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1
CLASE No 3. RELACION ESFUERZO-DEFORMACIN EN CONCRETOCONFINADO. MODELO DE MANDER ET AL.
Posgrado Ingeniera, UNAM
Mario E. Rodrguez
Febrero 12, 2014
Figura 1Curvas esfuerzo-deformacin del concreto sin confinar y confinado.
Los esfuerzos y deformaciones en el concreto que se muestran en la Fig 1 se expresan de
manera adimensional mediante:
c
cc
f
y '
(1)
c
cc
x
(2)
La expresin para la curva esfuerzo-deformacin del concreto confinado es:
xry
r 1 x
(3)
c
c sec
ErE E
(4)
ccsec
cc
fE
(5)
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2
cccc
c
f ' 0.002 1 5 1
f '
(6)
l lcc
c c
7.94 f ' f ' f 2.254 1 2 1.254
f ' f '
(7)
Parmetro flen una seccin circular
El parmetro fl es el esfuerzo lateral de confinamiento efectivo dado por el refuerzo
transversal, y es funcin del esfuerzo lateral de confinamiento mximo en una seccin
circular,fl, definido como:
h spl
2 f A
f D' s (8)
Adems:
sps
4 A
sD' (9)
(8) y (9)
l s yh
1f f
2 (10)
El parmetro fl es una fraccin de fly es igual a:
l e lf ' K f (11)
Donde para una seccin circular se consideraKe=0.95
Parmetro flen una seccin rectangular
En una seccin rectangular es posible tener cuantas de refuerzo transversal diferentes en
ambas direcciones principales, x y y, por lo que hay expresiones de confinamiento paracada direccin.
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3
Figura 2
En la seccin de la Fig 2, siAsxes el rea total del refuerzo transversal en la direccin x, ysi bc y dc son las dimensiones a ejes del refuerzo transversal en las direcciones x y y,
respectivamente, se tiene:
sx c sxx
c c c
A b A
b d s d s (12)
Similarmente
syy
c
A
b s (13)
En una seccin rectangular el esfuerzo lateral mximo de confinamiento en la direccinxse
encuentra empleando el equilibrio de la fuerza mxima del refuerzo transversal, Asxfyh, y la
fuerza de confinamientoflxs dc lo que lleva a:
sxlx yh x yh
c
Af f f
sd (14)
Similarmente
ly y yhf f (15)
Los valores flxy flyse convierten a valores de confinamiento efectivo, lo que se debe a la
menor eficiencia de confinamiento de un refuerzo transversal rectangular respecto a uno
circular, como muestra la Figura 3, lo que lleva a los confinamientos efectivos flxyfly:
lx e x yhf ' K f (16)
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4
ly e y yhf ' K f (17)
DondeKees igual a 0.75 para secciones rectangulares y 0.6 para secciones rectangulares de
muros.
Figura 3. Confinamiento efectivo en columnas
La deformacin ltima del concreto en compresin correspondiente a la fractura del
refuerzo transversal, cu, es (Priestley et al., 1996)
s yh sucu
cc
1.4 f 0.004
f ' (18)
Donde sues la deformacin ltima del acero de refuerzo transversal y sest dado por la
ec (9) en secciones circulares y es igual a x+yen secciones rectangulares.
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1
CLASE No 4. ACERO DE REFUERZO EN ELEMENTOS DE CONCRETO
REFORZADO
Posgrado Ingeniera, UNAM
Mario E. Rodrguez
Febrero 14, 2014
INTRODUCCIN
En estructuras de concreto reforzado es relevante conocer el comportamiento del acero de
refuerzo, dado que es parte fundamental en la respuesta de un elemento de concreto
reforzado a todo tipo de accin particularmente en el caso de acciones ssmicas. En lo que
sigue se evala este comportamiento tanto en el estado monotonico de cargas como en el
caso cclico tpico de acciones ssmicas. Es necesario hacer nfasis en reconocer la
variabilidad de las propiedades mecnicas del acero de refuerzo, lo que tambin se evala
en esta seccin.
CURVA ESFUERZO-DEFORMACIN DE ACEROS DE REFUERZO
Es comn que en los procedimientos de diseo de estructuras de concreto se considere que
la curva esfuerzo-deformacin del acero de refuerzo es del tipo elastoplstico, es decir se
ignora las caractersticas reales de la curva esfuerzo-deformacin del acero. . Este es el caso
del ACI 318-11. En esta normativa, para el diseo por capacidad de elementos de concreto
reforzado en zonas ssmicas se considera un incremento de la capacidad resistente a
fluencia del acero, para lo cual se emplea el factor 1.25, con el fin de tomar en cuenta dos
factores, la relacin de la resistencia a fluencia medida a la especificada, as como elincremento de resistencia debido al endurecimiento por deformacin. Como se comenta
ms adelante, este factor podra estar subestimado.
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2
CURVA ESFUERZO-DEFORMACIN MONOTNICA TPICA DE ACEROS DE
REFUERZO
La Fig 1 muestra una curva esfuerzo-deformacin tpica de aceros de refuerzo considerando
un comportamiento monotnico. Las zonas de esta curva son las siguientes:
1) Zona elstica: ocurre en el intervalo 0 s y , donde s es la deformacin dela barra de refuerzo. Si el mdulo de elasticidad del acero es Es, el esfuerzo en este
intervalo de deformaciones es
s s sf E (1)2) Zona de fluencia: ocurre en el intervalo s sh , en el que sh es la
deformacin del acero correspondiente al inicio de la zona de endurecimiento por
deformacin (Fig 1). El esfuerzo en esta zona se evala como
s yf f (2)3) Zona de endurecimiento por deformacin: en el modelo que aqu se emplea se
considera que la deformacin ltima, su , es la correspondiente a la ruptura de la
barra, y en modelo simplista que aqu se emplea se considera que corresponde al
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3
esfuerzo mximo alcanzado en la barra, suf . Esta zona se ubica en el intervalo
sh s su . En realidad a partir de suf hay una zona descendente de la curva
esfuerzo-deformacin,; sin embargo, aqu se considera que esta zona no es de
importancia. La zona de endurecimiento por deformacin se define mediante laexpresin (Mander, 1984):
P
su ss y y su
su sh
f f f f
(3)El parmetro P propuesto por Mander (1984) se define diferenciando la Ec 3 respecto a s
y haciendo s sh , con lo que se obtiene
ssh
s
d f
E d (4)Donde Eshrepresenta la pendiente de la curva al inicio de la zona de endurecimiento por
deformacin.
Con las Ecs (3) y (4) se obtiene
su sh
sh
su y
P Ef f
(5)
Aun cuando la Ec (5) lleva a una buena correlacin entre resultados experimentales y
analticos (Mander, 1984), un inconveniente del empleo de Eshes que variaciones pequeasde valores experimentales que se empleen pueden llevar a cambios importantes en los
valores de P, por lo que es ms sencillo y con mejor precisin emplear los datos de un
punto de la curva esfuerzo-deformacin en la zona de endurecimiento por deformacin
1 1,sh sh f , con lo cual empleando la Ec 3 se obtiene:
1
1
l g
l g
su sh
su y
su sh
su sh
f f
f fP (6)
La inspeccin de las Ecs que definenfsen los diferentes intervalos de s indican que hay
cinco parmetros bsicos que permiten definirfsy son:fy, fsu,sh, su,Es,y P. ComoPyEsh
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4
estn relacionados, se podra usarEsh; sin embargo, por las razones arriba mencionadas se
sugiere emplearPdefinido con la Ec (6).
