ULPGCLogo
Métodos NuméricosGrado en Ingeniería Informática
Tema 7 Interpolación de funciones II
Luis Alvarez León
Univ. de Las Palmas de G.C.
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 1 / 42
ULPGCLogo
Contenido
1 Interpolación de Hermite
2 Interpolación por splines cúbicos.
3 Interpolación utilizando la función seno cardinal
4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos
5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 2 / 42
ULPGCLogo
Contenido
1 Interpolación de Hermite
2 Interpolación por splines cúbicos.
3 Interpolación utilizando la función seno cardinal
4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos
5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 3 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIEl problema de interpolación
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 4 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación Lineal
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 5 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación a través del polinomio de Lagrange
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 6 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Se interpola tanto la función como su derivada
Figura:
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 7 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Se interpola tanto la función como su derivada.
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 8 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpolador P(x)para que P(xi ) = f (xi ).
En el caso de Hermite además de ajustar el valor dela función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3. Por tanto
P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0 →
{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =
312
x3 − 34
x +12
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 9 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpolador P(x)para que P(xi ) = f (xi ). En el caso de Hermite además de ajustar el valor dela función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3. Por tanto
P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0 →
{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =
312
x3 − 34
x +12
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 9 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpolador P(x)para que P(xi ) = f (xi ). En el caso de Hermite además de ajustar el valor dela función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser ?
3. Portanto
P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0 →
{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =
312
x3 − 34
x +12
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 9 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpolador P(x)para que P(xi ) = f (xi ). En el caso de Hermite además de ajustar el valor dela función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3. Por tanto
P ′(x) = ?
a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0 →
{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =
312
x3 − 34
x +12
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 9 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpolador P(x)para que P(xi ) = f (xi ). En el caso de Hermite además de ajustar el valor dela función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3. Por tanto
P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ?
ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0 →
{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =
312
x3 − 34
x +12
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 9 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpolador P(x)para que P(xi ) = f (xi ). En el caso de Hermite además de ajustar el valor dela función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3. Por tanto
P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema
?
{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0 →
{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =
312
x3− 34
x +12
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 9 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpolador P(x)para que P(xi ) = f (xi ). En el caso de Hermite además de ajustar el valor dela función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3. Por tanto
P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0 →
{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =
312
x3 − 34
x +12
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 9 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación -1,1..
Polinomio de Hermite H0−1(x) Polinomio de Hermite H0
1 (x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 10 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación -1,1..
Polinomio de Hermite H1−1(x) Polinomio de Hermite H1
1 (x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 11 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación -1,1..
Vamos a calcular H1−1(x) que verifica que P(−1) = P(1) = P ′(1) = 0 y
P ′(−1) = 1. Como P(x) vale 0 en −1,1 se tiene que
P(x) = ?
(x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b
derivando obtenemosP ′(x) = 3ax2 + 2bx − a
Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0 →
{a = 1/4
b = −1/4 → H1−1(x) = (x2 − 1)(
14
x +14)
En función de los polinomios base de Hermite H0−1(x),H
01 (x),H
1−1(x),H
11 (x),
el polinomio que interpola a una función en f (−1), f (1), f ′(−1) y f ′(1) es
P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0
1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1
1 (x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 12 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación -1,1..
Vamos a calcular H1−1(x) que verifica que P(−1) = P(1) = P ′(1) = 0 y
P ′(−1) = 1. Como P(x) vale 0 en −1,1 se tiene que
P(x) = (x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b
derivando obtenemos
P ′(x) = ?
3ax2 + 2bx − a
Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0 →
{a = 1/4
b = −1/4 → H1−1(x) = (x2 − 1)(
14
x +14)
En función de los polinomios base de Hermite H0−1(x),H
01 (x),H
1−1(x),H
11 (x),
el polinomio que interpola a una función en f (−1), f (1), f ′(−1) y f ′(1) es
P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0
1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1
1 (x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 12 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación -1,1..
Vamos a calcular H1−1(x) que verifica que P(−1) = P(1) = P ′(1) = 0 y
P ′(−1) = 1. Como P(x) vale 0 en −1,1 se tiene que
P(x) = (x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b
derivando obtenemosP ′(x) = 3ax2 + 2bx − a
Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema
?
{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0 →
{a = 1/4
b = −1/4 → H1−1(x) = (x2 − 1)(
14
x +14)
En función de los polinomios base de Hermite H0−1(x),H
01 (x),H
1−1(x),H
11 (x),
el polinomio que interpola a una función en f (−1), f (1), f ′(−1) y f ′(1) es
P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0
1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1
1 (x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 12 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación -1,1..
