Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
Pr
of.
Elm
er
Ro
lan
do
ES
TR
EL
LA
GR
IMA
LD
O
Geometría en el papel plegado
PAPIROFLEXIAEl mundo maravilloso del papel plegado y su aplicación en la matemática.
030
r = 1
½½ sE O
D
o
30
X
O
D
E0
30 r
= 1½
½s
Fig
. 22
La Paloma
Elroesgri
Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
Pr
of.
Elm
er
Ro
lan
do
ES
TR
EL
LA
GR
IMA
LD
O
01
PUNTO, RECTA, LINEA Y PLANO.
1. PUNTO.-
Es una representación abstracta (idea) que solo podemos relacionarlos con los demás elementos geométricos. Es así como podemos menciona que, cuando dejamos caer un lapicero sobre una hoja de papel, la huella dejado nos hacer referencia de un
2. RECTA.-Si plegamos una hoja, podemos decir que estamos representando una recta; es así que, dos puntos determinan una recta.
A
B
Fig. No 01
PAPIROFLEXIA, es el arte de hacer figuras reconocibles utilizando papel plegado. Si relacionamos el término Papiroflexia con origami, podemos mencionar que ambos términos tiene un mismo significado, siendo el segundo un término japones, y entendiendo que este técnica tiene sus orígenes en Japón. Cuando plegamos una simple figura como puede ser un avión, pajarito, etc; en ella queda impresos una serie de líneas, que al cortarse forma un sin número de ángulos y de polígonos regulares e irregulares. Entonces estamos hablando de la relación íntima que tiene del origami con la matemática.
En Papiroflexia, existen axiomas que demuestras como la bisectriz de un ángulo, líneas paralelas, etc. Además podemos mencionar que plegando papeles se construyen desde un simple triángulo, hasta un complejo polígonos regulas como el toro modular. Para muchas personas el plegar papel es un simple pasatiempo, pues para los que miras de otro perspectiva el plegar papeles es un arte que ayuda a perfeccionar el movimiento motriz fina de la manos y además ayuda a cultivar la inteligencia espacial y el razonamiento lógico matemático.
PAPIROFLEXIAEl mundo maravilloso del papel plegado
Punto
.A
DenotadoEs una
No es Se lee
Objeto real Punto A
Idea
LaRecta
Como Solo
Conjunto de puntos
2 puntosdeterminan
la recta
A y Bpuntos
RectaAB
Se lee
Sean
3. LINEA.-
Es un elemento geométrico que está compuesto de un conjunto de puntos alineados en sus dos sentidos. Si plegamos una hoja de papel, en ella queda representado una línea que puede ser de acuerdo a sus clases.
Elroesgri
Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
02
3.1. CLASES DE LINEAS.-Tomamos una hoja de papel, construimos un avión; luego desplegamos y en el la queda plasmado las clases de l íneas. Fig. 02
Fig. 02
Lín
ea cu
rva
Línea recta
)s
at cer y Línea mixta (curvas
Línea quebrada (dos o más rectas)
4. PLANO.-Podemos decir que una hoja de papel nos da una idea de un plano. Existen varios planos, cuando plegamos una hoja de papel en cuatro; en tonces podemos decir que en ella hay cuatro planos. Fig. 03
P
P
P
P
1
2
3
4
Fig. 03
El Avión
Línea
SusConjunto
De puntosalineados
En sus dossentidos
Una mismadirección
Son
Clases
Recto Curvo Quebrado Mixto
Po
rcion
es ed
Conjunto
SegmentoRecto
2 o másRectas
Carece
IndefinidosEn
Plano
Tres puntosno alineados
Determinan Existen
Plano P
P
Planoilimitados
Representa
Se lee
Angulo
Dos semi rectascon mismo origen
Angulo AOB Clasifican
Magnitud Característica Posición
Forman
SusDenota
Se
Según su
Lados: OA y OB
Elementos
Vértice O
Dos rayos
Son
Son
Interse
ed nói cc
ANGULOS.
Pr
of.
Elm
er
Ro
lan
do
ES
TR
EL
LA
GR
IMA
LD
O
Elroesgri
Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
03
La Taza
Una vez construido la taza de papel, hemos desplegado la hoja y en e l la apreciamos e l ángulo AOB, que deja la marca al plegar la hoja, y ademas existen varios ángulos. Fig. 04.