VALORES TIPICOS DE LOS PARMETROS QUE DEFINEN LA CURVA
ESFUERZO-DEFORMACIN DE BARRAS DE REFUERZO PRODUCIDOS EN
MEXICO
Rodrguez y Botero (1996) estudiaron un total de 100 probetas de barras de refuerzo,
obtenidas de manera aleatoria del mercado nacional en 1993, con el fin de obtener los
valores de los parmetros aqu descritos que permiten definir la curva esfuerzo-
deformacin monotonica. La Tabla 1 muestra los estadsticos encontrados para las barras:
Tabla 1. ESTADSTICOS DE BARRAS ENSAYADAS
f (kg/cm) sh fsu (kg/cm) su suu P
X 4591 0.0075 7465 0.1289 0.1754 3.421
S 288 0.0052 250 0.0229 0.0618 0.366
V 0.0630 0.6870 0.0340 0.1780 0.3520 0.1070
En la Tabla 1 los parmetros X, S y V corresponden a la media, desviacin estndar y
coeficiente de variacin, respectivamente, el parmetro suu corresponde a la fractura del
refuerzo.
CURVAS ESFUERZO-DEFORMACIN EN BARRAS DE REFUERZO SOMETIDAS A
CARGA MONOTONICA EN COMPRESIN SIN PANDEO (BARRAS CORTAS)
Generalmente se considera que la curva esfuerzo-deformacin de una barra corta en
compresin es igual y con signo opuesto a la curva en traccin. Dodd y Restrepo (1995)han mostrado que en realidad las curvas monotnicas esfuerzo-deformacin en tensin y
compresin son en realidad prcticamente iguales si el esfuerzo y deformacin se
consideran en las llamadas coordenadas naturales, las cuales toman en cuenta la geometra
instantnea de la barra bajo cargas axiales. Estas coordenadas son diferentes a las
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comnmente empleadas, las que aqu denominamos coordenadas ingenieriles. Estas
coordenadas se describen a continuacin.
El esfuerzo de ingeniera, , y la deformacin de ingeniera, , se definen como:
o
P (7)
1
o
lo
lo o o
l ldl
l l l
(8)
donde ol es la longitud inicial del elemento, les la longitud instantnea del elemento, l es el cambio de longitud del elemento,Pes la carga axial, yAoes rea inicial del elemento.
La deformacin en las coordenadas naturales, ' , se define como (Dodd y Restrepo, 1995):
l n o
l
lo
dl l
l l (9)y la deformacin natural e ingenieril se relacionan con:
l n 1 (10)El concepto de esfuerzo en coordenadas naturales describe mejor el esfuerzo actuante en un
elemento. Este esfuerzo, , est relacionado con el rea instantnea, A, y se define como:
P (11)Los esfuerzos en coordenadas naturales y de ingeniera se relacionan mediante (Dodd y
Restrepo, 1995):
1
(12)
Considerando que las curvas en traccin y compresin son iguales y opuestas en el sistema
de coordenadas naturales, (Dodd y Restrepo, 1995) han mostrado que en las coordenadas
de ingeniera, el esfuerzo en traccin, s, y la deformacin en tensin, s, corresponden al
esfuerzo en compresin, sc, y deformacin en compresin, sc, respectivamente, y se
pueden relacionar mediante:
2
1 sc s s (13)
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6
1s
sc
s
(14)
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
(kg/cm)
in/in
Tensin
Compresinexperimentalcompresinterico
ACEROS DE REFUERZO PRODUCIDOS EN MEXICO
En Mxico se producen dos tipos de acero, equivalentes a los de la Norma ASTM, ASTM
615 y ASTM 706. El primero corresponde a la norma Mexicana NMX-B-506-
CANACERO-2011, y se produce con valores especificados de fy iguales a 4,200 y 5,200
kg/cm2. El segundo tipo de acero, que se considera soldable, es el que sigue la Norma
NMX-B-457-CANACERO-2013, y se produce con valores de fy iguales a 4,200 y 5,600
kg/cm2. Adems de la soldabilidad, una ventaja de este ltimo acero respecto al de la
norma Mexicana NMX-B-506-CANACERO-2011, es que el alargamiento mnimo
especificado por la norma NMX-B-457-CANACERO-2013 es mayor, en algunos casos en
50%, que los valores especificados por la norma NMX-B-506-CANACERO-2011, es decir
se esperara una mejor respuesta ssmica del elemento estructural.
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7
REFERENCIAS
Rodrguez, M, Botero, J.C.(1995). "Comportamiento ssmico de estructuras considerandopropiedades mecnicas de aceros de refuerzo mexicanos". Revista Ingeniera Ssmica,Sociedad Mexicana de Ingeniera Sismica. 1995, No 49, pp 39-50.
. Rodriguez, M., Botero, J.C"Aspectos del comportamiento ssmico de estructuras de concreto reforzado considerando
las propiedades mecanicas de aceros de refuerzo producidos en Mexico". Publicacin de laseries del Instituto de Ingeniera, No 575, Enero 1996.
. Rodriguez, M y Botero, JC"Comportamiento de barras de refuerzo sometidas a cargas monotonicas y ciclicas reversiblesincluyendo pandeo". Publicacin de la series del Instituto de Ingeniera, No 610, Noviembre1998.
. Rodrguez, M, Botero, J.C. (1997)Evaluacin del comportamiento de barras de acero de refuerzo sometidas a cargasmonotnicas y ciclicas reversibles incluyendo pandeo. Revista Ingeniera Ssmica,Sociedad Mexicana de Ingeniera Ssmica Vol 56, 9-27
Norma Mexicana NMX-B-506-CANACERO-2011, Industria Siderurgica-Varillacorrugada de acero para refuerzo de concreto- Especificaciones y mtodo de prueba.
Norma Mexicana NMX-B-457-CANACERO-2013, Industria Siderurgica-Varillacorrugada de acero de baja aleacin para refuerzo de concreto- Especificaciones y mtodo
de prueba.
Dodd, L. L., and Restrepo-Posada, J. I. (1995). Model for predicting cyclic behavior ofreinforcing steel. J. Struct. Engrg., ASCE, 121(3), 433445.
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1
CLASE N0 5. RELACIONES ESFUERZO DEFORMACIN PARA
ACERO DE PRESFUERZO Y DE ALTA RESISTENCIA
Mario Rodriguez, Miguel Torres
Posgrado de Ingeniera, UNAM
18-02-14
Las relaciones esfuerzo deformacin del acero de alta resistencia tipo Grado100 tiene
semejanza con el correspondiente al de las barras de pretensado de alta resistencia
fabricado con los requisitos de la norma ASTM A722 (ASTM A 22-2003). Las relaciones
esfuerzo deformacin de este tipo de acero, as como del acero de prefuerzo (Norma
ASTM A-416) se pueden representar por la funcin modificada Ramberg-Osgood descritams adelante.
La ecuacin Ramberg-Osgood describe la relacin no lineal entre el esfuerzo y la
deformacin, esto es la curva esfuerzo-deformacin y es especialmente til para representar
la curva del acero debido a que presenta endurecimiento por deformacin plstica con una
suave transicin elasto-plstica. La forma original de la ecuacin para la deformacin es la
siguiente.
=+
donde
: es la deformacin : es el esfuerzo : es el mdulo de Young : son constantes que dependen del tipo de material y describen el endurecimiento delmaterial
La expresin anterior presenta una modificacin , Fig 1, introduciendo un nuevo parmetro que relaciona , y el esfuerzo de fluencia . =+
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2
Usualmente en materiales como el acero de alta resistencia el factor es supuesto iguala 0.002.
Figura 1. La funcin modificada Ramberg Osgood
Mattock (1979) encontr que la funcin propuesta por Ramberg y Osgood (1943) describela relacin Esfuerzo-deformacin del acero de alta resistencia empleado en el concreto
pretensado.
Figura 2. Relacin esfuerzo deformacin del acero de alta resistencia y de la barra de
presfuerzo
La Figura 2 muestra la relacin entre el esfuerzo y la deformacin monotnica para elacero de alta resistencia y para las barras empleadas en elementos pretensados.
Una forma modificada de la ecuacin Ramberg-Osgood est dado por la siguiente
expresin.
