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Bloque tematico: Numeros y operaciones
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PROGRAMA DE ESPECIALIZACION EN
MATEMATICA DIRIGIDO A DOCENTES DEL NIVEL
SECUNDARIA DE EDUCACION BASICA REGULAR .
Bloque tematico: Numeros y operaciones
Jefe de Proyecto : Enrique Carpena Velasquez
Coordinadora academica : Magali Chavez Taboada
Equipo de especialistas : Leonardo Valdivia Velasquez
Andres Figueroa Alvarado
Margarita Tejada Romero
PROGRAMA DE ESPECIALIZACION EN MATEMATICA-NIVEL DE
EDUCACION SECUNDARIA 2012- 2014
I CICLO
Universidad Nacional “Pedro Ruız Gallo”
Facultad de Ciencias Historico Sociales Educacion
Direccion: Av. Juan XXIII 391 - Lambayeque
Telefono (51)(74)-283146
Correo Electronico: [email protected].
Pagina Web: www.unprg.edu.pe.
c© Reproduccion: Derechos reservados conforme a ley. Se prohıbe la
reproduccion parcial o total del texto sin autorizacion del MED.
Agosto 2012
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Presentacion
El presente modulo denominado NUMERO Y OPERACIONES, forma parte del com-
ponente disciplinar del area de matematica con enfoque interdisciplinar, y tiene por objetivo
justificar formalmente la construccion axiomatica de los conjuntos numericos, comprobar y
contextualizar sus propiedades .
El modulo consta de tres unidades distribuidas en 14 sesiones. La primera unidad hace un
tratamiento de la nocion de estructura algebraica, concretamente la nocion de grupo ,anillo y
cuerpo.Se parte de una situacion concreta, la simetrıa de un objeto o de un sistema fısico en
general.Luego, se presenta axiomaticamente el sistema de los numeros naturales, y numeros
enteros. En la segunda unidad se extienden las propiedades de los enteros y se construye
el espacio de los numeros racionales y paralelamente se muestran sus aplicaciones inmedi-
atas.Finalmente la tercera unidad tiene como objetivo el estudio del espacio de los numeros
reales se detalla su construccion teorica a partir de axiomas previamente definidos.
Cada unidad se inicia con una situacion problematica contextualizada que nos permitira gener-
ar un espacio de reflexion individual y colectiva, motivando a buscar una solucion empırica y
logica que necesita de una demostracion matematica, creandose ası la necesidad de investigar
sobre los sistemas numericos para su organizacion cientıfica, esta ultima debe hacer posible
generar situaciones problematicas similares como una generalizacion del modelo creado.
En la ultima parte del presente trabajo, se incluye un apendice donde encontraremos las
definiciones y propiedades mas relevantes de : Algebra proposicional, Teorıa de conjuntos,
Funciones y los metodos de demostracion.
3
Indice general
Presentacion 3
Introduccion 7
1. Nocion de estructura algebraica. El sistema de los numeros naturales 9
1.1. Sesion 1: Estructuras Algebraicas,definicion de grupo. . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Sesion 2: Definicion de anillo, cuerpo. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. Sesion 3: El Sistema de los Numeros Naturales N: definicion axiomatica de N . 24
1.3.1. Definicion Axiomatica de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Sesion 4: Sustraccion y division en N. Aplicaciones del principio del buen orden 33
1.4.1. Sustraccion y Division en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.2. Aplicaciones del Principio del Buen Orden (Axioma N11) . . . . . . . . 35
1.5. Sesion 5: Potenciacion y Radicacion. Divisibilidad: definiciones y teoremas . . 43
1.5.1. Potenciacion y Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.2. Sistema de Numeracion Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.3. Divisibilidad: Definiciones y Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6. Sesion 6: Numeros primos, maximo comun divisor, mınimo comun multiplo . . 58
1.6.1. Numeros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.6.2. Maximo Comun Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.6.3. Mınimo comun Multiplo (M.C.M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2. El sistema de los numeros enteros y racionales. Su construccion y sus apli-
caciones 73
2.1. Sesion 7: Definicion axiomatica de Z. Orden en Z. Sustraccion en Z . . . . . . 74
2.1.1. Definicion axiomatica de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.2. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores . . . . . . . . . . 76
2.1.3. Orden en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.1.4. Sustraccion en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2. Sesion 8: Valor absoluto. Division, potenciacion y radicacion en Z. Divisibilidad
en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
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2.2.2. Division, potenciacion y radicacion en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.3. Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.3. Sesion 9: Definicion Axiomatica de Q. Sustraccion, division, potenciacion y
orden en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.3.1. Definicion Axiomatica de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.3.2. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores . . . . . . . . . . 111
2.3.3. Sustraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.3.4. Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.3.5. Potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.3.6. Numeros reales como cocientes de numeros enteros . . . . . . . . . . . 118
2.3.7. Orden en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.3.8. Consecuencias importantes del teorema 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.3.9. Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.4. Sesion 10: Representacion decimal de un numero racional. Aplicaciones de las
razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.4.1. Representacion decimal de un numero racional . . . . . . . . . . . . . . 130
2.4.2. Calculo de la generatriz de una expresion decimal . . . . . . . . . . . . 132
2.4.3. Expresiones Decimales Infinitas y Numeros “Irracionales” . . . . . . . 134
2.4.4. Aplicaciones de las propiedades de los Numeros Racionales . . . . . . . 137
2.4.5. Aplicaciones de las razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3. Numeros Reales. Su construccion y aplicaciones 152
3.1. Sesion 11: Definicion axiomatica de R. Orden en R. Radicacion . . . . . . . . . 153
3.1.1. Definicion axiomatica de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.1.2. Definicion Axiomatica de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.1.3. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores . . . . . . . . . . 157
3.1.4. Orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.1.5. Subconjuntos notables de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.1.6. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.2. Sesion 12: Axioma del Supremo. Sucesiones, cuerpo ordenado completo . . . . 174
3.2.1. Axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.2.2. El Sistema de los Numeros Reales Extendido . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.3. Sesion 13: Representacion decimal de los numeros reales. Valor absoluto. . . . 181
3.3.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.4. Sesion 14: Proporcionalidad. Interes simple. Interes compuesto. Modelos fi-
nancieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.4.1. Interes simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3.4.2. Interes compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
3.4.3. Composicion del interes en forma continua . . . . . . . . . . . . . . . . 212
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A. Logica, Conjuntos y Funciones 217
A.1. Introduccion a la Logica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.1.1. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A.1.2. Equivalencias Logicas Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.1.3. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
A.2. Metodos de demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
A.2.1. Tipos de demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
A.3. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
A.3.1. Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
A.3.2. Relaciones de igualdad, pertenencia e inclusion . . . . . . . . . . . . . . 224
A.3.3. Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
A.4. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
A.4.1. Union de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
A.4.2. Interseccion de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
A.4.3. Diferencia de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
A.4.4. Complemento de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
A.5. Nociones de relacion y funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
A.5.1. Par ordenado y producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
A.5.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
A.5.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6
Introduccion
El hombre es mortal por sus temores
e inmortal por su deseos.
Pitagoras
Casi todos estamos familiarizados con el uso de los numeros naturales, enteros, racionales,
irracionales y finalmente, los numeros reales, tal vez sin conocer sus nombres como conjuntos
de numeros. Todos ellos surgieron, estrictamente hablando, por la necesidad del hombre mis-
mo de resolver problemas aritmeticos (que tiene que ver con loa numeros), que bien pueden
verse como problemas algebraicos.
Para comenzar a ver que la necesidad llevo al hombre a construir formas de contar (sistemas
numericos, en terminos mas formales), imaginemos a una persona que empieza a recolectar
frutas para su familia. Sabe que su familia esta formada por su pareja y su crıa (hijo, en
palabras mas civilizadas). Entonces, el colector de frutas hace una correspondencia entre las
frutas y los miembros de su familia, es decir, piensa que a cada miembro de su familia (in-
cluyendose el) le correspondera una fruta. De esta forma reconoce que debe cortar tres frutas,
una para cada uno de ellos. Notese que no fue el colector de frutas quien dijo ”tres”, puesto
que el todavıa no conocıa lo que significa esa palabra. (Muy probablemente para su tiempo,
todavıa el lenguaje estaba basado en senas). Lo importante que se quiere hacer notar es que
ya habıa, probablemente de manera innata, la nocion de cantidad en el ser humano.
Seguramente este hecho le sugirio a nuestro personaje que, cuando tuviera necesidad de contar,
digamos conejos, hiciera una correspondencia entre conejos y algun otro objeto, por ejemp-
lo piedras, una piedra por cada conejo. Sin embargo, si imaginamos que los conejos se van
reproduciendo con el paso del tiempo, vemos que en unos meses tendra que coleccionar una
buena cantidad de piedras por la cantidad de conejos que poseera. De aquı surge la necesidad
de crear otra forma de contar que sea mas comoda.
A alguien se le ocurrio hacer nudos a un mecate, a otra persona se le ocurrio contar con los
dedos de las manos y los pies. A alguien mas se le ocurrio contar las divisiones que tenemos
en los dedos menique, anular, medio e ındice (tres en cada dedo, lo que hace un total de
doce divisiones, encontrandonos con las docenas y, que si vemos en la otra mano cinco dedos,
vemos que podemos contar ası hasta sesenta, que es igual a cinco docenas) y ası, poco a poco
el hombre fue creando formas cada vez mas comodas de contar.
7
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Los Griegos usaron un sistema de numeracion decimal (Al decir decimal nos referimos al he-
cho de que se cuenta de diez en diez). Para cada numero asignaron un sımbolo. El numero
uno estaba representado por 1, el dos por II , el tres por III, el cuatro por IV, el cinco por
V, el seis por VI, el siete por VII, el ocho por VIII, el nueve por IX y el diez por X. Tambien
asignaron sımbolos al cincuenta L, al cien C, al quinientos D y al mil M.
Con estos sımbolos podıan formar numeros bastante grandes, para lo cual establecieron ciertas
reglas. Los mayas, a diferencia de los griegos, usaron un sistema vigesimal. En otras palabras,
ellos contaban de veinte en veinte. Esto se atribuye al hecho de que en nuestro cuerpo tenemos
veinte dedos (diez en las manos y otros diez en los pies). Un hecho interesante es que, entre
los aztecas, el numero veinte se decıa Tzontle (en Nahuatl). Tambien, de manera descriptiva a
un buen comerciante le llamaban Tzontle, queriendo indicar que usaba sus veinte dedos para
hacer calculos.
Notese que si tratamos de hacer una suma en alguno de estos sistemas de numeracion es mas
difıcil que en el sistema de numeracion que usamos actualmente. Evidentemente la multipli-
cacion es aun mas difıcil. Esto se debe a que estos sistemas no toman en cuenta la posicion
que tiene cada sımbolo para asignarles algun valor, es decir no son posicionales. En el capıtulo
7 nos encargaremos de estudiar como formar numeros en distintos sistemas de numeracion y
de averiguar la forma de realizar operaciones con estos numeros.
Ademas de contar, con el paso del tiempo aparecieron otras necesidades numericas. Por ejem-
plo, supongamos que un filosofo griego le pregunta a su discıpulo: ”¿Cuanto es cinco menos
cinco?”. Si consideramos que para entonces ellos todavıa no conocıan el cero, entonces el
discıpulo debio haber respondido ”... pues cinco menos cinco no es nada”. Para esa misma
epoca, consideremos a un matematico maya haciendo la misma pregunta a otro. Ellos, que
entonces ya conocıan el cero pueden responder: Cinco menos cinco es cero.”Parece que no hay
diferencia, pero en realidad, poder conceptualizar resultados (es decir, dar interpretaciones
con sımbolos a los fenomenos que vemos), es el gran paso que se dio en la invencion del
cero, pues de esta forma surgieron otras preguntas como ”¿Que numero debo sumar a 5 para
obtener cero?”, lo cual dio origen a los numeros negativos.
De una forma similar surgieron seguramente tambien los numeros racionales, por ejemplo,
imaginemos que alguien se pregunto: ”¿Por que numero debo multiplicar al numero dos para
obtener como resultado el numero uno?”. Evidentemente, el numero buscado no es ni natural,
ni entero, sino racional (El numero buscado es 1/2).
En el presente trabajo veremos la construccion y fundamentacion desde un punto de vista
axiomatico la naturaleza estos conjuntos de numeros.
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Unidad 1
Nocion de estructura algebraica. El sistema
de los numeros naturales
Objetivos
1. Identificar una estructura algebraica mediante la simetrıa de un objeto geometrico.
2. Ejemplificar en una realidad concreta las propiedades de los grupos y anillos.
3. Definir las propiedades de un grupo, anillo, cuerpo.
4. Mostrar la construccion axiomatica del sistema algebraico de los numeros naturales.
5. Demostrar y ejemplificar las propiedades del sistema de los numeros naturales.
Contextualizando: Simetrıas de las moleculas
El uso de la teorıa de grupos por los quımicos para determinar las
propiedades de las moleculas es un procedimiento bien establecido.
Desde el punto de vista matematico la mayor parte de los grupos que
aparecen que pueden aparecer como grupos de simetrıas de molecu-
las aisladas son muy sencillos, con excepcion hecha del grupo alter-
nante A5. En 1985 una familia de moleculas fue descubierta por los
investigadores H. Kroto de Inglatera y R. S. Smalley y R. Curl de
EUA mientras realizaban trabajos de astrofısica tratando de encon-
trar nuevas moleculas de carbon. Las moleculas que encontraron son
arreglos tridimensionales de atomos de carbono (desde 24 atomos hasta miles de ellos) y les
dieron el nombre de fulerenos en honor al arquitecto Buckminster Fuller, quien construyo
domos geodesicos con el mismo tipo de estructura. Por su descubrimiento recibieron el premio
nobel de Quımica de 1996.
La figura de abajo muestra la representacion matematica de la molecula del agua. En ella
observamos que esta molecula esta modelada por un triangulo equilatero. Los sistemas fısicos,
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como por ejemplo las moleculas para su estudio adecuado deben ser representados de tal man-
era que se puedan rescatar y en cierta forma manipular sus propiedades intrınsecas, por ejem-
plo sus propiedades de simetrıa. El universo de las moleculas esta clasificado de acuerdo a
la simetrıa de estas (movimientos que dejan invariante al objeto mediante rotaciones y re-
flexiones), la moleculas planas mas simetricas estan modelas por los polıgonos regulares y las
moleculas tridimensionales por los cinco poliedros regulares, esta clasificacion es necesaria
pues, por ejemplo tanto en quımica como en fısica lo que se requiere es predecir el compor-
tamiento de estas al combinarlas. En el universo existen conjuntos que al operar sus elementos
siempre cumplen determinadas propiedades , como por ejemplo el conjunto de las simetrıas
de una molecula . A los conjuntos dotados de una operacion y con ciertas propiedades se les
dara el nombre de Grupo.1
A
B
C
Rotaciones
1
1
1
1
2
2 2
2
3
3
3 3
ρ0
ρρ1 2
Reflexiones
1 1 12 2 2
3 3 3
1Algebra en todas partes. Jose De la Pena
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En forma matricial las rotaciones y las reflexiones, estan determinadas por:
ρ0 =
(1 2 3
1 2 3
), µ1 =
(1 2 3
1 3 2
)
ρ1 =
(1 2 3
2 3 1
), µ2 =
(1 2 3
3 2 1
)
ρ2 =
(1 2 3
3 1 2
), µ3 =
(1 2 3
2 1 3
)
Se operan de la siguiente forma:
ρ1 ◦ ρ2 =
(1 2 3
2 3 1
)◦(
1 2 3
3 1 2
)=
(1 2 3
2 3 1
)= ρ0
ρ1 ◦ µ3 =
(1 2 3
3 1 2
)◦(
1 2 3
2 1 3
)=
(1 2 3
3 2 1
)= µ2
Todas las operaciones posibles se muestran en la siguiente tabla:
◦ ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3
ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3
ρ1 ρ1 ρ2 ρ0 µ2 µ3 µ1
ρ2 ρ2 ρ0 ρ1 µ3 µ1 µ2
µ1 µ1 µ3 µ2 ρ0 ρ2 ρ1
µ2 µ2 µ1 µ3 ρ1 ρ0 ρ2
µ3 µ3 µ2 µ1 ρ2 ρ1 ρ0
El conjunto de las simetrıas observadas en general en un objeto, de alguna forma se pueden
operar entre ellas. Esta nocion de un conjunto y una operacion en el, y que cumplen ciertas
propiedades, se le llamara grupo.
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DESARROLLO TEMATICO
Penetran en un pais de maravillas.
Sonando mientras pasan los dias,
Sonando mientras mueren los estıos
Alicia a traves del espejo, LEWIS CARROLL
1.1. Sesion 1: Estructuras Algebraicas,definicion de grupo.
Contextualizacion: Los cristales Mosaicos de la naturaleza
Los cristales han ejercido una fascinacion especial en los hombres. Las excavaciones hechas
por investigadores en algunas cuevas en China muestran que el hombre de Pekin coleccionaba
cristales de cuarzo hace 40000 anos. Los cristales se distinguen por sus colores, sus brillos,
pero sobre todo por sus formas.
Cuando se observa un cristal bruto, su apariencia se distingue claramente de una roca vulgar.
Sus caras son practicamente planas, su cuerpo presenta grandes simetrıas. La pirita viene en
cubos, la fluorita y los diamantes en forma de octaedro ¿ Por que?
La forma de un cristal esta determinada por los componentes mas pequenos, atomos y molecu-
las, que lo integran. En el espacio, los atomos que forman los cristales se unen como piezas de
rompecabezas. Pero hay pocas piezas de rompecabezas que puedan utilizarse: en el diamante,
todas las piezas del rompecabezas son atomos de carbono; en la sal, hay atomos de cloro y
de sodio.
A mediados del siglo pasado, algunos cientıficos pensaron que el comportamiento fısico de los
diferentes cristales deberıa estar determinado por su estructura geometrica, por sus simetrias.
Los intentos por estudiar los cristales de esta forma fueron iniciados por Weiss en 1804 y Hes-
sel en 1830. Bravais redescubrio los resultados de Hessel en 1848 y obtuvo la clasificacion de
los grupos cristalograficos puntuales, es decir, ls simetrias cristalinas con respecto a un punto
fijo. Finalmente, la clasificacion de los grupos cristalograficos fue obtenida por el quımico
ruso Fedorov en 1885, (existen 32 grupos cristalograficos clasificados respecto a tres tipos de
simetrıas:rotacional, axial y traslacional ). Pero no fue sino hasta 1913 que Laue,usando el
metodo de difraccion por rayos X, pudo describir la estructura de los cristales y demostro que
estaban formados por arreglos de atomos como un rompecabezas.2
Definicion 1.1. Sea G un conjunto no vacıo donde esta definida una operacion interna
2Algebra en todas partes. Jose De la Pena
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denotada por
∗ : G × G → G
(x, y) 7→ x ∗ y
Decimos que el par (G, ∗) es un grupo si se cumplen las siguientes propiedades:
G1) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c , ∀a, b, c ∈ G
G2) ∃ e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a , ∀a ∈ G
G3) ∀a ∈ G, ∃b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e
Si en un grupo (G, ∗) se verifica la propiedad:
G4) a ∗ b = b ∗ a , ∀a, b ∈ G
decimos que el grupo (G, ∗) es un grupo abeliano.
Ejemplo 1.1. Sea S un conjunto no vacıo
B(S) = {f : S → S/f es biyeccion}
entonces, (B(S), ◦), donde ◦ es la composicion de funciones, es un grupo.
Ejemplo 1.2. Si R∗ = R−{0} y · es el producto usual de numeros reales, (R∗, ·) es un grupo.
Ejemplo 1.3. Si C∗ = C−{0}, C, los numeros complejos y · es el producto usual de numeros
complejos, (C∗, ·) es un grupo.
Ejemplo 1.4. Si Z es el conjunto de los numeros enteros y + es la adicion usual (Z, +) es
un grupo
Ejemplo 1.5. Sea G = (−1, 1) = {x ∈ R,−1 < x < 1}, y definamos en G la operacion *
como sigue:
◦ : G × G → G
(a, b) 7→ a ◦ b =a + b
1 + ab=
b + a
ba + 1= b ◦ a
en donde las operaciones usuales que aparecen entre a◦b y b◦a son las usuales en R, entonces
(G, ◦) es un grupo, pues para todo a, b ∈ G, a ◦ b ∈ G, es facil verificar este hecho, lo dejamos
a cargo del lector.
1. Para todo a, b, c ∈ G, (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
2. 0 ∈ G y a · 0 = a+01+0a
3. Dado a ∈ G, existe b = −a ∈ G, tal que
a ◦ (−a) = (−a) ◦ a =a + (−a)
1 + (−a)a= 0.
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El lector puede verificar estos hechos.
Ejemplo 1.6. Sea M2(R) el conjunto de todas las matrices de orden 2 cuyos elementos son
numeros reales, en el cual se define la operacion
(a b
c d
)+
(e f
g h
)=
(a + e b + f
c + g d + h
)
para todo par de matrices
(a b
c d
),
(e f
g h
)de M2(R). Puede probarse facilmente que
(M2(R), +) es un grupo abeliano. Si a la matriz A =
(a b
c d
)∈ M2(R) le asociamos la
aplicacion lineal TA : R2 → R2 dada por
TA
((x
y
))= A
(x
y
)=
(a b
c d
)(x
y
)=
(ax + by
cx + dy
)
se tiene que el conjunto M2(R) esta en correspondencia biyectiva con el conjunto de las
aplicaciones lineales de R2 en R2; ademas
TA+B
((x
y
))= (A + B)
(x
y
)= A
(x
y
)+ B
(x
y
)= (TA + TB)
((x
y
))
Debido a esta igualdad se obtiene que el conjunto de las aplicaciones lineales de R2 en R2 con
la operacion + es un grupo abeliano.
Con respecto a la multiplicacion de matrices el conjunto M2(R) no es un grupo; el inverso
de una matriz A = M2(R) solo esta definido si su determinante es distinto de cero, es decir
det A 6= 0. Esto nos lleva a considerar el subconjunto de M2R formado por las matrices A
tales que det A 6= 0, al cual denominamos GL2(R).
Ejemplo 1.7. Sea el conjunto Z4 = {0, 1, 2, 3}.Definimos
⊕ : Z4 × Z4 → Z4
(a, b) 7→ a ⊕ b = resto (a + b)/4
Para verificar si ⊕ cumple con las condiciones de grupo elaboramos al siguiente tabla
⊕ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
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1) Cerradura: a, b ∈ Z4 entonces a ⊕ b ∈ Z4.
Por ejemplo
2 ∈ Z4 y 1 ∈ Z4 ⇒ 2 ⊕ 1 = 3 ∈ Z4
2 ∈ Z4 y 3 ∈ Z4 ⇒ 2 ⊕ 3 = 1 ∈ Z4
2) Asociativa: a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c , ∀a, b, c ∈ Z4.
Por ejemplo
(1 ⊕ 2) ⊕ 3 = 1 ⊕ (2 ⊕ 3)
3 ⊕ 3 = 1 ⊕ 1
2 = 2
3) Elemento neutro: ∃ e ∈ Z4 tal que a ⊕ e = e ⊕ a = a , ∀a ∈ Z4.
Por ejemplo
0 ⊕ 2 = 2 ⊕ 0 = 2
3 ⊕ 0 = 0 ⊕ 3 = 3
4) Elemento inverso: ∀a ∈, ∃b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e.
Por ejemplo El inverso de 1 es 3; pues 1 ⊕ 3 = 0
El inverso de 2 es 2; pues 2 ⊕ 2 = 0
Ejemplo 1.8 (Un ejemplo de grupo cociente). Se tiene que (R, +), es un grupo aditivo
definamos en R una relacion de equivalencia de la manera siguiente:
∼: R × R → R
(x, y) → x ∼ y
Definimos la siguiente relacion sobre R: ∀ x, y ∈ R, x ∼ y ↔ x − y ∈ Z o equivalente
x ∼ y ↔ x = y + n, n ∈ Z, afirmamos que “ ∼ ” es una relacion de equivalencia, por el
teorema de la particion toda relacion de equivalencia particiona de manera natural al conjunto
en clases de equivalencia disjuntas dos a dos de tal manera que la union cubre todo el conjunto.
Coleccionamos estas clases de equivalencias en
R
∼ = {[x]/x ∈ R}, donde [x] = {y ∈ R/y ∼ x}
o tambien [x] = {x + n/n ∈ Z}Dotamos a R
∼ de estructura de grupo. Definimos la siguiente operacion:
+ : R∼ × R
∼ → R∼
([x] , [y]) → T ([x], [y]) = [x] + [y] = [x + y]
Luego (R∼ , +) tiene estructura de grupo.
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Ejemplo 1.9. Considere el conjunto S ′ = {z ∈ C/‖z‖ = 1}, donde S ′ representa la circun-
ferencia unitaria en el plano complejo, ahora definiremos una operacion en este conjunto de
la siguiente manera
· : S ′ × S ′ → S ′
(z, w) → ·(z, w) = zw
donde “ · ” es la multiplicacion usual de numeros complejos veamos que propiedades cumple
“ · ” en S ′.
i) Cerradura
∀z ∈ S ′, ∀w ∈ S ′ se debe cumplir que zw ∈ S ′
Como zw ∈ S ′, y ademas: ‖z‖ = 1 y ‖w‖ = 1
como ‖z‖ = 1 ∧ ‖w‖ = 1
→ ‖z‖ · ‖w‖ = 1 · 1 = 1 · · · · · · (α)
pero ‖z · w‖ = 1 · · · · · · (β)
Entonces de (α) y (β) se tiene que, ‖z · w‖ = 1, esto implica que z · w ∈ S ′
ii) Asociativa:
∀z, w, r ∈ S ′ se cumple que z(w · r) = (z · w)r
Como z, w, r ∈ S ′ ⇒ z, w, r ∈ C y tenemos que la multiplicacion de numeros complejos
es asociativa:
z(w · r) = (z · w)r
iii) Existencia del Elemento Neutro
∀ z ∈ S ′, ∃! e ∈ S ′ tal que z · e = e · z = z tomando la ecuacion z · e = z · · · · · · (γ)
z ∈ S ′,⇒ z ∈ C es decir de la forma z = x + iy, donde x, y ∈ R, ‖z‖ =√
x2 + y2 = 1,
luego x2 + y2 = 1. Como e ∈ S ′ ⇒ e ∈ C, es decir de la forma e = e1 + ie2 donde
e1, e2 ∈ R, ‖e‖ =√
e21 + e2
2 = 1, luego e21 + e2
2 = 1 luego reemplazamos en (γ), se tiene:
(x + iy)(e1 + ie2) = (x + iy)
(xe1 − ye2) + (xe2 + ye1)i = x + yi
xe1 − ye2 = x
ye1 + xe2 = y
Aplicando la regla de crammer para determinar e1, e2: luego e tiene la forma e = 1+0i =
1
iv) Elemento inverso
Para cada z ∈ S ′, ∃!w ∈ S ′/z · w = 1 + 0i se tiene que z · w ∈ S ′, es decir z, w ∈ C,
z = x + iy w = w1 + iw2
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tenemos
z · w = 1
(x + iy)(w1 + iw2) = 1
{xw1 − yw2 = 1
yw1 + xw2 = 0
Aplicando la regla de crammer para hallar w1 y w2
w1 =
∣∣∣∣∣1 −y
0 x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x −y
y x
∣∣∣∣∣
, w2 =
∣∣∣∣∣x 1
y 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x −y
y x
∣∣∣∣∣w1 = x w2 = −y
luego: w = x − iy. Por lo tanto (S ′, ·) tiene estructura de grupo
Actividades
1. Sobre el conjunto E = {0, 1, 2, 3, 4} se define una operacion a traves de la tabla de
abajo. Compruebe que dicha operacion satisface todas las propiedades de los grupos a
excepcion de uno
⋆ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 0 4 2 3
2 2 3 0 4 1
3 3 4 1 0 2
4 4 2 3 1 0
2. Analice la estructura algebraica que resulta de dotar al conjunto N con cada una de las
siguientes operaciones:
a) m ⊕ n = max{m, n}b) m � n = m
c) m ⊚ n = m.c.d(m, n)
3. Justificar que el conjunto de los numeros enteros con la operacion suma “ + ” tiene
estructura de grupo abeliano.
4. Considere los siguientes conjuntos
a) M = Conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 × 2 con coeficientes en R
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b) F = Conjunto de las funciones reales de variable real
c) P = Conjunto de los polinomios
Defina sobre estos conjuntos una operacion binaria interna (suma) y justificar que tienen
estructura de grupos.
5. Construya el grupo de simetrıas de los siguientes polıgonos regulares: hexagono, pentagono,
heptagono.
Evariste Galois (1811 – 1832): Creador de la Teorıa de Grupos y Anillos
“Los elegidos de los dioses mueren jovenes”
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1.2. Sesion 2: Definicion de anillo, cuerpo. Ejemplos
Contextualizando:Estructuras Algebraicas y Sistemas informaticos
Al concepto de anillo se llego al observar la semejanza de los comportamientos de los numeros
enteros y de los polinomios desde el punto de vista de la divisibilidad, uno de los problemas
matematicos clasicos. Por lo que respecta al concepto de cuerpo (traduccion de aleman Kor-
per), tambien llamado cuerpo (del ingles Field), se obtuvo por abstraccion, como el de grupo,
a partir de las estructuras algebraicas que iban surgiendo en el estudio de la resubilidad por
radicales de las ecuaciones algebraicas. Los cuerpos finitos, en particular, son la base para la
teorıa de codificacion, disciplina en la que se utilizan anillos de polinomios y espacios vectori-
ales. En las ciencias de la computacion, un programa informatico viene hacer un conjunto de
proposiciones encadenas de una forma logica. El universo de las proposiciones logicas, asoci-
adas con los operadores conjuncion, disyuncion, negacion, condicional, ademas de la nocion
de cero en este caso una falsedad y del 1 como una verdad, obedece a las leyes de una es-
tructura algebraica llamada Algebra de Boole. Esta estructura ayuda a resolver problemas
de optimizacion, como por ejemplo simplificar programas extensos y reducirlos a otros mas
simples. Muchas de las propiedades en este espacio simula lo que sucede en los anillos y en
los cuerpos.
Definicion 1.2. Sea A un conjunto no vacıo y dos operaciones binarias definidas en G deno-
tadas por
⊕ : A × A −→ A ; ⊙ : A × A −→ A(x, y) 7−→ x ⊕ y (x, y) 7−→ x ⊙ y
Decimos que la terna (A,⊕, ·) tiene estructura de anillo si satisface las siguientes propiedades
(A1) (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) ∀ a, b, c ∈ A
(A2) ∃ 0 ∈ A tal que a ⊕ b = b ⊕ a = 0 ∀ a ∈ A
(A3) ∀ a ∈ A ∃ b ∈ A tal que a ⊕ b = b ⊕ a = 0
(A4) a ⊕ b = b ⊕ a ∀ a, b ∈ A
(A5) (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c) ∀ a, b, c ∈ A
(A6) a ⊙ (b ⊕ c) = (a ⊙ b) ⊕ (a · c) ; (a ⊕ b) ⊙ c = (a ⊙ c) ⊕ (b ⊙ c) ∀ a, b, c ∈ A
1. Si un anillo (A,⊕,⊙) satisface la propiedad:
(A7) ∃ 1 ∈ A, 1 6= 0 tal que a ⊙ 1 = 1 ⊙ a = a ∀ a ∈ Adecimos que (A,⊕,⊙) es un anillo con unidad 1.
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2. Si un anillo (A,⊕,⊙) satisface la propiedad:
(A8) a ⊙ b = b ⊙ a ∀ a, b ∈ Adecimos que (A,⊕,⊙) es un anillo conmutativo.
3. Si un anillo (A,⊕,⊙) satisface la propiedad:
(A9) a, b ∈ A, a ⊙ b = 0 =⇒ a = 0 o b = 0
decimos que (A,⊕,⊙) es un anillo sin divisores de cero.
4. Si (A,⊕,⊙) es un anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero, decimos que
(A,⊕,⊙) es un dominio de integridad.
5. Si (A,⊕,⊙) es un dominio de integridad que satisface la propiedad:
(A10) ∀ a ∈ A, a 6= 0, ∃ b ∈ A tal que a ⊙ b = b ⊙ a = 1
decimos que (A,⊕,⊙) es un Cuerpo.
Ejemplo 1.10. (Z, +, ·) es un ejemplo de un anillo conmutativo con unidad. (R, +, ·), (C, +, ·)son ejemplos de cuerpos.
Ejemplo 1.11. Z y Z[√
2] = {a + b√
2 : a, b ∈ Z} son ejemplos de dominios de integridad
que son cuerpos.
Ejemplo 1.12. Q, Q[√
2] y Zp con p primo son todos ejemplos de cuerpos.
Ejemplo 1.13. Z[√
p] = {a+b√
p : a, b ∈ Z} son dominios de integridad que no son cuerpos.
Ejemplo 1.14. Q[√
p] = {a + b√
p : a, b ∈ Q} son ejemplos de cuerpo (p primo).
Ejemplo 1.15. Sea A = F(R) = {f : R −→ R/f es funcion}. Definiendo las siguientes
operaciones
+ : A × A −→ A donde (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ R
(f, g) 7−→ f + g
⊙ : A × A −→ A donde (f · g)(x) = f(x) · g(x) ∀ x ∈ R
(f, g) 7−→ f ⊙ g
se tiene que (A, +, ·) es un anillo.
Ejemplo 1.16. Sean K = R2 = R × R = {(x1, x2)|x1 ∈ R, x2 ∈ R}.Consideremos las siguientes operaciones:
+ : R2 × R2 −→ R2
· : R × R2 −→ R2
definidas por:
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) (1.1)
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α(x1, x2) = (αx1, αx2) (1.2)
Verifiquemos que (R2, +, ·) tiene estructura de anillo.
Sean (x1, x2), (y1, y2), (z1, z2) en R2 y α, β ∈ R se tiene:
A1) (x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)] = [(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2).
En efecto:
(x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)] = (x1, x2) + (y1 + z1, y2 + z2) por (1.1)
= (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2)) por (1.1)
= ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2) por asociatividad
de la suma en R
= (x1 + y1, x2 + y2) + (z1, z2) por (1.1)
= [(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2) por (1.1)
∴ (x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)] = [(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2)
A2) (x1, x2) + (y1, y2) = (y1, y2) + (x1, x2)
En efecto:
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) por (1.1)
= (y1 + x1, y2 + x2) por conmutatividad
de la suma en R= (y1, y2) + (x1, x2) por (1.1)
∴ (x1, x2) + (y1, y2) = (y1, y2) + (x1, x2)
A3) Existe (0, 0) ∈ R2 tal que:
(x1, x2) + (0, 0) = (x1 + 0, x2 + 0) = (x1, x2)
A4) Existe (−x1,−x2) ∈ R2 tal que:
(x1, x2) + (−x1,−x2) = (x1 + (−x1), x2 + (−x2)) = (0, 0)
A5) α(β(x1, x2)) = (αβ)(x1, x2)
En efecto:α(β(x1, x2)) = α(βx1, βx2) por (1.2)
= (α(βx1), α(βx2)) por (1.2)
= ((αβ)x1, (αβ)x2) por asociatividad
del producto en R= (αβ)(x1, x2) por (1.2)
α(β(x1, x2)) = (αβ)(x1, x2)
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A6) α[(x1, x2) + (y1, y2)] = α(x1, x2) + α(y1, y2)
En efecto:
α[(x1, x2) + (y1, y2)] = α(x1 + y1, x2 + y2) por (1.1)
= (α(x1 + y1), α(x2 + y2)) por (1.2)
= (αx1 + αy1, αx2 + αy2) por distributibidad del
producto con respecto a la suma en R
= (αx1, αx2) + (αy1, αy2) por (1.2)
= α(x1, x2) + α(y1, y2) por (1.2)
∴ α[(x1, x2) + (y1, y2]) = α(x1, x2) + α(y1, y2)
A7) (α + β)(x1, x2) = α(x1, x2) + β(x1, x2)
En efecto:
(α + β)(x1, x2) = ((α + β)x1, (α + β)x2) por (1.2)
= (αx1 + βx1, αx2 + βx2) por distributividad del
producto respecto a la suma en R
= (αx1, αx2) + (βx1, βx2) por (1.1)
= α(x1, x2) + β(x1, x2) por (1.2)
∴ (α + β)(x1, x2) = α(x1, x2) + β(x1, x2)
A8) 1(x1, x2) = (1 · x1, 1 · x2) = (x1, x2)
Generalizando el ejemplo anterior
Ejemplo 1.17. Consideremos el conjunto Rn de todas las n−uplas de numeros reales, es
decir:
K = Rn = R × R × · · · × R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}
Se demuestra que Rn es un cuerpo con las siguientes operaciones
+ : Rn × Rn −→ Rn
(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) −→ (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
y
· : R × Rn −→ Rn
(α, x1, x2, . . . , xn) −→ α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn)
la demostracion es analoga a la del ejemplo anterior.
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Ejemplo 1.18. En R2 se definen la suma como en el ejemplo 1.16 y el producto escalar como
sigue
· : R × R2 −→ R2
(α, (x1, x2)) −→ α(x1, x2) = (αx1, x2)
Este producto verifica los axiomas A5, A6 y A8, pero no verifica A7.
En efecto:
Si α, β ∈ R y (x1, x2) ∈ R2 se tiene
(α + β)(x1, x2) = ((α + β)x1, x2) = (αx1 + βx1, x2)
por otra parte,
α(x1, x2) + β(x1, x2) = (αx1, x2) + (βx1, x2) = (αx1 + βx1, 2x2)
Luego
(α + β)(x1, x2) = α(x1, x2) + β(x1, x2) si y solo si x2 = 0
Este hecho permite afirmar que R2, con estas operaciones, no es un cuerpo.
Actividades
1. Estudie las propiedades de la estructura algebraica (N,⊕,△) donde m ⊕ n = 3m + 2 y
m△n = 4nm.
¿Tiene estructura de anillo?, ¿tiene estructura de cuerpo?
2. Si (G, +) es un grupo conmutativo con elemento neutro 0, y se define una segunda
operacion x△y = 0 cualesquiera que sean x e y en G, ¿que estructura tiene (G, +,△)?
3. Respecto a la pregunta anterior. Se pide lo mismo cuando la operacion sobre G es
x � y = y.
4. Considere los siguientes conjuntos
a) M = Conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 × 2 con coeficientes en R
b) F = Conjunto de las funciones reales de variable real
c) P = conjunto de los polinomios
Defina sobre estos conjuntos operaciones binarias internas (suma y producto) y justificar
cuales de ellas tienen estructura de anillo o de cuerpo.
5. Justificar que los conjuntos numericos R, Q y C tienen estructura de cuerpo
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1.3. Sesion 3: El Sistema de los Numeros Naturales N:
definicion axiomatica de N
Dios hizo los numeros naturales,
lo demas es creacion de los hombres.
Giuseppe Peano
Contextualizando: Los numeros naturales
En las sociedades prehistoricas cazadores y recolectores se plantean ya, que aunque sea a
pequena escala, la necesidad de responder a la pregunta ¿Cuantos hay? o ¿Cuantos son?
Tambien aparece la necesidad de establecer un orden de actuacion ¿que se hace primero?
¿que interviene en segundo lugar?,etc.
A partir de esas necesidades sociales de cuantificar la diversificacion de sus actividades el
hombre tuvo la necesidad de crear sımbolos y procesos numericos en las que se desarrollan
diferentes tecnicas de recuento que han ido evolucionando a lo largo de la historia. En nuestra
sociedad se utiliza predominantemente una tecnica de recuento con palabras, aun cuando se
conservan vestigios de otras varias tecnicas.
Cada coleccion de “Objetos numericos”vamos a llamarla “sistema numeral.o sistema de rep-
resentacion numerica. El hecho de que dos colecciones de objetos sean coordinables se expresa
diciendo que representan el mismo numero. Des este modo los numeros son objetos como
pueden ser una mesa, un perro, etc; se dice que son “objetos ideales.o abstractos. Los primeros
registros del uso de la notacion posicional los encontramos en babilonia a fines de 2500 a.c.
Existen diversas maneras de introducir formalmente el sistema de los numeros naturales.
Giussepe Peano introdujo este sistema usando el metodo axiomatico, considero tres concep-
tos primitivos: cero, uno y sucesor y cinco axiomas, a partir de los cuales desarrollo toda
la teorıa del numero natural. En cambio, George Cantor definio el sistema de los numeros
naturales a partir de la teorıa de conjuntos finitos, utilizando una adecuada relacion de equiv-
alencia denominada equipotencia y el teorema de la particion que afirma que toda relacion
de equivalencia definida sobre un conjunto C determina una particion de C.
1.3.1. Definicion Axiomatica de N
Por razones didacticas se definira el Sistema de los Numeros Naturales, utilizando un conjun-
to de axiomas “superabundante” el cual se ira ampliando progresivamente, agregando nuevos
axiomas y usando el lenguaje de las funciones que permitira definir, sucesivamente, conjuntos
mas “grandes” a los cuales se llamaran: Sistema de Numeros Enteros Z, Sistema de Numeros
Racionales Q y Sistema de Numeros Reales R. Los axiomas que se agregan para “ampliar”los
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sistemas permitiran, desde el punto de vista aritmetico, “generalizar”las operaciones de sus-
traccion, division y radicacion, y, desde el punto de vista algebraico, resolver ecuaciones cada
vez mas complicadas. El Sistema de los Numeros Naturales es un conjunto, denotado
por N, provisto de dos operaciones internas: adicion y multiplicacion.
La adicion es una operacion interna en N, que asocia a cada par de numeros naturales
(a, b) ∈ N × N un unico numero natural llamado suma de a y b y que se denota por
a + b ∈ N.
Simbolicamente: + : N × N → N, tal que (a, b) → a + b
Los numeros naturales a y b reciben el nombre de sumandos.
La multiplicacion es una operacion interna en N, que asocia a cada par de numeros
naturales (a, b) ∈ N × N un unico numero natural llamado producto de a y b y que se
denota a · b ∈ N o simplemente ab.
Simbolicamente: · : N × N → N, tal que (a, b) → a · bLos numeros a y b reciben el nombre de factores.
La adicion y la multiplicacion satisfacen los siguientes axiomas:
AXIOMAS ADICION MULTIPLICACION
Conmutatividad N1) a + b = b + a
∀ a, b ∈ NN5) a · b = b · a
∀ a, b ∈ N
Asociatividad N2) (a + b) + c = a + (b + c)
∀ a, b, c ∈ N
N6) (a · b) · c = a · (b · c)
∀ a, b, c ∈ N
Existencia
del Elemento
Neutro
N3) Existe un unico numero
natural llamado cero
denotado por 0, tal que:
a + 0 = a ∀a ∈ N
N7) Existe un unico
numero natural lla-
mado uno denotado
por 1, 1 6= 0 tal que:
a · 1 = a ∀a ∈ N
Ley de
Cancelacion
N4) Si a+c = b+c ⇒ a = b
∀ a, b, c ∈ NN8) Si a · c = b · c ⇒ a = b
∀ a, b, c ∈ N
Distributividad N5) a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ N
Definicion 1.3. Sean a y b dos numeros naturales. Se dice que a es menor que b, y se denota
a < b si, y solo si, existe un numero natural c 6= 0 tal que a + c = b
. Simbolicamente:
a < b ⇔ ∃ c ∈ N, c 6= 0/a + c = b
La relacion menor satisface los siguientes axiomas:
Tricotomıa N10) Para todo a, b ∈ N se cumple una y solo una de las
siguientes posibilidades: a < b; a = b; b < a.
Buen Orden N11) Todo subconjunto no vacıo A ⊂ N posee un elemento
mınimo m ∈ A; es decir, m < a ∨ m = a ∀ a ∈ A.
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Observaciones:
1. Los axiomas de la conmutatividad y asociatividad permiten sumar tres o mas numeros
con facilidad, asociando los sumandos y modificando el orden segun convenga.
Ejemplo:
20 + 35 + 60 = (20 + 35) + 60 = 55 + 60 = 115
20 + 35 + 60 = 20 + (35 + 60) = 20 + 95 = 115
O mas generalmente
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
2. Como a(b + c) = ab + ac, aplicando la propiedad simetrica de la igualdad se sigue que
ab + ac = a(b + c), que es conocida en el algebra elemental como factorizacion. Por
ejemplo:
Factor comun:
3a + 3ab + 6ac = 3a(1 + b + 2c)
Agrupar terminos semejantes:
2a + 3b + 5a + 10b = (2 + 5)a + (3 + 10)b = 7a + 13b
3. Aplicando la propiedad conmutativa de la adicion y multiplicacion en las igualdades
a + c = b + c y ac = bc, las propiedades de cancelacion pueden escribirse tambien:
c + a = c + b ⇒ a = b y ca = cb ∧ c 6= 0 ⇒ a = b
Nota Importante:
Cuando se define un Sistema Numerico como un conjunto provisto de ciertas operaciones,
queda tacitamente establecido que se cumplen todos los axiomas de la Teorıa de Conjuntos y
todas las relaciones con sus propiedades que pueden definirse en el; en particular, la relacion
de Igualdad, que, obviamente, goza de las propiedades: reflexiva, simetrica y transitiva.
A continuacion, se enuncia algunas propiedades importantes de la adicion y multiplicacion,
que se pueden demostrar usando los axiomas, las propiedades de la igualdad, el axioma de
Sustitucion y otras propiedades anteriormente mencionadas.
Teorema 1.1. Dado los numeros naturales a, b y c, se cumplen las siguientes propiedades:
a) Si a = b ⇒ a + c = b + c ∧ c + a = c + b
b) Si a = b ⇒ a · c = b · c
c) Si a = b y c = d ⇒ a + c = b + d
d) Si a = b y c = d ⇒ a · c = b · d
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Demostracion. 1. [a)]a + c = a + c por la propiedad reflexiva de la igualdad; luego como
a = b por hipotesis aplicando el axioma de sustitucion (reemplazando a por b en el
segundo miembro de la igualdad), resulta a + c = b + c.
Aplicando la propiedad conmutativa de la igualdad, se tiene que c + a = c + b.
c) Por lo que se acaba de demostrar, si a = b y c = d entonces a+ c = b+ c y b+ c = b+d,
luego aplicando la propiedad transitiva de la igualdad resulta a + c = b + d.
Las propiedades b) y d) se demuestran de manera analoga.
Observaciones:
Estas propiedades se enuncian en algunos textos, como sigue: “Si a ambos miembros de una
igualdad se suma o multiplica un mismo numero, la igualdad no varıa”, y “si se suman o
multiplican miembro a miembro los terminos de dos igualdades, la igualdad se mantiene”,
etc.
A continuacion, y a modo de ejemplo, se demostrara el teorema que establece que el producto
de cualquier numero natural por cero es cero; no solo por su importancia en sı mismo, sino
porque su demostracion es una bella ilustracion del uso ingenioso de los axiomas y propiedades
anteriormente enunciadas. Observe que esta propiedad no es un axioma de los numeros nat-
urales y por lo tanto debe ser demostrada.
Teorema 1.2. Para todo a ∈ N se tiene que a,0 = 0.
Demostracion. De:
a · 0 + a · 0 = a(0 + 0) (propiedad distributiva)
resulta
a · 0 + a · 0 = a · 0 (propiedad del elemento neutro)
pero
a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 (propiedad del elemento neutro)
luego, cancelando a · 0 se tiene a · 0 = 0.
Teorema 1.3. Si a y b son numeros naturales, ab = 0 si, y solo si, a = 0 o b = 0.
Demostracion. Para todo numero natural a, se tiene: a = 0 o a 6= 0. Si a = 0, el teorema ya
esta demostrado.
Si a 6= 0, como ab = 0 y a · 0 = 0, por la propiedad transitiva, ab = a · 0, luego, aplicando la
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propiedad de cancelacion (pues a 6= 0), se tiene b = 0. Por lo tanto, si ab = 0, entonces a = 0
o b = 0.
Recıprocamente, si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0, por el teorema anterior (1.2).
Corolario 1.1. ∀ a, b ∈ N, a 6= 0 y a 6= 0 si, y solo si, ab 6= 0
Definicion 1.4. Sean a y b dos numeros naturales. Se dice que b es mayor que a, y se denota
b > a si, y solo si, a es menor que b.
Simbolicamente:
b > a ⇔ a < b
Analogamente se dice que:
“a es menor o igual que b” y se denota a ≤ b si, y solo si, a < b o a = b.
Simbolicamente:
a ≤ b ⇔ a < b ∧ a = b
“a es mayor o igual que b” y se denota a ≥ b si, y solo si, a > b o a = b.
Simbolicamente:
a ≥ b ⇔ a > b ∧ a = b
Observacion:
La negacion de a < b se denota por a ≮ b y significa que a ≥ b en virtud del axioma de
tricotomıa
Teorema 1.4.
a) Para todo numero natural a 6= 0, se tiene que 0 < a. En particular 0 < 1
b) Si a > 0, entonces a + b > b, ∀ b ∈ N
Demostracion.
a) Por la propiedad del elemento neutro, 0+a = a, luego existe a ∈ N y a 6= 0 (hipotesis), tal
que 0 + a = a, de donde aplicando la definicion de la relacion menor, se tiene que 0 < a.
Como consecuencia de esta afirmacion se sigue que todo numero natural a es mayor o igual
que cero; es decir a ≥ 0.
b) Como a 6= 0, por definicion de la relacion menor ∀ b ∈ N a+b = b+a, implica que a+b > b.
Corolario 1.2. Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 y a · b > 0
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Demostracion. Por hipotesis, a > 0, luego, por tricotomıa, a 6= 0. Supongamos que a + b = 0
entonces, como a 6= 0 se tendrıa b < 0 lo que contradice el teorema (1.4 a). Ası a + b 6= 0 y
por lo tanto a + b > 0.
Como a · b es un numero natural, entonces a · b > 0 o a · b = 0.
Si fuera a · b = 0, como tambien 0 = 0 · b (teorema 1.2), por transitividad se tendrıa que
a · b = 0 · b y siendo b 6= 0 (por hipotesis), aplicando la propiedad de cancelacion resultarıa
a = 0, lo cual es imposible pues a > 0 (por hipotesis).
Es decir, la afirmacion a · b = 0 es falsa y por tanto a · b > 0.
Como consecuencia de este teorema, se tiene la siguiente igualdad de conjuntos:
{a ∈ N/a 6= 0} = {a ∈ N/a > 0}
Esta igualdad indica que el conjunto formado por todos los numeros naturales diferentes de
cero es igual al conjunto de todos los numeros naturales mayores que cero. Tal conjunto se
denotara por N+ y se llamara el “conjunto de los numeros naturales positivos”. Ası,
N+ = {a ∈ N/a > 0} = N − {0} o N = N+ ∪ {0}
Teorema 1.5. Dado los numeros naturales a, b, c, se cumplen las siguientes propiedades:
a) Si a < b ∧ b < c ⇒ a < c (Transitividad)
b) Si a < b ⇒ a + c < b + c (Monotonıa)
c) Si a < b ∧ c > 0 ⇒ ac < bc (Monotonıa)
d) Si a + c < b + c ⇒ a < b (Cancelacion)
e) Si a · c < b · c ∧ c > 0 ⇒ a < b (Cancelacion)
Demostracion.
a) Por definicion, si a < b y b < c, existen d > 0 y e > 0 tales que a + d = b y b + e = c.
Luego (a + d) + e = b + e (Teorema 1.1(a)), pero b + e = c, entonces por sustitucion y la
propiedad asociativa se tiene a + (d + e) = c.
Como d > 0 y e > 0, entonces d + e > 0, (Teorema 1.4(b)), luego se sigue de la definicion
de la relacion menor que a < c.
b) Si a < b, por definicion existe d ∈ N+ tal que a + d = b luego
(a + d) + c = b + c (Teorema 1.1(a))
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o sea
(a + c) + d = b + c (propiedad asociativa y conmutativa)
lo q implica que
a + c < b + c (definicion de la relacion menor)
c) Si a < b, existe d ∈ N+ tal que a + d = b luego
(a + d) · c = b · c (Teorema 1.1(a))
(a · c + d) · c = b · c (propiedad distributiva)
Como
d · c > 0, pues d > 0 y c > 0 (Teorema 1.4(b))
Si sigue que
a · c < b · c (definicion de la relacion menor)
d) Si a + c < b + c, entonces existe d ∈ N+ tal que
(a + c) + d = b + c (definicion de <)
o sea
(a + d) + c = b + c prop. asociativa y conmutativa
luego
a + d = b (axiomas de cancelacion)
Como d > 0 se sigue que
a < b (definicion de <)
Teorema 1.6. Dado el numero natural a, siempre existe un numero natural n tal que
n > a.
Demostracion. En efecto, basta considerar n = a + 1 pues como 1 > 0, se sigue que n =
a + 1 > a + 0 = a, por la propiedad de monotonıa y elemento neutro, lo cual implica que
n > a.
Definicion 1.5. A continuacion se introduce nuevos sımbolos para representar otros numeros
naturales distintos de 0 y 1. Ası se define:
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2 = 1 + 1 que se lee “dos”
3 = 2 + 1 que se lee “tres”
4 = 3 + 1 que se lee “cuatro”
5 = 4 + 1 que se lee “cinco”
6 = 5 + 1 que se lee “seis”
7 = 6 + 1 que se lee “siete”
8 = 7 + 1 que se lee “ocho”
9 = 8 + 1 que se lee “nueve”
10 = 9 + 1 que se lee “diez”
Y ası, 2 ∈ N, 3 ∈ N, 4 ∈ N, 5 ∈ N, 6 ∈ N, . . . , etc. y se pueden calcular sumas y productos
sencillos, demostrando que los resultados se obtienen usando las definiciones y axiomas, como
por ejemplo:
3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3 + 1) + 1 = 4 + 1 = 5
3 · 2 = 3 · (1 + 1) = 3 · +3 · 1 = 3 + (2 + 1) = (3 + 2) + 1 = 5 + 1 = 6
Ademas
1 < 2 pues existe 1 ∈ N+ tal que 1 + 1 = 2
2 < 3 pues existe 1 ∈ N+ tal que 2 + 1 = 3
En general, se prueba que a < a + 1 para todo a ∈ N luego:
0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < · · ·
Posteriormente, se demuestra que no existe un numero natural entre 0 y 1 y en general, no
existe numero natural entre a y a + 1, con a ∈ N.
Observacion:
Algunos autores no consideran al cero como numero natural y definen los numeros naturales a
partir del 1. Matematicamente este hecho no constituye ningun problema ya que se demuestra
que estas dos formas de definir N son equivalentes. Nosotros, como hacen la gran mayorıa de
matematicos, entre ellos Peano, el primero que dio una definicion axiomatica del conjunto de
los Numeros Naturales, se ha considerado al cero como numero natural, entre otras cosas por
las siguientes razones:
- Considerar un elemento neutro para la adicion en N.
- Considerar en el sistema de numeracion decimal la cifra natural 0 de manera que se pueda
escribir en N, 405 = 4 × 102 + 0 × 10 + 5, como un polinomio en “variable”x = 10, con
coeficientes en N.
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- Al usar en el criterio de divisibilidad en N, por ejemplo un numero es divisible por 5 si la
cifra de las unidades es multiplo de 5, es decir 0 o 5, vistos como numeros naturales, etc.
Si no se considera al 0 como numero natural entonces se extiende N al conjunto N ∪ {0},extendiendo tambien sus operaciones.
Actividades
1. Escriba los modelos logicos de las proposiciones dadas en esta sesion.
2. Respecto a las definiciones, identificar las condiciones necesarias y suficientes
3. Un estudiante se encuentra frente a una fuente de agua y se le proporcionan dos envases
no graduados de 3 y 5 galones de capacidad. El debe conseguir, haciendo uso solamente
de dichos galones, medir exactamente cuatro galones de agua.
a) ¿Como resolver la tarea encomendada?
b) ¿Como se resolverıa el problema si los recipientes fueran de 5 galones y 11 galones?
c) ¿Cual es el mınimo volumen que se puede lograr si se dispone de 2 recipientes, uno
de 4 galones y el otro de 6 galones de capacidad?
4. Un negocio se inicia con un capital de 20 000 soles. Si los primeros 7 meses se ha tenido
una perdida de 400 soles y los siguientes meses se ha ganado a razon de 1200 por mes.
¿Despues de cuanto tiempo de iniciado el negocio el capital se ha duplicado?
5. El ministro de Economıa de cierto paıs ha decidido que en ese paıs deben usarse unica-
mente monedas de valores 4 y 7 Lunas, siendo una Luna su unidad monetaria. ¿Que val-
ores, en numeros naturales, no se pueden pagar exactamente con estas monedas? Por
ejemplo, no se puede pagar exactamente 6 Lunas, pero si se puede pagar 38 Lunas con
seis monedas de 4 y dos monedas de 7.
