METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. JUNIO 2001
EJERCICIO 1
Calcular la integral triple ZZZΩ
pR2 − x2 − y2 − z2dxdydz
donde Ω es la región limitada por la esfera: x2 + y2 + z2 = R2.
EJERCICIO 2
Dada la porción de superficie S del paraboloide de ecuación 2z = x2 + y2 limitada por la curva C, intersecciónde dicho paraboloide con el plano de ecuación z = 2, comprobar el teorema de Stokes para el campo vectorial:
→F (x, y, z) = (3y,−xz, yz2)
calculando por separado la integral de línea y la de superficie.
EJERCICIO 3
a) Hallar el desarrollo en serie de Fourier de medio rango, cosenoidal, para la función definida en el el intervalo[0, π] por f(x) = x.b) Hallar los valores propios y las correspondientes funciones propias del problema homogéneo de Sturm-Liouville: ½
y00 + λy = 0, 0 ≤ x ≤ πy0(0) = y0(π) = 0
c) Hallar una solución formal del problema de contorno no homogéneo (suponiendo que λ no es valor propio delproblema homogéneo asociado): ½
y00 + λy = x, 0 ≤ x ≤ πy0(0) = y0(π) = 0
Notas:- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.
METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. SEPTIEMBRE 2001
EJERCICIO 1
Calcular la integral doble ZZD
s1−
µx2
a2+
y2
b2
¶dxdy
donde D es la región limitada por la elipse x2
a2 +y2
b2 = 1.
EJERCICIO 2
Comprobar el teorema de Gauss para el campo:
→F (x, y, z) = (
1
4x4, xy3, xz3)
sobre la esfera S de centro (0,0,0) y de radio 1.Habrá que calcular la integral triple ZZZ
V
div−→F dxdydz
y la integral de superficie ZZS
−→F ·−→dS
Nota: Al hallar la integral de superficie, se facilita el cálculo de la integral doble correspondiente aplicandosimetrías.
EJERCICIO 3
Desarrollar en serie de Fourier la función:
f(x) =
½0 −π < x < 0
π − x 0 ≤ x < π
Notas:- La duración del examen es de dos horas y media.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.
METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FEBRERO 2002
EJERCICIO 1
a) Calcular la integral triple ZZZΩ
e(x2+y2+z2)3/2dxdydz
donde Ω es la esfera: x2 + y2 + z2 = 1.b) Calcular Z √π
2
0
ÃZ √π2
x
µZ 3
1
seny2 dz¶dy
!dx
cambiando previamente el orden de integración.
EJERCICIO 2
a) Determínese el trabajo realizado por el campo:
→F (x, y, z) = (4xy − 3x2z2 + 1, 2(x2 + 1),−2x3z − 3z2)
para mover una partícula de masa unidad desde el punto (1,−1, 1) al punto (−2√3, 0, 2√
3) a lo largo de la curva
de ecuación:½
x2 + y2 + 2z2 = 4z + x+ 2y = 0
.
b) Calcular el área de la superficie del tronco de paraboloide S, y = x2 + z2 − 1, con 0 ≤ y ≤ 3.
EJERCICIO 3
a) Hallar el desarrollo en serie de Fourier de medio rango, senoidal, para la función definida en el el intervalo[0, π] por f(x) = πx− x2.b) Hallar los valores propios y las correspondientes funciones propias del problema homogéneo de Sturm-Liouville: ½
y00 + λy = 0, 0 ≤ x ≤ πy(0) = y(π) = 0
c) Hallar una solución formal del problema de contorno no homogéneo (suponiendo que λ no es valor propio delproblema homogéneo asociado): ½
y00 + λy = πx− x2, 0 ≤ x ≤ πy(0) = y(π) = 0
Notas:- Duración del Examen: TRES horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.
METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. JUNIO 2002
A
a) Sea D el paralelogramo limitado por las rectas y = 2x; y = 2x− 2; y = x; y = x+ 1.Calcular ZZ
D
xydxdy
efectuando el cambio de variables: x = u− v; y = 2u− v.b) Mediante una integral triple, calcular el volumen del elipsoide:
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1
B
a) Determinar el centro de gravedad del cono de ecuación z =px2 + y2, con 0 ≤ z ≤ a, de densidad superficial
µ constante.b) Dado el campo de fuerzas:
→F (x, y, z) =
y
x2 + y2→i − x
x2 + y2→j + 3z2
→k
y la curva C de ecuaciones paramétricas: x = t, y = t3 + t2 − 1, z = t+ 3, calcular el trabajo realizado por→F
cuando desplaza su punto de aplicación a lo largo de C desde el punto P (−1,−1, 2) hasta el Q(1, 1, 4).
C
Hallar una solución formal del problema de contorno:½y00 + λy = π − x, 0 ≤ x ≤ πy0(0) = y0(π) = 0
(Suponemos que λ no es valor propio del problema homogéneo asociado).Notas:- La duración del examen es de tres horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.
METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. SEPTIEMBRE 2002
A
a) Una placa está limitada por las curvas: y2 = x; y2 = 2x; xy = 1; xy = 3 y su densidad en cada punto esproporcional al producto de las coordenadas del mismo. Calcular su masa.b) Calcular ZZZ
Ω
xdxdydz
siendo Ω la región acotada por los planos: x = 0, y = 0, z = 2 y la superficie: z = x2 + y2, (x ≥ 0, y ≥ 0).
B
a) Calcular el área de la parte del plano: x− z = 0 intersecada por la superficie cilíndrica x2 + y2 = 1.b) Se define le campo vectorial:
→F (x, y, z) =
µx
x2 + y2,
y
x2 + y2
¶(1) Calcular rot
→F en R2 − (0, 0).
(2) CalcularRC
→F→ds donde C es la elipse (x2 )
2 + y2 = 1 recorrida en sentido antihorario. Justificar el cálculoefectuado.
C
Desarrollar en serie cosenoidal y en serie senoidal la función definida por:
f(x) = x− x2, 0 ≤ x ≤ 1
Como aplicación, utilizando alguno de los desarrollos obtenidos, calcular la suma de las series:
∞Xn=1
1
n2;
∞Xn=1
(−1)nn2
Notas:- La duración del examen es de tres horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.
METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. FEBRERO 2003
A
a) Invertir el orden de integración en la siguiente integral iterada:
Z 1
0
dy
Z √3−y2y2
3
f(x, y)dx
b) Calcular las coordenadas del c.d.g. del sólido de densidad constante, limitado por el paraboloide elíptico:x2 + 2y2 = 4z y el plano: z = 2.
B
a) Enunciar el teorema de Stokes que relaciona una integral de superficie S con una integral de línea sobre unacurva C.b) Sea
→F el campo vectorial:
→F (x, y, z) = xez
→i + (x+ xz)
→j + 3ez
→k
Consideremos la mitad superior de la superficie esférica: x2 + y2 + z2 = 1 y sea C su contorno. Verificar el
teorema de Stokes para el campo vectorial→F y la curva C.
(Nota: La adecuada elección de la superficie S es fundamental en el desarrollo del ejercicio).
C
a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier senoidal de la función:
f(x) = πx, 0 < x < l
b) Hallar los valores propios y las funciones propias asociadas del problema de Sturm-Liouville:½y00 + λy = 0 −1 ≤ x ≤ 1
y(−1) = y(1) = 0
Notas:- La duración del examen es de tres horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.
METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. JUNIO 2003
EJERCICIO 1
Calcular la integral triple ZZZΩ
y2zdxdydz
siendo Ω el primer octante del sólido delimitado por el elipsoide x2
a2 +y2
b2 +z2
c2 = 1.
EJERCICIO 2
Enunciar el teorema de Stokes. Verificar dicho teorema siendo→F el campo vectorial:
→F (x, y, z) = (2y, 3x,−z2)
y siendo C la cicunferencia: x2+y2 = 1; z = 2 y S una superficie cuyo contorno sea la circunferencia.(la integralde línea correspondiente hay que calcularla en sentido horario).
EJERCICIO 3
Hallar una solución formal del problema de Sturm-Liouville:
½y00 + λy = x− 1
2 0 ≤ x ≤ 1y0(0) = 0; y0(1) = 0
Notas:- La duración del examen es de tres horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.
METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. SEPTIEMBRE 2003
EJERCICIO 1
a) Hallar el desarrollo en serie de Fourier de la función periódica definida en un periodo por:
f(x) =
½−x −3 ≤ x ≤ 0x 0 ≤ x ≤ 3
b) Calcular el área de la parte del paraboloide x2 + y2 + z = 5 situada encima del plano z = 1.
EJERCICIO 2
a) Empleando el teorema de Stokes calcular la integral de línea:ZC
−y3dx+ x3dy − z3dz
siendo C la intersección del cilindro: x2 + y2 = 1 con el plano x + y + z = 1 recorrida en sentido horarioobservada desde arriba.b) Comprobar el resultado mediante el cálculo directo de la integral de línea.
EJERCICIO 3
Aplicar el teorema de Gauss para calcular la integral de superficie del campo vectorial
→F (x, y, z) = (x3, y3, z2)
sobre la frontera del sólido limitado por los paraboloides z = x2 + y2 , z = 1− x2 − y2, con la orientación de lanormal exterior.
Notas:- La duración del examen es de tres horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.
METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. FEBRERO 2004
EJERCICIO 1
a) Hallar el área comprendida entre las circunferencias
x2 + y2 = 2x ; x2 + y2 = 4x
y las rectas
y = x ; y = 0
b) Mediante el cálculo de una integral triple comprobar que el volumen de una esfera, de radio 1, es 43π.
EJERCICIO 2
a) Calcular la integral de línea ZL
ydx− xdy
donde L es la curva cerrada, limitada por la elipse x2
16 +y2
9 = 1 y la recta x4 +
y3 = 1, situada en el primer
cuadrante. Comprobar el resultado mediante la aplicación del teorema de Green.b) Dada la superficie S definida por z = x2 + y ; 0 ≤ x ≤ 1 ; −1 ≤ y ≤ 1. Calcular la integral de superficieZ Z
S
xdS
EJERCICIO 3
a) Hallar el desarrollo de Fourier de la función f(x), de periodo 2π, definida por
f(x) =
½senx si x ∈ [0, π]0 si x ∈ (π, 2π]
b) Como aplicación del apartado anterior calcular la suma de las series
∞Pn=1
1
4n2 − 1 ;∞Pn=1
(−1)n4n2 − 1
Notas:- La duración del examen es de tres horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.
MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. JUNIO 2004
EJERCICIO 1
a) Hallar el desarrollo en serie de Fourier senoidal de la función f(x) = x, en el intervalo [0, π].b) Utilizando el apartado a) hallar una solución formal del problema de contorno:½
y00 + λy = x 0 ≤ x ≤ πy(0) = y(π) = 0
(Suponemos que λ no es valor propio del problema homogéneo asociado).
EJERCICIO 2
a) Calcular el área de la figura limitada por las curvas:
x2 + y2 = 2x; x2 + y2 = 4x; y = x; y = 0
b) Determinar la posición del centro de gravedad del sólido limitado por:el cono: z = h
a
px2 + y2 y el plano: z = h.
EJERCICIO 3
a) Calcular la integral de línea: ZC
y3dx− xy2dy
(x2 + y2)2
siendo C la circunferencia de centro el punto (1, 1) y radio 3, recorrida en sentido positivo.b) Calcular, aplicando el teorema de Gauss, la integral de superficie:Z Z
S
→F .→dS
siendo→F (x, y, z) = (xz2, x2y − z3, 2xy + y2z)
y S la superficie cerrada limitada por la semiesfera z =pa2 − x2 − y2 y el plano z = 0, con la orientación de
la normal exterior.
Notas:- La duración del examen es de tres horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.
METODOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍAEXAMEN FINAL. SEPTIEMBRE 2004
EJERCICIO 1
I) Desarrollar en serie de Fourier senoidal la función f(x) = x en el intervalo [0, π].
