Modelamiento Matemático de Sistemas Dinámicos
Introducción
Modelos Matemáticos• Diferentes Modelos Matemáticos.
– Control Optimo.
– Representación en Espacios de Estado.
– Funciones de Transferencia
• Modelos matemáticos ayudan al análisis usando computadores.
Introducción cont..
Simplicidad versus Precisión.• Modelos precisos => Modelos Complejos.
• Obtener un modelo razonablemente simplificado.
• Modelos simplificados tienen buen comportamiento dentro de un rango de ....
Introducción cont..
Sistemas Lineales.• Un sistema es lineal, si es posible aplicar el
Principio de Superposición.
• Ecuaciones Diferenciales Lineales.
Invariantes en el Tiempo.• Coeficientes constantes.
Variantes en el tiempo.• Coeficientes dependientes del tiempo.
Salida
Entrada
Introducción cont..
Sistemas no lineales.• No lineal si no se cumple Principio de
Superposición.
Introducción cont..
Linealización de Sistemas no Lineales.• Para sistemas no lineales, lo común es que se
linealizar en torno al punto de equilibrio.
• Por ejemplo se aplican Series de Taylor, se suponen pequeñas variaciones, de tal manera de dejar sólo los primeros términos y despreciando los restante y en consecuencia se transforma una ecuación no lineal en lineal.
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.
Función de Transferencia= G(s)
£[entrada]
£[salida]
G(s) =
Con CIs = 0
=Y(s)
X(s)
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Suponga
a0y(n) + a1y(n-1) + ...an-1y’+any=
b0x(m) + b1x(m-1)+ ... + bm-1x’+bmx
(nm) ; Si x es variable de entrada e y variable de salida, entonces;
a0sn + a1sn-1 + ...an-1s+an
b0sm + b1sm-1+ ... + bm-1s+bm
G(s) =
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Comentarios.La función de transferencia es:
Un modelo matemático.
Es una propiedad que no depende de la entrada al sistema.
Incluye las unidades a relacionar, pero no entrega información de la estructura interna del sistema.
Un forma de relacionar entrada y salida de un sistema.
Se puede obtener de manera experimental.
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Ejemplo: Suponga el siguiente sistema mecánico.
MK
Bf
v
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
La Función de Transferencia será:
Pero si la salida es posición, entonces la Función de Transferencia será:
Ms2 + Bs + K
sG(s) =
Ms2 + Bs + KG(s) =
1
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Diagramas de Bloques.Diagrama en Bloque = Representación Gráfica.
Función de Transferencia
G(s)
X(s) Y(s)
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Diagrama de Bloques de un sistema de Lazo Cerrado.
G(s)-+R(s) E(s) C(s)
Punto Suma
Punto de Ramificación
B(s)
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Función de Transferencia de Lazo Cerrado.
Generalizando:
G(s)-+R(s) E(s) C(s)
B(s)
H(s)
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Función de Transferencia en Lazo Abierto.
Función de Transferencia de la Trayectoria Directa.
¿ Cual será la Función de Transferencia en Lazo Cerrado ?
B(s)
E(s)= G(s) H(s)
C(s)E(s) = G(s)
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Función de Transferencia en Lazo Cerrado será.
C(s)R(s)
G(s)1 + G(s) H(s)
=
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Sistema en Lazo Cerrado con Perturbaciones.
G1(s)-+R(s) E(s) C(s)
B(s)
H(s)
G2(s)-+
Perturbación
D(s)
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Como el sistema es lineal, se puede aplicar superposición, es decir, para el cálculo con una entrada se anula la otra y finalmente se suman.
CD(s)D(s)
G2(s)1 + G1(s)G2(s) H(s)
=
CR(s)R(s)
G1(s)G2(s)1 + G1(s)G2(s) H(s)
=
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Así,
C(s) = CR(s) + CD(s)
Es decir,
CD(s)G2(s)
1 + G1(s)G2(s) H(s)= [ G1(s)R(s) + D(s) ]
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Posibles consideraciones:
Si | G1(s)H(s)| >> 1 y |G1(s)G2(s)H(s)| >> 1
Se puede eliminar el efecto de la perturbación y, la Función del sistema completo tiende a
CR(s)R(s)
1H(s)
=
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Procedimiento para dibujar un diagrama en bloques. Ejemplo.
R
Cei e0
i
i = ei - eo
R
eo = i dt
C
1-+
Ei(s) I(s)
Eo(s)R
1Cs
Eo(s)
Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont
Reducción de un Diagrama de Bloques.
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