Vamos a calcular H1−1(x) que verifica que P(−1) = P(1) = P ′(1) = 0 y
P ′(−1) = 1. Como P(x) vale 0 en −1,1 se tiene que
P(x) = (x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b
derivando obtenemosP ′(x) = 3ax2 + 2bx − a
Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0 →
{a = 1/4
b = −1/4 → H1−1(x) = (x2 − 1)(
14
x +14)
En función de los polinomios base de Hermite H0−1(x),H
01 (x),H
1−1(x),H
11 (x),
el polinomio que interpola a una función en f (−1), f (1), f ′(−1) y f ′(1) es
P(x) = ?H0−1(x) +?H0
1 (x) +?H1−1(x) +?H1
1 (x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 12 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación -1,1..
Vamos a calcular H1−1(x) que verifica que P(−1) = P(1) = P ′(1) = 0 y
P ′(−1) = 1. Como P(x) vale 0 en −1,1 se tiene que
P(x) = (x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b
derivando obtenemosP ′(x) = 3ax2 + 2bx − a
Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0 →
{a = 1/4
b = −1/4 → H1−1(x) = (x2 − 1)(
14
x +14)
En función de los polinomios base de Hermite H0−1(x),H
01 (x),H
1−1(x),H
11 (x),
el polinomio que interpola a una función en f (−1), f (1), f ′(−1) y f ′(1) es
P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0
1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1
1 (x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 12 / 42
ULPGCLogo
Contenido
1 Interpolación de Hermite
2 Interpolación por splines cúbicos.
3 Interpolación utilizando la función seno cardinal
4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos
5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 13 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Uno de los problemas principales de la interpolación de Lagrange es que si elgrado del polinomio es alto, tiende a oscilar mucho.
EjemploEl polinomio base de Lagrange que verifica P(0) = 1 y P(xi ) = 0 sobre lospuntos xi = −5,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,5 es
P(x) = ?
(x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 16)(x2 − 25)(−5)(−4)(−3)(−2)(−1)(1)(2)(3)(4)(5)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 14 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Uno de los problemas principales de la interpolación de Lagrange es que si elgrado del polinomio es alto, tiende a oscilar mucho.
EjemploEl polinomio base de Lagrange que verifica P(0) = 1 y P(xi ) = 0 sobre lospuntos xi = −5,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,5 es
P(x) =(x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 16)(x2 − 25)(−5)(−4)(−3)(−2)(−1)(1)(2)(3)(4)(5)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 14 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 15 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Para evitar las oscilaciones de los polinomios de Lagrange, cuando se trabajacon muchos puntos de interpolación, se suele interpolar la función utilizandopolinomios a trozos, definiendo un polinomio distinto para cada intervalo[xi , xi+1]. La técnica más conocida es la interpolación por splines cúbicos,que son polinomios de grado 3. Por tanto, tendremos un polinomio de grado 3distinto P i
3(x) = di (x − xi )3 + ci (x − xi )
2 + bi (x − xi ) + ai para cada intervalo[xi , xi+1]. Si hay N + 1 puntos, el número de polinomios es N. Para definirestos polinomios, se imponen las siguientes condiciones:
P i3(xi ) = f (xi ) i = 0, ..,N − 1
P i3(xi+1) = f (xi+1) i = 0, ...,N − 1
∂P i3
∂x(xi+1) =
∂P i+13
∂x(xi+1) i = 0, ..,N − 2
∂2P i3
∂x2 (xi+1) =∂2P i+1
3∂x2 (xi+1) i = 0, ...,N − 2
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 16 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
TeoremaSi una familia de polinomiosP i
3(x) = di (x − xi )3 + ci (x − xi )
2 + bi (x − xi ) + ai , i = 0, ..,N − 1, satisfacelas condiciones anteriores, entonces
ai = f (xi ) i = 0, ..,N di =ci+1 − ci
3hii = 0, ..,N − 1 (1)
bi =ai+1 − ai
hi− hi (2ci + ci+1)
3i = 0, ..,N − 1
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hici+1 =3(ai+1 − ai )
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
para i = 1, ..,N − 1. donde hi = xi+1 − xi .. La última relación determina unsistema de ecuaciones en las variables ci . Dicho sistema tiene N + 1incognitas (c0, ..., cN) y N − 1 ecuaciones. Para completar dicho sistema, sesuele imponer que c0 = cN = 0.
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 17 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = ?
0. En este casohi = 1. Debemos definir 3 Polinomios distintos que corresponden a losintervalos [0,1], [1,2], y [2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi ) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hici+1 =3(ai+1 − ai )
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →
(c1c2
)=
(−2,22,8
)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 18 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este casohi = ?