1. CONCEPTOS.-A. Es la figura formado por dos rayos (o líneas) trazados desde un mismo punto.B. Cada uno de las dos regiones ilimitadas en que queda dividido un plano cuando dos rayos
(semirectas) parten desde un mismo punto.C. Porción del plano determinado por dos semirectas con origen común.Cuando plegamos una hoja de papel para realizar cualquier figura, en ella encontramos un sin número de rectas, los cuales al intersectarse forman ángulos de distintas medidas y clases.A continuación cogemos un papel en forma de cuadrado para construir una taza, luego desplegamos y en ella se grafican lo que es un ángulo.
B
A
O
Concepto:
Lados OB, OAVértices O.
Formar dos semirectascon un mismo origen
* Según su posición
* Según su característica
* Según su magnitud
Clasifican:
Angulos agudosAngulos RectosAngulos obtusos
Angulos nulos
Angulos Convexos.
Angulos llanosAngulos Cóncavos.Angulos de vuelta.
Elementos:
Angulos complementariosAngulos suplementarios
Angulos consecutivosAngulos adyacentesAngulos opuestos por el vértice.
Angulo
2. CLASIFICACION.-L o s á n g u l o s s e clasifican es según su:Magnitud.Característica.Posición.Tomanos los pliegues b á s i c o s o fundamentales de la figura la Tetera de papel, para ver las clases de ángulos, como se muestra en la figura 05.
Angulos = 180
0
Angulos = 360
0Son
Tenemos los
Son
Angulosde 0
0
Angulo llano
Angulos de vuelta
Angulo
Cóncavo
Angulo nulo
Son
Rectos = 90
0
Obtusos
< de 900
Agudos > 90
0
Tenemos
2.1.-
Angulos > 180
0
Angulos < 360
0
Tenemos
Y
Angulos
Cóncavos
Angulo
Convexo
Según su magnitud
O
A
B
Angulo AOB
Fig. 04
α
Pr
of.
Elm
er
Ro
lan
do
ES
TR
EL
LA
GR
IMA
LD
O
Elroesgri
Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
04
=360
<90
=90
=1
80
<360
Fig. 05
Los ejemplos de clasificación de los ángulos según su carac-terística y posi-ción, presenta-mos en la figura de la paloma d e p a p e l , e n d o n d e identificamos los ángulos c o m p l e m e n t a r i o s y suplementario, consecutivos, adyacente y opuestos por el vértice; en la Fig. 06.
La Tetera
α+β = 90o
Complementarios
Sumados sus dosángulos dan 90o
Cuando
Sea
Según su Característica
α+β = 180o
Tenemos
Sea
2.2.-
Suplementarios
Sumados sus dosángulos dan 180o
Cuando
Angulo = Angulo α β
Angulos opuestospor el vértice
AngulosAdyacentes
Angulos consecutivos
Según su posición
Tenemos los
Vértices y ladocomún
Lados no comunesy rayos opuestos
Lados de uno sonsemirectas opuestos de los lados del otroEntonces
Tienen TienenTienen
2.3.-
α + β =180º (ángulos suplementario) δ + λ =90º (ángulo complementario) π = ω (ángulos opuestos por el vértice)
Fig. 06
La Paloma
3. BISECTRIZ DE UN ANGULO.-
La bisectriz es una semi recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales, de tal modo que cada ángulo representa la mitad del ángulo original, Fig. 07.
α
β
ω
π
λ
δ
Pr
of.
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GR
IMA
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Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
052
4. ANGULOS FORMADOS POR DOS PARALELAS CORTADOS POR UNASECANTE.-
L1
L2
1 23 4
5 67 8
Fig. 08
De los ángulos alternos externos son iguales. En la Fig. 08:1=8 y 2=7.De los ángulos conjugados internos son suplementarios. En la Fig. 08.: 3+5=180º y
4+6=180ºDe los ángulos conjugados externos son suplementarios. En la Fig. 08.:1+7=180º y
2+8=180º
De los pliegues básicos o fundamentales de la Paloma de papel se toma una cuarta parte de la hoja como ejemplo para identificar los ángulos formados por dos paralelas cortados por una secante; de los cuales podemos apreciar en la figura Nro. 08.De los ángulos correspondientes son iguales. En la
Fig.08 : 1=5, 2=6, 3=7 y 4=8.De los ángulos alternos internos son iguales. En la
Fig. 08: 3=6 y 4=5.
