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PROLOGMÁTICA 2011III CONCURSO NAC. DE MATEMÁTICA
3.er Año de Secundaria
1. Sea N el menor entero positivo que multiplicado por
33 resulta un número cuyos dígitos son todos iguales
a 7. Determine el valor de la suma de los dígitos de N.
A) 20 B) 18
C) 23
D) 25 E) 27
2. De los alumnos que estudian en una universidad se
observó que la probabilidad que tiene un alumno para
estudiar los cursos A, B y C son 8/25, 11/50 y 9/20
respectivamente. Además, la probabilidad de que
estudie los tres cursos es 0,1. ¿Cuál es la probabilidad
de estudiar solamente dos cursos, si la probabilidad de
estudiar por lo menos un curso es 0,55?
A) 0,20 B) 0,24
C) 0,32
D) 0,44 E) 0,40
3. Sean A, B y C tres magnitudes. Cuando C es constante,
A y B están relacionados según la siguiente tabla:
A 24 36 48 60 72 mB 4 9 16 25 36 64
cuando B es constante se tiene
A 36 16 9 4 1C 2 3 4 6 n
para las 3 magnitudes se tiene
A 9 2 y
B x 2 32
C 4 6 3
Tercer Año de SecundAriA
Calcule m + n + x + y
A) 148 B) 150
C) 152
D) 154 E) 160
4. Los nueve primeros números naturales 3º, se escriben
en el siguiente "cuadrado mágico" en el cual la suma
de los números en cada fila, en cada columna y en
cada diagonal es la misma. Halle M + N + P, si además
a < b.
N
M ba
ab P
A) 15 B) 18
C) 36
D) 45 E) 27
5. Las notas de seis alumnos de PROLOG en el curso
de Aritmética constituyen una muestra unimodal,
la moda es 12 y la mediana es 14. La calificación se
realizó en la escala vigesimal (de 0 a 20), siendo la nota
mínima para aprobar 10. Se sabe además que dos
alumnos tienen notas que están en la relación de 2 a 1,
el producto de las notas de un par de alumnos es 180
y todos aprobaron. Determine el valor de la varianza
de dicha muestra de datos.
A) 6,75 B) 7,64
C) 9,15
D) 11,73 E) 12,89
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6. Indique la suma de los valores enteros que satisfacen
23
< x - 1x + 3
< 79
A) 46 B) 52
C) 60
D) 68 E) 75
7. La ecuación polinomial
x4 - 2x3 - 3x2 + 2x + 1=0
presenta una raíz de la forma
12
− + −a b c ;
calcule el valor de a + b - c.
A) -2 B) 0
C) 1
D) 2 E) 5
8. Dado el polinomio P( )=x3 + 3x2 - 3x - 9
halle P 4 2 13 3+ −( ) .
A) 27 B) 23
C) 17
D) 7 E) 2
9. Sea P (x)=x4 - 5x3 + 4x2 + 3x + 4
calcule P P2 3 2 3+( )+ −( ) .
A) 7 B) 10
C) 12
D) 15 E) 24
10. Sea z un complejo tal que
z + 2= 10
z - i= 13
halle el menor valor de Re(z) + Im(z)
A) -12/5 B) -14/5
C) -5/6
D) 0 E) 13/5
11. Halle el número real k de modo que la solución de la
inecuación: 2x -1x+2
> k, sea el intervalo
⟨- ∞; - 2⟩ ∪ ⟨3; + ∞⟩
A) 1 B) 2
C) - 1
D) -3 E) 5
12. Si a < b < 0 y S es el conjunto de solución de la
ecuación: |x - a| + b = |x + a|- b;
entonces el conjunto S es
A) {a} B) {- b}
C) {a; b}
D) {a; - b} E) {a + b; a - b}
13. Sean las matrices A= x-1
1y
y B = 4z
xy
donde x, y,
z no son todos cero. Si AB es la matriz nula, entonces
el valor de (x + y + z) es
A) -1 B) 6
C) 4
D) 0 E) - 4
14. Si y = x + 1x
; entonces la expresión
x4 + x3 - 4x2 + x + 1=0 se convierte en:
A) y2 - 2y + 6=0
B) y2 - y - 6=0
C) x2 (y2+ 2y - 6)=0
D) x2 (y2+ y - 6)=0
E) x2 (y2- y + 6)=0
15. En una circunferencia de radio la unidad se inscribe
un heptágono regular ABCDEFG. Halle el valor de
(AB)(AC)(AD)(AE)(AF)(AG).
