OPERADORES MATEMATICOS 7
OPERACiÓN MATEMA TlCA:
Procedimiento que valiéndose de reglas o leyespreviamente establecidas. transforma cantidades o funciones en otra.
Operador:
Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa una determinada operación matemática.
Ejemplo: r-----------------,
~ Suma ................ ( +) Resta ................ (- ) , Multiplicación .... (x)
~. División ............. ( : ) Radicación ........ (.f )
Los símbolo que se indican sor la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.
Ejemplos de Operadores:
A' B = A2 - 2B ..... ..
'-IOpe-ra-dor'--A:-Sl-en~'sco--'1 [R"egta de como opera. I Ejercicio:
SI : A ' B = A2 - 2B. Calcular: 5 · 2
Resolución:
De la condición: A • B '" A2 - 2B
Calculamos:
J, J, 5 • 2; 52 - 2(2)
5' 2 ; 25-4
. 15 • 2;2d
Simbología:
% ; Operador Porcentaje
/), = Operador Triángulo
• = Operador Asterisco
O = Operador Cuadrado
O = Operador Rectángulo. etc.
1 EJERCICIOS RESUELTOS 1
Ejercicio 1; Si se define la operación ( ... ). en los números reales comc.
a ... b = 3d+b~
Calcular.
A)19 B)21
Resolución;
De la condición :
Calculamos:
4 ... 3
C)23 D)18
a ... b = 3a+b2
J, J,
E) 24
•
4 ... 3 = 3(4) + 32
4 ... 3 =12+9
.. 1 4 ... 3 = 211
Rpta. B
Ejercicio 2: Si se define la operación ( t:. ), para cualquier par de números reales positivos 'x' e 'y'como:
Calcular: 25 Ó. 9
A)8 B) 11 C)9 D) 15 E) 20
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logs
pot.c
om
Resolución
De la condición: x ~ y ~ 3Vx - 2 v'Y
Calculamos:
J. J. 25 Ó 9 = :sJ25 - 2..[9 25 ó 9 ~ 3(5) - 2(3) 25 Ó 9 ~ 15 - 6
125 Ó 9= 9 I Rpta e
Ejercicio 3: Sea la operación (#) definida en los reales como:
#b _a + b a - --a - b
Calcular el valor de 'x" ; si:
x#2 = 2x#3
A)O 8)5 C)2 0)6
Resalución:
la#b -- aa +_bbl Oe la condición: . .
Calculamos: x#2 = x+2 x-2
E) 3
........ . (1)
2x # 3 ~ 2)( + 3 ....... . (11) 2x - 3
ReelTlJlazamos (I)y (11) en la expresión inoognila:
x # 2 = 2x # 3
~ ~ x + 2 _ 2x + 3 x-2 - 2)(-3
(x"{' ~ \~0) = (r-~ ~~) 2x2 - 3x + 4x - 6 = 2x2 + 3x - 4x - 6
x - 6 = -x - 6 2x = 0
RptaA
':' /~'rc;c;o 4: Sean las operaciones (%) y ( /',. ); definidas en los reales por:
a%b=a+ab+b
a /',. b = a2 + ab - ~
Calcular: (2 % 4) % (3 Ó 2)
A) 124 B) 160 C) 179 O) 168 E) NA
Resolución:
Oe la primera condición:' a % b = a + ab + b 1
Calculamos: 2%4=2+2x4+4
' 2%4=14 1 .. ... . (1)
:2 yo 4) % (3 Ó 2) = ? T
I 14 % 11 =? (Nueva incógnita)
De la primera condición: , a % b := a + ab + b 1
Calcular: 14 % 11 = 14 + 14 x 11 + 11 J.
(2 % 4) % (3 Ó 2) = 179
I (2 %4 ) % (3 Ó 2) = 1791 Rpta e
Ejercicio 5: Sí:
a * b = ab ~ (a + b) Y a ~ b = 2a + b
Calcular: 2 * 3
A) 12 B) 14 C) 16 0)17
Resolución; Oe la primera condición:
a " b = ab~ (a + b) I
E) 19
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Calculamos: 2 .. 3 = 2 x 3 tBJ (2 + 3)
.. 1 2. 3 = 6 & si ...... (a)
De la segunda condición: a jgJ b = 2a + b
Calculamos: 6jgJ 5=2 x6+5
16&5= 17 1
Luego. reemplazamos ( a ) en ( p )
2.3=6jgJS
...... ( ~)
~ Rpta O
Ejercicio6:Sean lasoperaciones: (O). (~). ( .. ). ( ... ). definidas en los reales por:
a O b = a ~ b; _ 7 a ... b = a .. b
a ... b = al> + ba; ~ a"l, b '" a ... b
Calcular:
A)2 1
B}28 Resolución:
4 O .!. 2
1 C)2"ffl"" D):i
C~)tenemos: la ") b", a ... bl
El"!-ª-33
... . .. (1)
Delasexpresiones:a1l"b;a"+be y a .... b = a ... b
Obtenemos: la ... b = ab + bal .. . .. . (11)
Reemplazamos (II) en (1):
a O b = ab + b". con esla expresión calculamos:
4 0
40
1 1 1 4 t) -= 2+ -= 2-2 16 16
RptaC
Ejercicio 7: Sabiendo que:
a CJ b '" 2a - 5b ..... .... si: a > b
aD b = 3a -7b ......... si: a < b
Calcular: (- 2 D - 1) - (- 1 CJ - 2)
A)3 B) -7 C)4 0'-2 E) N.A
Resolución:
Dela2da. condici6n: aClb ; 3a-7b; si:a<b
Calculamos: -20 -1 '" 3 (-2) -7 (-1)
1-2CJ-l=11 ... . .. (a)
Dela Ira. condición: aob =2a-5b;si: a>b
Calculamos: -1 CJ-2 = 2(-1) - 5(-2}
... 1-1CJ -2 ", 81 .... ··(P)
Reemplazamos(a)y(p)enlaexpresióninc6gnila:
(-2CJ -1) -(-1 CJ -2) = 1-8 = -7
.. I (-2 el -1)-(-1 el - 2) =-7 I RptaB
Ejercicio S: Se define la siguiente operación:
A 11 B '" AB2 • (A + 2)
si: A = x+3 y B = x+k
Hallar:
k>O. si eltérminoindependienlede A 11 Bes60.