Para investigar: Encontrar todos los numeros naturales x, y, z mayores que cero, tales
que
1 + 2x3y = z2
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1.4. Sesion 4: Sustraccion y division en N. Aplicaciones
del principio del buen orden
El numero es el origen de todas las cosas
Platon
Contextualizando: Programa de baloncesto
Milagros dirige un programa de baloncesto en Lambayeque. El primer dıa de la temporada
se presentaron 60 jovenes y fueron clasificados por nivel de edad y por su preferencia en la
posicion de juego como se muestra en la siguiente tabla:
Posicion
Guardia (G) Delantero (F) Centro (N) Totales
Secundaria (J) 9 6 4 19
Edad Preparatoria (S) 12 5 9 26
Universidad (C) 5 8 2 15
Totales 26 19 15 60
utilizando el conjunto de etiquetas (letras) en la tabla, encuentre el numero de jugadores que
estan en la edad de preparatoria y que juegan en la posicion de centro.
1.4.1. Sustraccion y Division en N
Definicion 1.6. Dado los numeros naturales a y b, se llama diferencia de a y b, y se denota
a − b, al numero natural c, si existe, tal que a = b + c.
Es decir,
a − b = c ⇔ a = b + c
Ejemplo 1.19.
a) 3-2=1 puesto que existe 1 ∈ N tal que 3=2+1
b) Como 7=4+3 resulta 7-4=3 o tambien, 7-3=4.
c) En cambio, la diferencia 2-3 no existe en N puesto que no hay numero natural x tal que
2 = 3 + x.
d) Mas generalmente, se probara en el siguiente teorema que la ecuacion x + a = b tiene
solucion si a ≤ b.
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Teorema 1.7. Dado los numeros naturales a y b, se cumplen las siguientes propiedades:
a) Si a ≥ b, entonces existe a − b
b) Si a < b, entonces no existe a − b
Demostracion.
a) Si a ≥ b entonces a > b o a = b (definicion de ≥)
Si a > b entonces, existe c ∈ N tal que a = b + c (definicion de >).
Si a = b entonces, existe c = 0 ∈ N tal que a = b + c (propiedad del elemento neutro).
Luego, si a ≥ b existe c ∈ N tal que a = b + c, es decir, por definicion, existe a − b.
b) Sea a < b y se suponga que exista a− b, entonces por definicion de diferencia, existe c ∈ Ntal que a = b + c. Si c = 0, entonces a = b, lo cual es imposible por hipotesis; y, si c > 0,
por definicion de la relacion mayor se tiene que a > b, hecho que tambien contradice a la
hipotesis. Por lo tanto no existe c ∈ ∈ N tal que a = b + c; es decir, no existe a − b.
Teorema 1.8. Sea a, b, c, m ∈ N, y a − b = c, entonces se cumplen las siguientes
propiedades, siempre que cada diferencia exista en N:
a) (a + m) − b = c + m
b) (a − m) − b = c − m
c) a − (b + m) = c − m
d) a − (b − m) = c + m
e) (a + m) − (b + m) = c
f) (a − m) − (b − m)
Demostracion. a) Si a−b = c, por definicion de diferencia, a = b+c, luego a+m = (b+c)+m
(teorema 1.1), y por la propiedad asociativa, a+m = b+(c+m). En consecuencia, aplicando
la definicion de diferencia se tiene (a + m) − b = c + m.
b) Sea d = c−m, entonces, por definicion de diferencia d + m = c, luego (d + m) + b = c + b
(teorema 1.1), y por las propiedades asociativa y conmutativa, se tiene que (d + b) + m =
b + c.
Por otra parte como a − b = c, por definicion de diferencia, a = b + c y aplicando la
propiedad transitiva, a = (d + b) + m. Entonces, aplicando la definicion de diferencia se
tiene a−m = d+ b, y, nuevamente, por la misma definicion, (a−m)− b = d y por axioma
de sustitucion, (a − m) − b = c − m.
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c) Sea d = c−m, entonces, por definicion de diferencia d + m = c, luego (d + m) + b = c + b
(teorema 1.1), y por la propiedad asociativa, se tiene que d + (b + m) = c + b. Por otra
parte, como a − b = c, por definicion de diferencia, a = b + c y aplicando la propiedad
transitiva, a = d + (b + m). Entonces, aplicando la definicion de diferencia se tiene que
a − (b + m) = d y por axioma de sustitucion, a − (b + m) = c − m.
La prueba de d), e) y f) se deja como ejercicio.
Definicion 1.7. Dado los numeros naturales a y b con b 6= 0, se llama cociente de a por b,
y se denota ab, al numero naturales c, si existe, tal que a = b · c.
Es decir ab
= c ⇔ a = bc
Ejemplo 1.20. 1. 4224/6 = 704, pues 4224 = 704 × 6
2. Recıprocamente, 8 × 12 = 96, implica que, 96/8 = 12
3. Pero, no existe el cociente 58/3 puesto que no existe n ∈ N tal que 58 = 3n
Observaciones:
1) a0
no existe por definicion
2) Si 0 < a < b, no existe el cociente ab, pues a = bc ≥ b
3) Sea f la funcion que asigna a cada par de numeros naturales su diferencia, si existe, y sea
g la funcion que asigna a cada par de numeros naturales su cociente, si este existe en N.
Ninguna de estas funciones satisface la definicion de operacion en N, pues no se aplican
sobre todo N × N, de ese modo formalmente la sustraccion y division no son operaciones
binarias en N.
1.4.2. Aplicaciones del Principio del Buen Orden (Axioma N11)
Teorema 1.9. No existe numero natural n, tal que 0 < n < 1
Demostracion. Sea A = {n ∈ N/0 < n < 1}, bastara probar que A = φ
Se supone que A = φ; luego, como A es un subconjunto no vacıo de N, por el axioma del
buen orden, A posee un elemento mınimo m; ası 0 < m < 1. Entonces, multiplicando por
m, tenemos 0 < mm < m < 1, lo que indica que existe un numero mm ∈ A, menor que el
mınimo, lo cual es una contradiccion. Por lo tanto, A = φ.
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Teorema 1.10 (Principio de Induccion Matematica). Sea A un subconjunto de N, tal que:
i) 0 ∈ A
ii) h ∈ A, implica h + 1 ∈ A
Entonces,
A = N
Demostracion. Bastara probar que CA = N − A = φ
Se supone que CA 6= φ, entonces, por el axioma del buen orden, CA posee un mınimo, llamenle
m.
Como m ∈ CA ⇒ m 6∈ A, por ello m 6= 0 (recuerda que por hipotesis (I), 0 ∈ A)
Es decir, m > 0 ⇒ m ≥ 1.
Luego existe m − 1 y ademas m − 1 < m, entonces m − 1 6∈ CA.
Entonces m − 1 ∈ A que, por hipotesis (II), implica que m = (m − 1) + 1 ∈ A, lo cual
contradice el hecho de que m ∈ CA.
Por lo tanto, CA = φ y ası, A = N
Ya se ha visto que no siempre es posible la division de dos numeros naturales; sin embargo,
tenemos el siguiente resultado
Teorema 1.11 (Algoritmo de la Division de Euclides). Si a, b ∈ N con b 6= 0 existen
numeros naturales r y q, unicos, tales que
a = bq + r, con 0 ≤ r < b
a b
r q
Demostracion. Este teorema tiene dos partes: Existencia y Unicidad.
a) Primero se ve la existencia.
Con a y b fijos, se define H como el conjunto de todos los numeros naturales de la forma:
a − nb, con n ∈ N. Es decir,
H = {d ∈ N/d = a − nb, n ∈ N}
o sea
H = {a, a − b, a − 2b, a − 3b, . . .} ⊂ N
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Claramente, H es no vacıo, pues a ∈ H . Por el axioma del Buen Orden, en H existe un
elemento mınimo al que se llamara r; luego, tambien existe un numero natural q tal que
a − bq = r ≥ 0. Ası se ha encontrado dos numeros naturales q y r, que satisfacen:
a = bq + r, y 0 ≤ r
Falta demostrar que r < b. Si se tuviera r ≥ b, resultarıa
r − b ≥ 0 ⇒ (a − bq) − b ≥ 0 ⇒ a − b(q + 1) ∈ H
Pero
a − b(q + 1) = (a − bq) − b < a − bq = r
y esto significa que H tiene un elemento menor que el mınimo, lo cual es absurdo. Entonces
r < b. Con esto se tiene
a = bq + r y 0 ≤ r < b
b) Ahora se ve la unicidad.
Se supone que existen otros numeros naturales q′ y r′ tales que:
a = bq′ + r′ y 0 ≤ r′ < b (1.3)
Entonces
bq + r = bq′ + r′
De donde
r = b(q′ − q) + r y r′ = b(q − q′) + r (1.4)
Luego: Si
q < q′ → q′ − q ≥ 1 → r = b(q′ − q) + r′ ≥ b + r′ ≥ b,
y si
q > q′ → q′ − q ≥ 1 → r = b(q′ − q) + r ≥ b + r ≥ b,
En ambos casos se llega a contradecir el hecho de que r y r′ < b
Entonces q = q′.Luego de 1.4, r = r′
Ejemplo 1.21.
a) Dados los numeros 47 y 8, existen los numeros 5 y 7 tales que
47 = 5 × 8 + 7, 0 ≤ 7 < 8
b) Dados los numeros 6688 y 111, se tienen los numeros 60 y 8 tales que
6668 = 60 × 111 + 8
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c) Dados los numeros 3003 y 231, existen los numeros 13 y 0, naturales, tales que
3003 = 231 × 13 + 0
En la expresion a = bq + r con 0 ≤ r < b, el numero a recibe el nombre de dividendo; b
recibe el nombre de divisor; r el nombre de resto o residuo y q, el nombre de cociente por
defecto (o simplemente cociente). Si el residuo r es cero diremos que la division es exacta.
Ejemplo 1.22. a) Dados los numeros 129 y 15 en N, existen 8 ∈ N y 9 ∈ N tales que
129 = 15 × 8 + 9, 0 ≤ 9 < 15 (division inexacta)
b) Dados los numeros 180 y 36 en N, existen 5 ∈ N y 0 ∈ N, tales que
180 = 36 × 5 + 0 (division exacta)
c) Tono, Yola y Felix son amigos. El sabado fueron a comprar pasajes para ir a un congreso de
matematica. Tono no llevaba dinero, entonces, entre Yola y Felix le hicieron un prestamo
y pagaron los tres pasajes. Yola puso 64 soles y Felix 68 soles. ¿Cuanto debe devolverle
Tono a Yola? ¿Y cuanto a Felix?
Solucion:
Los tres pasajes cuestan (64+68)=132 soles. Cada uno de ellos cuesta 132/3=44 soles. En-
tonces,
Yola presto a Tono (64 − 44) = 20 soles y
Felix presto a Tono (68 − 44) = 24 soles
Luego, Tono debe devolver 20 soles a Yola y 24 soles a Felix.
Problemas Resueltos
Problema 1.1 (*). La comision directiva de una sociedad secreta esta formada por cuatro
personas. Para admitir nuevos socios se rigen los siguientes criterios:
- Votan solamente los 4 integrantes de la directiva, pudiendolo hacer de tres formas:a
favor, en contra o absteniendose.
- Cada aspirante debe obtener por lo menos dos votos a favor y ninguno en contra
En la ultimo reunion de la directiva, se consideran 8 solicitudes de ingreso.
Del total de votos emitidos, resultaron 23 votos a favor, 2 votos en contra y 7 abstenciones.
¿Cual es la mayor y cual es la menor cantidad de solicitudes que pudieron ser aceptadas en
esta ocasion?
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Solucion. Sean A, B, C, D, E, F, G y H los ocho aspirantes.
Como hay votos en contra, al menos un aspirante sera admitido. En efecto, la mayor cantidad
de aspirantes admitidos es 7 cuando solo un aspirante es rechazado. Los votos recibidos por
cada aspirante para este caso pueden ser los siguientes:
Aspirante Votos a favor Votos en contra Abstenciones Situacion final
A 3 - 1 Aceptado
B 3 - 1 Aceptado
C 3 - 1 Aceptado
D 3 - 1 Aceptado
E 3 - 1 Aceptado
F 3 - 1 Aceptado
G 3 - 1 Aceptado
H 2 2 - Rechazado
Total 23 2 7
De otro lado, como solo hay dos votos en contra, 6 aspirantes que no reciben votos en contra.
Estos seis aspirantes recibiran 23−6 = 17 votos a favor (pues los otros dos aspirantes reciben,
en conjunto un maximo de 6 votos a favor).
Para ser rechazado. alguno de estos seis aspirantes, debe recibir al menos tres votos de absten-
cion. Pero como solo hay 7 votos de abstencion, entonces a lo mas pueden ser rechazados dos
de estos seis aspirantes. Esto significa que la menos cuatro de estos seis postulantes que no
reciben votos en contra sera aceptado. En efecto, 4 es la menor cantidad de aspirantes acep-
tados y la tabla siguiente muestra cuales podran ser los votos recibidos por cada aspirante
para obtener este mınimo:
Aspirante Votos a favor Votos en contra Abstenciones Situacion final
A 4 - - Aceptado
B 4 - - Aceptado
C 4 - - Aceptado
D 4 - - Aceptado
E 1 - 3 Rechazado
F 1 - 3 Rechazado
G 2 1 1 Rechazado
H 3 1 - Rechazado
Total 23 2 7
Problema 1.2 (*). Rodolfo y Gabriela tiene 9 fichas enumeradas del 1 al 9 y se entretienen
con el siguiente juego:
Sacan alternadamente 3 fichas cada uno, con las siguientes reglas:
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� Comienza el juego Rodolfo, eligiendo una ficha y en los turnos siguientes debe tomar,
cada vez, una ficha tres unidades menos que la ultima que saco Gabriela
� Gabriela, a su vez, elige la primera ficha y en los turnos siguientes debe tomar, cada
vez, una ficha 2 unidades menos que la ultima que ella misma saco
� Gana el que obtiene el numero al sumas sus tres fichas.
� Si el juego no se puede completar, hay empate.
Si los dos juegan sin equivocarse ¿Como debe jugar Rodolfo para asegurar no perder?
Solucion. Sea R la primera ficha que saca Rodolfo y G la primera ficha que saca Gabriela.
Si el juego terminara, las fichas de Rodolfo y Gabriela secarıan serıan las siguientes:
Numero de jugada Rodolfo Gabriela
Primera R G
Segunda G-3 G-2
Tercera G-5 G-4
Si Rodolfo comienza sacando la ficha R = 9, Gabriela puede sacar la ficha G = 8 y el juego
se desarrollara de la siguiente manera:
Numero de jugada Rodolfo Gabriela
Primera 9 8
Segunda 5 6
Tercera 3 4
Gabriela ganarıa pues 8 + 6 + 4 > 9 + 5 + 3
Si rodolfo saca una ficha R < 9. Gabriela puede sacar la ficha R + 1 y, si el juego termina, se
desarrollarıa de la siguiente manera:
Numero de jugada Rodolfo Gabriela
Primera R R+1
Segunda R-2 R-1
Tercera R-4 R-3
Nuevamente Gabriela ganarıa, pues (R+1)+(R+1)+(R−3) = 3R−3 > RR+(R−2)+(R−4).
En consecuencia, Rodolfo, para no perder, intentarıa que el juego no termine. Eso lo que
puede conseguir si elige R = 4. Analizaremos, en este caso, cual puede ser la primera ficha
que Gabriela saque:
� Si Gabriela comienza con G = 9, el juego terminara pues como ya fue sacada la ficha
4, Rodolfo no podra sacar su tercera ficha G − 5 = 9 − 5 = 4, pues esta ficha ya fue
retirada por Rodolfo en su primera jugada.
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� Si G = 8, el juego no terminara pues Gabriela no podra sacar su tercera ficha G − 4 =
8 − 4 = 4, pues Rodolfo ya saco esta ficha en la primera jugada.
� Si G = 7, el juego no terminara pues Rodolfo deberıa sacar en su segunda jugada la
ficha G − 3 = 7 − 3 = 4, que ya la saco el mismo en su jugada anterior.
� Si G = 6, el juego no terminara pues Gabriela deberıa retirar en su segunda jugada la
ficha G − 2 = 6 − 2 = 4, que ya fue retirada por Rodolfo en su primera jugada.
� Si G ≤ 5, el juego no terminara, pues no existirıa una ficha con el numero G− 5 que es
la que corresponde a Rodolfo para su tercera jugada.
Ası, queda probado que si Rodolfo comienza retirando la ficha R = 4, el garantiza que el
juego no terminara y, por tanto, se esta asegurando de no perder.
Problema 1.3 (*). Tenemos 105 monedas, entre las cuales sabemos que hay tres falsas. Las
monedas autenticas pesan todas lo mismo y su peso es mayor que el de las falsas, que tambien
pesan todas lo mismo. Indicar de que manera se pueden seleccionar 26 monedas autenticas
realizando solo dos pesadas en un balanza de dos platos.
Solucion. Para la primera pesada, ubicamos 52 monedas en cada platillo. Si los platillos se
equilibran significa que en cada platillo hay exactamente un moneda falsa. Si un platillo tiene
sube y otro baja, el que baja (el mas pesado) tiene menos moneda falsas que el otro platillo.
Por lo tanto, el platillo mas pesado tiene a lo mas una moneda. Es decir, con la primera
pesada podemos seleccionar 52 monedas de las cuales a lo mas una de ellas es falsa.
Tenemos 52 monedas seleccionadas en la primera pesada. Colocamos 26 monedas en cada
platillo. Si los platillos se equilibran, no hay monedas falsas en ninguno de los dos platillos.
En caso contrario, el platillo que sube ( el que pesa menos) contiene una moneda falsa,
mientras que el platillo que baja no contiene monedas falsas. En cualquier de los casos, hemos
encontrado un platillo con 26 monedas verdaderas.
Actividades
1. Escriba los modelos logicos de las proposiciones dadas en esta sesion.
2. Respecto a las definiciones, identificar las condiciones necesarias y suficientes
3. Detalle la demostracion del Teorema 1.9.
4. Para investigar: En la ciudad de “Camorra”hay 1000 habitantes. Dos cualesquiera de
ellos o son amigos o son enemigos.
Cada dıa, a lo sumo uno de los habitantes se pelea con todos sus amigos y simultanea-
mente, se hace amigo de todos los enemigos; ademas de esto, en cualquier conjunto de
tres habitantes, los tres se hacen amigos entre sı. Demostrar que en un cierto numero
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de dıas, todos los habitantes son amigos. ¿Cual es el menor numero de dıas suficiente
para ellos?.
5. Por induccion matematica demostrar que:
a. 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n+1)2
b. 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
c. 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n+1)(2n+1)6
d. 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =[
n(n+1)2
]2
6. Ilustrar con ejemplos concretos el algoritmo de Euclides.
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1.5. Sesion 5: Potenciacion y Radicacion. Divisibilidad:
definiciones y teoremas
¿ Has traıdo ante mi a un hombre que no sabe contra sus
dedos?
Del libro de los muertos
Contextualizando: Descomponiendo un numero en potencias cubicas
Cierta vez un matematico llamado H. Hardy al visitar a su amigo Ramanujan, que estaba
enfermo en un hospital, le dijo: “Vine en el taxi 1729, el numero me parecio muy banal y espero
que no sea de mal aguero. Al contrario, contesto Ramanujan el numero es muy interesante,
es el menor numero que se puede expresar como suma de dos cubos en dos formas distintas:
1729 = 13 + 123 = 93 + 103
Debemos saber que Ramanujan al responder instantaneamente no lo hizo por arte de ma-
gia, sino como trabajaba constantemente con los numeros ya sabıa de los cubos perfectos de
memoria; solo tuvo que percatarse que dos de ellos sumasen 1729.
1.5.1. Potenciacion y Radicacion
Definicion 1.8. Sean a y n dos numeros naturales, la potencia an, esta dada por:
1) a0, a 6= 0
2) an = a · an−1, para n ≥ 1
Ası:a1 = a · a0 = a · 1 = a
a2 = a · a (2 factores)
a3 = a · a · a (3 factores)
a5 = a · a · a · a · a (5 factores)
Para n ≥ 2,
an = a · a · a · · ·a (n factores)
En la expresion an, el numero a se llama base y el numero n se llama exponente.
Observacion:
Se llama potenciacion a la aplicacion que hace corresponder a cada par de numeros naturales
(a, n) 6= (0, 0) la potencia an.
Note que (a, n) 6= (0, 0) no excluye las posibilidades (a, 0), con a 6= 0 ni (0, n) con n 6= 0,
casos en los cuales existen respectivamente las potencias a0 = 1 y 0n = 0.
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Teorema 1.12 (propiedades de la potencia). Dado los numeros naturales a, b y m, n, se
cumplen las siguientes propiedades de la potencia:
1. (a · b)n = an · bn
2. am · an = am+n
3. (am)n = am·n
4. a < b ⇔ an < bn
Demostracion. La definicion formal de la potencia an y la demostracion de sus propiedades
(teorema 1.12) se efectuan usando induccion matematica. A manera de ejemplo probemos
la afirmacion a):
a) (i) Sean n = 1, entonces
(a · b)n = (a · b) = a1 · b1 = an · bn
(ii) Supongamos ahora q la propiedad es verdadera para n = h ≥ 1; es decir,
(a · b)h = ah · bh (Hipotesis inductiva)
Probaremos la validez de esta afirmacion para n = h + 1. En efecto:
(a · b)h+1 = (a · b) · (a · b)h Por definicion de potencia (II)
= (a · b) · ah · bh Por Hipotesis Inductiva
= (a · ah) · (b · bh) Asociado y conmutado
= ah+1 · bh+1 Por definicion de potencia (II)
Por lo tanto,
(a · b)n = an · bn
Definicion 1.9. Sean a y n numeros naturales, n ≥ 1. Se llama raız n-esima de a y se denotan√
a, al numero natural b, si existe, tal que bn = a.
Simbolicamente n√
a = b ⇔ bn = a
En la expresion n√
a; diremos que n es el ındice del radical, y a es el radicando.
Teorema 1.13. Dados a, b ∈ N y n ≥ 1, se tiene:
a) Si n√
a y n√
b existen, entonces existe n√
ab y ademas n√
ab = n√
a · n√
b
b) Si n√
a existe, entonces existe n√
am y n√
am = ( n√
a)m
c) Si n√
m√
a existe, entonces existen mn√
a y m√
n√
a y mn√
a = m√
n√
a
d) Si 0 < a < b y existe m√
a ym√
b
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Demostracion. La prueba se deja como ejercicio.
1.5.2. Sistema de Numeracion Decimal
En el Sistema Decimal se emplean diez sımbolos, conocidos como dıgitos o cifras: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que fueron introducidos en la definicion 1.5; para representar a todos los
numeros naturales. Por eso se llama tambien sistema de base 10.
Teorema 1.14. Si m es un numero natural diferente de cero, entonces
m = an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · ·+ a2 × 102 + a1 × 10 + a0
donde ai ∈ N, an 6= 0 y 0 ≤ a < 10, para todo i = 0, 1, 2, 3, . . . , n.
Esta expresion se llama expresion decimal de m y se denota por:
m = anan−1 · · ·a2a1a,
de donde m es un numero natural de n + 1 cifras: a0, a1, a2, . . . , an
Demostracion. (Por induccion sobre m)
I) Si m = 1, la expresion decimal es
m = a = a0, donde 0 ≤ a0 = 1 < 10
II) Si m > 1, supongamos inductivamente que la tesis del teorema es verdadera para todo
numero natural menor que m, probaremos que lo es tambien para m.
Por el algoritmo de la division:
Existen r, q, unicos, tales que m = 10q + r con 0 ≤ r < 10.
Pero q < m, entonces el teorema es valido para q, es decir
q = at × 10t + at−1 × 10t−1 + · · · + a2 × 102 + a1 × 10 + a0, con a ≤ ai < 10
Luego,
m = 10(at × 10t + at−1 × 10t−1 + · · ·+ a2 × 102 + a1 × 10 + a0) + r
= at10t+1 + at−110t + · · ·+ a2103 + a1102 + a010 + r
que es una expresion polinomica en base 10, equivalente al numero m.
La unicidad resulta de la unicidad del resto de la division por 10.
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Demostracion. En la expresion decimal de m
m = an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · · + a1 × 10 + a0 = anan−1 · · ·a2a1a0
cada cifra tiene una denominacion, la cual es:
a0 se llama cifra de las unidades (100 = 1: una unidad)
a1 cifra de las decenas (101 = 10: una decena)
a2 cifra de las centenas (102 = 100. una centena)
a3 cifra de las unidades de millar (103 = 1000: un millar o una unidad de millar)
a4 cifra de las decenas de millar (104)
a5 cifra de las centenas de millar (105)
a6 cifra de las unidades de millon (106), etc.
1.5.3. Divisibilidad: Definiciones y Teoremas
Definicion 1.10. Sean a y b dos numeros naturales con b 6= 0. Diremos que a es divisible
por b si existe un numero natural n tal que a = bn. Si a es divisible por b, diremos que b es
divisor de a o que b divide a a y lo denotaremos ba. En caso contrario, escribiremos b|a
Sean a, b ∈ N, diremos que a es multiplo de b o b es submultiplo de a si, y solo si existe
k ∈ N tal que a = bk
Ejemplo 1.23.
a) 189 es divisible por 21, pues 189 = 21 × 9
b) 3a5 es divisible por 5, pues 3a5 = 3a0 + 5 = (3a × 2 + 1) × 5
Observaciones:
1) Como a = a · 1, para todo a ∈ N; entonces, todo numero natural es multiplo de 1, o 1 es
divisor de todo numero natural.
2) Como 0 = b ·0, para todo b ∈ N; el cero es multiplo de todo numero natural y todo numero
natural diferente de cero divide al cero.
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En lo que sigue tendremos presente que si a 6= 0 entonces a > 0.
A continuacion, presentamos las propiedades mas importantes de la divisibilidad que pueden
ser demostradas usando la definicion de divisibilidad, el axioma de sustitucion y las propiedades
de la adicion y multiplicacion de los numeros naturales.
Teorema 1.15. Sean a, b y c numeros naturales. Se cumplen las siguientes propiedades:
1) a/a para todo a 6= 0 (Reflexiva)
2) Si a|b y b|c, entonces a/c (Transitiva)
3) Si a|b, entonces a|bc para todo natural c
4) Si a|b, entonces ac|bc, ∀ c 6= 0
5) Si ab|c, entonces a|c y b|c.
6) Si a|b y a/c, entonces a|(b + c).
Mas generalmente:
Si a/bi(i = 1, 2, . . . , n), entonces a/(m1b1 + m2b2 + · · ·+ mnbn) ∀ mi ∈ N
7) Si a|(b + c) y a|b, entonces a|c
8) Si a|b, a|c y b > c, entonces a|(b − c).
Demostracion. 1. Sea a 6= 0. Como a = a · 1 entonces a/a.
2. Si a|b y b|c, por definicion existen numeros naturales m y n tales que b = am y c = bn.
Luego, c = (am)n = a(mn). De ahı que a|c.
3.
a/b ⇒ b = ka, k ∈ N
⇒ bc = a(kc), en particular ∀ c 6= 0
⇒ a/bc
4. Si a|b, existe m ∈ N tal que b = am.
Entonces bc = cam, de donde ac|bc, c > 0
5. Como a|ab y ab|c entonces, por transitividad, a|c.Similarmente, b|ab y por hipotesis ab|c, entonces b|c
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6. Si a|b y a|c, por definicion existen numeros naturales m y n tales que b = ma y c = na.
O sea
b + c = ma + na,
es decir b + c = (m + n)a.
Luego, por definicion de divisor, resulta que a|(b + c).
Del mismo modo y utilizando c) se demuestra el caso general.
7. y h) se demuestran facilmente utilizando f).
Ejemplo 1.24. a) Si 3|m y 3|n, entonces 3|(5m + 7n)
b) Si a = 7b + c, entonces 7|a si y solo si 7|c.
A continuacion presentamos un teorema de donde se deducen de manera natural, los criterios
de divisibilidad por 2, por 5 y por 10.
Teorema 1.16. Sea m un numero natural, entonces existe un numero natural b tal que
m = 10b + a0 donde a0 es la cifra de las unidades de la representacion decimal de m. Es
decir, si m = anan−1 · · ·a2a1a0, entonces m = 10b + a0, para algun numero natural b.
Los numeros an, an−1, . . . , a2, a1, a0 se llaman cifras del numero natural m.
Demostracion. Sea m un numero natural, m = anan−1 · · ·a2a1a0
Aplicando el algoritmo de la division, segun el teorema 1.14, su descomposicion en potencias
de 10 es:
m = an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · ·+ a2 × 102 + a1 × 101
O sea
m = 10(an × 10n−1 + an−1 × 10n−2 + · · ·+ a2 × 101 + a1) + a0
Si ponemos b = (an × 10n−1 + an−1 × 10n−2 + · · · + a2 × 101 + a1), b es un numero natural y
se tiene que m = 10b + a0.
Daremos algunos criterios que nos permitan determinar si un numero natural dado es o no
divisible por otro, sin realizar la operacion de la division.
Corolario 1.3 (Divisibilidad por 2). Un numero natural es divisible por 2 si, y solo si, la
cifra de las unidades es un numero par.
Demostracion. Sea m un numero natural, entonces segun el teorema 1.16, existe un numero
natural b tal que m = 10b + a0.
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(⇒) Luego, si m es divisible por 2, como 10b = 2(5b) es divisible por 2, debe ser a0 divisible
por 2, segun el teorema 1.15(g).
(⇐) Recıprocamente, si a0 es divisible por 2, entonces m = 10b + a0 es divisible por 2, por
el teorema 1.15(f), con lo que termina la demostracion.
Observacion:
Del corolario 1.3, podemos concluir que un numero es par si, y solo si, la cifra de unidades es
par.
Corolario 1.4 (Divisibilidad por 5). Un numero natural es divisible por 5 si, y solo si, la
cifra de las unidades es cero o cinco.
Demostracion. Sea m un numero natural, por el teorema 1.16, m = 10b + a0 para algun
natural b.
(⇒) Luego, si m es divisible por 5, y 10b = 5 × 2b es divisible por 5, se sigue que a0 es
divisible por 5, segun el teorema 1.15(g).
Luego ∃ k ∈ N/5k = a0 y como a ≤ a0 < 10, reemplazando se tiene 0 ≤ 5k < 10
De donde se sigue que 0 ≤ k < 2, lo que implica que k = 0 ∧ k = 1 y en consecuencia
a0 = 0 ∧ a0 = 5
(⇐) Recıprocamente, si a0 es divisible por 5, entonces m debe ser divisible por 5 (por el
teorema 1.15(f)).
Observacion:
Es claro que 17658 no es divisible por 5, pues evidentemente la cifra de unidades no es 5 ni
cero, pero es posible determinar el resto de dividir 17658 por 5, sin efectuar la division:
17658 = 17655 + 3 = 5k + 3, con 0 ≤ r = 3 ≤ 5
Luego segun el algoritmo de la division, el resto es 3.
En el caso del numero 2000015926, este es un numero natural de la forma 5n + 1 o 5m + 6,
donde el resto de dividir (sin efectuar la division), tal numero por 5, es igual a 1.
Corolario 1.5 (Divisibilidad por 10). Un numero natural es divisible por 10 si, y solo si,
la cifra de unidades es cero.
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La prueba se deja como ejercicio.
Teorema 1.17. Para todo numero natural n = c1cr−1 · · · c2c1c0, existe un numero natural
k, tal que n = 9k + (c0 + c1 + c2 + · · ·+ cr)
Demostracion. Sea el numero n, el cual descomponemos en unidades, decenas, centenas, mil-
lares, etc.; o sea:
n = c0 + 10c1 + 102c2 + 103c3 + 104c4 + · · · + 10rcr
donde r es un numero natural.
Por otra parte se tiene que:
c0 = c0
10c1 = (9 + 1)c1 = 9k1 + c1
102c2 = (99 + 1)c2 = 9k2 + c2
10rcr = (99 . . . 9 + 1)cr = 9kr + cr
Sumando miembro a miembro y aplicando la distributiva:
n = 9(k0 + k1 + k2 + · · ·+ kr) + (c0 + c1 + c2 + · · ·+ cr)
luego existe el numero natural k = (k0 + k1 + k2 + · · ·+ kr), tal que:
n = 9k + (c0 + c1 + c2 + · · ·+ cr)
Corolario 1.6 (Divisibilidad por 3). Un numero natural es divisible por 3 si, y solo si, la
suma de sus cifras es multiplo de 3.
Demostracion. Sea n un numero natural, por el teorema 1.17,
n = 9k + (c0 + c1 + c2 + · · ·+ cr)
n = 3(3k) + (c0 + c1 + c2 + · · · + cr)
Entonces n es divisible por 3 si, y solo si, la suma de sus cifras (c0 + c1 + c2 + · · · + cr) es
divisible por 3.
Observacion:
El numero natural 18458 no es divisible por 3, pues 1+8+4+5+8=26 no es multiplo de 3. Pero
es importante notar que si la suma hubiera resultado 24 en lugar de 26, tendrıamos un numero
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divisible por 3, entonces si restamos esa diferencia de 2 unidades al numero 18458, tendremos
el mayor multiplo de 3, menor que 18458, es decir, usando este criterio de divisibilidad por 3,
18458 = 3k + 2, k natural
obteniendo (sin dividir), que el resto de la division de 18458 por 3 es 2. (El mismo que deja
la suma de cifras, al aplicarle el criterio de divisibilidad por 3)
Corolario 1.7 (Divisibilidad por 9). Un numero natural es divisible por 9 si, y solo si, la
suma de las cifras es multiplo de 9.
Demostracion. Analogo al caso de divisibilidad por 3, se deja como ejercicio.
Teorema 1.18 (Divisibilidad por 11). Por comodidad consideremos un numero de cuatro
cifras pero el teorema vale en general
Un numero natural abcd es divisible por 11, si la diferencia, que exista, entre las sumas de
las cifras de lugar impar, contando de derecha a izquierda, y las de lugar par, es divisible
por 11.
Demostracion. Sea el numero n, que descomponemos ası:
n = d + 10c + 102b + 103a
Por otra parte
d = d
10c = (11 − 1)c = 11k1 − c
102b = (99 + 1)b = 11k2 + b
103a = (1001 − 1)a = 11k3 − a
Sumando y simplificando:
n = 11(k1 + k2 + k3) + [(b + d) − (a + c)]
O bien
n = 11(k1 + k2 + k3) − [(a + c) − (b + d)]
Entonces n es divisible por 11 si y solo si la diferencia [(b + d)− (a + c)] o [(a + c)− (b + d)],
segun la diferencia que exista en N, es multiplo de 11.
De manera analoga se puede extender esta idea a numeros de mas cifras.
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Problemas Resueltos
Problema 1.4. ¿Que sucede con un numero de cinco cifras, si a su primera cifra se le aumenta
en dos, a la segunda se le disminuye en cinco, a la tercera se le disminuye en cuatro, a la cuarta
se le aumenta en uno y a la quinta se le disminuye en tres?
Solucion. Sea N el numero de cinco cifras. De los datos tenemos:
“A la primera se le aumenta en dos”: es decir la cifra que ocupa las decenas de millar se
aumenta en 2.
Luego tenemos que nos queda: N + 2 decenas de millar.
Razonando en forma analoga, tenemos:
N + 2 decenas de millar – 5 millares – 4 centenas + 1 decena – 3 unidades = N + 20 000
unidades – 5 000 unidades - 400 unidades + 10 unidades – 3 unidades = N + 14 607 unidades.
Luego, el numero aumenta en 14 607 unidades.
Problema 1.5. Se tiene un numero de 6 cifras que comienza a la izquierda con 2. si se hace
pasar la cifra 2, del sexto orden se encuentra, al primer orden se obtendra un nuevo numero
que serıa el triple del original. El numero primitivo es:
Solucion. Sea N el numero original, del enunciado:
“Pasar la cifra 2 del sexto orden al primer orden”. Lo que en primer lugar es “eliminar”dicha
cifra 2, mediante:
N − 2 × 105
Para pasarla al primer orden hacemos: [N − 2 × 105] × 10 + 2
Finalmente nos queda:
[N − 2 × 105] × 10 + 2 = 3N
10N − 2 × 106 + 2 = 3N
7N = 2 × 106 − 2
N =1 999 998
7= 285 714
Problema 1.6. Existen 6 numeros de dos cifras cada uno, formado por las diferentes com-
binaciones de unicamente 3 cifras distintas entre sı. ¿Cuantas veces es la suma de dichos 6
numeros, a la suma de las mencionadas 3 cifras?
Solucion. Sean a, b y c las tres cifras distintas. Los 6 numeros de dos cifras cada uno que se
pueden formar son:
ab, ba, ac, ca, bc, cb
Ahora del enunciado
ab + ba + ac + ca + bc + cb = 10a + b + 10b + a + 10a + c + 10c + a + 10b + c + 10c + b
= 22(a + b + c)
Es 22 veces la suma de las mencionadas 3 cifras.
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Problema 1.7. Se desea repartir S/.1 000 000 entre cierto numero de personas, de tal modo
lo que les corresponda sea S/.1,00; S/.7,00; S/.49,00; S/.343,00; etc y que sea mas de seis
personas que reciban la misma suma. Determinar cuantos fueron los beneficiados.
Solucion. Del enunciado:
Un numero “a” de personas recibira S/.1
Un numero “b” de personas recibira S/.7
Un numero “c” de personas recibira S/.72
Un numero “d” de personas recibira S/.73
y ası sucesivamente, tal que a, b, c, etc. sean menores que 7.
Observamos que para que ocurra esto, que es suficiente con pasar: S/.1 000 000 a base 7 y
cada coeficiente x de 7k sera el numero de personas que reciben la cantidad 7k.
Ası:
1 000 000 = 11333311(7)
= 1 × 77 + 1 × 76 + 3 × 75 + 3 × 74 + 3 × 73 + 3 × 72 + 1 × 7 + 1
El numero de beneficiados es: 1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 16.
Problema 1.8. ¿Cuantos numeros de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra
par y por lo menos una cifra impar?
Solucion. Sean U = conjunto de todos los numeros de tres cifras, entonces
n(U) = 900
[n(u) = numero de elementos del conjunto]
A = conjunto con por lo menos una cifra par/A ⊂ U
B = conjunto con por lo menos una cifra impar/B ⊂ U
Nos piden n(A ∩ B) =?
Por teorıa de conjuntos: (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)c = U , donde:
(A ∩ B) ∩ (A ∩ B)c = ∅
Luego:
n(A ∩ B) + n(A ∩ B)c = n(U) (1)
entonces
n(A ∩ B) = 900 − n(A ∩ B)c (2)
Pero (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
Donde:
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Ac = conjunto con ninguna cifra par/Ac ⊂ U
Bc = conjunto con ninguna cifra impar/Bc ⊂ U
Sea abc un numero de cifras cualesquiera.
Para Ac:
La cifra a puede tomar 5 valores (que son 1, 3, 5, 7 y 9)
Las cifras b y c, de igual modo, pueden tomar 5 valores cada una
Luego el conjunto Ac tiene 5 × 5 × 5 = 125 elementos.
Es decir
n(Ac) = 125 (3)
Para Bc:
La cifra a puede tomar 4 valores (que son 2, 4, 6, 8 y 9)
Las cifras b y c, de igual modo, pueden tomar 5 valores cada una (0, 2, 4, 6, 8)
Luego el conjunto Bc tiene: 4 × 5 × 5 = 100
Es decir:
n(Bc) = 100 (4)
(3) y (4) en (2): n(A ∩ B)c = n(Ac ∪ Bc) = n(Ac) + n(Bc),
n(A ∩ B)c = 125 + 100 = 225 (5)
(ya que Ac ∩ Bc = ∅)(5) en (1): n(A ∩ B) = 900 − 225 = 675
Problema 1.9. ¿Cual es el menor numero natural N , tal que restandole una unidad a su
primera cifra de la izquierda “a” y aumentandole una unidad se obtenga el producto de (a+2)
por el numero N despues de suprimir la cifra “a”?. Dar como respuesta la suma de cifras de
dicho numero N .
Solucion. Supongamos que el numero N tiene n cifras. Del enunciado:
(N − 1 × 10n−1) + 1 = (a + 2)[N − a × 10n−1]
N − 10n−1 + 1 = (a + 2)N − a(a + 2) × 10n−1
[(a + 2) − 1]N = a(a + 2) × 10n−1 − 10n−1 + 1
= [a(a + 2) − 1] × 10n−1 + 1
N =[a(a + 2) − 1] × 10n−1 + 1
a + 1(1)
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De (1) observamos que el numerador es un numero (que termina en uno), luego para que
exista N tenemos que a + 1 debe ser impar, mas aun debe ser 3 o 7 o 9. Es decir a = 2; 6; 8
Si a = 2 en (1)
N =7 × 10n−1 + 1
3=
(n−1) cifras︷ ︸︸ ︷700 . . . 01
3
Donde tenemos que para ningun valor de n, N es entero.
Si a = 6 en (1):
N =47 × 10n−1 + 1
3=
(n−1) cifras︷ ︸︸ ︷4700 . . . 01
3
efectuando la division4 7 0 0 . . . 0 1 7
5 0 671
1 0
3 . . .
Del esquema observamos que conviene “bajar” un cero mas, y despues “bajar”la unidad.
Nos queda:
N =470 001
=67 143
La suma de las cifras es: 6 + 7 + 1 + 4 + 3 = 21.
Problema 1.10. El guardian de un pozo de una hacienda ha plantado a partir del pozo,
cada 5 metros y en la direccion Norte un total de 27 arboles y ademas puede sacar agua del
pozo cada vez que para el riego de un solo arbol. ¿Cuanto tiene que andar diariamente para
regar los 27 arboles y regresar al pozo?
Solucion. Se observa que para regar un arbol y regresar al pozo, el guardian recorre el doble
de la distancia que hay del pozo al arbol respectivo.
Ası, para el primer arbol recorre 10 m; para el segundo arbol recorre 20 m y ası sucesivamente.
LA distancia recorrida es:
10 + 20 + 30 + · · · = 1 × 10 + 2 × 10 + 3 × 10 + · · ·+ 27 × 10
= 10[1 + 2 + 3 + · · ·+ 27] = 10
[27(27 + 1)
2
]
= 10[27 × 14] = 3 780
Problema 1.11. Se debe almacenar 610 postes cilındricos en un espacio abierto disponible sin
paredes, que solo permite poner horizontalmente 40 postes, formando ası un lecho horizontal
de 40 postes. Formado el primer lecho en el suelo, cada lecho sucesivo debe contener un poste
menos que el precedente para no derrumbarse. Se pregunta, ¿cuantos lechos deben armarse?.
Solucion. Del enunciado:
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1. El primer lecho esta formado con 40 postes
2. El segundo lecho esta formado con 39 postes
3. El ultimo lecho esta formado por “u” postes
Como el total de postes es 610, tenemos que:
[1 + 2 + 3 + · · ·+ (u − 1) + u + (u + 1) + · · ·+ 39 + 40]−−[1 + 2 + 3 + · · · + (u − 1)] = 610
(40)(41)
2− (u − 1)(u)
2= 610
u(u − 1) = 420
u = 21
Ahora como el primer lecho tiene 40 postes y el ultimo tiene 21, el total sera de 20.
Problema 1.12. Se desea empapelar las paredes de una sala rectangular de 15 m de largo,
5 m de ancho y 6 m de altura. La sala tiene 4 ventanas de 1, 5 m por 2 m. ¿Cuantas piezas de
papel colomural de 10 m por 80 cm c/u, deberan comprarse?
Solucion. Graficamos la sala rectangular
La superficie a empapelar es:
SE = [2(5 × 6) + 2(15 × 5)] − 4(1,5 × 2) = 198 m2
En cada pieza entera entra una superficie de
Sp = 10(0,80) = 8 m2
El total de las piezas a comprarse es 198/8 = 24,75; lo que por aproximacion son 25 piezas.
Actividades
1. La suma de algunos naturales es igual a 12. ¿Cual es el maximo valor que puede tomar
el producto de dichos numeros?
Por ejemplo: 7 + 5 = 12 ⇒ 7 × 5 = 35.
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2. Demostrar que:
a) Si a < b y c < d, entonces a + c < a + d; a · c < b · db) 2a · b ≥ a2 + b2
c) 0 < a < b ⇒ a2 < b2, a3 < b3
3. Adela es una vendedora de fosforos, vendio la cuarta parte del numero de cajitas de
fosforos que tenıa a 20 centimos cada cajita y la novena parte a 18 centimos cada una.
Si por las dos ventas obtuvo en total entre S/. 7 y S/. 14, ¿cuantas cajitas de fosforos
como maximo tenıa ella inicialmente?
Rpta. 180
4. Hallar todos los numeros naturales n tales que 100 < n < 300, y sean divisibles por 4,
pero no por 3.
Rpta. 33
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1.6. Sesion 6: Numeros primos, maximo comun divisor,
mınimo comun multiplo
Para Tales... la cuestion primaria no era que sabemos, sino
como lo sabemos.
Aristoteles
Contextualizando: Propiedades interesantes de los numeros
El libro “The penguin Dictionary of Carious Numbers (1986)”, de David Weills, es uno de los
libros mas notables dentro de la teorıa de numeros. este libro contiene numeros fascinantes y
sus propiedades, algunos de los cuales se aprecian aquı.
Los numeros 113, 199 y 337 con los unicos tres numeros de tres dıgitos que son primos y que
cualquier combinacion de sus dıgitos es un numero primo.
Determine la suma de los cubos de los dıgitos de 136: 13 + 33 + 63 = 244.
Repite el proceso con los dıgitos de 244: 23 + 43 + 43 = 136.
Estamos de regreso en donde empezamos.
El numero 635 318 657, es el mas pequeno que puede expresarse de dos formas distintas, como
la suma de dos cuartas potencias: 635 318 657= 594 + 1584 = 1334 + 1344.
El numero 24 678 050 tiene una propiedad interesante: 24 678 050= 28 + 48 + 68 + 78 + 88 +
08 + 58 + 08.
El numero 3 435 tiene esta propiedad: 3 435= 33 + 44 + 33 + 55.
1.6.1. Numeros Primos
Como sabemos, un numero entero positivo se llama primo si y solo si es divisible por 1 y por
si mismo. Los numeros primos gozan de gran popularidad en las matematicas desde el tiempo
de los griegos clasicos. El estudio de la distribucion y propiedades de los numeros primos
forma una de las partes mas bellas y profundas de las matematicas: La teorıa de los numeros.
Definicion 1.11. Sea p un numero natural, p > 1, decimos que p es un numero primo si, y
solo si, sus unicos divisores son 1 y p.
Ejemplo 1.25. a) 7 es primo, pues no tiene mas divisores que 1 y el mismo 7.
b) 12 no es primo, pues tiene 6 divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
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c) Los 25 primeros numeros primos son:
2 3 5 7 11
13 17 19 23 29
31 37 41 43 47
53 59 61 67 71
73 79 83 89 97
Observacion:
1) El numero 2 es el unico numero par que es primo.
2) Los unicos numeros primos consecutivos son 2 y 3.
3) Todos los numeros primos, mayores o iguales que 5, tienen la forma 6k ± 1.
4) A los pares de primos de la forma 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, etc. se les llama primos
gemelos.
Un resultado fundamental nos dice que los numeros primos pueden verse como ladrillos con-
structores de los demas numeros . En efecto, tenemos el siguente resultado, conocido como el:
Teorema 1.19. “Teorema Fundamental de la Aritmetica” Todo numero natural
n > 1, se puede expresar como producto de un numero finito de numeros primos, en forma
unica, salvo el orden de sus factores.
Conocemos muchos numeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... ¿hasta donde podemos seguir? Uno de
los primeros resultados matematicos de la antiguedad de los que se tiene noticia es la de-
mostracion por Euclides de la existencia de infinitos numeros primos. Esta demostracion es
todavıa una muestra de la elegancia que puede tener un argumento matematico.
Teorema 1.20. Existen infinitos numeros primos.
Demostracion. Aquı seguiremos la demostracion de Euclides.
Supongamos que solo existe un numero finito de primos, digamos p1, p2, p3, . . . , pn.
Con estos primos construimos el numero N = 1 + p1 × p2 × p3 × · · · × pn.
Como N > 1, N es primo o es un producto de primos. Pero N no es primo, pues N > pk
para todo k = 1, 2, . . . , n, esto quiere decir que N es mayor que todos los primos que hemos
supuesto que existen y por tanto N no puede ser primo. Sin embargo, N tampoco es producto
de primos, pues ninguno de los pk divide a N (si alguno de los pk dividiera a N , pongamos
p1|N , tendrıamos que p1|N y p1|p1×p2×p3×· · ·×pn, y de ahı que p1|(N−p1×p2×p3×· · ·×pn),
es decir p1|1, lo cual es un absurdo ya que p1 > 1). Este hecho contradice el teorema anterior
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y por ello nuestra suposicion de que solo existe un numero finito de primos no es cierta; por
tanto, existen infinitos numeros primos.
Observacion:
1) Encontrar todos los numeros primos menores que un numero natural dado, n, resulta muy
complicado para valores de n muy grande. Una tecnica razonable para n relativamente
pequeno, es la llamada Criba de Eratostenes, que consiste en escribir todos los numeros
de 2 hasta n, y luego ir tachando todos los multiplos de 2 a excepcion del numero 2,
pues tales numeros pares no son primos, luego tachar de los restantes eliminando todos los
numeros multiplos de 3, excepto 3, por ser numeros compuestos, se repite el proceso con
los multiplos de 5, excepto el 5, luego los multiplos de 7, excepto el 7, etc.
− 2 3 �4 5 �6 7 �8 �9 ��10 11 ��12 13 ��14 ��15 ��16
17 ��18 19 ��20 ��21 ��22 23 ��24 ��25 ��26 ��27 ��28 29 ��30 31 ��32
��33 ��34 ��35 ��36 37 ��38 ��39 ��40 41 ��42 ��44 ��45 ��46 47 ��48 ��49
��50 ��51 ��52 53 ��54 ��55 ��56 ��58 ��57 59 ��60 61 ��62 ��63 ��64 ��65
��66 67 ��68 ��69 ��70 71 ��72 73 ��74 ��75 ��76 ��77 ��78 79 ��80 ��81
��82 83 ��84 ��85 ��86 ��87 ��88 89 ��90 ��91 ��92 ��93 ��94 ��95 ��96 97
��98 ��99 ��100 101 ��102 103 ��105 ��106 107 ��108 109 ��110 ��111
��112 113 ��114 ��115 ��116 ��117 ��118 ��119 ��120 ��121 ��122 ��123 ��124
��125 ��126 127 ��128 ��129 ��130 131 ��132 ��133 ��134 ��135 ��136 137
��138 139 ��140 ��141 ��142 ��143 ��144 ��145 ��146 ��147 ��148 149 ��150
En esta tabla los numeros que no fueron tachados son primos.
2) Sea a ∈ N, a 6= 0, por el teorema 1.18, a es divisible por algun numero primo. Un criterio
para determinar si el numero a es primo, es verificar si algun numero primo entre 2 y b,
donde b es el mayor numero natural tal que b2 ≤ a, es un divisor de a. Si ninguno de estos
primos divide al numero a, entonces a es primo.
En general este es un teorema (Criterio de Eratostenes):
Si todo p primo tal que p ≤ √n no divide a n, entonces n es primo.
Por ejemplo sea a = 217 tiene raız cuadrada entre 14 y 15. Consideremos todos los numeros
primos entre 2 y 14: 2, 3, 5, 7, 11 y 13, usando los criterios vemos que no es divisible por
2, 3, ni 5, pero si por 7, luego 217 no es primo.
En cambio para el numero 313, cuya raız esta entre 17 y 18, consideramos los numeros
primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17. Comprobamos que ninguno de ellos divide a 313, luego 313
es un numero primo.
1.6.2. Maximo Comun Divisor
Definicion 1.12. Un numero d que divide a dos numeros naturales a y b, se llama divisor
comun de a y b. Por ejemplo, 1 es un divisor comun de todo par de numeros naturales a y
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b.
Definicion 1.13. Dados a, b en N, diferentes de cero, y sea d 6= 0 en N, decimos que d es el
maximo comun divisor (MCD) de a y b si y solo si:
1. d|a y d|b
2. Si d′|a y d′|b ⇒ d′|d
El maximo comun divisor (MCD) de a y b es denotado por MCD(a, b) o simplemente <
a, b >. Si < a, b >= 1 diremos que a y b son coprimos o primos entre sı.
Dados dos numeros naturales, se demuestra que el MCD existe y es unico. La demostracion
de esta propiedad en Z se da en el siguiente capıtulo. A continuacion enunciamos algunos
teoremas importantes.
Teorema 1.21. El MCD posee las siguientes propiedades:
(a) 〈a, b〉 = 〈b, a〉 (ley conmutativa)
(b) 〈a, 〈b, c〉〉 = 〈〈a, b〉 , c〉 (ley asociativa)
(c) 〈ac, bc〉 = c 〈a, b〉 (ley distributiva)
(d) 〈a, 1〉 = 〈1, a〉 = 1
(e) 〈a, 0〉 = 〈0, a〉 = |a|, para todo a 6= 0
Nota
En virtud de la propiedad asociativa del MCD : 〈a, 〈b, c〉〉 = 〈〈a, b〉 , c〉, podemos tambien
escribir MCD(a, b, c) o 〈a, b, c〉.
Ejemplo 1.26. a) 〈80, 72〉 = 8
b) 〈420000, 264000〉 = 1000 × 〈420, 264〉 = 1000 × 12 = 12000
c) Sea n ∈ N, n 6= 31, entonces
(217n, 308n2) = n × (217, 308n) = n × 7 × 〈31, 44n〉 = 7 × n × 1 = 7n
Observacion:
a) Para obtener el maximo comun divisor es necesario conocer los numeros primos, y las
propiedades de los numeros primos relativos.
b) La propiedad (c) del teorema 1.20: 〈ac, bc〉 = c · 〈a, b〉, es la que justifica la validez de la
llamada regla practica para calcular el MCD.
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Teorema 1.22. Si un numero primo p no divide a n, entonces el unico divisor comun de
p y n es la unidad.
Demostracion. Sea d = 〈p, n〉. Entonces d|p, luego o d = 1 o d = p. Pero d|n, luego d 6= p
pues p no divide a n. Entonces d = 1.
Teorema 1.23. Si un primo p divide a ab, entonces p|a o p|b.En general, si un primo p divide a un producto a1a2 . . . an, entonces p divide, por lo menos,
a uno de los factores.
Observacion:
Tal como se dijo, cuando a divide a b, lo denotamos con a|b; que tambien significa: “a es factor
de b”, “a es divisor de b”, “b es multiplo de a”.
En el caso de que “a no divide a b”lo denotaremos por a/b.
Teorema 1.24. Sean a, b numeros naturales, no nulos.
a) Si a|b y b|a entonces a = b
b) Si a es multiplo de b, el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el
conjunto de los divisores b; en particular, 〈a, b〉 = b.
c) Si a = bq + r entonces el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el
conjunto de los divisores comunes de b y r.
En particular 〈a, b〉 = 〈b, r〉.Para hallar el 〈a, b〉 ası como para deducir sus propiedades principales, se emplea el
Teorema 1.25. [calculo del M.C.D mediante divisiones sucesivas] Dados los numeros nat-
urales a, b, b > 0, si:
a = bq1 + r1 0 < r1 < b
b = r1q2 + r2 0 < r2 < r1
r1 = r2q3 + r3 0 < r3 < r2
rn−2 = rn−1qn + rn 0 < rn < rn−1
rn−1 = rnqn+1 + rn+1, este proceso es finito y finaliza cuando se obtiene rn+1 = 0.
Luego resulta rn = 〈a, b〉
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Aplicando el teorema 1.24(c), vemos que:
(a, b) = (b, r1) = (r1, r2) = (r2, r3) = · · · = (rn−1, rn) = rn
Ası, se obtienen los siguientes resultados:
1. El conjunto de los divisores comunes de los numeros a y b coincide con el conjunto de
los divisores de su maximo comun divisor.
2. Este maximo comun divisor es igual a rn, es decir, es igual al ultimo resto del algoritmo
de Euclides, distinto de cero.
Teorema 1.26. 1. 〈am, bm〉 = 〈a, b〉m, para todo m, numero natural.
2. Si d = 〈a, b〉 y a = dα, b = dβ, entonces 〈α, β〉 = 1
3. Sea p primo,
〈q, p〉 = 1 si y solo si p no divide a q
〈q, p〉 = p si y solo si p|q
4. Si p es primo y p|ab ⇒ p|a o p|b
5. Si 〈a, b〉 = 1 ∧ a|bc ⇒ a|c
6. Si 〈a, b〉 = 1 ∧ 〈a, c〉 = 1 ⇒ 〈a, bc〉 = 1
Este teorema tiene multiples aplicaciones, como por ejemplo en el calculo del numero, de la
suma y del producto de los divisores de un numero dado.
Propiedades analogas a las de este teorema estan demostradas en el capıtulo 3.