II) Hallar una solución formal del problema de Sturm-Liouville:
½y00 + λy = x 0 ≤ x ≤ π
y(0) = 0; y(π) = 0
EJERCICIO 2
I) Calcular el área de la figura limitada por la elipse x2 + (4y)2 = 1.
II) Determinar la masa del sólido limitado por una esfera de radio a y una superficie cilíndrica de radio α. Eleje del cilindro contiene el centro de la esfera.
EJERCICIO 3
I) Aplicar el teorema de Stokes para calcular la integral de línea:ZC
−y3dx+ x3dy − z3dz
en donde C es la intersección dex2 + y2 1 y el plano x+ y + z = 1. Dibujar la figura e indicar en la curva C elsentido de integración elegido.
II) Calcular la integral de línea directamente.
Notas:- La duración del examen es de tres horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.
- No se permite el uso de calculadoras programables.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS- ACONTROL 1-2005
PROBLEMA 1Hallar el área del dominio D ⊂ R2, perteneciente al primer cuadrante, limitado por las circunferencias:
x2 + y2 − 2y = 0; x2 + y2 − 4y = 0
PROBLEMA 2Hallar el momento de inercia repecto al eje y del cuerpo Ω ⊂ R3 limitado por las superficies:
y = x2 + z2; y = 4
siendo su densidad constante en cada punto µ(x, y, z) = k.
Tiempo: 1 Hora
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS- BCONTROL 1-2005
PROBLEMA 1Hallar el área del dominio D ⊂ R2 limitado por las curvas:
y = x2; y = 2x2; xy = 1; xy = 3
PROBLEMA 2Hallar la masa del cuerpo Ω ⊂ R3 limitado por las superficies:
z =px2 + y2; z = 2−
px2 + y2
siendo su densidad en cada punto µ(x, y, z) = z
Tiempo: 1 Hora
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS- ACONTROL 2-2005
PROBLEMA 1Calcular la integral:
I =
ZC
ydx+ (1− x)dy
x2 − 2x+ 1 + y2
(a) a lo largo de la curva C1 : (x+ 1)2 + y2 = 1, en sentido positivo.(b) a lo largo de la curva C2 : (x2 )
2 + y2 = 1, en sentido negativo.
PROBLEMA 2Calcular la integral:
I =
Z ZS
F · dS
siendo:F = (−x,−y, 0)
y siendo S la superficie:z = 3−
px2 + y2; 1 ≤ z ≤ 2
orientada con la normal interior.
Tiempo: 1 h. 15 min.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS- BCONTROL 2-2005
PROBLEMA 1Calcular la integral:
I =
ZC1
(sen3 x+ xy)dx+ (cos2 y +1
2x2)dy
siendo C1 la curva abierta dada por la parametrización:
σ(t) = (t, π cos t); 0 ≤ t ≤ π
2
PROBLEMA 2Calcular, aplicando el Teorema de Stokes, la integral:
I =
ZC
F · ds
siendo:F = (yz, x2, xy)
y siendo C la intersección de las superficies:
x2 + y2 + z2 = 3; x2 + y2 = 2z
La curva C se supone recorrida en el sentido antihorario al considerar su proyección sobre el plano xy.
Nota: Para hallar C se sugiere eliminar x2 + y2 entre las superficies.
Tiempo: 1 h. 15 min.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS A y BCONTROL 3-2005
PROBLEMA 1a) Dada la función f(x) = x, definida en el intervalo [0, π],hallar un desarrollo en serie de Fourier senoidal.b) Hallar los valores propios y las correspondientes funciones propias del problema homogéneo de contorno:½
y00 + λy = 0 0 ≤ x ≤ πy(0) = y(π) = 0
c) Utilizando los apartados a) y b), hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = x 0 ≤ x ≤ π
y(0) = y(π) = 0
d) Obtener la suma de la serie de Fourier del apartado a) para x = 0, para x = π2 y para x = π.
Tiempo: 1 h. 15 min.
MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL. JUNIO 2005
EJERCICIO 1
Hallar el desarrollo en serie de Fourier de la función periódica (periodo 2):
f(x) =
½x 0 ≤ x ≤ 1
1− x 1 < x < 2
EJERCICIO 2
Sea Ω ⊂ R3 la región del 1er octante limitada por:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 0z = 0y = xx2 + y2 + z2 = 1
Calcular ZZZΩ
x dxdydz
EJERCICIO 3
Calcular el área de la superficie del paraboloide:
z = 3− (x2 + y2)
que se encuentra por encima del plano:
z = 1
- La duración del examen es de 2 horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.
MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL. SEPTIEMBRE 2005
EJERCICIO 1
Dada la función:
f(x) =
½2(b−a)
T x− b si x ∈ (0, T2 )0 si x = 0
desarrollar en serie de Fourier: (A) senoidal y (B) cosenoidal.(C) ¿Cuánto vale la suma de las series anteriores en x = 0?. Razonar la respuesta.
EJERCICIO 2
(A) Calcular la integral doble de la función
f(x, y) = 1 + x+ y
extendida al dominio D limitado por las curvas: ⎧⎨⎩ y = −xx =√y
y = 2
(B) Calcular el volumen que se encuentra debajo del paraboloide
z = x2 + y2
y sobre el anillo circular1 ≤ x2 + y2 ≤ 9
EJERCICIO 3
(A) Calcular el área de la superficie S de ecuaciones paramétricas:
x = cosu cos v; y = cosu sen v; z = senu
para0 ≤ u ≤ π
4; 0 ≤ v ≤ u
(B) ¿Por qué vale 0 la integral de línea
I =
ZC
F · ds
siendo C cualquier curva cerrada simple y F = (y, x, z)?.
- La duración del examen es de 2,30 horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.
METODOS MATEMÁTICOSEXAMEN FINAL. FEBRERO 2006
EJERCICIO 1
Calcular la integral ZZZΩ
y2 dxdydz
siendo Ω ⊂ R3 la región limitada por las superficies:
1 = x2 + y2
z = 2− (x2 + y2)
z = (x2 + y2)− 1
EJERCICIO 2
Sean:
C1 : y = x2 − 1;−2 ≤ x ≤ 2C2 : y = 3;−2 ≤ x ≤ 2C3 : x2 + (y − 1)2 = 1; sentido antihorario
y sea la integral de línea
I =
Z(1− y)dx+ xdy
x2 + (y − 1)2
a) Justificar la relación que existe entreRC1,RC2yHC3. Indicar claramente la orientación tomada en cada curva.
b) CalcularRC1
.