Bisectriz de un ángulo
Es unasemi recta
Origen en elvértice del ángulo
Divide al ángulode 2 ángulos congruentes
Es
Tiene Que
Suplementarios
Dos rectasparalelas
Por unasecante
1 2
3 4
6
7 8
5
Angulos conjugados internos
Son Tales
IgualesAnguloscorrespondientes
Son Tales 1 = 5 ; 3 = 72 = 6 ; 4 = 8
3+5 = 1804+6 = 180
TalesIgualesAngulos alternos
internosSon Angulos 3 = ángulo 6
Angulo 4 = ángulo 5
IgualesAngulos alternos
externosSon Tales Angulo 1 = ángulo 8
Angulo 2 = ángulo 7
Tenemos los
Cor
tado
s
SuplementariosAngulos conjugadosexternos
Son Tales 1+7 = 1802+8 = 180O
O
O
O
POLIGONOS.CONCEPTO.- Un polígono esta conformado por más de dos líneas poligonales cerrada; por eso, debemos mencionar que el polígono que posee de mínimo de lados y ángulos es el triángulo, que tiene tres lados y tres ángulos. El polígono de n lados, siempre y cuando n>2; es la circunferencia que tiene infinitos lados. A continuación presentamos un esquema de diagrama de llaves y un mapa conceptual sobre los polígonos (concepto, elementos y clasificación).
Bisectriz
Bise
ctriz
Fig. 07
Pr
of.
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er
Ro
lan
do
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Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
062
Concepto
Elementos
Clasifican
Porción del plano limitado por unalínea poligonal cerrada.
LadoVérticeAngulos interioresAngulos exterioresDiagonales yPerímetro
1.- Por le número de lados o ángulos.
2.- Por su convexidad
3.- En función a sus lados y ángulos.
4.- Por su relación con la circunferencia
TriánguloCuadrado.N-ágonos
ConvexoCóncavo
EquiláteroEquiánguloRegular
Inscrito en unacircunferenciaCircunscrito en unacircunferencia.
PO
LIGON
OS
Por el número delados o ángulos
El Número de ladosigual al número
de ángulos
Cuadrilátero
Pentágono
N-ágonos
Por suconvexidad
Cóncavo
Convexo
Cruzado
Paralelogramo
Trapecio
Trapeziode
En función a suslados y ángulos
Regular
Equilátero
Equiángulo
Por su relación con la circunferencia
Inscrito
Circunscrito
Lados
Vértices
Ang. Interiores
Diagonales
Perímetro
Ang. Exteriores
Polígono
Porción del planolimitado por una línea
poligonal cerrado
EsS
us
part
es
Se clasifican
Tenemos TenemosTenemos Tenemos
Tenemos
Tenemos
EsCuandoT
riángulo
TRIANGULOS.1. CONCEPTO.-
Es la porción del plano común a tres ángulos coplanarios que tienen dos a dos un lado común.
Es la porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. Figura geométrica formado por tres rectas que se cortan dos a dos. Polígono plano formado por tres lados y tres ángulos.
2. CLASIFICACION.- De los triángulos lo desarrollaremos en talleres siguientes:2.1. Según sus lados:A.- Construcción de un triángulo equilátero. Fig. 09
Pr
of.
Elm
er
Ro
lan
do
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TR
EL
LA
GR
IMA
LD
O
Elroesgri
Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
07
B.- Construcción de un triángulo isósceles. Fig. 11, 10 y 07.En los pliegues básicos de la mesa de papel (Fig. 10), Fig. 07 y Fig. 11 encontramos varios triángulos isósceles y los lados congruentes son: AB = BC del triángulo ABC y DF =EF del triángulo DE.
Fig. 07
==
La mesa
1ro
2do
=
=
4to
Fig. 11
3ro
BC
A
AB=BC deltriángulo ABC
C.- Construcción de un triángulo escaleno. Fig. 12.
Teniendo como base un papel de forma cuadrada, se ha construido las Cinco fases para plegar un cuadrado; de ello tomamos los pliegues básicos para identificar al triángulo escaleno que tiene sus tres lados y ángulos que no son congruentes. En la figura Nro. 12 apreciamos 14 triángulos escalenos; siendo uno de ellos el triángulo ABC.