A)2 B)4 C)O 0)3
Resolución:
En la condición: A 11 B = AB2 . (A + 2);
Reemplazamos los valores A y B.
E)1
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A 11 B = (x + 3) (x + K)2 . (x + 3 + 2)
A 11 B .. (x + 3) . (x + k)2 . (x + 5) -r= =r-
A 11 ·B = (x2 + 8x + 15) . (x + k)2
A 11 B=(x2 +3x+15).(x2+2kx+k2)
I I I
(Término independiente de A # B es 15 k')
Por dato: Tennino independiente de A 11 B = 60
Luego:
Ik=±21 Rpta. A
Ejercicio 9: Sea: I y I a I = ya . y-2 - 1
- 3
Donde: Ix2 131= 81 -8
Calcular el valor de ' x"
A)3 B)9 C) 81 D) 1/9 E) 1/3
Resolución:
En primer lugar reducimos el valor de la expre-sión: -1 rn =81-
6
ffi =818
- 3
1
3
-1 rn = 81 2 = (92
)
De la condición:
Calculamos:
1
2
= 1 9
1
2
1 6 - 4 - =x . x 9
; =x2 -+ x=±{i
Ejercicio 10: Se define la operación:
a*b =a+ b a - b
1) (a' b) + (b • a) = O
Rpta. E
11) si: x • y = 3; entonces: x:: 2y 111) a • b:: (a + 1) • (b - 1)
Son verdaderas:
A) Sólo (1) D) I Y 11
Resolución:
De la condición:
Calculamos:
b*a = b+a b - a
De la expresión (1):
B) Sólo (11) C) Sólo (111) El 11 Y 111
b • a _ _ (a + b) - (a - b)
Ca • b) + (b * al = O ; reemplazamos valores, obteniendo: D D
.... . . {verdadero)
la*b = aa _+bbl De la condición: . .
)(+Y Calculamos: x' y = -x-y pero: x = 2y
De donde: x • y = 2y + Y = 3y = 3 2y - Y Y
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(verdadero)
De la condición:
Calculamos:
a'b = a + b a - b
(a + 1) '(b _ 1) = (a + 1) + (b - 1) {a + lJ-(b - Ü
I (a + 1) • (b - 1) = a + b . 8 - b + 2
De la expresión (111) :
. rl-~-~""':"'~"":_-a-~-~-+:-b-2-'1 ; (FALSO)
Hallar el valor de:
A)16 B)4
Resolución:
De la condición:
Calculamos:
C) 1 D) 196
~=Ia+b+cl ~= ll+1+¡1
De la condición: ~ = fi2
Rpta. D
(/
E)9
... ... (u)
Calculamos: lID = 32 ~ lID = 9 ······(Il)
Reemplazamos ( Il ) en ( (l ) :
A =9 .......... ( e, Reemplazamos ( e) en:
.......... (1)
De la condición: ~
~=rl-a-+--;b:-+-c""'l
Calculamos: A ~=1-2+9-3 1
[\=0 ...... C!jI )
De la condición: ~ = a2
Calculamos: ...... (w)
Reemplazamos ( w ) en ( e> ):
¿ '=16 ...... (11)
Luego, reemplazamos (11) en (1 ):
= 16
Apta. A
Ejercicio 12: En A • B = A ; si: A < B
A • B = B; si: A > B
Luego son verdaderas .