A) 6 B) 7
C) 8
D) 14 E) 49
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3.er Año de Secundaria
16. En el gráfico mostrado se tiene que AB=AC; BD=DE y
m S NDE=m S MDE. Calcule el valor de x.
20º
x
A C
N
B
D E
M
A) 20º B) 25º
C) 30º
D) 35º E) 40º
17. Si los polígonos mostrados son regulares y el lado
del hexágono mide ( 6 – 2); calcule el perímetro del
cuadrado.
A) 6 3
B) 8 2
C) 4 6
D) 4 2
E) 8
18. Se tiene un trapecio rectángulo ABCD
(m S A=m S B=90º). En CD se ubica su punto medio
M, tal que AM y BD se cortan perpendicularmente en
el punto T. Si AT=8 y TM=1, calcule AB.
A) 12 B) 11
C) 5 7
D) 65 E) 5 13
19. Se tiene un triángulo equilátero ABC, M es punto
medio de AB y P es un punto de la región interior
del triángulo, tal que: m S MPB=m S APC=90º.
Si AC=4 7; calcule el área del triángulo BPC.
A) 4 3 B) 8
C) 4 5
D) 6 E) 3 6
20. Si A, B y C son puntos de tangencia y m MN=q; calcule
el valor de x.
A) q4
B) 45º - q4
C) q8
B
C
x
A
N
M
D) 45º - q8
E) 90º - q8
21. Desde la parte superior de una torre cuya altura es
de 5 m, se observa al NE la parte superior de otra
torre cuya altura es 10 m con un ángulo de elevación
a y la parte superior de una tercera torre que está
en la dirección S75ºE y de altura 2 m con un ángulo
de depresión b. Además desde la parte superior de
la torre de menor altura se observa al NO la parte
superior de la torre de mayor altura con un ángulo de
elevación q. Halle el valor de
8 3cotq(tana + 2tanb)
3tana · cotb
A) 1/5 B) 4/5
C) 6/5
D) 9/5 E) 12/5
22. Del gráfico, halle tana.
O
α
X
Y
(−3; 4)
A) - 7/12 B) - 12/7 C) - 5/12
D) - 12/5 E) - 12/13
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23. Si
f (x)=asenx + bcosx+c;
halle el valor de
f x f x
f x f x
π π
π π
−( ) − +
+( ) − −
232
en términos de a y b.
A) a - ba + b
B) a + bb - a
C) a + 2bb + a
D) 2a + ba - b
E) ab
24. En el gráfico, AB=BC; halle el valor de q, para que la
tanq sea mínima.
θ
H
D
A
B C
A) 37º B) 53º
C) 60º
D) 23º E) 30º
25. Se han escrito nueve enteros positivos diferentes en un tablero de 3 × 3, de modo que la suma de los tres números escritos en una misma fila o columna es un cuadrado perfecto. Si n es el mayor número en el tablero, encontrar el menor valor posible de n.
A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 19
26. Sea abcde un número de cinco dígitos no nulos tal
que es múltiplo de 11 y, además se cumple que edcba
es múltiplo de 8. Halle el mayor valor que puede
tomar la suma de sus dígitos.
A) 38 B) 39
C) 40
D) 41 E) 42
27. Se disponen de S/.100 para comprar 40 sellos de S/.1; S/.4 y S/.12; ¿cuántos sellos de S/.12 deberán comprarse; si por lo menos se debe comprar un sello de cada clase?
A) 10 B) 6 C) 8 D) 3 E) 9
28. La fecha del último lunes del mes pasado sumada a la del primer jueves del mes que viene da 38. Sabiendo que todas las fechas mencionadas corresponden a un mismo año; ¿qué día cae el 4 de septiembre de dicho año?
A) lunes B) sábado C) jueves D) domingo E) viernes
29. Se sabe que x + 3 =x2 + x + 2; además x =3x + 2; calcule n; si n + 2 =2.
A) -1 B) 10 C) 1 D) 2 E) 3
30. Los 2/3 de los profesores del Colegio PROLOG son mujeres, 14 de los varones son solteros, mientras que los 3/5 de los profesores varones son casados. ¿Cuál es el número total de profesores del Colegio PROLOG?
A) 110 B) 105 C) 100 D) 95 E) 70
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