= + 1 (1 + ())/
E
oE
oE
o
fo Es
Ep
fs
s
fym( , ym ) fsu( , su )
ym0.002
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3
donde:
= 1 /, factor constante
, mdulo de Young (ksi o MPa) e igual 29000 ksi (200 GPa)
, mdulo pos-elstico, igual cero para el acero Grade 100 , esfuerzo a deformacin cero de la lnea con pendiente pasando por el punto(,,) , esfuerzo (en ksi o MPa) , resistencia ltima a traccin del acero, intervalo de variacin 1.15 a 1.25
, esfuerzo de fluencia especificado 0.2% - fy=100 ksi (690MPa)
, esfuerzo de fluencia medido a 0.2% de deformacin- intervalo esperado 100 a 115 ksi(690 a 794 MPa) , potencia de la ec. R-O determinado mediante iteraciones o por otros mtodos(adimensional)
, deformacin unitaria , deformacin asociada a , 0.06 , deformacin de fluencia al 0.2% obtenido mediante +0.002La funcin descrita tiene una pendiente inicial y tiende a cuando la deformacin tiende a . La potencia controla la suavidad de la curva de transicin entre la zonaelstica y la zona de endurecimiento por deformacin. Sin embargo, se necesita que la
funcin pase por el punto ( , ) para un nico valor de .La mayor dificultad para obtener la curva la funcin R-O el calcular la potencia , dado queno hay una solucin cerrada se debe emplear una solucin numrica. Restrepo(**) ha
propuesto una expresin emprica para calcular la potencia
para el acero Grado 100 y est
dado por la siguiente expresin.
= 15.6 42.2+ +29.5
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4
Skogman et al (1988) y Davalapura yTadros (1992) presentan unaexpresin para la
prediccin de la curva esfuerzodeformacin para algunos tipos de acero de pretensado.
= + 1 1 + / Dondefpses el esfuerzo correspondiente a la deformacin ps,E, Q, Ky Rson constantes
para definir una curva adecuada, yfpy es el esfuerzo a 1% de deformacin. El esfuerzo fpy
se obtiene de resultados experimentales o con los estndares mnimos especificados por
ASTM.
Por ejemplo ASTMA-416 especifica que el mnimo fpy para Grado 270, acero de baja
relacin debe ser igual a 0.9 del esfuerzo de rupturafpu, i.e. 0.9(270)=243 ksi (1676 MPa).
Devalapura y Tadros et al (1992) proponen una expresin para aceros de baja relajacin
Grado 270 Ksi que se muestra a continuacin, el cual predice la curva esfuerzo-
deformacin con errores del orden de 1% respecto a valores experimentales, ver Fig 3:
Figura 3 Curva esfuerzo-deformacin para torones de presfuerzo
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= + 1+/ Donde
= = ( ) = / , es el esfuerzo correspondiente a la interseccin de las lneas correspondientes a la lnea
con pendiente elstica
E y la lnea con pendiente poselstica
. Una aproximacin
razonable para calcular es 1.04 .En la notacin de Tadros et al (1992) se emplean los siguientes parmetros, esfuerzo en refuerzo pretensado en flexin ltima, resistencia a traccin especificada de tendones de pretensado, resistencia especificada de fluencia de tendones de pretensado
, esfuerzo en refuerzo pretensado en flexin ltima
,,, , , , , constantes empleadas en la frmula, deformacin en tendones pretensados en flexin ltima, deformacin ltima en tendn pretensado
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6
Referencias
Skogman, CB., Tadros, M. K. y Grasmick, R., Flexural Strength of Prestressed Concrete
Members, PCI JOURNAL, V. 33, No5, September- October 1988,pp.9 6-123.
Devalapura R., Tadros M., Stress-Strain Modeling of 270 ksi Low-Relaxation Prestressing
Strands, PCI Journal, March-April 1992
Mattock, A.H., Flexural Strength of Prestressed Concrete Section by Programmable
Calculator, PCI Journal, V. 24, No 1, 1979, pp. 32-54.
ASTM A722 (2003), Standard Specification for Uncoated High-Strength Steel Bars for
Prestressing Concrete, ASTM
Ramberg, W. and Osgood, W. R., Description of stress-strain curves by three parameters
. Technical Note No.902, National Advisory Commmittee for Aeronautics, Washington
DC., 1943.
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FLE
Mario
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fuerza en
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1. Ensaye d
TOS DE
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on el cual s
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studiado p
. Los valorfibra de d
se poda c
la seccin,
1-k2)c, resp
espcimen
CONCR
e concreto
pretende r
a seccin e
r Mattock,
es de las fuformacin
nocer la fu
ver Fig 1
ectivamente
por Mattoc
TO RE
reforzado
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flexin.
Kriz y Hog
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k, Kriz y H
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19/60
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3
2
0. 5k c a (4)
Combinando (1) y (4):
2 1
0. 5k (5)
Las ecs (3) y (5) sugiere que si seleccionamos un valor apropiado para 1 que satisfaga
estas ecs, ese valor de 1 sera la solucin a emplear. Esto lo pudieron hacer Mattock et al
(1961) del ensaye de espcimen descrito, para lo cual graficaron los valores medidos de k1
k3, y de k2, contra fc, como muestra la Fig 3:
Figura 3. Calibracin de parmetro 1por Mattock et al. (1961)
El valor seleccionado para 1se defini como:
1= 0.85 para 170 fc280 kg/cm2
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5
a) Caso Secciones controladas por compresinSe refiere a secciones donde el valor de la deformacin del acero extremo, t ,es igual o
menor que la deformacin controlada por compresin de este refuerzo y la deformacin
mxima del concreto en compresin es 0.003. Para el caso de acero de fy 4200 kg/cm2, se
define el lmite de la deformacin controlada por compresin del refuerzo extremo como0.002.
b) Secciones controladas por traccinSe refiere a secciones donde t es igual o mayor que 0.005 y la deformacin mxima del
concreto en compresin es 0.003
c) Zona de transicinSecciones con valores de t entre el lmite de deformacin controlada por compresin y
0.005 pertenecen a una zona de transicin entre secciones controladas por compresin y portraccin.
REFERENCIAS
Mattock, A., Kriz, L., y Hognestad E., Rectangular Concrete Stress Distribution in
Ultimate Strength Design, ACI Journal , Vol 57, No 8, 1961, pp 875-926
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23/60
1
CLASE No 7. DISEO POR FLEXIN. Segunda parte
Posgrado de Ingeniera, UNAM
Mario Rodrguez
20-02-14
DEFORMACIONES Y MOMENTO RESISTENTE EN EL LIMITE DESECCIONES CONTROLADAS POR COMPRESION
a) Deformaciones b)Bloque equivalenteFigura 1. Deformaciones y fuerzas internas en una seccin de CR sometida a flexin.
Empleo del bloque equivalente del ACI 318
En este lmite s= y= 0.002 (acerofy=4200 kg/cm2)
Por definicin cu =0.003, de la compatibilidad de deformaciones y de tringulossemejantes:
0. 003 0. 003 0. 002
c d
c=0.6 d (1)
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
24/60
2
de la definicin de a:
a= 1 c (2)
de (1) y (2):
a= 0.6 1d (3)
Clculo de fuerzas internas
Fc= fuerza en el concreto
1
0. 85 ' 0. 6 0. 85 'c c cF f ab d f b
10. 51 'c cF f b d (4)
s yT A f
(5)
Parmetro jd
2
aj d d (6)
De (3) y (6)
11 0. 3d d (7)
Momento nominal resistente Mn:
n cM F j d (8)De (4), (7) y (8):
2 21 1
' 0. 5 1 0. 1 53n cM f bd (9)
Cuanta de acero, , para este caso:
Considerando T=Fc, igualando (4) y (5):
1 '0.51 c
y
f
f
(10)
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
25/60
3
DEFORMACIONES Y MOMENTO RESISTENTE EN EL LIMITE DESECCIONES CONTROLADAS POR TRACCION
En este lmite, s= 0.005
Empleando tringulos semejantes en el diagrama de deformaciones de la Fig 1:
a= 0.375 1 d (11)
Con un procedimiento similar al empleado en el caso anterior:
1
0. 319 'c cF f b d (12)
11 0. 188 d d (13)
De (8), (12) y (13):
2 21 1
' 0. 319 0. 0 598n cM f bd (14)
Igualando (5) y (12):
1 '0.319 c
y
f
f
(15)
CASO t=0.00376
Con el procedimiento de caso anterior
Del perfil de deformaciones
c= 0.444 d
a=0.444 1d
Fc=0.377 1fcb d (16)
HaciendoAsfyigual aFc:
Asfy= 0.377 1fcb d
1 '0.377 c
y
f
f
(17)
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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4
Definicin de condicin de deformacin balanceada:
Esta condicin existe en una seccin transversal cuando el refuerzo en traccin alcanza la
deformacin unitaria correspondiente a fyal mismo tiempo que el concreto en compresin
alcanza su deformacin unitaria supuesta de 0.003 (seccin 10.3.2 ACI 318-11).