1.- 7' 8 = 8' 7 11.- 5' 3", 3 111.- (5' 3) • 4 = 5 • (3 • 4)
J 1
3 3
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A) Sólo 1 B) Sólo 11 C)lyll E) 1, 11 Y 111 D) Sólo 111
Resolución:
A) De la condición: A' B = A; si : A < B
Calculamos: 17' 8 = 71 De la condición: A • B = 8; si: A > B
Calculamos: 1 8 ' 7 = 71
La expresión (1) es verdaderal----...J
B) De la condición: A • B = B; si A > B
C)
Calculamos: 5' 3 = 3 ~ La expresión (11) es verdadera
De la condición: A' B = B; si: A > B Calculamos 5' 3=3
De la condición: A'B=A; siA < B Calculamos: 3' 4= 3
Reemplazamos valores en la expresión (111):
(5/)'4=~4)
3'4=5'3 .............. (0:)
De la condición: A' 8 = A; si: A < B Calculamos: 3 ' 4 = 3
De la condición: A' 8 '" B; si: A,. B 5' 3=3
Luego, reemplazamos los valoreshalladosen (0:):
3'4=5'3 -!- T
3 = 3 ~ La expresión (lit) es verdadera
Ejercicio ~ Sea la operación:
@ = 3n +2 20
Entonces el valor de "n" en:
@ = n =; es :
RptaE
A) 1 8)2 C)3
Resolución:
De la condición: @ = 30 + 2 20
D)4
® 3@ +2
Calculamos: ® = 2@
3@ +2 o =
2@
Reemplazamos (1) en (11):
3l3~:2 J+ 2
o = 2( 3~~ 2 )
6n2 +4n = 130+6 6n2 -9n-6=0
6nX +3
n - 2
De donde: (6n + 3) . (n - 2) '" O
E)t.
. ... " .(1)
"" ."" " (11)
i) 60+3=0 ~ 0= - % ~ lo =- ~I ji) n - 2 = O ~ I n = 2 I
Ejercicio 14: Si"m a e b d =ad-bc
Hallar: yen;
All
I:IT]+[IT!]=!:IT:!I ~~~
8)3 C)5 D)7
RptaB
v E)9
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Resolución:
De la condición: 1: 1 ~I =ad - be
Calculamos: 1: 1 ; 1 '" 4 - 5 - 6- 1 = 14
~ = 3 · y-xl=3y -x ~ CITIl Ld.rJ = 5 ·y-x · l=5y-x
Luego, reemplazamos valores en la expresión:
tiBj.[flj=fHIj ~I ~
14 + (3y - x) = (5y - x) -) 14=2y
RptaD
Ejercicio fs: Hallar el resultado de la siguiente operación, ~valuando de izquierda a derecha.
4"1*2*2"0'3
y consultando esta tabla
• 4
4 o 3 4
2 1
1 2
o 3
A)2 8)3
Resolución
Para este tipo
de problemas
se opera de la siguiente ma
nera para ha
llar el valor de
la expresión:
:
3 2
4 3
1 2
3 2
4 o 2 1
C)5
" 4
® o 3 4
2 1
G) ?
® 3
1 o 1 1
4 2
4 3
3 4
2 o
D)4
,(3) .<21 4 3
1 2
3 2
4 o 2 1
E)6
111 .101 ¡ 1 1
4 2
4 3
3 4
2 o
4'1'2'2'-0'3 T 1"2'2'0'3 'T 0'2'0'3 T
1 • O' 3
----r' 4" 3= 4
Según la tabla:
4'1 =1
RptaD
(Para este resultado se trazado una linea horizontal y otra vertical el punto de intersección de estas dos líneas será el resultado de
• @
.\
3
2
<!> O
De igual manera se procede para el resto de operaciones. t-
Ejercicio 6: Sea: (x) la operación definida en:
L '" (a, b, c, d. e} ; mediante la tabla
x a b
a a b
b b e
e e d
d d e
e e a
Calcular: a~ x tY! x c2
\} ~
e
e
d
e
a
b
A) b Bl c ~ C) d
d e
d e
e a
a b
b e
e d
O)e E) N.A
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Resolucíón:
x a .® ,@ ,@ e
® a 'b c d e
(í)l h r. d e a
c c d e a b
(d). d El. a b c
e e a b c d
La expresión: a2 x b2 x c2, se puede escribir cerno:
a2 x b2 x c2 = (a ~ ~ x C)2
a2x¡¡ x c2"'(b ~ (l
a2 x ¡¡ x e2 = &; pero: & = d x d
a2 x ¡¡ x c2 = d x d --.::::..,
Rpta. A De la tabla:
(Estos resultados han Calculamo~ i) a x b '" b sido reemplazados en
ii) b x e == d la 9lCpresión; a' x b' x iii) d x d", b c' l
Ejercicio (2 Sabiendo que:
@) =x(x + 2) y ~ =xL1
Calcular: GJ + (g) A)3 8)4
Resolución:
De la expresión:
Calculamos: ® De la condición:
Calculamos: @ U
C)7 D) F.D E) N.A
G) =x2-1
= 22 - 1 -+ ® = 3 ...... ( a)
G) = xl-1
= l!:)2 - 1
le (x + 2) = [EF -1
'>?+2x+l, = 0 2
= [EJ2; T
• (x +1)2 . I .
a exponentes iguales, bases iguales.