1. Debemos definir 3 Polinomios distintos que corresponden a losintervalos [0,1], [1,2], y [2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi ) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hici+1 =3(ai+1 − ai )
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →
(c1c2
)=
(−2,22,8
)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 18 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este casohi = 1. Debemos definir ?
que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi ) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hici+1 =3(ai+1 − ai )
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →
(c1c2
)=
(−2,22,8
)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 18 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este casohi = 1. Debemos definir 3 Polinomios distintos que corresponden a losintervalos [0,1], [1,2], y [2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi ) :
a0 = ? a1 = ? a2 = ? a3 = ?
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hici+1 =3(ai+1 − ai )
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →
(c1c2
)=
(−2,22,8
)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 18 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este casohi = 1. Debemos definir 3 Polinomios distintos que corresponden a losintervalos [0,1], [1,2], y [2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi ) :
a0 = 0 a1 = ? a2 = ? a3 = ?
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hici+1 =3(ai+1 − ai )
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →
(c1c2
)=
(−2,22,8
)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 18 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este casohi = 1. Debemos definir 3 Polinomios distintos que corresponden a losintervalos [0,1], [1,2], y [2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi ) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = ? a3 = ?
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hici+1 =3(ai+1 − ai )
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →
(c1c2
)=
(−2,22,8
)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 18 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este casohi = 1. Debemos definir 3 Polinomios distintos que corresponden a losintervalos [0,1], [1,2], y [2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi ) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = ?
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hici+1 =3(ai+1 − ai )
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →
(c1c2
)=
(−2,22,8
)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 18 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este casohi = 1. Debemos definir 3 Polinomios distintos que corresponden a losintervalos [0,1], [1,2], y [2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi ) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hici+1 =3(ai+1 − ai )
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema ?
{4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →
(c1c2
)=
(−2,22,8
)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 18 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este casohi = 1. Debemos definir 3 Polinomios distintos que corresponden a losintervalos [0,1], [1,2], y [2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi ) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hici+1 =3(ai+1 − ai )
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →
(c1c2
)=
(−2,22,8
)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 18 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Los valores bi se calculan utilizando bi =ai+1−ai
hi− hi (2ci+ci+1)
3
b0 = 1,733 b1 = −0,467 b2 = 0,133
Los valores di se calculan utilizando di =ci+1−ci
3hi
d0 = −0,733 d1 = 1,667 d2 = −0,933
Por tanto, los polinomios son
P0(x) = −0,733x3 + 1,733x
P1(x) = 1,667 (x − 1)3 − 2,2 (x − 1)2 − 0,467 (x − 1) + 1
P2(x) = −0,933 (x − 2)3 + 2,8 (x − 2)2 + 0,133 (x − 2)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 19 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Los valores bi se calculan utilizando bi =ai+1−ai
hi− hi (2ci+ci+1)
3
b0 = 1,733 b1 = −0,467 b2 = 0,133
Los valores di se calculan utilizando di =ci+1−ci
3hi
d0 = −0,733 d1 = 1,667 d2 = −0,933
Por tanto, los polinomios son
P0(x) = −0,733x3 + 1,733x
P1(x) = 1,667 (x − 1)3 − 2,2 (x − 1)2 − 0,467 (x − 1) + 1
P2(x) = −0,933 (x − 2)3 + 2,8 (x − 2)2 + 0,133 (x − 2)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 19 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Los valores bi se calculan utilizando bi =ai+1−ai
hi− hi (2ci+ci+1)
3
b0 = 1,733 b1 = −0,467 b2 = 0,133
Los valores di se calculan utilizando di =ci+1−ci
3hi
d0 = −0,733 d1 = 1,667 d2 = −0,933
Por tanto, los polinomios son
P0(x) = −0,733x3 + 1,733x
P1(x) = 1,667 (x − 1)3 − 2,2 (x − 1)2 − 0,467 (x − 1) + 1
P2(x) = −0,933 (x − 2)3 + 2,8 (x − 2)2 + 0,133 (x − 2)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 19 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
a continuación se muestra una gráfica con los 3 polinomios concatenados enel intervalo [0,3]. Como puede observarse no se aprecia nada irregular en lasuniones de los intervalos. Parece una única función
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 20 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Presentamos ahora las gráficas de la función derivada y derivada segunda dela misma función:
derivada primera derivada segunda
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 21 / 42
ULPGCLogo
Contenido
1 Interpolación de Hermite
2 Interpolación por splines cúbicos.
3 Interpolación utilizando la función seno cardinal
4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos
5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 22 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
Una base de funciones interpolantes muy utilizada en la teoría de Fourier esla base formada a partir de la función seno cardinal, definida por
sin c(x) =sin(x)
x
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 23 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y paracualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0.
