MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
Un avión, cuando despega, va aumentando su velocidad. Tiene aceleración positiva. Cuando aterriza disminuye su velocidad hasta pararse. Tiene aceleración negativa.
Un M.R.U.A. tiene aceleración constante y su Trayectoria es una línea recta.
t
vva 0
Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:
tavv f 02
002
1tatvss savv f 22
0
2
Consideraremos + cuando la aceleración sea positiva y – cuando sea negativa (decelere o frene)
2
GRÁFICAS DEL M.R.U.A.
Gráfica e-t de un MRUA. Se obtiene una Parábola.
Gráfica v-t de un MRUA. Con velocidad inicial V0,, y sin velocidad inicial.
Gráfica a-t de un MRUA.
3
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
Problema nº3.- Calcula la aceleración de una moto que pasa de 0 a 100 km/h. en 7 s. ¿Qué espacio ha recorrido mientras aceleraba?
tavv f 02
00 ta2
1tvss sa2vv 2
0
2
f
Lo primero que debéis tener en cuenta es el tipo de movimiento (en este caso M.R.U.A.) y las fórmulas que le corresponden
Es recomendable mientras realizáis los ejercicios en clase o casa tener las fórmulas de los movimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)
6
Solución: Datos que tenemos:
.7
8,27777,271
10003600
1100
0
st
sm
kmm
sh
hkmv
smv
final
o
20
0 497,37
08,27
sm
t
vvatavv f
.98742
1700
2
1 22
00 mtatvss
.989742
08,27
22
222222 m
a
vvssavv o
of
Aplicamos las fórmulas
O también
7
Problema nº 4.- Un automóvil que circula a una velocidad de 80 km/h. Encuentra un obstáculo situado a 50 m. de distancia. ¿Cuál ha de ser la aceleración mínima y constante, necesaria para detener el coche antes de llegar al obstáculo?.
tavv f 0
2
002
1tatvss
savv of 222
De las fórmulas que tenemos, solamente podremos utilizar aquella en la que tengamos una única incógnita
Solución: Datos que tenemos:
.50
222222,221
10003600
180
0
0
ms
sm
kmm
sh
hkmv
smv final
8
No tenemos ni la aceleración ni el tiempo, por lo que vamos a utilizar la siguiente fórmula
5022202 2222 asavv of
¡OJO!, EL SIGNO NEGATIVO SIGNIFICA QUE EL COCHE DECELERA O FRENA
2
22
2222
84,4502
022
022502502220
sma
aa
Ahora podemos utilizar otra fórmula, ya que tenemos la aceleración que acabamos de calcular.
.6,4586,484,4
02,2200 s
a
vvttavv f
9
Problema nº 5.- Un tren de Metro arranca con una aceleración de 80 cm/s2. Al cabo de 50
segundos el conductor corta la corriente y el tren continúa moviéndose con velocidad constante.
•¿Cuál es esta velocidad?
•¿Qué espacio recorrió el tren en esos 50 segundos?
•¿Qué tiempo transcurrió hasta que el tren llega a otra estación distante de la primera 2500m?
PRIMERO, Y LO MÁS IMPORTANTE, es distinguir los tipos de movimiento en cada momento.
Un tren de Metro arranca… NOS DICE QUE PARTE DEL REPOSO Y POR LO TANTO NO PUEDE SER MÁS QUE UN M.R.U.A. POR DEFINICIÓN.
…y el tren continúa moviéndose con velocidad constante. NOS INDICA CLARAMENTE QUE ES UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
TENEMOS DEFINIDO EL PROBLEMA, el tren parte del reposo con M.R.U.A. hasta alcanzar una velocidad que hemos de calcular. A continuación mantiene dicha velocidad constante en M.R.U. hasta llegar a la siguiente estación.
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Calculamos los distintos movimientos por separado, primero el M.R.U.A.
Solución: (M.R.U.A.) Datos que tenemos:
.0
8,0.100
180
.50
?
0
0
22
0
ms
s
mcm
ms
cma
st
v
smv
acelerado
final
¡¡¡¡IMPORTANTE!!!! UNIDADES EN EL SISTEMA
INTERNACIONAL
Comenzamos smvtavv ff 40508,000
.1000508,02
15000
2
1 22
00 mtatvss
Hemos calculado la velocidad final en el M.R.U.A. y el espacio que recorrió mientras aceleraba. Por lo tanto, no le quedan los 2500 m. hasta la estación sino la diferencia.
12
Solución: (M.R.U.) Datos que tenemos:
.2500
.1000
?
40
0
._
ms
ms
t
smv
final
ctevelocidad
Consideramos que el espacio inicial es el que ha recorrido mientras ACELERABA.