[i] =x+1
De esta última expresión: [i] = x + 1
Calculamos: m = 3 + 1 -+ rn = 4 ....... ( ~ 1
Luego. reemplazamos los valores de ( ex) y ( P) en la expresión incógnita.
rnJ + <V=4+3
.. 1m dí)= 1 I Rpta. e
Ejercicio 18: Se si define la operación ( % ). para cualquier par de números reales "a" y 'b", como:
a % b =a2 -ab
Calcular el valor de ' x' si:
Ix +2) %Ix-l) = 5x
A)3 B) 6 C) -3 D} -6
Resolución:
De la condicion: a % b = a2 - ab
Calculamos:
E) NA
{x+ 2) "lo (x - 1) = (x + 2)2 - (x + 2)(x - 1) • 5)( = (x2 .. 4x + 4) - (x2 + X - 2)
Ejercicio, tp: Si:
5)( = 3x+6
2x =6
2 • 3 = 2 3 • 2 '" 2 5 • 4 '" 27 1 • 5 = 5 5"2=36
RptaA
Calcular el valor de: 2152 • 3543
Al 6 273 B) 2 572 D) 2672
C) 3572 E)N .A
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Resolución:
La expresión incógnita; se puede escribir como:
2 1 5 2 • 354 3
2 6 7 2
i) 2 • 3 = 2 r-lIevamos
ii)S'4=27 1-se pone en el
resultado
iii) 1 • 5 = L Este S lo operamos con el 2 que se llevaba de la operación anlerior.
De donde: ~ selleva
5'2=3l se pone en el resullado
IV) 2 • 3 = 2
Asi:
LEste 2 se operara con el 3 de la operación anterior
2 • 3 = 2 L Se coloca al resultado
12 152 • 3542 = 2672.
Rpta. O
Ejercicio (): Si
a#b=( a2b:a3Sb )Xb-1
Calcular el valor de: ó # [5 # (5 # 5 # < ..... > 1 ») ~)3 8)2 C)4
DI 6 E) Imposible
Resolución:
En primer lugar, trataremos de rE'rJucir la condición del problema.
a # b = ( a 2b + 35b ) x b - . 4a )
a#b = ( a2
4:3S)bX ) - 1
pero: I b x b · 1 = b x ~ = 1 1
la 11 b = a'4+a35
La expresión incógnita la transformamos de la siguiente forma:
5 11 L 5 11 (5 11 {5 11 (.. .. __ .. ) 1 ) ] = incógnita , ,
De la condición:
Calculamos:
• E
2 a#b = a +35 J.! 4a
2 5 #E = 5 + 35
4 (5)
60 5I1E = - = 3 20
[ 5 11 [5 11 (5 iI (5 11 e .u.> }») = 3 I Rpta.A
'1 O- P- E-R-A-C-IO-N-E-S-B-IN-A-R-IA-S-': 1
Las operaciones binarias más usuales y conocidas son la adición,la sustracción,la multiplicación y la división.
Puede decirse que una operación binaria consiste en la asoci ación de un par de elementos de un conjunto para obtener un nuevo elemento que es el resultado de la operación.
Pueden emplearse diferentes signos para indicar una operación cualquiera los más usados son "*" (operación asterisco), el • O • (operación· O") u otros signos convencionales .
Cuando el resultado de la operación es un elemento del conjunto de partida, se dice que el conjunto Cerrado respecto a la operación definida; si el re3ultado no en un elemento del conjunto se dice que el conjunto es Abierto respecto a la operación.
ForEjemr'o:
El conjunto de los números Naturales N es ·Cerrado· respecto a la adición (la suma de dos números Naturales es un Número Natural. 3 +4 := 7) y la multiplicación (el producto de dos
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Números Narurales es un Número Natural 2 x 4 = 8}. En cambio, no es Cerrado respecto a la sustracción (la resta de dos Número Naturales JX.tede o no ser un Número Natural . 5 • B = -3) Y la óV1Slón (el cociente de dos Números Nalurales puede
o no ser un Número Natural. ~ = 2 5) 2 '
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS
a) Conmutatividad.-
I 'ti a, b e A ~ a' b = b • a I b) Asociatividad.-
I 'ti a, b, e e A .00..) a' (b • e) = (a • b) • c
e) Distributividad.- Si se tiene dos operadones * A O en un conjunto A, para todo a, b, e e A debe verificarse:
a' (bOe) = (a' b) O (a' e)
En este caso la operación' es Distributiva respecto a la operación O .
d) Elemento Neutro.-euandoen uneonjunto A existe un elemento ' e • que tiene la propiedad en una operación ' • " de aparecer como que no interviniera en ellos, entonces de dice que" e " es el Elemento Neutro en la operación definida. Es decir.
I 'riaeA ~ a'e=al
Ejemplos:
1) Para la Adición IR el Elemento Neutro es el O; pues: a ... O = O .. a = a
2) Paralamulliplicaciónen elElemento Neulroes ell; pues: la · 1 - 1 . a = al
e) E\ementolnverso: Elinverso de un elemento a e Asedesignaa-1 ydebetenerlapropiedad que al ser "operado" aCOll a·1 debe obtenerse el Elemento Neutro es dedr:
I "ti a E A; a' a" = e I En la adición de números reales el inverso de un número ' a • es " - a ", llamándose' inverso aditivo,
Por lo tanto: a + (- a) = (- a) .. a = O pues el O es el elemento neutro para la adición en IR .