Lo anterior lleva a que en el lmite de las secciones controladas por compresin se alcanza
la condicin de deformacin balanceada. Empleando entonces la ec (10) para la cuanta
asociada a este caso, y llamndola por conveniencia b, y dividiendo el valor de de la ec
(17) entre este valor definido de bse tiene:
0.75b
Este resultado muestra que el lmite 0.75 b lleva a que la deformacin unitaria neta de
traccin en el acero extremo en traccin, t, en el estado de resistencia nominal sea igual a
0.00376. Esta es la base para que el ACI 318-11 en su seccin 10.3.5 especifique que en
elementos no presforzados en flexin y elementos no presforzados con carga axial
mayorada de compresin menor de 0.10Agfc, t en el estado de resistencia nominal nodebe ser menorde0.004.
Definicin de Resistencia de Diseo (Seccin 9.3del ACI 318)
Con base en las definiciones dadas de secciones controladas por compresin, controladas
por traccin , y secciones en transicin, el ACI 318 define que la resistencia de diseo,R,es igual a la resistencia nominal,Rn, multiplicada por el factor . En secciones controladas
por compresin, es igual a 0.75 en elementos con refuerzo en espiral y 0.6 en otros
casos. En secciones controladas por traccin es igual a 0.9. En secciones en transicin se
permite emplear una variacin lineal desde el caso del lmite de secciones controladas por
compresin hasta el valor de 0.9, cuando el valor de t aumente desde el lmite de
deformacin unitaria controlada por compresin hasta el valor 0.005.
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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5
COMENTARIOS A LOS RESULTADOS ENCONTRADOS
a) Relacin Mn/ (f'cb d2)
Figura 2.Momento nominal adimensional. Casos lmites de secciones controladas por
compresin y por traccin, fy=4,200 kg/cm2
b) Valor de Mn
Figura 3. Momento nominal con dimensiones. Casos lmites de secciones controladas por
compresin y por traccin, fy=4,200 kg/cm2. Seccin b=30 cm, d=65 cm
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0 200 400 600
Mn/(f'cbd2)
f'c (kg/cm2)
Seccion_Lim_Traccion
Seccion_Lim_Comp
50
100
150
200
250
0 200 400 600
Mn(t-m)
f'c (kg/cm2)
Seccion_Lim_Traccion
Seccion_Lim_Comp
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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6
Se aprecia la tendencia de que para aumento de la resistencia del concreto puede aumentar
la resistencia a flexin nominal de la seccin de manera considerable.
c) Valor de
Figura 4. Cuantas de refuerzo para los casos lmites de secciones controladas por
compresin y por traccin, fy=4,200 kg/cm2.
d) Valor de con el parmetro t.
Figura 5. Variacin de con el parmetro t.
1%
2%
3%
4%
5%
0 200 400 600
f'c (kg/cm2)
Seccion_Lim_Traccion
Seccion_Lim_Comp
0.2
0.4
0.6
0.000 0.002 0.004 0.006
f
y/
(
1
f'c)
t
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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7
La Fig 5 muestra cmo el aumento de lleva a menor capacidad de deformacin del acero
de refuerzo en traccin, por lo que se emplea el lmite de 0.004 para t. y ya no se emplea el
concepto de cuanta balanceada, sino el concepto arriba enunciado. El objeto del empleo de
este valor de tes el garantizar una capacidad de deformacin mnima de una seccin en
flexin.
La Fig 6 muestra los mismos resultados de la Fig 5 pero para el caso particular fy=4200
kg/cm2, fc= 300 kg/cm
2.
Figura 6. Variacin de con el parmetro t. Caso fy=4200 kg/cm2, fc= 300 kg/cm
2
1%
2%
3%
4%
0.000 0.002 0.004 0.006
t
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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8
PROCEDIMIENTO DE DISEO POR FLEXION EN EL DF ANTES DE 2004
La Figura 7 muestra el bloque equivalente empleado el DF antes de 2004:
Figura 7. Criterio para el bloque equivalente segn la normativa anterior a 2004 para el DF
La fuerzaFcse consideraba igual a:
*
10. 8c cF f b d (18)
0. 4d d c (19)
Para el caso de s= y =0.002, de la compatibilidad se tiene la condicin de falla
balanceada:
c=cb=0.6d
reemplazando en (19)
jd=0.76d (20)
El momento resistente nominal de acuerdo con el Reglamento anterior del DF, MDF, esentonces con (18) y (20):
* 2
10. 365DF cM f b d (21)
LLamando MACIb a la condicin del momento nominal resistente para el caso lmite de
deformacin en el refuerzo cuando la seccin es controlada por compresin, t=0.002,
condicin de falla balanceada, se tiene de la ec (9)
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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9
2 2
1 1' 0. 5 1 0. 1 53ACI b cM f bd (22)
De (21) y (22), y por simplicidad haciendo f*c=fc: se tiene:
1
0. 365
0. 51 0. 165
DF
ACI b
M
M (23)
La ec (23) se ha graficado en la Fig 8, se aprecia que el momento MDF subestima la
resistencia a flexin de una seccin cuando aumenta la resistencia del concreto, lo que
oblig en 2004 al cambio actual de la normativa para el DF en este tema.
Figura 8. Variacin de la relacinMDF/MACIben funcin de fc.
0.90
0.95
1.00
0 200 400 600
MDF/MACI
f'c (kg/cm2)
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1
CLASE No 8. DISEO POR FLEXIN. Tercera parte
Posgrado de Ingeniera, UNAM
Mario Rodrguez
25-02-14
DISEO DE SECCIONES SIN REFUERZO EN COMPRESIN EMPLEANDO ELBLOQUE EQUIVALENTE DEL ACI
La Fig 1 muestra el concepto del bloque equivalente del ACI
Figura 1 . Bloque equivalente del ACI
La Fig 2 muestra la variacin de tversus en una seccin rectangular con solo refuerzo en
traccin, se considera fc=300 kg/cm2, fy=4200 kg/cm
2, se observa que en todos los casos
de la Figura se puede considerar sy.
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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2
Figura 2 Caso fc=300 kg/cm2
, fy=4200 kg/cm2
La ec (10) de la clase 7 representa la condicin de falla balanceada. La Fig 3 muestra los
valor de para los casos 0.5b,0.75 by b, parafy=4200 kg/cm2y variando fc. Para los
casos de diseo de trabes en flexin en zonas ssmicas, el ACI 318-11 en su seccin
21.5.2.1 especifica que el lmite superior de es 0.025 y debe adems ser mayor que 14/fy.
Estos lmites se han graficado con lneas continuas en la Fig 3.
