
2
2
11 2
;
: ;1
: 11 2
.
10
)
)
( (1
dx Lnx du dv dx v dx v x k x
Ln x dx x Ln x dx Ln x dx x Ln x x k
dxSelección u Arctgx du dv dx v x
x
x dz Arctgx dx x Arctgx dx Cambio deVariab
Arctgx d
le z x dx x
dz sust I Ln z k
x
Ln x z
= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = +
= − ⇒ = − +
= ⇒ = = ⇒ =+
= − ⇒ = + ⇒ =+
= +
⇒
= + =
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
( )2 2
2
2 2
1
2 2 2 2
2
1) 12
: 2 ;
2
2 : 2 2 ;
( 2 2 )
1
2
1 ) x x x
x x x
x x x
x x x
x
x x x
k Arctgx dx xArctgx Ln x k
Selección u x du x dx dv e dx v e dx v e k
x e dx x e x e dx
I x e dx selección u x du dx dv e dx v e k
x
x e dx
e dx x e x e e dx x e dx x e x
+ ⇒ = − + +
= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = +
= − ⇒
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = +
= − =
⇒
− ⇒ −
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
( )2 2
2
2 2
x x
x x
e e k
x e dx x x e k
+ +
= − + +∫
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1
: ; cos
cos cos
cos : ; cos
cos 2 os
2)
c
1 x x
x x x
x x x
x x x
x
x x x
Selección u e du e dx dv senxdx v senxdx v x k
e sen x dx e x e x dx
I e x dx Selección u e du e dx dv x dx v sen x k
e sen x dx e x e sen x e sen x dx e senx dx e
e sen xdx = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = − +
= − +
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = +
= − + −
⇒
⇒ = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
( )
2 2
2 2
22 2 2 2
2 2
2 2 22 2 2 2
12 2 2
2 2
2 2 2 2 2
22
2 2
cos
2
:) ;
:
13
x
x x x
x e sen x k
e x e sen xe sen x dx k
x dxSelección u a x du dv dx v x k
a x
x dxa x dx x a x
a x
a a x x dx a a x I dx dx dx
a x a x a x a x
a x Para dx a arcsen
aa x
a x dx
+ +
− += +
−= − ⇒ = = ⇒ = +
−
− = − +−
− − −= = = −
− − − −
= +−
− ⇒
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ 2 2 2 2 2 22 2
2 2
2 22 2 2 2
2 2 2
1
2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 2 2
( ).
( ):
( )
( )
( )
2 ( ) ( )2 2
14
k ver tabla
a x a x a xa x Para dx dx a x dx
a xa x a x
x
I a arcsen a x dxa
xa x dx x a x a arcsen a x dx
a
x x a xa x dx x a x a arcsen k a x dx a x arcsen k
a a
− − −−⇒ ⇒ −
−− −
= − −
− = − + − −
− = − + + ⇒ − = − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( )
( ) ( )
2 2
2 2
: ; sec
sec sec sec
: 3 ;
3 3
) sec
15)
(
3
)
x x x
z x
x x x
x xdx
x e
Selección u x du dx v xdx v tgx k
x x dx xtgx tgx dx x x dx x tgx Ln x k
Selección u x du dx dv e dx v e dx
z x dz dx v e dz v e k
x e dx x e e d
dx
x
− −
−
− − −
−
= ⇒ = = ⇒ = +
= − ⇒ = − +
= + ⇒ = = ⇒ =
= − ⇒ − = ⇒ = ⇒ = − +
+ = + − +
⇒
+ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ( ) ( )
( )( )
( )
12
3 3 ( )
: 11 1
: 1 2 11
116)
1
x x x x e dx x e e k
dx dxSelección u Ln x du dv
x x
dxv Cambio de Variable z x dz dx v z dz v x k