EJERCICIO 3
a) Dada la función f(x) = x− x2, definida en el intervalo [0, 1],hallar un desarrollo en serie de Fourier cosenoidal.b) Se sabe que el problema homogéneo de contorno:½
y00 + λy = 0 0 ≤ x ≤ 1y0(0) = y0(1) = 0
admite como valores propios:λ0 = 0;λn = n2π2;n = 1, 2, 3, ...
y como correspondientes funciones propias:
y0 = k0; yn = kn cosnπx;n = 1, 2, 3, ...
Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = x− x2 0 ≤ x ≤ 1y0(0) = y0(1) = 0
Notas:- La duración del examen es de 2 horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS ACONTROL 1-2006
EJERCICIO 1
Calcular la integral doble ZZD
xdxdy
donde D es la región limitada por las rectas y = x, x = 0 y por la circunferencia x2 + y2 − 2y = 0.
EJERCICIO 2
Calcular el volumen acotado inferiormente por el plano z = 0, superiormente por el paraboloide z = 2+(x2+y2)y lateralmente por los cilindros x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 9.
Tiempo: 1 h. 30 min.NO se permite el uso de calculadoras programables.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS BCONTROL 1-2006
EJERCICIO 1
Calcular el área comprendida entre las circunferencias x2 + y2 = 2y, x2 + y2 = 4y y las rectas y = x, x = 0.
EJERCICIO 2
Calcular la masa del cuerpo de densidad µ(x, y, z) = z, limitado por los conos z =px2 + y2, z = 2−
px2 + y2.
Tiempo: 1 h. 30 min.NO se permite el uso de calculadoras programables.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS A y BCONTROL 3-2006
PROBLEMA 1Dada la función
f(x) =
⎧⎨⎩ 1 si 0 ≤ x ≤ 1
2− x si 1 < x ≤ 2
a) (3,5 p.) Hallar un desarrollo en serie de Fourier senoidal.
b) (1,5 p.) Dar una fórmula simplificada para los coeficientes pares:
b2n
c) (3,5 p.) Hallar un desarrollo en serie de Fourier cosenoidal.
d) (1,5 p.) Como aplicación del desarrollo anterior, obtener la suma de la serie numérica
∞Xn=1
1
n2
³cos
nπ
2− (−1)n
´
Tiempo: 1 h. 15 min.NO se permite el uso de calculadoras programables.
MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL JULIO 2006
EJERCICIO 1 (2 puntos)
Hallar un desarrollo en serie de Fourier senoidal de la función:
f(x) = x2 − x; 0 ≤ x ≤ 1
EJERCICIO 2 (4 puntos)
(a) Calcular la integral ZZD
1
x3dxdy
siendo D ⊂ R2 la región del primer cuadrante limitada por las parábolas:½y = x2; y = 2x2
y2 = x; y2 = 2x
(b) Calcular ZZZΩ
z dxdydz
siendo Ω ⊂ R3 la región del primer octante limitada por los cilindros:½x2 + y2 = 2x2 + z2 = 2
EJERCICIO 3 (4 puntos)
Sea S la superficie definida por:
z =px2 + y2; z ≤ 2
Sea−→F el campo vectorial:
−→F = (x2 − y, y2 + x, z)
(a) Calcular la integral de superficie ZZS
³−→∇ ×−→F ´ .−→dS(b) Hallar una curva C, tal que, con las orientaciones adecuadas se pueda aplicar el teorema de Stokes paracalcular la integral anterior. Realizar el cálculo de la integral de línea:Z
C
−→F .−→ds
- La duración del examen es de 2,30 horas.- Los ejercicios deben entregarse por separado.
MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL SEPTIEMBRE 2006
EJERCICIO 1 (2 puntos)
Hallar un desarrollo en serie de Fourier de la función periódica de periodo 1 definida por:
f(x) = x2 ; 1 ≤ x < 2
EJERCICIO 2 (4 puntos)
(a) Calcular el área de la región del primer cuadrante limitada por las curvas:⎧⎨⎩ x = 0y = x2 + 1y = 3− x
(b) Calcular el volumen del cuerpo limitado inferiormente por el cono z =px2 + y2, superiormente por el plano
z = 3, y lateralmente por los cilindros x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 9.
EJERCICIO 3 (4 puntos)
(a) Calcular la integral de línea ZC
−ydx+ xdy
x2 + y2
siendo C la elipse que rodea al origen x2 + 2y2 = 1 recorrida en el sentido antihorario.(b) Calcular el flujo ZZ
S
−→F ..−→dS
del campo vectorial −→F = xz
−→i + 3xy
−→j − 2z−→k
siendo S el cilindro dado por la parametrización
−→T (u, v) = (cosu, senu, v)0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 3
- La duración del examen es de 2,30 horas.- Los ejercicios deben entregarse por separado.
METODOS MATEMÁTICOSEXAMEN FINAL. FEBRERO 2007
EJERCICIO 1
Dada la función
f(x) =
⎧⎨⎩ 1 si 0 ≤ x ≤ 1
2− x si 1 < x ≤ 2a) Hallar dos desarrollos en serie de Fourier: uno senoidal y otro cosenoidal.b) Como aplicación del apartado anterior, obtener la suma de la serie numérica:
∞Xn=1
1
n2
³cos
nπ
2− (−1)n
´
EJERCICIO 2
a) Hallar el área del dominio D ⊂ R2, perteneciente al primer cuadrante, limitado por las circunferencias:
x2 + y2 − 2y = 0; x2 + y2 − 4y = 0
b) Hallar la masa del cuerpo Ω ⊂ R3 limitado por las superficies:
z =px2 + y2; z = 2−
px2 + y2
siendo su densidad en cada punto µ(x, y, z) = z.