En la multiplicación en IR el inverso de • a • es ~ Ilamándosele inverso multip lieativo.
1 Entonces: Va .. o: a · a = 1 pues el 1 es el
elemento neutro para la multiplicación en
En los racionales Q el inverso multiplicativo de
a b - es - pues' b a .
1~ · ~=1 ( V a , b .. O)
Ejercicio 21: Con los elementos del conjunto: S = {a, b, e, d, e} se efectúa la operación obteniéndose el cuadro siguiente:
• a b e d e
a a b e d e
b b c d e a
e e d e a b
d d e a b c
e e a b c d
1) La operación es abierta 11) La operación es conmutativa III} Existe un elemento neutro (idéntico)
De estas afirmaciones es (son) verdadera (s)
A) Sólo lB} Sólo" D) Sólo I y"
C} Sólo 111 E) Sólo 11 y 111
Resolución:
1) La operaCión NO es abierta si no cerrada ya Que el resultado es un elemento del conjunto de partida, veamos por Ejemplo.
a'a " a l b'b"c e • e = e d • d = b e • e = d
Los resultaaos son elementos del conJunto de par1ida: S==la,b,c,d,e}
11) La operación si es conmutativa, veamos:
a'"c = c·a ~~
c=c
111) Si existe un elemento neutro (idéntico), estE' elemento neutro es:
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. r;-a a
b b
c c
d d
Fila- e e '-" ,
Columnas
b c d e
b c; d e
c d e a
d e a b
e a b C
a b c d
* Para hallar el elemen!o neutro, primero nos fijamos que los elementos de una de las filas y columnas sean iguales como en esta figu ra; la intersección de la fila y columna nos dá el elemento neutro.
RptaE
Ejercicio 22: Con los elementos del conjunto A = { -2, -1 . O. 1, 2 l se dE'fine la operación: a • b = ab .. a + b, entonces el valor ' X • ~ • y • en el cuadro de la figura adjunta es
A)x= +1; y=-2
8) x = -2; y = -1
C) x = -1; Y = -3
D) x = 1; Y = 3
El otros lIaIores.
Resolución' -•
-2 1 O
1
2
• -2
-e -1
O
1
2
- 2 - 1
'" lO
- 1 o 1 2
y
X
O 1 2
~y
I
Delacondición: a' b = ab + a + b
Calculamos: -1'-1 =(-1)(-1)+(-1)+(-1) , .
x = "'-'1..- 1
.. I x = -11
De la misma condición: a*b=ab+a+b
Calcular: ,-2' " = (-2) (1) + (-2) + (1) I
y =-2-2+1
I y= -31 Rpta. e Ejercicio 23: Se formarán los dos cuadros siguientes correspondientes a dos operaciones siguientes: .. y )
CUADRO (1)
* O 1 2 3 4
O O 1 2 3 4
1 1 2 3 4 O
2 2 3 4 O 1
3 3 4 O 1 2
4 4 O 1 2 3
CUADRO (2)
l ) O 1 2 3 4
O O O O O O
1 O 1 2 3 4
2 O 2 4 1 3
3 O 3 1 4 2
4 O 4 3 2 1
Analice estos cuadros y conteste las preguntas siguientes:
1) ¿Es conmutativa la operación' • '? 2) ¿Es conmuta tilla la operadon ' 0 '? 3) ¿Es asociativa la operación' • '7 4) ¿Es asoclatilla la operación' 0 '7 5) ¿Es distributiva la operación' .. ' sobre la ' O '7 6) ¿Es distñbutiva la operación' )' sobre la •• '7
ResolucIón:
CUADRO (1)
• O <D ® 3 4
O O 1 2 3 4
ID 1 , 3 4 O
® 2 3 ' 4 ' O 1
3 3 4 O , 1 2
4 4 O 1 2 3
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CUADRO (2)
, ) O 1 ,(2) (3) 4
° ° ° ° O O
1 ° 1 2 3 4
(2). O 2 4 1 3
@ ° 3 1 4 2
4 O 4 3 2 1
1) Analizando el primer cuadro obtenemos Que la operación " • " es conmutativa, veamos según el cuadro (1).
1·2 = 3 1 -+ 1.2 = 2.1 2 • 1 = 3 f '-r-' '--w-'
3 3 -+ (es ConmulaUva)
2) Analizando el cuadro (2), obtenemos Que la operación ",)" es conmutativa, veamos según el cuadro (2).
203=11-+ 203 =3 ,)2 302 ", I r ............... '-r-'
1 1 ..... (es corrnutativa)
3) Analizando el cuadro (1), obtenemos Que la operación (o) es asociativa, veamos segú n el cuadro (1 ).