Ln xdx
x
x
−
− − −⇒ + = − + − +
= + ⇒ = =+ +
= ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ + ++
+
=
⇒+∫
∫
∫ ∫
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( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
12
17) 1 1
1 112 1 1 2 2 1 1 2
11 1 1
1 2 1 1 4 11
( 1): 1
2 12 1
1 1 : 1
Ln x Ln x x dxdx xLn x dx dx xLn x
x x x x
Ln x dx xLn x x k x
du x dxSelección u Ln x du
dx x x
dv x dx v x dx Cambio de Variable
x Ln x
z x dz dx
d
z
x
v
−
+ + ⇒
+ ++= + + − ⇒ = + + −
++ + +
+ = + + − + ++
+= + ⇒ = ⇒ =
++
= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
=
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
( )
( )
( ) ( )
323
3
32 2
3 3
32 13 3
3 32 1 23 3 3
3
( 1)
( 1)
1 1 ( 1) 1 2 1
1 1 ( 1) 1 1
1 1 ( 1) 1 ( ( 1) )
2 21 1 11
3 3
: 1 218) 1 2
dz v x k
x dx
x Ln x dx x Ln x x
x Ln x dx x Ln x x dx
x Ln x dx x Ln x x k
x Ln x dx Ln x k x
x selección u Ln x d x u Ln dx
−
⇒ = + +
++ + = + + − +
+ + = + + − +
+ + = + + − + +
+
+ ⇒
+ = + − ++
= + ⇒ =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
12
1 12 2
12
12
(1 2 ) 1 2
;2
1 2 1 22
1 2 1 2 1 2 1 2( 2) ( 2)
2: 2 ;
2
dx dxdu
x x xdx
du dv dx dv dx V x k x x
x dx Ln x dx xLn x
x x
x dx dx Ln x dx xLn x Ln x dx xLn x
x x x
dx dwCambio de Variable w x dx pero
x x
− −
−
−
⇒ =
+ += = ⇒ = ⇒ = +
+
+ = + − ⇒ +
+ = + − ⇒ + = + − + +−
⇒ = + ⇒ =+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
( )
( )
( ) ( )
12
12
1 12 2
12
1 12 2
: 2 2 2
2 2 2 22 2 2 2
2
2 4 2( 2) 4 ( 2)2
1 2 1 2 2( 2) 4 ( 2)
x w w dw dx
w dwdx w w dw dwdw dw dw
w w w w w x
dxw Ln w k x Ln x k
x
Ln x dx xLn x x Ln x k
−
−
− −
−
− −
= − ⇒ − − =
− − − = = − = − − = − − +
= − + + = − + + + ++
+ = + − − + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
19)
20) 2
: ;
( 1)
: ; 2 1
2 1 1
1
1
2 1 1 2
x x x x
x x x x x x x x
Selección u x du dx dv e dx v e dx v e k
xe dx xe e dx xe dx xe e k xe dx e k
dxSelección u Ln x du dv x dx
x
v x dx v x x k
x
xe dx
x Ln
x dx x Ln xdx Lnx x x
x
x x
x
d
= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = +
= − ⇒ = − + ⇒ = − +
= ⇒ = = + ⇒
= + ⇒ = + +
++ = + − ⇒ +
⇒
+ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
32
3 3 3 32 2 2 2 1
2
2
3
1 1 1
2
2
1 12
: ;3
( )3 3 3
1)
22)
Ln xdx Lnx x x x dx
x x Ln xdx Lnx x x x k
dx x Lnx dx
Ln C
xSelección u Ln x du dv x dx v k
x
x x x x x Ln xdx Ln x dx x Ln xdx
osxdx
Cos
Ln x x dx x Ln xdx Ln x k x
Selecció x
= + − +
+ = + − − +
= ⇒ = = ⇒ =⇒
⇒
+
= − ⇒ = − ⇒ = − +
∫
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
[ ]
( )[ ] [ ]
( )
2
2
2
2 2 2
1 2 2 2 2
( ): ( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) 1(I ) =
( )
Sen xn u Ln Cos x du dx
Cos x
dx
dv dv Sec x dx v tg x k udv uv vduCos x
Ln Cos x dx Senx Ln Cos x tg x tg x dx
Cos x Cosx
Sen x Cos x dx Cos xdx dx d