Un numero arbitrario n, por el Teorema Fundamental de la Aritmetica, puede descomponerse
como producto de sus factores primos:
n = aα · bβ · · · cγ
Los divisores de n segun los terminos del desarrollo son:
a0, a1, a2, a3, . . . , aα : (α + 1) divisores
b0, b1, b2, b3, . . . bβ : (β + 1) divisores
. . .
c0, c1, c2, c3, . . . cγ : (γ + 1) divisores
Luego el numero total de divisores de n es: (α + 1)(β + 1) . . . (γ + 1)
Ejemplo 1.27. Tres varillas metalicas que miden 5, 25m, 7, 35m y 8, 40m seran cortadas en
trozos de igual longitud. Si la longitud de cada trozo es la maxima posible, ¿cuantos trozos
se tendran?
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Solucion:
Sea L la longitud de cada trozo.
L divide a 525, 735 y 840. Ademas L es el maximo posible, entonces
L = MCD(525, 735, 840) = 105
Luego, el numero total de trozos que se obtendran es
n =525
105+
735
105+
840
105= 20
Ejemplo 1.28. Un campesino desea dividir en parcelas cuadradas iguales, un terreno rect-
angular de 384m de largo y 216m de ancho. Si en cada vertice de las parcelas plantara un
arbol, ¿cual sera el mınimo numero de arboles que empleara?
Solucion:
Sea L la longitud del lado de las parcelas cuadradas.
L divide a 384 y 216. Ademas, para que el numero de arboles sea el menor posible, la distancia
L entre ellos debe ser la maxima. Entonces
L = MCD(216, 384) = 24
Luego,
numero de parcelas =216
24× 384
24= 9 × 16 = 144
y
numero de arboles = 10 × 17 = 170
1.6.3. Mınimo comun Multiplo (M.C.M)
Todo numero natural que es un multiplo de todos los numeros dados se llama multiplo comun
de los mismos. El menor multiplo comun positivo se llama Mınimo Comun Multiplo.
Formalmente, definimos el mınimo comun multiplo como sigue:
Definicion 1.14. Dados a, b ∈ N, ambos diferente de cero; sea m > 0. Diremos que m es el
mınimo comun multiplo (MCM) de a y b si, y solo si,
i) a|m b|m
ii) Si a|m′ y b|m′, entonces m|m′
Notacion:
m = [a, b] = MCM(a, b)
A continuacion presentaremos algunos resultados, sin demostracion.
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Teorema 1.27. 1. El conjunto de los multiplos comunes de dos numeros coinciden con
el conjunto de los multiplos de su mınimo comun multiplo.
2. El mınimo comun multiplo de dos numeros, es igual al producto de dichos numeros,
dividido por su maximo comun divisor
[a, b] · 〈a, b〉
En particular, si
〈a, b〉 = 1 ⇒ [a, b] = ab
Ası por ejemplo,
〈12, 11〉 = (12)(11) = 132
3. [a, b] = [b, a] (propiedad conmutativa)
4. [a, [b, c]] = [[a, b], c] (propiedad asociativa)
En virtud de esta propiedad d), podemos escribir simplemente el MCM(a, b, c) o [a, b, c] =
[[a, b], c].
Ejemplo 1.29. En un almacen hay 1908 barras de jabon todas con las mismas dimensiones
24cm × 16cm × 8cm. ¿Cual es el maximo numero de cajas cubicas que se necesitaran para
empaquetarlas? Si todas deben estar completamente llenas?
Solucion:
Sea L la longitud del lado de la caja cubica.
Como las cajas deben estar completamente llenas, los jabones deben estar exactamente con-
tenidos en las cajas, es decir L debe ser un multiplo de 24, 16 y 8. Pero ademas se quiere el
mayor numero de cajas y para ello el volumen de las mismas debe ser el mınimo posible, en
consecuencia, L debe ser el menor posible.
Ası
L = M.C.M(24, 16, 8) = 48
Luego, en cada caja habra48
24× 48
16× 48
8= 36 jabones
y se necesitaran1908
36= 53 cajas
Problemas Resueltos
Problema 1.13 (*). Veronica, Ana y Gabriela situadas en una ronda se divierten con el
siguiente juego; una de ellas elige un numero y lo dice en voz alta; la que esta a su izquierda lo
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divide entre su mayor divisor primo y dice el resultado en voz alta; la que esta a su izquierda
divide este ultimo numero entre su mayor divisor primo y dice el resultado en voz alta y
ası sucesivamente. Ganara aquella que deba decir en voz alta el numero 1, momento en que el
juego finaliza. Ana eligio un numero mayor que 50 y menor que 100 gano. Veronica eligio el
siguiente del que eligio Ana y Veronica tambien gano. Dar todos los numeros que pudo elegir
Ana.
Solucion. A medida que se desarrolla el juego, el numero inicial elegido va perdiendo uno
de sus factores primos cada vez que una persona dice el numero que le toca. De esta manera,
considerando que la cantidad de jugadoras es 3, para que a la persona que elige el numero
inicial n le toque decir el numero 1− y de esta manera ganar−n debe tener una cantidad de
factores primos multiplo de tres
Sea f(k) la cantidad de factores primos que tiene el numero k. El mayor valor de f(k) cuando
50 < k < 100 ocurre cuando k tiene todos sus factores iguales a 2. Luego, k = 26 = 64 es el
numero que tiene mas factores primos, en este caso, f(64) = 6. Tambien para 96 = 25 · 3 se
cumple que f(96) = 6.
Los otros valores de n que permiten que una persona que elige este numero pueda ganar,
deben satisfacer.
f(n) = 3
Esto significa que n = p · q · r, donde p ≤ q ≤ r son numeros primos.
Si el menor factor primo de n fuera mayor o igual que 5, entonces n ≥ 5 · 5 · 5 = 125, lo cual
no es admisible. Por lo tanto, p = 2 o 3.
Si p = 2, las ternas de primos cuyo producto es mayor que 50 pero menor que 100 son las
siguientes:
{2, 2, 13}, {2, 2, 17}, {2, 2, 19}, {2, 2, 23}, {2, 3, 11}, {2, 3, 13}, {2, 5, 7}, {2, 7, 7}
Los valores de n en estos casos 8 casos son
52, 68, 76, 92, 66, 78, 70, 98
Si p = 3, las ternas de primos cuyo producto es mayor que 50 pero menor que 100 son:
{3, 3, 7}, {3, 3, 11}, {3, 5, 5}
y los correspondientes valores de n son:
63, 99, 75
De este modo, los posibles valores de n son:
52, 63, 64, 66, 68, 70, 75, 76, 78, 92, 96, 98, 99
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Como Ana y Veronica ganaron comenzando sus juegos con dos numeros consecutivos, estos
pueden ser, respectivamente,
63 y 64; 75 y 76; 98 y 99
Problema 1.14. Un objeto tiene por precio el numero de divisores de 3×2a×5b y un segundo
objeto tiene por precio el numero de divisores de 3×2a+3×5b. Si se sabe que el segundo cuesta
un 50 % mas que el primero y que un tercer objeto, que tiene por valor el mismo numero de
divisores 2a × 5b−2, cuesta un 60 % menos que el primero. ¿Cuanto cuesta el tercer objeto?
Solucion. Sean P1 · P2 y P3 los precios del primer, segundo y tercer objeto
Luego: P1 = 2(a + 1)(b + 1), P2 = 2(a + 4)(b + 1), P3 = (a + 1)(b − 1)
Ademas: P2 = P1 + 50 %P1 = 1,5P1 = 32P1
Luego: 2(a + 4)(b + 1) = 32· 2(a + 1)(b + 1) entonces a = 5
Tambien: P3 = P1 − 60 %P1 = 0,4P1 = 25P1
Luego: (a + 1)(b − 1) = 25· (a + 1)b + 1 entonces b = 9
Entonces P3 = (a + 1)(b − 1) = 6 × 8 = 48.
Problema 1.15. los divisores primos de un entero positivo A son 2 y 3, el numero de divisores
de su raız cuadrada es 12 y el numero de divisores de su cuadrado es 117. ¿Cuantos de tales
A existen?
Solucion. Tenemos A = 2m × 3n entonces√
A = 2m/2 × 3n/2
(m
2+ 1)(n
2+ 1)
= 12 (1)
Tambien A2 = 22m × 32n el numero de sus divisores es
(2m + 1)(2n + 1) = 117 (2)
De (1)
n =48
m + 2
En (2):
(2m + 1)(30 − m) = 39(m + 2)
⇒ m2 + 10m − 24 = 0 ⇒ (m − 6)(m − 4) = 0 ⇒ m1 = 6, m2 = 4
Luego: Si
m1 = 6 ⇒ n1 = 4; m2 = 4 ⇒ n2 = 6
Entonces:
A1 = 26 × 34 o A2 = 24 × 36
y existe 2 valores para A
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Problema 1.16. ¿Cuantos enteros de tres cifras hay, cuyo cuadrado dividido por 31 da por
resto 16?
Solucion. Sea N el numero tal que
100 ≤ N ≤ 1000 (1)
Entonces:
N2 =0
31 + 16
N2 − 16 =0
31
(N − 4)(N + 4) =0
31
N − 4 = 31k ∨ N + 4 = 31k
donde k es un numero entero positivo.
Si N − 4 = 31k entonces N = 31k + 4. En (1):
100 ≤ 31k + 4 ≤ 1000
96 ≤ 31k ≤ 996
3,09 ≤ k ≤ 32, 12
entonces k = 4; 5; 6;. . . ; 32
Luego k puede tomar (32 − 4) + 1 = 29 valores, con lo cual hay 29 numeros de tres cifras de
la forma 31k + 4.
Si N + 4 = 31k entonces N = 31k − 4. En (1):
100 ≤ 31k + 4 ≤ 1000
96 ≤ 31k ≤ 996
3,35 ≤ k ≤ 32, 12
entonces k = 4; 5; 6;. . . ; 32
Con lo cual k puede tomar (32 − 4) + 1 = 29 valores, en cuyo caso hay 29 numeros de tres
cifras de la forma 31k − 4.
De ambos casos se observa que hay 29 + 29 = 58 numeros enteros de tres cifras.
Problema 1.17. Se tiene una determinada cantidad de dinero, la cual esta formada por un
grupo de monedas de 1 sol, un grupo de monedas de 5 soles, y por uno de billetes de 10 soles,
Esta cantidad de dinero se reparte entre una cantidad de 5 personas del modo mas equitativo
posible, sin cambiar ninguna moneda o billete por otras monedas de menos valor. Suponiendo
que cada uno recibio 12 monedas de un sol, 13 monedas de 5 soles y 14 billetes de 10 soles.
¿Calcular la suma de las cifras de la cantidad de dinero a repartir, sabiendo que esta cantidad
es multiplo de 80?
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Solucion. Si cada persona recibio de un sol, entonces entre las 5 personas se repartio 60
monedas de un sol.
Como la reparticion fue del modo mas equitativo posible, entones como mınimo se disponıa
de 60 monedas de un sol y maximo 64 monedas de un sol.
De igual modo mınimo se tiene 325 soles y como maximo 345 soles en monedas de 5 soles.
En forma analoga se tiene como mınimo 700 soles y como maximo 740 soles en billetes de 10
soles.
Luego la cantidad de dinero a repartir tiene como valor mınimo:
60 + 325 + 700 = 1085 soles
y como maximo 64 + 345 + 740 = 1149 soles.
Ademas se sabe que esta cantidad es multiplo de 80, luego la cantidad buscada es: 80× 14 =
1120 soles
La suma de las cifras es: 1 + 1 + 2 + 0 = 4
Problema 1.18. El numero de alumnos que se encuentran en un aula es menor que 240 y
mayor que 100; se observa que los 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son alumnos de la
especialidad de ciencias. ¿Cual es la suma de los alumnos que usan anteojos de la especialidad
de ciencias?.
Solucion. Sea N el numero total de alumnos, entonces
100 < N < 240 (1)
Si los 27
de N usan anteojos y los 513
de N son de ciencias; entonces N debe ser multiplo de 7
y 13 a la vez.
Luego:
N =0
M.C.M.(7, 13) =0
91 ⇒ N = 91k, k ∈ Z (2)
(2) en (1):
100 < 91k < 240 ⇒ 1, 09 < k < 2, 68 ⇒ k = 2
En (2), N = 91 × 2 = 182
La suma pedida sera 27(182) + 5
13(182) = 52 + 70 = 122
Problema 1.19. El numero de pisos de un edificio esta comprendido entre 100 y 130. A
dicho numero le falta una unidad para ser multiplo de 3; le falta 6 para ser multiplo de 8 y le
sobran 2 para ser multiplo de 10. ¿Cual es el numero de pisos?.
Solucion. Sea N el numero de pisos del edificio.
Luego
100 < N < 130 (31)
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si al numero de pisos de N lo disminuimos en 2, entonces resulta ser multiplo de 3; 8 y 10 a
la vez.
Luego:
N − 2 =0
M.C.M.(3; 8; 10) =0
120 ⇒ N =0
120 + 2 (2)
De (1) y (2) N = 122.
Problema 1.20. El numero de alumnos de un colegio esta comprendido entre 500 y 1000.
Si salen de paseo en grupos de 3 personas forman un numero exacta de grupos, los mismo
sucede si se salen en grupos de 5. El colegio esta conformado por secciones del mismo numero
de alumnos. El numero de secciones es igual al numero de alumnos por seccion, ¿cuantos
alumnos tiene el colegio?
Solucion. Sea N el numero de alumnos, entonces
500 < N < 1000 ((1))
Ademas
N =0
3, N =0
5 ⇒ N =0
15 ((2))
Tambien si m es el numero de alumnos por seccion (y el numero de secciones igual a m),
entonces:
N = m2 ((3))
De (2) y (3) N = 15k = m2. En (1) 500 < 15k = m21000
⇒ k = 15 × 4 ⇒ N = m2 = 15k = 15(15 × 4) = 900
Problema 1.21. Un tornero cuenta con tornillos que ha fabricado, por decenas por docenas,
y de quince en quince y siempre le resultan 9 sobrantes. Sabiendo que a razon de 10 soles
por tornillo obtiene un ingreso de mas de 5000 y menos de 6000 soles, hallar el numero de
tornillos fabricados
Solucion. Sea N el numero de tornillos.
Entonces:
5000 < 10N < 6000 ⇒ 500 < N < 600 ((1))
El numero de tornillos disminuido en 9 es un multiplo comun de 10, 12 y 15. Es decir:
N − 9 =0
M.C.M(10; 12; 15) =0
60 ⇒0
60 + 9 ((2))
De (1) y (2), N = 540 + 9 = 549
Problema 1.22. Sean A y B dos numeros enteros cuyo maximo comun divisor es 12 y la
diferencia de sus cuadrados es 20880. Hallar A − B
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Solucion. Sea A > B y k el M.C.D. de ellos. Luego k = 12.
Como A = kp; B = kq, donde p ∧ q son primos entre sı, entonces:
A2 − B2 = 20880
k2(p2 − q2) = 20880
p2 − q2 =20880
k2
p2 − q2 =20880
144p2 − q2 = 145
(p + q)(p − q) = 145
(p + q)(p − q) = 29 × 5
De donde: p + q = 29 × p − q = 5. Luego: p = 17; q = 12
Por lo tanto: A = 12 × 17 = 204 y B = 12 × 12 = 144
Luego: A − B = 204 − 144 = 60
Problema 1.23. La suma de los numeros a y b es 651; el cociente entre su M.C.M. y M.C.D.
es 108, luego a − b es:
Solucion. Sea a > b, M el M.C.M. y k el M.C.D. de ellos.
Como a = kp; b = kq; donde p ∧ q son primos entre sı, entonces:
a + b = 651 ⇒ k(p + q) = 651 ((1))
DeM
k= 108 ⇒ kpq
k= 108 ⇒ pq = 22 × 33 = 4 × 27 ((2))
Como p ∧ q son primos entre sı, de (2) tenemos:
p = 27 ∧ q = 4
Luego en (1); k(31) = 651 ⇒ k = 21
Entonces: a = 21 × 27 = 567; b = 21 × 4 = 84 y
a − b = 567 − 84 = 483
Actividades
1. Escribir los modelos logicos de las proposiciones dadas en esta sesion
2. Demuestre por induccion que (a + b)n = ka + bn ∀ a, b, n ∈ N, para algun k ∈ N.
3. Demuestre que abcd = 7k + 6a + 2b + 3c + d para algun k ∈ N.
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4. Demuestre que si d = MCD(a, b), entonces a = dα y b = dβ, donde α y β son primos
entre si.
5. Edgar desea dividir en parcelas cuadradas iguales, un terreno rectangular de 408 metros
por 216 metros. Si en cada vertice de cada parcela plantara un arbol, ¿cual sera el
mınimo numero de arboles que empleara? Rpta. 180
6. Se tiene 1872 barras de jabon cuyas dimensiones son 24, 16 y 8 cm. respectivamente.
¿Cuantas cajas cubicas como maximo se necesitan para empaquetarlas, si todas deben
estar completamente llenas? Rpta. 52
7. En un evento artıstico, por concepto de entradas se ha recaudado en 3 dıas S/. 5670, S/.
4998 y S/. 5628 respectivamente. ¿Cuantas personas han asistido en los 3 dıas, sabiendo
que el precio de la entrada ha sido el mismo y esta comprendio entre S/. 15 y S/. 40?
Rpta. 776
8. Para que un paquete con arroz que pesa mas de 6600g. complete un peso de 9 kg., se
puede utilizar un numero de pesas de 30g de 50g o de 80g, para lo cual cuenta con una
balanza de 2 platillos. ¿Cual es el peso exacto del paquete con arroz? Rpta. 7,8 kg.
9. En una companıa militar prestan servicios 250 hombres y cierto numero de ellos se
enfermaron. Si con el resto se forman grupos de 8, 10 y 12 hombres, siempre sobran 5 y
si se forman grupos de 7 hombres no sobra ninguno. ¿Cuantos militares se enfermaron?
Rpta. 5
10. Se dispone un terreno de forma rectangular de 540m por 120m el cual se quiere dividir
exactamente en parcelas cuadradas de igual area. Si se desea obtener entre 400 y 500
parcelas, hallar la suma de las cifras del lado (en metros) de cada parcela. Rpta. 3
72
Unidad 2
El sistema de los numeros enteros y
racionales. Su construccion y sus
aplicaciones
Objetivos
1. Definir axiomaticamente el sistema algebraico de los numeros enteros.
2. Mostrar la construccion axiomatica del sistema algebraico de los numeros enteros.
3. Probar las propiedades de los numeros enteros.
4. Definir axiomaticamente el sistema algebraico de los numeros racionales.
5. Mostrar la construccion axiomatica del sistema algebraico de los numeros racionales.
Contextualizando: Descifrando codigos
En el mundo actual, la informacion es un recurso valioso. todas las companıas privadas y los
gobiernos deben guardan cierto tipo de informacion es secreto. Los codigos se utilizan para
comunicar de manera segura informacion clasificada que debe decodificarse antes para que
pueda entenderse. Es esencia; que ul codigo sea facil de utilizar, pero muy difıcil de violar.
Uno de los codigos mas ampliamente utilizados en la industria, conocido como codigo RSA
se desarrollo en 1977. El codigo RSA empieza por cambiar el mensaje que ha codificarse por
un numero grande M . Despues de que se construye M , se transforma en un numero diferente
C mediante la formula C = Mk ( mod N) cuyos numeros k y N los conoce cualquiera. Por
lo regular, N contiene mas de 100 dıgitos. La unica forma conocida de decodificar C en M es
escribir primero N como producto de dos numeros unicos p y q, llamados numeros primos.
Aunque es facil factorizar un numero de dos dıgitos, como N = 21 en 3 × 7, habıa sido im-
posible hasta hace poco factorizar un numero de 120 dıgitos. Como consecuencia, los mensajes
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codificados de esta manera han sido ininteligibles para quienes desconocen los valores de p y
de q.
En 1977, Ronald Rivest del MIT (Massachusets Institute of Technologic), desafio a los inves-
tigadores a que decodificaran un mensaje que utilizaba el codigo RSA, el cual tenıa una N con
129 dıgitos. Se habıa estimado, sin conocimiento alguno de p y q se llevarıa aproximadamente
20 000 anos descifrar este mensaje. Sin embargo con ayuda de la teorıa de los numeros, a 600
matematicos de 25 paıses diferentes les tomo solo 17 anos factorizar N en numeros primos de
64 y 65 dıgitos. El mensaje decodificado decıa: “las palabras magicas son fastidiosas osifrada”.
Como muchos codigos industriales de hoy en dıa utilizan de 130 a 140 dıgitos para N , podrıa
ser apropiado aumentar el tamano de N antes de que se violen los codigos importantes. En
esta unidad, estudiaremos el espacio donde es posible este tipo de soluciones.
�
�
DESARROLLO TEMATICO
El olvido de las matematicas perjudica a todo el conocimiento,
ya que el que las ignora no puede conocer las otras
ciencias ni las cosas de este mundo.
Roger Bacon
2.1. Sesion 7: Definicion axiomatica de Z. Orden en Z.
Sustraccion en Z
Contextualizando: Construyendo el conjunto Z
En el Sistema de los Numeros Naturales, la suma y el producto de dos numeros naturales
siempre existen y son numeros naturales. En cambio, la diferencia y el cociente de dos numeros
naturales no siempre existen, por ejemplo 2− 3 o 23
no son numeros naturales, puesto que no
existen numeros naturales u y v tales que: 2 = 3 + u y 2 = 3 · v. En terminos algebraicos, en
N no es posible resolver ecuaciones como las siguientes: x + 3 = 2 o 3x = 2.
Surge entonces la necesidad de ampliar el Sistema de los Numeros Naturales, a un nuevo
conjunto que “lo contenga 2en el cual la suma, la diferencia y el producto de dos elementos de
este nuevo conjunto sea otro elemento del mismo; este nuevo conjunto sera el de los Numeros
Enteros.
Una manera formal de introducir el conjunto de los numeros enteros Z es a partir de N. Se
define en N × N una adecuada relacion, de equivalencia, la cual determina una particion de
N × N, o sea el conjunto cociente al cual se le llama Z. Luego, se definen las operaciones de
adicion y multiplicacion en Z, obteniendose el sistema de los numeros enteros Z.
Como el caso del Sistema de los numeros naturales N se introducira, por razones didacticas,
el Sistema de Numeros Enteros Z usando el metodo axiomatico.
74
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2.1.1. Definicion axiomatica de Z
El Sistema de los Numeros Enteros es un conjunto, denotado por Z, provisto de dos
operaciones internas llamadas adicion y multiplicacion.
• La Adicion es una operacion interna en Z, que asocia a cada par de numeros enteros (a, b) ∈Z×Z un unico numero entero llamado suma de a y b, denotado por a+ b. Simbolicamente:
+ : Z × Z, tal que (a, b) → a + b
Los numeros enteros a y b reciben el nombre de sumandos.
• La Multiplicacion es una operacion interna en Z, que asocia a cada par de numeros enteros
(a, b) ∈ Z × Z un unico numero entero llamado producto de a y b, denotado por a · b o
simplemente ab. Simbolicamente:
· : Z × Z → Z, tal que (a, b) → a · b
Los numeros a y b reciben el nombre de factores.
La adicion y la multiplicacion satisfacen los siguientes diez axiomas:
AXIOMAS ADICION MULTIPLICACION
Conmutatividad E1) a + b = b + a
∀ a, b ∈ ZE5) a · b = b · a
∀ a, b ∈ Z
Asociatividad E2) (a + b) + c = a + (b + c)
∀ a, b, c ∈ Z
E6) (a · b) · c = a · (b · c)
∀ a, b, c ∈ N
Elemento Neutro E3) Existe un unico numero
entero llamado cero
denotado por 0, tal que:
a + 0 = a ∀a ∈ Z
E7) Existe un unico
numero entero llamado
uno denotado por
1, tal que: a · 1 = a
∀a ∈ Z
Elemento Opuesto E4) Para todo a ∈ Z existe
un unico b ∈ Z, llama-
do opuesto de a y de-
notado por −a tal que:
a + b = 0 O
sea, a + (−a) = 0
Cancelacion E8) Si a · c = b · c ∧c 6= 0 entonces a = b
∀ a, b, c ∈ N
Distributividad E9) a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ Z
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Nota:
Cuando se define un Sistema Numerico como un conjunto provisto de ciertas operaciones,
queda tacitamente establecido que se cumplen todos los axiomas de la Teorıa de Conjuntos y
todas las relaciones con sus propiedades que pueden definirse en el; en particular, la relacion
de Igualdad, que, obviamente, goza de las propiedades: reflexiva, simetrica y transitiva.
2.1.2. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores
Teorema 2.1. Si a, b y c son numeros enteros, se cumplen las siguientes propiedades:
Si a = b entonces a + c = b + c y ac = bc.
Corolario 2.1.
a) a = b ∧ c = d ⇒ a + c = b + d
b) a = b ∧ c = d ⇒ a · c = b · d
Las demostraciones son analogas a las realizadas en N.
Teorema 2.2. Si a y b son numeros enteros, se cumplen las siguientes propiedades:
a) a · 0 = 0
b) ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
Las demostraciones son analogas a las realizadas en N.
Corolario 2.2.
Si a 6= 0 ∧ b 6= 0, entonces ab 6= 0
A continuacion, mencionamos las propiedades mas importantes del opuesto de un numero
entero
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Teorema 2.3. Si a y b son numeros enteros, se cumplen las siguientes propiedades:
a) −(−a) = a, para todo a ∈ Z
b) −(a + b) = (−a) + (−b)
c) (−1)a = −a
d) a(−b) = (−a)b = −(ab)
e) (−a)(−b) = ab
Demostracion.
1. Como (−a) es el opuesto de a y −(−a) es el opuesto de (−a), se tiene:
a + (−a) = 0 y (−a) + a = 0
luego, por la unicidad del opuesto, resulta a = −(−a)
2. El opuesto de a + b es −(a + b). Por otra parte
(a + b) + {(−a) + (−b)} = a + (b + (−a)) + (−b) (asociativa)
= a + ((−a) + b) + (−b) (conmutativa)
= (a + (−a)) + (b + (−b)) (asociativa)
= 0 + 0 = 0 (elemento opuesto y neutro)
Por lo tanto (−a) + (−b) es tambien el opuesto de a + b y como el opuesto es unico se
concluye que −(a + b) = (−a) + (−b).
3.a + (−1)a = a · 1 + a(−1) (elemento neutro y conmutativa)
= a(1 + (−1)) (distributiva)
= a · 0 = 0 (opuesto y teorema 2.2)
Ası, (−1)a es el opuesto de a, luego como el opuesto debe ser unico, se tiene que
(−1)a = −a.
4.a(−b) = a((−1)b) (parte (c))
= (a(−1))b (asociativa)
= ((−1)a)b (conmutativa)
= (−a)b (parte (c))
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Ademas,
(−a)b = ((−1)a)b (parte (c))
= (−1)(ab) (asociativa)
= −(ab) (parte (c))
Por lo tanto
a(−b) = (−a)b = −(ab)
5.(−a)(−b) = (−a)((−1)b) (parte (c))
= ((−1)(−a)b) (asociativa y conmutativa)
= (−(−a)b) = ab (parte (c) y, luego, parte (a))
Por lo tanto
(−a)(−b) = ab
Teorema 2.4. [Cancelacion en la Adicion] Si a, b y c son numeros enteros, se tiene que:
a + c = b + c implica a = b
Demostracion. Si a + c = b + c entonces (a + c) + (−c) = (b + c) + (−c), de donde se sigue
que a + (c + (−c)) = b + (c + (−c)), o sea a + 0 = b + 0, lo que implica a = b.
A continuacion, se presenta el ultimo axioma del Sistema de los Numeros Enteros:
Teorema 2.5. Si se denota por 0N, 0Z, 1N y 1Z a los elementos neutros de la adicion y
multiplicacion de N y Z respectivamente; se tiene:
1. f(0N) = 0Z
2. f(1N) = 1Z
Demostracion. a) f(0N) = f(0N +0N) = f(0N)+f(0N). Como f(0N) = f(0N)+0Z resulta que
f(0N)+0Z = f(0N)+f(0N), luego aplicando la cancelacion (teorema 2.4) resulta f(0N) = 0Z
b) f(1N) = f(1N·1N). Como en Z f(1N) = f(1N) · · · (1N)1Z resulta que f(1N)·1Z = f(1N)·f(1N),
luego aplicando la cancelacion (teorema 2.4) resulta f(1N) = 1Z
Si definimos
2Z = 1Z + 1Z
entonces
f(2Z) = f(1Z + 1Z) = f(1Z) + f(1Z) = 1Z + 1Z = 2Z
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Como 1 6= 2 en N y f : N → Z es inyectiva, se tiene, f(1) 6= f(2) y en consecuencia, 1Z 6= 2Z.
Ası tenemos, en general, numeros enteros diferentes: 0Z, 1Z, 2Z, f(3), f(4), . . . A continuacion
estableceremos las propiedades de f(Z) = {f(n)/n ∈ N}
Teorema 2.6.
1. Para todo a, b ∈ f(N), se tiene que: a + b ∈ f(N)
2. Para todo a, b ∈ f(N), se tiene que: a · b ∈ f(N)
Demostracion.
i) Para todo a, b ∈ f(N), existen m, n ∈ N tales que a = f(m) y b = f(n), luego a + b =
f(m) + f(n) = f(m + n) ∈ f(N) pues m + n ∈ N, y por lo tanto, a + b ∈ f(N).
ii) Para todo a, b ∈ f(N), existen m, n ∈ N, tales que a = f(m) y b = f(n), luego a · b =
f(m) · f(n) = f(m · n) ∈ f(N), pues m · n ∈ N.
En virtud del teorema anterior, como f(N) ⊂ Z, las operaciones internas de adicion y multi-
plicacion del conjunto de los numeros enteros Z, restringidas a f(N) ⊂ Z, inducen las mismas
operaciones internas en f(N) y, en consecuencia se demuestra el siguiente e importante
Teorema 2.7. El conjunto f(N) = {f(n)/n ∈ N}, provisto de las operaciones internas de
adicion y multiplicacion
+ : f(N) × f(N) → f(N) tal que (a, b) → a + b
· : f(N) × f(N) → f(N) tal que (a, b) → a · b
inducidas por las operaciones de Z verifican N1 − N11.
Demostracion.
La verificacion de los axiomas N1−N9 es inmediata. N10 y N11 se demuestran en el Teorema
2.8 y el Teorema 2.10, respectivamente.
Si consideramos las siguientes notaciones:
Z+0 = f(N) = {f(n)/n ∈ N} y Z+ = f(N+) = {f(n)/n ∈ N+}
Podemos demostrar el siguiente
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Teorema 2.8. [Ley de Triconotomıa]
Para todo a ∈ Z se cumple una y solo una de las siguientes posibilidades:
a ∈ Z+ ∨ a = 0 ∨ −a ∈ Z+
Demostracion.
i) Si a = 0 por el teorema 2.5, a = f(0N).
Supongamos que a ∈ Z+, entonces existe n ∈ N+ tal que f(n) = a, luego f(n) = f(0N) lo
cual implica que n = 0N pues f es inyectiva, es decir, 0N ∈ N+, lo que es una contradiccion,
por lo tanto 0 6∈ Z+, esto es a 6∈ Z+. Y como −0 = 0, entonces −0 6∈ Z+; es decir −a 6∈ Z+
ii) Si a 6= 0, por el axioma E10(iv) existe n ∈ N tal que a = f(n) o −a = f(n).
Ademas, n ∈ N+ pues de lo contrario si n = 0N, a = 0.
Ası f(n) ∈ f(Z+) = Z+, luego a ∈ Z+ o −a ∈ Z+.
Supongamos que a ∈ Z+ y −a ∈ Z+, entonces existen m, n ∈ N+ tales que a = f(m) y
−a = f(n), luego
f(m + n) = f(m) + f(n) = a + (−a) = 0 = f(0N)
Y como f es inyectiva, m + n = 0N, entonces 0N∼ lo cual es una contradiccion.
En consecuencia, si a 6= 0 se cumple una y solo una de las dos posibilidades:
a ∈ Z+ o − a ∈ Z+
2.1.3. Orden en Z
Definicion 2.1. Sean a y b dos numeros enteros. Se dice que a es menor que b y se denota
a < b, si, y solo si, existe c ∈ Z+ tal que a + c = b.
Simbolicamente:
a < b ⇔ ∃c ∈ Z+/a + c = b
Se dice que b es mayor que a, y se denota b > a si, y solo si, a < b
Simbolicamente:
b > a ⇔ a < b
Observaciones:
Como consecuencia de estas definiciones se tiene: Si c ∈ Z+, entonces c > 0 pues existe c ∈ Z+
tal que 0 + c = c.
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Si c ∈ Z−, entonces c < 0 pues existe −c ∈ Z+ tal que c + (−c) = 0.
Luego por la ley de tricotomıa si a ∈ Z se cumple una y solo una de las siguientes posibilidades:
a > 0 ∨ a = 0 ∨ a < 0
Luego, si a < b entonces a > b o a = b, este hecho permite definir las relaciones:
a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b que se lee “a es menor o igual que b”, y a ≥ b ⇔ a > b ∨ a = b que
se lee “a es mayor o igual que b”.
La negacion de a < b es a ≥ b.
Teorema 2.9. Sean a = f(m), b = f(n) ∈ Z+0 , entonces m < n si, y solo si, a < b
Demostracion. (⇒) Si m < n en N, existe k ∈ N+ tal que m + k = n, luego
f(n) = f(m + k) = f(m) + f(k)
y como f(k) ∈ Z+, por definicion f(m) < f(n), es decir, a < b.
(⇐) Si a < b, existe c ∈ Z+ tal que a+ c = b. Como c = f(k), existe k ∈ N+ tal que c = f(k)
entonces f(m + k) = f(m) + f(k) = a + c = b = f(n) y como f es inyectiva, m + k = n
con k ∈ N+, por lo tanto m < n.
Ası, para todo m, n ∈ N, m < n ⇔ f(m) < f(n) y en consecuencia, como 0 < 1 < 2 < 3 <
· · · < n < · · · entonces 0Z < 1Z < 2Z < f(3) < · · · < f(n) < · · · en ZPor otro parte, no existe numero entero a tal que 0Z < a < 1Z. En efecto, si tal numero
existiera, seria positivo, esto es a ∈ Z+ = f(N+) y existe n ∈ N tal que a = f(n), luego
0Z = f(0) < f(n) < f(1) = 1. y por el teorema 2.5-2, se tiene que 0 < n < 1 con n ∈ N+ lo
cual es una contradiccion con el Principio del Buen Orden en N (Axioma N11).
Este importante principio lo formulamos en Z mediante el siguiente
Teorema 2.10. [Principio del Buen Orden en Z] Todo subconjunto no vacıo de Z+0 posee
elemento mınimo.
Demostracion. Sea B un subconjunto de Z+0 , B 6= φ entonces A = f 1(B) = {x ∈ N/f(x) ∈ B}
es un subconjunto de N y A 6= ∅ pues f : N → Z+0 es subyectiva, luego por el axioma del
Buen Orden en N, A posee elemento mınimo al cual lo designamos por m ∈ A.
Probaremos ahora que f(m) es mınimo de B. Para todo b ∈⊂ f(N) existe n ∈ A tal que
f(n) = b y como m es mınimo de A se tiene que m ≤ n, luego f(m) ≤ f(n) = b.
Ası, para todo b ∈ B, se tiene que f(m) ≤ b, por lo tanto f(m) es el mınimo de B.
Nota Importante:
La funcion f : N → f(N) cumple las siguientes propiedades:
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1) f : N → f(N) es una biyeccion
2) f(m + n) = f(m) + f(n) y f(mn) = f(m)f(n)
La propiedad 1 del teorema anterior, desde el punto de vista de la teorıa de conjuntos nos
permite identificar f con f(N) y escribir simbolicamente N ∼= f(N), ası como identificar sus
elementos y escribir tambien
0N ≡ f(0N) = 0Z, 1N = 1Z, . . . , nN ≡ f(nN) = nZ
La propiedad 2, nos permite identificar desde el punto de vista algebraico a N con f(N). En
los cursos avanzados de algebra, se dice que f : N → f(N) es un isomorfismo algebraico.
Finalmente, si consideramos las siguientes notaciones Z+0∼= f(N) y Z+ = f(N+), podemos
identificar Z+0 con f(N) y Z+
0 con f(N), ası como tambien llamar a los numeros naturales,
numeros enteros naturales y a los numeros naturales positivos, enteros positivos.
Observacion: El conjunto Z+0 = f(N) provisto las operaciones de adicion y multiplicacion
de numeros enteros (teorema 2.5(c) y 2.5(d)) satisface todos los axiomas de N (teorema 2.5-1,
2.5-2 y 2.5-3).
Ası queda establecido que Z+0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} Segun el teorema 2.5-1, ∀ a ∈ Z, si a ∈
Z ∪ {0} entonces −a ∈ Z+.
Si definimos Z− = {a ∈ Z/−a ∈ Z+} al conjunto de los opuestos de los elementos de Z−, esto
es, Z− = {−1,−2,−3,−4, . . .} llamado tambien conjunto de los numeros enteros negativos,
entonces ∀ a ∈ Z, se tiene por la Ley de Tricotomıa que:
a ∈ Z+ ∨ a = 0 ∨ a ∈ Z
Ası, Z = Z+ ∪ {0} ∪ Z−
luego
Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}
. Como para todo a ∈ Z+ se tiene −(a + 1) < −a pues existe 1 ∈ Z+ tal que
−(a + 1) + 1 = [(−a) + (−1)] + 1 = (−a) + [(−1) + 1] = (−a) + 0 = −a
Se tiene finalmente que:
· · · < −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < · · ·
Se pueden “identificar”los numeros enteros con ciertos puntos de la recta geometrica R. Al
numero entero cero “0”se le asigna un punto cualquiera de la recta y luego fijando una cierta
“unidad de medida.a los numeros enteros positivos y a los negativos se les asigna puntos a la
derecha y a la izquierda del 0, respectivamente, tal como lo indica la siguiente figura:
De esta manera, se establece una aplicacion α : Z → R que hace corresponder a cada numero
entero un punto de la recta geometrica.
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2.1.4. Sustraccion en Z
Definicion 2.2. Dados los numeros enteros a y b, se llama diferencia de a y b, y se denota
a − b, al numero entero c tal que a = b + c. Es decir, a − b = c ⇔ a = b + c.
Los numeros a y b reciben los nombres de minuendo y sustraendo, respectivamente
Teorema 2.11. Dados los numeros enteros a y b, la diferencia a − b siempre existe y es
unica.
Demostracion. Dados los numeros enteros a y b, sea c = a + (−b), entonces c ∈ Z y
b + c = b + (a + (−b)) = b + ((−b) + a) (axioma de sustitucion y conmutativa)
= (b + (−b)) + a = 0 + a = a (prop asociativa, del opuesto y elemento neutro)
Luego a = b + c y aplicando la definicion de diferencia, a − b = c.
Es importante recordar la igualdad a − b = a + (−b)
El teorema anterior nos permite decir que la aplicacion “-”que asocia a cada par de numeros
enteros (a, b), su diferencia a − b.
− : Z × Z tal que (a, b) → a − b
es una operacion interna que recibe el nombre de Sustraccion.
Observacion: La ecuacion x+a = b: Una gran variedad de problemas y situaciones cotidianas
se plantean algebraicamente con ecuaciones de la forma
x + a = b
y para su esclarecimiento se requiere de la solucion de dicha ecuacion. Pero, ¿es siempre
posible resolver esta ecuacion?, la solucion depende de cual sea el sistema de numeros en que
estamos resolviendo el problema. Por ejemplo, la ecuacion
x + 5 = 3
no tiene solucion si nuestro universo es el conjunto de los numeros naturales. En cambio ten-
emos el siguiente resultado.
Teorema 2.12. Sean a y b numeros enteros, entonces
x + a = b ⇔ x = b − a
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Demostracion.
x + a = b
x + a + (−a) = b + (−a) (teorema 2.2.a)
x + (a + (−a)) = b − a (asociatividad)
x + 0 = b − a prop. del opuesto
x = b − a (elemento neutro)
Es claro, entonces, que la solucion de la ecuacion x + a = b no siempre es posible resolverla
en N, pues no siempre se puede restar dos numeros naturales a menos que el minuendo sea
mayor o igual que el sustraendo.
Este teorema es muy importante y facilita el calculo, pues las operaciones con numeros en-
teros se reducen simplemente a operar con numeros naturales, sumas, restas y productos en
N, como se ilustrara mediante las siguientes Reglas practicas para la suma, resta y el producto
de numeros enteros.
Ejemplo 2.1. a) Si a y b son numeros enteros tales que a + b + a · b = 364, determina el
valor de a + b. Dar todas las soluciones.
Solucion:
Como
a + b + a · b = 365
1 + a + b + a · b = 365
(a + 1)(b + 1) = 365
Al descomponer 365 en factores primos se obtiene 365=5.73.
Entonces, analizando los factores, las soluciones son:
i. a + 1 = 1, b + 1 = 365. En este caso a = 0, b = 364.
Por lo tanto, a + b = 364.
ii. a + 1 = 365, b + 1 = 1. En este caso a = 364, b = 0.
Por lo tanto, a + b = 364.
iii. a + 1 = 5, b + 1 = 73. En este caso a = 4, b = 72. Por lo tanto, a + b = 76.
iv. a + 1 = 73, b + 1 = 5. En este caso a = 72, b = 4.
Por lo tanto, a + b = 76.
v. a + 1 = −1, b + 1 = −365. En este caso a = −2, b = −366
. Por lo tanto, a + b = −368.
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vi. a + 1 = −365, b + 1 = −1. En este caso a = −366, b = −2.
Por lo tanto, a + b = −368.
vii. a + 1 = −5, b + 1 = −73. En este caso a = −6, b = −74.
Por lo tanto, a + b = −80.
viii. a + 1 = −73, b + 1 = −5. En este caso a = −74, b = −6.
Por lo tanto, a + b = −80.
Luego (a + b) puede tomar los valores: 364,76,-80,-368.
Actividades
1. Escriba los modelos logicos de las proposiciones dadas en esta sesion.
2. Respecto a las definiciones, identificar las condiciones necesarias y suficientes
3. Detalle la demostracion del Teorema 2.10.
4. Si Luis tuviera S/.17 menos, tendrıa S/.18. Si Mario tuviera S/.15 mas, tendrıa S/.38.
Si Juan tuviera S/.5 menos, tendrıa S/.10 mas que Luis y Mario juntos. Si Darıo tuviera
S/.18 menos, tendrıa S/.9 mas que la diferencia entre la suma de lo que tienen Mario y
Juan y lo que tiene Luis. ¿Cuanto tienen en total los cuatro?
5. Un capataz contrata un obrero ofreciendole S/.70 por cada dıa que trabaje y S/.40 por
cada dıa que, por alguna razon justificada, no pueda trabajar. Al cabo de 35 dıas el
obrero ha recibido S/.2 000. ¿Cuantos dıas trabajo y cuantos no trabajo?
6. Un pequeno ganadero decide vender sus vacas; si las vende a S/.2900 cada una tendrıa
una perdida total de S/.2000. Si las vende a S/.3500 cada una tendrıa entonces una
ganancia de S/.2800. ¿Cuantas son las vacas que desea vender?
7. Ciento cinco litros de agua deben ser llenados en depositos de 11 y 4 litros. ¿Cuantos
son de 11 litros si en total se usan 21 depositos?
8. Un barril contiene 69 litros de cierto lıquido. Si este lıquido debe ser envasado en 27
botellas, unas de 2 litros y otras de 3 litros. ¿Cuantas botellas de 2 litros se va a necesitar?
9. Hace 2 anos cada habitante de una urbanizacion recibıa 300 litros de agua por dıa. Ac-
tualmente el numero de habitantes aumento en 180 teniendo que recibir cada habitante
6 litros menos. ¿Cuantos habitantes tiene actualmente dicha urbanizacion?
10. La duena de una cadena de tiendas de ventas de ropa, tiene la siguiente informacion
acerca de sus ganancias (cantidades positivas) o perdidas (cantidades negativas) men-
suales, durante el ano 2002:
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MESES DEL
ANO 2002
Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4 Tienda 5
ENERO +S/.1573 -S/.713 +S/.618 +S/.846 -S/.324
FEBRERO -S/.715 +S/.1812 -S/.116 +S/.1714 S/.1804
MARZO +S/.617 -S/.615 -S/.67 -S/.84 -S/.10
ABRIL +S/.615 +S/.819 -S/.129 +S/.647 -S/.48
MAYO -S/.318 +S/.768 -S/.430 +S/.259 -S/.701
JUNIO +S/.916 -S/.105 -S/.437 +S/.817 -S/.820
JULIO +S/.715 +S/.614 -S/.508 -S/.511 -S/.613
AGOSTO -S/.1607 +S/.813 +S/.101 +S/.604 -S/.781
SETIEMBRE +S/.1810 -S/.504 -S/.406 -S/.508 -S/.659
OCTUBRE -S/.468 +S/,617 -S/.507 -S/.119 -S/.808
NOVIEMBRE +S/.2315 +S/.908 +S/.213 +S/.205 -S/.101
DICIEMBRE +S/.7517 +S/.6313 +S/.102 +S/.763 -S/.86
a) ¿Cual o cuales de las 5 tiendas deberıan ser cerradas por sus perdidas?
b) ¿Cual de las 5 tiendas tuvo la mayor ganancia anual? ¿Cual fue esta ganancia?
c) ¿Tuvo la duena ganancia o perdida durante el mes de Setiembre en todas sus
tiendas?
d) ¿Cual de los 12 meses fue el mas difıcil? ¿Cuanto perdio? o ¿Cuanto fue lo que
gano?
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2.2. Sesion 8: Valor absoluto. Division, potenciacion y
radicacion en Z. Divisibilidad en Z
Fermat, el verdadero inventor del calculo diferencial
Laplace
Contextualizando: Comparacion entre montanas y depresiones
Las dos tablas muestran las alturas de ciertas montanas en la profundidad de determinadas
depresiones, utilice la informacion dada para encontrar las respuestas a las preguntas formu-
ladas
Profundidad en pies
Montana Altura (en pies) Depresion (como un numero negativo)
Foraker 17 400 Filipinas -32 995
Wilson 14 246 Caiman -24 721
Monte Pikes 14 110 Java -23 376
¿Cual es la diferencia entre la altura del Monte Foraker y la profundidad de la fosa de las
Filipinas?
¿Que tanto mas profunda es la fosa del Caiman que la fosa de Java?
2.2.1. Valor absoluto
Definicion 2.3. Dado el numero entero a, se llama valor absoluto de a y se denota con |a|,al numero entero:
|a| = a, si a ≥ 0 y
|a| = −a, si a < 0
De la definicion se prueba inmediatamente que |a| ≥ 0, para todo entero a.
Teorema 2.13. 1. |a| = 0 ⇔ a = 0
2. | − a| = |a|
3. a ≤ |a| y −a ≤ |a|
4. |a + b| ≤ |a| + |b|
5. |ab| = |a||b|
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Demostracion. a) (⇒) Supongamos que a 6= 0 Si a > 0, entonces |a| = a 6= 0.
Si a < 0, entonces |a| = −a 6= 0. Por lo tanto a 6= 0 implica |a| 6= 0; es decir,
|a| = 0 ⇒ a = 0.
(⇐) Si a = 0, entonces, de la definicion, se sigue inmediatamente que |a| = 0.
1. Sea a ∈ Z Si a ≥ 0, entonces |a| = a y por lo tanto −a ≤ 0 ≤ a = |a|, ası a ≤ |a| y
−a ≤ |a|.Si a ≤ 0, entonces |a| = −a y por lo tanto
a ≤ 0 ≤ −a = |a|, ası a ≤ |a| y y − a ≤ |a|
c) Sea a ∈ Z. Si a ≥ 0, entonces |a| = a y por lo tanto −a ≤ 0 ≤ a = |a|, ası a ≤ |a| y
−a ≤ |a|.Si a ≤ 0, entonces |a| = −a y por lo tanto
a ≤ 0 ≤ a = |a|, ası a ≤ |a| y − a ≤ |a|
d) a ≤ |a|, −a ≤ |a|b ≤ |b|, −b ≤ |b|, entonces
a + b ≤ |a| + |b| y − (a + b) = (−a) + (−b) ≤ |a| + |b|
por lo tanto, segun la definicion, |a + b| ≤ |a| + |b|.La demostracion de (b) y (e) son similares a las anteriores, basta analizar los distintos casos
para a, b ∈ R
2.2.2. Division, potenciacion y radicacion en Z
Definicion 2.4. Dados los numeros enteros a y b con b 6= 0, se llama cociente de a y b, y se
denota a/b, al numero entero c, si existe, tal que a = b · c. Es decir, a
b= c ⇔ a = b · c
Por ejemplo: (−24)/3 = −8 pues −24 = (−8) × 3
. Recıprocamente, (−7) × (−9) = 63, entonces 63/(−7) = −9 o tambien, 63/(−9) = −7
Haciendo una ligera modificacion al Teorema 1.11 del Cap. 2, se prueba como en N, el siguiente
Teorema 2.14. [Algoritmo de la Division de Euclides] Sean a, b ∈ Z, con b > 0, entonces,
existen numeros enteros r y q, unicos, tales que
a = bq + r, con 0 ≤ r < b
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Ejemplo 2.2. a) Sean los numeros enteros -86 y 11, existen los numeros -8 y 2 tales que
−86 = 11(−8) + 2 (division inexacta)
b) Sean los numeros enteros -84 y 12, existen los numeros -7 y 0 tales que
−84 = 12(−7) + 0 (division exacta)
Definicion 2.5. Sean a y n dos numeros enteros, n no negativo, la potencia an, esta dada
por:
i) a0 = 1, a 6= 0
ii) an = a · an−1, para n ≥ 1
En la expresion an; el numero a se llama base y el numero n se llama exponente.
Ejemplo 2.3. ¿Cuantos numeros enteros “a” cumplen que 7 < a2 < 39?
Solucion. Los numeros enteros positivos a que cumplen dicha condicion son 3,4,5,6, cuyos
cuadrados son 9,16,25 y 36. Pero como (−a)2 = a2, entonces tambien cumplen la condicion
-3, -4, -5 y -6. En total son ocho numeros.
Definicion 2.6. Sean a ≥ 0 y n numeros enteros, n ≥ 1. Se llama raız n−esima de a y se
denota n√
a , al numero entero positivo b, si existe, tal que bn = a.
Simbolicamente:n√
a = b ⇔ bn = a
En la expresion n√
a, diremos que n es el ındice del radical, y que a es el radicando o expresion
subradical.
Teorema 2.15. Si a, b ∈ Z y n ≥ 1, se tiene:
a) Si n√
a y n√
b existen, entonces existe n√
ab y ademas n√
ab = n√
a · n√
b
b) Si n√
a existe, entonces existe n√
am y n√
am = ( n√
a)m
c) Si n√
m√
a existe, entonces existen mn√
a y m√
n√
a = n√
m√
a = m√
n√
a
2.2.3. Divisibilidad en Z
La divisibilidad en Z, se presenta de manera analoga a la desarrollada en N, pero a diferencia
de N, las justificaciones de las afirmaciones en Z se hacen mas sencillas, debido a que ya no
tenemos la restriccion de que la diferencia de dos numeros enteros no este definida. Al final de
esta sesion, daremos los resultados mas importante de la teorıa de Congruencias que tambien
se utilizan para llegar a los criterios de divisibilidad.
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Definicion 2.7. Sean a y b dos numeros enteros con a 6= 0. Diremos que a divide a b, y
denotaremos a|b, si existe un numero entero n tal que b = an.
En caso contrario, escribiremos a��|b, a no divide a b. Si a divide a b, diremos tambien que b
es multiplo de a.
Teorema 2.16. Sean a, b y c numeros enteros. Se cumplen las siguientes propiedades:
a) a|a para todo a 6= 0 (Reflexiva)
b) Si a|b y b|c, entonces a|c (Transitiva)
c) Si a|b, entonces a|bc para todo numero entero c
d) Si a|b, entonces ac|bc, ∀ c 6= 0
e) Si ab|c, entonces a|c y b|c.
f) Si a|bi(i = 1, 2, . . . , n) , entonces a|(m1b1 + m2b2 + · · ·+ mnbn), ∀mi ∈ Z
g) Si a|(b + c) y a|b, entonces a|c
Demostracion. La demostracion es analoga a la del Teorema 2.13 en N
Lema 2.1. Sean a, b numeros enteros, el conjunto J = {ax + by/ x, y ∈ Z}, goza de las
siguientes propiedades:
1. Si m, n ∈ J , entonces m + n ∈ J , m − n ∈ J
2. Si k ∈ Z y m ∈ J , entonces km ∈ J .
Demostracion. - Si ambos a y b son ceros, entonces J = {0}, y claramente se cumplen (a) y
(b).
- Si alguno de los numeros a, b es cero. Supongamos, sin perdida de generalidad, que b = 0,
entonces J = {ax/x ∈ Z}, es el conjunto de multiplos enteros de a y por la parte (f) del
teorema 2.10, la suma y diferencia de multiplos de a es multiplo de a y por la parte (c) del
mismo teorema, si a|m, entonces a|km, para todo k ∈ Z, cumpliendose ası (a) y (b).
- Sean a y b enteros diferentes de cero. Si m, n ∈ J , entonces m = ax1 + by1, n = ax2 + by2,
donde x1, y1, x2, y2 ∈ Z
⇒ m + n = a(x1 + x2) + b(y1 + y2) ∈ J, pues (x1 + x2), (y1 + y2) ∈ Z, y
⇒ m − n = a(x1 − x2) + b(y1 − y2) ∈ J, pues (x1 − x2), (y1 − y2) ∈ Z
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- Si k ∈ Z y m ∈ J , entonces m = ax + by, con x, y ∈ Z.
Luego, km = k(ax + by) = a(kx) + b(ky) ∈ J , pues kx, ky ∈ Z
Observacion:
Sean a, b numeros enteros, a las expresiones de la forma ax+ by, siendo x, y numeros enteros,
se les llama combinacion lineal de a y b.
Teorema 2.17. Sean a, b numeros enteros, al menos uno de ellos diferente de cero, existe
un numero entero positivo d, tal que:
i) d|a y d|b
ii) Si d′|a y d′|b, entonces d′|d
Demostracion. Sean J = {ax + by/x, y ∈ Z} y J+ = J ∩ Z+.
J+ es no vacıo pues 0 6= a2 + b2 ∈ J+, luego por el principio del Buen Orden, el conjunto J+
posee un elemento mınimo, llamemosle d ∈ J+, es decir, d es positivo y d = ax0 + by0, para
algun x0, y0 ∈ Z
Probaremos ahora que d divide a todo elemento de J :
Sea m ∈ J , por el algoritmo de la division en Z, existen numeros enteros r, q tales que
m = dq + r, 0 ≤ r < d. Si r 6= 0, entonces r = m + (−q)d, y como d, m ∈ J , por el Lema,
r ∈ J y como r es positivo, entonces r ∈ J+ lo que es una contradiccion con la minimalidad
de d. Luego r = 0 y en consecuencia, m = dq.
Como a, b son elementos de J , tenemos que:
i) d|a y d|bAdemas, sea d′ un numero entero positivo, si d′|a y d′|b, por el Lema, d′|(ax0 + by0),
entonces d′|d.
La unicidad, resulta de la observacion siguiente: Si d0 es tambien el M.C.D de a y b,
entonces d0Πd y dΠd0.
Esto solo ocurre si d = ±d0. Pero como estos numeros ambos son positivos, debe ser
d = d0.
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Corolario 2.3. El maximo comun divisor de dos numeros enteros a y b, es la menor
combinacion lineal positiva de a y b. Es decir,
MCD(a, b) = mın[{ax + by/x, y ∈ Z} ∩ Z+]
Observacion:
Sean a, b numeros enteros, no nulos.
a) A diferencia de N, en Z, si a|b y b|a, esto no implica que a = b, es decir, la relacion divide
no es una relacion antisimetrica, pues puede ocurrir tambien que sea a = −b.
b) Si a es multiplo de b, el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el conjunto
de los divisores b; en particular el maximo de los divisores: < a, b >= b. Si a es multiplo
de b, en Z, no implica que a sea mayor que b.
Definicion 2.8. Dado dos numeros enteros a y b, se dice que a y b, son coprimos (o primos
relativos o primos entre sı), si el maximo comun divisor de ellos es 1.
Teorema 2.18. Sean a, b ∈ Z, a y b, coprimos, si, y solo si, existen numeros enteros m y
n tales que ma + nb = 1.
Demostracion. Si a y b, son primos entre sı, entonces MCD(a, b) = 1, luego por el teorema
2.12, existen enteros m y n tales que 1 = MCD(a, b) = ma + nb.