3" (4"2)=(3~ 4)"2 ----..-' ----..-'
~=,2~2,
4=4
4) Analizando el cuadro (2), obtenemos que la operación· O • es asociativa, veamos según el cuadro (2):
3 , ) l2 C? 41 = (3 '? 2) \) 4
~=~ 4=4
5) Analizando los dos cuadros, obtenemos que la operación •• • no es distnbutiva sobre la operación· O ", veamos:
4 • \2 (? 3l = $4 : 2),0 ,(4 .. 31 ~=~
0 .. 2
6) Analizando los dos cuadros, obtenemos que la operación' O • si es distributiva sobre la operación· •• • veamos:
4W(2 • 3) = (4 o 2) • (4 ) 3) ~~~
,49°.", 30 2 V 0=0
Ejercicio 24: Se define la operación o en el conjunto: M = {a; b; e; d;} mediante la siguiente tabla de doble entrada:
• a b e d
a e d a b
b d a b e C a b e d
d b e d a
Hallar el valor de • x· en la siguiente igualdad:
a-l. b·1 = X • C
A)a D) d
Resolución:
• .~ a a f--© b d
e (a d b
B)b
b e d a a b b e @ \!!.
,d
lb (C) d)
a
C)C E) otro valor
De la tabla calculamos el elemento neutro, siendo este· c" ,luego marcamos en la tabla las letras· c • paraasi hallarlas inversas respectivas veamos:
~ = x'C
~*L~
Rpta. B
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I EJERCICIOS PROPUESTOS I
Ejercicio 1: Sabiendo que: x t:8J y = x Il y x - y
Hallar el valor de: R = (8 t:8J 6) LI (3t:8J 4)
A) O B) 5"2 C) vTO D) {f5 E) N.A
Ejercicio 2: Si: p' q = 2p + 4q
Simplificar: (p 'q) '(q , p)
E = -"----"_:"":""'-'-"-O '1
A)p B) q D)2p+4q
C) p+q El 5p + 4q
Ejercicio 3: Si: x I)J y = XV + y'
a # b=axb+ab
Simplificar la siguiente expresión:
M = SII3 2~3
A)4 B){3 el 5
Ejercicio 4: Si;
D}6
( q% r) a p p • q • r - -"( r-a-q¡~o¡.:;-o -p
Además: x % y = .¡-- x ya x=2xy - y
Hallar: E = [(2) • (- 2) • (- 3))
A) -3 B)9 C)O D) 1/9
El N.A
E)N.A
Ejercicio 5: Dada la siguiente fom\a de operación en:
% A# (A • BI = --'-'--
# 11 B (A - SI
Además:
Nn = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x '00' 0 0 x N
Hallar: E = (7 • 5)70 + (8 • 3)%
A) 56 B) 77 C) 144 D) No se puede calcular E) Ninguna
Ejercicio 6: Si:
Db =2b-ab; a' b = a + (a # b)
y: x #y = y2_ X
Hallar el valor de:
MJ ;\2' 3) ] ... ([ 211 (- 1) J' 2)
lU(-2'1)
A) -4 B) -3 C) -2 D) -1 E) O
Ejercicio 7: Dadas de las siguientes relaciones:
AOB = AA+6; AO B = BAoS y:
AOB =~t
Calcular. (3 ':>-1); sabiendo que:
x = 20S 206
A)9 D) 1
Ejercicio 8: Dado:
B) 81
Q' = 20 - 5 ..... si:
C)rN2 E) 81'1'2
0 '02 . 40 = + 1 ..... Sl: - S < 1
Calcular el valor de: . '. S = S - (- 3) -4 • • 3 - 2
• • • • 2 - 3 +0 5
1 A) 7,6 B)8 C) 6,7 D) 215 E)N.A
Ejercicio 9: Considerando las operaciones:
A % % B '" A + B - N; si: 1 < N < 5 A % % B = A + B + N; si: 5 < N < 10
Donde: "N" es la suma de las cifras de los operandos (A yB)
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. Hallar:
E = (12 %% 15) %% (3 %% 1)
A)9 B) 4 C)45 0)36 E) O
Ejercicio 10: Definimos estas operaciones:
a=~; a T =aa y a!=\Ja r? Hallar el valor de' M ' si : M = [(2 jI · (4 ! ») ! b
Al l 8)2 C)4 0)8 E) 1/4
Ejercicio 11: Considerando la operación:
aq,b=a+b+3ab
Hallar el valor de • x • en:
a4llx",1
A) a / (3a + 1) C) (1 - a) / (3a + 1) 1) El -a / (3a + 1)
SI (a + 1 1 / (3a + 1) O} -(a+1)/(3a+
Ejercicio 12: Si:
(a +b)2 2 2 altb= ; m%o=m + n
2 Hallar:
• (r-s) • en:
(r%s) - Ir 11 sl =(;J3 Al 8 B) 16 C) 64 DI 32 E)4
Ejercicio 13: Se deline la operación como:
III = ~ ~ ~ ; sabiendo esto hallar: • m • en :
UiiI '" m
A)4y2 SI 4 ó-2 C)4 DI -2 El 4 y-2
Ejercicio 14: Sabiendo que:
mlln=2m-n