Cos x Cos x Cos x Cos x
−= ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = − = + ÷
−= −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
( )
( )[ ] [ ]
2
1
2
2
(I ) ( )
( )( ) ( )
23)
( )
: ;
:2
x
Sec x dx dx tg x x k
Ln Cos x dx Ln Cos x tg x tg x x k
Cos x
Selección u x du dx dv SenxCosx dx v SenxCosx dx
z Cambio de Variable z Senx dz Cosxd
xSenxCosx
x v z dz k v
dx
= − = − +
= + − +
= ⇒ = = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = = + ⇒ =
⇒∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
( )
2
22
2
1 1
2
2
1
2 2
1 2 1 1 1 ( . .) 2 2
2 2 2 4
1 1 22 4 8
Sen xk
x Sen x xSenxCosxdx Sen x dx
Cos x dx I Sen xdx Id Trig I dx Cos x dx x Sen x k
x Sen x xSenxCosx dx x Sen x k
+
= −
− = = ⇒ = − = − +
= − + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
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( )
( ) ( )
22
2 2
2
2 2
3
2
1 2
2
1
: ; 2 22
: 2 ;1 1
: 121 1
1
:
24)1
xSenxCosx dx x Sen x dx
Selección u x du dx dv Sen x dx v Cos x k
x xdx xdxSelección u x du xdx dv
x x
xdx xdx
Otra
dz dv v Cambio de Variable z x xdx
x
orma
x dx
x
x
v
=
= ⇒ = = ⇒ = − +
⇒ = ⇒ = =− −
= ⇒ = ⇒ = − ⇒ − =− −
⇒−
= −
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫
∫
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
11 1
22 2
1 12 2
12
13
22
1 32
2
2
32 2 2
2
2 2
1
2 1/ 2 2
1 1
32 2 2
2
11
2 2
1 1 21
1 2 1 2 2
21 2 (1 )
3
21 (1 )
25
31
dz v z dz v z k v x k
z
x dx x x x xdx
x
I x xdx Cambio deVariable w x dw xdx dw xdx
I x xdx w dw I x k
x dx x x x k
x
−
⇒ = − ⇒ = − + ⇒ = − − +
= − − + −−
= − ⇒ ⇒ = − ⇒ = − ⇒− =
= − = − = = − − +
= − − − − +−
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫
( )
( ) ( )
( ) ( ) [ ]
3
23
2 3
2
43 3
4 4 42 23 3 3
4 4 42 23 3 1
4
2: ( ) 2
4
2 ( ) 1 2 2 ( ) 1
4 4 4 2
)
2 ( )
)
2
6
4
2
8
x
dxCambio deVariable u Lnx u Lnx du
x
xdv x dx v x dx v k
x Ln x x dx x Ln x x Lnx dx x Lnx dx x dx
x
x Ln x x x x L
x Lnx d
nx dx k x Lnx dx Lnx k
S
x
x e dx elec
/
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = +
/= − ⇒ = −
/ /
= − +
⇒
⇒
⇒ = − +
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ 3
2 3
2 32 3 3
33 3
1
2 3 3 2 3 32 3 3 2 3 3
: 2 ;3
2
3 3
: ;3
2 1 2 2
3 3 3 3 3 9 27
x x
x x x
x x x
x x x x x x x x
eción u x du xdx dv e dx v k
x e x e dx e x dx
e I e x dx Selección u x du dx v e dx v k
x e x e x e x e x e dx e dx x e dx e k
= ⇒ = = ⇒ = +
= −
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = +
= − − ⇒ = − + +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
7/21/2019 Método de Integración Por Partes
http://slidepdf.com/reader/full/metodo-de-integracion-por-partes-56dd8b02119f1 10/14
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUICÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICAINGº ALEXIS R. ORTA L.
