ESTÁTICAESTÁTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁNUNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN

FACULTAD DE INGENÍERIA CIVIL Y ARQUITECTURAFACULTAD DE INGENÍERIA CIVIL Y ARQUITECTURA

E.A.P. DE INGENIERÍA CIVILE.A.P. DE INGENIERÍA CIVIL

HUÁNUCO, ENERO DE 2015HUÁNUCO, ENERO DE 2015HUÁNUCO, ENERO DE 2015HUÁNUCO, ENERO DE 2015

DOCENTE:DOCENTE:DOCENTE:DOCENTE: Ingº Luis Fernando Narro Jara

MOMENTO

1. Momento de una fuerza respecto a un ejePuede definirse como una medida de la tendencia de una fuerza de Puede definirse como una medida de la tendencia de una fuerza de

impartirle al cuerpo rígido sobre el cual actúa un movimiento de rotación impartirle al cuerpo rígido sobre el cual actúa un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.alrededor de un eje fijo.

Consideremos la figura, el momento de la fuerza F que actúa en A con Consideremos la figura, el momento de la fuerza F que actúa en A con respecto a O está dado por:respecto a O está dado por:

Puede definirse como una medida de la tendencia de una fuerza de Puede definirse como una medida de la tendencia de una fuerza de impartirle al cuerpo rígido sobre el cual actúa un movimiento de rotación impartirle al cuerpo rígido sobre el cual actúa un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.alrededor de un eje fijo.

Consideremos la figura, el momento de la fuerza F que actúa en A con Consideremos la figura, el momento de la fuerza F que actúa en A con respecto a O está dado por:respecto a O está dado por:

Sea OL un eje a través de O; el Sea OL un eje a través de O; el momento Mmomento MOLOL con respecto a OL se con respecto a OL se define como la proyección OC del define como la proyección OC del momento Mo sobre el eje OL. momento Mo sobre el eje OL. Representando al vector unitario a lo Representando al vector unitario a lo largo de OL como largo de OL como λλ, tenemos:, tenemos:

Sea OL un eje a través de O; el Sea OL un eje a través de O; el momento Mmomento MOLOL con respecto a OL se con respecto a OL se define como la proyección OC del define como la proyección OC del momento Mo sobre el eje OL. momento Mo sobre el eje OL. Representando al vector unitario a lo Representando al vector unitario a lo largo de OL como largo de OL como λλ, tenemos:, tenemos:

En general, el momento de una fuerza F aplicada en A con respecto a un En general, el momento de una fuerza F aplicada en A con respecto a un eje que no pasa por el origen, se obtiene seleccionando un punto arbitrario B eje que no pasa por el origen, se obtiene seleccionando un punto arbitrario B sobre dicho eje (figura) y determinando la proyección sobre el eje BL del sobre dicho eje (figura) y determinando la proyección sobre el eje BL del momento Mmomento MBB con respecto a B, es decir: con respecto a B, es decir:

En general, el momento de una fuerza F aplicada en A con respecto a un En general, el momento de una fuerza F aplicada en A con respecto a un eje que no pasa por el origen, se obtiene seleccionando un punto arbitrario B eje que no pasa por el origen, se obtiene seleccionando un punto arbitrario B sobre dicho eje (figura) y determinando la proyección sobre el eje BL del sobre dicho eje (figura) y determinando la proyección sobre el eje BL del momento Mmomento MBB con respecto a B, es decir: con respecto a B, es decir:

En donde:En donde:En donde:En donde:

Para levantar una caja pesada, un Para levantar una caja pesada, un hombre usa un bloque y un polipasto y hombre usa un bloque y un polipasto y los sujeta a la parte inferior de la viga I los sujeta a la parte inferior de la viga I mediante el gancho B. Si se sabe que mediante el gancho B. Si se sabe que los momentos, de los ejes y y z, de la los momentos, de los ejes y y z, de la fuerza ejercida en B por el tramo AB de fuerza ejercida en B por el tramo AB de la cuerda son, respectivamente, de 120 la cuerda son, respectivamente, de 120 N•m y - 460 N•m, determine la distancia N•m y - 460 N•m, determine la distancia ‘‘a’’.‘‘a’’.

Para levantar una caja pesada, un Para levantar una caja pesada, un hombre usa un bloque y un polipasto y hombre usa un bloque y un polipasto y los sujeta a la parte inferior de la viga I los sujeta a la parte inferior de la viga I mediante el gancho B. Si se sabe que mediante el gancho B. Si se sabe que los momentos, de los ejes y y z, de la los momentos, de los ejes y y z, de la fuerza ejercida en B por el tramo AB de fuerza ejercida en B por el tramo AB de la cuerda son, respectivamente, de 120 la cuerda son, respectivamente, de 120 N•m y - 460 N•m, determine la distancia N•m y - 460 N•m, determine la distancia ‘‘a’’.‘‘a’’.

Ejemplo:Ejemplo:

Solución.Solución.