a % b = (a 11 b) + 3a + b
SimplifICar:
(5 # 3) + 5% (5% (5% (5% .. . 00)))
A) 25 B)28 e) 30 0)32 E) 35
Ejercicio 15: Si definimos la operación (') de la siguiente manera:
A • S == A + B; sólo si: A > B > O A • B", A - B; sólo si: A> B ; B < O A • S = A - B; sólo si : A < S
Hallar el valor de: R '" (5 • 3) • (2 • 4)
A) 16 SI -4 C) 10 0164 El -12
Ejercicio fJ Si: S ..... E '" (S + E) (S .... E)
y: [(S + E) H El '" 2 SE
Hallar: 3 --} 2
A)4 B)5 C) 10 O) 20 E) 25
Ejercicio 17: Si:
p + H + 15 . 2 . ~=14
Hallar el valor de:
M =~ A) 125 SI 120 C) 205 O) 81
Ejercicio 18: Se define la operación:
a V b '" ab + b - a;
según esto. Hallar' x • en:
5 V x '" (7 V 4) V 10; .!. 2
luego determinar el valor de: (>( V ~)
A) 50 S) 35 C)40 0)25
Ejercicio 19: El siguiente cuadro:
El 60
E)N.A
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~ o o O
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
O
? ()
Corresponde a la ley de formación para: ~B
A+B Al A _ B 8) A+B-1 C) AB-2
D) A+B-AB E) Ninguna
Ejercicio 20: En la tabla de multiplicar de la derecha, se cumple para:
1) a2 = a • a b
11) ab = b a a a b 111) t>2 = a b b a IV) a2 . t>2 = a
A) Sólo I B) Sólo 11 C)lyll D) 11 Y IU E) Todos
Ejercicio 21: Si:
&.. = (B+ 1}"; Hallar el valor· x " en:
4=100 A) 3 B)9 C) Y3 - 1 D) ,12
Ejercicio 22: Si : m' n = 2m + 3n - 1
Hallar el valor de • x • en:
(x - 1) " (2x + 2) = 7
E)-i2 -,
A) 1 B) 3 C) 1/2 D) 1/4 E) N.A
Ejercicio 23: El resultado de la operación:
[(3" 2) • (4 • 3)) • (2 • 4) = 3
Corresponde a la tabla:
(1) (11) • 2 3 4 • 2 3 4
2 2 3 4 2 2 3 2
3 3 2 3 3 3 3 4
4 4 4 2 4 4 4 3
111)
• 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 3 4 3 2 4
A) Sólo I B) Sólo 11 C) Sólo 111 D) I Y 11 E) I Y 111
Ejercicio 24:
Sabiendo Que:
o = x2-1
1& 1 = x(x+ 2)
Calcular el valor de: lA R=(&~W)
A)9 B)6 C) 81 D)16
Ejercido 25: Dado:
Ix lo 1= 2 ;1 x I 11 = 3 Donde:
E) 36
Ixln+11=3ffi-2 k In-11;{n~O). Hallar el valor de: ct:f I x ~ -JG --¡"-;""'1U A)9 B) 12 C) 17 D)21 E)N.A
Ejercicio 26: Hallar el resultado de la siguiente operación evaluando de izquierda a derecha
4'1'2 '2"0 ' 3
y consultando ésta tabla.
• 4 3 2 1 O
4 O 4 3 1 1
3 4 1 2 4 2
2 1 3 2 4 3
1 2 4 O 3 4
O 3 2 1 2 O
A)3 8)0 C)2 0)1 E)4
Ejercicio 27: Se define (*) en el conjunto "A".
A = {O,2, 4, 6}ycon la tabla adjunta; marcar verdadero (V) o falso (F).
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IJ
11)
111)
d. U:;;:: o d , V d. V U V M
3 aE A ~ talque: a*b = bOa 3 b E A
(2*4)"6 = 2·(4' 6)
. O 2 4
O 6 4 2
2 2 O 4
4 O 2 6
6 4 6 O
6
O
6
4
2
Al FFV B) FVV C) VVV DI VVF E)VFV
Ejercicio 28: De acuerdo a la siguiente tabla:
• a b e d a a b e d
b b e d e
e e d e a d d e a b e e d b e
y dadas las siguientes ecuaciones:
x o y = b
y * z = a x • z = d
1) ~
Hallar: [(x' d) • (y • e) • (z • e))
e e
a
b
e d
A) a B) b C) c D) d E) e
Ejercicio 29: Dada la tabla definida mediante el q¡erador (! 1')
H 2 5 3 2 20 5 3 5 5 10 23 3 3 23 50
Hallar: 325 ! T 353
Al 5 053 B) 553 C) 5 023 D) 5 523 E) N.A
Ejercicio 30: Sabiendo que: aK 0 a = X2 + 1
Calcular el valor de:
Al :~~ Bl :~~ C) 601 576
576 DI 601 E)N.A.
Ejercicio 31: Sabiendo que:
aOb=a+b aO b
Resolver: (2x O 3X}2 + (3x O 2X)2 = (3'0 2)2
1 1 1 A) x = '4 Bl x = '2 C) x = '3
, D)x = '3 E) x=4
Ejercicio 32: Dado que:
a V b={a2~: a + b;
a .. b '7
a = b f;:l
(.J2 V4)V(8V8) o ~r'~O~ M - 1 4.-
- 8'19 i fJ Hallar.