Recıprocamente, si ma+nb = 1, se tiene que 1 es combinacion lineal de a y b, y es la mınima
combinacion positiva ya que 1 es el menor entero positivo, luego MCD(a, b) = 1, por el
corolario ??, por lo tanto a y b son coprimos.
El teorema anterior constituye una nueva definicion de numeros coprimos.
Teorema 2.19. Si d|ab y < d, a >= 1, entonces d|b.
Demostracion. Si < d, a >= 1, existen enteros m y n tales que md + na = 1, luego multipli-
cando por b ambos miembros, aplicando propiedades en Z, resulta: (bm)d + n(ab) = b. Como
d|d y d|ab, entonces d|((bm)d + n(ab)) = b, por el teorema 2.10.
Teorema 2.20. Si < a, b >= 1, a|m y b|m, entonces ab|m.
Demostracion. Si a|m, existe un entero k tal que ak = m, por otra parte, como b|m = ak y
dado que b y a son coprimos resulta b|k por el teorema 2.14, lo que implica la existencia de
un numero entero q tal que bq = k, de donde (ab)q = ak = m, es decir ab|m.
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Teorema 2.21. Si d y a son coprimos y d y b son tambien coprimos entonces d y ab son
coprimos.
Simbolicamente:
Si < d, a >= 1 y < d, b >= 1, entonces < d, ab >= 1.
Demostracion. Si s y a son coprimos, existen enteros m1, n1, tales que m1d+n1a = 1 (teorema
2.10). Analogamente si d y b son coprimos, existen enteros m2 y n2 tales que m2d + n2b = 1,
multiplicando miembro a miembro resulta (m1m2d+m1n2b+n1m2a)d+(n1n2)ab = 1, lo que
implica d y ab son coprimos (teorema 2.13)
Definicion 2.9. Sea p un numero entero, p 6= 0, p 6= ±1, p es primo si, y si solo si, p admite
como unicos divisores a los numeros enteros ±1 y ±p.
Ası, son numeros primos ±2,±3,±5,±7,±11, . . . , etc.; es decir, p es primo en N si, y solo si,
±p es primo en Z.
Teorema 2.22. Si p es un numero primo y a un entero cualquiera, entonces < p, a >= 1
o bien p|a.
Demostracion. Supongamos p y a no sean coprimos, probaremos que p|a. En efecto si p y a
no son coprimos, existe un entero m 6= ±1 tal que m|p y m|a, pero como p es primo, por
definicion m|p implica m = ±p, luego p|a.
Teorema 2.23. Si p es primo y p|ab, entonces p|a o p|b.
Demostracion. Si p/a, se cumple que p y a son coprimos, segun el teorema 2.17, luego existen
enteros m y n tales que mp + na = 1. Multiplicando por b ambos miembros resulta (bm)p +
n(ab) = b, pero como p|bmp y p|n(ab), por definicion e hipotesis, luego se concluye que p|b,por el teorema 2.10.
Teorema 2.24. Si a es numero entero tal que a 6= 0 y a 6= ±1, entonces existe un numero
primo p > 1 tal que p|a.
Demostracion. Si a es primo el teorema esta demostrado pues basta tomar p = a.
Si a no es primo, consideremos el conjunto D de todos los divisores positivos de a mayores
que 1.
D no es vacıo pues, si a > 0, a ∈ D, y si a < 0, entonces a ∈ D, luego por el principio de
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la buena orden D posee un elemento mınimo: d, d > 1. Probaremos que d es primo: si no lo
fuera, por definicion de primo existirıa d′ > 1, d′ 6= d tal que d′|d, de donde resultarıa d′|a y
d ya no serıa el mınimo de D, lo que es una contradiccion.
Sea a es numero entero tal que a 6= 0 y a 6= ±1, si a no es primo diremos que es un numero
compuesto. Y segun el teorema que acabamos de demostrar, para todo numero compuesto
existe un numero primo que lo divide. Este hecho nos permite probar parte del siguiente
Teorema 2.25. Si a es un numero entero tal que a 6= 0 y a 6= ±1, entonces se puede
expresar como el producto de numeros primos positivos distintos:
a = ±pe1
1 · pe2
2 · · · pei
i , ei ≥ 1, i = 1, 2, . . . , r
Tal descomposicion es unica salvo el orden de los factores.
Definicion 2.10. Dados a, b ∈ Z, ambos diferente de cero; sea m > 0. Diremos que m es el
mınimo comun multiplo (MCM) de a y b si, y solo si,
i) a|m b|m
ii) Si a|m′ y b|m′ entonces m|m′
Notacion: m = [a, b] = MCM(a, b)
Teorema 2.26. El mınimo comun multiplo de dos numeros es igual al producto de dichos
numeros, dividido por su maximo comun divisor; es decir,
[a, b] · 〈a, b〉 = ab
Demostracion. Sea d = (a, b), existen α, β ∈ Z coprimos tales que a = dα, b = dβ y ademas
[a, b] = dαβ, entonces (a, b)[a, b] = d(dαβ) = (dα)(dβ) = ab.
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CONGRUENCIAS
Si m es un entero positivo, decimos que dos numeros enteros a, b son congruentes modulo
m si existe un k ∈ Z talque a − b = km. Usaremos la notacion a ≡ b(m) para indicar que
a y b son congruentes modulo m. Si no lo son diremos que son incongruentes y escribiremos
a 6≡ b(m). Ası, por ejemplo 28 ≡ 3(5) ya que 28 − 3 = 5,5, 121 ≡ 0(11) ya que 121 = 11,11.
Pero 28 6≡ 4(5) ya que 28 − 4 = 24, no es multiplo de 5.
El lenguaje de las congruencias fue inventado por Karl F. Gauss y es usado constantemente
en la vida diaria. La esfera de un reloj funciona con congruencias modulo 12, los cuentak-
ilometros de autos los hace modulo 100,000 y los meses se representan modulo 12
Proposicion 2.1. La relacion de congruencia modulo m en Z es de equivalencia y divide
a Z en clases de equivalencia de manera que dos diferentes de ellas son disjuntas.
Demostracion. La relacion de congruencia es reflexiva ya que para todo a ∈ Z, a − a = 0 =
0 ·m; es tambien simetrica ya que si a− b = km, b− a = (−k)m; finalmente es transitiva, ya
que si a− b = km y b− c = sm, tenemos que a− c = (a− b)+ (b− c) = km+ sm = (k + s)m.
Aunque ya sabemos que es cierto, demostraremos que dos clases de equivalencia diferentes
son disjuntas: basta probar que si dos de ellas no tienen interseccion vacıa son iguales. Sean
[a] y [b] dos clases de equivalencia modulo m tales que [a] ∩ [b] 6= ∅. Tomando c ∈ [a] ∩ [b],
tenemos que c ≡ a (m) y c ≡ b (m). por la definicion de congruencia c− a = km y c− b = sm
con k y s numeros enteros . Por tanto, a−b = (c−b)− (c−a) = (s−k)m, de donde se deduce
que a ≡ b (m). Por tanto, si x ∈ [a], x ≡ a (m) y como esta relacion es transitiva x ≡ b (m);
ası pues, x ∈ [b]. La otra inclusion se demuestra de manera similar.
Ejemplo 2.4. Las clases de equivalencia en Z modulo 3 son [0], [1], [2]. Cada una de estas
clases de equivalencia contiene los siguientes elementos:
[0] = {. . . ,−6,−3, 0, 3, 6, . . .}[1] = {. . . ,−5,−2, 1, 4, 7, . . .}[2] = {. . . ,−4,−1, 2, 5, 8, . . .}
Un conjunto cualquiera de m representantes, tomados cada uno de una clase, se denomina
un sistema completo de restos modulo m; por ejemplo, {0, 1, 2, . . . , m− 1} es un tal sistema.
Tambien {m, m + 1, . . . , 2m − 1} es uno de ellos. Otros sistemas pueden obtenerse mediante
el siguiente resultado:
Proposicion 2.2. Sean a y m numeros enteros tales que a y m son primos entre sı y m
es positivo. Si r1, . . . , rm es un sistema completo de restos modulo m, ar1, . . . , arm es otro
sistema completo de restos modulo m.
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Demostracion. Basta comprobar que si i 6= j, ari 6≡ arj (m). Si tuvieramos ari ≡ arj (m),
entonces m|ari − arj = a(ri − rj); puesto que (a, m) = 1, ningun factor primo de m divide
a a, esto es, todos los factores primos de m dividen a ri − rj. Por tanto, m|(ri − rj), lo que
implica ri ≡ rj (m), en contradiccion con que r1, . . . , rm sera un sistema completo de restos
modulo 5.
Teorema 2.27. Sea m entero positivo y a, a′, b, b′ ∈ Z.
1. Si a ≡ a′(m) y b ≡ b′(m), se tiene que a + b ≡ a′ + b′(m)
2. Si a ≡ a′(m) y b ≡ b′(m), se tiene que ab ≡ a′b′(m)
Demostracion. Si a ≡ a′ (m) y b ≡ b′ (m), se tiene que a + b ≡ a′ + b′ (m), de la definicion de
congruencia se deduce que existen numeros enteros r y s tales que a− a′ = rm y b− b′ = sm.
Por tanto,
(a + b) − (a′ + b′) = (a − a′) + (b − b′) = (r + s)m.
De aquı se deduce que a + b ≡ a′ + b′.
En las mismas condiciones,
ab − a′b′ = ab − a′b + a′b − a′b′ = (a − a′)b + a′(b′ − b) = rbm + sa′m = (rs + sa′)m
De aquı se deduce que ab ≡ a′b′ (m)
Teorema 2.28.
1. Si m es un entero positivo y [a], [b] ∈ Zm se pueden definir las operaciones de suma y
multiplicacion en Zm mediante
[a] + [b] = [a + b], [a][b] = [ab]
2. Ambas operaciones tienen las propiedades asociativa y conmutativa y se relacionan
mediante la propiedad distributiva. La clase [0] es el elemento neutro para la suma y
la clase [1] lo es para el producto.
3. Todo elemento [a] ∈ Zm tiene su opuesto respecto a la suma, a saber [m − a], y si m
es primo, todo [a] ∈ Zm con [a] 6= [0] tiene inverso multiplicativo y es unico.
Demostracion. Hay que comenzar comprobando que las operaciones estan bien definidas.
Esto lo asegura el Teorema 2.27 ya que si [a′] = [a] y [b′] = [b], a′ + b′ ≡ a + b (m) y por que
a′b′ ≡ ab(m); por tanto [a′b′] = [ab].
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La demostracion de la propiedad (b) se deja para el lector. Para demostrar la primera parte
(c) basta observar que
[a] + [(m − a)] = [a + m − a] = [m] = [0]
y por tanto el opuesto de [a] es la clase [m − a]. Si [a] ∈ Zm el algoritmo de la division nos
permite escribir a de la forma a = cm + r con 0 ≤ r < m; por tanto [a] = [r]. Ademas, si
[a] 6= [0] se tiene que 0 < r < m. Si m es primo (m, r) = 1. Existen numeros enteros u y v
tales que 1 = um + vr. Por tanto
[1] = [um + vr] = [vr] = [v][a]
de donde se deduce que [v] es un inverso de [a]. Para demostrar la unicidad consideraremos
que existen dos inversos [x] e [y] de [a]; es decir
[x][r] = [1] e [y][r] = [1],
ya que [a] = [r]. Restando ambas igualdades, se obtiene [(x − y)][r] = [0] o equivalentemente
(x − y)r ≡ 0 (m). Ası pues m divide a (x − y)r, y como m es primo con r, mha de dividir a
x − y. Por tanto (x − y) ≡ 0 (m) y se deduce que [x] = [y] en Zm
Proposicion 2.3. Un numero entero es divisible entre 9 si y solo si la suma de sus cifras
es divisible entre 9.
Demostracion. Sea x dicho numero y x0, x1, . . . , xn sus cifras decimales, esto es
x = x0 + x110 + x2102 + · · ·+ xn10n
Claramente 1 ≡ 1 (9) y 10 ≡ 1 (9), con lo que 102 ≡ 12 ≡ 1 (9) y en general 10k ≡ 1 (9);
entonces
x0 + x110 + · · ·+ xn10n ≡ x0 + x1 + · · · + xn (9)
debido al teorema 2.27. Esto es, x ≡ x0 + x1 + · · · + xn (9). En particular, 9|x si y solo si
x ≡ 0 (9) sea un divisor de x0 + x1 + · · ·+ xn.
Proposicion 2.4. Un numero entero es divisible entre 3 si y solo si la suma de sus cifras
es divisible entre 3.
Demostracion. Dado que 1 ≡ 1 (3) y 10 ≡ 1 (3), 102 ≡ 12 ≡ 1 (3) y, en general, 10k ≡ 1 (3), el
resultado se deduce con un razonamiento similar al usado en la demostracion de la proposicion
anterior.
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Teorema 2.29 (El pequeno teorema de Fermat). Sea p un numero primo y a un numero
natural tal que p no divide a a. Entonces ap−1 ≡ 1 (p).
Demostracion. Puesto que p no divide a a y p es primo se tiene que (a, p) = 1 y por tanto el
conjunto
{0, a · 1, a · 2, . . . , a · (p − 1)}es un sistema completo de restos modulo p (vease proposicion 2.2). Por tanto, para cada i tal
que 1 ≤ i ≤ p − 1, i es congruente con algun j · a, 1 ≤ j ≤ p − 1. Ası pues
1 · 2 · · · (p − 1) ≡ a(a · 2) · · ·a · (p − 1) (p)
esto es,
p|a(a · 2) · · ·a · (p − 1) − 1 · 2 · · · (p − 1) = (ap−1 − 1) · 1 · 2 · · · (p − 1)
Como p no divide a 1 · 2 · · · (p − 1), p divide a ap−1 − 1 y por tanto ap−1 − 1 ≡ 0 (p), que era
lo que querıamos demostrar.
Proposicion 2.5. Sea a ≡ b(m1), a ≡ b(m2), . . . , a ≡ b(mk), donde a y b son numeros
enteros y m1, m2, . . . , mk son enteros positivos. Entonces
a ≡ b ([m1, m2, . . . , mk])
donde [m1, m2, . . . , mk] es el mınimo comun multiplo de m1, m2, . . . , mk.
Demostracion. De la hipotesis se deduce que m1|(a−b), m2|(a−b), . . . y mk|(a−b). Por tanto
a−b es un multiplo comun a todos los m1, m2, . . . , mk. a−b es un multiplo de [m1, m2, . . . , mk],
que era lo que querıamos demostrar.
Corolario 2.4. Sea a ≡ b(m1), a ≡ b(m2), . . . , a ≡ b(mk), donde a y b son numeros enteros
y m1, m2, . . . , mk son enteros positivos primos dos a dos. Entonces
a ≡ b (m1, m2, . . . , mk)
Demostracion. Basta observar que [m1, m2, . . . , mk] = m1m2 · · ·mk ya que los mj son primos
dos a dos.
Ejemplo 2.5. Existen numeros compuestos q para los que 2q−1 ≡ 1 (q). Uno de tales numeros
es q = 341 = 11 · 31. Para demostrarlo observar que por el pequeno teorema de Fermat
210 ≡ 2 (11)
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y por tanto
2340 = (210)34 ≡ 134 (11) ≡ 1 (11).
Ademas
2340 = (25)68 = (32)68 ≡ 168 (31) ≡ 1 (31)
Por el corolario 2.4, 2340 ≡ 1 (41), lo que prueba el resultado deseado.
Ecuaciones con congruencias
Comenzaremos resolviendo la ecuacion
ax ≡ b (m)
donde a y b son numeros enteros y m es un entero positivo. Usando la definicion de congruencia
modulo m se deduce que la ecuacion anterior se satisface cuando existe y ∈ Z tal que
ax − b = ym
Es decir, si (x, y) es una solucion de la ecuacion ax−my = b, x es una solucion de la ecuacion
ax ≡ b (m). Las ecuaciones del tipo ax − my = b han sido estudiadas anteriormente.
Ejemplo 2.6. Queremos encontrar todas las soluciones de la ecuacion 4x ≡ 2 (6). Si x es
una solucion entera de esta ecuacion, existe un entero y tal que 4x − 2 = 6y, es decir,
4x − 6y = 2. Como (4,6)=2 y 2 es un divisor de 2, una proposicion nos asegura que existen
infinitas soluciones de esta ecuacion y otra proposicion nos dice como encontrarlas. Se calcula,
en primer lugar, una solucion particular usando el algoritmo de Euclides. Puesto que 6 = 1·4+2
se tiene −4 − (−6) = 2. Por tanto x0 = −1, y0 = −1 es una solucion particular. El resto de
soluciones son todas de la forma x = −1−3n, y = −1−2n con n ∈ Z. Por tanto x = −1−3n,
n ∈ Z, son todas las soluciones de la ecuacion 4x ≡ 2 (6). Todas estas soluciones pertenecen
solamente a las clases de equivalencia modulo 6: si n es par, x ≡ −1 (6) y si n es impar,
x ≡ 2 (6).
Ejemplo 2.7. Encontrar todas las soluciones de la ecuacion 3x ≡ 7 (6) es equivalente a
encontrar todas las soluciones de la ecuacion 3x − 7 = 6y. Esta ecuacion es equivalente a
3x − 6y = 7, que no tiene solucion ya que (3, 6) = 3 y 3 no divide a 7. Observar que 3x solo
puede ser congruente con 0 o con 3 modulo 6.
La experiencia acumulada en la resolucion de estos debe ayudar a comprender los siguientes
resultados relativos a la solucion de las ecuaciones de la forma:
ax ≡ b (m)
Teorema 2.30. Sean a y b dos numeros enteros y m un entero positivo con (a, m) = d.
Si d no divide a b, la ecuacion ax ≡ b (m) no tiene solucion. Si d divide a b, la ecuacion
ax ≡ b (m) tiene exactamente d soluciones no congruentes entre si modulo m.
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Demostracion. De acuerdo con la definicion de congruencia, x es una solucion de la ecuacion
ax ≡ b (m) si existe un numero entero y tal que ax − my = b. Si d no divide a b, la ecuacion
no tiene soluciones enteras, y, en consecuencia, tampoco las tendra ax ≡ b (m). Si d divide a
b, todas las soluciones de la ecuacion ax − my = b son de la forma
x = x0 − (m/d)n, y = y0 − (a/d)n, n ∈ Z,
donde x0, y0 es una solucion particular de la misma ecuacion. Por tanto, las soluciones de la
ecuacion ax ≡ b (m) son de la forma
x = x0 − (m/d)n, n ∈ Z
Para determinar el numero de ellas que no son congruentes entre si modulo m basta estudiar
cuando dos de estas soluciones son congruentes modulo m. Si x1 = x0 − (m/d)n1 y x2 =
x0 − (m/d)n2 son dos de estas soluciones congruentes modulo m se tiene que
x0 − (m/d)n1 ≡ x0 − (m/d)n2 (m).
Por tanto (m/d)n1 ≡ (m/d)n2 (m), es decir (m/d)(n1 − n2) = km para algun entero k. A
partir de aquı se deduce (n1 − n2) = kd, lo que implica que d divide a n1 − n. Esto es
equivalente a n1 ≡ n2 (d). Ası pues todas las soluciones no congruentes entre sı se obtienen
tomando x = x0 + (m/d)n, donde n varıa en un sistema completo de residuos modulo d, es
decir
x = x0 − (m/d)n, n = 0, 1, 2, . . . , d − 1
estas d soluciones no congruentes entre sı y por tanto queda terminada la demostracion del
teorema.
Ejemplo 2.8. La ecuacion 15x ≡ 10 (25) tiene 5 soluciones no congruentes entre si ya que
(15, 25) = 5 y 5 divide a 10. Una solucion particular es −1 , que puede obtenerse usando el
algoritmo de Euclides. Soluciones no congruentes entre sı son
x = −1 + (25/5)n = −1 + 5n, n = 0, 1, 2, . . . , d − 1
es decir −1, 4, 9, 14 y 19.
Del teorema anterior se deduce que si a y m son primos entre si la ecuacion ax ≡ b (m) siempre
tiene solucion y es unica salvo congruencias modulo m. Cuando b = 1 la ecuacion resultante
es la misma que [a][x] = [1] en Zm. Por tanto [x] es el inverso de [a] en Zm. Cuando m es
primo y [a] 6= [0] este resultado se ha obtenido en el Teorema 2.28, en cuya demostracion se
ha dado la forma de calcularlo usando el algoritmo de Euclides.
Ejemplo 2.9. Sean a = 5 y m = 7. Como (5, 7) = 1, [a] tiene un inverso en Z7. La ecuacion
5x ≡ 1 (7) se transform en 5x − 7y = 1. Como 1 = 3 · 5 − 2 · 7 una solucion particular de
la ecuacion 5x ≡ 1 (7) es x0 = 3. Ası pues [3] es el inverso en Z7. Cuando los numeros son
pequenos el inverso puede obtenerse con un calculo mental: en nuestro caso 3 · 5 ≡ 1 (7).
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Ejemplo 2.10. Un antiguo problema chino trataba de encontrar un numero que dividido
entre 3 de como resto 1, dividido entre 5 de como resto 2 y dividido entre siete de como resto
3. Con nuestro sistema de notacion se trata de resolver simultaneamente las conguencias
x ≡ 1 (3), x ≡ 2 (5), x ≡ 3(7)
Una solucion particular de la ecuacion x ≡ 1 (3) es 1; por tanto todas las soluciones de esta
ecuacion son de la forma x = 1 + 3n con n entero. Poniendo este resultado en la segunda
ecuacion se obtiene 1+3n ≡ 2 (5), o equivalentemente 3n ≡ 1 (5). Como (3, 5) = 1 la ecuacion
tiene infinitas soluciones todas ellas congruentes entre sı modulo 5. Usando los metodos an-
teriormente expuestos se obtiene que 2 es una solucion particular de esta ecuacion y, por
tanto, todas sus soluciones son de la forma n = 2 + 5t, con t entero. Puesto que x = 1 + 3n,
sustituyendo este valor de n se obtiene x = 7 + 15t. Sustituyendo ahora en la tercera de las
ecuaciones 15t ≡ −4 (7). Como (15, 7) = 1 la ecuacion tiene solucion unica modulo 7. Usando
los mismos metodos de los ejemplos anteriores se obtiene que −4 es una solucion particular y,
en consecuencia, todas sus soluciones son de la forma t = −4+7r, con r entero. Sustituyendo
en x = 7 + 15t se obtiene x = −53 + 105r con r entero. Con r = 1 se obtiene x = 52 que
es una de las posibles soluciones del problema chino (¡Comprobarlo!). Observar que todas las
soluciones del problema son congruentes modulo 105, que el producto de 3, 5 y 7.
Los problemas como el del Ejemplo 2.10 han dado lugar al siguiente resultado, que toma el
nombre de su ancestral origen.
Teorema 2.31 (Teorema chino del resto). Sean a1, a2, . . . , ak enteros y m1, m2, . . . , mk
enteros positivos primos dos a dos. El sistema de congruencias
x ≡ a1 (m1), x ≡ a (m2), . . . , x ≡ ak (mk)
tiene solucion unica modulo M = m1 · m2 · · · · · mk.
Demostracion. Comenzaremos construyendo una solucion de todas las ecuaciones. Sea M =
m1 ·m2 · · · · ·mk y Mj = M/mj , j = 1, 2, . . . , k. Como mj es primo con todos los demas mi con
i 6= j, se tiene que (Mj, mj) = 1. Por tanto Mj tiene un inverso unico en Zmj, que escribimos
bj , Es decir Mj · bj ≡ 1 (mj). Sea
x = a1M1b1 + a2M2b2 + · · · + akMkbk
Este entero x satisface las k congruencias descritas en el enunciado del teorema ya que
Mi ≡ 0 (mj) si i 6= j y ajMjbj ≡ aj(mj), j = 1, 2, . . . , k.
Unicamente falta demostrar la unicidad de la solucion modulo M = m1 ·m2 · · · · ·mk. Supong-
amos que x e y son soluciones de la ecuacion. Entonces x ≡ aj (mj) e y ≡ aj (mj) para todo
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j = 1, 2, . . . , k, de donde se deduce que x − y ≡ 0 (mj) para todo j = 1, 2, . . . , k. Usando el
Corolario 2.4 se obtiene que x − y ≡ 0 (m1 · m2 · · · · · mk), es decir, x e y son congruentes
modulo M .
Ejemplo 2.11. El sistema de congruencias x ≡ 1 (3), x ≡ 2 (5), x ≡ 3 (7), que se ha resuelto
en el ejemplo 2.10, puede resolverse de nuevo usando el procedimiento desarrollado en el
teorema anterior. Segun este la solucion es unica modulo M = 3 · 5 · 7 = 105
1. Como M1 = 105/3 = 35 tenemos que resolver la ecuacion 35·b1 ≡ 1 (3), es decir 2·b1 = 1
en Z3; por tanto podemos tomar b1 = 2.
2. Como M2 = 105/5 = 21 tenemos que resolver la ecuacion 21·b2 ≡ 1 (5), es decir 1·b2 = 1
en Z5; por tanto podemos tomar b2 = 1.
3. Como M3 = 105/7 = 15 tenemos que resolver la ecuacion 15·b3 ≡ 1 (7), es decir 1·b3 = 1
en Z7; por tanto podemos tomar b3 = 1.
La solucion es, por tanto, x = 1 · 35 · 2 + 2 · 21 · 1 + 3 · 15 · 1 = 157 ≡ 52 (105).
Ejemplo 2.12. Queremos calcular a = 347231 modulo 35. Como 347 es congruente con 2 y
modulo 5 y 4 es congruente con −1 modulo 5 tenemos
a ≡ (2)131 ≡ (−1)1152 ≡ 3 (5)
Por otro lado, 347 es congruente con 4 modulo 7 y 43 es congruente con 1 modulo 7, y tenemos
a ≡ (4)231 ≡ (43)77 ≡ 1 (7)
Por tanto a es un numero que satisface las ecuaciones x ≡ 3 (5) y x ≡ 1 (7). Segun el teorema
chino del resto estas ecuaciones tienen solucion unica modulo 35; una de estas soluciones es
x = 8. Ası pues
347231 ≡ 8 (35)
Problemas resueltos
Problema 2.1. Calcular la capacidad maxima que debe tener una vasija para que con ella
se puedan medir exactamente las cantidades de tres recipientes de 1092; 1386 y 756 lts.
Solucion. Como buscamos, la capacidad maxima de una vasija para medir los contenidos de
otras tres, entonces esta capacidad sera un divisor comun de los tres recipientes; como debe
ser maxima, esta capacidad es el m.c.d.
1092 = 22 × 3 × 7 × 13
1385 = 2 × 32 × 7 × 11
756 = 22 × 33 × 7
m(1092; 1385; 756) = 2 × 3 × 7 = 42 lts.
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Problema 2.2. Pedro trabaja cinco dıas seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo el
Lunes. ¿Cuantos dıas tienen que transcurrir para que le toque descanso el Domingo?
Solucion. Sabemos que los Domingos se suceden de 7 en 7 dıas y el descanso sucede el sexto
dıa, por lo tanto el tiempo que debe transcurrir para que le toque descansar un dıa Domingo,
(primer Domingo que descansa) es el m.c.m de 6, 7 o sea 42.
Luego el empleado descansa despues de 42 − 1 = 41 dıas transcurridos.
Deben transcurrir 41 dıas y el siguiente (dıa 42) descansa.
Problema 2.3. ¿Cuantos rectangulos distintos se pueden formar con 60 soldados?
Solucion. El numero de soldados descompuesto en sus factores primos es:
60 = 22 × 3 × 5
Los rectangulos a formarse serıan colocados en:
Longitud Ancho
30 2 Soldados
15 4 Soldados
12 5 Soldados
20 3 Soldados
Vemos que se pueden formar 4 rectangulos diferentes.
Problema 2.4. En una fabrica de jabon existen 3 secciones:
En la primera se fabrican 3600 pastillas diarias, en la segunda 9000, en la tercera 870 pastillas.
¿Cuantas cajas distintas pueden usarse con la condicion de que las producciones de las tres
secciones se puedan empacar exactamente en ellas?.
Solucion. La caja que contenga el mayor numero de pastillas de jabon sera tal que este
numero sea el mayor divisor comun a 3600, 9000 y 870; esto quiere decir que debemos calcular
el m.c.d. de estos tres numeros
3600 = 24 × 32 × 52
9000 = 23 × 32 × 53
870 = 2 × 3 × 5 × 29
m(3600; 9000; 870) = 2 × 3 × 5 = 30.
El numero de cajas que se pueden utilizar es igual al numero de divisores del m.c.d.
n = (2)(2)(2) = 8
Se pueden utilizar 8 cajas diferentes considerando las cajas que tienen una pastilla de jabon
como contenido.
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Problema 2.5. Dos ciclistas dan vueltas a una pista circular; el primero da la vuelta en 18
minutos y el segundo en 15 minutos. Si ambos parten del mismo punto A de la pista. ¿Dentro
de cuantos minutos volveran a encontrarse en el mismo punto?
Solucion. Se comprende que, para que el primer ciclista se encuentre en A tendra que tran-
scurrir un numero multiplo de minutos; analogamente para que el segundo ciclista se encuentre
otra vez en A debe haber transcurrido un numero de minutos multiplos de 15. Por lo que
tanto este numero de minutos transcurridos es un multiplo de 15 y 18. siendo el m.c.m. de 18
y 15 el primer momento que se vuelven a encontrar en el punto A.
m.c.m.(18; 15) = 90
Dentro de 90 minutos.
Problema 2.6. El numero de paginas de un libro esta comprendido entre 600 y 800. Calcular
este numero sabiendo que si se cuentan de 5 en 5, sobra 2; de 7 en 7 quedan 4, y de 11 en 11
sobran 8.
Solucion. Designemos por P , el numero de paginas del libro, que de acuerdo al problema se
tiene
600 < P < 800 (1)
P = m · 5 + 2 ⇒ P + 3 = m · 5P = m · 7 + 4 ⇒ P + 3 = m · 7P = m · 11 + 8 ⇒ P + 3 = m · 11
Por lo tanto (P + 3) es un multiplo de (5, 7, 11), siendo el menor de ellos el m.c.d., es decir,
385 y como vemos este numero no sera P ya que no cumple con la condicion (1). Se tiene
pues:
P + 3 = 385 ⇒ P = 385k − 3
Para calcular el valor de k, reemplazamos el valor de P en (1):
600 < 385k − 3 < 800 ⇒ 600 < 385k − 3︸ ︷︷ ︸(I)
∨ 385k − 3 < 380︸ ︷︷ ︸(II)
De (I) se tiene:600 + 3
385< k ⇒ 1,5 < k
De (II) se tiene:800 + 3
385< k ⇒ k < 2,08
De estas dos desigualdades se tiene:
1,5 < k < 2,08
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como el numero de paginas es un numero entero: (k) debe ser numero entero, por lo tanto
tenemos que el unico valor que cumple estas condiciones es k = 2
P = 385 × 2 − 3 = 767 paginas
Problema 2.7. Se considera la siguiente serie:
1 × 24; 2 × 24; 3 × 24; . . . ; 60 × 24
Se pide hallar:
1. ¿Cual es el menor numero de esta serie que es divisible por 60?
2. ¿Cuantos terminos de la misma serie son divisibles por 60?
Solucion.
1. Debemos hallar el numero que multiplicado por 24, produce un multiplo de 60 y ese
numero sera igual al m.c.m. de 60 y 24.
60 = 22 × 3 × 5
24 = 23 × 3
}M(60; 24) = 23 × 3 × 5 = 120
luego el menor numero divisible entre 60 es 120.
2. La solucion de esta segunda parte se halla calculando el m.c.d de 60 y 24.
60 = 22 × 3 × 5
24 = 23 × 3
}m(60; 24) = 22 × 3 = 120
Luego hay 12 terminos en la serie que son divisibles por 60
Problema 2.8. ¿Cuantos multiplos de 32 hay en la serie siguiente
27(32 + 1); 27(32 + 2); 27(32 + 3); . . . ; 27(32 + 915)?
Solucion. Se tiene en la serie que:
A = 27 n = 915
B = 12 b =???
Calculo de m.c.d. = m(27; 32) = 1
b =32
m=
32
1= 32
Por lo tanto el numero de multiplos de 72 que hay en la serie es:
m
b=
315
32= 28
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Problema 2.9. Hallar todos los divisores del numero 1 134 000 que sean cubos perfectos.
Solucion. El numero 1 134 000, lo descomponemos de sus factores primos
1 134 000 = 24 × 34 × 53 × 7
Para hallar los divisores del numero dado, procedemos del modo siguiente:
1 22 23 24
3 32 33 34
5 52 53
7
de este modo donde todos son los divisores del numero dado, vemos que los que son cubos
perfectos son: 1, 23, 33, 53, ademas tendremos los productos de estos, dos a dos y al final de
los tres:
(23 × 33); (33 × 53); (23 × 53) y (23 × 33 × 53)
siendo los divisores buscados: 1; 8; 27; 125; 216; 1000; 3375; 27000.
Problema 2.10. Hallar todos los divisores del numero 5292 que sean cuadrados perfectos.
Solucion. 5292 = 22 × 33 × 72
Para hallar el numero entero de divisores de este numero, empezamos por:
1 22 23
3 32 33
7 72
Los divisores que son cuadrados perfectos, son: 1; 22; 32; 72; 22 × 32; 32 × 72; y 22 × 32 × 72
Desarrollando se tiene: 1; 4; 9; 49; 36; 196; 441; 1764.
Actividades
1. El senor Salazar es el dueno de la Empresa GELIDO S.A. y desea hacer un balance
acerca de lo que logro en los ultimos 5 anos con la citada empresa para lo cual analiza
el siguiente cuadro-resumen en el cual falta llenar algunos espacios vacıos.
ANO INGRESOS (S/.) EGRESOS (S/.) GANANCIAS O
PERDIDAS (S/.)
1998 73517 68419
1999 195614 113417
2000 214818 276509
2001 306415 +58407
2002 318716 -15613
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Segun este cuadro contestar las siguientes preguntas:
a) Al final de los 5 anos, ¿cuanto gano? o ¿cuanto perdio?
b) ¿Cuanto fue el ingreso total logrado en los tres primeros anos?
c) ¿A cuanto asciende el egreso total durante los 5 anos?
d) ¿En cuantos anos, de los 5, se lograron ganancias?
e) ¿Cuanto se gano o perdio en los ultimos 3 anos?
2. Demostrar en Z que 2ab ≤ a2 + b2
3. Hallar los numeros enteros tales que:
a. |2x − 4| + 3|2 − x| + x = 10
b. |3 − x| − |x + 2| = 5
4. ¿Cuales de las siguientes propiedades son ciertas en el conjunto de los numeros enteros?
En caso de que alguna sea falsa, de un contraejemplo.
i. Si a < b, entonces a2 < b2.
ii. Si a ≤ b y c ≤ d, entonces ac ≤ bd
iii. Si 0 < a < b, entonces a2 < b2
iv. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc
v. Si a > b, entonces b + c < a + c
vi. Si a < b, entonces a < 2b
5. Si a, b son enteros tales que a < b < a2, y ademas ab = 89. ¿Cual es el valor de b?
6. ¿Cuales de las expresiones x3 + y4, x4 + y3, x3 + y3, x4 − y4, son positivas para todo par
de enteros x, y; en donde x > y?
7. Si a y b son enteros tales que b > a, entonces ¿Cual es el numero de enteros x tales que
a < x < b?
8. Un negocio se inicia con un capital de 20 000 soles. Si los primeros 7 meses se ha tenido
una perdida de 400 soles y los siguientes meses se ha ganado a razon de 1200 por mes.
¿Despues de cuanto tiempo de iniciado el negocio el capital se ha duplicado?
9. Ocho equipos juegan un torneo relampago de futbol: una sola ronda, todos contra todos
durante dos semanas. Hay dos equipos, G y H, que no pueden jugar ningun partido la
primera semana.
Los seis equipos A, B, C, D, E y F , juegan todos los partidos entre ellos la primera
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semana. La tabla de posiciones, despues de esta semana, tiene al equipo A como unico
puntero. La segunda semana, los equipos G y H juegan todos sus partidos y ası se
completa el torneo. ¿Es posible que, al finalizar el torneo, el equipo A quede ultimo
absoluto, detras de los otros siete equipos?
Nota: En cada partido un equipo obtiene 2 puntos si gana, 1 punto si empata y 0
puntos si pierde
10. Si m, n son numeros enteros positivos tales que 5m + 6n = 100. ¿Cual es el mayor valor
posible de mn?
11. Demostrar en Z que:
a) MCD(a, b) = MCM(a, b) ⇒ a = b ∨ a = −b
b) MCD(a, b) = MCD(−a, b) = MCD(a,−b)
c) MCD(a, b) = MCD(b, r), donde r es el resto de dividir a entre b
12. Probar que:
a) Si MCD(a, b) = 1 ⇒ MCD(a + b, a − b)0 = 1 o 2
b) Si m > 0 ∧ MCD(a, b) = 1 ⇒ MCD(am, b) = MCD(m, b)
c) MCD(a, b) = 1 ⇒ MCD(an, b) = 1
13. Hallar x, y ∈ Z, tales que:
a) 3 = 51x + 258y
b) 3 = 285x + 72y
c) 1 = 5x + 4y
d) 4 = 400x + 164y
14. Si (a, b) = 1 ⇒ (an, bk) = 1, ∀n ≥ 1, k ≥ 1
15. Probar que ∀ a ∈ Z, MCD(a, 0) = |a|
16. Si (n, 7) = 1 probar que 7′|(n12 − 1), ∀n ∈ Z
17. Si 3/n(n2 + m2), m, n ∈ Z probar que 3/n y 3/m
18. Probar que 6/[(n − 1)(n)(n + 1)], ∀ n ∈ Z
19. Probar que un numero primo impar puede expresarse como diferencia de cuadrados de
modo unico.
20. Probar que n7 − n, es multiplo de 42, ∀ n ∈ Z+
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21. Para investigar: Los numeros de Lucas son: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 47, 76 con L1 = 1,
L2 = 3 y para todo n ≥ 2 Lk = Lk−2 + Lk−1.
Calcular la suma1
1 · 3 − 1
3 · 4 +1
4 · 7 − 1
7 · 11+
1
11 · 18
22. Para investigar: Resolver en Z la ecuacion xyz = xy + yz + zx.
23. Para investigar: Sean a, b, c ∈ Z con a > 1 y b > 2. Justificar que ab + 1 ≥ b(a + 1) y
determinar cuando se tiene la igualdad.
24. Probar que x = x0+x110+x2102+· · · es divisible entre 11 si y solo si x0−x1+x2−x3 · · ·es divisible entre 11.
25. Demostrar que si a, b y c son numeros enteros y m es un entero positivo tales que
ac ≡ bc (m), se tiene que a ≡ b (m/d) donde d = (c, m).
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2.3. Sesion 9: Definicion Axiomatica de Q. Sustraccion,
division, potenciacion y orden en Q
La matematica: el incomovible Fundamento de todas las
ciencias y la generosa Fuente de Beneficios para los asuntos
humanos.
Isaac Barrow
Contextualizando: Promedio de bateo de un jugador de beisbol
Con la finalidad de determinar el promedio de bateo de un jugador de beisbol, dividimos el
numero de imparables entre el numero de veces al bateo. Existe una sorprendente paradoja
concerniente a los promedios, es posible que el jugador A tenga un promedio anual de bateo
mayor que el del jugador B en dos anos sucesivos, aunque en el perıodo de dos anos el jugador
B pueda tener un promedio total mas alto. Vease la tabla
Ano Jugador A Jugador B
2001 2040
= ,500 90200
= ,450
2003 60200
= ,300 1040
= ,450
Total en los dos anos 80240
= ,333 100240
= ,417
En cada uno de estos dos anos, el jugador A tuvo un promedio mayor, pero en el perıodo de
dos anos, el jugador B tuvo el promedio mas alto. Este es un ejemplo en estadıstica de la
paradoja de Simpson.
2.3.1. Definicion Axiomatica de Q
En el Sistema de los Numeros Enteros, la suma, la diferencia y el producto de dos numeros
enteros siempre existen y son numeros enteros. En cambio, el cociente de dos numeros enteros
no siempre existe, por ejemplo 23
no es un numero entero, puesto que no existe un numero
entero v tal que: 2 = 3 · v. En terminos algebraicos, en Z no es posible resolver la ecuacion
3x = 2.
Surge entonces la necesidad de ampliar el Sistema de los Numeros Enteros, a un nuevo conjunto
que “lo contenga” en el cual la suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos elementos de
este nuevo conjunto sea otro elemento del mismo; este nuevo conjunto sera el de los Numeros
Racionales.
Una manera formal de introducir el conjunto de los numeros racionales Q es a partir de Z.
Se define en Z × Z+ una adecuada relacion, de equivalencia, la cual determina una particion
de Z × Z+ o sea el conjunto cociente al cual se le llama Q. Luego, se definen las operaciones
de adicion y multiplicacion en Q, obteniendose el sistema de los numeros racionales Q.
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Se introducira, como en el caso de los Sistemas de los Numeros Naturales N y Enteros Z, el
Sistema de Numeros Racionales Q usando el metodo axiomatico.
El Sistema de los Numeros Racionales es un conjunto, denotado por Q, provisto de dos
operaciones internas llamadas adicion y multiplicacion.
La Adicion es una operacion interna en Q, que asocia a cada par de numeros racionales (a, b) ∈Q×Q un unico numero racional llamado suma de a y b, denotado por a+ b. Simbolicamente:
+ : Q × Q → Q, tal que (a, b) → a + b
Los numeros racionales a y b reciben el nombre de sumandos.
La Multiplicacion es una operacion interna en Q, que asocia a cada par de numeros racionales
(a, b) ∈ Q × Q un unico numero racional llamado producto de a y b denotado por a · b o
simplemente ab. Simbolicamente:
· : Q × Q → Q, tal que (a, b) → a → b
Los numeros a y b reciben el nombre de factores.
La adicion y la multiplicacion satisfacen los siguientes diez axiomas:
Nota Importante:
Cuando se define un Sistema Numerico como un conjunto provisto de ciertas operaciones,
queda tacitamente establecido que se cumplen todos los axiomas de la Teorıa de Conjuntos y
todas las relaciones con sus propiedades que pueden definirse en el; en particular, la relacion
de Igualdad, que, obviamente, goza de las propiedades: reflexiva, simetrica y transitiva.
2.3.2. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores
Teorema 2.32. Si a, b y c son numeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades:
Si a = b entonces a + c = b + c y ac = bc.
Corolario 2.5. a) a = b ∧ c = d ⇒ a + c = b + d
b) a = b ∧ a · c = b · dLa demostracion es analoga al caso de los numeros naturales y enteros.
Teorema 2.33. Si a y b son numeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades:
a) a · 0 = 0
b) ab = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0
La demostracion es analoga al caso de los numeros naturales y enteros.
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Corolario 2.6. Si a 6= 0 ∧ b 6= 0, entonces ab 6= 0
Teorema 2.34 (Propiedades del Opuesto de un numero racional). Si a y b son numeros
racionales, se cumplen las siguientes propiedades:
a) −(−a) = a, para todo a ∈ Q
b) −(a + b) = (−a) + (−b)
c) (−1)a = −a
d) a(−b) = (−a)b = −(ab)
e) (−a)(−b) = ab
Demostracion. La demostracion de todas las propiedades es analoga a la realizada en los
Numeros Enteros.
Teorema 2.35 (Propiedades del Inverso). Si a y b son numeros racionales diferentes de
cero, se cumplen las siguientes propiedades:
a) (a−1)−1 = a, para todo a ∈ Q
b) (a · b)−1 = a−1 · b−1
Demostracion. Queda como ejercicio para el lector. Se sugiere adecuar las demostraciones de
las propiedades 3a y 3e.
Teorema 2.36 (Cancelacion en la Adicion y Multiplicacion). Si a y b son numeros
racionales se tiene:
a) a + c = b + c ⇒ a = b
b) Si ac = bc y c 6= 0 ⇒ a = b
Demostracion. a) Es analoga a la realizada en Z. Basta cambiar la palabra entero por
racional.
b) Si ac = bc entonces (ac) · c−1 = (bc) · c−1 de donde se sigue que a(c · c−1) = b(c · c−1), o
sea, a · 1 = b · 1, lo que implica a = b.
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A continuacion, se presenta el ultimo axioma del Sistema de los Numeros Racionales:
Teorema 2.37. Si denotamos por 0Z, 0Q, 1Z y 1Q a los elementos neutros de la adicion y
multiplicacion de Z y Q respectivamente; se tiene:
a) g(0Z) = 0Q
b) g(1Z) = 1Q
c) g(−a) = −g(a), para todo a ∈ Z.
Demostracion. a) g(0Z) = g(0Z + 0Z) = g(0Z) + g(0Z). Como g(0Z) = g(0Z) + 0Q, resulta
que g(0Z) + 0Q = g(0Z) + g(0Z), luego aplicando la cancelacion para la suma(Teorema
5a), se tiene que g(0Z) = 0Q.
b) Como: 0Z1Z, entonces g(0Z) 6= g(1Z). Por otra parte, g(1Z) = g(1Z · 1Z) = g(1Z) · g(1Z).
Por Q7 se tiene que g(1Z) = g(1Z) · 1Q, de donde resulta que g(1Z) · 1Z = g(1Z) · g(1Z),
luego, como g(1Z) 6= 0Q , aplicando la cancelacion para el producto (Teorema 5.b) resulta
g(1Z) = 1Q.
Veamos el siguiente caso particular:
g(2Z) = g(1Z + 1Z) = g(1Z) + g(1Z) = 1Q + 1Q = 2Q
c) Para todo a ∈ Z, por Q10ii), g(a) + g(−a) = g(a + (−a)) = g(0Z) = 0Q, pero tambien
g(a) + (−g(a)) = 0Q = g(a) + g(−a); luego, cancelando se tiene −g(a) = g(−a).
A continuacion estableceremos las propiedades de g(Z)
Teorema 2.38. i) Para todo a, b ∈ g(Z), se tiene que: a + b ∈ g(Z)
ii) Para todo a, b ∈ g(Z), se tiene que: a · b ∈ g(Z)
Demostracion. i) Para todo a, b ∈ g(Z), existen m, n ∈ Z tales que a = g(m) y b = g(n),
luego a + b = g(m) + g(n) = g(m + n) ∈ g(Z), pues m + n ∈ g(Z)
ii) Para todo a, b ∈ g(Z), existen m, n ∈ Z tales que a = g(m) y b = g(n), luego a · b =
g(m) · g(n) = g(m · n) ∈ g(Z), pues m · n ∈ g(Z).
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En virtud de este teorema, como g(Z) ⊂ Q las operaciones internas de adicion y multi-
plicacion en el conjunto de los numeros racionales Q, restringidas g(Z) ⊂ Q, inducen las
mismas operaciones internas en g(Z)y, en consecuencia se demuestra el siguiente e importante.
Teorema 2.39. El conjunto g(Z) = {g(n)/n ∈ Z}, provisto de las operaciones internas de
adicion y multiplicacion
+ : g(Z) × g(Z) → g(Z) tal que (a, b) → a + b
· : g(Z) × g(Z) → g(Z) tal que (a, b) → a · b
inducidas por las operaciones de Q verifican E1−E10.
Demostracion. La verificacion de los axiomas E1-E9 es inmediata. E10 se demuestra en el
siguiente
Teorema 2.40. Existe una aplicacion h : N → g(Z) tal que:
i) h es inyectiva
ii) h(m + n) = h(m) + h(n)
iii) h(m · n) = h(m) · h(n)
iv) Para todo q ∈ g(Z), existe m ∈ N tal que q = h(m) ∨−q = h(m)
Demostracion. Definamos h : N → g(Z) poniendo h = g ◦ f donde f : N → Z y g : Z → Qson las funciones inyectivas de los axiomas E10 y Q10 de Z y Q respectivamente.
i) Como f : N → Z y g : Z → Q. son funciones inyectivas, en virtud del Teorema 3 del
capitulo 1 la funcion h = g ◦ f : N → Q es inyectiva. Esta demostracion es un caso
particular del Teorema 3.1) del capitulo 1
ii) Si m, n ∈ N, entonces, aplicando sucesivamente E10ii) y Q10ii), resulta h(m + n) =
(g◦f)(m+n) = g(f(m+n)) = g(f(m)+f(n)) = g(f(m))+g(f(n)), es decir h(m+n) =
(g ◦ f)(m) + (g ◦ f)(n) = h(m) + h(n).
iii) Si m, n ∈ N, entonces, aplicando sucesivamente E10iii) y Q10iii), se tiene, h(mn) =
(g ◦ f)(mn) = g(f(mn)) = g(f(m)f(n)) = g(f(m)) · g(f(n)) = (g ◦ f)(m) · (g ◦ f)(n) =
h(m) · h(n)
iv) Para todo q ∈ g(Z), existe a ∈ Z tal que q = g(a). Si a ∈ Z, existe m ∈ N tal que
a = f(m) o −a = f(m) por E10iv).
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Si a = f(m) entonces q = g(f(m)) = (g · f)(m) = h(m).
Si −a = f(m), −q = −g(a) = g(−a) = g(f(m)) = (g · f)(m) = h(m).
Es decir,∀q ∈ g(Z)∃m ∈ N tal que q = h(m) ∨ −q = h(m).
Nota importante: El teorema anterior permite, afirmar que la funcion g : Z → g(Z), donde
g(Z) ⊆ Q, goza de las siguientes propiedades:
1. g : Z → g(Z) es una biyeccion
2. g(m + n) = g(m) + g(n) y g(mn) = g(m)g(n).
Estas propiedades nos permiten identificar Z con g(Z), desde el punto de vista conjuntista por
1) y desde el punto de vista algebraico por 2), ası como escribir Z ∼= g(Z). En consecuencia
a partir de este momento identificaremos un numero entero m ∈ Z con el numero racional
g(m) · Q(m ∼= g(m)), al cual tambien lo llamaremos racional entero; en particular: 0Z∼=
g(0Z) = 0Q y 1Z∼= g(1Z) = 1Q. De esta manera tambien podemos escribir: “Z ⊂ Q”. En los
cursos avanzados de algebra se dice que g es un isomorfismo algebraico.
2.3.3. Sustraccion
Definicion 2.11. Dados los numeros racionales a y b, se llama diferencia de a y b, y se denota
a − b, al numero racional c tal que a = b + c.
Es decir, a − b = c ⇔ a = b + c.
Los numeros a y b reciben los nombres de minuendo y sustraendo, respectivamente.
Teorema 2.41. Dados los numeros racionales a y b, la diferencia a − b siempre existe y
es unica.
La demostracion es analoga a la realizada para numeros enteros; es decir basta poner c =
a + (−b) y reemplazar la palabra entero por racional.
El teorema anterior nos permite decir que la aplicacion “−”que asocia a cada par de numeros
racionales (a, b), su diferencia a − b.
− : Q × Q → Q tal que (a, b) → a − b
es una operacion interna que recibe el nombre de Sustraccion.
Corolario 2.7. Si a y b son numeros racionales, entonces
x + a = b ↔ x = b − a
La demostracion es analoga a la realizada para numeros enteros; es decir basta reemplazar la
palabra entero por racional.
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2.3.4. Division
Definicion 2.12. Dados los numeros racionales a y b con b 6= 0, se llama cociente de a y b,
y se denota ab(o a/b), al numero racional c tal que a = b · c. Es decir, a
b= c ⇔ a = b · c
Teorema 2.42. Dados los numeros racionales a y b, con b 6= 0, el cociente de a y b existe y
es unico.
Demostracion. Dados los numeros racionales a y b, como b 6= 0, existe 1b, luego definiendo c =
a(1b), resulta c ∈ Q; ademas aplicando sucesivamente el axioma de sustitucion, las propiedades
asociativa, conmutativa y del inverso, se tiene:
b · c = b · [a(1
b)] = [b(
1
b)]a = a
Luego a = b · c y aplicando la definicion de cociente, resulta ab
= c
Observacion 2.1. Es importante recordar la igualdad: ab
= a(1b)
El teorema anterior nos permite decir que la aplicacion “/”que asocia a cada par de numeros
racionales (a, b), con b 6= 0, su cociente a/b
/ : Q × (Q − {0}) → Q tal que (a, b) → a/b
es una operacion interna que recibe el nombre de Division.
Teorema 2.43. Si a, b, c, d son numeros racionales, c 6= 0 y d 6= 0, se cumplen las siguientes
propiedades:
a) ac
+ bc
= a+bc
b) ac
+ bd
= ad+bccd
c) ac· b
d= ab
cd
d) ac
= bd⇔ ad = bc
e) Si a 6= 0, la ecuacion ax + b = 0 tiene solucion en Q y ademas es unica.
Demostracion. a) Si c 6= 0, existe c−1 ∈ Q, luego aplicando la definicion de cociente se
tienea + b
c= (a + b) · c−1 = a · c−1 + b · c−1 =
a
c+
b
c
b) Si c 6= 0, por el corolario del Teorema 2, cd 6= 0, luego existe (cd)−1 y se tiene:
ad + bc
cd= (ad + bc) · (cd)−1 = (ad + bc) · (c−1 · d−1) = (ad) · (c−1 · d−1) + (bc) · (c−1 · d−1)
= ac−1(d.d−1) + bd(c · c−1) = ac−1 · 1 + bd−1 · 1 = ac−1 + bd−1 =a
c+
b
d
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c) Si c 6= 0 y d 6= 0, entonces cd 6= 0, luego,
ab
cd= ab · (cd−1) = (ab) · (c−1 · d−1) = (ac−1) · (bd−1) =
a
c· b
d
d)
a
c=
b
d⇔ ac−1 = bd−1
⇔ (ac−1)cd = (bd−1)cd, pues cd 6= 0
⇔ ad(c−1c) = bc(d−1d)
⇔ ad = bc
e) Si ax + b = 0, entonces ax = −b. Como a 6= 0 existe a−1 y se tiene.
(a−1)(ax) = (a−1)(−b) ⇒ (a−1a)x = (−b)a−1 ⇒ 1 · x = −(ba−1) ⇒ x = − b
a
Es decir, la ecuacion ax + b = 0 tiene solucion y es unica.
En particular la ecuacion ax = c tiene solucion unica a x = ca.
2.3.5. Potenciacion
Definicion 2.13. Sea a un numero racional, a 6= 0 y n un numero natural, la potencia an,
esta dada por:
1. a0 = 1
2. an = an−1 · a, si n ≥ 1
En la expresion an; el numero a se llama base y el numero n se llama exponente.
De la definicion, se tiene que:
a1 = a0 · a = 1 · a = a (un factor)
a2 = a1 · a = a · a, (dos factores)
a3 = a2 · a = a · a · a, (tres factores), y en general,
an = a · a · · ·a, (n factores).
Definiendo a−n = 1an , para los numeros naturales m y n y para el numero racional a 6= 0, se
tiene:am
an= am 1
an= am · a−n
Como en el caso de los numeros naturales, aplicando la induccion matematica se demuestra
que:
i) (a · b)n = an · bn,
ii) am · an = am+n
iii) (am)n = am·n
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2.3.6. Numeros reales como cocientes de numeros enteros
Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, n 6= 0, g(n) 6= 0, tal que r = g(m)g(n)
, donde g : Z → Q es la
inyeccion del axioma Q10. En efecto, por el axioma Q10iv), para todo r ∈ Q, existe n ∈ Z,
n 6= 0 tal que, r · g(n) ∈ g(Z), es decir r.g(n) = g(m), para algun m ∈ Z.
Como g(n) 6= 0, y r·g(n) = g(m), aplicando la definicion de cociente, se concluye que r = g(m)g(n)
.
En consecuencia, usando la identificacion de Z con g(Z), g(m) ∼= m y g(n) ∼= n, son racionales
enteros, luego todo numero racional r, se puede expresar como cociente de enteros racionales
con denominador diferente de cero. Ası podemos expresar r = mn.
Teorema 2.44. 1. Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, n > 0, tal que r = g(m)g(n)
2. Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, coprimos (Definicion 7 capıtulo 1), n > 0 tal que
r = g(m)g(n)
Demostracion. 1. Por Q10iv)∀r ∈ Q∃k ∈ Z, k 6= 0 tal que g(k) · r ∈ g(Z) y ∃m ∈ Z. tal
que g(k) · r = g(m).
i) Si k > 0, basta tomar n = k, luego existen m, n ∈ Z, n > 0 tal que g(n) · r = g(m)
de donde r = g(m)g(n)
con n > 0.
ii) Si k < 0, tomamos n = −k > 0, luego existen m, n ∈ Z, n > 0 tal que g(−n) · r =
g(m). Aplicando sucesivamente los Teoremas 6c y 3, se sigue que: (−g(n))r = g(m),
luego g(n) · r = −g(m) de donde g(n) · r = g(−m).
Por lo tanto, r = g(−m)g(n)
con n > 0.
2. Para todo r ∈ Q, por la parte (1) existen m′, n′ ∈ Z, n′ > 0 tales que r = g(m′)g(n′)
.