EJERCICIO 3
a) Calcular la integral de línea: ZC
y3dx− xy2dy
(x2 + y2)2
siendo C la circunferencia de centro el punto (1, 1) y radio 3, recorrida en sentido positivo.
b) Calcular, aplicando el teorema de Gauss, la integral de superficie:Z ZS
→F .→dS
siendo →F (x, y, z) = (xz2, x2y − z3, 2xy + y2z)
y S la superficie cerrada limitada por la semiesfera z =pa2 − x2 − y2 y el plano z = 0, con la orientación de
la normal exterior.
Notas:- La duración del examen es de 2, 30 horas.- Todos los ejercicios tienen la misma puntuación.- Los ejercicios deben entregarse por separado.- No se permite el uso de calculadoras programables.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS ACONTROL 1-2007
PROBLEMA 1
Calcular ZZD
x
x2 + y2dxdy
siendo D ⊂ R2 el dominio del 1er cuadrante limitado por la circunferencia:
x2 + y2 = 2x
y las rectas ½y = xx = 2
PROBLEMA 2
Calcular ZZZΩ
x
ydxdydz
siendo Ω ⊂ R3 el dominio del 1er octante limitado por las superficies:⎧⎨⎩x2 + y2 + z2 = 2x = 0
y =√3x
Nota: arctg√3 =
π
3rad .
Tiempo: 1 Hora y 15 minutos
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS BCONTROL 1-2007
PROBLEMA 1
Calcular ZZD
x dxdy
siendo D ⊂ R2 el dominio limitado por las rectas:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x+ y = 2x+ y = 3y = xy = 2x
PROBLEMA 2
Calcular ZZZΩ
x2 dxdydz
siendo Ω ⊂ R3 el dominio limitado por las superficies:½z =
px2 + y2
z = 6− (x2 + y2)
Tiempo: 1 Hora y 15 minutos
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS ACONTROL 2-2007
PROBLEMA 1
Calcular la integral de línea ZC
y¡x2
¢2+ y2
dx− x¡x2
¢2+ y2
dy
siendo C la circunferencia:x2 + y2 = 4
recorrida en sentido negativo (sentido agujas reloj).
PROBLEMA 2
Sea S la porción de la esferax2 + y2 + (z − 2)2 = 4
que queda por encima del plano z = 3, y C el borde de S.Verificar el teorema de Stokes, siendo
F = (y2, 0, ez)
y considerando en S la cara inferior.
Tiempo: 1 Hora y 30 minutos.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS BCONTROL 2-2007
PROBLEMA 1
(a) Comprobar que el campo
F =
µy3
(x2 + y2)2,−xy2
(x2 + y2)2
¶es conservativo.(b) Calcular la integral de línea Z
C
y3
(x2 + y2)2dx− xy2
(x2 + y2)2dy
siendo C la circunferencia:(x− 1)2 + (y − 1)2 = 9
recorrida en sentido negativo (sentido agujas reloj).
PROBLEMA 2
Sea S la porción de la superficiez = 2− (x2 + y2)
que queda por encima del plano xy.(a) Calcular su área.(b) Calcular, aplicando la definición: ZZ
S
F · dS
siendoF = (0,−x, z)
y considerando en S la normal interior.
Tiempo: 1 Hora y 30 minutos.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS ACONTROL 3-2007
PROBLEMA 1
a) Hallar un desarrollo en serie de Fourier senoidal de la función
f(x) = (x− 1)2; x ∈ [0, 1]
b) Calcular la suma de la serie de Fourier anterior en los puntos:
x = 22; x =45
2
c) Calcular la desviación media cuadrática para n = 1.
d) Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = (x− 1)2; 0 ≤ x ≤ 1y(0) = y(1) = 0
sabiendo que los valores propios y las correspondientes funciones propiasdel problema homogéneo asociado son:
λn = n2π2 ⇒ yn = kn sennπx (n = 1, 2, ...)
Tiempo: 1 h.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS BCONTROL 3-2007
PROBLEMA 1
a) Hallar un desarrollo en serie de Fourier cosenoidal de la función
f(x) = 1− x2; x ∈ [0, 1]
b) Como aplicación del apartado anterior calcular la suma de las series numéricas:
∞Pn=1
(−1)nn2
;∞Pn=1
1
n2
c) Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = 1− x2; 0 ≤ x ≤ 1y0(0) = y0(1) = 0
sabiendo que los valores propios y las correspondientes funciones propiasdel problema homogéneo asociado son:½
λ0 = 0 ⇒ y0 = k0λn = n2π2 ⇒ yn = kn cosnπx (n = 1, 2, ...)
Tiempo: 1 h.
MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL. JUNIO 2007
EJERCICIO 1 (2 puntos)
Hallar el área limitada en el primer cuadrante por las circunferencias:½x2 − 2x+ y2 = 0x2 + y2 − 2y = 0
EJERCICIO 2 (2 puntos)
Hallar una parametrización de la curva dada por la intersección de las superficies:½x2 + y2 + z2 = 4y + z = 2
considerando la orientación negativa al proyectar en el plano xy.
EJERCICIO 3 (3 puntos)
Sea S la superficie esféríca, de centro el origen y radio unidad, dada por la parametrización:
T (θ, φ) = (senφ cos θ, senφ sen θ, cosφ); 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π
Sea Ω la región de R3 limitada por S, y F el campo vectorial dado por:
F (x, y, z) = (0, 0, z3)
Verificar el Teorema de Gauss.
EJERCICIO 4 (3 puntos)
a) Hallar un desarrollo en serie de Fourier cosenoidal de la función
f(x) = x; x ∈ [0, π]
b) Como aplicación del apartado anterior calcular la suma de la serie numérica:
∞Pn=1
1
(2n− 1)2
c) Aplicando Parseval calcular la suma de la serie numérica:
∞Pn=1
1
(2n− 1)4
d) Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno (λ 6= n2;n = 0, 1, 2, ...):½y00 + λy = x; 0 ≤ x ≤ πy0(0) = y0(π) = 0
sabiendo que los valores propios y las correspondientes funciones propias del problema homogéneo asociado son:½λ0 = 0 ⇒ y0 = k0λn = n2 ⇒ yn = kn cosnx (n = 1, 2, ...)