Dada una función f (x), sufunción interpolante en los puntos xi = a ⋅ i para i = M, ...,N viene dada porla función
f̃ (x) =N
∑i=M
f (xi )sin(π
( xa − i
))
π( x
a − i)
Esta base de funciones se suele utilizar cuando a partir de una señalmuestreada (por ejemplo una señal de sonido que se muestrea guardando elvalor de la señal cada cierto intervalo de tiempo) queremos recuperar la señaloriginal (por ejemplo para oir el sonido almacenado digitalmente).
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 24 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y paracualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0. Dada una función f (x), sufunción interpolante en los puntos xi = a ⋅ i para i = M, ...,N viene dada porla función
f̃ (x) =N
∑i=M
f (xi )sin(π
( xa − i
))
π( x
a − i)
Esta base de funciones se suele utilizar cuando a partir de una señalmuestreada (por ejemplo una señal de sonido que se muestrea guardando elvalor de la señal cada cierto intervalo de tiempo) queremos recuperar la señaloriginal (por ejemplo para oir el sonido almacenado digitalmente).
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 24 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y paracualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0. Dada una función f (x), sufunción interpolante en los puntos xi = a ⋅ i para i = M, ...,N viene dada porla función
f̃ (x) =N
∑i=M
f (xi )sin(π
( xa − i
))
π( x
a − i)
Esta base de funciones se suele utilizar cuando a partir de una señalmuestreada (por ejemplo una señal de sonido que se muestrea guardando elvalor de la señal cada cierto intervalo de tiempo) queremos recuperar la señaloriginal (por ejemplo para oir el sonido almacenado digitalmente).
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 24 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
EjemploSi f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2. La interpolación utilizando lafunción seno cardinal es:
f̃ (x) = ?sin(π (x − 1))π(x − 1)
+?sin(π (x − 3))π(x − 3)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 25 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
EjemploSi f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2. La interpolación utilizando lafunción seno cardinal es:
f̃ (x) = 1sin(π (x − 1))
π(x − 1)+ 2
sin(π (x − 3))π(x − 3)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 25 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
Comparación del sin x (en azul) con su aproximación utilizando sin c(x) (enrojo) tomando como puntos de interpolación x=−π, −π
2 ,0, π2 ,π.
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 26 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIComparación de la interpolación de Lagrange, los splines cúbicos y seno cardinal.
Polinomio de Lagrange (línea verde), splines cúbicos (línea azul), y lainterpolación por sin c(x) (línea roja).
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 27 / 42
ULPGCLogo
Contenido
1 Interpolación de Hermite
2 Interpolación por splines cúbicos.
3 Interpolación utilizando la función seno cardinal
4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos
5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 28 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos para aproximar funciones ondulatorias periódicas
f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 29 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Funciones base
f (x) = 2︸︷︷︸amplitud
cos( 1︸︷︷︸frecuencia
x) −2︸︷︷︸amplitud
cos( 2︸︷︷︸frecuencia
x) + 6︸︷︷︸amplitud
cos( 4︸︷︷︸frecuencia
x)
azulcos?x
rojocos?x
verdecos?x
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 30 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Funciones base
f (x) = 2︸︷︷︸amplitud
cos( 1︸︷︷︸frecuencia
x) −2︸︷︷︸amplitud
cos( 2︸︷︷︸frecuencia
x) + 6︸︷︷︸amplitud
cos( 4︸︷︷︸frecuencia
x)
azulcos 1x
rojocos?x
verdecos?x
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 30 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Funciones base
f (x) = 2︸︷︷︸amplitud
cos( 1︸︷︷︸frecuencia
x) −2︸︷︷︸amplitud
cos( 2︸︷︷︸frecuencia
x) + 6︸︷︷︸amplitud
cos( 4︸︷︷︸frecuencia
x)
azulcos 1x
rojocos 2x
verdecos?x
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 30 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Funciones base
f (x) = 2︸︷︷︸amplitud
cos( 1︸︷︷︸frecuencia
x) −2︸︷︷︸amplitud
cos( 2︸︷︷︸frecuencia
x) + 6︸︷︷︸amplitud
cos( 4︸︷︷︸frecuencia
x)
azulcos 1x
rojocos 2x
verdecos 4x
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 30 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos
Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx = ?
cos kx + i sin kx
cos kx =eikx + e−ikx
2sin kx =
eikx − e−ikx
2
f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =
= 1eix + 1e−ix − 1ei2x − 1e−i2x + 3ei4x + 3e−i4x
Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π) usandopolinomios trigonométricos
f (x) ≈N
∑k=−N
ck eikx
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 31 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos
Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx = cos kx + i sin kx
cos kx = ?
