UNIDAD N°1: NÚMEROS REALES
CONJUNTO DE NÚMEROS REALERS
SITUACIÓN PROBLEMA: El hombre además de la necesidad de contar objetos o elementos de cualquier naturaleza, es decir, para medir las llamadas variables discretas, para lo cual usa números naturales, también necesita representar mediciones que no son exactas o finitas y resultan decimales que no guardan periodicidad ni son finitas; por ejemplo las raíces que no son exactas, la relación entre la longitud de una circunferencia y la longitud de su respectivo diámetro. ¿Qué situaciones de la cotidianidad se pueden modelar con conjuntos de infinitos números en forma ininterrumpida, es decir, usando intervalos numéricos?
CONJUNTO DE NÚMEROS REALERS
Recordemos algunos conjuntos numéricos ya conocidos.
Naturales: N = {1,,2, 3, 4, 5, ……}
Cero: C = {0}
Enteros negativos: = {.....4, -3, -2, -1 }
Enteros: Z= {.....4, -3, -2, -1, 0, 1,,2, 3, 4, 5, …… }
Racionales: Q= {}
Irracionales: I={}()
CONJUNTO DE NÚMEROS REALERS
R = QUI
Q
Z
N
I
REALES (R)
RACIONALES (Q)
ENTEROS (Z)
NATURALES (N)
CERO {0}
ENTEROS NEGATIVOS
(z-)
DECIMALES FINITOS
DECIMALES INFINITOS
PERIÓDICOS
IRRACIONALES (I)
𝝅 ,𝟐𝝅 ,𝝅𝟐
𝒆 ,𝟐𝒆 ,−𝒆….
CONJUNTO DE NÚMEROS REALERS
REPRESENTACION EN LA RECTA
√𝟐−𝝅 −√𝟑 𝟏𝟐
𝝅𝒆−𝟓𝟐
−𝟑𝟒
-2 1 2 430-1-3-4
La representación en la recta de los números reales
Es de la siguiente manera
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
Propiedad Operación Definición Ejemplo
Conmutativa Adición 3+(-5)=(-5)+3 = -2
Multiplicación x.A = a.x (-2)(-4)=(-4)(-2) = 8
AsociativaAdición (x+a)+b = x+(a+b) [3+(-7)]+10=3+[(-7)+10]
(-4)+10=3+3=6
Multiplicación (x.a).b = x.(a.b) [3.(-2)].10=3.[(-2).10](-6).10=3.(-20)=-60
Modulativa Adición x+0=0+x = x 5+0=0+5=5
Multiplicación x.1 = 1.x = x (-4).1=1.(-4)=-4
Inverso
Adición x+(-x) = (-x)+x = 0 5+(-5)=(-5)+5=0
Multiplicación
Aditiva de igualdad Adición
Multiplicativa de igualdad Multiplicación 2=10
Distributiva Mult. respecto a adic .3.(2+3)=3.2+3.3
3.5=6+915=15
Solución ecuación Propiedad utilizada )2(3)4()54( xx Ecuación dada
)36()4()54( xx Distributiva
)36()4()45( xx Conmutativa de la adición
)36())4(4(5 xx Asociativa de la adición
)36(05 xx Inverso aditivo
)36(5 xx Modulativa de la adición
)3()36()3(5 xxxx Aditiva de la igualdad
))3(3(6)3(5 xxxx Asociativa de la adición
06)3(5 xx Inverso aditivo
6)3(5 xx Modulativa de la adición
62 x Operación
)6(2
1)2(
2
1x Multiplicativa de la igualdad
)6(2
1))2(
2
1( x Asociativa de la multiplicación
)6(2
11 x Inverso multiplicativo
31 x Operación
3x Modulativa de la multiplicación
Ejemplo resuelto. Justifica escribiendo al frente de cada paso de la solución de la ecuación, alguna de las propiedades utilizadas
Aditiva de la igualdadMultiplicativa de la igualdad Conmutativa de la adiciónConmutativa de la multiplicaciónAsociativa de la adiciónAsociativa de la multiplicación
Modulativa de la adiciónModulativa de la multiplicaciónInverso aditivoInverso multiplicativoDistributiva Nota: Si sólo se realizó una operación escribe en lugar de la propiedad la palabra operación
Solución ecuación Propiedad utilizada
)(33)42(5)20( xx Ecuación dada
)(332010)20( xx
)(331020)20( xx
)(331020)20( xx
)(33100 xx
)(3310 xx
xxxx )](33[10
xxx )](33[11
])[(3311 xxx
03311 x
3311 x
11
1)33(
11
1)11( x
11
1)33()11(
11
1x
11
1)33()11
11
1( x
3)1111
1( x
3)1( x
3x
Ejercicio propuesto. Justifica escribiendo al frente de cada paso de la solución de la ecuación, alguna de las propiedades utilizadas (haciendo doble clic en la tabla, puedes digitar sobre ella)1.