Al M= _,_ Bl M= -'- C) M= ~ 27 54 27
4 D) M = -
27 5 E) M= -54
Ejercicio 33: Definimos la operación ' r.() • del siguiente modo:
Hallar:
A) 2 1l:> 1
B) 2 rll 2
xm _ l m ,/" n - ''''=_---'
xn -1
(3 1l:> 1}-(4 1l:> 2)
C) (2 rf' 1) -(1 ® 2)
D)(2 ~ 1) - (1 ilJ 1)
E) (2 'ti 1) - (3 'ti 2)
Ejercicio 34: Con los dígitos 1,2,3,4, se define la operación:
Entonces, en los espacios x, y, z, debe colocarse respectivamente:
• 1
2
3
4
1 2 3 4
x
y
z
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A)2;6; 7
D) 1; 4: 2
Bl 1,5; 2,5; 3,5
E) 1,5; 3,5; 3
C) 2; 3; 4
Ejer-c;cio35:Si definimos el operador" +. como:
a1< b = ~a Vb Calcular. (2+ ;)+ ~ A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 1/4 El4
Ejercicio 36: Se define la operación binaria' * • en • Z· medianle la siguiente relación:
a*b =a2- b2
Hallar la suma de los elementos del conjunto solución de:
A)5 Bl -2 C)3 0)4 E)2
Ejercicio 37: Se define los operadores E3 V rn. de la siguiente manera:
aGb= {(a +b)2,
ab,
aDJb= Vab
a>b
a<b
Calcular: (2E33)[O(5Bl)
Al 3 B) 5 C) 6 O) 7 El 4
Ejercicio 38: De acuerdo con las tablas adjunlas el valor de:
Ala 8)b C)C
D)d
E)e
+ a b e d e
• a b c d e
2a. (b3 + 2c) es:
a b c a o c b c d e d e d e a e a b
a b c a a a a b c a c e a d b a e d
d e a e e a a b b c e d
d e a a d e b d e c e b
Ejer-cicío 39: Con los elementos del conjunto: {a, b, e, d} se define la operación .'f obteniéndose el cuadro adjunto de «doble entrada ..
;;'r a b c d a d c b a b c b a d c b a d c d a d c b
Se afirma Que;
1) La operación ~( es conmutativa 11) La operación * es asociativa 11) El elemento neutro es .. a ..
De estas afirmaciones son verdaderas:
A) Sólo I 6) Sólo I y 111 el Sólo 11 y 111
D) las tres son falsas El lastres son verdaderas
Ejercicio 40: La operaci6n O efectuada entre los elementos del conjunto
S = p, 2, 3, 4 , 5} da el cuadro siguiente:
o 1 2 ;, 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 3 4 5 1
3 3 4 5 1 2
f-4 4 5 1 2 3
5 5 1 2 3 4
Se afirma Que la operación tiene las propiedades siguientes:
1) la operacion es CERRADA 11) Existe para cada elemento un INVERSO 111) Es asociaF.¡a
De estas afirmaciones sóloes (son) verdadera (s)
Al l a I D)lallylll
Bl La I y 11 E) Los tres
C)Lalylll
EjeTcicio41: Si: (x + 1) 0 (y -1) = x + y
Cálcular el valor de 'a' en:
(5 e» 4) e» (a e» 2) = 14
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)5
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Ejercicio 42: Si:
lKJ ; x-x+x-x+ .. . oo
Calcular el valor de:
A} 2-17
B B) Z-IS
C) 2 - 19
D) 2 -20
E} 2 -21 21 operadores
q O
Ejercicio 43: Definimos la Operación (+) mediante la siguiente tabla.
* O 1 2 3
O O 1 O 1
1 1 1 2 1
2 O 2 4 O 3 1 1 O 2
Según esto, calcular:
((1 * O) ,," (O * 2)] ,1< [(3 ,1<' 1) * 2)
A) 3* 1 8)2 *2 C)3 *3 D}4 E)0*3
- - - - - - - -
Ejercicio 44: Si:
aa 1.', bb = b * a
XV * Y" = 2x + y
Calcular el valor de:
A)9 Bl11 C) 13 D} 14 E) 16
Ejercicio 45: Si;
(x o V) (y- x) x = y ; x,¡,y'r/x,y
Calcular el valor de:
R (2 ( 5)(5 ( 2)
(99 (100)(100 o 99)
A)-6 B) 6 C)9 0)-9 E)12
({ V
I CLAVE DE RESPUESTAS
I 1) B 11) C 21) E 31) B 41) C 2) E 12) E 22)C 32) B 42) D 3)A 13) B 23}A 33) O 43)C
4) A 14) D 24)8 34) E 44)B
5) B 15) C 25)C 35) A 45) C 6) B 16) D 26) E 36)C 7) E 17) E 27) B 37)C
B) A 18) C 28) E 3a)A
9)C 19) D 29) A 39) A 10) E 20) E 30)C 40) E
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