Sea d = MCD(m′, n′), entonces existen m, n ∈ Z tales que m′ = dm, n′ = dn y MCD(m, n) =
1. Como d > 0 y n′ > 0, entonces n > 0, ademas g(n′) · r = g(m′) en Q entonces g(dn) · r =
g(dm), luego g(d)g(n)r = g(d)g(m) por Q10(iii).
Como g es inyectiva y d 6= 0 entonces g(d) 6= g(0) = 0 ası, g(n) · r = g(m), n > 0.
Por lo tanto, r = g(m)g(n)
donde m y n son coprimos y n > 0.
Observacion 2.2. 1. La primera parte de este teorema nos indica que todo numero racional
puede expresarse como un cociente de racionales enteros con denominador “positivo”(el
orden lo veremos mas adelante).
En particular, para todo m ∈ Z, g(m) ∈ Q, luego g(m) = g(m)g(1z)
.
Y usando la identificacion podemos escribir: m = m1.
2. La segunda parte de este teorema nos indica que todo numero racional puede expresarse
como cociente de racionales enteros coprimos.
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Esto es, usando la identificacion: Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, coprimos tal que
r = mn.
Corolario 2.8. Sean a, b, c, d ∈ Z, b 6= 0 y d 6= 0
i) Si r = mn∈ Q con m, n ∈ Z, coprimos y r = c
d, d 6= 0, entonces existe k ∈ Z, k 6= 0,
tal que c = km y d = kn.
ii) Si r = mn∈ Q con m, n ∈ Z, entonces −r = −m
n= −m
n= m
−n
iii) r = ab
= cd∈ Q si, y solo si, ad = bc.
2.3.7. Orden en Q
El orden de Z, mediante la aplicacion g : Z → Q del axioma Q10 induce un orden en Q como
se muestra a continuacion:
Definicion 2.14. Se dice que r ∈ Q es un numero racional positivo si, y solo sı, existen
m, n ∈ Z+ tales que r = g(m)g(n)
. Ası por ejemplo 1Q = g(1z)g(1z)
es racional positivo.
Usando la identificacion se tiene que, r ∈ Q es un numero racional positivo si, y solo sı, existen
m, n ∈ Z+ tales que r = mn.
Si r = pq
, por el corolario anterior, pn = qm, y como m y n son enteros positivos, entonces p
y q tienen el mismo signo, luego pq > 0 en Z.
Ası en forma equivalente se tiene que r = mn∈ Q es un numero racional positivo si, y solo si,
mn > 0. Denotaremos por Q+ = {x ∈ Q/x es positivo} al subconjunto no vacıo de todos los
numeros racionales positivos.
Teorema 2.45. 1) Para todo r, s ∈ Q+, se cumple r + s ∈ Q+
2) Para todo r, s ∈ Q+, se cumple r · s ∈ Q+
3) Para todo r ∈ Q una y solo una de las siguientes proposiciones es verdadera
r ∈ Q+ ∨ r = 0 ∨ −r ∈ Q+
Demostracion. 1. Sean r, s ∈ Q+, por definicion existen a, b, c, d,∈ Z+, tales que r = ab
y
s = cd.
Por el Teorema 12, r + s = ab
+ cd
= ad+bcbd
.
En Z, b > 0 y d > 0, entonces bd > 0 y tambien, a > 0 y c > 0, luego ad + bc > 0 ası,
r + s ∈ Q+.
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2. Sean r, s ∈ Q+, por definicion existen a, b, c, d ∈ Z+, tales que r = ab
y s = cd.
Por el Teorema 12, r · s = ab· c
d= ac
bdcomo b > 0 y d > 0, entonces bd > 0 y tambien,
a > 0 y c > 0, luego ac > 0 en Z y en consecuencia r · s ∈ Q+.
3. Sea r ∈ Q entonces por el Teorema 13, existen m, n,∈ Z, con n > 0, tales que r = mn.
Como para m ∈ Q, una y solo una de las siguientes relaciones se cumple: m ∈ Z+∨m =
0 ∨−m ∈ Z+
resulta que,m
n∈ Q + ∨ 0 =
0
n∨ −m
n=
−m
n∈ Q+
De donde, como g : Z → Q es inyectiva, resulta que, una y solo una de las siguientes
relaciones es verdadera:
r ∈ Q+ ∨ r = 0 ∨ −r ∈ Q+
Si denotamos por Q− al subconjunto de Q definido por Q− = {x ∈ Q/ − x ∈ Q+}, se
tiene que Q− = φ, pues −1 ∈ Q−, y aplicando el Teorema 14 · 3, resulta que:
Q = Q+ ∪ Q−{0}
2.3.8. Consecuencias importantes del teorema 14
Teorema 2.46. Si a ∈ Q, a 6= 0 entonces a2 ∈ Q+
Demostracion. Si a 6= 0 entonces a ∈ Q+ ∪ Q−
Si a 6= Q+ entonces a2 = a · a ∈ Q+ y si a ∈ Q− entonces −a ∈ Q+ y en consecuencia
a2 = a · a = (−a) · (−a) ∈ Q+. En particular, 1 = 1 · 1 ∈ Q+.
Definicion 2.15. Si a y b son numeros racionales, se dice que a es menor que b y se denota
con a < b si, y solo si, existe b − a ∈ Q+.
En sımbolos,
a < b ⇔ b − a ∈ Q+
Equivalentemente, se dice que “b es mayor que a 2se denota b > a si, y solo si, a < b.
De la definicion anterior resulta el siguiente:
Teorema 2.47. a) a ∈ Q+ si, y solo si, a > 0.
b) a > 0 si, y solo si, −a < 0.
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Demostracion. a) Si a ∈ Q+, a − 0 = a ∈ Q+, luego 0 < a, de dondea > 0.
Recıprocamente, si a > 0 entonces 0 < a y a − 0 ∈ Q+, es decir a ∈ Q+.
b) Si a > 0, a ∈ Q+, luego a = 0 − (−a) ∈ Q+, es decir −a < 0.
El recıproco es inmediato.
Usando el Teorema anterior, podemos escribir:
i) Dado a ∈ Q, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones:
0 < a ∨ a = 0 ∨ a < 0(Tricotomıa).
ii) Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 y ab > 0
Teorema 2.48. Si a, b y c son numeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades:
a) a < 0 ∧ b < 0 ⇒ ab > 0
b) a > 0 ∧ b < 0 ⇒ ab < 0
Demostracion. a) Si a < 0∧ b < 0 entonces −a > 0∧−b > 0 de donde ab = (−a)(−b) > 0
b) Si a > 0 ∧ b < 0 entonces a > 0 ∧ −b > 0 de donde −ab = a(−b) < 0 y ab < 0.
Teorema 2.49. Si a, b y c son numeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades:
a) a < b ∧ b < c ⇒ a < c
b) a < b ⇒ a + c < b + c
c) a < b ∧ c < d ⇒ a + c < b + d
d) a < b ∧ 0 < c ⇒ ac < bc
e) a < b ∧ c < 0 ⇒ ac > bc
Demostracion. Se probaran a) y d). Quedan como ejercicios b), c)ye).
a) Si a < byb < c, existen r > 0 y s > 0 tales que a + r = b y b + s = c luego
a + (r + s) = (a + r) + s = b + s = c, es decir, existe un numero racional r + s > 0 tal
que a + (r + s) = c, y en consecuencia a < c.
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d) Si a < b existe r > 0 tal que a + r = b. Como c > 0 y r > 0, rc > 0, luego ac + rc =
(a + r)c = bc lo que implica que ac < bc.
Teorema 2.50. Si a y b son numeros racionales diferentes de cero, el inverso multiplicativo
tiene las siguientes propiedades:
a) a > 0 ⇒ a−1 > 0
b) a < 0 ⇒ a−1 < 0
c) Si 0 < a < b ⇒ b−1 < a−1
d) Si a < b < 0 ⇒ b − 1 < a − 1
Demostracion. Probaremos a) y c). Quedan como ejercicio b) y d).
a) Por el absurdo: Supongamos que a−1‘ < 0, entonces, como a > 0, se tiene, por el axioma
Q8, que 1 = a−1a < 0, es decir, 1 < 0, lo que es una contradiccion.
Por lo tanto a−1 > 0.
c) Si 0 < a < b, por el Teorema 14, ab > 0. Pero por los Teoremas 19a y 4b resulta
a−1b−1 = (ab)−1 > 0. Entonces,
b−1 = (aa−1)b−1 = a(a−1b−1) < b(a−1b−1) = b(b−1a−1) = (bb−1)a−1 = a−1.
Teorema 2.51. i) Si a > 0 y n > 0 ⇒ an > 0
ii) Si 0 < a < b ⇒ an < bn
Demostracion. Probar las dos propiedades por induccion.
Teorema 2.52 (Densidad de los numeros racionales). Dados los numeros racionales a y b,
tales que a < b, siempre existe un numero racional c tal que
a < c < b
122
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Demostracion. Si a < b, en virtud de 18(b) resulta, a + a < a + b ∧ a + b < b + b, de donde,
2a < a + b < 2b lo que implica a = 2a(12) < (a+b
2)1
2< (2b)1
2, osea a < a+b
2< b. Luego, bastara
tomar c = a+b2
Definicion 2.16. Si a y b son numeros racionales, se dice que a es menor o igual que b y se
denota por a ≤ b si, y solo si, a < b o a = b.
En particular, 0 ≤ a si, y solo si, a < b o a = b.
Se sigue de inmediato que:
a ≤ b ⇔ ∃c ≥ 0/a + c = b
Equivalentemente, se dice que “b es mayor o igual que a 2se denota b ≥ a si, y solo si, a ≤ b.
Teorema 2.53. Si a, b y c son numeros racionales, las relaciones ≤ y ≥ cumplen las
siguientes propiedades
a) a ≤ a (Propiedad reflexiva)
b) a ≤ ∧b ≤ a ⇒ a = b (Propiedad antisimetrica)
c) a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c (Propiedad transitiva)
d) a 6= b ⇒ a < b ∨ b < a (Propiedad conexa)
e) a ≤ b ∧ c ≥ 0 ⇒ ac ≤ bc
f) a ≤ b ∧ c ≤ 0 ⇒ ac ≥ bc
Demostracion. Las demostraciones de las 6 propiedades son consecuencia de la definicion de
la relacion menor o igual y de las propiedades de la relacion menor en Q
Observacion 2.3. Las propiedades (a), (b) y (c) nos permiten decir que la relacion menor o
igual es una relacion de orden en Q.Si se agrega la propiedad (d) se dice que la relacion menor
o igual es una relacion de orden conexa.
Ejemplo 2.13. Si a, b y c, son numeros racionales tales que 0 < a < b < 1 , determinar la
verdad (V ) o falsedad (F ) de las siguientes desigualdades:
a)0 < a5 < a3 < a < 1 b)b−1
5<
a−1
5a2 < b2
Solucion. a) Como 0 < a < 1 y a > 0, resulta 0 < a2 < a < 1. Repitiendo el mismo
procedimiento, se obtienen las siguientes desigualdades: 0 < a3 < a2 < a < 1 y 0 <
a5 < a4 < a3 < a2 < 1. En consecuencia la afirmacion dada es verdadera.
b) Si 0 < a < b, aplicando el teorema 11c, se tiene 0 < b−1 < a−1, de donde, como 15
> 0
resulta b−1
5< a−1
5
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c) Queda como ejercicio.
2.3.9. Radicacion
Definicion 2.17. Si a ≥ 0 es un numero racional y n ∈ N+, se llama raız n−esima de a y se
denota n√
a , al unico numero real no negativo b, si existe tal que bn = a;
Simbolicamente n√
a = b ⇔ bn = a.
En la expresion b = n√
a ; se dira que n es el ındice del radical, y que a es el radicando o
expresion subradical.2√
a se escribe simplemente a y se lee “raız cuadrada de a”. 3√
a se lee: “raız cubica de a”.
Teorema 2.54. Si a, b ∈ Q+0 = Q+ ∪ {0} y n, m ≥ 1, entonces:
a) Existe n√
ab y n√
ab = n√
a · · · n√
b .
b) Existe n√
am y n√
am = ( n√
a)m
c) Existen mn√
a, m√
n√
a y mn√
a, n√
m√
a = m√
n√
a
d) Si b > 0, n√
ab
=n√
an√
b
Observacion Importante:
Como 1 ∈ Q+, se sigue que los numeros racionales naturales:
1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, · · · , n, n + 1, · · ·
son positivos y que, en consecuencia, que el conjunto de los racionales naturales
N = N+ ∪ {0} ⊂ Q
Analogamente, como 0 ∈ Q y n ∈ Q, n racional natural, entonces −n ∈ Q, es decir el conjunto
de los racionales enteros Z ⊂ Q.
Se puede “identificar”los numeros racionales con ciertos puntos de la recta geometrica ℜ. Al
numero racional cero “0”se le asigna un punto cualquiera de la recta y luego fijando una cierta
“unidad de medida.a los numeros racionales positivos y a los negativos se les asigna puntos a
la derecha y a la izquierda del 0, respectivamente, tal como lo indica la siguiente figura:
De esta manera, se establece una aplicacion β : Q → ℜ que hace corresponder a cada numero
racional un punto de la recta geometrica.
124
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Problemas Resueltos
Problema 2.11 (*). Julia tiene 289 monedas guardadas en cajas. Todas las cajas contienen
la misma cantidad de monedas (que es mayor que 1) y en cada caja solo hay monedas de un
mismo pais.
Las monedas de Bolivia son mas del 6 % del total, las de Chile, mas del 12 % del total, las de
Mexico, mas del 24 % del total y las Peru, mas del 36 % del total ¿Puede tener Julia alguna
moneda de Uruguay?
Solucion. Sea k la cantidad de monedas que tiene cada caja.
Como cada caja tiene la misma cantidad de monedas, 289 es multiplo de k.
Pero 289 = 172, solo tiene como divisores a 1, 17 y el mismo 289.
Por dato k > 1. Entonces k = 17 o 289.
Si k = 289, solo habrıa una caja y nu seria posible que haya monedas de cuatro pais distintos.
En consecuencia
k = 17
Como las monedas en cada caja son de un sol pais y hay un 17 monedas en cada caja, entonces
la cantidad total de monedas de cada pais es un multiplo de 17.
Las monedas de Bolivia son mas de 6100
· 289 = 17, 34. El menor multiplo de 17 mayor que
17, 34 es 34. Entonces, hay al menos de 34 monedas de Bolivia.
Las monedas de Chile son mas de 12100
·289 = 34, 68. El menor multiplo de 17 mayor que 34, 68
es 51. Entonces, hay al menos de 51 monedas de Chile.
Las monedas de Mexico son mas de 24100
· 289 = 69, 36. El menor multiplo de 17 mayor que
69, 36 es 85. Entonces, hay al menos de 85 monedas de Mexico.
Las monedas de Peru son mas de 36100
· 289 = 104, 04. El menor multiplo de 17 mayor que
104, 04 es 119. Entonces, hay al menos de 119 monedas de Peru.
En resumen la cantidad de monedas que tienen, en conjunto, Bolivia, Chile, Peru y Mexico
es de al menos.
34 + 51 + 85 + 119 = 289
monedas. Pero como el total de monedas es de 289, que coincide con la minima cantidad de
monedas que pueden tener en conjuntos, estos cuatro paıses, entonces Bolivia tiene exacta-
mente 34 monedas, Chile tiene exactamente 51 monedas, Mexico exactamente 85 monedas y
Peru tiene exactamente 119 monedas, para ası tener un total de 289 monedas. En consecuen-
cia, no es posible que alguna de las monedas sea de Uruguay
Problema 2.12. Para x1 = 30, x2 = 42, x3 = 56, etc, encontrar un entero positivo m tal que:
1
x1+
1
x2+
1
x3+ · · ·+ 1
xm= 0, 15
125
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Solucion. Tenemos:
x1 = 30 = 5 × 6
x2 = 42 = (1 + 5)(1 + 6)
x3 = 56 = (2 + 5)(2 + 6)...
xm = (m − 1 + 5)(m − 1 + 6) = (m + 4)(m + 5)
Luego:
1
x1+
1
x2+
1
x3+ · · ·+ 1
xm=
1
5 × 6+
1
6 × 7+
1
7 × 8+ · · ·+ 1
(m + 4)(m + 5)=
=
[1
5− 1
6
]+
[1
6− 1
7
]+
[1
7− 1
8
]+ · · · +
[1
m − 4− 1
m − 5
]=
15
100=
3
20
⇒ 1
5− 1
m + 5=
3
20⇒ 1
m + 5=
1
20⇒ m + 5 = 20 ⇒ m = 15
Problema 2.13. Dos numeros estan en la razon a/b. Sabiendo que a/b genera una fraccion
decimal periodica pura con dos cifras en el periodo y que a + b = 12, hallar la suma de dichos
numeros si se sabe ademas que su diferencia es 130.
Solucion. Sean A y B los numeros tal que
A
B=
a × k
b × k=
a
b(1)
Como a/b genera una fraccion decimal periodica con dos cifras en el periodo, entonces a y b
don primos entre si.
Por dato: a + b = 12 ⇒ a = 1 y b = 11 o a = 5 y b = 7, de donde descartamos la segunda
posibilidad.
Luego en (1): A = k y B = 11k
Ademas
A + B = (a + b)k = 12k y B − A = (b − a)k = 10k
Entonces, B − A = 130 = 10k ⇒ k = 13 y en consecuencia; A + B = 12k = 12 × 13 = 156
Problema 2.14. Un fotografo y su ayudante tardan 2 horas en revelar y sacar copias de cierto
numero de fotografıas. A continuacion tienen que hacer el mismo numero de fotografıas, pero
el fotografo ha de dejar el trabajo al cabo de un hora,, tardando el ayudante 3 horas mas en
concluir la tarea. ¿Cuanto tiempo emplearıa el ayudante para hacer solo el trabajo?
Solucion. El fotografo y su ayudante en 1h hacen 12
del trabajo y les falta por hacer 12
del
trabajo.
Como se retira el fotografo, por lo tanto en 1h hace 16
del trabajo y todo el trabajo lo hara en
6 horas
126
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Problema 2.15. Si un jugador en su primer juego pierde un tercio de su dinero, vuelve a
apostar y pierde el 3/5 de lo que le queda y en una tercera apuesta pierda los 4/7 del resto.
¿Que fraccion del dinero que tenıa originalmente le ha quedado?
Solucion. Del enunciado tenemos:
Pierde: 13
de su dinero ⇒ queda: 23
de su dinero Pierde: 35
de lo que le queda ⇒ ahora le queda:25
[23
de su dinero] Ahora pierde 47⇒ le queda 3
7[25[23
de su dinero]]= 435
de su dinero
Problema 2.16. Un comerciante ahorro 54000 soles durante 5 anos, sabiendo que el segundo
ano ahorro 2/9 sobre lo que habıa ahorrado el primer ano, que el tercer ano ahorro 12885
soles, que el cuarto ano ahorro 1/11 menos que lo habıa ahorrado en el segundo ano y que el
quinto ano ahorro lo que el segundo mas 115 soles. Determinar lo que ahorro el primer ano
Solucion. Del enunciado tenemos:
Primer ano ahorro: a
Segundo ano ahorro: a + 29a
Tercer ano ahorro: 12885
Cuarto ano ahorro:(a + 2
9a)− 1
11
(a + 2
9a)
= 1011
(a + 2
9a)
Quinto ano ahorro:(a + 2
9a)
+ 115
Total ahorrado: 54000
Luego: (a +
2
9a
)+ 12885 +
10
11
(a +
2
9a
)+
(a +
2
9a
)+ 115m = 554m
⇒ a +32
11
(a +
2
9a
)= 41000 ⇒ a
[1 +
32
11+
64
99
]= 41000
⇒(
651
11 × 9
)= 41000 ⇒ a = 9000
Problema 2.17. Un comerciante tenia una determinada suma de dinero. El primer ano gasto
100 pesos y aumento a lo que quedaba, un tercio de este resto. Al ano siguiente volvio a gastar
100 soles y aumenta a la cantidad distante un tercio de ella. El tercer ano gasto de nuevo 100
soles y agrego una tercera parte de lo que quedaba. Si el capital resultante es el doble del
capital inicial ¿Cual fue la capital inicial?
Solucion. Sea N la cantidad de dinero, del enunciado:
Primer ano: le quedo (N −100) y aumento 13(N −100) entonces tenemos en total: 4
3(N −100)
Segundo ano: 43(N − 100)− 100+ 1
3
[43(N − 100) − 100
]entonces tenıa: 4
3
[43(N − 100) − 100
]
Tercer ano: 43
[43(N − 100) − 100
]− 100 + 1
3{4
3
[43(N − 100) − 100
]− 100}
es decir le queda: 43{4
3
[43(N − 100) − 100
]− 100} lo que es doble del capital inicial.
Ası: 43{4
3
[43(N − 100) − 100
]− 100} = 2N ⇒ N = 1480
127
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Problema 2.18. Se reparte una cantidad de dinero entre una cierta cantidad de personas.
La primera recibe 100 soles y 112
del resto, la segunda recibe 200 soles y 112
del resto; y la
tercera 300 soles y 112
del resto, y ası sucesivamente.
De esta manera todas ellas han recibido la misma suma y se han repartido la cantidad integra.
Hallar el numero de personas
Solucion. Sea c la cantidad a repartir, como cada una recibe los mismo, entonces:
100 +1
12(c − 100)
︸ ︷︷ ︸Recibelaprimera
= 200 +1
12{c − [100 +
1
12(c − 100)]}
︸ ︷︷ ︸Recibelasegunda
−200 (1)
100 +1
12(c − 100) = 200 +
1
12c − 1
12[100 +
1
12(c − 100)] − 1
12× 200
13
12[100 +
1
12(c − 100)] = 200 − 1
12× 200 +
1
12c
13 × 100 +13
12c − 13
12× 100 = 200 × 12 − 200
1
12c = 200 × 11 − 13 × 100 +
13
12× 100
c = 100 × 22 × 12 − 13 × 12 × 100 + 13 × 100
c = 100 × 9 × 12 + 100 × 13
c = 121 × 100
Luego cada una recibe, 100 + 112
(121 × 100 − 100) = 1100
El numero de personas es 121×10011×100
= 11
Problema 2.19. Al dejar caer al suelo una pelota, cada vez que rebota se eleva a una altura
igual a los 2/9 de la altura de donde cayo. Despues de tres rebotes la pelota se ha elevado
16/27 de metro. ¿De que altura se dejo caer al empezar?
Solucion. Tenemos que:
S1 =2
9B1
S2 =2
9B2 =
2
9S1 =
22
92B1
S3 =2
9B3 =
23
93B1
Por dato:23
B1=
16
27⇒ B1 = 54m
128
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Actividades
1. Un camionero realiza la ruta La Oroya−Lima. Se da cuenta que la primera sexta parte
de la distancia la recorre a 10km/h, las siguientes dos terceras partes las recorre a
20km/h, mientras que la sexta parte final la realiza a 30km/h. ¿Cual ha sido su velocidad
promedio para la distancia total?. (Es interesante notar que el problema no entrega como
uno de los datos la distancia L entre las dos ciudades. La velocidad promedio es igual a la
distancia total entre el tiempo total de recorrido. Analizar las tres etapas del recorrido).
2. Cuatro hermanos, Antonio, Felix, Claudio y Dionisio, compran un automovil por 36 mil
soles. Antonio aporto la mitad de lo que aportaron Felix, Claudio y Dionisio juntos;
Felix aporto la tercera parte de lo que aportaron Antonio, Claudio y Dionisio juntos;
Claudio aporto la cuarta parte de lo que aportaron Armando, Felix y Dionisio juntos.
¿Cuanto aporto Dionisio?
3. Dos moviles A y B estan separados 300Km y parten ambos a las 8 : 00 a.m., uno al
encuentro del otro, con velocidades constantes y proporcionales a 3 y 2, respectivamente.
Si al cabo de tres horas se encuentran:
a) ¿Cual fue la mayor de las velocidades?
b) ¿Que espacio recorrio B?
4. Un estudiante distribuye el dinero que tiene para sus gastos de la siguiente manera:
1/5 de su dinero en alquiler de habitacion, 1/3 en alimentos, 1/6 en ropa y 1/4 en su
educacion. Si el resto de su dinero lo ahorra, ¿Que fraccion del dinero que tiene ahorrara?
5. Sean b y h las longitudes de la base y de la altura, expresadas en centımetros, de un
triangulo y A es el area del mismo (cm2). Si 10 < b < 12 y 60 < A < 80. ¿Cuales son
los posibles valores de h?
6. Si a < 0 < b, ¿Se puede establecer la relacion menor entre sus inversos multiplicativos?
Hallar todos los numeros racionales x tales que x > 5 si, y solo si, x < 5
7. Ordena los siguientes numeros en orden creciente
210 + 2−10; 210 − 2−10; 210 + 10−3; 103 + 2−10; 103 + 10−3
8. Si x, y, z son numeros enteros positivos. Encontrar los valores posibles de x + y + z,
sabiendo que la suma de1
x+
1
y+
1
z
es un numero entero.
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2.4. Sesion 10: Representacion decimal de un numero
racional. Aplicaciones de las razones y proporciones
El algebra es generosa: a menudo da mas de lo que se le pide.
D Alembert
Contextualizando: Distribucion en porciones
La tabla siguiente aparece en un paquete de semola Quaker
Microondas Estufa
Porciones 1 1 4 6
Agua 34
taza 1 taza 3 tazas 4 tazas
Semola 3 cucharadas 3 cucharadas 34
taza 1 taza
Sal (opcional) Una pizza Una pizza 14
cucharadita 12
cucharadita
(a) En microondas, ¿cuantas tazas de agua serıan necesarias para 6 porciones?
(b) En estufa, ¿cuantas tazas de semola serıan necesarias para 5 porciones? (Sugerencia: 5
es la mitad entre 4 y 6)
2.4.1. Representacion decimal de un numero racional
Sabemos que todo numero racional r se puede escribir como el cociente de dos numeros enteros,
o sea r = ab
donde b, llamado tambien denominador, es diferente de cero. El algoritmo de la
division de Euclides es un procedimiento para obtener a partir del cociente de dos enteros,
una expresion decimal de la forma:
a0, a1, a2, a3, · · ·
donde es un numero entero y a1, a2, a3 son los numeros: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; a los cuales
llamaremos, a partir de ahora, dıgitos decimales.
Por ejemplo, dados los numeros racionales12, 3
4, 1
8y 1
10000, si dividimos el numerador entre el denominador obtenemos
1
2= 0 · 5;
3
4= 0 · 75;
1
8= 0 · 125;
1
10000= 0, 0001
que son expresiones decimales con un numero finito de dıgitos decimales. A estas las llamare-
mos expresiones decimales finitas.
En cambio, dados los numeros racionales13, 1
7, 1
6y 7
12si dividimos el numerador entre el denominador obtenemos:
13
= 0, 33333 · · · 17
= 0, 14285714285714285716
= 0, 166666 712
= 0, 5833333
130
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que son expresiones decimales con un numero infinito de dıgitos decimales. A estas las lla-
maremos expresiones decimales infinitas.
Si observamos con mas detenimiento las cuatro ultimas expresiones decimales infinitas:
0, 33333 · · · ; 0, 142857142857142857 · · · ; 0, 166666 · · · y 0, 5833333 · · · ,
notamos que en las dos primeras el dıgito decimal 3 y el grupo de dıgitos decimales 142857,
se repiten indefinidamente inmediatamente despues de la coma decimal, mientras que en las
otras dos ultimas, el dıgito decimal 6 y el dıgito decimal 3 se repiten indefinidamente, despues
de un numero finito de dıgitos decimales (el 1 y el 58). A cada una de las dos primeras
las llamaremos expresion decimal infinita periodica pura y a cada una de las dos ultimas
las llamaremos expresion decimal infinita periodica mixta. En general tenemos los siguientes
tipos de expresiones decimales:
1) Expresiones decimales finitas de la forma:
a0, b1b2 · · · bm
2) Expresiones decimales infinitas periodica puras de la forma:
a0, a1a2 · · ·ana1a2 · · ·ana1a2 · · ·an · · · o en forma abreviada a0, a1a2 · · ·an (un conjunto
de los dıgitos decimales se repite periodicamente, inmediatamente despues de la coma
decimal), y
3) Expresiones decimales infinitas periodica mixtas de la forma:
a0, b1b2 · · · bma1a2 · · ·ana1a2 · · ·ana1a2 · · ·an · · · o en forma abreviada a0, b1b2 · · · bm a1a2 · · ·an
(un conjunto de los dıgitos decimales se repite periodicamente).
Finalmente, como a las expresiones decimales finitas, tambien se les puede consid-
erar como expresiones decimales infinitas periodicas, con perıodo cero, por ejemplo:
1, 25 = 1, 2500000 · · · = 1, 250 y en general
a0, b1b2 · · · bm = a0, b1b2 · · · bm00000
Teorema 2.55. Todo numero racional admite una representacion decimal infinita periodi-
ca.
La demostracion general del teorema se basa en el algoritmo de la division de Euclides. A con-
tinuacion daremos dos ejemplos especıficos que motivan la demostracion y luego comentaremos
en terminos generales como se efectua esta.
En general, si mn
∈ Q, con m y n enteros, n > 0, se divide m entre n. En el proceso de la
division al agotar las cifras de m (en base diez) se completa con ceros para seguir la division
obteniendo los decimales. Por el algoritmo de la division, cada residuo que se obtiene en este
131
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proceso es alguno de los n siguientes numeros: 0, 1, 2, 3, · · · , n − 1. Al dividir m entre n se
puede obtener un conjunto o sucesion de residuos, tan grande como se quiera. En cualquier
sucesion de mas de n numeros, algunos de estos posibles restos, aparece mas de una vez.
Esta situacion obligara a que produzca una repeticion de los dıgitos decimales en el cociente
obteniendose el perıodo.
Recıprocamente, se cumple el siguiente
Teorema 2.56. Dado una expresion decimal infinita periodica , a0, b1b2 · · · bm a1a2 · · ·an
existe un numero racional mn
tal que mn
= a0, b1b2, · · · bm a1a2 · · ·an.
La demostracion de este teorema nos permite determinar la fraccion mn
a partir de la expre-
sion decimal infinita periodica, mediante un proceso al cual se le conoce como el proceso de
calcular la fraccion generatriz de una expresion decimal:
2.4.2. Calculo de la generatriz de una expresion decimal
Consideraremos tres casos:
Caso 1) Hallar la fraccion generatriz de una expresion decimal finita (que tiene un numero
finito de cifras decimales)
3,125 = 3,12500000 · · ·3, 125 × 1000 = 3125; luego 3, 125 = 3125
1000
En general, si a partir de un cierto n los dıgitos de la parte decimal son todos ceros, es decir
a = a0, a1a2a3 · · ·an000 · · ·0 · · ·la expresion decimal se representa simplemente por a = a0, a1a2a3 · · ·an; de donde, multipli-
cando por 10n se obtiene 10na = a0, a1a2a3 · · ·an, es decir
a =a0, a1a2a3 · · ·an
10n
Caso 2) Hallar la fraccion generatriz de la expresion decimal periodica pura: 0, 363636, · · ·Se observa que los dıgitos 3 y 6 se repiten indefinidamente en ese orden,
100 × 0, 363636 · · · = 36, 363636 · · ·100 × (0, 363636 · · · ) − (0, 363636 · · · ) = (36, 363636 · · · ) − (0, 363636 · · · )Luego, 99 × 0, 363636 · · · = 36; osea 0, 363636 · · ·036
99
Una expresion decimal se denomina periodica pura, si sus k primeros dıgitos de la parte
decimal, inmediatamente despues de la coma, se repiten indefinidamente, siguiendo el mismo
orden:
a = 0, a1a2a3 · · ·aka1a2a3 · · ·aka1a2a3 · · ·aka1a2a3 · · ·ak · · · · · ·
Esta expresion decimal se escribe tambien: a = 0, a1a2a3 · · ·ak
10k · a = a1a2a3 · · ·ak, a1a2a3 · · ·aka1a2a3 · · ·aka1a2a3 · · ·ak · · · · · ·
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restando las dos expresiones anteriores se obtiene (10k − 1)a = a1a2a3 · · ·ak
osea, a = a1a2a3···ak
999···9 , donde el denominador es igual a (10k1), es decir tiene tantas veces nueve
como dıgitos decimales tiene la parte periodica: a1a2a3 · · ·ak
La ultima expresion de “a”da origen a la regla usada en el aula secundaria, para hallar la
generatriz de una expresion decimal infinita periodica pura.
Caso 3)Hallar la fraccion generatriz de la expresion decimal periodica mixta 0, 24363636 · · · .Se observa que los dıgitos 3 y 6 se repiten indefinidamente en ese orden, pero esto no ocurre
con 2 y 4.
10000 × 0, 24363636 · · · = 2436, 363636 · · ·100 × 0, 24363636 · · · = 24, 36363636 · · ·10000 × (0, 24363636 · · · ) − 100 × (0, 24363636)
(2436, 363636 · · · ) − (24, 363636)
luego 9900 × 0, 24363636 · · · = 2436 − 24
osea 0, 24363636 · · · = (2436 − 24)/9900
0, 24363636 · · · = 2412
9900
En general, dada la expresion decimal infinita periodica mixta:
a = 0, a1a2a2 · · ·an b1b2b3 · · · bkb1b2b3 · · · bkb1b2b3 · · · bk · · ·
Esta expresion decimal se escribe mas brevemente:
a = 0, a1a2a3 · · ·anb1b2b3 · · · bk
10n+ka = a1a2a3 · · ·anb1b2b3 · · · bk, b1b2b3 · · · bkb1b2b3 · · · b1b2b3 · · · bk
de donde restando ambas expresiones, se obtiene
(10n+k − 10n)a = a1a2a3 · · ·ana1a2a3 · · · bk − a1a2a3 · · ·an
es decir
a =a1a2 · · ·anb1b2 · · · − a1a2 · · ·an
10n+k − 10n
siendo el denominador igual a
10n+k − 10n = 99 · · ·99︸ ︷︷ ︸k−veces
00 · · ·00︸ ︷︷ ︸n−veces
La expresion ultima de a da origen a la regla usada en el aula secundaria, para hallar la
generatriz de una expresion decimal infinita periodica mixta: la fraccion generatriz tiene nu-
merador de la forma a1a2a3 · · ·anb1b2b3 · · · bk − a1a2a3 · · ·an y su denominador es un numero
cuyas cifras tiene tantas veces nueve como dıgitos tiene la parte periodica y tantos ceros como
dıgitos tiene la parte no periodica.
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Ejemplo 2.14. Dada la expresion decimal q = 25378787878 . . . (el perıodo es 78)
Entonces
1000q = 4253,787878 . . .
100 000 = 425378,787878 . . .
Luego 100 000q − 1000q = 425378− 4253.
O sea 99000q = 421125, de donde q = 42112599000
.
Observacion 2.4. Los teoremas 2.32 y 2.33 nos permiten afirmar que a cada numero racional
de la forma mn, n 6= 0 le corresponde una unica expresion decimal infinita (periodica pura
o mixta) y recıprocamente que a cada expresion decimal infinita le corresponde un unico
numero racional (la fraccion generatriz). Es decir existe una correspondencia biunıvoca entre
el conjunto Q de los numeros racionales y el conjunto E de todas las expresiones decimales
infinitas periodicas (pura o mixta) en el lenguaje moderno existe una biyeccion entre estos
dos conjuntos. En virtud de este resultado, a partir de este momento, se identificaran los
conceptos de numero racional y de expresion decimal infinita periodica (pura o mixta) y, por
lo tanto, tambien se llamara a cada numero racional, expresion decimal infinita.
2.4.3. Expresiones Decimales Infinitas y Numeros “Irracionales”
En la seccion anterior los teoremas 1 y 2 nos permiten identificar el conjunto Q de numeros
racionales con el conjunto E de las expresiones decimales infinitas periodicas.
Observacion 2.5. En la observacion 1 se han identificado los numeros racionales con las
expresiones decimales infinitas periodicas. Sin embargo, existen otras expresiones decimales
infinitas que no son periodicas. Por ejemplo, la expresion decimal infinita
0, 1010010001000010000010000001 . . .
formada de la siguiente manera: primero, el entero cero, despues de la coma decimal para cada
dıgito decimal 1, se colocan n ceros siguiendo el n−esimo 1. Esta expresion decimal es infinita
y no periodica. Variaciones de este ejemplo producen muchas otras expresiones decimales
infinitas no periodicas. Tambien existen expresiones decimales infinitas no periodicas cuya
sucesion de dıgitos no puede ser descrita con una simple regla. En general, si consideramos
ahora el conjunto de todas las expresiones decimales infinitas no periodicas
a0, a1a2 . . . an . . .
donde a0 es un numero entero y a1, a2, . . . , an, . . . son los dıgitos decimales: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 y 9; y lo denotamos por I obtenemos un nuevo conjunto:
Q ∪ I = {exp. dec.infinitas periodicas} ∪ {exp. dec. infinitas no periodicas}
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el cual recibe el nombre de conjuntos de numeros reales, que se denota por R y que sera
estudiado con detalle en el segundo libro.
A estas expresiones decimales infinitas no periodicas, que evidentemente por los teoremas 1
y 2 no son numeros racionales, se les llama numeros irracionales.
El conjunto de todas estas expresiones decimales infinitas periodicas y no periodicas es pre-
cisamente el conjunto de los numeros reales R, sin embargo esta afirmacion no la podemos
tomar como la definicion de R pues habrıa necesidad de definir relaciones como la igualdad,
orden y operaciones como la de adicion y multiplicacion para expresiones decimales infinitas.
Ejemplos de numeros que no son racionales:
1. Dado la expresion decimal infinita 1,121221222122221. . . se deduce intuitivamente que
esta es una expresion decimal infinita no periodica y en consecuencia por la observacion
anterior, no representa un numero racional.
2.√
2 no es un numero racional.
Antes de probar formalmente la afirmacion anterior, recordaremos que un numero natural o
un numero entero positivo a es par si, y solo si, es de la forma a = 2n, donde n ∈ N = Z+0 .
Y b es impar si, y solo si, es de la forma b = 2n + 1, donde n ∈ N = Z+0 .
Supongamos ahora que exista r ∈ Q, tal que r =√
2, entonces r2 = 2. Como r se puede escribir
como una fraccion irreducible, es decir, r = pq
donde p y q son primos entre si, reemplazando,
se tiene p2
q2 o p2 = 2q2, es decir, p2 es par. Esto implica que p es par; puesto que si p fuera
impar, o sea, p = 2n + 1, se tendrıa que p2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1,
es decir p2 resultarıa impar, lo que es una contradiccion. En consecuencia, p es par, o sea
p = 2k, para algun k ∈ Z de donde p2 = (2k)2 = 2q2, o sea q2 = 2k2, lo que implica que q2 es
par y tambien q, o sea q = 2k′ y en consecuencia r = 2k2k′
, lo que es una contradiccion. Esta
contradiccion viene de suponer que r =√
2 es un numero racional. Por lo tanto√
2 no es un
numero racional.
El resultado anterior se conocio en la antiguedad como el Dilema de Pitagoras, debido a que
si se aplicaba el teorema de Pitagoras a un triangulo rectangulo isosceles cuyos catetos tenıan
longitud 1, resultaba que la hipotenusa tenia longitud√
2 que no era un numero racional.
Este hecho obligo a que se creara un nuevo tipo de numero llamado irracional.
Ejemplo 2.15.
(a) ¿Que valor debe ser anadido al numerador y al denominador de las fracciones 23
y 2023
para
que las fracciones resultantes sean iguales?
135
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Solucion. Sea dicho valor x. Luego:
2 + x
3 + x=
20 + x
23 + x
x2 + 25x + 46 = x2 + 23x + 60
2x = 14
x = 7
(b) Brenda y Bruno tenıan cada uno la misma cantidad de dinero para gastar durante dos
semanas de vacaciones. Brenda gasto 1/3 la primera semana, 1/2 la segunda y el resto lo
ahorro. Bruno gasto 1/4 la primera semana pero ahorro el doble de lo que ahorro Brenda.
Si Bruno ahorro 156 soles. ¿Cuantos soles gasto Bruno la segunda semana?
Solucion. Sabemos que Bruno ahorro 156 soles y que Bruno ahorro el doble de lo que
ahorro Brenda. Por lo tanto, Brenda ahorro 156/2=78 soles. Pero, Brenda gasto 1/3 y
1/2 de lo que tenıa inicialmente en dichas dos semanas. Entonces como:
1
2+
1
3=
5
6
Concluimos que Brenda ahorro 1/6 de lo que tenıa. Pero como Brenda ahorro 78 soles,
entonces el dinero que tenıa inicialmente Brenda fue 78 × 6 = 468 soles.
Bruno tambien tenıa inicialmente 468 soles. Como la primera semana gasto 1/4 de dicho
dinero y al final ahorro 156, entonces la segunda semana gasto:
468 −(
1
4· 468 + 156
)= 195 soles.
(c) ¿Como se hallarıa todas las cifras decimales del perıodo de 1/23 haciendo uso de una
calculadora? Seguramente el perıodo no se puede observar cuando se hace la division 1
entre 23, debido a que la calculadora solo muestra 8 o 10 dıgitos decimales. Sin embargo
se puede usar ingeniosamente la calculadora y, sin necesidad de realizar la division, se
puede calcular todas las cifras decimales del perıodo de dicha fraccion.
Solucion. Supongamos que tenemos una calculadora que nos muestra a lo mas ocho
cifras decimales. Luego, al dividir 1/23 obtenemos:
1
23= 0,04347826 (1)
Pero, nosotros sabemos que realmente:
1 = 23 · (0,04347826) + x (2)
Si nosotros escribimos en la calculadora la operacion 23×0, 04347826 se obtiene: 0,99999998
Reemplazando en (2): x = 1 − 0,99999998 o sea x = 0,00000002.
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Por lo tanto, si queremos ver los siguientes dıgitos del desarrollo de 1/23, tomaremos
los dıgitos de dividir 2/23, pues son los mismos dıgitos que se obtendrıan si se realiza la
division 0,00000002 entre 23. Digitamos en la calculadora: 2/23:
2
23= 0, 08695652 (3)
Si anadimos estas nuevas cifras decimales a la expresion (1), tenemos:
1
23= 0, 0434782608695652 (4)
De (3): 2 = 23 × 0, 08695652
Si escribimos en la calculadora 23 × 0, 08695652 obtenemos: 1,99999996.
En forma similar a (2), podemos escribir:
2 = 23 × 0, 08695652 + 0, 00000004
Entonces, los siguientes dıgitos del desarrollo de 1/23 son los mismos de dividir 4 entre
23. Con la calculadora:4
23= 0, 17391304 (5)
Si aumentamos estos nuevos dıgitos a (4):
1
23= 0, 043478260869565217391304
Podemos apreciar que ya los dıgitos se estan comenzando a repetir, a partir del 04. Por
lo tanto, el desarrollo de 1/23 es el decimal periodico puro siguiente:
1
23= 0, 0434782608695652173913
2.4.4. Aplicaciones de las propiedades de los Numeros Racionales
Razones y proporciones:
Antes de entrar al tema recordaremos que todo numero racional r es el cociente de dos enteros
y, por lo tanto, puede escribirse r = ab
donde b 6= 0. El cociente b a recibe tambien el nombre de
fraccion. En lo que sigue cuando escribamos fracciones ab, c
d, m
n, . . . aceptaremos implıcitamente
que los denominadores son diferentes de cero, es decir b 6= 0, d 6= 0, n 6= 0.
Definicion 2.18. La razon geometrica o simplemente razon de un numero racional a con
respecto a un numero racional b, (b 6= 0), es el cociente ab.
Si a, b, c y d, son numeros racionales diferentes de cero, se dice que las razones ab
y cd, estan
en proporcion si, y solo si, ab
= cd. De la definicion se sigue que una proporcion es la igualdad
de dos razones.
La igualdad anterior se expresa diciendo “a y b estan en razon de c a d” o simplemente “a
es a b como c es a d”. Los numeros a, b, c y d se llaman terminos de la proporcion. Una
denominacion especial para los terminos de una proporcion es la siguiente:
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Antecedentes: a y c Consecuentes: b y d
Terminos extremos: a y c Terminos medios: b y c
Recordemos las propiedades de las proporciones enunciadas en el siguiente:
Teorema 2.57. Si a, b, c y d son numeros racionales con b 6= 0, d 6= 0 , se tiene
1. ab
= cd
si y solo si, ad = bc
Es decir, en toda proporcion el producto de los terminos extremos es igual al producto
de los terminos medios.
2. ab
= cd⇒
a+ba
= c+dc
a−ba
= c−dc
a, c 6= 0
3. ab
= cd⇒ a+b
a−b= c+d
c−d
4. ab
= cd⇒ a±c
b±d= a
b= c
d
5. ab
= cd⇒ a+c
a−c= b+d
b−d
Demostracion. Es consecuencia inmediata de la definicion de cociente de dos numeros racionales
y de las propiedades conocidas de las operaciones con numeros racionales.
Observacion 2.6. Para resolver ejercicios de aplicacion, algunas veces, es necesario gen-
eralizar el concepto de proporcion considerando sucesiones finitas de razones iguales de la
forma:a1
b1
=a2
b2
= · · · =an
bn
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Teorema 2.58 (Propiedades).
1. Si a1
b1= a2
b2= · · · = an
bn, entonces
a1 + a2 + · · ·+ an
b1 + b2 + · · ·+ bn
=a1
b1
, para todo i = 1, 2, . . . , n.
Es decir, en toda sucesion finita de razones iguales, la suma de los antecedentes es a
la suma de los consecuentes, como un antecedente es a su respectivo consecuente.
2. Si a1
b1= a2
b2= · · · = an
bn, entonces:
a1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn
b1s1 + b2s2 + · · ·+ bnsn=
a1
b1,
para todo i = 1, 2, . . . , n
3. a1
b1= a2
b2= · · · = an
bn, entonces
a1a2 · · ·an
b1b2 · · · bn
=(a1)
n
(b1)n
4. Si a1
b1= a2
b2= · · · = an
bn, entonces
n√
an1 + an
2 + · · · + ank
n√
bn1 + bn
2 + · · ·+ bnk
=a1
b1,
para todo i = 1, 2, . . . , k
Demostracion. A manera de ilustracion probaremos la parte (2) del Teorema 1.6.
Sean a1
b1= a2
b2= · · · = an
bn.
Entoncesa1s1
b1s1=
a2s2
b2s2= · · · =
ansn
bnsn,
para todo i = 1, 2, . . . , n, si 6= 0
Luego aplicando (1) tenemos,
a1s1 + a2s2 + · · · + ansn
b1s1 + b2s2 + · · · + bnsn=
a1
b1,
para todo i = 1, 2, . . . , n.
Ejemplo 2.16. Al comienzo de una fiesta, se observo que por cada 5 mujeres habıa 9 hombres.
Luego de tres horas, se retiraron 4 mujeres y 8 hombres, quedando en la reunion 7 hombres
por cada 4 mujeres. ¿Cuantas mujeres habıa al momento que comenzo la fiesta?
Solucion. Sean:
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m = numero de mujeres
n = numero de hombres
Al comenzar la fiesta:m
5=
h
9
de donde m = 5k y h = 9k.
Como se retiran 4 mujeres y 8 hombres, quedan
mujeres: 5k − 4
hombres: 9k − 8
De donde:9k − 8
5k − 4=
7
4
lo que implica: k = 4.
Luego, inicialmente habıan m = 5k = 20 mujeres.
Ejemplo 2.17. Tres amigos se asociaron y formaron una empresa aportando 7920 soles, 9240
soles y 10560 soles, respectivamente. Despues de un tiempo se liquido la empresa. Si el socio
que recibio un total de 16560 soles obtuvo la mayor ganancia, ¿cuanto gano el socio que
obtuvo la menor ganancia?
Solucion. Es claro que hay ganancia en la empresa y que cada socio obtiene una ganancia
cuyo monto esta en razon directa al monto del capital aportado, es decir, el que aporta mayor
capital obtiene mayor ganancia. Sean A, B y C los socios que aportan de menor a mayor
capital
Capital aportado 7920 9240 10560
Ganancia obtenida x y 6000
Se tiene entonces:x
7920=
y
9240= 6000
10560
de donde x = 600010560
· 7920 = 4500.
Luego, el socio que obtuvo la menor ganancia, gano 4500 soles.
2.4.5. Aplicaciones de las razones y proporciones
Regla de Tres Simple
Es un metodo que se usa para resolver problemas en los cuales intervienen tres variables
conocidas y una desconocida, estableciendose una proporcion entre las cuatro variables de
acuerdo con las condiciones de cada problema.
Se dice que las variables a y b son directamente proporcionales si, y solo si, existe
k > 0, tal que la razon ab
= k, es decir, a = kb.
140
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En particular, si la variable a toma los valores a1, a2, . . . , an y la variable b toma los valores b1,
b2, . . . , bn, se tiene que la sucesion finita de razones a1
b1, a2
b2, . . . , an
bnson iguales a la constante
k; es decir,a1
b1=
a2
b2= · · · =
an
bn= k
Por ejemplo:
La longitud l y el costo c de un alambre: c = kl. A mayor longitud, mayor costo.
El peso p y el costo c de un producto alimenticio. A menor peso menor costo.
El area a de un terreno y su costo c. A mayor area mayor costo.
Se dice que dos variables a y b son inversamente proporcionales si, y solo si, las variables a y 1b
son directamente proporcionales; es decir, si existe k > 0 tal que a = k 1b
= kb
o tambien ab = k.
Es decir, si los valores de a son cada vez mayores (aumentan), los valores de b disminuyen,
y recıprocamente, si los valores de a disminuyen, los valores de b aumentan. Obviamente los
valores de a y b son diferentes de cero.
Ası, si se tienen dos pares de valores de a y b,
Variable a b
↓ a1 ↑ b1
↓ a2 ↑ b2
entonces a1 · b1 = k, a2 · b2 = k
Por lo tanto a1 · b1 = a2 · b2
que tambien se escribe:a1
a2=
b2
b1,
Por ejemplo:
La velocidad v y el tiempo t en recorrer la distancia d entre 2 ciudades: d = vt.
O tambien, t = 1vd. En este caso, a menor velocidad, mayor tiempo o a mayor velocidad menor
tiempo.
El tiempo t y el numero n de obreros para efectuar una pared: tn = k. Cuando se presenta
un problema de este tipo, se debe tener en cuenta que las condiciones del problema esten
de acuerdo con la realidad; por ejemplo si 10 obreros, hacen una pared en 40 horas, serıa
incorrecto preguntar en cuantas horas lo haran 400 obreros, pues la respuesta serıa una hora
lo cual es imposible en la realidad. Las longitudes de los lados de un rectangulo de area dada.
Considerando lo dicho anteriormente, la regla de tres simple, puede ser directa o inversa. La
regla de tres simple es directa si intervienen variables directamente proporcionales y es inversa
si intervienen variables inversamente proporcionales.
A continuacion veamos dos ejemplos, uno de aplicacion de la regla de tres simple directa y
otro de aplicacion de la regla de tres simple inversa.
Ejemplo 2.18. Si un cano puede llenar un cilindro de 150 litros de capacidad en 30 minutos.
¿Cuantos litros llenara en 12 minutos?
141
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Solucion.Variables: litros tiempo
150 l 30′
x l 12′
Con estas cuatro variables, tres conocidas y una desconocida, podemos formar, teniendo
en cuenta que en mas tiempo se llenan mas litros, la proporcion de variables directamente
proporcionales:30
12=
150
x
de donde resulta x = 150×1230
= 60.
Es decir, en 12 minutos se llenan 60 litros.
Este es un ejemplo de aplicacion de la regla de tres simple directa.
Ejemplo 2.19. Si un cano puede llenar 150 litros de un tanque en 30 minutos y otro cano los
mismos 150 litros en 50 minutos. ¿Que capacidad tiene el tanque que es llenado por ambos
canos en 4 horas y 15 minutos?
Solucion. Las condiciones del problema dan origen a las siguientes proporciones: 150x
= 301
y 150y
= 501. Que nos permitiran averiguar cuantos litros del tanque se llenan con cada cano
en un minuto, lo que da el siguiente resultado: El primer cano llena en 1 minuto 5 litros y el
segundo cano, 3 litros. Abriendo los dos canos, al mismo tiempo, en un minuto se llenan 8
litros:Variables: tiempo litros
1′ 8
4h15′ z
Con estas cuatro variables, tres conocidas y una desconocida, podemos formar, teniendo en
cuenta que en mas tiempo se llenan mas litros, una nueva proporcion de variables directamente
proporcionales:z
8=
255
1
De donde z = (255)(8) = 2040
Luego, la capacidad del tanque es de 2 040 litros.
Ejemplo 2.20. Para la construccion de un edificio se contratan a 10 obreros, que deben
terminar la obra en 90 dıas. Si despues de 18 dıas de iniciada la obra, se aumenta el numero
de obreros, con el objeto de concluir la obra 24 dıas antes de lo previsto. ¿Cuantos nuevos
obreros se contrataron?
Solucion. Habiendo trabajado regularmente durante los primeros 18 dıas, plantearemos el
problema en funcion de los dıas que faltan para terminar la obra; es decir en 90 − 18 = 72
142
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dıas:
Se tiene entonces la siguiente tabla:
Variables: obreros dias
10 72
(10 + x) 48
Que da origen a la siguiente proporcion en la que intervienen variables inversamente propor-
cionales (a mas obreros, menos dıas).
10
10 + x=
48
72
Por ser variables inversamente proporcionales.
De donde (10)(72) = (48)(10 + x), lo que implica que
x =720
48− 10 = 15 − 10 = 5
Luego, para concluir la obra, 24 dıas antes, se deben contratar 5 obreros mas.
Tanto por ciento
El tanto por ciento es un caso particular de aplicacion de la regla de tres simple directa como
se ve a continuacion.
Sean a y b, variables directamente proporcionales, entonces existe k > 0 tal que a = kb. Si
en esta igualdad, k = r100
; es decir, si a = r100
b, se dice que que a es el r por ciento de b, y se
escribe a = r %(b).
La igualdad a = r100
b da lugar a la proporcion ab
= r100
b que incluye variables directamente
proporcionales en el que uno de terminos es 100
Ejemplo 2.21. Una clase de 25 alumnos esta compuesta de 11 ninas y 14 ninos. La razon
del numero de ninas al numero de alumnos de la clase puede expresarse de varias formas. Por
ejemplo, la proporcion del numero de ninas respecto del total es
11
25=
22
50=
33
75=
44
100=
55
125=
66
150
Si quisieramos indicar el porcentaje de ninas de la clase, bastara considerar la proporcion1125
= 44100
o equivalentemente 11 = 44 %(25) y que significa que el 44 % del total de alumnos
de la clase, son ninas.
Analogamente se determina que la proporcion entre el numero de ninos es 1425
= 56100
esto es,
el 56 % del total de alumnos son ninos.
Si sumamos las proporciones 1125
= 44100
y 1425
= 56100
se obtiene que 2525
= 100100
; es decir, 25 =
100 %(25). En general el 100 %(n) = n. Todo numero racional ab
puede ser expresado como el
tanto por ciento de cualquier numero c. Basta poner
a
b=
c
100= c · 1
100= c %
143
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Problemas Resueltos
Problema 2.20. Dos trenes marchan en sentidos contrarios y sobre vıas paralelas con veloci-
dades de 18 y 24km/h respectivamente. Un observador colocado en el segundo tren calculo
que el primero demoro en pasar 12s ¿Cual es la longitud de este ultimo tren?
Solucion. Tenemos que la velocidad, con la cual se desplaza el primero con respecto al
segundo, es:
18 + 24 = 42km/h
Ahora como el observador calcula que el primero demoro en pasar 12s, entonces en este tiempo
el primero tren recorrio su propia longitud, luego:
Si en 1h = 3600s recorre 42km = 42000m 12s recorre x
⇒ x =12 × 42000
3600= 140m
Problema 2.21. Si 30 litros de una solucion contienen 12 litros de alcohol. ¿Cuantos litros
de agua debemos agregar para obtener una solucion al 25 %?
Solucion. Si en 30 litros de una solucion contienen 12 litros de alcohol, entonces decimos que
es una solucion al:12
30× 100 % = 40 %
Ahora si la solucion de 30 litros se encuentra al 40 % para diluirla habra que agregar mas
litros de agua ; es decir:
301 −−− 40 %
x −−− 25 %
}⇒ x =
40 % × 301
25 %= 481
Es decir para que la solucion sea al 25 % habra que agregar: (48 − 30) = 181 de agua.
Problema 2.22. Se tiene 2 toneles de 20 y 30 litros de vino de diferente calidad. Se saca de
uno la misma cantidad, y se echa en el primero lo que se saco del segundo y, recıprocamente
¿Que cantidad ha pasado de un deposito al otro, si el contenido de los dos toneles ha resultado
de la misma calidad?