Figura 3. Casos 0.5 b, 0.75 b y bpara el caso fy=4200 kg/cm2, y lmites del Captulo 21
del ACI 318-11
0.000
0.002
0.004
0.006
0% 1% 2% 3% 4%
t
0%
2%
4%
6%
0 200 400 600
f'c (kg/cm2)
Seccion_Lim_Compr
0.75b
Cuantiaminima
Cuantiamxima.
Cap_21_ACI318
0.5b
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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3
Aceptando la condicin de fluencia y la la hiptesis aproximada de un comportamiento
elastoplstico del acero de refuerzo, la fuerza actuante en el refuerzo sera As fy. El
momento nominal resistente seria:
( )2
n s y
aM A f d (1)
Del equilibrio de fuerzas
0.85 '
0.85 '
c s y
s y
c
f a b A f
A fa
f b
(2)
Combinado (1) y (2):
( 0.59 )'
s y
n s y
c
A fM A f df b
Introduciendo el parmetro =As/(bd) y simplificando se obtiene
2(1 0.59 )
' ' '
y yn
c c c
f fM
bd f f f (3)
En (3) se aprecia que el valor adimensional deMnqueda en funcin del parmetro'
y
c
f
f
Esto facilita el generar ayudas de diseo. Por ejemplo, los resultados de (3) se han
graficado en la Fig 4 para los valores probables del referido parmetro.
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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4
Figura 4. Momento resistente nominal adimensional en funcin de'
y
c
f
f
0.0
0.2
0.4
0.6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Mn/(f'cb
d2)
fy/f'c
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
36/60
5
DISEO DE SECCIONES CON ACERO EN COMPRESIN
La Fig 5 muestra una seccin con un rea de refuerzo en traccinAsy en compresinAs,
as como la distribucin de deformaciones y fuerzas actuantes en la seccin. Como en el
caso de la seccin sin acero en compresin:
0. 85 'c cF f ab (4)Para el cmputo de la fuerza en el acero en compresinFc, aceptamos para sun valor
igual a y. El valor de este parmetro se valuar posteriormente para revisar si esta hiptesis
es correcta, por tanto:
' 'c s yF A f (5)La fuerza enAs, suponiendo nuevamente la fluencia de este acero, lo que se revisar, esigual a
s yT A f (6)
En el equilibrio de fuerzas se obtiene
0. 85 ' 'c s sf ab A f y A f y
De donde
'0. 85 '
s s y
c
A faf ab
(7)
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
37/60
6
Figura 5. Seccin con aceros de refuerzo en traccin y compresin, deformaciones en la
seccin, y fuerzas actuantes.
Se verifica la hiptesis de fluencia de los aceros de refuerzo en traccin y compresin. De
triangulos semejantes de la Fig 5, la deformacin en el acero en compresin es:
1 ''
' 0. 003 0. 003sa dc d
c a (8)
y la deformacin para el acero en traccin es:
10. 003 0. 003s
d c d a
c a (9)
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
38/60
7
Por lo tanto la condicin a revisar para el acero en compresin es:
1 '
0. 003 'y
s y
s
fa dSi f f
a E (10)
La condicin a revisar para el acero en traccin es:
10. 003
y
s y
s
fd aSi f f
a E (11)
En el caso que estas condiciones se cumplan, tomando momentos respecto al acero en
traccin se tiene:
'0.85 ' ( ) ( ')2
n c s y
af ab d A f d d (12)
Si esas condiciones no se cumplen, del equilibrio de fuerzas se obtiene:
' '
0. 85 '
s s s s
c
f A fa
f a b (13)
De las ecs (8) y (9)
1 '
' ' 0. 003s s s s y a d
f E E o f a
(14)
1
0. 003s s s s y d a
f E E o f a (15)Con lo que se obtiene:
'0.85 ' ( ) ' ( ')2
n c s s
af ab d A f d d (16)
Se debe observar que los casos de deformaciones lmites de secciones controladas por
compresin o por traccin pueden ocurrir tanto en el caso de vigas sin refuerzo en
compresin como se ha visto, como en el caso de vigas doblemente armadas.
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
39/60
1
CLASE No 9. RELACIONES MOMENTO-CURVATURA
Posgrado de Ingeniera, UNAM
Comportamiento de elementos de concreto reforzado
Clave 68082, Grupo T011
Mario Rodrguez
06-03-14
La curvatura se define como la inversa del radio de curvatura,R, la rotacin por unidad
de longitud del elemento:
1
R (1)
Considerando el perfil de deformaciones de la seccin con una curvatura se tiene:
c
c
(2)
s
d c
(3)
Es decir la curvatura se pude expresar en funcin de la deformacin en compresin de la
fibra extrema o de la deformacin en traccin del refuerzo ms alejado del eje neutro.
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
40/60
Figur
Otra f
c
Relaci
De la
M
Done
relaci
1 Curvatur
orma til de
s
d
n entre m
eora de fle
cE I
Eces el m
n expresad
a en una sec
expresar la
mento y cu
in elstic
ulo elstico
en (5) se
cin de ele
curvatura d
4)
vatura
se tiene:
5)
del concret
uestra en la
ento de co
una secci
eIes el m
Fig 2.
creto refor
n es:
omento de i
c
ado
nercia de la seccin. La
2
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
41/60
3
Figura 2. Pendiente inicial de la relacin momento-curvatura
Empleando el diagrama momento-curvatura , la curvatura de fluencia, y, se define como,
ver Fig 2:
'
'
ACI
y yy
M
M
(6)
donde y se obtiene del diagrama momento-curvatura cuando ocurre la primera fluencia
del refuerzo longitudinal, la cual ocurre para el momento My. El momento MACI es el
calculado con el criterio del ACI haciendo el factor de reduccin de resistencia =1 y
empleando las propiedades medidas de los materiales. Es deseable en lugar deMACIemplear
la probable capacidad mxima en flexin de la seccin, Mpr, la cual se estudiar
posteriormente
La Fig 3, del libro del Park y Paulay (1975) muestra valores de la relacin u / ydonde u
es la curvatura ltima del concreto no confinado (cmax=0.003), y en este caso yes igual al
valor y. Estos resultados permiten mostrar que para una cuanta dada en traccin, el
aumento de acero en compresin hace la seccin ms dctil.
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
42/60
DESP
Un c
despla
colu
ssmic
en la
de des
Rotac
Si en
expre
u y
Cono
teora
p L
De (7
LAZAMIE
so prctic
zamientos
na de un pu
a horizontal
ltura de co
plazamietn
n plstica
a Fig 2 par
ar:
p
emos yy
rea-mome
p
y (8)
.
Figura 3
TOS Y R
de aplica
rotaciones
ente donde l
, est a una
umna, as c
s laterales e
p
el ltimo p
(7)
e acuerdo
to se obtie
(8)
ariacin d
TACIONE
cin de re
debido a fl
a altura del
distanciaL
omo el dia
n la column
unto de la c
on (7) es n
e
u / yen
EN ELE
ultados m
exin en el
centro de m
de la base.
rama ideali
a
rva le asoc
ecesario co
funcin de
ENTOS D
mento-cur
ementos de
asa, o punto
n esta Fig
ado de cur
iamos la cu
ocer ppar
y .
CR
atura es e
CR. La Fi
de aplicaci
se muestran
vaturas, as
vatura lti
a poder co
cmputo
4 muestra
n de la fue
los momen
como el pe
a u, se pue
ocer u .De
4
de
la
za
os
fil
de
la
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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5
( )p P u yL (9)
Figura 4. Curvaturas y perfil de desplazamientos inelsticos en una columna de puente
La longitud plsticaLpen columnas de CR es igual a (Priestley et al., 1996)
0.08 0.022 0.044P ye bl ye blL L f d f d (10)
dondefyeest en MPa y se recomienda hacerlo igual a 1.1fy.