eikx + e−ikx
2sin kx =
eikx − e−ikx
2
f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =
= 1eix + 1e−ix − 1ei2x − 1e−i2x + 3ei4x + 3e−i4x
Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π) usandopolinomios trigonométricos
f (x) ≈N
∑k=−N
ck eikx
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 31 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos
Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx = cos kx + i sin kx
cos kx =eikx + e−ikx
2sin kx = ?
eikx − e−ikx
2
f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =
= 1eix + 1e−ix − 1ei2x − 1e−i2x + 3ei4x + 3e−i4x
Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π) usandopolinomios trigonométricos
f (x) ≈N
∑k=−N
ck eikx
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 31 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos
Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx = cos kx + i sin kx
cos kx =eikx + e−ikx
2sin kx =
eikx − e−ikx
2
f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =
= ?eix +?e−ix −?ei2x −?e−i2x +?ei4x +?e−i4x
Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π) usandopolinomios trigonométricos
f (x) ≈N
∑k=−N
ck eikx
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 31 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos
Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx = cos kx + i sin kx
cos kx =eikx + e−ikx
2sin kx =
eikx − e−ikx
2
f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =
= 1eix + 1e−ix − 1ei2x − 1e−i2x + 3ei4x + 3e−i4x
Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π) usandopolinomios trigonométricos
f (x) ≈N
∑k=−N
ck eikx
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 31 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de los polinomiostrigonométricos
TeoremaLos coeficientes ck que minimizan el error cuadrático medio
E(c−N , ..., cN) =∫ π
−π
(f (x)−
N
∑k=−N
ck eikx
)2
dx son ck =
∫ π−π f (x)e−ikxdx
2π
Demostración Un mínimo de E(c−N , ..., cN), debe verificar :
∂E∂ck
(c−N , ..., cN) = ?
2∫ π
−π
(f (x)−
N
∑l=−N
cleilx
)eikxdx = 0
la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que∫ π
−πeilxeikxdx =
∫ π
−πei(l+k)xdx =
ei(l+k)x
i(l + k)
]π
−π
=
{2π si l = −k0 si l ∕= k
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 32 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de los polinomiostrigonométricos
TeoremaLos coeficientes ck que minimizan el error cuadrático medio
E(c−N , ..., cN) =∫ π
−π
(f (x)−
N
∑k=−N
ck eikx
)2
dx son ck =
∫ π−π f (x)e−ikxdx
2π
Demostración Un mínimo de E(c−N , ..., cN), debe verificar :
∂E∂ck
(c−N , ..., cN) = 2∫ π
−π
(f (x)−
N
∑l=−N
cleilx
)eikxdx = ?
0
la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que∫ π
−πeilxeikxdx =
∫ π
−πei(l+k)xdx =
ei(l+k)x
i(l + k)
]π
−π
=
{2π si l = −k0 si l ∕= k
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 32 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de los polinomiostrigonométricos
TeoremaLos coeficientes ck que minimizan el error cuadrático medio
E(c−N , ..., cN) =∫ π
−π
(f (x)−
N
∑k=−N
ck eikx
)2
dx son ck =
∫ π−π f (x)e−ikxdx
2π
Demostración Un mínimo de E(c−N , ..., cN), debe verificar :
∂E∂ck
(c−N , ..., cN) = 2∫ π
−π
(f (x)−
N
∑l=−N
cleilx
)eikxdx = 0
la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que∫ π
−πeilxeikxdx =
∫ π
−πei(l+k)xdx = ?
ei(l+k)x
i(l + k)
]π
−π
=
{2π si l = −k0 si l ∕= k
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 32 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de los polinomiostrigonométricos
TeoremaLos coeficientes ck que minimizan el error cuadrático medio
E(c−N , ..., cN) =∫ π
−π
(f (x)−
N
∑k=−N
ck eikx
)2
dx son ck =
∫ π−π f (x)e−ikxdx
2π
Demostración Un mínimo de E(c−N , ..., cN), debe verificar :
∂E∂ck
(c−N , ..., cN) = 2∫ π
−π
(f (x)−
N
∑l=−N
cleilx
)eikxdx = 0
la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que∫ π
−πeilxeikxdx =
∫ π
−πei(l+k)xdx =
ei(l+k)x
i(l + k)
]π
−π
= ?