Solucion. Tenemos que en 50 litros de mezcla, se ha combinado 20 litros del primer tonel y
30 litros del segundo, luego en 20 litros de la mezcla habran x litros del segundo tonel.
Ası:501 −−− 301
201 −−− x
}⇒ x =
20 × 30
50= 12 litros
Luego, en el primer deposito hay 12 litros del segundo y recıprocamente.
Problema 2.23. Un cano llena la p−esima parte de un tanque en n−horas, un desague
desocupa la q−esima parte del mismo tanque en ,−horas.
¿Cuanto demorara en llenar el tanque, si se abren ambos dispositivos en forma simultanea?
144
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Solucion. Denotemos por T el tanque: la p−esima parte sera T/p
Por lo tanto el cano llenara el tanque en np horas, y en una hora llenara T/pn.
Analogamente el desague vaciara el tanque en mq horas, y en una hora vaciara T/mq
Ahora, cuando se abren simultaneamente ambos dispositivos, lo que quedara en el tanque
despues de una hora es:T
np− T
mq=
mq − np
nmpqT
Por lo tanto el tanque se llenara en mnpqmq−np
horas.
Problema 2.24. tres obreros A, B y C trabajan en cierta obra. El propietario de la obra
otorga quincenalmente una gratificacion de 52 dolares para repartirla entre los que trabajan.
En la quincena que trabajan A y B, corresponde a A los 3/4 de la gratificacion y a B del
resto. En la quincena que trabajan B y C, el primero cobra los 3/4 y el segundo el resto.
Determinar la cantidad que debe recibir B en la quincena que trabajan los tres.
Solucion. En la quincena que trabajan A y B, tenemos:
A: Le corresponde 34
de la gratificacion
B: Le corresponde 14
de la gratificacion
}entonces :
A
B=
3
1(1)
En la quincena que trabajan B y C ocurre:
B: Le corresponde 34
de la gratificacion
C: Le corresponde 14
de la gratificacion
}entonces :
B
C=
3
1(2)
De (1) y (2) tenemos que: A9
= B3
= c1
En la quincena que trabajan los tres juntos, la cantidad que recibe B es:
3
13(52) = 12 dolares
Problema 2.25. A una esfera de reloj se le divide en 1500 partes iguales, a cada parte se de-
nominara “nuevo minuto”, cada “nueva hora.estara constituido por 100 “nuevos minutos”¿Que
hora indicara el nuevo reloj, cuando el antiguo indique las 3 horas 48 minutos?
Solucion. Si 1 “hora nueva” equivale a 100 “nuevos minutos”, entonces 1500 “nuevos min-
utos” equivale a 15 “nuevas horas”.
Ahora como 15 “horas nuevas” equivalen a 12 “horas normales” entonces en 3 “horas nor-
males”hay 3 “horas nuevas”mas 3/4 “hora nueva”.
Tambien 1 “hora nueva” equivale a 4/5 “horas normales”, luego 48 “minutos normales”
equivalen a 1 “hora nueva”.
Entonces cuando el reloj marque los 3h48m, el nuevo reloj indicara 3 “horas nuevas”mas 3/4
“hora nueva”mas 1 “hora nueva”, es decir indicara 4h75min
145
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Problema 2.26. Si el precio de un articulo aumenta en un porcentaje p, y se quieren mantener
los mismo ingresos, el porcentaje m de disminucion de las ventas no debera exceder de:
Solucion. Como el precio aumenta en p, entonces los ingresos ahora son 1 + p.
Este ingreso 1 + p corresponde al 100 % las antiguas ventas. Ahora como el ingreso se quiere
mantener en 1, para lo cual las ventas deben disminuir a 1 − n, tendremos que
1 + p −−− 100 %
1 −−− 1 − n
}⇒ 1 − n =
1 × 100 %
1 + p⇒ 1 + p = n(1 + p) = 100 % = 1
⇒ p = n(1 + p) ⇒ n =p
1 + p
Problema 2.27. un libro se vende regularmente el r por 100 del precio de costo, pero un
estudiante al comprarlo le rebajaron el p por 100. Si el vendedor no gano ni perdio, ¿Cuanto
le rebajaron al estudiante?
Solucion. Sea C el precio de costo, el estudiante compra el libro a: (100 + r) % de C −p %(100 + r) % de C = C (ya que no se gana ni pierde)
(100 + r) % − p %(100 + r) % = 1 = 100 % ⇒ (100 + r) − p %(100 + r) = 100
(100 + r)(100 − p) %0100 ⇒ 100 − p
100=
100
100 + r⇒
p = 100 − 100 × 100
100 + r⇒ p =
100r
100 + r=
1
0, 01 + 1/r
Problema 2.28. A le encarga a B vender un objeto y B le encarga a su vez a C, quien logra
la venta en 20000 soles. C entrega a B una cantidad quedandose con un porcentaje (comision)
del valor de la venta, a su vez B retiene un porcentaje(comision) de lo que le entrego a C.
¿Cuanto le correspondio a C y a B, si este ultimo le entrego a A 17100 soles y el porcentaje
de la comision de C fue el doble que la de B?
Solucion. Si r % es el porcentaje de comision de B, entonces 2r % sera el porcentaje de C.
Luego A recibio, [20000 − 2r %(20000)] − r %[20000 − 2r %(20000)]
= (100 − r) %[20000− 2r %(20000)] = (100 − r) %(100 − 2r) %(20000)
Entonces, (100 − r) %(100 − 2r) %(20000) = 17100 ⇒
100 − r
100× 100 − 2r
100× 20000 = 17100 ⇒
(100 − r)(100 − 2r) = 8550 ⇒ r2 − 150r + 725 = 0 ⇒
r1 = 145, r2 = 5
De estos 2 valores nos quedamos con r = 5 % (ya que r ≤ 100 %)
Entonces la comision de C es: 2(5 %)(20000) = 2000 y la de B es 5 %(20000− 2000) = 900
146
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Problema 2.29. En una batalla han participado 4000 hombres. De los sobrevivientes se sabe
que el 56.56% no fuma y el 56.756% no bebe ¿Cuantos han muerto en la batalla?
Solucion. Sabemos que:
56.56
(5656 − 56
99
)=
5600
99% =
56
99
y que:
56.756
(56756 − 756
999
)=
56000
999% =
21
37
El enunciado se deduce que el numero de sobrevivientes es0
99 y0
37, luego el multiplo del:
MCM(99, 37) =0
3663
Y como el total de hombres es 4000, entonces los sobrevivientes son 3663 y los muertos son:
4000 − 3663 = 337
Actividades
1. Compro igual numero de caballos y cerdos por $540.18. Cada caballo cuesta $56.40 y
cada cerdo $33.63. ¿Cuantos caballos y cerdos he comprado en total?
Rpta. 6 caballos y 6 cerdos, 12 en total.
2. Un deposito se puede llenar por dos canerıas. La primera vierte 25.23 litros en 3 minutos
y la segunda 31.3 litros en 5 minutos. ¿Cuanto tiempo tardara en llenarse el estanque,
si estando vacıo, se abren al mismo tiempo las dos canerıas, sabiendo que su capacidad
es de 425.43 litros?
Rpta. 29 minutos
3. Un avicultor compra 6 gallinas y 8 gallos por $8.46. Mas tarde a los mismos precios,
compra 7 gallinas y 8 gallos por $8.91. Hallar el precio de una gallina y de un gallo?
Rpta. Una gallina, $0.45; un gallo, $0.72
4. Una constructora contrata un obrero por 36 dıas y como no tiene trabajo para todos
los dıas le ofrece $1.25 por cada dıa que trabaje y $0.50 por cada dıa que no trabaje.
Al cabo de los 36 dıas el obrero ha recibido $30. ¿Cuantos dıas trabajo y cuantos no
trabajo?
Rpta. Trabajo 16 dıas; no trabajo 20 dıas
5. Se compra cierto numero de libros y se paga S/.609 por cada 84 libros que se compra
y luego se venden todos cobrando S/.369 por cada 60 libros. Si ha habido en la venta
una perdida de S/.110. ¿Cuantos libros se han comprado?
Rpta. 100 libros Pruebe que 2n+53n+2
es irreducible, ∀ n ≥ 1.
147
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6. Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800 m3 en 50 dıas. ¿En cuantos dıas, 100
hombres cuya eficiencia es 50 % mas que los primeros, podran cavar una zanja de 1200
m3 cuya dureza del terreno es 3 veces la anterior?
Rpta. 90
7. Si 4 hombres y 5 mujeres hacen un trabajo en 54 dıas. ¿En cuantos dıas realizaran el
mismo trabajo 5 hombres y 6 mujeres; sabiendo que el trabajo de una mujer son los 2/3
del trabajo que realiza un hombre?
Rpta. 44
8. Transportar 26 vacas de 850 kg. c/u a una distancia de 700 km. ha costado S/.3500.
¿Que distancia se habran transportado 65 vacas de 800 kg. cada una costando el trans-
porte S/. 17000?
Rpta. 1445 km.
9. Doce obreros pueden realizar una obra en “n” dıas. Si despues de haber realizado la
mitad de la obra, 8 de los obreros aumentan su rendimiento en un 25 % con lo cual el
tiempo total de trabajo fue de 13 dıas. Calcular “n”.
Rpta. 14
10. Una guarnicion de 2250 hombres tiene provisiones para 70 dıas. Al terminar el dıa 29 se
retiran 200 hombres. ¿Cuanto tiempo duraran las provisiones que quedan para el resto
de la guarnicion?
Rpta. 45 dıas
11. Si 18 obreros pueden hacer una obra en 37 dıas. ¿Cuantos obreros trabajan el ultimo
dıa, si el primer dıa se empieza con un obrero, el segundo dıa con dos, el tercero con
tres y ası sucesivamente hasta concluir la obra?
Rpta. 36
12. Cuatro hombres y una mujer realizan un trabajo en 24 dıas. Si se aumenta un hombre
y una mujer entonces realizan el mismo trabajo en 18 dıas. ¿En cuantos dıas harıan el
trabajo los 4 hombres solos?
Rpta. 27
13. Manuel puede hacer un trabajo en 15 horas, mientras que Victor lo harıa en 10 horas.
Manuel, Victor y Raul juntos pueden realizar el mismo trabajo en 4 horas. Los tres
juntos inician el trabajo y al realizar 1/4 del mismo, Manuel y Vıctor se retiran. ¿Cuanto
tiempo le tomara a Raul terminar dicho trabajo?
Rpta. 9
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El ultimo teorema de FermatEl secreto de un antiguo problema matematico
Pierre Fermat
La teorıa de numeros es una de las ramas mas viejas de las
matematicas. Los libros VII, VIII y IX de los Elementos de Eu-
clides estan dedicados a ella. Euclides vivio alrededor del ano 300
a.C. y la obra antes citada, cuyo estilo de presentacion influyo en las
matematicas durante mas de 2000 anos, ha llegado hasta nosotros
gracias a las copias que de ella hicieron los arabes y que despues tra-
jeron a Europa a traves de Espana.
El libro V II comienza definiendo los numeros pares, los impares,
los primos, los compuestos, los planos (su descomposicion en primos
tiene dos factores), los solidos (su descomposicion en primos tienes
tres factores), y los numeros perfectos (los que la suma de sus divisores menores que el da
como resultado el numero: por ejemplo 6 = 1+2+3). Para Euclides los numeros se asociaban
con segmentos, y ası un numero con segmento AB divide a otro con segmento CD si este
ultimo puede medirse con la medida AB .
En el libro V II aparece tambien el algoritmo que hemos descrito para calcular el maximo
comun divisor de dos numeros, ası como la propiedad lineal del maximo comun divisor.
Karl Friedrich Gauss
Aunque el libro V III tambien lo dedicara Euclides a los numeros,
no aparecen en el resultados muy sabroso. sin embargo en el libro
IX aparecen algunos resultados brillantes. la proposicion 20 dice lo
numeros primos son mas que cualquier multitud de ellos lo que de-
muestra que hay infinidad de estos. El siguiente momento conocido
de brillantez matematica se produjo varios siglos despues. Alrededor
del ano 300 d.C. y en pleno periodo alejandrino, Diofanto escribio una
obra de 13 libros titulada Aritmetica, de las que se conservan 6. En ellos aparece por primera
vez la notacion simbolica par describir incognitas y las expresiones polinomicas. En sus libros,
Diofanto se preocupa por encontrar las soluciones de una coleccion de 150 problemas, sin que
en su exposicion aparezca postulado. Diofanto no se limita a encontrar soluciones enteras, si
no que pueden ser racionales y queda satisfecho con encontrar una solucion en lugar de tratar
de encontrar todas. He aquı un ejemplo: encontrar dos numeros tales que cuando a uno de
ellos se le suma el cuadrado del otro da un cuadrado perfecto. Diofanto procede llamando a
los numeros x y 2x+1 y suponiendo que su suma es un cuadrado de la forma ((2x−2)2), con
lo que ya introduce restricciones en el problema, con estas restricciones obtiene la ecuacion
(2x + 1)2 + x = (2x − 2)2 que tiene como solucion x = 313
.
Despues de Diofanto de Alejandrıa, los Arabes mantuvieron vivo el espıritu de la Teorıa de
numeros , pero fue Pierre de Fermat quien le dio un considerable impulso.
149
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Andrew Wiles
Pierre de Fermat (1601 - 1665) fue un abogado y magistra-
do frances para quien la matematica era su pasatiempo
favorito. contribuyo al desarrollo de la Teorıa de numeros,
tuvo influencia en el analisis, como reconocerıa Newton
50 anos mas tarde, manejo la Geometrıa Analıtica o de
coordenadas, que tambien fue estudiada por Descartes, y
junto con Pascal es considerado el fundador de la Teorıa
de la probabilidad.
Pierre de Fermat nunca publico artıculos y todos sus descubrimientos y conjeturas han llegado
a nosotros por las cartas que escribio a numerosas personas. Uno de estos libros favoritos era
“Aritmetica”de Diofanto, que Bachet habıa traducido al latın en 1621 y en cuyos margenes
Fermat Hizo numerosas observaciones. Muchas de estas, aunque no todas, eran correctas. El
pequeno teorema de Fermat, expuesto en este trabajo, es una de las que es correcta, y la
primera demostracion fue publicada por Leonhard Euler (1707 - 1783) en 1736.
Que todos los numeros de la forma 22n+1 era primo es incorrecta como se encargo de descifrar
tambien Euler.
Hay una de las conjeturas cuya veracidad o falsedad tardo unos 350 anos en ser demostrada;
se le conoce con el nombre de El ultimo Teorema de Fermat. En su copia de la aritmetica
de Diofanto, y al lado del problema: dividir un cuadrado dado en una suma de dos cuadrados
Pierre de Fermat escribio:
“Por otro lado es imposible separar un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos
bicuadrados, o en general cualquier potencia excepto la cuadrad de dos potencias
del mismo exponente. De este hecho he descubierto una demostracion maravillosa
que este margen no es suficientemente grande para contener”.
Si Fermat tenia la demostracion nunca se ha encontrado, y numerosos matematicos
han intentado demostrar su afirmacion. A pesar de los esfuerzos, de las teorıas
desarrolladas, y de los numeroso valores de npara los que se ha comprobado el
teorema de Fermat estaba en lo cierto. La muy reciente prueba fue anunciada por
Andrew Wiles, de la universidad de Princenton y publicada en la revista Annals
of Mathematics, bajo el nombre de Modullar elliptic curves and Fermat.
A pesar de los numeroso resultados demostrados, la teorıa de numeros permanecio du-
rante el siglo XVIII como una serie de resultados sorprendentes pero sin relacion
entre si. Tuvo que ser Karl friedrich gauss (1777 - 1855) quien sistematizara los
resultados conocidos y los desarrollados por el para dar a la teorıa de los numeros
la entidad matematica que se merecıa desde hacia varios siglos. Cuando acababa
de cumplir 20 anos Gauss publico, por su propia cuenta, y despues de haber sido
rechazado por la academia francesa, un libro titulado Disquisitiones arithmeticae
150
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que se convertirıa en el texto de referencia de esta teorıa durante todo el siglo
XIX. El libro contenıa tres ideas importantes: la teorıa de las congruencias, que
lo veremos en este trabajo, una introduccion a los numeros algebraicos y la teorıa
de las formas para llevar acabo un analisis diofantico de las ecuaciones.1
1Dorronsoro. Numeros, grupos y anillos.
151
Unidad 3
Numeros Reales. Su construccion y
aplicaciones
Objetivos
1. Definir axiomaticamente el sistema algebraico de los numeros reales.
2. Mostrar la construccion axiomatica del sistema algebraico de los numeros reales.
3. Probar las propiedades de los numeros reales.
4. Mostrar las aplicaciones de los modelos financieros.
Contextualizando: Analizando los efectos de la luz ultravioleta
El bano de sol constituye un popular pasatiempo. Sin embargo, una exposicion excesiva a la
luz ultravioleta puede ser causa de dano, tanto en la piel como en los organos de la vista. La
luz ultravioleta proveniente del sol es la causante del bronceado de la piel y de las quemaduras
de esta al quedar expuesta a la accion solar. Solo cerca de seis por ciento de la radiacion solar
que llega a la tierra es en forma de luz ultravioleta. A la intensidad de la luz ultravioleta le
afecta los cambios estacionales de la capa de ozono, la nubosidad y la hora del dıa. La tabla
a continuacion muestra la intensidad ultravioleta maxima medida en miliwatts por metro
cuadrado, para diferentes latitudes y fechas
Latitud 21 de marzo 21 de junio 21 de septiembre 21 de diciembre
0o 325 254 325 272
10o 311 275 280 220
20o 249 292 252 143
30o 179 248 182 80
40o 99 199 127 34
50o 57 143 75 13
152
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Si un estudiante de Lima, localizado a 47.5o de latitud pasa sus vacaciones de primavera
en Hawai, a 20o de latitud, los rayos solares ultravioleta en Hawai seran aproximadamente
249/57≈ 4.37 veces mas intenso que en Lima. En primavera, el sol en Hawai es aproximada-
mente 249/133≈1.74 veces mas fuerte el mas intenso sol de Lima en el verano. Puesto que la
luz ultravioleta se dispersa a causa de la reflexion, la luz y la sombra no retienen por completo
las quemaduras de sol. Una persona sentada a la sombra puede recibir cuarenta por ciento de
la luz ultravioleta que se produce en un area determinada por el sol. Las nubes poco densas
transmiten el ochenta por ciento de la luz ultravioleta, en tanto que una persona que nada a
1 1/2 pies por debajo de la superficie del agua tambien recibe el ochenta por ciento de la luz
ultravioleta. De modo que, aun sentado a la sombra, nuestro estudiante de Lima sentira mas
intenso el sol en Hawai.
Los numeros reales son necesarios para cuantificar el efecto de la luz ultravioleta en los seres
humanos y, por otra parte, las cantidades se describen mediante distintos tipos de numero,
como los numeros cardinales, los decimales, las fracciones y los porcentajes. Esta unidad pre-
senta los numeros que son esenciales en la descripcion de fenomenos reales.
�
�
DESARROLLO TEMATICO
El progreso y el perfeccionamiento de la matematica estan
ıntimamente ligados a la prosperidad del Estado.
Napoleon I
3.1. Sesion 11: Definicion axiomatica de R. Orden en R.
Radicacion
Contextualizando: Oferta y demanda
La cantidad de un producto que la gente esta comprando voluntariamente durante algun pe-
riodo depende de su precio. Por lo general, a mayor precio la demanda es menor, a menor
precio, la demanda es mayor. De manera similar, la cantidad de un producto que un provee-
dor esta vendiendo voluntariamente durante algun periodo tambien depende del precio. Por o
general un proveedor estara abasteciendo mas de un producto a precios altos y menos de un
producto a precio bajos. El modelo mas simple de proveedor y demanda es un modelo lineal.
Suponga que esta interesado en el analisis de la venta diaria de cerezas en una ciudad en par-
ticular. Usando tecnicas especiales de analisis (analisis de regresion) y recoleccion de datos
un analista obtiene las siguientes ecuaciones de precio-demanda y de precio-abasteciemiento:
p = −0,3q + 5 Ecuacion de demanda(consumidor)
p = 0,06q + 0,68 Ecuacion de abastecimiento(proveedor)
153
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donde q representa la cantidad en miles de libras y p representa el precio en dolares. Por
ejemplo, se puede observar que los consumidores compran 11 miles de libras (q = 11) cuando
el precio es p = −0,3(11)+5 = $1,70 por libra. Por otra parte, los proveedores estaran abaste-
ciendo voluntariamente 17 mil libras de cerezas a $1,70 (resuelva 1,7 = 0,06q + 0,68para q).
Es decir, a $1,70 por libra de cerezas que los proveedores estan abasteciendo voluntariamente,
los consumidores estan comprando voluntariamente mayor numero de las que se ofertar. El
abastecimiento excede a la demanda a ese precio, y por lo tanto, el precio bajara.¿A que pre-
cio por dıa se estabilizaran?. Es decir¿Cual debera ser el precio para que el abastecimiento
sea igual a la demanda?. Este precio, se llama precio de equilibrio, y la cantidad vendida a
este precio se llama cantidad de equilibrio.¿Que hacer para encontrar estas cantidades?. Se
resuelva el sistema lineal.
Es difıcil precisar cuando, y donde, aparecen los numeros reales por vez primera. La teorıa de las
magnitudes de Eudoxio, expuesta en el libro V de los elementos de Euclides, pueden considerarse
un texto acerca de los numeros reales no negativos. Para la mayor parte de los matematicos griegos
existıan aquellas magnitudes (en particular, longitudes) que podıan representarse mediante la regla
y el compas, como√
r, con r ∈ Q+. Para la escuela pitagorica, ni siquiera eso: solo admitıan
aquellas magnitudes que podıan ser construidas mediante la regla y el cartabon, es decir, los numeros
racionales. Como puede verse, la aritmetica (antecedente del algebra) y la geometrıa aparecıan
indisolublemente unidas en aquella epoca.
A
B
C
r
x
O Q
Figura 3.1: Construccion de√
r: El punto medio del segmento de extremos O y B(r, 0) se
toma como centro de la circunferencia, C con la recta perpendicular al eje de abscisas que
pasa por Q(0, 1); por ser semejantes los triangulos AQB Y BAO (angulos iguales) los lados
correspondientes son proporcionales, por lo que, llamando x a la longitud del lado AO, se
tiene x1
= rx, es decir, x2 = r.
154
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A mediados del siglo XIX los analistas alemanes experimentaron la necesidad de fundamentar
rigurosamente su disciplina, introduciendo el cuerpo de los numeros reales a partir del cuerpo de los
racionales. Hacia 1870 ya se conocıan tres caminos que permiten efectuar dicha construccion:
1. Identificar los numeros reales con los ddesarrollos decimales infinitos, eliminando los ter-
minados en una sucesion de nueves ( periodo 9)para evitar la doble representacion de los
racionales decimales (periodo 0). Pueden escribirse en la forma a0 +∑∞
n=1 an10−n con a0 ∈ Z,
ai ∈ 0, 1, 2, . . . , 8, 9 para i ∈ N
2. Recurrir las llamadas cortaduras en Q, que son particiones de dicho conjunto en dos subcon-
juntos takes que todos los elementos del primero de ellos son menores que todos los elementos
del segundo (camino seguido por Dedekind).
3. Considerar ( como hicieron Cantor y Meray) el anillo cociente de cierto anillo de sucesiones de
numeros racionales, cuyos elementos se llamaran sucesiones regulares, por un ideal adecuado
del mismo.1
3.1.1. Definicion axiomatica de R
En los tres capıtulos anteriores hemos presentado los Sistemas de los Numeros Naturales U,
de los Numeros Enteros Z y de los Numeros Racionales Q de manera que haciendo identifi-
cacion N ⊂ Z ⊂ Q. Sabemos tambien que en Q la Adicion, Sustraccion y Multiplicacion son
operaciones internas; es decir, dados los numeros racionales a y b, la suma a + b, la diferencia
a − b y el producto ab asimismo, el cociente a/b (b 6= 0) es un numero racional. O equiva-
lentemente, siempre es posible resolver ecuaciones de la forma ax + b = 0, donde a 6= 0 y b
son numeros racionales. Sin embargo no siempre es posible resolver ecuaciones aparentemente
sencillas, como por ejemplo x2 = 2, que aparece naturalmente cuando se aplica el Teorema
de Pitagoras a un triangulo rectangulo cuyos catetos tienen como longitud 1, resulta que la
longitud de la hipotenusa es 2 que no es numero racional como ya se probo en el capitulo
anterior.
Por otra parte, en el mismo capıtulo, se ha hecho notar que existe una correspondencia bi-
unıvoca o biyeccion entre el conjunto Q y el conjunto E de todas las expresiones decimales
infinitas periodicas, la que permite identificar los conceptos de numero racional y de ex-
presion decimal infinita periodica.
Obviamente existen expresiones decimales infinitas no periodicas, por ejemplo la definida es-
cribiendo: primero 0, despues la coma decimal y, a continuacion para cada dıgito 1 se colocan
n ceros siguiendo al n−esimo 1; es decir:
0, 1010010001000010000010000001 . . .
1Algebra y fundamentos. Miguel Angel Goberna
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Variaciones de este ejemplo producen otras expresiones infinitas no periodicas, como por
ejemplo: 0,1001000010000001. . .
Mas adelante, se sugerira un metodo para probar que√
2 puede escribirse como:
1; 1, 4; 1, 414; 1, 4142; . . . . . .
que es una expresion decimal infinita no periodica. Finalmente, tambien existen expresiones
decimales infinitas no periodicas cuyas sucesion de dıgitos no puede ser descrita por una sim-
ple regla.
Los ejemplos anteriores, inducen a considerar el conjunto de todas las expresiones decimales
infinitas no periodicas que, evidentemente, no son numeros racionales a las que se dara el
nombre de numeros irracionales. A este nuevo conjunto se le denota por I. Con los conjuntos
Q e I construiremos un nuevo conjunto R = Q ∪ I al cual le llamamos conjunto de los
numeros reales.
Es decir:
R = Q ∪ I ={exp. dec. infinitas periodicas} ∪ {exp. dec. Infinitas no periodicas}O tambien R = Q ∪ I ={numeros racionales} ∪ {numeros irracionales}La siguiente idea sera convertir a R en un sistema de numeros; para lo que habra necesidad
de definir una relacion de igualdad y las operaciones internas de adicion y multiplicacion para
expresiones decimales infinitas periodicas y no periodicas, lo cual es bastante complicado.
Existen varias maneras de definir formalmente el conjunto R por encajes de intervalos (Weier-
strass), por cortaduras (Dedekind), por sucesiones fundamentales (Cantor)2 y axiomatica-
mente (Hilbert). Se escogera esta ultima para seguir con el mismo esquema que hemos adop-
tado para introducir los Sistemas de Numeros N, Z y Q.
3.1.2. Definicion Axiomatica de R
El Sistema de los Numeros Reales es un conjunto, denotado por R, provisto de dos
operaciones internas llamadas adicion y multiplicacion, y una relacion de orden.
La Adicion es una operacion interna en R, que asocia a cada par de numeros reales (a, b) ∈R × R un unico numero real llamado suma de a y b, y que se denota a + b.
Simbolicamente:
+ : R × R → R, tal que (a, b) → a + b
Los numeros reales a y b reciben el nombre de sumandos.
La Multiplicacion es una operacion interna en R, que asocia a cada par de numeros reales
(a, b) ∈ R × R un unico numero entero llamado producto de a y b y denotado por a · b o
simplemente ab.
Simbolicamente:
· : R × R → R, tal que (a, b) → a · b2Ver [] pags. 78-94
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Los numeros a y b reciben el nombre de factores.
La adicion y la multiplicacion satisfacen los siguientes axiomas:
AXIOMAS ADICION MULTIPLICACION
Conmutatividad R1) a + b = b + a
∀ a, b ∈ RR5) a · b = b · a
∀ a, b ∈ R
Asociatividad R2) (a + b) + c = a + (b + c)
∀ a, b, c ∈ RR6) (a · b) · c = a · (b · c)
∀ a, b, c ∈ R
Elemento Neu-
tro
R3) Existe un unico numero
real llamado cero de-
notado por 0, tal que:
a + 0 = a ∀a ∈ R
R7) Existe un unico
numero real llamado
uno denotado por 1,
1 6= 0 tal que: a ·1 = a
∀a ∈ R
Elementos op-
uesto e inverso
R4) Para todo a ∈ R, existe
un unico numero real
denotado por −a, lla-
mado opuesto de a tal
que a + (−a) = 0
R8) Para todo a ∈ R,
a 6= 0, existe un unico
numero real denotado
por a−1 o 1a, llamado
inverso de a tal que
a · a−1 = 1
Distributividad N5) a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ R
Nota Importante:
Cuando se define un Sistema Numerico como un conjunto provisto de ciertas operaciones,
queda tacitamente establecido que se cumplen todos los axiomas de la Teorıa de Conjuntos y
todas las relaciones con sus propiedades que pueden definirse en el; en particular, la relacion
de Igualdad, que, obviamente, goza de las propiedades: reflexiva, simetrica y transitiva.
3.1.3. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores
Teorema 3.1. Si a, b y c son numeros reales, se cumplen las siguientes propiedades:
Si a = b entonces a + c = b + c y ac = bc.
Corolario 3.1.
(a) a = b ∧ c = d entonces a + c = b + d
(b) a = b ∧ c = d entonces a · c = b · d
La demostracion de cada propiedad es analoga a la realizada en
Q.
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Teorema 3.2. Si a y b son numeros reales, se cumplen las siguientes propiedades:
(a) a · 0 = 0
(b) ab = 0 si y solo si a = 0 ∨ b = 0
La demostracion de cada propiedad es analoga a la realizada en
Q.
Teorema 3.3 (Propiedades del Opuesto de un numero real). Si a y b son numeros reales,
se cumplen las siguientes propiedades:
(a) −(−a) = a, para todo a ∈ R
(b) −(a + b) = (−a) + (−b)
(c) (−1)a = −a
(d) a(−b) = (−a)b = −(ab)
(e) (−a)(−b) = ab
La demostracion de cada propiedad es analoga a la realizada en Q.
Teorema 3.4 (Propiedades del Inverso). Si a y b son numeros reales, se cumplen las
siguientes propiedades:
1. (a−1)−1 = a para todo a ∈ R
2. (a · b)−1 = a−1 · b−1
La demostracion de cada propiedad es analoga a la realizada en Q.
Teorema 3.5 (Cancelacion en la adicion y multiplicacion). Si a, b y c son numeros reales
se tiene:
(a) a + c = b + c entonces a = b
(b) Si ac = bc y c 6= 0 entonces a = b
La demostracion de cada propiedad es analoga a la realizada en Q.
SUSTRACCION
Definicion 3.1. Dados los numeros reales a y b, se define la diferencia de a y b y se denota
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por a − b al unico numero real c, tal que a = b + c.
O sea, a − b = c si y solo si a = b + c.
Los numeros a y b reciben, respectivamente, los nombres de minuendo y sustraendo.
Teorema 3.6. Dados los numeros reales a y b, la diferencia a−b siempre existe y es unica.
La demostracion de cada propiedad es analoga a la realizada en Q.
Observacion 3.1. Es importante recordar la igualdad: a − b = a + (−b).
El teorema anterior nos dice que, la funcion (−) : R×R/ (a, b) → a− b, que asocia a cada par
(a, b) de numeros reales, su diferencia a − b, es una operacion interna en R. Esta operacion
recibe el nombre de sustraccion.
DIVISION
Definicion 3.2. Dados dos numeros reales a y b 6= 0, se llama cociente de a y b y se denota
por ab
al numero real c tal que a = b · c.O sea a
b= c si y solo si a = b · c.
Teorema 3.7.
(a) Dados los numeros reales a y b 6= 0, el cociente ab
siempre existe y es unico.
(b) Dados los numeros reales x, a 6= 0 y b, se tiene que: ax + b = 0 si y solo si x = −ba−1.
Las demostraciones son analogas a las efectuadas en Q.
La funcion ( / ) : R × (R − {0}) → R, que asocia a cada par de numeros reales (a, b), b 6= 0,
su cociente ab, recibe el nombre de division.
POTENCIACION
Definicion 3.3. Sean a un numero real, a 6= 0, y n un numero natural, se define la potencia
an, poniendo
1. a0 = 1,
2. an = an−1a, si n ≥ 1
En la expresion an; el numero a se llama base y el numero n se llama exponente.
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De la definicion, se tiene que:
a1 = a1−1 · a = a0 · a = 1 · a = a ∀a ∈ R − {0} (un factor)
a2 = a1 · a = a · a (dos factores)
a3 = a2 · a = a · a · a (tres factores), y en general
an = a · a · a · · ·a (n factores)
Si a 6= 0 y n ∈ N, se define a−n = 1an y se tiene que, para n, m ∈ N
am
an= am · 1
an= am · a−n
Aplicando el principio de induccion matematica se prueba el siguiente:
Teorema 3.8.
(i) (a · b)n = an · bn
(ii) am · an = am+n
(iii) (am)n = am·n, ∀ n, m ∈ Z
3.1.4. Orden en R
Presentaremos el penultimo axioma del Sistema de los Numeros Reales R.
R10) Existe un subconjunto no vacıo de R, denotado por R+, tal que:
1. Para toda a ∈ R, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones:
a ∈ R+ o − a ∈ R+ o a = 0
2.
El subconjunto no vacıo de R denotado por R+, recibe el nombre de conjunto de los
numeros reales positivos.
El subconjunto de R definido por R− = {x ∈ R/−x ∈ R+}, que no es vacio, en virtud de R8),
recibe el nombre de conjunto de los numeros reales negativos y el axioma R10), nos afirma
que: R = R+ ∪ R− ∪ {0}
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Consecuencias importantes del axioma anterior
Teorema 3.9. Si a ∈ R, a 6= 0 entonces a2 ∈ R+
La demostracion es analoga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real
y el sımbolo Q+ por R+.
Definicion 3.4. Si a y b son numeros reales, se dice que “a es menor que b” y se denota con
a < b si, y solo si, existe c ∈ R+, tal que a + c = b.
En sımbolos,
a < b ⇔ ∃ c ∈ R+/a + c = b
Equivalentemente, se dice que “b es mayor que a” y se denota b > a si, y solo si, a < b.
De la definicion anterior resulta el siguiente:
Teorema 3.10.
1. a ∈ R+ si y solo si, a > 0.
2. a > 0 si, y solo si, −a < 0
La demostracion es analoga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real
y el sımbolo Q+ por R+.
Usando el Teorema anterior, R10, puede reescribirse en la forma siguiente:
1. Dado a ∈ R, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones:
0 < a ∨ a = 0 ∨ a < 0 (Tricotomıa)
2. Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 y ab > 0.
Teorema 3.11. Si a, b y c son numeros reales, se cumplen las siguientes propiedades:
1. a < 0 ∧ b < 0 entonces ab > 0
2. a > 0 ∧ b < 0 entonces ab < 0
La demostracion es analoga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real.
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Teorema 3.12. Si a, b y c son numeros reales, se cumplen las siguientes propiedades:
(a) Dados a, b numeros reales, se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones:
a < b ∨ a = b ∨ a > b.
(b) a < b ∧ b < c entonces a < c
(c) a < b entonces a + c < b + c
(d) a < b ∧ c < d entonces a + c < b + d
(e) a < c ∧ 0 < c entonces ac < bc
(f) a < b ∧ c < 0 entonces ac > bc
La demostracion es analoga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real.
Teorema 3.13. Si a y b son numeros reales diferentes de cero, el inverso multiplicativo
tiene las siguientes propiedades:
(a) a > 0 entonces a−1 > 0
(b) a < 0 entonces a−1 < 0
(c) Si 0 < a < b entonces 0 < b−1 < a−1
(d) Si a < b < 0 entonces b−1 < a−1 < 0
La demostracion es analoga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real.
Teorema 3.14.
(i) Si a > 0 y n > 0 entonces an > 0
(ii) Si 0 < a < b entonces an < bn
Demostracion. Probar las dos propiedades por induccion
Definicion 3.5. Si a y b son numeros reales, se dice que “a es menor o igual que b” y se
denota por a ≤ b si, y solo si, a < b o a = b.
Se sigue de inmediato que:
a ≤ b ⇔ ∃ c ≥ 0/a + c = b
Equivalentemente, se dice que “b es mayor o igual que a” y se denota b ≥ a si, y solo si, a ≤ b.
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Teorema 3.15. Si a, b y c son numeros reales, las relaciones ≤ y ≥ cumplen las siguientes
propiedades
1. a ≤ a, ∀ a ∈ R (Propiedad reflexiva)
2. a ≤ b ∧ b ≤ a entonces a = b (Propiedad antisimetrica)
3. a ≤ b ∧ b ≤ c entonces a ≤ c (Propiedad transitiva)
4. a 6= b entonces a < b ∨ b < a (Propiedad conexa)
5. a ≤ b ∧ c ≥ 0 entonces ac ≤ bc
6. a ≤ b ∧ c ≤ 0 entonces ac ≥ bc
Demostracion. La demostracion de cada una de las propiedades es analoga a la realizada en
Q.
Observacion 3.2. Las propiedades (a), (b) y (c) nos permiten decir que la relacion menor o
igual es una relacion de orden en R. Si se agrega la propiedad (d) se dice que la relacion
menor o igual es una relacion de orden conexa.
Radicacion
Definicion 3.6. Dados a ≥ 0, un numero real y n ∈ N+. Se llama raız n−esima de a y se
denota n√
a, al unico numero real no negativo b tal que bn = a;
Simbolicamente n√
a = b si y solo si bn = a.
En la expresion b = n√
a; se dira que n es el ındice del radical, y que a es el radicando o
expresion subradical.2√
a se escribe simplemente√
a y se lee “raız cuadrada de a”.3√
a se lee: “raız cubica de a”.
Teorema 3.16. Si a, b ∈ R+0 = R+ ∪ {0} y n, m ≥ 1, entonces:
(a) Existe n√
ab y n√
ab = n√
a n√
b
(b) Existe n√
am y n√
am = ( n√
a)m
(c) Existen mn√
a, m√
n√
a y mn√
a = n√
m√
a = m√
n√
a
(d) Si b > 0, n√
ab
=n√
an√
b
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3.1.5. Subconjuntos notables de R
A continuacion presentaremos los subconjuntos notables de R como son los numeros reales
naturales NR, reales enteros ZR y reales racionales QR; ası como su relacion con los conjuntos
numericos presentados en los tres capıtulos anteriores.
Para exhibir concretamente elementos de R, es decir numeros reales, utilizamos los axiomas y
teoremas de R. Empezamos mostrando los llamados numeros reales naturales, importantes por
que nos permitiran introducir el concepto de sistema de numeracion, sin el cual no tendrıamos
forma de trabajar con los elementos de R; estos se reducirıan a simples entes abstractos.
Ademas, a partir de NR y utilizando los axiomas de los numeros reales, podremos obtener
los otros subconjuntos notables de R: los reales enteros, los reales racionales y los irracionales
pues, por ejemplo, no tendrıa sentido hablar de 5√
5 si antes no existiera el numero 5.
Los numeros reales naturales
Los numeros naturales estan asociados al proceso de contar, y este proceso empieza por el 0
y el 1, “aumentando uno al anterior para obtener el siguiente”. Ası obtenemos:
0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, . . . , n, n + 1, . . .
Es decir si tenemos un numero n, el sucesor natural de ese elemento n se obtendra, agregandole
1, al elemento n, para obtener n + 1. Esta idea intuitiva y sencilla nos servira de punto de
partida para definir los numeros reales naturales.
Definicion 3.7. Sea K un subconjunto no vacıo de R, se dice que K es un conjunto inductivo
si, y solo si, cumple las siguientes dos condiciones:
(i) 0 ∈ K
(ii) Si n es un elemento de K, el numero n+1, llamado sucesor de n, es tambien un elemento
de K.
Es decir, si n ∈ K, entonces n + 1 ∈ K.
Por ejemplo, el conjunto de los numeros reales R. satisface tales propiedades pues 0 ∈ R y
por definicion de adicion, si n ∈ R, como 1 ∈ R, entonces n + 1 ∈ R. Esto prueba, que por lo
menos existe un subconjunto inductivo que es el mismo R.
Teorema 3.17. La interseccion de todos los subconjuntos inductivos de R es tambien un
subconjunto inductivo de R y es ademas el menor subconjunto inductivo de R; en el sentido
que esta contenido en todos los demas subconjuntos inductivos.
Demostracion. Sea J es la interseccion de todos los subconjuntos inductivos de R,
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(i) Si 0 es un elemento de cada conjunto inductivo, entonces 0 es un elemento de la inter-
seccion de todos los conjuntos inductivos, es decir, 0 ∈ J .
(ii) Si h ∈ J , entonces h es elemento de cada conjunto inductivo, luego por definicion de
conjunto inductivo, h+1 es tambien un elemento de cada conjunto inductivo de R y por
lo tanto h + 1 tambien pertenece a la interseccion de todos los subconjuntos inductivos
de R; o sea, h + 1 ∈ J .
Por lo tanto J es un subconjunto inductivo de R y esta contenido en cada subconjunto
inductivo de R.
Definicion 3.8. El conjunto anteriormente obtenido, o sea la interseccion de todos los sub-
conjuntos inductivos de R, recibe el nombre de conjunto de los reales naturales y se denota
por NR.
Por el teorema anterior el conjunto NR = J existe y ademas NR esta contenido en todos los
subconjuntos inductivos de R.
Es decir, NR satisface las siguientes propiedades:
(i) 0 ∈ NR
(ii) Si n es un elemento de NR, entonces el sucesor de n, el numero n + 1, es tambien un
elemento de NR.
O sea, si NR, entonces n + 1 ∈ NR.
Teorema 3.18 (Induccion matematica). Si A ∈ NR goza de las propiedades
1. 0 ∈ A y
2. Si h ∈ A implica h + 1 ∈ A
entonces A = NR.
Demostracion. Por las condiciones (i) y (ii), A es conjunto inductivo, luego NR ⊂ A, y como
por hipotesis A ⊂ NR, se sigue que A = NR.
Observacion 3.3. De la definicion de NR, deducimos que 0 ∈ NR, y para h = 0, se tiene que
h + 1 = 0 + 1 = 1 ∈ NR. Analogamente 2 = 1 + 1 ∈ N, 3 = 2 + 1 ∈ NR, . . . , etc. Luego,
{0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} ⊂ NR.
A continuacion probaremos la propiedad de clausura para la adicion y multiplicacion de
numeros naturales
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Teorema 3.19.
1. Si a, b ∈ NR entonces a + b ∈ NR.
2. Si a, b ∈ NR entonces a · b ∈ NR.
Demostracion.
1. Elijamos arbitrariamente un elemento a de NR. Fijando el elemento a, definamos el
conjunto K = {b ∈ NR/a + b ∈ NR} ⊂ NR. Es decir,
b ∈ K ⇔ a + b ∈ NR
Probaremos que K es inductivo. En efecto:
(i) 0 ∈ K pues como a ∈ NR, a + 0 ∈ NR.
(ii) Si h ∈ K entonces a + h ∈ NR, de donde (a + h) + 1 ∈ NR por ser NR inductivo;
Luego, a + (h + 1) = (a + h) + 1 ∈ NR, usando la propiedad asociativa en R; de
donde, por definicion de K resulta, finalmente que h + 1 ∈ K.
Ası, K es inductivo, y como NR esta contenido en todo conjunto inductivo, entonces
NR ∈ K, resulta que K = NR. Esto quiere decir que para todo a ∈ NR y para todo
b ∈ NR, se cumple: a + b ∈ NR.
2. Queda como ejercicio.
Sabemos que 0 ∈ NR, 1 ∈ NR y ademas 0 < 1, pero ¿existiran numeros reales naturales may-
ores que 0 y menores que 1? Seguramente diremos que no, pero ¿como justificamos nuestra
respuesta? El siguiente teorema responde a esta pregunta
Teorema 3.20. Sea a ∈ NR, si a > 0, entonces a ≥ 1.
Demostracion. Bastara probar que el conjunto K = {a ∈ R/a = 0 ∨ a ≥ 1}, es inductivo.
a ∈ K ⇔ a = 0 ∨ a ≥ 1. En efecto
(i) 0 ∈ K, por definicion de K.
(ii) Si n ∈ K entonces n = 0 ∨ n ≥ 1, luego n + 1 = 1 ∨ n + 1 ≥ 1 + 1 ≥ 1 de donde
n + 1 ∈ K.
Lo que implica que K es inductivo y por lo tanto NR.
Ası, resulta finalmente que si a ∈ NR ⊂ K y a > 0 entonces a ≥ 1.
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Corolario 3.2. No existen numeros naturales a, tales que n < a < n + 1, con n ∈ NR.
Demostracion. Si suponemos que existe a ∈ NR tal que n < a < n+1, entonces existe k ∈ NR
tal que (n − 1) + k = a pues a > n − 1 en NR.
Luego, (n − 1) + 1 < (n − 1) + k < (n − 1) + 2, de donde 1 < k < 2 con k ∈ NR, lo cual es
imposible por la proposicion anterior.
Recien entonces estamos en condiciones de afirmar que
NR = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
Teorema 3.21 (El principio del buen orden). Todo subconjunto, no vacio, de NR, posee
un elemento minimo.
Es decir, si A ⊂ NR, A 6= ∅, existe un elemento m ∈ A tal que, para todo x ∈ A, m ≤ x.
En virtud de esta propiedad se dice que el conjunto de los Numeros Naturales es
Bien Ordenado.
Una sugerencia para su demostracion es definir el subconjunto H de NR:
h ∈ H ⇔ A ⊂ NR, A 6= ∅, tal que h ∈ A, A posee elemento mınimo.
Y probar que este conjunto H ⊂ NR es inductivo, de donde se seguira que NR ⊂ H , y por lo
tanto H = NR.
Nota importante:
Hemos probado, en el teorema 3.19, que la adicion y multiplicacion de R, restringidas a NR
son tambien operaciones internas:
+ : NR × NR → NR
(a, b) → a + by
· : NR × NR → NR
(a, b) → a · b
y teniendo en cuenta los axiomas (R1, R2, R3, R5, R6, R7, R9 y el teorema 3.5(a), 3.5(b),
3.13(a) y el teorema 3.21) de R, se verifica de inmediato que las operaciones anteriores satis-
facen los axiomas, N1) − N11), del Sistema de los Numeros Naturales. En tal sentido, podemos
identificar NR con el conjunto de los numeros naturales y escribir simplemente NR = N.
El Conjunto de los Numeros Reales Enteros
Hemos definido el conjunto cuyos elementos son los numeros reales naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
. . . , luego, por el axioma del opuesto (R4), se obtienen los numeros reales: −0 = 0, −1, −2,
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−3, −4, −5, . . . ,
Establecido NR, definimos los conjuntos Z+ = NR − {0}, Z− = {−n/n ∈ Z+} y ZR =
Z+ ∪ {0} ∪ Z−.
Al conjunto ZR lo llamamos Conjunto de los Numeros Reales Enteros.
Es decir, ZR = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}.Si restringimos la adicion y multiplicacion de Z a ZR, usando el teorema 3.3 (propiedades del
opuesto), se obtiene que la suma y el producto de dos reales enteros siempre es un numero
real natural o el opuesto de un real natural y por consiguiente un numero real entero, luego
quedan definidas las operaciones internas de adicion y multiplicacion en ZR:
+ : ZR × ZR → ZR
(a, b) → a + by
· : ZR × ZR → ZR
(a, b) → a · b
y teniendo en cuenta los axiomas (R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R9 y el teorema 3.5(b)) de
R, se verifica de inmediato que las operaciones anteriores satisfacen los axiomas, E1) - E9),
del Sistema de los Numeros Enteros. Veamos que tambien se cumpla el axioma E10):
Si definimos i : NR → ZR mediante i(n) = n, se tiene que
1. i es inyectiva,
2. i(m + n) = m + n = i(m) + i(n)
3. i(mn) = mn = i(m)i(n).
En tal sentido, podemos identificar ZR con el Conjunto de los Numeros Enteros y escribir
simplemente ZR = Z.
El Conjunto de los Numeros Reales Racionales
Dados los numeros reales naturales positivos, como todo numero real diferente de cero tiene
inverso multiplicativo, obtenemos los inversos de numeros reales naturales positivos:
1
1,
1
2,
1
3,
1
4,
1
5, . . . ;
ası como sus opuestos
−1
1, −1
2, −1
3, −1
4, −1
5, . . . ;
y usando la definicion de cociente, otros numeros como:
2
3= 2 · 1
3,
3
5= 3 · 1
5, etc.
En general llamamos conjunto de los Numeros Reales Racionales, y lo denotamos por QR,
al subconjunto de R definido de la siguiente manera:
QR ={m
n∈ R/m, n ∈ Z y n 6= 0
}
Y puesto que, para a, b, c, d reales y, en particular, reales enteros, se cumple:
168
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1. ac
+ bd
= ad+bccd
∈ QR
2. ac· b
d= ab
cd∈ QR
Si restringimos la adicion y multiplicacion de R a QR, usando las dos propiedades anteriores, se
obtiene que la suma de dos reales racionales siempre es un numero real racional y el producto
dos reales racionales siempre es un numero real racional. Por consiguiente quedan definidas
las operaciones internas de adicion y multiplicacion en QR:
+ : QR × QR → QR
(a, b) → a + by
· : QR × QR → QR
(a, b) → a · b
y teniendo en cuenta los axiomas (R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9) de R, se verifica de
inmediato que las operaciones anteriores satisfacen los axiomas, Q1) - Q9) del Sistema de los
Numeros Racionales. Ademas, ac
= bd
si y solo si ad = bc.
Probaremos que tambien se cumpla el axioma Q10) para ello bastara definir, i : ZR → QR
mediante, i(m) = m1, luego se prueba facilmente que:
1. i es inyectiva,
2. i(m + n) = m + n = i(m) + i(n)
3. i(mn) = i(m)i(n).
En tal sentido, podemos identificar QR con el Conjunto de los Numeros Racionales y escribir
simplemente QR = Q.
Finalmente, nos preguntamos, ¿son estos todos los numero reales? La respuesta es no. Por
ejemplo como 2 ∈ R+, existe√
2 en R, sin embargo, ningun racional satisface la igualdad
r2 = 2 luego, R − Q 6= ∅. Tambien, todo numero real cuya representacion decimal es infinita
no periodica no es un numero racional. Ası al subconjunto R−Q de R lo llamamos subconjunto
de los Numeros Irracionales y lo denotamos con I. Es decir, I = R − Q.
La existencia de√
2 como numero real y la de otros numeros irracionales como e, π, etc.,
no puede ser obtenida a partir de los axiomas de R1) - R10). Se hace por tanto necesaria
agregar un axioma para definir el Conjunto de los Numeros Reales R, que es el Axioma del
Supremo (o Axioma de Completitud).
La Recta Real
Existe una relacion entre el conjunto R de los numeros reales y el conjunto ℜ de los puntos de
la recta geometrica, basada en el axioma de Cantor-Dedekind que establece una funcion
biyectiva f : R → ℜ. Mas precisamente:
1. f es inyectiva o sea x 6= y entonces f(x) 6= f(y).
169
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2. f es subyectiva o sea ∀ u ∈ ℜ tal que f(x) = u.
Este axioma relaciona la aritmetica con la geometrıa y permite identificar el conjunto de
los numeros reales R con el conjunto de los puntos de la recta geometrica ℜ (R ≡ ℜ),
introduciendose de esta manera el concepto de recta numerica o recta real.
Graficamente:
En la recta real, los numeros reales positivos son los puntos que estan a “la derecha del cero”,
y los numeros reales negativos son los que estan a “la izquierda del cero”. En general, a < b
si el punto que corresponde al numero real a esta a la izquierda del punto que corresponde al
numero real b.
Definicion 3.9. La biyeccion f : ℜ → R dada por el axioma 3 de Cantor-Dedekind, que
asigna a cada punto de la recta un unico numero real f(P ) recibe el nombre de Sistema de
Coordenadas de la recta ℜ. El numero real f(P ) que corresponde al punto P , mediante
la biyeccion f , recibe el nombre de coordenada del punto P . En particular, el punto cuya
coordenada es el numero real 0 (cero), se denomina origen del sistema. En el grafico anterior,
el origen es P0. Observese intuitivamente que cualquier punto P de la recta puede consider-
arse como origen de un sistema de coordenadas (basta deslizar la regla). De esta manera se
obtendran varios sistemas de coordenadas.
Por otra parte, y esto es muy importante, desde el punto de vista de la teorıa de conjuntos, si
existe una biyeccion f : A → B entre dos conjuntos se pueden identificar los elementos de A
con los elementos de B. En nuestro caso, identificamos el punto P de la recta ℜ con el numero
real f(P ), que llamamos la coordenada de P y escribimos f(P ) = p, para todo punto P .
170
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3.1.6. Axioma del Supremo
Definicion 3.10. Un conjunto A ⊂ R es acotado superiormente si, y solo si, existe un
numero k ∈ R tal que a ≤ k, para todo elemento a ∈ A. k se llama cota superior de A.
Un conjunto A ⊂ R es acotado inferiormente si, y solo si, existe un numero k′ ∈ R tal que
k′ ≤ a, para todo elemento a ∈ A. k′ se llama cota inferior de A.
Si el conjunto A es acotado superior e inferiormente, se dice que A es acotado. Un conjunto
acotado puede tener infinitas cotas.
Definicion 3.11. Dado un conjunto A ⊂ R se dice que el numero real s es el supremo de A
si, y solo, si se cumple que:
1. s es cota superior de A; es decir, a ≤ s, ∀ a ∈ A; y
2. s es la menor cota superior de A. Es decir, si k es una cota superior de A, entonces
s ≤ k.
Teniendo en cuenta (1) y (2) se puede decir que: “el supremo de A es la menor cota superior
de A”.
Se demuestra, facilmente el siguiente:
Teorema 3.22. Si A ⊂ R entonces, s es el supremo de A si, y solo si, se cumplen:
(1’) a ≤ s, ∀ a ∈ A (s es una cota superior)
(2’) ∀ ε > 0, (tan pequeno como se quiera) existe a′ ∈ A tal que s − ε < a′.
Ejemplo 3.1. El conjunto A = {x ∈ R/3 < x ≤ 4} tiene como supremo a 4. En efecto,
(1’) 4 es una cota superior
(2’) Dado ε tal que 0 < ε < 1, bastara tomar el valor a′ = 4 − ε2, el cual, obviamente,
pertenece al conjunto A y es tal que 4 − ε < 4 − ε2
= a′.
Es decir, dado, s = 4 existe a′ = 4 − ε2∈ A tal que s − ε < a′.
171
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Actividades
1. Sean b y h las longitudes de la base y de la altura, expresadas en centımetros, de un
triangulo y A es el area del mismo (cm2). Si 10 < b < 12 y 60 < A < 80. ¿Cuales son
los posibles valores de h?
2. Si a < 0 < b, ¿Se puede establecer la relacion menor entre sus inversos multiplicativos?
3. Hallar todos los numeros reales x tales que x > 5 si, y solo
4. Indica los axiomas, definiciones o propiedades que justifican cada paso en los siguientes
ejercicios:
(a)
6√
2
((3)
(1
6√
2
))= 6
√2
((1
6√
2
)(3)
)
=
((6√
2)
(1
6√
2
))3
= (1)(3)
= 3
(b)
(π
4− π
6
)(48) =
(π
4+(−π
6
))48
= 48(π
4+(−π
6
))
= 48(π
4
)+ 48
(−π
6
)
= 12π + (−8)π
= 4π
5. Encontrar tres numeros reales a, b, c de tal manera que se cumplan las tres condiciones
siguientes:
(a + b + c) es un numero entero
(a2 + b2 + c2) es un numero irracional
(a3 + b3 + c3) es un numero racional
6.
(a) ¿A cuantos kilometros equivale un ano luz?
172
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(b) La estrella mas cercana a la tierra se encuentra a 4 300 anos luz de distancia. ¿A
cuantos metros equivale dicha distancia?
(c) Si el radio de la tierra es 6,4×106m, determina su volumen.
7. Para investigar: Si p y q son numeros reales positivos, demostrar que:
1 ≤√
p2 + 4q
2q−√
p
p +√
p2 + 4q
8. Para investigar: Sean a, b numeros positivos tales que a3 + b3 = 2. Demostrar que
a9 + b9 + 5(a12 + b12) ≥ 8 + 2(a15 + b15)
173
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3.2. Sesion 12: Axioma del Supremo. Sucesiones, cuer-
po ordenado completo
La Matematica es la reina de las ciencias y la teorıa de
los numeros es la reina de la Matematica.
Gauss
Contextualizando: La secuencia de Fibonacci y la razon aurea
Unos de los problemas mas famosos en las matematicas elementales proviene del libro “Liber
Abaci”, escrito en 1202 por Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci. El problema
es como sigue:
Un hombre coloca un par de conejos en una jaula. Durante el primer mes, los
conejos no tienen crıas, pero a partir de cada mes procrean un par nuevo de
conejos. Si cada par nuevo se reproduce de la misma manera. ¿Cuantos pares de
conejos habra al final de un ano?