Desplazamiento plsticoP
Este desplazamiento se calcula con la rotacin plstica py considerando la contribucin
elstica paraydebido al incremento deMACIal valorMu correspondiente al valor u, lo
que ocurre cuandoMuMACI . En el caso elastoplstico este incremento elstico es cero. Se
tiene:
1 ( ) 0.5up y P u y pACI
ML L L
M
(11)
El factor de ductilidad de desplazamiento,, es igual a:
u
y
(12)
adems
u y p (13)
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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6
Combinando (11) a (13) y empleando la relacin y/y=3/L2, , se obtiene
3 ( 1) 1 0.5pu P
ACI
LM L
M L L
(14)
Figura 5. Aplicacin de la ec (14) paraMu/MACI=1.1,LP/L=0.25
0
2
4
6
8
10
12
0 5 10 15 20
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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1
CLASE No 10. RELACIONES MOMENTO-CURVATURA. PARTE II
Posgrado de Ingeniera, UNAM
Comportamiento de elementos de concreto reforzado
Clave 68082, Grupo T011
Mario Rodrguez
11-03-14
RIGIDECES Y CURVATURAS DE FLUENCIA EN COLUMNAS
Curvatura de fluencia en una Columna Rectangular (seccin b x h)
Figura 1. Curvatura de fluencia en una seccin rectangular
Si definimos como fluencia de la seccin cuando s=y, la curvatura de fluencia es, Fig 1:
yy
d c
(1)
La que tambin se puede escribir como
y
y
h h
d c
(2)
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
46/60
2
Al trminoy
y
h
la llamamos curvatura adimensional, y, es decir:
y
y
y
h
(3)
Combinando las ecs (2) y (3) se aprecia que yes igual ah
d c, lo que sugiere que si c no
cambia de manera significativa en la fluencia, el valor de y sera aproximadamente
constante. Esto ha sido empleado por Priestley (2003) quien propone para columnas
rectangulares la expresin aproximada:
2.1y (4)
De (3) y (4):
2.1 yy
h
(5)
Curvatura de fluencia en una Columna Circular (de dimetro D)
Priestley (2003) siguiendo un procedimiento similar al mostrado para la columna
rectangular propone:
2.25 yy
D
(6)
Curvatura de fluencia en un muro rectangular de longitud lw(Priestley, 2003):
2.0y
y
wl
(7)
Se debe mencionar que en columnas con cargas axiales altas del orden de P/(Ag fc)0.2 ,
es posible que el acero en traccin no fluya y el concreto alcance su resistencia a
compresin definiendo la curvatura de fluencia asociada a la la falla en compresin del
concreto, la que de manera burda ocurre cuando la fibra extrema del concreto encompresin alcanza el valor 0.002.
Curvatura de fluencia empleando el momento nominal Mn
En la Fig 2 de la clase 9 se mostr que la curvatura de fluencia era:
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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3
'
'
ACIy y
y
M
M
(8)
El valor de 'y ocurre cuando el refuerzo llega a la fluencia o cuando la fibra extrema del
concreto en compresin alcanza el valor aproximado de 0.002, lo que ocurra primero.
Si generalizamos el valor del momento nominal MACI y lo reemplazamos por Mn,
denominado este trmino resistencia a flexin nominal, se obtiene:
'
'
ny y
y
M
M (9)
Se ha propuesto (Priestley, 2003) queMnse defina cuando la fibra extrema del concreto en
compresin alcanza el valor 0.004 o el refuerzo en traccin alcance la deformacin 0.015,
lo que ocurra primero.
Cmputo de rigideces efectivas en columnas de CR
Podemos escribir (Fig 2 de clase 9 haciendoMn=MACI):
ny
M
EI (10)
SiIges el momento de inercia de la seccin bruta, empleando (10) se puede escribir:
n
g y g
MEIEI E I
(11)
Una aplicacin de la ec (11) se muestra en la Fig 2.
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
48/60
4
Figura 2 Rigidez efectiva en columnas de seccin circular (Priestley, 2003)
CURVATURA ULTIMA u
Figura 3. Definicin de curvatura ltima. Criterio fractura refuerzo transversal
En este criterio de curvatura ltima la deformacin ltima del concreto en compresin, cu,
se define cuando se fractura el refuerzo transversal, para lo cual:
1.40.004
'
s yh su
cu
cc
f
f
(12)
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
49/60
5
Donde sues la deformacin del acero de refuerzo cuando alcanza su resistencia mxima en
traccin, fcces la resistencia en compresin del concreto confinado, fyhes el esfuerzo de
fluencia del refuerzo transversal, y s es la cuanta volumtrica del refuerzo transversal,
para columnas circulares:
4'
sp
sA
D s (13)
En columnas rectangulares
s x y (14)
Criterio simplificado de modo de falla de pandeo del refuerzo longitudinal
Como se ver posteriormente, el pandeo de una barra de refuerzo depende no solo del valorde la fuerza en compresin en la barra crtica, sino tambin de la magnitud de deformacin
mxima en traccin alcanzada en la barra en el semi-ciclo anterior a la incursin de fuerzas
de compresin en la barra. Debido a la complejidad del problema, Priestley (2000) ha
sugerido que para evitar el pandeo de una barra con confinamiento de una seccin dctil, la
deformacin mxima en traccin en el semi-ciclo previo al pandeo, sm, debe ser igual a:
0.6sm su (15)
Referencias
1. Priestley M.J.N., (2003) Myths and Fallacies in Earthquake Engineering.Revisited, The Maller Milne Lecture 2003, IUSS Press , Istituto Universitario di
Studi Superiori di Pavia, Italia
2. Priestley M.J.N., (2000), Performance Based Seismic Design ,paper 2831, 12World Conference in Earthquake Engineering
5/23/2018 Notas Curso Concreto I
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CLASE No 11. RELACIONES MOMENTO-
CURVATURA.CAPACIDAD DE CURVATURA. PARTE III
Posgrado de Ingeniera, UNAM
Compor tamiento de elementos de concreto reforzado
Clave 68082, Grupo T011
Mario Rodrguez
19-03-14
DISEO SSMICO DE ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADOCONSIDERANDO EL MODO DE FALLA DE PANDEO DEL ACERO DE
REFUERZO LONGITUDINAL
DEFINICION DE DEFORMACIONES DE CONCRETO Y DEL ACERO EN ELPANDEO DE LA BARRA DE REFUERZO LONGITUDINAL
El problema del pandeo de barras de refuerzo sometidas a acciones del tipo ssmico ha sidoestudiado por Rodriguez et al. (1999). Estos autores propusieron un modelo de prediccinde pandeo de barras sometidas a cargas cclicas reversibles. En este modelo la deformacin
asociada al pandeo, p*
, se define con el siguiente procedimiento. La Fig 1 muestra los dosltimos semiciclos de carga correspondientes al inicio del pandeo de la barra. Inicialmenteen estos semiciclos, la barra alcanza en traccin la deformacin mxima st , antes deempezar el semiciclo de descarga, para el cual ocurre el pandeo para la deformacin sc, Fig1. Segn Rodriguez et al. (1999),p
*se expresa como:
*p o sc
= + (1)
donde o se define en la Fig 1. Rodriguez et al. (1999) ensayaron con cargas cclicasreversibles un grupo de barras de refuerzo con diferentes relaciones s/db, hasta llegar al
pandeo de estas barras. Para los ciclos de carga correspondientes al inicio del pandeo de lasbarras, estos autores obtuvieron valores para p
* con la ec (1) y mediciones de o y scobtenidas en estos ensayes. Los resultados experimentales encontrados se muestran en laFig 2. Esta figura tambin muestra con lneas continuas, los valores de deformacionesaxiales en barras versus s/db, cuando se inicia el pandeo de la barra bajo carga decompresin monotnica empleando la teora del mdulo reducido (Rodriguez et al., 1999).En esta figura kes el parmetro que permite encontrar la longitud efectiva de pandeo de una
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barra, que para el caso de una barra de refuerzo sera ks. Se observa que esta prediccinpodra ser til para obtener el valor de p
* en una barra de refuerzo longitudinal en unacolumna de concreto si se pudiera conocer los valores del parmetro k.