{2π si l = −k0 si l ∕= k
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 32 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de los polinomiostrigonométricos
TeoremaLos coeficientes ck que minimizan el error cuadrático medio
E(c−N , ..., cN) =∫ π
−π
(f (x)−
N
∑k=−N
ck eikx
)2
dx son ck =
∫ π−π f (x)e−ikxdx
2π
Demostración Un mínimo de E(c−N , ..., cN), debe verificar :
∂E∂ck
(c−N , ..., cN) = 2∫ π
−π
(f (x)−
N
∑l=−N
cleilx
)eikxdx = 0
la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que∫ π
−πeilxeikxdx =
∫ π
−πei(l+k)xdx =
ei(l+k)x
i(l + k)
]π
−π
=
{2π si l = −k0 si l ∕= k
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 32 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación
Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3. Losvalores de ck son
c0 = ?
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+
2π
cos(x)− 23π
cos(3x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 33 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación
Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3. Losvalores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 = ?
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+
2π
cos(x)− 23π
cos(3x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 33 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación
Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3. Losvalores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 = ?
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+
2π
cos(x)− 23π
cos(3x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 33 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación
Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3. Losvalores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 = ?
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+
2π
cos(x)− 23π
cos(3x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 33 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación
Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3. Losvalores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) = ?+? cos(x)−? cos(3x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 33 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación
Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3. Losvalores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+? cos(x)−? cos(3x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 33 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación
Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3. Losvalores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+
2π
cos(x)−? cos(3x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 33 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación
Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3. Losvalores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+
2π
cos(x)− 23π
cos(3x)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 33 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación
La siguiente gráfica muestra la aproximación entre f (x) y P3(x):
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 34 / 42
ULPGCLogo
Contenido
1 Interpolación de Hermite
2 Interpolación por splines cúbicos.
3 Interpolación utilizando la función seno cardinal
4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos
5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 35 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 36 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 37 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
La aproximación mínimo cuadrática aproxima, a través de una función, unconjunto de valores de forma global, sin exigir que la función aproximantepase exactamente por ese conjunto de puntos.
Dado un conjunto de valores {(xi , yi )}i=1,..,N , la aproximación mínimocuadrática lineal consiste en buscar la recta y = ax + b, tal que la función deerror cuadrático
E(a,b) =N
∑i=1
(axi + b− yi )2
sea mínima. Esta aproximación en estadística se denomina regresión lineal
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 38 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
TeoremaLos valores a y b que minimizan el error cuadrático anterior son
a =N ∑N
i=1 xiyi −∑Ni=1 xi ∑N
i=1 yi
N ∑Ni=1 x2
i −(
∑Ni=1 xi
)2 y b =∑N
i=1 x2i ∑N
i=1 yi −∑Ni=1 xiyi ∑N
i=1 xi
N ∑Ni=1 x2
i −(
∑Ni=1 xi
)2
Demostración En primer lugar, observamos que, dada la forma cuadráticaque tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimo delfuncional E(a,b), las derivadas parciales son ?
cero, y por tanto
∂E∂a
(a,b) = 2N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 y∂E∂b
(a,b) = 2N
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas son a y b, ycuya resolución lleva al resultado establecido en el teorema.
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 39 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
TeoremaLos valores a y b que minimizan el error cuadrático anterior son
a =N ∑N
i=1 xiyi −∑Ni=1 xi ∑N
i=1 yi
N ∑Ni=1 x2
i −(
∑Ni=1 xi
)2 y b =∑N
i=1 x2i ∑N
i=1 yi −∑Ni=1 xiyi ∑N
i=1 xi
N ∑Ni=1 x2
i −(
∑Ni=1 xi
)2
Demostración En primer lugar, observamos que, dada la forma cuadráticaque tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimo delfuncional E(a,b), las derivadas parciales son cero, y por tanto
∂E∂a
(a,b) = ?
2N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 y∂E∂b
(a,b) = 2N
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas son a y b, ycuya resolución lleva al resultado establecido en el teorema.
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 39 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
TeoremaLos valores a y b que minimizan el error cuadrático anterior son
a =N ∑N
i=1 xiyi −∑Ni=1 xi ∑N
i=1 yi
N ∑Ni=1 x2
i −(
∑Ni=1 xi
)2 y b =∑N
i=1 x2i ∑N
i=1 yi −∑Ni=1 xiyi ∑N
i=1 xi
N ∑Ni=1 x2
i −(
∑Ni=1 xi
)2
Demostración En primer lugar, observamos que, dada la forma cuadráticaque tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimo delfuncional E(a,b), las derivadas parciales son cero, y por tanto
∂E∂a
(a,b) = 2N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 y∂E∂b
(a,b) = ?
2N
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas son a y b, ycuya resolución lleva al resultado establecido en el teorema.