32
32 3 2
3 3
3
1
2 2
3 3 9
: ; 16 16
2: 16
3
2 216 (16 ) (16 )
3
27) 1
3
2(16
3
6
)
x x e x
x e dx x k
Selección u x du dx dv x dx v x dx
z Cambio deVariable z x dz dx v k udv uv v du
x x x dx x x dx
I x dx Cambio de Varia
x x d
bl
x
e
= − + +
= ⇒ = = − ⇒ = −
−= − ⇒ =− ⇒ = + ⇒ = −
−− = − + −
= −
− ⇒
⇒
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
3
2
5 5
3
1 1
2
22
1
2
: 16
4 (16 ) 4 (16 )2 216 (16 )3 15 3 15
: 2 ;6 6
: 6 2 6
2 6 4 66
2 )6
6
8
t x dt dx
x x x I t dt I x x dx x k
dx dxSelección u x du x dx dv v
x x
Cambio de Variable z x dz dx v x k
x dx x x x x dx
x
I x x dx C
x dx
x
= − ⇒ − =
− − −− −= ⇒ = ⇒ − = − − +
= ⇒ = = ⇒ =+ +
= + ⇒ = ⇒ = + +
= + − ++
⇒
⇒
=
+
+
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
( )
52
3 31 12 2 2 2
52
32
2 22 2
1 1
22
2 23
: 6 6
2( 6)6 6 ( 6 ) 4( 6)
5
8( 6)2 6 16( 6)
56
: 29 ;2 ) x x x x
ambio de Variable t x x t dt dx
x I x x dx t t dt t t dt I x k
x dx x x x x k
x
x e xdx Seleccion u x du x dx dv e xdx v e xdx x e
C b
dx
am io
= + ⇒ = − ⇒ =+
= + = − = − ⇒ = − + +
+= + − − + +
+
⇒ = ⇒ = = ⇒⇒ =
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2 2
2
2
2 2 2 22
2
22 2 2 2
2
1
: 2 2 2
( 1)2 2 2
30) 6
2
: 2 ; 6 6
: 6
x z
x x x x x x x x
dz e
de Variable z x x dxv dz v k e
e e x e x e x e xdx e xdx x e xdx k x e xdx x k
Selección u x du x dx d x x v x dx v x dx
Cambio de Variable z x dz d
d
x v zdz
x
= ⇒ = = ⇒ = +
= − ⇒ = − + ⇒ = − +
= ⇒ = = − ⇒ = −
= − ⇒ − = ⇒
⇒
=
−∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ 32
32
3
2
2
2
2(6 )
3
2 (6 ) 46 (6 )3 3
xv k
x x x x dx x x dx
−⇒ = +
−− = − −∫ ∫
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ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICAINGº ALEXIS R. ORTA L.
32
5 72 2
3 3 52 2 2
3 5 72 2 2
32
1
1 1
22
22
(6 ) : 6 6 ;
12(6 ) 2(6 )(6 ) (6 )
5 7
2 (6 ) 4 12(6 ) 2(6 )6
3 3 5 7
2 11 408 2886 (6 )
3 7 35 35
I x x dx Cambiode Variable w x x w dw dx
x x I w w dw w w dw I k
x x x x x x dx k
x x dx x x x
= − ⇒ = − ⇒ = − − =
− −
= − − = − − ⇒ = + + − − −
− = − + +
− = − − −
∫
∫ ∫ ∫
∫
2
2 2 2
2 2
2
: (3 ) ;2
(3 ) (3 )(3 ) (3 )2 2 2 2
(3 )(
31) (3 )
32)
3 )2 4
: cos ;
k
dx xSelección u Ln x du dv x dx v k
x
Ln x dx Ln x x x x x xLn x dx xLn x dx
xLn x dx
Sen xd
dx x
Ln x x x xLn x dx k
senx senxdx Selección u senx du xdx
v senx
x
//
+
= ⇒ = = ⇒ = +
= − ⇒ = −/
= − +
⇒ = ⇒ =
=
⇒
⇒
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
∫
2 2 2 2
2 2 2
2
cos
cos cos cos (1 )
cos 2 co
33
s
c
:)
os
2
dx v x k udv uv vdu
sen xdx senx x xdx sen xdx senx x sen x dx
sen xdx senx x dx sen xdx sen xdx senx x x k
senx x x sen xdx k
Sel Arcsenxdx ección u Arcsenx d
⇒ = − + ⇒ = −
= − + ⇒ = − + −
= − + − ⇒ = − + +
− +
⇒⇒
= +
=
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
12
2
2
2 211 1 122
2
;1
1
: 1 121
1
: cos(2 ) 2 (34) 2 )cos(2 ) ; x x
dxu dv dx v x k
x
xdx Arcsenxdx xArcsenx
x
xdx dz I Cambio de Variable z x xdx I z dz I x k x
Arcsenxdx xArcsenx x k
Selección u x du sen x d e x x v e x d d
−−
= = ⇒ = +−
= −−
−= ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = − − +−
= + − +
= ⇒ = − =⇒
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
1
cos(2 ) cos(2 ) 2 (2 )