A partir de la figura, obtenemos las coordenadas A partir de la figura, obtenemos las coordenadas de los puntos A y B: de los puntos A y B:

a

4.8 m

2.2 m1.6 m

En la figura se muestra el vector fuerza que ejerce el En la figura se muestra el vector fuerza que ejerce el hombre, el cual podemos definir de la siguiente hombre, el cual podemos definir de la siguiente manera:manera:

El momento de la fuerza respecto El momento de la fuerza respecto al eje ‘‘y’’ se define como:al eje ‘‘y’’ se define como:

El momento de la fuerza respecto El momento de la fuerza respecto al eje ‘‘z’’ se define como:al eje ‘‘z’’ se define como:

Sustituyendo, calculamos la distancia ‘‘a’’:Sustituyendo, calculamos la distancia ‘‘a’’:

Dos fuerzas F y – F que tienen la misma magnitud, Dos fuerzas F y – F que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman un par (figura). Note que la suma de las componentes un par (figura). Note que la suma de las componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. Las dos fuerzas no producirán traslación del cuerpo Las dos fuerzas no producirán traslación del cuerpo sobre el cual estén actuando pero si tenderán a sobre el cual estén actuando pero si tenderán a hacerlo rotar.hacerlo rotar.

Dos fuerzas F y – F que tienen la misma magnitud, Dos fuerzas F y – F que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman un par (figura). Note que la suma de las componentes un par (figura). Note que la suma de las componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. Las dos fuerzas no producirán traslación del cuerpo Las dos fuerzas no producirán traslación del cuerpo sobre el cual estén actuando pero si tenderán a sobre el cual estén actuando pero si tenderán a hacerlo rotar.hacerlo rotar.

2. Pares

Observemos la figura, en la cual se muestran Observemos la figura, en la cual se muestran los puntos de aplicación de las fuerzas F y – F, los puntos de aplicación de las fuerzas F y – F, definidos por los vectores de posición rdefinidos por los vectores de posición rAA y r y rBB, , respectivamente. La suma de los momentos de respectivamente. La suma de los momentos de estas dos fuerzas con respecto a O es:estas dos fuerzas con respecto a O es:

Observemos la figura, en la cual se muestran Observemos la figura, en la cual se muestran los puntos de aplicación de las fuerzas F y – F, los puntos de aplicación de las fuerzas F y – F, definidos por los vectores de posición rdefinidos por los vectores de posición rAA y r y rBB, , respectivamente. La suma de los momentos de respectivamente. La suma de los momentos de estas dos fuerzas con respecto a O es:estas dos fuerzas con respecto a O es:

En la ecuación anterior, rEn la ecuación anterior, rAA – r – rBB define al vector que une los puntos de define al vector que une los puntos de aplicación de las dos fuerzas, es decir:aplicación de las dos fuerzas, es decir:

En la ecuación anterior, rEn la ecuación anterior, rAA – r – rBB define al vector que une los puntos de define al vector que une los puntos de aplicación de las dos fuerzas, es decir:aplicación de las dos fuerzas, es decir:

Por lo tanto, podemos afirmar que la suma de los momentos de F y – F, Por lo tanto, podemos afirmar que la suma de los momentos de F y – F, con respecto a O está representado por el vector:con respecto a O está representado por el vector:

Por lo tanto, podemos afirmar que la suma de los momentos de F y – F, Por lo tanto, podemos afirmar que la suma de los momentos de F y – F, con respecto a O está representado por el vector:con respecto a O está representado por el vector:

Al vector M, figura, se le conoce como el momento del par, el cual es un Al vector M, figura, se le conoce como el momento del par, el cual es un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas; su magnitud vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas; su magnitud está dada por:está dada por:

Al vector M, figura, se le conoce como el momento del par, el cual es un Al vector M, figura, se le conoce como el momento del par, el cual es un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas; su magnitud vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas; su magnitud está dada por:está dada por:

En donde, la distancia ‘‘d’’ es la distancia En donde, la distancia ‘‘d’’ es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F y – perpendicular entre las líneas de acción de F y – F. El sentido de M está definido por la regla de la F. El sentido de M está definido por la regla de la mano derecha.mano derecha.

En donde, la distancia ‘‘d’’ es la distancia En donde, la distancia ‘‘d’’ es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F y – perpendicular entre las líneas de acción de F y – F. El sentido de M está definido por la regla de la F. El sentido de M está definido por la regla de la mano derecha.mano derecha.

Debido a que el vector r, véase figura, es Debido a que el vector r, véase figura, es independiente al punto de referencia u origen O independiente al punto de referencia u origen O de los ejes coordenados, se observa que se de los ejes coordenados, se observa que se obtendría el mismo resultado si los momentos obtendría el mismo resultado si los momentos de las fuerzas F y – F se hubieran calculado con de las fuerzas F y – F se hubieran calculado con respecto a otro punto cualquiera. Por lo anterior, respecto a otro punto cualquiera. Por lo anterior, podemos establecer que el momento de un par podemos establecer que el momento de un par es un vector libre que puede ser aplicado en es un vector libre que puede ser aplicado en cualquier punto y el efecto es el mismo.cualquier punto y el efecto es el mismo.

Debido a que el vector r, véase figura, es Debido a que el vector r, véase figura, es independiente al punto de referencia u origen O independiente al punto de referencia u origen O de los ejes coordenados, se observa que se de los ejes coordenados, se observa que se obtendría el mismo resultado si los momentos obtendría el mismo resultado si los momentos de las fuerzas F y – F se hubieran calculado con de las fuerzas F y – F se hubieran calculado con respecto a otro punto cualquiera. Por lo anterior, respecto a otro punto cualquiera. Por lo anterior, podemos establecer que el momento de un par podemos establecer que el momento de un par es un vector libre que puede ser aplicado en es un vector libre que puede ser aplicado en cualquier punto y el efecto es el mismo.cualquier punto y el efecto es el mismo.