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 39 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
TeoremaLos valores a y b que minimizan el error cuadrático anterior son
a =N ∑N
i=1 xiyi −∑Ni=1 xi ∑N
i=1 yi
N ∑Ni=1 x2
i −(
∑Ni=1 xi
)2 y b =∑N
i=1 x2i ∑N
i=1 yi −∑Ni=1 xiyi ∑N
i=1 xi
N ∑Ni=1 x2
i −(
∑Ni=1 xi
)2
Demostración En primer lugar, observamos que, dada la forma cuadráticaque tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimo delfuncional E(a,b), las derivadas parciales son cero, y por tanto
∂E∂a
(a,b) = 2N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 y∂E∂b
(a,b) = 2N
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas son a y b, ycuya resolución lleva al resultado establecido en el teorema.
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 39 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Efectívamente si partimos de
N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 yN
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
esto nos lleva al sistema : {a?+ b? = ?a?+? = ?
cuya solución por el método de Cramer es
a =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Efectívamente si partimos de
N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 yN
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
esto nos lleva al sistema : {a ∑N
i=1 x2i + b? = ?
a?+? = ?
cuya solución por el método de Cramer es
a =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Efectívamente si partimos de
N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 yN
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
esto nos lleva al sistema :{a ∑N
i=1 x2i + b ∑N
i=1 xi = ?a?+? = ?
cuya solución por el método de Cramer es
a =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Efectívamente si partimos de
N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 yN
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
esto nos lleva al sistema :{a ∑N
i=1 x2i + b ∑N
i=1 xi = ∑Ni=1 yixi
a?+? = ?
cuya solución por el método de Cramer es
a =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Efectívamente si partimos de
N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 yN
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
esto nos lleva al sistema :{a ∑N
i=1 x2i + b ∑N
i=1 xi = ∑Ni=1 yixi
a ∑Ni=1 xi +? = ?
cuya solución por el método de Cramer es
a =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Efectívamente si partimos de
N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 yN
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
esto nos lleva al sistema :{a ∑N
i=1 x2i + b ∑N
i=1 xi = ∑Ni=1 yixi
a ∑Ni=1 xi + b ∑N
i=1 1 = ?
cuya solución por el método de Cramer es
a =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Efectívamente si partimos de
N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 yN
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
esto nos lleva al sistema :{a ∑N
i=1 x2i + b ∑N
i=1 xi = ∑Ni=1 yixi
a ∑Ni=1 xi + b ∑N
i=1 1 = ∑Ni=1 yi
cuya solución por el método de Cramer es
a =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Efectívamente si partimos de
N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 yN
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
esto nos lleva al sistema :{a ∑N
i=1 x2i + b ∑N
i=1 xi = ∑Ni=1 yixi
a ∑Ni=1 xi + b ∑N
i=1 1 = ∑Ni=1 yi
cuya solución por el método de Cramer es
a =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2
i ∑Ni=1 xi
∑Ni=1 xi N
∣∣∣∣ b =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Efectívamente si partimos de
N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 yN
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
esto nos lleva al sistema :{a ∑N
i=1 x2i + b ∑N
i=1 xi = ∑Ni=1 yixi
a ∑Ni=1 xi + b ∑N
i=1 1 = ∑Ni=1 yi
cuya solución por el método de Cramer es
a =
∣∣∣∣ ∑Ni=1 yixi ∑N
i=1 xi
∑Ni=1 yi N
∣∣∣∣∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2
i ∑Ni=1 xi
∑Ni=1 xi N
∣∣∣∣ b =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Efectívamente si partimos de
N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 yN
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
esto nos lleva al sistema :{a ∑N
i=1 x2i + b ∑N
i=1 xi = ∑Ni=1 yixi
a ∑Ni=1 xi + b ∑N
i=1 1 = ∑Ni=1 yi
cuya solución por el método de Cramer es
a =
∣∣∣∣ ∑Ni=1 yixi ∑N
i=1 xi
∑Ni=1 yi N
∣∣∣∣∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2
i ∑Ni=1 xi
∑Ni=1 xi N
∣∣∣∣ b =
∣∣∣?∣∣∣∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2
i ∑Ni=1 xiyi
∑Ni=1 xi N
∣∣∣∣Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
Efectívamente si partimos de
N
∑i=1
(axi + b− yi ) xi = 0 yN
∑i=1
(axi + b− yi ) = 0
esto nos lleva al sistema :{a ∑N
i=1 x2i + b ∑N
i=1 xi = ∑Ni=1 yixi
a ∑Ni=1 xi + b ∑N
i=1 1 = ∑Ni=1 yi
cuya solución por el método de Cramer es
a =
∣∣∣∣ ∑Ni=1 yixi ∑N
i=1 xi
∑Ni=1 yi N
∣∣∣∣∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2
i ∑Ni=1 xi
∑Ni=1 xi N
∣∣∣∣ b =
∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2
i ∑Ni=1 xiyi
∑Ni=1 xi ∑N
i=1 yi
∣∣∣∣∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2
i ∑Ni=1 xiyi
∑Ni=1 xi N
∣∣∣∣Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50 cm, a los3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm. Calcular la tasade variación del peso del niño utilizando una aproximación mínimocuadrática.