(2 ) : (2 ) 2cos(2 ) ;
cos(2 ) cos(2 ) 2( (2 ) 2 cos(2 ) )
x
x x x
x x x
x x x x
x v e k
e x dx e x e sen x dx
I e sen x dx Selección u sen x du x dx v e dx v e k
e x dx e x e sen x e x dx
⇒ = +
= +
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = +
= + −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
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22
2
cos(2 ) cos(2 ) 2( (2 )) 4 cos(2 )
5 cos(2 ) cos(2 ) 2( (2 ))
cos(2 ) 2( (2 ))cos(2 )
5
: 2 ; co35) s
x x x x
x x x
x x x
e x dx e x e sen x e x dx
e x dx e x e sen x k
e x e sen xe x dx k
Selección u x du xdx dv sen x sen xdx x dx dv sen x dx v x k
x senxdx
= + −
= + +
+= +
= ⇒ = = ⇒ = ⇒ =− +⇒
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
2
2
1
1
2 2 2 2
cos 2 cos ( )
cos : ; cos cos
cos 2 (2 ) 2
: ( )36)( 1)
x x x x
x x x x dx I
I x x dx Selección u x du dx dv x dx dv xdx v senx k
x Cosxdx x x x senx senx dx x senxdx x Cosx x Senx k
xedx Selección u xe du e u
x xe dx d ⇒
=− +
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = +
=− + − ⇒ = − + +
= ⇒ = + ⇒ =+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
3 33
1
2
2 2 2
3 2
(1 )
1: 1
( 1) 1
(1 )
( 1) 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1
: 3 ;37) x x
x
x x x x x x x x x
e x dx
dxv Cambio de Variable z x dz dx v z dz v k
x x
xe dx xe e x dx xe dx xe xe dx xee dx e k
x x x x x x x
Seleccion u x du x dx dv e d x e dx− −
−
+
−= ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = +
+ +
− + − −= + ⇒ = + ⇒ = + +
+ + + + + + +
= ⇒⇒ = =
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
3
3
3 3 3
3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 2
2 2
1
3 3 2 3
: 3 3 33
3 9
: 2 ; 3
3 9( 3 6 )
x
x
x x x
x x x
x x x x x
z
x v e dx
xCambio de Variable z dz dx v dz v e k e
x e dx x e x e dx
I x e dx Seleccion u x du x dx v e dx v e k
x e dx x e x e xe dx x e dx
−
−
− − −
− − −
− − − − −
⇒ =
−= ⇒− = ⇒ =− ⇒ =− +
=− +
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ =− +
=− + − + ⇒ =
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ 3 3 3
3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3 3
3 2
2
3 3 2
3 3 2
3 3
3 27 54 )
: ; 3
3 27 54( 3 3 )
3 27 162 162( 3 )
3 27
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x
x e x e xe dx
I xe dx Seleccion u x du dx v e dx v e k
x e dx x e x e xe e dx
x e dx x e x e xe e k
x e dx x e
− − −
− − −
− − − − −
− − − − −
− −
− − +
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ =− +
=− − + − −
=− − − − − +
=− −
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
3 3 32
22
2 2 2 2
162 486
2 (38)
): ( ) ;
( )2 2 ( )
x x x
x e xe e k
Ln x dxCambio deVariable u Ln x du dv dx v x k
x
xLn x dx Ln x
Ln x dx
dx xLn x Ln x dx xLn x Ln x dx x
− − −
− + +
= ⇒ = = ⇒ = +
= − ⇒ = −
⇒
∫ ∫ ∫
∫
∫
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( ) ( ) [ ]
( )
( )
1
2 2 2 2
( ) : ( ) ;
2 ( ) 2 (
38)
)
3: cos( ) ( ) ; 3
ln(3)
3 cos( ) 13 cos( )
ln
3 ( )
( )
x x
x
x x
dx I Ln x dx Selección u Ln x du dv dx v x k
x
xdx Ln x dx xLn x xLn x Ln x dx xLn x xLn x x k
x
Selección u xCo du sen x dx s x dx dv dx v k
x x dx
x
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = +
= − − ⇒ = −
⇒
− +