- La duración del examen es de 2.30 horas.- El ejercicio 4 debe entregarse por separado.
MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL SEPTIEMBRE 2007
Ejercicio 1 (2 puntos)
Calcular el área del primer cuadrante limitada por las curvas:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xy = 2xy = 4y = xy = 3x
Ejercicio 2 (2 puntos)
Calcular la integral de línea: ZC
−ydx+ xdy
x2 + 4y2
siendo C la circunferencia: x2 + y2 = 1 recorrida en el sentido antihorario.
Ejercicio 3 (2 puntos)
Calcular el volumen limitado por las superficies:½x2 + y2 + z2 = 3z = 1
2
¡x2 + y2
¢Esbozar su gráfica.
Ejercicio 4 (2 puntos)
Calcular la integral de superficie:
I =
ZZS
f(x, y, z)dS
siendof(x, y, z) = 2
y siendo S la porción del planox+ y + z = 1
limitada en el primer octante por los planos coordenados. ¿Qué interpretación geométrica tiene la integralanterior?
Ejercicio 5 (2 puntos)
Hallar un desarrollo en serie de Fourier de la función periódica, de periodo π, definida por:
f(x) =
½1− x
2 0 ≤ x < 20 2 ≤ x < π
- La duración del examen es de 2,30 horas.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS ACONTROL 1-2008
PROBLEMA 1
Calcular ZZD
p1− (x+ y)2 · (x+ y) dxdy
siendo D ⊂ R2 el dominio limitado por: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x+ y = 1x+ y = 0x− y = 1x− y = 0
PROBLEMA 2
Calcular ZZZΩ
y2 dxdydz
siendo Ω ⊂ R3 el dominio limitado por las superficies:⎧⎨⎩ z = 2−px2 + y2
z = 0x2 + y2 = 2
Tiempo: 1 Hora y 30 minutosNo se permite el uso de calculadora
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS BCONTROL 1-2008
PROBLEMA 1
Calcular ZZD
x2
x2 + y2dxdy
siendo D ⊂ R2 el dominio limitado en el 1er cuadrante por las tres curvas siguientes:⎧⎨⎩ x2 + y2 = 2x = 1y = 0
PROBLEMA 2
Calcular ZZZΩ
e(x2+y2+z2)
32 dxdydz
siendo Ω ⊂ R3 el dominio limitado por las superficies:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2 + y2 + z2 = 3y = xy = −xz = 0
considerando sólo la zona donde: y ≥ 0, z ≥ 0.
Tiempo: 1 Hora y 30 minutosNo se permite el uso de calculadora
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS ACONTROL 2-2008
PROBLEMA 1 (3 puntos)
Calcular la integral de línea ZC
x dx+ y dy + x dz
siendo C la curva de R3 dada por la intersección de las superficies:½z = 1− (x2 + y2)y + z = 1
recorriendo C de forma que "subamos" por el primer octante.
PROBLEMA 2 (7 puntos)
Verificar el teorema de Gauss, siendo F el campo vectorial:
F = (2x, 2y, z)
y siendo S = S1 ∪ S2 la superficie cerrada formada por:S1 : la porción del paraboloide z = x2 + y2 que queda por debajo del plano z = 3.S2 : la porción de dicho plano que actúa como tapa.
Tiempo: 1 Hora y 30 minutos.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS BCONTROL 2-2008
PROBLEMA 1 (3 puntos)
Sea S la superficie dada por la parametrización:
T (u, v) = (u cos v, u sen v, v)
(u, v) ∈ D = (u, v) / 0 ≤ u ≤√3, 0 ≤ v ≤ π/2
Calcular la integral ZZS
x dS
PROBLEMA 2 (7 puntos)
Verificar el teorema de Stokes, siendo F el campo vectorial
F = (−y3, 0, z)
y siendo S la porción de la superficiez = 1−
px2 + y2
que queda por encima del plano z = 1/2, y C el borde de dicha superficie.Considerar en S la cara interior.
Tiempo: 1 Hora y 30 minutos.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS ACONTROL 3-2008
PROBLEMA 1
a) Hallar el desarrollo en serie de Fourier, de la función de periodo 2, definida por:
f(x) = 4x− x2; x ∈ [0, 2]
b) Como aplicación del apartado anterior calcular la suma de las series numéricas:
∞Pn=1
(−1)nn2
;∞Pn=1
1
n2
c) Plantear (sin simplificar) la fórmula de la desviación media cuadrática para n = 1.
Tiempo: 1 h. y 15 minutos.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS BCONTROL 3-2008
PROBLEMA 1
a) Hallar un desarrollo en serie de Fourier cosenoidal de la función:
f(x) = 2πx− x2; x ∈ [0, π]
b) Como aplicación del apartado anterior calcular la suma de la serie numérica:
∞Pn=1
(−1)nn2
c) Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = f(x); 0 ≤ x ≤ πy0(0) = y0(π) = 0
sabiendo que los valores propios y las funciones propias del problema homogéneo asociado son:½λ0 = 0 ⇒ y0 = K0
λn = n2 ⇒ yn = Kn cosnx (n = 1, 2, ...)
Nota: Se supone que para el problema no homogéneo de contorno (λ 6= n2;n = 0, 1, 2, ...).
Tiempo: 1 h y 15 minutos.
MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL. JUNIO 2008
EJERCICIO 1 (3 puntos)
Calcular ZZD
(x− y)
[2− (x+ y)]2dxdy
siendo D el dominio limitado por:
x− y = 0
x+ y = 0
x = 1
EJERCICIO 2 (4 puntos)
La porción de la esfera:x2 + y2 + z2 = 1
cortada por el cilindro:x2 + y2 − y = 0
(con z ≥ 0) se llama bóveda de Viviani. Denotemos por S dicha superficie y por C su contorno.(a) Calcular la integral de línea: Z
C
xdx+ ydy + z.xdz
indicando claramente en la figura el sentido de recorrido.(b) Calcular la integral de superficie: ZZ
S
z.ydS
Nota: En el apartado (b) se recomienda parametrizar la superficie a cartesianas.