La solucion de este problema lleva una secuencia de numeros conocidos como la secuencia
de Fibonacci. Aquı estan los primeros 15 terminos de a secuencia de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610.
Advierta el patron establecido en la secuencia despues de los dos primeros terminos (ambos 1),
cada termino se obtiene anadiendo los dos terminos previos. Por ejemplo, el tercer termino
se obtiene sumando 1 + 1 para obtener 2, el cuarto termino se encuentra sumando 1 + 2 para
obtener 3, etc. Esto puede describirse por medio de una formula matematica conocida como
una formula de recurrencia. Si Fn representa el numero de Fibonacci, en la n−esima posicion
en la secuencia, entonces
F1 = 1
F2 = 1
Fn = Fn−1 + Fn−2, para n ≥ 3
La secuencia de Fibonacci presenta muchos patrones interesantes y por razonamiento induc-
tivo podemos hacer muchas conjeturas acerca de estos. Sin embargo, como hemos indicado
muchas veces con anterioridad, observar sencillamente un numero finito de ejemplos no pro-
porciona la prueba de un postulado. Las pruebas de las propiedades de una secuencia de Fi-
bonacci frecuentemente implican induccion matematica.
174
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3.2.1. Axioma del supremo
R11 “Si A es un subconjunto de R, diferente del vacıo, y acotado superiormente, entonces A
tiene supremo s ∈ R”.
Este axioma no se cumple en Q como probaremos a continuacion mostrando el siguiente:
Ejemplo 3.2. Sea {rn} un conjunto, en particular una sucesion, de numeros racionales defini-
da por induccion*, poniendo:
1. Si n = 1, r1 = 1.
2. Supuesto definido rn−1, definimos rn = rn−1+sn
10n−1 , donde sn es el mayor entero positivo
tal que r2n ≤ 2.
De esta manera se obtiene el siguiente conjunto de numeros racionales:
{rn} = {1; 1, 4; 1,414; . . . }
Se ve de inmediato que {r2n} es acotado superiormente por 4, puesto que: 0 < r2
n ≤ 2 < 4, de
donde, 0 < rn <√
2. Es decir, el conjunto {rn} es acotado por√
2; mas aun, se puede probar
que sup(rn) = 2. Sin embargo, como ya sabemos,√
2 no es un numero racional.
Teorema 3.23. El conjunto N ⊂ R de los numeros reales naturales no es acotado superi-
ormente.
Demostracion. Por el absurdo. Si N fuera acotado superiormente, existirıa c = sup N. En-
tonces, c − 1 no seria una cota superior de N, es decir, existirıa n ∈ N tal que c − 1 < n, de
donde, c < n + 1, lo que implica que c no es una cota superior de N, en consecuencia N no es
acotado superiormente.
Teorema 3.24. Dados a, b ∈ R+, existe un numero real racional n tal que na > b.
(Propiedad Arquimediana).
Demostracion. Dados a, b ∈ R+ existe n ∈ N, tal que n > ba, pues si n ≤ b
apara todo
n ∈ N, se tendrıa que el conjunto N seria acotado, lo que contradice al teorema anterior y, en
consecuencia, existe n tal que n > ba, de donde na > b.
Corolario 3.3. Si b es un numero real, existe un numero natural n > 0 tal que n > b.
Demostracion. Basta con poner n = b + 1 para obtener n > b.
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Corolario 3.4. Si 0 < b, existe un numero real natural n tal que 0 < 1n
< b.
Demostracion. Si 0 < b, existe el numero real 1b
> 0, luego por el corolario 3.3, existe un
numero real natural n > 1b, de donde 0 < 1
n< b.
Corolario 3.5. Si x es un numero real, existen reales enteros m y n tales que:
m < x < n
Demostracion. Por el corolario 3.3, dado x existen reales enteros positivos n y p tales que:
n > x y p > −x
Poniendo m = −p, resulta: m < x < n.
Teorema 3.25 (Teorema del mayor entero). Para todo numero real x siempre existe un
numero real entero n tal que
n ≤ b < n + 1
Demostracion. Existencia: Por el corolario 3.3, existen reales enteros r y s tales que: r < x < s,
y como t = s − r > 0, existe tambien un real entero positivo t tal que r < x < r + t. Sea p el
mınimo real entero positivo tal que x < p + t, el cual existe en virtud del Principio del Buen
Orden.
Finalmente, sea n = p + t− 1. Si p = 1, entonces n ≤ x < r + 1 = n + 1, y si p ≥ 2, entonces
p − 1 > 0 y n = r + (p − 1) ≤ x, por ser p el mınimo. Luego n ≤ x < r + p = n + 1, o sea
n ≤ x < n + 1.
Unicidad: Si existieran reales enteros m y n tales que: m ≤ x < m + 1, n ≤ x < n + 1 y
m < n, se tendrıa que m < n ≤ x < m + 1 y en consecuencia 0 < n − m < 1, lo que es una
contradiccion. Analogamente se procede si n < m.
Teorema 3.26. Si a y b son dos numeros reales tales que a < b entonces existe un numero
racional r tal que a < r < b.
Demostracion. El corolario del teorema 3.19, dado el numero real b−a > 0 existe un numero
real natural n tal que 1n
< b − a, o sea:
El teorema 3.20 asegura que dado el numero real no existe un entero m tal que
m ≤ na < m + 1
De donde se sigue quem
n≤ a y a <
m
n+
1
n
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De las cuatro ultimas relaciones, se tiene:
a <m
n+
1
n< a +
1
n< b
lo que implica que existe el numero real racional
r =m
n+
1
n, tal que a < r < b.
A continuacion, mostraremos otra manera de probar que en Q, no se cumple el axioma del
supremo.
Ejemplo 3.3. Sea el conjunto de numeros reales racionales
A = {x ∈ Q/x2 < 2} = {1; 1,4; 1,41; 1,4141; . . . }
y calculemos su supremo.
En primer lugar A no es vacio, pues 1 ∈ A y es acotado superiormente, puesto que, si x ∈ A
entonces 0 < x2 < 2 < 4, de donde se sigue que, 0 < x2 < 4 para todo x ∈ A, luego
aplicando el axioma R11, existe el supremo de A al cual lo denotaremos por s. Probaremos a
continuacion que s2 = 2.
En efecto,
Si fuera s2 < 2, definiendo b = s + 2−c2
5se tiene: s < b y
b2 = s2 +
(2 − s2
5
)(2s +
2 − s2
5
)< s2 +
(2 − s2
5
)5 = 2
La ultima desigualdad se cumple pues si s2 < 2, s2 < 4 y s < 2, de donde
2s +
(2 − s2
5
)< 5
Como s < b = s + 2−c2
5, aplicando el teorema 3.20, existe un real racional r tal que: s < r < b
lo que implica que s2 < r2 < b2 < 2, o sea r2 < 2.
Es decir se ha encontrado un numero real racional r ∈ A tal que s < r: lo que contradice a la
definicion de supremo de un conjunto.
Si fuera s2 > 2, definiendo b = s2+22
y como s2 + 2 < s2 + s2 = 2s2 resulta que 0 < b < s.
Por otra parte, se tiene que
b2 − 2 =
(s2 − 2
2s
)> 0 y b2 > 2
de donde resulta que si x ∈ A = {x ∈ Q/x2 < 2} entonces x2 < 2 < b2, o sea b es una cota
superior del conjunto A menor que el supremo s; lo cual contradice a la definicion de supremo
de un conjunto.
En consecuencia s2 = 2
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Nota importante:
Se ha demostrado que el conjunto A del ejemplo 3.1, posee un supremo s que no es un numero
real racional, o sea s /∈ h(Q) y que s2 = 2, luego aplicando la definicion de raız cuadrada
s =√
2.
Definicion 3.12. Se llama “e” numero de Euler al supremo del conjunto de numeros reales
racionales B = {xn ∈ Q/xn =(1 + 1
n
)n, n ∈ N+}.
;
3.2.2. El Sistema de los Numeros Reales Extendido
Definicion 3.13. En diversas situaciones como en el caso de los intervalos, que veremos mas
adelante, se utilizan los sımbolos −∞ y +∞. La introduccion formal de estos sımbolos se
hace “extendiendo” el conjunto R de los numeros reales a otro conjunto, al cual denotaremos
con R+, cuyos elementos seran ademas, de los reales, los sımbolos −∞ y +∞. En este nuevo
conjunto
R∗ = {−∞} ∪ R ∪ {+∞}
Se definen las operaciones de adicion, multiplicacion y relacion menor “extendiendo”los con-
ceptos respectivos ya definidos en R, ası,
Para la adicion se define:
1. a + (+∞) = (+∞) + a = +∞, ∀ a ∈ R
2. a + (−∞) = (−∞) + a = −∞, ∀ a ∈ R
3. (+∞) + (+∞) = (+∞)
4. (+∞) + (−∞) = (−∞) + (+∞) = 0
La adicion, ası extendida en R∗ es conmutativa pero no asociativa
[(−∞) + (+∞)] + (+∞) 6= (−∞) + [(+∞) + (+∞)]
sin embargo si no se establece la propiedad (d), como muchos autores lo hacen, la adicion si
es asociativa.
Notese que la ecuacion x + a = b no siempre tiene solucion en R∗ o, si existe, esta no siempre
es unica.
x + (+∞) = −∞ no tiene solucion
x + (+∞) = +∞ tiene infinitas soluciones
Para la multiplicacion se definen:
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1. a(+∞) = (+∞)a = +∞, si 0 < a ≤ +∞
2. a(−∞) = (−∞)a = −∞, si 0 < a ≤ +∞
3. a(+∞) = (+∞)a = −∞, si −∞ ≤ a < 0
4. a(−∞) = (−∞)a = +∞, si −∞ ≤ a < 0
5. 0(±∞) = (±∞)0 = 0.
La multiplicacion ası extendida, en R∗, es conmutativa, asociativa y, como en R,
ab = 0 implica que a = 0 o b = 0
Con respecto a la sustraccion y division, podemos indicar que la sustraccion en R∗, se define,
al igual que en R:
a − b = a + (−b)
escribiendo, cuando b = −∞, −b = −(+∞) = −∞y cuando b = −∞, −b = −(−∞) = +∞.
La division en R∗ se define agregando a lo conocido en R los sımbolos siguientes:
1. a±∞ = 0, si a ∈ R
2. ±∞a
=(
1a
)(±∞), si 0 < |a| < +∞
No se definen los sımbolos a0, ∞
∞ , −∞−∞ , −∞
∞ , ∞−∞ .
La relacion menor: a < b, se establece R∗ agregando a los axiomas y propiedades de la relacion
menor en R, el siguiente axioma:
−∞ < a < +∞ ∀ a ∈ R
EJERCICIOS
1. Probar que el supremo del conjunto definido inductivamente en la pagina 175
{rn} = {1; 1, 4; 1,414; . . . } es√
2
2. Probar que para todo x ∈ R, existe m ∈ Z, tal que m ∈ x < m + 1. Tal numero m se
llama maximo entero de x, y se denota JxK.
3. Probar que si a, b ∈ R, existe r ∈ Q tal que a < r < b.
4. Sea r un numero real tal que:sr +
1
8
{+
sr +
2
8
{+
sr +
3
8
{+
sr +
4
8
{+
sr +
5
8
{= 2001
(a) Determinen los valores que puede tomar r.
(b) Den un ejemplo de un valor irracional de r que cumpla dicha ecuacion
5. Calcular el supremo de los siguientes conjuntos
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(a) A ={1 − 1
n/n ∈ N+
}(b) B = {x ∈ R − Q/x < 2}
6. Sean x, y numeros reales
(a) Si x · 1 = 0, ¿Que valor(es) puede tomar x?
(b) Si x · y = 0, ¿Que valor(es) puede tomar x e y?
(c) Si x · y = 1, ¿Que puede decir de los valores de x e y?
(d) Si x2 = y2, ¿Como estan relacionados x e y?
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3.3. Sesion 13: Representacion decimal de los numeros
reales. Valor absoluto.
No hay ninguna rama de la matematica, por abstracta que
sea, que no pueda aplicarse algun dıa a los fenomenos
del mundo real.
Lobachewsky
Contextualizando: Area, volumen en terminos del numero π
La siguiente tabla muestra algunos ejemplo de numeros racionales y de numeros irracionales
Numeros racionales Numeros irracionales34
√2
6474
0,23233233323333 . . .√16
√5
1,618 π
2,718 1+√
52
El valor exacto de la razon aurea
e Un numero importante en las
matematicas financieras
Uno de los numeros irracionales mas utiles es π, la razon de la circunferencia al diametro de
un cırculo. Muchas formulas de la geometrıa abarcan π, como las formulas para el area de un
cırculo (A = πr2) y el volumen de una esfera (V = 43πr3). Durante 4000 anos los matematicos
han encontrado cada vez mejores aproximaciones para π. Los antiguos egipcios se servıan de
un metodo para determinar el area de un cırculo que es equivalente a un valor de 3.1605 para
π. Los babilonios empleaban numeros que dan 3 1/8 para π. En la biblia (1 Reyes 7:23) hay
un verso que describe un estanque circular en el templo del rey Salomon, alrededor del ano
1000 a. C. El estanque se dice que tenıa 10 codos del uno al otro lado, y que “cenıalo en
derredor de 30 codos”. Esto implic un valor de 3 para π.
3.3.1. Valor absoluto
Definicion 3.14. Dado a ∈ R, el valor absoluto de a denotado por |a|; es el numero real no
negativo:
|a| =
a, si a > 0
0, si a = 0
−a, si a < 0
Observacion 3.4. De la definicion se deduce que:
181
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(i) Si a ≥ 0 entonces |a| = a
Si a < 0 entonces |a| = −a
Por lo tanto ∀ a ∈ R, |a| ≥ 0
(ii) |a| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ −a = b) ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)
Observacion 3.5. Geometricamente |a| representa la distancia del punto P , de coordenada
a > 0 al origen O, o la distancia del punto Q de coordenada a < 0, al origen O:
Si a > 0:
0
O
a
P
|a|
Si a < 0:
0
O
a |a|
Q
Definicion 3.15. La distancia entre dos puntos P y Q cuyas coordenadas son a y b respec-
tivamente se define por: d(P, Q) = |a − b|.
Teorema 3.27 (Propiedades del valor absoluto).
(a) |a| ≥ 0 ∀ a ∈ R
(b) |a| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)
(c) |a| = | − a|
(d) |ab| = |a||b|
(e)∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b| , b 6= 0
(f) −|a| ≤ a ≤ |a|
(g) |a| ≤ k ⇔ k ≥ 0 ∧ (−k ≤ a ≤ k)
(h) |a| ≥ k ≥ 0 ⇔ a ≥ k ∨ −a ≥ k
(i) |a + b| ≤ |a| + |b|
(j)√
a2 = |a|
182
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Problemas resueltos
Problema 3.1. Rescate de un Bono
La mesa directiva de cierta companıa acuerda amortizar algunos de sus bonos en 2 anos. En
ese tiempo se requeriran $1,102,500. Suponga que en este momento reservan $1,000,000. ¿A
que tasa de interes anual, compuesto anualmente, se debe tener invertido este dinero a fin de
que su valor futuro sea suficiente para rescatar los bonos?
Solucion. Sea r la tasa anual necesaria. Al final del primer ano, la cantidad acumulada
sera $1,000,000 mas el interes 1, 000, 000r, para un total de
1, 000, 000 + 1, 000, 000r = 1, 000, 000(1 + r)
Bajo interes compuesto, al final del segundo ano la cantidad acumulada sera de 1, 000, 000(1+
r) mas el interes de esto, que es [1, 000, 000(1 + r)]r. Ası, el valor total al final del segundo
ano sera
1, 000, 000(1 + r) + 1, 000, 000(1 + r)r
Esto debe ser igual a $1,102,500:
1, 000, 000(1 + r) + 1, 000, 000(1 + r)r = 1, 102, 500. (3.1)
Ya que 1, 000, 000(1+r) es un factor comun de ambos terminos del miembro izquierdo, tenemos
1, 000, 000(1 + r)(1 + r) = 1, 102, 500
1, 000, 000(1 + r)2 = 1, 102, 500
(1 + r)2 =1, 102, 500
1, 000, 000=
11, 025
10, 000=
441
400
1 + r = ±√
441
400=
21
20
r = −1 ± 21
20
Por tanto r = −1 + (21/20) =0.05 o r = −1 − (21/20) = −2.05. Aunque 0.05 y -2.05 son
raıces de la ecuacion (3.1), rechazamos -2.05 ya que necesitamos que r sea positiva. Entonces
r =0.05, de modo que la tasa buscada es 5 por ciento.
En ocasiones puede haber mas de una manera de modelar un problema que esta dado en
palabras, como lo muestra el ejemplo 7.
Problema 3.2. Se construira una plataforma de observacion que dominara un valle. Vease
la figura 3.2(a). Sus dimensiones seran de 6m por 12m. Un cobertizo rectangular de 40m2 de
area estara en el centro de la plataforma y la parte no cubierta sera un pasillo de anchura
uniforme. ¿Cual debe ser el ancho de ese pasillo?
183
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12−2ww
w
w
6−2w 6
12
(a) (b)
Figura 3.2: Pasillo de la plataforma
Solucion. Un diagrama de la plataforma se muestra en la figura 3.2(b). Sea w =ancho (en
metros) del pasillo. Entonces, si la parte destinada al cobertizo tiene dimensiones de 12− 2w
por 6 − 2w, y como su area debe ser de 40m2, en donde area=(largo)(ancho), tenemos
(12 − 2w)(6 − 2w) = 40
72 − 36w + 4w2 = 40
4w2 − 36w + 32 = 0
w2 − 9w + 8 = 0
(w − 8)(w − 1) = 0
w = 8,1
Aunque 8 es una solucion de la ecuacion, no es una solucion para nuestro problema, ya que
una de las dimensiones de la plataforma es de solo 6m. Ası la unica solucion posible es que el
pasillo mida 1m de ancho.
Problema 3.3. La iluminacion de una fuente de luz especıfica es inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia de ella. (a) Exprese el numero de luxes (lx) de la iluminacion
como una funcion del numero de metros a la distancia de la fuente de luz, si la iluminacion
es 225lx a una distancia de 5m de la fuente. (b) Encuentre la iluminacion en un punto a 15m
de la fuente.
Solucion. (a) Sea f(x) luxes la iluminacion de la fuente de luz a xm de ella, entonces:
f(x) = kx2
Debido a que la iluminacion es 225lx a una distancia de 5m de la fuente, si se sustituye
x por 5 y f(x) por 225 se obtiene:
225 =k
52
K = 5625
184
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De donde al sustituir este valor de k se tiene: f(x) = 5625x2
(b) A partir de la expresion anterior para f(x), se obtiene:
f(15) =5625
152
f(15) = 25
Conclusion: La iluminacion en un punto a 15m de la fuente es 25lx.
Problema 3.4. Si x representa la temperatura de un objeto en grados Celsius, entonces la
temperatura en grados Fahrenheit es una funcion de x, dada por: (a) El agua se congela
a 0oC (C = Celsius) y hierve a 100oC. ¿Cuales son las temperaturas correspondientes en
grados Fahrenheit?. (b) El aluminio se funde a 660oC ¿Cual es su punto de fusion en grados
Fahrenheit?
Solucion. (a)
f(0) =9
5(0) + 32 = 32 El agua se congela a 32oF.
f(100) =9
5(100) + 32 = 180 + 32 = 212 El agua hierve a 1212oF.
(b)
f(660) =9
5(660) + 32 = 1188 + 32 = 1220 El aluminio se funde a 1220oF.
Problema 3.5. Suponga que cierto cultivo de bacterias crece a una tasa proporcional a su
tamano. En el tiempo t = 0, hay aproximadamente 20000 bacterias presentes. En 5 horas hay
400000 bacterias. Determine una funcion que exprese el tamano del cultivo como funcion del
tiempo, medido en horas.
Solucion. Sea P (t) el numero de bacterias presentes en el tiempo t. Por hipotesis P (t)
satisface una ecuacion diferencial de la forma y′ = ky, por lo que P (t) es de la forma: P (t) =
P0ekt donde habra que determinar las constantes P0 y k. Los valores de P0 y k se pueden
obtener a partir de los datos que proporcionan el tamano de la poblacion en dos tiempos
diferentes:
P (0) = 20000 (3.1)
P (5) = 400000 (3.2)
La primera condicion implica que P0 = 20000 por lo que:
P (t) = 20000ekt
185
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Utilizando la segunda condicion, se tiene:
20000ek∗5 = P (5) = 400000
e5k = 20
k =ln20
5≈ 0,60
Por lo tanto se puede tomar:
P (t) = 20000e0,6t
Problema 3.6. (Decisiones sobre Fijacion de Precios) La demanda mensual x de cierto
artıculo al precio de p dolares por unidad esta dada por la relacion:
x = 1350 − 45p
El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por
unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Que precio por unidad p debera fijarse al
consumidor con objeto de obtener una utilidad maxima mensual?
Solucion. El costo total C (en dolares) de producir x unidades al mes es:
C = Costos variables + Costos fijos
C = 5x + 2000
La demanda x esta dada por:
x = 1350 − 45p
Sustituyendo este valor de x en C, resulta que:
C = 5(1350 − 45p) + 2000
C = 8750 − 225p
El ingreso R (en dolares) obtenido por vender x utilidades a p dolares por unidad es:
R = Precio por unidad ∗ Numero de unidades vendidas
R = px = p(1350 − 45p)
R = 1350p − 45p2
La utilidad P (en dolares) esta dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el costo:
P = R − C
P = 45p2 + 1350p − (8750 − 225p)
P = 45p2 + 1575p − 8750
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La utilidad P es una funcion cuadratica de p. Puesto que a = −45 < 0, la grafica es una
parabola que se abre hacia abajo y la utilidad maxima se alcanza en el vertice. En este caso
tenemos que:
a = −45, b = 1575 y c = −8750
El vertice de la parabola esta dado por:
p = − b
2a= − 1575
2(−45)=
1575
90p = 17,5
En consecuencia un precio de p = $17,5 por unidad debe fijarse al consumidor con el proposito
de obtener una maxima utilidad. La utilidad maxima esta dada por:
p = −45(17,5)2 + 1575(17,5) − 8750
p = 5031,25
o $5031,25 al mes.
Problema 3.7. (Decisiones sobre Fijacion de Rentas)
El senor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones. El puede
rentarlas todas si fija una renta mensual de $200 por habitacion. A una renta mas alta, al-
gunas habitaciones quedaran vacıas. En promedio, por cada incremento de la renta de $5,
una habitacion quedara vacıa sin posibilidad alguna de rentarla. Determine la relacion fun-
cional entre el ingreso mensual total y el numero de habitaciones vacıas. ¿Que renta mensual
maximizarıa el ingreso total? ¿Cual es este ingreso maximo?
Solucion. Sea x el numero de unidades vacıas. El numero de de departamentos rentados es
entonces: (60 − x) y la renta mensual por habitacion es (200 + 5x) dolares. Si R denota el
ingreso mensual total (en dolares), se sigue que:
R = (Renta por unidad) ∗ (Numero de unidades rentadas)
R = (200 + 5x) ∗ (60 − x)
R = 5x2 + 100x + 12000
El ingreso mensual total R es una funcion cuadratica de x con:
a = 5, b = 100 y c = 12000
La grafica de R es una parabola que se abre hacia abajo(dado que a < 0) y su vertice es el
punto maximo. El vertice esta dado por:
x = − b
2a= − 100
2(−5)x = 10
187
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R = −5(10)2 + 100(10) + 12000
R = 12500
En consecuencia, si 10 unidades estan desocupadas, los ingresos son maximos. La renta por
habitacion es entonces de (200 + 5x) dolares o $250 y el ingreso total es de $12500 al mes.
Problema 3.8. Un pomar produce una ganancia de $40 por arbol cuando tiene 1000 arboles
plantados. Debido a la sobreproduccion la ganancia por arbol (por cada arbol en el pomar)
se reduce en dos centavos por cada arbol adicional que se plante. ¿Cuantos arboles se deben
plantar de manera que se tenga la ganancia total maxima del pomar?
Solucion. Sea:
T = la ganancia total
Como se pide el “numero de arboles” optimo. Sea:
x = el numero de arboles que deben plantarse
La otra cantidad que varıa es la ”ganancia por arbol”. Sea:
g = la ganancia por arbol
El objetivo es maximizar la ganancia total, entonces:
[ganancia total] = [ganancia por arbol] − [numero de arboles]
T = g ∗ x
Entonces:
[ganancia por arbol] = [ganancia original por arbol] − [perdida por
arbol en la ganancia debido al incremento]
g = 40 − (x − 1000)(0,02)
g = 60 − 0,02x
La perdida en la ganancia (por arbol) debido al incremento en el numero de arboles se obtuvo
multiplicando (x− 1000), el numero de arboles excedentes de 1000, por la cantidad de dinero
perdido (por arbol) por cada arbol excedente. De ahı:
g = p ∗ x = (60 − 0,02x)x
g = 60x − 0,02x2
Se observa que la ganancia es maxima cuando x = 1500. Por lo tanto, se deben plantar 1500
arboles.
188
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Problema 3.9. Para una companıa que fabrica termostatos, el costo combinado de mano
de obra y material es de $5 por termostato. Los costos fijos (los costos de un periodo dado
sin importar la produccion) son de $60, 000. Si el precio de venta de un termostato es de $7,
¿cuantos deben venderse para que la companıa obtenga utilidades?
Solucion. Recuerde que
ganancia = ingreso total − costo total
debemos encontrar el ingreso total y el costo total y despues determinar cuando su diferencia
es positiva.
Sea q el numero de termostatos que deben ser vendidos. Entonces su costo es 5q. Por tanto, el
costo total para la companıa es 5q +60, 000. El ingreso total de q termostatos sera 7q. Ahora,
utilidad = ingreso total − costo total
y queremos una utilidad> 0. Ası,
ingreso total − costo total > 0
7q − (5q + 60, 000) > 0
2q > 60, 000
q > 30, 000
Por tanto, se deben vender al menos 30, 001 termostatos para que la companıa obtenga utili-
dades.
Problema 3.10. Distancia, rapidez y tiempo
La distancia de una ruta en barco entre San Francisco y Honolulu es 2100 millas nauticas.
Si un barco sale de san francisco al mismo tiempo que otro sale de Honolulu, y si el primero
viaja a 15 nudos y el tro a 20¿Cuanto tiempo les tomara a los barcos encontrarse?¿A que
distancia de Honolulu y de San Francisco estaran de ese tiempo?
Solucion. Sea T = numero de horas que pasarıan antes de que se encuentran. Dibuje un
diagrama y marque las partes conocidas e incognitas. Ambos barcos tendran que viajar la
misma cantidad de tiempo para encontrarse
Distancia que recorre
el barco 1 desde
Honolulu hasta el
punto de encuentro
+
Distancia que recorre
el barco 2 desde
San Francisco hasta el
punto de encuentro
=
Distancia total
desde Honolulu hasta
San Francisco
D1 + D2 = 2100
20T + 15T = 2100
35T = 2100
T = 60
189
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Por lo tanto, pasaran 60 horas o 2,5 dias para que se encuentren
Problema 3.11. Distancia, rapidez y tiempo
Un bote para excursiones tarda 1,5 veces mas en recorrer 360 millas en el viaje de ida que en
el de regreso. SI el bote viaja a 15 millas por hora en aguas tranquilas ¿cual es la rapidez de
la corriente?
Solucion. Sea: x = rapidez de la corriente (en millas por hora)
15 − x = rapidez del bote en contra de la corriente
15 + x = rapidez del bote a favor de la corriente
Tiempo en contra de la corriente = (1,5) (Tiempo a favor de la corriente)
Distancia recorrida en
contra de la corriente
Rapidez en contra
de la corriente
= (1,5)
Distancia recorrida a
favor de la corriente
Rapidez a favor
de la corriente
Recuerde T =D
R
360
15 − x= (1,5)
360
15 + x360
15 − x=
540
15 + x
360(15 + x) = 540(15 − x)Multiplique ambos lados por
(15 − x)(15 + x)
5400 + 360x = 8100 − 540x
900 = 2700
x = 3
Por lo tanto, la rapidez de la corriente es de 3 millas por hora. Se deja la comprobacion al
lector
Problema 3.12. Distancia, rapidez y tiempo
Una companıa de publicidad tiene una computadora vieja que para reparar todo ele cerreo
tarda 6 horas. Con la ayuda de de un nuevo modelo se termina el trabajo en 2 horas ¿Cuanto
tiempo le tomara al nuevo modelo hacer solo el trabajo?
190
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Solucion. Sea x = tiempo (en horas) que emplea el nuevo modelo en hacer solo el trabajo(
Parte del trabajo terminado
en un tiempo dado
)= (Rapidez)(Tiempo)
Rapidez del viejo modelo =1
6Trabajo por hora
Rapidez del nuevo modelo =1
xTrabajo por hora
Parte del trabajo
terminado por el modelo
viejo en 2 horas
+
Parte del trabajo
terminado por el modelo
nuevo en 2 horas
= 1Trabajo Terminado
(Rapidez del
modelo viejo
)(Tiempo del
modelo viejo
)+
(Rapidez del
modelo nuevo
)(Tiempo del
modelo nuevo
)= 1 Recuerde Q = RT
1
6(2) +
1
x(2) = 1 x 6= 0
Problema 3.13. Mezclas
¿Cuantos litros de una mezcla que contiene 80 % de alcohol se tendrıan que agregar a 5 litros
de una solucion al 20 % para obtener una solucion al 30 %?
Solucion. Sea x = cantidad usada de solucion al 80 %
x litros + 5 litros︸ ︷︷ ︸Antes de mezclar
= (x + 5) litros︸ ︷︷ ︸Despues de mezclar
Cantidad de
alcohol en la
primera solucion
+
Cantidad de
alcohol en la
segunda solucion
=
Cantidad de
alcohol en la
mezcla
0,8x + 0,2(5) = 0,3(x + 5)
Se agrega un litro de la solucion al 80 %
Problema 3.14. Dieta
Una persona quiere incluir en su dieta leche y jugo de naranja, para aumentar la cantidad de
calcio y vitamina A. Una onza de leche contiene 38 miligramos de calcio y 56 microgramos
de vitamina A. Una onza de jugo de naranja contiene 5 miligramos de calcio y 60 miligramos
de vitamina A. ¿Cuantas onzas de leche y jugo de naranja debera tomar al dıa para obtener
exactamente 550 miligramos de calcio y 1200 microgramos de vitamina A?
Solucion. Primero se definen las variables importantes:
x = Numero de onzas de leche
y = Numero de onzas de jugo de naranja
191
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En seguida se resume en una tabla, la informacion con que se cuenta. Es conveniente organizar
la informacion en las tablas de manera que las cantidades representadas por las variables se
encuentren en las columnas (en vez de renglones), como se muestra.
Leche Juego de naranja Necesidades totales
Calcio 38 5 550
Vitamina A 56 60 1200
Ahora, se usa la informacion de la tabla para formar ecuaciones que implican a x y y.
(Calcio en x
onzas de leche
)+
(Calcio en y onzas
de juego de naranja
)=
(Calcio total
necesario(mg)
)
38x + 5y = 550(Vitamina A en x
onzas de leche
)+
(Vitamina A en y onzas
de jugo de naranja
)=
(Vitaminas A total
necesaria (µg)
)
56x + 60y = 1200
5y = 550 − 8x resuelva la primera ecuacion para y
Problema 3.15. Velocidad del viento
Un avion recorre las 2400 millas de Washington, D.C., a San Francisco en 7,5 horas y hace
el viaje de regreso en 6 horas. Suponga que el avion viaja a una velocidad constante y que el
viento fluye con una rapidez constante de oeste a este, encuentre la velocidad del avion y la
rapidez del viento.
Solucion. Sea que x represente la velocidad del avion y que y representa la rapidez con la
cual sopla el viento (ambas en millas por hora). La velocidad terrestre del avion se determina
al combinar estas dos velocidades; es decir,
x-y = velocidad de despegue volando de este a oeste (viento de frente)
x+y = velocidad de despegue volando de oeste a este (viento de cola)
Aplicando la conocida formula D = RT para cada parte del viaje se obtiene el siguiente
sistema de ecuaciones:
2400 = 7,5(x − y) De Washington a San Francisco
2400 = 6(x + y) De San Francisco a Washington
Despues de simplificar, se tiene
x − y = 320
x + y = 400
192
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Usando sustituciones para resolver:
x = y + 320 Resuelva la primera ecuacion para x
y + 320 + y = 400 Sustituya y en la segundo ecuacion
2y = 80
y = 40mph Sustituya en (1)
x = 40 + 320
x = 360mph Velocidad del avion
Problema 3.16. Distancia, rapidez y tiempo
A una lancha para excursiones le toma 1.6 horas hacer un viaje de ida y vuelta 36 millas
aguas arriba. SI la rapidez de la corriente es de 4 millas por hora ¿cual es la rapidez de la
lancha en aguas tranquilas?
Solucion. Sea
x = Rapidez de la lancha en aguas tranquilas
x + 4 = Rapidez con la corriente a favor
x − 4 = Rapidez a contracorriente
(Tiempo a
corriente
)−(
Tiempo con la
corriente a favor
)= 1,6
36
x − 4− 36
x + 4= 1,6 T =
D
R, x 6= 4, x 6= −4
36(x + 4) − 36(x − 4) = 1,6(x − 4)(x + 4)
36x + 144 − 36x + 144 = 1,6x2 − 25,6
1,6x2 = 313,6
x2 = 196
x =√
196 = 14
La rapidez en aguas tranquilas es de 14 millas por hora
Problema 3.17. Cantidad, rapidez y tiempo
Una nomina se puede terminar en 4 horas en dos computadoras simultaneamente ¿Cuantas
horas seran necesarias para cada computadora termine sola si el modelo viejo se tarde 3 horas
mas que el nuevo?.Calcule la respuesta con dos cifras decimales
Solucion. Sea
x = Tiempo que tarda el nuevo modelo en terminar solo la nomina
x + 4 = Tiempo que tarda en terminar la nomina solo el modelo viejo
4 = Tiempo en que terminan la nomina ambas computadoras trabajando juntas
193
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Entonces,
1x
= Rapidez del modelo nuevo1
x+3= Rapidez del modelo viejo
Parte del
trabajo terminada
por el modelo
nuevo en 4 horas
+
Parte del
trabajo terminada
por el modelo
viejo en 4 horas
= 1 trabajo completo
1
x(4) − 1
x + 3(4) = 1 x 6= 0, x 6= −3
4
x+
4
x + 3= 1
4(x + 3) + 4x = x(x + 3)
x2 − 5x − 12 = 0
x =5 ±
√2
2
x =5 +
√73
2≈ 6,77
5 −√
73
2≈ −1,77
︸ ︷︷ ︸se descarta puesto que x no puede ser negativa
x + 3 = 9,77
El modelo nuevo terminara la nomina en 6,77 horas trabajando sola, y el modelo viejo la
terminarıa en 9,77 horas
Actividades
1. Una lınea telefonica debe tenderse entre dos torres situadas en orillas opuestas de un
rıo en puntos A y B. El ancho del rıo es de 1 kilometro y B esta situado a 2 kilometros
rıo abajo de A. Tiene un costo de c dolares por kilometro tender la lınea por tierra y
2c dolares por kilometro bajo el agua. La lınea telefonica debera seguir la orilla del rıo
empezando en A una distancia x (en kilometros) y luego cruzar el rıo diagonalmente en
lınea recta hacia B. Determine el costo total de la lınea como funcion de x.
Respuesta: El costo esta dado por:
y = cx + 2c√
x2 − 4x + 5
2. El senor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones.
El puede rentarlas todas si fija una renta mensual de $200 por habitacion. A una renta
mas alta, algunas habitaciones quedaran vacıas. En promedio, por cada incremento de la
renta de $5, una habitacion quedara vacıa sin posibilidad alguna de rentarla. Determine
194
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la relacion funcional entre el ingreso mensual total y el numero de habitaciones vacıas.
¿Que renta mensual maximizarıa el ingreso total? ¿Cual es este ingreso maximo?
Respuesta: La renta por habitacion es entonces de (200 + 5x) dolares o $250 y el
ingreso total es de $12500 al mes.
3. Un trabajador comun de cierta fabrica puede producir f(t) unidades por dıa despues de
t dıas de haber ingresado al trabajo, donde: f(t) = 50(1 − e−0,34t) ¿Cuantas unidades
por dıa puede producir el trabajador despues de 7 dıas de trabajo?
Respuesta: El trabajador puede producir 45 unidades por dıa despues de 7 dıas de
trabajo.
4. Suponga que a la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el
precio es de $8 por unidad y de $200 unidades si son a $51 cada una. Determinar la
ecuacion de demanda, suponiendo que es lineal.
Respuesta: p = − 7100
q + 65
5. El gerente de una tienda de departamentos quiere construir en el estacionamiento de
la tienda, un anexo rectangular que tenga un area de 600 pies cuadrados para poder
exhibir cierto equipo. Las paredes de tres lados del anexo se construiran en madera que
tiene un costo de $57 el pie lineal. La cuarta pared se construira con tabiques de block
que tiene un costo de $14 el pie lineal. Encuentre las dimensiones del anexo de manera
que minimicen el costo total de los materiales de construccion.
Respuesta: costo mınimo de $840 es cuando x = 20.
6. La lınea de autobuses WMA ofrece paseos turısticos para visitar lugares de interes en
Washington DC. Uno de los paseos que cuesta $7 por persona, ha tenido una demanda
promedio de 1000 usuarios a la semana. Cuando se redujo el precio a $6, la demanda
semanal paso a ser alrededor de 1200 usuarios. Suponiendo que la ecuacion de demanda
es lineal, encuentre el precio del paseo que maximiza el ingreso total semanal.
Respuesta: el precio de $6 es el mas adecuado para obtener mayores ingresos semanales.
7. Un fabricante de cajas de carton piensa producir cajas abiertas a partir de laminas de
carton con dimensiones de 10 por 17 pulgadas, cortando cuadrados iguales de las cuatro
esquinas y doblando hacia arriba los lados. Si x pulgadas es la longitud del lado del
cuadrado que va a ser cortado, exprese el numero de pulgadas cubicas del volumen de
la caja como una funcion de x.
Respuesta: V (x) = 4x3 − 54x2 + 170x
8. En 1984, los sovieticos fueron los primeros en el mundo que perforaron el pozo con
mas profundidad en la corteza terrestre(con mas de 12 kilometros de profundidad). Al
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perforar descubrieron que despues de los 3 kilometros la temperatura aumentaba 2,5oC
por cada 100 metros de profundidad que aumentaban.
(A) Si la temperatura a los 3 kilometros es de 30oC y x es la profundidad del pozo en
kilometros, plantee una ecuacion usando x de manera que indique la temperatura
T en el pozo a mas de 3 kilometros de profundidad
(B) ¿Cual serıa la temperatura a 15 kilometros? (La temperatura limite de soportaba
su equipo de perforacion era alrededor de 300oC)
(C) ¿A que profundidad (en kilometros) encontrarıan una temperatura de 280oC?
Respuesta: (A) T = 30 + 25(x − 3) (B) 330oC (C) 13km
9. Un temblor emite una onda primaria y una onda secundaria. Cerca de la superficie
terrestre la onda primaria viaja alrededor de 5 millas por segundo, y la onda secundaria
alrededor de 3 millas por segundo. A partir del tiempo que tarda en llegar cada una de
los dos ondas a una estacion sismica, es posible calcular la distancia al temblor. Suponga
que una estacion mide una diferencia de tiempo de 12 segundos entre la llegada de las
dos ondas. ¿A que distancia de la estacion esta el epicentro del temblor? (El epicentro
se puede localizar al obtener la distancia del barrido en tres o mas estaciones)
Respuesta: 90ml
10. Una naturista de un departamento de pesca calculo el numero total de truchas en
cierto lago mediante la popular tecnica de captura, marcaje y recaptura. En total pesco,
marco y libero 200 trucha. Una semana despues durante la cual se pudieron mezclar
volvio a pescar 200 truchas entre las que se encontro 8 marcadas. Suponiendo que el
porcentaje de truchas marcadas con relacion al numero total de la segunda muestra es
el mismo que el de todos los peces marcados en a primera muestra es el mismo que el
de todos los peces marcados en la primera muestra con relacion al total de la poblacion
de truchas, estime el numero total de peces en el lago.
Respuesta: 5000 Truchas
11. En un experimento sobre motivacion, el profesor Brown entreno a un grupo de ratas
para que corrieran por un pasaje angosto en una jaula con el fin de recibir comida en
una caja objetivo. En seguida, le puso a cada rata un arnes y lo conecto a un alambre
unido a un medidor. Despues coloco a las ratas a diferentes distancias de la comida y
midio el jalon (en gramos) de la rata hacia el alimento. Encontro que la relacion entre
motivacion (jalon) y la posicion estaba dada aproximadamente por la ecuacion
p =1
5d + 70 30 ≤ d ≤ 70
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donde el jalon p se midio en gramos y la distancia d en centımetros. Cuando el jalon
registrado fue de 40 gramos, ¿a que distancia de la caja objetivo llego la rata?
Respuesta: 150 cm
12. A una companıa de grabacion pequena cuesta $17680 producir un album. Este es un
costo fijo que incluye la grabacion, el diseno del album, etcetera. Los costos variables,
incluyendo la produccion, comercializacion y regalıas son de $4,60 por album. Si el album
se vende en las tiendas de discos s $8 cada uno. ¿Cuantos debe vender la companıa para
llegar al punto de equilibrio?
Respuesta: 5200 discos
13. Un proveedor de la industria electronica fabrica los teclados y pantallas para calculado-
ras graficas en plantas de Mexico y Taiwan. En la tabla se indican las cantidades pro-
ducidas por hora en cada planta ¿Cuantas horas debe operar cada planta para cumplir
exactamente con un pedido de 4000 teclados y pantallas?
Planta Teclados Pantallas
Mexico 40 32
Taiwan 20 32
Respuesta: Planta en Mexico: 75 h; Planta en Taiwan: 50 h
14. Un experimento consiste en dar una dieta estricta a algunos animales. Cada animal va a
recibir, entre otro alimentos, 20 gramos de proteına y 6 gramos de grasa. El laboratorista
puede comprar dos mezclas de alimentos que tiene la siguiente composicion: La mezcla
A tiene 10 % de proteına y 6 % de grasa., la mezcla B tiene 20 % de proteına y 2 % de
grasa. ¿Cuantos gramos de cada mezcla se deben usar para obtener la dieta adecuada
para un solo animal?
Respuesta: Mezcla A = 80gr; mezcla B = 60gr
15. Se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio alto y cae verticalmente con aceleracion
constante. Si s es la distcnaia sobre el suelo (en pies), ala que esta el objeto t segundos
despues de que se solto, entonces s y t estan relacionado por una ecuacion de la forma
s = a + bt2
donde a y b son constante. Suponga que el objeto esta a 180 pies sobre el suelo un
segundo despues de que se suelta y a 132 pies del suelo 2 segundos despues:
(A) Encuentre las constantes a y b
(B) ¿Que altura tiene el edificio?
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(C) ¿Cuanto tiempo cae el objeto?
Respuesta: (A)a = 196 b = −96, (B)196 pies (C) 3,5 seg.
16. La companıa electronica del problema 79 encuentre que si aumentan los precios de las
partes aumentan los costos variables a $50,5 por calculadora
(A) Analice las posibles estrategias que la companıa podrıa usar para tratar de solu-
cionar este aumento de costos
(B) Si la companıa continua vendiendo la calculadora a $63 ¿cuantas tiene que vender
hora para obtener utilidades?
(C) Si la companıa quiere comenzar obteniendo utilidades con el mismo nivel de pro-
duccion que tenia antes del aumento de costos ¿en cuanto tendrıa que incrementar
el precio de venta al mayoreo?
Respuesta: (B)x > 5200 (C) Aumento de precio al mayoreo de $3,50 a $66,50 seg.
17. Si en un casa, la demanda de potencia en un circuito electrico de 110 volts varia entre 220
y 2750 watts, ¿Cual es el rango de corriente que fluye a traves del circuito? (W = EI,
donde W = potencia de watts, E = voltaje den volts, I = corriente en amperios)
Respuesta: 1 ≤ 1 ≤ 25 o [2, 25]
18. Dos aviones salen del aeropuerto al mismo tiempo y viajan en angulo recto uno con
respecto del otro. Una hora despues estan separados por 260 millas. Si uno viaja 140
millas por hora mas rapido que el otro, ¿cual es la rapidez de cada uno?.
Respuesta: 100 millas por hora, 240 millas por hora.
19. Para un carro que viaja a una velocidad de v millas por hora, en las mejores circun-
stancias posibles, la distancia mas corta d que necesita para detenerse (incluyendo el
tiempo de reaccion) esta dada por la formula empırica d = 0,044v2 + 1,1v, donde d se
mide en pies. Calcule la velocidad de un carro que requiere de 165 pies de distancia para
detenerse en una emergencia.
Respuesta: 50 millas por hora.
20. Un arquitecto quiere construir un edificio rectangular en un terreno de forma triangular
que tiene 200 pies de ancho y 400 pies de largo (vease la figura). Encuentre las dimen-
siones del edificio si la seccion transversal de au area mide 15 000 pies cuadrados.
[Sugerencia: Use el teorema de Euclides para encontrar una relacion entre el largo y el
ancho del edificio]
Respuesta: 50 pies de ancho, 4 300 pies de largo o 150 pies de ancho y 100 pies de
largo.
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200 pies
400 pies
15 000 pies
cuadrados
21. Un aserradero corta rectangulos de un tronco (vease la figura). Si el diametro del tronco
mide 16 pulgadas y el area de la seccion transversal de la viga 120 pulgadas cuadradas,
encuentre las dimensiones de la seccion transversal de la viga correcta con una cifra
decimal
Respuesta: 13.1 pulgadas por 9.1 pulgadas.
22. Una artesa para agua esta construida una placa rectangular de metal de 4 por 6 pies,
con los extremos doblados de tal forma que al unirse entre si exactamente enmedio del
rectangulo, forman un triangulo en cada lado (vease la figura). Si el volumen de la artesa
es de 9 pies cubicos, encuentre el ancho correcto con dos cifras decimales.
2 pies
6 pies
Respuesta: 1.65 pies o 3.65 pies.
23. Si A =
{x ∈ R
/∣∣∣∣2x − 6
x − 1
∣∣∣∣ < 4
}y B = {x ∈ R/|3x + 2| ≤ |2x − 1| + |x + 3|}.
Hallar: A ∩ B, Ac ∩ B, B ∪ (B − A)c
24. Si A =
{x ∈ R
/0 ≤ |x2 − 2|
1 − x< x + 1
}, encontrar Ac − A
25. Si A =
{x ∈ R
/x|x − 4|16 − x2
> 0
}, hallar Ac.
199
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26. Si A = {x ∈ Z/√
8 − |x2 − 1| · (x2 − x + 6) ≥ 0}, dar por expansion el conjunto A.
27. Si A =
{x ∈ R
/ x
|x| − a< 0 ∨ |x|
x − a> 0
}=⇒ x ∈ [−5, 0] ∪ {5}, hallar “a”
28. Sean las proposiciones siguientes:
A1) Sea x ∈ R. Luego, |x − a| ∈ {a − x}, si x ≥ a, ∀ a ∈ R
A2) Para cada numero real x, |x + 1| > |x|A3) Si A = {m ∈ Z/existe un numero real x con la propiedad
√|x − 1| > m, entonces:
A = {m ∈ Z/m ≤ 0} ∪ {m ∈ Z/existe un numero real x con la propiedad
m ≥√|1 − x|
¿Cuales de las proposiciones anteriores son verdaderas o falsas y por que?
200
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Federico Villareal VillarealSabio Lambayecano
Federico Villarreal nacio el 31 de agosto de 1850 en Tucume, departamento de Lambayeque
(Peru).
A los 14 anos fue cajero en una empresa despepitadora de algodon, pero no dejo de lado sus
estudios que lo llevarıan hacer profesor y ası fue: a los 20 anos obtuvo el tıtulo de preceptor
otorgado por la comision departamental de Instruccion publica de Trujillo el cual le permi-
tio dirigir la escuela oficial de Tucume de 1870 a 1874 y entre 1875 y 1876 dirigio un colegio de
instruccion media en la ciudad de Lambayeque, enseno allı matematicas y ocupo en el el cargo
de vicerrector. Entre 1876 y 1877 tuvo bajo su cargo una escuela primaria en Lambayeque.
La experiencia de Villarreal como maestro elemental senalo solo una primera etapa. Su vo-
cacion de matematico bullıa desbordando su ensenanza humilde. Ya en 1873 cuando contaba
con tan solo 23 anos descubrio un metodo para elevar un polinomio cualquiera a una potencia
cualquiera.
Entre 1877 y 1880 estudio en la seccion de ciencias matematicas de la Facultad de Ciencias
de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) graduandose como bachiller en
1879 con la tesis: “Formulas y metodos que deben completarse en matematicas puras 2como
licenciado con la tesis: .Efectos de la Refraccion sobre el Disco de los Astros”(1880).
En 1881 se graduo de doctor en ciencias matematicas mediante la tesis: “Clasificacion de
Curvas de Tercer Grado”destacando por su originalidad y conclusiones lo cual le merecio a
Villarreal la medalla de oro, otorgada por la Facultad de Ciencias al primer doctor de su
epoca, quien a la vez, se constituye en el primer matematico profesional del siglo XX en el
Peru.
Su labor docente universitaria la inicia como profesor adjunto en la Facultad de Ciencias
de la UNMSM en 1880, donde dicto su primer curso: Astronomıa; luego en esa misma casa
de estudio se encarga de los cursos: Revision de Matematicas, Mecanica Racional, Geodesia
y Teorıa General de Motores y Maquinas. Por su gran prestigio y sus dotes profesionales e
intelectuales, llegarıa a ser decano de la Facultad de Ciencias en dos oportunidades: de 1903
a 1917 y luego de 1919 a 1923.
Siguio estudios en la Escuela nacional de Ingenieros desde 1882 hasta graduarse de ingeniero
civil y de minas en 1886. En este centro docente enseno los cursos de fısica, calculo infinites-
imal, teorıa de caminos, puentes y ferrocarriles, Topografıa y luego los cursos de Resistencia
de Materiales e Hidraulica. Tambien fue profesor en la Escuela Militar de Chorrillos (1890)
en donde enseno los cursos de: Cosmografıa, Trigonometrıa Esferica, Construccion de Cartas
Topograficas y Calculo de Probabilidades.
Fundo la Revista de Ciencias en 1897.
F. Villarreal participo activamente formando parte del contingente sanmarquino en la Guerra
con Chile especıficamente en la Resistencia de Chorrillos y en la Batalla de Miraflores (enero
201
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de 1881) donde fue distinguido con el grado de subteniente- En 1893 se enrola en la Guardia
Nacional y en 1884 fue nombrado primer jefe del batallon “Defensores de la Patria”.
Tambien incursiono en la polıtica. En1871 fue presidente de la Junta Directiva del Partido
Civil en el distrito de Mochumi (Lambayeque). Posteriormente, en el ano 1892 fue elegido
senador suplente de su departamento. Mas tarde, es elegido nuevamente senador por Lam-
bayeque, actuando en las legislaturas de 1913 y 1914 en donde alcanzan mucha significacion
sus discursos sobre la ”Ley de Enfiteusis 2sobre la ”Ley Relativa a los Bancos Hipotecarios”.
Fue uno de los iniciadores de la ley que establecio el examen de ingreso a la universidad.
Villarreal tambien poseıa una notable cultura filosofica de manifiesta preferencia por la corri-
entes mecanicistas propias de aquella epoca y sostenidas entre otros por Wronski, corrientes
que parecıan tener la posibilidad de lograr una sıntesis entre la filosofıa y la Mecanica Celeste
como sistema de descripcion causalista del equilibrio universal cualesquiera que fuera le es-
tructura y consistencia del Universo.
Sobre el lado humano de Vilarreal, Basadre dice al respecto: “Villarreal no fue un sabio
pacıfico e inofensivo. Muchas veces refuto a presuntos expertos e inventores y polemizo con
ellos implacablemente sin desdenar su poca jerarquıa intelectual. Tuvo tambien veleidades
linguısticas. A pesar de su genio, Villarreal no tuvo brillo como profesor. En sus lecciones, su
gran dificultad de expresion levanto un muro ante sus alumnos, dando lugar, de un lado a
monologos acompanados por complicados calculos en la pizarra y, de otro a escenas comicas
o grotescas. Hombre apasionado como decano en la Facultad de Ciencias de la UNMSM ejer-
cio una verdadera dictadura.
A pesar de humanas debilidades y de deficiencias ahondadas por la falta de una educacion
adecuada o por las limitaciones del ambiente, Villarreal es todo un personaje en la historia
del Peru”. El Dr. Federico Villarreal fallece en Barranco (Lima) el 3 de Junio de 1923.3
Trabajos del Dr. Villarreal
Federico Villarreal dejo un aproximado de 538 trabajos en diversos campos de la ciencia y
tecnologıa fundamentalmente en matematicas, ingenierıa, fısica, pedagogıa, geografıa, historia
y linguıstica.
1. En matematicas sus principales trabajos fueron:
a) “Elevacion de polinomios a una potencia cualquiera”(1879)
b) “Clasificacion de las curvas de tercer grado”(tesis doctoral de 1881)
En este trabajo Villarreal logra obtener y clasificar matematicamente 80 curvas de
tercer grado
3En marzo del 2011 durante el segundo congreso del Colegio de Matematicos del Peru realizado en la
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo se declaro oficialmente el dıa del fallecimiento de Villareal como el
“Dıa del Matematico Peruano”
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c) “Aportes a la teorıa de los numeros”(1897)
La teorıa de los numeros atrajo siempre la atencion de Villarreal tal es ası que
le dedico numerosos artıculos. Entre ellos se destacan dos teoremas referentes a
criterios de divisibilidad que el descubrio:
La diferencia de dos numeros que son representados por las mismas cifras en
dos sistemas de numeracion de bases diferentes es divisible por la diferencia de
las bases
Un numero es divisible por un cierto divisor si lo es la suma de sus cifras cuando
se le escribe en el sistema de numeracion cuya base es el divisor aumentado en
la unidad; o bien si los es la suma de sus cifras de lugar par menos la suma de
las de lugar impar cuando se le escribe en el sistema de numeracion cuya base
es el divisor disminuido en al unidad
d) “Geometrıa no Euclideana”(1898)
Este trabajo fue presentado por Villarreal en el Primer Congreso Cientıfico Lati-
noamericano realizado en Buenos Aires (Argentina) en 1898. Aquı describe los
fundamentos de las geometrıas de Lobatschewsky y Riemann.
e) “Poliedros Regulares y semiregulares”(1906-1907)
Esta obra contiene una exposicion historica y el calculo de volumenes de los
poliedros regulares y semiregulares empleando los principios de la trigonometrıa
esferica.
f) “Integracion por Traspasos”(1920)
Trabajo que aparecio por primera vez como parte de su tesis de bachiller en 1879
en que valiendose del metodo de integracion por partes obtiene una formula que
generaliza la llamada formula de integracion de Bernouilli.
g) “Resolucion general de las ecuaciones de quinto grado”
Estudio crıtico de un metodo propuesto por Wronski en 1827 para la resolucion
de las ecuaciones de quinto grado , traducido, analizado y corregido por Villarreal.
Este llega a la conclusion que Wronski hace en este trabajo el empleo de una funcion
que llama ”funcion Shin”que corresponde a los actuales determinantes, explica los
errores de Wronski y concluye con la imposibilidad de la solucion algebraica de las
citadas ecuaciones
2. En Ingenierıa:
a) “Tratado de resistencia de Materiales”(1911)
En este importante trabajo de Villarreal estan insertos dos trabajos originales:
“Calculos de los momentos de flexion en una viga empotrada en sus dos ex-
tremos”
203
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En este trabajo Villarreal analiza los problemas de las vigas empotradas ya sea
en ambos lados o empotradas en un extremo y libre en el otro descubriendo
los llamados ”momentos de empotramiento”que hasta esa epoca no se habıa
podido calcular.
“Deformacion de las vigas que trabajan a la flexion”
Aquı el problema de la flexion de una viga Villarreal lo reduce a una ecuacion
diferencial de cuarto grado y sus integrales sucesivas dan: la primera, el esfuerzo
cortante; la segunda, los momentos de flexion; la tercera, la deflexion de una
viga; y la cuarta y ultima, la ecuacion del eje deformado.
b) ”Teorıa de Maquinas y Motores”(No se conoce ano de publicacion) En la que
hace una exposicion sistematica y rigurosa de todas las condiciones referentes al
equilibrio de las maquinas.
