Optimizacin de parmetros de flujo en formaciones geolgicamente fracturadas.
Leonardo David Donado1, Nadir Bashir Yaver-Orjuela1
(1) Grupo de Investigacin en Recursos hidrulico, Universidad Nacional de Colombia, Bogot, Colombia ([email protected], [email protected]).
RESUMEN:
El entendimiento del flujo de agua en medios fracturados es un problema muy complejo, este tipo de rocas
tiene un gigantesco nmero de fracturas con propiedades desconocidas, razn por la cual estos medios son
modelados en un marco estocstico. Una de los mtodos para la modelacin de los macizos fracturados es la
aproximacin por redes de fracturas discretas (DFN) donde las fracturas son modeladas por medio de funcio-
nes de densidad de probabilidad [e.g., Donado, 2009]. Se usaron pruebas hidrulicas, que fueron realizadas en
el sitio el Berrocal (Centro de Espaa), cinco familias geolgicas fueron identificadas en este macizo. Cuatro
algoritmos de optimizacin fueron utilizados para representar las pruebas, (i) Simulaciones de Monte Carlo,
(ii) Mtodo de mxima verosimilitud, (iii) SCE-UA, [Holland, 1975]. Y (iv) PSO. Como resultado se obtuvo
una representacin del sistema que modelo los procesos de flujo en la formacin objeto de estudio y se sugie-
re una metodologa para abordar este tipo de casos.
PALABRAS CLAVE:
Optimizacin, Estocstico, Funciones de densidad de probabilidad, Medios fracturados, redes de fracturas discretas.
ABSTRACT:
The understanding of groundwater flow in fractured media is a very complex, these types of rocks have a
gigantic number of fractures with unknown properties, reason why these media are modeled in a stochastic
framework. One of the methods for the modeling of fracture massif is the Discrete Fracture Network (DFN)
approach where fractures are modeled by means of probability density functions [e.g., Donado, 2009]. We use
hydraulic tests, which were realized, in El Berrocal Site (center Spain), five families of fractures were defined
in this massif. Four algorithms of optimization were used to represent the tests, (i) Monte Carlo simulations,
(ii) Maximum likelihood, (iii) SCE-EA, [Holland, 1975]. And (iv) PSO, The result was a representa-
tion of the model system flow processes in order to study the formation and suggests a methodolo-
gy to address such cases.
KEYWORDS:
Optimization, stochastic, function de distribution de probability, fracture media, discrete fractures network.
1 INRODUCCIN
En general todos los procesos en medios fractu-
rados pueden ser modelados desde una serie de en-
foques que se pueden ser clasificados en tres (3)
grupos dependiendo del grado de heterogeneidad
[Committee on Fracture Characterization and Fluid
Flow, 1996; Molinero, 2001; Wang, et al., 2008]:
medio poroso equivalente (EPM), medio poroso
embebido con fracturas (aproximacin mixta), y las
redes de fracturas discretas (DFN). Todas estas
aproximaciones han sido ampliamente aplicadas pa-
ra el problema de evaluacin y migracin de conta-
minantes.
El mtodo de las DFN es una aproximacin espa-
cial discreta que considera el flujo en macizos roco-
sos fracturados mediante un sistema de fracturas co-
nectadas. Por esta razn, es necesario crear un
conjunto de fracturas que se intersecten, lo cual re-
presenta en trminos cuantitativos las diferentes fa-
milias registradas dentro del dominio tridimensional.
Desde este punto de vista se hace importante la ca-
racterizacin geolgica, geomtrica e hidrulica de
estas fracturas [Hudson, et al., 1980; Long, et al.,
1982; Long, et al., 1987].
2 GENERACIN DE LA RED DE FRACTURAS DISCRETAS
La generacin de la red es iniciada por medio de
una distribucin espacial de Poisson que localiza de
forma aleatoria los nodos, al tiempo que respeta los
lmites de densidad volumtrica de nodos en un do-
minio cubico. Entonces para un determinado umbral
de flujo, aumenta el nmero de nodos con la desvia-
cin estndar de la distribucin de la conductividad.
3 FLUJO EN MEDIOS FRACTURADOS
Una vez que la DFN ha sido creada, el siguiente
paso corresponde en convertirla en una malla que
pueda ser representada por un cdigo. Se adopta
aqu una metodologa de conceptualizacin de flujo
en una red de fracturas, como la de una red de cana-
les interconectados. La metodologa que se utiliza es
una modificacin del modelo de canal desarrollado
por [Cacas, et al., 1990]. El punto inicial es encon-
trar las fracturas conductivas (un conjunto de toda la
red), esta red est formada por grupos de fracturas
que estn fsicamente interconectadas y solo conec-
tadas hidrulicamente por los lmites, tal que sean
capaces de conducir agua.