Solución ecuación Propiedad utilizada
)5(2320)42(5 xx Ecuación dada
)5(2320)4(5)2(5 xx
)5(23202010 xx
)5(23010 xx
)5(2310 xx
)5(2310 xx
xx )523(10
xx 1810
)(18)(10 xxxx
018)(10 xx
0189 x
189 x
)9
1(18)
9
1(9 x
)9
1(18)
9
1(9 x
)9
1(18)1( x
)9
1(18x
2x
2.
INTERVALO ABIERTOA. Forma gráfica
INTERVALOSSe llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados a y b que se llaman extremos del intervalo.
a b−∞ 0 +∞[]
a b−∞ 0 +∞( )
a b−∞ 0 +∞B. Forma de intervalo:
C. Forma de conjunto:
NOTA: Los extremos no pertenecen al conjunto
INTERVALO CERRADOA. Forma gráfica
a b−∞ 0 +∞][
a b−∞ 0 +∞
B. Forma de intervalo: [a,b]
C. Forma de conjunto:
NOTA: Los extremos pertenecen al conjunto
INTERVALO SEMIABIERTO O SEMICERRADO
A. Forma gráfica
a b−∞ 0 +∞[[
a b−∞ 0 +∞[ )
a b−∞ 0 +∞
B. Forma de intervalo: [a,b) = [a,b[
C. Forma de conjunto:
NOTA: El extremo a pertenece al conjunto pero el extremo b no
INTERVALOS NO ACOTADOSEjemplo 1A. Forma gráfica
B. Forma de intervalo: C. Forma de conjunto:
Ejemplo 2D. Forma gráfica
E. Forma de intervalo: F. Forma de conjunto:
b−∞ 0 +∞)
a−∞ 0 +∞[
UNIÓN E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS
Dados dos intervalos A y B se define:
UNIÓN:
INTERSECCIÓN :
Para interpretar esta definición se ilustrará mediante una gráfica a través de los siguientes ejemplos.
UNIÓN E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS
EJEMPLO 1: Dados los intervalos
?
?
2−∞ 0 +∞[ ) )5-1
2−∞ 0 +∞[ ) )5-1
UNIÓN E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS
EJEMPLO 2: Dados los intervalos
?
?
[
0 3 5-1−∞ +∞)[ ][
0 3 5-1−∞ +∞)[ ][
UNIÓN E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS
EJEMPLO 2: Dados los intervalos
?
?
[
0 3 5-1−∞ +∞)[ ](
0 3 5-1−∞ +∞)[ ](
UNIÓN E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS
EJEMPLO 2: Dados los intervalos
?
?
[
(0 3 5-1−∞ +∞)[ )
(0 3 5-1−∞ +∞)[ )
UNIÓN E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS
EJEMPLO 2: Dados los intervalos
?
?
[(
0 3 5-1−∞ +∞)[ )
(0 3 5-1−∞ +∞)[ )
UNIÓN E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS
EJEMPLO 2: Dados los intervalos
2−∞ 0 +∞[ )5
2−∞ 0 +∞[ )5
UNIÓN E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS
EJEMPLO 2: Dados los intervalos
2−∞ 0 +∞( )5
2−∞ 0 +∞[ )5
(