OTRAS B
ASES
MATE
3041
UNIVER
SIDAD D
E PU
ERTO
RIC
O
RECIN
TO D
E BAY
AMÓN
PROF.
JOSÉ
A. TORO C
LARKE
1
OTRAS BASES Aunque loa sistemas de numeración estudiados en las primeras
secciones fueron todos con base 10, se han utilizado otras bases a lo largo de la historia. Ejemplo:
Los antiguos babilónicos usaron el 60 como base. Los indígenas mayas de Centroamérica y México usaron el 20.
En esta sección de darán bases diferentes de 10, pero se usaran símbolos familiares del sistema indo-arábigo.
De manera consistente se indicara con un subíndice las bases diferentes de 10 como el numeral .
Siempre que no aparezca el subíndice, debe suponerse que la base es 10.
El numeral se lee “cuatro tres base cinco”. No lo lea como “cuarenta y tres”, ya que esa terminología implica en base 10 y significa un numero totalmente diferente.
54343 cinco
543
2
POTENCIAS SELECCIONADAS DE ALGUNAS BASES DE SISTEMAS NUMÉRICOS ALTERNOS
Cuarta potencia
Tercera potencia
Segunda potencia
Primera potencia
Cero potencia
Base 2 16 8 4 2 1
Base 5 625 125 25 5 1
Base 7 2,401 343 49 7 1
3
Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice
EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 1051342
51342 0123 52545351
4
Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice
EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 1051342
51342 0123 52545351
5
Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice
EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 1051342
51342 0123 52545351
6
Multiplique cada digito del numeral de dereccha a izquierda en orden acendente o hasta donde termine
EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 1051342
51342 0123 52545351
12542531251
22075125
22251342
51342
51342
7
FORMULA RÁPIDA PARA CALCULAR
Para convertir desde cualquier otra base a base 10.Comience por el primer digito del izquierdo y multiplíquelo por la base.
Luego sume el siguiente digito y multiplíquele otra vez por la base, y así sucesivamente.
El ultimo paso consiste en sumar el ultimo digito de la derecha.
8
PRACTICA: CONVIERTA A BASE 102210
2210 012 202122
102142 2210
028 2210
102210
9
Existe una forma mas rapida de calcular
EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 1051342
51342 0123 52545351
12545351 123
Vamos a factorizar ya que el 5 se repite en todos pero antes lleve a .150
51342
2545351 2 51342
10
FORMA ALTERNA
2545351 2 51342
51342
51342
51342
51342
51342
2545351
254535
25458
25440 2544
51342 2220 222
11
PRACTICA: CONVIERTA A BASE 10 EN FORMA ALTERNA
2210
2210 012 202122
2210
2210
2210
02122 12
02122
0214
2210 025 2210 10
12
EJEMPLO: CONVERTIR 497 DE FORMA DECIMAL A BASE 5 Los valores posicionales de base 5, comenzando por la derecha son
1, 5, 25,
125, 625 y así sucesivamente.
Como 497 se encuentra entre 125 y 625, no requerirá de grupos de 625, y si, en cambio de algunos posibles de 125, como de 25, 5 y 1.
Así que dividimos a: 497 ÷ 125 = 3; Residuo 122 122 ÷ 25 = 4; Residuo 22 22 ÷ 5 = 4; Residuo 2 2 ÷ 1 = 2; Residuo 0Así que
53442497
13
COMPROBACION DE
53442 0123 52545453
12542541253
220100375
497
53442497
53442
53442
53442
14
PRACTICA: CONVERTIR 497 DE FORMA DECIMAL A BASE 5
497 ÷ 5 = 99; Residuo 2
99 ÷ 5 = 19; Residuo 4
19 ÷ 5 = 3; Residuo 4
3 ÷ 5 = 0; Residuo 3
Así que 53442497
15
PRACTICA: CONVERTIR 7508 DE FORMA DECIMAL A BASE 7
7508 ÷ 7 = 1072; Residuo 4
1072 ÷ 7 = 153; Residuo 1
153 ÷ 7 = 21; Residuo 6
21 ÷ 7 = 3; Residuo 0
3 ÷ 7 = 3; Residuo 3
Así que 730614508,7
16
SISTEMA HEXADECIMAL
Es el que es de base 16, que es mayor que 10, el cual presenta un nuevo problema. Dado que son necesario símbolos distintos después de los números del 0 al 9.
La base 16 requiere mas símbolos que los que normalmente se utilizarían en nuestro sistema decimal. Las computadoras usan las siguientes letras A, B, C, D, E y F como dígitos hexadecimales para los números del 10 al 15, respectivamente.
O sea que : A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15
17
Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice , recuerde que A = 10 y F = 15.
EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 10165FA
21615
18
165FA
Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice
EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 1051342
12 16101615
19
165FA
Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice
EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 10
012 16516101615
20
165FA
5160840,3
005,4
165FA
165FA
165FA
15161025615
165FA
PRACTICA: CONVIERTA A BASE 10 EN FORMA ALTERNA
162EC
162EC 012 16121614162
21
162EC 11216142562
162EC 12224512
162EC 748
BASE BINARIO
Matemáticas para la computación, para la aplicación de la computadoras hay tres sistemas alternos que son los mas usados. Estos son el sistema Binario (base 2) Octal (base 8) Hexadecimal (base 16 antes mencionado)
Actualmente las computadoras y calculadoras manuales utilizan el sistema binario para sus cálculos internos debido a que constan solo de símbolos, 0 y el 1.
Por lo tanto, todos los números pueden ser representados por “interruptores” electrónicos, del tipo encendido/apagado donde “encendido” (ON) significa 1 y “apagado” (OFF) significa 0.
El sistema octal es utilizado de forma extensa por programas que trabajan con códigos de computación internos.
22
BASE BINARIO
Base 10 (Decimal) Base 2 (Binario)
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
23
Base 10 (Decimal)
Base 16 (Hexadecima
l)
Base 8 (Octal)
Base 2 (Binario)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 10
3 3 3 11
4 4 4 100
5 5 5 101
6 6 6 110
7 7 7 111
8 8 10 1000
9 9 11 1001
10 A 12 1010
11 B 13 1011
12 C 14 1100
13 D 15 1101
14 E 16 1110
15 F 17 1111
16 10 20 1000024
Encuentre cada digito octal por su equivalente binario de tres dígitos (los ceros al principio pueden ser omitidos, solo cuando se encuentren en el primer grupo de la izquierda. Luego combine todos los equivalentes binarios en un único numeral binario)
EJEMPLO: CONVIERTA A BASE BINARIA8473
100
25
4 1117 0113
28 011111100473
Encuentre cada digito octal por su equivalente binario de tres digitos (los ceros al principio pueden ser omitidos, solo cuando se encuentren en el primer grupo de la izquierda. Luego combine todos los equivalentes binarios en un unico numeral binario)
PRACTICA: CONVIERTA A BASE BINARIA 8765
111
26
7 1106 1015
28 101110111765
Encuentre cada digito octal por su equivalente binario de tres dígitos (los ceros al principio pueden ser omitidos, solo cuando se encuentren en el primer grupo de la izquierda. Luego combine todos los equivalentes binarios en un único numeral binario)
EJEMPLO: CONVIERTA A BASE OCTAL 211001110
10
27
011 110
82 23611011110
201110 110
010 011 110
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