EJERCICIO 3 (3 puntos)
a) Hallar un desarrollo en serie de Fourier senoidal de la función
f(x) = πx− x2; x ∈ [0, π]
b) Como aplicación del apartado anterior calcular la suma de la serie numérica:
∞Pn=1
(−1)n−1(2n− 1)3
c) Aplicando Parseval calcular la suma de la serie numérica:
∞Pn=1
1
(2n− 1)6
- La duración del examen es de 2.30 horas.
MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL. SEPTIEMBRE 2008
EJERCICIO 1
Hallar la serie de Fourier de la función de periodo 6, definida por:
f(x) =
½−x, −3 < x < 0,x, 0 < x < 3.
EJERCICIO 2
Hallar la integral de superficie : ZZS
−→F .−→dS
Siendo−→F = x
−→i + y
−→j y S la superficie dada por la ecuación z =
px2 + y2, 0 ≤ z ≤ 1 con la orientación de la
normal exterior.
EJERCICIO 3
Calcular la integral de línea ZC
y dx− x dy
donde C es la curva cerrada, limitada por la elipse x2
16 +y2
9 = 1 y la recta x4 +
y3 = 1 situada en el primer
cuadrante, recorrida en el sentido contrario al del giro de las agujas del reloj. Comprobar el resultado mediantela aplicación del Teorema de Green.
EJERCICIO 4
Calcular, aplicando el Teorema de Gauss, la integral de superficie:ZZS
−→F ·−→dS
siendo−→F (x, y, z) = (x z2, x2 y − z3, 2x y + y2 z) y S la superficie cerrada limitada por la semiesfera z =p
a2 − x2 − y2 y el plano z = 0, con la orientación de la normal interior.
- La duración del examen es de dos horas y media.- Todos los ejercicios puntúan igual.- No se permite el uso de calculadoras.
MÉTODOS MATEMÁTICOSEXAMEN FEBRERO 2009
EJERCICIO 1
a) Desarrollar en serie de Fourier la función 2π - periódica definida por:
f(x) = 2π − x; 0 ≤ x ≤ 2π
Razonar su convergencia.b) Eligiendo un valor adecuado para x en la serie resultante, calcular la suma de la serie numérica:
∞Pn=1
(−1)n−12n− 1
EJERCICIO 2
Calcular la integral: ZZZΩ
x dxdydz
siendo Ω ⊂ R3 el dominio limitado por el paraboloide: 2z = x2 + y2 y el plano: z = 2.
EJERCICIO 3
Calcular la integral de línea: ZC
2ydx+ 3xdy − z2dz
siendo C la curva:x = 3 cos ty = 3 sen tz = 0
⎫⎬⎭ 0 ≤ t ≤ 2π
Comprobrar el resultado aplicando el teorema de Stokes.
EJERCICIO 4
Sea S la superficie esférica, de centro el origen y radio unidad, dada por la parametrización:
T (θ, φ) = (senφ cos θ, senφ sen θ, cosφ); 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π
Sea Ω la región de R3 limitada por S, y F el campo vectorial dado por:
F (x, y, z) = (0, 0, z3)
Verificar con ellos el teorema de Gauss.
- La duración del examen es de 3 horas.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS ACONTROL 1-2009
PROBLEMA 1
Sea la integral: ZZD
x dxdy
siendo D ⊂ R2 el dominio del 1er cuadrante limitado por las curvas:½x2 + y2 = 1x2 + y2 = 4
(a) Plantearla en CARTESIANAS integrando primero la y.(b) Plantearla en CARTESIANAS integrando primero la x.(c) Calcular sólo una de ellas.(d) Comprobar el resultado mediante el cambio a coordenadas polares
PROBLEMA 2
Calcular la integral: ZZZΩ
x2z dxdydz
siendo Ω ⊂ R3 la región limitada por las superficies:
x2 + y2 + z2 = 3
2z = x2 + y2
Tiempo: 1 Hora
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS BCONTROL 1-2009
PROBLEMA 1
Invertir el orden de integración en la integral iterada:Z 1
0
ÃZ ex
x2f(x, y)dy
!dx
PROBLEMA 2
Calcular la integral: ZZZΩ
y2x dxdydz
siendo Ω ⊂ R3 la región limitada en el 1er octante por las superficies:
z =5
4− 2px2 + y2
z = (x2 + y2)
Nota: No hace falta simplificar las cuentas.
Tiempo: 1 Hora
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS CCONTROL 1-2009
PROBLEMA 1
Calcular la integral: ZZD
ypx2 + y2 dxdy
siendo D ⊂ R2 el dominio limitado por las curvas:(y = x
x2 − x+ y2 = 0
Nota: De los dos posibles dominios debe tomarse el más pequeño.
PROBLEMA 2
Calcular la integral: ZZZΩ
r³x3
´2+³y4
´2dxdydz
siendo Ω ⊂ R3 la región limitada por las superficies:⎧⎨⎩³x3
´2+³y4
´2+³z2
´2= 1
z = 0
con z ≥ 0.
Tiempo: 1 Hora
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS DCONTROL 1-2009
PROBLEMA 1
Calcular la integral: ZZD
x3y dxdy
siendo D ⊂ R2 el dominio del 1er cuadrante limitado por las curvas:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y = x2
y = x2 + 1y = 2− x2
y = 3− x2
PROBLEMA 2
Calcular la integral: ZZZΩ
y2 dxdydz
siendo Ω ⊂ R3 la región limitada por las superficies:
1 = x2 + y2
z = 2− (x2 + y2)
z = (x2 + y2)− 1
Tiempo: 1 Hora
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS ACONTROL 2-2009
PROBLEMA 1 (4 puntos)
Calcular el área de la superficie esférica:x2 + y2 + z2 = 16
limitada por el cilindro:x2 + y2 = 9
en el primer octante.
PROBLEMA 2 (6 puntos)
Verificar el teorema de Stokes, siendoF = (0, x, 0)
y siendo C la curva intersección de: ½x2 + (y − 1)2 = 1y + z = 2
La curva C se supone recorrida en el sentido horario al considerar su proyección sobre el plano xy.