Triángulo
Porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos.
Es
Clasifican
Sus ángulosSus ladosTenemos
Isósceles
2 án
gulo
s =
Eq
uilátero
3 lad
os =
Escalen
o3 án
gulo
s =
Tenemos
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo
3 Ang. A
gudos <90
1 Agn. O
btuso >90
1 Ang. R
ecto = 90
Tenemos
Tenemos
Según
Notación
TriánguloABC
ABC
Se denota
Se lee
Elementos
Vértices A
, B, C
Lados A
B, B
,A, C
A
Ang. Int.
Ang. E
xt. , ,
, ,
Son
SeSusSu
A continuación tomanos un papel que tenga un figura rectangular, para construir un triángulo isósceles, teniendo cuatro procedimiento que a continuación detallamos.
1ro
3ro
2do
Fig. 09
=
=
=
4to
C
En los pliegues básicos de la mesa de papel (Fig. 10), Fig. 07 y Fig. 11 encontramos varios triángulos isósceles y los lados congruentes son: AB = BC del triángulo ABC y DF =EF del triángulo DE.
==
==
A
B
D
F
E
Fig.10 Pr
of.
Elm
er
Ro
lan
do
ES
TR
EL
LA
GR
IMA
LD
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Elroesgri
Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
08
A
BCFig. 12
Cinco fases para plegar un cuadrado
2.2. Según sus ángulos:A.- Construcción de un triángulo acutángulo: Fig. 13
C.- Construcción de un triángulo rectángulo: Fig. 13
B.- Construcción de un triángulo obtusángulo: Fig. 13
AB
C
Fig. 13
D
E
F
GH
De la Fig. 13 (Cinco fases para plegar un cuadrado), apreciamos l o s s i g u i e n t e s t r i á n g u l o s clasificados según sus ángulos: Triángulo acutángulo GFH
(tres ángulos agudos o sea menores que 90º).
Triángulo obtusángulo ABD (un ángulo obtuso o sea mayor que 90º)
Triángulo rectángulo ECD (un
3. TEOREMAS FUNDAMENTALES:
A. La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo de igual a 180º O sea que α + β + ϕ = 180º
Cogemos una hoja de papel de cualquier y plegamos un triángulo sin importar su medida ni clasificación; una vez construida procedemos a recortar, por las líneas dejados al hacer los pliegues, de tal modo quedando solo el triángulo. Fig. 14
A
C B
A
CB
A
C B
AC B
ACB
AC B
1ro 2do 3ro
4to 5to 6to
Fig. 14
A
CB
Fig. 15X
Y
Z
B. Cualquier ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. Demostramos en la Fig. 15.
Del triángulo ABC, tenemos sus ángulos exteriores X ,Y y Z.
X = β + ϕ Y = α + ϕ Z = α + β
C. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo cualquiera es igual a 360º . De la Fig. 15 hemos invertidos los colores, teniendo como ángulos exteriores X, Y y Z.
Luego procedemos a cortas lo mencionados ángulos para luego juntarlos como indica la figura y queda demostrados.
ángulo recto 90º
Pr
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Ro
lan
do
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TR
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LD
O
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Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
09
A
CB
Fig. 15X
Y
Z
X+Y+Z=360
X
YZ
D. En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen los ángulos iguales Fig. 11. Para demostrar este teoremas, es necesario plegar haciendo coincidir el vértice A con el
vértice C. De ahí podemos decir que los ángulos α = β, que se oponen al vértice B o al ángulo ϕ.
4. LINEAS NOTABLES EN UN TRIANGULO:A. ALTURA.- Distancia medida perpendicularmente desde la base de una figura o cuerpo desde el
punto que se halle más alejado de la base. Es el segmento perpendicular desde una de los vértices al lado opuesto o a su
prolongación.
Utilizando un triángulo cualquiera, trazamos la altura plegando del vértice A hacia CB; del mismo modo trazamos plegando las demás alturas de los vértices B y C, como indica en la Fig. 16.De los pliegues realizados tenemos las alturas h’, h’’ y h’’’ y un punto O en donde las tres alturas se cortan; e s e p u n t o s e l l a m a Ortocentro.
