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Método de Variación de Parámetros
En la sección anterior se uso el método de coeficientes indeterminados para encontrar
una solución particular de
( ) ( ) ( )xgyxqyxpy =+′+′′
Se tenían dos restricciones importantes en el método de los coeficientes indeterminados.
Primero qp, tenían que ser constantes. Segundo g tenia que estar en una forma
especial. Ahora presentaremos un método para encontrar una solución particular de
( ) ( ) ( )xgyxqyxpy =+′+′′ siempre que se haya resuelto la ecuación homogénea
asociada ( ) ( ) 0=+′+′′ yxqyxpy .
Primero se desarrollara el método y después se trabajara con varios ejemplos.
Supongamos que se tiene un conjunto fundamental de soluciones { }21, yy .
Comenzamos por buscar funciones 1v y 2v tales que
2211 yvyvy +=
Es solución de ( ) ( ) ( )xgyxqyxpy =+′+′′ . Esto se conoce como variación de
parámetros porque las constantes usuales 21,cc en la solución de la ecuación
homogénea asociada ahora se pueden variar.
Se eligen 1v y 2v de manera tal que 2211 yvyvy ′+′=′ en resumen se obtendrá que si 1v′
y 2v′ satisfacen las ecuaciones algebraicas
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=′′+′′=′+′
gyvyv
yvyv
2211
2211 0
Entonces 2211 yvyvy += es una solución particular de la ecuación diferencial
( ) ( ) ( )xgyxqyxpy =+′+′′
Deben hacerse dos comentarios. Primero, se puede aplicar al sistema de ecuaciones
anterior el método de Cramer para obtener:
′′
′=′
21
21
2
2
1
det
0det
yy
yy
yg
y
v y
′′
′=′
21
21
1
1
2
det
0det
yy
yy
gy
y
v
Evaluando los determinantes de los numeradores
( )21
21 , yyW
ygv −=′ ( )21
12 , yyW
ygv =′
Donde ( )21, yyW es el wronskiano de 1y , 2y . En la practica tal vez sea mas rápido usar
estas formulas para encontrar 1v y 2v .
Teorema: Si las funciones qp, y g son continuas sobre el intervalo [ ]ba, y si las
funciones 1y y 2y son soluciones linealmente independientes de la ecuación
homogénea asociada con la ecuación diferencial
( ) ( ) ( )xgyxqyxpy =+′+′′
Entonces una solución particular esta dada por
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( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )∫∫ +−=xx
p dssyyW
sgsyxyds
syyW
sgsyxyxy
0 21
12
0 21
21 ,,
Lo cual puede escribirse como
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dssg
sysysysy
syxyxysyxy
x
p ∫ ′−′−
=0 2121
2121
Al usar el método de variación de parámetros para un problema particular generalmente
es mas seguro sustituir 2211 yvyvy += y proceder como antes más bien que tratar de
recordar cada formula. Sin embargo, aun en estos casos, las formulas para ( )xy p nos
darán un punto de partida para la evaluación numérica de ( )xy p , que en muchos casos
será lo mejor que podamos hacer, desde el punto de vista numérico es ventajoso tener
una forma integral de solución, ya que el calculo numérico de una integral es
considerablemente mas fácil que la integración numérica directa de una ecuación
diferencial.
Ejemplo: Encuentre la solución general de 72 433 xyyxyx =+′−′′ .
Ejemplo: Encuentre la solución general de 1
1
+=+′′
xyy .
Ejemplo: Encuentre la solución general de 0242 1 >=+′−′′ −− xexyyy x
Ejemplo: Encuentre la solución general de 2
0secπ<<=+′′ xxyy
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Ejemplo: Encuentre la solución general de xeyy =′′−′′′
Solución: la ecuación homogénea asociada es 0=′′−′′′ yy su ecuación característica
023 =− rr implica ( ) 012 =−rr entonces 021 == rr (multiplicidad 2) y 13 =r así un
conjunto fundamental de soluciones es { }xex,,1 la solución general de la ecuación
homogénea es ( ) xh ecxccxy 321 ++= . Aplicando el método de variación de
parámetros, suponemos que una solución particular es de la forma
( ) ( ) xp evxvvxy 321 1 ++= lo cual nos conduce al sistema de ecuaciones algebraico:
( )( ) ( )( ) ( )
=′+′+′=′+′+′
=′+′+′
xx
x
x
eevvv
evvv
evxvv
321
321
321
00
010
01
En este caso en particular el sistema es muy sencillo de resolver
13 =′v Implica xv =3
xev −=′2 Implica xev −=2
xxev x −=′1 Implica xx exev 21 −=
Entonces una solución particular es ( ) ( ) xp evxvvxy 321 1 ++= así se tiene
( ) ( )( ) xxxxp xexeexexy +−−= 12
( ) xxp exexy 2−= Finalmente la solución general de la ecuación no homogénea es
( ) xxxG exeecxccxy 2321 −+++=
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Ejercicios Propuestos
Encuentre la solución general por el método de variación de parámetros. Decida si el
método de los coeficientes indeterminados pudo haberse usado también.
1. xeyy 2=−′′
2. xeyyy 244 =+′−′′
3. senx
yy1=+′′
4. x
yy2cos
44 =+′′
5. xyy tan=+′′
6. 21
2x
eyyy
x
+=+′+′′
−
7. xe
yyy21
123
+=+′+′′
8. xyy =−′′4
9. xexyyy 32
3
96 =+′−′′ , 0>x
10. ( )xx eeyyy cos23 3=+′−′′
11. 32 22 xyyxyx =+′−′′
12. 2
12 xyyxyx =−′+′′
13. 12 2 −=′+′′ xyxyx
14. xyyxyx =+′−′′ 332
15. xeyy =′′−′′′
16. xeyy 2=′−′′′
17. senx
yy1=′+′′′
18. senxyyyy =+′−′′−′′′ 33
19. xexyyyy 2
1
33 =−′+′′−′′′
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20. (**) Considere el problema de valores iniciales ( )xgyy =+′′
( ) ( ) 0000 =′= yy Demuestre que la solución general puede escribirse como
( ) ( ) ( )∫ −==x
dttxsentgxy0
φ .
21. (***) Supuesto que se conoce una solución de la ecuación homogénea, la
ecuación no homogénea ( ) ( ) ( )xgyxqyxpy =+′+′′ puede resolverse por
reducción de orden.
• Suponga que 1y es una solución conocida de la ecuación homogénea,
mostrar que 1vyy = es solución de la ecuación no homogénea supuesto
que v , satisface ( ) gvpyyvy =′+′+′′ 111 2 .
• La ecuación anterior, es una ecuación lineal de primer orden para v′ .
Mostrar que la solución es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kdssgshsyxvxhxyx
+=′ ∫0
121 donde
( )( )∫
=
x
dssp
exh 0 y k es una constante.
• Usando el resultado anterior mostrar que la solución general de la
ecuación no homogénea es
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫
++=
x sx
dstgthtyshsy
xyshsy
dsxycxycy
0 0
121
1
021
1211
1
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