Figura 1 Curva esfuerzo-deformacin que ilustran los parmetros que definen el pandeo deuna barra de acero sometida a cargas cclica reversible (Rodrguez et al, 1999)
Figura 2 Parmetro p* versus s/db(Rodriguez et al, 1999)
.
. .
p
stsc
Esfuerzo
Deformacin
(fm, m)+ +
(fm, m) (fp, p)
809o
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 2 4 6 8 10 12 14
p*
s/db
Ensayes cclicos reversibles
(ciclos asimtricos)Ensayes cclicos reversibles
(ciclos simtricos)caso especial
K=0.75
K=0.5
K=1.0
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MODIFICACIN EN 2013 AL PROCEDIMIENTO DE RODRIGUEZ ET AL. (1999).
Es conveniente, para fines de diseo, que en la definicin de p*, en lugar del parmetro ose emplee el parmetro st (Rodriguez et al., 2013). Si se procede de esta manera seobtiene:
*p st sc
= + (2)
Con el empleo de la ec (2) y las mediciones correspondientes a los mismos ensayos cuyosresultados se muestran en la Figura 2, se obtuvieron los valores que se muestran en la Fig 3.Los resultados de esta figura indican que la prediccin del parmetro p* podra hacerse demanera razonable empleando las curvas continuas de la Fig 3 (que son las mismasmostradas en la Fig 2) y un valor apropiado para k.
Figura 3 Parmetro p* modificado versus s/db
COMPARACION DE PREDICCION DEL PANDEO DE BARRAS EN MUROS
ESTRUCTURALES CON EL PROCEDIMIENTO DE RODRIGUEZ ET AL. YRESULTADOS EXPERIMENTALES
Ensayes de un muro rectangular y uno en forma de T por Thomsen y Wallace (2004)
Los especmenes ensayadospor Thomsen y Wallace (2004) se muestran en las Figs 4 y 5.La Fig 6 muestra la geometra y dimensiones de los muros
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 2 4 6 8 10 12 14
p*
s/db
Ensayes cclicos reversibles
(cilcos asimtricos)Ensayes cclicos reversibles
(ciclos simtricos)caso especial
K=0.75
K=0.5
K=1.0
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Figura 4 Dimensiones y detalles del refuerzo del muro RW1 (dimensiones en mm)
Figura 5 Dimensiones y detalles del refuerzo en el muro TW1 (dimensiones en mm)
102
1219
8 barras #3 (=9.6 mm)
152 152
Estribos (=4.8 mm) @ 76 mm
19 19152 152572
barras #2 (=6.4mm) @ 190 mm
64
1219
1219
102
152 152 152 15219 19572
152
152
572
152
152
19
8 barras #3 (=9.5 mm)
barras #2 (=6.4mm) @ 190 mm
barras #2 (=6.4mm) @ 190 mm
Estribos (=4.8 mm) @ 76 mm
102
8 barras #3 (=9.5 mm)
64
Estribos (=4.8 mm) @ 76 mm
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(a) Muros RW1 y RW2 (b) Muros TW1 y TW2
Figura 6 Geometra y dimensiones de los especmenes ensayados (dimensiones en mm)
Materiales de los especmenes
La resistencia a compresin especificada para el concreto (fc) en los especmenes RW1 y
TW1 fueron 25.7 MPa y 26.5 MPa, respectivamente, y en las fechas de ensayes de estosespecmenes las resistencias medidas en cilindros fueron 31.7 MPa y 34 MPa,respectivamente, Tabla 1. Para el acero de refuerzo se emplearon dos tipos. Para elrefuerzo horizontal y vertical de los muros el acero empleado fue del tipo ASTM 615, conresistencia de fluencia especificada (fy) igual a 414 MPa, y esfuerzo de fluencia medidoigual a 434 MPa (Tabla 1). Para el refuerzo transversal en los elementos de borde seemple alambre, con caractersticas similares a las de los aceros tipo ASTM 615 (Thomseny Wallace, 2004).
Los parmetros y son las resistencias medidas de compresin del concreto y de
traccin del acero respectivamente.
1023658
1219
3658
102
1219 1219
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Tabla 1.Propiedades de materiales
ESPECIMEN
MPa MPa MPa MPa
RW1 25.7 31.7 414 434
TW1 26.5 34 414 434
Diseo de los especmenes
En el diseo de los especmenes se emplearon los requisitos de elementos de refuerzo enbordes de muro del Captulo 21 del ACI-318-95 (ACI 318, 1995), Thomsen y Wallace
(2004). Esto requisitos son similares a los especificados por las Normas TcnicasComplementarias para Diseo y Construccin de Estructuras de Concreto para el DF(NTCC, 2004) para elementos de refuerzo en muros estructurales diseados para uncomportamiento ssmico, Q, igual a 3, seccin 6.5.2 de las NTCC (2004).
Los especmenes fueron diseados para una demanda de distorsin global, Dr, igual a0.015, parmetro que se define como
r
w
Dh
=
(3)
donde es el desplazamiento lateral relativo a la base del nivel azotea.
De acuerdo con los mencionados requisitos de diseo del ACI-318 y NTCC (2004), paralograr la distorsin objetivo Dr igual a 0.015, fue necesario confinar el concreto en losbordes de los muros, con la relacin volumtrica de refuerzo transversal requerido por elCaptulo 21 del ACI-318-95, lo que se logr con estribos en los bordes de los muros. Losdetalles de refuerzo horizontal y vertical de los muros, as como de los estribos en losbordes de stos, para los especmenes RW1 y TW1 se muestran en las Figs 4 y 5,respectivamente.
Prediccin de curvaturas ltimas en los especmenes ensayados
Se obtuvieron las relaciones momento-curvatura de las secciones tpicas de los muros RW1y TW1, para lo cual se emple el programa BIAX (Wallace, 1989). Para evaluar aspectosrelevantes del comportamiento ssmico de muros estructurales es necesario conocer el valorde la curvatura ltima, u, la cual se define como la curvatura que alcanza la seccincuando los muros alcanzan la deformacin de diseo Dr. Como se ha comentado, para loscasos en estudio Dr fue igual a 0.015. Con este valor y la ec (3) es posible obtener el
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desplazamiento lateral esperado para el sismo de diseo medido en el extremo superior delos muros, u, con lo cual se obtiene u = 55 mm. La curvatura u se obtuvo con elsiguiente procedimiento.
El desplazamiento lateral se define como:
u y p = +
(4)
donde yes el desplazamiento de fluencia, y pes el desplazamiento plstico, los cuales sedefinen como:
2
3y w
y
h =
(5)
max( 1) ( ) ( 0.5 )p y p u y w p
ACI
ML h L
M
= +
(6)donde Mmaxes el momento resistente mximo que se puede calcular para la seccin crticadel muro. Se puede obtener con el momento mximo calculado con las relacionesmomento-curvatura de la seccin del muro. MACIes la resistencia a flexin de diseo delmuro, la cual se puede obtener con uno de los dos siguientes criterios:
a) Con el empleo del bloque de esfuerzos del ACI-318, considerando un factor dereduccin de resistencia igual a 1, las propiedades medias de los materiales yc=0.003, donde c es la deformacin de la fibra extrema en compresin de laseccin.
b) Con el valor del momento en el diagrama momento-curvatura calculado,
correspondiente a c=0.003.
La curvatura de fluencia, y, se define como:
''
ACIy y
y
M
M =
(7)
donde y se obtiene del diagrama momento-curvatura cuando ocurre la primera fluenciadel refuerzo longitudinal, la cual ocurre para el momento My.
Con las ecs (4) a (7), el valor u= 55 mm, el valor h
w= 3,658 mm, los valores de M
u y
MACI para los especmenes, anteriormente comentados, as como considerando Lp= 0.5 lw,permiti obtener para u el valor 2.3x10-5 mm-1.
