Escalares: quedan perfectamente definidas con una cantidad (número) y una unidad
Ejemplo: el tiempo 3 s; la masa 8 kg.
de la flecha.
Ejemplo: la posición, velocidad, fuerza...
W
L/2 L/2
A B C
.spRe2
WLR0LR
2
LWL0M CCA+
Vectores
Se caracterizan por:
Módulo: (cantidad y unidad). Se representa por la longitud del vector. Es la parte escalar.
Dirección: es la recta que contiene el vector.
Sentido: indicado por la punta de la flecha.
Punto de aplicación: origen
Sobre cada eje se toma como unidad de medida los vectores unitarios (módulo igual a 1):
i sobre el eje x
j sobre el eje y
k sobre el eje z
j
x
y
z
i
k
Un ejemplo importante de unvector tridimensional es elvector de posición de unapartícula con coordenadas(x,y,z).
z
x
y
(x,y,z)
r
• Se acostumbra a denominarpor y esta definidocomo un vector que vadesde el origen del sistemade coordenadas hasta ellugar donde se encuentra lapartícula.
r
222
ˆˆˆ
zyxr
kzjyixr
v = x · i + y · j
v = x · i + y · j + z · k
En dos dimensiones
En tres dimensiones
El valor absoluto o magnitud de un vector es
su longitud, su tamaño.
Si el vector es , su magnitud se representa
como
ó
A
A A
Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 1
es unitario si 1
A los vectores unitarios los denotaremos
con un acento circunflejo ó "gorrito":
ˆ
a a
a
Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 0
es cero si 0
Lo denotaremos como 0
a a
Vector Cero
Métodos para resolver problemas usando
vectores:
Método gráfico = se dibujan vectores a
escala y su dirección se determina usando un
transportador.
Método matemático = proceso mediante el
cual se suman vectores usando trigonometría.
FUERZA RESULTANTE: es una fuerza única cuyo efecto es elmismo que el de un conjunto de fuerzas concurrentes coplanares.Es la suma de dos o mas vectores
El dibujo aquí también es una prueba de la ley comutativa de la suma de vectores, o sea, →A + →B = →B + →A.
Para otros tipos de vectores es más intuitivo
dibujarlos rabo con rabo. Cuando hacemos
este tipo de dibujo, se forma un
paralelograma y la suma de los vectores es
una de las diagonales del paralelograma.
a
b
a b
a b
Resta de Vectores Geométricamente
Aquí hemos dibujado el rabo de B en la
cabeza de A y hemos calculado A - B
como A + (-B) poniendo el rabo de (-B) en
la cabeza de A.
Aquí nos fijamos que el vector que
obtuvimos arriba (A – B) es igual a un
vector que va de la cabeza de B a la
cabeza de A, o sea, es la otra diagonal del
paralelograma!!
Con el paralelograma podemos calcular la
suma y también la resta de dos vectores.
El producto del escalar por el vector es
Es un vector cuya longitud es ,
tiene la misma dirección que ,
y el sentido es el de si >0
y el inverso que si 0
a
a
a
a
a
a
a a
Si llamamos al ángulo que hacen los vectores
y ,
se define el producto escalar (interno ó punto)
como
cos cos
a b
a b a b ab
a
b
Lo podemos ver como
cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
Producto escalar o producto
punto
cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
a
cos cosp
p aa
p
2 2
1) Si 1, entonces cos que es la
proyección de en la dirección de
2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene
3) El producto escalar es conmutativo
4) El producto
a a b b
b a
a b a a a a
a b b a
escalar es distributivo respecto a la suma
a b c a b a c
Si el producto escalar, cos ,
de dos vectores es cero, entonces
1) Al menos uno de los dos es cero
ó
2) Los vectores son perpendiculares (ortogonales),
es decir, 90 / 2 ó
Si dos vecto
3 / 2
r
70
a b a b
es son ortogonales, entonces su
producto escalar es cero
a b
a b
sina b a b
Si llamamos al ángulo que hacen los vectores
y ,
se define el producto vectorial o cruz, de la
siguiente manera:
a b
1) sina b a b
2) Su dirección es perpendicular al plano formado
por los vectores y a b
3) El sentido del vector está definido por el avance
de un tornillo que va de a (por la regla de la
mano derecha)
a b
a b
a b
sina b a b
a b
a b
sin es el área
de este paralelogramo
a b a b
1) El producto vectorial NO ES CONMUTATIVO:
2) El producto vectorial es distributivo respecto
a la suma
3) Para todo vector 0
a b c a b a c
a a
a b b a
Si el producto vectorial de dos vectores
sin
es cero, entonces
1) Al menos uno de los dos es cero
ó
2) Los vectores son paralelos
es de
Si dos vectores son paralelos, entonce
cir, 0 0 ó 18
s su
0
a b a b
producto vectorial es cero
X
Y
Z
i
j
k
Denotaremos como
ˆˆ ˆ, ,
los vectores unitarios a lo largo de los ejes
, ,
Así un punto estará representado por el
vector
ˆˆ ˆ
i j k
X Y Z
P
r xi yj zk
ˆ ˆLos vectores 0
ˆˆbase cartesianos 0
ˆ ˆson ortogonales entre si 0
ˆ ˆLos vectores 1
base
i j
j k
k i
i i
ˆ ˆ cartesianos 1
ˆ ˆson unitarios 1
j j
k k
Los vectores base cartesianos constituyen,
además, una base "der
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
h ":
ˆ
ec a
i k
k
k i
j i
j
j
X
Y
Z
i
j
k
X
Y
Z
i
j
k
x
y
z
, ,P x y z
ˆˆ ˆr xi yj zk
r
FuerSon fuerzas que actúan en el mismo planoy, por lo mismo pueden identificarsecompletamente con sus coordenadas.
FUERZAS CONCURRENTES: Son fuerzas queintersectan en un punto común o tienen elmismo punto de aplicación.
F
f
F
a
F
N
W
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