Solución: Tenemos que calcular a =N ∑N
i=1 xi yi−∑Ni=1 xi ∑N
i=1 yi
N ∑Ni=1 x2
i −(∑Ni=1 xi)
2
Cálculando cada término por separado tenemos
N
∑i=1
xiyi = ?
1221N
∑i=1
xi
N
∑i=1
yi = 4464N
∑i=1
x2i = 126
(N
∑i=1
xi
)2
= 324
Por tanto la tasa de variación es a =4 ⋅ 1221− 4464
4 ⋅ 126− 324=
73
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 41 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50 cm, a los3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm. Calcular la tasade variación del peso del niño utilizando una aproximación mínimocuadrática.
Solución: Tenemos que calcular a =N ∑N
i=1 xi yi−∑Ni=1 xi ∑N
i=1 yi
N ∑Ni=1 x2
i −(∑Ni=1 xi)
2
Cálculando cada término por separado tenemos
N
∑i=1
xiyi = 1221N
∑i=1
xi
N
∑i=1
yi = ?
4464N
∑i=1
x2i = 126
(N
∑i=1
xi
)2
= 324
Por tanto la tasa de variación es a =4 ⋅ 1221− 4464
4 ⋅ 126− 324=
73
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 41 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50 cm, a los3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm. Calcular la tasade variación del peso del niño utilizando una aproximación mínimocuadrática.
Solución: Tenemos que calcular a =N ∑N
i=1 xi yi−∑Ni=1 xi ∑N
i=1 yi
N ∑Ni=1 x2
i −(∑Ni=1 xi)
2
Cálculando cada término por separado tenemos
N
∑i=1
xiyi = 1221N
∑i=1
xi
N
∑i=1
yi = 4464N
∑i=1
x2i = ?
126
(N
∑i=1
xi
)2
= 324
Por tanto la tasa de variación es a =4 ⋅ 1221− 4464
4 ⋅ 126− 324=
73
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 41 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50 cm, a los3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm. Calcular la tasade variación del peso del niño utilizando una aproximación mínimocuadrática.
Solución: Tenemos que calcular a =N ∑N
i=1 xi yi−∑Ni=1 xi ∑N
i=1 yi
N ∑Ni=1 x2
i −(∑Ni=1 xi)
2
Cálculando cada término por separado tenemos
N
∑i=1
xiyi = 1221N
∑i=1
xi
N
∑i=1
yi = 4464N
∑i=1
x2i = 126
(N
∑i=1
xi
)2
= ?
324
Por tanto la tasa de variación es a =4 ⋅ 1221− 4464
4 ⋅ 126− 324=
73
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 41 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50 cm, a los3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm. Calcular la tasade variación del peso del niño utilizando una aproximación mínimocuadrática.
Solución: Tenemos que calcular a =N ∑N
i=1 xi yi−∑Ni=1 xi ∑N
i=1 yi
N ∑Ni=1 x2
i −(∑Ni=1 xi)
2
Cálculando cada término por separado tenemos
N
∑i=1
xiyi = 1221N
∑i=1
xi
N
∑i=1
yi = 4464N
∑i=1
x2i = 126
(N
∑i=1
xi
)2
= 324
Por tanto la tasa de variación es a = ?
4 ⋅ 1221− 44644 ⋅ 126− 324
=73
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 41 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados
ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50 cm, a los3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm. Calcular la tasade variación del peso del niño utilizando una aproximación mínimocuadrática.
Solución: Tenemos que calcular a =N ∑N
i=1 xi yi−∑Ni=1 xi ∑N
i=1 yi
N ∑Ni=1 x2
i −(∑Ni=1 xi)
2
Cálculando cada término por separado tenemos
N
∑i=1
xiyi = 1221N
∑i=1
xi
N
∑i=1
yi = 4464N
∑i=1
x2i = 126
(N
∑i=1
xi
)2
= 324
Por tanto la tasa de variación es a =4 ⋅ 1221− 4464
4 ⋅ 126− 324=
73
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 41 / 42
ULPGCLogo
Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados. Gráficas de crecimieno de niños
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 42 / 42
Top Related