Diagramas momento-curvatura y perfil de deformaciones para los muros RW1 y TW1
La Fig. 7 (a) muestra el diagrama momento-curvatura calculado para la seccin del murorectangular RW1, en el cual se indica el valor calculado de u anteriormente comentado;adems, en este diagrama se observa un crculo negro, el cual permite identificar el punto
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del diagrama donde ocurre la deformacin c igual a 0.003. La Fig. 7(b) muestra el perfilde deformaciones calculado para la condicin de curvatura ltima, u, en la que se apreciaque el valor mximo de c para esta curvatura es moderado. Adems, se aprecia que laprofundidad de la zona de la seccin en compresin es pequea, es decir la cantidad deconfinamiento que se requerira en el borde del muro sera tambin moderada. Como se
sabe, de acuerdo con el ACI 318-11, as como con las NTCC (2004), para considerar queun muro es dctil se requiere confinar la zona en compresin del concreto en la regindonde c es mayor que 0.003. Esto llevara en el caso del muro RW1, a que la profundidadde la zona en compresin que es necesario confinar sea slo 77 mm, dimensin inclusomenor que la del espesor del muro, valor pequeo como se puede apreciar tambin en laFig 7(b).
(a) (b)
Figura 7 Muro RW1. Relacin M- calculada, seccin tpica de muro y perfil dedeformaciones (dimensiones en mm)
El escenario es diferente, y menos favorable, en el caso de los especmenes con seccinT. La Fig 8 (a) muestra diagramas momento-curvatura calculados para la seccin delmuro con seccin T, TW1, para los casos de patn en traccin y patn en compresin.Adems, en estos diagramas se indica el valor anteriormente calculado para u. Tambinestos diagramas muestran, con un crculo negro, en que parte del diagrama ocurre ladeformacin c igual a 0.003. Los resultados del perfil de deformaciones para el muroTW1, Fig 8 (b), muestran que cuando el patn est en traccin, la zona en compresin delconcreto no slo tiene una profundidad importante, sino tambin la deformacin mximapara c es bastante mayor que para el caso del muro rectangular RW1 anteriormentecomentado. Para este caso, la zona en compresin en el alma que es necesario confinar es970 mm, lo que representa 80% de la longitud del muro. Por el contrario, cuando el patn
est en compresin, la deformacin c es bastante pequea, menor que 0.003, Fig 8(b), eincluso menor que la correspondiente al caso del muro rectangular RW1, Fig 7(b). Es decir,el caso ms desfavorable de capacidad de deformacin en un muro de seccin T ocurrecuando el patn se encuentra en traccin y el alma en compresin. Esta caracterstica esrelevante en el comportamiento ssmico de un muro estructural con seccin transversal deltipo T.
205
st=0.023c=0.0048
1219
CompresinTensin
SECCIN DEL MURO RW1
DEFORMACIONES
u=0.000023 mm-1
00
200
400
600
800
1000
1200
0.00002 0.00004 0.00006 0.00008 0.0001
Momento(kN-m)
Curvatura (1/mm)
P=0.1Agf'c
RW1
u=0.000023 mm-1
st=0.014c=0.003
1400
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(a) (b)
Figura 8 Muro TW1. Relaciones M-calculadas, seccin tpica de muro y perfil dedeformaciones (dimensiones en mm)
Prediccin de deformaciones en el concreto y en el acero cuando ocurre el pandeo de las
barras de refuerzo longitudinal en los especmenes ensayados y comparativa con
resultados experimentales
Las Figs 9 y 10 muestran los resultados obtenidos con el programa Ruaumoko (Carr, 2010)para las curvas histerticas esfuerzo-deformacin de las barras de refuerzo longitudinal mscrticas, en este caso ubicadas en el extremo de los elementos de borde de los murosensayados RW1 y TW1, respectivamente. En el artculo de Rodriguez et al. (2013) semuestra las bases analticas empleadas para encontrar estos resultados. Estas basesanalticas se basan en el trabajo de Panagiotou et al. (2012). En particular, en estas figurases de inters los dos ltimos semiciclos, correspondientes al ciclo donde en el ensaye seobserv el inicio del pandeo. Las Figs 9 y 10 muestran con marcadores en forma de romboy crculo los valores de st y sc, respectivamente, correspondientes al ciclo observado de
pandeo en la barra crtica del muro. Como indica la ec (2), con estos valores es posibleconocer el parmetro p*. Si se procede de esta manera, para los casos de los especmenesRW1 y TW1, se obtiene los valores para p* mostrados en la Fig 11. Nuevamente, estafigura muestra que un procedimiento de prediccin razonable del parmetro p*, en murosde concreto reforzado, es el empleo de un valor apropiado del parmetro de longitudefectiva k y las curvas continuas de la Fig 11, las cuales son las mismas curvas continuasde las Figs 2 y 3. Esto muestra la relevancia del parmetro s/db.
00
1200
0.00002 0.00004 0.00006 0.00008 0.0001
Momento(kN-m)
Curvatura (1/mm)
1000
800
600
400
200
c=0.0031400
P=0.09Agf'c
TW1
C
T
T
C
u=0.000023 mm-1
st=0.0023c=0.029
st=0.03c=0.0015
st=0.074c=0.003
58
c=0.0015 st=0.03
20
1104
st=0.0022
c=0.02514
1219
SECCIN DEL MURO TW1
DEFORMACIONES (Patn en tensin)
DEFORMACIONES (Patn en compresin)
u=0.000023 mm-1
u=0.000023 mm-1
CompresinTensin
Compresin Tensin
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Figura 9 Curvas calculadas esfuerzo-deformacin del acero de refuerzo longitudinal mscrtico en el espcimen RW1
Figura 10 Curvas calculadas esfuerzo-deformacin del acero de refuerzo longitudinal mscrtico en el espcimen TW1
-600
-400
-200
0
200
400
600
-0.020 -0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
ESFUERZO
(MP
a)
DEFORMACIN (mm/mm)
Deformacin mxima en traccin
Inicio del pandeo
sc=-0.005
st=0.015
s/db=8
-600
-400
-200
0
200
400
600
-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02
ESFUERZO
(MPa)
DEFORMACIN (mm/mm)
Deformacin mxima en traccin
Inicio del pandeost=0.012
sc=-0.006 s/db=8
C
T
C
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Figura 11 Valores de p* modificado obtenidos para los especmenes RW1 y TW1, ycurvas de prediccin de pandeo
REFERENCIAS
ACI Committee 318 (ACI 318, 2011), Building Code Requirements for ReinforcedConcrete (ACI 318-08). American Concrete Institute, Farmington Hills, MI.
Carr, A. (2010), RUAUMOKO, Computer Program Library, University of Canterbury,Department of Civil Engineering
Gaceta Oficial del Distrito Federal (2004), Normas Tcnicas Complementarias para Diseoy Construccin de Estructuras de Concreto. Reglamento de Construcciones del DistritoFederal. Mxico DF.
Panagiotou, M., Restrepo, J.I., Schoettler, M. y Kim, G. (2012). Nonlinear Cyclic TrussModel for Reinforced Concrete Walls, ACI Structural Journal, 109:2, 205-214
Rodriguez M, Botero, JC, y Villa, J (1999). Cyclic Stress-Strain Behavior of ReinforcingSteel Including the Effect of Buckling. Journal of Structural Engineering, ASCE, 125: 6,605-612.
Thomsen, J. H. y Wallace, J. (2004). Displacement-Based Design of Slender ReinforcedConcrete Structural Walls-Experimental Verification, Journal of Structural Engineering,ASCE, 130:4, 618-630
Wallace, J.W. (1992). BIAX-Computer program for the analysis of reinforced concrete andreinforced masonry sections, Rep. No CU/CEE-92/4, Clarkson University, Postdam, NY,USA.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 2 4 6 8 10 12 14
p*
s/db
RW1
TW1
K=0.75
K=0.5
K=1.0
s/db=8