= ⇒ = − = ⇒ = +
= +
∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
1
2 2
3 ( )ln 3
33 ( ) : ( ) cos( ) 3
ln( )
3 cos( ) 1 3 ( ) 13 cos( ) 3 cos( )
ln( ) ln 3 ln( ) ln 3
3 cos( ) 3 ( ) 13 .cos 3 cos( )
ln( ) ln (3) ln (3)
x
x x x
x x x x
x x x x
sen x dx
I sen x dx Selección u sen x du x dx dv dx v k x
x sen x x dx x dx
x x
x sen x x dx x d
x
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = +
= + −
= + −
∫
∫ ∫ ∫
∫
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
1 3 ( )3 cos( ) 3 cos( ) cos( )
ln (3) ln 3 ln 3
1 3 ( )
1 3 cos( ) cos( )ln (3) ln( ) ln( )
3 ( ) ln(3)cos( )3 cos( )
c
1 ln (
os( )39
3)
)( )
x x x
x x
x x
x
sen x x dx x dx x k
sen x
x d
x xdx
sen x
x x k x x
sen x x x dx k
Selecci
+ = + + ÷ ÷
+ = + +
⇒ ÷
÷ ÷ +
+
=+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2
22 2
cos( ) 1: ;
( ) ( )
cos( ) 1 cos( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
: ( ) ; 2
( )
(40)
2
)
x
xón u x du dx dv v k
sen x sen x
x x x x x xdx dx dx Ln tg k
sen x sen x sen x sen x sen x
dx dxSelección u Ln x du dv v x k
x x
Ln x d
Ln x d
x
x
x
xLn x
= ⇒ = = ⇒ = − +
= − + ⇒ = − + + ÷ ÷ ÷
= ⇒ = = ⇒ = +
=
⇒
∫
∫
∫ ∫ ∫
( )( ) 2 2 ( ) 2
( ) ( )2 ( ) 2(2 ) 2 ( ( ) 2)
xdx Ln x dx dx x xLn x
x x x
Ln x dx Ln x dx xLn x x k x Ln x k
x x
− ⇒ = −
= − + ⇒ = − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
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1
11
: ( ) cos ( ) ;
( )( ) cos ( )
cos( ) : cos( ) ( ) ;
41)
( )
( ) ax ax
a
axax ax
ax ax ax
a
axax
ax Selección u sen bx du b bx dx v e dx v e k
e sen bx be sen bx dx e bx dx
a a I e bx dx Selección u bx du bsen bx dx v e dx v e k
e sene sen bx dx
e sen bx dx = ⇒ = = ⇒ = +
= −
= ⇒ = ⇒ = − = ⇒ = +
=
⇒ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
2
2
2
2 2
2
( ) cos( )( )
( ) cos( )( ) ( ) ( )
( ) cos( )( ) ( ) ( )
( ) cos( )
( )
axax
ax axax ax
ax axax ax
ax ax
ax
bx b e bx be sen bx dx
a a a a
e sen bx b e bx be sen bx dx e sen bx dx
a a a a
b e sen bx be bxe sen bx dx e sen bx dx k
a a a
e sen bx be bx
a ae sen bx dx
− +
= − −
+ = − +
−=
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ [ ]2
2
2 2( ) cos( )( )
1
ax
ax
b
a
e asen bx b bxe sen bx dx k a b
−⇒ = +++ ∫
C! "#$%&'%( )'# *(+$,%')$# $ /!0(!$(+$ #$%$#$)&$( 1% $) !2+3 3$ *(+$,%'/*4( 1% 1'%+$#5 #( )'##*,*$(+$#:
1)
2) ( ) ( )
3) cos(
:
) co
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s( )
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:
:
n ax n ax
n n
n n
n
x e dx u x dv e dx
x sen ax dx u x dv sen ax dx
x ax dx u x
Selección recomenda
Selección recome
dv ax dx
nda
S
x Arcsen ax dx u Arcsen ax dv
elección recomenda
Selección recomenda
⇒ = ⇒ =
⇒ = ⇒ =
⇒ = ⇒ =
⇒ = ⇒
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
5) ( ) ( )
6) ( ) ( )
7) cos( ) cos( )
:
:
:
8) ( )
n
n n
ax n ax
ax ax
n
x dx
x Arctg ax dx u Arctg ax dv x dx
e sen bx dx u se
Selección recomenda
Selección recomenda
Selecci
n bx x dv e dx
e bx dx u bx d ón recomenda
Selección r
v e dx
x Ln ax ecomdx
=
⇒ = ⇒ =
⇒ = ⇒ =
⇒ = ⇒ =
⇒
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ (: ) nu Ln ax dvnd d a xe x= ⇒ = ∫
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