La creacin de la grilla de elementos 1-D (cana-
les) es desarrollada en tres (3) etapas.
Dos (2) discos que se intersectan son conectados
por dos (2) segmentos. Cada uno tiene un final (no-
do) localizado en el centro del disco. Estos dos (2)
puntos son conectados por la definicin de un nodo
adicional, localizado en la interseccin de las fractu-
ras.
El paso anterior se repite para todos los disco que
se intersectan a lo largo de reas que se interconec-
tan, (Ver Figura 1).
Dado que desde el paso uno (1) se deduce que
cada elemento generado puede ser asociado a una
fractura particular, por lo que es posible transferir
propiedades de las fracturas a los elementos. Estas
propiedades no solo incluyen parmetros hidruli-
cos, sino tambin el hecho de que cada elemento
puede estar asociado a una de las familias de fractu-
ras.
Figura 1 Red conductiva interfracturas propuesta en HIDROBAT
[Vives, et al., 2004].
4 ZONA DE ESTUDIO
El proyecto Berrocal es un estudio internacional
con el objetivo de entender y modelar los procesos
de migracin que han controlado la distribucin na-
tural de los radionucleicos en una ambiente de frac-
turas granticas. [Miller, et al., 1994]. La investiga-
cin utiliza un enfoque plenamente integrado de las
caractersticas estructurales, hidrogeolgicas y geo-
qumicas del sitio.
4.1 Prueba de bombeo Dos (2) tipos de pruebas hidrulicas fueron desa-
rrolladas en el sitio: (i) de agujero simple y (ii) prue-
bas de largas duracin [Rivas, et al., 1997]. Las pri-
meras fueron probados en pozos aislados, de ms de
veinte (20) metros en longitud, con una inyeccin de
carga constante bajo la suposicin de flujo radial en
2D . Las cargas fueron medidas en los pozos
.2, .13 .15S S y S por medio de medidores de presin
despus de largos periodos de bombeo (alrededor de
4 das) con un caudal constante de 0.1 / minL en el
pozo .2S . La distancia de los pozos de observacin
.13, .15S S al pozo de inyeccin es de 19 m y 22 m
respetivamente y se analiz un periodo de recupera-
cin de cuatro (4) das [Donado, 2009].
4.2 Problema inverso El problema inverso consiste en la estimacin de
los parmetros del modelo a partir de mediciones de
la respuesta del sistema y un apropiado conocimien-
to previo de los parmetros. Mientras que en la mo-
delacin tradicional, y en particular la modelacin
inversa, es vista como una simple rutina de un pro-
grama de cmputo, el problema en cuestin es mu-
cho ms complejo y debe ser visto bajo una perspec-
tiva ms amplia, ya que implica la interaccin de
varios pasos de los cuales la estimacin paramtrica
no es necesariamente la ms importante ni la que
consume ms tiempo.
5 MTODOS
A continuacin se presenta los mtodos imple-
mentados para realizar la modelacin de los proce-
sos de flujo en formaciones geolgicamente fractu-
radas.
5.1 Mtodo de mxima verosimilitud:
Definicin del mtodo. Sea R un conjunto de ob-
servaciones (medidas de cargas piezomtricas) y sea H una hiptesis acerca del problema fsico (parme-
tros del modelo y ecuacin de flujo). Sea ( / )f R H
la funcin de densidad de probabilidad de los datos
observados R dada una hiptesis H de acuerdo a un
modelo estadstico dado. La probabilidad de H da-
do R es definida como ( / ) ( / )L H R kf R H= , don-
de k es una constante arbitraria. Debe tenerse en
cuenta que la constante k tiene un solo valor para
todas las hiptesis, dados los mismos datos y marco
de modelo estadstico.
El cociente de probabilidad entre dos (2) hipte-
sis para algunas observaciones se define como la re-
lacin entre probabilidades. Esta se define como
2 11
2
( / )( , )( / )
H L H RL HR L H R
=.
5.2 Shuffled Complex Evolution method (SCE-UA) La filosofa detrs del SCE es tratar la bsqueda
global como un proceso natural de evolucin. Los
puntos de muestreo constituyen una poblacin. La
poblacin es fraccionada dentro de varias Subpobla-
ciones, a cada una de las cuales se les permite evo-
lucionar independientemente. Despus de cierto n-
mero de generaciones, las subpoblaciones son
forzadas a mezclarse, y nuevas subpoblaciones son
formadas a travs de procesos de mezcla. Esto pro-
cedimiento mejora la supervivencia por medio de
una intercambio de informacin ganada indepen-
dientemente por cada subpoblaciones.
