UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL
PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014
I. PORTADA
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial
Título: Solución numérica de ecuaciones no lineales
Carrera: Electrónica y Comunicaciones
Área Académica: Métodos numéricos
Línea de Investigación: Nuevas Tecnologías
Ciclo Académico y Paralelo: Cuarto Electrónica Paralelo: “A”
Alumnos participantes: Erazo Karla
Pacheco Andrés
Merino Cristhian
Módulo y Docente: Métodos Numéricos Ing.: Paul Zurita
II. INFORME DEL PROYECTO
1.
2.
2.1 Título
Solución numérica de ecuaciones no lineales Método de Newton-Raphson y Método de
Virge Vieta
2.2 Objetivos
2.2.1 Objetivo general
Aplicar los métodos Newton-Raphson y Virge Vieta así como también las
formulas relacionadas con ellos, para poder calcular las soluciones de cada uno
de los ejercicios aplicados.
2.2.2 Objetivos específicos:
Investigar el Método de Newton-Raphson y Método de Virge Vieta para
determinar la solución numérica de ecuaciones no lineales.
Realizar ejercicios de los métodos antes mencionados para su mejor
comprensión.
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2.3 Resumen
Una ecuación polinómica se expresa de la siguiente forma
a1 xn+a2 x
n−1+a3 xn−3 +¿………… ..+an=0¿
Este polinomio puede tener raíces reales e imaginarias.
Las raíces reales son aquellos puntos en los cuales la ecuación se interseca con el
eje horizontal X.
El presente trabajo de investigación nos muestra información acerca de los
métodos de solución de ecuaciones polinómicas no lineales, como son el método
de Newton-Raphson y Virge Vieta cada uno de estos métodos se estudiarán
paso a paso y serán verificados con un ejemplo de aplicación.
2.4 Palabras clave:
Método
Newton-Raphson
Birge Vieta
Raíces
2.5 Introducción
Uno de los problemas más conocidos y más utilizados de las matemáticas es la
determinación de las raíces o soluciones de una ecuación no lineal o también llamado
polinomio.
Su proceso manual es bastante extenso aunque no tan complicado, por lo es conveniente
acudir al uso de procesos que permitan su solución. Utilizando métodos los cuales
ayudaran a que el cálculo de estas raíces sea más fácil y con una gran exactitud.
2.6 Materiales y Metodología
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2.6.1 Marco teórico
Solución numérica de ecuaciones no lineales
Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser métodos
iterativos que producen una sucesión de valores aproximados de la solución, que se
espera, que converja a la raíz de la ecuación. Estos métodos van calculando las
sucesivas aproximaciones en base a los anteriores, a partir de una o varias
aproximaciones iniciales. (es.wikipedia.org, 2014)
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está
garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es
seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de
comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto
de arranque o valor supuesto). (Miguel, 2009)
Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más
ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una
tangente desde el punto [xi, f(xi)] de la curva. Por lo común, el punto donde esta
tangente cruza el eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.
(illuminatus.bizhat.com, 2010)
El método de Newton-Raphson se deduce a partir de esta interpretación geométrica.
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Fórmula
De la figura se tiene que la primera derivada en x es equivalente a la pendiente:
Que se reordena para obtener:
La cual se conoce como fórmula de Newton-Raphson.
Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure
que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos
aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no
converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. (noosfera, 2011)
Para que el método de Newton-Raphson converja deben cumplirse ciertas condiciones
de convergencia. En la siguiente figura podemos apreciar, como aun partiendo de un
punto cercano a la raíz buscada, en un caso el método converge y en otro caso no.
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CONDICIONES DE CONVERGENCIA
Las condiciones de convergencia del método de Newton-Raphson pueden resumirse de
la siguiente manera:
Existencia de la Raíz: Dado un cierto intervalo de trabajo [a, b], dentro del
mismo debe cumplirse que f(a)*f(b)<0.
Unicidad de la Raíz: Dentro del intervalo de trabajo [a, b], la derivada de f(x)
debe ser diferente de cero.
Concavidad: La gráfica de la función f(x) dentro del intervalo de trabajo [a, b],
debe ser cóncava, hacia arriba o hacia abajo. Para ello debe verificarse que:
f ''(x) <= 0 ó f ''(x) >= 0 para todo x que pertenezca a [a, b]
Intersección de la Tangente a f(x), dentro de [a, b]: Se debe asegurar que la
tangente a la curva en el EXTREMO del intervalo [a, b] en el cual f'(x) sea
mínima, intersecte al eje x dentro del intervalo [a, b].