3. En Fısica:
a) “Principio de la Relatividad”(1909)
Raro trabajo de Villarreal en la que logra interpretar el principio de relatividad
restringida formulado por Einstein en 1905 y expone un desarrollo metodico de
las modificaciones que debido a este principio experimentan las leyes clasicas de la
mecanica. Es de advertir que en aquella epoca no fue tarea facil la interpretacion
inmediata del principio de la relatividad para muchos hombres de ciencia, debido
en gran parte a que la mentalidad clasica se mostro hermetica ante la consideracion
de las condiciones epistemologicas en le tecnica de la observacion de los fenomenos.
b) “Descarga Oscilante en un Condensador”(1916)
Interesante trabajo de electrodinamica en el que resuelve el problema teorico de
la descarga Disruptiva obteniendo la formula de Thompson para el periodo de las
oscilaciones.
c) “Dinamica Analıtica”(1917)
En esta obra esta incluida el importante trabajo sobre “Choques de un numero
cualquiera de Cuerpos”.
d) “Trabajo mecanico del Hombre”(No se conoce ano de publicacion)
En el se refiere a cuestiones realmente curiosas y algunas de ellas muy utiles , tales
como: el equilibrio del hombre, la marcha de un hombre con carga, la fatiga mınima
del cargador, la condicion para que se haga el maximo camino antes del cansancio,
etc todo en base a datos experimentales y resultados matematicos.
4. En Pedagogıa:
a) “Memorias Pedagogicas”(No se conoce ano de publicacion)
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b) “Recreaciones matematicas”(No se conoce ano de publicacion)
5. En Geografıa:
a) Metodo para determinar la latitud y longitud de los lugares del Peru”(No se conoce
ano de publicacion)
Este trabajo lo inicia con una introduccion sobre la metodologıa a seguir para la
medicion De coordenadas geograficas de un lugar y expone a continuacion una
tecnica simple para la determinacion de meridianos, la hora solar, las latitudes y
longitudes geograficas. Contiene una tabla de latitudes y longitudes de 700 lugares
del Peru.
b) “Trazo del meridiano por la Cruz del Sur”(No se conoce ano de publicacion)
c) “Coordenadas geograficas del Departamento de Lambayeque y Cuzco”(1905)
d) “Extension Superficial del Peru”(No se conoce ano de publicacion)
6. En historia:
a) “Historia de las matematicas en el Peru”(No se conoce ano de publicacion)
Este trabajo comprende una introduccion y estudios sobre la numeracion, la ge-
ometrıa, la mecanica, la astronomıa y la hidraulica en el Imperio de los Incas ; sigue
con un estudio sobre la ensenanza academica de las matematicas en el virreinato
y finalmente se ocupa de las matematicas en la Republica.
b) “Los cometas en los tiempos de Huayna Capac”(1894)
Utilizando como fuente principal al cronista Inca Garcilazo de la Vega, Villarreal
realiza una confrontacion entre las observaciones realizadas por la ciencia occi-
dental desde la aparicion de los primeros instrumentos de observacion y los datos
proporcionados por Garcilazo, llegando a identificar los cometas descritos en las
cronicas de la conquista
c) “El Archivo de Raymondi”(No se conoce ano de publicacion)
d) “Orıgenes del Sistema metrico”(No se conoce ano de publicacion)
7. En linguıstica:
a) “Manual y Diccionario de Esperanto”(1900)
Idioma nuevo y universal, el esperanto al que Villarreal le prodigo lastimosamente
tiempo, dinero y energıa, y a dirigir y redactar como colaborador unico la revista
”¡Antuanen esperantistoj!”(Adelante Esperantistas) que fundara en 1903.
b) “La Lengua Yunga”(1921) Villarreal publico una gramatica y un vocabulario de la
lengua mochica o Yunga. Esta lengua se hablaba en los departamentos de la costa
norte del Peru En la actualidad esta lengua esta completamente extinguida.
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Problemas de Villarreal
Formulado por Villarreal en 1906 y denominado por el como: .El Problema del Nino 2dice
ası: Un movil se desplaza en lınea recta con una velocidad constante y otro movil se mueve
tambien a velocidad constante, de modo que la tangente a su trayectoria pasa constantemente
por el primer movil. Hallar la ecuacion de la curva descrita por el segundo movil”.
En una nota de 1908 Villarreal plantea y resuelve los dos problemas siguientes:
1. “Hallar dos numeros terminados en la misma cifra y tales que las dos ultimas cifras
de su producto constituyan el cuadrado de la cifra en que terminan los dos numeros
dados”.
2. “Hallar tres numeros terminados en la misma cifra cuyo producto termina en tres cifras
que constituyan el cubo de la cifra en que terminan los numeros dados”.
¿Puede Ud. resolverlos?.
Una anecdota en la vida del Dr. Villarreal
Esta es una de las muchas anecdotas de Villarreal que a continuacion les relato:
“En la Maison de Sante (que es un hospital) fallecio en diciembre de 1909, a la edad de 86
anos, Jose Sebastian Barranca, antiguo catedratico de Botanica en la Facultad de Ciencias de
la UNMSM, filologo naturalista, Sebastian Barranca vivio para sus estudios e investigacion.
Su sepelio fue modestısimo. El estado y la universidad estuvieron en el ausentes. Los colegas
que acudieron no pasaron de media docena. No estuvo representada la juventud estudiantil. El
mayor porcentaje de oyentes que tuvo Villarreal cuando pronuncio su discurso funebre fue el
de unos 40 negritos de humilde condicion que ni conocıan al muerto pues ellos habıan asistido
a otro entierro. Segun se dijo,la Beneficencia nego un nicho perpetuo al sabio Barranca por
no haber pagado el precio respectivo”
Se imaginan al ilustre Dr. F Villarreal pronunciando un discurso funebre a personas que en
su mayorıa eran negritos y donde casi ningun catedratico y alumno asistieron y para colmo
los negritos eran de otro entierro.¡¡¡¡¡!!!!!!!. Y surge una pregunta en mi mente: ¿porque no
asistieron? acaso pocos fueron avisados de la muerte del sabio? o quiza fue un pesimo profesor
y nadie quiso asistir a su sepelio?........ahhhh cosas de la Vida.
Comentario acerca de la vida del Dr. Villarreal
Villarreal fue un personaje multifacetico y dinamico le entro a casi todo desde modesto profe-
sor de primaria y secundaria, a profesor universitario, matematico, ingeniero, soldado, polıtico
y hasta linguista, ¡que tipo! muy pocas veces se encuentra en la historia de un paıs latino
206
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un personaje como este. Es notable que encontrandose lejos de la influencia de los grandes
matematicos de la epoca, Villarreal haya podido arribar a importantes estudios y descubrim-
ientos como los que efectuo, lo que resalta su talento.
Su dominio en el campo de la ciencia es bastante amplio pues enseno varios cursos, algunos
sin relacion directa como: astronomıa, mecanica racional, hidraulica, teorıa de probabilidades,
topografıa, calculo infinitesimal, fısica, etc..
Siendo un sencillo profesor de secundaria, con solo 23 anos y sin haber estudiado en una uni-
versidad, Villarreal descubre el metodo para elevar un polinomio cualquiera a una potencia
cualquiera, asombroso verdad?.
Sin embargo lo mas interesante de su vida cientıfica es el hecho de que efectuo contribu-
ciones originales al desarrollo de las matematicas e ingenierıa,algo pocas veces visto en los
matematicos de habla espanola.
Es por todas estas razones que a Villarreal se le puede decir con toda justicia: “El Newton
del Peru”
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3.4. Sesion 14: Proporcionalidad. Interes simple. Interes
compuesto. Modelos financieros
En la mayor parte de las ciencias una generacion derriba lo
que otra habıa construido, y lo que uno parecıa haber
demostrado firmemente otro lo deshace. Solo en la matemati
ca cada generacion construye un nuevo piso sobre la vieja
estructura. Hermann Hankel
Contextualizando: Matematicas del consumidor
Es facil posponer la cuestion de labor para los anos en que nos retiremos. El retiro puede
parecer distante y con frecuencia hay muchas razones para no iniciar un plan de ahorro para
ese entonces. ¿Retrazar el comienzo de un fondo de retiro tiene un marcado efecto en la
cantidad de dinero que un individuo posee a los 65 anos de edad? Considere dos planes de
jubilacion. En el plan A, una persona empieza ahorrar a los 20 anos y deposita 2000 dolares
en un fondo de retiro cada ano, desde los 21 anos de edad a los 30. despues de esta edad,
no hace mas contribuciones. En el plan B, la persona espera hasta los 30 anos de edad para
empezar ahorrar y entonces deposita 2000 dolares en el fondo de retiro en cada cumpleanos
entre los 31 y los 65 anos de edad. Si el fondo de retiro paga 12% de interes, ¿que plan
implicara una mayor cantidad de dinero acumulada?. La tabla indica la cantidad de dinero
(en dolares) en el fondo para cada plan a las distintas edades
Edad Plan A Plan B
20 0 0
25 12,706 0
30 35,097 0
35 61,864 12,706
40 109,007 35,097
45 192,108 74,559
50 338,560 144,105
55 596,659 1266,668
60 1,051,517 482,665
65 1,853,133 863,327
El plan A tiene como consecuencia la acumulacion de $1,853,133, mientras que el plan B
produce $863,327. Las primeras contribuciones pueden significar una diferencia sustancial.
En esta unidad, aprenderemos acerca del interes compuesto. El interes compuesto, a lo largo
del tiempo, es la razon del crecimiento de una cantidad relativamente pequena a mas de 1
millon de dolares.
208
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3.4.1. Interes simple
Una aplicacion natural de las funciones lineales al mundo de las finanzas aparece en el calculo
del interes simple, que es el interes calculado sobre el capital. Ası, si I denota el interes sobre
un capital P (en dolares) con una tasa de interes de r por ano durante t anos, entonces se
tiene
I = Prt (3.3)
La cantidad acumulada A, la suma del capital y el interes despues de t anos, esta dada por
A = P + I = P + Prt
= P (1 + rt) (3.4)
y es una funcion lineal de t. Por lo general, en las aplicaciones de administracion, solo interesa
en caso en que t es positivo, de modo que solo importa la parte de la recta que esta en el
primer cuadrante.
Ejemplo 3.4. Un banco paga un interes simple a razon de 8 % anual para ciertos depositos. Si
un cliente deposita $1000 y no realiza retiros durante tres anos, ¿cual es la cantidad depositada
al final de tres anos?, ¿cuantos intereses se generarron en ese perıodo?
Solucion. Al utilizar (3.4) con P = 1000, r = 0,08 y t = 3, la cantidad total depositada al
final de tres anos esta dada por
A = P (1 + rt)
= 1000[1 + (0,08)(3)] = 1240
El interes generado durante el perıodo de tres anos esta dado por
I = Prt
= 1000(0,08)(3) = 240
Ejemplo 3.5. Se invierte una cantidad de $2000 en un fideicomiso a 10 anos que paga 6 %
de interes simple anual. ¿Cual es la cantidad total en el fideicomiso al final de los diez anos?
Solucion. La cantidad total en el dideicomiso al final de diez anos esta dada por
A = P (1 + rt)
= 2000[1 + (0,06)(10)] = 3200
o $3200.
209
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3.4.2. Interes compuesto
En contraste con el interes simple, el interes generado que se suma en forma periodica al
capital y que por lo mismo gana intereses con la misma tasa, se llama interes compuesto.
A fin de determinar una formula para la cantidad acumulada, consideraremos un ejemplo
numerico. Supongase que se depositan $1000 (el capital) en un banco durante tres anos, que
genera un interes de 8 % por ano (llamada tasa nominal o establecida) compuesto anualmente.
Entonces, al utilizar (3.3) con P = 1000, r = 0,08 y t = 1, la cantidad acumulada al final del
primer ano es
A1 = P (1 + rt)
= 1000[1 + 0,08(1)] = 1000(1,08) = 1080
o $1080.
Para hallar la cantidad acumulada A2 al final del segundo ano, se vuelve a usar (3.4), esta
vez con P = A1, (Recuerdese que ahora el capital y el interes generan intereses en el segundo
ano.) Se obtiene
A2 = P (1 + rt) = A1(1 + rt)
= 1000[1 + 0,08(1)][1 + 0,08(1)]
= 1000[1 + 0,08]2 = 1000(1,08)2 = 1166,40
Por ultimo, la cantidad acumulada A3 al final del tercer ano se encuentra utilizando (3.4) con
P = A2, de donde
A3 = P (1 + rt) = A2(1 + rt)
= 1000[1 + 0,08(1)]2[1 + 0,08(1)]
= 1000[1 + 0,08]3 = 1000(1,08)3 = 1259,71
o alrededor de $1259.71.
Al reexminar estos calculando, se ve que las cantidades acummuladas al final de cada ano
tienen esta forma:
Primer ano: A1 = 1000(1 + 0,08), o A1 = P (1 + r)
Segundo ano: A2 = 1000(1 + 0,08)2, o A2 = P (1 + r)2
Tercer ano: A3 = 1000(1 + 0,08)3, o A3 = P (1 + r)3
Estas observaciones sugieren el siguiente resultado general: si se invierten P dolares en un
termino de t anos con intereses a una tasa r por ano compuesta anualmente, entonces la
cantidad acumulada es
A = P (1 + r)t (3.5)
210
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La formula (3.5) se dedujo suponiendo que el interes fue compuesto anualmente, sin embargo
en la practica el interes compuesto mas de una vez al ano. El lapso entre el calculo de los
intereses sucesivos es el periodo de conversion o perıodo de capitalizacion.
Si los intereses a una tasa nominal r por ano se componen m veces al ano sobre un capital de
P dolares, la tasa de interes simple por perıodo de conversion es
i =r
m
Tasa de interes anual
Perıodos por ano
por ejemplo, si la tasa de interes nominal es de 8 % por ano (r = 0,08) y el interes es compuesto
cada trimestre (m = 4), entonces
i =r
m=
0,08
4= 0,02
o 2 % por perıodo.
A fin de establecer una formula general para la cantidad acumulada cuando se deposita
u capital de P dolares en un banco durante un lapso de t anos, con intereses a una tasa
(nominal) r por ano compuesta m veces al ano, se procede como antes, utilizando (3.4) en
forma repetida con la tasa de interes i = r/m. Vemos que la cantidad acumulada al final de
cada perıodo es
Primer perıodo: A1 = P (1 + i)
Segundo perıodo: A2 = A1(1 + i) = [P (1 + i)](1 + i) = P (1 + i)2
Tercer perıodo: A3 = A2(1 + i) = [P (1 + i)2](1 + i) = P (1 + i)3
......
n−esimo perıodo: An = An−1(1 + i) = [P (1 + i)n−1](1 + i) = P (1 + i)n
Pero existen n = mt perıodos en t anos (numero de perıodos de conversion por el lapso). Por
tanto, la cantidad acumulada al final de t anos esta dada por
A = P (1 + i)n (3.6)
Ejemplo 3.6. Determinan la cantidad acumulada despues de tres anos si se invierten $1000
con una tasa de 8 % por ano compuesta a) anualmente, b) semestralmente, c) trimestralmente,
d) mensualmente y e) diariamente.
Solucion.
(a) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 1. Ası, i = r = 0,08 y n = 3, por lo que la
formula (3.6) implica
A = 1000(1 + 0,08)3
= 1259,71
211
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(b) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 2. Ası i = 0,08/2 y n = (3)(2) = 6, por lo que
(3.6) significa
A = 1000
(1 +
0,08
2
)6
= 1265,32
o sea $1265,32
(c) Ahora, P = 1000, r = 0,08 y m = 4. Ası i = 0,08/4 y n = (3)(4) = 12, por lo que (3.6)
implica
A = 1000
(1 +
0,08
4
)12
= 1268,24
o $1268,24
(d) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 12. Ası i = 0,08/12 y n = (3)(12) = 36, por lo
que (3.6) significa
A = 1000
(1 +
0,08
12
)36
= 1270,24
o $1270,24.
(e) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 365. Ası i = 0,08/365 y n = (3)(365) = 1095,
por lo que (3.6) significa
A = 1000
(1 +
0,08
365
)1095
= 1271,22
o $1271.22.
3.4.3. Composicion del interes en forma continua
El calculo a menudo es util para los economistas en la evaluacion de ciertas decisiones sobre
cuestiones financieras. Sin embargo, para aplicar el calculo debe tratarse co funciones contin-
uas. Considere, por ejemplo, la siguiente formula, la cual proporciona A, el monto de inversion
a los t anos, si P dolares se invierten a una tasa anual de 100i %, compuesto m veces al ano
A = P
(1 +
i
m
)mt
(3.7)
212
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Imagine una situacion en la cual el interes se compone continuamente; esto es, considere la
formula (3.7), donde se permite que el numero de perıodos de interes por ano aumente sin
lımite. Entonces tomando el lımite en la formula (3.7) se tiene
A = P lımm→∞
(1 +
i
m
)mt
el cual puede escribirse como
A = P lımm→∞
[(1 +
i
m
)m/i]it
(3.8)
Para calcular este lımite primero debemos determinar si
lımm→∞
(1 +
i
m
)m/i
existe. Considerando h = i/m se tiene que m/i = 1/h; y como m → ∞ es equivalente a
h → 0+, entonces
lımm→∞
(1 +
i
m
)m/i
= lımh→0+
(1 + h)1/h
= e
En consecuencia
lımm→∞
[(1 +
i
m
)m/i]it
= eit
y ası, (3.8) se transforma en
A = Peit (3.9)
Si se considera que t varıa en el conjunto de los numeros reales no negativos, se observa que
(3.9) expresa a A como una funcion continua de t.
Ejercicio 1. Un banco anuncia que la tasa de interes en cuentas de ahorro se calcula al
4 % anual compuesto diariamente. Si se deposita $1000 en una cuenta de ahorro en el banco,
calcule (a) el monto aproximado al final de un ano considerando la tasa de interes. (b) el
monto exacto al cabo de un ano considerando una tasa de interes anual de 4 % compuesto
365 veces al ano. (c) obtenga la tasa efectiva de interes anual.
Solucion. (a) Sean A dolares el monto final de 1 ano. de (3.9) con P = 1000, i = 0,04 y
t = 1, se tiene
A = 1000e0,04
= 1040,81
Conclusion: $1040.81 es un monto aproximado del deposito al termino de 1 ano
213
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(b) De (3.7) con P = 1000, i = 0,04, m = 365 y t = 1, y si A365 dolares es el monto, entonces
A365 = 1000
(1 +
0,04
365
)365
= 1040,81
Conclusion: El monto exacto al final de un ano es $1040,81 %
(c) Sea j la tasa efectiva de interes anual. Por tanto:
1000(1 + j) = 1040,81
1 + j = 1040,81
j = 0,0481
Conclusion: La tasa efectiva de interes anual es 4,81 %
Ejercicio 2. Suponga que Juan pone $500 en el banco al 13 % de interes compuesto, capi-
talizable todos los dıas. ¿Cuanto obtendra al termino de 2 anos?
Solucion. Aquı, r = 0,13 y n = 365, por lo que
A = 500
(1 +
0,13
365
)365(2)
≈ $648,43
Consideremos ahora lo que ocurre con el interes compuesto continuo (es decir, cuando el
numero de n perıodos de capitalizacion por ano tiende al infinito). Declaramos que entonces
A = lımn→∞
A0
(1 +
r
n
)nt
= A0 lımn→∞
[(1 +
r
n
)n/r]rt
= A0
[lımh→0
(1 + h)1/h]rt
= A0ert
Ejercicio 3. En sus cuentas de ahorros, el Piggy Bank de Nueva York ofrece ua tasa de
interes nominal anual del 6 %, capitalizable diariamente. El banco desea calcular una tasa de
interes anual efectiva (esto es, la tasa anual equivalente) para usarla en su publicidad.
Solucion. Vimos antes que las cantidades capitalizables diariamente son equivalentes a cap-
italizacion continua, redondeandola a centesimos en 100 dolares por tanto usamos la formula
de capitalizacion continua. Aquı R = 6 e i = 6100
= 0,06. En un ano, cualquier inversion se
incrementa en un factor e1 = e0,06 = 1,0618. Esto es equivalente a una tasa de interes anual
de 6,18 %, de modo que el banco deberıa anunciar su tasa de interes efectiva como 6,18 %.
214
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y
y
Decaimiento
exponencial
t
0
Figura 3.3:
Actividades
1. El 1 de abril el precio de una materia prima fue de S/.20 000 soles por tm. 45 dıas despues
se incremento a S/.22 000 soles. ¿cual sera el precio a pagar por el nuevo stock que lo
renovaremos dentro de 180 dıas contados a partir del 1 de abril, si nuestro proveedor nos
manifiesta que los precios se incrementaran periodicamente (cada 45 dıas) en el mismo
porcentaje original?
2. En el ultimo semestre la gasolina ha venido incrementandose en 2 % cada 18 dıas en
promedio. De mantenerse esta tendencia, ¿cuanto costara un galon de gasolina dentro
de un ano, si el precio es de hoy S/.3,50?
3. Una persona abre una cuenta bancaria el 14 de abril con S/.1 000 percibiendo una tasa
nominal mensual del 4 % con capitalizacion diaria. El 2 de mayo retira 400 soles, el 15
de mayo retira S/.200 y el 3 de Junio deposita S/.100. ¿Que monto acumulo desde la
fecha de su deposito inicial hasta el 24 de Junio fecha en que cancelo la cuenta?
4. Una empresa abre una cuenta corriente bancaria por la cual gana una tasa de interes
efectivo mensual del 3 % sobre sus saldos acreedores y paga una tasa nominal mensual del
3 % con capitalizacion diaria sobre sus saldos deudores (sobregiros bancarias). Calcule
el monto de la cuenta al 31 de agosto cuyo movimiento fue el siguiente:
Fecha 4/8 6/8 9/8 12/8 13/8 15/8 31/8
Deposito 10 000 5 000 3 000 30 000 9 000 15 000
Retiro 2 000 37 000
5. Margarita gano un juicio por danos de $150000 contra su patron hace 5 anos. En interes
(simple) impuesto en el juzgado incrementa la cantidad con una tasa de 12 % anual
215
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desde la fecha del fallo. Si el caso fuera ganado ahora, ¿cuanto recibirıa Margarita al
final del juicio?
6. Andres posee bonos con un valor de $20000 con vencimiento a 10 anos de la corpo-
racion Ace. Estos bonos pagan interes cada 6 meses a una tasa 7 % anual (interes sim-
ple). ¿Cuanta ganancia recibira David de esta inversion cada 6 meses? ¿Cuanto interes
recibira Andres durante la vida de bonos?
7. Maya pago $10000 por un bono con vencimiento a 7 anos emitidos por una ciudad.
Recibio intereses por la cantidad de $3500 durante la vida de los bonos. ¿Que tasa de
interes (simple) pago el bono?
8. El banco BCP paga intereses a una tasa de 4.25 % anual compuesto semanalmente en
una cuenta de ahorros, mientras que el banco Continental paga intereses a una tasa de
4.125 % anual compuesto diariamente (suponga 365 dıas por ano). ¿Que banco paga la
mejor tasa de interes?
9. Los propietarios del hotel Costa del sol tenıan dos prestamos del Banco Interbank: uno
por $8000 con vencimiento en tres anos y otro por $15000 con vencimiento en seis anos,
ambos con una tasa de interes del 10 % por ano, compuesta semestralmente. El banco
aceptado que los dos prestamos se consoliden en uno solo, con vencimiento en cinco
anos, con la misma tasa de interes. ¿Que cantidad deberan pagar los propietarios del
hotel al final de los cinco anos?.
10. Al recibir una enorme herencia, los padres de un nino quieren establecer un fondo para
la educacion superior de este. Si se necesitan un estimado de $70000 dentro de siete anos,
¿Cuanto dinero deben destinar, si lo invierten a 10.5 % compuesto trimestralmente? ¿Y
si lo componen trimestralmente?.
216
Apendice A
Logica, Conjuntos y Funciones
A.1. Introduccion a la Logica proposicional
El proposito de esta seccion es describir, brevemente, las proposiciones y conectivos logicos;
sus leyes a fin de exponer con claridad las ideas matematicas, formulando con precision las
definiciones, axiomas, teoremas y sus demostraciones.
A.1.1. Proposiciones
Se llamara proposicion a toda oracion o frase de nuestro lenguaje al cual es posible asignarle
uno y solo uno de los siguientes valores:
Verdadero (V) o Falso (F)
Por ejemplo “El numero cero es par”. En este caso se tiene una proposicion verdadera, evi-
dentemente, si se dice “El numero cero no es par”, se esta negando la proposicion inicial y se
tendra una proposicion falsa.
A la primera proposicion, se la puede llamar p y a la segunda (su negacion) ∼ p, que se lee
“no p”. Ası:
p : La suma de dos numeros pares es un numero par (verdadero)
∼ p : La suma de dos numeros pares no es un numero par (falso)
La Negacion de una proposicion p, denotada ∼ p, que se lee “no p”, se define mediante la
tabla:p ∼ p
V F
F V
Es decir, si p es verdadera, entonces ∼ p es falsa; y si p es falsa, ∼ p es verdadera.
217
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La Disyuncion de las proposiciones p y q, denotada por p ∨ q, que se lee “p o q”, es la
proposicion definida por la siguiente tabla de valores:
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Significado la proposicion p∨ q es falsa solo cuando ambas proposiciones, p y q, son falsas. En
todos los demas casos, p ∨ q es verdadera.
La Conjuncion de las proposiciones p y q, denotada por p ∧ q, que se lee “p y q”, es la
proposicion definida por la siguiente tabla de valores:
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Significado: la conjuncion de dos proposiciones es verdadera solo cuando las dos proposiciones
que la forman son verdaderas. En todos los otros casos la conjuncion es falsa.
La Condicional de las proposiciones p y q, denotada por p ⇒ q, que se lee “si p, entonces
q”, es la proposicion definida por la siguiente tabla de valores:
p q p ⇒ q
V V V
V F F
F V V
F F V
En toda proposicion condicional, p ⇒ q, la proposicion p se denomina antecedente y la proposi-
cion q, consecuente de la condicional.
Significado: la proposicion p ⇒ q es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el conse-
cuente es falso. En todos los otros casos, la proposicion condicional es verdadera.
Otras denominaciones para la proposicion p ⇒ q, que son “p es condicion suficiente para q”,
o “q es condicion necesaria para p”. Este modelo logico es muy usado en la formulacion de
los enunciados de teoremas, proposiciones, etc.
218
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La Bicondicional de las proposiciones p y q, denotada por p ⇔ q, que se lee “p si, y solo si
q”, es la proposicion definida por la siguiente tabla de valores:
p q p ⇔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Significado: la proposicion p ⇔ q es verdadera cuando tienen las proposiciones del mismo
valor de verdad. En los otros casos, la bicondicional es falsa.
Una proposicion compuesta se llama tautologıa si es verdadera para cualquiera de los valores
de las proposiciones que la componen, en este caso, su tabla esta formada solo por el valor
“V ”.
Por ejemplo: p ⇒ (p∨ q), (p∧ q) ⇒ p, ∼ (p∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q), son proposiciones tautologicas
pues:
p q p ⇒ (p ∨ q)
V V V V
V F V V
F V V V
F F V F
p q (p ∧ q) ⇒ p
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
p q ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q)
V V F V F
V F F V F
F V F V F
F F V V V
Se dice que las proposiciones p y q son logicamente equivalentes si la bicondicional p ⇔ q es
una tautologıa, en este caso se denota p ≡ q.
Observacion A.1. Es muy importante comprender la equivalencia:
p ⇔ q ≡ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒⇒ p)]
presente en muchos teoremas y en todas las definiciones. Por ejemplo demostrar la bicondi-
cional: Sea n ∈ Z, “n es par si, entonces “si n es par, entonces n2 es par” y “si n2 es par,
entonces n es par”.
A.1.2. Equivalencias Logicas Importantes
Usando las tablas de valores de verdad se puede demostrar la equivalencia logica de las
siguientes proposiciones:
219
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1) Conmutativa:
p ∨ q ≡ q ∨ p, p ∧ q ≡ p
2) Asociativa:
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
3) Distributiva:
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
4) Condicional:
p ⇒ q ≡∼ p ∨ q
5) Doble Negacion:
∼ (∼ p) ≡ p
6) Leyes de De Morgan:
∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p∨ ∼ q
∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p∧ ∼ q
7) Leyes de absorcion:
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
Usando las equivalencias anteriores se puede demostrar otras equivalencias como por ejem-
plo:
8) Principio de contraposicion : p ⇒ q ≡∼ q ⇒∼ p
Prueba:
p ⇒ q ≡ ∼ p ∨ q
≡ ∼ p∨ ∼ (∼ q)
≡ ∼ (∼ q)∨ ∼ p
≡ ∼ q ⇒∼ p
Determine, que propiedades se han utilizado en esta prueba.
220
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9) Pruebe como en el caso anterior (usando las propiedades)
p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q
p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q
Principios logicos: (tautologıas)
10) Tercio excluido: p∨ ∼ p
11) ∼ (p∧ ∼ p)
12) [(p∧ ∼ q) ⇒ (r∧ ∼ r)] ⇒ (p ⇒ q)
13) p ⇒ (p ∨ q)
14) (p ∧ q) ⇒ p
15) p ⇒ p
Observacion A.2. Como se vera en el siguiente tema, existe una estrecha relacion entre la
conjuncion (∧) y la interseccion de conjuntos, entre la disyuncion (∨) y la union de conjuntos,
entre la condicional (⇒) y la inclusion de conjuntos y entre la negacion (∼) y el comple-
mento de un conjunto, tanto en la definicion de tales operaciones con conjuntos como en sus
propiedades.
A.1.3. Cuantificadores
El enunciado u oracion p(n): “n es par”no es una proposicion pues, a pesar de ser una oracion,
no es posible asignarle el valor de verdadero o falso, pero al sustituir n por un valor numeri-
co esta oracion se transforma en una proposicion. Este tipo de oraciones o enunciados que
dependen de una o varias variables que al ser sustituidas con elementos de un determinado
conjunto se transforman en proposiciones, se llaman funciones proposicionales.
Sin embargo los siguientes enunciados, formulados en base a la funcion proposicional p(n):
r : “Para todo numero entero n, n es par”
s : “Existe un numero racional n, tal que es par”
son proposiciones.
La expresion “para todo”se denota con el sımbolo “∀” y se llama cuantificador universal, y
la expresion “existe”, denotado con el sımbolo “∃”, se llama cuantificador existencial. Es-
tos cuantificadores unidos a una funcion proposicional la transforman en una proposicion.
Podemos escribir las proposiciones r y s como:
r : “∀n ∈ Z/n es par”
s : “∃n ∈ Q/nes par”
221
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A.2. Metodos de demostracion
La demostracion es un razonamiento o serie de razonamiento que prueba la validez de un
nuevo conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros conocimientos. Cuando
un conocimiento queda demostrado, entonces se le reconoce como valido y es admitido dentro
de la disciplina correspondiente.
La demostracion es el enlace, entre los conocimientos recien adquiridos y el conjunto de los
conocimientos anteriores.
El enlace entre los conocimientos recien adquiridos y los anteriores esta constituidos por una
sucesion finita de proposiciones que o bien son postulados o bien son conocimientos cuya
validez se ha inferido de otras proposiciones, mediante operaciones logicas perfectamente
coordinadas.
La demostracion permite explicar unos conocimientos por otros y por tanto es una prueba
rigurosamente racional.
Sabemos que todas las proposiciones de una teorıa matematica se clasifican en dos tipos: las
aceptadas sin demostracion que son las definiciones (donde no hay nada por demostrar) y los
axiomas o postulados (que se toman como proposiciones de partida) y las deducidas, llamadas
teoremas (que son proposiciones cuya validez ha sido probada).
No siempre tenemos evidencia directa de la validez de un teorema. Eso depende en parte su
grado de complejidad y de nuestra mayor o menor familiaridad con su contenido.
Un teorema requiere demostracion cuando no hay evidencia de su validez.
Estructura de la demostracion La demostracion consta de tres partes:
(a) El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposicion (teorema) cuya validez
se trata de probar.
(b) Los fundamentos empleados como base de la demostracion.
(c) El procedimiento usado para lograr que el conocimiento quede demostrado.
Los procedimientos de demostracion permiten establecer la conexion logica entre los funda-
mentos y sus consecuencias sucesivas, hasta llegar como conclusion final a la tesis que ası se
demuestra. Una tesis puede ser demostrada mediante distintos procedimientos.
A.2.1. Tipos de demostracion
Consideremos una demostracion como un argumento que nos muestra que una proposicion
condicional de la forma h ⇒ t, es logicamente verdadera (es decir, verdadera en todos los
cosos posibles) donde h es la hipotesis o conjuncion de las premisas y t es la conclusion del
argumento.
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Luego, si en el enunciado de un teorema se incluyen explıcitamente las proposiciones de par-
tida, este afirma que partiendo de cierta hipotesis h, se puede demostrar otra proposicion t,
llamada tesis.
Los procedimientos utilizados en la demostracion estan constituidos por distintas formas de
deduccion o inferencia y se puede clasificar en varios tipos los cuales seran estudiados sepa-
radamente.
Los principales tipos de demostracion son:
1. Demostracion directa.
2. Demostracion indirecta.
3. Demostracion por recursion.
Observacion A.3. El problema de la construccion de una demostracion consiste en preparar
una serie de pasos que conduzcan a la conclusion deseada. No hay caminos automaticos para
hacerlo y, por ello, la demostracion constituye un proceso creador dentro del conocimiento
cientıfico “es una cuestion personal que se adquiere con la practica y el desarrollo de la
iniciativa de cada uno”.
1. Demostracion directa
Cuando se parte de un conjunto de postulados o de proposiciones cuya validez ha sido
probada, para inferir como consecuencia la tesis, a traves de una serie de inferencias,
se establece una demostracion directa. En ella se prueba la validez de una tesis es-
tableciendo que esta es una consecuencia necesaria de los fundamentos de la disciplina
correspondiente (matematica en nuestro caso).
Una demostracion directa de una proposicion t (al que llamaremos teorema), consiste
en un conjunto de proposiciones p1, p2, . . . , pn (premisas), que son postulados o proposi-
ciones cuya validez ya ha sido probada y de las cuales se infiere la proposicion t, como
consecuencia inmediata.
En una demostracion directa, cada paso debe ir acompanado de una explicacion que
justifique la presencia de ese paso.
Decimos que t es una consecuencia inmediata de p1, p2, . . . , pn, si se produce la impli-
cacion: (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn) ⇒ t.
Para mayor brevedad, llamaremos h (hipotesis) al antecedente del esquema proposicional
anterior.
2. Demostracion Indirecta
Si se tiene dificultades en la construccion de una demostracion directa, se puede a veces
obtener resultados mas importantes y mejores, empleando algunos otros metodos.
Cuando se establece validez de una tesis t, probando, que las consecuencias de su con-
traria son falsas, entonces se realiza una demostracion indirecta.
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El metodo de demostracion indirecta se basa en el hecho de que si ∼ t es falsa, entonces
t es verdadera (negar-negando). La mejor manera de hacerlo es mostrando que ∼ t no
es compatible con las afirmaciones dadas en la hipotesis.
De otro modo, suponiendo que la proposicion ∼ t es verdadera, consideremos el conjunto
formado por ella y las otras proposiciones conocidas y tratamos de demostrar que este
conjunto ası considerado nos lleva a una contradiccion. Cuando se llega a la contradic-
cion, sabemos que la verdad de ∼ t no es compatible con nuestra hipotesis (verdadera)
y, por tanto, que es falsa. Por consiguiente, es verdadera.
Luego, para demostrar un teorema de la forma h → t, basta deducir alguna contradic-
cion a partir de la hipotesis h.
Hay diferentes formas para utilizar el metodo de demostracion indirecta; Para demostrar
h → t podemos hacerlo demostrando que:
(a) ∼ t → ∼ h
(b) (h∧ ∼ t) → ∼ h
(c) (h∧ ∼ t) → t
(d) (h∧ ∼ t) → (p∧ ∼ p)
3. Demostracion por Recursion (Induccion Matematica)
Cuando la tesis se prueba por medio de la induccion matematica recursiva, se efectua
una demostracion por recursion. La demostracion por recursion se utiliza principalmente
en la teorıa de numeros y consiste en probar la validez de un teorema estableciendo:
Primero: su cumplimiento para el caso limitante (caso inicial)
Segundo: admitiendo que se cumple en el general, (hipotesis inductiva)
Tercero: se prueba que se cumple igualmente para el caso siguiente.
Por ultimo, comprobamos que se cumple para el caso siguiente
A.3. Conjuntos
A.3.1. Conjunto
un conjunto es una cierta coleccion o agrupacion de objetos llamados elementos. Los conjuntos
se representaran con letras mayusculas como A, B, C, etc.
A.3.2. Relaciones de igualdad, pertenencia e inclusion
Una de las relaciones mas elementales e importantes que existe entre los objetos, elementos
o conjuntos, es la relacion de igualdad, la cual se representa por el sımbolo “ = ” y se lee
“igual”. La expresion “a = b” se lee “a es igual a b” y significa que “el elemento representado
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por a es el mismo que el elemento representado por b”.
En lo que sigue del libro, por razones de comodidad, se dira simplemente “el elemento a”,
en lugar de “el elemento representado por a” y “el conjunto A” en lugar de “el conjunto
representado por A”.
La negacion de la relacion “a = b” se denota por “a 6= b” y se lee “a es diferente a b” o “a no
es igual a b”.
Teorema A.1. La relacion de igualdad cumple con las siguientes propiedades:
Sean a, b, c elementos de A
(i) ∀ a ∈ A, a = a (Reflexiva)
(ii) Si a = b entonces b = a (simetrica)
(iii) Si a = b y b = c entonces a = c (transitiva)
Demostracion. Es consecuencia inmediata de la definicion de a = b.
Corolario A.1. Si u 6= v entonces v 6= u.
Demostracion. Basta aplicar el principio de contraposicion a la propiedad simetrica (ii).
Observacion A.4. En lo que sigue del modulo esta relacion de igualdad y sus propiedades
quedaran facilmente establecidas en cada sistema numerico que se define, como en el sistema
de los numeros naturales, enteros, racionales y reales.
Otra relacion importante es la que existe entre elementos y conjuntos, llamada relacion de
pertenencia, que se denota con el sımbolo ∈ y se lee “pertenece”. No se define la relacion de
pertenencia; se la aceptara como concepto primitivo y se le dara el sentido intuitivo que todos
tienen de ella.
Ası, si A es un conjunto y si x es un elemento de A, la expresion simbolica x ∈ A, se lee “x
pertenece a A” y significa que “x es un elemento del conjunto A”.
La negacion de la relacion x ∈ A se denota por x /∈ A y se lee: “x no pertenece al conjunto
A”.
Una tercera relacion entre objetos, en este caso entre conjuntos, es la relacion de inclusion,
que se representa por el sımbolo ⊂ y que se lee “incluido en h” o “contenido en h”.
Definicion A.1. Sean A y B dos conjuntos, A esta incluido en B, lo que se denota A ⊂ B
si, y solo si, todo elemento de A es elemento de B. Simbolicamente:
a ⊂ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Si A ⊂ B se dira tambien que A es un subconjunto de B, o que A esta contenido en B.
La negacion de la relacion A ⊂ B se denota por A 6⊂ B y se lee “A no esta incluido (o no
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esta contenido) en B”, significa que “existe por lo menos un elemento x ∈ A tal que x /∈ B”.
Simbolicamente
A 6⊂ B ⇔ (∃x ∈ A/x ∈ B)
Teorema A.2.
(a) A ⊂ A; para todo conjunto A
(b) Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C entonces A ⊂ C
Demostracion.
(b) Para todo x, la proposicion compuesta:
[x ∈ A ⇒ x ∈ B ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ C)] ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ C)
es verdadera (tautologıa) luego aplicando la definicion de inclusion se tiene:
(A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C
De la Teorıa Axiomatica de Conjuntos, debido a su complejidad, se mencionara solo cinco
axiomas: Sustitucion, Extension, Especificacion, del Conjunto Potencia, y la existencia de
la Union de Conjuntos. Estos axiomas seran descritos a continuacion y al mismo tiempo se
ira explicando su importancia.
A.3.3. Axiomas
Axioma A.1 (Axioma de Sustitucion). Sea P (x) una proposicion respecto a la variable x.
Si P (x) es verdadera y si u = x, entonces P (u) es tambien verdadera.
Ası por ejemplo, sea P (x) la proposicion dada por la expresion “x ∈ E”. Si P (x) es verdadera,
o sea “x ∈ E” es verdadera, y si u = x, entonces P (u) es verdadera, o sea “u ∈ E” es verdadera.
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Axioma A.2 (Axioma de Extension). Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen
los mismos elementos. O sea, A es igual a B si, y solo si, todo elemento de A pertenece a B
y, recıprocamente, todo elemento de B pertenece a A.
Simbolicamente
A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A)
O tambien
A = B ⇔ (∀x) [(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)]
La negacion de la relacion A = B se denota con A 6= B, se lee “A no es igual a B” o “A es
diferente de B”, y significa que existe por lo menos un elemento de A que no esta en B o
que existe por lo menos un elemento de B que no esta en A.
Simbolicamente
A 6= B ⇔ (∀x) (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (∃ y) (y ∈ B ∧ x /∈ A)]
Definicion A.2. Dados los conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto propio de B o
que A es parte propia de B, y se denota por A $ B; si, y solo si A ⊂ B ∧ A 6= B.
Simbolicamente
A $ B ⇔ A ⊂ B ∧ ∃ z ∈ B/z /∈ A
Hasta ahora, se ha utilizado la nocion de pertenencia para definir nuevas relaciones y se han
dado ejemplos de conjuntos. Pero, ¿como construir nuevos conjuntos a partir de un conjunto
dado? Para hacerlo, es necesario el siguiente axioma.
Axioma A.3 (Axioma de Especificacion). Dado un conjunto E y una proposicion P (x)
con x ∈ E, existe un unico subconjunto A de E, cuyos elementos son todos los elementos
x ∈ E tales que P (x) es verdadera.
Tal subconjunto se denota por:
A = {x ∈ E/P (x) es verdadera}
o simplemente,
A = {x ∈ E/P (x)}
que se lee “A es el subconjunto de E formado por todos los elementos x ∈ E, tales que la
proposicion P (x) es verdadera”.
Ası, el conjunto A se caracteriza por la condicion
x ∈ A ⇔ P (x) es verdadera
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En algunos textos de secundaria, este axioma es presentado como la definicion de un conjunto
determinado por comprension; es decir, aquel conjunto en el que se indica la propiedad P(x),
que caracteriza a los elementos del conjunto. En este sentido, la llamada definicion de conjunto
determinado por extension, en la que se enumeran o indican sus elementos no es mas que un
caso particular del axioma de especificacion.
Se usara el Axioma de Especificacion para presentar algunos conjuntos especiales: Para com-
pletar el lenguaje de los conjuntos se necesita introducir un nuevo conjunto llamado conjunto
vacio, el cual se denota por ∅, que no tiene ningun elemento y que esta contenido en cualquier
conjunto A, o sea, ∅ ⊂ A.
Usando el axioma de especificacion, este conjunto se puede definir de la siguiente manera:
∅ = {x ∈ A/x 6= x}.
Como la definicion de ∅ depende del conjunto A, se puede denotarlo tambien por ∅A. En
cursos avanzados; se define, finalmente, el conjunto vacıo ∅, se demuestra que es unico y que
∅ ⊂ A para todo conjunto A.
Sean E un conjunto no vacıo, a ∈ E, y P (x) la propiedad: x = a, entonces por el axioma de
especificacion, existe un unico subconjunto A de E tal que:
A = {x ∈ E/x = a} = {a}.
A este tipo de conjunto, que tienen un solo elemento, se les llama Conjunto Unitario.
A continuacion se presenta otro axioma que permite construir nuevos conjuntos a partir de uno
dado
Axioma A.4 (Axioma del conjunto potencia). Dado un conjunto E, existe un conjunto y
solamente uno cuyos elementos son todos los subconjuntos de E.
Tal conjunto se denota con P(E) y se le llama conjunto potencia de E o conjunto de partes
de E.
En sımbolos: P(E) = {A/A ⊂ E}, es decir:
A ∈ P(E) ⇔ A ⊂ E
o equivalentemente, A no es elemento de P(E) si, y solo si, A no es subconjunto de E. En
sımbolos:
A /∈ P(E) ⇔ A 6⊂ E
Observacion A.5.
1. Como para todo conjunto E, ∅ ⊂ E y E ⊂ E, entonces
∅ ∈ P(E) y E ∈ P(E)
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2. Se demuestra que, si A es un conjunto que tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n
elementos. Este resultado puede demostrarse usando induccion matematica.
A.4. Operaciones con conjuntos
A partir de dos conjuntos dados se construira nuevos conjuntos, usando los axiomas de la
union y de especificacion.
A.4.1. Union de conjuntos
Axioma A.5 (Axioma de la union de conjuntos). Dados dos conjuntos A y B, existe un
conjunto U tal que A ⊂ U yB ⊂ U .
Este axioma garantiza la existencia de un conjunto, por ejemplo un conjunto que se puede
denotar por U y considerarse como conjunto universal. Con elementos de este conjunto U ,
usando el axioma de especificacion se puede definir nuevos conjuntos.
Definicion A.3. Sean A ⊂ U y B ⊂ U dos conjuntos, la union de A y B, denotada por
A ∪ B, es el conjunto formado por todos los elementos x ∈ U tales que x ∈ A o x ∈ B.
Simbolicamente
A ∪ B = {x ∈ U/x ∈ A ∨ x ∈ B}
Observacion A.6. Notar que se esta usando la disyuncion (∨). Aplicando la Ley de De
Morgan para la disyuncion (ver el cuadro de las propiedades y principios logicos) se formula
la definicion equivalente “por negacion”:
x no es elemento de A ∪ B si y solo si, x no es elemento de A y x no es elemento de B.
Simbolicamente:
x /∈ (A ∪ B) ⇔ [x /∈ A ∧ x /∈ B]
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Teorema A.3 (Propiedades de la union). Dados los conjuntos A, B, C, D y ∅, en un
conjunto universal U , se cumplen las siguientes propiedades:
(a) A ⊂ A ∪ B ∧ B ⊂ A ∪ B
(b) A ⊂ D ∧ B ⊂ D entonces A ∪ B ⊂ D
(c) A ∪ A = A (idempotencia)
(d) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Asociativa)
(e) A ∪ B = B ∪ A (Conmutativa)
(f) A ∪ ∅ = A (Elemento neutro)
(g) A ⊂ B entonces A ∪ B = B
A.4.2. Interseccion de conjuntos
Definicion A.4. Sean A∪U y B ∪U dos conjuntos, la interseccion de A y B, denotada por
A ∩ B es el conjunto formado por todos los elementos x de U , tales que x ∈ A y x ∈ B.
A ∩ B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈ B}
Es decir
x ∈ (A ∩ B) ⇔ [x ∈ A ∧ x ∈ B]
O, equivalentemente, por negacion: x no es elemento de A ∩ B si, y solo si, x no es elemento
de A o x no es elemento de B.
Simbolicamente:
x /∈ (A ∩ B) ⇔ [x /∈ A ∧ x /∈ B]
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Teorema A.4 (Propiedades de la interseccion). Dados los conjuntos A, B, C y ∅, en un
conjunto universal U , se cumplen las siguientes propiedades:
(a) A ∩ B ⊂ A ∧ A ∩ B ⊂ B
(b) A ∩ A = A (idempotencia)
(c) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Asociativa)
(d) A ∩ B = B ∩ A (Conmutativa)
(e) A ⊂ B entonces A ∩ B = A
(f) A ∩ ∅ = ∅; A ∩ U = A
Teorema A.5 (Propiedades distributivas). Dados los conjuntos A, B y C, se cumplen las
siguientes propiedades distributivas:
(a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A.4.3. Diferencia de conjuntos
Definicion A.5. Dados los conjuntos A ∪ U y B ∪ U , la diferencia de A y B, denotado por
A − B, es el conjunto formado por todos los elementos x de U tales que x ∈ A y x /∈ B.
Simbolicamente:
A − B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x /∈ B}
Es decir,
x ∈ A − B ⇔ [x ∈ A ∧ x /∈ B]
o equivalentemente
x /∈ A − B ⇔ [x /∈ A ∨ x ∈ B]
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Teorema A.6. Dados los conjuntos A, B y C, se cumplen las siguientes propiedades:
(a) A − ∅ = A
(b) A − A = ∅
(c) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C)
(d) A − B = (A ∪ B) − B = A − (A ∩ B)
La demostracion se deja como ejercicio.
A.4.4. Complemento de un conjunto
Definicion A.6. Sean A y B dos conjuntos tales que A ⊂ B ⊂ U . Se llama complemento de
A con respecto al conjunto B, y se denota por CBA, a la diferencia B − A.
Es decir, CBA = B − A.
El complemento de un conjunto con respecto a otro es un caso particular de la diferencia de
conjuntos.
Si B = U , el complemento de A respecto a U se denota simplemente por: CA. En este caso
se tiene por definicion que:
x pertenece a CA si, y solo si, x no es elemento de A.
En sımbolos,
x ∈ CA ⇔ x /∈ A
o, equivalentemente
x /∈ CA ⇔ x ∈ A
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Teorema A.7. Dados los conjuntos ∅, A ⊂ U y B ⊂ U , se cumplen las siguientes
propiedades
1. C(CA) = A
2. A ⊂ B entonces CB ⊂ CA; CB ⊂ CA entonces A ⊂ B
3. C(A ∩ B) = CA ∪ CB
4. C(A ∪ B) = CA ∩ CB
5. A ∩ CA = ∅
6. A ∪ CA = U
7. C∅ = U y CU = ∅
A.5. Nociones de relacion y funcion
A.5.1. Par ordenado y producto cartesiano
Un conjunto que tiene dos elementos es un par ordenado si, y solo si, dicho conjunto tiene
la propiedad de que un elemento puede ser distinguido como el primero y el otro como el
segundo.
Definicion A.7. Dado los conjuntos no vacıos A ⊂ U y B ⊂ U y los elementos a ∈ A y
b ∈ B, se llama par ordenado de componentes a y b, que se denota por (a, b), al conjunto
{{a}, {a, b}}; o sea, por definicion (a, b) = {{a}, {a, b}}. En el par ordenado (a, b), el elemento
a se llama primera componente; y b se llama segunda componente del par.
Teorema A.8. (a, b) = (c, d) si y solo si a = c ∧ b = d, o equivalentemente, (a, b) 6= (c, d)
si y solo si a 6= c ∨ b 6= d.
Definicion A.8. Dado los subconjuntos A y B, de un conjunto universal U , se llama producto
de A y B, y se denota por A × B, al conjunto formado por todo los pares ordenados (a, b)
tales que a ∈ A y b ∈ B.
Simbolicamente: A × B = {(a, b) ∈ E/a ∈ A ∧ b ∈ B}.
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A.5.2. Relaciones
Definicion A.9. Dado los conjuntos X e Y , se da el nombre de relacion binaria entre ele-
mentos del conjunto X y elementos del conjunto Y a todo subconjunto R de X × Y .
Si el par (x, y) ∈ R diremos que x e y estan en la relacion determinada por R, y escribiremos
simplemente xRy.
Si por el contrario, el par (x, y) /∈ R diremos que x e y no estan en la relacion determinada
por R, y escribiremos simplemente x /∈ Ry.
En adelante diremos simplemente relacion en lugar de relacion binaria, ya que estas ultimas,
seran las unicas con las cuales trataremos.
Si R es una relacion entre los elementos de X e Y , se llama a X conjunto de partida de la
relacion y a Y conjunto de llegada.
Definicion A.10. Se llama dominio o conjunto de definicion de la relacion R, al conjunto de
los elementos de X que son las primeras componentes de pares del subconjunto R, es decir
todos los elementos x ∈ X, para los cuales existe un elemento y ∈ Y tales que (x, y) ∈ R.
Se llama rango o conjunto de valores al conjunto de los elementos y ∈ Y , que son segundos
componentes de pares del subconjunto R, es decir al conjunto de todos los elementos de y ∈ Y
para los cuales existe un elemento x ∈ X tales que (x, y) ∈ R.
Definicion A.11. Una relacion R definida entre elementos de un conjunto X es total si
su dominio coincide con el conjunto de partida X, Diremos en este caso que la relacion es
definida sobre el conjunto X.
Definicion A.12. Se dice que una relacion R definida sobre un conjunto X, es una relacion
de equivalencia si goza de las siguientes propiedades:
1. xRx para todo x ∈ R (reflexividad)
2. si xRy, entonces yRx. (simetrıa)
3. Si xRy e yRz entonces xRz. (transitividad)
De (a) resulta que toda relacion de equivalencia es una relacion total.
Cuando una relacion R es de equivalencia es usual escribir x = y ( mod R) o simplemente
x ≡ y, en lugar de xRy, se lee entonces “x es equivalente a y modulo n” o simplemente “x es
equivalente a y”
A.5.3. Funciones
Definicion A.13. Dados dos conjuntos A y B se llama funcion definida en A y con valores
en B, o simplemente funcion de A en B, a toda correspondencia f que asocia a cada elemento
x ∈ A un unico elemento y ∈ B. El conjunto A recibe el nombre de Dominio de la funcion
f .
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La palabra correspondencia se aceptara como concepto primitivo y se le dara la interpretacion
intuitiva que todos tienen de ella.
Las funciones reciben tambien el nombre de aplicaciones y se denotan simbolicamente por:
f : A −→ B o Af−→ B
Para indicar que f hace corresponder a cada elemento x de A un unico elemento y ∈ B, se
escribe
f : x −→ y, xf−→ y, o y = f(x)
y se dice que y es la imagen de x mediante f , o que x es una preimagen de y mediante f .
Definicion A.14. Dada una funcion f : A −→ B, C ⊂ A y D ⊂ B, se llama Imagen
Directa de C mediante f , al conjunto f(C) = {y ∈ B/y = f(x), x ∈ C}. Analogamente, se
llama Imagen Inversa de D mediante f , al conjunto f−1(D) = {x ∈ A/f(x) ∈ D}.El conjunto f(A) recibe el nombre de Rango de la funcion f .
Teorema A.9.
(a) f(A1 − A2) ⊇ f(A1) − f(A2)
(b) Si A1 ⊆ A2 entonces f(A1) ⊂ f(A2)
(c) f(∪Ai) = ∪f(Ai)
(d) f(∩Ai) = ∩f(Ai)
Definicion A.15 (Restriccion de una funcion). Dada una funcion f : A −→ B. La funcion
g : C −→ B con C ∈ A definida por g(x) = f(x) para todo x ∈ C se llama restriccion de la
funcion f al conjunto C y se denota f/C , o simplemente f , si no hay lugar a confusion.
En este contexto, la funcion f : A −→ B se llama extension de g al conjunto A.
Un caso particular muy importante de funcion es el de Operacion Interna o Ley de Composi-
cion Interna.
Definicion A.16. Si A es un conjunto no vacıo, A 6= ∅, una ley de composicion interna u
operacion interna en A es una funcion o aplicacion definida en el producto A×A y con valores
en el conjunto A. Es decir, una aplicacion,
f : A × A −→ A
(x, y) 7−→ f(x, y)
Definicion A.17. Se dice que la funcion f : A −→ B es inyectiva sı y solo si, se cumple que:
Si x 6= x′ entonces f(x) 6= f(x′). O equivalentemente: Si f(x) = f(x′) entonces x = x′.
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Teorema A.10.
1. Si x ∈ A entonces f(x) /∈ f(A)
2. f(A1 − A2) ⊆ f(A1) − f(A2)
3. f(∩Ai) ⊇ ∩f(Ai)
Definicion A.18. Se dice que una funcion f : A −→ B es suryectiva si, y solo si, se cumple
que:
Para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que f(x) = y. O equivalentemente: Si f(A) = {y =
f(x)/x ∈ A} = B.
Finalmente, se dice que una funcion f : A −→ B es biyectiva si, y solo si, f es inyectiva y
suryectiva.
Definicion A.19. Dadas las funciones f : A −→ B y g : C −→ D donde B ⊂ C, se define la
funcion h : A −→ D de la siguiente manera:
h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) para todo x ∈ A
La funcion h : A −→ D recibe el nombre de funcion compuesta de f y g, y se denota con
g ◦ f , es decir, h = g ◦ f .
236
Bibliografıa
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[2] Carmen Bonell. “La Divina Proporcion. Las formas Geometricas”. Editorial Alfa
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[3] Carranza C.. “Topicos de matematica para el bachillerato”. 18o Coloquio de la Sociedad
Matematica Peruana. Lima 2000.
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[5] Carranza C.. “Algebra”. Libreria Studium. Lima, 1970.
[6] Carranza, C.; Kong, M. “Teorıa de conjuntos y numeros naturales”. Peru Offset.
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PROGRAMA DE ESPECIALIZACION EN
MATEMATICA DIRIGIDO A DOCENTES DEL NIVEL
SECUNDARIA DE EDUCACION BASICA REGULAR .
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1999
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