5.3 Particle swarm optimization (PSO) En el PSO un nmero de entidades simples (par-
tculas) son colocadas en la bsqueda del espacio del
problema o funcin, y cada una evala la funcin
objetivo en su posicin actual. Cada partcula luego
determina su movimiento a travs del espacio de
bsqueda, por combinacin de la historia de su ac-
tual y mejor localizacin con uno o ms miembros
de su colonia, con algunas perturbaciones aleatorias.
La siguiente iteracin tiene lugar despus que todas
las partculas se han movido. Eventualmente, la co-
lonia en su conjunto, como una bandada de pjaros
en busca de alimento probablemente que se mueva
cerca del ptimo de la funcin objetivo.
5.4 Monte Carlo Analisys Tool El Monte Carlo Analysis Tool es una coleccin
de funciones de visualizacin y funciones de Matlab
integradas a travs de una interfaz grfica. El paque-
te puede ser usado para el anlisis de resultados de
muestreos experimentales o de mtodos de optimi-
zacin que estn basados en tcnicas de evolucin
de poblacin, por ejemplo algoritmo genticos
[Goldberg, 1989]. Un gran nmero de poderosas
tcnicas son incluidas en esta herramienta para in-
vestigar la estructura, sensibilidad, y la incertidum-
bre y parmetros de modelos matemticos. A pesar
de que esta herramienta ha sido desarrollada dentro
del contexto de la investigacin hidrolgica, todas
las funciones pueden ser usadas para la investiga-
cin de modelos matemticos dinmicos.
6 RESULTADOS
En la Figura 2 se observa la tendencia evolutiva
del algoritmo SCE-UA hacia el ptimo en el espacio
de bsqueda paramtrica.
Figura 2 Tendencia evolutiva del SCE-UA hacia el valor ptimo.
La elevada correlacin paramtrica en estas for-
maciones no permite la identificacin de valores p-
timos nicos, en vez de eso, se observan multiplici-
dad de los mismos (Ver Figura 3).
Figura 3 Correlacin paramtrica en el espacio de bsqueda (SCE-
UA)
Los proceso de calibracin resultaron satisfacto-
rios, la metodologas de busque global SCE-UA y
PSO fueron las que lograron los mejores resultados
(Ver Figura 4).
Figura 4 Ajustes logrados en el proceso de calibracin.
7 ESCALADO
El proceso de escalado es el ltimo paso del pre-
sente trabajo y consisti en la obtencin de parme-
tros efectivos o promedios, que representen de ma-
nera homognea o heterognea el medio. Este paso
se hizo mediante el respectivo anlisis estadstico de
cada uno de los parmetros hidrodinmicos de cada
fractura; en este caso, ya no se trabaja solamente con
el parmetro de familia, el cual es utilizado para
afectar todas la propiedades de cada fractura perte-
neciente a cada una de las familias y con ellos defi-
nir un valor nico para toda la zona geolgica.
Figura 5 Densidad de Probabilidad de parmetros efectivos de fami-
lias.
El hecho de poder representar el medio con tan
solo diez valores sin la necesidad de requerir par-
metros de familias y parmetros de fracturas, permi-
tir estudiar procesos de transporte de contaminantes
en el mismo.
8 CONCLUSIONES
Las tcnicas de optimizacin global SCE-UA y
PSO resultaron idneas para este tipo de problemas,
dada la gran versatilidad en entornos con multiplici-
dad de mnimos y superficies paramtricas comple-
jas, que es nuestro tema particular. Como propuesta
para la solucin de este tipo de casos se sugiere el
uso del SCE-UA, debido a sus bondades de ajustes,
tiempo de cmputo manejable y excelentes resulta-
dos en la convergencia.
En general la modelacin de procesos de flujo en
este tipo de formaciones es muy compleja, se deben
tener en cuenta demasiados variables que resultan
imposibles de representar dentro de un modelo ma-
temtico, todo esto sumado a la limitada informa-
cin dada la dificultad del muestreo en campo, hace
que la aplicabilidad del problema inverso sobre este
tipo de formaciones sea muy dispendiosa y deman-
dante en calculo numrico. Esta metodologa que se
propuso en el presente trabajo es sin duda la mejor
aproximacin que se puede tener en la caracteriza-
cin hidrulica en este tipo de medios.
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1 INRODUCCIN 2 GENERACIN DE LA RED DE FRACTURAS DISCRETAS 3 FLUJO EN MEDIOS FRACTURADOS 4 ZONA DE ESTUDIO4.1 Prueba de bombeo4.2 Problema inverso
5 MTODOS5.1 Mtodo de mxima verosimilitud:5.2 Shuffled Complex Evolution method (SCE-UA)5.4 Monte Carlo Analisys Tool
6 RESULTADOS7 ESCALADO8 CONCLUSIONESBIBLIOGRAFA
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