Entonces
.5,3740
10002500st
40t10002500tvs
0final
0final
sv
s
s
.5,875,3750._ sttt ctevelocidadaceleradoTOTAL
13
Problema nº 6.- Un conductor ve un objeto en la carretera y debe detener el coche (circulando a 130 km/h.) para no impactar contra el. Calcula la distancia mínima a la que debe estar dicho objeto para que no se produzca el impacto sabiendo que el conductor tarda 0,4 s. en reaccionar desde que ve el objeto hasta que acciona el freno y la deceleración del coche es de 3,7.
CONSIDERACIONES PREVIAS, desde que el conductor ve el objeto hasta que acciona el freno, el vehículo circula a velocidad constante. M.R.U., es decir, tenemos dos movimientos, uno M.R.U. y otro M.R.U.A. (decelerado).
M.R.U.
0m.s
0,4s.t
sm36,1
3600s.
1h.
1km
1000mh
km130v
0
acelerado
14,44m.0,436,10stvss 0o_frenamientras_n
Mientras el conductor no acciona el freno ha recorrido 14,44 m. en M.R.U. 14
M.R.U.A.
14,4m.s
s
m3,7a
?t
sm0v
sm36,1v
0
2
acelerado
final
0
9,8s.3,7
36,1
a
vvttavv f
0f
00
Entonces el espacio mínimo será…
109,5m.9,83,72
19,836,114,4ta
2
1tvss 22
00
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MOVIMIENTO VERTICAL o CAÍDA LIBRE
El movimiento vertical es un caso particular de M.R.U.A.
La aceleración a la que están sometidos los cuerpos con este movimiento es la de la gravedad, cuyo valor es aproximadamente g = 9,81 m/s2
Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:
tgvv f 02
002
1tgtvhh
v0 y h0 son, respectivamente, la velocidad y la altura iniciales.
Si el cuerpo sube, la aceleración se opone al movimiento y se toma su valor con signo negativo.
Si el cuerpo baja, la aceleración tiene el sentido del movimiento y se toma su valor con signo positivo.
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Problema nº7.- ¿Cuál es la velocidad con la que llega al suelo un cuerpo que se ha dejado caer
libremente desde una altura de 100 m.? ¿Qué tiempo empleó en la caída?.
100m.h
sm9,81g
?t
?.v
sm0v
2
acelerado
final
0
smtgvv
4,5s.9,81
2100tt9,81
2
1t00100
tg2
1tvhh
final
2
2
00
1,445,481,900
4,5s.9,81
044,3
g
vvttgvv
sm44,31009,8120vhg2vv
0f0f
2
f
2
0
2
f
O también se puede hacer así…
Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer
18
Problema nº8.-¿Qué velocidad inicial hay que comunicar a una piedra para que, lanzándola
verticalmente hacia arriba, alcance una altura máxima de 20 m.? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar
dicha altura?
m.h
sm9,81g
?t
?.v
sm0v
2
dodesacelera
final
20
0
2s.9,81
019,8
g
vvttgvv
sm19,8209,8120v
hg2vvhg2vv
f00f
2
0
2
f
2
0
2
0
2
f
Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer
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Problema nº 9.- Desde lo alto de un rascacielos de 300 m de altura se lanza verticalmente hacia
abajo una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. ¿Con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tiempo
tarda en caer?.
300m.h
sm9,81g
?t
sm10v
sm0v
2
0
final
6,9s.9,81
1077,4
g
vvttgvv
sm77,43009,81210vhg2vv
0f0f
2
f
2
0
2
f
Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer
20
Problema nº 10.- Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto que a los 7 s. tiene una rapidez de
50 m/s. Calcular la velocidad de lanzamiento y el tiempo que tarda en subir y bajar.
2
final
s
sm9,81g
v
smv
smv
?
0
50
0
.7 Con la velocidad a los 7 segundos calculamos la velocidad inicial que desconocemos
Una vez que tenemos la velocidad inicial, calculamos el tiempo que tarda en detenerse que será el tiempo en llegar al punto máximo.
smtgvvtgvv s0s 7,118781,950707
12,1s.9,81
0118,7
g
vvttgvv f0
0f
EN CAIDA LIBRE, UN OBJETO QUE ES LANZADO CARA ARRIBA TARDA LO MISMO EN ALCANZAR EL PUNTO DE ALTURA MÁXIMA COMO EN CAER DE ESTE AL PUNTO DE ORIGEN, POR LO TANTO…
24,2s.12,12t2t h_máximatotal
21
Problema nº 11.- Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba, y asciende con una aceleración
de 2 m/s2 durante 1,2 min. En ese instante se agota el combustible y sigue subiendo como partícula
libre. Calcular cual es el tiempo transcurrido desde que despegó hasta caer al suelo.
Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que tenemos 3 movimientos distintos y todos ellos M.R.U.A.
El PRIMER MOVIMIENTO es un movimiento acelerado, con aceleración positiva de 2 m/s2 Datos:
0m.h
s
m2a
s.mint
?.v
sm0v
0
2
acelerado
final
0
722,1
22
Calculamos la altura a la que llegó y la velocidad en el instante que se agota el combustible.
smtavv
m.22
100hta
2
1tvhh
final
22
00
1447220
51847272
0
El SEGUNDO MOVIMIENTO es decelerado, ya que el cohete se mueve como partícula libre y sigue ascendiendo después de que se agote el combustible hasta que la gravedad g=9,81 m/s2 lo acaba frenando.
6240,9m.9,812
114,71445184h
tg2
1tvhh
14,7s.9,81
0144
g
vvttgvv
2
00
final00final
27,14m.h
smg
t
.s
mv
smv
0
gravedad
decelerado
final
0
5184
81,9
?
0
144
2
23
El TERCER MOVIMIENTO es M.R.U.A. con aceleración positiva, es lógico, el cohete una vez que se le ha terminado el combustible asciende por la velocidad que tiene en ese momento. Pero esta se ve reducida por el efecto de la gravedad que acaba anulando. Tenemos el cohete en el punto más alto y parado (un instante). TODO CUERPO QUE SUBE TIENE QUE BAJAR, y como tal el cohete cae desde esa altura por efecto de la gravedad.
0m.h
6240,9m.h
sm9,81g
?t
?.v
sm0v
0
2gravedad
n_gravedadaceleracio
final
0
35,7s.9,81
26240,9tt9,81
2
1t006240,9
tg2
1tvhh
2
2
00
NOTA: LA ALTURA INICIAL ES CERO PORQUE CARA ABAJO EL COHETE NO SE HA DESPLAZADO NADA Y LA ALTURA FINAL QUE CAE, COMO ES LÓGICO, ES LA MISMA A LA QUE SE HA ELEVADO.
EL TIEMPO TOTAL DEL MOVIMIENTO SERÁ LA SUMA DE LOS 3 MOVIMIENTOS
122,4s.35,714,772ttttmovimiento3to2ºmovimienmovimiento1total erer
24
Problema nº 12.- Se deja caer una pelota desde la cornisa de un edificio y tarda 0,3 segundos en
pasar por delante de una ventana de 2,5 metros de alto. ¿A qué distancia de la cornisa se encuentra
el marco superior de la ventana? Este problema, aunque en principio parece fácil, tenemos que suponer varias cosas que complican su resolución
Solución: Antes de nada vamos a ver los datos que tenemos
2
ventana
ventana
81,9
.5,2
.3,0
?
?
smga
mh
st
v
v
final
o
LA CLAVE DEL PROBLEMA E MODIFICAR EL PUNTO DE REFERENCIA.
2,5
m.
?
Para empezar SITUAMOS EL PUNTO DE REFERENCIA EN LA VENTANA, donde sabemos el espacio que recorre y el tiempo que le lleva. Como es caída libre utilizaremos g.
25
CONSIDERACIONES PREVIAS.- Antes de llegar al marco superior recorrió una distancia, le llamaremos h inicial que no sabemos. Tampoco sabemos la h final que recorrerá, pero si sabemos…
.5,20 mhh Es decir, si al espacio final (hasta el marco inferior de la ventana), le quitamos el espacio que va desde la cornisa al marco superior (espacio inicial) me queda la altura de la ventana. Entonces…
smvvv
tgtvhhtgtvhh
87,63,0
44,05,244,03,05,23,081,9
2
13,05,2
2
1
2
1
00
2
0
2
00
2
00
Hemos calculado la velocidad con la que llega la pelota al marco superior de la venta a la que hemos llamado velocidad inicial puesto que solamente nos centramos en el paso por delante de la ventana.
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CAMBIAMOS SISTEMA DE REFERENCIA: Ahora nos centramos en el espacio que hay desde la cornisa hasta el marco superior de la ventana. Consideramos que parte de 0 en la cornisa (velocidad inicial) y que la velocidad con la que llega al marco superior de la ventana es la velocidad con la que inicio el movimiento anterior como es lógico, pero ahora pasa a ser la VELOCIDAD FINAL.
.4,2281,9
87,681,92087,62
2222
0
2 mhhhgvv f
Sabemos la velocidad en el marco superior de la ventana, como el espacio anterior también fue en caída libre, consideramos ahora esta velocidad inicial como la velocidad final del movimiento anterior que parte desde la cornisa con velocidad 0 hasta el marco superior de la ventana, a donde llega con la velocidad que hemos calculado.
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