De esta manera aseguramos que la sucesión de valores de xi caigan dentro de [a,
b]. (Francisco, 2003)
MÉTODO DE BIRGE VIETA
Un polinomio de la forma:
Puede ser factorizado en la forma:
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Donde pi es un cero (o raíz) del polinomio porque P (pi) = 0
El método Virge-Vieta aplica Newton-Raphson para encontrar una raíz del polinomio
P (x). Dado un punto xk, evalúa P (k) y P’ (xk) mediante división sintética. Cuando
encuentra una raíz pi, elimina el factor (x−pi) mediante división sintética y continúa
trabajando sobre el polinomio resultante. El proceso se repite hasta encontrar todas las
raíces del polinomio (Lluvia, 2012)
Para el análisis se utiliza la siguiente tabla de valores:
K X R R' R'/R
1
2
3
4
Dónde:
K: números de interacciones
X: valores inicial para las divisiones
R: primer residuo
R’: segundo residuo
R/R’: relación entre el primer y segundo residuo
Ejemplo:
Dado el polinomio encontrar una de sus raíces y=x^3-5x^2+4x+2
1 -5 4 2
4 4 -4 0
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1 -1 0 2
4 4 12
1 3 12
x 3,833
1 -5 4 2
3,814 3,814 -4,524 -1,998
1 -1,186 -0,524 0,002
3,814 3,814 10,022
1 2,628 9,498
X 3,814
1 -5 4 2
3,833 3,833 -4,472 -1,810
1 -1,167 -0,472 0,190
3,833 3,833 10,222
1 2,667 9,750
X 3,814
1 -5 4 2
3,814 3,814 -4,524 -2,000
1 -1,186 -0,524 0,000
3,814 3,814 10,019
1 2,627 9,495
X 3,814
K X R R' R'/R
1 4 2 12 0,16666667
2 3,833 0,18981481 9,750 0,019
3 3,814 0,002 9,498 0,000
4 3,814 0,002 9,495 0,000
RAIZ=3,814
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2.7 Resultados y Discusión
El método de Newton – Raphson y Birge Vieta son utilizados para la resolución de
ecuaciones no lineales y nos proporcionan una forma más sencilla para determinar las
raíces de dichas ecuaciones, las mismas se presentan de diversas formas, y también en
diferentes intervalos de valores, los cuales se han determinado mediante las gráficas de
las gráficas de cada una de las ecuaciones.
Los diversos métodos nos permiten acercarnos a los resultados de una manera la cual se
debe realizar una exploración correcta de cada intervalo para así llegar a comprobar su
resultado el cual será la raíz o raíces de la ecuación.
2.8 Conclusiones
El método de Newton – Raphson es un método abierto el cual trata de encontrar
las raíces de una ecuación por medio de aproximaciones a la misma.
El método de Birge Vieta nos ayuda determinar las raíces de las ecuaciones
mediante el uso de las divisiones sucesivas o conocida también como la regla de
Ruffini.
Los ejercicios realizados por medio de estos dos métodos nos permitieron
calcular las raíces de la ecuaciones de diferente manera pero llegamos al mismo
resultado.
2.9 Referencias bibliográficas
illuminatus.bizhat.com. (11 de 05 de 2010). Recuperado el 23 de 11 de 2014, de
illuminatus.bizhat.com:
http://illuminatus.bizhat.com/metodos/newtonraphson.htm
noosfera. (18 de 07 de 2011). Recuperado el 23 de 11 de 2014, de noosfera.indivia.net:
http://noosfera.indivia.net/metodos/newtonRaphson.html
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es.wikipedia.org. (06 de 08 de 2014). (wiki) Recuperado el 23 de 11 de 2014, de
http://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_num
%C3%A9rica_de_ecuaciones_no_lineales
Francisco, L. (21 de 08 de 2003). www3.fi.mdp.edu.a. Recuperado el 23 de 11 de 2014,
de www3.fi.mdp.edu.a:
http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis/temas/no_lineales_1/newtonRaphson.htm
Lluvia, C. (10 de 03 de 2012). es.scribd.com. Recuperado el 24 de 11 de 2014, de
http://es.scribd.com/doc/84759266/Metodo-Birge-Vieta
Miguel, P. (29 de 08 de 2009). wikipedia. Recuperado el 23 de 11 de 2014, de
es.wikipedia.org: http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton
2.10 Gráficos
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tan(sen(x)) – sen(tan(x)) = 0
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7x^4 - 8x^3 - 12x^2 - 3x - 12
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