A
BC
A
CB
A
BC
A
BC
O
Fig. 16
h’’
h’’’
h’
h’
1ro
2do
3ro 4to
B. BISECTRIZ.- Es un segmento que divide a un ángulo del triángulo en dos ángulos iguales; pero teniendo un mismo vértice con los restos de los ángulos.
Trazados las bisectrices de los tres ángulos del triángulo ABC como indica en la Fig. 17, todos ellos se intersectan en un punto llamado Incentro (punto medio de la circunferencia).
Fig. 17
A
BC
1ro
A
C
B
2do
A
BC
’
3ro
A
BC
O
’
’ ’
= ’= ’= ’
4to
=
=
Fig. 11
BC
A
AB=BC del triángulo ABCentonces, =
β
Pr
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Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
10
C. MEDIANA.- Es el segmento que une un
vértice del triángulo con el punto medio del lado puesto.
Trazados las medianas de los tres ángulos del triángulo ABC como indica en la Fig. 18, todos ellos se intersectan en un punto llamado Baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo.
A
BC
1ro A
BC
3ro
BC
A4to
=
=O
A
C
B
2do
A
BCA
BC
Fig. 19
1ro
3ro
B
4to
A
CB
2do
A
C
=
=O
5. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:Dos o mas triángulos con congruentes cuando al superponerlos, todos sus lados y ángulos coinciden. Veamos la Fig. 20.
A B
CD
E
F
G
H
O O
B G
E
A
CD
F
H
Fig. 20
Hemos plegado una hoja de forma cuadrada, en la cual existen varios triángulos (isósceles). Seguidamente hacemos coincidir el vértice B hacia el vértice D ; en ésta superposición tenemos varios triángulos congruentes como: AOE=AOF, EOD=BOF, DOH=BOG, COH=GOC, AOD=AOB, DOC=BOC y ADC=ABC.
6. BASE MEDIA DE UN TRIANGULO:Toma un papel y construya un triángulo ABC y
luego recórtalo.Trazar la mediatriz del segmento CB, obteniendo el
punto medio k.Trazar la mediatriz del segmento AB, obteniendo
el punto medio N.Al segmento AB trazar la altura hacia el vértice C,
obteniendo el punto g.Realice un pliegue, de tal modo que el vértice C
coincida con el punto g, teniendo como resultado el segmento Mk, y
Finalmente realice un pliegue desde el punto M hacia el punto N, obteniendo el segmento MN que viene a ser el Base Media del triángulo ABC; donde MN=Ck =kB, entonces MN=CB/2.
A
BC
M N
g
k
Fig. 21
Es la recta perpendicular a un lado, trazado desde su punto medio.
Trazados las mediatrices de los tres lados del triángulo ABC como indica en la Fig. 19, todos ellos se intersectan en un punto O llamado Circuncentro (punto medio de la circunferencia inscrito el triángulo ABC).
D. MEDIATRIZ.-
Fig. 18
Pr
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do
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Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
11
6. TEOREMA DE PITÁGORAS:Construimos una triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia (según la Fig. 22), de lo cual extraemos un triángulo EOD, y traza la altura del segmento ED hacia el vértice O, y además teniendo como radio r=1. Del teorema de Pitágoras procedemos a resolver la
2 2 2.ecuación h =x +xUna vez resuleta la ecuación procederemos a hallar las seis funciones trigonométricas
0 0del ángulo de 30 y de 60 del triángulo AOD.
A
B C
O
D
E
0
30 r
= 1½
½s
030
r = 1
½½ sE O
D
o
30X
Fig. 22
Hallando uno de los catetos del triángulo r e c t á n g u l o E D S , utilizando el Teorema de Pitágoras.
Una vez hallando el cateto, ahora hallamos las funciones
0trigonométricas de 30 .
Una vez hallando el cateto, ahora hallamos las funciones
0trigonométricas de 60 .
En la Fig. 23, podemos apreciar un cuadrado que tienen varios pliegues, de los cuales una circunferencia está circunscrito al cuadrado, esto no ayudará a identificar la radio r=1, para
o hallar las funciones trigonométricas del ángulo de 45
2
2
112
222
222
h
h
h
bah
2
245
2
1450
����
Sen
2
245
2
145
�
/ AD
Cos
145
1
145
�
�: �
Tan
Fig. 23
r =
1
r = 1C
A
B
r =
1
r = 1C
A
B
h
h
CUADRILATEROS
1. CONCEPTO.- Es todo polígono de cuatro lados y cuatro ángulos; es cuadriláteros
pueden ser cóncavos o convexos. La suma de sus ángulos interiores de un cuadrilátero es o
360 .