Tiempo: 1 Hora y 30 minutos.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS BCONTROL 2-2009
PROBLEMA 1 (3 puntos)
Calcular la integral de línea:
I =
Z(1− y)dx+ xdy
x2 + (y − 1)2
siendo C la curva:C : x2 + y2 = 4
recorrida en el sentido de las agujas del reloj.
PROBLEMA 2 (7 puntos)
Verificar el teorema de Gauss, siendo F el campo vectorial:
F = (x, 0, z)
y siendo S = S1 ∪ S2 la superficie cerrada formada por:
S1 : z = x2 + y2
S2 : z = 4− (x2 + y2)
Tiempo: 1 Hora y 30 minutos.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS CCONTROL 2-2009
PROBLEMA 1 (4 puntos)
Sea S la superficie dada por la parametrización
T (u, v) = (u, v, 1− u− v)
(u, v) ∈ D = (u, v)/0 ≤ u2 + v2 ≤ 2
Calcular:(a) Su área
(b)ZZ
S
−→F ·−→dS
siendo−→F = (0, 0, x2 + y2) y considerando en S la normal inferior.
PROBLEMA 2 (6 puntos)
Verificar el Teorema de Stokes, siendo:F = (yz, x2, xy)
y siendo C la intersección de las superficies: ½x2 + y2 + z2 = 2
z =px2 + y2
La curva C se supone recorrida en el sentido antihorario al considerar su proyección sobre el plano xy.
Tiempo: 1 Hora y 30 minutos.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS A
CONTROL 3 - 2009
PROBLEMA 1
a) Hallar un desarrollo en serie de Fourier senoidal de la función
f(x) = π2 − x2; x ∈ [0, π]
Nota: No es necesario discutir términos pares e impares.
b) Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = π2 − x2; 0 ≤ x ≤ πy(0) = y(π) = 0
sabiendo que los valores propios y las correspondientes funciones propiasdel problema homogéneo asociado son:
λn = n2 ⇒ yn = kn sennx (n = 1, 2, ...)
Tiempo: 1 h.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS B
CONTROL 3 - 2009
PROBLEMA 1
a) Hallar el desarrollo en serie de Fourier, de la función de periodo 6, definida por:
f(x) =
½0 [−3, 0]x− 3 [0, 3]
b) Calcular la suma de la serie de Fourier en x = 36.c) ¿Qué serie numérica se obtiene para x = 3?. ¿Cúal es su suma?
Tiempo: 1 h.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS C
CONTROL 3 - 2009
PROBLEMA 1
a) Hallar el desarrollo en serie de Fourier, de la función de periodo 4, definida por:
f(x) =
½0 [0, 2]2x− 4 [2, 4]
b) Calcular la suma de la serie de Fourier en x = 40.c) Calcular la suma de la serie numérica
∞Xn=1
1
(2n− 1)2
Tiempo: 1 h.
MÉTODOS MATEMÁTICOSMECÁNICOS D
CONTROL 3 - 2009
PROBLEMA 1
a) Hallar un desarrollo en serie de Fourier cosenoidal de la función
f(x) = (x− π)2; x ∈ [0, π]
b) Hallar una solución formal del problema no homogéneo de contorno:½y00 + λy = (x− π)2; 0 ≤ x ≤ πy0(0) = y0(π) = 0
sabiendo que los valores propios y las correspondientes funciones propiasdel problema homogéneo asociado son:½
λ0 = 0 ⇒ y0 = k0λn = n2 ⇒ yn = kn cosnx (n = 1, 2, ...)
Tiempo: 1 h.
MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL. JUNIO 2009
EJERCICIO 1 (2 puntos)
Calcular la integral doble: ZZD
x+ y
x2 + y2dxdy
siendo D el segmento circular limitado en el primer cuadrante por:½x2 + y2 = 4x+ y = 2
EJERCICIO 2 (2 puntos)
Calcular, mediante una integral triple, el volumen del cuerpo limitado por los planos:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x+ z = 1x− z = −1y = −1y = 1z = 0
EJERCICIO 3 (2 puntos)
Calcular la integral de línea: ZC
−→F .−→ds
siendo −→F = (0, x, 0)
y siendo C la curva intersección de: ½x2 + y2 + (z − 1)2 = 1y + z = 2
recorrida de forma que se suba por el primer octante.
EJERCICIO 4 (2 puntos)
Calcular la integral de superficie: ZZS
−→F .−→dS
siendo −→F = (x, y, z)
y siendo S la porción del paraboloide:z = 2− (x2 + y2)
que queda por encima del plano z = 0, y tomando la cara interior.
EJERCICIO 5 (2 puntos)
Hallar el desarrollo en serie de Fourier, de la función de periodo 2, definida por:
f(x) = 4x− x2; x ∈ [0, 2]
- La duración del examen es de 3.00 horas.
MÉTODOS MATEMÁTICOS - MECÁNICAEXAMEN FINAL. SEPTIEMBRE 2009
EJERCICIO 1 (3 puntos)
La porción de la esfera:x2 + y2 + z2 = a2
cortada por el cilindro:x2 + y2 − ay = 0
(con z ≥ 0) se llama bóveda de Viviani. Denotemos por S dicha superficie y por C su contorno.Calcular directamente la integral de línea: Z
C
xdx+ ydy + z.xdz
teniendo en cuenta que el sentido de recorrido debe ser: subiendo por el primer octante.
EJERCICIO 2 (3 puntos)
Verificar el resultado del apartado anterior aplicando el teorema de Stokes.Nota: En este apartado se recomienda parametrizar la superficie S a cartesianas.
EJERCICIO 3 (1 punto)
¿Cómo calcularías el volumen de la porción del cilindro anterior, limitado por z ≥ 0 y la bóveda de Viviani?Nota: Solo planteamiento.
EJERCICIO 4 (3 puntos)
Hallar el desarrollo en serie de Fourier, de la función de periodo 1, definida por:
f(x) = x; x ∈ [1, 2]
- La duración del examen es de 2.30 horas.
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