2
2
2
222
222
4/3
4/11
4/11
)2/1(1
x
x
x
x
bah
2130
12
130
�
���
Sen
2330
12
330
�
/ AD
Cos2
360
12
360
�
���
Sen
2
160
12
160
�
/ AD
Cos360
2
3260
21
23
60
�
�: �
Tan
Tan
3330
32
230
232
130
�
�: �
Tan
Tan
x
x
4
3
4
3
2. CUADRILATEROS CONVEXOS:
CLASES DE CUADRILATEROS:Los cuadriláteros se clasifican en: Paralelogramos (rectangulares y oblicuos), Trapecios (escalenos, isósceles, rectángulos y equiláteros)y Trapezoides.
Pr
of.
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Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
12
Cuadrilátero
Polígonos de4 lados
Elementos
VérticesA, B, C y D
< Int. , ,1 2
y 3 4
< Ext. , ,1 2
y 3 4
Lados AB,BC,CD y AD
Clasifican
Cóncavo
Cruzado
Convexo
Son Se Sus
En
Son
CONSTRUCCION DE POLIGONOS REGURALES CONVEXOS CON EL METODO DE PAPIROFLEXIA
1. TRIÁNGULOS EQUILÁTERO:1. Coge una hojas que tenga la forma de un rectángulo ABCD, realiza un pliegue, por la
mitad, de tal modo que el vértice A coincida con el vértice D y B con C, obteniendo el segmento ST. (1er).
2. Coge el vértice A y realiza un pliegue, de tal modo que coincida en un punto del segmento ST y que pase por el vértice C, obteniendo el segmento DE. (2do).
3. Seguidamente coge el vértice B y realiza un pliegue, de tal modo que coincida con el segmento DE, obteniendo el segmento EF (3er), y finalmente despliegue los dobleces y tendremos el triángulo equilátero DEF. Fig. 24.
Fig. 24
1er
C
T
A B
D
S
3er
CD
T
E
F
2do B
CD
T
E
S
A
E
F
=
=
B
CD
S T
A
=
4to
A. Cuadrado: 4 lados iguales y c/u de sus0
4 ángulos mida 90 .B. Rectángulo: es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos iguales y rectos y sus lados opuestos iguales dos a dos.
A. Rombo: lados iguales y paralelos, sus ángulos iguales de dos a dos y una y diagonal perpendicular.B. Romboide: sus lados paralelos entre si dos a dos, formados por 2 ángulos obtusos y 2 agudos.
1. Rectangulares:
2. Oblicuos:
I. Paralelogramos:
II. Trapecios:
III. Trapezoides:
1. Escaleno: Tiene lados no paralelos.2. Isósceles: Lados no paralelos iguales.3. Rectángulos: Es aquel que tiene 2 lados rectos.4. Equilátero: Es aquel que tiene 3 lados no paralelos iguales.
1. Asimétricos: Es aquel que no tiene ninguna simetría.2. Simétricos: Si uno de sus diagonales es mediatriz de otro.
2. CUADRADO:Cogemos una pedazo de papel que contenga una figura geométrica irregular y sigue los procedimientos:1. Pliegüe una recta AB.2. Pliegüe una recta perpendicular a AB, iniciando por el punto A, entonces tenemos la
Pr
of.
Elm
er
Ro
lan
do
ES
TR
EL
LA
GR
IMA
LD
O
Elroesgri
Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
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recta AC y el ángulo CAB.3. Del ángulo CAB traza su bisectriz.4. Pliegüe una recta perpendicular a AC, iniciando por el punto C, notamos que la recta y la
bisectriz del ángulo CAB se intersectan, a ese punto llamamos punto D, entonces ya tenemos la recta DE.
5. Pliegue una recta perpendicular a CD, iniciando por el punto D. Notamos que la perpendicular de intersectan en un punto con la recta AB, a ese le llamamos punto E, entonces tenemos la recta DE. Obteniendo el cuadrado ACDE. Fig. 25.
C
A B
D
E
A B
DC
AB
A
B
CD
C
A
D
E B
A B
Fig. 25
1er 2do 3er
4to5to 6to
3. PENTÁGONO:Utiliza un papel tipo tira y luego haga un nudo de la siguientes manera.
Utilizando la tira de papel, con el procedimiento uno ARRIBA y dos ABAJO consecutivamente, construiremos un pentágono. Fig. 26.
4. EXÁGONO:
1ro
2do
4to 5to
Utiliza un papel tipo tira, utilizando el Algoritmo “Pliegue y Tuerce” construiremos un exágono, los pasos siguientes:
Fig. 26
1ro 2do
3ro4to
5to
6to7mo
8vo
9no
3ro
En el 1ro, pliegue triángulos equiláteros, de tal manera quede c o m o i n d i c a l a f i g u r a , seguidamente prosiga los pasos siguientes.
Para terminar el exágono, repite el 3ro y 5to y obtendremos la gráfica siguientes.
Pr
of.
Elm
er
Ro
lan
do
ES
TR
EL
LA
GR
IMA
LD
O
Elroesgri
Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
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Entonces:
1. Los pliegues de la Taza, como se nuestra hallar el valor de los ángulos α,β y ω.A B
α
D C
F
E G
I
J
K
Del cuadriláteroBFGK, los ladosBK=BG=BF, entonces el ΔBGKy el ΔBFK es isós-celes.
Solución:
º45
º902
º180º90
º5.67
º45º1802
º180º45
CGI
BGK
Es isósceles.
º5.67
º180º5.67º45
º180
º4 5
º5.6 7
º5.6 7
Respuesta:
Ejercicios propuestos utilizando los pliegues de las figuras.3. En la figura, hallar los valores de los ángulos. Propuesta del Maestro KASAHARA.
ab
c
de
fg hj
k
l mn
op rs
Solución:Los ángulos l, n, m son iguales:
Por ángulos correspondientes:
Por ángulosopuestos.º120
º120
º120
º180:
º120
º180:
º30
º90:
º30
º90:
º60
:
º60
º120:
º60
:
º60
º60,,:
º180
jo
gp
o
orSi
p
pkSi
a
asSi
f
fhSi
s
skSi
k
nrSi
r
rhSi
h
hn
mnl
mnl
Respuesta:
º45
º15
º75,:
º120,,,:
º60,,,,,,:
º30,:
b
c
de
jgop
skrhmnl
af
º45
º90º45
º90º30º15
º90
º15
º165º180
º180º90º75
º180º90
º75º75
º1502
:
º180º30
º180
b
b
b
abc
c
c
c
cd
de
e
deSi
de
def
A B
α
D C
F
E
G
JI
Del ángulo B.
º5.67
º180º5.112
º180º90º5.22
º5.224
º90
BIJ
º5.67
º180º45º5.67
º180
E ICRespuesta:
oα = 67.5
oβ = 67.5
2. Dada la figura, hallar α, β sabiendo que BF es la bisectriz de ABD, BE s bisectriz de DBC y CA es bisectriz de BCD. Pliegues de la Fig. 07.
4. De la recta AC, AB es la media parte; hallar la recta BE, si BEC es 11. Solución:
A B C
DE
F
53
CE=5AE=CD=3Hallando el lado AC deltriángulo ACE, por teo-rema de Pitágoras.
4
925
35 222
AC
AC
AC
BCD
Hallando el lado BE deltriángulo BCE=11.
4
1152
11
BE
BE
CEBCBE
BCE
Pr
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TR
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Elroesgri
Papiroflexia: geometría en el papel plegado.
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El taller que presentamos es del maestro KASAHARA. Utiliza una hoja de papel cuadrada y luego realiza cuatro pliegues como indica y luego halle los diferentes ángulos.
AB
C
D
EF
G HJ
K
L MN
OP RS
Fig. 29
1ro 2do
3ro
4to
1ro 5to
A
B C
DE
F
G
HO
UT
K
W
Q
De los pliegues básicos de la paloma, hallar el ángulo.
A continuación halle los valores de los ángulos.
αβ
θα
Pr
of.
Elm
er
Ro
lan
do
ES
TR
EL
LA
GR
IMA
LD
O
Elroesgri
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